48

Unidad 2: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

Tema 2.4: EDL Homogneas con Coeficientes Constantes (EDLHCC)

Primera Parte: EDLHCC de 2o Orden. La forma general para la EDLHCC de 2o orden es: 0=++ cyybya La forma estndar para la EDLHCC de 2o orden es: 0=++ QyyPy ; comparando ambas ecuaciones vemos que:

abP =

Para resolver esta ED suponemos que la solucin es una funcin de la forma y procedemos a sustituirla en la ED para determinar los posibles valores del parmetro m que la satisfacen:

mxey =

( )

aacbbm

aacbbm

ticaCaractersoAuxiliarEcuacincbmamxtodaparaecomoy

cbmamecebmeeam

emymeyey

mx

mx

mxmxmx

mxmxmx

24;

24

00

00

2

2

2

1

2

2

2

2

=+=

=++

=++=++

===

Caso I: Races Reales Diferentes (RRD) En el caso que b tendremos dos races reales diferentes , y tendremos por tanto dos funciones que satisfacen la ED: y la solucin general

042 > ac

( )21 mymxme 22 =xm yey 11 ;=( )xyc 22xyc 11y += de la EDLHCC en este Caso I ser:

RRDICasoececy xmxmh ;;21 21 +=

49

Caso II: Races Reales Repetidas (RRR) En el caso que tendremos dos races reales repetidas, esto es,

tendremos que:

042 = acb

abm2

mm21=== y obtenemos solamente una solucin mxey =1

En este caso utilizamos la frmula para la segunda solucin para obtener la otra solucin que necesitamos para obtener la solucin general:

( )( ) ( )

RRRIICasoxececyquefinalmentetenemosxycxycycomoy

xexxyyxydxydxeydxeyy

abmbma

abmcomoy

dxeydxeeydxeeydx

yeyy

mxmxh

h

mxxm

ab

xmab

mxxab

mx

dxab

Pdx

;;

:

0222

21

2211

12110

1

2

12

2

12

12121

12

+=+=

======

=+==

====

+

+

( )( )

xxh

h

xx

ececyycycyeyey

mmmm

mm

m

m

mmyyy

Ejemplo

32

21

2211

32

21

21

2

1

2

;3,203232

2152

24255

065065

:1

+=+=

====

=

====

==+=+

( )( )

xxh

h

xx

xececyycycyxeyey

mmmmm

mm

m

m

mmyyy

Ejemplo

32

31

2211

32

31

21

2

1

2

;303333

2062

36366

096096

:2

+=+=

=====

=

====

==+=+

} }

xsenecxecyycycyxseneyxey

imimim

m

m

mmyyy

Ejemplo

xxh

h

x

x

33cos

33cos

3232

264

23642

52164

01340134

:3

22

21

2211

22

21

2

1

2

+=+=

==

=+===

=

==+=+

50

Caso III: Races Complejas Conjugadas (RCC)

En el caso que b2 4ac < 0 tenemos races complejas conjugadas: ( )

( ) ( )

[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )[ ][ ]

xseneyxeycasoesteenquelopor

RCCIIICasoxsenecxecyccccxsencxceybcacxbsenxaey

bcciaccibacibactomandorealesfuncionesdeosubconjuntunrselecciona

podemoscomplejassolucionesdeconjuntoestedexsenccixccey

xisenxcxisenxceececeyeeceecececececycycy

sergeneralsolucinlaquetenemosiseneEulerdefrmulalautilizandoy

imabreviadaformaeniabac

abm

abacib

abacb

aacbbm

xx

xxh

xh

xh

xh

xxixixh

xixxixxixixmxmh

i

==+=

+===+=

==+=+=

++=++=+=

+=+=+=+=

===

====

+

21

21

241343

43

212121

2121

2121

2121212211

2

222

;cos:

;;cos

;;cos

2;2;2cos22;2;

:

coscoscos

:cos:

:2

42

24

24

24

21

Ejemplos para la clase:

( ) 0:5033:4

054:30168:2

06:1

4 =++=+++

=+=++

=

yyyE

yyyyEyyyEyyyE

yyyE

+

++=

++=+=

+=+=

23

23cos:5

:4

cos:3

:2

:1

24

2321

2321

22

21

42

41

22

31

xsenec

xecxccyR

excxececyR

senxecxecyR

xececyR

ececyR

x

x

xxx

xx

xx

xx

51

Mas ejemplos para la clase:

( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) 00;10;00;08:9

051025:8

016:7

092416:6

45

5

4

====

=+++=

=++

yyyyyE

yyyyyyE

yyE

yyyE

xsenexe

eyR

ecxececxececyR

xsencxcececcyR

xxsencxxc

xsencxcyR

xx

x

xxxxx

xx

3633cos

61

61:9

:8

22cos:7

23

23cos

23

23cos:6

2

2

554321

54

23

221

43

21

+

=++++=

++++=

+

+

+

=

Tambin se podra ver si sobra tiempo:

Algunos ejemplos al revs: encontrar la ED partiendo de la solucin Construir algunos Operadores Anuladores

Para la prxima clase estudiar las secciones: 4.3 Zill 4.5 y 4.6 Nagle ED Lineales Homogneas de Coeficientes Ctes 4.4 Zill 4.8 y 6.3 Nagle Mtodo de Coeficientes Indeterminados Tarea para entregar la prxima clase: Tarea No. 14 : ED Lineales Homogneas de Coeficientes Ctes

52

Ma-841 : ECUACIONES DIFERENCIALES

Tarea No. 14 : Ecuaciones Lineales Homogneas con Coeficientes Constantes

Determine la solucin general de las siguientes ecuaciones:

( ) 092416:60935:5

023:409:3

02512:204:1

4 =++=++

=++=+

==+

yyyPyyyyP

yyyPyyP

yyyPyyP

+

+

+

=

++=

+

=

+=+=

+=

xxsencxxc

xsencxcyR

xecececyR

xsencxceyR

xsencxcyRececyR

eccyR

xxx

x

xx

x

23

23cos

23

23cos:6

:5

32

32cos:4

33cos:3:2:1

43

21

33

321

213

21

42

321

421

Determine la solucin de los siguientes problemas de valor inicial

( ) ( )( ) ( ) ( ) 70;10;00

;03612:820;20

;016:7

====++

===+

yyyyyyP

yyyyP

xx xeeyR

xsenxyR

66

61

365

365:8

4214cos2:7

+=

=

53

EDLHCC : Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogneas con Coeficientes Constantes

Ecuacin Diferencial: 0=++ cyybya Ecuacin Auxiliar: 02 =++ cbmam

Caso I

Races Reales Diferentes

ac 042 >b

21 mm xm

xm

eyey

2

1

2

1

==

xmxmh ececy 21 21 +=

Caso II

Races Reales Repetidas

ac 042 =b

mmm == 21 mx

mx

xeyey

==

2

1 mxmxh xececy 21 +=

Caso III

Races Complejas Conjugadas

042