APRENDIENDO CÁLCULO DIFERENCIAL

CLCULO DIFERENCIAL - UNIDAD IV - DERIVADAS

ELABORADO POR: Jess Zacaras Zapata. CARRERA: ELECTROMECNICA Mediador: IRINEO MARTINEZ MOSQUEDA. FECHA DE ELAB: 22/10/2014.

FRMULAS DE DERIVACIN

1. Derivadas inmediatas

2. Derivadas de sumas, productos y cocientes.

3. Derivadas exponenciales.

4. Derivacin logartmica.

5. Derivadas trigonomtricas.

6. Derivadas trigonomtricas inversas.

7. Derivada de la funcin compuesta.

8. Derivada de la funcin inversa.

9. Derivada de la funcin potencial-exponencial.

10. Derivadas sucesivas.

11. Derivacin implcita.

12. Diferencial de una funcin.

13. Resumen.

14. Ejercicios de derivacin

Ejercicios I.

Ejercicios II.

Ejercicios III.

Ejercicios diferenciales.

15. Soluciones a los ejercicios de derivacin.

16. Ejercicios extras.



DERIVADAS INMEDIATAS

Sean a, b, e y k constantes (nmeros reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.

En adelante, escribiremos u y v. Entendamos que esto no es ms que un abuso de notacin con el fin de simplificar la misma.

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la funcin lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raz cuadrada

Derivada de una raz



Ejemplos de derivadas

1.

2.

3.

4.

5.



6.

7.

8.

9.



DERIVADA DE SUMA, PRODUCTO Y COCIENTE

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una funcin

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una funcin

Derivada de un cociente



Ejemplos

1.

2.

3.

4.

5.



6.

7.

8.



9.

DERIVADA DE LA FUNCIN EXPONENCIAL

Derivada de la funcin exponencial

Derivada de la funcin exponencial de base e

Ejemplos

1.

2.



3.

4.

5.



DERIVADA DE LA FUNCIN LOGARTMICA

Como , tambin se puede expresar as:

Derivada con logaritmo neperiano

Ejemplos

1.

2.



3.

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

4.

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

5.



6.

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Derivada de la funcin seno

Derivada de la funcin coseno

Derivada de la funcin tangente

Derivada de la funcin cotangente

Derivada de la funcin secante

Derivada de la funcin cosecante



Ejemplos

1.

2.

3.

4.

5.



6.

7.

8.

9.

10.



11.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS

Derivada de la funcin arcoseno

Derivada de la funcin arcocoseno

Derivada de la funcin arcotangente

Derivada de la funcin arcocotangente



Derivada de la funcin arcosecante

Derivada de la funcin arcocosecante

Ejemplos

1.

3.

3.



DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIAL-EXPONENCIAL

Estas funciones son del tipo:

Para derivarla se puede utilizar esta frmula:

O bien tomamos logaritmos y derivamos:

.

.

.

.

.



Ejemplo

Derivar tomando logaritmos:

REGLA DE LA CADENA

1.

2.



3.

4.

5.



DERIVAS INVERSAS

Si f y g son funciones inversas, es decir . Entonces

En la prctica, para derivar una funcin y=f(x) a partir de su funcin inversa, podemos seguir los siguientes pasos:

1. Buscamos la funcin inversa de y = f(x), que escribiremos de la forma x = g(y).

2. Hacemos x' = g'(y).

3. Usando lo anterior, y'=1/x'.

4. Sustituimos x' por g'(y) y operamos.

5. Por ltimo sustituimos x por g(y) y habremos acabado.

Ejemplos

1. Derivar, usando la derivada de la funcin inversa: y = arc sen x

La funcin inversa de la dada es: .



Sabiendo que x = sen y, se tiene:

2. Derivar, usando la derivada de la funcin inversa: y = arc tg x

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLCITAS

Funciones implcitas

Una correspondencia o una funcin est definida en forma implcita cuando no aparece despejada la y sino que la relacin entre x e y viene dada por una ecuacin de dos incgnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implcitas

Para hallar la derivada en forma implcita no es necesario

despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las

reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y' .



Ejemplos

Derivar las funciones:

1.

2.

Cuando las funciones son ms complejas vamos a utilizar una

regla para facilitar el clculo:

Ejemplo



DERIVADAS SUCESIVAS

Si derivamos la derivada de una funcin, derivada primera, obtenemos

una nueva funcin que se llama derivada segunda, f''(x).

Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).

Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'v y as

sucesivamente.

Ejemplo

Calcula las derivadas 1, 2, 3 y 4 de:

Derivada ensima

En algunos casos, podemos encontrar una frmula general para

cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta frmula

recibe el nombre de derivada ensima, f'n(x).



Ejemplo

Calcula la derivada ensima de:



DIFERENCIAL DE UNA FUNCIN

Sea f(x) una funcin derivable. Diferencial de una funcin

correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el

producto f'(x) h. Se representa por dy.

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la

tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.



Ejemplos

1.

2.

3. Calcular el incremento del rea del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1 mm su lado.

S = x 2 dS = 2x dx

d(S)= 22 0.001 = 0.004 m2

RESUMEN

Sean a, b, e y k constantes (nmeros reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.

En adelante, escribiremos u y v con el fin de simplificar.

Derivada de una constante

Derivada de x



Derivada de la funcin lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raz cuadrada

Derivada de una raz

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una funcin

Derivada de un producto



Derivada de una constante partida por una funcin

Derivada de un cociente

Derivada de la funcin exponencial

Derivada de la funcin exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Como , tambin se puede expresar as:

Derivada del logaritmo neperiano



Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante



Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada de la funcin potencial-exponencial



Regla de la cadena

Derivadas implcitas

EJERCICIOS DE DERIVACIN

EJERCICIOS I

1 Calcula las derivadas de las funciones:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2 Calcula mediante la frmula de la derivada de una potencia:

1

2

3



4

5

6

7

3 Calcula mediante la frmula de la derivada de una raz:

1

2

3

4 Deriva las funciones exponenciales

1

2

3

4

5

5 Calcula la derivada de las funciones logartmicas:

1

2

3

4



5

EJERCICIOS II

1 Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2 Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas inversas:

1

2

3

4

5

3 Derivar por la regla de la cadena las funciones:

1

2

3



4

5

6

7

4 Deriva las funciones potenciales-exponenciales:

1

2

3

5 Hallar las derivadas sucesivas de:

1

2

3

4

6 Derivar implicitamente:

1

2

7 Calcular la diferencial de las siguientes funciones:

1

2

3

4



EJERCICIOS III

1 Calcula la derivada de la funcin logartmica:

2 Derivar la funcin:

3 Derivar:

4 Calcular la derivada de la funcin:

5 Derivar:

6 Un cuadrado tiene 2 m de lado. determnese en cunto

aumenta el rea del cuadrado cuando su lado lo hace en un milmetro. Calclese el error que se comete al usar difernciales en lugar de incrementos.

7 Hallar la variacin de volumen que experimenta un

cubo, de arista 20 cm, cuando sta aumenta 0.2 cm su longitud.



8 Calcula el error absoluto y relativo cometido en el

clculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de dimetro, medido con un instrumento que aprecia milsimas de centmetro.

9 Si el lugar de se halla . Cules son

las aproximaciones del error absoluto y relativo?

EJERCICIOS DIFERENCIALES

1 Calcular la diferencial de las siguientes funciones:

1

2

3

4

5

6

2 Calcular el incremento del rea del cuadrado de 2 m de

lado, cuando aumentamos 1mm su lado.

3 Un cuadrado tiene 2 m de lado. determnese en cunto

aumenta el rea del cuadrado cuando su lado lo hace en un milmetro. Calclese el error que se comete al usar difernciales en lugar de incrementos.

4 Hallar la variacin de volumen que experimenta un cubo,

de arista 20 cm, cuando sta aumenta 0.2 cm su longitud.

5 Calcula el error absoluto y relativo cometido en el

clculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de dimetro, medido con un instrumento que aprecia milsimas de centmetro.



6 Si el lugar de se halla . Cules son las

aproximaciones del error absoluto y relativo?

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE DIFERENCIACIN

Calcula las derivadas de las funciones:

1. f(x) = k

2.

3.

4.

5.

6.



7.

8.

9.

EJERCICIOS II

Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas:

1

2



3

4

5

6

7

8



9



EJERCICIOS III

Calcula la derivada de la funcin logartmica:

Aplicando las propiedades de los logartmos obtenemos:

EJERCICIOS DE DIFERENCIALES

Calcular la diferencial de las siguientes funciones:

1



2

3

4

5

6

Aplicamos la definicin de logaritmo:



EJERCICIOS EXTRAS

Calcula mediante la frmula de la derivada de una potencia:

1.

2.

3.

4.



5.

6.

7.

Calcula mediante la frmula de la derivada de una raz:

1.

2.



3.

Deriva las funciones exponenciales:

1.

2.



3.

4.

5.

Calcula la derivada de las funciones logartmicas:

1.



2.


3.


4.




5.


Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas inversas:

1

2



3

4

5

Derivar por la regla de la cadena las funciones:

1



2

3

4

5



6

7

Deriva las funciones potenciales-exponenciales:

1

2



3

Hallar las derivadas sucesivas de:

1



2

3



3

Derivar implicitamente:

1



2

Calcular la diferencial de las siguientes funciones:

1

2

3

4




Derivar la funcin:



Derivar:

Calcular la derivada de la funcin:

Derivar:




Un cuadrado tiene 2 m de lado. determnese en cunto aumenta

el rea del cuadrado cuando su lado lo hace en un milmetro.

Calclese el error que se comete al usar difernciales en lugar

de incrementos.

Hallar la variacin de volumen que experimenta un cubo, de

arista 20 cm, cuando sta aumenta 0.2 cm su longitud.

Calcula el error absoluto y relativo cometido en el clculo del

volumen de una esfera de 12.51 mm de dimetro, medido con un

instrumento que aprecia milsimas de centmetro.



Si el lugar de se halla . Cules son las


Calcular el incremento del rea del cuadrado de 2 m de lado,

cuando aumentamos 1mm su lado.

S = x 2 dS = 2x dx

d(S)= 2 2 0.001 = 0.004 m2

Un cuadrado tiene 2 m de lado. determnese en cunto aumenta

el rea del cuadrado cuando su lado lo hace en un milmetro.

Calclese el error que se comete al usar difernciales en lugar

de incrementos.



Hallar la variacin de volumen que experimenta un cubo, de

arista 20 cm, cuando sta aumenta 0.2 cm su longitud.

Calcula el error absoluto y relativo cometido en el clculo del

volumen de una esfera de 12.51 mm de dimetro, medido con un

instrumento que aprecia milsimas de centmetro.

Si el lugar de se halla . Cules son las


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