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LugarGeomtrico

de las Races

3.1

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1. Introduccin

La caracterstica bsica de larespuesta transitoria de un sistema enlazo cerrado se relaciona

estrechamente con la ubicacin de lospolos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia delazo variable la ubicacin de los polosen lazo cerrado depende del valor de laganancia de lazo elegida. !s importante "ue el dise#ador

conozca cmo se mueven los polos en

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Introduccin

$esde el punto de vista del dise#o unsimple ajuste de la ganancia en algunos

sistemas mueve los polos en lazocerrado a las posiciones deseadas. %un"ue el problema de dise#o se

centra en la seleccin de un valor deganancia adecuada. Si el a&uste de la ganancia no producepor s solo un resultado convenienteser necesario agregar al sistema un

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Introduccin

'. R. !vans dise# un mtodo sencilloparaencontrar las races de la ecuacin

caracterstica,que se usa ampliamente en la ingenierade control.

Se denomina mtodo del lugargeomtrico de las races, en l segra!can las races de la ecuacincaracterstica para todos los valores deun par"metro del sistema.

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(. )todo del Lugar Geomtrico delas Races

La idea bsica detrs del mtododel LGR es "ue los valores "ue *acen

"ue la +uncin de trans+erenciaalrededor del lazo sea igual a , 1deben satis+acer laecuacin caracterstica del sistema. !l mtodo debe su nombre al lugargeomtrico de lasraces de la ecuacin caracterstica

del sistema en

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(. )todo del Lugar Geomtrico de

las Races

!l mtodo del LGR resulta mu /til

dado "ue indica la +orma en la "uedeben modi-carse los polos cerosen lazo abierto para "ue la respuesta

cumpla las especi-caciones dedesempe#o del sistema. %lgunos sistemas de controlpueden tener ms de un parmetro"ue deba a&ustarse.

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(. )todo del Lugar Geomtrico de lasRaces

!n la maor parte de los casos el

parmetro delsistema es la ganancia de lazo K,aunque el par"metro

puede ser cual"uier otra variable delsistema. Si el dise#ador sigue las reglasgenerales paraconstruir los lu ares eomtricos le

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(. )todo del Lugar Geomtrico de lasRaces

$ebido a "ue generar los lugares

geomtricos de lasraces usando )%0L% es mu simplese podra

pensar "ue trazar los lugaresgeomtricos de las racesen +orma manual es una prdida de

tiempo es+uerzo.

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3. 4ondiciones de %ngulo )agnitud

4onsidere el sistema de controlrealimentado mostrado en la 5igurasiguiente.

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3. 4ondiciones de %ngulo )agnitud

La +uncin de trans+erencia de lazo cerradoes6

La ecuacin caracterstica para este sistemaen lazo cerrado se obtiene *aciendo "ue eldenominador o de la ecuacin anterior sea

igual a 4ero6

( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

C S G S

R S G S H S=

+

1 ( ) ( ) 0

( ) ( ) 1

( ) ( ) 1 (condicion magnitud)

( ) ( ) 180(2 1) (Condicion de argumento)

0,1,2...

G S H S

G S H S

G S H S

G S H S k

k

+ =

=

=

= +

=

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!&ercicio1. 0razar el $.L.R. del siguientesistema

%dems determinar el valor de 7

tal "ue el +actor deamortiguamiento de los poloscomple&os dominantes sea igual

a 8.9

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1. Ubique los ceros y polos de G(S)H(S) en el plano sEl primer paso al construir una grfica del lugar geomtrico es ubicar los polos en

lazo abierto, s = 0, s = -1 y s = -2, en el plano compleo, en el cual n=3 y m=0!or consiguiente "ay 3 ramificaciones del #.$.%.2. Determine los lugares geomtricos de las races sobre el ee real&l construir los lugares geomtricos sobre el ee real, seleccione un punto en

ste. 'i la cantidad total de polos y ceros reales a la derec"a de este punto deprueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geomtrico de lasra(ces .

!. Determine las asntotas de los lugares geomtricos de las racesEl numero de as(ntotas es n-m=3El &ngulo de las as(ntotas

180 (2 1) sin .....( 0,1,2.....)

30; 60

1; 180

2; 300

kA totas k

k

k

k

+= =

= =

= =

= =

o

S

S

S

R

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4.- Encuentre los puntos de ruptura de partida ( desprendimiento) y de llegada(

ingreso).

El punto s = -0.4226 pertenece al lugar geomtrico de la races y esta entre 0 y -1Es decir esta entre 2 polos adyacentes es un punto de ruptura de partida

5. Determine el ngulo de salida (ngulo de llegada) de un lugar geomtrico delas races a partir de un polo comple!o (un cero comple!o).

Este paso no se utiliza porque no se tiene polos ni ceros complejos

6. Encuentre los puntos en los "ue los lugares geomtricos de las races cru#anel e!e imaginario.

&.-Estos puntos se encuentran mediante el criterio de estabilidad de %out", del modosiguiente)

dado *ue la ecuaci+n caracter(stica para el sistema actual ess3 3s2 2s = 0

3 2

2

1 0( 1)( 2)

( 3 2 )

(3 6 2) 0

s = -0.4226, s = -1.5774

K

S S S

K S S S

dKS S

dS

+ =+ +

= + +

= + + =

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El arreglo de %out" se conierte en

El alor de $ *ue iguala con cero el trmino s1de la primera columna es $ = /. #ospuntos de cruce con el ee imaginario se encuentran despus despeando la ecuaci+nauiliar obtenida del rengl+n s2 es decir,

23( ) 6 0

2( C! "#" $%&'$!&$)

J

CRUCE

+ =

=

n enfo*ue alternatio es reemplazar s = en la ecuaci+n caracter(stica,igualar con cero tanto la parte imaginaria como la real y despus despear y $.

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4e igual manera se obtiene 5=672

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$rfica del lugar de las ra(ces.

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8allamos alor de para 9=0.:, cos ;=0.:?5= -73 ? Ec.1

Ecuaci+n de la @ura1 1 1

2 2

1 2 180 (2 1)

n n n 180 (2 1)1 2

1

21

13 6 2 "c.2

de as ecuaciones 1 *2

1 3se tiene+ =- * =

3 3

S S S K

ta ta ta K

+ + = +

= ++ +

++

= +

++ + =

El alor de K *ue produce tales polos se encuentra a partir de la condici+nde magnitud, del modo siguiente)

1 3

3 3

1 3 2 3 5 3( 1)( 2) 1.037

3 3 3 3 3 3S j

K S S S j j j= +

= + + = + + + =

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Eercicio2. Arazar el 4.#.%. del siguiente sistema

B

&dems determinar el alor de tal *ue el factor deamortiguamiento de los polos compleos dominantessea igual a 0.C

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1. Ubique los ceros y polos de G(S)H(S) en el plano sEl primer paso al construir una grfica del lugar geomtrico es ubicar los

polos y ceros en lazo abierto, s = -1672 y s = -2, en el plano compleo,en el cual n=2 y m=1

!or consiguiente "ay 2 ramificaciones del #.$.%.2. Determine los lugares geomtricos de las races sobre el ee real&l construir los lugares geomtricos sobre el ee real, seleccione un punto

en ste. 'i la cantidad total de polos y ceros reales a la derec"a deeste punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar

geomtrico de las ra(ces .!. Determine las asntotas de los lugares geomtricos de las racesEl numero de as(ntotas es n-m=1El &ngulo de las as(ntotas

180 (2 1) sin .....( 0)1

0; 180

kA totas k

k

+= =

= =

o

S

S

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4.- Encuentre los puntos de ruptura de llegada( ingreso).

El punto s = -%.&%2 pertenece al lugar geomtrico de la races y esta entre -2 y-' y es un punto de llegada

5. Determine el ngulo de salida de un lugar geomtrico de las races a partirde un polo comple!o.

"ngulo de salida desde un polo compleo= 1D0- suma de los ngulos deectores "acia el polo compleo en cuesti+n desde otros polosF suma de losngulos de ectores "acia el polo compleo en cuesti+n desde los cerosF"ngulo de salida desde un polo compleo= 1D0-G0:H.CH=1HH.CH=1H:

6. Encuentre los puntos en los "ue los lugares geomtricos de las racescru#an el e!e imaginario.

Ia se tienen las 2 ramas y no cruza el ee imaginario

2

2 1

2

( 2)1 0

2 3

( 2 3)( 2)

( 4 1) 0

s = -3.732, s = -0.268

K S

S S

K S S S

dKS S

dS

++ =

+ +

= + + +

= + + =

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--2

=-172

=G0

=:H.CH

J1=1D0-G0:H.CH=1H:

=1HH.CH

=-1-72

4ebido a *ue el lugar de las ra(ces es simtrico con respecto al ee real,el ngulo de salida del polo en s=-p2 es -1H:.

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$rfica del lugar de las ra(ces

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8allamos alor de para 9=0.C, cos ;=0.C?5= -1.02 ? Ec.1

Ecuaci+n de la @ura

1 1 1

2 2

2 1 2 1 2 180 (2 1)

2 2n n n 180 (2 1)

2 1 1

2 2

1 1

22 21

1 1

4 1 "c.2

de as ecuaciones 1 *2

se tiene+ -1.67 * 1.70

S S j S j K

ta ta ta K

+ + + + = +

+ = +

+ + +

+ +

+ +=

++

+ +

+ + =

El alor de K *ue produce tales polos se encuentra a partir de la condici+nde magnitud, del modo siguiente)

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#on$iguraciones tpicas de polos y ceros y suscorrespondientes lugares de las races.