Integrantes:Cedeño Irene

Rodriguez KeylaNoriega Rafael

Análisis de Sensibilidad

En todos los modelos de programación lineal los coeficientes de la función objetivo y las restricciones se dan como datos de entrada o como parámetros fijos del modelo. En los problemas reales los valores de estos coeficientes no están, en general, perfectamente fijados, debido a que la mayora de ellos dependen de parámetros no controlables, por ejemplo, futuras demandas, coste de materias primas, costo de energía, etc. y no pueden ser predichas con exactitud antes de que el problema sea resuelto. También puede suceder que aunque conozcamos los parámetros exactamente estemos interesados en estudiar como varia la solución optima si cambiamos algún parámetro intencionadamente, a efectos de tratamiento, ambas situaciones se resuelven de forma análoga. Cada variación en los valores de los datos del problema generara un nuevo problema de programacion lineal. El análisis de sensibilidad nos proporcionaran herramientas para el calculo de las soluciones optimas de los problemas obtenidos por la modificación de los parámetros originales del problema.

Análisis de Sensibilidad

Los tipos de cambios de Análisis de Sensibilidad son:

Análisis de Sensibilidad

1. Los coeficientes de la función objetivo o coeficientes objetivo. 2. Los coeficientes tecnológicos: aquellos coeficientes que afectan a las variables de las restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad. Se llaman así porque habitualmente describen capacidades tecnológicas en problemas de optimización lineal de costes de producción 3. Los recursos disponibles o Right-Hand-Side: los términos independientes de cada restricción, situados a la derecha de la desigualdad.

Análisis de Sensibilidad

Dado un problema de programación lineal tal que:

Cuya tabla simplex final es:

1)Aplicando análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función objetivo:Las variables estructurales son aquellas con las que se planteo originalmente el problema de programación lineal, como lo seria: X1, X2 y X3; pero, dentro de las variables estructurales podemos distinguir variables básicas (X1 y X3) (aparecen en la primera columna de la tabla simplex final (antes descrita) y definen la solución óptima) y variables no básicas ; entonces se concluye que el análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función objetivo depende de si las variables son básicas o no

1.1 Análisis de sensibilidad para los coeficientes de variables no básicas

Este es el análisis más sencillo debido a que si la variable es no básica, entonces tiene un coeficiente distinto de cero en la última fila de la tabla simplex final (antes descrita), este coeficiente es el máximo valor que el coeficiente de la función objetivo de dicha variable puede aumentar manteniendo la solución óptima

Procedimiento para el Análisis de sensibilidad de los coeficientes de variables no básicas

a) Se lee de la tabla simplex final, el término que pertenece a la columna de la variable no básica en la última fila y se le resta una variable cualquierab) Se plantea la condición de optimalidad; es decir, que este nuevo término debe ser positivo (mayor que cero) para que la solución siga siendo óptimac) Se resuelve la desigualdadd) Se suma a ambos lados de la desigualdad el coeficiente de la función objetivo que acompaña a la variable y este resultado es el intervalo de sensibilidad del coeficiente

Análisis para la variable no básica X1:

a)

b)

c)

d) El valor del coeficiente de la variable X1 en el problema es: 3 por tanto

Se sustituye

Por lo tanto queda:

e) Entonces el intervalo es el siguiente

1.2 Análisis de sensibilidad para los coeficientes de variables básicas

Cuando las variables son básicas, el procedimiento para el análisis de sensibilidad varía unpoco, pero conserva su lógica

Procedimiento para el Análisis de sensibilidad de los coeficientes de variables básicasa) Se reemplaza el cero en la última fila de la columna de la variable por el negativo de la

Variable b) Ahora la tabla ya no es óptima, pues existe un elemento negativo en la última fila, por tanto normaliza la columna de la variable, es decir se debe generar un cero en la posición donde esta c) Se plantea la condición de optimalidad; es decir, que todos los términos de la última fila de la tabal simplex deben ser positivos (mayor que cero) para que la solución siga siendo óptimad) Se resuelven las desigualdades individualmente y se interceptan los conjuntos solucionese) Se suma a todos los lados de la desigualdad el coeficiente de la función objetivo que acompaña a la variable y este resultado es el intervalo de sensibilidad del coeficiente

Análisis para la variable básica X2:

a)

b) Para optimizar la tabla de nuevo se efectuará la siguiente operación:

.Obteniendo el siguiente resultado:

c)

d) Siempre verdaderaSe interceptan los conjuntos soluciones para dar el siguiente resultado

e) El valor del coeficiente de la variable X2 en el problema es: 4 por tanto

Se sustituye:

Por lo tanto queda:

f) Entonces el intervalo es el siguiente

2) Análisis de Sensibilidad para términos independientes de las restricciones:

Las restricciones de un problema de programación lineal representan las limitantes de recursos que tiene una empresa. La primera pregunta que se puede hacer antes de averiguar ¿cuántos recursos más puedo contratar para seguir con mi óptimo? (análisis de sensibilidad de los términos independientes) es ¿cuánto es lo más que estoy dispuesto a pagar por una unidad de recurso extra?

La respuesta a esta pregunta es el Precio Sombra, este es el máximo incremento en el precio normal de un recurso que estamos dispuestos a pagar sin que nuestras ganancias disminuyan. Este es un dato que se puede leer directamente de la tabla simplex final en la última fila de la columna de la variable de holgura asociada a la restricción o recurso que se quiere investigar

Ejemplo:

Recordando problema PL

El precio sombra para la restricción uno se lee en la última fila de la columna de la variable de holgura de dicha restricción (S1) y su valor es: ½, lo cual significa que si actualmente pago $3 por cada unidad del recurso de la restricción uno, el mayor precio que estoy dispuesto a pagar (sin que mis ganancias disminuyan) es $3 + ½ =$3.5 por unidad de recurso.

De igual manera, el precio sombra para la restricción dos se lee en la última fila de la columna de la variable de holgura de dicha restricción (S2) y su valor es: 3/2 lo cual significa que si actualmente pago $3 por cada unidad del recurso de la restricción dos, el mayor precio que esta dispuesto a pagar (sin que mis ganancias disminuyan) es $3 + 3/2 =$4.5 por unidad de recurso.

Ahora que ya sabemos ¿cuánto pagar? Concentrémonos en decidir ¿cuánto comprar?

Procedimiento de Análisis de Sensibilidad para términos independientes de las restricciones:

a) La sensibilidad del término independiente de una restricción se analiza con la columna de la variable de holgura asociada a dicha restricción; entonces, se realiza una operación entre columnas, de la siguiente manera:

A la última columna de la tabla simplex final se le suma la columna de la variable de holgura de la restricción que analizamos multiplicada por la variable

b) Recordemos que por las restricciones de no negatividad los valores en la última columna de la tabla simplex deben ser siempre positivos (mayores que cero); por tanto el resultado anterior debe cumplir las restricciones de no negatividad.

cada término de este resultado debe cumplir esta condición, la última fila no se toma en cuenta

c) Se plantean las desigualdades de cada término y se resuelven individualmente.

d) Se interceptan los conjuntos solución de las desigualdades

e) Se le suma a todos los lados de la desigualdad el término independiente de la restricción que se analiza, dando como resultado el intervalo de sensibilidad de dicho término.

Análisis para el termino independiente de la restricción b1:

a) La variable de holgura asociada a la primera restricción es S1 ; entonces , efectuamos:

b)

La última fila no se toma en cuentac)

d) Se interceptan los conjuntos soluciones para dar el siguiente resultado:

e) El término independiente de la primera restricción b1 en el problema es: 10, por tanto:

Se sustituye:

Por lo tanto queda

f) Entonces el intervalo es el siguiente:

3) Análisis de Sensibilidad para los coeficientes tecnológicos de variables no básicas

Dado el problema de programación lineal

Lo cual tiene como solución optima:

Con tabla simplex Inicial de:

Aplicando Análisis de Sensibilidad para los coeficientes tecnológicos de variables no básicas

Cambiando la segunda columna (tabla simplex inicial) de la matriz de coeficientes tecnológicos, y ésta pasa a ser (5, 2, 2), con c2 = 43, la tabla inicial quedaría:

Esto sólo originaría un cambio en la columna 2 de la tabla final, que quedaría comosigue

Tabla final

y en el coste reducido de esta columna sería:

Por lo tanto la tabla simplex nos queda:

En este caso cambia la base óptima, ya que hay un coste reducido negativo. Se continua aplicando el método del Simplex, hasta obtener todos los costes reducidos no negativos.Si aplicamos el algoritmo del Simplex a la última tabla, obtenemos la solución óptima del programa modificado, con los cambios en la columna de la segundavariable. Dicha solución óptima es:

El planteamiento del problema queda:

4) Adición de una nueva variable de decisión. Método Simplex

Se Considera el siguiente problema de programacion lineal en el que se planifica la producción de tres tipos de cerveza en cantidades x1, x2 y x3 a partir de 30 unidades de malta y 45 de levadura, el beneficio de venta de cada unidad de cerveza elaborada así como sus requerimientos de malta y levadura se muestran en la tabla siguiente:

y su tabla optima, con un valor de la función objetivo de 160, es:

donde x4 y x5, variables de holgura, formaron la primera base

Ahora supongamos que se quiere considerar la elaboración de un cuarto tipo de cerveza, una cerveza sin alcohol, que requiere una unidad de malta y una unidad de levadura por unidad de cerveza, y cuyo beneficio de venta es de 5 unidades monetarias. Por lo cual se plantea la pregunta Merecerá la pena su elaboración? en que cantidad?

Si se llama x6 a las unidades de este nuevo tipo de cerveza, su columna es

y su beneficio c6 = 5. Calculamos la columna actualizada y el costo marginal

Por tanto la tabla original, ahora nos queda de la siguiente manera:

no es optima, entra la variable correspondiente al nuevo tipo de cerveza x6 y sale x1,obteniéndose.

con un valor de la función objetivo de 180 unidades, se elaboran 15 unidades de lanueva cerveza tipo 4 y 15 de la cerveza de tipo 2.

Cuando se considera la incorporación de una nueva restricción el primer paso es comprobar si la solución optima del problema original la verifica, en este caso la solución también será optima para el problema modificado. Nos situamos ahora en que la solución optima del problema original no verifica la nueva restricción, veamos el proceso a seguir.

Ahora se considera que existen problemas para el abastecimiento de un tercer ingrediente, el lúpulo. Se pueden conseguir 30 unidades de lúpulo y se necesitan 3, 1 y 1 unidades de lúpulo para la cerveza de tipo 1, 2 y 3, respectivamente. Se trata pues de incluir la restricción.

restricción que no es verificada por la solución optima del problema original ya querequerirá 35 unidades.

5) Adición de una nueva restricción. Método Simplex

En primer lugar nos fijamos en las variables que aparecen en la restricción y son básicas en la tabla optima del problema original. Después despejamos de la tabla optima dichasvariables y las sustituimos en la restricción. Sobre nuestro ejemplo, en la restricción aparecen x1 y x2, las despejamos de la tabla

tabla optima del problema original

Sustituimos en la nueva restricción

y operando obtenemos

La restricción anterior ya esta actualizada, basta con incluir una variable de holgura yla restricción esta lista.

Si la restricción se deja en la forma con lo que la holgura entra sumando podremosaplicar a la tabla resultante el simplex dual. Si cambiamos el sentido de la restricción para que el coeficiente sea positivo entonces la holgura entrara con coeficiente -1 yposteriormente necesitaríamos una variable artificial para la construcción de la tabla.Tal y como hemos dejado la restricción se incluye directamente en la tabla, tomandocomo variable básica la variable de holgura x6, obsérvese que los costos marginales nohan cambiado como consecuencia de haber entrado en la base una variable de holgura.

A partir de aquí se aplica el simplex dual, sale x6 entra x4 obteniéndose

que ya contiene una solución optima del problema con la nueva restricción.La otra posibilidad es dejar la restricción con termino independiente positivo

Con lo que al construir la tabla

No tendríamos una variable básica candidata, deberíamos introducir una variable artificial a1 con coeficiente ca1 = -M y recalcular todos los costos marginales

A partir de esta tabla que no es optima habrá que aplicar el simplex con las consideracionesoportunas debidas a la utilización de variables artificiales, es decir, si al finalizar la variable básica sigue en la base con valor no nulo el problema con la nueva restricción no es factible