Algunas concepciones de alumnos que ingresan a la F.A.C.E ...

Revista Electrónica Iberoamericana de Educación en Ciencias y Tecnología — Volumen 5, Número 2, Junio 2014. Página 109—

Algunas concepciones de alumnos que ingresan a la F.A.C.E.N.

acerca del estudio de las ecuaciones

Olmedo, Nora; Galindez, Marcela

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. UNCa. E-mail: [email protected]

RESUMEN

Los alumnos que ingresan al Profesorado en Matemática de la FACEN se enfrentan con una matemática distinta a la conocida, con un Álgebra caracterizada por justificaciones, abstracciones y demostraciones. Se produce en ellos un desequilibrio entre lo que “saben” y cómo usarlo para comprender “lo nuevo”; pues, los objetos familiares “no funcionan” de la misma manera.

Este trabajo propone descubrir aquellas concepciones que tienen estos alumnos acerca de un elemento fundamental del álgebra, las ecuaciones lineales, que provocan dificultades para avanzar en sus aprendizajes algebraicos superiores

Bajo los conceptos brindados por Starf de Concepción y su clasificación en Operacionales y Estructurales se pretende distinguir, en el estudio de las ecuaciones, rasgos esenciales del aprendizaje del álgebra: el lenguaje simbólico, leyes y técnicas de resolución, el significado de los símbolos, la formulación y justificación de propiedades, que indican algunas dimensiones útiles para interpretar las concepciones acerca de este objeto matemático

La metodología utilizada es cualitativa y la recolección de datos consiste en el estudio de trabajos prácticos, observaciones en clase y de entrevistas posteriores a algunos alumnos para completar lo interpretado de sus trabajos.

Las conclusiones se refieren a la descripción de las formas de concebir el concepto de ecuación, al significado que le proporcionan a las letras, al signo igual, al uso de paréntesis y a los métodos de resolución que nos permiten inferir la prevalencia de la concepción

mailto:[email protected]

Olmedo, Nora; Galindez, Marcela: Algunas concepciones de alumnos que ingresan a la F.A.C.E.N. acerca del estudio de las ecuaciones.


operacional del álgebra y de las condiciones cognitivas en que se encuentran estos alumnos ingresantes

Palabras Clave: Concepciones – Alumnos – Ecuaciones – Aprendizaje - Matemática

Some concepts about the study of equations in student entering

the F.A.C.E.N

ABSTRACT

Students entering the Faculty of Mathematics of FACEN have to face a different math to the one already known, algebra characterized by justifications, abstractions, and demonstrations.

It produces in them a mismatch between what they "know " and how to use it in order to understand what is "new" ,since the objects they know "do not work " in the same way .

The present paper intends to discover those concepts students have about linear equations, which is a key element of algebra and causes them difficulties to advance to a higher level in algebraic learning.

Provided concepts by Starf about Conception as well as its Operational and Structural classification this paper attempts to distinguish, in the study of equations, essential features of learning algebra: symbolic language, laws and resolution techniques, the meaning of the symbols , the formulation and justification of properties that indicate some useful dimensions in understanding the concepts of mathematical object

Qualitative methodology is used and data collection consists in the study of practical work, classroom observations and interviews to students in order to complete their work.

The Conclusions refer to the description of the ways of understanding the equation concept, the meaning we give to the letters, the equal sign , the use of brackets and methods of resolution that allow us to infer the prevalence of algebra operational concept and cognitive conditions entering students are .



Keywords: Concepts - Students - Equations - Learning - Mathematics

INTRODUCCIÓN

Los alumnos que ingresan a la universidad deberían poseer ciertas

competencias, indispensables para asegurar su permanencia en ella y la

consecución de sus aprendizajes. Se espera que los alumnos sean competentes

para pensar matemáticamente, resolver problemas, saber argumentar,

representar y comunicar, saber usar técnicas matemáticas e instrumentos y saber

modelar (Niss, 1992). En nuestra facultad (F.A.C.E.y N), diversos estudios

(Olmedo,2010) indican que para muchos alumnos ingresantes estudiar

matemática reside en el manejo de algoritmos de forma rutinaria, que si no es

aplicado a diario, se olvidan fácilmente del procedimiento utilizado, dificultando

la apropiación de aprendizajes más complejos, además, tratan a los objetos

matemáticos de manera mecánica, sin considerar contexto alguno ni justificación

o reflexión acerca del significado que tienen, impidiéndoles avanzar hacia la

descontextualización y generalización.

Otras investigaciones enuncian que los alumnos que terminan la escuela

secundaria han utilizado los procedimientos algebraicos desligados de situaciones

en las cuales pudieran justificar esa aplicación, entonces, al comenzar los estudios

universitarios se ven confrontados con “otra matemática” caracterizada por las

justificaciones, abstracciones y demostraciones. Es ahí donde se produce una de

las rupturas en el paso de un nivel a otro. Hay un desequilibrio entre lo que sabe y

cómo se usa eso que sabe, pues hay objetos familiares, pero “no funcionan” de la

misma manera (Saldivia, F; Sessa, C 2010). Los alumnos “creen” que en el

secundario no le enseñaron nada como una consecuencia de que los profesores

universitarios “confirman su mala base por la ausencia de eficiencia operatoria y



de hábitos de estudio” (Olmedo, N; Di Bárbaro, M, 2006), provocando, en muchos

casos, la deserción y el abandono de sus estudios.

Al preguntarnos ¿por qué los estudiantes recurren a memorizar los

procedimientos y algoritmos del álgebra?, podemos afirmar, por un lado, que el

aprendizaje del álgebra no es una tarea sencilla, pues los objetos que se manejan

son abstracciones que requieren de un gran esfuerzo cognitivo y metacognitivo

que exige un cambio en las estrategias de aprendizaje (Olmedo,2011) y en el

pensamiento por parte de los estudiantes, incluso durante el aprendizaje de un

concepto conocido y muy aplicado como las ecuaciones. Por otro lado, que las

concepciones que traen consigo respecto a este concepto influyen, seguramente,

en la construcción de conceptos fundamentales del álgebra como la

interpretación del significado de los símbolos, de las letras y de las formas de

resolver ecuaciones.

G. Vergnaud (1990) sostiene que las concepciones previas de los alumnos

contienen teoremas y conceptos en acción que no son verdaderos teoremas

y conceptos científicos, pero que pueden evolucionar hacia ellos. Atento a

ello, y en el marco del proyecto “Concepciones de los Alumnos que ingresan a la

FACEN respecto de la enseñanza y el aprendizaje del Algebra”, en este trabajo

interesa investigar aquellas concepciones que tienen los alumnos de primer año

del profesorado en matemática de la FACEyN en relación al concepto de

ecuación, al sentido y significado que le proporcionan a las letras, al signo igual, al

uso de paréntesis y a los símbolos de las operaciones.

REFERENTE TEÓRICO

Las ecuaciones lineales desempeñan un rol primordial en todo el proceso

de enseñanza y aprendizaje del álgebra no sólo porque en ella intervienen

conceptos fundamentales de la matemática, sino también por su aplicación en

otras ciencias. Son estudiadas prácticamente durante toda la vida de estudiantes

y sin embargo son muchas las dificultades y errores que comenten, los cuales,



según diferentes investigaciones, se deben diversos orígenes. Algunos, como

Keiran, Filloy (1989) consideran que se deben a que continúan empleando

nociones y enfoques que usaban en aritmética con respecto a los símbolos y

letras, otros como Charnay (1990) que los alumnos no saben escuchar y observar

las explicaciones del maestro y sólo le interesa saber el algoritmo que permite

resolver un ejercicio sin interesarse en entender los conceptos o implicancias en

el tema. Debido a estudios previos, este equipo de esta investigación

(Olmedo,2011) considera que uno de los orígenes está en el uso de estrategias de

aprendizaje superficiales, de práctica y memorización con escaso nivel

metacognitivo. Panizza, Sadovsky y Sessa (1996) lo atribuyen, en parte, a las

dificultades que provienen del discurso escolar cuando el docente no fomenta una

concepción de ecuación que permita al estudiante comprender qué es y cómo se

relaciona este concepto con otras áreas, sino en una basada en la memorización

de reglas.

Brousseau, Davis y Werner (1986) expresan que los errores que cometen

los alumnos muestran, en algunos casos, un patrón consistente: los alumnos

tienen concepciones inadecuadas (“misconceptions”) sobre los objetos

matemáticos que, a veces, los conducen a usar procedimientos equivocados,

incluso llegan a utilizar, en algunos casos, métodos propios. En este sentido,

descubrir esas concepciones a partir del análisis de los errores, dificultades,

construcciones y explicaciones de los ingresantes a la UNCa resulta interesante y

guía esta investigación, porque como afirma Confrey (citado por Molina 2006), el

término Concepción hace referencia a “las creencias de los estudiantes, sus

teorías, explicaciones y significados sobre los conceptos”, es decir, atiende a

elementos que se refieren a la comprensión de conocimientos.

Son varios los significados que se le han dado al término concepción en la

didáctica de las matemáticas. Nos basaremos en los de Sfard (1987), quien afirma

que las nociones matemáticas, pueden concebirse por los estudiantes con dos

tipos de concepciones: la operacional: como procesos y la estructural: como

objetos abstractos. A su vez, este autor menciona que:



“en el proceso de formación de un concepto, la concepción

operacional, con frecuencia, es la primera que se desarrolla. Fuera

de ella, la concepción estructural la iría envolviendo gradualmente.

… ciertas partes de la matemática las podemos observar con cierto

grado de jerarquización, lo que es concebido de una forma

puramente operacional en un nivel, se podría concebir

estructuralmente en un nivel más alto”.

En este marco de referencia, en el que se habla de la formación de

conceptos, la postura de Sfard, permite observar las concepciones de los

estudiantes, no solo desde los procesos sino también desde los objetos

abstractos, proporcionando de esta manera, un reconocimiento general del

concepto.

La concepción operacional, a pesar de ser difícil de describir, se refiere a

concebir los conceptos como procesos, como algoritmos, secuencia de

operaciones, acciones a nivel físico o mental. En el caso de las ecuaciones no

enfatiza en la estructura algebraica, sino que recurre a otros métodos, propios de

la aritmética o de la geometría básica. La concepción operacional, implica una

interpretación de un proceso como una entidad potencial, es decir, una entidad

dinámica, secuencial y detallada.

La concepción estructural, hace referencia a la capacidad de “ver”

mentalmente a los objetos matemáticos, que son organizaciones mentales

abstractas, como objetos reales, con características y funciones definidas. Las

concepciones estructurales reciben el apoyo de las imágenes mentales para que

el estudiante pueda construir ideas abstractas tangibles y las considera casi como

entidades físicas a través de la visualización. Esta concepción es propia del álgebra

pues se define por medio de reglas, propiedades y procedimientos propios de ella

y trabaja con los entes abstractos como si fueran físicos.

Sin embargo, de acuerdo con Sfard, a pesar de que existe una brecha entre

las concepciones estructurales y operacionales, ellas son complementarias pues



son dos visiones de un mismo concepto matemático y son inseparables debido a

que cada concepto alberga elementos operacionales y estructurales.

Esta naturaleza dual de los constructos matemáticos se puede ver desde

las descripciones verbales y representaciones simbólicas en toda representación

algebraica, en especial en las ecuaciones donde se evidencia mecanismos

operacionales y relaciones que se manifiestan a través de los símbolos (Godino,

2003). Es preciso señalar que el rol del enfoque estructural es más avanzado que

el operacional, ya que el primero genera comprensión y el segundo genera

resultados que se evidencia en la resolución de problemas; por lo tanto, es

evidente la importancia de estudiar los dos enfoques.

METODOLOGÍA

La metodología utilizada es cualitativa, se estudian las expresiones (orales

y escritas), acciones, pensamientos y comportamientos individuales de alumnos

que ingresaron al Profesorado en Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y

naturales de la Universidad Nacional de Catamarca en el año 2012.

Esta metodología permite hacerse una idea de la situación, identificar las

dimensiones intervinientes en el fenómeno, sus relaciones relevantes. La

recolección de los datos está basada en el muestreo teórico construyendo las

categorías emergentes para caracterizar el aprendizaje de las ecuaciones y el

trabajo de campo. Éste consistió primero en el análisis de los errores, dificultades

y conflictos detectados en la resolución de trabajos prácticos y durante las clases

de Introducción a la Matemática, Álgebra y Geometría I, tratando de detectar

algunas concepciones que los provocan. Luego, se recogieron los trabajos

prácticos de cinco alumnos y esa información se completó con entrevistas en las

cuales se tuvo en cuenta sus formas de aprender y de responder a las cuestiones

planteadas. Cada caso de la muestra se trató como empíricamente distinto y no se

presupone qué número de casos diferentes puedan formarse con el fin de

constituir una totalidad homogénea.



Con el análisis cualitativo se pretende descubrir las concepciones que

tienen los alumnos acerca del álgebra cuando resuelven ejercicios y problemas,

para ellos nos planteamos las siguientes preguntas que guían esta investigación:

¿Qué saben los alumnos acerca del concepto de ecuación lineal, de sus formas

de resolución, del significado de los símbolos que incluye?

¿Por qué les cuesta tanto superar errores repetitivos como los que surgen de

la transposición de términos o factores?

¿Para ellos, los conceptos algebraicos aprendidos en la escuela no son los

mismos en la facultad?

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Conocer las concepciones que tienen los alumnos acerca de qué es una

ecuación lineal significa interpretar los significados que le atribuyen al concepto

mismo y a los elementos que la componen: las letras, el signo igual, los paréntesis,

la raíz, el conjunto solución, ecuaciones equivalentes y los métodos de resolución.

Los siguientes ejemplos, fueron extraídos de los trabajos prácticos

realizados por los alumnos en clase y, en función de los errores cometidos, se

intentó identificar el significado que le atribuyen a cada elemento de las

ecuaciones y también la concepción misma que tienen de ella.

Significado del signo igual

a) La siguiente expresión responde a la solución de un problema. El alumno va

resolviendo mientras lee el planteo: 75 +24 = 99 – 37 = 62. Realiza una

concatenación de operaciones separadas por el signo igual. Se observa que el

signo separa operaciones de resultado. Una actuación similar se observa

cuando el alumno opera con expresiones algebraicas y utiliza el signo igual

para separar operaciones del resultado. Por ejemplo:

𝑥(𝑥 − 2) + 3𝑥2 = 4𝑥2 − 2𝑥 = 2𝑥3

El alumno necesita tener un resultado con un único término y ante ello suma

incorrectamente términos que no son semejantes.



b) En los siguientes ejemplos, se observa la incapacidad de “ver” la simetría entre

los miembros de la igualdad, provocando errores cuya posible justificación es

la mecanización de las reglas

Si bien el ejemplo siguiente no es una ecuación lineal, podemos notar que los

alumnos no tienen en cuenta el significado de equivalencia del signo igual y

procede a “despejar la 𝑥” sin respetar la propiedad uniforme de las

operaciones

Solución del alumno A:

𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 6 = 6

𝑥 = 6 − 𝑦 ∙ 6

Solución del Alumno B:

𝑥. 𝑦. 6 = 6

𝑥 = 6 ÷ 6𝑦

𝑥 = 𝑦

El error cometido al resolver la siguiente ecuación fue el común denominador

del práctico ecuaciones durante el curso de ingreso. La mecanización aplicada

para el “pasaje de términos o factores” sin conocer (u olvidar) la propiedad

uniforme, que es la justificación de las reglas, es la probable causa del error

23 11

2 3 11

5 11

11

5

x

x

x

x

En la siguiente la multiplicación inventa sus propias reglas y las aplica según su

conveniencia

12 = 2𝑥

2: 12 = 2𝑥: 2

6 = 𝑥

5𝑥. (−1

2𝑥4) = 1

−5

10𝑥5 = 1

Se observa en los ejemplos a) que utilizan el signo igual como Operador;

como indicador de obtener un resultado, este significado hace referencia a

concebirlo como un símbolo que separa una cadena o secuencia de operaciones a



realizar, que se sitúan a la izquierda del signo igual y su resultado, que se dispone

a la derecha.

En los ejemplos de b) no lo conciben como un símbolo de Equivalencia y

no respetan propiedades simétricas y transitivas de la ecuación.

El alumno resuelve con métodos propios de la aritmética adecuándolos a

“su manera de resolver en álgebra”

Jerarquía de las operaciones

Analizamos las dificultades ocurridas por no respetar la jerarquía

convencional de las operaciones que incluyen o no los paréntesis

a) En los siguientes ejemplos se observan errores repetitivos1, notables en la

mayoría de los alumnos de primer año cuando operan con elementos

abstractos, descontextualizados, propios del algebra.

Ejemplos:

2𝑥 −10

2𝑥 −125=

10

125

Simplifican en un cociente donde el numerador o el denominador es una

adición o una diferencia, simplifican con seguridad, “algo” del numerador de

igual notación o parecido con el denominador. No es posible aquí aplicar

ningún tipo de propiedad distributiva

𝑥−2

(𝑥−2).(𝑥+2)= 𝑥 + 2

En este caso simplifican bien, pero no se dan cuenta que es lo es numerador y

denominador.

244 22 xxx

Uso inadecuado de la propiedad distributiva de la radicación combinado con la

falta de la concepción del signo igual como equivalencia.

b) No consideran que el o los paréntesis sean necesarios para respetar el orden

respectivo de las diferentes operaciones.

Ejemplos:

1 Entendemos por error cuando un alumno realiza una práctica, acción, argumentación, etc., que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar. Godino, Batanero y Font (2003, p69)



En estos ejemplos como: 4 ∙ 𝑥 + 2 = 20 𝑦 4(𝑥 + 2) = 20 reconocen las

diferencias: “en la segunda ecuación tenemos que aplicar antes la propiedad

distributiva”. Sin embargo, en el siguiente se observa que no interpreta que la

línea de fracción “actúa” como paréntesis, por lo tanto cuando multiplica a

ambos miembros por 12 (o 4.3) no los incluyen y a partir de allí, los errores

𝑥−2

4=

5−𝑥

3 𝑥 − 2 ∙ 3 = 5 − 𝑥 ∙ 4

𝑥 − 6 = 5 − 4𝑥 𝑥 + 4𝑥 = 5 + 6

5𝑥 = 11 𝑥 =11

5

La supresión e intercalación de paréntesis son temas aprendidos en la escuela,

se reconstruyen esos conceptos con la suficiente aplicación en la cátedra

Introducción a la Matemática del profesorado, sin embargo cuando el alumno

debe aplicar propiedades para aprender los nuevos procedimientos en

Álgebra, le resulta casi imposible transferirlos. El siguiente ejemplo no

representa una ecuación, pero se puede observar no han superado los errores

que provoca la presencia de paréntesis.

1

3(ℎ + 1)(4ℎ + 3) =

1

3ℎ +

1

3(4ℎ + 3)

=1

3ℎ +

4

3ℎ + 1

O bien en: 𝑎𝑛 = 7(ℎ + 1) + 3 ⇒ 𝑎𝑛+1 = 7(ℎ + 1 + 1) + 3

= 7ℎ + 2 + 3

= 7ℎ + 5

Los ejemplos demuestran dificultad para acatar las exigencias de jerarquía

convencional de las operaciones, de los algoritmos y de las propiedades como la

distributividad de la potenciación y la radicación, inventando “procedimientos

imperfectos” (Pochulu, 2005)

El significado de las letras

a) Uno de los errores más comunes en el ingreso universitario, es la concepción

de que 𝑥𝑥 es igual a contar las 𝑥 que aparecen, esto es 2𝑥, sin tener en cuenta

la multiplicación que relaciona a las 𝑥. Esto también es una referencia a la

concatenación de números en la aritmética: 31

2= 3 +

1

2. Son comunes



encontrar expresiones como 2𝑎 = 2 + 𝑎 o 𝑎 + 𝑎 = 𝑎𝑎 = 𝑎2 a las cuales

considera equivalentes.

b) Es interesante analizar cómo los alumnos resuelven ejercicios utilizando las

letras, en especial la 𝑥, sin embargo cuando se les presenta una determinada

ecuación se les pregunta ¿Qué representa 𝑥? Los alumnos no pueden

explicarlo. A continuación transcribimos una clase de Introducción a la

Matemática:

P- En la expresión 3 − 5𝑥 = 2 ¿Qué representa la 𝑥 en la ecuación?

A1- “𝑥 es la incógnita”,

A2- Es una letra que representa una incógnita

P – Pero, ¿representa “algo”, “una cosa”, “cualquier cosa”, “un número”?

A1- Sí, es el valor que puede tomar la incógnita, que no conocemos todavía

P- ¿Existe ese número?

A2- Sí, hay que calcularlo… es 1/5

P- Si tenemos 5𝑥 − 3 = 5𝑥 − 2 ¿Existe un valor para 𝑥 ?

A2- y… si, lo tenemos que resolver

P- ¿De antemano no lo podemos saber? (No responden)

P- Entonces resuelvan y me contestan

A2 – Es 𝑥 = 1

A3- No, Se van las 𝑥 , está mal.

P- Pasa a resolver en la pizarra

A2 – No profe, no sé… bueno, yo hago lo que creo pero no sé…

El alumno escribe en la pizarra 5𝑥 − 3 = 5𝑥 − 2

5𝑥 − 5𝑥 = −2 + 3

𝑥 = 1

La clase siguió con la explicación de la docente para destacar que no es lo

mismo 0𝑥 que 𝑥, lo cual se detalla más adelante

c) Con la intención de que el alumno interprete textos matemáticos se les

pide; por ejemplo: “Expresa en símbolos la siguiente propiedad: Si un

número divide a la suma de dos números entonces divide a cada uno de



los sumandos”. Lo primero que realizan es elaborar ejemplos, los alumnos

ejemplifican, no utilizan las letras, esto evidencia la escasa experiencia con

el lenguaje algebraico, que ante la insistencia de los docentes, trabajan las

letras pero este tipo de actividades acentúan la concepción de número fijo,

que existe, pero desconocido

d) Cuando se utilizan letras diferentes de las 𝑥 o 𝑦 les dificulta interpretar el

enunciado y mucho más deducir, inferir o transferir los resultados. El

siguiente ejemplo ocurrió en el aula durante el cálculo de lado recto en una

elipse. La profesora escribe en el pizarrón 2𝑏2

𝑎= 2

9

5 y luego

pregunta:¿entonces cuánto es 𝑏2

𝑎? Las respuestas no fluyeron, fue un

silencio que la profesora interpretó como “distracción” y dio la respuesta:

“ bueno, 𝑏2

𝑎=

9

5 ” y siguió con la clase. Cuando terminó de resolver el

ejercicio, un alumno dice: “Profesora me puede explicar cómo despejó

𝑏2

𝑎? " Después de repetir la explicación e interpretar que los alumnos no

comprendían, la profesora recurre a utilizar al uso de estructura conocida:

P: “Si tenemos 2𝑥 = 29

5 , entonces cuánto vale x?”. Los alumnos

resolvieron así:

2𝑥 = 29

5

2𝑥 =18

5

𝑥 =18

5: 2

𝑥 =18

10

𝑥 =9

5

Los alumnos no “interpretan las expresiones” en el sentido que lo dice

Arcavi (1995), no leen, antes de manipular los símbolos, en este caso, no interpreta

la relación de dobles de un número, necesitó operar para entender.



El significado de raíz de la ecuación

Siguiendo la clase de ecuaciones citada anteriormente, el docente

interroga para saber qué diferencias encuentran entre incógnita, raíz, solución o

conjunto solución.

P- ¿Qué es la raíz de una ecuación?

A1- El valor de 𝑥

A2- si, el valor de la incógnita

P- ¿entonces incógnita y raíz es lo mismo?

A1- y… la raíz es el valor desconocido de la incógnita, de la letra

P- entonces, la ecuación 2𝑥 + 1 = 2𝑥 + 2 − 1¿Tiene solución?¿ Qué valor tiene

la incógnita?

A3- Se van las 𝑥 de nuevo, no tiene solución…

Luego, la clase continúa explicando que existen ecuaciones con infinitas

soluciones a las que llama identidades.

La mayoría de los alumnos ingresantes desconocían la existencia de

ecuaciones lineales con una incógnita sin solución o con infinitas soluciones. Un

alumno expresa: “recién ahora sé que hay ecuaciones que no tienen solución o

que tienen infinitas soluciones, por ejemplo, los ejercicios que a mí me daban en

el secundario cuando aparecía una ecuación así que se me anulaba la variable me

decían que estaba mal planteada o nos decían está mal y directamente la

cambiaban y nos daban otras. Decían: ah! Está mal, ya la corrijo y cambiaban un

número o nos daban otras…”

Esto provoca una concepción de ecuación limitada a la búsqueda de un

número que es el resultado del ejercicio.

Con respecto a la raíz podemos expresar que:

a) La Conciben como el número que se desconoce, dicen: “es el o los valores

de la incógnita que verifican la ecuación”. Con esta afirmación se detecta

que pueden ser uno o varios valores de la raíz, también conciben que “si la

ecuación es de primer grado tiene una sola raíz”. Esta concepción puede

ser una de las causas que provocan la dificultad para aceptar que una



ecuación lineal con dos incógnitas (por ejemplo: 𝑦 = 2𝑥 + 1) tiene

infinitas soluciones, que existen infinitos valores que la verifican

b) Durante el estudio de funciones, el alumno apenas si comprende que al

igualar una función a cero se obtiene una ecuación y que la raíz es el cero

de la función. Pero le dificulta entender que si se iguala la función a otro

número cualquiera, distinto de cero, es también una ecuación; entonces la

raíz será el valor de la variable “y”. Esto permite inferir que no tiene

afianzado el concepto de raíz de una ecuación

c) Expresiones como 𝑦 = 2𝑥 + 1 son ecuaciones lineales que indican una

relación entre variables (concepto de función), o una relación que

cumplen puntos del plano (es una recta), sin embargo y son concebidas

como objetos matemáticos distintos a las ecuaciones trabajadas en

álgebra.

d) Les cuesta comprender a las expresiones algebraicas como soluciones de

ecuaciones y problemas; por ejemplo:

“Un utilitario tiene que transportar dos tipos de insumos agropecuarios:

A, y B, los que se llevarán en cajas. Una caja del insumo A pesa 10 Kg y una

caja del insumo B pesa 15 Kg.

A) Exprese en símbolos lo que indica el problema

B) La capacidad del utilitario es 300 Kg. Determina la ecuación adecuada

para que el utilitario esté cargado en toda su capacidad. ¿Existe una única

solución?

La expresión solicitada en A) es 10𝑥 + 15𝑦, a los alumnos les costó armarla

pues les dificultaba concebir una respuesta sin colocar el signo “=”. La

respuesta a la opción B) surgió fácilmente hasta la ecuación 10𝑥 + 15𝑦 =

300 . Por ensayo y error consiguieron determinar algunas soluciones. Así

pudieron inducir el concepto de conjunto solución

Ecuaciones equivalentes

Los alumnos reconocen como iguales y no como equivalentes a ecuaciones

del tipo: 𝑥 + 4 = 7 y 𝑥 = 7 − 4 , esto es, la concepción de ecuaciones equivalentes

es que son las mismas escritas de otra manera. En los ejemplos donde interviene



la combinación de operaciones, como en la ecuación 2

𝑥+ 3 = 11, se evidencia que

desconocen este concepto pues haciendo la verificación (en cualquiera de los

pasos) podrían confirmar si tienen o no la misma solución. Además, cuando se pide

que justifique los pasos realizados, el alumno expresa: “como la incógnita figura

en el denominador de la fracción pasa al otro miembro con la operación contraria,

o sea multiplicando al número que teníamos en el segundo miembro…” , lo cual

permite inferir que no tiene el fundamento teórico para justificar lo que hace.

23 11

2 3 11

5 11

11

5

x

x

x

x

Otro alumno expresa “como sumamos a ambos miembros el mismo

número (-3) y la igualdad se mantiene y si…, la ecuación es la misma…”. Para él

decir que la igualdad se mantiene significa que la nueva ecuación es la misma y no

una equivalente. Diversas investigaciones afirman que estas expresiones son

aprendidas por los alumnos, del discurso del docente (Pouchulu), en realidad

debería decir que se mantiene el mismo conjunto solución.

Métodos de resolución de ecuaciones

a) La aplicación de la transposición de términos es lo que provoca la mayor

cantidad de errores pues descuidan la equivalencia, está oculta la simetría

de la igualdad. Sin embargo, muchos alumnos resuelven las ecuaciones

correctamente aún sin conocer los fundamentos teóricos que aplican,

dependerá de la complejidad en la resolución. Conciben este

procedimientos como un mecanismo a través del cual los términos y los

números “se pasan”, “se van”, según ciertas reglas cuyo fundamento

desconocen

b) Utilizar la propiedad uniforme, es decir, aplicar la misma operación a

ambos miembros del signo “=”, refuerza el significado de simetría, de

equivalencia, pero resulta “odioso” para los alumnos y para los docentes



aplicar este método cuando hay otro más rápido, que aplicado

correctamente, es igualmente eficaz.

c) Dificultad comprender el método de resolución de ecuaciones por cambio

de variable, no concibe que expresiones con varios términos puedan ser

expresados como uno solo, no conciben que la estructura superficial es la

misma; por ejemplo:

4(2𝑥 + 1) + 2(2𝑥 + 1) − 5 = 4 es la misma estructura de 4𝑧 + 2𝑧 −

5 = 4

CONCLUSIONES

En función de lo analizado, podemos inferir que los alumnos, que

ingresaron al profesorado en Matemática en el año 2012 poseen algunas

concepciones equivocadas, otras inadecuadas o incompletas del significado de

una ecuación lineal y de los elementos que la componen. A saber:

Consideran a las ecuaciones lineales como “igualdades con una incógnita”,

como se enseña en aritmética (operación en la cual se desconoce un

término), cuya solución es un número que existe, es desconocido y cumple

con ciertas condiciones.

Interpretan las letras como incógnitas que representan ese número

desconocido, fijo con el que puede realizarse operaciones y cuyo valor se

“debe encontrar”. Algunos investigadores (Keiran, Filloy, 1989) expresan

que usan las letras como “etiquetas”, la “𝑥” es considerada como “algo”.

Desde la escuela 5𝑥 significa 5 manzanas o 5 litros, esta particularización es

propia de la aritmética. Al iniciar el profesorado se enfrentan con que una

letra en una ecuación puede representar un número generalizado, una

operación, una relación entre otras letras. Frente a esta concepción

(estructural), “lo que sabe” es insuficiente para lograr la generalización de

propiedades de las operaciones o para la formalización de procedimientos

que se justifican con el explicitación de las propiedades.

Conciben como resultado un único término, un número, que es una

exigencia presente en aritmética. Le dificulta comprender lo que Keiran



llama la falta de cierre, cuando el resultado de una ecuación es, por ejemplo,

una suma de términos no semejantes.

No pueden expresar conceptualmente las diferencias entre incógnita y raíz.

Conciben a ambas como “el número desconocido” que existe y verifica la

ecuación dada. Ésta concepción combinada con la necesidad de encontrar

como resultado un único valor puede ser una de las causas que provocan la

dificultad para comprender la existencia de ecuaciones lineales con

infinitas soluciones o sin solución.

Poseen una concepción del signo igual como operador, como símbolo de

obtener “algo, un resultado”, lo cual favorece que los alumnos tengan una

concepción de ecuación limitada a la búsqueda de un número que es el

resultado del ejercicio y las resuelvan con métodos propios de la aritmética

adecuados a “su manera de resolver en álgebra”

Enfrentan la resolución de ecuaciones que requieren de la supresión e

intercalación de paréntesis, sin respetar la jerarquía de las operaciones, con

nociones y enfoques del trabajo aritmético que no se superaron en la

escuela secundaria que dificultan el aprendizaje de nuevos procedimientos

algebraicos.

Con respecto a los métodos de resolución de ecuaciones, en general no

aplican métodos intuitivos, por tanteo o sustitución, usan lo que se llama

“pasaje de términos o de factores”, se mantienen reticentes a utilizar las

propiedades, que es lo que se exige en la universidad. Combinar los

métodos intuitivos y formales sería lo más conveniente, en especial

realizando las verificaciones, para favorecer el autocontrol de sus

aprendizajes. Esto también ayudaría a sostener la concepción de equilibrio

entre los miembros de la ecuación, a la concepción de equivalencia del

signo igual.

Tampoco “interpretan lo que se lee en las expresiones”, para poder emitir

conjeturas y estimar su solución, pues en algunos casos no es necesario

resolverlas para conocer su solución.



En síntesis, los alumnos al ingresar el profesorado tienen una concepción

“artimetizada” de las ecuaciones y de sus elementos que no ha sido superada en

la escuela secundaria y que hace que los conceptos previos que necesitan para

comprender y para cumplir con las exigencias del estudio algebraico en la

universidad sean insuficientes, puesto que el álgebra, en este nivel, se debe

concebir de manera “estructural”. Esto es, caracterizada por la justificación,

argumentación y demostración de propiedades que exigen mucho más que una

generalización de la aritmética. Aprender a resolver ecuaciones algebraicamente

manteniendo un enfoque aritmético enfrenta en los alumnos a las tareas como

“poner una ecuación a un problema” o “despejar una incógnita” sin considerar el

concepto que incluye.

Justificamos esta prevalencia de la concepción operacional de las

ecuaciones, por un lado por lo que Keiran (2006) llama dilema proceso –

producto, que consiste en que el estudiante no acepta que proceso y producto

puedan ser lo mismo, lo cual, dificulta superar los errores que comete, pues de

manera inconsciente (o no) se resiste a la adquisición de un pensamiento

algebraico, a la concepción estructural ( o algebraica) de las ecuaciones. Por otro

lado, creemos que los profesores de matemática desconocemos esta realidad y

muchos significados de los elementos del álgebra implícitos en la enseñanza y

aprendizaje de las ecuaciones que provocan dificultades en la comprensión de las

mismas, como por ejemplo, los diferentes significados que tiene el signo igual, la

diferencia entre variable e incógnita, etc.

Realizada esta descripción, los profesores de primer año debemos

enfrentar esta situación y colaborar para que los alumnos logren un cambio en el

pensamiento para comprender a las ecuaciones lineales desde una concepción

estructural y puedan asignarle significado y sentido al álgebra. Para ello

deberemos brindarle al alumno la oportunidad de conocer las ecuaciones a través

de diferentes experiencias y así irá cambiando sus imágenes, creencias y

concepciones, esa es la tarea de los profesores que enseñamos álgebra.



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