1.3 LA GEOMETRIA DE LAS OPERACIONES VECTORIALES.

Representación geométrica del producto por escalar.

La multiplicación de un vector por un escalar

. FIGURA NO 1.5

Si el vector conserva su dirección; si el vector obtenido tiene la dirección contraria.

Representación geométrica de la suma y la resta de vectores.

Para vectores posición la suma es el vector representado por la diagonal

principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores y

. La resta o es el vector representado por la otra diagonal (al hacer

el punto final del vector es y el inicial , por eso la flecha, si fuera el

punto final sería el de y el vector tendría la dirección opuesta)

F IGURA NO 1.6

1.4 OPERACIONES CON VECTORES Y SUS PROPIEDADES.

Multiplicación y división de un vector por un escalar.

El producto de un vector A y un escalar a, que da aA, se define como un vector con magnitud │aA│. El sentido de aA es el mismo que A siempre que a sea positivo, y es opuesto a A si a es negativo. En particular, el negativo de un vector se forma multiplicando el vector por un escalar (-1)La división de un vector entre un escalar se puede definir usando las leyes de la multiplicación, ya que A/a= (1/a), a≠0.

Suma de vectores

Dos vectores A y B, tal como los de fuerza o posición, figura 1.7a, pueden sumarse para formar un vector resultante R= A + B, usando la ley del paralelogramo. Para hacer esto, A y B se unen en sus colas, figura 1.7b. Se trazan líneas desde la cabeza de cada vector cortándose en un punto común, formando así los lados adyacentes de un paralelogramo. Como se muestra, la resultante R es la diagonal del paralelogramo, la cual se extiende desde las colas de A y B hasta la intersección de las líneas.También podemos sumar A y B usando una construcción triangular, un caso especial de la ley del paralelogramo, en donde el vector B se suma al vector A en forma de cabeza de cola, esto es, conectado la cabeza de A a la cola de B, figura 1.7c. La resultante R se extiende desde la cola de A hasta la cabeza de B. De manera similar, R también puede ser obtenida sumando A y B, figura 1.7d. Por comparación, se ve que la suma vectorial es conmutativa; en otras palabras, los vectores pueden sumarse en cualquier orden, es decir:R= A + B = B + A.Como un caso especial, si los 2 vectores A y B son colineales, es decir, si ambos tienen la misma línea de acción, la ley del paralelogramo se reduce a una suma algebraica o suma escalar R= A + B, como se muestra en la figura 1.7

FIGURA NO 1.7 SUMA DE VECTORES COLINEALES.

AB

R=A + BA

B

R=A + B

A B

R=A + B

AB

R

A B

(A)(B) LEY DEL

PARALELOGRAMO

(C)

(D)

FIGURA NO 1.6. Suma vectorial.

Resta de vectores: La diferencia entre 2 vectores A y B, del mismo tipo puede ser expresada como: R’ = A - B = A + (- B)Esta suma vectorial se muestra gráficamente en la figura 1.8. Dado que la resta se define como un caso especial de la suma, las reglas de la suma vectorial también se aplican a la resta vectorial.

FIGURA 1.8 RESTA VECTORIAL.

Respecto a la suma y resta de vectores en R3los vectores resultantes son igual que R2l para la diagonal. Principal del paralelogramo para la suma y la otra diagonal con las mismas observaciones para la resta como podemos ver en la siguiente figura.

FIGURA NO 1.9

A

B

- B

A

῾ R

- B

A῾ R

LEY DEL PARALELOGRAMO

CONSTRUCCIÓN TRIANGULAR.