Cálculo Diferencial

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante conoce,

interpreta y aplica la función de una variable real para modelar

problemas de las Ciencias Básicas.

ESQUEMA DE LA CLASE

FUNCIONES

DEFINICIÓN

y=f(x)

Regla de correspondencia.

Entrada, salida.

Salida única para cada entrada

DOMINIO Y RANGO

Variable independiente (x)

Variable dependiente (y)

GRÁFICA

Plano cartesiano

Regla de la recta vertical

Tabulación.

Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura

del árbol está relacionada con la edad

por la función a:a(edad) = edad × 20

Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200 cm

CONCEPTO DE LA FUNCIÓN

Una función relaciona una entrada con una salida. Decir que "a(10) = 200" es como relacionar 10 con 200. O bien 10 → 200

EJEMPLO

La función es un tipo de relación que expresa que una

cantidad (la salida) depende de otra (la entrada).

Al invertir dinero a una tasa de interés, el interés I (salida)

depende del tiempo t (entrada) en que el dinero este invertido.

Entonces, I es una función de t.

Las funciones en general se indican con una fórmula que muestra

lo que se hace con la entrada para hallar la salida.

Me hago rico

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Si S/.100 gana un interés simple a una tasa anual del 12%, el interés y el

tiempo están relacionados por la fórmula I =100(0,12)t (1)

donde I está en soles y t en años.

Dado t=0,5 entonces I =100(0,12)(0,5)=6

Así la formula (1) asigna a la entrada 0,5 la salida 3.

La formula (1) es una regla que asigna a cada número de entrada t

exactamente un número de salida I

DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN

Una función relaciona cada elemento de un conjunto con

exactamente un elemento de otro conjunto. (Conjuntos de

números Reales).

Se vuelve operativo con una regla de correspondencia que

asigna a cada número de entrada un único número de salida.

Al conjunto de número de entrada para los cuales se aplica la

regla se llama el dominio de la función.

Al conjunto de números de salida se llama rango.

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NOTACIÓN FUNCIONAL

Si decidimos llamar f a una función y x es una de las

entradas en el dominio de f, entonces f (x), que se lee “f

de x”, representara el numero de salida en el rango de f

que corresponde a la entrada x.

f ( x )

Entrada

Salida

Nombre de

la función

10

Es el conjunto de los números Reales para los cuales la

variable independiente está definida.

f (x) 5x 15 5x 15 0 x 3 Do min io 3,

4

h(x) 3x 18 0 x 6 Do min io x R / x 03x 18

DETERMINACIÓN DEL DOMINIO

El dominio es el conjunto de todos los reales excepto en las funciones:

1. Racionales. Se eliminan los valores para los cuales el denominador es cero.

2. Irracionales. En índice par de la raíz la cantidad sub radical no

puede ser negativa.

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El método más común para visualizar una función es su gráfica

en el plano cartesiano en el caso de funciones de una variable

real.

Por definición la grafica de una función f es la grafica de la

ecuación y=f (x) para x en el dominio de f.

Criterios para gráficas:

1. Puntos de corte con los ejes.

2. Simetrías con los ejes y con el centro

3. Extensión y tabulaciones.

GRÁFICAS DE FUNCIONES

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La grafica muestra el comportamiento de una función.

La coordenada y de un punto (x;y) de la gráfica es f(x) y se lee

en la gráfica, como la altura dirigida de ésta última a partir del

punto x.

La gráfica también permite tener una imagen del dominio y del

rango.

x

y

f (1)

f (2)

f (x)

(x,f (x))

1 2x0

Comportamiento de la función

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“Toda recta vertical corta a la grafica de una función a lo mas

en un punto”.

x

y

a

(a,b)

x

y

a

(a,b)

(a,c)

Es gráfica de una función No es grafica de una función

PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL

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Una compañía de seguros examinó el registro de un grupo de individuos hospitalizados por una enfermedad en particular. Se encontró que la proporción total de quienes habían sido dados de alta al final de t días de hospitalización está dada por:

3

300

3001)(

ttf

¿Cuántos días después se habrá dado de alta al 99% del grupo?

EJERCICIO RETO

a)1200 b)980 c)42 d)1093 e)1500

Muchas gracias!

“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar.”

Hipatía