Introducció a l’àlgebra de Boole

Tema 6.- Electrònica digital

L’algebra de Boole

Els sistemes digitals també s’anomenen sistemes lògics, ja que la simplificació i la resolució dels problemes s’efectuen mitjançant operacions lògiques dels tipus sí o no, com ara passa-no passa corrent elèctric, s’encén-no s’encén una bombeta, polsem o no polsem un polsador, etc. Aquestes variables, anomenades binàries, es representen simbòlicament amb els signes 1 “lògic” i 0 “lògic” respectivament, no expressen quantitats, sinó estats de les variables

L’àlgebra de Boole és el conjunt de lleis i postulats que permeten fer operacions lògiques amb les variables binàries.

Operacions bàsiques de l’àlgebra de Boole

F = ā

F = a · b

F = a + b

Funció lògicaOperació Postulats bàsics

Sumaa + 0 = aa + a = a

a + 1 = 1ā + a =1

0+0=0 ; 1+0=10+1=1 ; 1+1=0

Productea· 0 = 0a · a = a

a · 1 = aā· a = 0

0·0 = 0 ; 1·0 = 00·1 = 0 ; 1·1 = 1

Inversió _

Ā =A_ _0=1 ; 1=0

Propietats de l’àlgebra de Boole

Propietats, lleis i teoremes

Forma bàsica Forma Dual

Commutativa a+b = b+a a·b = b·a

Associativa a+(b+c) = (a+b)+c a·(b·c) = (a·b)·c

Distributiva A+(b·c) = (a+b)(a+c) a·(b+c) = (a·b)(a·c)

Element neutre a+0 = a a·1= a

Llei d’absorció a+a·b = a a·(a+b)= a

Teorema de Morgan ________ _ _ _a+b+c+… = a b c

______ _ _ _ a·b·c·…= a + b + c…

Altres lleis a + āb = a+bā + ab= ā+bab+āb= bab+ac = a(b+c)

ā(ā+b)= abā(a+b)= āb(a+b)·(ā+b)= b(a+c)·(a+b)= a + bc