ANÁLISIS COMPARTIVO DE PRONÓSTICOS REALIZADOS CON …

ANÁLISIS COMPARTIVO DE PRONÓSTICOS REALIZADOS CON REDES NEURONALES, MODELOS ARIMA Y PROCESOS GARCH

PARA SERIES DE TIEMPO NO ESTACIONARIAS.

MARIA CAROLINA PANTOJA ROJAS

Proyecto de Grado para optar al título de Maestría en Ingeniería Industrial

Asesor HERNANDO MUTIS PhD

Profesor Universidad de los Andes

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL MAESTRIA EN INGENIERIA INDUSTRIAL

BOGOTÁ D.C. 2.004

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CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

1. MARCO TEÓRICO

1.1 Modelos ARIMA..........................................................................................11

1.1.1 Procesos autorregresivos..........................................................................12

1.1.2 Procesos de promedios móviles.................................................................13

1.1.3 Procesos ARIMA......................................................................................14

1.1.3.1 Función de autocorrelación simple..........................................................16

1.1.3.2 Función de autocorrelación parcial..........................................................20

1.1.4 Modelos ARIMA para series estacionales.....................................................22

1.1.5 Identificación de Modelos Arima................................................................24

1.2 Procesos ARCH Y GARCH.............................................................................32

1.2.1 Proceso ARCH.........................................................................................34

1.2.2 Procesos GARCH....................................................................................37

1.3 Modelo de Redes Neuronales......................................................................41

1.3.1 Neurona biológica....................................................................................43

1.3.2 Red Neuronal Artificial.............................................................................43

1.3.3 Red de Backpropagation..........................................................................48

1.3.4 Regla de Aprendizaje..............................................................................49

2. ANÁLISIS DE RESULTADOS

2.1 Series financieras.......................................................................................57

2.2 Series estacionales y/o de producción.........................................................104

2.3 Series irregulares.....................................................................................121

3. CONCLUSIONES.............................................................................138

BIBLIOGRAFÍA..................................................................................147

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Proceso iterativo Box-Jenkins Figura 2: Neurona biológica Figura 3: Neurona artificial Figura 4: Funciones de activación RNA Figura 5: Precio promedio acción Bavaria Figura 6: Funciones de autocorrelación simple y parcial del precio promedio

de la acción de BAVARIA. Figura 7: Lambda Figura 8: Transformaciones serie precio promedio acción de Bavaria Figura 9: Pronóstico ARIMA precio promedio acción Bavaria Figura 10: Correlación residuales al cuadrado precio promedio acción Bavaria Figura 11: Modelación varianza condicional precio promedio acción Bavaria Figura 12: Comparación RNA del precio promedio de la acción de Bavaria Figura 13: Comparación errores RNA del precio promedio de la acción de

Bavaria Figura 14: Pronóstico RNA precio promedio acción Bavaria Figura 15: Comparación Pronósticos precio promedio acción Bavaria Figura 16: Precio promedio acción Argos Figura 17: Pronóstico ARIMA precio promedio acción Argos Figura 18: Correlación residuales al cuadrado precio promedio acción Argos Figura 19: Modelación varianza condicional precio promedio acción Argos Figura 20: Pronóstico RNA precio promedio acción Argos Figura 21: Comparación Pronósticos precio promedio acción Argos Figura 22: Precio promedio acción de Valbavaria Figura 23: Pronóstico ARIMA precio promedio acción Valbavaria Figura 24: Correlación residuales al cuadrado precio promedio acción

Valbavaria Figura 25: Modelación varianza condicional precio promedio acción Valbavaria Figura 26: Pronóstico RNA precio promedio acción Valbavaria Figura 27: Comparación Pronósticos precio promedio acción Valbavaria Figura 28: Índice general Bolsa de Colombia Figura 29: Pronóstico ARIMA del IGBC Figura 30: Correlación residuales al cuadrado IGBC Figura 31: Modelación varianza condicional IGBC Figura 32: Pronóstico RNA del IGBC Figura 33: Comparación Pronósticos del IGBC Figura 34: Producción aceite de palma Figura 35: Pronóstico ARIMA de producción de palma africana Figura 36: Pronóstico RNA de producción de palma africana Figura 37: Comparación Pronósticos de producción de palma africana Figura 38: Producción cacao en grano ($/toneladas) Figura 39: Pronóstico ARIMA de Producción cacao en grano ($/toneladas)

4

Figura 40: Pronóstico RNA de Producción cacao en grano ($/toneladas) Figura 41: Comparación Pronósticos de producción cacao($/tonelada) Figura 42: Precio promedio horarios compra de energía Figura 43: Pronóstico ARIMA precio promedio horarios compra de energía Figura 44: Pronóstico RNA 5 neuronas precio promedio horarios compra de

energía Figura 45 Pronóstico RNA 10 neuronas precio promedio horarios compra de

energía Figura 46: Comparación Pronósticos precio promedio horarios compra de

energía Figura 47: Ventas Cerveza Águila 300 cc Figura 48: Pronóstico ARIMA venta cerveza Aguila 300 cc Figura 49: Pronóstico RNA Ventas Cerveza Águila 300 cc Figura 50: Comparación Pronósticos Ventas Cerveza Águila 300 cc Figura 51: Ventas Cerveza Poker 300 cc Figura 52: Pronóstico ARIMA Ventas Cerveza Poker 300 cc Figura 53: Pronóstico RNA Ventas Cerveza Poker 300 cc Figura 54: Comparación Pronósticos Ventas Cerveza Poker 300 cc Figura 55: Ventas Cerveza Club Colombia 10 oz Figura 56: Pronóstico ARIMA Ventas Cerveza Club Colombia 10 Figura 57: Pronóstico RNA Ventas Cerveza Club Colombia 10 oz Figura 58: Comparación Pronósticos Ventas Cerveza Club Colombia 10 oz Figura 59: Ventas Pony Malta 350 cc Figura 60: Pronóstico ARIMA Ventas Pony Malta 350cc Figura 61: Pronóstico RNA Ventas Pony Malta 350 cc Figura 62: Comparación Pronósticos Ventas Pony Malta 350 cc

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LISTA DE TABLAS

Tabla 1: Comportamiento de la FAS y la FAP para procesos AR, MA y ARMA Tabla 2: ESACF Tabla 3: Tabla teórica ESCAF para una serie ARMA(1,2) Tabla 4: MINIC Tabla 5: SCAN Tabla 6: Tabla SCAN teórica para un ARMA (2,2) Tabla 7: Media y varianza ARCH (1) Tabla 8: Media y varianza ARCH (q) Tabla 9: Media y varianza GARCH (1,1) Tabla 10: Prueba comportamiento de ruido blanco Tabla 11: Test de Dickey – Fuller Tabla 12: Cálculo de lambda –6 a 6 Tabla 13: Cálculo de lambda –1.5 a 1.5 Tabla 14: Funciones de autocorrelación simple y parcial del precio promedio

de la acción de BAVARIA Tabla 15: Prueba comportamiento de ruido blanco Tabla 16: Test de Dickey – Fuller Tabla 17: FAS y FAP de la diferencia del precio promedio de la acción de

BAVARIA Tabla 18: Test de Dickey – Fuller Tabla 19: Tabla SCAN Tabla 20: Tabla ESACF Tabla 21: Tabla MINIC Tabla 22: Estimación ARIMA(1,1,1) precio promedio acción de Bavaria Tabla 23: Estimación ARIMA(1,1,0) precio promedio acción de Bavaria Tabla 24: Comportamiento de los residuales Tabla 25: Estimación GARCH precio promedio acción Bavaria Tabla 26: Estadísticos MSE y U-Theil para el precio promedio de la acción de

BAVARIA Tabla 27: Estimación ARIMA precio promedio acción de Argos Tabla 28: Estimación GARCH precio promedio acción Argos Tabla 29: Estimación ARIMA precio promedio acción de Valbavaria Tabla 30: Estimación GARCH precio promedio acción Valbavaria Tabla 31: Estimación ARIMA del IGBC Tabla 32: Estimación GARCH del IGBC Tabla 33: Estimación ARIMA producción aceite de palma africana Tabla 34: Estimación ARIMA Producción cacao en grano ($/toneladas) Tabla 35: Estimación ARIMA precio promedio horarios compra de energía Tabla 36: Estimación ARIMA Ventas Cerveza Águila 300 cc Tabla 37: Estimación ARIMA Ventas Cerveza Poker 300 cc Tabla 38: Estimación ARIMA Ventas Cerveza Club Colombia 10 oz Tabla 39: Estimación ARIMA Ventas Pony Malta 350 cc Tabla 40: Comparación pronósticos modelos ARIMA y de Redes Neuronales

6

INTRODUCCIÓN

La teoría clásica de series temporales (metodología Box – Jenkins), desarrolla

el análisis estadístico a partir de un proceso estocástico estacionario, es decir,

con una media y varianza constante sobre el tiempo y cuya autocovarianza

depende únicamente de la longitud del rezago.

Sin embargo, el considerar la componente de varianza constante puede

suponer diversos problemas estadísticos cuando se realizan estimaciones

econométricas. Los modelos Generales Autorregresivos Condicionales

Heteroscedásticos GARCH, formulados en una primera aproximación por Engle,

proponen estudiar la varianza cuando esta no es invariable.

Estos modelos permiten considerar la información pasada de la variable y su

volatilidad observada como factor altamente explicativo de su comportamiento

presente y por extensión lógica de su futuro predecible; pues toman en cuenta

el contraste entre comportamientos de alta varianza en el error seguido de

periodos relativamente tranquilos.

La limitación de los procedimientos estadísticos tradicionales al suponer series

estacionarias y el aumento en la complejidad de los problemas a resolver hace

que se genere un interés por nuevas técnicas de predicción y análisis. Así, en

los últimos cincuenta años, los desarrollos tecnológicos han abierto la puerta a

7

la utilización de nuevas herramientas de cálculo para la predicción de series

temporales.

Los sistemas de cómputo usuales trabajan bajo la filosofía de sistemas

secuenciales desarrollados por Von Neuman, los cuales han mostrado ser

eficaces en la resolución de cálculos matemáticos; sin embargo, problemas

como el reconocimiento de imágenes y patrones en presencia de ruido o la

generalización de ideas, son difíciles de desarrollar para los sistemas de

cómputo que trabajan bajo esta filosofía.

Por el contrario, han tenido gran auge en años recientes aquellos métodos que

utilizan pequeñas unidades que individualmente desarrollan un simple sistema

de cálculo pero que interconectadas pueden resolver eficazmente complejos

problemas en los que los computadores convencionales han fallado. Dentro de

este tipo de herramientas se encuentran las Redes neuronales artificiales

(RNA) las cuales intentan reproducir el comportamiento del cerebro humano y

han sido usadas especialmente en la predicción y clasificación de problemas.

El objetivo de este trabajo es comparar los pronósticos de series temporales no

estacionarias que presentan diferentes comportamientos como estacionalidad,

irregularidad y presencia de varianza no constante para establecer bajo qué

comportamientos las redes neuronales artificiales realizan un mejor pronóstico

8

que los modelos desarrollados por la metodología ARIMA. La comparación de

las predicciones se realiza a través de los estadísticos MSE y U-Theil.

Se estudian en total 11 series compuestas por 4 financieras, 3 estacionales y/o

de producción y 4 irregulares. Dentro del primer grupo se encuentran las

series de los precios promedios de las acciones Bavaria, Argos, Valbavaria y el

Índice General de la Bolsa de Colombia. Con estas series además se realizó un

análisis GARCH para identificar la capacidad de pronóstico que se tiene al

prever volatilidades.

Como series estacionales y/o de producción se estudiaron la serie de aceite de

crudo de palma africana, la serie de cacao en grano ($/tonelada) y el precio

promedio en los horarios de energía de mercado mayorista ($/Kwh). Como

series irregulares se trabaja la venta de cerveza Aguila 300 cc, cerveza Poker

300 cc, cerveza Club Colombia 10 onzas y Pony Malta 350 cc.

En el primer capítulo presenta un marco teórico que introduce los conceptos

técnicos más importantes de los modelos Box –Jenkins, GARCH y de Redes

neuronales artificiales. Este capítulo es importante pues al lector le

proporcionará las bases del entendimiento del ambiente matemático que le

permitirá comprender con facilidad las secciones posteriores.

9

El segundo capítulo se dedica a la presentación de los resultados de los

mejores pronósticos realizados con los modelos anteriormente mencionados

para series no estacionarias; esta comparación se realiza a través del cálculo

de los estadísticos MSE y U-Theil.

Finalmente, en el tercer capítulo se presentan las conclusiones que se

obtuvieron en el desarrollo de la predicción de las series a través de las

metodologías objeto de análisis de este trabajo.

10

1. MARCO TEÓRICO

Una serie temporal es una secuencia finita de observaciones o datos ordenados

y equidistantes cronológicamente sobre una o varias características de una

única unidad observable en diferentes momentos o fechas. Generalmente se

representan como ti ZZZZ ......,, ,21 donde el subíndice i hace referencia a la

observación en un instante de tiempo y t determina la longitud de la serie.

(www.ucm.es)

El análisis univariante de series de tiempo consiste en describir la evolución

temporal de alguna característica de interés de una unidad observable y prever

su evolución en el futuro, utilizando solamente información de su

comportamiento pasado.

En este capítulo se realiza una descripción de los conceptos básicos de los

modelos de predicción de series de tiempo. La primera sección es un

recorrido por la metodología ARIMA; la sección dos trabaja el comportamiento

de los procesos GARCH para series de tiempo financieras debido a que la

evidencia empírica ha mostrado que el análisis clásico de los modelos ARIMA

para series temporales no ha obtenido buenos resultados en las predicciones

de corto plazo para este tipo de series. Finalmente, en la tercera sección se

11

desarrolla una introducción a las series neuronales en el que se encuentra el

algoritmo de Backpropagation.

1.1 MODELOS ARIMA

El método más utilizado para el análisis de series de tiempo es el desarrollado

por los modelos ARIMA presentado por E.P. Box y Gwilym Jenkins en 1.972

(BOX, 1.976) para el estudio de series de tiempo estacionarias, es decir,

aquellas series que tienen una media y varianza constante sobre el tiempo y

cuya autocovarianza depende únicamente de la longitud del rezago.

Debido a que el análisis de la serie depende de su propia historia es necesario

estudiar el tipo de proceso intrínseco en ella, este puede ser de carácter

autorregresivo (AR), es decir, cuando los valores de la serie no se explican por

otras variables independientes como ocurre en regresión lineal, sino por

observaciones de la misma serie en periodos anteriores y ponderados de

acuerdo a unos coeficientes.

De igual forma, las series pueden seguir un proceso de promedio móvil (MA)

los cuales tratan de explicar cómo fluctuaciones alrededor del punto de

equilibrio de la serie, pueden ser causadas por eventos inesperados que

pueden no asimilarse de manera instantánea sino que se presentan luego de

un cierto periodo de tiempo . En otros casos es la combinación de procesos

12

autorregresivos y de promedios móviles los cuales son conocidos como

procesos ARMA.

1.1.1 Procesos autorregresivos. Cuando el valor de una serie en un

periodo de tiempo corriente es una función de los valores previos

inmediatamente anteriores a t más un error ponderado por coeficientes

autorregresivos pφφ ,...1 se habla de procesos autorregresivos de orden p. Por

ejemplo, una serie tZ puede expresarse como una relación:

ttt aZZ += −11φ (1)

lo que equivaldría a decir que tZ es una función de una porción de 1−tZ dada

por 1φ más un término de error ta , esta expresión es equivalente a un proceso

AR(1). En forma general, un proceso AR(p), es decir, que incluye p rezagos,

se describe como:

tptpttt aZZZZ ++++= −−− φφφ ...2211 . (2)

Utilizando un operador de rezago B esta misma expresión puede escribirse:

( ) tp

pt aBBBZ =−−−− φφφ ...1 221 (3)

donde B se define mediante la relación: 1−= tt ZBZ .

13

Un proceso AR(p) es estacionario sí y solo sí las raíces de la ecuación

característica 0...1 221 =−−−− p

p xxx φφφ se encuentran por fuera del círculo

unitario. (WEI, 1.989).

1.1.2 Procesos de promedios móviles. La idea básica de los modelos de

promedios móviles introducidos por Yule (1.926) y Slutzky (1.927)

(GUERRERO, 1.991) consiste en representar un proceso estocástico { }tZ , cuyos

valores pueden ser dependientes unos de otros, como una suma infinita

ponderada de choques aleatorios independientes { }ta . Si un proceso

estocástico sigue un esquema

qtqtttt aaaaZ −−− −−−−= θθθ ...2211 (4)

equivalente a la expresión ( )qqtt BBBaZ θθθ ...1 2

21 −−−= donde qθθθ ,..., 21 son las

ponderaciones asociadas con los choques aleatorios en los periodos t, t-1, ...t-

q respectivamente y ta ruido blanco, es decir, un proceso con media cero y

varianza constante 2aσ , entonces, se habla de un modelo MA(q). En forma

general todo proceso MA es estacionario.

14

Para que el proceso sea invertible se requiere que las raíces de

0...1 221 =−−−− q

qxxx θθθ estén por fuera del círculo unitario. (WEI, 1.989).

1.1.3 Procesos ARIMA. En forma general es la combinación de procesos

autorregresivos y de promedios móviles, se representa mediante

( ) ( )qqt

ppt BBBaBBBZ θθθφφφ ...1...1 2

212

21 −−−=−−−− (5)

o de forma abreviada

( ) ( ) tt aBZB θφ = . (6)

Para que este proceso sea estacionario se requiere que las raíces de

( ) 0=xφ estén fuera del círculo unitario y para que sea invertible la condición es

que las raíces de la ecuación ( ) 0=xθ se encuentren también fuera del círculo

unitario, este modelo se denomina un ARMA (p,q) (WEI, 1.989).

El proceso del modelo ARIMA (p,d,q) de Box-Jenkis incluye un proceso

autorregresivo, un proceso integrado y un proceso de promedio móvil. El

orden de integración del modelo el cual se representa por I(d) hace referencia

básicamente al número de diferenciaciones que se utilizan para estabilizar la

media de la serie; por ejemplo, una serie que se diferencie una vez puede

escribirse como un proceso ARIMA (p,1,q), si por el contrario, no se diferencia

15

la serie se define como un proceso ARIMA (p,0,q) el cual es equivalente a un

ARMA (p,q).

La metodología de Box-Jenkis requiere que las series de tiempo sean

estacionarias; en caso de que no lo sean, éstas pueden ser transformadas y

así no se presenta inconvenientes para ser trabajadas. Las series pueden ser

no estacionarias por presentar características como picos, tendencias o

comportarse como caminatas aleatorias. Para determinar la estacionariedad

de una serie, se puede acudir al test de Dickey-Fuller (YAFFE, 2.000).

Una forma de ejecutar el test es realizar una regresión que contenga una

media α , un término de rezago 1−tZ , una tendencia determinística tβ y un

término de error ta :

ttt atZZ +++= − βα 1 (7)

realizando una primera diferencia a tZ se encuentra que

( ) tttt aZZ ++−+=∇ − βρα 11 (8)

siendo ∇ el operador de diferencia.

Este modelo forma las bases del test de Dickey-Fuller. Para detectar la forma

estocástica de no estacionariedad, el test de Dickey-Fuller supone una

16

regresión de una serie en su primer rezago y de esta forma verifica si el

coeficiente de regresión 1ρ rezagado es significativamente igual a la unidad.

Por ejemplo si se considera el modelo

ttt aZZ += −11ρ (9)

Bajo hipótesis nula 11 =ρ , entonces ttt aZZ =− −1 . Si no se rechaza la hipótesis

nula, entonces se infiere que la generación de los datos tienen raíz unitaria y

que el proceso no es estacionario.

La estacionariedad permite identificar patrones característicos de los procesos,

las funciones de autocorrelación simple (FAS) y parcial (FAP) son una

herramienta útil que permiten identificar los órdenes de los mismos.

1.1.3.1 Función de autocorrelación simple. Una de las funciones más

útiles cuando se trabaja con modelos ARMA es la función de autocovarianza ya

que permite identificar el proceso subyacente a la serie. Esta función muestra

la covarianza en una serie entre una observación y otra de una misma serie en

k rezagos, es decir, la autocovarianza en el rezago k es la autocovarianza entre

una serie tZ en el tiempo t y la misma serie ktZ − rezagada k periodos de tiempo

(YAFFE, 2.000). Esto puede formularse como:

17

( ) ( ) ( )( )ZZZZZZEk kt

kn

ttktt −−== −

−

=− ∑

1,γ (10)

donde Z es el promedio de la serie de tiempo.

La función de autocorrelación puede ser construída como una estandarización

de la función de autocovarianza. De esta forma,

( )

( )( )

( )n

ZZ

kn

ZZZZ

kFASn

tt

kt

kn

tt

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

=

∑

∑

=

−

−

=

1

2

1

(11)

De la función de autocorrelación emergen diferentes características en los

patrones de comportamiento autorregresivos y de promedio móvil.

Por ejemplo para un proceso AR(1), ( ) 0=tZE , la varianza se expresa como

( )2

2

0 1 φσ

γ−

= a (12)

y la autocorrelación de la forma

18

kkk φ

γγρ ==

0

para k=0, ,...2,1 ±± (13)

lo cual indica que, conforme k>0 crece, la función de autocorrelación FAS

tiende a cero con decaimiento exponencial cuando 10 << φ y con signos

alternados cuando 01 <<− φ . Para que un proceso AR(1) sea estacionario

.1<ρ (YAFFE, 2.000)

En este caso 1φ puede interpretarse como la autocorrelación de primer orden

para un proceso autorregresivo de primer orden; de manera inductiva se

obtiene que la forma general de la ( ) kkFAS 1φ= . El decaimiento exponencial

para los valores de la función de autocorrelación determina las características

de los procesos autorregresivos.

La función de autocorrelación de un AR(p) está dada por:

pppp

pp

pp

φρφρφρ

ρφφρφρ

ρφρφφρ

+++=

+++=

+++=

−−

−

−

......

......

2211

22112

11211

(14)

para las primeras p autocorrelaciones en función de los parámetros

autorregresivos pφφ ,...1 , las demás autocorrelaciones están dadas por:

19

1pk para +≥+++= −−− pkpkkk ρφρφρφρ ...2211 (15)

Si la magnitud del parámetro autorregresivo es igual a la unidad, entonces el

proceso es no estacionario y puede representar una caminata aleatoria, pero si

su valor es mayor que uno, entonces presenta tendencia estocástica o el

proceso se encuentra fuera de control.

Para los procesos de promedios móviles se presentan características diferentes

en los patrones de la función de autocorrelación. Si se supone que se tiene un

proceso de promedio móvil de primer orden, es decir un MA(1), la

autocovarianza está dada por:

[ ] 211, att ZZE σθ−=− (16)

y la varianza por

( )21

2 1 θσ +a (17)

La autocorrelación es igual a la covarianza dividida por el proceso de varianza.

Para el primer orden de un promedio móvil la función de autocorrelación para

el primer rezago es:

21

1

1)1(

θθ

+−

=FAS (18)

20

Si se calcula para el segundo rezago se tiene que [ ] 0, 2 =−tt ZZE , así la función

de autocorrelación para los rezagos mayores de uno son iguales a cero. Esto

significa que el proceso es de memoria finita, en este caso solo de un periodo.

En forma general la función de autocorrelación para el proceso MA (q) tiene

una memoria limitada a q periodos .

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+>

=+++++++−

=+

1qk si

q1,...,k si

0...1...

222

21

11qqkk

k θθθθθθθ

ρ (19)

1.1.3.2 Función de autocorrelación parcial. Debido a que la determinación

de un modelo a partir de la función de autocorrelación simple no es tan

evidente, por ejemplo, no es fácil distinguir en algunos casos un AR(1) de un

AR(2) y en forma general los modelos AR(p) con solo la FAS; se requiere de

otro instrumento que permita identificar los procesos autorregresivos y de

promedio móvil de manera más clara, para esto se utiliza la función de

autocorrelación parcial, la cual adquiere determinadas características

dependiendo del orden del proceso y del tipo de parámetros involucrados.

21

Si se considera el proceso autorregresivo de primer orden, se tiene que

( ) kkFAS 1φ= (YAFFE, 2.000), para k=0,1,...; si el interés es cuantificar la

dependencia entre tZ y 2−tZ sin tener en cuenta 1−tZ entonces se calcula

( )( )22

21

21122

11 −−

−−−−−

−−

−=

ztztztzt

ztztztztztztztzt

ρρρρρρ (20)

Para un proceso de promedio móvil de primer orden, la función de

autocorrelación parcial del k-ésimo rezago es igual a un conjunto de

ecuaciones:

41

21

21

1)2(

θθθ

++−

=FAP (21)

( )( )12

1

211

11)( +−

−−= k

k

kFAPθ

θθ (22)

Para determinar el modelo ARIMA correspondiente a la serie, es necesario

tener en cuenta tanto la función de autocorrelación simple como la parcial de

la serie; en la Tabla 1 se realiza un resumen para la identificación (GUERRERO,

1.991).

22

TABLA 1: Comportamiento de la FAS y la FAP para procesos AR, MA y ARMA

Proceso FAS FAP

AR(p) Convergencia a cero, con comportamiento dictado por la ecuación ( ) 0=kB ρφ , para

pk ≥

Solamente las primeras p autocorrelaciones parciales son distintas de cero

MA(q) Sólo las primeras q autocorrelaciones son distintas de cero.

Sucesión infinita convergente a cero.

ARMA

(p,q)

Comportamiento irregular de las primeras q autocorrelaciones y después convergencia a cero de acuerdo con

( ) 0=kB ρφ , para pk >

Sucesión infinita convergente a cero

Fuente: (GUERRERO, 1.991).

1.1.4 Modelos ARIMA para series estacionales. Por una serie estacional

estacionaria se entenderá una serie de tiempo que, aparte de contener una

tendencia (y/o ciclos) de larga duración, muestre fluctuaciones que se repiten

constantemente durante un cierto periodo de tiempo (BOX, 1.976), por

ejemplo, el crecimiento de las ventas que ocurre cada fin de año o los periodos

de lluvias que se presentan en determinados meses.

Las representaciones para series estacionales de tipo ARIMA (P,D,Q)S para

series estacionales está dada por:

( ) ( ) ( ) tS

tDS

S aBZB Θ=∇Φ (23)

donde ( )SBΦ representa a un polinomio autorregresivo estacional de orden P,

( )SBΘ denota a un polinomio de promedios móviles estacional de orden Q y la

23

sucesión { }ta es ruido blanco. El operador de diferencia estacional DS∇ se

define como:

( ) tDS

tDS ZBZ −=∇ 1 (24)

Para tener en cuenta ambos tipos de efectos, estacionales y no–estacionales

Box y Jenkins (BOX, 1.976) propusieron un modelo general del tipo

( ) ( ) ( ) tS

tDS

S BZB αΘ=∇Φ (25)

donde las variables { }tα no se suponen ruido blanco, sino que son generadas

por un proceso ARIMA (p,d,q), es decir,

( ) ( ) ttd aBB θαφ =∇ (26)

con { }ta un proceso de ruido blanco. De las expresiones (25) y (26) se

obtiene el modelo multiplicativo estacional.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tS

tDdS aBBZBB Θ=∇∇Φ θφ (27)

denotado por ARIMA (p,d,q)x (P,D,Q)S. Con este modelo por ejemplo, no solo

se explican las relaciones dentro de los años dada por (25) sino entre los años

dada por (26).

24

1.1.5 Identificación de Modelos ARIMA. Box y Jenkins propusieron la

identificación de los modelos ARIMA a través del un ajuste en cuatro etapas

(BOX, 1.976).

Figura 1: Proceso iterativo Box-Jenkins

ETAPA I.......................................

Identificación del Modelo ARIMA

ETAPA II........................................

Estimación de Parámetros

ETAPA III.........................................

Verificación de Supuestos

ETAPA IV.........................................

Uso del modelo

Es adecuadoel modelo?

SI

NO

Proceso iterativo de Box-Jenkins para construir modelos

ETAPA I.......................................


ETAPA II........................................


ETAPA III.........................................


ETAPA IV.........................................

Uso del modelo


SI

NO

ETAPA I.......................................


ETAPA II........................................


ETAPA III.........................................


ETAPA IV.........................................

Uso del modelo


SI

NO

Proceso iterativo de Box-Jenkins para construir modelos

Fuente: (BOX, 1.976)

La primera etapa consiste en identificar el modelo ARIMA a través de la

determinación de los órdenes de los polinomios autorregresivos p y de

promedios móviles q, además se requiere decidir qué transformaciones se

requieren para volver la serie estacionaria.

25

Cuando la estructura de la serie no es estacionaria, es preciso detectar el tipo

de transformación necesaria para conseguir un proceso ARMA, para esto se

determina si: (1) se requiere transformar la serie para que la varianza sea

constante, (2) diferenciar la serie para que tenga media constante, lo que

equivale a determinar el valor del parámetro d el cual hace referencia al

número de diferenciaciones sobre la serie y generalmente no son más de dos y

(3) eliminar la estacionalidad de la serie a partir de diferencias estacionales.

Cuando la serie es estacional con periodo s, se aplica una diferencia de ( )sB−1

para convertirla en estacionaria.

Uno de los instrumentos utilizados para volver la serie estacionaria se refiere a

estabilizar la varianza, dicho método sugiere elegir la potencia λ de tal manera

que satisfaga la relación:

λµσ

−1t

t = constante para t=1,2,...,N (28)

en donde tσ y tµ representan la desviación estándar y la media de la

variable tZ y N es el número de observaciones que se tiene para la serie { }tZ .

La idea es dividir la serie en H grupos diferentes y calcular su coeficiente de

variación, la potencia asociada con el menor de ellos hará que la

transformación resultante para la serie sea:

26

( )( )

0 si 0 si

⎩⎨⎧

=

≠=

λλλ

t

tt Z

ZZT

log(29)

Existen diferentes métodos que pueden tentativamente identificar los órdenes

de procesos estacionarios ARMA, por ejemplo La Función Extendida de

Autocorrelación Simple (ESACF) (www.sas.com) la cual se basa en la iteración

de las estimaciones de mínimos cuadrados de los parámetros autorregresivos.

Tsay y Tiao (1.984) (WEI, 1.976) introducen el concepto del ESACF, a partir

del estudio de un conjunto de regresiones iteradas. Específicamente para

m=0,1,2,..., sea ( ) m1,...,i , =jiφ , el estimador de mínimos cuadrados ordinarios

del la jth iteración de una regresión AR(m) de un proceso ARMA tZ . Se define

la mth ESACF ( )mjr de tZ como el modelo de función de autocorrelación para

la serie transformada.

( ) ( ) ( )( ) tmjjjt ZBY φφ ˆ...ˆ1 1 −−−= (30)

Para identificar el orden del proceso, es útil colocar las autocorrelaciónes ( )mjr

en una matriz de dos vías como se muestra en la TABLA 2 donde la primera

fila corresponde a la ( )0jr dada por la función de autocorrelación simple de tZ ,

la segunda fila corresponde al primer ESACF ( )1jr y así sucesivamente. Las

columnas son numeradas de 0, 1,... para especificar el orden del proceso AR y

27

las columnas son numerada en forma similar para los órdenes de los procesos

móviles.

Tabla 2: ESACF

M A

A R 0 1 2 3 · ·

0 r 1 (0 ) r 2 (0 ) r 3 (0 ) r 4 (0 ) · ·

1 r 1 (1 ) r 2 (1 ) r 3 (1 ) r 4 (1 ) · ·

2 r 1 (2 ) r 2 (2 ) r 3 (2 ) r 4 (2 ) · ·

3 r 1 (3 ) r 2 (3 ) r 3 (3 ) r 4 (3 ) · ·

· · · · · · ·

· · · · · · ·

Para identificar el modelo asociado con un ARMA (1,2), se presenta en la Tabla

3 por ejemplo, los términos significativos con X y un patrón triangular con

términos no significativos 0. El vértice en la posición (1,2) donde comienzan

los ceros determina la estimación del modelo. Más generalmente, para un

identificar un proceso ARMA (p,q), se localiza el vértice del triángulo donde

empiezan los ceros, el cual se ubica en la posición (p,q).

Tabla 3: Tabla teórica ESCAF para una serie ARMA(1,2)

M A

A R 0 1 2 3 4 5 6 7

0 * X X X X X X X

1 * X 0 0 0 0 0 0

2 * X X 0 0 0 0 0

3 * X X X 0 0 0 0

4 * X X X X 0 0 0

X = s ig n if ic a n t te rm s

0 = in s ig n if ic a n t te rm s

* = n o p a tte rn

28

Otro método utilizado para identificar los modelos ARIMA es el Criterio de

Mínima Información (MINIC) el cual identifica el orden de un proceso ARMA

estacionario e invertible.

Una tabla MINIC es construida a partir del criterio de información Bayesiana

BIC. Para determinar los procesos autorregresivos y de media móvil se toma

el modelo (p,q) que presente el menor valor en el cálculo de regresión por

medio del método de mínimos cuadrados ordinarios.

Para test de procesos autorregresivos y de promedio móvil con pocas

observaciones puede llevar a que ocurran valores negativos del BIC (m,j). La

idea es identificar en la tabla los menores valores y estos se asocian a la

identificación de los órdenes autorregresivos y de promedio móvil.

Tabla 4: MINIC

M A

A R 0 1 2 3 · ·

0 B IC ( 0 ,0 ) B IC (0 ,1 ) B IC (0 ,2 ) B IC ( 0 ,3 ) · ·

1 B IC ( 1 ,0 ) B IC (1 ,1 ) B IC (1 ,2 ) B IC ( 1 ,3 ) · ·

2 B IC ( 2 ,0 ) B IC (2 ,1 ) B IC (2 ,2 ) B IC ( 2 ,3 ) · ·

3 B IC ( 3 ,0 ) B IC (3 ,1 ) B IC (3 ,2 ) B IC ( 3 ,3 ) · ·

· · · · · · ·

· · · · · · ·

El método de la menor correlación canónica (SCAN) también ayuda a

identificar los órdenes de un proceso ARMA estacionario e invertible.

29

Una tabla SCAN es construída usando c(m,j) para determinar los valores

propios que son significativamente distintos de cero. Los ordenes ARMA son

tentativamente identificados por encontrar un (máximo) patrón de rectángulo

en el cual los valores propios son no significativos para todos las pruebas de

órdenes dpm +≥ y qj ≥ .

Pueden existir más de un par de valores (p+d , q) que permita identificar el

patrón rectangular.

Tabla 5: SCAN

M A

A R 0 1 2 3 · ·

0 c (0 ,0) c (0,1) c (0,2 ) c (0,3 ) · ·

1 c (1 ,0) c (1,1) c (1,2 ) c (1,3 ) · ·

2 c (2 ,0) c (2,1) c (2,2 ) c (2,3 ) · ·

3 c (3 ,0) c (3,1) c (3,2 ) c (3,3 ) · ·

· · · · · · ·

· · · · · · ·

En este evento, la parsimonia, entendida como que a menor parámetros el

modelo es mejor, y el número de ítems no significativos en el patrón

rectangular ayudan a determinar el orden del modelo. La Tabla 6 por ejemplo,

representa un patrón teórico asociado con un modelo ARMA(2,2). Se muestra

los valores significativos con X y los no significativos con cero.

30

Los ceros pueden verse en forma de rectángulo con el vértice en la posición

(2,2). Más generalmente, para identificar un proceso ARMA (p,q), el vértice

del rectángulo donde empieza los ceros está en la posición (p,q).

Tabla 6: Tabla SCAN teórica para un ARMA (2,2)

M A

AR 0 1 2 3 4 5 6 7

0 * X X X X X X X

1 * X X X X X X X

2 * X 0 0 0 0 0 0

3 * X 0 0 0 0 0 0

4 * X 0 0 0 0 0 0

X = significant term s

0 = insignificant te rm s

* = no pattern

Una vez determinada la posible identificación del modelo se realiza la segunda

etapa que consiste en la estimación de los parámetros AR y MA para el

modelo por máxima verosimilitud. A partir de la selección del mejor modelo

ARIMA, se procede a una etapa de verificación la cual reside básicamente en

el análisis de los residuales. En caso de que exista más de un modelo

seleccionado para la serie, se escoge el que presente los menores estadísticos,

Akaike's information criterion (AIC) y Bayesian Information criterion (BIC)♣.

♣ AIC es computado como -2 ln(L) + 2 k donde L es la función de máxima verosimilitud y k es el número de parámetros libres y SBC es computado como y -2ln(L) + ln(n) k donde n es el número de residuales que puede ser computado para la serie de tiempo

31

En la etapa de verificación se espera que los residuales ta , los cuales se

definen como la diferencia entre los valores observados y los estimados en la

serie, tengan un comportamiento como de ruido blanco, es decir, con media

cero y varianza constante; además estas variables aleatorias deben ser

mutuamente independientes.

Para este caso se utiliza el estadístico Q de Ljung y Box (1.978) (GUERRERO,

1.991) para realizar una prueba de significancia conjunta de k

autocorrelaciones simultáneamente. Si el valor que arroja el estadístico se

rechaza con un nivel de significancia α , se pasa a la etapa de pronóstico de la

serie, de lo contrario hay que volver a la etapa de identificación del modelo.

( )( ) ( )

( )kpdN

arpdNpdNQ

K

kk

−−−

+−−−−=

∑=1

22 (31)

donde:

p=orden del proceso autorregresivo

d= número de diferencias par la serie

k= número del rezago

N= número total de observaciones

32

Aunque se verifica además que el comportamiento de los residuales tenga una

distribución normal, en muchos casos el alejamiento de este supuesto no

parece presentar mayor inconveniente.

Un buen pronóstico se basa principalmente en la minimización del cuadrado

medio del error; se trata entonces de escoger el pronóstico ( )sZ de tal forma

que [ ]2)(ˆ sZZE st −+ sea mínima, donde t se refiere al periodo actual y s al

número de periodos posteriores en el tiempo que se espera predecir, es decir,

[ ]1,1 ...,)( ZZZZEsZ ttst −+= (32)

De la expresión anterior se puede deducir que el pronóstico se basa en la

información disponible hasta el periodo t.

1.2 PROCESOS ARCH Y GARCH

En la sección anterior se vio como la selección de un buen modelo y su

respectiva predicción están asociados al comportamiento de los errores. En

general, los modelos econométricos convencionales asumen que la varianza

del término de error es constante, sin embargo, la evidencia empírica ilustra

que muchas series de tiempo exhiben periodos de grandes volatilidades

seguidos por otros de relativa tranquilidad (ENDERS, 1.995). Bajo estas

condiciones el supuesto de homoscedasticidad es inapropiado, es por esto que

se han utilizado procesos denominados GARCH.

33

La utilidad de estos procesos está dada, por ejemplo, en el área de inversión

en el mercado de capitales donde los retornos y sus varianzas son

determinantes para los tenedores de activos. La consideración de la varianza

incondicional o de largo plazo es inapropiada para transacciones de un solo

periodo (t, t+1) o en un lapso de tiempo muy corto.

Una aproximación para el pronóstico de la varianza es acudir a la introducción

de una variable independiente que colabore con la predicción de la volatilidad.

En el caso más simple,

ttt xaZ 11 ++ = (33)

donde 1+tZ es la variable de interés en el periodo t+1, 1+ta un término de

disturbio (ruido blanco) con varianza 2σ y tx una variable independiente que

puede observarse en el periodo t.

Si 21 −− == ttt xxx son valores constantes, la serie tZ es un proceso de ruido

blanco con varianza constante, pero cuando la realización de la serie { }tx no

siempre es igual, la varianza condicional de 1+tZ para un valor observable de tx

está dada por:

( ) 221 σttt xxZVar =+ (34)

34

La varianza condicional de 1+tZ es dependiente del valor de tx . Si { }tx exhibe

una correlación positiva, de igual modo sucederá con la varianza condicional de

la secuencia { }tZ , de manera que la introducción de esta secuencia permite

explicar la volatilidad de la secuencia { }tZ . La dificultad de esta selección

radica en que asume una causa específica por el cambio de varianza, lo cual en

muchos casos es difícil de especificar.

1.2.1 Proceso ARCH. Un modelo preferible de utilizar es uno que reconozca

que tanto la media como la varianza condicional puede evolucionar sobre el

tiempo (Enders, 1.995). Por ejemplo:

2110

*

−+=

=

tt

ttt

Zcch

haZ con varianza del residual igual a 1. (35)

La anterior representación se puede denotar como un modelo de

Heteroscedasticidad Condicional Autorregresivo de orden uno ARCH (1).

El modelo ARCH (1) supone que la varianza condicional de los errores tiene

una estructura similar a un AR(1) y su comportamiento depende únicamente

del último término. Se requiere que 00 ≥c y 10 1 <≤ c en razón a que una

desviación estándar es positiva y para mantener la estacionariedad en tZ con

35

una varianza finita; en el caso en que 11 =c tZ es estacionario pero la varianza

infinita.

Las medias y las varianzas tanto incondicional (Marginal) como condicional

tienen la siguiente forma, teniendo en cuenta que ta es ruido blanco (ARCE,

1.998).

Tabla 7: Media y varianza ARCH (1)

Marginal Condicional

Media ( ) 0* 2110 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += −ttt ZccaEZE

( ) ( ) ( ) 012

1101 =+= −−− ttttt aEZccZE

Varianza ( ) ( )( ) 2

1

02110

221

* attt ccZccaEZE σ−

=+= − ( ) ( ) 22110

21 attt ZccZE σ−− +=

Como puede observarse, la media en ambos casos es constante e igual a cero,

la varianza marginal es constante, mientras que la varianza condicional no es

fija pues depende de los valores que haya tomado 21−tZ .

La función de autocovarianza es nula para todos los retardos que se

consideren, mientras que es distinta de cero para los valores al cuadrado del

mismo proceso tZ generado.

La autocovarianza de tZ para el retardo k se puede calcular como:

36

( ) ( ) ( ) 02110 =+== −−− ktttktt ZZccaEZZEkγ (36)

De este modo, la función de autocorrelación es 0=kρ , indicando que el

proceso ARCH es no correlacionado pero no necesariamente independiente.

Por otro lado, la función de autocovarianza para la serie al cuadrado presenta

valores distintos de cero. Si 11 <c entonces kk c1=ρ para todo k y si 11 ≥c , el

proceso no es estacionario y carece de función de autocorrelación; debido a

esto puede que el proceso no presente correlación en su forma lineal pero si en

su forma cuadrática.

Especificación de un modelo ARCH(q)

El proceso ARCH(q) viene definido por la siguiente expresión:

∑=

−+=

=q

itit

ttt

Zcc

aZ

1

210

2σ

σ (37)

Donde se presentan las siguientes restricciones:

• ta es un proceso idénticamente distribuido con media cero y varianza

igual a uno

37

• Los parámetros 00 >c y 1≥ic para i=1, ...q. Además para cumplirse la

condición de estacionariedad en la media, la suma de todos los

parámetros debe ser menor que la unidad.

• Si ta se distribuye normal, tZ es condicionalmente normal y su varianza

es 2tσ .

De forma similar al proceso ARCH(1), un proceso ARCH(q) tiene las siguientes

características (ARCE, 1.998), que son extendidas del caso de orden 1 al caso

de orden q:

Tabla 8: Media y varianza ARCH (q)


Media ( )

( ) 0

...* 22110

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++= −−

t

qtqttt

ZE

ZcZccaEZE

( ) ( ) ( )( ) 0

...

1

122

1101

=

+++=

−

−−−−

tt

ttqtqttt

ZE

aEZcZccZE

Varianza ( ) ( )( )( ) 2

1

02

22110

22

1

...*

at

qtqttt

ccZE

ZcZccaEZE

σ−

=

+++= −−

( ) ( ) 222

1102

1 ... aqtqttt ZcZccZE σ−−− +++=

1.2.2 Procesos GARCH. Bollerslev(1.986) (ENDERS, 1.995) extendió el

trabajo original de Engle e incluyó una generalización de la varianza

condicional de forma tal que ésta siguiera un modelo estacionario ARMA. Este

modelo se conoce momo ARCH generalizado o GARCH(p,q)

38

El modelo ARCH(q) puede presentar dificultades en el caso de que el número

de retardos que se deban utilizar sea muy elevado como puede suceder con

series financieras; lo que lleva a un engorroso número de iteraciones para

alcanzar una solución al sistema planteado, de manera que es más

conveniente la utilización de un proceso GARCH(p,q) el cual puede escribirse

como:

∑∑=

−=

− ++=

=p

jjtj

q

iitit

ttt

wZcc

aZ

1

2

1

20

2 σσ

σ (38)

Con lo cual un modelo ARCH(q) sería un caso especial del modelo GARCH en el

momento en que los parámetros jw sean iguales a cero.

El modelo GARCH(1,1) tiene las siguientes características:

• ta es un proceso idénticamente distribuido con media cero y varianza

igual a uno

• Los parámetros 00 >c y 0, ≥ji wc para i=1,...,q y j=1,...,p. Además

para cumplirse la condición de estacionariedad en la media, la suma de

todos los parámetros debe ser menor a la unidad.

Para el proceso GARCH(1,1) (ARCE, 1.998) se tiene que:

39

Tabla 9: Media y varianza GARCH (1,1)


Media ( )

( ) 0

* 211

2110

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++= −−

t

tttt

ZE

wZccaEZE σ

( ) ( ) ( )( ) 01

12

112

1101

=

++=

−

−−−−

tt

tttttt

ZEaEwZccZE σ

Varianza ( ) ( )( ) 2

11

02

22

1 at

tt

wcc

ZE

EZE

σ

σ

−−=

=

( ) 221 ttt ZE σ=−

La interpretación del modelo GARCH (1,1) , indica una primera ecuación donde

la variable tZ depende de su varianza multiplicada por un término de ruido

blanco y una segunda ecuación que donde la varianza está determinada por

tres términos definitivos:

a) Un valor constante, definido como 00 >c , cuya interpretación

corresponde a un valor de esta iniciación alrededor del cual se presenta

fluctuaciones aleatorias; también puede verse como un valor medio o de

largo plazo sobre el que se presentan modificaciones por los otros dos

sumandos.

b) Un sumando de 11 −tZc , que indica una perturbación sobre el periodo

anterior (Término ARCH)

c) Un sumando 211 −tw σ que indica una perturbación sobre la varianza del

periodo anterior (Término GARCH)

40

Para la construcción de modelos ARCH y GARCH se sigue un proceso de

identificación de efectos ARCH el cual se realiza después de ajustar el mejor

modelo ARIMA. Puede ser que los errores no estén correlacionados, sin

embargo, al elevarlos al cuadrado se podrá ver que no necesariamente son

independientes lo que se refleja en su función de autocorrelación.

Luego de encontrar los errores al cuadrado 2a se calcula la varianza de los

residuales ( )2σ la cual se define como

T

aT

t∑

== 1

2

2ˆ

σ (39)

donde T es el número de residuales. Luego se calcula y grafica la función de

autocorrelación simple de los residuales al cuadrado definida como:

( )( )( )

( )∑

∑

=

+=−

−

−−= T

tt

T

ititt

a

aai

1

22

1

2222

ˆˆ

ˆˆˆˆ

σ

σσρ (40)

Finalmente si existen valores que son significativamente distintos de cero,

entonces esto es indicio de que se esta trabajando con errores GARCH.

41

1.3 MODELO DE REDES NEURONALES

Los procesadores convencionales trabajan de forma secuencial lo que les

permite ser ágiles en cálculos matemáticos, sin embargo, actividades como el

reconocimiento de voz o de imágenes son tareas que el computador no ha

podido desarrollar con facilidad. Por otro lado, los desarrollos en la biología

han mostrado la capacidad de aprendizaje del cerebro para el cual estas

últimas actividades son cotidianas, esto se debe a que responde a un

procesamiento no lineal y paralelo. Este tipo de aprendizaje inspira un

enfoque diferente de resolver problemas a través de distintas herramientas

entre las que se encuentran las Redes Neuronales Artificiales (RNA), las cuales

intentan modelar la información como lo hacen los sistemas nerviosos de los

seres vivos.

Como definición formal (HAYKIN, 1.994) se tiene que una RNA es:

Una red neuronal es un procesador de cálculo distribuido que tiene una

tendencia a almacenar conocimiento experimental, existiendo la posibilidad de

usar este conocimiento. Este procesador se parece al cerebro en dos aspectos:

a) El conocimiento es adquirido a través de un proceso de aprendizaje

regido por un algoritmo de aprendizaje (learning algorihtm)

42

b) Las conexiones entre los elementos base (neuronas) conocidos como

pesos sinápticos son usados para el almacenamiento de este

conocimiento.

Se estima que el cerebro humano está compuesto por unas 100.000 millones

de células nerviosas o neuronas conectadas unas con otras y responsables del

control de todas las funciones mentales (ENCARTA, 2.003). Su interconexión

paralela hace que las neuroredes artificiales que tratan de imitar su

comportamiento tengan una inclinación a adquirir conocimiento a través de la

experiencia, la cual se almacena en el peso relativo de las conexiones

interneuronales.

Así mismo presentan una habilidad para cambiar dinámicamente con el medio

lo que generalmente se denomina plasticidad, poseen un alto nivel de

tolerancia a fallas, es decir, pueden sufrir algún daño y seguir trabajando de

forma normal; finalmente, presentan un comportamiento no lineal, lo que les

permite procesar información procedente de otros fenómenos no lineales.

Este conjunto de propiedades ha hecho que las redes neuronales brinden una

mejor alternativa que el procesamiento convencional para actividades como el

procesamiento de imágenes, voz, el reconocimiento de patrones, optimización,

filtrado de señales y predicción.

43

1.3.1 Neurona biológica. La neurona biológica es la unidad funcional del

sistema nervioso y está formada por el cuerpo celular, que contiene el núcleo y

la mayor parte del citoplasma; unas prolongaciones cortas, normalmente muy

ramificadas, que salen del cuerpo celular y que reciben el nombre de dendritas

y una prolongación más larga denominada axón (ENCARTA, 2.003).

Figura 2: Neurona biológica

Además de estos tres componentes, existe un elemento esencial denominado

sinapsis, el cual es el punto de contacto que tiene un axón de una neurona con

la dendrita de otra neurona y permite determinar la complejidad del proceso

químico que estabiliza la función de la red neuronal (ACOSTA, 2.000)

2.3.2 Red Neuronal Artificial. Una red neuronal artificial es un conjunto de

neuronas artificiales conectadas entre sí lo que equivaldría a una conexión

44

sináptica; tales conexiones tienen un peso específico ponderado de acuerdo a

la importancia de la información. En caso de que el peso sea positivo se dice

que la conexión es excitatoria, por otro lado, si el peso es negativo, se dice

que la conexión es inhibitoria.

Una neurona artificial procesa unas vector x de entradas ( )ns xxx ,...,1 y produce

una única respuesta; las dendritas serían en este caso las entradas que reciben

los datos de otras neuronas. La información de la red se almacena en unos

pesos ijw los cuales varían de acuerdo al entrenamiento de la red. Estos pesos

se denominan pesos sinápticos ya que se establece una sinapsis de la misma

forma en que se conecta la dendrita de una neurona con el axón de otra tal

como se aprecia en la Figura 3.

Figura 3: Neurona artificial

∑ f() zi

axón

SalidaEntradas

x1

x2

xj

. . .

. . .

xn iθ

-1

wi1

wi2

wij

win

Cuerpo celular

umbral

( )∑ −= ijiji xwfz θ

sinapsis

Dendritas

∑ f() zi

axón

SalidaEntradas

x1

x2

xj

. . .

. . .

xn iθ

-1

wi1

wi2

wij

win

Cuerpo celular

umbral

( )∑ −= ijiji xwfz θ

sinapsis

Dendritas

45

Para realizar el procesamiento de la información generalmente se suman las

entradas teniendo en cuenta la importancia de ellas a partir de los pesos

sinápticos asociado a cada una de ellas, esto con el objeto de obtener el valor

del potencial post-sináptico. Este paso se denomina regla de propagación.

Finalmente, el valor obtenido con la regla de propagación se filtra a través de

una función de transferencia y es la que proporciona la salida de la neurona.

Existen diferentes tipos de funciones de transferencia, por ejemplo, la función

de sigmoidal toma los valores de entrada entre menos y más infinito

restringiendo la salida a valores entre cero y uno de acuerdo a la expresión:

nea −+

=1

1 (41)

donde a es la salida de función de transferencia.

Dependiendo de el propósito de la red se emplean diferentes funciones de

activación, entre ellas se encuentran las que aparecen en la Figura 4.

(ACOSTA, 2.000).

Una red neuronal artificial está compuesta generalmente por tres conjuntos de

neuronas denominados capas las cuales desempeñan un papel específico de la

red. Una primera capa denominada capa de entrada la cual recibe los datos

que requiere la red para ser entrenada; un segundo conjunto denominado

46

capas ocultas en las que se realiza la mayor parte del procesamiento de

información y un tercer grupo denominado capa de salida el cual en algunas

ocasiones realiza parte del procesamiento y es el que proporciona la respuesta

de la red.

Los tipos de clasificación de las redes neuronales se definen por dos criterios:

su arquitectura y su tipo de aprendizaje.

Figura 4: Funciones de activación RNA

47

Si en la arquitectura de la red, las neuronas no se alimentan a sí mismas es

decir una de sus conexiones no le llega a ella misma, la red se llama

unidireccional o prealimentada. Por el contrario, si la neurona puede trazar un

camino hacia ella misma se denominan redes recurrentes o realimentada.

Adicionalmente, existen cuatro clases de tipo de aprendizaje: supervisado, no

supervisado, híbrido y reforzado (VALERO, 2.003). El aprendizaje supervisado

hace referencia a un conjunto de ejemplos que se le proporciona a la red con

su determinada salida. El proceso de entrenamiento consiste en el ajuste de

los pesos para que la salida de la red sea lo más parecida posible a la salida

deseada.

En el aprendizaje no supervisado, se le proporciona a la red un conjunto de

ejemplos pero no se le especifica la salida, la red básicamente entonces trata

de determinar la distribución de probabilidad de los datos. El aprendizaje

híbrido es una mezcla de aprendizaje supervisado para unas capas y no

supervisado para otras. El aprendizaje reforzado consiste en un conjunto de

ejemplos que se le proporciona a la red pero aunque no se le especifica la

salida si se le proporciona información sobre su error global.

48

Dentro del tipo de aprendizaje es de interés de este trabajo el de propagación

posterior debido a que esta tiende a aprender patrones que ocurren en un

orden temporal.

1.3.3 Red de Backpropagation. El modelo implementado consiste en la

red de propagación inversa, más conocida como Backpropagation y es un tipo

de red de aprendizaje supervisado que emplea un ciclo de propagación-

adaptación de dos fases. Una vez que se ha aplicado un patrón a la entrada de

la red como estímulo, éste se propaga desde la primera capa a través de las

capas superiores de la red, hasta generar una salida. La señal de salida se

compara con la salida deseada y se calcula una señal de error para cada una

de las salidas (ACOSTA, 2.000).

Las salidas de error se propagan hacia atrás, partiendo de la capa de salida,

hacia todas las neuronas de la capa oculta que contribuyen directamente a la

salida. Sin embargo, las neuronas de la capa oculta solo reciben una fracción

de la señal total del error, basándose aproximadamente en la contribución

relativa que haya aportado cada neurona a la salida original. Este proceso se

repite, capa por capa, hasta que todas las neuronas de la red hayan recibido

una señal de error que describa su contribución relativa al error total.

49

Basándose en la señal de error percibida, se actualizan los pesos de conexión

de cada neurona para hacer que la red converja hacia un estado que permita

clasificar correctamente todos los patrones de entrenamiento.

La importancia de este proceso consiste en que, a medida que se entrena la

red, las neuronas de las capas intermedias se organizan a sí mismas de tal

modo que las distintas neuronas aprenden a reconocer distintas características

del espacio total de entrada.

2.3.4 Regla de Aprendizaje. El ciclo del algoritmo (HAYKIN, 1.994) a través

del entrenamiento de los datos ( ) ( )[ ]{ }Nnndnx ,...,1;, = , donde ( )nx es el

vector de entrada y ( )nd el vector de respuesta deseado, es el siguiente:

1. Inicialización: Comenzar con una razonable configuración de la red y un

conjunto de todos los pesos sinápticos y niveles de umbrales de la red con

pequeños números aleatorios uniformemente distribuidos.

2. Presentación de ejemplos de entrenamiento: Presente a la red con una

época de ejemplos de entrenamientos. Para cada ejemplo en el conjunto

ordenado de datos en alguna manera, el desempeño sigue una secuencia de

cómputos hacia delante y hacia atrás bajo los puntos 3 y 4 respectivamente.

50

3. Cómputo hacia adelante: Sea un ejemplo de entrenamiento en la época

denotado por ( ) ( )[ ]{ } ndnx , , con el vector de entradas ( )nx aplicado a la capa

de entrada de nodos sensoriales y el vector de respuesta deseado ( )nd

presentado en la capa de salida del nodo de cómputo. Se calculan los

potenciales de activación y la función de señales de la red procediendo hacia

delante a través de la red, capa por capa. La actividad interna de la red en el

nivel ( ) ( )nv lj para la neurona j en la capa l es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nynwnv ili

p

i

lji

lj

−

=∑=

0 (42)

donde ( ) ( )ny ili

− es la función de señal de la neurona i en las capas previa 1−l en

la iteración n y ( ) ( )nw lji es el peso sináptico de la neurona j en la capa l que es

alimentado desde la neurona i en la capa l-1.

Para i = 0, se tiene que

( ) ( ) 10 −=− ny il y ( ) ( ) ( ) ( )nnw lj

lj θ=0 (43)

donde ( ) ( )nljθ es el umbral aplicado a la neurona j en la capa l. Asumiendo el

uso de una función logística por la sigmoide no lineal, la función (salida) señal

de una neurona j en la capa l es

51

( ) ( ) ( ) ( )( )nvny l

j

lj −+

=exp1

1 (44)

Si la neurona está en la primera capa oculta, es decir, l =1, el conjunto:

( ) ( ) ( )nxny j=00 (45)

donde ( )nx j es el j-ésimo elemento de un vector de entradas ( )nx . Si la

neurona j está en la capa de salida es decir, l = L, el sistema se representa

por:

( ) ( ) ( )nony jL

j = (46)

donde:

)(lw : vector de pesos sinápticos de una neurona en la capa l

( )lθ : umbral de una neurona en la capa l

( )lv : vector de niveles de actividad interna en la red de neuronas en la capa l

( )ly : vector de función de señales de neuronas en la capa l

Así, el error computado de la señal es:

( ) ( ) ( )njj

nj onde −= (47)

52

donde ( )nd j es el j-ésimo elemento del vector de la respuesta que se desea

( )nd .

4. Cómputo hacia atrás: Computar el s'δ , es decir el gradiente local de la red

por procedimiento hacia atrás, capa por capa:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]nononen jjL

jL

j −= 1δ (48)

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )nwnnynyn lkj

k

lk

lj

lj

lj

111 ++∑−= δδ (49)

Así, ajuste el peso sináptico de la red en la capa l acorde al la regla delta

generalizada♣.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )nynnwnwnwnw li

lJ

lji

lji

lji

lji

111 −+−−+=+ ηδα (50)

donde η es el parámetro de tasa de aprendizaje y α es un valor constante.

5. Iteración: Iterar el cómputo presentando nuevas épocas de ejemplos de

entrenamiento a la red hasta que los parámetros libres de la red estabilicen

sus valores y el error cuadrático medio computado bajo todo el conjunto de

entrenamiento sea un valor aceptablemente pequeño.

♣ La regla delta generalizada es la variación que presentan los pesos sinápticos. De forma general está dada por ( ) ( ) ( )tyttww jjijij ηδα +−∆=∆ 1 . Donde α es una constante y η la tasa de aprendizaje.

53

Las principales características de la red que se trabajó en este trabajo son las

siguientes:

Número de capas de entrada: 1

Número de capas ocultas: 5, 10, 13, 14, …

Datos de entrenamiento: 85%

Momento: 0.04

Tamaño de ventana: 12

Tasa de aprendizaje:0.02

54

2. ANÁLISIS DE RESULTADOS

En este capítulo se trabajan series que presentan características de alta

variabilidad como las series financieras, entre ellas, el precio promedio de la

acción de Bavaria, el precio promedio de la acción de Argos, el precio promedio

de la acción de Valbavaria y el Índice General de la Bolsa de Valores de

Colombia.

En el área de series de producción y/o estacionales se trabajan las series

aceite de crudo de palma africana, la serie de cacao en grano ($/tonelada) y el

precio promedio en los horarios de energía de mercado mayorista ($/Kwh).

Como series irregulares se trabajan la venta de cerveza Aguila 300 cc, cerveza

Poker 300 cc, cerveza Club Colombia 10 onzas y Pony Malta 350 cc.

Para cada una de las series, se tomó el 85% de los datos para efectuar la

estimación y su respectivo pronóstico; tanto con los modelos ARIMA como con

los de Redes neuronales. Adicionalmente, para las series financieras se utilizó

una estimación con los modelos GARCH.

55

Los análisis para modelos ARIMA se realizan a través del paquete estadístico

SAS, los modelos GARCH con el paquete estadístico RATS y las Redes

neuronales con el algoritmo de Backpropagation♣.

Después de obtener el pronóstico de la serie, se comparan los resultados a

través de los estadísticos del error cuadrático medio (MSE) y el U-Theil, los

cuales se explican a continuación:

El error cuadrático medio se define como:

( )2

1

ˆ1 ∑=

−=N

ttt ZZ

NMSE (51)

donde tZ y tZ son los valores de las serie original y su pronóstico

respectivamente.

Este estadístico considera el promedio de los cuadrados de las desviaciones de

los valores de la predicción respecto de los valores de la serie original. Los

pronósticos que se efectúen serán más precisos a medida que el valor del error

cuadrático medio sea más pequeño. (AGUILAR, 1.996)

♣ La red utilizada en este trabajo fue diseñada por Oscar Sánchez estudiante de Ingeniería de Sistemas Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá.

56

El estadístico U-Theil se utiliza para medir la precisión de los pronósticos y

depende directamente del error cuadrático medio. Mientras más cercano a

cero sea el valor del estaístico U-Theil los pronósticos de la serán más

precisos. (AGUILAR, 1.996)

( ) ( )∑∑−−

+=

N

tt

N

tt Z

NZ

N

MSEU

1

2

1

2 ˆ11 (52)

A manera de ejemplo del proceso para seleccionar el mejor pronóstico para

una serie se utilizará el precio promedio de la acción de Bavaria, se mostrará

paso a paso el proceso para la selección del mejor modelo ARIMA y RNA. Este

mismo procedimiento se realiza para las diez series restantes pero solo se

presentan los resultados más significativos. Para las series financieras, se

incluye además el análisis GARCH.

57

2.1 SERIES FINANCIERAS

Precio promedio de la acción de Bavaria

Una acción se define como un título nominativo de carácter negociable que

representa un porcentaje de participación en la propiedad emisora del título.

Solo pueden ser negociadas las acciones emitidas por sociedades anónimas.

La rentabilidad del la inversión está ligada a las utilidades obtenidas por la

empresa en la que se invirtió, ya sea a través del pago de dividendos o por la

valoración del precio de la acción en la bolsa. [www.bvc.com.co]

Existen diferentes tipos de acciones a saber: privilegiada, preferencial o acción

ordinaria. Para este trabajo se escogió la acción ordinaria, la cual se

caracteriza por conceder a su titular derechos económicos y no económicos

provenientes de la participación en el capital de la entidad emisor. Los

económicos están relacionados con la posibilidad de percibir dividendos y los

no económicos con el derecho a voto en la asamblea.

La serie en estudio del precio promedio de la acción de Bavaria está

compuesta por datos diarios que van de lunes a viernes desde el 1 de

noviembre de 2.001 hasta el 25 de marzo de 2.003, en total se cuenta con 358

observaciones.

58

La serie exhibe un comportamiento irregular con tendencia positiva hasta

comienzos de enero del 2.003 a partir del cual presenta un decaimiento

significativo tal como se aprecia en la Figura 5. No se identifica presencia de

estacionalidad en la serie.

Figura 5: Precio promedio acción Bavaria

Acción Bavaria Precio Promedio

50 100 150 200 250 300 3506000

7200

8400

9600

10800

12000

13200

14400

Tal como se aprecia en la Tabla 10, el precio mínimo que presenta la serie en

este periodo de tiempo es de $6.395 y el máximo de $14.331, el valor

promedio de la serie es de $9.953.

59

Tabla 10: Estadísticas descriptivas

PRECIO PROMEDIO DE LA ACCION

DE BAVARIA

Media 9953.17

Mediana 8885.80

Moda 8040.00

Desviación estándar 2260.70

Varianza de la muestra 5110764.30

Rango 7936.36

Mínimo 6395.08

Máximo 14331.44

Se realiza un primera aproximación a la serie a través de las funciones de

autocorrelación simple y parcial como se aprecia en la Figura 6.

Figura 6: Funciones de autocorrelación simple y parcial del precio promedio de la acción de BAVARIA.

Autocorrelations

Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error

0 3430637 1.00000 | |********************| 0 1 3370816 0.98256 | . |********************| 0.057354 2 3303322 0.96289 | . |******************* | 0.098189 3 3231643 0.94200 | . |******************* | 0.125462 4 3158092 0.92056 | . |****************** | 0.146896 5 3090112 0.90074 | . |****************** | 0.164784 6 3023189 0.88123 | . |****************** | 0.180254 7 2955339 0.86146 | . |***************** | 0.193908 8 2886894 0.84150 | . |***************** | 0.206113 9 2822292 0.82267 | . |**************** | 0.217121 10 2762514 0.80525 | . |**************** | 0.227143 11 2709753 0.78987 | . |**************** | 0.236347 12 2659963 0.77536 | . |**************** | 0.244877 13 2605524 0.75949 | . |*************** | 0.252823 14 2552384 0.74400 | . |*************** | 0.260220 15 2498440 0.72827 | . |*************** | 0.267126 16 2449195 0.71392 | . |************** | 0.273579 17 2391272 0.69703 | . |************** | 0.279640 18 2329739 0.67910 | . |************** | 0.285298 19 2267008 0.66081 | . |************* | 0.290567 20 2202174 0.64191 | . |************* | 0.295469 21 2144451 0.62509 | . |************* | 0.300021 22 2088837 0.60888 | . |************ | 0.304275 23 2033076 0.59262 | . |************ | 0.308257 24 1976162 0.57603 | . |************ | 0.311982

"." marks two standard errors

60

Inverse Autocorrelations

Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 -0.51004 | **********| . | 2 0.00706 | . | . | 3 -0.03379 | .*| . | 4 0.05002 | . |*. | 5 0.00111 | . | . | 6 -0.01189 | . | . | 7 -0.01342 | . | . | 8 -0.00057 | . | . | 9 -0.00131 | . | . | 10 0.02857 | . |*. | 11 0.02187 | . | . | 12 -0.06804 | .*| . | 13 0.03697 | . |*. | 14 -0.03303 | .*| . | 15 0.08500 | . |** | 16 -0.08146 | **| . | 17 0.01363 | . | . | 18 0.01292 | . | . | 19 -0.03588 | .*| . | 20 0.05558 | . |*. | 21 -0.01495 | . | . | 22 -0.00739 | . | . | 23 -0.01027 | . | . | 24 0.00940 | . | . |

Partial Autocorrelations

Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 0.98256 | . |********************| 2 -0.07349 | .*| . | 3 -0.04141 | .*| . | 4 -0.02253 | . | . | 5 0.03889 | . |*. | 6 -0.00645 | . | . | 7 -0.02204 | . | . | 8 -0.01643 | . | . | 9 0.02532 | . |*. | 10 0.02789 | . |*. | 11 0.04222 | . |*. | 12 0.00531 | . | . | 13 -0.05238 | .*| . | 14 0.00795 | . | . | 15 -0.01006 | . | . | 16 0.03356 | . |*. | 17 -0.09265 | **| . | 18 -0.03254 | .*| . | 19 -0.00881 | . | . | 20 -0.01353 | . | . | 21 0.04780 | . |*. | 22 -0.00356 | . | . | 23 -0.02042 | . | . | 24 -0.02023 | . | . |

61

De las gráficas anteriores observamos que el decaimiento en la función de

autocorrelación simple no se presenta de forma exponencial, lo que sugiere la

posibilidad de que el proceso no sea estacionario. En las gráficas de

autocorrelación inversa y parcial se presenta únicamente el primer rezago

como significativo. Además, dado que los valores asociados al estadístico chi-

cuadrado son menores que 0.05, se descarta el hecho de que la serie sea ruido

blanco.

Para verificar la estacionariedad de la serie se realiza la prueba a través del

estadístico de Dickey-Fuller.

Tabla 11: Test de Dickey – Fuller

The ARIMA Procedure

Autocorrelation Check for White Noise

To Chi- Pr > Lag Square DF ChiSq --------------------Autocorrelations--------------------

6 1613.83 6 <.0001 0.983 0.963 0.942 0.921 0.901 0.881 12 2876.99 12 <.0001 0.861 0.842 0.823 0.805 0.790 0.775 18 3881.76 18 <.0001 0.759 0.744 0.728 0.714 0.697 0.679 24 4636.50 24 <.0001 0.661 0.642 0.625 0.609 0.593 0.576

62

Los valores asociados al estadístico como se aprecia en la Tabla 11 son

mayores que 0.05, lo que implica que no se rechaza la hipótesis nula de 1=ρ ,

por lo que la serie presenta un comportamiento no estacionario.

En la Tabla 12 se presenta la estimación del mejor parámetro para transformar

la serie y convertirla en estacionaria. Se obtiene que la mejor alternativa es

elevar la serie al valor de –0.01. No obstante, al refinar la búsqueda de la

transformación de los datos se encuentra el valor de lambda muy cercano a

cero como se observa en la Figura 7, lo que sugiere trabajar con el logaritmo

de la serie.

Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F Zero Mean 0 0.7891 0.8735 2.69 0.9984 1 0.7981 0.8754 2.25 0.9944 2 0.7871 0.8731 2.23 0.9941 3 0.7763 0.8709 2.13 0.9924 4 0.7974 0.8752 2.49 0.9971 5 0.7865 0.8730 2.29 0.9950 6 0.7725 0.8701 2.19 0.9934 Single Mean 0 1.0358 0.9893 0.68 0.9916 3.61 0.1462 1 0.1989 0.9662 0.11 0.9660 2.57 0.4120 2 0.4236 0.9746 0.23 0.9743 2.51 0.4291 3 0.4025 0.9739 0.21 0.9732 2.29 0.4843 4 0.7854 0.9845 0.48 0.9857 3.10 0.2775 5 0.6375 0.9809 0.36 0.9810 2.62 0.3997 6 0.7000 0.9825 0.38 0.9821 2.39 0.4589 Trend 0 -1.6047 0.9786 -0.61 0.9776 0.98 0.9700 1 -3.1877 0.9282 -1.00 0.9415 0.85 0.9823 2 -2.9694 0.9377 -0.94 0.9497 0.89 0.9792 3 -3.2198 0.9267 -0.98 0.9444 0.94 0.9749 4 -1.9303 0.9716 -0.67 0.9737 0.79 0.9871 5 -2.4619 0.9565 -0.79 0.9642 0.83 0.9840 6 -2.6173 0.9513 -0.82 0.9620 0.91 0.9777

63

Tabla 12: Cálculo de lambda –6 a 6

PRONOSTICOS PRECIO PROMEDIO ACCION BAVARIA CON ARIMA

LAMBDA LOGLIK RMSE AIC SBC

6.00000 -2417.37 616699.1 4838.731 4846.165 5.79661 -2394.59 388281.7 4793.176 4800.610 5.59322 -2371.99 253684.2 4747.973 4755.407 5.38983 -2349.57 178962.4 4703.146 4710.580 5.18644 -2327.37 136108.3 4658.735 4666.169 4.98305 -2305.39 113534.8 4614.774 4622.208 4.77966 -2283.66 93399.05 4571.323 4578.757 4.57627 -2262.21 90678.72 4528.415 4535.849 4.37288 -2241.06 85611.08 4486.120 4493.554 4.16949 -2220.25 76564.66 4444.503 4451.937 3.96610 -2199.82 72087.08 4403.634 4411.068 3.76271 -2179.80 73234.84 4363.593 4371.027 3.55932 -2160.23 75062.28 4324.468 4331.902 3.35593 -2141.20 76800.95 4286.394 4293.828 3.15254 -2122.72 77468.30 4249.441 4256.875 2.94915 -2104.89 65593.75 4213.774 4221.208 2.74576 -2088.04 38737.97 4180.077 4187.511 2.54237 -2071.68 32136.00 4147.355 4154.789 2.33898 -2056.17 28239.01 4116.347 4123.781 2.13559 -2041.61 26552.39 4087.215 4094.649 1.93220 -2028.06 26418.15 4060.127 4067.561 1.72881 -2015.31 73987.20 4034.630 4042.064 1.52542 -2004.04 58109.03 4012.075 4019.509 1.32203 -1993.99 65604.73 3991.984 3999.418 1.11864 -1985.26 59384.27 3974.530 3981.964 0.91525 -1977.88 63966.78 3959.757 3967.191 0.71186 -1971.89 57878.11 3947.775 3955.210 0.50847 -1967.28 60866.97 3938.566 3946.000 0.30508 -1964.08 70083.67 3932.161 3939.595 0.10169 -1962.25 65636.36 3928.498 3935.932 -0.10169 -1961.77 57364.41 3927.535 3934.969 -0.30508 -1962.57 61074.06 3929.140 3936.574 -0.50847 -1964.59 56333.91 3933.187 3940.621 -0.71186 -1967.78 56547.68 3939.556 3946.990 -0.91525 -1972.05 55609.42 3948.092 3955.526

... -6.00000 -1977.32 57552.20 3958.640 3966.074

64

Tabla 13: Cálculo de lambda –1.5 a 1.5

LAMBDA LOGLIK RMSE AIC SBC 1.50000 -2002.72 63052.72 4009.432 4016.866 1.44915 -2000.13 62001.03 4004.252 4011.686 1.39831 -1997.61 69802.78 3999.215 4006.649 1.34746 -1995.18 70887.69 3994.359 4001.793 1.29661 -1992.84 55797.85 3989.689 3997.123 1.24576 -1990.56 71691.36 3985.130 3992.564 1.19492 -1988.38 71231.78 3980.762 3988.196 1.14407 -1986.28 62177.87 3976.559 3983.993 1.09322 -1984.28 55720.25 3972.555 3979.989 1.04237 -1982.33 61519.45 3968.667 3976.101 0.99153 -1980.49 57897.01 3964.987 3972.421 0.94068 -1978.73 57835.44 3961.468 3968.902 0.88983 -1977.06 60267.29 3958.115 3965.549 0.83898 -1975.47 60125.88 3954.942 3962.376 0.78814 -1973.97 60137.58 3951.941 3959.375 0.73729 -1972.56 58399.66 3949.120 3956.554 0.68644 -1971.23 58584.18 3946.469 3953.903 0.63559 -1969.99 60385.09 3943.989 3951.423 0.58475 -1968.85 70783.82 3941.690 3949.125 0.53390 -1967.78 58785.18 3939.569 3947.003 0.48305 -1966.81 58780.98 3937.618 3945.053 0.43220 -1965.92 63059.37 3935.834 3943.268 0.38136 -1965.12 69491.52 3934.237 3941.671 0.33051 -1964.41 57629.93 3932.825 3940.259 0.27966 -1964.09 30862.76 3932.186 3939.620 0.22881 -1963.50 31872.99 3931.007 3938.441 0.17797 -1962.78 63817.47 3929.551 3936.985 0.12712 -1962.40 65530.68 3928.807 3936.241 0.07627 -1962.12 58678.28 3928.239 3935.673 0.02542 -1961.92 55303.28 3927.846 3935.280 -0.02542 -1961.80 62180.80 3927.596 3935.030 -0.07627 -1961.75 68254.14 3927.505 3934.939 -0.12712 -1961.80 55478.18 3927.601 3935.035 -0.17797 -1961.92 67784.07 3927.831 3935.265 -0.22881 -1962.12 56371.01 3928.239 3935.673 -0.27966 -1962.40 56904.31 3928.797 3936.231 -0.33051 -1962.76 60949.34 3929.515 3936.949 -0.38136 -1963.18 62714.50 3930.369 3937.803 -0.43220 -1963.69 61473.42 3931.379 3938.813 -0.48305 -1964.28 55094.17 3932.559 3939.993 -0.53390 -1964.93 55731.45 3933.862 3941.296 -0.58475 -1965.66 57611.54 3935.313 3942.747 -0.63559 -1966.46 60022.27 3936.912 3944.346 -0.68644 -1967.32 64269.09 3938.636 3946.070 -0.73729 -1968.26 56126.20 3940.514 3947.948 -0.78814 -1969.26 55964.41 3942.512 3949.946 -0.83898 -1970.32 62729.77 3944.649 3952.083 -0.88983 -1971.46 58397.37 3946.913 3954.347 -0.94068 -1972.65 58672.07 3949.304 3956.738 -0.99153 -1973.91 61556.51 3951.817 3959.251 -1.04237 -1975.23 58891.32 3954.453 3961.887 -1.09322 -1976.61 61013.42 3957.212 3964.646

... -1.50000 -2004.04 58109.03 4012.075 4019.509

65

Figura 7: Lambda

Se realiza la transformación de la serie a partir del logaritmo y se calcula la

función de autocorrelación simple y parcial de la serie. Se detecta que la serie

no estacionaria pues presenta los mismos problemas que la serie original.

66

Tabla 14: Funciones de autocorrelación simple y parcial del precio promedio de la acción de BAVARIA

Autocorrelations

Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error

0 0.031706 1.00000 | |********************| 0 1 0.031117 0.98143 | . |********************| 0.057354 2 0.030426 0.95963 | . |******************* | 0.098114 3 0.029711 0.93708 | . |******************* | 0.125239 4 0.028979 0.91401 | . |****************** | 0.146499 5 0.028282 0.89202 | . |****************** | 0.164189 6 0.027602 0.87057 | . |***************** | 0.179424 7 0.026924 0.84918 | . |***************** | 0.192819 8 0.026243 0.82771 | . |***************** | 0.204751 9 0.025651 0.80904 | . |**************** | 0.215477 10 0.025143 0.79302 | . |**************** | 0.225248 11 0.024687 0.77865 | . |**************** | 0.234252 12 0.024254 0.76496 | . |*************** | 0.242617 13 0.023792 0.75041 | . |*************** | 0.250425 14 0.023341 0.73618 | . |*************** | 0.257716 15 0.022884 0.72178 | . |************** | 0.264543 16 0.022461 0.70843 | . |************** | 0.270943 17 0.021982 0.69333 | . |************** | 0.276969 18 0.021483 0.67758 | . |************** | 0.282621 19 0.020970 0.66140 | . |************* | 0.287915 20 0.020441 0.64473 | . |************* | 0.292870 21 0.019957 0.62944 | . |************* | 0.297503 22 0.019486 0.61459 | . |************ | 0.301852 23 0.019013 0.59967 | . |************ | 0.305940 24 0.018533 0.58452 | . |************ | 0.309782

"." marks two standard errorsAutocorrelations

67

Inverse Autocorrelations

Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 -0.53171 | ***********| . | 2 0.03740 | . |*. | 3 -0.03004 | .*| . | 4 0.03082 | . |*. | 5 0.00245 | . | . | 6 -0.00130 | . | . | 7 -0.04012 | .*| . | 8 0.03132 | . |*. | 9 0.01207 | . | . | 10 -0.00352 | . | . | 11 0.01253 | . | . | 12 -0.03989 | .*| . | 13 0.03146 | . |*. | 14 -0.03347 | .*| . | 15 0.06075 | . |*. | 16 -0.05888 | .*| . | 17 0.01965 | . | . | 18 0.00360 | . | . | 19 -0.02369 | . | . | 20 0.03549 | . |*. | 21 -0.01049 | . | . | 22 -0.00453 | . | . | 23 -0.00549 | . | . | 24 0.00570 | . | . |


Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 0.98143 | . |********************| 2 -0.09711 | **| . | 3 -0.02422 | . | . | 4 -0.02288 | . | . | 5 0.01968 | . | . | 6 -0.00139 | . | . | 7 -0.01267 | . | . | 8 -0.01500 | . | . | 9 0.06608 | . |*. | 10 0.05035 | . |*. | 11 0.02312 | . | . | 12 -0.00053 | . | . | 13 -0.03330 | .*| . | 14 0.00848 | . | . | 15 -0.01138 | . | . | 16 0.02220 | . | . | 17 -0.05901 | .*| . | 18 -0.01091 | . | . | 19 -0.00987 | . | . | 20 -0.01151 | . | . | 21 0.02783 | . |*. | 22 -0.00561 | . | . | 23 -0.01471 | . | . | 24 -0.01244 | . | . |

68

Tabla 15: Prueba comportamiento de ruido blanco

El estadístico de Dickey-Fuller muestra que en este caso tampoco rechaza la

hipótesis de raíz unitaria.


En la Figura 8 se presenta la gráfica de tres transformaciones a la serie como

es el logaritmo, la diferencia y la diferencia del logaritmo del precio promedio

de la acción de Bavaria.

The ARIMA Procedure

Autocorrelation Check for White Noise


6 1593.94 6 <.0001 0.981 0.960 0.937 0.914 0.892 0.871 12 2819.40 12 <.0001 0.849 0.828 0.809 0.793 0.779 0.765 18 3808.19 18 <.0001 0.750 0.736 0.722 0.708 0.693 0.678 24 4574.52 24 <.0001 0.661 0.645 0.629 0.615 0.600 0.585

Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests

Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F Zero Mean 0 0.0803 0.7011 2.56 0.9977 1 0.0864 0.7025 2.31 0.9952 2 0.0834 0.7018 2.20 0.9936 3 0.0817 0.7014 2.01 0.9896 4 0.0831 0.7017 2.32 0.9954 5 0.0821 0.7015 2.19 0.9934 6 0.0797 0.7009 2.06 0.9908 Single Mean 0 -0.0283 0.9557 -0.02 0.9554 3.28 0.2317 1 -1.2518 0.8613 -0.65 0.8568 2.90 0.3287 2 -0.9620 0.8892 -0.49 0.8899 2.56 0.4153 3 -1.1470 0.8717 -0.54 0.8798 2.18 0.5118 4 -0.7320 0.9090 -0.39 0.9073 2.79 0.3571 5 -0.8176 0.9019 -0.42 0.9032 2.50 0.4314 6 -0.7095 0.9109 -0.35 0.9144 2.18 0.5116 Trend 0 -3.3075 0.9227 -1.08 0.9290 0.80 0.9863 1 -5.8435 0.7545 -1.60 0.7928 1.30 0.9170 2 -5.6738 0.7679 -1.52 0.8219 1.22 0.9326 3 -6.6946 0.6855 -1.64 0.7750 1.42 0.8935 4 -4.9372 0.8235 -1.37 0.8668 1.02 0.9642 5 -5.4935 0.7819 -1.44 0.8477 1.12 0.9514

6 -5.7908 0.7586 -1.45 0.8451 1.17 0.9420

69

Teniendo en cuenta el factor de parsimonia y estacionariadad, se efectúa una

diferencia a la serie, se obtienen las autocorrelaciones simple y parcial. En

este caso la FAS presenta un decaimiento exponencial, siendo significativo el

primer rezago dentro de la función de autocorrelación simple y el primer

rezago dentro de la función de autocorrelación parcial como se aprecia en la

Tabla 17.

Figura 8: Transformaciones serie precio promedio acción de BAVARIA

Precio Accion Diario Bavaria

50 100 150 200 250 3006000

7200

8400

9600

10800

12000

13200

14400

PROMEDIO

Diferencia Precio Accion Diario Bavaria

50 100 150 200 250 300-750

-500

-250

0

250

500

750

DPROMEDIO

Log Precio Accion Diario Bavaria

50 100 150 200 250 3008.7

8.8

8.9

9.0

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

LPROMEDIO

Dif. Log Precio Accion Diario Bavaria

50 100 150 200 250 300-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

-0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

DLPROMEDIO

70

Tabla 17: FAS Y FAP de la diferencia del precio promedio de la acción de BAVARIA

Autocorrelations Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error

0 25639.495 1.00000 | |********************| 0 1 4681.182 0.18258 | . |**** | 0.057448 2 307.140 0.01198 | . | . | 0.059333 3 420.781 0.01641 | . | . | 0.059341 4 -3059.416 -.11932 | **| . | 0.059356 5 182.652 0.00712 | . | . | 0.060142 6 678.421 0.02646 | . |*. | 0.060145 7 -9.226027 -.00036 | . | . | 0.060183 8 -500.718 -.01953 | . | . | 0.060183 9 1295.518 0.05053 | . |*. | 0.060204 10 452.986 0.01767 | . | . | 0.060344 11 -393.541 -.01535 | . | . | 0.060361 12 -3350.675 -.13068 | ***| . | 0.060374 13 -1287.070 -.05020 | .*| . | 0.061300 14 1052.016 0.04103 | . |*. | 0.061436 15 137.521 0.00536 | . | . | 0.061526 16 951.429 0.03711 | . |*. | 0.061528 17 -241.233 -.00941 | . | . | 0.061602 18 572.020 0.02231 | . | . | 0.061606 19 1500.829 0.05854 | . |*. | 0.061633 20 -195.347 -.00762 | . | . | 0.061816 21 433.408 0.01690 | . | . | 0.061819 22 -2570.451 -.10025 | **| . | 0.061835 23 -122.445 -.00478 | . | . | 0.062369 24 2054.285 0.08012 | . |** | 0.062370

The ARIMA Procedure

Inverse Autocorrelations Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 -0.22203 | ****| . | 2 0.03308 | . |*. | 3 -0.09731 | **| . | 4 0.17039 | . |*** | 5 -0.04978 | .*| . | 6 -0.01882 | . | . | 7 -0.04629 | .*| . | 8 0.10372 | . |** | 9 -0.08264 | **| . | 10 0.03163 | . |*. | 11 -0.05512 | .*| . | 12 0.13377 | . |*** | 13 -0.01211 | . | . | 14 -0.03321 | .*| . | 15 -0.00737 | . | . | 16 0.00506 | . | . | 17 -0.00108 | . | . | 18 0.01498 | . | . | 19 -0.07063 | .*| . | 20 0.04359 | . |*. | 21 -0.06428 | .*| . | 22 0.10371 | . |** | 23 -0.02521 | .*| . | 24 -0.03983 | .*| . |

71

Se realiza la prueba de estacionariedad y debido a que los valores asociados al

estadístico Dickey –Fuller son menores que 0.05, se rechaza la hipótesis nula

de raíz unitaria. La diferencia del precio promedio de la acción de Bavaria

tiene un comportamiento estacionario.


Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 0.18258 | . |**** | 2 -0.02209 | . | . | 3 0.01885 | . | . | 4 -0.12997 | ***| . | 5 0.05626 | . |*. | 6 0.01267 | . | . | 7 -0.00076 | . | . | 8 -0.03869 | .*| . | 9 0.07150 | . |*. | 10 -0.00109 | . | . | 11 -0.01815 | . | . | 12 -0.14539 | ***| . | 13 0.02077 | . | . | 14 0.05072 | . |*. | 15 -0.00956 | . | . | 16 0.00059 | . | . | 17 -0.01286 | . | . | 18 0.05092 | . |*. | 19 0.04275 | . |*. | 20 -0.03715 | .*| . | 21 0.03284 | . |*. | 22 -0.10240 | **| . | 23 0.04731 | . |*. | 24 0.04518 | . |*. |

72


Se escoge entonces, la diferencia como la mejor transformación a la serie y se

realiza el proceso de estimación y pronóstico de la serie.

Para obtener los mejores ordenes de los procesos autorregresivos y de media

móvil para la serie en estudio se recurre a la ayuda de los estadísticos MINIC,

SCAN y ESACF.

Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F Zero Mean 0 -241.154 0.0001 -14.24 <.0001 1 -241.907 0.0001 -10.96 <.0001 2 -217.637 0.0001 -8.88 <.0001 3 -339.045 0.0001 -8.84 <.0001 4 -232.842 0.0001 -7.25 <.0001 5 -196.632 0.0001 -6.44 <.0001 6 -182.987 0.0001 -5.92 <.0001 Single Mean 0 -246.862 0.0001 -14.51 <.0001 105.35 0.0010 1 -256.071 0.0001 -11.26 <.0001 63.38 0.0010 2 -240.915 0.0001 -9.18 <.0001 42.15 0.0010 3 -419.929 0.0001 -9.24 <.0001 42.72 0.0010 4 -301.903 0.0001 -7.65 <.0001 29.23 0.0010 5 -271.112 0.0001 -6.83 <.0001 23.33 0.0010 6 -277.041 0.0001 -6.34 <.0001 20.08 0.0010

Trend 0 -247.908 0.0001 -14.53 <.0001 105.59 0.0010 1 -259.211 0.0001 -11.30 <.0001 63.81 0.0010 2 -246.711 0.0001 -9.23 <.0001 42.60 0.0010 3 -441.794 0.0001 -9.31 <.0001 43.31 0.0010 4 -321.487 0.0001 -7.71 <.0001 29.75 0.0010 5 -296.420 0.0001 -6.92 <.0001 23.91 0.0010

6 -312.691 0.0001 -6.42 <.0001 20.64 0.0010

73

Tabla 19: Tabla SCAN

Tabla 20: Tabla ESACF

Tabla 21: Tabla MINIC

Squared Canonical Correlation Estimates

Lags MA 0 MA 1 MA 2 MA 3 MA 4 MA 5 MA 6

AR 0 0.9923 0.9815 0.9700 0.9578 0.9468 0.9351 0.9225 AR 1 0.0403 0.0011 0.0015 0.0094 0.0008 0.0022 0.0004 AR 2 <.0001 0.0011 0.0019 0.0029 0.0024 0.0007 0.0004 AR 3 0.0011 <.0001 0.0045 0.0003 0.0016 0.0003 <.0001 AR 4 0.0135 0.0044 0.0016 0.0005 0.0010 0.0024 0.0002 AR 5 0.0055 0.0040 0.0032 0.0010 0.0002 0.0013 0.0012 AR 6 0.0008 <.0001 0.0016 0.0042 0.0012 0.0002 0.0011

SCAN Chi-Square[1] Probability Values


AR 0 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 AR 1 0.0004 0.5714 0.5225 0.1041 0.6491 0.4439 0.7379 AR 2 0.8848 0.5622 0.4991 0.4789 0.4316 0.7070 0.7490 AR 3 0.5577 0.9464 0.3090 0.8372 0.5841 0.7938 0.9328 AR 4 0.0434 0.3366 0.6214 0.8013 0.7016 0.4430 0.8212 AR 5 0.2006 0.3258 0.4346 0.7092 0.8432 0.5907 0.6841 AR 6 0.6171 0.9766 0.5000 0.4580 0.5996 0.8743 0.6553

Extended Sample Autocorrelation Function


AR 0 0.9826 0.9629 0.9420 0.9206 0.9007 0.8812 0.8615 AR 1 0.1813 0.0102 0.0147 -0.1223 0.0046 0.0239 -0.0026 AR 2 0.0248 -0.1066 -0.0202 -0.1074 0.0556 0.0239 0.0173 AR 3 0.2168 -0.0281 0.0205 -0.0798 0.0797 -0.0333 0.0048 AR 4 0.2511 0.0159 0.0964 -0.0405 0.0731 0.0210 0.0380 AR 5 0.4361 0.2935 0.1906 -0.2992 -0.0472 0.0388 0.0426 AR 6 -0.3459 -0.0211 0.3109 -0.2752 -0.1254 0.0332 -0.0287

The ARIMA Procedure

ESACF Probability Values


AR 0 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 AR 1 0.0016 0.8630 0.8037 0.0392 0.9397 0.6906 0.9656 AR 2 0.6661 0.1031 0.7699 0.1073 0.3863 0.6974 0.7907 AR 3 0.0002 0.6431 0.8069 0.3460 0.2438 0.6763 0.9391 AR 4 <.0001 0.7979 0.2865 0.6761 0.2949 0.7450 0.5521 AR 5 <.0001 0.0002 0.0371 <.0001 0.4864 0.5586 0.5902 AR 6 <.0001 0.7411 <.0001 <.0001 0.0693 0.6281 0.6607

74

Error series model: AR(2) Minimum Table Value: BIC(3,6) = -15.6245 ARMA(p+d,q) Tentative Order Selection Tests ---------SCAN-------- --------ESACF-------- p+d q BIC p+d q BIC 1 1 10.15016 2 1 10.16803 5 0 10.1877 1 4 10.18831 6 4 . (5% Significance Level)

Los estadísticos SCAN, MINIC Y ESCAF sugieren que los posibles modelos

ARIMA que representan la serie son:

ARIMA (0,1,1)

ARIMA (0,1,2)

ARIMA (0,1,3)

ARIMA (0,1,4)

ARIMA (0,1,5)

ARIMA (0,1,6)

ARIMA (1,1,0)

ARIMA (3,1,6)

ARIMA (4,1,0)

ARIMA (3,2,0)

ARIMA (1,1,1)

Minimum Information Criterion


AR 0 15.03328 14.93195 14.84935 14.76245 14.70209 14.6239 14.55177 AR 1 10.17461 10.15016 10.16808 10.18416 10.18831 10.20063 10.21829 AR 2 10.14925 10.16803 10.18571 10.19005 10.20288 10.20064 10.21829 AR 3 10.16686 10.16686 10.18476 10.19005 10.20288 10.21828 -15.6245 AR 4 10.18345 10.18345 . . . . . AR 5 10.1877 10.1877 . . . . . AR 6 10.2002 10.2002 . . . . .

75

Se prueba la serie para cada uno de estos modelos y a partir de las funciones

de autocorrelación simple y parcial y utilizando el criterio de AIC y SBC se

estima el mejor modelo.

Por ejemplo comparando los resultados de un ARIMA(1,1,1) con un

ARIMA(1,1,0) se escoge este último ya que a pesar de que los parámetros del

proceso de media móvil aparecen como significativos en ambos modelos, los

estadísticos AIC y SBC para el primer modelo son mayores que para el

segundo.

Tabla 22: Estimación ARIMA(1,1,1) precio promedio acción de Bavaria

The ARIMA Procedure

Conditional Least Squares Estimation

Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag

MU 23.87123 9.87287 2.42 0.0162 0 MA1,1 -0.81888 0.10251 -7.99 <.0001 1 AR1,1 -0.66960 0.13194 -5.07 <.0001 1

AIC 3929.922 SBC 3941.063

76

Tabla 23: Estimación ARIMA(1,1,0) precio promedio acción de Bavaria

Tabla 24: Comportamiento de los residuales

Autocorrelation Check of Residuals


6 6.44 5 0.2655 0.004 -0.025 0.038 -0.132 0.025 0.027 12 12.86 11 0.3024 -0.002 -0.030 0.054 0.012 0.005 -0.127 18 14.94 17 0.6001 -0.037 0.052 -0.009 0.040 -0.021 0.015 24 22.24 23 0.5059 0.060 -0.022 0.038 -0.109 -0.001 0.068 30 31.35 29 0.3493 0.067 0.097 -0.013 0.059 -0.057 -0.080 36 36.98 35 0.3775 0.025 0.011 0.066 0.095 0.044 -0.017 42 44.46 41 0.3280 -0.001 -0.101 0.010 0.072 -0.024 0.072 48 51.03 47 0.3183 -0.011 0.003 -0.063 0.051 -0.005 -0.107

Se verifican los supuestos sobre los residuales, con el estadístico Q de Ljung –

Box, tal como aparece en la Tabla 24, debido a que los valores asociados a los

chi-cuadrados son mayores de 0.05, significa que los valores no son

significativamente distintos de cero. Finalmente el modelo queda expresado

de la siguiente manera:

( ) 66.231825.01 −=− tt aZB (53)

Para la predicción de la serie se toma el modelo estimado y se hace un

pronóstico 54 pasos adelante, la serie original de color negro en la gráfica, el

The ARIMA Procedure


Standard Approx

Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag

MU 23.66206 11.09194 2.13 0.0337 0 AR1,1 0.18259 0.05667 3.22 0.0014 1

AIC 3929.626 SBC 3937.053

77

pronóstico en color rojo y los intervalos de confianza en color azul; como se

aprecia en la Figura 9.

Figura 9: Pronóstico ARIMA precio promedio acción Bavaria

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

SSSSS

SS

SS

SSSS

S

SSSS

SSS

SSSSSSS

S

SS

SS

SSSSSS

SSS

S

SSSS

SSSS

S

SSS

SS

SSSSSSSSSS

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

SSSSS

SS

SS

SSSS

S

SSSS

SSS

SSSSSSS

S

SS

SS

SSSSSS

SSS

S

SSSS

SSSS

S

SSS

SS

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

El pronóstico realizado con el modelo ARIMA(1,1,0) muestra que los valores de

la predicción se estabilizan en el valor promedio de la serie, aproximación que

difiere de los valores de la serie original los cuales tienden a decrecer en el

periodo de estudio.

El siguiente paso es la modelación de los residuales de forma GARCH, para lo

cual, lo primero que requiere es ilustrar como se presenta la correlación de los

residuales al cuadrado.

78

Figura 10: Correlación residuales al cuadrado precio promedio acción BAVARIA

0 Differences

0 5 10 15 20 25-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

CORRSPARTIALS

A continuación se procedió a la estimación del modelo de manera simultánea,

esto es, modelando la serie como un ARIMA (1,1,0) y los residuales de una

manera GARCH(1,1).

De forma que se estimó el siguiente modelo

( ) 122

1102

11

−−

−

++==

+=

ttt

ttt

hwawwaEVar

adppabcdppab(54)

79

Tabla 25: Estimación GARCH precio promedio acción Bavaria

La Figura 11 ilustra la variable del precio promedio de la acción de Bavaria,

con una banda superior y otra inferior, calculadas como dos desviaciones

estándar condicionales, de manera que para cada punto se calcula la raíz de su

varianza condicional de acuerdo al modelo GARCH.

Figura 11: Modelación varianza condicional precio promedio acción BAVARIA Two Conditional Standard Deviations Around DBAVARIA

50 100 150 200 250 300 350-0.105

-0.070

-0.035

0.000

0.035

0.070

0.105

0.140UPPERLOWERDLPROMEDIO

Se observa que con la modelación de la varianza condicional de los residuales

de manera GARCH, se capta la volatilidad de la serie, la cual en sus momentos

de mayor dispersión el ancho de la bandas se incrementa. Esto representa que

el modelo ha ganado en capacidad explicativa al poder incluir dentro de su

pronóstico capacidad de predecir volatilidades de manera más concreta que la

modelación ARIMA exclusivamente.

Variable Coeff Std Error T-Stat Signif *********************************************************

1. c1 0.25856 0.07039 3.67316 0.00023 2. w0 0.00004 0.00001 3.74346 0.00018 3. w1 0.22946 0.07667 2.99224 0.00276 4. w2 0.53794 0.09868 5.45089 0.00000

80

La mejoría de la modelación y por tanto del pronóstico se encuentra en poder

predecir las volatilidades, esto es en los periodos donde la variable de interés

presenta volatilidad, este amplía los intervalos para un estimación de un valor

mas aproximado.

Por otro lado, se realiza la estimación con el modelo de red neuronal, el cual

está bajo la perspectiva de una predicción a través de un proceso de ensayo y

error. Se le presenta a la red la serie original con el 85% de los datos y se

realiza un pronóstico para el 15% restante. Se varía el número de neuronas

desde cinco hasta dieciséis neuronas aproximadamente.

Para cada configuración de la red neuronal, se obtuvieron los valores de la

predicción y se realizó una gráfica para compararla con los valores de la serie

original, tal como se aprecia en la Figura 12 los pronósticos realizados por la

red con diez y trece neuronas son las más próximas a la serie original.

Figura 12: Comparación RNA del precio promedio de la acción de BAVARIA

81

COMPARACION RNA PRECIO PROMEDIO ACCION DE BAVARIA

12000

13500

15000

05/0

2/20

03

12/0

2/20

03

19/0

2/20

03

26/0

2/20

03

05/0

3/20

03

12/0

3/20

03

19/0

3/20

03

26/0

3/20

03

02/0

4/20

03

09/0

4/20

03

16/0

4/20

03

23/0

4/20

03

Fecha

Valo

r

SERIE ORIGINAL 5 NEURONAS 10 NEURONAS 13 NEURONAS 14 NEURONAS

A partir de los estadísticos U-THEIL y MSE, se seleccionó el pronóstico que

realizó la mejor predicción para la serie temporal. Dentro del modelo de redes

neuronales, el que presentó la mejor aproximación a la serie fue el que utilizó

10 neuronas en la capa oculta. Los resultados se aprecian en la Tabla 26.

Tabla 26: Estadísticos MSE y U-Theil para el precio promedio de la acción de BAVARIA

BAVARIA RNA

Estadístico 5

NEURONAS

10

NEURONAS

13

NEURONAS

14

NEURONAS

RSE 878.16 150.85 200.88 431.36

U-THEIL 0.0316 0.0056 0.0074 0.015

Figura 13: Comparación errores RNA del precio promedio de la acción de BAVARIA

82

COMPARACION ERRORES RNA PRECIO PROMEDIO ACCION BAVARIA

0

0,1

0,2

0,3

0,4

05/0

2/20

03

12/0

2/20

03

19/0

2/20

03

26/0

2/20

03

05/0

3/20

03

12/0

3/20

03

19/0

3/20

03

26/0

3/20

03

02/0

4/20

03

09/0

4/20

03

16/0

4/20

03

23/0

4/20

03

Fecha

5 NEURONAS 10 NEURONAS 13 NEURONAS 14 NEURONAS

Como se aprecia en la Figura 13, tanto con cinco como con catorce neuronas

en la capa oculta la predicción sobreestima a la serie original. Adicionalmente,

un gran número de neuronas en la capa oculta hace que el proceso

computacional sea mucho más lento y no genera mejores resultados.

Figura 14: Pronóstico RNA precio promedio acción BAVARIA

PRONÓSTICO SERIE PRECIO PROMEDIO ACCIÓN BAVARIA A TRAVÉS DE RNA

6000

8000

10000

12000

14000

16000

21/1

1/2 0

01

21/0

1/2 0

02

21/0

3/20

02

21/0

5/20

02

21/0

7/20

02

21/0

9/20

02

21/ 1

1/20

02

2 1/0

1 /20

0 3

21/ 0

3/2 0

03

Fecha

Valo

r

original diez neuronas

83

Al comparar las predicciones realizadas con la metodología ARIMA y con las

redes neuronales, puede apreciarse que el primero pronostica la serie hacia un

valor constante, mientras que la serie original decae a partir de la fecha del

pronóstico, tal como lo alcanza a predecir la red neuronal.

Se comparan los pronósticos realizados tanto con el modelo ARIMA y el de

redes neuronales a partir de los estadísticos MSE y U-THEIL mostrando los

mejores resultados la red neuronal con 10 neuronas en la capa oculta ya que

los valores asociados a estos estadísticos son más cercanos a cero, lo que

sugiere que este modelo presenta una mejor aproximación a la serie original.

Figura 15: Comparación Pronósticos precio promedio acción Bavaria

Estadísticos Gráfica

PRECIO PROMEDIO BAVARIA

ARIMA RED NEURONAL

MSE 1,551 158

U-THEIL 0.05 0.01

COMPARACION PRONÓSTICO PRECIO PROMEDIO ACCION BAVARIA

10000

12000

14000

16000

F echa

SERIE ORIGINAL RNA 10 NEURONAS ARIM A (1,1,0)

84

Precio promedio de la acción de Argos

Para el precio promedio de la acción de Argos, se cuenta con 354

observaciones diarias que van de lunes a viernes desde el 5 de noviembre de

2.001 hasta el 25 de marzo de 2.003. La serie exhibe un comportamiento

irregular con tendencia positiva, no se identifica un comportamiento estacional

ni de ciclos.

Figura 16: Precio promedio acción Argos

Acción Argos Precio Promedio

50 100 150 200 250 300 3504000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

El precio mínimo que presenta la serie en este periodo de tiempo es de

$4.449,35 y el máximo de $9.508,06, el valor promedio de la serie es de

$7.413

85

Se verifica la estacionariedad de la serie a través del estadístico de Dickey-

Fuller y se encuentra que no se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria, se

escoge la mejor transformación a la serie y se realiza el proceso de estimación

y pronóstico de la serie.

A partir de las funciones de autocorrelación simple y parcial, se estima la serie

como un ARIMA(1,1,0)

Tabla 27: Estimación ARIMA precio promedio acción de Argos

Se verifican los supuestos de que los residuales conjuntamente sean distintos

de cero y presenta un comportamiento autorregresivo de orden uno, AR(1),

finalmente el modelo queda expresado de la siguiente manera:

( ) 263.14196.01 −=− tt aZB (55)

The ARIMA Procedure Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag MU 14.26359 6.77813 2.10 0.0362 0 AR1,1 0.19643 0.05707 3.44 0.0007 1

AIC 3569.113 SBC 3576.514

86

A partir de la estimación y la verificación del modelo ARIMA, se realiza un

pronóstico 54 pasos adelante, en color negro, se presenta la serie original, el

pronóstico en color rojo y los intervalos de confianza en color azul.

La predicción realizada con este modelo muestra una tendencia positiva de la

serie, similar al comportamiento de los datos originales.

Figura 17: Pronóstico ARIMA precio promedio acción Argos

SSSSSSSSSSSSSSSS

SSSSSSSSSSSSSS

S

SSSSSS

S

SS

SSSSSS

S

S

SSSSSSS

SSS

SSSSSSSSSSSSSS

SSSSSSSSSSS

SS

SSSS

SSS

SSSSSSS

S

SSSSSSSSSSSSSS

S

SSSSSSS

S

SSSSSSSSS

SSSSSS

S

SS

SSSSSS

S

S

SSSSSSS

SSS

SSSSSSSSSSS

SSSSSSSSSSSSS

S

SS

SSSS

SSS

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

Luego se modelan los residuales de la forma GARCH, se presenta la función de

los residuales al cuadrado.

87

Figura 18: Correlación residuales al cuadrado precio promedio acción Argos

0 Differences

0 5 10 15 20 25-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

CORRSPARTIALS

A continuación se procedió a la estimación del modelo de manera simultánea,

esto es, modelando la serie como un ARIMA (1,1,0) y los residuales de una

manera GARCH(1,0).


( ) 2110

2

11

−

−

+==

+=

tt

ttt

awwaEVar

adppaacdppaa (56)

88

Tabla 28: Estimación GARCH precio promedio acción Argos

En la Figura 19 se ilustra la variable precio promedio de la acción de Argos,

con una banda superior y otra inferior, calculadas como dos desviaciones

estándar condicionales, de manera que para cada punto se calcula la raíz de su

varianza condicional de acuerdo al modelo GARCH.

Figura 19: Modelación varianza condicional precio promedio acción Argos

Two Conditional Standard Deviations Around DARGOS

50 100 150 200 250 300 350-0.100

-0.075

-0.050

-0.025

-0.000

0.025

0.050

0.075

0.100UPPERLOWERDLARGOS

Al igual que con la serie del precio promedio de la acción de Bavaria, con la

modelación de la varianza condicional de los residuales de manera GARCH se

capta la volatilidad de la serie, la cual en sus momentos de mayor dispersión el

Variable Coeff Std Error T-Stat Signif ***********************************************************

1. c1 0.72540 9.29313e-05 7805.71256 0.0000 2. w0 0.00107 0.09253 2105.49082 0.0000 3. w1 4.70447e-04 1.73726e-07 2707.98348 0.0000

89

ancho de la bandas se incrementa. Esto representa que el modelo ha ganado

en capacidad explicativa al poder incluir dentro de su pronóstico capacidad de

predecir volatilidades de manera más concreta que la modelación ARIMA

exclusivamente.

El pronóstico con redes neuronales permite apreciar que con pocas neuronas

en la capa oculta, la aproximación genera una sobreestimación de la serie, por

otro lado, un gran número de neuronas en la capa oculta hace que el proceso

computacional sea mucho más lento y no genera mejores resultados, también

presenta problemas de sobreestimación. Se varía el número de neuronas en la

capa oculta de cinco a diecisiete y la mejor aproximación se presenta en la

Figura 20.

Figura 20: Pronóstico RNA precio promedio acción Argos

PRONÓSTICO SERIE PRECIO PROMEDIO ACCIÓN ARGOS A TRAVÉS DE RNA

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

01/1

1/20

01

01/1

2/20

01

01/0

1/20

02

01/0

2/20

0201

/03/

2002

01/0

4/20

02

01/0

5/20

02

01/0

6/20

02

01/0

7/20

02

01/0

8/20

02

01/0

9/20

02

01/1

0/20

02

01/1

1/20

02

01/1

2/20

02

01/0

1/20

03

01/0

2/20

0301

/03/

2003

01/0

4/20

03

Fecha

Valo

r

serie original catorce neuronas

90

Dentro del modelo de redes neuronales, el que presentó la mejor aproximación

a la serie original fue el que utilizó 14 neuronas en la capa oculta.

A pesar de que el modelo ARIMA pronostica la serie con tendencia positiva,

existe un mejor acercamiento entre la serie original y la serie pronosticada por

la red neuronal. Se realiza la comparación entre los pronósticos generados por

los modelos ARIMA y Redes Neuronales, se encuentra que la mejor

aproximación la ofrece la RNA con 14 neuronas en la capa oculta, pues

presenta los menores valores de MSE y U-THEIL.

Figura 21: Comparación Pronósticos precio promedio acción Argos


PRECIO PROMEDIO ARGOS

ARIMA RED NEURONAL

MSE 630 80

U-THEIL 0.032 0.004

C OM P A R A C ION P R ON ÓST IC O P R EC IO P R OM ED IO A C C IÓN A R GOS

7000

8000

9000

10000

F echa

SERIE ORIGINAL RNA 14 NEURONAS ARIM A (1,1,0)

91

Precio promedio acción de Valbavaria

Para la serie en estudio del precio promedio de la acción de Valbavaria, los

datos son diarios y van de lunes a viernes desde el 1 de noviembre de 2.001

hasta el 2 de mayo de 2.003, en total se cuenta con 360 observaciones.

Figura 22: Precio promedio acción de Valbavaria

Acción Valbavaria Precio Promedio

50 100 150 200 250 300 35050

100

150

200

250

300

350

400

La serie del precio promedio de Valbavaria presenta un comportamiento con

tendencia negativa durante el periodo de estudio. No se identifica

comportamiento estacional en la serie ni se identifican ciclos en la misma. El

precio mínimo que presenta la serie en este periodo de tiempo es de $ 96,31 y

el máximo de $385,42, el valor promedio de la serie es de $183,89.

92





La serie se estima como un proceso autorregresivo que depende del primer,

sexto y décimo periodo sin tener en cuenta la constante.

Tabla 29: Estimación ARIMA precio promedio acción de Valbavaria

El modelo queda expresado de la siguiente manera

( ) tt aZBBB =++− 106 191.0125.022.01 (57)

The ARIMA Procedure

Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag AR1,1 0.22344 0.05460 4.09 <.0001 1 AR1,2 -0.12538 0.05459 -2.30 0.0223 6 AR1,3 -0.19131 0.05457 -3.51 0.0005 10 AIC 2213.954 SBC 2225.115

93

Con el modelo estimado, se realiza un pronóstico de 55 datos hacia delante, en

color negro se presenta la serie original, en color rojo el pronóstico y en azul se

presentan los intervalos de confianza. Como puede observarse en la Figura

22, el pronóstico a través de este modelo presenta una caída al principio de la

predicción y luego se estabiliza en un valor medio.

Figura 23: Pronóstico ARIMA precio promedio acción Valbavaria

SSSSSSSSSSSSSSSSSS

S

S

S

S

S

S

S

SSS

SSS

SSS

SSS

SSSS

S

SSS

SSSSSSS

SSSSS

SS

SSS

SSSS

SS

SSSSSS

SSSSSSS

SSSS

SSSS

SSS

SSSSSSSSSSSSSS

SSSSSSSS

SSSSSSSSSSS

S

S

S

S

S

SS

SSS

S

SSSS

SSSS

SSSS

S

SSS

S

SSS

SSSSS

SSS

SS

SSS

SSSS

SS

S

SSSSS

SSSS

SSSSSSS

SSSS

SSS

SSSSSSSSSSSSS

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

Se realiza un correlograma de los residuales al cuadrado, y se verifica que se

puede modelar con un modelo GARCH.

94

Figura 24: Correlación residuales al cuadrado precio promedio acción Valbavaria

0 Differences

0 5 10 15 20 25-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

CORRSPARTIALS

Se procede a la estimación del modelo de manera simultánea, esto es,

modelando la serie como un ARIMA ( 0,1,10,6,1 ) y los residuales de una

manera GARCH(1,0).


( ) 2110

2

11

−

−

+==

+=

tt

ttt

awwaEVar

adppavcdppav (58)

95

Tabla 30: Estimación GARCH precio promedio acción Valbavaria

Variable Coeff Std Error T-Stat Signif ********************************************************** 1. c1 0.30926 4.421e-06 69938.7 0.0000 2. w0 0.02437 1.060e-06 22980.4 0.0000 3. w1 2.86617e-05 1.338e-09 21413.4 0.0000

En la Figura 24 se ilustra la variable precio promedio de la acción de

Valbavaria, con una banda superior y otra inferior, calculadas como dos

desviaciones estándar condicionales, de manera que para cada punto se

calcula la raíz de su varianza condicional de acuerdo al modelo GARCH.

Figura 25: Modelación varianza condicional precio promedio acción Valbavaria

Two Conditional Standard Deviations Around DVALBAVARIA

50 100 150 200 250 300 350-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.0

0.1

0.2

0.3

0.4UPPERLOWERDLVALBAVARIA

Al igual que con las series anteriores, se observa que con la modelación de la

varianza condicional de los residuales de manera GARCH, se capta la

volatilidad de la serie. Esto representa que el modelo ha ganado en capacidad

explicativa al poder incluir dentro de su pronóstico capacidad de predecir

96

volatilidades de manera más concreta que la modelación ARIMA

exclusivamente.

Con el modelo de Redes neuronales, se realizan varias corridas con distintos

números de neuronas en la capa oculta.

Figura 26: Pronóstico RNA precio promedio acción Valbavaria

PRONÓSTICO SERIE PRECIO PROMEDIO ACCIÓN VALBAVARIA A TRAVÉS DE RNA

0

100

200

300

400

500

F echa

serie original quince neuronas

Los resultados muestran que la red neuronal con 15 neuronas en la capa

oculta, proporciona los menores valores para los estadísticos MSE y U-THEIL,

proporcionando una mejor aproximación a la serie que el modelo ARIMA.

97

Figura 27: Comparación Pronósticos precio promedio acción Valbavaria

Estadísticos Gráficas

PRECIO PROMEDIO

VALBAVARIA

ARIMA RED NEURONAL

MSE 22.267 2.249

U-THEIL 0.07 0.01

COMPARACIÓN PRONÓSTICO PRECIO PROMEDIO ACCION VALBAVARIA

50

100

150

200

F echa

SERIE ORIGINAL RNA 15 ARIM A

Índice General Bolsa de Colombia

El índice de la Bolsa nacional mide de manera agregada la variación de los

precios de las acciones más representativas del mercado. El objetivo principal

es representar las variaciones del conjunto de acciones más transadas de una

manera fiel, de tal forma que cumpla el requisito de replicabilidad, es decir que

a partir del mismo se pueda conformar un portafolio con las acciones del

índice, base fundamental para la construcción de productos derivados.

[www.bvc.com.co]

La serie en estudio del IGBC, va desde julio 3 de 2.001 hasta el 3 de diciembre

de 2.003 en total se cuenta con 280 datos diarios de lunes a viernes. En

general, presenta un comportamiento ascendente hasta comienzos del año

98

2.003, luego presenta un decaimiento entre los meses de febrero y marzo y

finalmente vuelve a tomar una tendencia creciente hasta principios de

diciembre. No se detectan ciclos ni estaciones dentro de la serie.

Figura 28: Índice general Bolsa de Colombia

Indice General Bolsa de Colombia

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 2751280

1440

1600

1760

1920

2080

2240

2400

El valor mínimo que presenta la serie en este periodo de tiempo es de

1.292,55 y el máximo de 2.254, el valor promedio de la serie es de 1.8423,63.



99



Se estima el modelo como un proceso autorregresivo de orden uno y tres.

Tabla 31: Estimación ARIMA del IGBC

El modelo finalmente queda expresado de la siguiente manera:

( ) 511.3169.041.01 3 −=−+ tt aZBB (59)

A partir de la estimación del modelo ARIMA se sigue a la predicción para 42

datos hacia delante, en color negro se presenta la serie original, en color rojo

la predicción y en azul se presentan los intervalos de confianza. Se observa

que la predicción realizada con el modelo ARIMA tiene tendencia positiva tal

como lo muestra la serie original.

The ARIMA Procedure Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag MU 14.26359 6.77813 2.10 0.0362 0 AR1,1 0.19643 0.05707 3.44 0.0007 1

AIC 3569.113 SBC 3576.514

100

Figura 29: Pronóstico ARIMA del IGBC

S

S

S

SSS

S

S

SSS

SSSSSSS

SSS

SSSSSS

S

S

SS

SS

S

SSS

SSS

SS

SS

SSS

SSS

SSSSSSS

SSSSSSSSSSSS

SSSSSS

SSSSSS

SS

SSSSS

SS

S

S

SS

S

S

S

SSS

S

SSSS

SS

SSS

SSSSSS

SS

SS

SS

S

S

S

S

S

S

SS

SSS

SS

SSS

SS

SSSSSS

SSSSSSSSSSS

SS

SSSSS

SSSSS

SSS

SSSS

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

Se realiza el correlograma de los residuales al cuadrado y se encuentra que las

correlaciones son significativamente distintas de cero.

Se procede a la estimación del modelo de manera simultánea, esto es,

modelando la serie como un ARIMA ( 0,1,3,1 ) y los residuales de una manera

GARCH(1,0).


( ) 122

1102

11

−−

−

++==

+=

ttt

ttt

hwawwaEVar

adigbccdigbc (60)

101

Figura 30: Correlación residuales al cuadrado IGBC

0 Differences

0 5 10 15 20 25-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

CORRSPARTIALS

Tabla 32: Estimación GARCH del IGBC

Variable Coeff Std Error T-Stat Signif *********************************************** 1. c1 0.42471 0.06479 6.55447 0.0000 2. w0 0.36251 0.00000 2.88854 0.0038 3. w1 0.29416 0.07164 4.10592 0.0000 4. w2 0.61162 0.06297 9.71179 0.0000

En la Figura 31 se ilustra la variable precio promedio de la acción de

Valbavaria, con una banda superior y otra inferior, calculadas como dos

desviaciones estándar condicionales, de manera que para cada punto se

calcula la raíz de su varianza condicional de acuerdo al modelo GARCH.

102

Figura 31: Modelación varianza condicional IGBC

Two Conditional Standard Deviations Around DIGBC

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06UPPERLOWERDLICBG

Se observa que con la modelación de la varianza condicional de los residuales

de manera GARCH, se capta la volatilidad de la serie, la cual en sus momentos

de mayor dispersión el ancho de la bandas se incrementa. Esto representa que

el modelo ha ganado en capacidad explicativa al poder incluir dentro de su

pronóstico capacidad de predecir volatilidades de manera mas concreta que la

modelación ARIMA exclusivamente.

El modelo de Red neuronal, con pocas neuronas en la capa oculta sobreestima

la serie, por otro lado, un gran número de neuronas en la capa oculta hace que

el proceso computacional sea mucho más lento y no genera mejores

resultados, también presenta problemas de sobreestimación. Dentro del

modelo de redes neuronales, el que presentó la mejor aproximación a la serie

original fue el que utilizó 10 neuronas en la capa oculta.

103

Figura 32: Pronóstico RNA del IGBC

PRONÓSTICO SERIE IGBC A TRAVÉS DE RNA

1200,00

1500,00

1800,00

2100,00

2400,00

29/1

0/20

02

29/1

2/20

02

28/0

2/20

03

29/0

4/20

03

29/0

6/20

03

29/0

8/20

03

29/1

0/20

03

Fecha

Valo

r

serie original diez neuronas

Los resultados muestran que la red neuronal con 10 neuronas en la capa

oculta, proporciona los menores valores para los estadísticos MSE y U-THEIL,

proporcionando una mejor aproximación a la serie.

Figura 33: Comparación Pronósticos del IGBC


IGBC

ARIMA

RED

NEURONAL

MSE 29 14

U-THEIL 0.007 0.003

COMPARACIÓN PRONÓSTICO IGBC

2000

2100

2200

2300

F echa


104

2.2 SERIES ESTACIONALES Y/O DE PRODUCCIÓN

Aceite de crudo de palma africana

La palma de aceite es una planta tropical propia de climas cálidos que crece en

tierras por debajo de los 500 metros sobre el nivel del mar. Su origen se ubica

en el golfo de Guinea en el África occidental. De ahí su nombre científico, Elaeis

guineensis Jacq., y su denominación popular: palma africana de aceite.

[www.fedepalma.org]

La expansión del cultivo en Colombia ha mantenido un crecimiento sostenido.

A mediados de la década de 1960 existían 18.000 hectáreas en producción y

hoy existen más de 150.000 hectáreas en 54 municipios del país distribuidos

en cuatro zonas productivas:

• Norte - Magdalena, norte del Cesar, Atlántico, Guajira

• Central - Santander, Norte de Santander, sur del Cesar, Bolívar

• Oriental - Meta, Cundinamarca, Casanare, Caquetá

• Occidental - Nariño

Colombia es el primer productor de palma de aceite en América Latina y el

cuarto en el mundo. [www.fedepalma.org]

La serie en estudio del tiempo de la producción de aceite de crudo de la palma

africana cuya fuente es FEDEPALMA, cuenta con 154 datos mensuales que

comienzan desde enero de 1.990 y finaliza para en el mes de octubre de

2.002. Esta serie muestra un comportamiento irregular, mostrando tendencia

105

positiva. Parece presentar comportamiento estacional, ya que se identifican

los valores más bajos cada diciembre, a pesar de que entre el año de 1.998 y

el 2.000 la variabilidad de la serie se reduce, esta vuelve a retomar su

comportamiento a partir del año 2.001.

Figura 34: Producción aceite de palma

Producción aceite de palma

20 40 60 80 100 120 14010000

20000

30000

40000

50000

60000

El valor mínimo de la producción de palma africana es fue de 12.336 toneladas

y el máximo nivel de producción durante el periodo alcanzó las 56.694

toneladas. El valor promedio de producción fue de 33.276,47 toneladas.



106



A pesar de que se trata de realizar una estimación con un modelo estacional,

este presenta valores significativos. Se realiza entonces la estimación a la serie

tal como se presenta en la Tabla 33, a continuación se presentan los

resultados:

Tabla 33: Estimación ARIMA producción aceite de palma africana

Finalmente el modelo queda expresado de la siguiente manera:

( ) ( ) tt aBZBBB 12754 5652.01178.02331.0363.01 +=+−− (61)

The ARIMA Procedure

The ARIMA Procedure


Standard Approx

Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag

MA1,1 -0.56589 0.08668 -6.53 <.0001 12 AR1,1 -0.36378 0.08144 -4.47 <.0001 4 AR1,2 -0.23319 0.08205 -2.84 0.0052 5 AR1,3 -0.17835 0.08488 -2.10 0.0376 7

AIC 2448.346 SBC 2459 785

107

Se realiza la predicción con 24 datos hacia delante, en color negro se muestra

la serie original, en color rojo el pronóstico y en color azul los intervalos de

confianza. El pronóstico con este modelo muestra un valor constante, no toma

en cuenta los picos que presenta la serie.

Se realiza además el correlograma de los residuales al cuadrado y se

encuentra que las correlaciones no son significativamente distintas de cero,

esto mismo ocurre para todas las series de producción e irregulares.

Figura 35: Pronóstico ARIMA de producción de palma africana

S

S S

S

S

S

SS

S

S

S

S

S S SS

SS

SS

S

S

S

S

SS S S

S

S

S S S

SS

SS

S

S

S

S

S

S

S S S

S S

S

S

S

SS

S

S

S

S SS S

S

S SS

SS

SS S S S

S SS S

S S S S S S S S S

Bajo la perspectiva de ensayo y error, se realiza la predicción a través de redes

neuronales. Se le presenta a la red la serie original con el 85% de los datos y

108

se realiza un pronóstico para el 15% restante. Se varía el número de

neuronas desde cinco hasta dieciséis neuronas aproximadamente.

Para este tipo de serie fue necesario reducir la escala para presentar la serie a

la RNA. Con pocas neuronas en la capa oculta, la aproximación genera una

sobreestimación de la serie, por otro lado, un gran número de neuronas en la

capa oculta hace que el proceso computacional sea mucho más lento y no

genera mejores resultados, también presenta problemas de sobreestimación.

Dentro del modelo de redes neuronales, el que presentó la mejor

aproximación a la serie original fue el que utilizó 10 neuronas en la capa

oculta.

Tal como se evidencia en las Figuras 36 y 37, la red neuronal capta los picos

de la serie original, mientras que el modelo ARIMA lleva la serie a un valor

medio, lo que se refleja en los valores de los estadísticos MSE y U-THEIL.

109

Figura 36: Pronóstico RNA de producción de palma africana

PRONÓSTICO SERIE ACEITE DE PALMA A TRAVÉS DE RNA

0,000

20,000

40,000

60,000

Dic

-90

Dic

-91

Dic

-92

Dic

-93

Dic

-94

Dic

-95

Dic

-96

Dic

-97

Dic

-98

Dic

-99

Dic

-00

Dic

-01

Fecha

Prod

ucci

ón (T

m)


Figura 37: Comparación Pronósticos de producción de palma africana


PRODUCCION PALMA

ARIMA RED NEURONAL

MSE 4,279 3,479

U-THEIL 0.07 0.05

COMPARACION PRONÓSTICO PALMA AFRICANA

20000

35000

50000

65000

F echa


|

110

Cacao En Grano ($/Toneladas)

El cacao se produce, en mayor o menor escala, en casi todas las regiones

(departamentos) del país. Sin embargo, como en la mayoría de los cultivos,

existe una cierta concentración o regionalización de la producción.

[www.agrocadenas.gov.co].

Para el año 2001 hubo una superficie total cosechada de cacao de 93.048

hectáreas, con un rendimiento promedio de 0,47 toneladas por hectárea. Esta

superficie representó el 4,06% del total correspondiente a cultivos

permanentes, y el 2,37% del total de la superficie de cultivos en Colombia.

El departamento que tradicionalmente ha concentrado la mayor producción de

cacao es Santander con el 49,29% de participación en el total. Le siguen en

importancia con sensiblemente menor participación: Norte de Santander,

Tolima, Huila, Arauca, Antioquia, Cesar, Nariño, Cundinamarca y Risaralda los

cuales en conjunto representan el 44,7% del total. Estos diez departamentos

representan en total el 93.98%, lo cual indica una alta concentración de la

producción en ellos.

La gráfica de cacao en grano ($/toneladas) es una serie mensual que comienza

en diciembre de 1.980 y finaliza en diciembre de 2.002, cuenta en total con

279 datos, los cuales fueron obtenidos de la página web

www.agrocadenas.gov.co. La serie presenta de forma general una tendencia

111

creciente durante su trayectoria a excepción de diciembre de 1.998 y el 2.000

donde tiende a estabilizarse, luego de esta fecha vuelve a tener una

pronunciada tendencia positiva.

Figura 38: Producción cacao en grano ($/toneladas)

Cacao en grano ($/ton)

50 100 150 200 2500

800000

1600000

2400000

3200000

4000000

4800000

5600000

El valor mínimo y máximo de la serie son 95.000 y 5.254.375 $/toneladas

respectivamente. Se verifica la estacionariedad de la serie a través del

estadístico de Dickey-Fuller y se encuentra que no se rechaza la hipótesis nula

de raíz unitaria, se escoge la mejor transformación a la serie y se realiza el

proceso de estimación y pronóstico de la serie.

112

Tabla 34: Estimación ARIMA Producción cacao en grano ($/toneladas)

Los valores asociados al proceso autorregresivo son significativos, y por tanto

el modelo queda explícito de la siguiente manera:

( ) tZBB 62703.0194.01 ++ (62)

Los pronósticos para esta serie a partir del modelo estimado se presentan a

continuación, como se observa en la Figura 39, la predicción muestra una

tendencia positiva tal como lo reflejaba la serie original. Se realiza la predicción

para 41 datos hacia delante, los valores actuales se presentan en negro, los

pronósticos en rojo y en azul los intervalos de confianza.

The ARIMA Procedure Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag MU 8.90412 3.22443 2.76 0.0062 0 MA1,1 -0.19416 0.06247 -3.11 0.0021 1 MA1,2 -0.27038 0.06223 -4.34 <.0001 6 AR1,1 0.17088 0.06552 2.61 0.0097 2 AIC 2251.61 SBC 2265.466

113

Figura 39: Pronóstico ARIMA de Producción cacao en grano ($/toneladas)

SS S S S S S

SS S S S S

S

S

SS S S

SS S S S S S S S S S S

S S S S S S

SS

S S S S S S

SS S S S

S

S

S

SS S

SS

SS S S S S S

S S S SS S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S

Para la estimación de redes neuronales, se le presenta a la red la serie original

con el 85% de los datos y se realiza un pronóstico para el 15% restante,

además se realiza una reducción de escala para que pueda ser trabajada con la

RNA. Se varía el número de neuronas desde cinco hasta dieciséis neuronas

aproximadamente.

Con pocas neuronas en la capa oculta, la aproximación genera una

sobreestimación de la serie, por otro lado, un gran número de neuronas en la

capa oculta hace que el proceso computacional sea mucho más lento y no

genera mejores resultados, también presenta problemas de sobreestimación.

Dentro del modelo de redes neuronales, el que presentó la mejor

114

aproximación a la serie original fue el que utilizó 10 neuronas en la capa

oculta.

Figura 40: Pronóstico RNA de Producción cacao en grano ($/toneladas)

PRONÓSTICO SERIE CACAO A TRAVÉS DE RNA

0

1500

3000

4500

Dic

-80

Dic

-82

Dic

-84

Dic

-86

Dic

-88

Dic

-90

Dic

-92

Dic

-94

Dic

-96

Dic

-98

Dic

-00

Dic

-02

Fecha

Valo

r

serie original siete neuronas

En la Figura 41 se presenta la comparación de los pronósticos de la red

neuronal y el modelo ARIMA, se encuentra que la red con 7 neuronas en la

capa oculta muestra la mejor aproximación de la serie, pues a pesar que el

modelo ARIMA muestra una tendencia positiva, el pronóstico con la red

neuronal logra acercarse más a la serie original.

115

Figura 41: Comparación Pronósticos de producción cacao($/tonelada)


PRODUCCION CACAO

ARIMA RED NEURONAL

MSE 948 118

U-THEIL 0.18 0.02

COMPARACIÓN PRONÓSTICO PRODUCCION CACAO ($/Tonelada)

0

2000

4000

6000

F echa


Precio promedio horarios de energía mercado mayorista ($/kwh)

Esta serie de 245 datos comienza desde el 2 de octubre de 2.002 hasta el 3 de

septiembre del año 2.003. Los datos fueron tomados de la página

www.mem.com.co, estos se registran cada hora y presentan un claro

comportamiento estacional, sus picos más altos se encuentran en la hora 20

(H20) y los más bajos en la hora 4 (H4). [www.mem.com.co].

116

Figura 42: Precio promedio horarios compra de energía

Precios promedio horarios compra de energia

50 100 150 20060

80

100

120

140

160

180

200

Los valores mínimo y máximo de la serie son 68,89 y 182,07 $/Kwh

respectivamente.





117

Tabla 35: Estimación ARIMA precio promedio horarios compra de energía

Los valores asociados a los promedios móviles y a los procesos autorregresivos

aparecen como significativos, además, con un 01.0=α no se rechaza la

hipótesis nula de que los residuales son iguales a cero. Así, el mejor modelo

ARIMA para esta serie queda expresado de la siguiente manera:

( ) ( ) tt aBBZBBB 122412 6621.02117.014400.0446.0116.01 −+=−+− (63)

Se realiza el pronóstico para 36 datos hacia adelante, en la Figura 43 se

presentan los valores actuales (en negro) y los pronósticos (en rojo) para la

variable del caso. Para el caso de esta serie estacional, el modelo ARIMA

parece mostrar una buena aproximación a la serie original, presentando ciclos

estacionales tal como se comporta la serie original.

The ARIMA Procedure


Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag

MA1,1 -0.21178 0.06144 -3.45 0.0007 1 MA1,2 0.66216 0.10104 6.55 <.0001 12 AR1,1 0.11672 0.04047 2.88 0.0043 1 AR1,2 -0.44605 0.12708 -3.51 0.0005 12 AR1,3 0.44008 0.12055 3.65 0.0003 24 AIC 1361.151 SBC 1378.385

118

Figura 43: Pronóstico ARIMA precio promedio horarios compra de energía

SSSS

S

SSS

SSS

SSSSS

S

S

S

S

S

S

S

SSSS

S

S

SSSS

SSSSSSS

S

S

S

S

S

S

S

SSSS

S

S

SS

SSSS

SSSSS

S

S

S

S

S

S

SSSSS

S

S

SS

SS

SSS

SSSSS

S

S

S

S

S

S

SSSS

SSSSS

S

SS

SSS

SS

SSSSS

S

S

S

S

S

S

SSSSS

S

SSS

SSS

SSSSS

S

S

S

S

S

S

S

S

SSSS

SSS

SSSS

SSSSS

S

S

SS

S

S

S

SS

SSS

S

SSSS

SSS

SSSS

S

S

SS

S

S

S

SSSS

S

S

SSSS

SSS

SSSSS

S

SS

S

S

S

SSSS

S

S

SSSSS

SSSSSS

S

S

SS

S

S

El trabajo con redes neuronales, está bajo la perspectiva de ensayo y error.

Se le presenta a la red la serie original con el 85% de los datos y se realiza un

pronóstico para el 15% restante. Se varía el número de neuronas desde cinco

hasta dieciséis neuronas aproximadamente. Con pocas neuronas en la capa

oculta, la aproximación genera una sobreestimación de la serie, por otro lado,



presenta problemas de sobreestimación

La red neuronal presenta dificultades para adaptarse al comportamiento

estacional de la serie, por ejemplo con cinco neuronas en la capa oculta,

119

presenta una sobreestimación de los valores para los picos altos, de igual

forma subestima la caída los precios promedios horarios de compra.

Figura 44: Pronóstico RNA 5 neuronas precio promedio horarios compra de energía

PRONÓSTICO SERIE PRECIOS PROMEDIO HORARIOS COMPRA DE ENERGIA A TRAVÉS DE RNA

0

50

100

150

200

250

300

H 0

1

H 2

0

H 1

5

H 1

0

H 0

5

H 2

4

H 1

9

H 1

4

H 0

9

H 0

4

H 2

3

H 1

8

H 1

3

H 0

8

H 0

3

Hora

Prec

io p

rom

edio

serie original cinco neuronas

La mejor aproximación se encuentra con la red neuronal que posee diez

neuronas en la capa oculta.

120

Figura 45: Pronóstico RNA 10 neuronas precio promedio horarios compra de energía

PRONÓSTICO SERIE PRECIOS PROMEDIO HORARIO COMPRA DE ENERGIA A TRAVÉS DE RNA

0

50

100

150

200

250

H 0

1

H 2

0

H 1

5

H 1

0

H 0

5

H 2

4

H 1

9

H 1

4

H 0

9

H 0

4

H 2

3

H 1

8

H 1

3

H 0

8

H 0

3

Hora

Prec

io p

rom

edio


Se realiza una comparación entre el pronóstico realizado con el modelo ARIMA

y las redes neuronales y los dos modelos muestran una buena aproximación

con respecto a la serie original.

Figura 46: Comparación Pronósticos precio promedio horarios compra de energía


PRECIO PROMEDIO ENERGIA

ARIMA RED NEURONAL

MSE 14 12

U-THEIL 0.06 0.05

COMPARACIÓN PRONÓSTICO PRECIO ENERGIA

0

50

100

150

200

Fecha


121

3.3 SERIES IRREGULARES

Ventas Cerveza Águila 300 cc

La gráfica de venta de cerveza Aguila de 300 cc es una serie diaria que

comienza el 29 de enero de 2.003 y finaliza el 31 diciembre de 2.003, cuenta

en total con 300 datos.

Figura 47: Ventas Cerveza Águila 300 cc

Ventas cerveza Aguila 300 cc

25 50 75 100 125 150 175 200 225 2500

25000

50000

75000

100000

125000

150000

175000

Presenta un comportamiento irregular. No se evidencia un comportamiento

estacional o cíclico de la serie. El mínimo valor de la venta de cerveza Aguila

300 cc es de 1.994 cajas y el valor máximo de 167.808 cajas. El valor

promedio de cajas vendidas de esta marca es de 72.350 cajas durante un día.

122

Tabla 36: Estimación ARIMA Ventas Cerveza Águila 300 cc

El modelo queda expresado de la siguiente manera.

( ) 7.71498214.0391.01 6 −=−− tt aZBB (64)

En la Figura 48 se muestra como el pronóstico realizado con el modelo ARIMA

en un principio toma el comportamiento irregular de la serie, pero luego se

estabiliza en un valor medio. En negro se encuentra el valor de la serie

original, en rojo el pronóstico de la serie y en azul se presentan los intervalos

de confianza.

The ARIMA Procedure

Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag MU 71498.7 3814.1 18.75 <.0001 0 AR1,1 0.39187 0.05644 6.94 <.0001 1 AR1,2 0.21429 0.05677 3.78 0.0002 6 AIC 5881.862 SBC 5892.486

123

Figura 48: Pronóstico ARIMA venta cerveza Aguila 300 cc

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

SSS

S

S

S

S

S

S

S

SS

S

S

S

S

S

S

S

S

SS

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

SS

S

SS

S

S

S

S

S

S

S

SS

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

SS

S

S

SS

SS

S

S

SS

S

SS

S

S

S

S

SS

S

S

S

S

SS

S

S

SS

SS

S

S

S

S

SS

S

S

SS

S

SS

S

SS

SS

S

S

S

S

SS

S

S

SS

S

S

SS

S

S

S

S

S

S

S

SS

S

SS

S

S

S

S

SSS

S

SS

S

SS

S

SS

S

SS

S

SSS

SSS

SSS

SSS

SSS

SSS

SSS

El trabajo con redes neuronales, está bajo la perspectiva de ensayo y error.

Se le presenta a la red la serie original con el 85% de los datos y se realiza un

pronóstico para el 15% restante. Se varía el número de neuronas desde cinco

hasta dieciséis neuronas aproximadamente. Con pocas neuronas en la capa

oculta, la aproximación genera una sobreestimación de la serie, por otro lado,



presenta problemas de sobreestimación. Dentro del modelo de redes

neuronales, el que presentó la mejor aproximación a la serie original fue el

que utilizó 7 neuronas en la capa oculta.

124

Figura 49: Pronóstico RNA Ventas Cerveza Águila 300 cc

PRONÓSTICO SERIE VENTAS AGUILA 300cc A TRAVÉS DE RNA

0

50000

100000

150000

200000

29/0

1/20

03

28/0

2/20

03

30/0

3/20

03

29/0

4/20

03

29/0

5/20

03

28/0

6/20

03

28/0

7/20

03

27/0

8/20

03

26/0

9/20

03

26/1

0/20

03

25/1

1/20

03

25/1

2/20

03

Fecha

Valo

r


A pesar de que el pronóstico ARIMA toma un valor medio para la serie, según

los estadísticos MSE y U-THEIL, presenta una mejor aproximación a la serie

que la red neuronal con 7 neuronas en la capa oculta.

Figura 50: Comparación Pronósticos Ventas Cerveza Águila 300 cc


VENTA AGUILA 300 cc

ARIMA RED NEURONAL

MSE 31,236 38,463

U-THEIL 0.20 0.28

COMPARACION PRONÓSTICO VENTA AGUILA 300 cc

0

75000

150000

225000

F echa


125

Ventas Cerveza Poker 300 cc

La gráfica de venta de cerveza Poker de 300 cc es una serie diaria que

comienza el 29 de enero de 2.003 y finaliza el 31 diciembre de 2.003, cuenta

en total con 300 datos. Presenta un comportamiento irregular. No se

detectan picos ni comportamiento estacional.

Figura 51: Ventas Cerveza Poker 300 cc

Serie venta cerveza Poker 300 cc

50 100 150 200 250 3000

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

El mínimo valor de la venta de cerveza Poker 300 cc es de 533 cajas y el valor

máximo de 81.547 cajas. El valor promedio de cajas vendidas de esta marca

es de 28.044 cajas durante un día.

126

Tabla 37: Estimación ARIMA Ventas Cerveza Poker 300 cc

Después de realizar la estimación del modelo ARIMA y verificar los supuestos,

se encuentra que el mejor modelo que se aproxima a la serie original es el que

está dado por :

( ) ( ) 4.23136224.0182.0438.01105.0733.01 6212 −+−−=−− tt aBBBZBB (65)

En la figura 52 se presenta el pronóstico para esta serie, al principio de la

predicción toma valores de picos altos y bajos de la serie, sin embargo, luego

se estabiliza en un valor medio. En negro se presentan los valores originales

de la serie, en rojo el pronóstico y en azul los intervalos de confianza.

The ARIMA Procedure Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag MU 23136.4 2767.5 8.36 <.0001 0 MA1,1 0.43805 0.12880 3.40 0.0008 1 MA1,2 0.18290 0.06875 2.66 0.0083 2 MA1,3 -0.22497 0.05993 -3.75 0.0002 6 AR1,1 0.73322 0.12055 6.08 <.0001 1 AR1,2 0.10544 0.05774 1.83 0.0690 12 AIC 5541.963 SBC 5563.21

127

Figura 52: Pronóstico ARIMA Ventas Cerveza Poker 300 cc

S

S

S

SS

SS

S

S

S

S

S

S

S

S

SS

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

SS

S

SS

S

S

SS

S

SS

S

S

S

S

S

SS

S

SS

S

S

SSS

S

S

S

SS

S

S

S

SSSS

S

S

S

S

S

SSS

S

S S

S

S

S

S

S

S

SS

SS

S

SS

S

SSS

SS

S

S

S

SS

SS

SS

SSS SSSS SSS SSSS SSS SSSS SSSS SSS SSSS SSS SSSS

Se le presentó al modelo de red neuronal la serie original y se realizó el

pronóstico variando el número de neuronas en la capa oculta, se pasó desde

cinco hasta diecisiete neuronas y se encontró que la mejor aproximación la

ofrecía la red con 16 neuronas en la capa oculta. A pesar de que la predicción

toma una forma irregular no representa fielmente la serie original.

128

Figura 53: Pronóstico RNA Ventas Cerveza Poker 300 cc

PRONÓSTICO SERIE VENTA POKER 300 cc A TRAVÉS DE RNA

0

25000

50000

75000

100000

27/0

1/20

03

27/0

2/20

03

27/0

3/20

03

27/0

4/20

03

27/0

5/20

03

27/0

6/20

03

27/0

7/20

03

27/0

8/20

03

27/0

9/20

03

27/1

0/20

03

27/1

1/20

03

27/1

2/20

03

Fecha

Valo

r

serie original dieciseis neuronas

Se realiza la comparación entre el pronóstico realizado por el modelo ARIMA y

la red neuronal y la mejor aproximación la genera la red con 16 neuronas en

la capa oculta, lo que se refleja en los estadísticos MSE y U-THEIL.

Figura 54: Comparación Pronósticos Ventas Cerveza Poker 300 cc

Estadístico Gráfica

VENTA POKER 300 cc

ARIMA RED NEURONAL

MSE 27,648 18,818

U-THEIL 0.39 0.21

COMPARACIÓN PRONÓSTICO VENTA CERVEZA POKER 300 cc

0

40000

80000

120000

F echa


129

Ventas Cerveza Club Colombia

La gráfica de venta de cerveza Club Colombia en lata de 10 onzas es una serie

diaria que comienza el 29 de enero de 2.003 y finaliza el 31 diciembre de

2.003, cuenta en total con 300 datos. Presenta un comportamiento irregular.

No se detectan un comportamiento estacional.

El valor máximo de cajas vendidas de cerveza Club Colombia 10 onzas es de

14.391. El valor promedio de cajas vendidas de esta marca es de 1.981 cajas

durante un día. Se realiza la estimación a través del modelo ARIMA, los

resultados se presentan en la Tabla 38.

Figura 55: Ventas Cerveza Club Colombia 10 oz

Serie venta Club Colombia lata 10 onzas

50 100 150 200 250 3000

2500

5000

7500

10000

12500

15000

130

Tabla 38: Estimación ARIMA Ventas Cerveza Club Colombia 10 oz

El modelo queda expresado de la siguiente manera:

( ) ( ) tt aBZB 33 744.01891.01 +=+ (66)

A partir de la estimación del modelo, se realiza el pronóstico de la serie. En

negro se presenta la serie original, en rojo el pronóstico y en azul los intervalos

de confianza. La predicción de la serie toma picos altos y bajos que tienden a

estabilizarse a través del tiempo.

The ARIMA Procedure

Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag MU 1827.7 143.93029 12.70 <.0001 0 MA1,1 -0.74442 0.10545 -7.06 <.0001 3 AR1,1 -0.89107 0.07447 -11.97 <.0001 3 AIC 4714.913 SBC 4725.537

131

Figura 56: Pronóstico ARIMA Ventas Cerveza Club Colombia 10

SSSSS

S

SS S

S

S

S

S SSSS

S

SS

SS

S

SS

S

S SSSS

S

S

SS

S

S

S SS

S

S

S SSS SS

S

S

S S

S

S

S

SS

S

SS

S

SS

S

S S

S

S S

S

S S

S

S S

S

SS

S

SS

S

SS

S

SS

SS

S

SS

S

SS S

SSS

S

S S

SS S

SS

S

SS

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

SS

S

SS

S

SS

S

SS

S

SS

S

SS

S

SS

SS

SS

SSSSS

Por otro lado, la red neuronal que mejor se aproximó a la serie real está

compuesta por 14 neuronas en la capa oculta.

Figura 57: Pronóstico RNA Ventas Cerveza Club Colombia 10 oz

PRONÓSTICO SERIE CLUB COLOMBIA Lata 20 oz A TRAVÉS DE RNA

0

3000

6000

9000

12000

15000

18000

08/0

1/20

03

08/0

2/20

03

08/0

3/20

03

08/0

4/20

03

08/0

5/20

03

08/0

6/20

03

08/0

7/20

03

08/0

8/20

03

08/0

9/20

03

08/1

0/20

03

08/1

1/20

03

08/1

2/20

03

Fecha

Valo

r

serie original catorce neuronas

132

La serie de tiempo que más se aproxima a la serie original es la que pronosticó

el modelo ARIMA, lo que se evidencia con los estadísticos MSE y U-THEIL.

Figura 58: Comparación Pronósticos Ventas Cerveza Club Colombia 10 oz


VENTA CLUB COLOMBIA 10 oz

ARIMA RED NEURONAL

MSE 2,743 2,585

U-THEIL 0.48 0.42

C OM P A R A C IÓN P R ON ÓST IC O VEN T A C ER VEZ A C LUB C OLOM B IA 10 oz

0

4000

8000

12000

12/1

1/03

26/1

1/03

10/1

2/03

24/1

2/03

F echa


Ventas Pony Malta 350 cc

La gráfica de venta de Pony Malta de 350 cc es una serie diaria que comienza

el 29 de enero de 2.003 y finaliza el 31 diciembre de 2.003, cuenta en total

con 300 datos. Presenta un comportamiento irregular. No se detectan

presencia de comportamiento estacional.

133

Figura 59: Ventas Pony Malta 350 cc

Ventas Pony Malta 350 cc

50 100 150 200 250 3000

10000

20000

30000

40000

50000

El valor mínimo de cajas vendidas de Pony Malta es de 92 y el máximo de

45.804.

Tabla 39: Estimación ARIMA Ventas Pony Malta 350 cc

The ARIMA Procedure

Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag MA1,1 0.95951 0.02034 47.17 <.0001 1 AR1,1 0.20374 0.06481 3.14 0.0019 1 AR1,2 -0.18756 0.06520 -2.88 0.0044 2 AR1,3 0.17061 0.06424 2.66 0.0084 6 AIC 5059.901 SBC 5073.89

134

Se realiza la estimación de la serie y se verifican los supuestos, el modelo final

queda expresado de la siguiente manera:

( ) ( ) tt aBZBBB 959.01170.0187.0203.01 62 −=−+− (67)

El pronóstico se realiza para 45 datos hacia delante en donde toma un valor

cercano a la media. En la Figura 60 se aprecia la serie original de color negro,

el pronóstico en color rojo y los intervalos de confianza en color azul.

Figura 60: Pronóstico ARIMA Ventas Pony Malta 350cc

S

S

S

S

S

S

S

S

SS

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

SS

S

S

S S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

SS

S

S

S

S

S SS

S

S

S

S

S

S

S S S

SS

S

S S

S

S

SS

S

S

S S

S

S S S S

S

SS

S

SS

S

S

S

S

S

S S

S S

SS

SS S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S

Se le presentó la serie a la red neuronal y se fue variando el número de

neuronas en la capa oculta hasta encontrar el que ofreciera la mejor

135

aproximación a la serie original, el que mejor se comportó fue el que tiene 7

neuronas en la capa oculta.

Figura 61: Pronóstico RNA Ventas Pony Malta 350 cc

PRONÓSTICO VENTA PONY MALTA

0

10000

20000

30000

40000

50000

23/0

1/20

03

23/0

2/20

03

23/0

3/20

03

23/0

4/20

03

23/0

5/20

03

23/0

6/20

03

23/0

7/20

03

23/0

8/20

03

23/0

9/20

03

23/1

0/20

03

23/1

1/20

03

23/1

2/20

03

Fecha

Valo

r


Se realiza la comparación entre la serie original y los dos modelos y de acuerdo

a los estadísticos MSE y U-THEIL, la predicción que más se aproxima es la

generada con la red neuronal con 7 neuronas en la capa oculta.

136

Figura 62: Comparación Pronósticos Ventas Pony Malta 350 cc

Estadístico Gráfica

VENTA PONY MALTA 350 cc

ARIMA RED NEURONAL

MSE 7,988 6,662

U-THEIL 0.35 0.27

C OM P A R A C IÓN P R ON ÓST IC O VEN T A P ON Y M A LT A 350cc

0

15000

30000

45000

F echa


En la Tabla 40 se presenta un resumen de los resultados obtenidos con estas

técnicas, como puede apreciarse, los modelos ARIMA solo reflejan una mejor

aproximación a la serie Club Colombia. Adicionalmente, presenta una buena

aproximación para la serie estacional de Precio promedio horarios de energía

mercado mayorista ($/Kwh).

En el análisis de los pronósticos se encontró que las series irregulares fueron

las más difíciles de predecir a través de los modelos de redes neuronales, pues

a pesar de que en el caso de la venta de Cerveza Poker y Pony Malta reflejaron

una mejor aproximación que los modelos ARIMA, en este tipo de series

presentaron los mayores valores para los estadísticos MSE y U-THEIL.

137

Tabla 40: Comparación pronósticos modelos ARIMA y de Redes Neuronales

PRECIO PROMEDIO

BAVARIA PRECIO PROMEDIO ARGOS PRECIO PROMEDIO VALBAVARIA

ARIMA RED

NEURONAL ARIMA RED

NEURONAL ARIMA RED NEURONAL

MSE 1,551 158 630 80 22 2

U-THEIL 0.05 0.01 0.03 0.00 0.07 0.01 IGBC PRODUCCION PALMA PRODUCCION CACAO

ARIMA RED

NEURONAL ARIMA RED


MSE 29 14 4,279 3,479 948 118

U-THEIL 0.01 0.00 0.07 0.05 0.18 0.02

| PRECIO PROMEDIO

ENERGIA VENTA AGUILA 300 cc VENTA POKER 300 cc

ARIMA RED

NEURONAL ARIMA RED


MSE 14 12 31,236 38,463 27,648 18,818

U-THEIL 0.06 0.05 0.20 0.28 0.39 0.21

VENTA CLUB

COLOMBIA 10 oz VENTA PONY MALTA 350 cc

ARIMA RED

NEURONAL ARIMA RED

NEURONAL MSE 2,743 2,585 7,988 6,662 U-THEIL 0.48 0.42 0.35 0.27

138

3. CONCLUSIONES

A través del proyecto de grado se han estudiado las metodologías ARIMA y de

Redes Neuronales para distintos tipos de series: irregulares, estacionales y/o

de producción y con varianza no constante, estas últimas además se analizaron

bajo el modelo GARCH. Con el fin de comparar la predicción que más se

acercara a la serie original, se presentaron los mejores pronósticos bajo cada

una de esas técnicas y se realizaron las comparaciones a través de los

estadísticos MSE y U-THEIL.

Para todas las series de estudio, se utilizaron más de 100 datos con el fin de

realizar pronósticos satisfactorios ya que menos datos distorsionaban la

información y no eran confiables las predicciones realizadas con ellos. En

todos los casos, se tomó el 85% de los datos y se realizó el pronóstico para el

15% restante. A diferencia de los modelos ARIMA para los cuales la serie de

tiempo se presentaba con los valores originales, estos tuvieron que ser

transformados de escala para ser procesados por la red neuronal.

Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Series con varianza no constante:

Para el precio promedio de la acción de Bavaria el modelo seleccionado

fue el ARIMA (1,1,0) pues presentaba los menores valores AIC y SBC. El

pronóstico con este modelo mostró una predicción constante con el valor

139

promedio de la serie. Sin embargo, la serie real a partir de la fecha en

que se inicia la predicción presentó un cambio de tendencia que no fue

capturado por el modelo ARIMA. El análisis con el modelo GARCH (1,1)

presenta una mejor capacidad explicativa de la serie.

La RNA con 10 neuronas en la capa oculta presenta un mejor ajuste al

comportamiento de la serie original, lo que se refleja en los resultados

obtenidos con los estadísticos MSE y U-Theil. No obstante, se llega a

este resultado a través de un aprendizaje de ensayo y error para la

predicción de la serie y no garantiza que para otra serie financiera con

comportamientos semejantes esta misma configuración de la red

presente los mejores resultados.

Con la serie del precio promedio de la acción de Argos se presenta una

tendencia positiva en su comportamiento durante el periodo de estudio,

la cual recoge la predicción realizada con el modelo ARIMA (1,1,0). Se

modela el comportamiento de la varianza a través de un modelo

GARCH(1,0). La red neuronal con 14 neuronas en la capa oculta

presenta la mejor aproximación de la serie original; los estadísticos MSE

y U-Theil muestran que el pronóstico obtenido con la RNA presenta los

menores valores y por ende una mejor predicción de la serie.

La serie del precio promedio de la acción de Valbavaria muestra una

tendencia negativa durante el periodo de estudio. Se realiza un

140

pronóstico a través del modelo ( ) tt aZBBB =++− 106 191.0125.022.01 y el

comportamiento de la varianza a través de un modelo GARCH (1,0). El

valor de la predicción por este modelo es el promedio de la serie.

Se emplean 15 neuronas en la capa oculta de la red neuronal y se

obtiene el pronóstico de la serie, el cual se ajusta de mejor manera a la

serie original. Se calculan los estadísticos MSE y U-Theil presentando

los menores valores los asociados a la red neuronal.

La serie ICBG presenta una tendencia positiva en su comportamiento, el

modelo ARIMA obtenido es el que estima la serie a través de un proceso

autorregresivo de orden uno y tres y un modelo GARCH (1,0).

La configuración de la RNA para esta serie es la que contiene 10

neuronas en la capa oculta. Se calculan los estadísticos MSE y U-Theil y

a pesar de que el modelo ARIMA captura la tendencia positiva de la

serie, la red neuronal presenta una mejor aproximación al presentar los

menores valores para los estadísticos anteriormente mencionados.

En síntesis, para las series financieras, las predicciones a través de las redes

neuronales muestran una mejor aproximación frente a los valores de la serie

original. Esta aproximación sin embargo, surge de evaluar cada una de las

series con diferentes números de neuronas en la capa oculta hasta llegar al

que presenta el valor más cercano a cero de los estadísticos MSE y U-Theil. La

141

configuración de una red neuronal para una serie específica no necesariamente

presenta los mismos resultados para otra serie financiera con características

semejantes.

Para realizar el pronóstico de la serie se tuvo que realizar en algunos casos una

reducción de escala para que la RNA pudiera entender los datos y de esta

forma realizar el pronóstico correspondiente.

Series estacionales y/o de producción:

Dentro de las series estacionales y/o de producción se encontraba la

producción de parla africana. El modelo que presentó los menores

valores AIC y SBC fue el estimado a través de un ARIMA

( ) ( ) tt aBZBBB 12754 5652.01178.02331.0363.01 +=+−− . El pronóstico del

modelo muestra un comportamiento que captura el comportamiento de

picos que presenta la serie.

La red neuronal que presenta la mejor aproximación de la serie es la

compuesta con 10 neuronas en la capa oculta. Los valores asociados a

los estadísticos MSE y U-Theil son los más próximos a ceros para la

predicción asociada con esta red neuronal.

La serie temporal de cacao en grano ($/toneladas) presenta un

comportamiento con tendencia positiva. El modelo ARIMA

142

( ) tZBB 62703.0194.01 ++ respeta ese comportamiento, sin embargo, con

una pendiente menor a la que mostraron los datos originales.

La red neuronal que se conformó para la predicción de la serie contiene

7 neuronas en la capa oculta y presenta una mejor aproximación a los

valores de la serie original, lo que se evidencia en el cálculos de los

estadísticos MSE y U-Theil.

La serie del precio promedio horarios de energía mercado mayorista

($/Kwh), es la serie que presenta un comportamiento estacional más

evidente. El modelo ARIMA expresado por

( ) ( ) tt aBBZBBB 122412 6621.02117.014400.0446.0116.01 −+=−+− , presenta un

pronóstico que se ajusta bastante bien a los valores de la serie original.

La red neuronal que pronostica esta serie aunque presenta una

aproximación muy cercana a los valores originales cuando se configura

con 10 neuronas en la capa oculta, presenta problemas de sobre y

subestimación con un menor número de neuronas a las anteriormente

mencionadas. A pesar de que los menores valores de los estadísticos

MSE y U-Theil son menores para la RNA no dista mucho de la predicción

obtenida con los modelos ARIMA.

En resumen, para el tipo de series estacionales y/o de producción las

redes neuronales presentaron un mejor modelo de aproximación al

143

presentar los valores más cercanos a cero de los estadísticos MSE y U-

Theil. Sin embargo, la modelación a través de los modelos ARIMA no

solo permite predecir la serie sino que logra establecer el momento en el

tiempo en que son significativos los procesos autorregresivos o de

promedios móviles como en el caso de la serie del precio promedio de

energía, circunstancia que no ocurre con el pronóstico realizado a partir

de las redes neuronales.

Series irregulares:

La serie temporal de venta de cerveza Águila 300 cc, muestra un

comportamiento irregular, la predicción a través del modelo

( ) 7.71498214.0391.01 6 −=−− tt aZBB recoge el comportamiento de picos

altos y bajos de la serie, pero luego tiende a disminuir su impacto. A

pesar de que el pronóstico ARIMA toma un valor medio para la serie,

según los estadísticos MSE y U-THEIL, presenta una mejor aproximación

a la serie que la red neuronal con 7 neuronas en la capa oculta.

Para la serie de venta de cerveza Poker 300 cc, los menores valores de

los estadísticos AIC y SBC es el que presenta el modelo ARIMA

( ) ( ) 4.23136224.0182.0438.01105.0733.01 6212 −+−−=−− tt aBBBZBB . Su

pronóstico tiende a captar al principio el comportamiento irregular de la

serie pero luego se estabiliza en el valor medio de la misma. La

configuración de la RNA con 16 neuronas en la capa oculta muestra los

menores valores de los estadísticos MSE y U-Theil.

144

La serie temporal de venta de cerveza Club Colombia 10 onzas, muestra

que se mueve en un rango bastante alto. El modelo ARIMA

( ) ( ) tt aBZB 33 744.01891.01 +=+ refleja su comportamiento irregular de

picos altos seguidos de picos bajos que se van estabilizando a lo largo

del periodo.

La red neuronal que presentó los mejores resultados es la que está

configurada con 14 neuronas en la capa oculta. A pesar de no alcanzar

a capturar todo el rango del mismo.

La serie de ventas de Pony Malta 350 CC, es modelada a través de la

metodología ARIMA como un

( ) ( ) tt aBZBBB 959.01170.0187.0203.01 62 −=−+− , este modelo intenta

ajustar al principio los valores siguiendo el comportamiento irregular de

la serie; luego se estabiliza en su valor medio. La red neuronal con 7

neuronas en la capa oculta presenta la predicción que más se ajusta a

los valores de la serie original tal como lo presentan los valores de los

estadísticos MSE y U-Theil.

En conclusión, para el tipo de series irregulares 3 de 4 presentan mejores

resultados a través de la modelación a través de redes neuronales. No

obstante, la predicción de este tipo de series tanto para los modelos ARIMA

como RNA son los que presentan un menor ajuste con respecto a los valores

145

de la serie original; esto se evidencia a través del cálculo de los valores de los

estadísticos MSE y U-Theil en los que se presentan los valores más altos de la

predicción.

Además, la configuración de la red para la predicción de series irregulares en 2

de 4 casos, tuvieron valores de 14 y 16 neuronas en la capa oculta. Como se

mostró a lo largo del análisis, en elevado número de neuronas en la red

demora el proceso computacional y no garantiza mejores resultados de

predicción.

Dentro del análisis de predicción se encontró que las ventajas en la

metodología ARIMA se refiere básicamente a que permite identificar

comportamientos cíclicos de tendencia o estacionales de los datos, lo que

proporciona una visión general de la serie temporal en estudio; además,

establece intervalos de confianza alrededor del pronóstico que realiza. Sus

desventajas se refieren a que necesita el supuesto de estacionariedad y

supone varianza constante dentro de la misma.

El hecho que la modelación ARIMA suponga una varianza constante en series

como las financieras, las cuales se destacan por presentar volatilidades,

implica que el modelo no dispone intrínsecamente de un mecanismo que recoja

esta variabilidad en su especificación. El incluir en los análisis los modelos

ARCH y GARCH permite complementar el modelo ARIMA para este tipo de

series.

146

Las ventajas relacionadas con la RNA hacen referencia a que no necesita un

comportamiento específico de las series, tal como que esta sea estacionaria o

lineal. Su desventaja radica en la necesidad de probar constantemente la red

bajo un proceso de ensayo y error. En forma general, para la red utilizada el

empleo de más de 16 neuronas en la capa oculta demora el proceso

computacional y no ofrece mejores resultados en los pronósticos realizados,

adicionalmente, no proporciona intervalos de confianza ni identifica un

comportamiento estacional de la serie.

En la mayoría de los casos, las redes neuronales proporcionaron mejores

resultados que los modelos ARIMA; en 10 de 11 casos mostraron mejores

resultados. No obstante, para las series irregulares la precisión del pronóstico

por parte de la RNA presentaron los mayores valores de los estadísticos MSE y

U-THEIL.

En términos de tiempo, tanto la predicción de las series a través de la

metodología ARIMA como de RNA requieren de constancia para realizar el

mejor ajuste a los valores originales de la misma. Así mismo, se comprobó

que se requiere de cierto tipo de intuición para el pronóstico de la series no

estacionarias y más que ser antagonistas estas dos metodologías pueden

complementarse a la hora de realizar predicciones.

147

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