5 Formulacion Mef Para Estados Planos

ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION

Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde

Z

Y

X

SuSf

t

v

𝜎 =

𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦𝜎𝑥𝑦

=

𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦𝜏𝑥𝑦

𝜀 =

𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦𝜀𝑥𝑦

=

𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦𝛾𝑥𝑦

x

yz



Z

Y

X

SuSf

t

v

𝑢 = 𝑢 𝑥, 𝑦

𝑣 𝑥, 𝑦

𝜎𝑧𝑧 = 𝜈 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦

x

yz



𝜎 = 𝐶 𝜀

𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢

De manera general, en elasticidad tridimensional:

𝜕𝜀 =

𝜕

𝜕𝑥0

0𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥



𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢

Deformaciones para EPD:




=

𝜕

𝜕𝑥0

0𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥

𝑢 𝑥,𝑦

𝑣 𝑥,𝑦

𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢

Deformaciones para EPD:



𝜎 = 𝐶 𝜀

𝐶 =𝐸 1 − 𝜐

1 + 𝜐 1 − 2𝜐

1

𝜐

1 − 𝜐0

𝜐

1 − 𝜐1 0

0 01 − 2𝜐

2 1 − 𝜐

Tensiones para EPD:



𝜎 = 𝐶 𝜀

𝜎 =𝐸 1 − 𝜐

1 + 𝜐 1 − 2𝜐

1

𝜐

1 − 𝜐0

𝜐

1 − 𝜐1 0

0 01 − 2𝜐

2 1 − 𝜐

𝜀

Tensiones para EPD:



𝜎 = 𝐶 𝜀

𝜎 =𝐸 1 − 𝜐

1 + 𝜐 1 − 2𝜐

1

𝜐

1 − 𝜐0

𝜐

1 − 𝜐1 0

0 01 − 2𝜐

2 1 − 𝜐

𝜕

𝜕𝑥0

0𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥

𝑢 𝑥, 𝑦

𝑣 𝑥,𝑦

Tensiones para EPD:



Lu

Lf

X

yz

𝑡 𝜀𝑇𝜎𝑑𝐴

𝐴

= 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝐵𝑑𝐴

𝐴

+ 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝑆𝑑𝐿

𝐿𝑓

∀ 𝑢 , 𝑢 = 0 en 𝐿𝑢

P.T.V.:

𝜀𝑇𝜎𝑑𝑧𝑑𝐴

𝑡2

−𝑡 2 𝐴

= 𝑢𝑇𝑓𝐵𝑑𝑧𝑑𝐴

𝑡2

−𝑡 2 𝐴

+ 𝑢𝑇𝑓𝑆𝑑𝑧𝑑𝐿

𝑡2

−𝑡 2 𝐿𝑓



𝜎 = 𝐶 𝜀

𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢


𝐴


𝐴


𝐿𝑓

∀ 𝑢 , 𝑢 = 0 en 𝐿𝑢

𝑡 𝜕𝜀 𝑢 𝑇𝐶 𝜕𝜀 𝑢𝑑𝐴

𝐴


𝐴


𝐿𝑓

∀ 𝑢 ,𝑢 = 0 en 𝐿𝑢



A

m

DISCRETIZACION:



PUNTOS

m

NODALES

y,v

x,u



𝑢 𝑚 𝑥, 𝑦

𝑣 𝑚 𝑥, 𝑦 Interpolación 𝑢 =

𝑢1

𝑣1𝑢2

𝑣2𝑢3

𝑣3𝑢4

𝑣4

v2

u2

v3

u3

v4

u4

v1

u1

y

x

Referencial Local:



𝑢ℎ 𝑥,𝑦 ,𝑣ℎ 𝑥,𝑦

𝑢ℎ 𝑥,𝑦 , 𝑣ℎ 𝑥,𝑦



m

1 2 3 4

5 6 7 8 9

Up

Uk

y,v

x,u



Us

Ur

Uf

Ue

Uo

Ut

y

x

Uj

Ui

Referencial Global:



v2

u2

v3

u3

v4

u4

y

x

v1

u1

b

a

3 4

12

Referencial Local:



1

Y

X

h1(x,y)

ℎ1 𝑥1,𝑦1 = 1

ℎ1 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 0 𝑖 ≠ 1



1

Y

X

h2(x,y)

ℎ2 𝑥2,𝑦2 = 1

ℎ2 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 0 𝑖 ≠ 2



1

Y

X

h3(x,y)

ℎ3 𝑥3,𝑦3 = 1

ℎ3 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 0 𝑖 ≠ 3



1

Y

X

h4(x,y)

ℎ4 𝑥4,𝑦4 = 1

ℎ4 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 0 𝑖 ≠ 4



ℎ1 𝑥, 𝑦 =1

4𝑎𝑏 2𝑥 + 𝑎 2𝑦 + 𝑏

ℎ2 𝑥,𝑦 =1

4𝑎𝑏 𝑎 − 2𝑥 𝑏 + 2𝑦

ℎ3 𝑥,𝑦 =1

4𝑎𝑏 𝑎 − 2𝑥 𝑏 − 2𝑦

ℎ4 𝑥,𝑦 =1

4𝑎𝑏 𝑎 + 2𝑥 𝑏 − 2𝑦

v2

u2

v3

u3

v4

u4

y

x

v1

u1

b

a

3 4

12



𝑢 𝑥, 𝑦 = ℎ1 𝑥,𝑦 𝑢1 + ℎ2 𝑥, 𝑦 𝑢2 + ℎ3 𝑥,𝑦 𝑢3 + ℎ4 𝑥, 𝑦 𝑢4

𝑢 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 𝑢𝑖

𝑢 𝑥, 𝑦 = ℎ𝑖 𝑥, 𝑦 𝑢𝑖

4

𝑖=1



𝑣 𝑥, 𝑦 = ℎ𝑖 𝑥, 𝑦 𝑣𝑖

4

𝑖=1

𝑣 𝑥,𝑦 = ℎ1 𝑥, 𝑦 𝑣1 + ℎ2 𝑥, 𝑦 𝑣2 + ℎ3 𝑥,𝑦 𝑣3 + ℎ4 𝑥,𝑦 𝑣4

𝑣 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 𝑣𝑖



𝑢 𝑚 = 𝑢 𝑥, 𝑦

𝑣 𝑥, 𝑦

𝑢 𝑚 = 𝐻 𝑢

𝐻 = ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4 00 ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4

𝑢 𝑇 = 𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑢3 𝑣3 𝑢4 𝑣4



Referencial Local:

v2

u2

v3

u3

v4

u4

y

x

v1

u1

b

a

3 4

12

Us

Ur

Uf

Ue

Uo

Ut

y

x

Uj

Ui

Referencial Global:



𝑈𝑇 = 𝑈1 𝑈2 ⋯ 𝑈𝑁

𝑢2x1 𝑚

= 𝐻2xN 𝑚

𝑈Nx1

𝑢 𝑥, 𝑦 = ℎ1𝑈𝑖 + ℎ2𝑈𝑟 + ℎ3𝑈𝑒 + ℎ4𝑈𝑡

𝑣 𝑥,𝑦 = ℎ1𝑈𝑗 + ℎ2𝑈𝑠 + ℎ3𝑈𝑓 + ℎ4𝑈𝑜

Para toda la estructura:

𝐻 𝑚 = 0 ⋯ 0 ℎ3 0 0 0 ℎ1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ℎ2 0 ℎ4 0 ⋯ 00 … 0 0 ℎ3 0 0 0 ℎ1 0 ⋯ 0 ℎ4 0 0 0 ℎ2 0 0 ⋯ 0

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑𝑒 𝑓 𝑖 𝑗 𝑜 𝑟 𝑠 𝑡



𝜀 𝑚 =

𝜀𝑥𝑥

𝑚

𝜀𝑦𝑦 𝑚

𝛾𝑥𝑦 𝑚

= 𝐵 𝑚 𝑈

𝜀𝑥𝑥 𝑚

=𝜕𝑢 𝑚

𝜕𝑥=

𝜕ℎ𝑖𝜕𝑥

4

𝑖=1

𝑢𝑖

𝜀𝑦𝑦 𝑚

=𝜕𝑣 𝑚

𝜕𝑦=

𝜕ℎ𝑖𝜕𝑦

4

𝑖=1

𝑣𝑖

𝛾𝑥𝑦 𝑚

=𝜕𝑢 𝑚

𝜕𝑦+𝜕𝑣 𝑚

𝜕𝑥=

𝜕ℎ𝑖𝜕𝑦

4

𝑖=1

𝑢𝑖 + 𝜕ℎ𝑖𝜕𝑥

4

𝑖=1

𝑣𝑖



𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢

𝑢 𝑚 = 𝐻 𝑚 𝑈

𝜀 𝑚 = 𝜕𝜀 𝐻 𝑚 𝑈

𝐵 𝑚 = 𝜕𝜀 𝐻 𝑚

𝜀 𝑚 = 𝐵 𝑚 𝑈



𝐾 𝑚 = 𝐵 𝑚 𝑇𝐶 𝑚 𝐵 𝑚 𝑑𝐴 𝑚

𝐴 𝑚

𝐾𝑖𝑗 𝑚

= 𝐵𝑖 1x3 𝑚 𝑇

𝐶3x3 𝑚

𝐵𝑗 3x1 𝑚

𝑑𝐴 𝑚

𝐴 𝑚

𝐵𝑖 𝑚

∶ Columna i de la matriz 𝐵 𝑚



𝑈𝑖 𝑦 𝑈𝑗 pertenecen al elemento 𝑚 ⇒ 𝐾𝑖𝑗 ≠ 0

𝑢 𝑚 = 𝐻 𝑢 = ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4 00 ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4

𝑢

𝜀 𝑚 = 𝐵 𝑢 =

𝜕ℎ1

𝜕𝑥0

0𝜕ℎ1

𝜕𝑦𝜕ℎ1

𝜕𝑦

𝜕ℎ1

𝜕𝑥

𝜕ℎ2

𝜕𝑥0

0𝜕ℎ2

𝜕𝑦𝜕ℎ2

𝜕𝑦

𝜕ℎ2

𝜕𝑥

𝜕ℎ3

𝜕𝑥0

0𝜕ℎ3

𝜕𝑦𝜕ℎ3

𝜕𝑦

𝜕ℎ3

𝜕𝑥

𝜕ℎ4

𝜕𝑥0

0𝜕ℎ4

𝜕𝑦𝜕ℎ4

𝜕𝑦

𝜕ℎ4

𝜕𝑥

𝑢



𝐾8x8 𝑚

= 𝐵8x3𝑇 𝐶3x3𝐵3x8

𝐴

𝑑𝐴

𝐾𝑝𝑞 𝑚

= 𝐵𝑝𝑇 𝐶 𝐵𝑞 𝑑𝐴

𝐴

sistema local ⟶ 𝐾𝑝𝑞 𝑚

sistema global ⟶ 𝐾𝑖𝑗 𝑚

𝐾𝑝𝑞 𝑚

= 𝐾𝑖𝑗 𝑚



𝐿𝑀 𝑚 = 𝑖𝑢1

1

𝑗𝑣1

2

𝑟𝑢2

3

𝑠𝑣2

4

𝑒𝑢3

5

𝑓𝑣3

6

𝑡𝑢4

7

𝑜𝑣4

8

Referencial Local Referencial Global

posición 𝑖𝑖 ⨁𝐾11 𝑚

posición 𝑖𝑗 ⨁𝐾12 𝑚

posición 𝑖𝑟 ⨁𝐾13 𝑚

⋮

posición 𝑖𝑜 ⨁𝐾18 𝑚

posición 𝑗𝑗 ⨁𝐾22 𝑚

posición 𝑗𝑟 ⨁𝐾23 𝑚

posición 𝑗𝑠 ⨁𝐾24 𝑚

⋮

ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION


𝑢 = 𝑢 𝑥, 𝑦

𝑣 𝑥, 𝑦

𝜀 =


=

𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦𝛾𝑥𝑦

𝜎 =

𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦𝜎𝑥𝑦

=

𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦𝜏𝑥𝑦

𝜀𝑧𝑧 = −𝜈

𝐸 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦



𝜎 = 𝐶 𝜀

𝐶 =𝐸

1 − 𝜐2

1 𝜐 0𝜐 1 0

0 01 − 𝜐

2

𝜎 =𝐸

1 − 𝜐2

1 𝜐 0𝜐 1 0

0 01 − 𝜐

2




𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢


=

𝜕

𝜕𝑥0

0𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥

𝑢 𝑥,𝑦

𝑣 𝑥,𝑦



𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢

𝜎 =𝐸

1 − 𝜐2

1 𝜐 0𝜐 1 0

0 01 − 𝜐

2

𝜕

𝜕𝑥0

0𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥

𝑢 𝑥, 𝑦

𝑣 𝑥,𝑦



Lu

Lf

X

yz


𝐴


𝐴


𝐿𝑓

∀ 𝑢 , 𝑢 = 0 en 𝐿𝑢

P.T.V.:

𝜀𝑇𝜎𝑑𝑧𝑑𝐴

𝑡2

−𝑡 2 𝐴

= 𝑢𝑇𝑓𝐵𝑑𝑧𝑑𝐴

𝑡2

−𝑡 2 𝐴

+ 𝑢𝑇𝑓𝑆𝑑𝑧𝑑𝐿

𝑡2

−𝑡 2 𝐿𝑓