GESTIÓN DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (GIO) – ILN250

PROF. FRANCISCO YURASZECK E.INGENIERO COMERCIAL UTFSMMAGÍSTER EN MARKETING UAI

E-MAIL: FRANCISCO.YURASZECK@USM.CL

DEPARTAMENTO DE INDUSTRIASUNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

GESTIÓN DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Primer Semestre 2011

Temario:

II.1. Introducción.

II.2. Resolución gráfica de problemas.

II.3. Modelos de Programación Lineal.

II.4. El Método Simplex.

II.5. Dualidad en Programación Lineal.

II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal

1) ¿Qué ocurre con las actuales variables básicas si se

cambia algún coeficiente del lado derecho (b)?

Si calculamos: y se cumple:

Las mismas variables básicas lo son también de la

nueva solución óptima, calculada con el nuevo .

Si lo anterior no se cumple, se puede aplicar el Método

Simplex Dual.

bBx 1B

0xB

b

Ejemplo: Modificación Lado Derecho

Max 2x1 + 7x2 - 3x3

sa: x1 + 3x2 + 4x3 30

x1 + 4x2 - x3 10

x1,x2,x3 0

Sin resolver nuevamente el

problema, se desea saber si las

actuales variables básicas óptimas

del problema también lo son del

mismo problema, donde los lados

derechos corresponde al vector

b=(20,30)

x1 x2 x3 x4 x5

0 -1 5 1 -1 20

1 4 -1 0 1 10

0 1 1 0 2 20

Max 9x1 + 12x2

sa: 4x1 + 3x2 180

2x1 + 3x2 150

4x1 + 2x2 160

x1,x2 0

Encuentre un intervalo devariación para b1=180 queconserve la actual base óptimadel problema.

Sol: 150 b1 195

x1 x2 x3 x4 x5

1 0 1/2 -1/2 0 15

0 1 -1/3 2/3 0 40

0 0 -4/3 2/3 1 20

0 0 1/2 7/2 0 615

Calcule el intervalo para b2 y b3

Ejemplo: Intervalo variación Lado Derecho

Ejemplo: Intervalo variación Lado Derecho

2) ¿Qué ocurre con la actual solución óptima si se

agrega una nueva variable al problema ?

Para decidir si la actual solución básica es óptima

para el nuevo problema, calculamos el costo reducido

de la nueva variable mediante la formula:

k1T

Bkk ABccr

donde k es el índice de la nueva variable y Ak su

respectiva columna en la matriz de coeficientes. Si se

cumple que rk0 se conserva la actual solución óptima.

En caso contrario, se puede seguir con el Método

Simplex agregando a la tabla una nueva columna con

entradas B-1Ak y rk y tomando como variable entrante

a la nueva base la que acabamos de introducir al

problema.

Ejemplo: Nueva Variable

Max 9x1 + 12x2

sa: 4x1 + 3x2 180

2x1 + 3x2 150

4x1 + 2x2 160

x1,x2 0

Se desea estudiar la posibilidad deelaborar un nuevo producto conbeneficio neto igual a 8 y que requiere4, 2 y 5 unidades de los recursosasociados a cada restricción.

Sin resolver nuevamente el problema,¿Conviene elaborar el producto?

x1 x2 x3 x4 x5

1 0 1/2 -1/2 0 15

0 1 -1/3 2/3 0 40

0 0 -4/3 2/3 1 20

0 0 1/2 7/2 0 615

3) ¿Qué ocurre con la actual solución óptima del problema P) si

se cambian los coeficientes que definen la función objetivo ?

Supongamos que el vector de coeficientes en la función objetivo

cambia a un vector

La actual solución óptima también lo es para con:

nIRc

P

0x

bAx:sa

xcMin)PT

Siempre que los nuevos costos reducidos sean mayores o igualesa cero (notar que también cambia el valor de la función objetivoen la actual solución óptima). Es decir se debe cumplir que:

En caso contrario, se aplica el Método Simplex a partir de latabla final de P) con los nuevos costos reducidos y nuevo valor dela actual solución básica.

j0ABccr

ementeequivalento0DBccr

j1T

Bjj

1TBDD

Veamos los cambios que tienen lugar cuando sólo varía un

coeficiente del vector c de la función objetivo.

a) Cambio de un coeficiente asociado a una variable no-básica

xJ:

Se conserva la misma solución óptima del problema P) ssi. para

esa variable xJ:

j0ABccr j1T

Bjj

Consideremos :

Por lo tanto se conserva la misma solución ssi:

jccjj

jjjjrccrj

Ejemplo: Cambio Parámetros Función Objetivo

Max 2x1 + 7x2 - 3x3

sa: x1 + 3x2 + 4x3 30

x1 + 4x2 - x3 10

x1,x2,x3 0

Sin resolver nuevamente el

problema, se desea saber que

sucede si el beneficio del producto 2

aumenta de 7 a 9 ¿Entra X2 a la

base? ¿Cuál es el punto de

indiferencia?

x1 x2 x3 x4 x5

0 -1 5 1 -1 20

1 4 -1 0 1 10

0 1 1 0 2 20

b) Cambio en un coeficiente de la función objetivo asociado a

una variable básica:

En este caso para tener la misma solución óptima, se debe

cumplir que el costo reducido de todas las variables. cero.

0ABccr j1T

Bjj

iB

0

1

0

BBiiieciccicc

Si el incremento es cualquiera en el siguiente intervalo, se

conserva la misma solución óptima:

donde rj es el costo reducido de la respectiva variable no básica

en la actual solución óptima y los coeficientes yij denotan las

entradas en la tabla final del Simplex asociadas a la variable

básica xi (cuyo costo cambia) y la respectiva variable no básica

xj

0y/y

rMini0y/

y

rMax

ij

ij

j

ij

ij

j

Ejemplo: Cambio Parámetros Función Objetivo

Max 20x1 + 15x2

sa: 2x1 + 2x2 8

2x1 + x2 6

x1,x2 0

Encontrar un intervalo devariación para C1 y C2 queconserven la actual soluciónóptima.

Sol: -30 C1 -15

-20 C2 -10

x1 x2 x3 x4

0 1 1 -1 2

1 0 -1/2 1 2

0 0 5 5 70

Ejemplo: Cambio Parámetros Función Objetivo

Max 2x1 + 7x2 - 3x3

sa: x1 + 3x2 + 4x3 30

x1 + 4x2 - x3 10

x1,x2,x3 0

Sin resolver nuevamente el

problema, se desea saber que

sucede si se modifica los

parámetros de la función

objetivo, quedando éstos de la

siguiente forma:

Z = x1 + 5x2 - 2x3

x1 x2 x3 x4 x5

0 -1 5 1 -1 20

1 4 -1 0 1 10

0 1 1 0 2 20

Ejemplo: Nueva Restricción

Max 2x1 + 7x2 - 3x3

sa: x1 + 3x2 + 4x3 30

x1 + 4x2 - x3 10

x1,x2,x3 0

Sin resolver nuevamente elproblema, se desea saber quesucede si se considera unanueva restricción de la forma:

3x1 + 2x2 + 3x3 25

x1 x2 x3 x4 x5

0 -1 5 1 -1 20

1 4 -1 0 1 10

0 1 1 0 2 20

Ejercicio: Cambio «lado derecho»

Max 2x1 + 7x2 - 3x3

sa: x1 + 3x2 + 4x3 30

x1 + 4x2 - x3 10

x1,x2,x3 0

Sea ahora b=(30+3e,10-e) epuede ser positivo o negativo.Determinar los valores de eque hacen infactible a laactual solución básica(óptima) del problemaoriginal.

x1 x2 x3 x4 x5

0 -1 5 1 -1 20

1 4 -1 0 1 10

0 1 1 0 2 20

Actividad en Clases

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