Resolver una ecuación diferencial usando transformadas de Laplace
24 transformadas de laplace
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TRANSFORMADAS DE LAPLACE.
1.- Definición de la transformada de Laplace.
tdetfLT
tfts
0T
)(lim)}({ )}({)( tfLsF
2.- Linealidad de la transformada de Laplace.
La transformada de Laplace es una operación lineal, esto es, para funciones dadas )(tf y
)(tg para las cuales la transformada de Laplace existe y constantes dadas a y b, se tiene
)}({)}({)}()({ tgLbtfLatgbtfaL
3.- Funciones elementales y sus transformadas de Laplace.
)(tf )}({ tfL )(tf )}({ tfL )(tf )}({ tfL
1 s
1 tcos 22 s
s tcosh 22 s
s
t 2
1
s tsen
22
s tsenh
22
s
2t 3
!2
s tt cos
222
22
)(
s
s tt cosh 222
22
)(
s
s
nt (n = 1,
2,...) 1
!
ns
n tt sen 222 )(
2
s
s tt senh 222 )(
2
s
s
at (a > 0) 1
)1(
as
a te ta cos 22)(
as
as te ta cosh 22)(
as
as
tae as
1 te ta sen 22)(
as
te ta senh 22)(
as
taet 2)(
1
as
tet ta cos 222
22
])[(
)(
as
as
tet ta cosh
222
22
])[(
)(
as
as
tanet 1)(
!
nas
n tet ta sen 222 ])[(
)(2
as
as
tet ta senh
222 ])[(
)(2
as
as
4.- La transformada inversa.
)(tf es la transformada inversa de Laplace de )(sF : )}({)(1
sFLtf
5.- Linealidad de la transformada inversa de Laplace.
La transformada inversa de Laplace es una operación lineal, esto es, para funciones dadas
)(sF y )(sG para las cuales la transformada inversa de Laplace existe y constantes dadas a y
b, se tiene )}({)}({)}()({111
sGLbsFLasGbsFaL
)()()}()({1
tgbtfasGbsFaL
6.- Condición necesaria para que una función F (s) sea la transformada de Laplace de
una función )(tf .
0)(lim
sFs
. Si 0)(lim
sFs
, entonces )}({1
sFL no existe.
7.- Primer teorema de traslación.
Si )}({)( tfLsF y a es cualquier número real,
)()}({ asFtfeLta
ass
tatfLtfeL )}({)}({
8.- Escalamiento.
a
sF
atafL
1)}({
9.- Tabla de algunas transformadas inversas de Laplace.
)(sF )(tf )(sF )(tf
ns
1 )!1(
1
n
t n )()(
1222 ss
222
2222
)(
sen )(cos2]2)([
ttet t
s
1
t
1
)()( 222 ss
s 222
222222
)(
sen 2cos)()]()([
ttet t
2
3
1
s
t
2
)()( 222
2
ss
s 222
2222222
)(
sen )( cos2]2)([
ttet t
as
1 )(
1
a
t a
)()( 222
3
ss
s 222
3222222223
)(
sen 2cos)()]3()([
ttet t
nas )(
1
tan etn
1
)!1(
1
222 )(
1
s
)cos(sen
2
13
ttt
kas )(
1
tak etk
1
)(
1
222 )( s
s t
t
sen
2
)()(
1
bsas
)(
)(
1 tbta eeba
222
2
)( s
s )cos(sen
2
1ttt
)()( bsas
s
)(
)(
1 tbta ebeaba
222
3
)( s
s ttt sen cos
21
)()()(
1
csbsas
)()()(
)()()(
baaccb
ebaeacecb tctbta
)((
12222 ) bss a
)sen sen ()(
122
tbatabbaba
)()()( csbsas
s
)()()(
)()()(
baaccb
ecbaebaceacb tctbta
)(( 2222 ) bss
s
a
)coscos(
122
tbtaba
)()()(
2
csbsas
s
)()()(
)()()( 222
baaccb
ecbaebaceacb tctbta
)(( 2222
2
) bss
s
a
)sen sen (1
22tbbtaa
ba
)(
122 ss
)cos1(
12
t
)(( 2222
3
) bss
s
a
)coscos(1 22
22tbbtaa
ba
)()(
122 ss
ttte
sen cos1
22
44 4
1
s
)cossenh sen (cosh
4
13
tttt
)()( 22 ss
s )sen cos(
122
tteta
44 4s
s )cossenh sen (cosh
2
1tttt
)()( 22
2
ss
s )sen cos(1 22
22tte
t
44
2
4s
s tt
sen senh
2
12
)(
1222 ss
)sen(
13
tt
44
3
4s
s tt coscosh
10.- Fracciones simples.
La separación en fracciones simples resulta útil para determinar la transformada inversa de
Laplace.
Descomposición de )(
)(
sD
sN en fracciones simples.
El procedimiento siguiente es aplicable sólo a fracciones racionales propias [esto es, si el
grado de )(sD es mayor que el de )(sN ].
Descomponer completamente )(sD en factores de la forma nqsp )( , nas )( 22 y
nabs ])[( 22 .
Regla 1. Factores lineales que no se repiten.
Por cada factor de la forma ii qsp la descomposición en fracciones simples ha de incluir la
siguiente suma de n fracciones:
nnnn qsp
A
qsp
A
qsp
A
qspqspqsp
sN
3
22
2
11
1
2211
1
)()()(
)(
Regla 2. Factores lineales que se repiten.
Por cada factor de la forma nqxp )( la descomposición en fracciones simples ha de incluir
la siguiente suma de n fracciones:
n
n
n qsp
A
qsp
A
qsp
A
qsp
xN
)()()(
)(2
211
Regla 3. Factores cuadráticos que no se repiten.
Por cada factor de la forma 22
ias y 22)( ii abs la descomposición en fracciones simples
ha de incluir la suma de las siguientes fracciones:
222
2
2
22
2
1
2
11
222
2
22
1
2
1
)()()(
)(
n
nn
n as
CsB
as
CsB
as
CsB
asasas
sN
222
2
2
2
222
2
1
2
1
111
222
2
2
2
2
1
2
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
])[(])[(])[(
)(
nn
nnn
nn abs
CbsB
abs
CbsB
abs
CbsB
absabsabs
sN
Regla 4. Factores cuadráticos repetidos.
Por cada factor de la forma nas )( 22 y nabs ])[( 22 la descomposición en fracciones
simples ha de incluir la suma de las siguientes fracciones:
n
nn
n as
CsB
as
CsB
as
CsB
as
sN
)()()(
)(22222
22
22
11
22
1
n
nn
n abs
CbsB
abs
CbsB
abs
CbsB
abs
sN
])[(
)(
])[(
)(
)(
)(
])[(
)(22222
22
22
11
22
1
10.1.- Esquema para resolver la ecuación fundamental.
Factores lineales.
1.- Sustituir en s las raíces de los distintos factores lineales que aparecen en la ecuación
fundamental.
2.- Si hay factores lineales repetidos, usar los coeficientes ya determinados en la parte 1 para
reescribir la ecuación fundamental. A continuación sustituir en s otros valores.
Factores cuadráticos.
1.- Desarrollar la ecuación fundamental.
2.- Agrupar términos según las potencias de s.
3.- Igualar los coeficientes de las potencias correspondientes de s, obteniendo así un sistema
de ecuaciones lineales (Aplicación del Método de los Coeficientes Indeterminados).
4.- Resolver el sistema lineal.
Nota: Pueden utilizarse números complejos para descomponer factores cuadráticos y obtener
las constantes mediante sustitución, como en el caso de factores lineales.
11.- La función escalón unitaria.
La función )( atU se define como sigue
at
atatU
,1
0,0)(
11.1.- Funciones ramificadas en función de escalones unitarios.
atth
attgtf
),(
0),()( )()]()([)()( atUtgthtgtf
)()()]()0([)()( atUthatUtUtgtf
bttj
btath
attg
tf
),(
),(
0),(
)( )()]()([)()]()([)()( btUthtjatUtgthtgtf
)()()]()([)()]()0([)()( btUtjbtUatUthatUtUtgtf
12.- Segundo teorema de traslación.
Si )}({)( tfLsF y a > 0, entonces )()}()({ sFeatUatfLsa
Forma alternativa: )}({)}()({ atfLeatUtfLsa
Fórmula útil para la transformada inversa con exponenciales en función de “s”:
)()}({})({ 11atUsFLesFL att
sa
13.- Diferenciación de transformadas de Laplace.
)()}({ sFtftL )()}({ sFsd
dtftL
)}({1
)}({11
sFLt
sFL
)(1
)}({11
sFsd
dL
tsFL
Si )}({)( tfLsF y n = 1, 2, 3, …, entonces n
nnn
sd
sFdtftL
)()1()}({
14.- Transformada de Laplace de derivadas.
14.1.- Primera derivada. )0()}({)}({ ftfLstfL )0()()}({ ysYstfL )0()}({ yYstfL
14.2.- Segunda derivada. )0()}({)}({ ftfLstfL )0()]0([)}({ yyYsstfL
)0()0()}({2
yysYstfL
14.3.- Tercera derivada.
)0()}({)}({ ftfLstfL )0()]0()0([)}({2
yyysYsstfL
)0()0()0()}({23
yysysYstfL
15.- Transformada de Laplace de Integrales.
)}({1
})({0
tfLs
dfLt
)(1
})({0
sFs
dfLt
t
dfsFs
L0
1)()(
1
16.- Convolución.
)}({)}({})()({0
tgLtfLdtgfLt
)()(})()({0
sGsFdtgfLt
t
dtgfsGsFL0
1)()()}()({
17.- Transformadas de Laplace de funciones periódicas.
La transformada de Laplace de una función periódica continua f (t) de periodo T es:
tdee
tfLT
tfts
Ts
0
)(
1
1)}({
Autor: Ing. Willians Medina. / +58–424–9744352 / +58–426–2276504 / [email protected] /
PIN: 58B3CF2D – 569A409B.
http://www.slideshare.net/asesoracademico/
Abril 2016.
