Apuntes Cálculo diferencial total.pdf

v

INTRODUCCIÓN

Este libro de Cálculo Diferencial está pensado y estructurado para estudiantes de prepara-toria tomando en cuenta, además de los programas oficiales, su nivel de madurez y de conoci-mientos alcanzados hasta el momento en que llegan al presente semestre.

El enfoque fuerte que se le ha dado al libro es a la parte operacional, lo que comúnmentese le suele llamar “a la talacha”, a pesar de que muchas tendencias didácticas actuales condenanla enseñanza del Cálculo basada en ella, aconsejando que se dé casi toda la importancia a lacomprensión del concepto de la derivada.

Según las teorías de la didáctica moderna de la enseñanza del Cálculo, los alumnos noaprenden el Cálculo o les cuesta tanto trabajo porque no entienden el concepto de lo que es laderivada. Y los teóricos de esta corriente han dedicado horas y horas a intentar descubrir proce-dimientos, técnicas y/o recursos aúlicos para facilitarle o evidenciarle al alumno dicho conceptode la derivada. Muchos creen haberlo encontrado o descubierto ya. O bien, consideran que esmás importante que el estudiante comprenda el concepto de la derivada a que adquiera la habili-dad operacional para poder derivar cualquier función que se le presente.

Sin embargo, en la vida profesional solamente a los licenciados en alguna carrera pura-mente matemática les resulta útil o necesario dominar el concepto mencionado. Para los ingenie-ros, economistas, biólogos y profesionistas que en su quehacer requieren emplear el cálculo, loque realmente necesitan es saber y dominar la parte operacional. Por ejemplo, un ingeniero elec-

Introducción

vi

tricista podrá encontrar, para cualquier tiempo t, el valor de la corriente eléctrica I del circuitode la siguiente figura

a partir de ciertas condiciones iniciales, resolviendo la ecuación diferencial

5 20di idt

+ =

para lo cual lo único que requiere es habilidad operacional; en nada le ayudará tener claro y fres-co en la mente el concepto de la derivada. Un Biólogo que sepa que un cultivo de bacterias crecea razón proporcional a la cantidad presente, podrá hallar el número existente para cualquier tiem-po t resolviendo la ecuación diferencial

0dN kndx

− =

para lo cual, otra vez, lo único que requiere es habilidad operacional ya que en nada le ayudarátener claro y fresco en la mente el concepto de la derivada. Y así podrían ponerse un sinnúmerode ejemplos de las diferentes profesiones en que se requiere la utilización del Cálculo para resol-ver problemas de la vida real.

Desde esta perspectiva de los didactas actuales parecería que los estudiantes, una vezcomprendido el concepto de la derivada, casi automáticamente aprenderán a derivar cualquier

L = 2 HR = 10

40S

I

Introducción

vii

función. Y no es así. La realidad está muy lejana a esas románticas teorías. Si a un discente se lehace comprender perfectamente el significado de la derivada, ¿le ayudará en algo para poder de-

rivar la función . Claro que no. Sencillamente en nada.( )4 24 3y tan ln x= −

Por esta razón, el presente libro ha dado casi toda la importancia a las técnicas de deriva-ción de cualquier función, explicando paso a paso en cada ejemplo lo que debe hacer el estudian-te para dominarlas.

LO REFERENTE A LAS ÁREAS

El lector encontrará al inicio de cada capítulo, lo mismo al final de ellos, que cada bloquede ejercicios propuestos especifican las áreas a las que se recomienda su estudio. Algunos temasy algunos ejercicios se dejan de forma exclusiva para el área 2 por tratarse del área de Matemáti-cas.

Se refiere a la siguiente clasificación de áreas:

Área 1: Químico-Biológicas. Carreras como Ingeniería Química, licenciatura en Biología,Medicina, Veterinaria, etc.

Área 2: Físico-Matemáticas. Carreras como Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, IngenieríaEléctrica, Arquitectura, licenciaturas en Física y/o Matemáticas, etc.

Área 3: Económico-Administrativa. Carreras como Economía, Mercadotecnia, Administra-ción, etc.

Área 4: Humanidades. Carreras como Derecho, Sociología, Historia, Filosofía, carreras deartes, etc.

i

ÍNDICE GENERAL

1 1LÍMITES

1.1 Concepto intuitivo ..................................................... 1Ejercicio 1 ................................................................. 6

1.2 Límites de sucesiones ................................................ 7Ejercicio 2 ................................................................. 11

1.3 La división entre cero y entre infinito ....................... 121.4 Cálculo de límites de funciones ................................ 13

Ejercicio 5 ................................................................. 161.5 Límites indeterminados ............................................. 17

1.5.1 Forma para funciones racionales .......... 1800

Ejercicio 4 .................................................... 24

1.5.2 Forma para funciones irracionales ........ 2500

Ejercicio 5 .................................................... 32

1.5.3 Forma para funciones racionales .......... 33∞∞

Ejercicio 6 .................................................... 36

2 37INCREMENTOS

2.1 Concepto .................................................................... 37Ejercicio 7 ................................................................. 44

Índice general

ii

3 45LA DERIVADA

3.1 Definición .................................................................. 453.2 Derivada por incrementos ......................................... 49

Ejercicio 8 ................................................................. 54

4 55LA DERIVADA POR FÓRMULAS

4.1 Fórmulas .................................................................... 554.2 Fórmulas básicas ....................................................... 57

Ejercicio 9 ................................................................. 684.3 Fórmulas genéricas .................................................... 69

Ejercicio 10 ............................................................... 74

5 75FÓRMULAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE

5.1 Fórmula de la raíz cuadrada ...................................... 755.2 Fórmula del producto ................................................ 775.3 Fórmula del cociente ................................................. 80

Ejercicio 11 ............................................................... 85

6 87FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

6.1 Funciones trascendentes ............................................ 876.2 Fórmulas para funciones trigonométricas ................. 92

Ejercicio 12 ............................................................... 105

Índice general

iii

7 107FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

7.1 Funciones exponenciales y logarítmicas ................... 1077.2 Propiedades de los logaritmos ................................... 1117.3 Fórmulas .................................................................... 111

Ejercicio 13 ............................................................... 129

8 131FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

8.1 Funciones trigonométricas inversas .......................... 1318.2 Fórmulas .................................................................... 132

Ejercicio 14 ............................................................... 136

9 137DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

9.1 Derivadas de orden superior ...................................... 137Ejercicio 15 ............................................................... 140

10 141FUNCIONES IMPLÍCITAS

10.1 Funciones implícitas .................................................. 141Ejercicio 16 ............................................................... 150

Índice general

iv

11 151INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

11.1 Interpretación geométrica de la derivada .................. 15111.2 Máximos y mínimos .................................................. 160

Ejercicio 17 ............................................................... 16511.3 Aplicación de máximos y mínimos ........................... 166

Ejercicio 18 ............................................................... 182

185APÉNDICE A

Formulario ............................................................................ 185

190APÉNDICE B

Reglas de escritura ............................................................... 190

203SOLUCIONES

1

CAPÍTULO 1

LÍMITES

1.1 CONCEPTO INTUITIVO

Supóngase que se tiene una función cualquiera, por ejemplo, y = x2 + x , a la cual se le daun valor arbitrario a la variable independiente x , tal como x = 3.9. Entonces a la variable depen-diente y le corresponde el valor de

y = 3.92 + 3.9 = 19.11

En seguida se le da un nuevo valor a la variable x , por ejemplo de x = 3. 99, con lo quele corresponde a la variable y un valor de

y = 3.992 + 3.99 = 19.9101

El proceso se continúa, registrando los valores en una tabla como la siguiente:

x 3.9 3.99 3.999 3.9999

y 19.11 19.9101 19.991001 19.99910001

Hasta aquí una calculadora muestra en la pantalla el valor de y en forma exacta, pero sise pretende obtenerlo para el siguiente valor de x , es decir, para x = 3.99999, como el corres-pondiente valor de la variable y consta de 12 dígitos y la pantalla de la calculadora no tiene ca-

Límites

2

pacidad para mostrar tantos dígitos, redondea al final y eso no sirve para los efectos que se persi-guen en este estudio introductorio del concepto de límites, sino que se requieren valores exactoscon todos los decimales que les corresponden. Sin embargo, al observar los sucesivos valores dela variable y en la tabla, se puede deducir fácilmente una regla de formación de cada uno deellos:

a) todos comienzan con 19;b) entre el punto decimal y el primer 1 van tantos nueves, menos uno, como los tiene la

variable x en su parte decimal;c) entre cada uno de los dos unos van tantos ceros, menos uno, como nueves tiene la

variable x en su parte decimal.

De manera que se puede ampliar la tabla anterior de esta forma:

x 3.9 3.99 3.999 3.9999999999 etc.

y 19.11 19.9101 19.991001 19.99999999910000000001

Se ha colocado un etcétera al final de la tabla para dar a entender que el proceso no está aca-bado, sino que puede continuar indefinidamente, esto es que en un momento dado se puede tenerque x = 3.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 con lo quecorresponde ya a la imaginación, valga la redundancia, imaginar el valor que le corresponderá a lavariable y , y más y más nueves sin que acabe nunca el proceso.

Se observa entonces que ambas variables se acercan cada vez más a un valor en concreto:la x se aproxima a 4 mientras que la y tiende a 20. Esa es la idea de un límite, referida siempre ala variable dependiente, es decir, se dice que el límite de y es 20 cuando x se aproxima a 4.

Lo anterior se escribe:

420

xlim y→

=

Límites

3

43.9 4.13.99 4.01

figura 1.1

Es importante tener en cuenta que la anterior igualdad no significa que la y valga 20, sinoel límite y que el valor de cualquier límite es el valor al que tiende o se acerca dicha variable. Ade-más, que todo límite tiene una condicionante. En el caso anterior, la condicionante es que la variablex tienda a 4. Dicho con otras palabras, el límite de y es 20 (se acerca a 20) bajo la condición de quela x se esté aproximando más y más a 4. Finalmente, en el ejemplo anterior, para escribir todo con

la misma variable, como , el límite se escribirá de la siguiente manera:2y x x= +

( )2

420

xlim x x→

+ =

y significa que la función x2 + x se está acercando al valor de 20 conforme la variable x tiende ose aproxima a 4.

En este momento a más de un estudiante ya se le habrá ocurrido que si la variable x se hizotender al valor de 4 por la izquierda, también se pudo hacer por la derecha. Esto significa que sepuede aproximar al valor de 4 viniendo de valores más pequeños haciéndolos crecer lentamente,como lo era el 3.999 , como también viniendo de valores un poco mayores haciéndolos disminuir,como por ejemplo 4.0001.

Efectivamente, no importa por qué lado se haga la aproximación de x al valor de 4, la fun-

ción de todos modos se acercará a 20, como lo muestra la siguiente tabla, construida bajo2x x+el mismo modelo de la anterior y en la que en la última celda el valor de la función x2 + x se obtuvodeduciendo la regla de formación:

Límites

4

x 4.1 4.01 4.001 4.00000000001etc...

x2 + x 20.91 20.0901 20.009001 20.0000000000900000000001

Ejemplo 1: Calcular el límite , por medio de una tabla.( )2

23 5 7

xlim x x→

− +

Solución: Dando a la variable x el valor de 1.9 se obtiene que

3x2 - 5x + 7 = 3(1.9)2 - 5(1.9) + 7 = 8.33

Luego con x = 1.99 se obtiene

3x2 - 5x + 7 = 3(1.99)2 - 5(1.99) + 7 = 8.9303

Y así sucesivamente, cuyos valores se concentran en la siguiente tabla. El último valor sededujo de la regla de formación:

x 1.9 1.99 1.999 1.999999999etc...

3x2 - 5x + 7 8.33 8.9303 8.993003 8.999999993000000003

Analizándola, se ve que mientras la variable x (condicionante) tiende a 2, por su parte la

función se acerca a 9. Entonces el límite es23 5 7x x− +

( )2

23 5 7 9

xlim x x→

− + =

Ejemplo 2: Calcular el límite por medio de una tabla.( )2

55 9

xlim x→−

+

Solución: Dando a la variable x el valor de x = - 4.9 se obtiene

5(- 4.9)2 + 9 = 129.05

Luego, con x = - 4.99 para irse aproximando a - 5:

Límites

5

5(- 4.99)2 + 9 = 133.5005

Continuando con x = - 4.999

5(- 4.999)2 + 9 = 133.950005

Ahora con x = - 4.9999:

5(- 4.9999)2 + 9 = 133.9950001

Y así sucesivamente, cuyos valores se concentran en la siguiente tabla. El último valor sededujo de la regla de formación:

x - 4.9 - 4.99 - 4.999 - 4.9999 - 4.99999999etc...

5x2 + 9 129.05 133.5005 133.950005 133.9950001 133.999999500000001

Se ve que mientras x se aproxima a menos cinco, la función 5x2 + 9 por su parte se acercaa1134. Entonces el límite buscado es

( )2

55 9 134

xlim x→−

+ =

Límites

6

EJERCICIO 1

Obtener los límites que se piden, por medio de una tabla:

1) 2)( )2

03 5

→−

xlim x x ( )2

102

xlim x x→

− −

3) 4)3

16

xlim x→

( )2

72 6

xlim x x→−

−

5) 6)( )2

85 2

xlim x→

− ( )3

5 5xlim x→−

−

7) 8)( )2

68 7 11

xlim x x→

− + ( )3 2

22

xlim x x x→

− − −

9) 10)( )2

13 7

xlim x x→

− − ( )2

127 2 11

xlim x x→

− + −

11) 12)10 2 1x

xlimx→ − 8

2 3x

xlimx→

−

13) 14)3

2 51x

xlimx→−

−− 7

2 13 1x

xlimx→−

++

15) 16)9

10 9xlim x→

− 2

0xlim x x→

−

17) 18)12

2 15 7x

xlimx→

−+ 1

3

3 76 2x

xlimx→

++

Límites

7

1.2 LÍMITES DE SUCESIONES

Otra idea no formal, sino intuitiva, del concepto de límite se puede obtener a partir de suce-siones de números, formados en base a una periodicidad. Las diferencias con las que deberá fami-liarizarse el estudiante respecto de lo visto anteriormente, son fundamentalmente tres:

a) En los límites de sucesiones de números no existe una función;b) tampoco hay un condicionante;c) por lo tanto, no se empleará la notación de límite vista en la sección anterior.

Obsérvese la siguiente sucesión:

2.7 ; 2.71 ; 2.717 ; 2.7171 ; 2.71717 ; 2.717171 ; 2.7171717 ; etc.

Si se pregunta: ¿Cuál número sigue después del último escrito? será fácil responder, puesla regularidad es notoria. Sin embargo, si al mismo estudiante se le pregunta: Si el proceso continúaindefinidamente, ¿Hacia qué valor tiende la sucesión? probablemente ya no atine a contestar certe-ramente.

Para responder, llámese x al número en cuestión y de preferencia, aunque no necesariamen-te, cuidando que por lo menos contenga dos veces la parte periódica. En este caso

(1)2.7171x =

La idea es obtener dos expresiones distintas, a partir de (1), tales que después del punto de-cimal quede exclusivamente la parte periódica, para que al restar una de otra se anule dicha parteperiódica. Para el caso que nos ocupa, la expresión (1) ya cumple con el requisito, de manera quenada más hace falta obtener otra expresión. Esto se logra multiplicando ambos miembros de laigualdad (1) por aquella potencia de 10 tal que recorra el punto decimal exactamente al inicio de unperiodo que no sea el inicial. En nuestro ejemplo, por 100:

Límites

8

(2)100 271.71x =

Restando la igualdad (2) menos la (1) para eliminar la periodicidad:

100 271.71

2.71

99 269

x

x

x

=

− =

=

Finalmente despejando la x :

26999

x =

Entonces la sucesión 2.71 ; 2.717 ; 2.7171 ; etc., tiende a .26999

Ejemplo 3: Hallar el valor hacia el que tiende la sucesión

5.2 ; 5.22 ; 5.222 ; 5.2222 ; 5.22222 , etc.

Solución: Sea (3)52 2x .=

La igualdad anterior ya es una de las dos expresiones buscadas, en virtud de que después delpunto decimal ya está exclusivamente la parte periódica. Multiplicando la igualdad (3) por 10para abarcar un periodo, o bien, para obtener la 2ª expresión que después del punto decimalsolamente quede la parte periódica:

(4)10 52 2x .=

Límites

9

Restando la igualdad (4) menos la (3) para eliminar la periodicidad :

10 52. 2

5.29 47

x

xx

=

− =

=

Despejando x :

479

x =

Por lo tanto, la sucesión 5.2 ; 5.22 ; 5.222 , etc., tiende a .479

Ejemplo 4: Hallar el valor hacia el que tiende la sucesión

10.3 ; 10.34 ; 10.348 ; 10.3488 ; 10.34888 ; 10.348888 , etc

Solución: Sea . (5)10 348x .=

Nótese que si se multiplica la igualdad (5) por 100, se consigue situar el punto decimal justoa donde comienza la parte periódica, obteniendo así la primera de las dos igualdades requeridas:

(6)100 1034 8x .=

Multiplicando ahora (5) por 1000:

(7)1000 10348 8x .=

Restando la igualdad (7) menos la (6) para eliminar la periodicidad:

Límites

10

1000 10348.8

100 1034. 8

900 9314

x

x

x

=

− =

=

despejando x :

9314 4657900 450

x = =

Significa que la sucesión 10.3 ; 10.34 ; 10.348 ; 10.3488 ; 10.34888 , etc., tiende al valor

de .4657450

Límites

11

EJERCICIO 2

Hallar el valor hacia el que se aproximan las siguientes sucesiones numéricas:

1) 4.5 ; 4.58 ; 4.588 ; 4.5888 ; 4.58888 ; 4.588888 , etc.

2) 4.5 ; 4.58 ; 4.585 ; 4.5858 ; 4.58585 ; 4.585858 , etc.

3) 12.3 ; 12.33 ; 12.333 ; 12.3333 ; 12.33333 , etc.

4) 7.2 ; 7.20 ; 7.209 ; 7.2091 ; 7.20919 ; 7.209191 ; 7.2091919 ; 7.20919191 , etc.

5) 3.7 ; 3.74 ; 3.741 ; 3.7411 ; 3.74111 ; 3.741111 ; 3.7411111 ; 3.74111111 , etc.

6) 8.8 ; 8.88 ; 8.888 ; 8.8888 ; 8.88888 ; 8.888888 , etc.

7) 0.2 ; 0.22 ; 0.225 ; 0.2255 ; 0.22552 ; 0.225525 ; 0.2255255 ; 0.22552552 ;0.225525525 ;

0.2255255255 ; 0.22552552552 ; 0.225525525525 ; 0.2255255255255255 , etc.

8) 9.01 ; 9.012 ; 9.0120 ; 9.01201 ; 9.012012 ; 9.0120120 ; 9.01201201 ; 9.012012012 , etc.

9) 11.2 ; 11.20 ; 11.207 ; 11.2077 ; 11.20777 ; 11.207777 ; 11.2077777 ; 11.20777777 , etc.

10) 20.5 ; 20.55 ; 20.556 ; 20.5565 ; 20.55656 ; 20.556565 ; 20.5565656 ; 20.55656565 ;

20.556565656 ; 20.5565656565 ; 20.55656565656 , etc.

Límites

12

1.3 LA DIVISIÓN ENTRE CERO Y ENTRE INFINITO

Al estudiante, en algún curso anterior, se le ha dicho que no debe dividir entre cero, o bien,que la división entre cero da infinito, pero seguramente no le habrán dicho por qué es así. Con laidea de límite que ya se tiene hasta este momento se puede explicar.

Si se divide cualquier cantidad, por ejemplo 12, entre 1, el cociente es 12. Si a continuaciónel mismo 12 se divide entre 2, el cociente es 6. El proceso de dividir 12 entre un número positivocada vez más pequeño se puede registrar en una tabla con tres filas: en la primera fila se anotará elnumerador que será siempre 12; el denominador será el número positivo entre el que se está divi-diendo el 12 y, finalmente, en la tercera fila se registrará el cociente de la división:

numerador 12 12 12 12 12

etc...denominador 1 0.1 0.01 0.001 0.00000000000000001

cociente 12 120 1200 12000 1200000000000000000

Se ve que mientras el denominador se hace cada vez más chico, el cociente de la división escada vez más grande. El “etcétera” al final de la tabla significa que el proceso no está terminado allí,sino que continúa indefinidamente, lo cual pertenece ya a la imaginación, es decir, el estudiante debeimaginar que cada segundo se puede añadir un cero más al denominador entre el punto decimal yel 1, y otro y otro, durante un año, durante un siglo y así todo el tiempo, entonces el cociente de ladivisión respectiva igualmente irá agregando ceros, haciéndose más y más grande dicho cociente.

En conclusión: cuando el denominador se haya hecho tan pequeño que ya cueste trabajo ima-ginarlo, o simplemente porque por ser tan pequeño ya no sea aplicable absolutamente en nada, setomará como cero; igualmente, el cociente se habrá hecho tan enorme que se dirá que es infinito. Poreso la división entre cero da infinito.

Debe tomar en cuenta el estudiante que infinito no es número, sino un concepto, una idea dealgo que creció tanto que se escapa de toda aplicación, de toda escritura, de toda lectura posible.Algo así como pretender definir un número que consta, por ejemplo, de cincos desde aquí hasta la

Límites

13

luna y aún mucho más allá. Es un número tan grande que no tiene lectura posible y tampoco aplica-ción en nada. Es algo que pertenece ya nada más a la imaginación. Y por no ser un número, al infi-nito no se le pueden aplicar las reglas que a los números.

Con un análisis similar, se puede ver que cualquier división entre infinito da cero, tomandocualquier número para dividirlo entre un número cada vez mayor, como se hizo con el 12 en el casoanterior de la división entre cero.

Escogiendo el 1:

numerador 1 1 1 1 1

etc...denominador 1 10 100 1000 100000000000000000000

cociente 1 0.1 0.01 0.001 0.00000000000000000001

Se ve que mientras el denominador se hace cada vez más grande, el cociente se hace cadavez más pequeño, de manera que cuando el denominador de tanto crecer llegue a infinito, el cocientede tanto disminuir llegará a cero. Por eso, la división entre infinito da cero.

1.4 CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES

Retomando lo visto en el apartado 1.1, se vio a través de tablas que

( )2

420

xlim x x→

+ =

(ejemplo 1)( )2

23 5 7 9

xlim x x→

− + =

(ejemplo 2)( )2

55 9 134

xlim x→−

+ =

Límites

14

El valor de esos límites puede obtenerse más directamente sustituyendo el valor al que tiendela x (el condicionante) en la función. Así, en el primer caso, si se sustituye la x por 4 en la funciónx2 + x se obtiene el valor del límite 20. En el segundo caso, si se sustituye x por 2 en la función

se obtiene el valor del límite 9. Y finalmente, en el tercer caso, si se sustituye la x23 5 7x x− +

por - 5 en la función 5x2 + 9 se obtiene el valor del límite 134. De hecho esa es la regla general paracalcular cualquier límite.

Ejemplo 5: Calcular el límite ( )2

56 3 1

xlim x x→

− +

Solución: Aplicando la regla general para calcular límites, se sustituye en la función la x por 5:

( ) ( ) ( )22

56 3 1 6 5 3 5 1

xlim x x→

− + = − +

= 136=

De manera que

( )2

56 3 1 136

xlim x x→

− + =

No olvidar el significado: Conforme la variable x se acerque más y más al valor de 5, la

función se aproximará más y más a 136.26 3 1x x− +

La regla general para calcular cualquier límite consiste en sustituir el valor alque tiende x en las equis que aparecen en la función.

Límites

15

Ejemplo 6: Calcular el límite 10

2 5xlim x→

+


( )10

2 5 2 10 5xlim x→

+ = +

25 5= =

De manera que

102 5 5

xlim x→

+ =


7

131x

xlim

x→

−−


2 2

7

13 7 131 7 1x

xlim

x→

− −=

− −

36 16

= =

De manera que

2

7

131

1x

xlim

x→

−=

−

Límites

16

Significa que mientras la variable x se aproxima más y más al valor 7, la función2 13

1xx−−

se acerca más y más al valor de 1.

EJERCICIO 3

Calcular los siguiente límites aplicando la regla general (sustitución):

1) 2)0

2 73 11x

xlimx→

−+

2

24 9

xlim x→

+

3) 4)2

667

xlim x→

+11

21x

xlim

x→

−−

5) 6)( )3 2

52 9

xlim x x→−

+3 23

1

1xlim

x→ −

7) 8)( )2

17 13

xlim x x→−

− −12

5 4xlim x→

+

9) 10)8

5 21x

xlimx→

++

2

36

352x

xlim

x→−

−

−

Límites

17

1.5 LÍMITES INDETERMINADOS O INDEFINIDOS

Todo lo que se ha analizado hasta aquí no tiene sentido práctico matemático más que paracomprender la idea o el concepto de un límite. Quede claro que el objetivo de analizar todo lo ante-rior ha sido para que el estudiante capte dicho concepto. No más.

Porque de nada sirve, por ejemplo, en la función y = x2 acercarse con la variable x al valorde cinco para ver qué le pasa a x2 (hacia dónde se aproxima). Aplicando las ideas anteriores se veríaque se acerca a 25. Pero, ¿para qué acercarse con x a cinco en vez de que de una vez tome esevalor? Efectivamente, eso sería lo práctico y así se llegaría directamente a que si la x vale cinco,la función x2

vale 25.

Lo que sucede es que a veces no se puede hacer eso porque se produce una operación no vá-lida en matemáticas y es allí cuando toma sentido la aplicación de límites. Allí es donde comienzael Cálculo diferencial a entrar en acción.

Para explicar detalladamente lo anterior es necesario saber que existen operaciones no váli-das, llamadas formas indeterminadas o bien formas indefinidas, de las cuales solamente dos de ellasse van a mencionar en este curso. Son las divisiones

00

e ∞∞

Son operaciones no válidas porque darían tres resultados diferentes que las harían contradic-torias, si se les aplican las reglas generales siguientes:

a) Cero entre lo que sea da cero. Por lo tanto, , por ser cero entre lo que sea debe ser00

igual a cero.

Límites

18

b) Cualquier cosa entre cero da infinito (explicado en el apartado 1.3). Por lo tanto, 00

por ser cualquier cosa entre cero debe ser infinito.

c) Cualquier cosa entre sí misma da 1. Por lo tanto, , por ser cualquier cosa entre sí00

misma debe ser 1.

Sintetizando lo anterior se llegaría a que , lo que obviamente no es posible.0 0 10= = ∞ =

Por eso es una operación no válida llamada forma indefinida. De la misma manera se puede deducir

la invalidez de aplicándole las misma reglas.∞∞

1.5.1 Forma para funciones racionales. (Áreas 1, 2 y 3)00

Estaba dicho que a veces en matemáticas se produce una operación no válida, como por

ejemplo cuando se quiere evaluar la función para x = 1. Sustituyendo se obtiene que2 1

1xyx−

=−

21 1 01 1 0

y −= =

−

que es una de las formas indeterminadas. En casos como éste es cuando toma sentido el conceptode límite, porque en virtud de que no se puede investigar la función exactamente cuando la x vale1, entonces lo que se hace es aproximarse con x a uno para observar hacia dónde se acerca lafunción.

Límites

19

Analizando con una tabla, como se hizo en el apartado 1.1:

x 0.9 0.99 0.999 0.99999999999999999999

etc...2 11

xx−−

1.9 1.99 1.999 1.99999999999999999999

Se ve que mientras la variable x tiende al valor 1, la función se acerca a 2, lo cual2 1

1xx−−

se escribe, en terminología de límites, como

2

1

1 21x

xlimx→

−=

−

valor que no fue posible obtener con la regla general del cálculo de límites (por sustitución) envirtud de que por medio de dicha regla se llegó a una forma indeterminada. Y es en este tipo deformas indeterminadas donde realmente cobra sentido la teoría de los límites, antes no.

Pero calcular límites de funciones que dan formas indefinidas para ciertos valores de x , pormedio de tablas resulta muy engorroso. Entonces existen métodos analíticos para llegar a sus resul-tados sin necesidad de elaborar tablas.

La siguiente es la regla con la cual se pueden obtener los valores de ciertos límites que dan

la forma indefinida . Es importante tomar en cuenta la nota que aparece al final de dicha regla,00

pues a partir de ella se puede facilitar mucho la factorización, la cual tiene validez si se cumple,

como dice al principio, que se tenga la forma indeterminada , si no, no. Analícense con cuidado00

los ejemplos.

Límites

20

REGLA 1

Si , donde p(x) y q(x) son polinomios, en-( )( )0

00x

p xlim

q x→=

tonces deben factorizarse p(x) y q(x) , simplificarse y volver a calcularel límite en la fracción simplificada.

NOTA: (x - c) es factor de p(x) y de q(x).


25

7 603 7 40x

x xlimx x→

+ −− −

Solución: Aplicando primero la regla general (sustitución):

2

25

7 60 003 7 40x

x xlimx x→

+ −=

− −

Como se cumple la condición que exige la regla 1, entonces deben factorizarse el numeradory el denominador. Para ello se tienen dos opciones: una, recordar las reglas de factorización delcurso de Álgebra del primer semestre; dos, a partir de la nota de la regla 1, considerar que eneste caso (x - 5) es factor del numerador y del denominador.

Aplicando las reglas de factorización: Para el numerador se buscan dos números que multipli-cados den - 60 y sumandos den +7. Son + 12 y - 5. La factorización es

x2 + 7x - 60 = (x + 7)(x - 5)

Nótese cómo efectivamente un factor fue (x - 5), como ya estaba predicho.

Límites

21

Para el denominador, se buscan dos números que sumados den - 7 y multiplicados den - 120.Son - 15 y + 8. Entonces la factorización es:

3x2 - 7x - 40 = 3x2 - 15x + 8x - 40= 3x(x - 5) + 8(x - 5)= (3x + 8)(x - 5)

Un factor fue (x - 5) como sentenciaba la nota.

Entonces

( )( )( )( )

2

25 5

12 57 603 8 53 7 40x x

x xx xlim limx xx x→ →

+ −+ −=

+ −− −

5

123 8x

xlimx→

+=

+

( )5 12

3 5 8+

=+

1723

=

Ejemplo 9: Calcular el límite 3 2

27

8 494 21x

x xlimx x→−

+ −+ −


( ) ( )( ) ( )

3 23 2

2 27

7 8 7 498 49 004 21 7 4 7 21x

x xlimx x→−

− + − −+ −= =

+ − − + − −

Como se cumple la condición que exige la regla 1, entonces deben factorizarse el numerador

Límites

22

y el denominador. Para ello, a partir de la nota de la regla 1, (x + 7) es factor del numeradory del denominador.

El otro factor se puede obtener por una simple división.

2

3 2

3 2

2

2

7

7 8 0 497____________

07____________7 497 49____________

0

x x

x x x xx x

x xx x

xx

+ −

+ + + −

− −

+

− −− −+ +

2

2

3

7 4 217_____________3 213 21_____________

0

x

x x xx x

xx

−

+ + −

− −− −

++

Así que

( )( )( )( )

23 2

27 7

7 78 497 34 21x x

x x xx xlim limx xx x→− →−

+ + −+ −=

+ −+ −

2

7

73x

x xlimx→−

+ −=

−

( ) ( )( )

27 7 77 3

− + − −=

− −

3510

=−

Límites

23


21

5 6 2 14 3 9x

x x xlimx x→

− + −− −


( ) ( ) ( )( ) ( )

3 23 2

2 21

5 1 6 1 2 1 15 6 2 14 3 9 4 1 3 1 9x

x x xlimx x→

− + −− + −=

− − − −

08

=−

= 0

Obsérvese que como no dio la forma indefinida , no tiene por qué aplicarse la00

regla 1 que se venía aplicando en los ejemplos anteriores. De hecho, el resultadoobtenido es cero y eso está perfectamente definido, de manera que el límite pedidoes cero. Recuérdese que la regla 1 se aplica cuando da una forma indeterminada,pero si en el primer paso ya se obtiene un valor concreto, ése ya es el resultado.

Límites

24

EJERCICIO 4

Calcular los siguientes límites:

1) 2)2

21

4 55 6x

x xlimx x→

+ −+ −

2

21

24 3x

x xlimx x→−

− −+ +

3) 4)2

32

2 88x

xlimx→

−−

2

25

55 50x

x xlimx x→

−+ −

5) 6)3 2

23

10 126 13 15x

x x xlimx x→−

+ − −+ −

3

3 23

3018x

x xlimx x→

+ −− −

7) 8)2

25

7 9 1306 9 105x

x xlimx x→−

+ −+ −

2

28

5 8 25664x

x xlimx→

− −−

9) 10)3

22

83 10x

xlimx x→

−+ −

4 3

3 20x

x xlimx x→

−−

11) 12)3 2

3 21

5 32 7 4x

x x xlimx x x→

+ − ++ − +

3 2

3 21

5 8 46 12 7x

x x xlimx x x→

− + −− + −

13) 14)2

22

3 142x

x xlimx x→

+ −− +

2

3

5 63x

x xlimx→

− −−

15) 16)4

3 125 20x

xlimx→

−−

2

5

11 305x

x xlimx→

− +−

Límites

25

1.5.2 Forma para funciones irracionales (Área 2)00

Para este apartado, conviene recordar que una función irracional es aquella que contieneraíces no exactas. Ejemplos de funciones irracionales son los siguientes:

a) 2 9y x= −

b) 5 2 7 9y x x= − +

c)3

2

5 722 13 11

x xy

x x− −

=− +

d)23

8 7

13 13

xy

x x

−=

+ −

e) 5

3 4xyx x

−=

+

f) 2y x x= −

g) 2

63xy

x+

=−

Igual que en el apartado anterior, pueden darse casos en los que no se puede evaluar unafunción exactamente para cierto valor de la variable x . Por ejemplo, se quiere saber cuánto vale la

función cuando la x vale x = 5. Si se sustituye se obtiene que , lo2 1 3

5x

yx− −

=−

00

y =

cual es una forma indefinida, es decir, no se obtiene ninguna información.

Límites

26

REGLA 2:

Si , donde r(x) y/o q(x) son funciones irracionales,( )( )

00x c

r xlim

q x→=

debe trasladarse el radical del numerador al denominador, o viceversa, fac-torizar, simplificar y volver a calcular el límite en la fracción simplificada.

NOTA 1: Para raíces cuadradas, multiplicando el numerador y el denomi-nador por el conjugado de la función irracional se logra hacer latraslación del radical.

NOTA 2: Efectuar solamente la multiplicación de los binomios conjugados;lo demás, dejarlo indicado para facilitar la simplificación.

Para estos casos se tiene la siguiente regla:

Se entiende por trasladar un radical la realización de aquellas operaciones necesarias paraque el radical si está en el numerador desaparezca de allí y aparezca en el denominador, o si está enel denominador desaparezca de allí y aparezca en el numerador. Los siguientes ejemplos aclararánesa idea.


2 1 35x

xlim

x→

− −−

Solución: Aplicando primero la regla general (por sustitución):

( )5

2 5 1 32 1 35 5 5x

xlim

x→

− −− −=

− −

Límites

27

10 1 3 0

5 5 0− −

= =−

Como da la forma indefinida , entonces, de acuerdo con la nota de la regla 2, debe multi-00

plicarse el numerador y el denominador por el conjugado del numerador (porque en el numera-

dor está el radical), o sea por . Haciéndolo:( )2 1 3x − +

( )( )( )( )5

2 1 3 2 1 3

5 2 1 3x

x xlim

x x→

− − − +

− − +

Nótese que en el numerador se tienen dos binomios conjugados, como si fuera por( )a b−

, donde a es la raíz cuadrada, por lo tanto su producto es el cuadrado del primero me-( )a b+

nos el cuadrado del segundo. Además, conforme a la nota 2 de la regla 2, deben multiplicarseúnicamente los factores del numerador, mientras que los del denominador tienen que dejarseindicados para facilitar la simplificación:

( ) ( )5

2 1 95 2 1 3x

xlimx x→

− −

− − +

( ) ( )5

2 105 2 1 3x

xlimx x→

−=

− − +

( )( ) ( )5

2 5

5 2 1 3x

xlim

x x→

−=

− − +

Límites

28

5

22 1 3x

limx→

=− +

22(5) 1 3

=− +

2 13 3 3

= =+

Obsérvese cómo en este momento

del proceso, el radical 2 1x −

que originalmente estaba en el nu-merador, ahora aparece en el deno-minador. Por eso se dice que setraslada el radical.


73 4 5x

xlimx→

−+ −

Solución: Aplicando primero la regla general para calcular límites (sustitución):

( )7

7 7 73 4 5 3 7 4 5x

xlimx→

− −=

+ − + −

7 75 5−

=−

00

=

Como da la forma indefinida y se trata de una función irracional (con radicales), en-00

tonces es aplicable la regla 2. Multiplicando el numerador y el denominador por el conjuga-

do del denominador (es donde está el radical), es decir por :( )3 4 5x + +

( )( )( )( )7

7 3 4 5

3 4 5 3 4 5x

x xlim

x x→

− + +

+ − + +

Límites

29

Nótese, como en el ejemplo anterior, que en el denominador se tienen dos binomios conju-

gados, como si fuera por , donde a es la raíz cuadrada, por lo tanto su( )a b− ( )a b+

producto es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. Además, conforme a lanota 2 de la regla 2, deben multiplicarse únicamente los factores del denominador, mientrasque los del numerador tienen que dejarse indicados para facilitar la simplificación:

( ) ( )7

7 3 4 5

3 4 25x

x xlim

x→

− + +=

+ −

( )( )7

7 3 4 5

3 21x

x xlim

x→

− + +=

−

( ) ( )( )7

7 3 4 5lim

3 7x

x x

x→

− + +=

−

Obsérvese cómo el radical

que originalmen-3 4x +

te está en el denominador,en este momento del proce-so aparece ya en el numera-dor; por eso se dice que setraslada el radical.

7

3 4 53x

xlim→

+ +=

3(7) 4 53+ +

=

25 5 103 3+

= =


6 1 5lim

2 1 3x

xx→

+ −

+ −

Solución: Aplicando primero la regla general para calcular límites (sustitución):

Límites

30

4

6 1 5 6(4) 1 5lim

2 1 3 2(4) 1 3x

xx→

+ − + −=

+ − + −

00

=

Como da la forma indefinida y se trata de una función irracional (con radicales), entonces00

es aplicable la regla 2. En este caso, se debe hacer una doble traslación de radicales, el del nu-merador al denominador y el del denominador al numerador, multiplicando por sus respectivosconjugados.

conjugados

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 4

6 1 5 6 1 5 2 1 36 1 52 1 3 2 1 3 6 1 5 2 1 3x x

x x xxlim limx x x x→ →

+ − + + + ++ −=

+ − + − + + + +

conjugados

Conforme a la nota 2 de la regla 2, solamente conviene multiplicar los binomios conjugados enel numerador y en el denominador, que son los que van a provocar la traslación de los radica-les, los cuales son los dos primeros factores en el numerador y el primero y tercero en el deno-minador. Lo demás habrá que dejarlo indicado para facilitar la simplificación.

Haciéndolo, resulta:

Límites

31

( ) ( )( ) ( )4

6 1 25 2 1 3lim

2 1 9 6 1 5x

x x

x x→

+ − + +=

+ − + +

( ) ( )( ) ( )4

6 24 2 1 3lim

2 8 6 1 5x

x x

x x→

− + +=

− + +

( ) ( )( ) ( )4

6 4 2 1 3lim

2 4 6 1 5x

x x

x x→

− + +=

− + +

( )( )4

6 2 1 3lim

2 6 1 5x

x

x→

+ +=

+ +

Obsérvese cómo el radi-

cal que origi-6 1x +

nalmente estaba en elnumerador, en este mo-mento del proceso apare-ce ya en el denominador;

y el radical 2 1x +

que originalmente estabaen el denominador, eneste momento del proce-so aparece ya en el nume-rador; por eso se dice quese trasladaron los radi-cales.

( )( )

6 2(4) 1 3

2 6(4) 1 5

+ +=

+ +

( )( )

6 9 3

2 25 5

+=

+

( )( )

6 9 54 272 10 20 10

= = =

Límites

32

EJERCICIO 5 (Área 2)


1) 2)5

7 1 6lim

5x

xx→

+ −− 2

4 1 3lim

2x

xx→

+ −−

3) 4)28

9 28 10lim

64x

xx→

+ −− 10

2 20lim5 1 7x

xx→

−

− −

5) 6)2

6

5 6lim11 4 8x

x xx→

− −

− −

2

12

144lim13 5x

xx→

−

+ −

7) 8)9

3 2 5lim

2 7 5x

xx→

− −

+ − 13

3 61 10lim

5 1 8x

xx→

+ −

− −

9) 10)1

13 68 9lim

8 1 3x

xx→

+ −

+ − 20

5 300 20lim

2 9 7x

xx→

+ −

+ −

Límites

33

REGLA 3:

Si , en donde p(x) y q(x) son polinomios, dividir( )( )x

p xlim

q x→∞

∞=

∞

numerador y denominador entre la mayor potencia de x que aparezca, sim-plificar cada fracción y volver a calcular el límite.

NOTA: Recordar que cualquier cantidad entre infinito es igual a cero

0c=

∞

1.5.3 Forma para funciones racionales. (Áreas 1, 2 y 3)∞∞

La última forma indefinida que se va a estudiar en este curso es aquella en la que se ob-

tiene el cociente , cuando la variable x tiende a infinito. La regla para eliminar la forma∞∞

indefinida es la siguiente:


3 2

4 5 3 9lim2 11 7 1x

x x xx x x→∞

+ + −+ + −

Solución: Aplicando primeramente la regla general para calcular límites (sustitución):

Límites

34

3 2

3 2

4 5 3 9lim2 11 7 1x

x x xx x x→∞

+ + − ∞=∞+ + −

Aplicando la regla 3, debe dividirse numerador y denominador entre la mayor potencia queaparece, que es x3

:

3 2

3 2 3 3 3 3

3 2 3 2

3 3 3 3

4 5 3 94 5 3 92 11 7 1 2 11 7 1x x

x x xx x x x x x xlim limx x x x x x

x x x x→∞ →∞

+ + −+ + −=

+ + −+ + −

2 3

2 3

5 3 94

11 7 12x

x x xlim

x x x→∞

+ + −=

+ + −

Al volver a calcular el límite (sustituir), se obtienen varias divisiones entre infinito (las quetienen denominador x ), lo cual da cero.

5 3 94

11 7 12

+ + −∞ ∞ ∞=

+ + −∞ ∞ ∞

4 0 0 02 0 0 0+ + −

=+ + −

4 22

= =


3 7lim5 9x

xx x→∞

++ −

Solución: Aplicando la regla general (sustituir) para calcular límites se obtiene:

Límites

35

2

3 7lim5 9x

xx x→∞

+ ∞=∞+ −

Por lo tanto, le corresponde la regla 3. Dividiendo numerador y denominador entre x2 , que

es la mayor potencia de x que aparece, se obtiene:

2 2

2 2

2 2 2

3 73 7lim lim

5 9 5 9x x

xx x x

x x x xx x x

→∞ →∞

++=

+ −+ −

2

2

3 7

lim1 95

x

x x

x x→∞

+=

+ −

Al volver a calcular el límite (sustituir), se obtienen varias divisiones entre infinito (las quetienen denominador x ), lo cual da cero.

3 7

1 95

+∞ ∞=+ −∞ ∞

0 05 0 0

+=

+ −

0 05

= =

Límites

36

EJERCICIO 6 (Áreas 1, 2 y 3)


1) 2)3 2

3 2

4 7 1lim4 8 4x

x x xx x x→∞

+ + −+ − −

2

2

4 8lim4 5 7x

x xx x→∞

− ++ −

3) 4)2

4 3

4 9lim7x

xx x→∞

++ −

4 3 22 8lim5 9x

x x xx→∞

+ + −−

5) 6)2

3 2

3 5 11lim3 5 11 13x

x xx x x→∞

− −+ − −

2

3 2

6 6 5lim3 3 9 13x

x xx x x→∞

− −+ − +

7) 8)5 12lim

10 13x

xx→∞

+−

2

2

7 4lim7 21 3x

x xx x→∞

+ ++ −

9) 10)2

2

2 3lim8 2 1x

x xx x→∞

− −+ −

3 2

2

5 1lim5 5 3x

x x xx x→∞

+ − ++ −

37

CAPÍTULO 2

INCREMENTOS

2.1 CONCEPTO (Áreas 1, 2 y 3)

Supóngase que se tiene una función cualquiera, por ejemplo , a la cual se le asig-2y x=

na arbitrariamente cualquier valor inicial como , de donde corresponde que . Se3x = 9y =quiere saber qué relación existe entre el cambio de la variable independiente x y la variable de-pendiente y , es decir, cuando el valor de x cambia, ¿cómo varía por su parte y ?

La primera pregunta que surge es: ¿Lo que cambia x es lo mismo que lo cambia y ?Transformando la pregunta a valores concretos: ¿Cuando x cambia en 1 la variable y tambiéncambia en 1? Para averiguarlo basta darle valores y se ve que cuando , se obtiene que4x =

.16y =

x 3 4

y 9 16

Es decir, que mientras x cambió en 1 (pasó de 3 a 4), por su parte la y varió en 7 (al pa-sar de 9 a 16), con lo que queda contestada la primera pregunta: Lo que cambia x no es lo quevaría y.

Incrementos

38

La siguiente pregunta que surge es: ¿Cada vez que la variable x cambia en 1, la variabley cambia 7? Nuevamente, dando valores numéricos concretos que se concentran en una tabla setiene lo siguiente:

x 3 4 5

y 9 16 25

De donde se ve que mientras la x cambió en 1 dos veces (al pasar de 3 a 4 primero y lue-go de 4 a 5), por su parte la y cambió 7 y 9 (al pasar de 9 a 16 primero y luego de 16 a 25). Que-da contestada la segunda pregunta. Entonces, si cada vez que x cambia en 1 la y no cambia tam-bién 1, como tampoco cada vez que cambia x en 1 la y no cambia 7, ¿qué relación existe entreel cambio de la variable independiente con la dependiente? La única opción que queda es encon-trar una especie de fórmula que muestre esa relación de cambios.

Al cambio que sufre la variable independiente x se le llama incremento de x, escrito, mientras que el respectivo cambio que sufre la variable dependiente y se le llama incre-xΔ

mento de y , escrito .yΔ

Continuando con la función ejemplo con la que se ha venido trabajando, , se dice2y x=

que la variable dependiente y vale , es decir, el valor dado inicialmente a x elevado al cua-2xdrado. Así, si , entonces le corresponde . Cuando la x se incrementa en 1, su nuevo3x = 9y =

valor es . Ese nuevo valor de x es el valor que tenía inicialmente más el incremento que4x =

sufrió, esto es, ahora . El nuevo valor para la y es , o sea , que es el valor3 1x = + 24 16y =

inicial que tenía más el incremento de y.

Lo anterior, en forma generalizada es:

Incrementos

39

Al inicio: 2y x= (1)

Al final: ( )2y y x x+ Δ = + Δ (2) Significa que el nuevo va-lor de la variable depen-diente y, después de haber-se modificado el valor ini-cial de x, es el valor quetenía al inicio más lo quese modificó la misma y apartir del nuevo valor de x.Véase el ejemplo numéricoque sigue.

Visto con números:

29 3= Al inicio. O sea que para , .3x = 9y =

( )29 7 3 1+ = + Al final. Es decir que para , la y vale 16,4x =que es el valor inicial de y más lo que se incremen-ta. Recordar que en la página anterior se vio quemientras la variable x pasa de 3 a 4 (se incrementaen 1), por su parte la variable dependiente y pasade 9 a 16 (se incrementa en 7).

despejando y de (2):

(3)( )2y x x yΔ = + Δ −

Sustituyendo el valor de y de (1) en (3):

(4)( )2 2y x x xΔ = + Δ −

Incrementos

40

Es la relación buscada. Hay que recordar que lo que se estaba buscando era la relaciónentre el cambio de x con el cambio de y .

Retomando el ejemplo numérico inicial, en donde hay que tener presente que 7yΔ =

cuando x pasa de valer 3 a 4 y que cuando x pasa de valer 4 a 5:9yΔ =

x 3 4 5

y 9 16 25

cuando x se incrementó en 1 al pasar de 3 a 4, por su parte la variable dependiente y se incre-mentó en 7, lo cual se puede obtener aplicando la relación (4):

( )2 2y x x xΔ = + Δ −

( )2 23 1 3yΔ = + −

2 24 3yΔ = −

7yΔ =

que es justamente el incremento de y cuando la x pasa de valer 3 a 4. De la misma forma:

( )2y x x xΔ = + Δ − Δ

( )2 24 1 4yΔ = + −

2 25 4yΔ = −

9yΔ =

el cual es exactamente el incremento de y cuando la x pasa de valer 4 a 5.

Incrementos

41

Haciendo una generalización del procedimiento para obtener la relación que existe entrelos incrementos y para cualquier función , se tiene que:xΔ yΔ ( )y f x=

( )y f x=

( )y y f x x+ Δ = + Δ

( )y f x x yΔ = + Δ −

( ) ( )y f x x f xΔ = + Δ −

Ejemplo 1: Hallar el incremento de la función .xΔ 23y x x= +

Solución: 23y x x= +

( ) ( )23y y x x x x+ Δ = + Δ + + Δ

(despejando )( ) ( )23y x x x x yΔ = + Δ + + Δ − yΔ

(sustituyendo y)( ) ( ) ( )2 23 3y x x x x x xΔ = + Δ + + Δ − +

( ) ( )2 23 3y x x x x x xΔ = + Δ + + Δ − −

( )2 2 23 2 3y x x x x x x x xΔ = + Δ + Δ + + Δ − −

2 2 23 6 3 3y x x x x x x x xΔ = + Δ + Δ + + Δ − −26 3y x x x xΔ = Δ + Δ + Δ

Ejemplo 2: Calcular el incremento de la función .xΔ 25 2 7y x x= − +

Solución: 25 2 7y x x= − +

( ) ( )25 2 7y y x x x x+ Δ = + Δ − + Δ +

Incrementos

42

( ) ( )25 2 7y x x x x yΔ = + Δ − + Δ + −

( ) ( ) ( )2 25 2 7 5 2 7y x x x x x xΔ = + Δ − + Δ + − − +

( )2 2 25 2 2 2 7 5 2 7y x x x x x x x x xΔ = + Δ + Δ − − Δ + − + −

2 2 25 10 5 2 2 7 5 2 7y x x x x x x x xΔ = + Δ + Δ − − Δ + − + −

2 210 5 2y x x x xΔ = Δ + Δ − Δ

Ejemplo 3: Calcular el incremento de la función .xΔ 3 22 4 3 1y x x x= + − −

Solución: 3 22 4 3 1y x x x= + − −

( ) ( ) ( )3 22 4 3 1y y x x x x x x+ Δ = + Δ + + Δ − + Δ −

( ) ( ) ( )3 22 4 3 1y x x x x x x yΔ = + Δ + + Δ − + Δ − −

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 22 4 3 1 2 4 3 1y x x x x x x x x xΔ = + Δ + + Δ − + Δ − − + − −

( ) ( )3 2 2 3 2 22 3 3 4 2 3 3 1y x x x x x x x x x x x xΔ = + Δ + Δ + Δ + + Δ + Δ − − Δ − −

3 22 4 3 1x x x− − + +3 2 2 3 2 22 6 6 2 4 8 4 3 3 1y x x x x x x x x x x x xΔ = + Δ + Δ + Δ + + Δ + Δ − − Δ −

3 22 4 3 1x x x− − + +

2 2 3 26 6 2 8 4 3y x x x x x x x x xΔ = Δ + Δ + Δ + Δ + Δ − Δ

Nota: Obsérvese cómo debe repetirse el signo de operación, tanto al final del renglón ago-tado como del nuevo renglón, cuando toda la expresión, por ser tan larga, no cabe enel mismo renglón.

Incrementos

43

Ejemplo 4: Calcular el incremento de la función .xΔ 1yx

=

Solución: 1yx

=

1y yx x

+ Δ =+ Δ

(despejando )1y y

x xΔ = −

+ ΔyΔ

(sustituyendo y)1 1y

x x xΔ = −

+ Δ

(sacando común denominador)( )( )

x x xy

x x x− + Δ

Δ =+ Δ

( )x x xyx x x− − Δ

Δ =+ Δ

( )xy

x x x− Δ

Δ =+ Δ

o bien

2

xyx x x− Δ

Δ =+ Δ

Incrementos

44


Obtener el incremento de las siguientes funciones:xΔ

1) 2)5 3y x= + 2 7 9y x x= − +

3) 4)6 9y x= − 23 7y x x= −

5) 6)2 11 4y x x= + − 28 9 7y x x= + +

7) 8)25 2 2y x x= − − 35y x=

9) 10)32 11y x x= + 3 27 3 7 2y x x x= + + −

11) 12)2 3y x x= − 3 25 7y x x= + −

13) 14)2

1yx

=1

2 1y

x=

−

15) 16)2

1yx x

=+

32 5

yx

=−

17) 18)2

42 5

yx

=− 2

53 2

yx x

=+

45

CAPÍTULO 3

LA DERIVADA

3.1 DEFINICIÓN (Áreas 1, 2 y 3)

En el primer capítulo se estudió el concepto de límite y en el segundo la idea de incre-mentos. Uniendo estos dos conceptos se llega a la parte medular del contenido de Cálculo dife-rencial, que es la derivada.

Para representar la derivada existen tres formas, la primera se llama notación de Leibnitz

y es , que se lee “la derivada de y con respecto a x” , aunque abreviadamente suele decirsedydx

únicamente “la derivada de y” ; la segunda es la notación de Lagrange que es ; y finalmente'y

la tercera es la notación debida a Cauchy que es . La que se empleará en este curso es laxD yprimera.

Se define la derivada como el límite, cuando tiende a cero, del cociente de los incre-xΔmentos entre , que en notación matemática se escribe comoyΔ xΔ

0limx

dy ydx xΔ →

Δ=

Δ

La derivada

46

Para explicar su significado, se empleará un ejemplo numérico. Sea . Obteniendo2y x=

el incremento conforme lo visto en el capítulo anterior se tiene queyΔ

2y x=

( )2y y x x+ Δ = + Δ

( )2y x x yΔ = + Δ −

( )2 2y x x xΔ = + Δ −

2 2 22y x x x x xΔ = + Δ + Δ −

(3.1)22y x x xΔ = Δ + Δ

Esta fórmula es la que se empleará en las siguiente tablas para obtener el valor del incre-mento de la variable y , en donde debe tomarse en cuenta que x representa el valor inicial.yΔ

A continuación se elaborarán varias tablas, como se hizo en el capítulo I al explicar elconcepto de límite, solamente que ahora contendrán tres filas para poder ver hacia dónde se acer-

ca el cociente cuando el incremento de x tiende a cero. Dando un valor inicial arbitrario ayx

ΔΔ

la variable x , por ejemplo , cuando el incremento de x es , el incremento 4x = 0.1xΔ = yΔse obtiene empleando la fórmula (3.1) haciendo

22(4)(0.1) (0.1) 0.81yΔ = + =

de la misma forma para cuando 0.01xΔ =

La derivada

47

22(4)(0.01) (0.01) 0.0801yΔ = + =

o para , cuyos valores se concentran en la siguiente tabla:0.001xΔ =

xΔ 0.1 0.01 0.001 0.000000000001

etc.yΔ 0.81 0.0801 0.008001 0.000000000008000000000001

yx

ΔΔ

8.1 8.01 8.001 8.000000000001

Se ve que conforme tiende a cero, por su parte el cociente se aproxima a 8.xΔ yx

ΔΔ

Entonces , para el valor inicial de .0

8x

ylimxΔ →

Δ=

Δ4x =

Repitiendo el proceso con un nuevo valor inicial, por ejemplo para :5x =

xΔ 0.1 0.01 0.001 0.000000000001

etc..yΔ 1.01 0.1001 0.010001 0.000000000010000000000001

yx

ΔΔ

10.1 10.01 10.001 10.000000000001


ΔΔ


10x

ylimxΔ →

Δ=

Δ5x =

La derivada

48

Repitiendo el proceso con otro valor inicial, por ejemplo para :7x =

xΔ 0.1 0.01 0.001 0.00000000001

etc.yΔ 1.41 0.1401 0.014001 0.0000000001400000000001

yx

ΔΔ

14.1 14.01 14.001 14.00000000001


ΔΔ


14x

ylimxΔ →

Δ=

Δ7x =

Se pueden sintetizar los resultados de las anteriores tablas de la manera siguiente:

Para x = 4:

08

x

ylimxΔ →

Δ=

Δ

Para x = 5:

010

x

ylimxΔ →

Δ=

Δ

Para x = 7:

014

x

ylimxΔ →

Δ=

Δ

En cada caso existe una regularidad: el cociente de los incrementos entre siem-yΔ xΔpre tiende al doble del valor inicial de x , es decir, el límite siempre es el doble del valor de x , locual puede escribirse en términos genéricos como

02

x

ylim xxΔ →

Δ=

Δ

y como este límite es la derivada de la función en cuestión (en este caso, ), entonces2y x=

La derivada

49

2dy xdx

=

En resumen: la derivada de la función es .2y x= 2x

3.2 DERIVADA POR INCREMENTOS (Áreas 1, 2 y 3)

Dado que por definición, , otra forma de encontrar la derivada de una0x

dy ylimdx xΔ →

Δ=

Δfunción es construyendo el cociente de los incrementos entre y calculando su límiteyΔ xΔcuando tiende a cero, en donde el incremento se obtiene aplicando la técnica estudiadaxΔ yΔen el capítulo anterior relativo a incrementos.

Para el caso particular de la función del ejemplo tomado en el apartado 3.1, se2y x=

calculó que el incremento de y es (ver página 46), de manera que aplicando22y x x xΔ = Δ + Δ

la definición de derivada se llega a que

2

0 0

2x x

y x x xlim limx xΔ → Δ →

Δ Δ + Δ=

Δ Δ

22 (0) (0) 0

0 0x +

= =

Como da una forma indefinida, se aplica la técnica vista en el primer capítulo referente alímites, es decir, se debe factorizar, simplificar y volver a calcular el límite:

La derivada

50

( )0 0

2x x

x x xylim limx xΔ → Δ →

Δ + ΔΔ=

Δ Δ

( )0

2xlim x xΔ →

= + Δ

02

x

ylim xxΔ →

Δ=

Δ

y como ese límite es la derivada, finalmente se tiene que

2dy xdx

=

Ejemplo 1: Calcular, por incrementos, la derivada de la función .23 2y x x= + −

Solución: Primero debe obtenerse el incremento :yΔ

23 2y x x= + −

( ) ( )23 2y y x x x x+ Δ = + Δ + + Δ −

( ) ( )23 2y x x x x yΔ = + Δ + + Δ − −

( )2 2 23 2 2 3 2y x x x x x x x xΔ = + Δ + Δ + + Δ − − − +

2 2 23 6 3 2 3 2y x x x x x x x xΔ = + Δ + Δ + + Δ − − − +26 3y x x x xΔ = Δ + Δ + Δ

entonces

La derivada

51

2

0 0

6 3x x

y x x x xlim limx xΔ → Δ →

Δ Δ + Δ + Δ=

Δ Δ

( ) ( ) ( )

( )

26 0 3 0 0 00 0

x + += =

Como se obtiene una forma indeterminada, hay que factorizar, simplificar y volver a calcularel límite en la fracción simplificada:

( ) ( )0 0

6 3 16 3 1

x x

x x xlim lim x x

xΔ → Δ →

Δ + Δ += + Δ +

Δ

( )6 3 0 1x= + +

6 1x= +

Por lo tanto

6 1dy xdx

= +

Ejemplo 2: Calcular, por incrementos, la derivada de 1yx

=

Solución: Obteniendo primero el incremento , conforme a las reglas vistas en el capítulo 2:yΔ

1y y

x x+ Δ =

+ Δ

1y yx x

Δ = −+ Δ

La derivada

52

1 1yx x x

Δ = −+ Δ

( )( )

x x xy

x x x− + Δ

Δ =+ Δ

2

xyx x x−Δ

Δ =+ Δ

Entonces

2

0 0x x

xy x x xlim limx xΔ → Δ →

−ΔΔ + Δ=Δ Δ

( )20x

xlimx x x xΔ →

−Δ=

Δ + Δ

20

1x

limx x xΔ →

−=

+ Δ

( )2

10x x

−=

+

2

1x−

=

Por lo tanto

2

1dydx x

−=

La derivada

53

Ejemplo 3: Obtener por incrementos la derivada de 2

3 1xy

x=

−

Solución: Obteniendo primero el incremento , conforme a las reglas vistas en el capítulo 2:yΔ

( )( )2 2

3 1 3 1x x xy

x x x+ Δ

Δ = −+ Δ − −

2 2 23 3 1 3 1

x x xx x x

+ Δ= −

+ Δ − −

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 3 1 2 3 3 13 3 1 3 1

x x x x x xx x x

+ Δ − − + Δ −=

+ Δ − −

( ) ( )2

3 3 1 3 1x

x x x− Δ

=+ Δ − −

Entonces

( ) ( )0 0

23 3 1 3 1

x x

x yx x xylim lim

xx xΔ → Δ →

− Δ Δ+ Δ − −Δ

=ΔΔ Δ

( ) ( )0 0

23 3 1 3 1x x

y xlim limx x x x xΔ → Δ →

Δ − Δ=

Δ Δ + Δ − −

( ) ( )2

3 3 0 1 3 1x x−

=+ − −⎡ ⎤⎣ ⎦

( )2

23 1

dydx x

−=

−

La derivada

54


Obtener la derivada de las siguiente funciones por incrementos:

1) 2)24y x= 25y x x= +

3) 4)2 7 8y x x= − − 6 9y x= −

5) 6)4 3y x= − 24 6 11y x x= + −

7) 8)38y x= 3 2y x x= −

9) 10)3 22 7y x x x= + − 3 8 9y x x= − +

11) 12)1yx

=1

xyx

=−

13) 14)2

1yx

=2

3 2xy

x=

−

15) 16)2

48

xyx

=−

2 73 6

xyx−

=+

17) 18)y x= 2y x x= +

19) 20)2 11y x= − 25 6 7y x x= + −

55

CAPÍTULO 4

LA DERIVADA POR FÓRMULAS

4.1 FÓRMULAS (Áreas 1, 2 y 3)

Obtener la derivada de cualquier función por alguno de los dos métodos vistos anterior-mente, el de tabulaciones y el de incrementos, resulta una tarea muy engorrosa, por lo que es pre-ferible tener fórmulas para su cálculo.

Para comprender el significado simbólico de las fórmulas, el estudiante debe recordar queel símbolo de un operador es el grafo o representación escrita con el que se hace alusión a laoperación. Así por ejemplo, a continuación se muestran diferentes operadores conocidos:

+ operador suma× operador multiplicación÷ operador división

operador raíz cuadrada

De la misma manera, el operador derivada es . Así como en el operador suma, comoddx

en el de multiplicación y división, para que tenga sentido debe escribirse una cantidad antes yotra después, o bien, en el operador raíz cuadrada debe escribirse una cantidad adentro para indi-car a qué cantidad se le está sacando raíz, en el operador derivada lo que se escribe a continua-

La derivada por fórmulas

56

ción de dicho operador es a lo que se le aplica la derivada, aunque a veces se escribe en el mismonumerador cuando es una expresión muy corta. Analícense los siguientes ejemplos del uso deloperador derivada:

El operador derivada se está aplicando a x. Por serd xdx

una expresión muy corta se prefiere escribir la x en

el numerador de la siguiente manera: .dxdx

El operador derivada se está aplicando a la raíz cua-2 1d xdx

−

drada . 2 1x −

(El operador derivada está aplicado al polinomio).( )4 3 23 5 8 9 11d x x x xdx

+ − + −

(El operador derivada está aplicado a la fracción).2

3 46 1

d xdx x

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

(El operador derivada está aplicado a la función( )23 2d sen xdx

−

trigonométrica seno).

(El operador derivada está aplicado a todo el poli-( )453 1d xdx

−

nomio elevado a la cuarta potencia).

El estudio de la derivada a través de fórmulas se hará por bloques:


57

a) Fórmulas básicas.b) Fórmulas generalizadas:

b.1) Para funciones algebraicas:b.1.1) de la forma un

(potencia),b.1.2) de la forma uv (producto),b.1.3) de la forma u/v (cociente).

b.2) Para funciones trascendentes:b.2.1) funciones trigonométricas,b.2.2) funciones trigonométricas inversas,b.2.3) funciones logarítmicas y exponenciales.

4.2 FÓRMULAS BÁSICAS (Áreas 1, 2 y 3)

(1) (la derivada de una constante es cero)0d cdx

=

(2) (la derivada de x es 1)1d xdx

=

(3) 1n nd x nxdx

−=

(4) (La derivada de una suma es la suma( )d d du v ... u v ...dx dx dx

+ + = + +

de las derivadas).

(5) (La derivada de una constante por una función es lad d ucu cdx dx

=

constante por el resultado de derivar la función. Sedice que la constante se saca de la derivación).


58

Ejemplo 1: Hallar la derivada de .6y x=

Solución: Por la propiedad de las igualdades (lo que se haga de un lado debe hacerse del otro para quela igualdad se conserve), aplicando el operador derivada a ambos miembros:

6d dy xdx dx

=

En el lado derecho, empleando la fórmula (3), donde :6n =

6 1

6dy xdx

−

=

n x n - 1

56dy xdx

=

Ejemplo 2: Hallar la derivada de .35y x=


35d dy xdx dx

=

Empleando primero la fórmula (5) en el lado derecho de la igualdad anterior:


59

35dy d xdx dx

=

cdudx

Ahora utilizando la fórmula (3), donde :3n =

( )3 15 3dy xdx

−=

215dy xdx

=

Obsérvese que ya en forma práctica, el 15 se obtiene de multiplicar el coeficiente 5 por elexponente de la x.

Ejemplo 3: Calcular la derivada de . 4y x=


4d dy xdx dx

=

Empleando primero en el lado derecho la fórmula (5):

4dy d xdx dx

=


60

Ahora utilizando la fórmula (2):

( )4 1dydx

=

4dydx

=

Ejemplo 4: Derivar .2 9y x x= + +


( )2 9d dy x xdx dx

= + +

Empleando primero en el lado derecho la fórmula (4):

2 9dy d d dx xdx dx dx dx

= + +

En el lado derecho de la igualdad deben aplicarse las fórmulas (3), (2) y (1) respectivamente:

2 1 0dy xdx

= + +

2 1dy xdx

= +


61

Ejemplo 5: Hallar la derivada de .3 26 7 9 12y x x x= − − +

Solución: Como la derivada de una suma es la suma de las derivadas (fórmula 4),

3 26 7 9 12dy d d d dx x xdx dx dx dx dx

= − − +

218 14 9dy x xdx

= − −

Ejemplo 6: Hallar la derivada de .4 3 211 2 9 14 21y x x x x= − + + −

Solución:

4 3 211 2 9 14 21dy d d d d dx x x xdx dx dx dx dx dx

= − + + −

3 244 6 18 14dy x x xdx

= − + +

Ejemplo 7: Hallar la derivada de 23 7

5 4x xy = +

Solución: Tómese en cuenta que la función a derivar es lo mismo que

23 75 4

y x x= +


62

y por lo tanto los coeficientes fraccionarios de las equis y son constantes. Así que al35

74

derivar se obtiene:

23 75 4

dy d dx xdx dx dx

= +

( ) ( )3 72 15 4

dy xdx

= +

6 75 4

dy xdx

= +

Ejemplo 8: Hallar la derivada de 1yx

=

Solución: En este caso, debe primero transformarse la expresión original, pasando la x al numerador,para lo cual debe recordar el alumno que cambia de signo el exponente. Lo que se obtiene deesta transformación sigue siendo todavía igual a y , no a la derivada:

1y x−=

Escrito así ya tiene la forma de la fórmula (3):

( 1 1)( 1)dy xdx

− −= −

n n - 1


63

21dy xdx

−= −

Como no deben escribirse exponentes negativos como resultado final, vuelve a regresarse lax al denominador para que le cambie el exponente a positivo:

2

1dydx x

−=

Nótese que se habla de exponentes negativos, no de cantidades negativas que es diferente,por lo que el menos uno del numerador se dejó intacto.

Ejemplo 9: Obtener la derivada de 2

3yx

=

Solución: En este caso, debe primero transformarse la expresión original, pasando la x al numerador,parta lo cual debe recordar el alumno que cambia de signo el exponente. Lo que se obtiene deesta transformación sigue siendo todavía igual a y , no a la derivada:

23y x−=

( ) ( 2 1)3 2dy xdx

− −= −

n n - 1

36dy xdx

−= −

Como no deben escribirse exponentes negativos como resultado final, vuelve a regresarse la


64

x al denominador para que le cambie el signo del exponente a positivo:

3

6dydx x

−=

Ejemplo 10: Hallar la derivada de y x=

Solución: En este caso, debe primero transformarse la expresión original, escribiendo la x con expo-nente fraccionario. Debe recordar el alumno que el numerador es la potencia original de x yel denominador el índice del radical. Lo que se obtiene de esta transformación sigue siendotodavía igual a y , no a la derivada:

1/ 2y x x= =

De este manera ya tiene la forma de , en donde n = 1/2: nx

1 121

2dy xdx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

n n - 1

121

2dy xdx

−=

Como no deben escribirse exponentes negativos como resultado final, debe pasarse la x aldenominador para que le cambie el exponente a positivo:


65

12

1

2

dydx

x=

También se puede escribir como

12

dydx x

=


3yx

=

Solución: Como en los ejemplos anteriores, debe primero transformarse la expresión original, escri-biendo la x con exponente fraccionario y luego pasándola al numerador. Debe recordar elalumno que cuando se escribe un exponente fraccionario, el numerador es la potencia origi-nal de x (en este ejemplo es 3) y el denominador el índice del radical (en este ejemplo es 4)y que al pasar todo el exponente fraccionario al numerador cambia su signo. Lo que se obtie-ne de esta transformación sigue siendo todavía igual a y , no a la derivada:

3/ 434 34

3 3 3y xx x

−= = =

3 1433

4dy xdx

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

n n - 1

7 / 494

dy xdx

−= −


66

7 / 4

94

dydx x

−=

Ejemplo 12: Derivar 5 2

3

7y

x=

Solución: En este caso, es necesario primero reconocer que la constante es la fracción , es decir, la37

función original se puede escribir también como . Luego, escribiendo con5 2

3 17

yx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

exponente fraccionario y finalmente pasándolo al numerador se tiene que

2 / 55 2

3 1 3 17 7

yxx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )2 / 537

y x−=

2 153 2

7 5dy xdx

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

n n - 1

7 / 5635

dy xdx

−= −


67

7 / 5

635

dydx x

= −


68


Calcular la derivada de las siguientes funciones:

1) 2)9y x= 11y x=

3) 4)23y = 5y x= −

5) 6)4y x π= + 24 6y x x= − −

7) 8)3 22 7 8 7y x x x= + − − 5 25 3 6 6y x x x= + − −

9) 10)4 3 27 5y x x x= − +3 23 2 9

4 7x xy x= − +

11) 12)6 52 4 1

3 9 2x xy = + −

29 3 72 5x xy = − −

13) 14)4

1yx

= 8

4yx

=

15) 16)3

4 2yx x

= − 5 2

6 2 793 5

yxx x

= + −

17) 18)5 4

2 3 659 7

yxx x

= − + 5 2

8 1 764

yxx x

= − +

19) 20)4 5y x= 4 9y x=

21) 22)7y x= 11 2y x=

23) 24)8 7

1yx

=7 10

3yx

=

25) 26)9 7

3

8y

x=

3 2

2

9y

x=


69

4.3 FÓRMULAS GENÉRICAS (Áreas 1, 2 y 3)

El siguiente paso es trabajar con fórmulas generales, no particulares como lo fue en elapartado anterior. Fórmulas particulares se refiere a que en la fórmula anterior de xn

solamentela variable x se elevaba a una potencia n; pero puede darse el caso que sea un polinomio el ele-

vado a la potencia n, como por ejemplo, . La siguiente fórmula, llamada de la( )63 5 11x x− +

potencia, está dada en forma genérica al utilizar la notación de u para representar cualquier fun-ción elevada a la potencia n.

(6) 1n nd duu nudx dx

−=

Ejemplo 13: Hallar la derivada de ( )835 7y x= −

Solución: En este caso, si , la función se convierte en . Aplicando la fórmula (6):35 7u x= − 8y u=

( ) ( )8 13 38 5 7 5 7dy dx xdx dx

−= − −

n u n - 1 u

Para derivar se emplean las fórmulas básicas iniciales de la página 57.( )35 7d xdx

−

( ) ( )73 28 5 7 15dy x xdx

= −

o bien


70

( )72 3120 5 7dy x xdx

= −

Ejemplo 14: Calcular la derivada de ( )44 3 26 2 8 11y x x x x= + − + −

Solución: En este caso, si , la función se convierte en . Apli-4 3 26 2 8 11u x x x x= + − + − 4y u=

cando la fórmula (6):

( ) ( )4 3 2 4 1 4 3 24 6 2 8 11 6 2 8 11dy dx x x x x x x xdx dx

−= + − + − + − + −

n u n - 1 u

y efectuando la derivada indicada al final:

( ) ( )34 3 2 3 24 6 2 8 11 24 6 2 8dy x x x x x x xdx

= + − + − + − +

Ejemplo 15: Obtener la derivada de 1

4 13y

x=

+

Solución: En éste y en los ejemplos sucesivos, deberán emplearse exponentes fraccionarios y/o negati-vos exactamente como se hizo en los ejemplos 8 a 12 de las páginas 62 a 66, para convertirla función a la forma . Entoncesnu

y = (4x + 13)- 1


71

y la derivada es

( ) ( )1 11 4 13 4 13dy dx xdx dx

− −= − + +

n u n - 1 u

( ) ( )21 4 13 4dy xdx

−= − +

( )2

44 13

dydx x

−=

+

Ejemplo 16: Hallar la derivada de ( )529 12 2y x x= + −

Solución: Escribiendo la función con exponente fraccionario: . De esta mane-( )5 / 229 12 2y x x= + −

ra ya se puede emplear la fórmula de la derivada de :nu

( ) ( )5 12 225 9 12 2 9 12 2

2dy dx x x xdx dx

−= + − + −

n u n - 1 u

( ) ( )3

2 25 9 12 2 18 122

dy x x xdx

= + − +


72

Ejemplo 17: Derivar ( )73 24

14

9 8 5y

x x x=

− + −

Solución: Escribiendo la función con exponente fraccionario:

( )( ) 7 / 43 2

7 / 43 2

14 14 9 8 59 8 5

y x x xx x x

−= = − + −

− + −

con lo que ya se puede emplear la fórmula de :nu

( ) ( )7 13 2 3 24714 9 8 5 9 8 5

4dy dx x x x x xdx dx

− −⎛ ⎞= − − + − − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

n u n - 1 u

( ) ( )11

3 2 2498 9 8 5 3 18 84

dy x x x x xdx

−= − − + − − +

( ) ( )11

3 2 2449 9 8 5 3 18 82

dy x x x x xdx

−= − − + − − +

Ejemplo 18: Hallar la derivada de ( )63 2

13

5 5 5 4y

x x x=

+ + −

Solución: Escribiendo la función con exponente negativo:

( ) 63 213 5 5 5 4y x x x−

= + + −


73

con lo que ya se puede emplear la fórmula de un:

( ) ( ) ( )3 2 6 1 3 213 6 5 5 5 4 5 5 5 4dy dx x x x x xdx dx

− −= − + + − + + −

n u n - 1 u

( ) ( )73 2 278 5 5 5 4 15 10 5dy x x x x xdx

−= − + + − + +

( )( )

2

73 2

78 15 10 5

5 5 5 4

x xdydx x x x

− + +=

+ + −


74


Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1) 2)( )74 3 27 8 8 11 9y x x x x= − + − − ( )95 2 19 11y x x x= + − −

3) 4)( )82 34 6y x x x= − − − ( )65 69 9y x x x= − − +

5) 6)3 25 9 1y x x x= + + − ( )72 2y x x= + +

7) 8)( )923 4 4y x x= − − ( )635 7 5y x= −

9) 10)( )1110 6y x= − ( )457 8 3y x x= − −

11) 12)( )83 4712 5 7y x x x= − − ( )92 7107 6 6y x x x= − −

13) 14)2

138 11

yx x

=+ + ( )54

11

9y

x x=

−

15) 16)( )53 2

7

7y

x x x=

− + ( )82

9

5 3 5 6y

x x=

+ +

17) 18)

( )74 23

17

5y

x x x=

+ − ( )83 23

9

4 11 9 7y

x x x=

− − +

19) 20)

( )1823

8

9 9 18 11y

x x=

+ − ( )1059

12

5 6 12y

x x=

−

75

CAPÍTULO 5

FÓRMULAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE

5.1 FÓRMULA DE LA RAÍZ CUADRADA (Áreas 1, 2 y 3)

Antes de practicar las fórmulas (7) y (8) del producto y del cociente, conviene deduciruna fórmula para la raíz cuadrada, en virtud de que en muchas funciones aparece la necesidad dederivarlas.

Si , para derivarla debe hacerse primero y entonces emplear la fór-y u= 1 2/y u=mula de la potencia un. Haciéndolo se llega a que

1 2/y u=1 121

2dy duudx dx

−

=

n - 1

n ududx

Fórmulas del producto y del cociente

76

La derivada de una raíz cuadrada es la derivada del subradical (loque está adentro del radical) entre dos veces el radical original.

121

2dy duudx dx

−=

12

1

2

dy dudx dx

u=

2

dudy dxdx u

=

Por ejemplo, si , su derivada se puede obtener rápidamente emplean-2 3 7y x x= − +

do la fórmula anterior, colocando en el numerador la derivada de x2 - 3x + 7 (la derivada del sub-radical), o sea 2x - 3, y en el denominador dos veces el radical original, esto es

2

2 32 3 7

dy xdx x x

−=

− +

Debe tenerse cuidado de que esta fórmula solamente puede emplearse para raíces cuadra-das, no para raíces cúbicas o de otro orden.


77

5.2 FÓRMULA DEL PRODUCTO (Áreas 1, 2 y 3)

(7) fórmula del productod dv duuv u vdx dx dx

= +

en donde u representa a uno de los factores y v representa al otro factor.

Ejemplo 1: Hallar la derivada de ( )( )2 3 25 11 7 9y x x x x= + − − −

Solución: Empleando la fórmula (7) del producto, página 77, en donde u representa el primer factor yv representa el segundo factor, o sea

u = x2 + 5x ! 11v = x3 ! 7x2 ! 9

entonces empleando dicha fórmula:

dy dv duu vdx dx dx

= +

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 25 11 7 9 7 9 5 11dy d dx x x x x x x xdx dx dx

= + − − − + − − + −

u v dvdx

dudx

( )( ) ( )( )2 2 3 25 11 3 14 7 9 2 5dy x x x x x x xdx

= + − − + − − +


78

Ejemplo 2: Calcular la derivada de ( )2 5 9 5 4y x x x= − − +

Solución: En este caso los dos factores son

u = x 2 - 5x - 9

( )1/ 25 4 5 4v x x= + = +

Empleando la fórmula (7), página 77, del producto, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 22 25 9 5 4 5 4 5 9dy d dx x x x x xdx dx dx

= − − + + + − −

u vdvdx

dudx

Para derivar (5x + 4)1/2 debe emplearse la fórmula (6) de un de la potencia, página 69:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1/ 22 2

15 9 5 4 5 4 5 4 2 52

dy dx x x x x xdx dx

−⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + + + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 22 15 9 5 4 5 5 4 2 52

dy x x x x xdx

−⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )( )

( ) ( )2

1/ 21/ 2

5 5 95 4 2 5

2 5 4

x xdy x xdx x

− −= + + −

+

o bien


79

( )( )

25 5 92 5 5 4

2 5 4

x xdy x xdx x

− −= + − +

+

Ejemplo 3: Hallar la derivada de ( ) ( )8 527 3 9 3y x x= − −

Solución: En este caso los dos factores son

u = (7x2 - 3)8

v = (9 - 3x)5

Empleando la fórmula (7), página 77, del producto, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )8 85 52 27 3 9 3 9 3 7 3dy d dx x x xdx dx dx

= − − + − −

u vdvdx

dudx

Para calcular las derivadas de (9 - 3x)5 y de (7x2 - 3)8 debe emplearse en ambas la fórmula(6) de un

de la potencia de la página 69:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 74 52 2 27 3 5 9 3 9 3 9 3 8 7 3 7 3dy d dx x x x x xdx dx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − + − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 74 52 27 3 5 9 3 3 9 3 8 7 3 14dy x x x x xdx

⎡ ⎤⎡ ⎤= − − − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


80

( ) ( ) ( ) ( )8 74 52 215 7 3 9 3 112 9 3 7 3dy x x x x xdx

= − − − + − −

5.3 FÓRMULA DEL COCIENTE (Áreas 1, 2 y 3)

(8) fórmula del cociente2

du dvv ud u dx dxdx v v

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

en donde u representa al numerador y v representa al denominador.

Ejemplo 4: Hallar la derivada de 6 78 9

xyx+

=−

Solución: Cuando la función a derivar es una fracción, debe emplearse la fórmula (8) del cociente, endonde u simboliza el numerador y v simboliza el denominador. En este caso:

u = 6x + 7v = 8x - 9

Recordando la fórmula (8) del cociente y sustituyendo después:

2


−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

8 9 6 7 6 7 8 9

8 9

d dx x x xdy dx dxdx x

− + − + −=

−


81

( )( ) ( )( )( )2

8 9 6 6 7 8

8 9

x xdydx x

− − +=

−

En este caso, aunque no es indispensable, conviene realizar las multiplicaciones indicadas enel numerador, pues así habrá reducción de términos:

( )2

48 54 48 568 9

dy x xdx x

− − −=

−

( )2

1108 9

dydx x

−=

−

Ejemplo 5: Derivar ( )425 7 9

9 1

x xy

x

− −=

−

Solución: Cuando la función a derivar es una fracción, debe emplearse la fórmula (8) del cociente, endonde u simboliza el numerador y v simboliza el denominador. En este caso:

u = (5x2 - 7x - 9)4

v = 9x - 1

Recordando la fórmula (8) del cociente y sustituyendo después:

2


−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠


82

( ) ( ) ( ) ( )

( )

4 42 2

2

9 1 5 7 9 5 7 9 9 1

9 1

d dx x x x x xdy dx dxdx x

− − − − − − −=

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 42 2 2

2

9 1 4 5 7 9 5 7 9 5 7 9 9

9 1

dx x x x x x xdy dxdx x

⎡ ⎤− − − − − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦=−

( ) ( ) ( ) ( )( )

3 42 2

2

9 1 4 5 7 9 20 7 9 5 7 9

9 1

x x x x x xdydx x

⎡ ⎤− − − − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦=−

Y ordenando conforme a las reglas de escritura para cada término: Primero se escribe el sig-no; después el coeficiente numérico; a continuación los factores monomios (letras solas) enorden alfabético; luego los factores polinomios y en seguida los radicales:

( ) ( ) ( ) ( )( )

3 42 2

2

4 9 1 5 7 9 20 7 9 5 7 9

9 1

x x x x x xdydx x

− − − − − − −=

−

Ejemplo 6: Calcular la derivada del ejemplo anterior utilizando la fórmula del producto.

Solución: La función original que tiene la forma de un cociente puede escri-( )445 7 9

9 1

x xy

x

− −=

−

birse como para que adquiera la forma de un producto.( ) ( )4 145 7 9 9 1y x x x −= − − −


83

De esta forma, u = (5x4 - 7x - 9)4 y v = (9x - 1)- 1

Entonces, recordando la fórmula del producto:

d dv duuv u vdx dx dx

= +

Sustituyendo:

( ) ( ) ( ) ( )4 41 14 45 7 9 9 1 9 1 5 7 9dy d dx x x x x xdx dx dx

− −= − − − + − − −

u + vdvdx

dudx

( ) ( ) ( )4 245 7 9 1 9 1 9 1dy dx x x xdx dx

−⎡ ⎤= − − − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )31 4 49 1 4 5 7 9 5 7 9dx x x x xdx

− ⎡ ⎤+ − − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )4 245 7 9 1 9 1 9dy x x xdx

−⎡ ⎤= − − − − +⎣ ⎦

( ) ( ) ( )31 4 39 1 4 5 7 9 20 7x x x x− ⎡ ⎤+ − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

Finalmente ordenando de acuerdo con las reglas de escritura:

( )( )

( ) ( )4 34 4 3

2

9 5 7 9 4 5 7 9 20 7

9 19 1

x x x x xdydx xx

− − − − −= − +

−−


84

Para verificar que es el mismo resultado que el obtenido en el ejemplo anterior cuando sederivó con la fórmula del cociente, debe efectuarse la suma de fracciones de este últimoresultado sacando común denominador:

( ) ( ) ( ) ( )( )

4 34 4 3

2

9 5 7 9 9 1 4 5 7 9 20 7

9 1

x x x x x xdydx x

⎡ ⎤− − − + − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦=−

( ) ( )( ) ( )

( )

3 44 3 4

2

4 5 7 9 20 7 9 1 9 5 7 9

9 1

x x x x x xdydx x

− − − − − − −=

−


85


Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1) 2)( )( )2 26 11 9 5 13 21y x x x x= + − − + ( )( )3 4 27 3 5 11y x x x x= − + − +

3) 4)( )( )5 4 27 7 4 4 17y x x x x= + − + ( )( )6 3 36 2 8 9 7y x x x x x= − + +

5) 6)( )( )2 26 18 19 5y x x x x= − − + −7 5 33 2 2 9

8 7 11 19x x x xy

⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

7) 8)( )7 23 6 6 4 11y x x x= − + − ( )52 24 2 7y x x x= + −

9) 10)5 4 7y x x= + ( )72 3 233 2 3 6 9y x x x x= + − −

11) 12)( ) ( )116 5 5 8y x x= − − ( ) ( )5 42 271 1y x x= − +

13) 14)( )87 595 5 3y x x= − ( ) ( )75 24 7 5 8y x x x= + − +

15) 16)5

7 11xyx x+

=−

5 115 11

xyx−

=+

17) 18)2

3

95

xyx x−

=+ 57 6

xyx

=−

19) 20)43 7x xy

x+ −

= 2

11

xyx+

=+

21) 22)( )8

66 7

xyx

=−

( )4

2

2 35x

yx+

=


86

23) 24)( )53 2

3

7

11

x xy

x

−=

( )

2

7

62 9

x xyx

+=

+

25) 26)1

xyx

=− 2

2xyx x

=+

27) 28)7

3 2 1xyx

=+

( )( )

42

32

7 9

7 9

x xy

x x

− +=

+ −

87

CAPÍTULO 6

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

6.1 FUNCIONES TRASCENDENTES (Áreas 1, 2 y 3)

Las funciones trascendentes se caracterizan por tener lo que se llama argumento. Un ar-gumento es el número o letras que lo simbolizan que hacen que una función adquiera un valor, esdecir, que se convierta en un número. Sin él, la función es vacía, o sea, no tiene valor.

Por ejemplo, la función sen (seno) es vacía, no tiene ningún valor porque le falta el argu-mento, le falta ese número que la transforme en una cantidad concreta. Si a la función anterior sele agrega el número 26 para tener sen 26 entonces esto ya adquiere un valor, el cual es

. A este número 26 que hizo que sen adquiriera un valor se le llama argu-26 0 4383711sen .=

mento.

Otro ejemplo: la función log (logaritmo) es vacía, no tiene asociado ningún valor, pero sise le agrega 107 para tener log 107 entonces así ya adquiere el valor . En107 2 029383log .=

este caso el 107 es el argumento de la función logaritmo.

De la misma forma, arc tan (arco tangente o tangente inversa) es vacía, no tiene asocia-do ningún valor, pero si se le agrega el número 1.23 para tener arc tan 1.23 ya adquiere el valor

. En este caso el número 1.23 es el argumento de la función arc tan.1 23 50 8886arc tan . .=

Funciones trigonométricas

88

Las principales funciones trascendentes son:

a) trigonométricas;b) trigonométricas inversas yc) logarítmicas y exponenciales.

No son todas, pero las que se van a estudiar en este curso serán ésas. Dos característicasinteresantes en todas las fórmulas de derivación de las funciones trascendentes son que el argu-mento está representado siempre por la letra u y la segunda es que todas las fórmulas terminan

multiplicando por la derivada del argumento, o sea por .dudx

Es conveniente tener presentes las reglas de escritura matemática para identificar el argu-mento en una función trascendente, en las que el símbolo de la función se refiere a la escrituracon la que se invoca la función correspondiente. Por ejemplo, sen es el símbolo de la funciónseno; cos es el símbolo de la función coseno; log es el símbolo de la función logaritmo, etc.

Dichas reglas son:

1) El argumento comienza con el símbolo escrito inmediatamente después del símbolo de lafunción.

Ejemplos:

a) ( )3 1cos x +

El argumento comienza con el paréntesis por ser lo que está

escrito inmediatamente después del símbolo de la función cos.Por razones obvias, termina donde cierra el paréntesis.


89

b) 2 7tan x x−

El argumento comienza con la raíz cuadrada por ser lo que está

escrito inmediatamente después del símbolo de la función tan.

c) 22arc sec x y

El argumento comienza con el número 2 por ser lo que está

escrito inmediatamente después del símbolo de la funciónarc sec.

d) 4tan cos x

El argumento comienza con la función coseno por ser lo que

está escrito inmediatamente después del símbolo de la funcióntan , es decir, el argumento de la tangente es cos 4x.

2) Todos los factores monomios pertenecen al argumento. En el caso de que alguno no seaparte del argumento, éste debe escribirse antes de la función trascendente.

Ejemplo:

a) 3 53sen ab xy

Todos éstos son factores monomios, por lo tanto el argu-

mento de la función seno es 3ab3xy5. En caso de que, porejemplo, y5

no fuera parte del argumento, así está mal es-

crito y debe escribirse .5 33y sen ab x


90

3) Solamente el primer término pertenece al argumento. En caso de que otros términos seanparte del argumento, deben encerrarse entre paréntesis. O en caso de que no lo sean, debenescribirse antes de la función trascendente.

Ejemplo:

Una escritura así provoca la duda ¿6x - 3 son también parte42 6 3csc x x+ −

del argumento? Conforme a esta regla, no son y deberíaescribirse como 6x - 3 + csc 2x4. O en todo caso, si lo sonsu escritura correcta sería csc(2x4 + 6x - 3).

4) Solamente el 1er factor polinomio es parte del argumento. En caso de que un 2º factor poli-nomio no sea componente del argumento, debe escribirse antes de la función trascendente.

Ejemplo:

Esta escritura es incorrecta porque se presta a dudas: ¿El( )( )2 5 6 4 1cot x x x+ − −

factor (4x - 1) es parte del argumento? Para evitar estas am-bigüedades existe la regla anterior que dice que no y quea d e m á s o r d e n a e s c r i b i r l o c o m o

; pero en el caso de que fuera( ) ( )24 1 5 6x cos x x− + −

parte del argumento, su escritura correcta sería

( )( )2 5 6 4 1cos x x x⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

5) Un exponente escrito sobre el símbolo de la función indica que toda la función está elevadaa dicha potencia.

Ejemplo:

Este exponente indica que la función cotangente es la que( )3 5 6cot x −

está elevada al cubo, o sea que


91

( ) ( ) ( ) ( )3 5 6 5 6 5 6 5 6cot x cot x cot x cot x− = − − −

6) Un exponente escrito sobre el argumento indica que es el argumento el que está elevado adicha potencia.

Ejemplo

Este exponente indica que el argumento (5x - 6) es el que( )35 6cot x −

está elevado al cubo, o sea que

( ) ( )( )( )35 6 5 6 5 6 5 6cot x cot x x x− = ⎡ − − − ⎤⎣ ⎦Nótese como se cumplen las reglas de escritura anteriores.

7) Todo argumento negativo debe escribirse entre paréntesis.

Ejemplo:

La razón de esta regla es para evitar confusiones en los( )2sen x−

inexpertos que interpretan como resta cuando se escribe, a pesar de que carece de sentido una resta así,2sen x−

pues la función sen estaría vacía (sin argumento), ya quese estaría tomando como un término a sen y como otrotérmino a - 2x.

8) Cuando una función trascendente está dividida entre cualquier cantidad, debe escribirse lafracción que indica la división antes de la función trascendente. En caso de que sea sola-mente el argumento el que esté dividido, debe encerrarse el argumento entre paréntesis o encaso extremo debe escribirse la línea de fracción claramente a la mitad del símbolo de lafunción.

Ejemplos


92

Lo que pide esta regla es que se evite escribir el ejemplo ante-( )1 6 13

log x −

rior como , pues es frecuente una escritura defi-( )6 1

3log x −

ciente como que provoca la duda: ¿El 3 divide( )6 1

3log x −

a toda la función o solamente al argumento?.

Para evitar las confusiones señaladas en el ejemplo anterior,6 1

3xsec −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

con un paréntesis en el argumento se deja en claro qué divideel 3.

6.2 FÓRMULAS PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (Áreas 1, 2 y 3)

Las fórmulas de derivación de las seis funciones trigonométricas son:

(9)d dusen u cos udx dx

=

(10)d ducosu sen udx dx

= −

(11) 2d dutanu sec udx dx

=

(12) 2d ducot u csc udx dx

= −

(13)d dusecu tanu secudx dx

=


93

(14)d ducscu cot u cscudx dx

= −

Debe notarse que la derivada de una función trigonométrica es otra, u otras, función trigo-nométrica con el mismo argumento. Esto es muy importante: el argumento nunca cambia. Ade-

más todas las fórmulas terminan multiplicando por la derivada del argumento dudx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 1: Hallar la derivada de 5y sen x=

Solución: El argumento es 5x, o sea que u = 5x. Aplicando la fórmula (9) se obtiene

5 5dy dcos x xdx dx

=

cos u d udx

5 5dy cos xdx

=

Nótese que el argumento 5x no cambia de la función original al resultado de la derivada.

Ejemplo 2: Hallar la derivada de y= cos x2.

Solución: El argumento es x2, o sea que u = x2. Aplicando la fórmula (10) se obtiene


94

2 2dy dsen x xdx dx

= −

- sen u d udx

22dy x sen xdx

= −

Ejemplo 3: Hallar la derivada de y = tan (x2 - 3x + 5)

Solución: El argumento es (x2 - 3x + 5), o sea que u = x2 - 3x + 5. Aplicando la fórmula (11) se obtie-ne:

( ) ( )2 2 23 5 3 5dy dsec x x x xdx dx

= − + − +

sec 2 ud udx

( ) ( )2 22 3 3 5dy x sec x xdx

= − − +

Ejemplo 4: Hallar la derivada de 7y cot x=


95

Solución: El argumento es , o sea que . Aplicando la fórmula (12):7x 7u x=

2 7 7dy dcsc x xdx dx

= −

( )1 22 7 7 /dy dcsc x xdx dx

= −

-csc 2 ud udx

La derivada pendiente es de la forma un, por lo que

( )2 1 217 7 72

/dy dcsc x x xdx dx

−

⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n u n - 1d udx

2 772 7

dy csc xdx x

⎡ ⎤= − ⎢ ⎥

⎣ ⎦

Finalmente ordenando conforme a las reglas de escritura matemática

27 72 7

dy csc xdx x

= −


96

Ejemplo 5: Hallar la derivada de 4

1y secx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución: El argumento es , o sea que . Aplicando la fórmula (13):4

1x 4

1ux

=

4 4 4

1 1 1dy dtan secdx dxx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )44 4

1 1dy dtan sec xdx dxx x

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

54 4

1 1 4dy tan sec xdx x x

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠


5 4 4

4 1 1dy tan secdx x x x

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


3

6 1y csc

x

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠

Solución: El argumento es , o sea que . Aplicando la fórmula (14):54

3

6 1x − 4

36 1

ux

=−

5 5 54 4 4

3 3 3

6 1 6 1 6 1

dy dcot cscdx dxx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


97

( ) 1 45

5 54 4

3 3 3 6 16 1 6 1

/dy dcot csc xdx dxx x

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( ) ( )5 45 5

5 54 4

3 3 3 6 1 6 146 1 6 1

/dy dcot csc x xdx dxx x

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )( )

4

5 45 54 4 5

3 303 3

6 1 6 1 4 6 1/

xdy cot cscdx x x x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦


( )4

5 4 5 54 45

90 3 3

6 1 6 14 6 1/

dy x cot cscdx x xx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejemplo 7: Hallar la derivada de ( )524 4 7y sen x x= − +

Solución: El argumento es (4x2 - 4x + 7)5 , por lo que u = (4x2 - 4x + 7)5. Empleando la fórmula (9):

( ) ( )5 52 24 4 7 4 4 7dy dcos x x x xdx dx

= − + − +



98

( ) ( ) ( )42 2 24 4 7 5 4 4 7 4 4 7dy dcos x x x x x xdx dx

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − + − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n u n - 1 d udx

( ) ( ) ( )5 42 24 4 7 5 4 4 7 8 4dy cos x x x x xdx

⎡ ⎤= − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática:

( ) ( ) ( )4 52 25 4 4 7 8 4 4 4 7dy x x x cos x xdx

= − + − − +

Ejemplos para el Área 2

Ejemplo 8: Hallar la derivada de 4 5y cos x=

Solución: Como la función es lo mismo que , tiene la forma de un, en4 5y cos x= ( )45y cos x=

donde u = cos 5x y n = 4. Entonces aplicando la fórmula (6) correspondiente a un de lapágina 69 se obtiene:

( )3

4 5 5dy dcos x cos xdx dx

=

n - 1

n u d udx


99

La derivada pendiente es de la forma cos u , de manera que aplicando ahora la fórmula (10)del coseno:

( )34 5 5 5dy dcos x sen x xdx dx

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

- sen ud udx

( )34 5 5 5dy cos x sen xdx

= −⎡ ⎤⎣ ⎦

Finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática se llega a

320 5 5dy cos x sen xdx

= −

Ejemplo 9: Hallar la derivada de ( )3 27 5 7y x tan x= −

Solución: La función tiene la forma del producto uv, en donde y . Enton-37u x= ( )25 7v tan x= −

ces aplicando la fórmula (7) del producto uv de la página 77:

( ) ( )3 2 2 37 5 7 5 7 7dy d dx tan x tan x xdx dx dx

= − + −

u v dvdx

dudx


100

La primera derivada pendiente es de la forma tan u, en donde u = 5x2 - 7:

( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 27 5 7 5 7 5 7 21dy dx sec x x tan x xdx dx

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤= − − + − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

sec2ud udx

( )( ) ( )3 2 2 2 27 5 7 10 5 7 21dy x sec x x tan x xdx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − ⎣ ⎦⎣ ⎦

Nótese que el factor se escribió con un paréntesis de diferente forma al del argu-221x⎡ ⎤⎣ ⎦

mento de la tangente para evitar confusiones y dejar claro que no pertenece al argumento.Finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática:

( ) ( )4 2 2 2 270 5 7 21 5 7dy x sec x x tan xdx

= − + −

Ejemplo 10: Derivar 4

2

5sen xysec x

=

Solución: La función tiene la forma de un cociente, es decir, de , en donde u que representa al nu-uv

merador es y v que representa al denominador es . De manera4 5u sen x= 2v sec x=que empleando la fórmula del cociente:


101

v u dudx

dvdx

( )

2 4 4 2

22

5 5d dsec x sen x sen x sec xdy dx dxdx sec x

−=

v2

La primera derivada pendiente o indicada es , la cual se deriva con la fórmula4 5d sen xdx

de un (ver ejemplo 8), ya que sen45x = (sen 5x)4; en donde ahora por cambiar de fórmula

y n = 4, mientras que la segunda derivada pendiente es , la cual es5u sen x= 2d sec xdx

de la forma sec v, en donde v = x2 . Nótese que aunque la fórmula original está expresada entérminos de la variable u, es decir,

, d dusecu tanu secudx dx

=

en este caso se está empleando la variable v , esto es

d dvsec v tan v sec vdx dx

=

en virtud de que la variable u se utilizó en la primera derivada pendiente. Realizando lasderivadas indicadas:


102

n u n - 1 tan v sec v dudx

dvdx

( )2 3 4 2 2 2

2 2

4 5 5 5d dsec x sen x sen x sen x tan x sec x xdx dx

dydx sec x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

Como la derivada del seno es :d dusen u cos udx dx

=

[ ]( )2 3 4 2 2

2 2

4 5 5 5 5 2dsec x sen x cos x x sen x tan x sec x xdy dxdx sec x

⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠=

Finalmente, multiplicando y ordenando conforme a las reglas de escritura se llega a

2 3 4 2 2

2 2

20 5 5 2 5dy sec x sen x cos x x sen x tan x sec xdx sec x

−=

Ejemplo 11: Derivar .4y tan sen x=

Solución: En este caso debe distinguirse en primer lugar que el argumento de la función trigonométrica tangente es a su vez la función trigonométrica seno; y que el argumento de este seno es 4x.Significa que la función a derivar tiene la forma de tan u, en donde u = sen 4x.. Utilizandoentonces la fórmula de derivación de la tangente se obtiene que


103

2 4 4dy dsec sen x sen xdx dx

=

sec 2 ududx

2 4 4 4dy dsec sen x cos x xdx dx

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

cos ududx

24 4 4dy sec sen x cos xdx

=

aunque para evitar confusiones en el argumento de la secante, es preferible escribirlo con elcoseno por delante:

24 4 4dy cos x sec sen xdx

=

Ejemplo 12: Obtener la derivada de .( )5 23 3y tan x= −

Solución: Obsérvese que la función a derivar puede escribirse también como ,( )5

2 33y tan x⎡ ⎤= −⎣ ⎦

por lo tanto es de la forma un, en donde u = tan (x 2 - 3) y . Empleando dicha fór-53n =

mula se obtiene:


104

( ) ( )5 12 235 3 3

3dy dtan x tan xdx dx

−⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

n u n -1dudx

( ) ( ) ( )2

2 2 2 235 3 3 33

dy dtan x sec x xdx dx

⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

( ) ( )2

2 2 235 3 3 23

dy tan x sec x xdx

⎡ ⎤= − − ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )2

2 2 2310 3 33

dy x tan x sec xdx

= − −

( ) ( )2 2 2 2310 3 33

dy x sec x tan xdx

= − −


105


Hallar la derivada de las siguientes funciones trigonométricas:

1) 2)8y sen x= ( )2 6y cos x= −

3) 4)( )2y tan x x= − ( )42 6y cot x x= +

5) 6)53y sec x= 7

1y cscx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

7) 8)2y senx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠8

32

y cosx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

9) 10)( )6 4 5y tan x= −( )7

5

3 5y cot

x

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠

11) 12)2y sec xx

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3 2 6y csc x x x= − + −

Área 2:

13) 14)4 2y sen x= 3 6y cos x=

15) 16)5 7y tan x= 7y sec x=

17) 18)( )2 5y csc x= − ( )24y sen x x= −


106

19) 20)4

1

6y

cos x= ( )9 8 3y cot x= −

21) 22)3 5y cot x sec x= ( )7 4 9y x cot x= −

23) 24)( ) 15y x cscx

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )723 1y tan x x⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

25) 26)2

3 1xy cos

x⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠5

2sen xyx

=

27) 28)( )1xy

sec x=

− 4 6

5

7y

cot x=

29) 30)2y tan cos x= 5y csc sen x=

31) 32)( )75 2 3y tan x= −2

2

cot xyx

=

107

CAPÍTULO 7

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

7.1 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS (Áreas 1, 2 y 3)

Una función exponencial es aquella en la que la variable está en el exponente. Ejemplosde funciones exponenciales son

y = 2x

y = 45x

y = 82x + 1

y = 10x - 3

Antes de entrar de lleno en el estudio de las funciones logarítmicas conviene repasar elconcepto de logaritmo, ya que es frecuente que los estudiantes lleguen a este momento sin recor-dar qué son los logaritmos o, en el caso más extremo, sin haberlos estudiado nunca durante sucarrera estudiantil.

En Matemáticas toda operación o todo proceso tiene su inverso, su camino de retorno alpunto inicial. Por ejemplo, si a 4 se le suma 3 se llega al 7; el retorno del 7 al 4 es restar 3. Elretorno de la multiplicación es la división, etc. De manera que si se tienen las siguientes poten-cias:

1) 23 = 82) 32 = 9

Funciones exponenciales y logarítmicas

108

3) 54 = 6254) 102 = 1005) 103 = 1000 etc.

si se pregunta ¿Cuál es el inverso (el camino de retorno) de cada una de ellas? por inercia el estu-diante responde conforme a la siguiente tabla:

Potencia Inverso

23 = 8 3 8 2=

32 = 9 9 3=

54 = 625 4 625 5=

102 = 100 100 10=

103 = 1000 3 1000 10=

lo cual es cierto. Sin embargo, obsérvese que en cada potencia (primera columna) se tienen doscantidades, la base y el exponente, y en la tabla anterior el retorno se hizo hacia la base. ¿No po-dría haber sido el retorno hacia el exponente? Dicho de otra forma: ¿Cómo hacer para regresar alexponente, en vez de a la base? Allí es donde aparece el concepto de logaritmo.

Cuando se tiene la potenciación

ak = c

donde a, k y c son cualquier número (son tres cantidades las que intervienen: la base, el expo-nente y el resultado), a partir del resultado c existen dos posibilidades de regreso, uno hacia la


1 En el idioma Español, para denotar los números ordinales se emplea la terminación ésimo. Así, el ordinal de 20 esvigésimo; el de 70 es septuagésimo; el de 200 es bicentésimo; el de 700 es septingentésimo, el de 834 es octin-gentésimo trigésimo cuarto, etc. Cuando se habla en términos genéricos suele emplearse la letra k o la letra npara referirse a cualquier número. De tal manera que el ordinal de un número genérico k es k-ésimo; el ordinalde un número genérico n es n-ésimo . Es una grave incorrección decir veinteavo en vez de vigésimo, o setentavoen vez de septuagésimo.

109

base y otro hacia el exponente. Para regresar a la base se emplea la raíz k-ésima 1 de c; para re-

gresar al exponente se emplea el logaritmo base a de c. En ambos casos la “operación raíz” o la“operación logaritmo” se le aplica al resultado c de la potenciación; además, se debe hacer inter-venir a la tercera cantidad, en el primer caso para señalar el índice del radical, en el segundo casopara señalar la base.

Volviendo al ejemplo de la tabla anterior, existen dos caminos de retorno, uno hacia labase y otro hacia el exponente. Cuando es a la base, se emplea la raíz k-ésima, cuando es al ex-ponente se emplea el logaritmo base a:

Potencia Regreso a la base Regreso al exponente

23 = 8 3 8 2= log 2 8 = 3

32 = 9 9 3= log 3 9 = 2

54 = 625 4 625 5= log 5 625 = 4

102 = 100 100 10= log 10 100 = 2

103 = 1000 3 1000 10= log 10 1000 = 3

De manera que la definición de logaritmo es:


110

El logaritmo de un número n es el exponente al que debe elevarse labase para obtener dicho número n.

Como los logaritmos pueden ser base de cualquier número, habría un número infinito dediferentes logaritmos, por lo que en algún momento los matemáticos acordaron emplear sola-mente dos tipos de logaritmos:

a) los logaritmos base diez (por tratarse de un sistema decimal), llamados logaritmosvulgares o logaritmos decimales, representados simplemente por el símbolo logsin especificar la base, que se sobreentiende que es 10.

b) los logaritmos naturales, representados por el símbolo ln y cuya base es el númeroirracional 2.718281828,. De manera semejante a como con se representa el nú-πmero de veces que el diámetro cabe en su propia circunferencia (3.1416), la base de

los logaritmos naturales se simboliza con la letra e, o sea que. 2 718281828e .=

Para obtener el valor de e con la calculadora debe oprimirse la teclaex que en casi todos los modelos se localiza como segunda funcióndel logaritmo natural, y después teclear el número 1. Con eso real-mente se está ingresando e1 que es e.

Este número sale del límite

( )10

1 / x

xlim x→

+

del cual, por no ser tema de este curso, no se va a detallar más.

x


111

7.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Los logaritmos, no importa cuál sea su base, todos tienen las siguientes tres propiedades:

1ª: log A log B log AB+ =

2ª:log Alog A log Blog B

− =

3ª: AA log B log B=

De éstas, la tercera será muy útil para resolver algunas derivadas de logaritmos, como seexpondrá en algunos de los ejemplos venideros.

7.3 FÓRMULAS

(15)

dud dxln udx u

=

(16) u ud due edx dx

=

La derivada del logaritmo natural de u, ( u es el argumento) es una fracción: en el nume-rador, la derivada del argumento; en el denominador, el argumento u tal cual.

Ejemplo 1: Hallar la derivada de y = ln 9x.

Solución: En este caso, el argumento es 9x, es decir u = 9x. Aplicando la fórmula (15):


112

dudx

9

9

d xdy dxdx x

=

u

99

dydx x

=

1dydx x

=

Ejemplo 2: Derivar y = ln (7x + 12).

Solución: En este ejemplo, el argumento es 7x + 12, es decir que u = 7x + 12. Así que aplicando lafórmula (15):

( )7 12

7 12

d xdy dxdx x

+=

+

dudxu

77 12

dydx x

=+


113

Ejemplo 3: Obtener la derivada de y = ln (3x2 - 3x + 7).

Solución: El argumento es 3x2 - 3x + 7, esto es que u = 3x2 - 3x + 7. Utilizando la fórmula (15):

( )2

2

3 3 7

3 3 7

d x xdy dxdx x x

− +=

− +

2

6 33 3 7

dy xdx x x

−=

− +

Ejemplo 4: Calcular la derivada de 1y lnx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución: El argumento del logaritmo es , por lo que empleando la fórmula (15):1x

1

1

ddy dx xdx

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

dudxu

1

1

d xdy dxdx

x

−

=

211

dy xdx

x

−−=


114

21

1dy xdx

x

−=

Por la ley de la herradura:

2

dy xdx x

= −

1dydx x

= −

Otra forma:

Como es lo mismo que , se puede aplicar la tercera propiedad de1y lnx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1y ln x−=

los logaritmos, página 111, que leída de derecha a izquierda se tiene que y = (- 1) ln x, esdecir que la función a derivar es y = - ln x.

d xdy dxdx x

= −

1dydx x

= −

que es el mismo resultado obtenido antes.


115

Ejemplo 5: Hallar la derivada de 3y ln x=

Solución: El argumento es , de modo que empleando la fórmula (15):3x

3

3

d xdy dxdx x

=dudxu

( )1 23

3

/d xdy dxdx x

=

( ) ( )1 12

1 3 32

3

dx xdy dxdx x

−

=

( ) ( )1 21 3 32

3

/xdydx x

−

=

32 3

3dy xdx x

=

Aplicando la ley de la herradura:

32 3 3

dydx x x

=

( )3

2 3dydx x

=


116

12

dydx x

=

Otra forma:

Como es lo mismo que , aplicando la 3ª propiedad de los lo-3y ln x= ( )1 23 /y ln x=

garitmos, página 111, leída de derecha a izquierda se tiene que , por lo que:1 32

y ln x=

312 3

d xdy dxdx x

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 32 3

dydx x

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

12

dydx x

=

que es el mismo resultado obtenido antes.

Ejemplo 6: Calcular la derivada de 3 2

1

5y ln

x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Solución: El argumento es . Empleando la fórmula (15):3 2

1

5x


117

3 2

3 2

15

15

ddxdy x

dxx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

dudxu

( ) 1 32

3 2

5

15

/d xdy dxdx

x

−

=

( ) ( )1 12 23

3 2

1 5 53

15

dx xdy dxdx

x

− −−

=

( ) ( )4 32

3 2

1 5 103

15

/x xdy

dxx

−−

=

( )4 32

3 2

10

3 515

/x

xdydx

x

−

=

Por la ley de la herradura:

( )3 2

4 32

10 5

3 5/

dy x xdx x

−=


118

( )( )

1 32

4 32

10 5

3 5

/

/

x xdydx x

−=

Recordando que para simplificar cuando se tiene la misma base se restan los exponentes:

( )1 4

2 3 310 53

dy x xdx

−−=

( )3

2 310 53

dy x xdx

−−=

( )3 32

10

3 5/

dy xdx x

−=

( )2

103 5

dy xdx x

−=

2

1015

dy xdx x

−=

Simplificando nuevamente:

23

dydx x

−=

Ejemplo 7: Derivar y = e2x.

Solución: Empleando la fórmula (16), donde u = 2x:


119

2 2xdy de xdx dx

=

eu d udx

22 xdy edx

=

Ejemplo 8: Obtener la derivada de y = e5x - 3

Solución: Aplicando la fórmula (16), donde u = 5x - 3:

( )5 3 5 3xdy de xdx dx

−= −

5 35 xdy edx

−=

Ejemplo 9: Hallar la derivada de xy e=

Solución: Por la fórmula (16), en donde :u x=

xdy de xdx dx

=


120

1 2x /dy de xdx dx

=

1 121

2xdy e x

dx−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

12

xdy edx x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ordenando conforme a las reglas de escritura matemática:

12

xdy edx x

=

Ejemplo 10: Hallar la derivada de 2 6xy x e=

Solución: Como se trata de un producto, debe emplearse la fórmula (7) de la página 77:

( )d dv duuv u vdx dx dx

= +

en donde u = x2 y v = e6x.

2 6 6 2x xdy d dx e e xdx dx dx

= +

u v dvdx

dudx


121

Para la primera derivada pendiente se emplea la fórmula (16)

( )2 6 66 2x xdy dx e x e xdx dx

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ue dudx

( )2 6 66 2x xdy x e xedx

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

Ordenando conforme a las reglas de escritura matemática:

2 6 66 2x xdy x e xedx

= +

Ejemplo 11: Calcular la derivada de 2 2xy e ln x=

Solución: Como se trata de un producto, debe emplearse la fórmula de uv:

2 2 2 2x xdy d de ln x ln x edx dx dx

= +

vu dvdx

dudx

Para la primera derivada pendiente se utiliza la fórmula (15) del logaritmo natural y para lasegunda derivada pendiente la fórmula (16) de eu:


122

2

2 2 22 2x x

d xdy ddxe ln x e xdx dxx

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 22

2 2x xdy xe ln x edx x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática:

22 22 2

xxdy e e ln x

dx x= +

Ejemplo 12: Derivar 3xy sen e=

Solución: La función es de la forma sen u; donde el argumento es e3x. Por lo tanto, empleando la fór-mula (9) de la página 92 se tiene que

3xdy d sen edx dx

=

3 3x xdy dcos e edx dx

=

3 3 3x xdy dcos e e xdx dx

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

( )3 3 3x xdy cos e edx

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática:


123

3 33 x xdy e cos edx

=

Ejemplo 13: Hallar la derivada de 2y ln sec x=

Solución: La función tiene la forma de ln u, donde el argumento es sec x2, por lo tanto debe utilizarsela fórmula (15) de la página 111:

2dy d ln sec xdx dx

=

2

2

d sec xdy dxdx sec x

=

La derivada pendiente tiene la forma de sec u , donde el argumento de la secante es x2, porlo que ahora debe emplearse la fórmula (13) de la página 92:

2 2 2

2

dtan x sec x xdy dxdx sec x

=

[ ]2 2

2

2tan x sec x xdydx sec x

=

2 2

2

2dy x tan x sec xdx sec x

=

22dy x tan xdx

=


124

Área 2:

Ejemplo 14: Obtener la derivada de ( )34 6 5y ln x= −

Solución: Como , la función tiene la forma de un, de manera que( ) ( )43 34 6 5 6 5ln x ln x⎡ ⎤− = −⎣ ⎦

empleando la fórmula (6) de la página 69:

( ) ( )4 1

3 34 6 5 6 5dy dln x ln xdx dx

−

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

n - 1

n u dudx

( )( )

( )

3

333

6 54 6 5

6 5

d xdy dxln xdx x

⎡ ⎤−⎢ ⎥= − ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

La derivada pendiente es de la forma un, por lo que debe emplearse nuevamente la fórmula(6) de la página 69:

( )( ) ( )

( )

3 1

333

3 6 5 6 54 6 5

6 5

dx xdy dxln xdx x

−⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( )

233

3

3 6 5 64 6 5

6 5

xdy ln xdx x

⎡ ⎤−= − ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦


125

Finalmente simplificando, multiplicando 4×3×6 y ordenando conforme a las reglas de es-critura matemática, se llega a

( ) ( )( )

233

3

18 6 54 6 5

6 5

xdy ln xdx x

⎡ ⎤−= − ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

( )3372 6 56 5

dy ln xdx x

= −−

Ejemplo 15: Derivar ( )5y ln x sen x=

Solución: El argumento del logaritmo natural es x sen 5x, por lo tanto u = x sen 5x. Utilizando la fór-mula del logaritmo natural:

5

5

d x senx xdy dxdx x sen x

=dudxu

La derivada pendiente x sen 5x es un producto, o sea de la forma uv, de manera que apli-cando la fórmula del producto se obtiene

u v dvdx

dudx

5 5

5

d dx sen x sen x xdy dx dxdx x sen x

+=


126

Ahora, la primera derivada pendiente es de la forma sen u:

5 5 5 1

5

dx cos x x sen xdy dxdx x sen x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦=

5 5 55

dy x cos x sen xdx x sen x

+=

Ejemplo 16: Hallar la derivada de 1

1y

lnx

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución: La función a derivar se puede escribir como , que toma la forma de un,1

1y lnx

−⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

donde y n = - 1. Utilizando entonces dicha fórmula se llega a que:1u lnx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 11 11dy dln ln

dx x dx x

− −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

n - 1

n u dudx

La derivada pendiente es de la forma ln u, con :1ux

=


127

21

111

ddy dx xlndx x

x

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

dudx

u

12

1

11

d xdy dxlndx x x

−−

−

⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2

1

1 11dy xlndx x x

− −

−

⎡ ⎤ −⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )( ) 22

11 11

dy xdx xln

x

⎡ ⎤= − − ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

2

11

dydx x ln

x

=

otra forma:

Por las propiedades de los logaritmos, la función original se puede escribir como

( ) 111

1 11

y ln xln xln

x

−−−= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(El exponente del argumento pasa como coeficiente( ) 1y ln x −= −

del logaritmo).


128

La cual tiene la forma de un, con u = - ln x y n = - 1.

( ) ( )1 1

1dy dln x ln xdx dx

− −

= − − −

n - 1

n u dudx

( ) 21

d xdy dxln xdx x

−

⎡ ⎤⎢ ⎥

= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) 2 11dy ln xdx x

− ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2

1dydx x ln x

=−

Nuevamente, por las propiedades de los logaritmos, pasando el coeficiente del logaritmocomo exponente del argumento:

( )21

1dydx x ln x−

=

2

11

dydx x ln

x

=


129


Obtener la derivada de las siguientes funciones:

1) 2)6y ln x= 8y ln x=

3) 4)( )3 7y ln x= + ( )3 24 9 7y ln x x x= − + −

5) 6)8y ln x= 5 27y ln x=

7) 8)6

7y ln

x= ( )57y ln x= −

9) 10)2

64 1

y lnx x

=− −

7 xy e=

11) 12)4 8xy e −= 7 xy e −=

13) 14)2 7/ xy e= 2 / xy e=

15) 16)6

5 xy xe= 5 8xy x e=

17) 18)( ) ( )5 5y x ln x= − − 2

3y lnx

=

Área 2:

19) 20)5 2 9y ln x= − ( )53y x ln x x= − −

21) 22)5xy tan e= ( )7 6y sen ln x= −

23) 24)6xy csc e−= ( )6 13y cos ln x= −


130

25) 26)4 5y cot x ln x=( )

88 9

yln x

=−

27) 28)( )7y ln x= − 4 9xy e=

29) 30)( )968 5y ln x x= −5 4

3

2y

ln x=

31) 32)2y ln cot x= ( )65 2 7y ln x x⎡ ⎤= −⎣ ⎦

33) 34)2

3xy

e= 2

6sen xy

e=

131

CAPÍTULO 8

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

8.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (Área 2)

Como en este momento del curso el estudiante ya debe estar bastante familiarizado con eluso de las fórmulas de derivación, en este capítulo se darán las fórmulas de derivación de lasfunciones trigonométricas inversas acompañadas de unos cuantos ejemplos.

Algunas características de las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas in-versas, así como de su escritura, son:

a) Todas son una fracción cuyo numerador es la derivada del argumento.

b) Las cofunciones son iguales, diferenciadas solamente de un signo negativo, es decir,la fórmula del arco seno es igual a la del arco coseno, solamente que ésta última esnegativa; la fórmula de la arco tangente es igual a la de la arco cotangente, siendoésta última negativa. Y algo semejante sucede con la arco secante y la arco cose-cante.

c) El símbolo de una función trigonométrica inversa, por ejemplo del seno inverso, de-be ser arc sen, que se lee “arco seno” y significa “seno cuyo arco es”, es decir, “senocuyo ángulo es”, ya que el arco en una circunferencia es igual al ángulo central que

Funciones trigonométricas inversas

132

abarca. En matemáticas el símbolo universal para denotar un inverso es un exponentea la menos uno, por ejemplo, A- 1 significa el inverso de A.

Sin embargo, en virtud de que las reglas de escritura matemática recomiendan, paraevitar confusiones, no emplear el mismo símbolo que pueda tener dos significadosdiferentes, resulta incorrecto escribir sen - 1 u en vez de arc sen u, ya que la primerasimbología podría tener dos significados que confundirían al lector, una como el se-no inverso, la otra como

11

1 1sen u cscusen u sen u

− = = =

8.2 FÓRMULAS:

(17)21

dud dxarc sen udx u

=−

(18)21

dud dxarc cos udx u

= −−

(19) 2 1

dud dxarc tan udx u

=+

(20) 2 1

dud dxarc cot udx u

= −+


133

(21)2 1

dud dxarc sec udx u u

=−

(22)2 1

dud dxarc csc udx u u

= −−

Ejemplo 1: Derivar ( )3y arc sen x x= −

Solución: El argumento es u = x3 - x, de manera que por la fórmula (17):

( )

( )

3

231

d x xdy dxdx x x

−=

− −

( )

2

23

3 1

1

dy xdx x x

−=

− −

Ejemplo 2: Calcular la derivada de y arc tan x=

Solución: El argumento es , por lo que conforme a la fórmula (19) se obtiene:u x=

( )21

d xdy dxdx x

=+


134

12

1dy xdx x

=+

( )1

2 1dydx x x

=+

Ejemplo 3: Calcular la derivada de 1y arc secx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución: El argumento es , por lo que conforme a la fórmula (21) se obtiene:11u xx

−= =

( )

1

21 1 1

d xdy dxdx x x

−

− −=

−

2

1 2

1

1

dy xdx x x

−

− −

−=

−

2

2

1

1 1 1

dy xdx

x x

−=

−

Aplicando la ley de la herradura en las dos fracciones que aparecen afuera del radical y sa-cando común denominador adentro del radical:


135

22

21

dy xdx xx

x

−=

−

2

2

1

1

dydx xx

x

−=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1

1

dydx x

−=

−


136


Calcular la derivada de las siguientes funciones trigonométricas inversas:

1) 2)4

5y arc sen

x= ( )3 8y arc cos x= −

3) 4)( )75y arc tan x= −2

3 1y arc cot

x⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

5) 6)2xy arc sec e= ( )84 1y arc csc x= −

7) 8)5 3 11y arc sen x= − ( )734 1y arc cos x= −

9) 10)( )23 11 5y arc tan x x= − + ( )75y arc cot x x= −

11) 12)( )35y arc sec x x= − ( )6y arc csc x= − −

13) 14)1y arc senx

=72y arc cos

x⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

15) 16)

26

7xy arc tan

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 75

xy arc cot −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

17) 18)27 813

xy arc sec⎛ ⎞+

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

8 79

xy arc csc −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

19) 20)7 2y arc sen x= 5 7y arc cos x=

21) 22)( )6 2 19y arc tan x= − 6y arc cot x=

23) 24)6y arc sec x= 87y arc csc x=

137

CAPÍTULO 9

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

9.1 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR (Área 2)

Al derivar una función cualquiera se genera otra función , como( )y f x= ( )y' g x=

por ejemplo en el caso de que y = x2, al derivarla se obtiene la nueva función y’ = 2x que se lla-ma la primera derivada. De hecho, todo el trabajo realizado hasta este momento en el presentecurso ha estado encaminado a obtener la primera derivada.

Pero la primera derivada se puede volver a derivar, generándose una nueva función lla-mada ahora la segunda derivada; y si ésta última se vuelve a derivar, se obtiene la tercera deri-vada, y así sucesivamente. Es decir, la segunda derivada resulta de derivar la primera derivada,que en simbología matemática puede escribirse como

d dydx dx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Para abreviar la simbología anterior, la segunda derivada se escribe como

Derivadas de orden superior

138

2

2

d dy d ydx dx dx

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

La segunda derivada es la derivada de la derivada, no la derivada por la derivada. Son

cosas diferentes. Por ejemplo, si , entonces la primera derivada es . En la si-3y x= 23dy xdx

=

guiente tabla se muestra la diferencia entre lo que resulta de la derivada de la derivada y de laderivada por la derivada:

Derivada de la derivada: 23 6d x xdx

=

Derivada por derivada: ( )( )2 2 43 3 9x x x=

Todo lo antes dicho es aplicable para la tercera derivada, la cuarta derivada, etc.

Ejemplo 1: Obtener la segunda derivada de la función .25 7 13y x x= − +

Solución: La primera derivada es 10 7dy xdx

= −

La segunda derivada se obtiene derivando la primera derivada, es decir

( )2

2 10 7d dy d y d xdx dx dxdx

⎛ ⎞ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠


139

2

2 10d ydx

=

Ejemplo 2: Calcular la tercera derivada de la función .6y sen x=

Solución: (Primera derivada)6 6dy cos xdx

=

(Segunda derivada)2

2 36 6d y sen xdx

= −

(Tercera derivada)3

3 216 6d y cos xdx

= −

Ejemplo 3: Investigar cuál es la segunda derivada de la función .2 6xy e cos x=

Solución: Para la primera derivada debe emplearse la fórmula (7) del producto uv , vista en la página77:

( ) ( )2 26 6 6 2x xdy e sen x cos x edx

= − +

u + vdvdx

dudx

(Primera derivada)2 26 6 2 6x xdy e sen x e cos xdx

= − +


140

Para calcular la segunda derivada nuevamente debe utilizarse la misma fórmula del productouv para cada término:

[ ] [ ]2

2 2 2 22 6 6 6 6 12 2 6 6 6 4x x x xd y e cos x sen x e e sen x cos x e

dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

derivada del 1er producto derivada del 2º producto

2

2 2 2 22 36 6 12 6 12 6 4 6x x x xd y e cos x e sen x e sen x e cos x

dx= − − − +

22 2

2 32 6 24 6x xd y e cos x e sen xdx

= − −


Calcular la segunda derivada de las siguientes funciones:

1) 2)6 5 34 11 7 9y x x x x= + − − + 7 8y x= −

3) 4)3 24 3 2 1y x x x= + − − ( )75 8y x= −

5) 6)8y cos x= 2y tan x=

7) 8)2y ln x= 2

35

yx

=−

9) 10)3 13y x= + 5 2 1y x= −

141

CAPÍTULO 10

FUNCIONES IMPLÍCITAS

10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 2 y 3)

En el curso de Precálculo del 4º semestre se vieron diferentes clasificaciones de las fun-ciones, entre ellas las funciones explícitas y las funciones implícitas. Recordando: Una funciónestá escrita en forma explícita cuando su variable dependiente (por lo general, la y ) está despe-jada. Los siguientes ejemplos se refieren a funciones escritas en forma explícita:

23 11 9y x x= − −

( )2 3 22y x tan x= −

( )26 2xy e tan x cos x= −

6 9ln xy

x x=

−

Si por el contrario, su variable dependiente (por lo general, la y ) no está despejada, sedice que está escrita en forma implícita. Los siguientes ejemplos muestran casos de funcionesescritas en forma implícita:

Funciones implícitas

142

3 3 8x y xy− = −

( ) 44 3tan x y x y− = +2 25 7 9 22 6 0x xy x y y− + − + − =

4 2y arc sen x y= −

Una función escrita en forma implícita puede estar así por dos razones: una, porque la va-riable dependiente (por lo general, la y ) sea algebraicamente imposible despejarla, como cuandoaparece como parte de algún argumento al mismo tiempo que no parte de algún argumento. Por

ejemplo, en la variable dependiente y aparece como parte del argumento( )24 2y sen x y= −

del seno y además como no argumento en 4y. La otra razón es simplemente porque así convinoescribirla, como en (se podría despejar la y )

2 3 5 0x y+ + =

Para obtener la derivada de una función implícita se emplean las mismas fórmulasdydx

y las mismas reglas de derivación estudiadas hasta ahora, en donde debe tenerse solamente elcuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como una variable. Dicho de otra for-ma, la variable dependiente y ocupará el lugar de la u en las fórmulas.

Por ejemplo, para derivar debe utilizarse la fórmula (6) de la potencia vista en la pá-3ygina 69, en donde u = y y n = 3, de la siguiente forma:

3 13 3d dy y y

dx dx

−

=

n - 1

n u dudx


143

Por lo tanto3 23d dyy y

dx dx=

Para derivar, por ejemplo, debe emplearse la fórmula (7) del producto uv vista en6 3x yla página 77, en donde u = x6 y v = y3, de la siguiente forma:

6 3 6 3 3 6d d dx y x y y xdx dx dx

= +

u + v dvdx

dudx

Para derivar debe seguirse el procedimiento visto en la página anterior. Por lo tanto,3y

6 2 3 53 6dx y y y xdx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

6 3 6 2 5 33 6d dyx y x y x ydx dx

= +

En general, para obtener la derivada de cualquier función implícita deben derivarsedydx

ambos miembros de la igualdad aplicando las fórmulas ya estudiadas y luego despejar , lodydx


144

Para derivar funciones implícitas:

1) Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las mismasfórmulas antes vistas.

2) Despejar , para lo cual:dydx

a) Escribir en el lado izquierdo de la igualdad todos los términosque contengan a la derivada y del lado derecho todos los térmi-nos que no la contengan.

b) Factorizar en el lado izquierdo .dydx

c) Despejar , dividiendo en el lado derecho el factor que ledydx

multiplica.

cual puede detallarse en la siguiente regla:

Ejemplo 1: Obtener si dydx

7 35 9 4xy y x y− = +

Solución: Paso 1: Aplicando el operador derivada en ambos miembros de la igualdad

( ) ( )7 35 9 4d dxy y x ydx dx

− = +


145

7 35 9 4d d d dxy y x ydx dx dx dx

− = +

( )7 35 9 4d d d dxy y x ydx dx dx dx

− = +

son de la forma: uv un cdudx

3 17 75 5 3 9 4d d d dyx y y x y ydx dx dx dx

−+ − = +

n-1

u + v n udvdx

dudx

dudx

[ ]6 7 25 7 5 3 9 4dy dy dyx y y ydx dx dx

⎡ ⎤ + − = +⎢ ⎥⎣ ⎦

6 7 235 5 3 9 4dy dy dyxy y ydx dx dx

+ − = +

Paso 2a: Escribiendo en el lado izquierdo todos los términos que contengan a la derivada ydel lado derecho los que no lo contengan:

6 2 735 3 4 9 5dy dy dyxy y ydx dx dx

− − = −


146

Paso 2b: Factorizando dydx

( )6 2 635 3 4 9 5dy xy y ydx

− − = −

Paso 2c: Despejando dydx

7

6 2

9 535 3 4

dy ydx xy y

−=

− −

Ejemplo 2: Calcular la derivada si dydx

3y x ln y sen x= +

Solución: Debe tenerse cuidado con casos como éste. Aparentemente la variable y está despejado poraparecer del lado izquierdo como único término, pero realmente no está despejada por el he-cho de volver a aparecer en el lado derecho. Por lo tanto, es una función implícita.

Paso 1: Derivando en ambos lados de la igualdad

( )3d dy x ln y sen xdx dx

= +

3dy d dx ln y sen xdx dx dx

= +

son de la forma uv sen u


147

3 3dy d d dx ln y ln y x cos x xdx dx dx dx

= + +

u + v cos udvdx

dudx

dudx

[ ] [ ]1 3 3

d ydy dxx ln y cos xdx y

⎡ ⎤⎢ ⎥

= + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 3

dydy dxx ln y cos xdx y

⎡ ⎤⎢ ⎥

= + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 3dy x dy ln y cos xdx y dx

= + +

Escribiendo en el lado izquierdo los términos que contienen a la derivada y del derecho losque no la contienen

3 3dy x dy ln y cos xdx y dx

− = +

factorizando la derivada:

1 3 3dy x ln y cos xdx y

⎛ ⎞− = +⎜ ⎟

⎝ ⎠


148

y finalmente despejando la derivada:

3 3

1

dy ln y cos xxdxy

+=

−

Por las reglas de escritura, como no debe dejarse el resultado como una fracción compleja, esdecir, fracción sobre fracción, entonces para quitar el denominador parcial y basta multipli-car numerador y denominador por y:

( )3 3

1

y ln y cos xdydx xy

y

+=

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 3dy y ln y y cos xdx y x

+=

−

Ejemplo 3: Hallar si dydx

2 33 5 4 3 0x y x y+ − − + =

Solución: Derivando en ambos lados:

2 33 5 4 3 0d d d d d dx y x ydx dx dx dx dx dx

+ − − + =

26 15 4 0dy dyx ydx dx

+ − − =

Escribiendo en el lado izquierdo los términos que contienen a la derivada y del derecho losque no la contienen:


149

215 4 6dy dyy xdx dx

− = −

Factorizando la derivada:

( )215 1 4 6dy y xdx

− = −

y finalmente despejando la derivada:

2

4 615 1

dy xdx y

−=

−


150


Obtener la derivada de las siguientes funciones implícitas:dydx

1) 2)8 24 5 7xy x y= − 2 36 3 9 4y x x y+ = −

3) 4)2 2y y x x− = − 6 611 11 3 12x y xy x− = −

5) 6)3 52 7 6 8xy x y y x− + = − 3 4 6 24x y x y− =

7) 8)3 62 7y x y= + 4 4y y x= −

9) 10)x yy e e= + 723

xy xy

= −

11) 12)ln y ln x y x+ = − ln xy xy=

13) 14)sen xy xy= ( )2 3 2 3cos x y x y− = −

15) 16)( )2 23 3tan x y x y− = +2

2 0x yy x− =

17) 18)x y xy− = 0y ln x x ln y+ =

151

CAPÍTULO 11

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

11.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA (Áreas 1, 2 y 3)

Para interpretar geométricamente el concepto de la derivada, debe recordarse primera-mente su definición dada en la página 45, así como el significado de un límite:

0x

dy ylimdx xΔ →

Δ=

Δ

que equivale a la pregunta ¿hacia dónde se

acerca el valor del cociente bajo layx

ΔΔ

condición de que el incremento de x seesté aproximando a cero?

Luego debe entenderse la figura11.1. En ella, f(x) representa la gráfica decualquier función (de hecho, la que se estáderivando). Sobre esa curva hay dos pun-tos: un punto P por el que pasa la recta

α βy

T

S

x

f(x)

P

Q

M

Δx

Δy

figura 11.1

Máximos y mínimos

152

tangente T a la curva y otro punto Q por el que pasa la secante S.

La recta tangente T forma un ángulo con el eje x mientras que la secante S forma unαángulo β. Obsérvese que las coordenadas del punto P son P (x,y). Además, el ángulo QPM∠

es igual al ángulo β. Por lo tanto, en el triángulo QPM se tiene que

ytanx

β Δ=

Δcateto opuesto

cateto adyacente⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Es necesaria una aclaración: En el idioma Español, como en muchos otros, las palabrassuelen tener más de un significado. Por ejemplo, la palabra clase tiene el significado del sitio endonde se imparten cátedras; pero también se emplea para denotar clasificación en Biología, losseres vivos pertenecen a una clase, a un orden, a una familia, a un género y a una especie. Tam-bién se utiliza la palabra clase para denotar categoría o distinción, cuando se habla de una perso-na con clase.

Es el caso particular de la palabra tangente, que en esta explicación de la interpretaciónde la derivada se empleará con dos significados diferentes, por lo que el estudiante debe estaralerta para interpretar correctamente dicha palabra cada vez que aparezca. La palabra tangentetiene un significado trigonométrico que quiere decir el cateto opuesto entre el cateto adyacente;por otra parte, tiene un significado geométrico y se utiliza para denotar la recta o curva que tocaen un solo punto a otra curva. Se distinguen, entre otras cosas, porque la tangente trigonométricase abrevia tan y además tiene argumento, por ejemplo, tan 23, mientras que la tangente geo-métrica no se abrevia y no tiene argumento.

En la figura 11.1, la recta T es la tangente (geométrica) a la curva , mientras( )y f x=

que el cociente de los incrementos al que se refiere la definición de la derivada es la tan-yx

ΔΔ

gente trigonométrica del ángulo β.

Máximos y mínimos

153

La definición de la derivada exige que el incremento de x tienda a cero ( ) . En-0xΔ →tonces observando la figura 11.1 se ve que si el punto Q se mueve sobre la curva aproximándoseal punto P, lo que se consigue simultáneamente es que

a) La recta secante S se aproxime a la recta tangente T.b) El ángulo β se acerca al ángulo .αc) El incremento de x tiende a cero ( ).0xΔ →

Recordando de la Geometría Analítica que la pendiente m de una recta es la tangente(trigonométrica) del ángulo que forma dicha recta con la horizontal, en la figura 11.1, la pendien-te de la recta tangente (geométrica) T es mT = tan α, mientras que la pendiente de la secante es

Sym tanx

β Δ= =

Δ

y como cuando el ángulo β tiende al ángulo , necesariamente la pendiente de la se-0xΔ → αcante S se aproxima a la pendiente de la tangente T, o lo que es lo mismo, ,tan tanβ α→finalmente se concluye que

0 Tx

ylim m tanx

αΔ →

Δ= =

Δ

pero como este límite es la derivada, se llega a que

Tdy m tandx

α= =

la cual, interpretada con palabras y conforme a lo que representa cada literal y símbolo en la fi-gura 11.1, se puede decir que:

Máximos y mínimos

154

La derivada de una función y = f(x) es la pendiente de larecta tangente a la curva de dicha función, en el punto decoordenadas P ( x, y ).

Tómese en cuenta que las variables x e y que aparezcan en las derivadas de los siguien-tes ejemplos representan las coordenadas del punto de tangencia de la recta tangente a la curvade la función que se deriva y = f(x).

Ejemplo 1: Calcular el ángulo de inclinación que forma la tangente a la curva y = x2 en el punto P(2, 4).

Solución: Conviene graficar la función y su tan-2y x=

gente para visualizar el problema. Dicha gráfi-ca es la figura 11.2.

Aunque debe suponerse que el estudiante enestos momentos ya tiene conocimientos sobrelas gráficas más elementales, la manera mássimple de graficar es tabulando:

x 0 1 2 - 1 - 2

y 0 1 4 1 4

En la figura 11.2 se muestra la tangente T a laparábola en el punto P(2, 4), así como2y x=

el ángulo que forma con el eje x. Dichoαángulo es el que se pide calcular.

p(2, 4)

α

T

figura 11.2

Máximos y mínimos

155

Derivando y = x2 :

2dy xdx

=

Se dijo recientemente que las variables x e y que aparezcan en la derivada representan lascoordenadas del punto de tangencia, de manera que en este caso, x = 2, y = 4, aunque en estaderivada no aparece la variable dependiente y. Entonces

( )2 2dydx

=

4dydx

=

Y como la derivada es la tangente (trigonométrica) del ángulo que forma la recta tangente(geométrica) con la horizontal, se tiene que

4dy tandx

α= =

de donde

4arc tanα =

75 96.α =

Ejemplo 2: Una recta tangente a la curva forma un ángulo de 50 grados con la hori-2 4 6y x x= − +

zontal. Encontrar las coordenadas del punto de tangencia P ( x, y ).

Máximos y mínimos

156

Solución: Nuevamente conviene graficar para visua-lizar el enunciado del problema. La figura11.3 lo muestra. La recta tangente T estáformando un ángulo grados con laα = 50horizontal, se desea saber cuáles son lascoordenadas del punto P en donde pegadicha recta con la parábola.

Derivando :2 4 6y x x= − +

2 4dy xdx

= −

y como la derivada es la tangente (trigono-métrica) del ángulo que forma la recta tan-gente a la curva, entonces

2 4 50dy x tandx

= − =

Esto es

2x - 4 = tan 502x - 4 = 1.19175 2x = 1.19175 + 4 2x = 5.19175

5 19175

2.x =

2 59x .=

Como se dijo que las variables x e y que aparezcan en la derivada son las coordenadas del

α = 50

P(x, y)

T

figura 11.3

Máximos y mínimos

157

punto de tangencia, significa que este valor de x pertenece a la parábola; por lo tanto, susti-tuyendo en su ecuación se obtiene el valor de la ordenada (y) del punto de tangencia P.

Así que sustituyendo en el valor de se obtiene:2 4 6y x x= − + 2 59x .=

( ) ( )22 59 4 2 59 6y . .= − +

6 7081 10 36 6y . .= − +

2 34y .=

Las coordenadas del punto pedido son:

( )P 2 59 2 34. ; .

Ejemplo 3: Obtener las coordenadas del punto de tangencia a la circunferencia (x - 2)2 + (y - 3)2 = 25, talque su recta tangente a ella sea horizontal.

Solución: La circunferencia correspondiente a la ecua-

ción dada tiene centro en y un radio( )C 2 3,

. Por lo tanto, su gráfica es la mostrada5r =en la figura 11.4. Por simple intuición se veque por los puntos P y Q pasan las tangenteshorizontales, mientras que en cualquier otropunto de la circunferencia su tangente tendráalguna inclinación, pero no será horizontal, locual se comprobará con los cálculos.

Derivando la ecuación de la circunferencia, lacual está en forma implícita:

C(2, 3)

P

Q

figura 11.4

Máximos y mínimos

158

( ) ( )2 22 3 25d d dx ydx dx dx

− + − =

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 12 2 2 2 3 3 0d dx x y ydx dx

− −− − + − − =

( ) ( )2 2 2 3 0dyx ydx

− + − =

( ) ( )2 3 2 2dyy xdx

− = − −

23

dy xdx y

−= −

−

La pendiente debe ser igual a cero para que la recta sea horizontal y como la derivada es lapendiente de la recta tangente, se tiene que

2 03

dy xdx y

−= − =

−

lo que implica que x - 2 = 0, ya que una división es igual a cero solamente si el numerador esigual a cero. Por lo tanto, x = 2. Ya se dijo que los valores de x e y que aparezcan en la de-rivada son las coordenadas del punto de tangencia, de manera que la abscisa del punto detangencia de las recta tangente horizontal a la circunferencia es x = 2.

Para obtener la ordenada del punto de tangencia, basta sustituir el valor de x = 2 en la ecua-ción de la circunferencia, ya que dicho punto de tangencia pertenece tanto a la recta tangentecomo a la circunferencia:

( ) ( )2 22 2 3 25y− + − =

( )23 25y − =

Máximos y mínimos

159

3 25y − = ±

3 5y − = ±

5 3y = ± +

1 5 3y = + +

1 8y =

2 5 3y = − +

2 2y = −

Significa que para el mismo valor de x = 2, le corresponden dos valores para la ordenada,uno es y1 = 8 y el otro es y2 = - 2. Por lo tanto las coordenadas de los puntos de tangencia ala circunferencia dada son

P (2, 8) y Q (2, - 2)

tal como se había previsto desde que se visualizó la figura 11.4 y ahora se muestra en la figu-ra 11.5.

C(2, 3)

P

Q

tangente 1

tangente 2

figura 11.5

Máximos y Mínimos

160

11.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Lo anterior lleva a una aplicación de laderivada muy interesante llamada Máximos yMínimos. Se refiere a la forma de obtener lospuntos máximos y mínimos de una función, locual tiene aplicaciones muy importantes como severá más adelante.

Supóngase que la gráfica de cualquierfunción es la curva mostrada en la( )y f x=

figura 11.6. En ella, los puntos A y E se llamanmáximos; los puntos C y G se llaman mínimos;y los puntos B, D, F y H se llaman puntos deinflexión.

No se puede definir un máximo como elpunto más alto de la curva, pues obsérvese en lafigura 11.6 que el punto H está más alto que lospuntos máximos A y E. Por la misma razón, nose puede definir un mínimo como el punto másbajo de la curva, pues véase que el punto F estámás abajo que el punto mínimo C.

Como definir un punto máximo y un puntomínimo con todo rigor ha sido motivo de contro-versias entre los matemáticos, aquí se va a dar unadefinición simplemente “convincente”. En la figu-ra 11.7, el punto M es máximo con coordenadas(x, y), es decir, para una abscisa x le correspondela ordenada y. Entonces, se tiene un máximo endicho punto si para cualquier abscisa alrededor de

A

B

C

D

E

F

G

H

xx

y

y

figura 11.6

M

xx

y

y

yy1 y2

x1

xx2

figura 11.7

Máximos y Mínimos

161

M le corresponde una ordenada ym menor que la de M. Efectivamente, en la figura 11.7, para laabscisa x1 le corresponde una ordenada y1 que es menor que y; y para la abscisa x2 le corres-ponde una ordenada y2 también menor que y.

Por similitud, un punto N de coordenadas (x, y) es mínimo si para cualquier abscisa (x)alrededor de N le corresponde una ordenada yn mayor que la de N. O sea que para una abscisax1 le corresponda una ordenada y1 mayor que y; y para una abscisa x2 le corresponda una orde-nada y2 también mayor que y, con x1 < x < x2.

Un punto de inflexión es aquel en donde cambia el sentido de la curvatura.

Una característica importantísima de los puntos máximos y mínimos es que allí la tangen-te es horizontal, es decir, con pendiente cero. Entonces para localizar dichos puntos debe seguir-se un procedimiento semejante al mostrado en el ejemplo 3 de la página 157, en el que solamenteharía falta investigar cuál punto es máximo y cuál es mínimo.

En la figura 11.8 se tiene la tangente T1

con punto de tangencia en x1 < x, la cual tienependiente positiva. Y se tiene otra tangente T2

con punto de tangencia en x < x2, la cual tienependiente negativa.

x1 < x < x2

La pendiente de la tangente T1 es posi-tiva mientras que la pendiente de la tangente T2

es negativa. Como la pendiente de la recta tan-gente es la derivada, se puede afirmar que cuan-do se toma un valor de la abscisa (de la x ), res-pecto del punto M, primero menor y luego ma-yor, si la derivada pasa de positiva a negativa,ese punto M es un máximo.

M

y

y

x1

xx2

T = pendiente negativa

2

T =

pen

dien

te p

ositiv

a

1

figura 11.8

Máximos y Mínimos

162

Para calcular los máximos y/o mínimos de una función f(x):

1) Se deriva la función y = f( x ) y se iguala a cero la derivada.

2) Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior. Las raícesencontradas se llaman valores críticos y son los que por tenertangente con pendiente cero (tangentes horizontales), puedenser máximos o mínimos.

3) Para investigar cada valor crítico si es máximo o mínimo:

a) Se toma un valor un poco menor a ese valor crítico y sesustituye en la derivada. Luego se toma un valor unpoco mayor y se sustituye en la derivada.

b) Si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo,el valor crítico en análisis es un máximo; si cambia denegativo a positivo, es un mínimo. En el caso extremode que no cambie de signo, se trata de un punto de in-flexión.

Lo inverso, pero bajo el mismo análisis, se puede deducir para un mínimo: Cuando setoma un valor de la abscisa (de la x ), respecto del punto M, primero menor y luego mayor, si laderivada pasa de negativa a positiva, ese punto M es un mínimo.

En síntesis, se puede formular la siguiente regla para calcular los máximos y/o mínimosde una función f(x):

Máximos y Mínimos

163

Ejemplo 1: Hallar los valores máximos y/o mínimos de la función .2 4 7y x x= − +

Solución: Graficando la función anterior se obtiene la pa-rábola de la figura 11.9, en la cual se ve que tie-ne solamente un mínimo. Lo anterior deberáconfirmarse aplicando el procedimiento.

Paso 1: Derivando la función e igualando acero:

2 4 0dy xdx

= − =

Paso 2: Resolviendo 2x - 4 = 0, se llega a que x = 2. Este es el valor crítico. En estemomento se sabe que en x = 2 hay unmáximo o un mínimo, pero no se sabecuál de los dos.

Paso 3a: Dando primero un valor un poco más pequeño que x = 2, por ejemplo, con x = 1 ysustituyendo en la derivada:

( )2 1 4 2dydx

= − = −

luego con un valor un poco mayor que x = 2, por ejemplo con x = 3 y sustituyendoen la derivada:

( )2 3 4 2dydx

= − = +

Paso 3b: Como la derivada cambió de signo de negativo a positivo significa que existe unmínimo en el valor crítico que se analiza, es decir, hay un mínimo en x = 2.

- 2 - 1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

figura 11.9

Máximos y Mínimos

164

Ejemplo 2: Investigar los máximos y mínimos de la función 3 23 9 15y x x x= − − +

Solución: Paso 1: Derivando e igualando a cero se obtiene: 23 6 9 0dy x xdx

= − − =

Paso 2: Resolviendo la ecuación anterior:

23 6 9 0x x− − =

x1 = 3 x2 = - 1

Se sabe en este momento que uno de esos dos puntos es un máximo y el otro esmínimo, pero no se sabe cuál es cada uno. Para investigarlo son los pasos siguien-tes.

Paso 3: Analizando el valor crítico x1 = 3. Tomando primero un valor un poco menor, porejemplo x = 2 y sustituyéndolo en la derivada:

( ) ( )23 2 6 2 9 9dydx

= − − = −

Como cambió el sig-no de la derivada demenos a más, signifi-ca que hay un míni-mo en el valor crítico

.1 3x =

Tomando ahora un valor un poco ma-yor, por ejemplo, x = 4 y sustituyén-dolo en la derivada:

( ) ( )23 4 6 4 9 15dydx

= − − = +

Paso 4: Analizando el valor crítico x2 = - 1. Tomando primero un valor un poco menor, porejemplo x = - 2 y sustituyéndolo en la derivada:

Máximos y Mínimos

165

( ) ( )23 2 6 2 9 15dydx

= − − − − =

Como cambió el sig-no de la derivada demás a menos, signifi-ca que hay un máxi-mo en el valor crítico

.2 1x = −

Tomando ahora un valor un poco ma-yor, por ejemplo, x = 0 y sustituyén-dolo en la derivada:

( ) ( )23 0 6 0 9 9dydx

= − − = −


Obtener los valores máximos y/o mínimos de las funciones

1) 2)25 10 9y x x= + − 27 14 9y x x= + −

3) 4)28 8 1y x x= − + 26 24 9y x x= − −

5) 6)3 22 9 12 24y x x x= + + + 3 23 45 3y x x x= − + +

7) 8)3 22 15 84 18y x x x= + − − 3 24 27 24 30y x x x= − + +

9) 10)3 24 7 6 2y x x x= − − + 3 28 17 12 14y x x x= − + +

Máximos y Mínimos

166

11.3 APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Existen muchos problemas del mundo real cuyas diferentes posibles soluciones van pri-mero creciendo y luego decreciendo o a la inversa, lo que implica que tienen un valor máximo oun valor mínimo, los cuales no pueden encontrados por métodos algebraicos, sino solamente conla aplicación del Cálculo Diferencial.

La parte medular de la solución de estos problemas consiste en saber construir una fun-ción que describa el comportamiento del fenómeno enunciado. Una vez construida dicha fun-ción, simplemente se le aplica el procedimiento de encontrarle sus máximos y/o mínimos.

Ejemplo 1: Un problema clásico es el de la cajita. Se desea construir una caja sin tapa, de base cuadran-gular, a partir de una lámina cuadrada de 60 unidades de longitud de lado, recortando cuadra-dos de sus esquinas y doblando las pestañas sobrantes para que sean su altura. Calcular lasdimensiones de la caja de mayor volumen.

Solución: La figura 11.10 muestra la idea. Lalámina entera está a la izquierda conlos dobleces que se le han de hacery los cuadritos en las esquinas quedeben eliminarse. A la derecha apa-rece la cajita ya construida.

Sea x la longitud del cuadrito a eli-minarse, por lo tanto la longitud res-tante que será realmente lo largo yancho de la cajita es de 60 - 2x.

Antes de resolver el problema con-viene hacer una pequeña tabla paramostrar que con diferentes valoresdel cuadrito a eliminar de lado x ,que es lo mismo que la altura de la

X X

X

60 - 2x 60 - 2x

60 - 2

x

Eliminar

Dobleces

figura 11.10

Máximos y Mínimos

167

caja, se obtienen volúmenes diferentes. O sea, si la altura de la caja es, por ejemplo, x = 1, lasotras dimensiones son de 58 × 58 y su volumen es de 1 58 58 3364V = × × =

x 1 2 4 9 11 15 20

largo y ancho 58 56 52 42 38 30 20

Volumen 3 364 6 272 10 816 15 876 15 884 13 500 8 000

va aumentando va disminuyendo

Puede verse en la tabla que el volumen va aumentando hasta cierto valor y luego comienza adescender, lo que significa que hay algún volumen que es más grande que los demás, o seaque es máximo. No puede afirmarse a la ligera que el volumen máximo es V = 15 884 corres-pondiente a las dimensiones 11 × 38 × 38 simplemente porque ese es el que se ve en la tabla,pues bien podría ser que antes de x = 11 y después de x = 9 se haya logrado el máximo yque al pasar por x = 11 ya venga en descenso. O también podría ser posible que después dex = 11 siga creciendo el volumen y luego al descender (entre x = 11 y x = 15) se llegó a V= 13 500 cuando x = 15, según la tabla.

Tampoco tendría validez completar la tabla con los valores de ; ; y10x = 12x = 13x = para analizar la tabla y sacar una conclusión, pues de entrada nada garantiza que el14x =

máximo se obtenga para un valor entero de x, sino para un valor decimal. La única maneracertera de obtener el valor de x para el cual el volumen es máximo es aplicando el procedi-miento de máximos y/o mínimos del Cálculo Diferencial.

El volumen de la cajita es

V = x (60 - 2x)(60 - 2x) = x (3600 - 240x + 4x2) = 360 0x - 240x2 + 4x 3

Esta es la función que describe el comportamiento del enunciado, por lo tanto es la que debe

Máximos y Mínimos

168

derivarse y aplicarle todo el procedimiento de máximos y/o mínimos:

23600 480 12dV x xdx

= − +

igualando a cero y resolviendo:

212 480 3 600 0x x− + =

de donde los valores críticos que se obtienen son

1 30x =

2 10x =

¿Cuál de ambos valores es máximo y cuál es mínimo? Para investigarlo se puede recurrir alproceso general, es decir, dar un valor un poco menor, luego un valor un poco mayor, etc.,pero a veces, como en este ejemplo, se puede deducir por lógica. Recordando que x repre-senta la altura de la cajita, es decir, la longitud del cuadrito a eliminarse, si ésta mide 30, alquitar por cada esquina cuadritos de 30, ¿cuánta lámina queda para hacer la cajita? ¡Nada!Significa que en x = 30 hay un mínimo. Por lo tanto, en x = 10 hay un máximo.

De hecho, conviene siempre que se va a resolver un problemas de máximos y/o mínimos lo-calizar los valores frontera de la variable independiente. En este caso, los valores frontera dex son, por un extremo x = 0, ya que así la caja carece de altura y su volumen es cero; el otroes x = 30 porque así se elimina toda la lámina y no queda nada para construir la caja, por lotanto su volumen es cero. Como no puede haber dos mínimos seguidos sin que haya al menosun máximo en medio, el valor crítico obtenido de x = 10 debe ser máximo.

Las dimensiones de la cajita han de ser 10 × 40 × 40 y el volumen máximo que se puedeobtener es de

10 40 40V = × ×.16 000V =

Máximos y Mínimos

169

Ejemplo 2: Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular por tres de suslados, ya que el cuarto lado estará limitado por el cause de un río. ¿De qué medidas deberáhacerse para que su superficie sea la máxima abarcada?

Solución: A pesar de la irregularidad delbordo del río, se considerará co-mo si fuera una línea recta paraque el terreno tome una formarectangular perfecta.

Sea x la altura del rectángulo(ver figura 11.11); por lo tanto,la base será 875 - 2x y la super-ficie del terreno será

S = x ( 875 - 2x )S = 875x - 2x 2

Esta es la función a la que debeaplicarse el procedimiento de máximos y/o mínimos. Entonces derivándola:

875 4dS xdx

= −

igualando a cero y resolviendo:

875 - 4x = 0 - 4x = - 875

875

4x −=

−

218 75x .=

Este es el valor crítico. Por lógica se deduce que cuando x = 0 o bien cuando x = 437.5 se

875 - 2x

x

figura 11.11

Máximos y Mínimos

170

obtiene la superficie mínima (son los valores frontera de la variable x), que es cero, porqueen realidad se construye una línea recta doble. Por lo tanto, con x = 218.75 se obtiene el má-ximo.

Las dimensiones del terreno deben ser

x × (875 - 2x)218.75 × (875 - 437.5)

218 75 437 5. .×

Ejemplo 3: Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular por sus cuatrolados. ¿De qué medidas deberá hacerse para que su superficie sea la máxima abarcada?

Solución: A diferencia del ejemplo anterior, ahora vaa cercarse el terreno por sus cuatro lados.

Sea x la altura del rectángulo; por lo tanto,

la base será (ver figura 11.12)875 2

2x−

y la superficie del terreno será

( ) 875 22

xS x −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2875 22

x xS −=

que es la función a derivar:

( )1 875 42

dS xdx

= −

x x

2

875 - 2x

figura 11.12

Máximos y Mínimos

171

igualando a cero y resolviendo la ecuación resultante:

( )1 875 4 02

x− =

875 4 0x− =

4 875x =

875

4x =

218 75x .=

Este es el valor crítico. Los valores frontera de la variable x son x = 0 y x = 437.5 porquedicha variable no puede valer menos que cero ni más que 437.5. Nuevamente se deduce porlógica que este valor crítico es un valor máximo, ya que cuando o bien cuando0x =

el área abarcada es mínima (igual a cero). Por lo tanto, el cuadrado es el de ma-437 5x .=yor área en virtud de que los cuatro lados deben medir 218.75.

Ejemplo 4: En un terreno fangoso rectangular quemide 5 km de ancho por 8 km de largo setiene que comunicar el punto A con elpunto B por medio de una carretera, co-mo lo muestra la figura 11.13. La carrete-ra debe atravesar desde el punto A hastacierto punto P situado en el lado contra-rio; y luego desde P hasta B debe tra-zarse la carretera paralelamente al terrenofangoso, pero ya por tierra firme. El cos-to a través del terreno fangoso es de 10millones de pesos el kilómetro mientrasque por tierra firme es de 7 millones depesos el kilómetro. Calcular las distan-cias AP por terreno fangoso y PB portierra firme tales que el costo total de la carretera sea el mínimo.

terreno fangoso

A

B

5

8

x 8 - x

P

figura 11.13

Máximos y Mínimos

172

Solución: Sea x la ubicación del punto P respecto del vértice inferior izquierdo del terreno fangoso(ver figura 11.13). Por lo tanto, el resto PB debe ser (8 - x). Obsérvese que los valores fron-tera para la variable x son x = 0 y x = 8, es decir, 0 < x < 8.

Conforme a la figura 11.13, la distancia AP se puede obtener por el teorema de Pitágoras:

2 2AP 5 x= +

2AP 25 x= +

El costo total C de la carretera es el costo unitario (por kilómetro) de cada tramo por su longitud, es decir

(4.1)( )210 25 7 8C x x= + + −

Antes de calcular el costo mínimo, es saludable hacer una tabla de los diferentes costos segúnsea la ubicación del punto P para visualizar la variación de dichos costos. En la tabla loscostos están en millones de pesos. Para obtener el costo total de la carretera dependiendo delvalor dado a x simplemente hay que sustituir en la fórmula del costo (4.1):

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

costo 106 99.99 95.85 93.30 92.03 91.71 92.10 93.02 94.33

Puede verse en la tabla que los costos van disminuyendo y aparentemente el mínimo se obtie-ne cuando x = 5. Los cálculos siguientes demostrarán que no debe guiarse uno por la apa-riencia.

Derivando la fórmula del costo (4.1):

( )2

10 27

2 25

xdCdx x

= −+

Máximos y Mínimos

173

2

10 725

dC xdx x

= −+

Igualando a cero y resolviendo la ecuación resultante:

2

10 7 025

x

x− =

+

multiplicando ambos miembros de la igualdad por para eliminar el denomina-225 x+

dor:

( ) ( )2 2 2

2

1025 7 25 0 2525

xx x xx

⎛ ⎞⎜ ⎟+ − + = +⎜ ⎟+⎝ ⎠

210 7 25 0x x− + =

210 7 25x x= +

elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

( ) ( )22 210 7 25x x= +

( )2 2100 49 25x x= +

2 2100 49 1225x x= +2 2100 49 1225x x− =

251 1225x =

2 122551

x =

2 24 0196x .=

Máximos y Mínimos

174

4 90098x .= ±

Como el valor crítico negativo no tiene sentido porque x representa una longitud (ver figu-ra), entonces x = 4.9008 es el mínimo. Y como se dijo al inicio, el hecho de que en la tablahaya aparecido el valor de x = 5 como el mínimo no significa que este valor lo sea realmen-te.

El costo mínimo se puede obtener sustituyendo x = 4.9008 en (4.1):

( )210 25 4 9008 7 8 4 9008C . .= + + −

Recuérdese que el 10 antes del radical indica diez millones pesos, que es el costo por km enel terreno fangoso; y que el 7 antes del paréntesis indica siete millones de pesos, que es elcosto por km en terreno firme. Por lo tanto, la unidad de costo es de millón de pesos. Conti-nuando las operaciones anteriores:

( )10 49 0178 7 3 0992C . .= +

91 70711313C .=

El costo mínimo es de $91 707 113.13 .

Ejemplo 5: Se deben construir envases cilíndricos de bebida con capa-cidad de 300 cm3. Calcular las dimensiones que deben te-ner para que su costo sea el mínimo.

Solución: El costo de cada envase depende del material que se lleve;por lo tanto, el de costo mínimo será el que tenga menorsuperficie.

Supóngase que los envases tienen forma cilíndrica recta deespesor uniforme, con altura h y radio r. Su superficie es

h

r

figura 11.14

Máximos y Mínimos

175

igual al área de la figura 11.15, en donde la base del rectángulo es igual al perímetro p de lacircunferencia de la tapa.

El área de dicha superficie (figura 11.15) es elárea de dos círculos iguales de radio r más ladel rectángulo:

(5.1)22A r phπ= +

en donde el perímetro p es igual a ,2p rπ=

por lo tanto, sustituyendo en la igualdad (5.1):

(5.2)22 2A r rhπ π= +

Por otra parte, el volumen del envase es el áreadel círculo de una de las tapas por la altura delcilindro:

2300 r hπ=

de donde

(5.3)2

300hrπ

=

sustituyendo el valor de h de (5.3) en (5.2) se obtiene:

22

3002 2A r rr

π ππ

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

22

6002 rA rrππ

π= +

h

p

r

figura 11.15

Máximos y Mínimos

176

(5.4)2 6002A rr

π= +

que es la función a derivar para obtener el máximo y/o mínimo respecto del radio r. Derivan-do se obtiene que:

2 12 600dA d dr rdr dr dr

π −= +

(5.5)2

6004dA rdr r

π= −

Igualando a cero y resolviendo:

2

6004 0rr

π − =

multiplicando toda la igualdad por r2 para eliminar denominadores:

34 600 0rπ − =

3 6004

rπ

=

3 600

4r

π=

r = 3.627 (5.6)

Aplicando la regla general para saber si este valor crítico es máximo o mínimo, es decir, dan-do primero un valor un poco menor y sustituyendo en la derivada; luego un valor un pocomayor y viendo el cambio de signos de la derivada:

Máximos y Mínimos

177

Con un valor un poco menor, por ejemplo con r = 3 y sustituyendo en (5.5):

( ) 2

6004 33

dAdr

π= −

28 96dA .dr

= −

Como cambió de menos amás el signo de la derivada,significa que en el valorcrítico r = 3.627 cm hay unmínimo.

Tomando ahora un valor un pocomayor, por ejemplo r = 4 y susti-tuyendo en la derivada:

( ) 2

6004 44

dAdr

π= −

12 76dA .dr

=

La altura del envase con superficie mínima se obtiene sustituyendo el valor del radio r en laigualdad (5.3):

2

300hrπ

=

( )2

3003 627

h.π

=

h = 7.258 cm

Las dimensiones del envase cilíndrico más económico que pueda contener 300 cm3 de volu-men son de r = 3.627 cm y altura h = 7.258 cm.

Máximos y Mínimos

178

Ejemplo 6: Una agencia de publicidad cobra por centímetro cuadrado del área total empleada (área co-brable), lo que incluye el área imprimible más dos márgenes de 2cm a la izquierda y a la de-recha y dos de 3 cm arriba y abajo. Un cliente necesita mandar hacer una publicidad que ten-ga 480 cm2 de área impresa. Calcular las dimensiones que debe tener la región cobrable paraque el costo sea el mínimo (ver figura 11.16).

Solución: Como la empresa cobra por el área total utiliza-da, incluidos los márgenes, el costo será mínimocuando dicha área sea mínima.

Sea x la base del rectángulo del área imprimible.Por lo tanto, como dicha área (base por altura)debe ser de 480 cm2, la altura es entonces

(6.1)480altura

x=

Entonces el área cobrable es un rectángulo cuyas

dimensiones son de base (ver figura( )4x +

11.16) por de altura, es decir, el480 6

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

área cobrable es

(6.2)( ) 4804 6cA xx

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Por ejemplo, si x = 2, las dimensiones del área imprimible son de 2 × 240 = 480 cm2. Sinembargo, las dimensiones del área cobrable, aumentando los márgenes, son de 6 × 246 =1476 cm2, dimensiones que se obtienen sumándole 4 cm (dos de cada lado de márgenes) a

y sumándole 6 cm (tres de cada lado de márgenes) a la altura. O bien, de una manera2x =más simple, basta sustituir x = 2 en la igualdad (6.2).

3

3

2 2x

áreaimprimible

área cobrable

áreacobrable

480x

figura 11.16

Máximos y Mínimos

179

La siguiente tabla muestra cómo el costo es diferente para diferentes medidas de la publici-dad, siempre y cuando el área imprimible tenga 480 cm2. Para obtener los valores correspon-dientes a la tercera fila (Ac = área cobrable), basta sustituir el valor de x en la igualdad (6.2).

x 4 6 8 10 12 16 20 24 30 40

altura 120 80 60 48 40 30 24 20 16 12

A c 1008 860 792 756 736 720 720 728 748 792

Se ve que el área cobrable mínima está entre x = 16 y x = 20. Si se multiplica el valor de xpor el correspondiente de su altura siempre da 480 cm2. No confundir el área imprimible (quesiempre ha de ser 480 cm2) con el área cobrable que incluye los márgenes obligatorios.

Para obtener el valor de x para el que Ac es mínima se deriva la igualdad (6.2) con la fór-mula del producto uv:

( ) ( )2

480 4804 6 1cdAx

dx xx⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2

480 4 480 6c xdAdx xx

+⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.3)2

480 1920 480 6cdA x xdx xx

+ += − +

Igualando a cero y resolviendo la ecuación que resulta:

2

480 1920 480 6 0x xxx

− +− + =

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por x2 para eliminar denominadores:

Máximos y Mínimos

180

x

y

figura 11.17

2480 6 480 1920 0x x+ − − =

26 1920x =

2 19206

x =

2 320x =

17 8885x .=

Se deja al estudiante que haga la prueba para ver que este valor crítico es mínimo. Efectiva-mente, resultó como se había ya predicho de la tabla anterior que estaba entre y16x =

. La altura del área cobrable se obtiene sustituyendo el valor de x mínimo en (6.1):20x =

480 480altura 6 617 8885x .

= + = +

altura = 32.8328 cm

Las dimensiones del área cobrable deben ser 21.8885 cm × 32.8328 cm que dan un área co-brable de 718.66 cm2. Si a estas dimensiones se le restan los márgenes, el área imprimibleresulta de

(21.8885 - 4) × (32.8328 - 6) = 480 cm2

Ejemplo 7: Con un rollo de 270 metros de alambrada se debenconstruir dos corrales adyacentes idénticos, como semuestra en la figura 11.17. Calcular las dimensionesque debe tener el cercado para que el área abarcadasea máxima.

Solución: Sean x el ancho y y la longitud del cercado total.Como se disponen de 270 metros de alambrada y sevan a emplear tres secciones de longitud x y dos delongitud y , entonces 3x + 2y = 270, de donde

Máximos y Mínimos

181

(7.1)31352xy = −

El área total es31352xA xy x ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

(7.2)23135

2xA x= −

Derivando (7.2):

(7.3)135 3dA xdx

= −

Igualando a cero y resolviendo la ecuación que resulta:

135 3 0x− =

x = 45 (7.4)

Considerando que los valores frontera de la variable x son x = 0 y x = 90 en los cuales elárea abarcada es cero, o sea mínima, tiene que existir un máximo entre 0 y 90. Ese es el valorcrítico calculado de x = 45. Sustituyendo (7.4) en (7.1) para obtener el valor de la base y, seobtiene que

= 67.5( )3 45

1352

y = −

Las dimensiones de los dos corrales deben ser de 45 ×67.5 metros, que dan el área máximade 3037.5.

Máximos y Mínimos

182

figura 11.19


1) De todos los cilindros rectos sin tapas inscritos en una esfera de 10 unida-des de longitud de radio, obtener las dimensiones del que tiene mayor su-perficie. Ver figura 11.18.

Sugerencia: La superficie de un cilindro sin tapas es la del rectángulo quese obtiene al desenrollar la parte recta, el cual tiene de base elperímetro de la circunferencia que forma su tapa.

2) De todos los paralelepípedos de base cuadrada inscritos en un cono circularrecto de 72 unidades de longitud de altura por 24 de radio, obtener las di-mensiones del de mayor volumen (figura 11.19).

Sugerencia: El volumen del paralelepípedo es igual al área de la base porsu altura. La cara superior, paralela al cuadrado que forma labase toca al cono con sus cuatro vértices. Se pueden construirdos triángulos rectángulos semejantes: uno, que tenga por ca-teto vertical la altura del cono y por cateto horizontal el radiode la base del cono; el otro triángulo que quede interno al an-terior, que tenga por cateto horizontal a la recta que une elcentro del cuadrado superior con uno de sus vértices que tocanal cono.

3) Con 7200 metros de alambrada, se desea cercar un terreno rectangular. Siuno de los lados es un río y solamente los otros tres lados deben cercarse,hallar las dimensiones que deben darse para abarcar la mayor área posible.

4) Con 7200 metros de alambrada, se desea cercar un terreno rectangular. Hallarlas dimensiones que deben darse para abarcar la mayor área posible.

5) Hallar el de área máxima de todos los rectángulos inscritos en una semicircun-ferencia de radio (ver figura 11.20),. Dos vértices del rectángulo144r =deben estar sobre el diámetro.

Sugerencia: Si se traza una recta que una el centro de la semicircunferenciacon uno de los vértices superiores del rectángulo se forma un

h

R = radio de la esferar = radio del cilindro

r

R

figura 11.18

figura 11.20

Máximos y Mínimos

183

triángulo rectángulo interior al mismo rectángulo cuya hipotenusa es el radio de la semicircunferen-cia. El rectángulo pedido realmente está formado por cuatro triángulos rectángulos iguales al ante-rior.

6) De todos los rectángulos inscritos en un triángulo equilátero (figura 11.21)cuyo lado mida , hallar el de área máxima. Dos vértices del rectángu-105l =lo deben estar sobre uno de los lados.

Sugerencia: La altura del triángulo equilátero lo divide en dos triángulosrectángulos iguales cuyos catetos horizontales miden la mitaddel lado original. Uno de esos triángulos rectángulos es seme-jante al triángulo que queda adentro de él y que está situadoafuera del rectángulo a su derecha y en la parte inferior de todoel triángulo equilátero.

7) Una persona está en el punto A y debe trasladarse hasta elpunto C (ver figura 11.21). Cuando viaja desde A hastacualquier punto P del tramo BC lo hace con una velocidad

km/h y cuando viaja desde P hasta C lo hace con1 60V =

velocidad km/h. Hallar la ubicación del punto P2 130V =

al que debe llegar el viajero proveniente de A para hacer elmínimo tiempo desde A hasta C.

8) Una lámina de 420 cm de ancho debe doblarse por sus ex-tremos en ángulos rectos para transportar agua (figura11.23). Calcular las dimensiones que deben darse a los do-bleces para que la capacidad sea máxima.

Sugerencia: El largo de la lámina no influye. La capaci-dad del transporte de agua tiene que ver conel área del corte transversal de la canal, o seacon el área del rectángulo formado por elperfil de los dos dobleces y el perfil de laparte inferior.

figura 11.21

150 km

200 km

A

PCB

V1

V2

figura 11.22

figura 11.23

Máximos y Mínimos

184

figura 11.24

9) Se desea construir una ventana que tenga 15 unidades de perímetro,cuya forma sea un rectángulo y un semicírculo sobre su parte superior(ver figura 11.24). Calcular las dimensiones que debe tener para quepermita el máximo paso de luz.

Sugerencia: La semicircunferencia superior depende de las dimensio-nes del rectángulo, ya que su diámetro es la base de di-cho rectángulo. El paso de la luz depende del área de lafigura 11.24.

185

APÉNDICE A

FORMULARIO

Derivadas:

0d cdx

= 1d xdx

=

d ducu cdx dx

= ( )d du dvu v ... ...dx dx dx

+ + = + +

1n nd x nxdx

−= 1n nd duu nudx dx

−=

d dv duuv u vdx dx dx

= + 2


−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

dud dxudx u

= u ud dua a ln adx dx

=

d dusen u cosudx dx

=d ducosu sen udx dx

= −

2d dutanu sec udx dx

= 2d ducot u csc udx dx

= −

Apéndice A: Formulario

186

d dusecu tanu secudx dx

=d ducscu cot u cscudx dx

= −

dud dxlnudx u

= u ud due edx dx

=

21

dud dxarc sen udx u

=− 21

dud dxarc cosudx u

= −−

21

dud dxarc tanudx u

=+ 21

dud dxarc cot udx u

= −+

2 1

dud dxarc secudx u u

=− 2 1

dud dxarc cscudx u u

= −−

Integrales:

dx x c= +∫ cudx c udx=∫ ∫

para 1

1

nn xx dx c

n

+

= ++∫ 1n ≠ −

dx ln x cx

= +∫ ( )u v ... dx u dx v dx ...+ + = + +∫ ∫ ∫


187

para 1

1

nn uu du c

n

+

= ++∫ 1u ≠ −

du ln u cu

= +∫ u ue du e c= +∫

( )2

2 2 2 2 2 2

2 2u au a dx u a ln u u a c+ = + + + + +∫

( )2

2 2 2 2 2 2

2 2u au a du u a ln u u a c− = − − + − +∫

22 2 2 2

2 2u a ua u du a u arc sen c

a− = − + +∫

( )2 2

2 2

du ln u u a cu a

= + + ++

∫

( )2 2

2 2

du ln u u a cu a

= + − +−

∫

2 2

du uarc sen caa u

= +−

∫

2 2

1du uarc tan cu a a a

= ++∫

2 2

12

du u aln cu a a u a

−= +

− +∫

2 2

12

du a uln ca u a a u

+= +

− −∫


188

sen u du cosu c= − +∫ cosu du sen u c= +∫tanu du ln secu c= +∫ cot u du ln sen u c= +∫

( )secu du ln tanu secu c= + +∫ ( )cscu du ln cscu cot u c= − +∫2sec u du tanu c= +∫ 2csc u du cot u c= − +∫

tanu secu du tanu c= +∫ cot u cscu du cscu c= − +∫

Principales identidades utilizadas en las integrales trigonométricas:

2 2 1sen x cos x+ = 2 21tan x sec x+ =

2 21cot x csc x+ = ( )2 1 1 22

sen x cos x= −

( )2 1 1 22

cos x cos x= + 2 2sen x sen x cos x=

sen xtan xcos x

=cos xcot xsen x

=

1sec xcos x

=1csc x

sen x=


189

integración por partes: udv uv v du= −∫ ∫

cambios de variable trigonométricos:

para el radical hacer el cambio

2 2 2a x b+bx tan ta

=

2 2 2a x b−bx sec ta

=

2 2 2b a x−bx sen ta

=

190

APÉNDICE B

REGLAS DE ESCRITURA

REGLAS GENERALES

1) PRINCIPIO FUNDAMENTAL: Toda regla de escritura matemática debe facilitar lacomprensión de los objetos matemáticos representados y su lectura.

La comprensión de las matemáticas siempre ha resultado en todos los tiempos y en todos loslugares un dolor de cabeza para la mayoría de los estudiantes. Si a eso se le agrega una es-critura poco comprensible, el problema se agranda. Las reglas, además, deben ser universa-les para que cualquier lector las pueda entender.

2) En la escritura matemática, deben emplearse el mínimo de símbolos posibles

La razón principal de esta regla es para hacer más fluida la lectura. Mientras más símboloshaya, todo parece más complicado o engorroso.

Por esta regla no se escriben, por ejemplo:

a) El coeficiente 1: se escribe x2 en vez de 1x2.

b) El signo + al principio: se escribe x2 ! y2 en vez de + x2 ! y2.

c) El índice de radical 2: se escribe en vez de 3ab 2 3ab

d) El denominador 1: se escribe x2 en vez de .

2

1x

Apéndice B: Reglas de escritura

191

e) El exponente 1: se escribe x en vez de x1.

f) El símbolo de grados no se escribe: cos 27 se sobrentiende que son 27 grados.

Etc.

Nótese la diferencia entre escribir y que representan el mismo obje-121 1

1x++ +

+x

to matemático, pero uno resulta muy complicado en su lectura.

3) No debe emplearse el mismo símbolo con dos significados diferentes, al menos en el mis-mo contexto.

Es obvio que si un símbolo puede significar una cosa u otra, el lector acabará confundido odándole el significado que no se pretendía.

4) Debe escribirse en el mismo orden en que se lee, es decir de izquierda a derecha y de arri-ba hacia abajo.

La razón de esta regla es para forzar al lector a seguir el proceso en el orden en que se llevóa cabo, leyendo en el orden en que se escribió. En nuestra cultura leemos así: de izquierda aderecha y de arriba para abajo, por lo tanto en ese orden debe escribirse.

Las fallas a esta regla son muy abundantes y graves. Puede decirse que son las más socorri-das y a las que menos aprecio se les hace. Las principales son:

a) Regresar a lo anterior.b) Escribir en columnas sin separación entre éstas.c) Escribir en columnas parciales, no de toda la hoja.c) Escribir en columnas y líneas desordenadamente.d) Escribir en donde haya espacio.e) Escribir haciendo un rompecabezas al trazar líneas horizontales y líneas verticales

indiscriminadamente.


192

Obsérvese el siguiente ejemplo:

¿Cómo debe leerse este texto?

¿Por líneas o por columnas?

¿Cómo saber en qué momento dejar deleer por líneas para comenzar por colum-nas?

En cambio así, con la delimitación de lascolumnas, queda perfectamente clarocómo debe leerse.

5) Los operadores deben abarcar de manera clara y completa a todos los elementos a los queafectan.

Un caso muy característico es cuando se emplea la fórmula para las ecuaciones de 2º grado,


193

en la que ni la línea de fracción ni el radical se escriben abarcando a todos los elementos quedebieran abarcar. Por ejemplo, cuando se va a resolver la ecuación 5x2 ! 3x + 6 = 0 , es co-mún que el alumno escriba de la siguiente forma:

en donde el radical no está abarcando a los factores (5) y (6) y la línea de fracción no estáabarcando al 3 inicial.

6) Los términos algebraicos (sin factores trascendentes) que contengan algún radical debenescribirse en el siguiente orden:

a) Primero el signo;b) después los coeficientes numéricos;c) a continuación los factores algebraicos monomios en orden alfabético;d) luego los factores algebraicos polinomios;d) y finalmente los factores irracionales (radicales).

La razón de esta regla es para evitar confusiones cuando se coloca primero el radical, ya quepuede aparecer la duda de ¿hasta dónde abarca el radical?

Por ejemplo, ¿significa o . Si se trata del se-22x ab+ 22x ab+ ( )22x a b+

gundo caso, la duda se elimina escribiendo .22b x a+

7) Los términos, en general, deben escribirse en el siguiente orden:

a) Primero el signo;b) después los coeficientes numéricos;


194

c) a continuación los factores algebraicos, conforme a la regla 6;d) los factores de la forma eu ; e) los factores trascendentes;f) finalmente las derivadas o integrales.

Ejemplos:

I) ( )2 2 32ax c y x y− − +

II) ( ) 43 2 6 25 7 3 xx a abc e−

III) ( )32 2 22 loga b sen x y−

IV) ( ) ( )33 3 25 tan 3 2 4 5 11x y dx e x x x xdx

+− − − + −

8) Las literales en las expresiones algebraicas deben escribirse en orden alfabético.

9) Las líneas de fracción deben escribirse horizontalmente.

La razón de esta regla es para evitar las confusiones a que la línea diagonal puede dar ori-

gen. Por ejemplo 12/a + b ¿significa o bien ?. 12

a b+12 ba

+

a/b/c ¿significa o bien ?

abc

abc

El uso de paréntesis , aunque ciertamente despeja algunas dudas en la escritura, va contra laregla 1, pues la escritura lineal es más complicada de comprender. Por ejemplo, descifrar elsignificado de cada objeto matemático siguiente resulta muy complicado:


195

2(((3 5 ) ^ ( )) /(5 2 ))( ) (3 5) ^ ( )x ab x y a x a b x a b+ − − + + − +

comparado con la escritura

( ) ( ) ( )23 5

3 55 2

x y

a bx aba b x

a x

−

+⎛ ⎞+⎜ ⎟ + + −⎜ ⎟−⎝ ⎠

en donde a primera vista se lee que x ! y es un exponente; que 5a ! 2x es denominador;que (a + b) es factor de la fracción, etc., lo que no se ve tan rápidamente en la escritura li-neal.

Una excepción es la de las fracciones que son exponentes, cuyos numerador y denominadorson un número o una literal. En este caso es más conveniente la línea de fracción diagonalque la horizontal, pues así se evitan “torres” que rompen la armonía de los renglones. Por

ejemplo, es más conveniente que . El espacio generado entre el presente renglón2 / 7a27a

y el anterior es mucho mayor que el generado entre los otros renglones debido a esta “torre”.

10) Los operadores entre fracciones y el signo igual deben escribirse a la mitad de la(s) lí-nea(s) de fracción.

escritura correcta2 6a

b x+ =

escritura incorrecta2 6a

b x+ =

escritura incorrecta2 3

5ax +=


196

OBSERVACIÓN: Debe escribirse primero la línea de fracción para que quede colocada a lamitad del signo igual o de los operadores +, !, × , ÷, etc. y después, encima de ella el nume-rador y finalmente, abajo de ella, el denominador.

11) Tratándose de fracciones complejas, la línea principal de fracción debe escribirse de ma-nera más notoria que las demás, ya sea más larga o más gruesa y oscura. Los símbolos deoperaciones y/o el signo igual deben escribirse a la mitad de la línea principal.

escritura correcta

2a

x y−

escritura correcta

12xy

escritura correcta2 5x

a b

+

+

escritura incorrecta

25

3x +

escritura correcta

6 13 2 0

2

x

x x

−

+ =


197

12) Debe evitarse escribir más de un signo igual en el mismo renglón dentro de un proceso.En todo caso, los signos igual deben escribirse alineados verticalmente al pasar de unrenglón al otro. Solamente cuando las expresiones son muy cortas podría aceptarse el usode dos signos igual en el mismo renglón.

Por ejemplo:

( )( ) ( )

( )2 2 2 2 2

2 1 52 5 2 5 2 2 51 1

y x y xx x xy x x y x y x x y

+ + + ++ = + = =

+ + + +

debe escribirse

( )2 2

2 5 2 51x x xy x x y

+ = ++ +

( ) ( )

( )2

2 1 51y x

x y+ +

=+

2 2

2 2 5y xx x y+ +

=+

13) Cuando un proceso matemático consta de varios pasos, cada uno de ellos debe escribirseen renglón aparte, no en la misma línea. En caso extremo (que debe preferentemente evi-tarse), deberán separarse los pasos escritos en el mismo renglón con punto y coma.

Por ejemplo, lo ideal sería escribir

x = 2y = 3


198

Pero en caso extremo podría admitirse así:

x = 2 ; y = 3

14) No deben escribirse paréntesis adentro de paréntesis de la misma forma mientras no sehayan cerrado. Los paréntesis más interiores deben ser más pequeños que los que los en-cierran.

La razón principal es para localizar fácilmente a cada paréntesis que abre con el que le cie-rra.

2(((3 5 )( )) (5 2 ) ( ) (3 5)( )x ab x y a x a b x a b+ − + − + + − +)

¿a cuál cierra?

en cambio

2(3 5 )( ) (5 2 ) (3 5)( )x ab x y a x a b x a b⎡ ⎤+ − + − + + − +⎣ ⎦

15) El argumento de una función trascendente comienza con el símbolo escrito inmediata-mente después del símbolo de la función.

Ejemplos:

a) ( )3 1cos x +

El argumento comienza con el paréntesis por ser lo que está

escrito inmediatamente después del símbolo de la función cos.Por razones obvias, termina donde cierra el paréntesis.


199

b) 2 7tan x x−

El argumento comienza con la raíz cuadrada por ser lo que está

escrito inmediatamente después del símbolo de la función tan.

c) 22arc sec x y

El argumento comienza con el número 2 por ser lo que está

escrito inmediatamente después del símbolo de la función arcsec.

d) 4tan cos x

Comienza con la función coseno por ser lo que está escrito

inmediatamente después del símbolo de la función tan , es de-cir, el argumento de la tangente es cos 4x.

16) Todos los factores monomios pertenecen al argumento de una función trascendente. Enel caso de que alguno no sea parte del argumento, éste debe escribirse antes de la funcióntrascendente.

Ejemplo:3 53sen ab xy

Todos éstos son factores monomios, por lo tanto el argumento

de la función seno es 3ab3xy5. En caso de que, por ejemplo, y5

no fuera parte del argumento, así está mal escrito y debe escri-

birse .5 33y sen ab x


200

17) Solamente el primer término pertenece al argumento de una función trascendente. Encaso de que otros términos sean parte del argumento, deben encerrarse entre paréntesis.O en caso de que no lo sean, deben escribirse antes de la función trascendente.

Ejemplo:Una escritura así provoca la duda ¿6x - 3 son también parte42 6 3csc x x+ −

del argumento? Conforme a esta regla, no son y deberíaescribirse como 6x - 3 + csc 2x4. O en todo caso, si lo sonsu escritura correcta sería csc(2x4 + 6x - 3).

18) Solamente el primer factor polinomio es parte del argumento de una función trascenden-te. En caso de que un segundo factor polinomio no sea componente del argumento, debeescribirse antes de la función trascendente.

Ejemplo:

Esta escritura es incorrecta porque se presta a dudas: ¿El( )( )2 5 6 4 1cot x x x+ − −

factor (4x - 1) es parte del argumento? Para evitar estasambigüedades existe la regla anterior que dice que no y queademás ordena escribirlo como

( ) ( )24 1 5 6x cos x x− + −

pero en el caso de que fuera parte del argumento, su escri-

tura correcta sería ( )( )2 5 6 4 1cos x x x⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

19) Un exponente escrito sobre el símbolo de función trascendente indica que toda la funciónestá elevada a dicha potencia.

Ejemplo:Este exponente indica que la función cotangente es la que( )3 5 6cot x −

está elevada al cubo, o sea que


201

( ) ( ) ( ) ( )3 5 6 5 6 5 6 5 6cot x cot x cot x cot x− = − − −

20) Un exponente escrito sobre el argumento de una función trascendente indica que es elargumento el que está elevado a dicha potencia.

Ejemplo

Este exponente indica que el argumento (5x - 6) es el( )35 6cot x −

que está elevado al cubo, o sea que

( ) ( )( )( )35 6 5 6 5 6 5 6cot x cot x x x− = ⎡ − − − ⎤⎣ ⎦Nótese como se cumplen las reglas de escritura anterio-res.

21) Todo argumento negativo debe escribirse entre paréntesis.

Ejemplo:

La razón de esta regla es para evitar confusiones en los( )2sen x−

inexpertos que interpretan como una resta cuando seescribe , a pesar de que carece de sentido2sen x−

una resta así, pues la función sen estaría vacía (sin ar-gumento), ya que se estaría tomando como un términoa sen y como otro término a - 2x.

22) Cuando una función trascendente está dividida entre cualquier cantidad, debe escribirsela fracción que indica la división antes de la función trascendente. En caso de que seasolamente el argumento el que esté dividido, debe encerrarse el argumento entre parénte-sis o en caso extremo debe escribirse la línea de fracción claramente a la mitad del símbo-lo de la función.


202

Ejemplos

Lo que pide esta regla es que se evite escribir el ejem-( )1 6 13

log x −

plo anterior como , pues es frecuente( )6 1

3log x −

una escritura deficiente como que pro-( )6 1

3log x −

voca la duda: ¿El 3 divide a toda la función o solamen-te al argumento?.

Para evitar las confusiones señaladas en el ejemplo an-6 1

3xsec −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

terior, con un paréntesis en el argumento se deja enclaro qué divide el 3.

23) Toda cantidad decimal cuya parte entera sea cero, debe escribirse forzosamente el ceroantes del punto decimal.

La razón es que si no escribe el cero puede pasar desapercibido el punto decimal o confun-dirse con alguna mancha del papel. El cero es para llamar la atención que allí hay un punto.

Ejemplos: 0.27 Correcto. .34 Incorrecto, el punto decimal no es obvio.0.568 Correcto. Con el cero al inicio se llama la atención.

soluciones

174

SOLUCIONES

Ejercicio 2, página 11

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10)


1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10)

soluciones

175


1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 0 11) 12)

13) 0 14) 15)

16)


1) 2) 3)

4) 5) 0 6)

7) 8) 9)

10)

soluciones

176


1) 2) 1 3) 0

4) 5) 0 6) 0

7) 8) 1 9)

10)


1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9)

10)

11)

12)

13) 14)

15)

soluciones

177


1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

soluciones

178


1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

soluciones

179

23) 24)

25) 26)


1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) o bien

8) 9)

soluciones

180

10)

11)

12) 13)

14) 15)

16) 17)

18) 19)

20) o bien


1)

2)

soluciones

181

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

soluciones

182

14)

15)

16) 17)

18) 19)

20)

21) o bien, simplificando

22)

23)

24)

soluciones

183

25)

26) o bien

27)

28)


1) 2)

3)

4)

5)

6)

soluciones

184

7) 8)

9)

10)

11)

12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21)

soluciones

185

22)

23)

24)

25)

26) o bien

27) o bien

28) 29)

30)

31)

32) o bien

soluciones

186


1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19)

20)

soluciones

187

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27)

28) o bien

29) o bien

30) 31)

32) o bien

33) 34)

soluciones

188


1)

2) o bien

3) 4)

5) 6)

7)

8) 9)

10) 11)

12)

13) o bien

soluciones

189

14) 15)

16)

17)

18)

19)

20) 21)

22)

23)

24)

soluciones

190


1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

8) o bien

9)

10) o bien


1) 2)

3) 4)

soluciones

191

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)


1) , mínimo. 2) , mínimo.

3) , mínimo. 4) , mínimo.

5) , mínimo, 6) , mínimo,

, máximo. , máximo.

soluciones

192

7) , máximo, 8) , máximo,

, mínimo. , mínimo.

9) , mínimo, 10) , máximo,

, máximo. , mínimo.

Apuntes Cálculo diferencial total.pdf

Documents

Transcript of Apuntes Cálculo diferencial total.pdf