7 GEOMETRÍA DEL PLANO. MOVIMIENTOS · PDF fileEn el material complementario Comprende y...

7 Geometría del plano. Movimientos

194Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

En esta unidad se introducen tres conceptos nuevos y básicos en el estudio de la geometría: lugares geométricos, vectores y movimientos en el plano. Es fundamental que los alumnos identifiquen el estudio de la unidad con su entorno, reconozcan la belleza de las expresio-nes artísticas y valoren la necesidad de tener cultura geométrica para realizar sus propias creaciones. Es importante que aprendan a ser

rigurosos en la utilización del lenguaje geométrico, en la realización de cálculos aritméticos y en las representaciones gráficas que van a realizar.

Los contenidos de esta unidad parten de hechos concretos y cotidianos. La exposición de cada sección debe ir acompañada de la realización de los ejercicios que se proponen, tanto en la propia sección como en las páginas de actividades finales.

La metodología se ha diseñado incluyendo actividades integradas que permitirán adquirir varias competencias al mismo tiempo.

Comunicación lingüística (CL) Es la protagonista de toda la unidad, teniendo especial importancia en las secciones Matemáticas vivas, Geometría en el arte y Lee y compren-de las matemáticas del final del bloque.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla lo largo de toda la unidad, aplicando el razonamiento matemático para describir, interpretar y representar situaciones. Los alum-nos construirán elementos geométricos utilizando herramientas de dibujo como el transportador de ángulos y programas informáticos.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.

Competencias sociales y cívicas (CSC)Está presente en varias actividades que permitirán desarrollar la capacidad de comunicarse de una manera constructiva.

Competencia aprender a aprender (CAA)A lo largo de la unidad se considera la necesidad de que los alumnos adquieran la capacidad de motivarse por aprender. Para ello, se proponen actividades basadas en estrategias de aprendizaje que desarrollarán sus propias habilidades y el trabajo cooperativo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío) y en la sección de Matemáticas Vivas.

Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)Se integra a lo largo de toda la unidad y especialmente en las secciones Matemáticas vivas y Geometría en el arte.

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 3 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Reconocer un lugar geométrico en el plano y definir como lugares geométricos figuras planas conocidas.❚❚ Reconocer los ángulos que se obtienen al cortar dos rectas, y los ángulos definidos por dos rectas paralelas cortadas por una secante.❚❚ Relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo mediante el teorema de Pitágoras.❚❚ Calcular el perímetro y el área de un polígono, y obtener la longitud y el área de una figura circular.❚❚ Reconocer las traslaciones, los giros y las simetrías como movimientos en el plano.❚❚ Obtener vectores en el plano y aplicarlos en una traslación.❚❚ Aplicar una traslación, un giro o una simetría a una figura del plano.❚❚ Distinguir los tipos de simetría y aplicarlos a una figura del plano.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando la geometría del plano y los movimientos.

GEOMETRÍA DEL PLANO. MOVIMIENTOS7

195

7Geometría del plano. Movimientos

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionados con la geometría en el plano. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los con-tenidos y procedimientos estudiados sobre geometría en el plano, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con la geometría en el plano, pueden acceder a las lecciones 1113, 1114, 1115, 1116, 1125, 1127 y 1230 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Lugares geométricos

1. Reconocer lugares geométricos en el plano. 1.1 Conoce las propiedades de los puntos de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo, utilizándolas para resolver problemas geométricos sencillos.1.2 Identifica lugares geométricos sencillos.

1, 5, 676, 78

2-4, 7-9, 75, 77

CLCMCTCSCCAACSIEE

Relaciones entre ángulos

2. Manejar relaciones entre ángulos definidos por rectas que se cortan o por rectas paralelas cortadas por una secante.

2.1. Reconoce ángulos complementarios, suplementarios, adyacentes, opuestos por el vértice y correspondientes.

10-1779-82

CLCMCTCSCCAACSIEE

Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

3. Relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo mediante el teorema de Pitágoras.

3.1. Calcula longitudes de lados desconocidos en un triángulo rectángulo.3.2. Aplica el teorema de Pitágoras para resolver problemas en diferentes contextos.

18-20, 25, 84, 85

21-24, 26-2983, 86-93

CLCMCTCDCSCCAACSIEE

Perímetros y áreas de figuras planasPolígonosFiguras circulares

4. Obtener medidas de longitudes y áreas de figuras poligonales.

5. Calcular medidas de longitudes y áreas de figuras circulares.

6. Resolver problemas reaccionados con el cálculo de longitudes y áreas.

4.1. Calcula medidas y áreas de polígonos.

5.1. Obtiene medidas y áreas de figuras circulares.

6.1. Resuelve problemas donde intervienen figuras poligonales y figuras circulares.

30-33, 35-3897, 101, 104

39-41105, 110

34, 42-44, 94-96, 98-100, 102, 103, 106-109, 111, 112

CL CMCT CSCCAACSIEECCEC

TraslacionesVectores

7. Obtener vectores en el plano y aplicarlos en una traslación.

7.1. Determina las coordenadas cartesianas y el módulo de un vector.7.2. Reconoce las coordenadas del vector traslación y relaciona las coordenadas de un punto con las de su trasladado.

45, 46, 114

47-50, 55 115-117, 119

CLCMCTCDCSCCAACSIEECCEC

Giros 8. Reconocer las traslaciones como movimientos en el plano.

9. Reconocer los giros como movimientos en el plano.

8.1. Aplica una traslación geométrica a una figura.

9.1. Identifica el centro y la amplitud de un giro y aplica giros a puntos y figuras en el plano.

51-54118

56-63121

Simetrías 10. Reconocer las simetrías como movimientos en el plano.

11. Relacionar transformaciones geométricas con movimientos.

10.1. Halla las coordenadas de puntos transformados por una simetría.10.2. Obtiene la figura transformada mediante una simetría.10.3. Reconoce centros y ejes de simetría en figuras planas.

11.1. Identifica movimientos presentes en diseños cotidianos y obras de arte y genera creaciones propias mediante la composición de movimientos.

65-68, 122

69, 70, 123

71, 72, 124

64, 73, 74, 113, 120G1Matemáticas vivasTrabajo cooperativo


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Relaciones entre ángulos

4. Perímetros y áreas de figuras planas

• Polígonos • Figuras circulares

7. Simetrías

¿Qué tienes que saber? • Relaciones entre ángulos • Teorema de Pitágoras. Aplicaciones • Movimientos en el plano

Matemáticas vivasMosaicos • Belleza de los diseños geométricos

inspirados en figuras de la naturaleza

AvanzaTeorema de Pitágoras generalizado

Geometría en el arteTransformaciones geométricas

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidadIdeas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Descubriendo la geometría

1. Lugares geométricos

Vídeo. Teorema de Pitágoras

Vídeo. Traslaciones

Vídeo. Giros

Vídeo. Simetrías

3. Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

5. Traslaciones • Vectores

6. Giros

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.esLecciones 1113, 1114, 1115, 1116, 1125, 1127 y 1230 de la web mismates.es

Practica+

Comprende y resuelve problemas


Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Imagen mural, adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro Gravié

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO196

197



Sugerencias didácticas

La presentación de la unidad podría hacerse recordando las posiciones relativas entre rectas y reconociendo los elemen-tos y las propiedades de las figuras planas.

Las actividades propuestas en la unidad deberán ser el hilo conductor del aprendizaje de los alumnos. En ellas tam-bién se presentan estrategias y herramientas tecnológicas básicas.

Es importante que los alumnos adquieran la destreza de manejar regla, el compás y el transportador de ángulos, así como utilizar el lenguaje geométrico y algebraico ade-cuado.

Contenido WEB. DESCUBRIENDO LA GEOMETRÍA

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recur-so TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se explica cómo se desarrolla la percepción de la geometría desde que somos niños. Puede utili-zarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Determina si son secantes, paralelas o coincidentes.

a) 3x −5y = 4

3x −5y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b)

6 x −5y = 1

4 x + 3y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c)

2x + 3y = 4

4 x + 6 y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.

a) En un triángulo isósceles, los tres lados son desiguales.

b) Un triángulo equilátero es acutángulo.

c) En un triángulo obtusángulo, los tres ángulos son obtusos.

3. Dibuja estos cuadriláteros.

a) Rectángulo. b) Romboide. c) Trapecio isósceles.

4. ¿Cuál de estas propiedades es falsa?

a) El rombo tiene los lados iguales, pero los ángulos no.

b) El cuadrado es un rectángulo con los lados iguales.

c) Las diagonales de un paralelogramo forman un ángulo de 90º.

121

7 GEOMETRÍA DEL PLANO.

MOVIMIENTOS

La presencia de los polígonos y las figuras circulares en la naturaleza ha sido objeto de estudio desde la antigüedad. Científicos y matemáticos se preguntaron durante siglos por qué las abejas conocen y utilizan los hexágonos para construir sus panales y cómo son capaces de crear la forma que mejor aprovecha el plano con el menor coste energético posible.

Los pitagóricos lograron relacionar la superficie de cualquier polígono con la del cuadrado y plantearon uno de los problemas más famosos de la historia de las matemáticas: la cuadratura del círculo. Este problema consiste en obtener un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo dado.

1.

La presencia de los polígonos y las figuras circulares en la naturaleza ha sido objeto de estudio desde la antigüedad. Científicos y matemáticos se preguntaron durante siglos por qué las abejas conocen y utilizan los hexágonos para construir sus panales y cómo son capaces de crear la forma que mejor aprovecha el plano con el menor coste energético posible.

Los pitagóricos lograron relacionar la superficie de cualquier polígono con la del cuadrado y plantearon uno de los problemas más famosos de la historia de las matemáticas: la cuadratura del círculo. Este problema consiste en obtener un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo dado.

IDEAS PREVIAS

❚ Posiciones relativas de dos

rectas.

❚ Clasificación de los

triángulos por sus lados

y por sus ángulos.

❚ Clasificación de los

cuadriláteros.

❚ Propiedades de los

paralelogramos.

A partir de los dos años, un niño es capaz de distinguir las figuras geométricas planas básicas, aunque no conozca sus nombres ni sus propiedades; la geometría nos rodea desde que somos pequeños en nuestras actividades diarias.

Matemáticas en el día a día ][mac3e23

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Determina si son secantes, paralelas o coincidentes.

a) b) c)

3x −5 y = 4

3x −5 y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

6 x −5 y = 1

4 x + 3 y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3 y = 4

4 x + 6 y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) Como los coeficientes de x e y son iguales y los términos independientes son distintos, son rectas paralelas.

b) Los coeficientes de x e y son diferentes; por tanto, son rectas secantes.

c) Los coeficientes de la segunda ecuación son proporcionales a los de la primera, luego son rectas coincidentes.

2. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.

a) En un triángulo isósceles, los tres lados son desiguales.

b) Un triángulo equilátero es acutángulo.

c) En un triángulo obtusángulo, los tres ángulos son obtusos.

a) Falsa. Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y uno desigual.

b) Verdadera. Los tres ángulos en un triángulo equilátero son iguales y miden 60º.

c) Falsa. Solo un ángulo puede ser obtuso.

3. Dibuja estos cuadriláteros.

a) Rectángulo. b) Romboide. c) Trapecio isósceles.

Comprobar que los alumnos dibujan un rectángulo, un romboide y un trapecio cuyos lados no paralelos son iguales.

4. ¿Cuál de estas propiedades es falsa?

a) El rombo tiene los lados iguales, pero los ángulos no.

b) El cuadrado es un rectángulo con lados iguales.

c) Las diagonales de un paralelogramo forman un ángulo de 90º.

Es falsa la propiedad del apartado c).



1. Lugares geométricos

123

7Actividades7 Geometría del plano. Movimientos

122

Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a dos rectas que se cortan formando un ángulo recto.

Halla y representa el lugar geométrico del plano cuyos puntos se encuentran a la misma distancia de la recta 2x + y = 4.

Determina el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a dos rectas paralelas.

Traza una circunferencia de 4 cm de radio y, a continuación, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia de 1 cm de ella.

Dibuja el segmento determinado por los puntos A(2, 1) y B(2, 3) y traza su mediatriz.

Si A y B son dos puntos del plano, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que cumplen que el triángulo ABP es isósceles.

Dados dos puntos, A y B, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que verifican que el triángulo ABP es rectángulo.

Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de estos segmentos.

a) b)

1

2

3

4

5

6

7

8

1. LUGARES GEOMÉTRICOSTres pueblos situados en una llanura han decidido mejorar sus instalaciones.

❚ El pueblo A quiere construir una carretera de circunvalación de forma que la distancia de cualquier punto de la carretera al centro de la localidad sea de 1 km.

❚ Los vecinos de los pueblos A y B han acordado la construcción de un cortafuegos en la zona forestal que comparten. Deberá cumplir la normativa de que cada punto del mismo ha de distar del pueblo A lo mismo que del pueblo B.

❚ Una compañía de electricidad va a modificar el tendido eléctrico. Para ello, debe situar un nuevo cable que parta del centro del pueblo A y la distancia del tendido a las carreteras AB y AC ha de ser la misma en cada punto.

Las mejoras de las instalaciones estarán formadas por conjuntos de puntos que cumplen una misma propiedad. Diremos que son lugares geométricos.

Se llama lugar geométrico en el plano al conjunto de todos los puntos del plano que verifican una determinada propiedad.

❚ En el caso del pueblo A tenemos que trazar una circunferencia con centro en el pueblo A y 1 km de radio, para que todos los puntos de este lugar geométrico se encuentren a la misma distancia.

❚ Para encontrar un lugar que se sitúe a la misma distancia y diseñar así el cortafuegos, debemos trazar la mediatriz del segmento de extremos A y B, esto es, la recta perpendicular al segmento AB, y que pasa por su punto medio.

❚ La dirección de la recta que la compañía eléctrica debe seguir es la de la bisectriz del ángulo BAC que forman las carreteras BA y AC.

❚ Una circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya distancia al centro es igual a r.

d(P, C) = r

❚ La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano que equidistan de A y de B, es decir, que están a la misma distancia de los extremos del segmento.

d(P, A) = d(P, B)

❚ La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano que equidistan de las rectas r y s que forman dicho ángulo.

d(P, r) = d(P, s)

Aprenderás a… ● Reconocer un lugar geométrico en el plano.

● Definir como lugares geométricos figuras planas conocidas.

A

P Qrr

M

rc

d’d

A

BP

Q

d

d’m

dd’

d’

A

B

CP

Q

d

b

} Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas secantes, r y s.

Solución

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de r y de s son dos rectas perpendiculares entre sí.

Se trata de las bisectrices de los ángulos determinados por las rectas r y s.

EJERCICIO RESUELTO

r

s

Une los extremos de un trozo de hilo a dos chinchetas y pincha estas sobre una cartulina. Con la ayuda de un rotulador, tensa el hilo y dibuja el rastro que permita la longitud del hilo elegida.

a) ¿Cómo se llama la figura dibujada?

b) Cita algunos objetos o fenómenos en los que aparezcan figuras como la que has dibujado.

c) ¿Qué figura obtienes si unes los extremos del hilo a una sola chincheta y dibujas el rastro que deja el rotulador con el hilo tenso?

9

Investiga

La bisectriz de un ángulo lo divide en dos ángulos iguales.

Recuerda

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él que pasa por su punto medio.

Recuerda

Para representar un punto en el plano cartesiano es necesario conocer la abscisa (valor en el eje X) y la ordenada (valor en el eje Y), esto es, sus coordenadas. Por ejemplo:

1

1

X

Y

O

AB

C

A(1, 1) B(−3, 2) C(−2, −1)

Recuerda

Soluciones de las actividades1 Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a dos rectas que se cortan formando un án-

gulo recto.

El lugar geométrico de los puntos equidistantes a las rectas perpendiculares r y s es la bisectriz del ángulo recto.

Comprobar que los alumnos dibujan dos rectas perpendiculares y que hallan las bisectrices de los ángulos rectos.2 Halla y representa el lugar geométrico del plano cuyos puntos se encuentran a la misma distancia de la recta 2x + y = 4.

O 1

12x + y = 4

X

Y

Los puntos de cualquier recta paralela a 2x + y = 4 equidistan de ella.

El lugar geométrico es 2x + y = k, siendo k cualquier número real.

3 Determina el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a dos rectas paralelas.

El lugar geométrico es otra recta paralela a ellas que equidista de ambas.


Para que los alumnos comprendan el concepto de lugar geométrico, es recomendable que se propongan activida-des en las que tengan que utilizar la regla y el compás.

Les será fácil reconocer la circunferencia como lugar geomé-trico.

Es fundamental que reconozcan las propiedades que cum-plen los puntos de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.

Para profundizar, conviene presentar actividades gráficas sencillas donde tengan que averiguar el lugar geométrico que generan dos rectas paralelas, el que generan dos seg-mentos y el lugar geométrico de los puntos que distan de dos puntos fijos (para ello utilizarán un hilo o cordón y dos chinchetas).

199



4 Traza una circunferencia de 4 cm de radio y, a continuación, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia de 1 cm de ella.

El lugar geométrico son dos circunferencias con el mismo centro que la de radio 4 cm, de 3 cm y 5 cm de radio, respec-tivamente.

Comprobar que los alumnos dibujan una circunferencia de 4 cm de radio y que después trazan dos circunferencia con el mismo centro que la anterior, de 3 cm y 5 cm de radio, respectivamente.

5 Dibuja el segmento determinado por los puntos A(2, 1) y B(2, 3) y traza su mediatriz.

•

•

O 1

1

X

Y

A

B

6 Si A y B son dos puntos del plano, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que cumplen que el triángulo ABP es isósceles.

• •

•

A B

P

El lugar geométrico de los puntos P es la mediatriz del lado AB.

7 Dados dos puntos A y B, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que verifican que el triángulo ABP es rectángulo.

• •

•

•A B

P

El lugar geométrico de los puntos P es la circunferencia de centro el punto medio del segmento AB y diámetro la distancia del punto A al punto B.

8 Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de estos segmentos.

a) b)

•

• •

••

•

AB

•

••

•

•

•AB

En cada caso, el lugar geométrico está formado por los puntos del segmento AB.

Investiga9 Une los extremos de un trozo de hilo a dos chinchetas y pínchalas sobre una cartulina. Con la ayuda de un rotulador, tensa

el hilo y dibuja el rastro que permita la longitud del hilo elegida.

a) ¿Cómo se llama la figura dibujada?

b) Cita algunos objetos o fenómenos en los que aparezcan figuras como la que has dibujado.

c) ¿Qué figura obtienes si unes los extremos del hilo a una sola chincheta y dibujas el rastro que deja el rotulador con el hilo tenso?

a) La figura dibujada se llama elipse.

b) Respuesta abierta, por ejemplo: Al cortar un cono con un plano inclinado que no pase por el vértice se obtiene una elipse; el movimiento de la Tierra alrededor del Sol describe una elipse.

c) Obtengo una circunferencia.



2. Relaciones entre ángulos

125


124

Calcula el ángulo complementario del que abarca un arco de 32º y el suplementario del que abarca uno de 10º.

Si el suplementario de un ángulo tiene una amplitud de 102º, ¿cuál es la amplitud de este ángulo?

Dibuja dos ángulos adyacentes sabiendo que la amplitud de uno es de 45º.

Dos ángulos son adyacentes y uno de ellos abarca un arco de 30º. ¿Cuál es la amplitud del otro?

Si dos ángulos opuestos por el vértice tienen una amplitud de 60º, determina la amplitud de sus adyacentes.

10

11

12

13

14

La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas paralelas y una recta que las corta es de 115º. Indica la relación entre todos los ángulos formados y determina la amplitud de los ángulos desconocidos.

Halla la amplitud de los ángulos determinados por estas rectas.

a) b)

150º

DCA

60ºB

C D

EF

G H

15

16

2. RELACIONES ENTRE ÁNGULOSDiego se ha fijado en las vigas de una nueva construcción. Para estudiar la estructura, considera cada viga como una recta.

¿Cómo son los ángulos que determinan dos rectas secantes? ¿Qué relación existe entre los ángulos determinados por rectas paralelas y una que las corta?

Dos rectas que se cortan en un punto forman cuatro ángulos.

Observamos que los ángulos A y B

tienen un lado común, es decir, son ángulos consecutivos y, también, suplementarios:

A + B = 180º

Decimos que los ángulos A y B son adyacentes.

También son adyacentes los ángulos

B y C, C y D , y D y A .

Los ángulos A y C son opuestos por el vértice, ya que los lados de C son

prolongación de los lados de A . Estos ángulos tienen la misma amplitud: A = C .

Del mismo modo, observamos que: B = D

Si dos rectas paralelas se cortan con otra recta, determinan ocho ángulos.

Los ángulos A y E tienen la misma amplitud, puesto que están formados por la misma recta secante y las dos rectas paralelas; se trata de ángulos

correspondientes, es decir: A = E

Análogamente, son correspondientes

los ángulos B y F , D y H, y C y G .

Como A y B son adyacentes: A + B = 180º

Sabemos que: A = E B = F

Así, tenemos que: E + B = 180º A + F = 180º

Y, del mismo modo: C + H = 180º D + G = 180º

❚ Dos ángulos son adyacentes si están formados por dos rectas que se cortan en un punto y son consecutivos y suplementarios.

❚ Dos ángulos son opuestos por el vértice si están determinados por dos rectas secantes y los lados de uno son prolongación de los del otro. Estos ángulos tienen la misma amplitud.

❚ Dos ángulos son correspondientes si están formados por una recta secante que corta a dos rectas paralelas y se encuentran situados en el mismo lado con respecto a estas. Estos ángulos tienen la misma amplitud.

Aprenderás a… ● Reconocer los ángulos que se obtienen cuando se cortan dos rectas.

● Relacionar los ángulos definidos por dos rectas paralelas cortadas por una secante.

B

CD

A

B

CD

EF

G

H

A

Decimos que dos ángulos son complementarios si su suma es 90º.

Recuerda

} En la figura aparecen los ángulos determinados por dos rectas paralelas cortadas por una recta secante. Determina la amplitud de los ángulos desconocidos sabiendo

que D = 30°.

Solución

Al ser ángulos opuestos por el vértice, sabemos que: B = 30º

Como A y B son adyacentes:

A + B = 180º → A = 150º

También A y C son opuestos por el vértice; por tanto: C = 150º

Los ángulos E , F , G y H son correspondientes a los anteriores. Luego:

A = E = 150º B = F = 30º

C = G = 150º D = H = 30º

EJERCICIO RESUELTO

30ºA

CB E

FG

H

DESAFÍOLa calle Verde es cruzada por dos calles, la calle Azul y la calle Amarilla, que son paralelas entre sí. Por otro lado, la calle Verde forma un ángulo de 130º con la calle Amarilla.

Dibuja un plano de la zona en la que se encuentran estas calles e indica la amplitud de todos los ángulos que forman.

17

Soluciones de las actividades10 Calcula el ángulo complementario del que abarca un arco de 32º y el suplementario del que abarca uno de 10º.

El complementario al ángulo de 32º es 90º − 32º = 58º.

El ángulo suplementario al ángulo de 10º es 180º − 10º = 170º.11 Si el suplementario de un ángulo tiene una amplitud de 102º, ¿cuál es la amplitud de este ángulo?

La amplitud de este ángulo es 180º − 102º = 78º.12 Dibuja dos ángulos adyacentes sabiendo que la amplitud de uno es 45º.

•45º

135º

180º − 45º = 135º

13 Dos ángulos son adyacentes y uno de ellos abarca un arco de 30º. ¿Cuál es la amplitud del otro?

Si son adyacentes, su suma es 180º. El otro ángulo mide 180º − 30º = 150º.


Antes de comenzar el epígrafe, conviene repasar los con-ceptos de ángulo complementario y suplementario me-diante ejemplos gráficos y numéricos.

Será necesario que los alumnos reconozcan qué son ángu-los adyacentes, opuestos por el vértice y correspondientes.

Es aconsejable presentar estos conceptos mediante dibujos adecuados para facilitar la comprensión de los alumnos.

Puede resultarles difícil la memorización de estos nombres. Para ayudarles, deben realizar las actividades que se propo-nen, asegurándonos de que manejan el lenguaje matemá-tico con destreza.

201



14 Si dos ángulos opuestos por el vértice tienen una amplitud de 60º, determina la amplitud de sus adyacentes.

Sus adyacentes tienen una amplitud de 180º − 60º = 120º.15 La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas paralelas y una recta que las corta es de 115º. Indica la

relación entre todos los ángulos formados y determina la amplitud de los ángulos desconocidos.

BA = 115º

CD

FE

GH

A y B son adyacentes; por tanto B = 180º − 115º = 65º.

A = C y B = D por ser opuestos por el vértice.

E , F , G y H son correspondientes a A , B , C , D , respectivamente.

Por tanto, A = C = E = G = 115º y B = D = F = H = 65º.

16 Halla la amplitud de los ángulos determinados por estas rectas.

a) b)

150º

DCA

60ºB

C D

EF

G H

a) D = 150º

A = C = 180º − 150º = 30º

b) C = 60º

B = D = 180º − 60º = 120º

E , F , G y H son correspondientes a 60º, B , C , D , respectivamente. Entonces, E = 60º, F = 120º, G = 60º y H = 120º.

Desafío17 La calle Verde es cruzada por dos calles, la calle Azul y la calle Amarilla, que son paralelas entre sí. Por otro lado, la calle

Verde forma un ángulo de 130º con la calle Amarilla.

Dibuja un plano de la zona en la que se encuentran estas calles e indica la amplitud de todos los ángulos que forman.

A = 130º B

CD

FE

GH

C = E = G = 130º

B = D = H = F = 180º − 130º = 50º



3. Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

127


126

Halla la longitud, en metros, de los lados desconocidos en estos triángulos.

a) c)

8

15

a

10 8

c

b) d)

16

12b

c

4527

Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente, calcula la longitud de la hipotenusa.

Calcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m si el otro cateto tiene 9 m.

Determina cuántos metros se desplaza un niño al bajar por el tobogán acuático.

Una parcela tiene forma de triángulo rectángulo, y sus catetos miden 9 m y 12 m, respectivamente. Halla los metros de valla necesarios para cercarla.

Comprueba cuáles de las siguientes ternas forman un triángulo rectángulo.

a) 3 m, 4 m y 5m

b) 9 cm, 12 cm y 15 cm

c) 5 mm, 6 mm y 7 mm

d) 10 m, 24 m y 26 m

Halla la longitud de la diagonal de un patio cuadrado cuyo lado mide 6 m.

Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 cm, determina la longitud de la hipotenusa.

Calcula la altura de un triángulo equilátero sabiendo que sus lados tienen una medida de 8 dm.

Si un muro de 5 m de altura se apuntala con dos maderos de 7 m de largo, ¿a qué distancia del muro se han apoyado las bases de los maderos?

Se quiere sujetar un poste de madera de 8 m de altura con tres cables que van desde su extremo superior a un punto del suelo que dista 3 m de la base del poste. ¿Qué longitud de cable hay que comprar?

18

19

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28

3. TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONESAunque en la India y en Mesopotamia ya se conocía la relación entre los lados de un triángulo rectángulo y en el antiguo Egipto se utilizaba para distribuir los terrenos o levantar obras arquitectónicas, es el nombre de Pitágoras de Samos (ca. 580-500 a.C.) el que finalmente ha quedado ligado a este famoso teorema.

Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto se llaman catetos, mientras que el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa.

Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

a2 = b2 + c2

Hay muchas situaciones geométricas en las que intervienen elementos que corresponden a los lados de un triángulo rectángulo. Esto permite aplicar el teorema de Pitágoras para resolver los problemas que se planteen.

AC

B

a

b

c

Aprenderás a… ● Relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo mediante el teorema de Pitágoras.

● Aplicar el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

Presta atención

Si a es el lado mayor de un triángulo y se verifica que:

❚ a2 > b2 + c2, entonces el triángulo es obtusángulo.

❚ a2 < b2 + c2, entonces el triángulo es acutángulo.

} Andrés se encuentra en el punto D de esta piscina rectangular y quiere nadar hasta B. ¿Cuál es la trayectoria más corta? ¿Cuántos metros debe nadar?

Solución

La distancia mínima para nadar del punto D al punto B es la diagonal del rectángulo. Esta diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman dos de sus lados contiguos.

d = 252 + 502 = 3 125 = 55,9 m

} Olga participa en una carrera. Al llegar al punto C del circuito, algunos corredores se confunden y toman el camino PC; ¿qué distancia recorren hasta P?

Solución

El segmento PC coincide con la altura h del triángulo equilátero ABC y divide la base por la mitad. La altura del triángulo es un cateto del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el lado AC y cuyo cateto es la mitad de AB.

h = 42 − 22 = 12 = 3,46 km

EJERCICIOS RESUELTOS

20 m si el otro cateto tiene 9 m.

Determina cuántos metros se desplaza un niño al bajar por el tobogán acuático.

Decimos que tres números, a, b y c, forman una terna pitagórica si verifican que:

a2 = b2 + c2

Lenguaje matemático

¿Es el área de una figura construida sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre sus catetos?

Comprueba si tu razonamiento es cierto con esta figura.

29

Investiga

5 cm

4 cm

3 cm

mac3e24

Soluciones de las actividades18 Halla la longitud, en metros, de los lados desconocidos en estos triángulos.

a) b) c) d)

8

15

a

16

12b

10 8

c

c

4527

a) a2 = b2 + c2 → a2 = 152 + 82 = 225 + 64 = 289 → a = 289 = 17 m

b) a2 = b2 + c2 → 162 = b2 + 122 → b2 = 162 −122 = 256−144 = 112 → b = 112 = 10,58 m

c) a2 = b2 + c2 → 102 = 82 + c2 → c2 = 102 − 82 = 100− 64 = 36 → c = 36 = 6 m

d) a2 = b2 + c2 → 452 = 272 + c2 → c2 = 452 − 272 = 2 025−729 = 1296 → c = 1296 = 36 m


Es fundamental que los alumnos comprendan el significado geométrico del teorema de Pitágoras. Para ello, es aconse-jable que construyamos otros polígonos, o semicircunfe-rencias, sobre los lados del triángulo rectángulo para de-mostrar el teorema. Es importante que manejen el lenguaje algebraico y sean capaces de hallar cualquier lado de un triángulo rectángulo conocidos los otros dos.

Debemos despertar el interés de los alumnos resolviendo problemas en los que desarrollen el proceso de modelación matemática en contextos de la vida cotidiana.

Vídeo. TEOREMA DE PITÁGORAS

En el vídeo se muestra cómo crear un archivo de GeoGebra con el que comprobar el teorema de Pitágoras. Utilizando dos desli-zadores para determinar las longitudes de los catetos del trián-gulo rectángulo, podemos dibujar el triángulo y tres cuadrados apoyados sobre los lados que son dinámicos. La ventana de Pro-piedades permite mostrar las áreas de los cuadrados según los triángulos obtenidos. Puede reproducirse en clase para explicar el procedimiento con el programa o como recurso para que los alumnos realicen una aplicación de GeoGebra sobre el teorema de Pitágoras.

203



19 Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente, calcula la longitud de la hipotenusa.

a2 = b2 + c2 → a2 = 52 + 72 = 25 + 49 = 74 → a = 74 = 8,6 cm20 Calcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m si el otro cateto tiene 9 m.

a2 = b2 + c2 → 202 = 92 + c2 → c2 = 202 − 92 = 400− 81 = 319 → c = 319 = 17,86 m

21 Determina cuántos metros se desplaza un niño al bajar por el tobogán acuático.

a2 = b2 + c2 → 132 = 52 + c2

→ c2 = 132 −52 = 169− 25 = 144

→ c = 144 = 12 m

22 Una parcela tiene forma de triángulo rectángulo, y sus catetos miden 9 m y 12 m, respectivamente. Halla los metros de valla necesarios para cercarla.

Calculamos el valor de la hipotenusa: a2 = b2 + c2 → a2 = 92 + 122 = 81+ 144 = 225 → a = 225 = 15 m

Los metros de valla necesarios son 15 + 9 + 12 = 36 m. 23 Comprueba cuáles de las siguientes ternas forman un triángulo rectángulo.

a) 3 m, 4 m y 5 m b) 9 cm, 12 cm y 15 cm c) 5 mm, 6 mm y 7 mm d) 10 m, 24 m y 26 m

a) 52 = 42 + 32 → Sí forman triángulo rectángulo. c) 72 ≠ 62 + 52 → No forman triángulo rectángulo.

b) 152 = 122 + 92 → Sí forman triángulo rectángulo. d) 262 = 242 + 102 → No forman triángulo rectángulo.24 Halla la longitud de la diagonal de un patio cuadrado cuyo lado mide 6 m.

Calculamos la hipotenusa del triángulo cuyos catetos miden 6 m cada uno.

a2 = b2 + b2 → a2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 72 → a = 72 = 8,48 m La diagonal mide 8,48 m.25 Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 cm, determina la longitud de la hipotenusa.

a2 = b2 + b2 → a2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32 → a = 32 = 5,65 cm La hipotenusa mide 5,65 cm.26 Calcula la altura de un triángulo equilátero sabiendo que sus lados tienen una medida de 8 dm.

La hipotenusa es uno de los lados del triángulo. Uno de los catetos mide la mitad de un lado: 8 : 2 = 4 cm.

Calculamos la altura que es el otro cateto del triángulo: 82 = h2 + 42 → h2 = 64−16 = 48 → h = 48 = 6,92 dm27 Si un muro de 5 m de altura se apuntala con dos maderos de 7 m de largo, ¿a qué distancia del muro se han apoyado las

bases de los maderos?

El muro y el madero forman un triángulo rectángulo. El muro es uno de los catetos, y el madero, la hipotenusa. Hallamos el otro cateto para averiguar a qué distancia del muro se ha apoyado el madero.

72 = a2 + 52 → a2 = 72 −52 = 49− 25 = 24 → a = 24 = 4,89 m Se ha apoyado a 4,89 m del muro.28 Se quiere sujetar un poste de madera de 8 m de altura con tres cables que van desde su extremo superior a un punto del

suelo que dista 3 m de la base del poste. ¿Qué longitud de cable hay que comprar?

Hay que hallar la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 m y 3 m.

a2 = 82 + 32 = 64 + 9 = 73 → a = 73 = 8,54 m Como son 3 cables, hay que comprar 3 ⋅ 8,54 = 25,62 m.

Investiga29 ¿Es el área de una figura construida sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo igual a la suma

de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre sus catetos? Comprueba si tu razonamiento es cierto con esta figura.

El área del semicírculo de diámetro 5 es: Asemicírculo1 = π ⋅ r2 = π ⋅ 2,5( )2 = 6,25π cm2

El área del semicírculo de diámetro 4 es: Asemicírculo 2 = π ⋅ r2 = π ⋅ 2( )2

= 4π cm2

El área del semicírculo de diámetro 3 es: Asemicírculo3 = π ⋅ r2 = π ⋅ 1,5( )2 = 2,25π cm2

6,25π = 4π + 2,25πEs cierto que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras construidas sobre los catetos.

5 cm

4 cm

3 cm



4. Perímetros y áreas de figuras planas

129


128

Calcula el perímetro y el área de los siguientes paralelogramos cuyos lados miden 2 cm y 4 cm.

a) Un rectángulo.

b) Un romboide de 1,3 cm de altura.

Halla el perímetro y el área de estos cuadriláteros.

a) Un rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm.

b) Un trapecio isósceles con bases que miden 2 cm y 4 cm, y que tiene una altura de 2 cm.

Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 3 cm y 7 cm si el lado oblicuo tiene 5 cm.

Halla el perímetro y el área de un triángulo:

a) Isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm y que tiene un lado desigual de 8 cm.

b) Acutángulo cuya altura mide 12 m y divide la base sobre la que se apoya en dos segmentos de 5 m y 10 m, respectivamente.

Divide las siguientes figuras en otras más sencillas y determina su área.

a) b)

5 cm

2 cm

3 cm

1 cm

1 cm

3 cm

Calcula el área de un hexágono regular cuyo lado mide 12 cm.

¿Cuál es el área de un hexágono regular de 3 cm de apotema?

Halla el área de un triángulo equilátero que tiene un perímetro de 9 dm.

El lado de un pentágono regular mide 4 cm, y su apotema; 2,75 cm. Calcula su área.

30

31

32

33

34

35

36

37

38

Halla la longitud de la circunferencia y el área del círculo cuyo diámetro mide 6,4 cm.

39

Determina la longitud del arco de 45º de una circunferencia cuyo diámetro mide 10 dm.

Calcula el área de un sector circular de 60º en un círculo cuyo radio mide 7 cm.

Halla el área de estas regiones sombreadas.

a) b)

2 cm

5 cm

1 cm

Calcula el perímetro y el área de las regiones sombreadas en estas figuras.

a) b)

60º2 cm

1 cm

150º

40

41

42

43

4. PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Polígonos

b

h

Rectángulo

P = 2b + 2h

A = b ⋅ ha

Cuadrado

P = 4a

A = a2

ha

b

Romboide

P = 2a + 2b

A = b ⋅ hD

d

a

Rombo

P = 4a

A =D ⋅d

2

a

b

ch

Triángulo

P = a + b + c

A =b ⋅h

2

h

b

B

ca

Trapecio

P = a + b + c + B

A =(B + b ) ⋅h

2

Polígono regular

P = b ⋅ n.º de lados

A =P ⋅ a

2, a es la longitud de la apotema.

Aprenderás a… ● Calcular el perímetro y el área de un polígono.

● Obtener la longitud y el área de una figura circular.

Presta atención

❚ Podemos descomponer un polígono regular de n lados en n triángulos isósceles iguales.

❚ La apotema de un polígono es el segmento que une el punto medio de un lado con el centro del polígono.

El número π se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.


} Calcula el área de un pentágono regular cuyo lado mide 6 cm si el radio de la circunferencia circunscrita es de 5 cm.

Solución

La apotema forma un triángulo rectángulo con el radio y la mitad del lado.

Por tanto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular su longitud, es decir:

a = 52 − 32 = 16 = 4 cm

Así, el área es: A =(6 ⋅5) ⋅ 4

2= 60 cm2

EJERCICIO RESUELTO

a r

Figuras circularesCircunferencia

L = 2πr

Arco de circunferencia

L = 2πr ⋅α

360º

rr

αR

r

Círculo

A = πr2

Sector circular

A = πr2 ⋅α

360º

Corona circular

A = π R2 − r2( )

} En un circuito de carreras circular de 25 m de radio hay que trazar un arco de circunferencia con un ángulo de 30º y pintar el sector circular correspondiente. Calcula la longitud del arco de la circunferencia y el área del sector circular.

Solución

La longitud del arco de circunferencia es:

L = 2π ⋅25 ⋅30º

360º= 13,09 m

El área del sector circular mide:

A = π ⋅252 ⋅30º

360º= 163,62 m2

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOUn arquitecto ha diseñado una estructura como la de la figura para un cartel publicitario.

Determina el área que habrá que pintar cuando se coloque el cartel.

44 Un arquitecto ha diseñado una estructura como la de la figura para un cartel publicitario.


b

a

El lado de un hexágono regular tiene la misma longitud que el radio de la circunferencia circunscrita a dicho hexágono.

Recuerda

Soluciones de las actividades30 Calcula el perímetro y el área de los siguientes paralelogramos cuyos lados miden 2 cm y 4 cm.

a) Un rectángulo. b) Un romboide de 1,3 cm de altura.

a) P = 2b + 2h = 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 = 12 cm

A = b ⋅ h = 2 ⋅ 4 = 8 cm2

b) P = 2a + 2b = 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 = 12 cm

A = b ⋅ h = 4 ⋅ 1,3 = 5,2 cm2


Los alumnos ya han estudiado en cursos anteriores cómo calcular perímetros y áreas de polígonos, y la longitud de la circunferencia y el área del círculo. Nuestra labor será con-seguir que apliquen las fórmulas adecuadas en problemas contextualizados.

Como introducción, debemos describir los elementos y las propiedades de las figuras planas. Es importante que reco-nozcan que podemos descomponer un polígono regular de n lados en n triángulos isósceles iguales.

El cálculo de la apotema de un polígono regular puede pre-sentar dificultades. Debemos dejar claro la diferencia que

existe entre el radio de la circunferencia circunscrita al polí-gono y su apotema.

Por primera vez estudiarán los conceptos de arco de circun-ferencia, sector circular y corona circular. Hay que asegu-rarnos que manejan correctamente el sistema sexagesimal para la medida de ángulos.

Es fundamental que al terminar el epígrafe los alumnos ha-yan desarrollado la actitud de curiosidad e indagación de datos necesarios para abordar correctamente un problema geométrico.

205



31 Halla el perímetro y el área de estos cuadriláteros.

a) Un rombo cuyas diagonales que miden 6 cm y 8 cm.

b) Un trapecio isósceles con bases que miden 2 cm y 4 cm, y que tiene una altura de 2 cm.

a) Calculamos la longitud de los lados: a2 = 32 + 42 = 9 + 15 = 25 → a = 25 = 5 cm

P = 4a = 4 ⋅ 5 = 20 cm A =D ⋅d

2=

8 ⋅6

2=

48

2= 24 cm2

b) B − b = 4 − 2 = 2 cm

Calculamos los lados desconocidos: a2 = 12 + 22 = 1+ 4 = 5 → a = 5 = 2,23 cm

P = a + b + a + B = 2,23 + 2 + 2,23 + 4 = 10,46 cm A =(B + b ) ⋅h

2=

(4 + 2) ⋅2

2= 6 cm2

32 Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 3 cm y 7 cm si el lado oblicuo tiene 5 cm.

Calculamos la altura del trapecio:

52 = h2 + (7− 3)2 → h2 = 52 − 42 = 25−16 = 9 → h = 9 = 3 cm

P = h + b + a + B = 3 + 3 + 5 + 7 = 18 cm A =(B + b ) ⋅h

2=

(7 + 3) ⋅3

2=

10 ⋅3

2=

30

2= 15 cm2

33 Halla el perímetro y el área de un triángulo:

a) Isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm y que tiene un lado desigual 8 cm.

b) Acutángulo cuya altura mide 12 m y divide la base sobre la que se apoya en dos segmentos de 5 m y 10 m, respecti-vamente.

a) P = a + b + c = 10 + 10 + 8 = 28 cm

Calculamos la altura del triángulo:

102 = h2 + 42 → h2 = 102 − 42 = 100−16 = 84 → h = 84 = 9,16 cm

Por tanto: A =b ⋅h

2=

8 ⋅9,16

2=

73,28

2= 36,64 cm2

b) La base del triángulo mide 15 cm. Calculamos la longitud de los otros dos lados.

a2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 → a = 169 = 13 cm

b2 = 122 + 102 = 144 + 100 = 244 → a = 244 = 15,62 cm

P = a + b + c = 13 + 15,62 + 15 = 43,62 cm A =b ⋅h

2=

15 ⋅12

2=

180

2= 90 cm2

34 Divide las siguientes figuras en otras más sencillas y determina su área.

a) b)

5 cm

2 cm

3 cm

1 cm

1 cm

3 cm

a) Podemos calcular el área de la figura como suma de las áreas de dos trapecios isósceles. La base mayor de cada trape-cio mide 5 cm, la base menor 1 cm y altura 3 : 2 = 1,5 cm.

Afigura = 2 ⋅(B + b ) ⋅h

2= 2 ⋅

(5 + 1) ⋅1,5

2= 6 ⋅1,5 = 9 cm2

b) La figura está compuesta por un cuadrado 3 cm de lado y dos cuadrados de lado 1 cm de lado.

Afigura = a2 + 2 ⋅ b2 = 32 + 2 ⋅12 = 9 + 2 = 11 cm2



35 Calcula el área de un hexágono regular cuyo lado mide 12 cm.

Primero calculamos la apotema:

122 = a2 + 62 → a2 = 122 − 62 = 144− 36 = 108 → a = 108 = 10,39 cm

Entonces el área es: A =P ⋅ a

2=

12 ⋅6 ⋅10,39

2=

748,08

2= 374,04 cm2

36 ¿Cuál es el área de un hexágono regular de 3 cm de apotema?

Calculamos el lado del hexágono que es igual al radio, aplicando el teorema de Pitágoras.

r2 = a2 +r

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

→ r2 = 32 +r

4

2

→ r2 −r

4

2

= 9 → 3r2 = 36 → r2 = 12 → r = 12 = 3,46 cm

El lado del hexágono mide 3,46 cm, por tanto: A =P ⋅ a

2=

3,46 ⋅6 ⋅3

2=

62,28

2= 31,14 cm2

37 Halla el área de un triángulo equilátero que tiene un perímetro de 9 dm.

Los lados del triángulo miden 3 dm. Calculamos la altura del triángulo.

32 = h2 + 1,5( )2 → h2 = 32 − 1,5( )2 = 9− 2,25 = 6,75 → a = 6,75 = 2,6 dm

Por tanto, el área es: A =b ⋅h

2=

3 ⋅2,6

2=

7,8

2= 3,9 dm2

38 El lado de un pentágono regular mide 4 cm, y su apotema, 2,75 cm. Calcula su área.

A =P ⋅ a

2=

4 ⋅5 ⋅2,75

2=

55

2= 27,5 cm2

39 Halla la longitud de la circunferencia y el área del círculo cuyo diámetro mide 6,4 cm.

El radio de la circunferencia es 6,4 : 2 = 3,2 cm.

L = 2πr = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 3,2 = 20,096 cm

A = πr2 = 3,14 ⋅ 3,22 = 32,1536 cm2

40 Determina la longitud del arco de 45º de una circunferencia cuyo diámetro mide 10 dm.

L = 2πr ⋅α

360º= 2 ⋅3,14 ⋅5 ⋅

45

360=

1413

360= 3,925 dm

41 Calcula el área de un sector circular de 60º en un círculo cuyo radio mide 7 cm.

A = πr2 ⋅α

360º= 3,14 ⋅72 ⋅

60

360=

9 231,6

360= 25,64 cm2

42 Halla el área de estas regiones sombreadas.

a) b)

2 cm

5 cm

1 cm

a) A = π R2 − r2( ) = 3,14 ⋅ 52 − 22( ) = 3,14 ⋅ 25− 4( ) = 3,14 ⋅21 = 65,94 cm2

b) A = Acuadrado − 1

4 ⋅ Acírculo = l2 −

1

4 πr2 = 12 −

1

4 ⋅ 3,14 ⋅ 12 = 1 − 0,785 = 0,215 cm2

207



43 Calcula la longitud y el área de las regiones sombreadas en estas figuras.

a) b)

60º2 cm

1 cm

150º

a) L = 2πr ⋅α

360º= 2 ⋅3,14 ⋅2 ⋅

60

360=

753,6

360= 2,09 cm

A = πr2 ⋅α

360º= 3,14 ⋅22 ⋅

60

360=

753,6

360= 2,09 cm2

b) El área sombreada está formada por dos sectores circulares de 180º − 150º = 30º de amplitud.

LT = 2 ⋅ L = 4πr ⋅α

360º= 4 ⋅3,14 ⋅1⋅

30

360=

376,8

360= 1,05 cm

AT = 2 ⋅ A = 2πr2 ⋅α

360º= 2 ⋅3,14 ⋅12 ⋅

30

360=

188,4

360= 0,52 cm2

Desafío44 Un arquitecto ha diseñado una estructura como la de la figura para

un cartel publicitario.


La figura está compuesta por un rectángulo, un trapecio y un triángulo. Calculamos sus áreas.

Arectángulo = b ⋅ h = 20 ⋅ 12 = 240 cm2

Atrapecio =(B + b ) ⋅h

2=

(30 + 20) ⋅10

2=

50 ⋅10

2= 250 cm2

La altura del triángulo es 30 − 12 − 10 = 8 cm.

Atriángulo =b ⋅h

2=

20 ⋅8

2= 80 cm2

AT = Arectángulo + Atrapecio + Atriángulo = 240 + 250 + 80 = 570 cm2

El área que habrá que pintar es 570 cm2.



5. Traslaciones

131


130

Dibuja los puntos A(3, 5) y B(6, 3) y el vector AB .

Determina las coordenadas cartesianas del vector y calcula su módulo.

Representa y halla las coordenadas cartesianas del

vector AB , siendo los puntos A(−2, 3) y B(3, −1).

Dibuja también un vector con las mismas coordenadas cuyo origen sea el origen de coordenadas.

Calcula las coordenadas del punto P’ trasladado de P(1, 2) mediante el vector

v = (4, 1). Representa la

traslación y dibuja la traslación.

Mediante una traslación, el punto P(1, 5) se ha transformado en P’(5, 6). ¿Cuál es el vector de la traslación aplicada?

Calcula las coordenadas del punto P si, al trasladarlo mediante el vector

v = (−2, 4), se ha transformado

en el punto P’(4, 6).

Al punto P(0, 3) le aplicamos una traslación mediante el vector

u = (3, 4) y obtenemos el punto P’. A

continuación, al punto P’ le aplicamos otra traslación mediante el vector

v = (−2, −1) y el resultado es

el punto P’’. Representa la traslación y determina las coordenadas de P’’.

Traslada los puntos A(1, 2) y B(5, 8) mediante el vector v = (2, 3).

a) Comprueba gráficamente que los puntos A, A’, B y B’ están alineados.

b) Determina la recta, r, que pasa por los puntos A y B.

c) ¿Cuál es la figura que resulta al trasladar la recta r mediante el vector

v ?

d) Traslada la recta r mediante el vector w = (−1, 5).

Calcula las coordenadas de los extremos del segmento A’B’, obtenido por una traslación de vector v = (−2, 4) aplicada al segmento AB, cuyos extremos son A(−4, 3) y B(−1, 5). Dibuja la traslación.

45

46

47

48

49

50

51

52

Los vértices de un cuadrado son A(2, −2), B(5, −2), C(5, 1) y D(2, 1).

a) Determina la figura obtenida al aplicar una traslación mediante el vector

v = (3, −6).

b) Comprueba gráficamente si los puntos A’, B’, C’ y D’ son los vértices de un cuadrado.

Traslada un círculo cuyo centro es C(3, 3) y su radio es 2 unidades mediante el vector

v = (4, 2).

a) ¿Cuánto mide el radio del círculo trasladado?

b) ¿Cuáles son las coordenadas del centro trasladado?

53

54

5. TRASLACIONESLaura ha preparado un nuevo logotipo para una marca de productos cosméticos. ¿Qué transformación geométrica ha utilizado?

En primer lugar, Laura ha dibujado un dodecágono regular. A continuación, lo ha trasladado a la derecha para obtener otro con la misma forma y tamaño. Decimos que ha realizado un movimiento en el plano.

Y por último, ha trasladado los dos dodecágonos hacia abajo y ha completado el diseño con un octógono.

Un movimiento en el plano es una transformación geométrica que conserva la forma y el tamaño de cualquier figura.

VectoresLaura ha utilizado un vector para aplicar a cada figura una traslación.

Aprenderás a… ● Reconocer las traslaciones como movimientos en el plano.

● Obtener vectores en el plano y aplicarlos en una traslación.

● Aplicar una traslación a una figura del plano.

Presta atención

❚ La dirección del vector fijo AB

es la que indica la recta que pasa por los puntos A y B.

❚ El sentido es la orientación que marca el origen y el extremo del vector.

❚ El módulo es la distancia que separa los puntos A y B. Podemos calcularlo aplicando el teorema de Pitágoras:

AB = b1 − a1( )2 + b2 − a2( )2

Por ejemplo, si AB = (4, 3),

entonces: AB = 42 + 32 = 5

X

Y

O

1

1

X

Y

O

1

1

X

Y

O

1

1

A (2 , 1)B (6 , 2)

B

A 1 u4 u

AB = (4 , 1)

X

Y

O

1

1

X

Y

O

1

1

X

Y

O

1

1

A (2 , 1)B (6 , 2)

B

A 1 u4 u

AB = (4 , 1)

X

Y

O

1

1

X

Y

O

1

1

X

Y

O

1

1

A (2 , 1)B (6 , 2)

B

A 1 u4 u

AB = (4 , 1)

} Un triángulo tiene por vértices los puntos A(4, 2), B(8, 4) y C(5, 6). Determina el triángulo que se obtiene al trasladarlo mediante el vector

v = (3, 1) y dibuja la traslación.

Solución

Para trasladar una figura, hallamos los puntos trasladados de los vértices. En el triángulo, los vértices trasladados son los siguientes:

A’(4 + 3, 2 + 1) = A’(7, 3)

B’(8 + 3, 4 + 1) = B’(11, 5)

C’(5 + 3, 6 + 1) = C’(8, 7)

EJERCICIO RESUELTO

Observa las figuras dibujadas.

a) ¿Cuál es vector u de la traslación que transforma

la figura A en la figura B?

b) Determina las coordenadas del vector v de la

traslación que se ha realizado a la figura B para obtener la figura C.

c) La figura C es también la transformada por una traslación de vector

w de la figura A. ¿Cuáles son

las coordenadas de w ?

d) Encuentra la relación que existe entre los vectores u , v y w .

55

Investiga

A

B

C

X

Y

O

1

1

Si A(2, 1) y B(6, 2) son dos puntos del plano, para indicar que nos movemos desde A hasta B, dibujamos el vector A

B.

Desde el origen, A, al extremo, B, nos desplazamos 4 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba.

Podemos indicar las coordenadas del vector como: A

B = (4, 1)

Un vector fijo en el plano, AB , es un segmento orientado que tiene su origen

en A a1, a2( ) y su extremo en B b1, b2( ) . Sus coordenadas cartesianas son:

AB = b1 − a1 , b2 − a2( )

Todos los vectores que tienen las mismas coordenadas que un vector fijo se representan con un vector libre,

v .

Fíjate en que, al trasladar A(2, 1) mediante el vector v = (4, 1), se transforma en:

A’(2 + 4, 1 + 1) = B(6, 2)

Una traslación de vector v es un movimiento que transforma un punto, P, del

plano en otro punto, P’, de forma que el vector PP ’ coincide con el vector

v :

PP ’ = v

Al trasladar el punto P p1, p2( ) mediante el vector v = v1, v2( ), se obtiene el

punto trasladado: P ’ p1 + v1, p2 + v2( )

mac3e25

Soluciones de las actividades45 Dibuja los puntos A(3, 5) y B(6, 3) y el vector AB

. Determina las coordenadas cartesianas del vector y calcula su módulo.

•

•

O

A (3, 5)

B (6, 3)

1

1

X

AB

Y—›

Hallamos las coordenadas cartesianas:

AB

= (6 − 3, 3 − 5) = (3, −2)

Calculamos el módulo del vector:

AB

= 32 + (−2)2 = 9 + 4 = 13 unidades


Para introducir el epígrafe, podemos dibujar un polígono, un vector y el polígono resultante de esa traslación. De esta forma reconocerán la necesidad de la definición de vector.

Utilizaremos el dibujo de tres vectores equipolentes en el plano para explicarles qué es un vector libre.

El cálculo del módulo debemos presentarlo de forma gráfi-ca para que lo relacionen con la aplicación del teorema de Pitágoras.

Es importante practicar el cálculo de las coordenadas de un vector fijo para de forma gráfica y algebraica hasta asegu-rarnos de que los alumnos lo dominan.

Hemos de insistir en la diferencia que hay entre los vectores AB

y BA

para que reconozcan que tienen el mismo mó-dulo y dirección, pero sentido opuesto.

Vídeo. TRASLACIONES

En el vídeo se muestra la resolución del ejercicio dibujando un polígono y aplicando una traslación sobre él con el programa GeoGebra. Si se activa desde la ventana de Propiedades la opción de mostrar el valor, podemos ver las coordenadas de los vértices trasladados.

Puede reproducirse en clase para explicar el funcionamiento del programa o como recurso para que los alumnos realicen una apli-cación de GeoGebra con alguno de los ejercicios de traslación propuestos.

209



46 Representa y halla las coordenadas cartesianas del vector AB

, siendo los puntos A(−2, 3) y B(3, −1). Dibuja también un vector con las mismas coordenadas cuyo origen sea el origen de coordenadas.

•

•

•

•O 1

1

X

YA (–2, 3)

B (3, –1)

(5, –4)

AB—›

v–›

Hallamos las coordenadas cartesianas.

AB

= ( 3 −(−2), −1 − 3) = (5, −4)

47 Calcula las coordenadas del punto P’ trasladado de P(1, 2) mediante el vector v = (4, 1). Representa y dibuja la traslación.

•

•

O 1

1

X

Y

P (1, 2)

P’ (5, 5)

v–›

Calculamos las coordenadas del punto P’.

P ’ p1 + v1 , p2 + v2( )→ P ’(1+ 4, 2 + 1) → P ’(5, 5)

48 Mediante una traslación, el punto P(1, 5) se ha transformado en P’(5, 6). ¿Cuál es el vector de la traslación aplicada?

P ’ p1 + v1 , p2 + v2( )→ P ’ 1+ v1 , 5 + v2( ) P ’(5, 6) → 1+ v1 = 5; 5 + v2 = 6 → v1 = 4 y v2 = 1→v = (4, 1)

49 Calcula las coordenadas del punto P si, al trasladarlo mediante el vector v = (−2, 4), se ha transformado en el punto

P’(4, 6).

P ’ p1 + v1 , p2 + v2( )→ P ’ p1 + −2( ), p2 + 4( ) P ’(4, 6) → p1 + −2( ) = 4; p2 + 4 = 6 → p1 = 6 y p2 = 2 → P (6, 2)

50 Al punto P(0, 3) le aplicamos una traslación mediante el vector u = (3, 4) y obtenemos el punto P’. A continuación, al

punto P’ le aplicamos otra traslación mediante el vector v = (−2, −1) y el resultado es el punto P’’. Representa la trasla-

ción y determina las coordenadas de P’’.

•

••

O 2

2

X

Y

P (0, 3)

P’ (3, 7)P’’ (1, 6) v–›

u–›

Calculamos P’.P ’ p1 + u1 , p2 + u2( )→ P ’(0 + 3, 3 + 4) → P ’(3, 7)

Hallamos P’’.P ’ p’1 + v1 , p’2 + v2( )→ P ’’ 3 + −2( ), 7 + −1( )( )→ P ’’(1, 6)

51 Traslada los puntos A(1, 2) y B(5, 8) mediante el vector v = (2, 3).

a) Comprueba gráficamente que los puntos A, A’, B y B’ están alineados.

b) Determina la recta r que pasa por los puntos A y B.

c) ¿Cuál es la figura que resulta al trasladar la recta r mediante el vector v ?

d) Traslada la recta r mediante el vector w = (−1, 5).

A’ a1 + v1 , a2 + v2( )→ A’(1+ 2, 2 + 3) → A’(3, 5) B’ b1 + v1 , b2 + v2( )→ B’(5 + 2, 8 + 3) → B’(7, 11)

a)

•

•

•

•

O 2

2

X

Y

A (1, 2)

A’ (3, 5)

B (5, 8)

B’ (7, 11)

A, A’, B y B’ están alineados.

b) La ecuación de la recta es y = mx + n. Como pasa por A(1, 2) → 2 = m + n. Como pasa por B(5, 8) → 8 = 5m + n

m + n = 2

5m + n = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 4m = 6 → m =

3

2 →

3

2+ n = 2 → n = 2−

3

2=

1

2

La ecuación de la recta r es: y =3

2x +

1

2



c) Es la misma recta r.

d) Trasladamos los puntos A(1, 2) y B(5, 8) mediante el vector w = (−1, 5).

A” a1 + w1 , a2 + w2( )→ A” 1+ −1( ), 2 + 5( )→ A”(0, 7)

B” b1 + w1 , b2 + w2( )→ B” 5 + −1( ), 8 + 5( )→ B”(4, 13)

La ecuación de la recta es y = mx + n.

Como pasa por A’’(0, 7) → n = 7. Como pasa por B’’(4, 13) → 13 = 4m + 7 → m = 3

2

La recta obtenida mediante la traslación es una recta paralela cuya ecuación es y =3

2x + 7

52 Calcula las coordenadas de los extremos del segmento A’B’, obtenido por una traslación de vector v = (−2, 4) aplicada

al segmento AB, cuyos extremos son A(−4, 3) y B(−1, 5). Dibuja la traslación.

Trasladamos los puntos A y B mediante el vector v .

A’ a1 + v1 , a2 + v2( )→ A’(−4 + −2( ), 3 + 4) → A’(−6, 7)

B’ b1 + v1 , b2 + v2( )→ B’(−1+ −2( ), 5 + 4) → B’(−3, 9)

••

••

O 2

2

X

Y

A (–4, 3)

A’ (–6, 7)

B (–1, 5)

B’ (–3, 9)

v–›

v–›

53 Los vértices de un cuadrado son A(2, −2), B(5, −2), C(5, 1) y D(2, 1).

a) Determina la figura obtenida al aplicar una traslación mediante el vector v = (3, − 6).

b) Comprueba gráficamente que los puntos A’, B’, C’ y D’ son los vértices de un cuadrado.

a) Trasladamos los puntos A, B, C y D mediante el vector v .

A’ a1 + v1 , a2 + v2( )→ A’ 2 + 3,− 2 + −6( )( )→ A’(5,− 8)

B’ b1 + v1 , b2 + v2( )→ B’ 5 + 3,− 2 + −6( )( )→ B’(8,− 8)

C ’ c1 + v1 , c2 + v2( )→ C ’ 5 + 3, 1+ −6( )( )→ C ’(8,−5)

D’ d1 + v1 , d2 + v2( )→ D’ 2 + 3, 1+ −6( )( )→ D’(5,−5)

La figura obtenida es un cuadrado de vértices A’, B’, C’ y D’.

b)

• •

••

O 2

2

X

Y

A’ (5, –8) B’ (8, –8)

D’ (5, –5) C’ (8, –5)

54 Traslada un círculo cuyo centro es C(3, 3) y su radio es 2 unidades mediante el vector v = (4, 2).



a) El radio del círculo no varia al aplicarle una traslación, por tanto mide 2 unidades.

b) C ’ c1 + v1 , c2 + v2( )→ C ’(3 + 4, 3 + 2) → C ’(7, 5)

Investiga55 Observa las figuras dibujadas.

a) ¿Cuál es el vector u de la traslación que transforma la figura

A en la figura B?

b) Determina las coordenadas del vector v de la traslación que

se ha realizado a la figura B para obtener la figura C.

c) La figura C es también la transformada por una traslación de vector w de la figura A. ¿Cuáles son las coordenadas de

w ?

d) Encuentra la relación que existe entre los vectores u , v y w .

a) u = (4, −5) c)

w = (10, 0)

b) v = (6, 5) d)

w = u + v

A

B

C

X

Y

O

1

1

211



6. Giros

133


132

Efectúa los siguientes movimientos.

a) Un giro de centro O y −90º de ángulo al punto A(0, 3).

b) Un giro de centro O y 180º de ángulo al punto B(5, 0).

c) Un giro de centro O y 90º de ángulo al punto C(4, 4).

¿Qué amplitud tiene un giro que a un punto, P, le hace corresponder el mismo punto P?

Halla las coordenadas de los vértices de la figura que se obtiene al girar con centro O y ángulo de 90º el triángulo que tiene por vértices A(2, 2), B(3, 2) y C(2, 5).

Dibuja la figura que se obtiene al girar con centro O y 180º de ángulo el círculo con centro en C(3, 1) y 2 unidades de radio.

56

57

58

59

6. GIROSDavid ha utilizado otro programa para reproducir el nuevo logotipo de la marca de cosméticos. ¿Qué transformación geométrica ha utilizado?

En primer lugar, David ha dibujado el octógono irregular y un dodecágono regular. A continuación, ha obtenido el centro del octógono y ha girado 90º el dodecágono alrededor de este punto, obteniendo otro con la misma forma y tamaño que el anterior.

Seguidamente, ha repetido el movimiento girando dos veces más el dodecágono en el mismo sentido hasta completar el diseño.

Un giro de centro C y ángulo α es un movimiento que transforma un punto, P, del plano en otro punto, P’, de modo que los segmentos CP y CP’ tengan la misma longitud y formen un ángulo con amplitud α.

d(C, P) = d(C, P’) y PCP ´ = α

El sentido del giro depende del signo del ángulo α. Así:

❚ Si α > 0, el sentido de giro es contrario al de las agujas del reloj.

❚ Si α < 0, el sentido de giro coincide con el de las agujas del reloj.

Aprenderás a… ● Reconocer los giros como movimientos en el plano.

● Aplicar un giro a una figura del plano.

Presta atención

Para girar una figura, basta con girar los puntos que la determinan.

Para identificar los ángulos de giro, utilizamos letras griegas α, β, χ, …


} Aplica un giro de centro O(0, 0) y de 60º de ángulo al punto P 1, 3( ) . ¿Se obtiene el mismo resultado si giramos P en el otro sentido?

Solución

EJERCICIO RESUELTO

} Determina las coordenadas de los puntos P’ y P’’ que se obtienen al realizar los giros sucesivos.

a) b)

C

P’

P’’

P

O X

Y

1

1

C’P’ P’’

P

O X

Y

2

2

C

Solución

a) P’(−3, −1) P’’(−1, 3) b) P’(−1, 1) P’’(5, 1)

EJERCICIO RESUELTO

Con la ayuda del programa GeoGebra, crea un diseño para el logotipo de un nuevo producto, utilizando figuras geométricas y movimientos en el plano. Elabora un informe con los elementos elegidos y las indicaciones necesarias para reproducir el logotipo.

64

Investiga

Halla las coordenadas de los vértices de la figura que se obtiene al aplicar dos giros consecutivos con centro O y ángulos de 90º y 180º, respectivamente, al triángulo de vértices A(2, 2), B(4, 2) y C(5, 4). ¿Cómo puede obtenerse la figura resultante con un único movimiento?

Dibuja la figura que se obtiene al girar un círculo de centro P(2, 2) y 1 unidad de radio alrededor del punto C(4, 1) con un ángulo de −90º. Aplica a la figura obtenida otro giro con centro D(2, 4) y ángulo de 90º.

Representa el segmento AB, cuyos extremos son A(2, 3) y B(−4, 1), y aplícale dos giros consecutivos de centro O y ángulos de 50º y 40º, respectivamente. ¿Sería diferente el resultado si se aplicase primero el giro de 40º y después el de 50º? Razona tu respuesta.

Indica razonadamente si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Al aplicar al punto P(2, 5) un giro de centro O y ángulo de 90º, obtenemos el punto P’(−5, 2).

b) Al aplicar al punto Q(6, 1) un giro de centro O y ángulo de 90º, obtenemos el punto Q’(1, −6).

c) Al aplicar al punto R(4, 2) un giro de centro C(3, 4) y ángulo de 90º, obtenemos el punto A’(6, 6).

60

61

62

63

mac3e26

Observa que, al aplicar un giro, el centro O alrededor del cual rotamos las figuras es un punto que se mantiene invariable por el movimiento.

Cuando aplicamos sucesivamente dos giros de centro O y ángulos α y β, el resultado es equivalente a realizar un único giro de centro O y ángulo α + β.

Soluciones de las actividades56 Efectúa los siguientes movimientos.

a) Un giro de centro O y −90º de ángulo al punto A(0, 3).

b) Un giro de centro O y 180º de ángulo al punto B(5, 0).

c) Un giro de centro O y 90º de ángulo al punto C(4, 4).

a) A’(3, 0) b) B’(−5, 0) c) C’(−4, 4)57 ¿Qué amplitud tiene un giro que a un punto, P, le hace corresponder el mismo punto P?

La amplitud del giro es 360º.58 Halla las coordenadas de los vértices de la figura que se obtiene al girar con centro O y ángulo de 90º el triángulo de

vértices A(2, 2), B(3, 2) y C(2, 5).

Las coordenadas de los vértices del triángulo obtenido mediante el giro son A’(−2, 2), B’(−2, 3) y C’(−5, 2).


Empezaremos girando un punto en el plano cartesiano con amplitudes cómodas de manejar y centro el origen de coor-denadas, para explicar a continuación cómo debe realizarse el giro de un segmento, de un polígono y de una circunfe-rencia.

Debemos ser rigurosos en la explicación de cómo realizar giros cuyo centro no sea el origen de coordenadas.

Es importante que los alumnos generen figuras propias me-diante la composición de giros con distinto centro.

Vídeo. GIROS

En el vídeo se muestra el procedimiento a seguir para resolver el ejercicio realizando los giros propuestos con regla y compás.

Puede reproducirse en clase para explicar el procedimiento o como recurso para que los alumnos lo repasen más tarde.



59 Dibuja la figura que se obtiene al girar con centro O y 180º de ángulo el círculo con centro en C(3, 1) y 2 unidades de radio.

•

•O 1

1

X

Y

C’

C

60 Halla las coordenadas de los vértices de la figura que se obtiene al aplicar dos giros consecutivos con centro O y ángulos de 90º y 180º, respectivamente, al triángulo de vértices A(2, 2), B(4, 2) y C(5, 4). ¿Cómo puede obtenerse la figura resultante con un único movimiento?

Al aplicar el primer giro se obtiene el triángulo de vértices A’(−2, 2), B’(−2, 4) y C’(−4, 5).

Después del segundo giro, los vértices del triángulo son A’’(2, −2), B’’(2, −4) y C’’(4, −5).

La figura resultante puede obtenerse con un único giro de centro O y amplitud 270º.61 Dibuja la figura que se obtiene al girar un círculo de centro P(2, 2) y 1 unidad de radio alrededor del punto C(4, 1) con un

ángulo de −90º. Aplica a la figura obtenida otro giro de centro D(2, 4) y ángulo 90º.

••

••

•

O 1

1

X

Y

C

D

P

P’

P’’

–90º

90º

El punto P(2, 2) se transforma en P’(5, 3) en el primer giro y después del segundo giro se ob-tiene P’’(3, 7).

62 Representa el segmento AB siendo A(2, 3) y B(−4, 1), y aplícale dos giros consecutivos de centro O y ángulos 50º y 40º, respectivamente. ¿Sería diferente el resultado si se aplicase primero el giro de 40º y después el de 50º? Razona tu respuesta.

•

•

•

•

O 1

1

X

Y

A (2, 3)A’ (–3, 2)

B (–4, 1)

B’ (–1, –4)

El resultado es el mismo que si hubiéramos hecho un único giro de 90º. Por tanto, el resul-tado es el mismo que si se aplica primero el giro de 40º y luego el de 50º.

63 Indica razonadamente si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Al aplicar al punto P(2, 5) un giro de centro O y ángulo 90º, obtenemos el punto P’(−5, 2).

b) Al aplicar al punto Q(6, 1) un giro de centro O y ángulo 90º, obtenemos el punto Q’(1, −6).

c) Al aplicar al punto R(4, 2) un giro de centro C(3, 4) y ángulo 90º, obtenemos el punto A’(6, 6).

a) Verdadera b) Falsa. Obtenemos el punto Q’(−1, 6). c) Falsa. Obtenemos el punto A’(5, 5).

Investiga64 Con la ayuda del programa GeoGebra, crea un diseño para el logotipo de un nuevo producto, utilizando figuras geomé-

tricas y movimientos en el plano. Elabora un informe con los elementos elegidos y las indicaciones necesarias para repro-ducir el logotipo.

Respuesta abierta.

213



7. Simetrías

135


134

Indica las coordenadas del punto simétrico a P(5, 2):

a) Respecto al eje de ordenadas. c) Respecto al eje de abscisas.

b) Respecto al origen de coordenadas. d) Respecto al punto C(3, 0).

Halla el punto transformado por una simetría axial en cada caso.

a) Si A(−3, 4) y el eje de simetría es el eje de ordenadas.

b) Si B(−2, 4) y el eje de simetría es el eje de abscisas.

c) Si C(1, −3) y el eje de simetría es el eje de ordenadas.

d) Si D(−5, −3) y el eje de simetría es el eje de abscisas.

Dibuja la recta, r, que pasa por los puntos P(1, 0) y Q(0, 1) y determina las coordenadas de los puntos simétricos de A(1, 3), B(3, 4), C(3, 0), D(2, −1), E(−2, 2), F(−2, −2) y G(1, −3) respecto a r.

¿Cuáles son las coordenadas de los extremos del segmento resultante de una simetría respecto al eje de ordenadas del segmento AB cuyos extremos son A(−1, 3) y B(4, 0)? ¿Y respecto al eje de abscisas?

Halla la figura simétrica respecto al origen de coordenadas del cuadrado cuyos vértices son A(2, −2), B(5, −2), C(5, 1) y D(2, 1), respectivamente.

Dibuja la figura simétrica respecto al eje de abscisas de una circunferencia que tiene por centro C(−4, −2) y cuyo radio mide 3 unidades.

Representa un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular y un hexágono regular y traza sus ejes de simetría.

Identifica los objetos simétricos y copia los dibujos en tu cuaderno, indicando los ejes de simetría. ¿Tienen centro de simetría estos objetos? ¿Por qué?

Dibuja un cuadrado, ABCD, y realiza una simetría central respecto al vértice C. A continuación, aplica un giro con centro en C y 180º de ángulo. ¿Qué figura obtienes? ¿Por qué?

65

66

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73

7. SIMETRÍASJulia es la encargada de enseñar el nuevo diseño del logotipo a los responsables de ventas de productos cosméticos. Al hacer la presentación, ha elegido otro tipo de transformación geométrica. ¿Cuál ha utilizado?

A partir del primer dodecágono y dibujando una recta, ha obtenido otro con la misma forma y tamaño que el anterior, aplicando una simetría axial, como si se reflejara en un espejo.

Después ha dibujado el octógono y usando su centro ha trazado, mediante una simetría central, el tercer dodecágono con la misma forma y tamaño que el primero. Repitiendo el proceso, ha completado el logotipo.

❚ Una simetría axial de eje r es un movimiento que transforma un punto, P, del plano en otro, P’, de forma que la recta r es la mediatriz del segmento PP’.

❚ Una simetría central de centro C es un movimiento que transforma un punto, P, del plano en otro, P’, de forma que el punto C es el punto medio del segmento PP’.

Observa que dos puntos simétricos:

❚ Respecto al eje de ordenadas tienen las abscisas opuestas y las ordenadas iguales.

❚ Respecto al eje de abscisas tienen las abscisas iguales y las ordenadas opuestas.

❚ Respecto al origen de coordenadas tienen las abscisas y las ordenadas opuestas.

Presta atención

❚ Si un objeto es simétrico, tiene uno o varios ejes de simetría, de modo que, al aplicar sobre una parte de él una simetría axial, obtenemos la otra parte.

❚ Los ejes de simetría de un objeto simétrico se cortan en un punto que es centro de una simetría central para ese objeto.

Aprenderás a… ● Reconocer las simetrías como movimientos en el plano.

● Distinguir los tipos de simetría y aplicarlos a una figura del plano.

} Indica las coordenadas del punto simétrico a P(4, 3):

a) Respecto al eje de ordenadas. d) Respecto al punto C(2, 1).

b) Respecto al eje de abscisas. e) Respecto a la recta r: 2x + y = 6.

c) Respecto al origen de coordenadas.

Solución

a) P1(−4, 3) b) P2(4, −3) c) P3(−4, −3) d) P4(0, −1) e) P5(0, 1)

EJERCICIO RESUELTO

Si a una figura, F, le aplicamos un movimiento, obtenemos otra figura, F’. Si realizamos otro movimiento con esta última figura, obtenemos F’’. De este modo, F’’ es el resultado de la composición de dos movimientos.

Dibuja un rectángulo en papel cuadriculado y determina la figura que obtienes al componer:

❚ Una traslación de vector paralelo a la base del rectángulo y una simetría axial de eje paralelo a su altura.

❚ Una simetría axial de eje paralelo a la altura y otra simetría axial de eje paralelo al anterior.

❚ Una simetría axial de eje paralelo a la altura y otra simetría de eje paralelo a la base.

a) ¿Podrías obtener la figura final con un único movimiento en cada caso? Si la respuesta es afirmativa, explica cuál sería el movimiento equivalente a la composición.

b) Si cambias el orden al componer los movimientos, ¿obtienes el mismo resultado? Justifica tu respuesta.

74

Investiga

Presta atención

Los ejes de simetría de una figura son rectas que la dividen en dos partes que coinciden al doblar la figura por ellas.

mac3e27

Soluciones de las actividades65 Indica las coordenadas del punto simétrico a P(5, 2):

a) Respecto al eje de ordenadas. c) Respecto al eje de abscisas.

b) Respecto al origen de coordenadas. d) Respecto al punto C(3, 0).

a) P’(−5, 2) b) P’(−5, −2) c) P’(5, −2) d) P’(1, −2)


Los alumnos reconocerán fácilmente el concepto de sime-tría axial. Aclararles que el eje se simetría es la mediatriz del segmento generado por un punto P y su transformado P’.

Conviene presentar el concepto de simetría central, de cen-tro el origen de coordenadas, dibujando una figura y apli-cándole la composición de dos simetrías axiales, primero respecto al eje X y después respecto al eje Y.

Cuando el centro no sea el origen de coordenadas, insistir en que el centro de la simetría es siempre el punto medio del segmento generado por un punto P y su homólogo P’ en el giro.

Es conveniente que los alumnos sean capaces de generar figuras propias mediante la composición de movimientos.

Debemos insistir en la necesidad de ser rigurosos a la hora de hacer representaciones gráficas; deben estar claras, con una escala adecuada y tienen que presentar los datos relevantes.

Vídeo. SIMETRÍAS

En el vídeo se muestra la resolución del ejercicio hallando los pun-tos simétricos con el programa GeoGebra. Seleccionando la sime-tría axial o central obtenemos la posición de cada punto.

Puede reproducirse en clase para explicar el funcionamiento del programa o como recurso para que los alumnos realicen una aplicación de GeoGebra con alguno de los ejercicios de simetría propuestos.



66 Halla el punto transformado por una simetría axial en cada caso.

a) Si A(−3, 4) y el eje de simetría es el eje de ordenadas. c) Si C(1, −3) y el eje de simetría es el eje de ordenadas.

b) Si B(−2, 4) y el eje de simetría es el eje de abscisas. d) Si D(−5, −3) y el eje de simetría es el eje de abscisas.

a) A’(3, 4) b) B’(−2, −4) c) C’(−1, −3) d) D’(−5, 3)67 Dibuja la recta, r, que pasa por los puntos P(1, 0) y Q(0, 1) y determina las coordenadas de los puntos simétricos de A(1, 3),

B(3, 4), C(3, 0), D(2, −1), E(−2, 2), F(−2, −2) y G(1, −3) respecto de r.

•

•

••

•

•

•

•

••

• •

• •

••

O 1

1

X

PQ

A

r

B

C

D

E

FG

A’

B’ C’D’

E’F’

G’

Y

Los puntos simétricos son:

A’(−2, 0)

B’(−3, −2)

C’(1, −2)

D’(2, −1)

E’(−1, 3)

F’(3, 3)

G’(4, 0)68 ¿Cuáles son las coordenadas de los extremos del segmento resultante de una simetría respecto al eje de ordenadas del

segmento AB cuyos extremos son A(−1, 3) y B(4, 0)? ¿Y respecto al eje de abscisas?

❚❚ Respecto al eje de ordenadas: A’(1, 3) y B’(−4, 0)

❚❚ Respecto al eje de abscisas: A’(−1, −3) y B’(4, 0)69 Halla la figura simétrica respecto al origen de coordenadas del cuadrado cuyos vértices son A(2, −2), B(5, −2), C(5, 1) y

D(2, 1), respectivamente.

Las coordenadas de los vértices del cuadrado simétrico respecto al origen de coordenadas son A’(−2, 2), B’(−5, 2), C’(−5, −1) y D’(−2, −1).

70 Dibuja la figura simétrica respecto al eje de abscisas de una circunferencia que tiene por centro C(−4, −2) y cuyo radio mide 3 unidades.

•

•

O 1

1

X

Y

71 Representa un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular y un hexágono regular y traza sus ejes de simetría.

215



72 Identifica los objetos simétricos y copia los dibujos en tu cuaderno, indicando los ejes de simetría. ¿Tienen centro de sime-tría estos objetos? ¿Por qué?

Comprobar que los alumnos copian los objetos simétricos (canasta, balón de baloncesto, árbol, sol, portería, pared del reloj, cometa), trazan los ejes de simetría e identifican si tienen centro de simetría. Los objetos que no tienen centro de simetría son aquellos en los que no todos sus puntos tienen su simétrico respecto de un punto.

73 Dibuja un cuadrado, ABCD, y realiza una simetría central respecto al vértice C. A continuación, aplica un giro de centro C y 180º de ángulo. ¿Qué figura obtienes? ¿Por qué?

Comprobar que los alumnos dibujan un cuadrado ABCD.

Al aplicar una simetría central de vértice C, realizamos un giro de centro C y amplitud −180º.

Al realizar a continuación un giro de 180º volvemos a la figura inicial.

Luego obtenemos el cuadrado inicial.

Investiga74 Si a una figura, F, le aplicamos un movimiento, obtenemos una figura, F’. Si realizamos otro movimiento con esta última

figura, obtenemos F’’. De este modo, F’’ es el resultado de la composición de dos movimientos.

Dibuja un rectángulo en papel cuadriculado y determina la figura que obtienes al componer:

❚❚ Una traslación de vector paralelo a la base del rectángulo y una simetría axial de eje paralelo a su altura.

❚❚ Una simetría axial de eje paralelo a la altura y otra simetría axial de eje paralelo al anterior.

❚❚ Una simetría axial de eje paralelo a la altura y otra simetría de eje paralelo a la base.

a) ¿Podrías obtener la figura final con un único movimiento en cada caso? Si la respuesta es afirmativa, explica cuál sería el movimiento equivalente a la composición.

b) Si cambias el orden al componer los movimientos, ¿obtienes el mismo resultado? Justifica tu respuesta.

A B

D

A’

D’

A’

D’C

A B

D C

A

A’’

B

B’’

DD’’

CC’’

B’

C’

B’

C’

A’

D’

B’

C’

A’’

D’’

A’’

D’’

B’’

C’’

B’’

C’’

r r rs

s

v–›

a) En el primer caso, se puede obtener la figura final haciendo una simetría de eje la recta mediatriz del segmento C’C’’.

En el segundo caso, la figura final se puede obtener mediante una traslación de la figura inicial.

En el tercer caso se puede hacer un giro de centro el punto de corte de las rectas r y s y amplitud 180º.

b) Solo en el tercer caso se obtiene el mismo resultado al componer los movimientos. En los dos primeros casos se obtiene el mismo rectángulo pero con los vértices invertidos.




En esta sección se destacan los conceptos y procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Reconocer los ángulos que se obtienen cuando se cortan dos rectas.

❚❚ Relacionar los ángulos definidos por dos rectas paralelas cortadas por una secante.

❚❚ Reconocer las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo mediante el teorema de Pitágoras.

❚❚ Aplicar el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

❚❚ Describir los elementos necesarios que intervienen en cada uno de los movimientos estudiados. Calcular gráfica y numéri-camente las coordenadas de un punto P´ obtenido al aplicarle un movimiento a un punto P.

Actividades finalesSoluciones de las actividades75 Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que distan:

a) 3 cm del origen de coordenadas.

b) 1 cm del punto P(1, 1).

a) El lugar geométrico es una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 3 cm. Comprobar que los alum-nos dibujan esta circunferencia correctamente.

b) El lugar geométrico es una circunferencia de centro P(1, 1) y radio 1 cm. Comprobar que los alumnos dibujan esta circunferencia correctamente.

¿Qué tienes que saber?

136

¿QUÉ7 tienes que saber?

137

Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

Comprueba si los triángulos cuyos lados tienen las siguientes medidas son rectángulos.

a) 4 cm, 6 cm y 7 cm

b) 5 m, 12 m y 13 m

Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 40 cm, respectivamente, calcula la longitud de la hipotenusa.

Calcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 37 m si el otro cateto tiene 35 m.

Los dos lados iguales de un triángulo isósceles miden 12 cm, y el otro lado, 6 cm. Calcula la longitud de la altura sobre el lado desigual.

Determina la longitud de la base de un triángulo isósceles de 11 m de altura cuyos lados iguales miden 61 m.

Calcula cuánto miden los lados iguales de un triángulo isósceles si las longitudes del lado desigual y de la altura son 32 dm y 63 dm, respectivamente.

Halla las medidas de los lados y de los ángulos desconocidos de este triángulo. ¿Cuánto mide su altura?

60º

10 cm

x x

Una barca navega 8 km hacia el este y, tras cambiar de rumbo, navega 15 km hacia el sur. ¿A qué distancia del punto inicial se encuentra?

¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer un jugador de fútbol sala en una pista de 40 m de largo y 20 m de ancho?

Pedro y Quique salen de una plaza con sus bicis al mismo tiempo por dos calles perpendiculares entre sí. Si Pedro circula a 9 m/s y Quique lo hace a 12 m/s, calcula qué distancia les separa a los 2 min.

Determina a qué piso de un edificio puede acceder un grupo de bomberos que dispone de una escalera que mide 20 m si tiene que apoyarla en la calle a 8 m del edificio y cada piso tiene una altura de 3 m.

83

84

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93

Lugares geométricos

Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que distan:

a) 3 cm del origen de coordenadas.

b) 1 cm del punto P(1, 1).

Representa en el plano cartesiano los puntos A(1, 1) y B(3, 1) y dibuja el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellos. ¿Cómo se llama?

Dos rectas paralelas distan entre sí 4 cm; dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellas.

Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas secantes que forman un ángulo de 60º.

Relaciones entre ángulos

La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas secantes es de 40º. ¿Cuál es la amplitud de los demás?

Indica la relación existente entre todos los ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta que las corta. Si uno de estos ángulos abarca un arco de 55º, determina la amplitud de los demás ángulos.

Halla la amplitud de los ángulos interiores de la figura si los segmentos AC y BD son perpendiculares.

60ºA

B C

D

¿Cuál es la amplitud del ángulo B si las rectas que pasan por A y por C son paralelas?

a) c)

A

B

C

35º

40º

A

C

30º

20ºB

b) d)

A

C50º

50º

B

A

C

30º

15º

B

75

76

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78

79

80

81

82

Determina la amplitud de los ángulos desconocidos, si A = 120º.

120º

B C

D

E

F G

H

Como A y B son adyacentes: A + B = 180º → B = 60º

Al ser ángulos opuestos por el vértice, sabemos que:

A = C = 120º B = D = 60º

Los ángulos E , F , G y H son correspondientes a los anteriores. Luego:

A = E = 120º B = F = 60º C = G = 120º D = H = 60º

Relaciones entre ángulosTen en cuenta ❚ Dos rectas secantes forman dos ángulos adyacentes si son consecutivos y suplementarios.

❚ Dos rectas secantes forman dos ángulos opuestos por el vértice si los lados de uno son prolongación de los del otro. Estos ángulos tienen la misma amplitud.

❚ Dos ángulos son correspondientes si están formados por una recta secante que corta a dos rectas paralelas y se encuentran situados en el mismo lado con respecto a estas. Estos ángulos tienen la misma amplitud.

Calcula el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales mayor y menor miden 10 cm y 6 cm, respectivamente.

Hallamos la longitud de los lados del rombo aplicando el teorema de Pitágoras en uno de los cuatro triángulos que forman sus diagonales.

a = 52 + 32 = 34 = 5,83 cm

El perímetro es: P = 4 ⋅ 5,83 = 23,32 cm El área es: A =10 ⋅6

2= 30 cm2

Teorema de Pitágoras. AplicacionesTen en cuentaTeorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

a2 = b2 + c2

5 cm

3 cm

Halla las coordenadas del punto transformado de P(4, 2) al aplicar cada uno de los siguientes movimientos.

a) Traslación de vector v = (1, 2). d) Simetría respecto al eje X.

b) Giro de centro O y ángulo de 90º. e) Simetría respecto a O(0, 0).

c) Simetría respecto al eje Y. f) Simetría respecto a C(2, 0).

a) P1(5, 4)

b) P2(−2, 4)

c) P3(−4, 2)

d) P4(4, −2)

e) P5(−4, −2)

f) P6(0, −2)

MovimientosTen en cuenta

❚ En una traslación de vector v

transformamos un punto, P, en

otro, P’, de forma que: PP ’ = v .

❚ Un giro de centro C y ángulo α transforma un punto, P, en otro, P’, de forma que: d(C, P) = d(C, P’)

y PCP = α

❚ En una simetría axial de eje r transformamos un punto, P, en otro, P’, de forma que r es la mediatriz de PP’.

❚ En una simetría central de centro C transformamos un punto, P, en otro, P’, de forma que C es el punto medio de PP’.

P

P1P2

P3

P4P5 P6

O X

Y

1

1

Actividades Finales 7

217



76 Representa en el plano cartesiano los puntos A(1, 1) y B(3, 1) y dibuja el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellos. ¿Cómo se llama?

Comprobar que los alumnos dibujan en un plano el segmento de extremos A(1, 1) y B(3, 1) y trazan su mediatriz que es la recta x = 2.

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos A y B es la recta mediatriz del segmento AB.77 Dos rectas paralelas distan entre sí 4 cm; dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellas.

Comprobar que los alumnos dibujan dos rectas paralelas r y s que distan 4 cm, y una recta t paralela a ellas que dista 2 cm de cada una.

Los puntos que equidistan de las rectas r y s son los que pertenecen a la recta t que es paralela a ambas y dista 2 cm de cada una.

78 Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas secantes que forman un ángulo de 60º.

Comprobar que los alumnos dibujan dos rectas secantes r y s que forman un ángulo de 60º y trazan la bisectriz de este ángulo, la recta t, y de su adyacente de 120º, la recta p.

Los puntos que equidistan de las rectas secantes r y s son los de las rectas t y p, bisectrices los ángulos de 60º y 120º. respectivamente.

79 La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas secantes es 40º. ¿Cuál es la amplitud de los demás?

El opuesto por el vértice al de 40º debe medir también 40º, y los otros, 180º − 40º = 140º cada uno.80 Indica la relación entre todos los ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta que las corta. Si uno de estos

ángulos abarca un arco de 55º, determina la amplitud de los demás ángulos.

AB

C DE F

G

H = 55º

A = F y C = H por ser opuestos por el vértice.

G y H son adyacentes, por tanto, G = 180º − 55º = 125º.

Por tanto, A = C = F = H = 55º y B = E = D = G = 125º.

81 Halla la amplitud de los ángulos interiores de la figura si los segmentos AC y BD son perpendiculares.

60º

A

B C

D

Al ser los segmentos AC y BD perpendiculares, la figura está formada por dos trián-gulos rectángulos.

D = B = 180º − (90º + 60º) = 180º − 150º = 30º

A = C = 60º

82 ¿Cuál es la amplitud del ángulo B si las rectas que pasan por A y por C son paralelas?

a) b) c) d)

A

B

C

35º

40º

A

C50º

50º

B

A

C

30º

20ºB

A

C

30º

15º

B

Para hallar la amplitud del ángulo B , alargamos los lados de los ángulos hasta que corten las rectas paralelas.

a) 180º − (40º + 35º) = 105º; B = 180º − 105º = 75º c) 180º − (30º + 20º) = 130º; B = 180º − 130º = 50º

b) 180º − (50º + 50º) = 80º; B = 180º − 80º = 100º d) 180º − (30º + 15º) = 135º; B = 180º − 135º = 45º83 Comprueba si los triángulos cuyos lados tienen las siguientes medidas son rectángulos.

a) 4 cm, 6 cm y 7 cm b) 5 m, 12 m y 13 m

a) 72 ≠ 62 + 42 → No es un triángulo rectángulo. b) 132 = 122 + 52 → Es un triángulo rectángulo.



84 Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 40 cm, respectivamente, calcula la longitud de la hipotenusa.

a2 = b2 + c2 → a2 = 92 + 402 = 81+ 1600 = 1681→ a = 1681 = 41 cm

85 Calcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 37 m si el otro cateto tiene 35 m.

a2 = b2 + c2 → 372 = 352 + c2 → c2 = 372 − 352 = 1369−1225 = 144 → c = 144 = 12 m

86 Los dos lados iguales de un triángulo isósceles miden 12 cm, y el otro lado, 6 cm. Calcula la longitud de la altura sobre el lado desigual.

Consideramos el triángulo formado por la altura, la mitad del lado desigual y uno de los lados iguales.

a2 = b2 + c2 → 122 = 32 + c2 → c2 = 122 − 32 = 144− 9 = 135 → c = 135 = 11,62 cm87 Determina la longitud de la base de un triángulo isósceles de 11 m de altura cuyos lados iguales miden 61 m.


a2 = b2 + c2 → 612 = 112 + c2 → c2 = 612 −112 = 3 721−121 = 3 600 → c = 3 600 = 60 m

La mitad de la base mide 60 cm. Entonces, la base mide. 60 ⋅ 2 = 120 m.88 Calcula cuánto miden los lados iguales de un triángulo isósceles si las longitudes del lado desigual y de la altura son 32 dm

y 63 dm, respectivamente.


a2 = b2 + c2 → a2 = 322 + 31,52 = 1024 + 992,25 = 2016,25 → a = 2016,25 = 44,9 dm

Cada lado igual del triángulo mide 44,9 dm.89 Halla las medidas de los lados y de los ángulos desconocidos de este triángulo. ¿Cuánto mide su altura?

60º

10 cm

x x

Es un triángulo equilátero, por tanto, todos los lados miden 10 cm y los ángulos 60º.

Consideramos el triángulo formado por la altura, la mitad de un lado y cuya hipotenusa es otro de los lados.

a2 = b2 + c2 → 102 = 52 + c2

→ c2 = 102 −52 = 100− 25 = 75 → c = 75 = 8,66 cm

Su altura mide 8,66 cm.

90 Una barca navega 8 km hacia el este y, tras cambiar de rumbo, navega 15 km hacia el sur. ¿A qué distancia del punto inicial se encuentra?

Hallamos la hipotenusa del triángulo de catetos 8 km y 15 km.

a2 = b2 + c2 → a2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289 → a = 289 = 17 kmSe encuentra a 17 km.

91 ¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer un jugador de fútbol sala en una pista de 40 m de largo y 20 m de ancho?

La distancia máxima que puede recorrer es la medida de la diagonal de la pista.

a2 = b2 + c2 → a2 = 402 + 202 = 1600 + 400 = 2000 → a = 2000 = 44,72 m

La distancia máxima es 44,72 m.92 Pedro y Quique salen de una plaza con sus bicis al mismo tiempo por dos calles perpendiculares entre sí. Si Pedro circula

a 9 m/s y Quique lo hace a 12 m/s, calcula qué distancia les separa a los 2 min.

En 2 min, Pedro habrá recorrido 9 ⋅ 120 = 1 080 m y Quique 12 ⋅ 120 = 1 440 m.

Consideramos el triángulo rectángulo que tiene por catetos la distancia que han recorrido Pedro y Quique por las calles perpendiculares.

a2 = b2 + c2 → a2 = 10802 + 14402 = 1166 400 + 2073600 = 3240000 → a = 3240000 = 1800

La distancia que les separa son 1 800 m = 1,8 km.93 Determina a qué piso de un edificio pueden acceder un grupo de bomberos que dispone de una escalera que mide 20 m

si tiene que apoyarla en la calle a 8 m del edificio y cada piso tiene una altura de 3 m.

a2 = b2 + c2 → 202 = 82 + c2 → c2 = 202 − 82 = 400− 64 = 336 → c = 336 = 18,33 m

Cada piso tiene una altura de 3 m → 18,33 : 3 = 6,11 Podrán acceder al sexto piso.

219



94 Halla el perímetro y el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.

Llamamos a a la medida del lado del cuadrado y aplicamos el teorema Pitágoras.

a2 + a2 = 102 → 2a2 = 102 → a2 = 100 : 2 → a = 50 = 7,07 cm

P = 4a = 4 ⋅ 7,07 = 28,28 cm

A = a2 = 7,072 = 49,9849 cm2

95 Calcula el perímetro y el área del cuadrado interior de la figura.

6 cm8 cm

8 cm

6 cm

Llamamos a a la medida del lado del cuadrado y aplicamos el teorema de Pitágoras.

a2 = b2 + c2 → a2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 → a = 100 = 10 cmP = 4a = 4 ⋅ 10 = 40 cm

A = a2 = 10 ⋅ 10 = 100 cm2

96 En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide la mitad que la hipotenusa, y el otro, 15 cm. ¿Cuál es su área?

Llamamos a a la medida de la hipotenusa y aplicamos el teorema de Pitágoras.

a2 = b2 + c2 → a2 =a

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 152 =a2

4+ 225 → 4a2 = a2 + 900 → 3a2 = 900 → a2 = 300 → a = 300 = 17,32 cm

La hipotenusa mide 17,32 cm y el otro cateto, 17,32 : 2 = 8,66 cm.

A =b ⋅h

2=

15 ⋅8,66

2=

129,9

2= 64,95 cm2

El área del triángulo es 64,95 cm2.

138 139

7 Geometría del plano. Movimientos Actividades Finales 7

Halla las coordenadas de los vectores que transforman el triángulo 1 en los demás.

1

2

31

O X

Y

1

A partir del trapecio 1 se han obtenido las demás figuras mediante determinados movimientos. Indica de qué movimiento se trata en cada caso.

1 2

34

1

O X

Y

1

Indica el centro y la amplitud de los giros que dejan invariantes cada una de estas figuras.

a) Un rectángulo.

b) Un rombo.

c) Una estrella regular de seis puntas.

Representa en unos ejes de coordenadas el punto P(3, −4) y halla sus transformados al aplicarle una simetría:

a) Respecto al eje de abscisas.

b) Respecto al origen de coordenadas.

c) Respecto al eje de ordenadas.

¿Qué figura obtienes al unir los cuatro puntos?

Dibuja el triángulo cuyos vértices son A(1, 2), B(3, 2) y C(3, 5) y halla las coordenadas de la figura que se obtiene al aplicarle una simetría:


b) Respecto al eje de ordenadas.

c) Respecto al origen de coordenadas.

Indica cuáles de las siguientes figuras tienen uno o más ejes de simetría.

a) Un trapecio isósceles.

b) Un rectángulo.

c) Una semicircunferencia.

119

120

121

122

123

124

Movimientos

Determina si la transformación utilizada para obtener las siguientes figuras es un movimiento.

a)

b)

c)

d)

Representa y calcula las coordenadas del vector AB

en cada caso.

a) A(2, 1), B(5, 2) c) A(−1, 2), B(−4, 2)

b) A(0, 2), B(1, −4) d) A(−3, −1), B(2, −3)

¿Cuál es el vector de la traslación que, aplicada al punto P(−2, −4), lo transforma en P’(0, 5)?

Halla las coordenadas del punto P si, al trasladarlo mediante el vector

v = (1, −2), se transforma en el

punto P’(2, 1).

Un triángulo tiene por vértices los puntos A(3, 1), B(6, 4) y C(7, 2). Determina el triángulo que se obtiene al trasladarlo mediante el vector

v = (−2, 1)

y dibuja la traslación.

Traslada un círculo con centro en C(3, −2) y con 3 unidades de radio mediante el vector

v = (5, 3).



113

114

115

116

117

118

La longitud de una circunferencia es 8 cm. ¿Cuánto mide su radio?

La rueda de una bicicleta tiene 40 cm de diámetro. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de dar 35 vueltas?

Halla el área de una pista de patinaje circular rodeada por una valla de 120 m.

Calcula el área de una corona circular formada por dos círculos concéntricos cuyos radios miden 3 cm y 6 cm, respectivamente.

Halla el área de la zona sombreada en cada una de estas figuras.

a) b)

4 cm 4 cm

Calcula la longitud de un arco de 120º en una circunferencia cuyo radio mide 8 cm. ¿Cuál es el área del sector circular correspondiente?

Determina el área de las regiones sombreadas en las siguientes figuras.

a) b)

30º2 cm

20º3 cm

Una pista de atletismo está formada por dos calles de 1 m de ancho cada una.

150 m80 m1º

2º

a) Halla la longitud de una vuelta en cada calle.

b) Determina la distancia a la que debe situarse un corredor en la calle 2 para disputar una carrera.

105

106

107

108

109

110

111

112

Perímetros y áreas de figuras planas

Halla el perímetro y el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.

Calcula el perímetro y el área del cuadrado interior de la figura.

6 cm8 cm

8 cm

6 cm

En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide la mitad que la hipotenusa, y el otro, 15 cm. ¿Cuál es su área?

Dibuja un rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 16 cm, respectivamente. Halla su perímetro y su área.

Determina el área y el perímetro de estas figuras.

a)

5 cm

8 cm

5 cm

b)

4 cm4 cm

6 cm

Calcula la longitud de la altura de un trapecio cuyas bases miden 20 cm y 12 cm si tiene la misma área que un rombo cuyas diagonales miden 14 cm y 30 cm.

Determina la longitud de los lados de un triángulo equilátero cuya área mide 4 cm2.

¿Cuál es el área de un hexágono regular de 4 cm de lado?

Halla el área de un parque infantil con forma de hexágono regular, sabiendo que sus lados miden 8 m.

¿Cuánto mide la superficie de un octógono regular inscrito en un cuadrado de 4 m de lado?

Calcula el área de un octógono regular cuyos lados miden 2 cm.

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104



97 Dibuja un rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 16 cm, respectivamente. Halla su perímetro y su área.

Comprobar que los alumnos dibujan el rombo de diagonales 10 cm y 16 cm.

Consideramos el triángulo rectángulo cuyos catetos miden la mitad de las diagonales y cuya hipotenusa es el lado del rombo, y aplicamos el teorema de Pitágoras.

a2 = b2 + c2 → a2 = 52 + 82 = 25 + 64 = 89 → a = 89 = 9,43 cm

P = 4a = 4 ⋅ 9,43 = 37,72 cm

A =D ⋅d

2=

10 ⋅16

2=

160

2= 80 cm2

98 Determina el área y el perímetro de estas figuras.

a) b)

5 cm

8 cm

5 cm

4 cm4 cm

6 cm

a) Calculamos el lado desconocido del trapecio, que es igual a su altura, aplicando el teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2 → 52 = 32 + c2 → c2 = 52 − 32 = 25− 9 = 16 → c = 16 = 4 cm P = 5 + 5 + 8 + 4 = 22 cm

A =(B + b ) ⋅h

2=

(8 + 5) ⋅ 4

2=

13 ⋅ 4

2= 26 cm2

b) P = 4 ⋅ 3 + 6 ⋅ 6 + 4 ⋅ 3 = 12 + 36 + 12 = 60 cm

Calculamos la altura del triángulo equilátero:

a2 = b2 + c2 → 42 = 22 + c2 → c2 = 42 − 22 = 16− 4 = 12 → a = 12 = 3,46 cm

Calculamos la apotema del hexágono regular:

b2 = c2 + a2 → 62 = 32 + a2 → a2 = 62 − 32 = 36− 9 = 27 → a = 27 = 5,2 cm

AT = 2 ⋅ Atriángulo + Ahexágono = 2 ⋅b ⋅h

2+P ⋅ a

2= 2 ⋅

4 ⋅3,46

2+

6 ⋅6 ⋅5,2

2= 13,84 + 93,6 = 107,44 cm2

99 Calcula la longitud de la altura de un trapecio cuyas bases miden 20 cm y 12 cm si tiene la misma área que un rombo cuyas diagonales que miden 14 cm y 30 cm.

Calculamos el área del rombo: Arombo =D ⋅d

2=

30 ⋅14

2= 210 cm2

Atrapecio =(B + b ) ⋅h

2→ 210 =

(20 + 12) ⋅h

2→ 420 = 32h → h = 13,125 cm

La altura del trapecio mide 13,125 cm.100 Determina la longitud de los lados de un triángulo equilátero cuya área mide 4 cm2.

Llamamos a al lado del triángulo equilátero. Expresamos la altura h en función del lado.

a2 =a

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ h2 → a2 =a2

4+ h2 → h2 =

3a2

4→ h =

3a2

4=a

23

A =b ⋅h

2→ 4 =

a

2⋅a

23 → 4 =

a2

43 → a2 =

16

3= 9,24 → a = 9,24 = 3,04 cm

El lado del triángulo mide 3,04 cm.

221



101 ¿Cuál es el área de un hexágono regular de 4 cm de lado?

Calculamos la apotema del hexágono regular.

b2 = c2 + a2 → 42 = 22 + a2 → a2 = 42 − 22 = 16− 4 = 12 → a = 12 = 3,46 cm

A =P ⋅ a

2=

6 ⋅ 4 ⋅3,46

2= 41,52 cm2

El área es 41,52 cm2.102 Halla el área de un parque infantil con forma de hexágono regular, sabiendo que sus lados miden 8 m.

Calculamos la apotema del hexágono regular.

b2 = c2 + a2 → 82 = 42 + a2 → a2 = 82 − 42 = 64−16 = 48 → a = 48 = 6,93 cm

A =P ⋅ a

2=

6 ⋅8 ⋅6,93

2= 166,32 cm2

El área es 166,32 cm2.103 ¿Cuánto mide la superficie de un octógono regular inscrito en un cuadrado de 4 m de lado?

Si inscribimos un octógono regular en un cuadrado, obtenemos 4 triángulos rectángulos isósceles en las esquinas cuyos catetos miden x y cuya hipotenusa b es el lado del octógono.

b2 = x2 + x2 → b2 = 2x2 → b = x 2

4 = 2x + b → 4 = 2x + x 2 → 4 = x 2 + 2( )→ x =4

2 + 2= 1,17

b = 1,17 2 = 1,65 cm

La apotema del octógono mide 2 cm.

A =P ⋅ a

2=

8 ⋅1,65 ⋅2

2= 13,2 cm2

La superficie del octógono mide 13,2 cm2.104 Calcula el área de un octógono regular cuyos lados miden 2 cm.

El área del octógono la obtendremos restando al área del cuadrado circunscrito el área de los cuatro triángulos isósceles de las esquinas.

Los lados iguales de los triángulos cumplen x2 + x2 = 22 → 2x2 = 4 → x2 = 2 → x = 2 cm

El área de cada triángulo es: A =b ⋅h

2=

2 ⋅ 2

2= 1 cm2

Aoctógono = Acuadrado − 4 ⋅ Atriángulo = 2 + 2 2( )2 − 4 = 4 + 8 2 + 8− 4 = 8 + 8 2 = 19,31 cm2

105 La longitud de una circunferencia es 8 cm. ¿Cuánto mide su radio?

L = 2πr → 8 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r → 8 = 6,28r → r = 1,27 cm106 La rueda de una bicicleta tiene 40 cm de diámetro. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de dar 35 vueltas?

Calculamos la longitud de la rueda: L = 2πr = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 20 = 125,6 cm

125,6 ⋅ 35 = 4 396 cm = 43,96 m

Habrá recorrido 43,96 m.107 Halla el área de una pista de patinaje circular rodeada por una valla de 120 m.

Calculamos el radio de la pista.

L = 2πr → 120 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r → 120 = 6,28r → r = 19,11 m

A = πr2 = 3,14 ⋅ 19,112 = 1 146,7031 m2

108 Calcula el área de una corona circular formada por dos círculos concéntricos cuyos radios miden 3 cm y 6 cm, respectiva-mente.

A = π R2 − r2( ) = 3,14 ⋅ 62 − 32( ) = 3,14 ⋅ 36− 9( ) = 3,14 ⋅27 = 84,78 cm2



109 Halla el área de la zona sombreada en cada una de estas figuras.

a) b)

4 cm 4 cm

a) Acírculo = π ⋅ 22 = 3,14 ⋅ 4 = 12,56 cm2

b) A = 1

4Acírculo −

1

2Acuadrado =

1

4 ⋅ π ⋅ 42 −

1

2 ⋅ 42 = 3,14 ⋅ 4 − 8 = 4,56 cm2

110 Calcula la longitud de un arco de 120º en una circunferencia cuyo radio mide 8 cm. ¿Cuál es el área del sector circular correspondiente?

L = 2πr ⋅α

360º= 2 ⋅3,14 ⋅8 ⋅

120

360= 16,75 cm A = πr2 ⋅

α360º

= 3,14 ⋅82 ⋅120

360= 66,99 cm2

111 Determina el área de las regiones sombreadas en las siguientes figuras.

a) b)

30º2 cm

20º3 cm

a) A = 4πr2 ⋅α

360º= 4 ⋅3,14 ⋅22 ⋅

30

360= 4,19 cm2 b) A = πr2 ⋅

α360º

= 3,14 ⋅32 ⋅340

360= 26,69 cm2

112 Una pista de atletismo está formada por dos calles de 1 m de ancho cada una.

a) Halla la longitud de una vuelta en cada calle.

b) Determina la distancia a la que debe situarse un corredor en la calle 2 para disputar una carrera.

150 m80 m1º

2º

a) Calculamos la longitud de la calle 1.

LC1 = 150 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 40,5 = 300 + 254,34 = 554,34 m

Calculamos la longitud de la calle 2.

LC2 = 150 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 41,5 = 300 + 260,62 = 560,62 m

b) Un corredor de la calle 2 debe situarse a 560,62 − 554,34 = 6,28 m del corredor de la calle 1.

113 Determina si la transformación utilizada para obtener las siguientes figuras es un movimiento.

a) c)

b) d)

223



a) Giro c) No es un movimiento, la figura no mantiene el mismo tamaño.

b) Traslación d) Giro114 Representa y calcula las coordenadas del vector AB

en cada caso.

a) A(2, 1), B(5, 2) b) A(0, 2), B(1, −4) c) A(−1, 2), B(−4, 2) d) A(−3, −1), B(2, −3)

Comprobar que los alumnos representan los puntos y trazan el vector correctamente en cada caso.

a) AB

= b1 − a1 , b2 − a2( ) = 5− 2, 2−1( ) = 3, 1( )b) AB

= b1 − a1 , b2 − a2( ) = 1− 0,−4− 2( ) = 1,−6( )c) AB

= b1 − a1 , b2 − a2( ) = −4− −1( ), 2− 2( ) = −3, 0( )d) AB

= b1 − a1 , b2 − a2( ) = 2− −3( ),−3− −1( )( ) = 5,−2( )115 ¿Cuál es el vector de la traslación que, aplicada al punto P(−2, −4), lo transforma en P’(0, 5)?

P ’ p1 + v1 , p2 + v2( )→ P ’ −2 + v1 ,−4 + v2( )→ −2 + v1 = 0;−4 + v2 = 5 → v1 = 2, v2 = 0

Por tanto el vector traslación es v = (2, 9).

116 Halla las coordenadas del punto P si, al trasladarlo mediante el vector v = (1, −2), se transforma en el punto P’(2, 1).

P ’ p1 + v1 , p2 + v2( )→ P ’ p1 + 11 , p2 + −2( )( )→ p1 + 1 = 2; p2 + −2( ) = 1→ p1 = 1, p2 = 3

Por tanto el punto P es (1, 3).117 Un triángulo tiene por vértices los puntos A(3, 1), B(6, 4) y C(7, 2). Determina el triángulo que se obtiene al trasladarlo

mediante el vector v = (−2, 1) y dibuja la traslación.

A’ a1 + v1 , a2 + v2( )→ A’ 3 + −2( ), 1+ 1( )→ A’(1, 2)

B’ b1 + v1 , b2 + v2( )→ B’ 6 + −2( ), 4 + 1( )→ B’(4, 5)

C ’ c1 + v1 , c2 + v2( )→ C ’ 7 + −2( ), 2 + 1( )→ C ’(5, 3)

Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices ABC, el triangulo de vértices A’B’C’ y el vector de la traslación.118 Traslada un círculo con centro C(3, −2) y con 3 unidades de radio mediante el vector

v = (5, 3).



a) El radio del círculo trasladado mide lo mismo que el círculo original, 3 unidades.

b) C ’ c1 + v1 , c2 + v2( )→ C ’ 3 + 5,−2 + 3( )→ C ’(8, 1)

119 Halla las coordenadas de los vectores que transforman el triángulo 1 en los demás.

1

2

31

O X

Y

1

❚❚ Triángulo 1 en 2: v = (3, −2)

❚❚ Triángulo 1 en 3: u = (5, 0)



120 A partir del trapecio 1 se han obtenido las demás figuras mediante determinados movimientos. Indica de qué movimiento se trata cada caso.

1 2

34

1

O X

Y

1

❚❚ Trapecio 2: Se ha obtenido mediante una simetría respecto al eje de ordenadas.

❚❚ Trapecio 3: Se ha obtenido mediante un giro.

❚❚ Trapecio 4: Se ha obtenido mediante una traslación.

121 Indica el centro y la amplitud de los giros que dejan invariantes cada una de estas figuras.

a) Un rectángulo.

b) Un rombo.

c) Una estrella regular de seis puntas.

a) El centro de giro es el punto donde se cortan las diagonales y la amplitud es de 180º.

b) El centro de giro es el punto donde se cortan las diagonales y la amplitud es de 180º.

c) El centro de giro es el punto donde se cortan las rectas que pasan por los vértices opuestos y la amplitud es de 60º.122 Representa en unos ejes de coordenadas el punto P(3, −4) y halla sus transformados al aplicarle una simetría:


b) Respecto al origen de coordenadas.

c) Respecto al eje de ordenadas.

¿Qué figura obtienes al unir los cuatro puntos?

Comprobar que los alumnos representan el punto P(3, −4).

a) Comprobar que los alumnos representan el punto P’(3, 4).

b) Comprobar que los alumnos representan el punto P’’(−3, 4).

c) Comprobar que los alumnos representan el punto P’’’(−3, −4).

Se obtiene un cuadrado.123 Dibuja el triángulo cuyos vértices son A(1, 2), B(3, 2) y C(3, 5) y halla las coordenadas de la figura que se obtiene al apli-

carle una simetría:

a) Respecto al eje de abscisas. b) Respecto al eje de ordenadas. c) Respecto al origen de coordenadas.

Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo ABC.

a) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices A’(1, −2), B’(3, −2) y C’(3, −5).

b) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices A’’(−1, 2), B’’(−3, 2) y C’’ (−3, 5).

c) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices A’’’(−1, −2), B’’’(−3, −2) y C’’’(−3, −5).124 Indica cuáles de las siguientes figuras tienen uno o más ejes de simetría.

a) Un trapecio isósceles.

b) Un rectángulo.

c) Una semicircunferencia.

a) Tiene un solo eje de simetría.

b) Tiene dos ejes de simetría.

c) Tiene un solo eje de simetría.

225



Matemáticas vivas

MosaicosSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se propone un proceso de modelación matemática en el que los alumnos deberán analizar, interpretar y comunicar una situación artística que les permitirá reconocer la geometría en su entorno.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Argumenta, Utiliza el lenguaje matemático, Utiliza las TIC, Piensa y razona, Comunica, Resuelve o Representa.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Imagen mural, adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro Gravié.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos trabajarán sobre una imagen de un mosaico. Descubrirán cuál es la tesela del mosaico y sus movimientos. Primero trabajarán de manera individual y después por parejas. Cada alumno explicará a la clase la opción de su compañero.

Soluciones de las actividades

Comprende1 Los artistas musulmanes plasmaron en la Alhambra sus conocimientos del concepto de simetría y realizaron su trabajo de

teselación del plano mediante movimientos: traslaciones, giros y simetrías sobre una misma figura.

a) El hueso nazarí es un polígono cóncavo de doce lados que se obtiene a partir de un cuadrado en el que se recortan dos trapecios de dos lados opuestos y se colocan mediante giros en los otros dos lados también opuestos. ¿Cuál es el número mínimo de colores necesario para que no haya dos huesos del mismo color con un lado en común?

b) Busca en Internet cuál es el proceso de construcción de la pajarita a partir de un polígono. ¿Cómo se llama esta figura geométrica?

7 MATEMÁTICAS VIVAS

140 141

7Mosaicos

RELACIONA

Los mosaicos más sencillos se inspiran en la naturaleza y están formados por un único tipo de polígono regular. En un mosaico, las teselas no pueden superponerse ni dejar huecos sin recubrir. Observa la imagen del panal de abejas de la primera página de esta unidad.

a. ¿Qué nombre recibe el polígono de la tesela del mosaico generado por las abejas?

b. Con la ayuda del programa GeoGebra, dibuja un mosaico a partir de un triángulo equilátero y otro a partir de un cuadrado.

c. Al crear un mosaico con polígonos regulares, ¿cuál es la suma de los ángulos que concurren en uno de sus vértices?

PIENSA Y RAZONA

2

En el palacio de la Alhambra de Granada se conservan los mejores mosaicos realizados en el período de la España musulmana (siglos XIII-XIV) durante el reinado de la dinastía nazarí.

La religión islámica busca la belleza en los diseños geométricos, y los artesanos, inspirados en esta búsqueda, hicieron posible la creación de los llamados polígonos nazaríes.

Un mosaico está formado por motivos que se repiten denominados teselas. Las teselas de la Alhambra son piezas de forma cúbica, hechas de rocas calcáreas, materiales de vidrio o cerámicas de distintos tamaños. La parte visible de muchas de ellas son polígonos.

COMPRENDE

Los artistas musulmanes plasmaron en la Alhambra sus conocimientos del concepto de simetría y realizaron su trabajo de teselación del plano mediante movimientos: traslaciones, giros y simetrías sobre una misma figura.

a. El hueso nazarí es un polígono cóncavo de doce lados que se obtiene a partir de un cuadrado en el que se recortan dos trapecios de dos lados opuestos y se colocan mediante giros en los otros dos lados también opuestos. ¿Cuál es el número mínimo de colores necesario para que no haya dos huesos del mismo color con un lado en común?

ARGUMENTA

b. Busca en Internet cuál es el proceso de construcción de la pajarita a partir de un polígono. ¿Cómo se llama esta figura geométrica?

UTILIZA LAS TIC

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

c. ¿Qué movimientos se pueden aplicar para dibujar el mosaico cuya tesela es el avión?

¿Qué movimientos se pueden aplicar para dibujar el mosaico cuya tesela es el avión?

PIENSA Y RAZONA

1

Avión Hueso

Pajarita

COMUNICA

REFLEXIONA

El suelo del salón de recepción tiene un mosaico formado por triángulos y cuadriláteros. Los lados de todos los polígonos tienen la misma longitud.

❚ El salón de invitados está cubierto por el mosaico que puedes ver en la fotografía.

❚ La cocina tiene un mosaico en el suelo formado por triángulos equiláteros y hexágonos regulares. Sus lados miden lo mismo.

❚ Imagina que formas parte del equipo de restauradores.

a. Averigua cómo pueden realizarse los dos mosaicos diferentes que combinan los polígonos indicados para el suelo del salón de recepción.

b. ¿Cuál es la tesela del mosaico del salón de invitados? Explica qué movimientos deben aplicarse para construir un mosaico idéntico.

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

REPRESENTA

c. Dibuja un mosaico que permita realizar la restauración del suelo de la cocina. ¿Hay más soluciones posibles? Si la respuesta es afirmativa, indica cuáles.

3

RESUELVE

UTILIZA LAS TIC

TRABAJO

COOPERATIVO



c) ¿Qué movimientos se pueden aplicar para dibujar el mosaico cuya tesela es el avión?

a) El mínimo número de colores necesario para que no haya dos huesos del mismo color con un lado en común es 2.

b) La pajarita se obtiene realizando modificaciones a un triángulo equilátero.

c) Se pueden aplicar simetrías y giros.

Relaciona2 Los mosaicos más sencillos se inspiran en la naturaleza y están formados por un único tipo de polígono regular. En un

mosaico, las teselas no pueden superponerse ni dejar huecos sin recubrir. Observa la imagen del panal de abejas de la primera página de esta unidad.

a) ¿Qué nombre recibe el polígono de la tesela del mosaico generado por las abejas?

b) Con la ayuda del programa Geogebra, dibuja un mosaico a partir de un triángulo equilátero y otro a partir de un cuadrado.

c) Al crear un mosaico con polígonos regulares, ¿cuál es la suma de los ángulos que concurren en uno de sus vértices?

a) Es un hexágono.

b) Respuesta abierta.

c) La suma de los ángulos que concurren en uno de sus vértices es de 360º.

Reflexiona3 El suelo del salón de recepción tiene un mosaico formado por triángulos y cuadri-

láteros. Los lados de todos los polígonos tienen la misma longitud.

❚❚ El salón de invitados está cubierto por el mosaico que puedes ver en la foto-grafía.

❚❚ La cocina tiene un mosaico en el suelo formado por triángulos equiláteros y hexágonos regulares. Sus lados miden lo mismo.

❚❚ Imagina que formas parte del equipo de restauradores.

a) Averigua cómo pueden realizarse los dos mosaicos diferentes que combinan los polígonos indicados para el suelo del salón de recepción.

b) ¿Cuál es la tesela del mosaico del salón de invitados? Explica qué movimientos deben aplicarse para construir un mo-saico idéntico.

c) Dibuja un mosaico que permita realizar la restauración del suelo de la cocina. ¿Hay más soluciones posibles? Si la res-puesta es afirmativa, indica cuáles.

a) Uno de los mosaicos está formado por una fila de triángulos equiláteros encajados unos en otros y debajo una fila de cuadrados cuyo lado coincide con el lado del triángulo superior.

En el otro, la figura que se repite es un cuadrado y triángulos equiláteros en cada uno de sus lados.

b) La tesela es un triángulo equilátero. Se puede obtener el mosaico realizando giros de distintos centros y simetrías.

c) Hay dos posibles soluciones. Un de ellas es un hexágono regular rodeado de triángulos equiláteros encajados unos en otros. En la otra, la figura que se repite es un hexágono con un triángulo equilátero en cada lado.

Trabajo cooperativo

La tesela de este mosaico es un trapecio rectángulo. Para la construcción de la figura base del mosaico han de realizarse giros de 90º y para la construcción del mosaico es suficiente realizar giros de distintos centros.

227




142

AVANZA Teorema de Pitágoras generalizado

Si un triángulo no es rectángulo, podemos calcular la longitud de uno de sus lados aplicando el teorema de Pitágoras generalizado. La altura de un triángulo no rectángulo determina dos triángulos que son rectángulos, es decir, dos triángulos en los que se cumple el teorema de Pitágoras.

Triángulo acutángulo

Llamamos m a la proyección del lado b que determina la altura, h, sobre la base, c, del triángulo.

A B

C

H

b a

cnm

Por ser AHC un triángulo rectángulo:

b2 = h2 + m2 → h2 = b2 − m2

Como BHC también es un triángulo rectángulo:

a2 = h2 + (c − m)2

Entonces: a2 = b2 − m2 + (c − m)2

a2 = b2 − m2 + c2 + m2 − 2cm

a2 = b2 + c2 − 2cm

Triángulo obtusángulo

Llamamos m a la proyección del lado b que determina la altura, h, sobre la base, c, del triángulo.

A B

C

H

ba

cn

m

Por ser AHC un triángulo rectángulo:

b2 = h2 + m2 → h2 = b2 − m2

Como CHB también es un triángulo rectángulo:

a2 = h2 + (c + m)2

Entonces: a2 = b2 − m2 + (c + m)2

a2 = b2 − m2 + c2 + m2 + 2cm

a2 = b2 + c2 + 2cm

A1. Dibuja un triángulo acutángulo sabiendo que los lados b y c miden 8,94 cm y 12 cm, respectivamente, y que la proyección de b sobre c mide 4 cm. ¿Cuál es la longitud del lado a?

A2. Dibuja un triángulo obtusángulo sabiendo que los lados b y c miden 8,24 cm y 13 cm, respectivamente, y que la proyección de b sobre c mide 2 cm. ¿Cuál es la longitud del lado a?

M. C. Escher (1898-1972) fue un artista holandés conocido por sus grabados, en los que, a partir de figuras y transformaciones geométricas, representó elementos reales junto a formas imposibles, creando mundos imaginarios. Para diseñar sus obras, se inspiró en el arte islámico, llevando los mosaicos a un nivel superior.

G1. Indica el tipo de movimiento utilizado por Escher en cada uno de los grabados anteriores.

GEOMETRÍA EN EL ARTE Transformaciones geométricas


En la sección Avanza de esta unidad se introduce el teore-ma de Pitágoras generalizado.

Es importante que los alumnos reconozcan la necesidad de saber calcular la longitud de uno de los lados de un trián-gulo cuando no sea rectángulo. Para que lo entiendan fá-cilmente, podemos trazar la altura de un triángulo no rec-tángulo y ver que se generan dos triángulos que sí lo son.

Es conveniente que manejen el proceso de modelación del problema para llegar a la fórmula final en un triángulo acu-tángulo y en un triángulo obtusángulo.


A1. Dibuja un triángulo acutángulo sabiendo que los lados b y c miden 8,94 cm y 12 cm, respectivamente, y que la proyección de b sobre c mide 4 cm. ¿Cuál es la longitud del lado a?

Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo co-rrectamente.

a2 = b2 + c2 − 2 cm = 8,94( )2 + 122 − 2 ⋅12 ⋅ 4 == 79,9236 + 144− 96 = 127,9236

a = 127,9236 = 11,31 cm

A2. Dibuja un triángulo obtusángulo sabiendo que los lados b y c miden 8,24 cm y 13 cm, respectivamente, y que la proyec-ción de b sobre c mide 2 cm. ¿Cuál es la longitud del lado a?

Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo correctamente.

a2 = b2 + c2 + 2cm = 8,24( )2 + 132 − 2 ⋅13 ⋅2 = 67,8976 + 169 + 52 = 288,8976

a = 288,8976 = 17 cm

Geometría en el arte. Transformaciones geométricasSugerencias didácticas

Podemos plantear esta sección como un concurso de investigación de diseño gráfico. Les presentamos tres grabados reali-zados por Escher y cada alumno deberá presentar un informe donde explique el tipo de movimiento que utilizó el artista en cada uno de ellos.


G1. Indica el tipo de movimiento utilizado por Escher en cada uno de los grabados anteriores.

En el primer grabado realizó traslaciones, en el segundo simetrías y giros de 120º, y en el tercero, traslaciones y simetrías.

Avanza. Teorema de Pitágoras generalizado



1. Halla el lado desconocido, el perímetro y el área de estos triángulos.

a) b)

20 cm

24 cma

39 cm

15 cm c

a) a2 = b2 + c2 → a2 = 242 + 202 = 576 + 400 = 976 → a = 976 = 31,24 cm

P = a + b + c = 31,24 + 24 + 20 = 75,24 cm

A =b ⋅h

2=

20 ⋅24

2= 240 cm2

b) a2 = b2 + c2 → 392 = 152 + c2 → c2 = 392 −152 = 1521− 225 = 1296 → c = 1296 = 36 cm

P = a + b + c = 39 + 15 + 36 = 90 cm

A =b ⋅h

2=

15 ⋅36

2= 270 cm2

2. Averigua la altura de un triángulo isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 5 m, y su lado desigual, 6 m.

Consideramos el triángulo rectángulo que tiene por catetos la altura del triángulo y la mitad de un lado, y como hipote-nusa, uno de los lados iguales del triángulo.

a2 = b2 + c2 → 52 = 32 + c2 → c2 = 52 − 32 = 25− 9 = 16 → c = 16 = 4 cm

La altura del triángulo mide 4 cm.

3. Calcula el área de una corona circular formada por dos círculos concéntricos cuyos radios miden 5 cm y 10 cm, respecti-vamente.

A = π R2 − r2( ) = 3,14 ⋅ 102 ⋅52( ) = 3,14 ⋅ 100− 25( ) = 3,14 ⋅75 = 235,5 cm2

4. Halla el área de esta figura.

4 cm

16 cm

24 cm

AT = Arectángulo + Acírculo = b ⋅ h + πr2

AT = 16 ⋅ 8 + 3,14 ⋅ 42 = 128 + 50,24 = 178,24 cm2

5. ¿Qué movimiento ha transformado un triángulo en otro: traslación, giro o simetría?

D

B

A

CE

Es una simetría central de centro C.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

229



1. Averigua el área de un sector circular de 60º en un círculo cuyo radio mide 2 m.

A = πr2 ⋅α

360º= 3,14 ⋅22 ⋅

60

360=

753,6

360= 2,09 m2

2. Calcula el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 cm cuya apotema mide 9,2 cm.

Calculamos la longitud del lado.

Para ello, consideramos c la mitad del lado del octógono.

a2 = b2 + c2 → 102 = 9,22 + c2 → c2 = 102 − 9,22 = 100− 84,64 = 15,36 → c = 15,36 = 3,92 cm

Entonces, el lado del octógono mide 3,92 ⋅ 2 = 7,84 cm.

A =P ⋅ a

2=

8 ⋅7,84 ⋅10

2= 313,6 cm2

3. Una parcela rústica tiene un precio de venta de 100 € por metro cuadrado. Averigua el precio total fijándote en la forma y las medidas que se representan en el dibujo.

60 m

18 m

39 m

AT = Atriángulo + Arectángulo + Acírculo = b ⋅h

2 + b ⋅ h + πr2

Hallamos la base del triángulo.

a2 = b2 + c2 → 392 = 362 + c2

→ c2 = 392 − 362 = 1521−1296 = 225 → c = 225 = 15 m

AT = 15 ⋅36

2 + 60 ⋅ 36 + 3,14 ⋅ 182 = 270 + 2 160 + 1 017,36 = 3 447,36 m2

Luego el precio de la parcela es: 3 447,36 ⋅ 100 = 344 736 €

4. Halla gráficamente el punto A’ transformado del vértice A mediante la simetría de centro el punto medio del lado BC e indica qué figura forman los vértices ABA’C.

A

CB

•

•

A

A’

CB

ABA’C forman un paralelogramo.

5. Representa el triángulo de vértices A(−4, 3), B(−2, 6) y C(−4, 6) y halla las coordenadas de su simétrico:

a) Respecto del eje de abscisas.

b) Respecto del eje de ordenadas.

c) Respecto del origen de coordenadas.

Comprobar que los alumnos representan las simetrías correctamente.

a) A’(−4, −3), B’(−2, −6) y C’(−4, −6)

b) A’’(4, 3), B’’(2, 6) y C’’(4, 6)

c) A’’’(4, −3), B’’’(2, −6) y C’’’(4, −6)

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

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