Analisis de colas

Modelación y Simulación

Unidad 2: Teoría de Colas o Líneas de espera

Introducción

Ing. Margarita Aucancela [email protected]

Modelación y Simulación Ing. Margarita Aucancela Msc. 2

Escuela de Ingeniería en Sistemas y Computación

Objetivo: Conocer los diferentestipos de problemas de colasexistentes y su formulaciónmatemática.





Índice: Introducción Elementos del modelo de colas Análisis de problemas de colascon población infinita canalsimple. Análisis de problemas de colascon población infinita canalmúltiple.





Introducción





Introducción

En las líneas de espera, existen dos costos perfectamenteidentificados: el costo de las transacciones, que representa lacuantificación monetaria de la pérdida de tiempo al esperarrecibir un servicio o la pérdida de clientes por abandono delsistema, y el costo de proporcionar el servicio, que representala cantidad de dinero que hay que pagar por cuestión desueldos y salarios, energía, mantenimiento y depreciación delpersonal o equipo.

De tal forma que en un estudio de líneas de espera el objetivoes determinar qué nivel de servicio, ya sea por cantidad deentidades o por la velocidad de ellas, proporcionar paraminimizar el costo total del sistema.





Definición de términos





Definición de TérminosLos modelos de tiempo discreto cuenta con los siguientes componentes:

1. Entidades,

2. Atributos,

3. Variables,

4. Recursos,

5. Colas,

6. Contadores estadísticos y

7. Eventos





EntidadesSon objetos o individuos cuyas actividades modelamos.

Características:

Son dinámicos es decir: son creados y se mueven por el

sistema, cambiando el valor de sus atributos, afectados

por otras entidades y por el estado del sistema.

Puede o no abandonar el sistema

Ejemplos:

productos, clientes, documentos, transacciones pacientes.





AtributosSon las propiedades o características de las entidades.

Características: Permiten describir cuantitativamente al sistema.

Los atributos son imprescindibles para controlar el flujo

de entidades en el sistema

Ejemplos:

tamaño, precio, prioridad, etc.





VariablesEstán asociadas al concepto matemático de variable.

Características: Pertenecen al conjunto del sistema. Son accesibles desde todas las entidades y pueden ser

modificadas por todas las entidades. Puede considerarse que cada variable es como una

pizarra colgada en la pared, en la que se escribe el valorde la variable.

EjemplosEl número de clientes(entidades) que hay en cada instanteen cada cola, el número de empleados (recursos)ocupados, el estado de cada recurso (ocupado o libre), etc.





Variables

Pueden clasificarse en:

Exógenas, de entrada o independientes: son las queafectan al sistema, pero éste no puede modificarlas.Pueden modificarse arbitrariamente desde el medioambiente.

Endógenas o Dependientes: Son variables del sistemaque se modifican de acuerdo a relaciones, no puedenser modificadas arbitrariamente.





Variables

Pueden clasificarse en:

De estado: Es el conjunto mínimo de variablesdependientes que permiten describir el sistema en t+Δt, si se conocen sus valores más los valores de lasindependientes en t.

De salida: Es el conjunto mínimo de variables de estadoque permiten evaluar los objetivos del modelo.





Variables

Ejemplo:Se desea analizar el inventario de piezas de tipo A. Para ello se realiza la modelización de la evolución de la cantidad de piezas A en el depósito.



Componentes Variables Exógenas Variables Endógenas

Variables de Salida

Piezas A Velocidad de arribo de piezas al depósito

Cantidad de piezas a procesas

Cantidad de piezas en el depósito



Recursos(Servidores)

El recurso puede ser individual o estar compuesto por ungrupo de elementos individuales, cada uno de los cuales sellama una unidad del recurso .

Características Son los medios gracias a los cuales se pueden ejecutar

las actividades Definen quién o qué ejecuta la actividad, su número

permanece constante a lo largo de la simulación ysuelen parametrizarse por características tales comocapacidad, velocidad o tiempo de ciclo.





Recursos(Servidores)

Ejemplos:

Personal (en nuestro caso, el empleado): operarios

Máquinas (por ejemplo, si las entidades son piezas que

deben ser procesadas): ordenadores

Espacio (por ejemplo, en un almacén).





Contadores estadísticosA fin de calcular el valor de las variables de salida, espreciso calcular durante el curso de la simulación el valorde determinadas variables intermedias. Estas se llamanacumuladores estadísticos .

Características Los contadores son inicializados a cero al comenzar la

simulación. Cuando “algo sucede” en la simulación (es decir, se

ejecuta un evento), los contadores estadísticos afectados deben ser convenientemente actualizados.





Contadores estadísticos

Variables utilizadas para almacenar información sobre elcomportamiento del sistema y que al final, mediante algúncálculo matemático, darán respuesta al objetivo delestudio.

Ejemplos: el número total de clientes atendidos hasta ese

momento, la suma de los tiempos de espera en cola de los clientes

hasta ese momento, el número total de clientes que han comenzado a ser

atendidos hasta ese momento, el mayor tiempo de espera en cola hasta ese momento,

etc.Modelación y Simulación Ing. Margarita Aucancela Msc. 17




Contadores estadísticos

Variables utilizadas para almacenar información sobre elcomportamiento del sistema y que al final, mediante algúncálculo matemático, darán respuesta al objetivo delestudio.

Ejemplos: el número total de clientes atendidos hasta ese

momento, la suma de los tiempos de espera en cola de los clientes

hasta ese momento, el número total de clientes que han comenzado a ser

atendidos hasta ese momento, el mayor tiempo de espera en cola hasta ese momento,

etc.Modelación y Simulación Ing. Margarita Aucancela Msc. 18




EventosSon las propiedades o características de las entidades.

Características:

Permiten describir cuantitativamente al sistema.

Los atributos son imprescindibles para controlar el flujo

de entidades en el sistema

Ejemplos: tamaño, precio, prioridad, etc.





Eventos

Un evento es un suceso que ocurre en un determinadoinstante de tiempo (simulado) y que puede cambiar el valor delos atributos, las variables y los acumuladores estadísticos.Los valores de los atributos, las variables y los acumuladoresestadísticos se mantienen constantes durante el intervalo detiempo entre eventos sucesivos.





Eventos

Cada evento tiene asociado dos tipos de información: Su condición de activación, es decir, la condición que

hace que el evento pase de estar desactivado a estaractivado.

Las acciones que deben realizarse en el instante en que el evento es activado.

En función del tipo de su condición de activación, los eventos pueden clasificarse en:

eventos en el tiempo y eventos en el estado





Colas

Cuando una entidad no puede circular, debido a quenecesita usar una unidad de un recurso, que en esemomento no se encuentra disponible, entonces la entidadnecesita un sitio donde esperar: este es el propósito de lacola. Se caracteriza por el número máximo de clientes quepuede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas.





Problemas que ocasionan las líneas deespera(colas)



Pérdida de proveedores

Pérdida de prestigio

Pérdida de dinero

Pérdida de clientes



Proceso básico de colas

Los clientes que requieren un servicio se generan en unafase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen auna cola. En determinado momento se selecciona unmiembro de la cola, para proporcionarle el servicio,mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio.Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente enun mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente saledel sistema de colas.





Mecanismos de servicio






Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientesque pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a serservidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita.

Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consisteen una o más instalaciones de servicio, cada una de ellascon uno o más canales paralelos de servicio, llamadosservidores.

Redes de colas: Sistema donde existen varias colas y lostrabajos fluyen de una a otra. Por ejemplo: las redes decomunicaciones o los sistemas operativos multitarea.

El proceso de servicio: Define cómo son atendidos loscliente





Disciplina de la colas

Se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser: FIFO (first in first out) primero en entrar, primero en

salir, LIFO (last in first out) atendiende primero al cliente que

ha llegado el último. RSS (random selection of service) selecciona los clientes

de manera aleatoria, de acuerdo a algún procedimientode prioridad u orden.

Tiempo de servicio mayor Tiempo de espera mayor Processor Sharing – sirve a los clientes igualmente.





Proceso de llegadas/ Patrón de arribo





Patrón de arribo

Aspectos que influyen en el patrón de arribo son:

• Configuración de la fila: 1 o mas canales de servicio• Tramposos: clientes que se mueven a través de la cola sin seguir los

criterios de avance• Contrariedades: ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila

porque perciben que esta es demasiada larga• Reglas de prioridad: definidas por las disciplina de la cola• Homogeneidad: Una población homogénea de clientes es aquella

en la cual los clientes requieren esencialmente el mismo servicio. Una población no homogénea es aquella en la cual los clientes pueden ser ordenados de acuerdo:

• A los patrones de llegada • Al tipo de servicio requerido





Patrones de servicio

Los servidores pueden tener un tiempo de servicio

variable, en cuyo caso hay que asociarle, para

definirlo, una función de probabilidad. También

pueden atender en lotes o de modo individual.

El tiempo de servicio también puede variar con el

número de clientes en la cola, trabajando más rápido

o más lento, y en este caso se llama patrones de

servicio dependientes.





Patrón de servicio

Algunos sistemas de servicio requieren de un tiempo de

atención fijo. Sin embargo, el tiempo de atención en

muchos casos varía de acuerdo a la cantidad de clientes.

Cuando el tiempo de atención varía, se trata como una

variable aleatoria.

La distribución exponencial es usada, en algunos casos para

modelar el tiempo de atención del cliente.





Patrón de servicio

Distribución Exponencial





TERMINOLOGIA Y NOTACION

n Cantidad de clientes: Que están en el sistema

en un momento dado

L Valor esperado de clientes en el sistema

L E (n)=

W Valor esperado de tiempo de atención

cliente en el sistemaW E (w)=

de un

w: tiempo específico que tarda un cliente particular

dentro del sistema. Es una variable aleatoria



P0 : Probabilidad de que el sistema esté vacío

P1 : Probabilidad de que el sistema tenga 1 cliente

P2 : Probabilidad de que el sistema tenga 2 clientes

Pn : Probabilidad de que el sistema tenga n clientes

Probabilidad de que hayan “n” clientes en el

sistema en un instante determinadoPn

Asimismo es posible definir:

Lq

Wq

Valor esperado de clientes en la cola

Valor esperado del tiempo en la cola




Probabilidad de que hayan “n” clientes en el

sistema en un instante determinadoPn

Esto tiene dos interpretaciones:

(1)

(2)

Probabilidad de que en un instante cualquiera se

observe el sistema y esté presente un estado n.

Por ejemplo, P3 = 0,1 indica que la probabilidad

de encontrar 3 clientes en el sistema es 0,1 o del

10%

Pn es la fracción del tiempo en que el

sistema permanece en el estado n




Valor esperado de clientes en el sistemaL

L n PnL E (n)= = n=0

8

En consecuencia:




LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMASe define:

Tasa media de llegada de clientes al sistema

Indica el número promedio de clientes que

ingresa al sistema en un instante específico de

tiempo

1 Tiempo promedio entre llegadas

es el tiempo promedio que transcurre entre dos

llegadas sucesivas, entre el arribo de dos

clientes consecutivos



SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMASe define:

Tasa media de prestación del servicio en el

sistema Indica el número promedio de clientes

que reciben el servicio en el sistema en un

instante específico de tiempo. Es la tasa media

del servicio, implica el concepto de velocidad de

atención del sistema

1 Tiempo promedio entre prestaciones del

servicio es el tiempo promedio que se demora

en atender a un cliente en el sistema



Población ColaMecanismo

de Servicio

Clientes

servidosClientes

Sistema de Colas

ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS

Lq,Wq

L , W(clientes / tiempo)

1

(tiempo / clientes)

Poisson Exp



UNIDADES DIMENSIONALES

• W (tiempo)

• L (clientes)

• (clientes / tiempo)

• (clientes / tiempo)

• (tiempo / clientes)

• (tiempo / clientes)

1

1



Análisis de colas

Notación de los modelos de colasReconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall (1953)propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelosque ha sido adoptado universalmente.

Una versión resumida de esta convención está basada en el formatoA/B/X/Y/Z. Estas letras representan las siguientes características delsistema:

A = Distribución de tiempo entre llegadas o arribos.B = Distribución del tiempo de servicio.Los siguientes son símbolos comunes para A y B:

M = exponencial o MarkovD = constante o determinística





Análisis de colas

Notación de los modelos de colas

Ek = Erlang de orden k

PH = Tipo fase

H = Hiperexponencial

G = Arbitrario o general

GI = General independiente

X: es el número de canales de servicio

Y: es la restricción en la capacidad del sistema

Z: es la disciplina de cola





NOMENCLATURAUn modelo de colas se caracteriza

por los siguientes símbolos:

Tiempo entre

llegadas, que se

asocia a una

distribución

exponencial (la

tasa de llegada

es poisson)

Tiempo de servicio,

que es exponencial

Cantidad de

servidores en

paralelo

Cantidad en la

población potencial

(población finita)

Cantidad admisible

en el sistema

(capacidad finita)

M / M / S / K / N



MODELOS DE COLAS

Según se combinen las diferentes características

(población finita o infinita, uno o más servidores,

capacidad admisible finita o infinita), se da origen a

una combinación de distintos modelos de colas:

• Modelo M / M / 1

• Modelo M / M / S

• Modelo M / M / 1 / K

• Modelo M / M / S / K

• Modelo M / M / 1 / N

• Modelo M / M / S / N



MODELOS DE COLAS

Por ejemplo:

M/M/1// significa un solo servidor, capacidad de cola

ilimitada y población infinita de arribos potenciales. Los

tiempos entre arribos y los tiempos de servicio son

distribuidos exponencialmente.

Cuando Y y Z son infinitos, pueden ser descartados de la

notación. M/M/1// es reducido a M/M/1.





MODELOS DE COLAS

Existe una cantidad enorme de modelos de colas que puedenutilizarse. Nos vamos a concentrar en 4 de los modelos más usados.Los 4 modelos de colas a estudiar asumen:

Arribos según la Distribución de Poisson Disciplina FIFO Una sola fase de servicio.

Modelo A: Un canal, llegadas según la Distribución de

Poisson; Tiempos de Servicio exponenciales

Modelo B: Multicanal

Modelo C: Tiempo de Servicio constante

Modelo D: Población Limitada





Análisis de colas



MODELO NOMBRE N° DE CANAL

ES

N° DE FASES

PATRÓN DE

ARRIBO

PATRÓN DE

SERVICIO

TAMAÑO DE LA POBLACIÓN

DISCIPLINA DE COLA

A SIMPLE

M/M/1

UNO UNA POISSON EXPONENCIAL

INFINITA FIFO

B MULTI-

CANAL

M/M/S

MULTI

CANAL

UNA POISSON EXPONENCIAL

INFINITA FIFO

C SERVICIO

CONSTANTE (M/D/1)

UNO UNA POISSON CONSTANTE

INFINITA FIFO

D POBLACION

LIMITADA

UNO UNA POISSON EXPONENCIAL

FINITA FIFO



Análisis de colas

Modelo A: M/M/1

• Proceso de llegada de Poisson

• El tiempo de atención se distribuye exponencialmente

• Existe un solo servidor

• Cola de capacidad infinita

• Población infinita





Análisis de colas

Modelo A: M/M/1

Asumimos que existen las siguientes condiciones:

1. Los clientes son servidos con una política FIFO y cada arribo espera a

ser servido sin importar la longitud de la línea o cola.

2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el

promedio de arribos, no cambia con el tiempo.

3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad de

Poisson y proceden de una población muy grande o infinita.

4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son

independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida.





Análisis de colas

Modelo A: M/M/1



1

servicio) de tiempo espera de (tiempo

sistema elen permanece unidad una que promedio Tiempo

sistema deln utilizació deFactor

sistema elen (clientes) unidades de promedio Número

sistema elen unidades de número

tiempode períodopor servidos cosas o gente de promedio Número

tiempode períodopor arribos de promedio Número

S

S

SS

W

W

LL

n



Análisis de colas

Modelo A: M/M/1



1

2

sistema elen estén unidades k"" de más que de adProbabilid

11

vacía)está servicio de unidad (la sistema elen unidades cero de adProbabilid

11

sistema elen estén clientes "n" que de adProbabilid

cola laen espera unidad una que promedio Tiempo

cola laen unidades de promedio Número

k

kn

kn

o

o

n

n

n

n

Sq

Sq

P

P

P

P

P

P

WW

LL



Ejercicios (M/M/1)

Determinar las medidas de desempeño para este servicio:





Ejercicios (M/M/1)





Ejercicios (M/M/1)

Determinar las medidas de desempeño para este servicio:

Suponga que en una estación con un solo servidor llegan enpromedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad paraatender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que losclientes esperan en promedio 3 minutos en la cola.Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en elsistema. b) Número promedio de clientes en la cola. c) Númeropromedio de clientes en el Sistema en un momento dado.





Ejercicios (M/M/1)

λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60clientes/minutosμ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60clientes/minutos=Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en lacola)a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en elSistema (Ws). Lo podemos calcular a partir de Wq y μ.

𝑾𝒔=𝑾𝒒+ 𝟏𝝁= 3 minutos + 𝟏𝟏=𝟑+𝟏=𝟒𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔Es decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3 minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio.





Ejercicios (M/M/1)

b) Para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la fórmula siguiente:

Lq= λ Wq. 𝐿𝑞=𝜆∗𝑊𝑞=0.75𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠* 3 minutos = 2.25 clientes.

Es decir los cálculos nos muestran que en la cola puede haber más de dos clientes en la cola. c) Para calcular cual es el número de clientes en la cola (Ls). Lo podemos hacer con la fórmula: Ls= λ Ws. 𝐿𝑆= 𝜆∗𝑊𝑆=0.75𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠∗4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠=3 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera. Modelación y Simulación Ing. Margarita Aucancela Msc. 59




Análisis de colas

Modelo B: M/M/S

• Clientes llegan de acuerdo a una distribución de Poissoncon una esperanza λ

• El tiempo de atención se distribuye exponencialmente• Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de μ

clientes• Existe una población infinita y la posibilidad de infinitas

filas.





Análisis de colas

Modelo B: M/M/S

Asumimos que existen las siguientes condiciones:1. Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a

los clientes que arriban.

2. Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo alservidor que queda libre.

3. Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidadde Poisson y los tiempos de servicio son distribuídosexponencialmente.

4. Los servicios se los hace de acuerdo a la política FIFO





Análisis de colas

Modelo B: M/M/S



PoMM

L

L

M

M

M

Mn

P

P

M

M

S

s

MMn

n

no

o

2

1

0

.!.1

:sistema elen unidades o personas de promedio número

para

!

1

!

1

1

sistema elen unidades o personas CEROexistan que de adProbabilid

canal cadaen servicio de promedio tasa

arribo de promedio tasa

abiertos canales de número



Análisis de colasModelo B: M/M/S



q

Sq

q

SSq

q

S

M

S

s

LWW

W

LLL

L

LPo

MMW

W

1

serviciopor esperando cola laen da tar

se unidad o persona una que promedio Tiempo

servicio de esperaen cola, o línea laen unidades o personas de promedio Número

1

! 1

)(atendida) servida siendoy cola la(en

sistema, elen permanece unidad una que promedio Tiempo

2



Ejercicios (M/M/k)





Análisis de colas

Modelo C: M/D/1

• Los clientes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson con

esperanza λ

• El tiempo de atención tiene una distribución general con esperanza

μ

• Existe un solo servidor

• Se cuenta con una población infinita y la posibilidad de infinitas filas





Análisis de colas

Modelo C: M/D/1

Modelo de Tiempo de Servicio Constante

Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en lugar de

exponencialmente distribuídos. Cuando los clientes son atendidos o

equipos son procesados con un ciclo fijo como es el caso de una

lavadora de carros automatizada o ciertos entretenimientos en los

parques de diversiones, el asumir servicio constante es adecuado.





Análisis de colas

Modelo C: M/D/1



1 sistema, elen espera de promedio Tiempo

sistema, elen clientes de promedio Número

2 cola, laen espera de promedio Tiempo

2 cola, la de promedio Longitud

2

qS

qS

q

q

WW

LL

W

L



Análisis de colas

Modelo C: M/D/1

Un restaurante de papas fritas, tiene el servicio Drive-In enla cual los clientes arriban al restaurante a una tasa de 45por hora siguiendo una distribución de Poisson.

Las órdenes son procesadas con un modelo FIFO, y existeun solo servidor, el cual se demora 1.2 minutos en prepararla orden.





Análisis de colas

Modelo C: M/D/1

Determinamos el λ y μ en las mismas unidades: λ = 45 clientes/horaμ= 1.2 min=72 clientes/horaLuego obtenemos las medidas de desempeño:





Análisis de colas

Modelo C: M/D/1





Análisis de colas

Modelo D:Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamosconsiderando reparaciones de equipo en una fábrica que tiene 5máquinas. Este modelo permite cualquier número dereparadores a ser considerados.

La razón por la cual este modelo difiere de los otros tres es queahora hay una relación de dependencia entre la longitud de lacola y la rata de arribo. La situación extrema sería si en la fábricatenemos 5 máquinas, todas se han dañado y necesitanreparación; siendo en este caso la rata de arribo CERO. Engeneral, si la línea de espera crece, la rata de llegada tiende aceroModelación y Simulación Ing. Margarita Aucancela Msc. 72




Análisis de colas

Modelo D



servicio deFactor

cola laen espera unidad una que promedio Tiempo

unidad la aatención de ntosrequerimie entre servicio Tiempode

promedio servicio de Tiempo

spotenciale clientes de Número

servicio de canales de Número

servicio el esperando unidades de promedio Número

servicio desector elen o colaen están no que unidades de promedio Número

servidas siendo unidades de promedio Número

eficiencia deFactor

cola laen esperar que tengaunidad una que de adProbabilid

:NOTACIÓN

X

W

U

T

N

M

L

J

H

F

D



Análisis de colas

Modelo D



HLJN

FNXH

XNFJ

XF

FT

LN

UTLW

FNL

UT

TX

............. Población la de Cuantía

servido siendo promedio Número

1 entofuncionamien promedio Número

1 ........ espera de promedio Tiempo

1 ........ esperaen promedio Número

....................... Servicio deFactor

:FÓRMULAS



Ejercicios (Modelo D)Hace casi tres años, Gear Tandil SA instaló un conjunto de 10 robots, queincrementó considerablemente la productividad de su mano de obra, peroen el último tiempo la atención se ha enfocado en el mantenimiento. Laempresa no aplica el mantenimiento preventivo a los robots, en virtud de lagran variabilidad que se observa en la distribución de las averías. Cadamaquina tiene una distribución exponencial de averías(o distribución entrellegadas), con un tiempo promedio de 200 horas entre una y otra falla. Cadahora-maquina perdida como tiempo ocioso cuesta $30, lo cual significa quela empresa tiene que reaccionar con rapidez en cuanto falla una maquina.La empresa contrata solo a una persona de mantenimiento, quien necesita10 horas de promedio para reparar un robot. Los tiempos demantenimiento real están distribuidos exponencialmente. La tasa desalarios es de $10 por hora para el encargado de mantenimiento, el cualpuede dedicarse productivamente a otras actividades cuando no hay robotsque reparar. Calcule el costo diario por concepto de tiempo ocioso de lamano de obra y los robots.





Ejercicios (Modelo D)

El modelo con la fuente finita es apropiado para esteanálisis, porque solo 10 máquinas constituyen la poblaciónde clientes y las suposiciones se han cumplid. En este caso,λ = 1/200, o sea, 0.005 averías por hora y μ=1/10=0,10robots por hora. Para calcular el coste del tiempo ociosopara la mano de obra y los robots, tenemos que estimar lautilización promedio del empleado de mantenimiento y L,es decir, el número promedio de robots incluidos en elsistema de mantenimiento.





OTROS MODELOS



Supuestos

• Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson conesperanza λ.

• El tiempo de atención tiene una distribución general conesperanza µ.

• Existe un solo servidor.

• Se cuenta con una población infinita y la posibilidad deinfinitas filas.

Modelo M/G/1



Modelo M/G/1



Formula para L de Pollaczek - Khintchine.

- Nota : No es necesario conocer la distribución particular del tiempo de atención. Solo la esperanza y la desviación estándar

son necesarias.

L

22

2 1



Modelo M/G/1



Modelo M/G/1

1

1

1

)1(2

0

222

w

q

qqs

qqs

PP

LWWW

LLL



Modelo M/G/1: Ejemplo

• Un carwash puede atender un auto cada 5 min. y la tasa mediade llegadas es de 9 autos/hora, = 2 min.

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modeloM/G/1

• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y laprobabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio



Modelo M/G/1: Ejemplo

75.025.01

min7.8145.0

min7.13228.01

31.1)1(2

06.275.31.1

0

222

w

q

q

qs

q

qs

PP

hrsL

W

hrsWW

clientesL

clientesLL



Ejercicios (M/G/1)



Analisis de colas

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