Analisis Dimensional y Semejanza Hidraulica

LUIS ARTURO GÓMEZ TOBÓN INGENIERO CIVIL ESPECIALISTA EN INGENIERÍA AMBIENTAL CON ENFASIS EN SANITARIA Y

RECURSOS HIDRAULICOS, PROFESOR ASISTENTE

SEDE MANIZALES FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA M MECÁNICA DE LOS FLUIDOS

Ing. Luis Arturo Gómez Tobón 1

El programa de Mecánica de los Fluidos dictado en la UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES, contiene un capítulo denominado: ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA donde el estudiante se orienta al modelaje de obras hidráulicas, concepto indispensable que se mantiene hoy en día a pesar de existir herramientas matemáticas tales como elementos finitos, diferencias finitas, métodos de las características, algebra matricial, etc. que permiten mediante modelos matemáticos resolver un sinnúmero de problemas. Sin embargo, ellos no siempre sustituyen el modelaje físico, pues este último, dentro de su marco de referencia, es una medida de la realidad. El trabajo que aquí se presenta sirve también como base a la línea de profundización en hidráulica y ambiental. Este trabajo es un resumen que se puede complementar en la medida que sea necesario puesto que existe abundante literatura que profundiza cada tema en forma detallada.



ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA INTRODUCCIÓN La teoría matemática y los resultados experimentales han desarrollado soluciones prácticas de muchos problemas hidráulicos. En la actualidad, numerosas estructuras hidráulicas se proyectan y construyen sólo después de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos. La aplicación del análisis dimensional y de la semejanza hidráulica permite al ingeniero organizar y simplificar las experiencias así como el análisis de los resultados obtenidos. A] ANÁLISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional trata de las relaciones matemáticas, de las dimensiones de las magnitudes físicas y constituye una herramienta muy útil de la moderna mecánica de los fluidos. Por otra parte, se sabe que en la resolución de problemas en mecánica de los fluidos, cuando interviene el movimiento, se necesitan datos experimentales. Para poder conducir más lógicamente los datos, se deben tener guías y conocer las cantidades que intervienen en el movimiento, como también la forma de las ecuaciones en las cuales se van a determinar algunos coeficientes.

El ANÁLISIS DIMENSIONAL trata de deducir la forma que tendría la fórmula de un proceso cinemático o dinámico cuando se sabe qué cantidades físicas intervienen en el proceso y en el cual se deben hallar experimentalmente algunos coeficientes. Teniendo en cuenta esto y suponiendo una forma general, se deben hallar algunos exponentes, quedando algunos coeficientes por determinar en la ecuación.

Ejemplo 11: Determinar una expresión para la FUERZA CENTRÍFUGA, sabiendo que intervienen las siguientes magnitudes: masa velocidad y radio

Solución:

Para saber qué magnitudes intervienen, se requiere alguna FAMILIARIDAD con el fenómeno físico en si. Por ejemplo, si un cuerpo está girando alrededor de un punto, se ejercerá una fuerza que tiende a separar la masa del punto. Si la velocidad varía, esa fuerza varía, y si el radio varía, la fuerza también varía. Así: 1 Mecánica de los fluidos e hidráulica, Giles.



Fc cba rvmk=∴ (k= parámetro adimensional)

Con base en esto, se establecen las ecuaciones dimensionales:

cbba LTLMTLM −− =2

Igualando exponentes que correspondan a unas mismas bases, se tiene:

Para aM =1 :

Para cbL +=1 :

Para 1y , 1 ; 2 2- : −===∴−= cabbT

121 Fc −=∴ rvmk

r

vmk 2 Fc=

Ejemplo 22: Desarrollar una expresión para la frecuencia de un péndulo simple, (N) sabiendo que es función de la longitud, la masa del péndulo y de la gravedad.

Solución:

( )gmlfN ,,=

zyx gmklT =−1 Así: zzyx TLMLT 21 −− =

Para Ζ−=− 21:T ⇒ 2

1=Z

Para YM =0: ⇒ 0=Y

Para ZXL +=0: ⇒ 21−=∴−= XZX

21021 gmkLN −=∴

2121 −= lkgN

2 Mecánica de los fluidos White.



l

gkN =

El método de análisis dimensional no sólo permite encontrar relaciones entre variables, sino que es una herramienta muy útil de análisis que permite reducir el número de parámetros necesarios para representar un fenómeno físico. Por ejemplo, la fuerza de arrastre F debida al oleaje sobre el casco de un barco depende de la velocidad del navío v ; de la longitud del casco Lo ; de la densidad del fluido, ρ y de la aceleración de la gravedad g .

( ) ,,,F gLovf ρ=

Para analizar este fenómeno por medio de experimentos, sería necesario encontrar la fuerza de arrastre F, mientras se varía una sola de las cantidades entre el paréntesis, tomando las demás, valores fijos, con lo cual se obtendrían gráficas como las siguientes:

FOX y Mc DONALS , señalan en su libro: INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE LOS FLUÍDOS, que una investigación de un fenómeno donde intervengan CUATRO VARIABLES y se requiera para definirlo apropiadamente de diez valores de cada variable, requerirá 104 ensayos diferentes, mientras que por los métodos del análisis dimensional, sólo dos grupos adimensionales bastarían para ilustrar el fenómeno . Para el ejemplo que nos ocupa, son

=

gLo

v

Lov

F ϕρ 22

Lo que se demostrará más adelante. De acuerdo con los grupos formados en el ejemplo, se puede hacer una gráfica como la siguiente:



Los parámetros son adimensionales, lo que asegura, además, que la gráfica resultante es completamente general, sin importar el sistema de unidades que se haya escogido. Es bueno recordar que quién este dedicado a este tipo de investigaciones debe seguir, si quiere llegar a resultados completos, los pasos consignados en el método científico, a saber:

MÉTODO CIENTÍFICO 1º]. OBSERVACIÓN 2º]. FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS 3º]. EXPERIMENTACIÓN 4º]. MEDICIÓN 5º]. OBTENCIÓN Y CLASIFICACIÓN DE DATOS 6º]. CREACIÓN DE UNA LEY 7º]. CONCLUSIONES, y 8º]. COMUNICACIÓN DE LO INVESTIGADO

EJEMPLO 33 Asumiendo que la potencia desarrollada por una bomba es una función del caudal Q ; de la cabeza desarrollada H ; y del peso específico del fluido γ , establecer la ecuación por medio del análisis dimensional.

( )γ,,P HQf=

cbaHQK γ P =

ccbaa LFLTLTL 331 F −−− =∴ Igualando exponentes que correspondan a unas mismas bases, se tiene:

Para 1 1 :F =∴= cc Para 1 3 31 : =⇒−+= bcbaL

3 Mecánica de los fluidos, Giles.



Para 1 -1- : =∴= aaT

HQ P γ=∴ EJEMPLO 44 Para un líquido ideal, expresar el caudal Q a través de un orificio, en términos de la densidad del líquido ρ : del diámetro del orificio d ; y de la diferencia de presión

p∆ . Solución:

( )pdfQ ∆= ,,ρ

zyx pdQ ∆= ρ

zzzyxx LTMLLMTL −−−− =∴ 2313 Igualando exponentes que correspondan a unas mismas bases, se tiene:

Para 21

x0 : −=+= xzM

Para 2y x-33 : =∴−+= ZyL

Para 2

1 21- : =⇒= ZZT

2

1221

pdQ ∆=∴ −ρ

ρp

dKQ∆=∴ 2

TEOREMA π DE BUCKINGHAM INTRODUCCIÓN: Cuando el número de variables o cantidades físicas son cuatro o más, el Teorema Pi de Buckingham constituye una excelente herramienta, mediante la cual pueden agruparse estas cantidades en un número menor de grupos adimensionales significativos, a partir de los cuales puede establecerse una ecuación. Los grupos adimensionales se llaman grupos o números Pi. Sí en el fenómeno físico en

4 Mecánica de los fluidos, Giles.



cuestión intervienen n cantidades físicas q , de las cuales k son dimensiones fundamentales (por ejemplo fuerza, longitud y tiempo, o bien masa, longitud y tiempo) y otras q tales como velocidad, densidad, viscosidad, presión, área, etc. entonces, matemáticamente:

( ) 0,.........,, 3211 =nqqqqf Ecuación que puede reemplazarse por la relación:

[ ] 0,.......,, 321 =−knππππϕ

Donde cualquier número π no depende más que de ( )1+k cantidades físicas q y cada uno de los números π son funciones monómicas independientes, adimensionalmente, de las magnitudes q . PROCEDIMIENTO:

1. Se escriben las n cantidades físicas q que intervienen en el problema particular, anotando sus magnitudes fundamentales y el número k de magnitudes fundamentales. Existirán ( )kn − números π .

2. Seleccionar k de estas cantidades físicas, sin que haya ninguna sin

dimensiones, ni dos que tengan las mismas dimensiones. Todas las magnitudes fundamentales deben incluirse colectivamente en las cantidades físicas seleccionadas.

3. El primer grupo π puede expresarse como el producto de las cantidades

físicas escogidas, elevadas cada una a un exponente desconocido y una de las otras cantidades físicas elevadas a una potencia conocida (normalmente se toma igual a 1).

4. Mantener las cantidades físicas escogidas en 2. como variables REPETIDAS

y escoger una de las restantes variables para establecer el nuevo número π . Repetir el procedimiento para obtener los sucesivos números π .

5. En cada uno de los grupos π determinar los exponentes desconocidos

mediante el ANÁLISIS DIMENSIONAL . RELACIONES UTILES:

a) Si una magnitud es adimensional, constituye un grupo π sin necesidad de aplicar el procedimiento anterior.



b) Sí dos cantidades físicas cualesquiera tienen las mismas magnitudes fundamentales, su cociente será un número adimensional π . Por ejemplo

LL , es adimensional y, por tanto, un número π .

c) Cualquier número π puede ser sustituido por una potencia del mismo,

incluido 1−π ; o 223 o ; ππ , por

2

1π .

d) Cualquier número π puede sustituirse por su producto por una constante

numérica. Por ejemplo, 1π puede reemplazarse por 1 3π .

e) Cualquier número π puede expresarse como función de otro número π . Por ejemplo, si hay dos números ( )21, πφππ = .

f) No se debe escoger la cantidad física que se quiere encontrar en el proceso, como variable de repetición.

EJEMPLO 55 Resolver el problema de la fuerza de arrastre F(pendiente), utilizando el Teorema π de Buckingham. Solución:

( ) ( )1 0,,,F, =∴ gvLof ρ

Por consiguiente la ecuación (1) puede reemplazarse por: [ ] 0, 21 =ππφ

11 FzyxLov ρπ = (2)

12 gLov cba ρπ = (3)

5 Introducción a la Mecánica de los fluidos, Rafael Beltrán.

2

42

1

F

FF

−

−+

−

==∗

=∗=∗

=

LTg

LT

LTv

LLo

ρ

Donde:

) grupos 2buscarán (se 2n

3

5

π=−∴=

=

K

K

n

*: VARIABLES DE REPETICIÓN 3, porque 3=K



Así, :1π 142000 FFF zzzyxx LTLTLTL −+−=

Para -1 Z 10 :F =⇒+= Z Para -2y :así , 4yx0 4Z-yx0 : =++=∴+=L Para ( ) 21-2 x 2x0 : −=+=⇒+−= ZT

11221 F −−−=∴ ρπ Lov

ρπ

221

F

Lov= , que con el debido chequeo, se demuestra que es adimensional.

Y, :2π

Para -2142000 FLFF cccbaa LTLTLTL −+−= Para c0 :F = Para 1 10 140 : =∴++=⇒+−+= bbacbaL

Para 2 20 220 : −=∴−−=⇒−+−= aacaT

gLov 0122 ρπ −=∴

gLo

v

v

gLo ==−

2

1

222 ó ππ

Finalmente:

[ ] 0 , F 22 =gLovLov ρφ

gLo

v

Lovφ

ρ=∴

22

F



EJEMPLO 66 El caudal Q a través de un tubo capilar horizontal depende de la caída de presión

por unidad de longitud lp∆ ; del diámetro d , del tubo y de la viscosidad

dinámica µ . Encontrar la forma general de la ecuación. Solución:

0,,, =

∆ µdl

pQf (1)

La ecuación (1) se reemplaza por:

[ ] 01 =πφ

[ ] 11 µπ cba dlpQ ∆=

2113b3000 FFF −−−= LTLLTLTL cbaa

Para -1b 10 :F =⇒+= b Para -4 2330 2330 : =⇒−++=∴−+−= cccbaL Para 1 10 : =⇒+−= aaT

µπ 41

11 −

−

∆=∴ dl

pQ

6 Mecánica de los fluidos, Streeter.

2

3

13

F

F

−

−

−

=∗=∗

=∆∗

=∗

TL

Ld

Ll

p

TLQ

µ

Donde:

) grupoun busca (se 134n

3

4

π=−=−∴=

=

K

K

n

*: VARIABLE DE REPETICIÓN 3, porque 3=K



41

dl

pQ

∆=∴ µπ

µπ 41 d

l

pQ

∆=∴ 1π Se determinará experimentalmente.

EJEMPLO 77 En un canal abierto se coloca un vertedero triangular de ángulo θ , por el que fluye un líquido que pasa por el canal. El caudal es función de la elevación de la superficie libre del líquido por encima del vértice h ; de la gravedad g ; y de la

velocidad de aproximación av . Determinar la forma de la ecuación que da el caudal. Solución:

( ) 0,,,, =θgvhQf a (1)

La ecuación (1) puede ser reemplazada por:

[ ] 0,, 321 =πππφ Así: 1

1 Qgh ba=π

132 −−= TLTLLTL bbaoo


aladimension

2

1

13

==∗

==∗=

−

−

−

θLTg

LTv

Lh

TLQ

a

Donde:

) grupos 3buscan (se 325n

2

5

π=−=−∴=

=

K

K

n

* Variables de repetición 2, porque 2=K



Para 25 32

10 30 : −=⇒+−=∴++= aabaL

Para 21 1 -20 : −=⇒−= bbT

Qgh 21

25

1 −

=∴ π

51 hg

Q=π

Ahora: 2π

12 a

yx vgh=π

1200 −−=∴ LTTLLTL yyx

Para 21 x 12

1-x0 1yx0 : −=⇒+=⇒++=L

Para 21-y 1-2y0 : =⇒+=T

avgh 21

21

2 −−=∴ π

hg

va

2 =π

Y: θπ =3 Por ser adimensional

0,

,

5

=

∴ θφ

hg

v

hg

Q a

=∴ θφ ,

,

5 hg

v

hg

Q a

= θφ ,

,5

hg

vhgQ a



EJEMPLO 88

La pérdida de energía mecánica por unidad de longitud lhf en una tubería lisa

con flujo turbulento, depende de la velocidad v , del diámetro d , de la gravedad g , de la viscosidad dinámica µ , y de la densidad ρ . Determinar la forma general de la ecuación. Solución:

0,,,,, =

ρµgdvl

hff (1)

lhf=1π , por ser adimensional

12 gdv zyx µπ =

21000 −−−−= TLTLMLTLTLM zzZyxx

Para ZM =0 : Para 1y 10-y-20 1z-yx0 : +=∴++=⇒++=L Para -2 x 2--0 x 2-z--x0 : =∴=⇒=T

gdv 0122 µπ −=∴


3

11

2

1

dim

−

−−

−

−

==∗

==∗=∗

=

ML

TML

LTg

Ld

LTv

ensionalal

hf

ρµ

Donde:


3

6

π=−=−∴=

=

K

K

n

* VARIABLES DE REPETICIÓN 3, porque 3=K



22 v

dg=π

13 ρµπ γβα dv=

3000 −−−−= MLTLMLTLTLM γγγβαα

-1 10 : =⇒+= γγM

1 3-110 3-0 : =∴++=⇒−+= ββγβαL

1 -0 : =⇒+= αγαT

ρµπ 111

3 −=∴ dv

3 µρπ dv=∴

0

,

, 2

=

∴

µρdv

v

gd

l

hff

0

, 2

, ó2

1 =

µρdv

gd

v

l

hff

Pero: RNdv =µ

ρ NÚMERO DE REYNOLDS

0, 2

,2

1 =

RN

dg

v

l

hff

=

dg

vN

l

hfR 2,

2

φ

RNdg

v

l

hf ,2

2ϕ= ,

RNg

v

d

lhf ,

2

2ϕ=



EJEMPLO 99 Un cierto estado de flujo depende de la velocidad v ; de densidad ρ ; de tres dimensiones lineales 21 y , lll ; de la caída de presión p∆ ; de la gravedad g ; de la viscosidad dinámica µ ; de la tensión superficial σ ; del módulo de elasticidad volumétrico Κ . Determinar, por aplicación de análisis dimensional a estas variables, un conjunto de parámetros adimensionales π .

( ) 0,,,,,,,,, 21 =Κ∆ σµρ gplllvf Solución:

11 plv cba ∆= ρπ

123000 −−−−=∴ LMTLLMTLTLM cbbaa

1 10 : −=⇒+= bbM

0 1-3-20 1 30 : =∴++=⇒−+−= cccbaL

2 20 : −=⇒−−= aaT

plv ∆= −− 012

1 ρπ


12

2

1-1

2

12

2

1

3

1

K

T

−−

−

−

−

−−

−

−

=

==

==∆

==

=∗=∗

=∗

LMT

MT

ML

LTg

LMTp

Ll

Ll

Ll

ML

LTv

σµ

ρ

Donde:


3

10

π=−=−∴=

=

K

K

n

VARIABLES DE REPETICIÓN 3, porque 3=K



ρπ

21 v

p∆=

1

2 glv fed ρπ =

23000 −−−=∴ LTLLMTLTLM feedd

eM =0 :

1 1020 1 30 : =⇒++−−=∴++−= fffedL

2 20 : −=⇒−−= ddT

glv 1022 ρπ −=∴

22

v

gl=π

13 µρπ jih lv=

113000 −−−−= TMLLLMTLTLM jiihh

-1i 1i0 : =⇒+=M

-1j 1-j3-10 1-ji 30 : =⇒++=∴+−= hL

1 10 : −=⇒−−= hhT

µρπ 111

3−−−= lv

lv 3 ρµπ =

1

4 σρπ nmk lv=

23000 −−−=∴ MTLLMTLTLM nmmKK

1 10 : −=⇒+= mmM

1 3-20 30 : −=⇒++=∴+−= nnnmkL

2 20 : −=⇒−−= kkT



σρπ 112

4−−−= lv

lv 24 ρσπ =

1

5 Klv rqpρπ =

123000 −−−−= LMTLLMTLTLM rqqpp

1 10 : −=⇒+= qqM

0r 1-r3-20 130 : =∴++=∴−+−= rqpL

2 2-0 : −=⇒−= ppT

Klv 0125

−−= ρπ

ρπ

25 v

K=

16 l

l=π Y 2

7 l

l=π [cocientes adimensionales]

0,,,

,

,

, 21

2222=

∆∴l

l

l

l

v

K

lvlvv

gl

v

pf

ρρσ

ρµ

ρ

Al organizar algunos de estos parámetros y tomar la raíz cuadrada de 5π , se tiene.

Donde: ó :Euler de Número 2

ENp

v =∆

ρ

ó : Froude de Número

FNlg

v =

0,,,

,,

, 21

22

1 =

∆∴

l

l

l

l

K

vlvvl

lg

v

p

vf

ρσρ

µρρ



ó : Reynolds de Número RNvl =µρ

ó : Weberde Número 2

WNlv =

σρ

ó :Mach de Número MN

g

K

v =

0,,,,,, 21

1 =

=∴

l

l

l

lNNNNNf MWRFE

SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS ADIMENSIONALES NÚMERO DE EULER EN : se define como la relación entre las fuerzas de inercia

y las fuerzas de presión:

ENp

v

pL

LTL

pA

Ma =∆

=∆∆

− ρρ 2

2

23

:

NÚMERO DE FROUDE FN : es la relación entre las fuerzas de inercia y las

fuerzas de gravedad:

22

3

2323

FNLg

v

gL

LTL

Mg

LTL

W

Ma ====−−

ρρρ

NÚMERO DE REYNOLDS RN : es la relación entre las fuerzas de inercia y las

fuerzas de viscosidad:

RNvLLv

LLLT

LTL

Ady

dvLTL

A

Ma ==== −−

−−

σµρ

µρ

µ

ρτ

ó 211

2323

NÚMERO DE WEBER WN : es la relación entre las fuerzas de inercia y las

fuerzas de tensión superficial:



WNLv

L

LTL

L

Ma ===−

σρ

σρ

σ

223

NÚMERO DE MACH MN : es la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas

de elasticidad:

222

2

23

MNKv

K

v

KL

LTL

KA

Ma ====−

ρ

ρρ



B] SEMEJANZA HIDRÁULICA Se refiere a métodos que se han desarrollado para poder predecir mediante un MODELO a escala, generalmente reducido, el comportamiento de una estructura hidráulica que se denomina PROTOTIPO. ”En hidráulica, el término MODELO corresponde a un sistema que simula un objeto real llamado PROTOTIPO”10. Así, el fenómeno que en definitiva se desea estudiar ocurre en el prototipo y su reproducción se realiza en el modelo. Hay muchos factores en un proceso hidráulico que no pueden calcularse por medios matemáticos y sólo pueden analizarse prácticamente, de allí la necesidad de experimentar con estructuras reducidas, donde se pueden variar los factores y con base en esto diseñar la estructura real. Se utilizan en muchos casos: transiciones en canales, entradas en ellos, obras de salida, aliviaderos de exceso, obras de defensa en ríos, puertos, propagación de oleajes, acción de oleajes sobre embarcaciones, erosión, sedimentación de cauces, control de avenidas, obras de toma, cárcamos de bombeo, conducción de agua a presión, maquinaria hidráulica (bombas y turbinas), determinación de coeficientes de descarga en orificios y vertederos, etc. PRINCIPIOS DE SIMILITUD La similitud entre modelo y prototipo puede tomar tres formas diferentes, a saber: a) Similitud geométrica b) Similitud cinemática, y c) Similitud dinámica.

a) SIMILITUD GEOMÉTRICA:

Implica semejanza de forma y se obtiene cuando existen las mismas relaciones entre las LONGITUDES HOMÓLOGAS de modelo y prototipo.

b) SIMILITUD CINEMÁTICA: Implica semejanza de movimiento y se obtiene si las líneas de corriente de partículas homólogas son GEOMÉTRICAMENTE semejantes y si existen relaciones iguales para las velocidades de partículas homólogas.

10 Miguel A. Vergara S. En Técnicas de modelación en hidráulica, México 1993.



c) SIMILITUD DINÁMICA: Implica semejanza de fuerzas y se obtiene si existe similitud GEOMÉTRICA y CINEMÁTICA y si las relaciones de las fuerzas que actúan sobre partículas homólogas son iguales. Sin embargo, a veces se hacen modelos DISTORSIONADOS, recurriéndose a dos escalas, una horizontal y otra vertical. CANTIDADES FÍSICAS QUE INFLUYEN EN CADA UNA DE LAS TRES SIMILITUDES.

1º] EN LA SIMILITUD GEOMÉTRICA: Se tienen que considerar similitudes de LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES. NOTA: los subíndices pm y , se refieren a modelo y prototipo respectivamente. Llamando Lr a la relación de longitudes entre modelo y prototipo, se tiene:

Lp

LmLr = (La escala) (LONGITUD)

222 LpLmLrAr == (ÁREA)

333 LpLmLrVr == (VOLÚMEN)

2º] EN LA SIMILITUD CINEMÁTICA:

Entra el concepto de tiempo, además de los anteriores. Las cantidades físicas que hay que considerar, son las que implican movimiento, a saber:

TpTmTr =

TpTm

LpLm

Tr

LrVr == (VELOCIDAD)

222 TpTm

LpLm

Tr

Lrar == (ACELERACIÓN)

TpTmTrr

112

==ω (VELOCIDAD ANGULAR)



222

11

TpTmTrr ==α (ACELERACIÓN ANGULAR)

TpTm

LpLm

Tr

LrQr

333

== (CAUDAL)

3º] EN LA SIMILITUD DINÁMICA

En esta similitud, la relación de fuerzas homólogas es igual; entran fuerza, masa, trabajo, potencia, peso específico, densidad, etc.

FpFmFr =

2

Tr

LrMraMrFr r == (Relación de fuerzas de inercia)

En función de la densidad, sería:

2

4

23

Tr

Lr

Tr

LrLrFr r

r

ρρ ==

Lp

Lm

Fp

FmLrFrTr * == (TRABAJO)

Tr

LrFrr

=Ρ (POTENCIA)

3Lr

Mrr =ρ (DENSIDAD)

3Lr

Frr =γ (PESO ESPECÍFICO)

En un problema determinado, para buscar una relación cualquiera se aplica la fórmula correspondiente. Para conocer las relaciones correspondientes, es necesario conocer qué fuerzas están predominando. En general el ingeniero estudia únicamente los efectos de la fuerza predominante. En la mayoría de los problemas de flujos fluidos son fuerzas predominantes las de gravedad, viscosidad y/o elasticidad, pero no necesariamente de forma simultánea.



Se tratarán los casos en que una sola fuerza esté predominando en la configuración del flujo, mientras que el resto de las fuerzas producen efectos despreciables o se compensan. Sí son varias las fuerzas que simultáneamente influyen en las condiciones del flujo, el problema se complica en exceso, quedando fuera del propósito de esta asignatura. No obstante lo anterior, se hará un problema con simultaneidad de fuerzas predominantes. Considerando el caso en que las fuerzas predominantes sean las de gravedad, como las de inercia siempre están presentes, entonces la relación de fuerza de inercia a fuerza de gravedad debe ser igual en modelo y prototipo; así, según lo analizado anteriormente, los números de FROUDE deben ser iguales en modelo y prototipo, a saber:

FpFm NN =

1=FrN

1g

r

=∴r

r

l

v

O sea que: 1=LrgTr

Lr

r

rg

LrTr =∴

Fijando la relación de fuerzas queda fija la relación de tiempos. Análogamente, si las fuerzas predominantes son las de viscosidad, como las de inercia siempre están presentes, entonces la relación de fuerzas de inercia a fuerzas de viscosidad, debe ser igual en modelo y prototipo. Así las cosas, en el número de REYNOLDS deben ser iguales en modelo y prototipo; a saber:

RpRm NN =

1=RrN

1 =∴r

rr Lrv

µρ

O sea que: 1=r

r

Tr

LrLr

µρ



rr

r LrLrTr

υµρ 22

ó =

Se podrán hacer los mismos análisis con predominancia de otras fuerzas, (elasticidad, tensión superficial, presión, etc. EJEMPLO 10 11 A través de una acequia de m60,0 de anchura se va a construir un modelo de aliviadero a escala 1:25. El prototipo tiene m5,12 de altura y se espera una altura de carga máxima de m5,1 . a] Qué altura y qué carga debe utilizarse en el modelo? b] Si el caudal vertido sobre un modelo es de 20 L.P.S, con una carga de

cm0,6 , ¿Qué caudal por metro de vertedero en el prototipo puede esperarse?

c] Si en el modelo aparece un resalto hidráulico de cm5,2 . ¿Qué altura tendrá el resalto en el prototipo?

d] Sí la energía disipada en el resalto hidráulico del modelo es de c.v 15,0 , ¿Cual será la energía disipada en el prototipo?, y

e] Sí la caída de presión medida entre dos puntos del modelo es de 2 40,0 cmkgp =∆ , ¿cual será la caída entre los puntos correspondientes del

prototipo? Solución: Este tipo de problema en vertederos hace que las fuerzas predominantes sean las de gravedad, vale decir, el sistema modelo – prototipo se rige por las leyes del modelo de FROUDE.

a] 25

1=Lr (dato del problema)

? 5,12 =→= mp hmh

? Zm 5,1 =→= mZp

mmh

hh

hh p

mp

mr 5,0

25

5,12

25

25

1

25

1 ===∴=⇒=

mmZp

ZmZp

ZmZr 06,0

25

5,1

25

25

1

25

1 ===∴=⇒= O sea 6.0 cm.

11 Mecánica de los fluidos e Hidráulica, Giles.



b] ,33

rgLr

Lr

Tr

LrQr == pero 1=rg

QmQpQp

QmLrQr *25

25

1 2

525

25

=∴

=∴=∴

segmQp 3 62,5l.p.s. 62500l.p.s. 20*3125 ===

Pero se pide por cada metro del prototipo. Para el efecto se debe conocer qué ancho tiene el prototipo, así:

mpp

mr aa

a

aa 25

25

1

25

1 =∴=⇒=

map 156,0*25 ==

msegmm

Qpmsegm

m

Qp/17,4 /

15

5,62 33 =⇒=∴

c] cmcmRR

RR m

p

mr 5,6225*5,225*R

251

251

r ===∴=⇒=

d] 2

3

5

3

3

2

Lr

Lr

Tr

LrLrLr

TrTr

LrLrMr

Tr

LrFrr rr ρρ ====Ρ

Pero 1=rρ , se trata de un mismo líquido, y 1=rg

27

Lrr =Ρ∴

[ ] ( )72

7m

27

5

1

25

1

25

1 ==

ΡΡ

⇒

=Ρ∴p

r

( ) ( ) c.v 11718,75c.v 15,0*5*5 77 ==Ρ=Ρ∴ mp

e] LrLr

Lr

LrTr

LrLr

Lr

aMr

Lr

Frp rr

r ===== 2

2

22

3

22

ρ

Porque 1=rρ y 1=rg



2104,0*25 25

25

1

cm

kgppp

p

ppmp

p

m ==⇒=⇒

=∴

EJEMPLO 11 12 La resistencia media en agua fresca ( )3

0 1000 mkg=γ de un modelo de barco de

m40,2 de longitud, moviéndose a segm0,2 , es de kg4,4 . a] ¿Cual será la velocidad correspondiente en un prototipo m4,38 de

longitud? b] ¿Qué fuerza es necesaria para conducir el prototipo en agua salada?

[ ]31025 mkgs =γ

Son predominantes las fuerzas de gravedad. Solución:

a] 1 1 =⇒=r

rFr

gLr

vN

( )1 21

==∴ rr gLrv

Pero 0625,04,38

4,2 ===Lp

LmLr

( ) 25,00625,0 21

==∴ rv

Ahora: seg

msegmvv

v

v mp

p

m 825,0

0,2

25,0 25,0 ===⇒=

segmvp 0,8=

b] 2

3

2

==

r

r

g

Lr

LrLr

Tr

LrMrFr

ρ , porque 1=rg , se tiene

34

LrLr

LrFr r

r γρ == , porque 1=rg

12 Mecánica de los fluidos y Maquinas Hidráulicas, Claudio Mataix.



( ) 4

3

10*38,21025

0625,0*1000 −==∴

Fp

Fm

kgkgFm

Fp 96,1847210*38,2

4,4

10*38,2

44===∴ −−

KN 13,18=Fp

EJEMPLO 12 13 Un modelo de VENTURÍMETRO tiene dimensiones lineales 1/5 de las del prototipo. El prototipo trabaja con agua a 20 ºC y el modelo con agua a 100 ºC, para un diámetro de garganta de m6,0 y una velocidad en ella de segm0,6 en el prototipo, ¿Qué caudal será necesario disponer en el modelo? Predominan las fuerzas de viscosidad. DATOS: segmmkg 26

03

0 10*007,1 998 C20º a −=⇒= υγ

segmmkg 260

30 10*296,0 958 C100º a −=⇒= υγ

(Los datos anteriores fueron sacados de tablas) Solución:

LrLr

Lr

Tr

LrQr r

r

υ

υ

=== 2

33

0588,05

1*

10*007,1

10*296,0

6

6

==∴ −

−

Qr

QpQmQp

Qr*0588,0 0588,0 =⇒=∴

Pero ( )

segmvApQp p3

2

70,16*4

6,0 === π

Por continuidad

segmscmQm 3 09996,0.. 7,1*0588,0 ==∴

l.p.s. 100 ó 1,0 3 == QmsegmQm

13 Mecánica de los fluidos y Maquinas Hidráulicas, Claudio Mataix.



EJEMPLO 13 14 Un modelo de bomba a escala 1:6 trabaja con agua de 24 * 10*5 msegkgm

−=µ .

La bomba en el modelo tiene una potencia de segmkg * 25,2 . El prototipo trabaja

con un aceite de 23 *10 msegkgp−=µ . Calcular:

a] La potencia que desarrollará el prototipo, y b] La diferencia de presiones entre la sucesión y la descarga de la bomba en

el prototipo, cuando esta diferencia en el modelo es de 2015,0 cmkg . Predominan las fuerzas de viscosidad. Solución: DATOS: 3

0 1000 mkg=γ (modelo)

3 900 mkgoil =γ (Prototipo)

a] r

2

ρµυ

υLr

Fr

Lr

FrLr

FrLr

Tr

FrLrr rr

r

====Ρ

2

3

2

3r

Tr

Lr

LrTr

LrLr

Lr

aMrr r

r

rr

r

r µρµρ

ρµ ===Ρ∴

2

3

2

2

3

2

3

22

3

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

Lr

gLr

LrLr

Lrr

γµ

γµ

ρµ

µρµ ===

=Ρ

( ) [ ]2323

3

4

9,0*6*5,01000

900

1

6

10

10*5 =

=Ρ∴ −

−

r

6075,0 6075,0 =ΡΡ

⇒=Ρp

mr

seg

mkgsegmkgmp

*7,3

6075,0

*25,2

6075,0 ==Ρ=Ρ∴

b] ( )2

2

22

3

22

Tr

Lr

LrTr

LrLr

Lr

aMr

Lr

Frp rrr

r

ρρ ====∆

14 Mecánica Elemental de Los Fluidos, Bolinaga.



2

22

2

22

2

==

=∆

r

rrrr

rr

rr LrLrLr

g

Lrp

ρµγυγ

υ

γ

===∆ −

−

1000

900

1

6

10

10*522

3

4

2

2

2

22

2

r

r

r

r

rrr Lr

gLr

pγ

µγ

µγ

1,8 1,8 =∆∆

⇒=∆p

mr p

pp

2

2

0019,01,8

015,0

1,8

cm

kgcmkgpp m

p ==∆=∆∴

EJEMPLO 14 15 Se desea fabricar un modelo de un estanque que contendrá petróleo

segm2410*25,1 −=υ , para estudiar el movimiento del líquido dentro de él. Se ha determinado que tanto las fuerzas de gravedad como las de viscosidad están predominando. Para el modelo se usará agua de segm2610*1 −=υ . Calcular la escala a la que se ha de fabricar el modelo. Solución:

RrFr NN =

r

r

r

r Lrv

Lrg

v

υ=∴

Así: rLr υ=23

porque 1=rg

23

rLr υ=∴

32

232

4

632

25,110

10*25,110

=

=

=

−

−

−

p

mLrυυ

15 Mecánica Elemental de Los Fluidos, Bolinaga.



25

1

100

404,0 ===Lr

Respuesta: escala 1:25 EJEMPLO 15 16 Evalúe la escala de la velocidad y la relación de pérdida de cabeza para flujo con fuerzas viscosas y de gravedad predominantes. Solución: Cuando sólo un número es igual en modelo y prototipo, se pueden elegir escala y fluido. Cuando son dos los números iguales en modelo y prototipo, sólo se puede escoger uno de los dos; es más conveniente elegir un fluido. En este caso, la relación de número de FROUDE y de REYNOLDS se iguala, pues ambos son iguales a 1, por lo tanto:

r

r

r

r Lrv

gLr

v

υ=

, porque 1=rg

2

3Lrr =υ

32

rLr υ=∴ Se escoge un fluido que dé una escala conveniente.

31

1 rrr LrvLr

v υ==∴=

Si se emplea el número de Reynolds

31

32 r

r

rrr Lr

v υυυυ ===

EJEMPLO 16 17 Se desea realizar un modelo de un barco tanquero a una escala 1:100. Determine cuál debe ser la viscosidad cinemática del fluido a utilizarse en el modelo para que exista similitud de Reynolds y Froude simultáneamente.

16 Mecánica Elemental de Los Fluidos, Bolinaga. 17 Mecánica Elemental de Los Fluidos, Bolinaga.



Solución:

segmp2610*1 −=υ (Dato del problema)

rr

r

r

r LrLrv

gLr

v υυ

=⇒= 23

001,0101

2

3

2 =

=∴ rυ

segmpmp

m 2610*001,0*001,0 001,0 −==⇒=∴ υυυυ

segmm

2910−=υ NOTAS VARIAS: Los cinco parámetros adimensionales, a saber: MWFRE NNNNN y ,,, , son de importancia para correlacionar los valores que se obtienen en experiencias: NÚMERO DE REYNOLDS: Se usa para correlacionar coeficientes de aforos, rozamiento en tuberías y resistencias. En el flujo de fluidos compresibles desempeña un papel secundario frente al MN . NÚMERO DE FROUDE: Cuando existe una superficie libre, la acción de la gravedad es importante en la determinación de la naturaleza del flujo. El FN es útil en los cálculos de resaltos hidráulicos y en el proyecto de canales abiertos y de estructuras hidráulicas. También es importante en el proyecto de barcos. NÚMERO DE WEBER: Su análisis es importante donde existan chorros pequeños, formación de gotitas y la formación de pequeñas ondas capilares. El coeficiente de desagüe en las fórmulas de presas estándar depende del WN para alturas pequeñas.



NÚMERO DE MACH: El efecto de la variación del MN sobre el flujo a altas velocidades en tuberías o sobre los proyectiles a alta velocidad ó en el movimiento de misiles es mucho más pronunciado que el efecto de la variación de los WFR NNN ó , . CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS

a) Según fluido utilizado. - Hidráulicos. - Eólicos.

b) Según comportamiento del material de que están hechas las

fronteras, cuando el flujo está en movimiento: - Fondo fijo. - Fondo móvil.

c) Según escalas de líneas con respecto a 3 ejes coordenados: - Distorsionado. - No distorsionado.

d) Según la similitud escogida para seleccionar escalas:

- Froude. - Reynolds. - Otros.



Dimensiones de las variables físicas usadas en hidráulica

VARIABLE SIMBOLO DIMENSIONES

MLT FLT

CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS Longitud L L L Perímetro mojado Pm L L Área A L2 L2 Volumen V L3 L3

PROPIEDADES DE LOS FUIDOS Masa m M FT2L-1 Densidad ρ ML-3 FT2L-4 Peso específico γ ML-2T-2 FL-3 Viscosidad cinemática n L2T-1 L2T-1 Viscosidad dinámica μ ML-1T-1 FTL-2 Módulo de elasticidad volumétrico o elástico Kv ML-1T-2 FL-2 Tensión superficial σ MT-2 FL-1

CARACTERÍSTICAS DEL FLUJO Velocidad v LT-1 LT-1 Aceleración a LT-2 LT-2 Presión p ML-1T-2 FL-2 Fuerza F MLT-2 F Esfuerzo cortante τ ML-1T-2 FL-2 Gasto (caudal) Q L3T-1 L3T-1 Trabajo, Energía W, E ML2T-2 FL Momento M ML2T-2 FL Potencia P ML2T-3 FLT-1 Impulso I MLT-1 FT

OTRAS Angulo α ninguna ninguna Pendiente S ninguna ninguna Velocidad Angular, Frecuencia ω, f T-1 T-1 Velocidad del sonido c LT-1 LT-1 Aceleración de la gravedad g LT-2 LT-2 Tiempo t T T Temperatura* T θ θ Calor especifico cp , cv L2T-2θ-1 L2T-2θ-1 Transporte de sedimento, en peso Gs MLT-3 FT-1 Transporte de sedimento, en volumen Qs L3T-1 L3T-1 Peso w MLT-2 F

* La dimensión θ está referida a la dimensión de temperatura.



BIBLIOGRAFÍA

- GILES R.V. Mecánica de los fluidos e hidráulica. USA. Mc Graw Hill. 1967.

- COMISIÓN FEDERAL DE ELECTRICIDAD. Técnicas experimentales, manual A.2.15. México, 1983

- BOLINAGA J.J. Mecánica elemental de los fluidos.

Venezuela; Editorial Art caracas. 1985.

- STREETER V.L. Mecánica de los fluidos. USA. Mc Graw Hill. 1966

- VERGARA M.A. Técnica de modelación e Hidráulica.

México2, Ed. Alfa Omega S.A. 1993.

- RODRIGUEZ H.A. Hidráulica experimental, Bogotá Colombia, Ed. Escuela colombiana de ingeniería. 2002

- KING H.W. Hidráulica USA. Ed. Trillas. 1980.

- BELTRAN P.R. Introducción a la mecánica de los fluidos.

Colombia Ed. Mc Graw Hill. 1990.

Analisis Dimensional y Semejanza Hidraulica

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