Algebra y Analisis Tensorial

7/26/2019 Algebra y Analisis Tensorial

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ALGEBRA Y ANALISIS TENSORIAL

Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind.

5 Edicin. Octubre 2004.


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PROLOGO

Este ensayo tiene por finalidad facilitar los clculospropios del Algebra Lineal, en especial los que se refieren a losdistintos temas propios de las ciencias fsica y geomtrica en surelacin con un espacio puntual afn siempre propiamenteeuclidiano, a base de considerar la tridimensionalidad como uncaso particular de la n-dimensionalidad con n finito.

No se desarrrollan pues de momento, sus posiblesaplicaciones a la fsica relativista ni cuntica.

Esta Algebra y Clculo Tensorial es especialmente til,pues no opera solamente con magnitudes tensoriales propiamentedichas (que incluyen vectores y escalares), sino que permiteconsiderar como tales en el clculo, a los operadores lineales

multilineales, facilitando as la formulacin de las imgenesque determinan.

Entre los operadores expresables tensorialmente seincluyen derivadas, derivadas direccionales parciales, as comomagnitudes integrales.

El simbolismo elegido para los tensores es intrnseco,y se ha limitado la utilizacin y descripcin de sus componentescaractersticos y de las bases vectoriales adoptadas, a los casosen que ha sido necesario conveniente para una definicin unademostracin.

En cuanto a la expresin de sus componentescaractersticos en cifras, se hace excepcionalmente a ttulo deejemplo caso particular.

El lgebra que se utiliza, se halla definida en elsegundo captulo del texto, y en el resto del texto, se hace laaplicacin del lgebra a un estudio parcial detallado de diversostensores y sus relaciones.

En la primera parte se dedica una atencin especial alos tensores de segundo orden y a su relacin con las matricescuadradas.

En la segunda parte ponemos el acento sobre lasaplicaciones del lgebra a la expresin tensorial de lasmagnitudes diferenciables integrables as como de las derivadasespaciales y diferenciales y a la expresin intrnseca de lasfrmulas de Stokes y Ostrogradski.

Barcelona 10 de febrero de 2002.


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I

TABLA DE CONTENIDO

PROLOGO 1

TABLA DE CONTENIDO I

ALGEBRA TENSORIAL 1

A.- GENERALIDADES. 1

B.- FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA TENSORIAL INTRINSECA ADESARROLLAR 31.- Algunos aspectos del espacio vectorial E propiamen-teeuclidiano y de dimension finita y de los espaciosvectoriales Es(n finito) construdo sobre E, con cuyoselementos opera el lgebra. 3

2. Estructura y propiedades principales del lgebra. 43.- Tensores y aplicaciones lineales. 7

4.- Operacin contraccin de tensores. 8

5.- Observaciones. 9

C.- TENSORES EN GENERAL. 11

1.- Norma, mdulo, ncleos e imgenes de un tensor. 11

2.- Simetras y antisimetras en los tensores. 163.- Simetra y antisimetra m,p 184.- Simetra y antisimetra 1,2. 205.- Tensores totalmente antisimtricos 226.- Tensores totalmente simtricos y h-simtricos. 38

7.- Tensores istropos. 42

8.- Particularidades del espacio tridimensional. 44

9.- Particularidades del espacio bidimensional. 4810.- Polinomios tensoriales. 50

D.- TENSORES E2DE 2 ORDEN 551.- Generalidades. 552.- Matrices de coeficientes tensoriales. 573.- Producto matricial de tensores de 2orden. 624.- Tensor fundamental. 665.- Tensores istropos. 696.- Invariantes de un tensor.Traza. 717.- Determinante de un tensor. 73

8.- Valores y vectores propios de un tensor. 75

9.- Grupos de tensores. Potencias matriciales. 80

10.- Tensores ortogonales. 89

11.- Tensores semejantes. 90

12.- Tensores simtricos definidos positivos. 91

13.- Tensores simtricos semidefinidos positivos. 93

ANALISIS TENSORIAL 95

A.- ESPACIOS PUNTUALES. DERIVADAS. 951.- Espacios puntuales afines. 952.- Utilizacin del vector . 104


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II

3.- Derivacin de expresiones tensoriales. 1065.- Integrabilidad espacial. 112

6.- Funciones de funcin de x. 115

7.- Campos vectoriales particulares en un espacio puntualafn n-dimensional. 117

B. VARIEDADES. INTEGRACION. 1191.- Variedades y cuerpos. 119

2.- Politopos y tensores totalmente antisimtricos. 1203.- Magnitudes de volumen. 1264.- Frmulas de Stokes y de Ostrogradski. 1275.- Integraciones en general. 131

C.- INTEGRALES Y CAMPOS PARTICULARES. 1351.- Integrales de volumen relativas a rr-n. 1352.- Valor de Dpara cualquier cuerpo. 1433.- Campos solenoidales. 1454.- Campos irrotacionales, 152

5.- Campos armnicos. 156

D.- ECUACIONES DIFERENCIALES 1591.- Ejemplos de ecuaciones diferenciales. 159

E.- SERIES POLINOMICAS. 163

APENDICE-1 170

INDICE DE EQUACIONES

171

APENDICE-2

173


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1

ALGEBRA TENSORIAL

A.- GENERALIDADES.

1.- Este texto tiene por objeto el estudio de unlgebra propia del conjunto de tensores afines construdos sobreun espacio vectorial E propiamente euclidiano n-dimensional,considerados intrnsecamente y tomando escalares y vectores comotensores de orden 0 y 1 respectivamente.

2.- Supondremos familiarizado el lector con loselementos de lgebra lineal y en particular con espaciosvectoriales, tensores, matrices y determinantes.

3.- En general, expresaremos los escalares por letrasgriegas minsculas: ,,, etc., los vectores por letras normalesminsculas con flecha en la parte superior: v, w, etc., y lostensores por letras griegas minsculas con flecha en la partesuperior: , , etc. Si (vw) son escalares complejos, susconjugados se representarn por y (vw) * y (vw)*.

Normalmente, cuando un escalar es un coeficiente de unvector tal como v, lo representaremos con la misma letra v sinflecha y con un subndice o suprandice, por ejemplo: v2, v

i,v3,etc. Si es un coeficiente de un tensor

, se representar por

la letra normal minscula t correspondiente, seguida de lossubndices y suprandices, necesarios para su identificacin,escritos uno a continuacin del otro. Ejemplo: t12

1

4

Una matriz se expresar con una letra mayscula comoun conjunto de elementos. Sea por ejemplo la matriz A = {i

j}. Laexpresin i

j significar un elemento de la matriz, cuyaidentificacin depender de la convencin adoptada. Hacheconvendremos que el suprandice indica la fila, en este caso j, yque el subndice indica la columna, en este caso i. De estamanera, 2

3 no representa a la matriz A, sino a un elementodeterminado de ella, el de fila 3 y columna 2.

Sea un sumatorio k=mn ak. Lo representaremos por mn aksino hay duda sobre la magnitud que toma valores y si tampoco hayduda respecto a los valores lmites, por ka

k o simplemente por

ak.

4.- Se adopta el convenio de Einstein:

Siempre que en un monomio figure dos veces el mismondice, una vez como superior y otra como inferior, se debe,salvo aviso en contra, sumar los monomios obtenidos dando a estendice todos los valores posibles.


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Si esto ocurre con ms de un ndice, habr que sumarlos monomios obtenidos dando a estos ndices todos los valoresposibles.

vivi= v1v1+ v

2v2+ ..... + vnvn

aijbj

i= a1

1b1

1+a1

2b2

1+..+a2

1b1

2+a2

2b2

2+....+an

1b1

n+an

2b2

n+..


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B.- FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA TENSORIAL INTRINSECA ADESARROLLAR

1.- Algunos aspectos del espacio vectorial E

propiamen-te euclidiano y de dimension finita y de losespacios vectoriales Es(n finito) construdo sobre E, concuyos elementos opera el lgebra.

1.01.- Bases duales.

Por ser E propiamente euclidiano tenemos E* = E, o seaque E es dual de s mismo en el sentido siguiente:

A toda base de E corresponde una base dual tambin de.E, que slo coincide con la primera cuando sta es ortonormal.

Por otra parte, consideraremos a los vectores de E comotensores de orden uno y representaremos como base principal de Ea {ei} y como base dual a {e

j}, sabiendo que verifican

eiej= ejei= i

j(smbolo de Kronecker).

Por consiguiente podemos tomar como bases de Es, lassiguientes:

{eiej..e

s}, {e

iej..es}, {e

iej..es}, etc.

1.02.- Expresiones de un tensor.

a) Todo tensor de Es puede expresarse por unacombinacin lineal de productos tensoriales elementales, esdecir, correspondientes a elementos de Es:

)p..ba(= iiiirr

rr

b) Teniendo en cuenta que cada r factores tensorialessimples se pueden representar por un tensor de orden r, todotensor de orden mayor que uno, se puede representar tambin enforma einsteniana de la siguiente manera:

=

ii

c) La notacin ordinaria einsteniana de un tensor enfuncin de bases duales, es:

= tij..s(eiej..es) = t

i

j

..s(eiej..es) = .....

Si no se indica lo contrario tomaremos {ei} como baseprincipal y en consecuencia los coeficientes escalares sedenominan:

Contravariantes: tij..s


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4

Covariantes: tij..s

Mixtos: tij..s, etc.

Si y slo si la base es ortonormal, se verifica:

tij..s= tij..s= tij..s= ....

2. Estructura y propiedades principalesdel lgebra.

2.01.- Operaciones fundamentales.

El conjunto E toma la estructura de un lgebraestableciendo las siguientes operaciones fundamentales entre suselementos:

1.- Multiplicacin tensorial.2.- Multiplicacin contracta.

que pasamos a precisar.

2.02.- Multiplicacin tensorial.

Definimos como producto tensorial de un tensor Espor un tensor Em a un tensor de E(s+m) de lascaractersticas propias de la estructura tensorial que suponemosconocida.

Nos limitaremos ahora a recordar las siguientes:

1.- No conmutatividad: En general .

2.- Asociatividad: ()=()=

3.- Distributividad a derecha e izquierda:

(=+; =+): = + + +

2.03.- Multiplicacin contracta.

Entre los posibles, definimos como producto contractonormal de dos tensores y y lo expresamos sin signo especial,a un tensor , que tiene por orden el mdulo de la diferencia derdenes de los factores, sujeto a las siguientes leyes:

1.- Conmutatividad: =

2.- Distributividad a derecha e izquierda:

(=+; =+): = + + +

3.- El producto contracto entre vectores de E coincide con


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el producto escalar en E.

4.- El producto contracto de dos productos tensorialeselementales, se verifica ordenadamente del modo siguiente:

(a1a2...a

mam+1...a

n)(b

1b2...b

m) =

= (a1b1)(a

2b2)...(a

mbm) [a

m+1

...an]

Cada parntesis () indica un producto escalar cuyos factoresson los pares de vectores situados en el mismo orden decolocacin de derecha a izquierda de los tensores factores, hastaagotar los vectores del tensor de menor orden.

Puede verse fcilmente que esta operacin es compatiblecon las propias de los espacios vectoriales de tensores.

2.04.- Notaciones einstenianas normales. Ejemplos.

Sean los tensores =tijk(eiejek); =s

lm(elem)

1.- = = [tijk(eiejek)] [s

lm(elem)] =

= tijkslm(eiejeke

lem)

pijklm= tij

kslm

2.- = = [tijk(eiejek)][s

lm(elem)] =

= tijkslm(eiel)(e

jem)ek=tij

ksijek

rk= tijksij

Para este producto, las bases utilizadas para el primerfactor deben ser duales de las utilizadas para el segundo factor.

2.05.- Teoremas fundamentales de esta lgebra.

Teorema 1.- Dados tres tensores , y construidossobre E, tales que el orden de es igual o mayor que el de , severifica:

()= ()

Dada la distributividad de productos tensoriales ycontractos, bastar demostrarlo para el caso de que los trestensores sean productos tensoriales simples. Efectivamente, para

= a1a2...a

r

= b1b2...b

rbr+1...b

s

= c1c2....c

t

tendremos:

= (a1b1)(a

2b2)...(a

rbr)[b

r+1

...bs]

= a

1a2...a

rc1c2...c

t


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y por consiguiente:

()= (a1b1)(a

2b2)...(a

rbr)[b

r+1...b

s][c

1c2....c

t]

()= (a1b1)(a

2b2)...(a

rbr)[c

1c2....c

t][b

r+1...b

s]

Teorema 2.- Dados tres tensores , y construidossobre E, tales que el orden de es inferior al de , severifica:

()= ()

Bastar demostrarlo para los mismos tensores de lademostracin anterior, con lo que tomar el valor allexpresado. Tendremos adems:

= b1b2...b

rbr+1...b

sc1c2....c

t

y por consiguiente: = (a1b

1)(a

2b2)...(a

rbr)[b

r+1...b

sc1c2....c

t]

) = (a1b1)(a

2b2)...(a

rbr)[b

r+1...b

sc1c2....c

t]

Teorema 3.- Sean 4 tensores , , y construidossobre E, tales que y son de igual orden. se verifica:

()() = ()()

Pues =es un escalar, y podremos escribir:

()() = [()]y por el teorema 1:

()() = [()]= ()()

2.06.- Un coeficiente escalar de un tensor de ordens, relativo a una base tensorial compuesta por vectores de un parde bases duales de E, es igual al producto contracto de por unproducto tensorial de dichos vectores base con ndices en igualposicin y orden.

Podemos demostrarlo, por ejemplo para tijk:

(ei

ej

ek) = [ti'j'

k'(ei'ej'ek'

)](ei

ej

ek) =

= ti'j'k'(ei'ei)(ej'e

j)(ek'ek) = tij

k

y evidentemente la demostracin es anloga para cualquier otrocoeficiente.

2.07.- Cambio de coordenadas de un tensor al pasarde una base {ei} de E y su dual, a una nueva base {f

j} y su dual,

relacionadas con las anteriores por:

fj=

i

jei; f

k= kmem; ij

k

i= jk= smbolo de Kronecker


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Sea por ejemplo = tirst(eiereset)= tvwgh(f

vfwfgf

h)

tvwgh= (fvf

wfgfh) =

([viei][wre

r][sges][

t

het])=

= viw

rs

gt

h(eierese

t) =

v

iw

rs

gt

htir

st

Como vi,wr,sgy thcorresponden a matrices de cambio debases, que son regulares, las nuevas coordenadas son funcinregular de las anteriores. Para todo tensor, se obtienenanlogamente las coordenadas nuevas de cualquier tipo a partirde las antiguas del mismo o distinto tipo.

2.08.- Se demuestra que un conjunto de escalaresfuncin de una base de E, define a un tensor de E, si y slo si,con un cambio de bases, los escalares varan como si fueran loselementos de un conjunto de coeficientes tensoriales de un mismotipo determinado. Entonces el conjunto de escalares coincide conel conjunto de coeficientes del mismo tipo correspondientes a

algn tensor.Tambin se demuestra que un conjunto de escalares,

funcin de una base de E, define a un tensor , o sea que es elconjunto de coeficientes de , de algn tipo, cuando al operarcomo si as fuera para hallar los coeficientes de de ,siendo un tensor cualquiera, hallamos un conjunto de escalaresque define a un tensor.

2.09.- Para E propiamente euclidiano, el productocontracto aqu definido, induce en todos los espacios vectorialesEde tensores afines a E, un producto escalar que tambin loshace propiamente euclidianos.

3.- Tensores y aplicaciones lineales.

3.01.- Los productos contractos de un tensor determinado de E(s+m) por los distintos vectores de Es, sonvectores de Emque varan linealmente con ellos. Por lo tantodichos productos son las imgenes de una aplicacin lineal de Esen Emrepresentada por el tensor .

El tensor de E(s+m) correspondiente a la aplicacinlineal por la que una base {gi} de E

stiene por imagen {fi),

vamos a ver que es (gj

fj) siendo {g

j

} la base dual de {gj}. Enefecto:

(gjfj)gi= (g

jgi)fj= f

i

3.02.- De acuerdo con el prrafo anterior, laaplicacin lineal idntica vendr representada por el tensor

gigi= gigi

referido a cualquier par de bases duales, pues por el teorema 1 y'2.06, tenemos:


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(gigi)a= (gia)gi= a

igi= a

Para los vectores de E, la aplicacin lineal idnticavendr representada por un tensor de 2 orden:

I= eie

i= eiei

con {ei} y {ei} bases duales de E.

El producto contracto de Ipor un producto tensorial

(ab) cualquiera de dos vectores de E, es el producto escalar deambos. Pues tenemos:

I(ab) = (I

a)b

= ab

3.03.- Coeficientes de I.

Los coeficientes tensoriales de I contravariantes

constituyen las matrices de cambio de base de una base a su dualy los coeficientes covariantes de I forman las matrices delcambio inverso. Los coeficientes mixtos forman la matriz unidad.Pues podemos escribir:

I= gij(eie

j) = e

ig

ijej= eiei ei= gijej

I= gij(e

ie

j) = eigijej= eiei e

i= gije

j

I= gij(e

iej) = eke

k gij= i

j(smbolo de Kronecker)I= gi

j(eiej) = ekek gi

j= ij(smbolo de Kronecker)

Por clculo vectorial sabemos que las matrices decambio inverso son inversas.

Tambin se verifica que las matrices covariante ycontravariante de I

son las fundamentales para las bases duales

fundamentales

gijei= ej= ej(eiei) = (e

jei)ei gij= eiej

gijei= ej= e

j(eiei) = (eie

j)ei gij= e

iej

4.- Operacin contraccin de tensores.

La definiremos como un modelo.

Sea un producto tensorial nico

= ab

cd

..m

La contraccin de los factores 2,4 es el tensor

= (bd)(ac

..m)

Si el tensor viene dado en forma normal en funcin debases duales, tal como

= tijkl..m(eieje

kel..em)


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la contraccin 2,4 ser:

= tijkl..m(ejel)(eie

k..e

m) = (j=l): tijkl..m(eiek..e

m)

Deducimos de aqu, que para efectuar esta ltimaoperacin, hay que expresar previamente os dos factores

tensoriales a suprimir, en sendas bases duales.

5.- Observaciones.

Las magnitudes que se consideran en muchas partes de laFsica no relativista, son asimilables a espacios vectoriales detensores de orden 0, 1 mayor, isomorfos a los de E, y susrelaciones mutuas, en muchos casos, se pueden expresar sinadoptar unidades de medida, sea intrnsecamente, a travs delos conceptos y mtodos algebraicos aqu establecidos, y de otroscomplementarios deducidos de ellos.

Estimamos que esta lgebra tensorial puede facilitarconsiderablemente el estudio intrnseco de las relaciones entremagnitudes fsicas y para su desarrollo, resulta indispensable eldominio en la aplicabilidad de los tres teoremas fundamentalesaqu enunciados.

De entre los productos contractos entre tensores que sepueden definir y que se usan, se ha elegido como normal el deaplicacin ms general, y que estimamos suficiente para nuestrosfines.

Una vez halladas las expresiones ms sencillas convenientes, el clculo numrico exige adoptar unidades de cadamagnitud y por tanto la adopcin de bases vectoriales que secorrespondan debidamente entre ellas y entonces tambin tienenplena aplicacin la expresin de tensores por coeficientes denotacin einsteniana, expresin que en los casos sencillos sepresta a la aplicacin del clculo matricial.

Las matrices, tambin se pueden considerar comotensores, por lo general de orden uno y dos, y por tanto, susrelaciones intrnsecas tambin quedarn reflejadas en desarrollosdiversos del lgebra tensorial aqu presentada.

El lgebra que aqu se va a desarrollar, est dedicadaespecialmente a los tensores afines a E expresados en formaintrnseca, incluyendo entre ellos a vectores y escalares. Encuanto a bases y coeficientes, en general intervienen solamentepara completar el estudio de los problemas o para aclarar oconfirmar resultados, de acuerdo con el objeto del texto, que esnicamente intentar hacer ver las ventajas del mtodo intrnsecode clculo tensorial aqu desarrollado.

Esta lgebra no se ha ampliado a los elementos deespacios construdos sobre espacios vectoriales hermticos, porla dificultad derivada de que, ya en los casos ms sencillos, el

producto hermtico de vectores no es en ellos conmutativo.


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El mtodo aqu utilizado para definir el lgebra yotras propiedades de los elementos de E(tensores construdossobre E) al ser E propiamente euclidiano, tambien es utilizablecuando E slo es euclidiano (no propiamente), si se tiene encuenta que entonces en E no pueden existir bases ortonormales.


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C.- TENSORES EN GENERAL.

1.- Norma, mdulo, ncleos e imgenes de un tensor.

1.01.- Definicin. Llamaremos aqu norma de un tensor, al escalar y mdulo de un tensor a la raz cuadrada positivade su norma.

Consecuencias.

a) Si =tij..p(eiej..ep) es la representacin

einsteniana del tensor en base del espacio fundamental, su normavaldr:

= tij..p(eiej..e

p)ti'j'..p'(e

i'ej'..ep')= tij..ptij..p

Como adoptando una base ortonormal se tiene tij..p= tij..p,

resulta que la norma se puede expresar siempre por una suma decuadrados y por tanto es positiva, salvo el caso del tensor nulo,en el que ser nula.

b) Si el tensor = (12..

m) est expresado por un

producto tensorial de tensores, su norma es el producto de lasnormas de los factores. Aplicando las leyes del productocontracto, tendremos:

= (12..m)(

12..

m) = (

11)(

22)...(

mm)

c) La norma del tensor =icuando {i} es un conjunto

de tensores de igual orden ortogonales dos a dos, es la suma delas normas de los sumandos:

(l+ 2+...+

2m)(

l+

2+...+

2m) =

11+

22+ .. +

mm

puesto que los productos con subndices distintos son nulos porortogonalidad.

1.02.- Como la norma definida para un tensor coincideevidentemente con la norma del mismo tensor considerado un vectordel espacio vectorial de los tensores de su orden, podemosaplicar a este espacio vectorial las desigualdades de Schwartzobtenidas para espacios vectoriales en general.

La 1 desigualdad, para dos tensores cualquiera y supuestos no nulos y del mismo orden, es:

[()][()] ()[()()]

y transformando el 1miembro por el teorema 1 fundamental, y elsegundo miembro por el teorema 3, queda as:

[()][()] ()()()

Sustituyendo por de igual orden, se verificar

tambin la siguiente desigualdad:


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[()()][()()] ()()[()()]

que por ser el corchete positivo podemos simplificar as:

[()()] ()()

Esta expresin generaliza la 1 desigualdad de Schwartzal producto contracto de tensores cualesquiera.

1.03.- La anterior desigualdad nos permite definir elcoseno del ngulo formado por dos tensores y no nuloscualesquiera, de mdulos y .

cos

cos

rr

rr

rrrr

rrrr

rr

=),(;))((

))((=),(1 2

Este coseno sera de naturaleza vectorial, y noescalar, cuando y fueran de distinto orden. Tendra entoncesun mdulo inferior o igual a uno. Slo sera nulo para y ortogonales. Sera uno si se puede expresar as:

(): = = ()= ; =

como puede verse fcilmente sustituyendo estos valores en laexpresin de cos2(,).

1.04.- Sea el producto contracto de un tensor deorden s por otro cualquiera de un orden r igual o inferior a s.El tensor resultante, de orden s-r, vara linealmente con el

factor de orden r elegido, y por tanto, se puede considerar a como un tensor representativo de una aplicacin lineal delespacio de los tensores de orden r en el espacio de los de ordens-r y por analoga procederemos a las siguientes definiciones:

1. Para de orden s, llamamos ncleo de de ordenr, y lo expresamos por Nucr

, al conjunto de tensores de ordenr, tales que:

= 0 Nucr

2. Para de orden s, llamamos imagen de de orden r,

y lo expresamos por Imr, al conjunto de tensores de orden r queresultan de la multiplicacin contracta de por cualquier tensor

de orden s-r:

= Imr

1.05.- Caractersticas de ncleos e imgenes.

a) Nucry Imr

son subespacios vectoriales de tensores deorden r correspondientes a la aplicacin .

b) Nucry Imr

por ser subespacios vectoriales de tensoresde orden r tienen por dimensin mxima nr. que es la dimensin


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del total espacio de tensores de orden r.

c) Como para toda aplicacin lineal, cuando los productoscontractos de por los tensores de un conjunto {i} son unconjunto independiente, tambin lo es {i}.

d) La suma de dimensiones de Nucry Ims-rcada uno en susubespacio es nr. Efectivamente:

Si dim Nucr= nr, o sea todo el espacio, ser nulo ,

as como la dimensin de su imagen.

Si dim Nucr= p


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cualquier tensor de orden r y siempre pueden expresarse como

funcin lineal de los {i}, ya que siendo escalares lasexpresiones (i

) se verifica:

(1) = (ii)

= (i

)i

1.09.- Evidentemente, si los 'ino son independientespodemos ponerlos en funcin de los tensores de una base {i}, yentonces siempre podremos expresar de orden s por:

(2) = ii

adoptando una base {i} cualquiera del espacio vectorial de lostensores de orden r.

1.10.- Sea expresado por (2). Si {i} es la base dualde {i}, se verifica i=

i, pues por el 11teorema fundamentaltenemos:

i= (jj)i= (

ji)j= i

y sustituyendo en (2) tenemos otra expresin de :

(3) = ii

de utilizacin general cuando {i} y {i} son bases duales.

1.11.- El tensor de orden s representa la aplicacinlineal que hace corresponder a los tensores base ide orden rque figuran en (3), los tensores ide orden s-r, y al resto detensores base, el tensor nulo.

Pues acabamos de ver que i= i.

Si los tensores son productos tensoriales de un tipodeterminado, es fcil ver que representa asimismo la aplicacinmultilineal que hace corresponder, a cada conjunto ordenado detensores factores, un tensor de orden s-r determinado.

Hallar la imagen de un tensor con toda aplicacinlineal, se reduce siempre a practicar un producto contracto entreeste tensor y el que representa la aplicacin. El primero ser unproducto tensorial para una aplicacin mltiple.

1.12.- El nico tensor, tal que su producto contractoes nulo, con cualquier tensor de un espacio vectorial de tensoresde un mismo orden cualquiera, es el tensor nulo.

Se deduce fcilmente del examen de las ecuaciones (1) y(3) segn que el orden del tensor nico sea superior o inferioral del espacio de tensores considerado.

1.13.- Eleccin de bases para que la expresin de queestamos estudiando tenga el mnimo de sumandos.

Habremos de tomar como base del espacio vectorial de


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los tensores de orden r, la reunin de una base del subespacioN ortogonal a Nucr

y de una base de Nucr. Efectivamente:

Atendiendo a la ecuacin (3), y considerando lostensores {i} de orden r, si dim Nucr

= p, los p sumandoscorrespondientes a los ide la base de Nucr

sern nulos porserlo los segundos factores, y quedarn nr-p sumandos no nuloscorrespondientes a la base del subespacio ortogonal a Nucr

.

Como por '1.08 sabemos que el subespacio generado por{i} ha de contener a Ims-r

, cuya dimensin segn '1.05 es nr-p,el nmero de sumandos no nulos es irreducible.

1.14.- Siempre que la expresin = iiest escritacon un mnimo de sumandos para el orden r elegido para lostensores tal como se acaba de indicar, tendremos en consecuen-cia:

{i} = Base subespacio ortogonal a Nucr

{i} = Base Ims-r.

1.15.- Se deduce fcilmente de '1.11 que el productocontracto de un tensor de orden s por un tensor de orden r essiempre un tensor. El orden del mismo es el mdulo de s-r, y eltensor puede ser nulo.

La admisin del orden tensorial uno para los vectores yel orden cero para los escalares generaliza esta proposicin atodos los casos posibles.


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16

2.- Simetras y antisimetras en los tensores.

2.01.- Transposicin.

Sea un tensor producto tensorial cualquiera de s

vectores y un tensor producto tensorial de los mismos svectores que antes pero en un orden distinto, que solamentedifiere del anterior en que se hallan permutados los factores delugares de orden m y p. Diremos que

y

son tensores

transpuestos m,p.

Para tensores en general, diremos que un tensor es eltensor transpuesto m,p de y lo designaremos ~(m,p), cuando severifique:

(): ~(m,p)

=

para cualquier par y

de productos tensoriales transpuestosm,p.

Por lo tanto dos tensores transpuestos m,p son delmismo orden, y ste es mayor igual que m y que p.

Dada una descomposicin de en suma de productostensoriales de vectores esta condicin la cumple evidentemente untensor suma de productos tensoriales de vectores que seantranspuestos m,p de los primeros.

Ejemplo de tensores transpuestos 2,4:

= [i(aibicidiei)]

~(2,4)= [i(aidicib

iei)]

Para cualesquiera vectores h,u,v,w,qse tiene;

[(iaibicidiei)](h

uvwq)=[i(a

ih)(b

iu)(civ

)(diw)(eiq

)]

[(iaidicibiei)](h

wvuq)=[i(a

ih)(d

iw)(civ

)(biu)(eiq

)]

y ambos productos son efectivamente iguales.

Solo hay un tensor que cumpla con las condicionesexigidas al transpuesto. Si hubiera dos, tales como 1y

2, se

tendra:

(): 1

= 2

(1-

2) = 0

y por tanto, como cualquier tensor de orden s>1 puede descom-ponerse en suma de productos tensoriales de vectores, se tendratambin:

(): (1- 2)= 0 1=

2

2.02.- Cuando no hay duda sobre la clase de


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transposicin efectuada sobre un tensor , al tensor transpuestolo designaremos simplemente por ~ bien ~.

2.03.- Consecuencias de la definicin de tensortranspuesto:

1.- Si con la misma transposicin se convierte en ~,y en ~ , siendo y tensores en los que es posible latransposicin en cuestin, se verifica:

~~ =

2.- El mdulo de un tensor no vara cuando efectuamosen l cualquier transposicin.

3.- Con la transposicin de un tensor, los ndices desus coeficientes experimentan el mismo tipo de transposicin.

Para una transposicin (2,4), representando conapstrofe los coeficientes del tensor transpuesto, tendremos porejemplo:

tijklm=ti

lk

j

m; tijklm=tilkjm; etc.


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3.- Simetra y antisimetra m,p

3.01.- Definicin. Decimos que un tensor tiene simetram,p cuando es igual a su transpuesto m,p y que tiene antisimetram,p cuando es opuesto.

Por consiguiente, dado un tensor por una suma deproductos tensoriales de vectores, diremos que tiene simetra m,psi y slo si es igual al tensor expresable por una suma deproductos tensoriales de vectores, que difieren de los anteriorespor la permutacin de los factores de lugares m y p. Diremos quetiene antisimetra m,p si y slo si resulta ser opuesto.

3.02.- Si un tensor tiene simetra m,p, un coeficientetensorial cualquiera es igual al coeficiente que corresponde a lapermutacin de los ndices de lugares m y p. Para un tensorantisimtrico m,p, estos coeficientes son opuestos. Ejemplos:

Simetra 2,4: tijkmq= ti

mk

j

q; tijkmq= timkjq; etc.

Antisimetra 2,4: tijkmq=-ti

mk

j

q; tijkmq=-timkjq; etc.

Por tanto, en este ltimo caso, para m=j y para todoslos tipos de coeficiente en que ambos estn a un mismo nivel, loscoeficientes son nulos (p.e.: tijkjq= 0).

3.03.- Evidentemente, para que un tensor de orden rdado por sus coeficientes en alguna base, sea simtrico oantisimtrico m,p, es necesario y suficiente que la propiedadanterior de los coeficientes de ndices permutados, la verifiquenla totalidad nrde coeficientes de un nico tipo cualquiera.

3.04.- Es fcil deducir que el conjunto de los tensoressimtricos m,p de un mismo orden r constituye un subespaciovectorial del espacio vectorial de los tensores de orden r y quelo mismo ocurre con los antisimtricos m,p.

Estos subespacios son disjuntos, pues son ortogonalesentre s como vamos a ver.

Efectivamente, si tenemos cualquier tensor consimetra m,p, y otro tensor cualquiera del mismo orden con

antisimetra m,p, y consideramos los tensores ~ y ~respectivamente transpuestos m,p de los anteriores, tendremos por'2.03:

= ~~

y como adems se verifica:

~= ; ~= -

al multiplicar estas ltimas igualdades miembro a miembroresulta:


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= - = 0

3.05.- La dimensin del subespacio de los tensores desimetra m,p, puede verse que es:

n2

1n2-r

+

siendo n la dimensin del espacio vectorial fundamental y r elorden de los tensores considerados.

El primer factor es el nmero posible de combinacionesde orden 2 con repeticin que pueden formarse con n elementostomados dos a dos en cada una.

El segundo factor es el nmero posible de variacionescon repeticin de orden r-2 que pueden formarse con n elementos

tomados r-2 a r-2 en cada una.3.06.- La dimensin del subespacio de los tensores de

orden r con antisimetra m,p puede verse que es:

n2

n2-r

siendo n la dimensin del espacio fundamental.

El primer factor es el nmero posible de combinacionesde orden 2 sin repeticin que pueden formarse con n elementostomados dos a dos en cada una. El segundo factor es el mismo queen '3.05.

Este subespacio es suplementario del anterior, pues lasuma de sus dimensiones es la dimensin nr.


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4.- Simetra y antisimetra 1,2.

4.01.- Sea un tensor de simetra 1,2 expresado por:

= v

siendo vun vector y un tensor de cualquier orden.

Para algn tensor de orden inferior en una unidad alde se verificar:

(): = vv

Efectivamente. Si la expresin de como suma deproductos tensoriales vector-tensor con un mnimo de sumandos,es la siguiente:

= w

ii

tendremos= vwi

i

Por la simetra 1,2 de se verifica:

(vwii)(ab

)=(vwi

i)(b

a) (va)(bwi)

i=(vb)(awi)

i

[(va)(bwi) - (v

b)(awi)]

i= 0

y por ser linealmente independientes los tensores i:

(i): 0 = (va)(bwi) - (vb)(awi) = [(va)wi- (awi)v]b

y por ser bun vector cualquiera:

(i): (va)wi= (awi)v

Por ser linealmente independientes los wies necesarioque su conjunto conste de un vector nico v, que utilizado en laltima ecuacin, la verifica.

Por otra parte, la condicin es suficiente para que lanueva expresin de sea la de un tensor con simetra 1,2.

Tendremos por lo tanto que el tensor es igual alnico tensor i.

4.02.- La propiedad anterior relativa a la simetra1,2 puede extenderse a otras simetras por el mtodo que sedesarrolla a continuacin.

Sea el tensor simtrico 2,4 expresado por:

= (rivh

iui)

Tendremos anlogamente:


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= (rivh

iv

)

puesto que por transposiciones sucesivas tenemos:

~= (vuirihi)

con simetra 1,2 y por tanto:

~= (vvrihi)

y por transposiciones inversas obtenemos el anterior resultado.

4.03.- As pues, podemos decir en general:

Si un tensor expresado como producto tensorial tiene unnico factor vectorial ven el lugar m y tiene simetra m,p, sepuede expresar tambin como producto tensorial con el mismo

factor vectorial vnico no slo en el lugar m sino en el p.

4.04.- Sea un tensor expresado como producto tensorialque tiene un nico factor vectorial en el lugar m. Este tensor nopuede ser antisimtrico m,p.

Para demostrarlo bastar comprobar que el tensor=vno puede ser antisimtrico m,p.

Pues si as fuera, procediendo como en '4.03,hallaramos que debera verificarse

(va)wi

= -(awi

)v

y tendramos por una parte, que por ser linealmenteindependientes los wisera necesario que su conjunto constara deun solo vector vy por otra parte, sustituyendo este valor en laigualdad final, tendramos tambin:

(va)v= - (av)v

lo que es imposible al ser acualquier vector.

4.05.- Se deduce inmediatamente de la propiedadanterior que un tensor expresable por un nico producto tensorial

de vectores, no puede tener ninguna antisimetra.


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5.- Tensores totalmente antisimtricos

5.01.- Definicin y propiedades generales.

Un tensor es totalmente antisimtrico, cuando es

antisimtrico respecto a cualquier par de posiciones.

En consecuencia de la definicin y de lo dicho enprrafos anteriores podemos establecer para los tensorestotalmente antisimtricos las siguientes caractersticas:

1.- Un tensor totalmente antisimtrico expresado comoun sumatorio de productos tensoriales de vectores, lo que en todotensor es posible, no vara si efectuamos una misma permutacinpar entre los factores de cada sumando, y se transforma en suopuesto con una misma permutacin impar cualquiera.

Entendemos por permutacin par el resultado de dos o deun nmero par de permutaciones sucesivas entre cualesquiera paresde posiciones, y por permutacin impar el resultado de una sola oun nmero impar de permutaciones sucesivas.

Si P es el conjunto de permutaciones pares pPy I elconjunto de permutaciones impares pI, podremos escribir:

= i(aibi..r

i)= i[pP(a

ibi..r

i)]= -i(pI(a

ibi..r

i)]

2.- Dado un tensor totalmente antisimtrico de ordenq y otro tensor cualquiera de los que se puedan determinar lostranspuestos (m,p) expresados respectivamente por ~ y ~, deacuerdo con '2.03 1, tendremos

= ~~= -~

Ejemplo para q>2; m=1; p=2:

(ab

c..r) = - (b

ac..r)

lo que implica:

(a)(b

c..r) = -(b)(ac..r)

3.- Por consiguiente el producto contracto de taltensor totalmente antisimtrico de orden q, por cualquiertensor que presente alguna simetra entre dos de sus primeras qposiciones, es nulo, o sea que ambos tensores sern ortogonales.

5.02.- Sea la expresin general de un tensor

(4) = tij..r(eiej..e

r) = t

i

j

..r(eiej..er) = .....

Si el tensor es totalmente antisimtrico, severificarn las siguientes propiedades:

1.- Los coeficientes tensoriales de un mismo tipo se


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transforman en sus opuestos con una permutacin impar de susndices y no varan con una permutacin par. Ejemplo:

(5) tijk= -tji

k= -tkji= -tik

j= tkij= tjk

i

y para igual valor de dos subndices o bien de dos suprandices,

el coeficiente es nulo.

2.- Si consideramos un solo tipo de coeficientes de untensor totalmente antisimtrico de orden q construido sobre unespacio euclidiano de n dimensiones, deducimos:

a) No existen tensores totalmente antisimtricos no nulos deorden superior a n. Puesto que todos los coeficientes tendran ala fuerza un ndice repetido y por tanto seran nulos.

b) Los coeficientes no nulos pueden agruparse en tantosgrupos como combinaciones sin repeticin de n elementos tomados

de q en q, de manera que a cada grupo correspondan q!coeficientes de igual valor absoluto (q! son las permutaciones deq elementos).

El nmero de grupos es pues

q

n

c) Si consideramos un orden preestablecido (p. Ej.creciente) para los valores numricos de los ndices, en cadagrupo habr un slo coeficiente dispuesto con arreglo a esteorden, al que llamaremos coeficiente estricto y expresaremos port(ij..r).

d) Si en la expresin general de sacamos factor comn loscoeficientes estrictos, tendremos otra expresin de :

(6) = t(ij..r)[pPp(eiej..e

r) - pIp(e

iej..e

r)]

que debe entenderse como sumatorio de tantos tensores comocoeficientes estrictos.

e) De la expresin anterior, se deduce esta otra:

(7) =q!

1tij..r[pPp(e

iej..e

r) - pIp(e

iej..e

r)]

al considerar que cada coeficiente estricto corresponde a tantoscoeficientes ordinarios como permutaciones q! de q elementos.

5.03.- Con un espacio vectorial fundamental de ndimensiones, el conjunto de tensores distintos totalmenteantisimtricos de orden q, constituye un subespacio vectorial delos tensores de orden q. Por lo que antecede, vemos que sudimensin coincide con el nmero de componentes estrictas, o seade grupos, correspondientes a n y a q. Para n=q es uno, con unasola componente estricta y un slo grupo. En general es:


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Dimensin =

q

n

5.04.- Cuando un tensor de orden s es totalmenteantisimtrico, Nucr

y Imrson ortogonales suplementarios.

Puesto que la expresin =i1de con un mnimo de

sumandos, sabemos por '1.14 que implica:

{i} = Base subespacio ortogonal a Nucr.

{1} = Base de Ims-r.

Y con totalmente antisimtrico tendremos =ii

tambin con un mnimo de sumandos, y por tanto:

{i} = Base subespacio ortogonal a Nucs-r

{i} = Base de Imr

5.05.- Producto exterior.

Llamamos producto exterior de los vectores a,b,...rylo expresamos por ab..r, al siguiente tensor:

(8) ab

..r= pPp(ab

..r) - pIp(a

b

..r)

que es evidentemente un tensor totalmente antisimtrico.

5.06.- Ejemplo de producto exterior:

a

b

c= a

b

c+ b

c

a+ c

a

b

- a

c

b

- b

a

c- c

b

a

5.07.- Empleando productos exteriores las ecuaciones(6) y (7) quedan de la siguiente manera:

= t(ij..r)(eiej..e

r) =

q!

1tij..r(eie

j..e

r)

Si en la primera ecuacin sustituimos (eiej..er) por

[e(ij..r)], tendremos:

(9) = t(ij..r)e(ij..r)

y de esta manera, se puede aplicar el convenio de Einstein a losndices considerados en bloque. Tambin se tendr:

e(ij..r)e(i'j'..r')= (ij..r)

(i'j'..r') = simbolo de Kronecker

t(ij..r)= e(ij..r); t(ij..r)= e(ij..r)

5.08.- En lgebra exterior se estudian las propiedadesde este producto y aqu nos limitaremos a enunciar algunas.

1 La multiplicacin exterior es asociativa y distributiva.

Para multiplicar por un escalar basta multiplicar un factor.


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2 Una permutacin par de factores vectoriales no altera elproducto exterior y una permutacin impar lo convierte en suopuesto.

3 Un producto exterior nulo corresponde a un conjunto de

factores no independiente y recprocamente.

4 Si n es la dimensin del espacio vectorial de losfactores, un producto de ms de n factores es nulo.

5 Todo tensor totalmente antisimtrico de orden n, por seruno la dimensin de su subespacio, puede expresarse siempre conun nico producto exterior de n vectores.

6 En la expresin general de un tensor producto exteriorde orden qn, en funcin de una base {ei} de E n-dimensional:

(m=m

i

ei;..s

=s

k

ek):

= m

n

..s= p

(ij..r)

e(ij..r)

se verifica:

}V..VV{Det=

s..nm

.....

s..nm

s..nm

=p snm

rrr

jjj

iii

(ij..r)

siendo las Vi las matrices columna ( bien fila) de loscoeficientes de los factores respecto a {ei,ej,..e

r}.

7 No todos los tensores totalmente antisimtricos puedenrepresentarse por un producto exterior para dimensin E n>3.

5.09.- Norma de un tensor totalmente antisimtrico nonulo de orden q (q igual o menor que la dimensin n del espacio Efundamental).

La expresin de en bases {ei} y {ei} duales, es

= tij..r(eiej..e

r) = t

(ij..r)e(ij..r)

= tij..r(ei

ej

..er

) = t(ij..r)e(ij..r)

Teniendo en cuenta lo dicho en '1.01, y que hay q!productos iguales tij..rtij..r para cada coeficiente estricto, severificar:

(10) = tij..rtij..r= q! t(ij..r)t(ij..r)

y por lo tanto:

(11) e(ij..r)e(ij..r)= q!

En los textos de lgebra exterior se define en general


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como norma especial para estos tensores, el valor

t(ij..r)t(ij..r)

mientras que aqu hemos conservado el concepto general.

5.10.- Sea un tensor totalmente antisimtricocualquiera de orden s, y sean q vectores a,b,..,r, con qs.

De acuerdo con (8) y '5.01-2, se verifica:

(12)q!

1(ab

..r) =

q!

1[pPp(a

b

..r) - pIp(ab

..r)]=

= (ab

..r)

5.11.- Sea {ei} una base de E n-dimensional, y elconjunto de n vectores {vj} tales que v

i=

ei. En virtud de '5.08-

6 habr un nico componente y podremos escribir:(13) = v1v

2..v

n=

e1e2..

en= (Det{tji})e(12..n)

Si el conjunto hubiera sido de solamente q


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segundo con la base dual {ei) podremos escribir:

(v1v2..v

n) = (Det {V1V2.. Vn})(e

1e2..e

n)

')e..ee(

~W

..

~W

~W

Det=')w..ww(n21

n

2

1

n21 rrrrrr

Pero tenemos:

=}V..VV{

~W

..

~W

~W

Det=}]V..VV{Det][

~W

..

~W

~W

Det[ n21

n

2

1

n21

n

2

1

= Det{W~jVi} = Det {wjvi}

y por lo tanto, el producto contracto miembro a miembro resulta:

((v1v2..v

n)(w

1w2..wn) = [Det{wjvi}](ei..e

n)(e

i..en)

5.14.- Si un producto exterior de q vectores no esnulo, tiene por factores q vectores independientes, segn se dijoen '5.08-3. Por consiguiente, cuando n es la dimensin delespacio vectorial fundamental, si un producto exterior de nvectores no es nulo, podemos considerar que estos vectoresconstituyen una base del espacio fundamental.

5.15.- En el caso de que {wi} sea la base {vi} dual de{vi}, tendremos Det{w

jvi} = 1, y la ltima ecuacin queda as:

(v1v2..v

n)(v

1v2..vn) = (ei..en)(e

i..en)

As pues, los productos de los escalares polarescorrespondientes a bases duales, coinciden para todos los paresde bases duales. Esto ocurrir tambin con un par de bases duales

ortonormales, que son coincidentes, y por tanto este productoconstante ser igual al cuadrado del escalar polar correspondien-te a cualquier base ortonormal.

Conviniendo que este cuadrado sea la unidad, tendremosque el producto de los escalares polares correspondientes acualquier par de bases duales es siempre uno.

5.16.- En virtud de esta convencin, el escalar polarcorrespondiente a cualquier base ortonormal ser uno o menos uno.Si para un orden determinado de los vectores de una baseortonormal asignamos el valor uno, con una permutacin impar deeste orden resultar el valor menos uno.


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Tendremos pues dos tipos de bases: las positivas y lasnegativas y tambin obtenemos la siguiente expresin intrnseca:

(15) (v1v2..v

n)(w

1w2..wn) = Det{wjvi}

5.17.- Tensor de Ricci.

Sean las ecuaciones (12) y (14) antes deducidas:

v1v2..vn = (Det {V1V2.. Vn})(e

1e2..e

n)

(v1v2..vn) = (Det {V1V2.. Vn})(e

1e2..e

n)

en las que {vi} y (ej} son bases cualesquiera del espacio

fundamental.

Dividiendo miembro a miembro estas dos ecuaciones, yexpresando por el tensor cociente, tendremos:

)e..ee(

e..ee=

)v..vv(

v..vv=

n21

n21

n21

n21

rrr

rrr

rrr

rrr

r

El tensor se llama tensor de Ricci y tenemos que enla forma indicada, su expresin no vara con la base del espaciofundamental utilizada.

Si adoptamos una base ortonormal cualquiera de ordenvectorial positivo, su expresin se simplifica as:

= f1f

2.. f

n

y de esta ltima expresin se deduce inmediatamente que suescalar polar es +1.

Como el tensor de Ricci es un tensor totalmenteantisimtrico de orden n igual a la dimensin del espaciovectorial fundamental, tiene un solo coeficiente estricto quevale +1 y su norma es n! de acuerdo con '5.09.

5.18.- Otras propiedades generales del tensor de Ricci.

1.- Producto contracto de con un producto tensorial

de orden s no superior al de , tal como

=e1e2..e

s.

Por (12) siempre tendremos:

(16) (e1e2..es) =

s!

1(e1e

2..es)

y se pueden presentar dos casos.

a) Si los s factores no forman un sistema linealmenteindependiente, el producto es nulo pues lo es el productoexterior del segundo miembro.


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b) Si los s factores forman un sistema linealmenteindependiente, completaremos a partir de ellos una base {ei} delespacio. Utilizando la base dual para expresar tendremos:

(e1e2..es) = )e..ee(e..een21

n21

rrr

rrr

(e1e2..es)

Como el numerador de la fraccin es un sumatorio deproductos tensoriales y debe multiplicarse por el productotensorial = e1e

2..e

s, podemos suprimir todos aquellos

sumandos cuyos productos con se anulen y el producto contractoquedar de la siguiente forma:

(e1e2..en)(e1e2..es)=

(17)[(e1e2..es)(es+1es+2..en)](e1e

2..es) = e

s+1es+2..en

El denominador es el inverso de (e1e2..en)

Sustituyendo estos resultados tendremos finalmente:

(e1e2..e

s) = (e

s+1es+2..en)(e1e2..e

n)

y teniendo en cuenta (16)

(18) (e1..es)=(e

s+1es+2..en)(e1e2..en)=

s!

1(e1..e

s)

5.19.- En el caso particular de que s=n, sea de unproducto tensorial de n factores tendremos:

(e1e2..e

n) =

n!

1(e1e

2..e

n) = (e

1e2..e

n)

y los dos ltimos miembros nos indican una utilizacin del tensorpara la obtencin del escalar polar de un producto exterior deorden n.

5.20.- Tensores adjuntos o polares.

Llamamos tensor adjunto de un tensor de orden sntotalmente antisimtrico, al tensor de orden n-s siguiente:

(19) =s!

1

Por lo visto en '5.11, es totalmente antisimtrico,y consideraremos tambin as a vectores y escalares.

Observaremos que la frmula obtenida en el prrafoanterior, en relacin con el escalar polar de un productoexterior de orden n, se ajusta a la frmula general que acabamos


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de obtener.

5.21.- Si es un producto exterior, aplicandosucesivamente la frmula general, la (16) y despus (18),tendremos:

(20) (e1e2..e

s) =

s!

1(e1e

2..e

s) =

(e1e2..e

s) =

=(es+1es+2..en)(e1e2..e

n)

5.22.- La ecuacin anterior relaciona el tensor polarde un producto exterior e1e

2..es parcial, con el tensor

(escalar) polar de un producto exterior e1e2..es..e

n

completo.

Vamos a obtener ahora la relacin entre el tensor polardel mismo producto exterior parcial anterior y el tensor polarde un producto exterior intermedio e1e2..es..es+rcon s+r n.

Por lo dicho en el prrafo anterior, tenemos:

(e1e2..e

s..e

s+r) = (e

s+r+1..en)(e1e2..e

n)

El primer factor del 2 miembro podemos expresarlo as:

es+r+1..en=[(es+1..es+r)(es+r+1..en)](es+1..es+r)

y anlogamente a lo visto para los dos primeros miembros de (17),pero partiendo esta vez del factor s+r+1 en lugar del factor 1,

podemos transformarlo de nuevo de esta manera:

es+r+1..en=(es+1..es+res+r+1..en)(es+1..es+r)=

Sustituyendo tenemos:

(e1e2..es+r)=(e

s+1..en)(es+1..es+r)(e

1e2..e

n)=

y teniendo en cuenta (20):

(21) (e1e2..es+r)=(e

1e2..e

s)(e

s+1

..es+r)

Finalmente, como para cada uno de los r! sumandosproductos tensoriales que constituyen es+1..es+rel resultado desu producto contracto por (e1e

2..e

s) es el mismo, tambin

tendremos:

(e1e2..es+r) =

r!

1(e1e

2..es)(e

s+1

..es+r)

5.23.- Casos particulares.

1.- s+r = n.


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La ltima ecuacin podremos escribirla as:

(e1e2..e

s)(e

s+1e

s+2..e

n) = (n-s)! (e

1e2..e

n)

2.- s = n-1. Es un subcaso del anterior para r=1.

Aplicando (21) tenemos

(e1e2..en)=(e

1e2..e

n-1)e

n

de donde deducimos que el vector (e1e2..en-1) es el que con

cualquier vector averifica:

(e1e2..e

n-1)a

=(e1e2..e

n-1a

)

y es por tanto ortogonal a e1,e2,.., y a e

n-1, ya que el que a

coincida con uno de estos vectores o sea funcin lineal de losmismos, es suficiente para anular el segundo miembro.

5.24.- Algunas propiedades de los tensores polares.

Para su estudio consideraremos que los escalares quemultiplican a los tensores son coeficientes y no tensores y quese verifica () = y recordaremos que para bases duales(e1e

2..e

n)(e

1e2..en) = 1

La ecuacin (20) dice as:

(e1e2..e

s) = (e

s+1es+2..en)(e1e2..e

n)

que tambin podemos aplicar con bases duales, resultando:

(es+1es+2..en) = (e1e2..es)(e

s+1..ene1..es)

Los tensores polares (escalares) que figuran en lasegundos miembros de ambas ecuaciones tienen valores inversos yel que tengan el mismo signo u opuesto slo depender de si n y sson impares pares.

Sealaremos las siguientes propiedades:

1.- Sean y tensores totalmente antisimtricos delmismo orden s, y y escalares. Se verifica que la

determinacin del tensor polar es una aplicacin lineal:

(+) =s!

1(+) =

rrrr

s!

1+

s!

1= +

2.- El tensor polar del tensor polar de un tensor totalmente antisimtrico, es este mismo tensor (salvo el signo).

Cuando = e1e2..e

ses un producto exterior, en el

prrafo anterior se ha calculado y por tanto:

() = [(es+1es+2..en)(e1e2..en)]


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32

() = (es+1es+2..en)(e1e2..en)

Pero el valor de (es+1es+2..en) calculado en dicholtimo prrafo es:

(e1e2..es)(e

s+1..ene1..es) = (es+1..ene1..es)

y sustituyendo:

() = [(es+1..ene1..es)(e1e2..en)] =

= [(e1e2..en)](e1e2..e

n) =

Finalmente, teniendo en cuenta la propiedad 1 antesexaminada y que todo tensor totalmente antisimtrico es unsumatorio de productos exteriores resulta que la ltima igualdad

es vlida para todo tensor totalmente antisimtrico, con un signoque depende del orden impar o par del tensor.

3.- Consecuencia de la propiedad anterior, es que sidos tensores totalmente antisimtricos (includos vectores yescalares) tienen igual tensor polar, son iguales.

4.- De la ecuacin (20) se deduce que, excepto paralos tensores totalmente antisimtricos de orden 0 n, un tensortotalmente antisimtrico es ortogonal a su tensor polar.

5.- Todo tensor completamente antisimtrico de ordenn-1 construido sobre un espacio vectorial n-dimensional, se puedeigualar a algn producto exterior.

Sea el vector s1polar de un tensor de orden n-1, y

{si} una base del espacio vectorial que incluye a s1.

Podremos escribir de acuerdo con (20)

= () = (s1) = (s2s3..sn)(s1s

2..s

n)

y como todos los factores s2,s3,..,sndel producto exterior sonortogonales a s1tendremos tambin;

s1= 0

5.25.- Componente totalmente antisimtrica de un tensorcualquiera.

Recordemos la ecuacin (12)

(ab

..r) =q!

1(ab

..r)

en que es un tensor totalmente antisimtrico de orden s noinferior al orden q del producto exterior siguiente.


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33

Como el producto contracto de un tensor totalmenteantisimtrico, por un tensor de orden no superior que presentaalguna simetra, es nulo, tendremos que el tensor

q!

1

(ab

..r)

que es totalmente antisimtrico, es la proyeccin ortogonal de ab..rde orden q sobre el subespacio vectorial de los tensorestotalmente antisimtricos de orden q.

Por consiguiente, la proyeccin ortogonal o componentetotalmente antisimtrica de un tensor cualquiera de orden q

= tij..r(eiej..er)

ser)e..ee(t

q!

1= rji

ij..ra

rrrr = t(ij..r)(eie

j..e

r)

y se verificar:

= a

Los coeficientes estrictos de ason:

)t-t(q!

1=t

p(ij..r)Ip

p(ij..r)Pp

(ij..r)

Si en vez de usar un tensor totalmente antisimtrico cualquiera utilizamos el tensor de Ricci se verificar:

)(q)!-(nq!

1=;q!=

q!

1q!== aaaa

rrrrrr

rr

rrr

5.26.- Producto contracto. El producto contracto decualquier tensor totalmente antisimtrico de orden q por untensor cualquiera de orden s con s q, si no es un escalar niun vector, es un tensor totalmente antisimtrico.

Expresemos por un sumatorio de productos tensorialesy distingamos los s primeros factores. Tendremos:

i iiiii )]t..p()r..ba[(= rr

rr

rr

y haciendo i=(ai..r

i) resulta para

la siguiente expresin:

i iii )]t..p([=rrrr

de un tensor totalmente antisimtrico, por serlo tambin .


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34

5.27.- Volmenes.

Sea un tensor totalmente antisimtrico de orden n, ycomo tal, expresable por un nico producto exterior.

= a1a2..an

Designemos por A1el subespacio unidimensional de basea1, por A2el subespacio bidimensional de base {a

1,a2} y en general

por Aiel espacio i-dimensional de base {a1,a2,..,a

i}.

Adems, expresemos por H2al subespacio de A2ortogonalal A1, por H3al subespacio de A3ortogonal al A2, y en general porHial subespacio de Aiortogonal al Ai-1, siendo unidimensionalestodos los H.

Para i2, cada vector aipuede descomponerse en forma

nica en dos sumandos: uno de Hiy el otro de Ai-1:(hiHi; m

iAi-1): a

i= h

i+ m

i

y dado que mi no es independiente de {a1,a2,..,a

i-1}, podemos

sustituir en el producto exterior, los vectores aipor los hi, sin

alterar el valor del producto, y as obtendremos:

= a1a2..a

n= a

1h2h3..h

n

Los vectores hi junto con el a

1 forman un sistema

ortogonal. Si hies el mdulo de hiy e

ies el vector que verifica

hi

=hi

ei

, el conjunto {ei

} resulta ser una base ortonormal delespacio fundamental y podremos escribir:

(22) = a1a2..an= a1h2h3..hn(e

1e2..e

n)

(a1a2..an) = a1h2h3..hn(e

1e2..e

n) = a1h2h3..hn= V

pues por '5.16 sabemos que el escalar (e1e2..e

n) vale 1 -1

segn que la base sea positiva o negativa.

Como el escalar a1h2h3..hnes igual al volumen V delparaleleppedo determinado por el origen y los puntos a1,a

2,..,a

i,

al que llamaremos paraleleppedo generado por {ai}, por (22)

deducimos que el nico coeficiente estricto de , es V con labase utilizada. As pues, y considerando volmenes positivos ynegativos, podemos escribir con toda base ortonormal:

= (a1a2..a

n) = V = t

(ij..r) (a1a2..a

n) = V

Siendo t(ij..r)raz cuadrada de la expresin de (n!)-1enbase ortonormal ('5.09), la frmula general para cualquier base ysu dual, con =t(ij..r)e(ij..r)=t(ij..r)e

(ij,,r), ser pues:

(23) = (a1a2..a

n) = V = )t)(t( (ij..r)

(ij..r)


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35

y siempre V es el tensor (escalar) polar de .

Bajo el punto de vista de determinar un volumen, a todotensor producto exterior de orden n, tambin le llamaremos tensorvolumen, expresado por V

. Su tensor polar es el escalar V.

5.28.- Vamos a aplicar lo dicho en estos prrafosanteriores sobre productos exteriores de orden n, a productosexteriores de orden q


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traducida a este lxico, la ltima expresin nos dice que elcuadrado de la superficie de un tensor es igual a la suma decuadrados de sus proyecciones ortogonales.

Si a estas proyecciones las designamos por skcuandoek=e

kes el vector base omitido en el ndice (ij..r) podremosescribir tambin:

)s(=S 2k

5.31.- Definimos como vector superficie sde un tensortotalmente antisimtrico de orden n-1, que expresado en unabase cualquiera es:

= ab..m= s(ij..r)(eiej..er)

a su vector polar .

Por tanto, si ekcorresponde al vector base omitido en(ij..r), haciendo Vk=(e

iej..e

rek), por (20) tendremos:

s= = s(ij..r)(eiej..e

r) = s

(ij..r)ek(eiej..e

rek) =

= s(ij..r)Vkek

y para V=(e1e2..e

n) tendremos:

(n par; k lugar par): Vk= V(n par; k lugar impar): Vk=-V(n impar; k lugar par): Vk=-V(n impar: k lugar impar): Vk= V

Recordando que se verifica:

a=aiei;b=biei;...;m

=miei

consideremos ahora el determinante simblico:

eV...eVeV

m...mm

......

......

b...bb

a...aa

=

n21

n21

n21

n21

rrr

Podremos comprobar que los menores que resultan dedesarrollar el determinante por la ltima fila son loscoeficientes estrictos, segn vimos en '5.08-6. Si ek es elvector base omitido en (ij..r) tendremos para el menor


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correpondiente a Vek:

Mk= s(ij..r)

y teniendo en cuenta el anlisis anterior podemos ver que severifica:

= MkVkek= s; sk= MkVk

Si tomamos como base una base ortonormal que incluya ladel subespacio generado por {a,b

,..,m} es fcil comprobar que el

mdulo de ses la superficie de .

Adoptando cualquier base ortonormal, se puede ver queen el espacio geomtrico afn, las skcoinciden con las reas delas proyecciones ortogonales de la superficie S sobre los planoscoordenados.

5.32.- Producto exterior y bases duales.Sea una base {ei} de un espacio vectorial n-dimensional

cuyos vectores determinan un paraleleppedo de volumen

V =(e1e2..e

n).

Vamos a demostrar que los vectores de la base {ei} dualde la anterior, pueden expresarse del modo siguiente:

(n): e= -V

1(e1e

2..e

-1e

ne+1..e

n-1)

(=n): en=V1 (e1e2..en-1)

Puesto que la primera ecuacin por (20) se puedeexpresar as:

(n): e= -V

1e(e1e

2..e

-1e

ne+1..e

n-1e

)

y por ser el parntesis una permutacin impar del orden naturalcorrespondiente a V:

(n): e= -V

1e[-(e1e

2..e

n)] = -

V

1e(-V) = e

Respecto a la segunda ecuacin tenemos anlogamente:

(=n): en=V

1en(e1e

2..e

n-1e

n) =

V

1enV = en


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6.- Tensores totalmente simtricos y h-simtricos.

6.01.- Definicin.

Decimos que un tensor es completamente simtrico cuando

es simtrico respecto a cualquier par de posiciones.

6.02.- Consecuencias de la definicin.

a) Sea un producto tensorial de q factores vectorialestal como

ab

c..r

y designemos con una letra p distinta a cada una de las q!permutaciones de sus factores.

p(a

b

c

..r)

Si P es el conjunto de permutaciones posibles, ytenemos cualquier tensor totalmente simtrico de orden q omayor, se verificar:

(pP): (ab

..r) = [p(ab

..r)] = Ppq!

1r

[p(ab

..r)]

b) En virtud de las consecuencias anteriores, si esun tensor totalmente simtrico de orden q, su producto contractocon un producto tensorial de s factores con sq, ser:

(abc..r) = (b)(ac..r) = [(b

c)](a..r) ...

c) Sea un tensor expresado por un sumatorio deproductos tensoriales de q vectores

= (aibi..ri)

Es completamente simtrico si y slo si con la mismapermutacin cualquiera de factores en cada sumando, no vara eltensor:

(p; pP): (aibi..r

i) = i[p(a

ibi..r

i)]

d) Refirindonos a la representacin general de lostensores, deducimos fcilmente que en cada tipo de coeficientestensoriales, los coeficientes no varan de valor con laspermutaciones de sus ndices. Ejemplo:

tijk= ti

k

j= tjik= tj

k

i= tkij= tk

ji

e) Los tensores totalmente simtricos pueden ser decualquier orden no inferior a dos.

6.03.- Subespacio vectorial de los tensores totalmente


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simtricos de orden q sobre un espacio vectorial n-dimensional.

Estos tensores forman evidentemente un subespacio delespacio vectorial de los tensores de orden q.

Su dimensin es el nmero de coeficientes tensoriales

en principio distintos:

+

q

1qn

o sea el nmero posible de combinaciones de orden q conrepeticin, que pueden formarse con n elementos tomados de q en q

6.04.- Proyeccin ortogonal de un tensor cualquierasobre el subespacio vectorial de los tensores totalmentesimtricos de su orden.

De '6.02 a) se deduce que para cualquier tensorcompletamente simtrico de orden s, el resultado de su productocontracto por los dos tensores de orden qs que se expresan acontinuacin, es el mismo.

= i(aibi..r

i); )]}r..ba[p(

q!

1{= iiiPpis

rr

rr

Ahora bien, la segunda expresin es de un tensortotalmente simtrico y por lo tanto ste ser la proyeccinortogonal de sobre el subespacio vectorial de los tensorestotalmente simtricos de orden q componente totalmentesimtrica de .

6.05.- El producto de un tensor completamente simtricode orden q por cualquier tensor de orden sq, si no es unescalar ni un vector, es un tensor totalmente simtrico.

Sea un tensor completamente simtrico expresado por:

= [(aibi..mi)(p

i..ti)]

en que se han sealado los primeros s factores vectoriales.

Su producto contracto por ser:

= [{(aibi..m

i)}p

i..t

i]

y si el producto contracto del 21miembro es el escalar i, queda:

= [i(pi..t

i)]

y el resultado es evidentemente la expresin de un tensortotalmente simtrico, por serlo .

6.06.- Un tensor completamente simtrico de orden


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q 2, puede expresarse siempre como una funcin lineal deproductos tensoriales de q vectores iguales:

= [i(aiai..a

i)]

Sea el subespacio vectorial A de los tensores

completamente simtricos de orden q generados por el conjunto deproductos tensoriales de q vectores iguales y el subespacio Btotal de los tensores completamente simtricos de orden q.

Si A y B no coinciden, A ser de dimensin menor queB, y habr al menos dos tensores 1y

2de B que no pertenecern

a A y que tendrn igual proyeccin ortogonal sobre A y por tantose verificar:

(; A): 1= 2

Pero como en '10.10 veremos que se demuestra que laigualdad anterior slo puede verificarse para 1=

2, los referidos

subespacios A y B son coincidentes.6.07.- Cuando un tensor es totalmente simtrico, el

subespacio ortogonal suplementario de Nucres Imr

.

La demostracin es igual que en '5.04.

6.08.- Un tensor totalmente simtrico, expresable porun sumatorio de productos tensoriales de vectores, tales quetodos ellos poseen un factor vectorial comn y en la mismaposicin, el tensor es un mltiplo de una potencia tensorial dedicho vector comn.

Es una consecuencia de '4.03.

6.09.- Tensores h-simtricos.

Definicin. Diremos de un tensor no nulo de orden m+hque es h-simtrico, cuando es totalmente simtrico respecto a lasm primeras posiciones y convendremos que esto ocurre siempre param=0 y m=1.

Por lo tanto, los tensores 0-simtricos son todos losescalares, todos los vectores y todos los tensores completamentesimtricos.

Los tensores h-simtricos de orden s constituyenevidentemente un subespacio vectorial del espacio vectorial delos tensores de orden s.

6.10.- Componente h-simtrica de un tensor.

Sea cualquier tensor h-simtrico de orden s=m+h, ylos dos tensores siguientes de orden s y com el conjunto ri,..,t

i

que consta de h vectores.

=(aibi..q

i)(r

i..t

i);


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[ ]

i iiPp iiihs t..r)]q..ba[p(h)!-(s

1=

rrrr

rr

Para ambos tensores, el producto contracto por

cualquier tensor h-simtrico de orden igual superior, es elmismo, y como el 2 tensor es evidentemente h-simtrico, y siendoas que estos tensores son los nicos que no anulan el productocontracto con un tensor h-simtrico de orden igual superior,este 2 tensor es la proyeccin ortogonal del primero sobre elsubespacio de los tensores h-simtricos de su orden, llamadotambin componente h-simtrico del primero.

6.11.- Sea el tensor de orden m+h con m>1 que sabemosexpresar as:

= ii

siendo los ide orden h y los ide orden m con m>1

Si las i son las componentes completamente simtricasde la i, la componente h-simtrica de

se expresar por:

hs= i

i

6.12.- De las ltimas expresiones y de '6.06, deducimosque siendo h-simtrico de orden m+h=s , los siguientesproductos por potencias tensoriales de x, son iguales:

(x): xm= hsxm


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7.- Tensores istropos.

7.01.- Definicin.

Son los tensores cuyo conjunto de coeficientes,

referidos a una determinada base ortonormal del espacion-dimensional sobre el que estn construidos, coincide con el delos referidos a otra base ortonormal cualquiera.

Recordaremos la obtencin de un coeficiente de untensor tal como t1124segn vimos en B'2.05:

t1124= (e1e

1e2e4)

y las propiedades del tensor Imencionadas en B'2.10:

I= eiei; I

v= v; I

(ab

) = ab

Sea un tensor istropo. Como para hallar uncoeficiente de en una base ortonormal, debemos multiplicar estetensor por un producto tensorial de vectores de tal base, ningnvector base puede figurar en nmero impar pues de lo contrario,al cambiar tal vector base por el opuesto, el producto tensorialsera opuesto y el coeficiente correspondiente tambin sera elopuesto. Esto es imposible para un tensor istropo dada sudefinicin.

Por consiguiente los vectores base que existan, han deestar en nmero par, y en consecuencia el nmero de factoresvectoriales del producto tensorial factor debe de ser par. Estoes lo mismo que decir que slo pueden existir tensores istroposde orden par.

7.02.- Expresin de los tensores istropos.

Para el orden 2, el nico tensor istropo posible es,con sus mltiplos, el tensor I

que acabamos de examinar, ya que,

con base {ei} ortonormal, slo podemos considerar como factoresproductos tensoriales posibles, a los del tipo (eke

k), y

entonces se tiene:

(k): 1 = ekek= (I

ek)e

k = I

(eke

k)

Siendo as, no es difcil comprobar que son tensoresistropos los tensores de orden par expresados no slo por:

I

I

..I

o lo que es igual:

eieifjf

j...g

kgk

(en cuya expresin {ei},{fi},...,(g

i} son bases cualesquiera del

espacio n-dimensional, y (ei},{fj},...,{gk} sus bases duales)


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sino por todos los tensores distintos que resultan de cadapermutacin de sus factores vectoriales, y adems por todos lostensores del espacio vectorial generado por dichos tensoresdistintos.

Hay que tener en cuenta que la permutacin entre un

factor y su dual no origina un tensor distinto, y que tampoco loorigina el considerar bases distintas para cada par de factoresvectoriales duales.


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8.- Particularidades del espacio tridimensional.

8.01.- Producto vectorial.

Cuando los tensores estn construdos sobre un espacio

vectorial tridimensional, es til considerar la multiplicacinvectorial de dos vectores.

Definicin.- Refirindonos a un espacio vectorialtridimensional, llamamos multiplicacin vectorial de un vector apor otro vector b

y la expresamos con el signo , a la operacin

por la que se obtiene un tercer vector llamado producto vectorialde apor b

y expresado por ab

que coincide con el vector polar

de ab, con sentido positivo para {a,b,(ab

)}.

Por tanto, si es el ngulo a,b, se verifica:

(24) a

b= (a

b) a

bortogonal a a

y b

; |a

b|=ab (sen )

y teniendo en cuenta (12) y (19) y con =tensor de Ricci,resultan otras expresiones:

(25) ab=2

1(ab

) = (ab

)

Como consecuencia de ello, y de acuerdo con '5.23-2,para a,by cvectores cualesquiera, se verifica:

(26) ab= -b

a; aa= 0; (ab

c)= (ab

)c= (b

c)a= (ca)b

8.02.- Producto vectorial de dos vectores de una base.

Consideremos cualquier base positiva {e1,e2,e3}. En este

caso tambin lo son {e2,e3,e1} {e

3,e1,e2}.

Atendiendo a la ecuacin (20) podremos escribir:

(27) e1e2= (e

1e2) = e

t(e1e2et) = e

3(e1e2e3)

puesto que aqu slo es posible t=3, y anlogamente tendramos:

e1e2= et(e1e2et)= e3(e1e2e3) =)eee(

e321

3

rrrr

8.03.- Doble producto vectorial.

Para a,b y cvectores cualesquiera, se verifica la

siguiente propiedad:

(28) (ab)c= (ca)b

- (cb

)a

Adoptando una base positiva cualquiera tal como{e1,e

2,e3} partiremos de la siguiente expresin:


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(e1e2)c

en que ces un vector cualquiera.

Podemos sustituir el parntesis por el valor antes

hallado y en cuanto al vector c, siendo I=eneny {en} la baseadoptada, podemos sustituirlo de la siguiente manera:

c= Ic= (ene

n)c= (cen)en

resultando as:

(e1e2)c

= [e3(e1e2e3)][(c

en)en] =

= (e1e2e3) (e

3en)(cen) =

y sustituyendo por (27) el ltimo producto vectorial:

= (e1e2e3) (e3enet)et(cen) =

Permutando los factores del 2tensor polar sin alterarsu valor, tendremos:

= (e1e2e3) (e

nete3)et(cen)

Ahora bien, para que el resultado no sea nulo, t y ndeben ser distintos de 3 y distintos entre s, y as slo sepuede considerar n=1;t=2 o bien n=2;t=1, con lo que tendremos

(e1

e2

)c= (ce1

)e2

- (ce2

)e1

= (e1

e2

) c

y como la igualdad tambin se verificara para e1=e2, se

verificar para tres vectores cualesquiera.

8.04.- Tensor (a).

Llamamos tensor (a) al tensor de 2 orden que concualquier vector b

verifica:

(a)b= ab

Es completamente antisimtrico, puesto que es otra

expresin de a tensor polar del vector a. Efectivamente:

ab= (a)b= (ab) = ab

8.05.- Una consecuencia del prrafo anterior y de'5.24-2, es que todo tensor antisimtrico de 2 orden puedeexpresarse en la forma () siendo su vector polar.

Por consiguiente para abpodremos escribir:

ab= (ab

)= (ab

)=

Recordaremos que segn '5.28, '5.29 y '5.30, es


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tambin el vector superficie del tensor y que su mdulo es elrea del paralelogramo generado por ay b

, o mdulo de ab

.

8.06.- Con cualquier vector a, se verifica:

a= 21(a)

Puesto que tenemos:

a= (a) =2

1(a) =

2

1(a)

8.07.- Coeficientes del vector polar del componentecompletamente antisimtrico ade un tensor

de segundo orden.

Sea, en su expresin normal, = tij(eiej).

Sabemos por '5.25 que su componente totalmenteantisimtrica es:

a=2

1tij(eie

j)

y por el prrafo anterior tendremos:

a=2

1tij[(eie

j)]

=2

1tij(eie

j)

Llamando V al volumen positivo (e1e2e3), loscoeficientes covariantes de sern:

s= es=

2

1tij(eie

j)es

y por (26):

s=2

1tij(eie

jes)

El coeficiente para s=3 ser:

3=21tij(eieje3)

y tendr dos trminos:

(i=1;j=2):2

1t12(e1e

2e3) =

2

1t12V

(i=2;j=1):2

1t21(e2e

1e3) = -

2

1t21V

3=2

1(t12-t21)V

y anlogamente


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1=2

1(t23-t32)V

2=

2

1(t31-t13)V

Para una base ortonormal, V=1 y los coeficientescovariantes son iguales a los contravariantes.

8.08.- Consecuencia de los prrafos anteriores es otraexpresin del volumen V generado por tres vectores a, b

, y c:

V = (ab

c) = (ab)c= (ab

)c= (b

c)a= (ca)b

8.09.- Espacio geomtrico ordinario.

Para el clculo de productos vectoriales en el espaciogeomtrico ordinario, deberemos tener en cuenta que respecto a

las direcciones y sentidos positivos de las aristas de untriedro, se ha convenido como sucesin positiva, la de lossiguientes dedos de la mano derecha:

{Pulgar, ndice, medio}

8.10.- El comprobar que el escalar (ab)ces igual al

escalar volumen del paraleleppedo generado por los vectores a,b, c con origen comn, y el que (ab

) es igual al vector

superficie del paralelogramo definido por a, b, que es su base,

((ab)=(ab

)), avalan a la definicin elegida para el

operador .

8.11.- Por todo lo dicho anteriormente en un espacio n-dimensional podemos expresar el volumen V generado por n vectoresa, b

,..., ry sas:

V = (ab

...rs) = (ab

...r) s

El primer miembro y el segundo representan un escalarvolumen n-dimensional y el primer factor del tercero representael vector superficie correspondiente al tensor superficie (n-1)dimensional ab

...r.

8.12.- Sea una superficie compuesta de segmentos a la

que corresponder un tensor suma de los tensores de los segmentosy un vector suma de sus vectores polares y polar de la suma detensores. Cuando la superficie sea envolvente y cerrada tantovector total como tensor total sern nulos.


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9.- Particularidades del espacio bidimensional.

9.01.- Si {e1,e2) es una base ortonormal positiva, el

tensor de Ricci tendr ahora por expresin = e1e2.

El tensor polar de cualquier vector aser ahora otrovector a' y tendremos por definicin a = a.

9.02.- Para dos vectores a y b cualesquiera severifica:

ab= - b

a

Ya que el producto contracto del tensor (ba)+(ab),evidentemente simtrico, con el tensor antisimtrico debe sernulo y por tanto podemos escribir:

0 = [(b

a)+(a

b)] =

(b

a) +

(a

b) =

= (b)a+ (a)b

= b

a+ ab

9.03.- El volumen V (rea en este caso) delparalelogramo generado por dos vectores a y b

(orden a,b

positivo) es ab.

Pues tenemos:

V = (ab) =

2

1(ab

) =

2

1[(ab

)-(b

a)] =

=21[(ab) - (ba)] =

21[(a)b- (b)a] =

21(ab-ba)

y por el prrafo anterior:

V =2

1(a'b

+ ab

) = ab

= (a)b

9.04.- El tensor de Ricci corresponde a la aplicacinlineal que con base {e1,e

2} ortonormal positiva hace corresponder

al vector base e1el vector base e2.

Puesto que se verifica:

(e1) = e1= (e

1e2)e

1= [(e

1e2)-(e

2e1)]e

1=

(e1e2)e1- (e

2e1)e

1= (e

1e1)e2- (e

2e1)e1= e

2

9.05.- En consecuencia, el tensor de Ricci, en unespacio bidimensional geomtrico es el tensor de giro positivo de90 grados correspondiente a la matriz:


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49

01

1-0=}{

9.06,- Sea una base {a1,a2} positiva con V=(a

1a2)

Aplicando las frmulas de la base dual ('5,31)obtenemos:

aV

1-=a

V

1-=a 22

1 rr

rr

aV

1=a

V

1=a 11

2 rr

rr


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10.- Polinomios tensoriales.

10.01.- Monomio. Definiciones.

Llamamos monomio en xde grado p y orden m, al tensorque tiene por expresin:

(xx..x) = xp= xp

en que xp representa el producto tensorial de p factoresvectoriales xy un tensor de orden p+m. Como el monomio es elproducto contracto de ambos, resulta ser un tensor de orden m.

Cuando no cabe confusin, escribimos xpen lugar deescribir xp.

Grado del monomio es el exponente tensorial de x y se

conviene que x0

es siempre uno cualquiera que sea x. Por estemotivo, los monomios que no vienen afectados por ningn factor x

los consideraremos monomios de grado 0, y en general noescribiremos el factor x0.

Normalmente expresaremos el orden de los coeficientestensoriales cuando es superior a uno y as por ejemplo

p+mxp

representar un monomio en xde grado p y orden m. Tngase encuenta que esta notacin no indicar un sumatorio einsteniano.

Dos monomios son equivalentes iguales cuandocorresponden al mismo tensor.

El coeficiente tensorial define una aplicacin linealde los tensores xpy otra no lineal de los vectores x, en elespacio vectorial de los tensores de orden m.

10.02.- Polinomio. Definiciones.

Llamamos polinomio de orden m en xal tensor suma de unnmero finito de monomios en xde cualquier grado, pero todos delmismo orden m, y definimos como grado de un polinomio el grado

del monomio de mayor grado.

Decimos que un polinomio est reducido, cuando solo hayun monomio por grado, lo que siempre es posible, pues si hayvarios, se pueden reducir a uno efectuando sumas sucesivas:

xp+ xp= (+ )xp

A los polinomios de orden m y grado p en x, reducidos,los expresaremos as:

(i de 0 a p): A = m+ixi


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Dos polinomios o monomios decimos que son equivalentes iguales, cuando corresponden al mismo tensor. La diferenciaentre dos polinomios equivalentes es el tensor nulo.

10.03.- Propiedades.

A continuacin sealamos algunas.

10.04.- Si un polinomio reducido, en x, es igual altensor nulo, todos sus monomios son nulos.

Vemoslo, por ejemplo, con el polinomio siguiente:

(x): m+ m+1x+ m+2x

2+ .. + m+pxp= 0

Efectivamente, si en el polinomio sustituimos xpor elvector x siendo un escalar, e igualamos al tensor nulo,

obtenemos la siguiente ecuacin:(x)(): m+

m+1x+ 2m+2x

2+ .. + pm+pxp= 0

Para =0 la ecuacin implica m=0, sea la nulidad delprimer monomio, y por tanto podemos transformarla as:

(x)(); (m+1x+ m+2x

2+ .. + p-1m+pxp) = 0

(x)() m+1x+ m+2x

2+ .. + n-1m+pxp = 0

Para =0 la ltima expresin de la ecuacin implicam+1

x=0, sea la nulidad del 2 monomio primitivo.

Por recurrencia vemos que sucesivamente deben ser nulostodos los monomios, como queramos demostrar.

10.05.- Como consecuencia del ltimo prrafo, tenemosque dos polinomios reducidos son equivalentes si y slo si susmonomios de igual grado son equivalentes dos a dos.

10.06.- Respecto a la relacin existente entre lanulidad de los monomios de un polinomio y la nulidad de suscoeficientes tensoriales, observaremos lo siguiente:

a) Monomio de grado 0. Es evidente que su nulidadcoincide con la nulidad del coeficiente tensorial.

b) Monomio de grado uno. Su expresin es x y deacuerdo con '1.12, su nulidad exige la de .

c) Monomio de grado i superior a uno. Para que seanulo, no es necesario que el coeficiente tensorial sea nulo, puesevidentemente basta que sea antisimtrico para cualquier par deposiciones entre las i primeras, para que su producto contractocon xisea nulo.

10.07.- Cuando en un monomio cualquiera de grado mayor


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que dos, sustituimos el coeficiente tensorial por su componentem-simtrico, resulta un monomio equivalente:

p+mxp= (p+m)msx

p

tal como se vio en '6.11.

Si convenimos que todos los tensores de orden m y m+1son m-simtricos cualquiera que sea m, en lo que no haydificultad, resulta que podemos generalizar la afirmacin ltimaa cualquier monomio, sea cual sea su grado.

10.08.- En consecuencia, si hacemos la sustitucinmencionada en cada monomio de un polinomio, lo que siempre esposible, obtenemos un polinomio equivalente que tiene todos suscoeficientes tensoriales m-simtricos.

10.09.- Si un monomio en x, de orden m, y con

coeficiente tensorial m-simtrico, es igual al tensor nulo, dichocoeficiente es tambin nulo.

Sea al monomio nulo:

(x): xr= 0

en cuya ecuacin, para simplificar, hemos expresado por untensor de orden m+r m-simtrico.

As como en '10.06 hemos sustituido el vector variablexpor el vector x, vamos a sustituirlo ahora por el vector sumade vectores z+x, con lo que la ecuacin dada pasa a ser:

(x): (z+x)r= 0

Al desarrollar la potencia tensorial del binomio,tendremos ahora en cuenta que es un tensor de orden m+r y quees m-simtrico y por lo tanto que en su producto contracto conun producto tensorial de vectores, no influye el orden decolocacin de los vectores. Podremos escribir por tanto:

(x)(z): [zr+ r(zr-1x) +2

1r(r-1)(zr-2x2) + .. + xr]= 0

Efectuando el producto contracto y ordenando trminos,la ecuacin queda as:

(x)(z): zr+ r(zr-1x) +2

1r(r-1)(zr-2x2) + .. + xr= 0

tambin:

(x)(z): zr+ (rzr-1)x+ [2

1r(r-1)zr-2]x2. + .. + xr= 0


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Aplicando a este polinomio nulo en x la propiedaddeducida en '10.06, tendremos que todos sus monomios deben sernulos.

El nico monomio cuya nulidad tiene inters paranuestra demostracin, es la del segundo. Deducimos de ella, que

el parntesis es nulo, y que por tanto debe verificarse

xr-1= 0

sea la nulidad de un monomio igual al inicial pero con un gradomenos.

Por recurrencia, al seguir igual camino, iremosobteniendo monomios nulos con igual coeficiente tensorial pero degrados decrecientes, hasta llegar al resultado final:

= 0

que queramos demostrar.

10.10.- Consecuencia del prrafo anterior, es que sidos monomios de grado i y orden m son equivalentes, loscomponentes m-simtricos de los coeficientes tensoriales soniguales.

Por componente m-simtrico de un tensor de orden m m+1 consideraremos el mismo tensor.

10.11.- Otra consecuencia es la expresada en '6.06 deque todo tensor totalmente simtrico de orden q2 puedeexpresarse siempre como una funcin lineal de productostensoriales de q vectores iguales.


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D.- TENSORES E2DE 2 ORDEN

1.- Generalidades.

Todo lo dicho en los captulos anteriores sobretensores en general, es naturalmente vlido para el estudio, enparticular, de los tensores de segundo orden, tambin construidossobre un

Algebra y Analisis Tensorial

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