Antologia de Investigacion de Operaciones

Investigación de operaciones

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3. ¿Quién desarrolló el método símplex?

a) Thomas Edison.b) Jorge Dantzig.c) B. Pascal.d) Von Neuman.

4. ¿Qué importancia tuvieron las computadoras en el desarrollo de la I. O.?

a) Poder imprimir las soluciones.b) Presentar en pantalla el resultado.c) Realizar cientos de operaciones por segundo.d) Mandar los resultados por Internet.

5. ¿Quiénes conforman la actividad gerencial de una empresa?

a) Grupos interdisciplinarios.b) Los ingenieros.c) Las administradores.d) Los dueños.

1.2. La investigación de operaciones como método para la toma de decisiones

Actualmente las empresas tienen que resolver dos tipos de problemas básicos:

• Problemas administrativos. Se toman decisiones sobre las políticas a seguir, es decir, decisiones que afectan a la empresa a largo plazo. Por ejemplo, ¿conviene a la empresa cambiar su sistema de administración? ¿Qué beneficios obtiene la empresa si cambia su estrategia de mercadotecnia? Para analizar este tipo de problemas existe la administración de operaciones. Esta disciplina es la encargada de analizar la toma de decisiones desde el punto de vista administrativo.

Unidad 1

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• Problemas operacionales. Se toman decisiones que afectan a la empresa a corto plazo y tienen mayor impacto en su parte operativa. Éste es el tipo de problemas que tienen que resolver los ingenieros. Por ejemplo, ¿cuál método de producción maximiza las ganancias?, ¿cómo disminuir el tiempo de producción?, ¿cuál es la producción óptima de esta semana?, ¿cuánta materia prima solicitar para un periodo determinado?

Generalmente estas decisiones son complejas y representan una gran cantidad de dinero, por lo que el ingeniero debe contar con una herramienta que le permita cuantificar las relaciones existentes entre las distintas variables del problema.

La I. O. proporciona esta herramienta para la toma de decisiones, ya que podemos construir modelos matemáticos que nos indiquen la mejor alternativa desde un punto de vista cuantitativo.

En resumen, la toma de decisiones por parte del ingeniero: es un proceso donde el ingeniero que enfrenta un problema, busca, entre una variedad de caminos posibles, el mejor, teniendo siempre presente maximizar los recursos de la empresa.

Los miembros de la gerencia enfrentan todos los días problemas de asignación de recursos, mismos que surgen a partir de que:

• Las empresas cuentan con recursos limitados.Ejemplo. En una fábrica de muebles, una de sus materias primas es la madera, un recurso limitado y del cual depende la producción.

• Existen varias formas de fabricar un producto.Ejemplo. Una empresa tiene una máquina para soldar componentes eléctricos en un circuito, sin embargo, esta operación la pueden hacer los trabajadores. El problema es determinar cuál de las dos opciones de producción resulta más económica.

• Surgen nuevas tecnologías que permiten modificar el método de producción.

Ejemplo. Un hospital cuenta con una máquina para revelar radiografías capaz de revelar hasta 25 radiografías por hora. Al


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hospital llega la propaganda sobre una nueva máquina reveladora, la cual tiene la capacidad de revelar hasta 45 radiografías por hora. Debemos decidir si conviene al hospital adquirir la nueva máquina.

• Los gobiernos dictan leyes ecológicas más restrictivas.Ejemplo. La termoeléctrica Valle de México utilizaba petróleo para sus calderas, pero debido a los altos índices de contaminación del valle de México, se le prohibió utilizar este combustible. Por lo cual se buscó entre otros combustibles la mejor opción.

• Entra al mercado un nuevo producto competidor directo del nuestro.

Ejemplo. Una compañía telefónica no se había preocupado por mejorar sus líneas de transmisión debido a que no tenía competencia; sin embargo, al llegar ésta tuvo que buscar la manera de tener una mejor calidad de transmisión sin elevar costos.

Entre muchas otras.

Ante todo la gerencia de una empresa debe saber decidir cuál es la mejor alternativa de solución de los problemas que se presentan. Para hacerlo, necesita definir el problema tomando en cuenta todos los factores que intervienen en él, reconociendo las restricciones y evaluando cada una de las alternativas para encontrar aquella que optimice sus recursos.

Ejemplo 1

Verten de México desea aumentar recursos de sistemas computacionales para el departamento de contabilidad. En la actualidad cuenta con ocho computadoras PC Pentium a 233 Mhz, con 64 MB en RAM y discos duros de 1.2 GB. El ingeniero en sistemas debe tomar una decisión sobre cuál de las siguientes opciones es la que más conviene:

a) Aumentar la memoria de 64 a 128 MB, colocar discos duros de 9.7 GB, cambiar de microprocesador a uno con velocidad de 600 Mhz.

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b) Comprar 8 máquinas nuevas Pentium III, con 128 MB en RAM, discos duros de 16 GB y con una velocidad de 1 200 Mhz.

c) Comprar un servidor y conectar las computadoras en red.

Para hacerlo debe evaluar las tres opciones, tomando en cuenta el objetivo que se persigue: aumentar recursos de computo del departamento. Lo que se debe evaluar es el costo-beneficio que representa cada alternativa presentada. Con esto el ingeniero debe ser capaz de construir un modelo matemático que le permita cuantificar cada una de las opciones para poder elegir la mejor de ellas.

Ejemplo 2

Una fábrica de medicamentos produce dos tipos de pastillas, un analgésico y un antihistamínico. La fábrica opera 48 horas a la semana y emplea a ocho trabajadores de tiempo completo y cuatro de tiempo parcial que generan 300 horas de trabajo en el área de producción. Después del proceso de producción, las medicinas tienen que ser empaquetadas, en este departamento trabajan seis personas de tiempo completo y dos de tiempo parcial que en total producen 250 horas.

Para fabricar 1 000 pastillas del tipo analgésico se requieren tres horas de fuerza de trabajo en el departamento de producción y una en empaquetado; para producir 1 000 pastillas del tipo antihistamínico se requieren dos horas de fuerza de trabajo en el departamento de producción y 1.5 horas en empaquetado.

No se tienen problemas con la materia prima y se pueden vender hasta 10 000 pastillas de analgésicos y 12 000 de antihistamínicos. Se sabe que cada uno de los analgésicos deja una ganancia de $ 0.23 por pastilla, mientras que los antihistamínicos $ 0.13. ¿Cuál es la combinación de pastillas que optimiza la ganancia de la empresa?


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Ejercicio 2

1. Relaciona las siguientes columnas.

a) Resuelve problemas ( ) Administración de operaciones.de tipo operacional.

b) Toma de decisiones. ( ) La I. O.

c) Resuelve problemas ( ) El ingeniero.de tipo administrativo.

d) Optimiza los recursos ( ) La principal tarea de la gerencia. limitados de la empresa.

e) Tomar en cuenta todos los factores que intervienen ( ) Para resolver un problema, la gerencia en un problema. debe...

2. Describe el proceso de toma de decisiones del ingeniero.__________________________________________________________________________________________________________________________________________.

1.3. Definiciones de la investigación de operaciones

A continuación presentamos algunas de las definiciones clásicas de la I. O., según el área de aplicación.

La definición dada por Morse y Kimball, autores de un libro de I. O., es la siguiente:

“La investigación de operaciones es un método científico para dar a los departamentos ejecutivos una base cuantitativa para las decisiones relacionadas con las operaciones que están bajo su control.” *

Thierauf y Grosse nos dan la siguiente definición: *Morse, P.M. y G.E. Kimball, Methods of Operations Research, Nueva York: John Wiley & Sons.

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“La I. O. utiliza el enfoque planeado (método científico) y un grupo interdisciplinario a fin de representar las complicadas relaciones funcionales de un sistema para suministrar una base cuantitativa para la toma de decisiones y descubrir nuevos problemas para su análisis cuantitativo.” *

Estas definiciones reflejan la idea que se tenía de la I. O. en sus orígenes.

Posteriormente, la I. O. se aplicó en campos tan diversos como la economía, la psicología o la medicina. En matemáticas es un área de investigación que ha dado resultados en el campo del análisis numérico.

Para tener un panorama general de las aplicaciones que tiene hoy en día la I. O., presentamos tres definiciones contemporáneas, la primera, tomada de un libro con un enfoque matemático, la segunda, de un libro con enfoque administrativo y la última con un enfoque de ingeniería:

“La I. O. es la herramienta que nos permite optimizar un problema complejo de decisión o ubicación.” **

Esta definición sólo contempla la I. O. como una herramienta matemática que permite resolver problemas matemáticos (obtener los máximos y mínimos de una función sujeta o no a restricciones).

“La I. O. es la ciencia de la administración; los administradores utilizan las matemáticas y las computadoras para tomar decisiones racionales en la solución de problemas.” ***

Esta definición sólo considera que la I. O. se utiliza para resolver problemas de administración de recursos y limita su uso sólo para los administradores.

“La I. O. es el conjunto de técnicas matemáticas y computacionales que utiliza el ingeniero para tomar decisiones, basadas en análisis cuantitativos, para la solución de problemas del tipo operacional.”

* Thierauf, R. J. y R.A. Grosse, Toma de decisiones por medio de investigación de operaciones, Limusa, México.** Luenberger, David E., Programación lineal y no lineal, Addisson-Wesley.** Mathur, K. y D. Solow, Investigación de operaciones, Prentice- Hall.


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Esta última definición deja claro el uso de la I. O. en ingeniería además de incluir las dos ciencias en la que se apoya esta disciplina.

La I. O. se auxilia de algunas otras áreas de las matemáticas, como: álgebra, álgebra lineal, geometría analítica y teoría de grafos. La aportación más importante es del álgebra lineal, la cual proporciona la sustentación teórica sobre si el problema tiene solución única, una infinidad de soluciones o ninguna solución. Por otro lado la computación es una herramienta electrónica capaz de efectuar millones de operaciones por segundo, minimizando los errores de cálculo cometidos por el ser humano, lo que hace posible que se tengan soluciones reales en tiempos razonables, ya que de otra manera nos tardaríamos meses en resolver un problema de I. O. que tuviera más de 10 variables.

Al unir computación y matemáticas desarrollamos algoritmos que permiten resolver problemas de toma de decisiones operacionales de una manera rápida y confiable. Actualmente existen varios paquetes computacionales que nos permiten resolver problemas de:

• Asignación de recursos.• Redes de distribución.• Programación lineal.• Programación no lineal.• Inventarios.• Líneas de espera.• Redes.

Algunos paquetes son: LINDO™, TORA™, STORM™, QSB™.

1.4. Metodología de la investigación de operaciones

La metodología de la I. O. está basada en el método científico, que plantea como primer paso la observación de un fenómeno real que necesitamos estudiar. En la I. O. se tiene un problema de tipo operativo para resolver en el cual se identifican las variables, además de los datos que intervienen en el mismo.

Unidad 1

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Como propuesta de hipótesis se plantea el modelo matemático que identifica y define el problema, el especialista debe proponer soluciones y predecir sus consecuencias. Finalmente se deben verificar mediante experimentación las hipótesis planteadas.

En la I. O. utilizamos técnicas matemáticas para obtener una mejor solución. Se verifica si puede ser aplicada ya sea por las limitaciones que la teoría propone, o bien, por que la solución matemática no se pueda aplicar por ir en contra de las políticas de la empresa.

Si tomamos como referencia el método científico, la metodología de la I. O. consiste de los siguientes pasos:

1. Formulación del modelo matemático.2. Solución del modelo matemático.3. Aplicación del modelo como solución del problema original.

1.4.1. Formulación del modelo matemático

Se pretende que el ingeniero identifique, comprenda y describa de una manera clara y cuantitativa el problema operativo que enfrenta la empresa, para que de esta manera pueda construir un modelo matemático.

Para hacer lo anterior debemos dividir las variables del problema en dos tipos:

• Variables controlables. Son variables que se pueden controlar o medir y es necesario determinar su valor para resolver el problema operativo.

• Variables no controlables. Son variables que no se pueden controlar ni medir, debido a que su comportamiento es del tipo aleatorio o porque no está en nuestras manos modificarlas. Estas variables no se incluyen en los modelos matemáticos de la I. O.


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Ejemplos de variables controlables son:

1. En la aseguradora nos pueden decir que el monto máximo de la prima aseguradora es de $ 120 000.00 y que no podemos asegurar a más de 200 000 personas.

2. Nos informan que como mínimo debemos producir 1 000 000 de tornillos al día, de los cuales sólo 0.01% pueden ser defectuosos.

3. El costo por energía eléctrica es de $ 1.00 el kilowatt hora y nuestras máquinas consumen 2 watts por hora.

Necesitamos definir las variables controlables y los datos que son importantes en el proceso, para que con esta información podamos construir un modelo matemático que represente las relaciones entre las variables y los datos.

Ejemplo 3

La empresa Patito produce dos tipos de detergente, uno para ropa blanca y otro para ropa de color. El detergente de ropa blanca deja una ganancia de $ 2.00 por litro vendido, mientras que el de ropa de color deja una ganancia de $ 3.00. La empresa sólo puede producir 10 litros del de color y 15 del de ropa blanca al día. Los vendedores pueden vender como máximo 15 litros de detergente al día sin importar de cuál se trate. ¿Cuál es la combinación que maximiza las ganancias de la empresa?

Primero hay que identificar las variables.

Variables controlables.

Sea x la cantidad en litros producida del detergente para ropa blanca. Sea y la cantidad en litros producida del detergente para ropa de color.

Ahora escribimos los datos:

La ganancia por litro vendido del detergente para ropa blanca $ 2.00.La ganancia por litro vendido del detergente para ropa de color $ 3.00.

Unidad 1

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La cantidad total de litros que puede producir la empresa es 10 litros de ropa de color y 15 de ropa blanca.

La cantidad de litros de detergente que se pueden vender al día son 15 litros.

Las relaciones entre las variables y los datos son:

Queremos cuantificar la ganancia que obtenemos al vender los detergentes. Sabemos que por cada litro vendido del detergente para ropa blanca ganamos $ 2.00, por lo tanto, si vendemos x litros la ganancia por este detergente es de 2x; por cada litro de detergente para ropa de color tenemos una ganancia de $ 3.00, por lo cual, si vendemos y litros de este detergente la ganancia es de 3y. La utilidad total queda determinada por la función:

f x y x y( , ) 2 3

El objetivo es maximizarla, esto es, encontrar los valores de x y y que hacen que f(x, y) tenga el máximo valor posible. Esto se lograría dando a las variables valores cada vez más grandes, sin embargo, esto no es posible debido a que nuestro problema tiene limitantes sobre estas variables, por ejemplo, sabemos que la empresa puede producir como máximo 10 litros del detergente para ropa de color y 15 del de ropa blanca; esto lo podemos representar matemáticamente como:

yx

1015

Además, sólo se pueden comercializar 15 litros de detergente al día sin importar de cuál se trate, matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

x y 15

Por último, sabemos que x y y no pueden ser negativas (no podemos producir una cantidad negativa de detergente), con lo cual obtenemos el siguiente modelo matemático:


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Maximizar f x y x y( , ) 2 3 sujeto a

xyx yx y

1510

150,

En el ejemplo anterior, el modelo que se obtuvo es de tipo programación lineal, el cual está formado por una función objetivo y una serie de desigualdades o igualdades que tienen la característica de limitar el valor de las variables controlables.

Ejercicio 3

1. Son las variables del problema que puedo medir.

a) Variables no controlables.b) Variables controlables.c) Datos.d) Función objetivo.

2. Son las variables de tipo aleatorio o que no podemos modificar.

a) Variables no controlables.b) Variables controlables.c) Datos.d) Objetivos.

3. Cantidades relacionadas con nuestro proceso que no cambian de valor.

a) Variables no controlables.b) Variables controlables.c) Funciones.d) Datos.

Unidad 1

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4. Es el número de pasos de la metodología de la I. O.

a) 5b) 2c) 3d) 1

5. El modelo matemático representa las relaciones entre:

a) Las variables controlables y los datos.b) Las variables y los datos.c) Las variables controlables y las variables no controlables.d) Los distintos departamentos de una empresa.

1.4.2. Solución del modelo matemático

La solución del problema depende del tipo de modelo que se obtuvo: lineal o no lineal.

• Si el modelo es lineal se utiliza como método de solución: el método gráfico o el método símplex.• Si es un modelo no lineal sin restricciones podemos utilizar métodos de máximo descenso o métodos de dirección conjugada.• Si el modelo es no lineal con restricciones utilizamos métodos de multiplicadores de Lagrange o métodos de penalización.

En este libro estudiaremos modelos de programación lineal que, como ya mencionamos, se resuelven utilizando: método gráfico o bien método símplex. Este método se ajusta a problemas particulares, como por ejemplo: problemas de dietas, problemas de selección de personal, problemas de transporte, problemas de asignación, problemas de fabricar o comprar. Existe otro tipo de modelos, que incluyen en su formulación a la teoría de probabilidades, estos modelos están relacionados con la solución de problemas de redes y del tipo de líneas de espera. En las unidades siguientes estudiaremos cada uno.

Como la gran mayoría de los problemas en I. O. involucra una gran cantidad de operaciones, la solución de los modelos se lleva a cabo mediante el uso de programas de computadora.


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Resolveremos el modelo que se construyó en el ejemplo 3.

Ejemplo 3 (continuación 1)

El modelo que obtuvimos es:


xyx yx y

1510

150,

Utilizando el método gráfico (Unidad 4) se encuentra la siguiente solución óptima.

x = 5, y = 10

Este resultado se interpreta así: debemos producir 5 litros de detergente de ropa blanca y 10 litros de detergente de ropa de color. La ganancia por esta combinación es de 40 pesos.

1.4.3. Validación, instrumentación y control de la solución óptima

Una vez que se obtiene la solución óptima del modelo matemático que representa al problema operacional, debemos validarla. Si la solución no es válida debemos replantear nuestro modelo. En caso de que la solución óptima sea aplicable se instrumenta en la planta, pero debemos llevar un control de la misma. A continuación explicamos a detalle cada una de estas etapas.

Unidad 1

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a) Validación de la solución óptima

En ocasiones las soluciones matemáticas no pueden ser aplicadas a la realidad.

Tomemos como ejemplo un problema de física: se busca determinarel tiempo que tarda en caer un balín desde una altura h.

La solución de este problema involucra una raíz cuadrada, la cual hace que algunas veces se obtengan soluciones negativas, pero sabemos que no existen tiempos negativos, por lo tanto, la solución negativa es desechada por no ser factible de aplicar. Otro problema es que al modelar la caída libre se supone que la fricción del aire es despreciable, lo cual no siempre es válido; esto se hace con la finalidad de obtener un modelo simple.

En la I. O. pasa lo mismo, puede ser que la solución matemática no se pueda aplicar debido a políticas de la empresa, del gobierno o de la competencia, lo cual hace que se requiera buscar alternativas, o que la solución obtenida no sea factible de aplicarse en la realidad, porque propone dejar de producir algún producto o desechar maquinaria.

Por lo tanto, una vez que obtenemos la solución del modelo surge la siguiente pregunta:

¿La solución óptima es factible de aplicar?

Si la respuesta es afirmativa se implementa como solución, en caso contrario se reformula el problema.

b) Modificación del modelo

Si la solución óptima del modelo matemático no es factible de aplicar, se debe replantear el modelo, desechando o incorporando nuevos datos del problema. Se hace hincapié en que difícilmente se pueden obtener modelos que representen la realidad 100%, generalmente se sacrifican algunas variables para que el modelo tenga solución, pero tampoco se deben dejar a un lado las variables que son significativas en el problema.


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c) Instrumentación de la solución óptima

Si la solución óptima es aplicable, se procede a instrumentarla en la planta, esto es, las variables controlables deben tomar el valor que se obtuvo en la solución.

d) Control de la solución óptima

Una vez validada e instrumentada la solución del modelo, debemos tener un control sobre la misma, ya que con el tiempo pueden cambiar algunos datos y se requiere saber si la solución sigue siendo válida o se debe replantear el modelo para nuevos valores.

Ejemplo 3 (continuación 2)

En el caso de la fábrica de detergente se obtuvo que la solución óptima es:

x = 5 y y = 10, esto es, producir 5 litros de detergente para ropa blanca y 10 litros de detergente para ropa de color da una ganancia de $ 40.00. Observamos que esta combinación es factible, ya que cumple con todas las restricciones de nuestro problema:

x es menor a 15 litros.

y es igual a 10 litros.

La suma de x + y es igual a 15.

Tanto x como y son positivas.

Pero, ¿qué pasa si la empresa adquiere una máquina con la que puede producir hasta 12 litros de detergente para ropa de color? En este caso debemos replantear nuestro modelo, el cual queda de la siguiente forma:


Unidad 1

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xyx yx y

1512

150,

Que tiene por solución:

x = 3, y = 12

Esta nueva solución se interpreta como: debemos producir 3 litros de detergente para ropa blanca y 12 litros de detergente para ropa de color, lo cual nos da utilidad de $ 42.00 al día, lo que mejora la ganancia respecto a la solución original.

Ejercicio 4

1. El método para resolver problemas lineales es:

a) Multiplicadores de Lagrange.b) Método símplex.c) Método de gradiente conjugado.d) Método de máximo descenso.

2. Debido a la gran cantidad de operaciones que involucra la solución de un problema de I. O. éstos se tienen que resolver:

a) Usando logaritmos.b) En computadoras.c) Por matemáticos.d) Analíticamente.

3. Una vez que se tiene la solución óptima del problema de I. O. Entonces debemos:

a) Justificar.b) Implementar.c) Modificar.d) Validar.


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4. Si la solución óptima es aplicable, entonces debemos:

a) Validar.b) Instrumentar.c) Modificar.d) Justificar.

5. Ya que la solución óptima se instrumentó, entonces debemos:

a) Validarla.b) Modificarla.c) Controlarla.d) Imprimirla.

6. ¿Qué quiere decir instrumentar la solución óptima?______________________________________________________________________________________________________________________________________.

7. ¿Por qué se debe validar la solución óptima?______________________________________________________________________________________________________________________________________.

8. Si la solución óptima no es aplicable, ¿qué debemos hacer?______________________________________________________________________________________________________________________________________.

1.5. Usos y ventajas de los modelos de investigación de operaciones

La I. O. ayuda al administrador y al ingeniero en la toma de decisiones, las cuales pueden ser estratégicas u operacionales. Las decisiones operacionales, a diferencia de las estratégicas, se usan repetidamente. Por lo tanto, debemos buscar la manera de ahorrar tiempo y esfuerzo en su formulación y en los algoritmos para su solución.

Los problemas que se pueden resolver utilizando la I. O. son tan diversos como las técnicas utilizadas. A continuación damos un panorama general de los modelos mencionando sus aplicaciones y ventajas.

Unidad 1

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Modelo de programación lineal

Se caracteriza por ser un modelo determinístico, con una función objetivo y una serie de restricciones lineales. Se usa al resolver problemas como:

• Toma de decisiones en los negocios.• Transporte.• Asignación de recursos.• Dietas.• Producción.

La principal ventaja es que se cuenta con el método símplex para resolverlos, y que siempre es posible saber si el problema tiene o no solución, además de poder realizar un análisis del tipo ¿qué pasa si se modifica el valor de un dato?

Modelo de programación entera

Un inconveniente de la programación lineal es que puede ser que la solución óptima no sea un número entero, por lo tanto, no se puede aplicar. Por ejemplo, si necesitamos saber cuántos obreros contratar y la solución es 12.3, no es posible aplicarla. Por lo tanto, los problemas en que se necesita que la solución sea entera se resuelven con una variación de la programación lineal, la cual recibe el nombre de programación entera. Los problemas que podemos resolver con este tipo de modelo son:

• Problemas de costo fijo.• Problemas de transporte.• Problemas de asignación de recursos.

Los inconvenientes de la programación entera son que, al aumentar una variable, el número de soluciones posibles se duplica, esto es, se tiene un crecimiento exponencial, además de que al quitar algunas de las soluciones (las no enteras) del problema original, ya no se puede garantizar la existencia de la solución óptima. Por lo tanto, el método símplex no funciona en general al resolver problemas de programación entera. En su lugar se ocupan algoritmos como:


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• Técnica de ramificación y acotamiento.• Método de planos cortantes.

Programación no lineal

Cuando la función objetivo o las restricciones son no lineales, tenemos un problema de programación no lineal. Este tipo de modelos se obtienen cuando las relaciones entre las variables y los datos no son lineales, por ejemplo:

• Problemas de mezcla de productos con elasticidad en los precios.• Problema de transporte con descuentos por volumen en los precios del embarque.• Selección de una cartera de inversiones riesgosas.

Algunos de los métodos para resolver este tipo de problemas son:

• Método gráfico.• Método de máximo descenso.• Método de multiplicadores de Lagrange.• Método de gradiente conjugado.

El inconveniente de este tipo de modelos es que su solución es más complicada y su ejecución en la computadora es más difícil y costosa (por el número de operaciones-máquina).

Modelo de redes

Este es un tipo especial de problemas que se pueden resolver utilizando programación lineal o programación entera, sin embargo, la forma de obtener el modelo es distinta, ya que generalmente se utilizan grafos* para poder representar de una manera más sencilla el problema. Algunas de sus aplicaciones son:

• Problema de la ruta más corta.• Problema de flujo máximo.• Problema de flujo de costo mínimo.

* Conjunto de vértices unidos por arcos o aristas.

Unidad 1

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El uso de grafos para plantear los problemas de redes vino acompañado de la teoría de grafos, la cual permitió el desarrollo de dos técnicas para la solución de este tipo de problemas:

• PERT (técnica de evaluación y revisión de programas).• CPM (método de la ruta crítica).

Modelos de líneas de espera

Cuando la demanda de un servicio es mayor a su oferta, tenemos un problema de líneas de espera o colas, por ejemplo, si es más rápido el ensamblado de los automóviles que pintarlos, entonces los automóviles tendrán que esperar a que se desocupe la máquina que aplica la pintura. Este tipo de problemas necesita de la teoría de probabilidades para poder ser formulado. Algunos de los métodos desarrollados para su solución son:

• Modelos con distribución de Poisson.• Modelos con distribución exponencial.• Modelos de un canal.• Modelos multicanales.

Un ejemplo de este tipo de problemas es el siguiente:

En un banco llegan de manera aleatoria 10 clientes por hora y en promedio cada cliente tarda 20 minutos en hacer sus operaciones, ¿cuántos cajeros se debe tener disponibles para que la fila no sea mayor a 5 personas?

En general las ventajas de utilizar la I. O. en la solución de problemas operacionales son:

• Las decisiones son tomadas usando análisis cuantitativos dejando a un lado las cualitativas. Además, nos permiten realizar análisis de sensibilidad, esto es, predicciones de tipo: ¿qué pasa si cambia el valor de uno de nuestros datos? Por ejemplo, si tenemos la opción de comprar la materia prima a un nuevo distribuidor a un precio más económico, ¿cómo afectará a nuestros niveles de producción? Esta pregunta se resuelve primero de forma teórica en el papel y después se pone en práctica, si es que conviene a los fines de la empresa.


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• Permite tomar decisiones del tipo global; esto es, decisiones que tomen en cuenta los puntos de vista de cada uno de los departamentos de la empresa.

Resumen

En esta unidad estudiamos los orígenes, metodología y usos de la I. O. Definimos que la administración de operaciones, se encarga de resolver problemas de tipo estratégico, mientras que la I. O. resuelve problemas de tipo operacional. Para estudiar la metodología de la I. O. se sigue el siguiente esquema:

En la unidad 2 aprenderemos a construir modelos matemáticos que representen las relaciones entre las variables controlables y los datos de un problema operacional real.

Sí

Unidad 1

42

1.6. Problemas de aplicación de la investigación de operaciones

Ahora presentamos un caso práctico de programación lineal y su modelo matemático asociado; no explicamos cómo se obtuvo la solución. Los procedimientos se estudiarán en las siguientes unidades. También se enuncia una aplicación de línea de espera.

Caso práctico: programación lineal

Una empresa de petróleo tiene tres refinerías para surtir de gasolina a la ciudad 1. La primera se encuentra en la ciudad M, la segunda en la ciudad N y la tercera en la ciudad Q.

De la planta de M se pueden trasportar 15 000 litros de gasolina al día, mientras que de N 20 000 y de Q 35 000. El costo por litro de gasolina transportado de M es de $ 1.50, de N es de $ 2.00 y de Q es de $ 2.20.

Si la demanda de gasolina en la ciudad 1 es de 28 000 litros al día, ¿cuál es la combinación que minimiza los costos de transportación?

En este caso el modelo matemático que se obtiene es:

Z x y zx y zxyzx y

mín

1 5 2 2 228 000

15 00020 00035 000

. .

, , z 0

Donde x es la cantidad en litros de gasolina transportados desde M, y es la cantidad transportada desde N y z es la cantidad transportada desde Q.

Si para este problema usamos el paquete computacional LINDO, obtenemos la siguiente solución:


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Objective function value1) 48 500.0000X = 15 000.00Y = 13 000.00

Z = 0

Lo cual indica que debemos transportar 15 000 litros desde M y 13 000 desde N, lo que nos cuesta $ 48 500.00. Esta solución es factible porque cumple con todas las restricciones de nuestro problema, por lo tanto la aplicamos.

Si después de un tiempo el costo de transportar la gasolina desde N se incrementa a $ 2.15 y se restringe a sólo 10 000 litros al día, ¿qué pasa con la solución?

El nuevo modelo queda de la siguiente manera:

Z x y zx y zxyzx y

mín

1 5 2 2 228 000

15 00020 00035 000

. .

, , z 0

Que tiene por solución:

Objective function value

1) 50 600.0000X = 15 000.00Y = 10 000.00Z = 3 000.00

Lo cual indica que la nueva combinación óptima es traer 15 000 litros de M, 10 000 de N y por último 3 000 de Q, y que el costo de esta nueva combinación es de $ 50 600.00.

Unidad 1

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Aplicación: línea de espera

En una computadora, el sistema operativo es el que se encarga de indicar el orden en que se resolverán las tareas por el microprocesador; por ejemplo en una PC podemos pedirle al sistema que guarde un archivo en el disco duro y que imprima un documento. En este caso el sistema operativo debe formar una línea de espera, ya que el microprocesador sólo puede realizar una tarea en cada ciclo de reloj. Para optimizar el funcionamiento de las computadoras, se aplicó la teoría de líneas de espera, para indicar al sistema operativo el máximo de tareas que puede aceptar como pendientes, si se sobrepasa este número, puede suceder que el sistema se inhiba.


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Introducción

En la unidad 1 aprendimos la importancia que tiene la investigación de operaciones (I. O.) en la toma de decisiones, tanto estratégicas como operacionales, donde el ingeniero utiliza la metodología

de la I. O. para resolver los problemas que se presentan en la industria; también presentamos algunas aplicaciones concretas. En cuanto a la metodología, explicamos que una de las partes más importante pero compleja, es la construcción del modelo matemático que represente de manera válida y eficaz el problema a resolver. En esta unidad analizaremos el concepto de modelo, los tipos de modelos y finalmente la construcción de modelos matemáticos que representen las relaciones entre las variables y los datos de un problema, así como ejemplos de programación lineal, redes y líneas de espera.

En conclusión, pretendemos que con esta unidad el lector comprenda y analice cada uno de los pasos para la construcción de un modelo matemático válido, independientemente de la diversidad del problema que represente, y no sólo se memorice un modelo particular para un caso específico o individual.

2.1. Definición de modelo y su clasificación

Un modelo es la representación simplificada de un fenómeno que conserva las relaciones más significativas entre las variables y los datos involucrados en el fenómeno para su fácil manipulación.

Un modelo representa parcialmente a la realidad. Si quisiéramos construir un modelo que la representara 100%, (si fuera posible) resultaría muy costoso, complejo y de difícil manejo; sin embargo, tampoco vamos a construir modelos simplistas que se alejen demasiado de la realidad. Es responsabilidad del ingeniero desarrollar el punto medio entre estos dos extremos.

Antes de clasificar los modelos por su tipo, citemos algunos ejemplos.

Unidad 2

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Ejemplo 1

En Francia existe un túnel de viento donde se prueban los fuselajes de los aviones para determinar su resistencia al viento y a las turbulencias. Sería muy costoso construir un túnel de viento lo suficientemente grande para probar un avión de dimensiones reales, además resultaría muy costosa la construcción del prototipo. En lugar de hacer esto, se construyen modelos a escala de los aviones que se desean probar.

Ejemplo 2

En una empresa se tiene una línea de producción que consta de 12 pasos, si queremos mostrar esta línea de producción a un grupo de inversionistas para inducirlos a la compra de acciones de la compañía, sería complicado llevarlos directamente a la línea de producción, ya que el ruido y los obreros no permitirían una buena comunicación; en su lugar podemos construir un diagrama de flujo que represente la línea de producción.

Ejemplo 3

Una compañía que fabrica pasta dental desea saber cuántas personas en México conocen su producto. Una forma de saberlo es preguntarle a cada mexicano, lo que resultaría muy costoso para la empresa, en su lugar podemos utilizar un modelo estadístico que nos permita hacer la pregunta solamente a un grupo reducido (muestra), y con base en los resultados inferir el comportamiento en toda la población. Cada uno de los ejemplos anteriores, representa un tipo de modelo, el primero es un modelo tangible construido en tres dimensiones, el segundo utiliza un esquema que es análogo a la línea de producción mientras que el último es un modelo matemático para representar la realidad.


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Los modelos se clasifican en:

• Modelos icónicos.• Modelos analógicos.• Modelos matemáticos.

Modelos icónicos

Es una representación a escala de la realidad, suprimiendo algunos aspectos para facilitar su manipulación. Una característica importante de este tipo de modelos, es que se utilizan para analizar fenómenos que se mantienen estáticos. Ejemplos:

• Una maqueta con casas o edificios a escala.• Un diagrama de dos cargas eléctricas.• Una maqueta que simula la superficie lunar.• Un mapa de América del Norte. • Un modelo a escala de un avión.• Un globo terráqueo para trabajo escolar.

Modelos analógicos

Un modelo analógico, es un sistema que tiene un comportamiento parecido al problema que se desea estudiar pero con la diferencia que el modelo sí se puede manipular. Por ejemplo, para medir la velocidad de un automóvil la velocidad angular de la llanta se transforma en corriente eléctrica; aquí la analogía consiste en que la corriente inducida se incrementa en forma proporcional a la velocidad del automóvil. La corriente inducida mueve la aguja del velocímetro hacia una posición dentro de una escala de velocidades. A diferencia de los modelos icónicos, los modelos analógicos pueden representar situaciones dinámicas, además de que al utilizar este tipo de modelos incrementamos la capacidad de hacer cambios. Ejemplos:

• Un diagrama de flujo.• Un circuito eléctrico.• El probar medicinas en animales.

Unidad 2

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Modelos matemáticos

Este tipo de modelos representan la realidad mediante símbolos y cantidades relacionadas matemáticamente; por ser abstractos no están restringidos a un número específico de dimensiones, ya que podemos manejar tantas variables como queramos. Un ejemplo de este tipo de modelo simbólico es una ecuación, la cual puede representar las relaciones entre el tiempo que tarda en caer un cuerpo y el valor de la velocidad inicial, la masa del cuerpo, la fricción del aire, la temperatura, etcétera.

Ejemplos de modelos matemáticos:

• La ecuación de la relatividad de Einstein, E = mc2

• La segunda ley de Newton, F = ma

• La función de costos de un proceso, C t t( ) 2

1 000

• El modelo de programación lineal de un problema de optimización.

Zmáx = 10x + 50y2x + 3y < 57x –14y > 6

x, y > 0 Los modelos simbólicos tienen muchas ventajas sobre la descripción de un problema. Algunas de las ventajas son:

• Un modelo matemático puede ser muy preciso. Por ejemplo, decir que se desea mejorar un proceso de construcción de tornillos, no nos indica de manera clara a qué se refiere el “mejorar el proceso”, sin embargo, si escribimos la ecuación de costo de producción y decimos que ésta se quiere minimizar (Zmín = 3x + 4y), el problema queda bien determinado.

• En un modelo simbólico sólo se consideran las variables y datos que son importantes para obtener la solución del problema. Ejemplo: si se tienen cuatro trabajadores que producen 30 horas de trabajo al día; es probable que no interese el número de trabajadores, sino únicamente el número de horas de trabajo generadas, por tal motivo en el modelo simbólico sólo aparecerá 30 como un dato.


55

• Un modelo simbólico nos permite utilizar técnicas matemáticas y la computadora para la solución de los problemas de I. O.

En este libro utilizaremos modelos matemáticos.

Ejercicio 1

1. Un modelo matemático es:

a) Una ecuación. b) Un avión a escala.c) Una fotografía.d) Un diagrama de flujo.

2. Un ejemplo de un modelo icónico es:

a) Una ecuación. b) Un avión a escala.c) Una fórmula química.d) Un diagrama de flujo.

3. Es una abstracción simplificada de la realidad:

a) Un problema.b) Un experimento.c) Un modelo.d) Una hipótesis.

4. Escribe la definición de modelo____________________________________________________________________________________________________________________________________________.

5. De la clasificación de modelos, ¿cuál es el tipo de modelo que se utiliza para resolver problemas en I. O.?______________________________________________________________________.

Unidad 2

56

2.2. Construcción de modelos de programación lineal

Una vez definido lo que representan los modelos y cómo se clasifican, ahora tenemos que aprender a construirlos. En la unidad 1 mencionamos que existen programas computacionales comerciales que nos permiten resolver problemas de I. O., que para ser eficaces, el usuario debe introducir los datos del modelo a la computadora (en la actualidad, no existen programas computacionales capaces de construir modelos).

Construir modelos matemáticos es considerado por algunos especialistas un arte, ya que cada persona realiza su interpretación de la realidad; para hacer un modelo no existe un algoritmo específico, sino que, se debe utilizar mucha creatividad y una gran cantidad de conocimientos técnicos afines con el tema del problema que se trata de solucionar. Por ejemplo, si queremos obtener el modelo matemático de un proceso químico debemos tener conocimientos sobre química, para entender las reacciones químicas que se llevan a cabo durante el proceso, para que de esta manera podamos cuantificarlas mediante símbolos.

Al desarrollar un modelo es recomendable empezar con uno muy sencillo, que sólo tome en cuenta pocas variables y datos; posteriormente se construyen modelos más complejos, los cuales consideran más variables y datos. Este proceso se detiene cuando el ingeniero considere que el modelo obtenido representa de manera satisfactoria el problema de estudio.

Los modelos matemáticos que vamos a construir en I. O. son:

• De programación lineal.• Del problema de transporte.• De redes.• De líneas de espera.


57

Para clasificarlos, utilizamos diferentes criterios como son:

• El tipo de variables.• El tipo de restricciones.• El tipo de función objetivo.• Tipo de distribución de llegadas y de servicio.• Número de líneas.

Uno de los modelos más importantes en la I. O. es el modelo de programación lineal (P. L.), el cual se define como:

Un modelo de P. L. consiste en una función lineal, la cual se desea optimizar (maximizar o minimizar) sujeta a un conjunto de restricciones lineales.

Los modelos de P. L. aparecen en aplicaciones para optimizar

• Costos de producción.• Ganancias.• Costos de transporte.• Recursos limitados.

Para construir un modelo de P. L. se recomienda:

1. Identificar los datos y las variables de decisión.2. Identificar las restricciones.3. Identificar la función objetivo.

2.2.1. Los datos y las variables de decisión

Para poder construir modelos, necesitamos tener identificadas las variables del problema, además de los datos que intervienen en el mismo.

Identificación de las variables de decisión

El primer paso para la construcción de modelos consiste en identificar las variables controlables o de decisión, esto es, las variables cuyo valor

Unidad 2

58

deseamos determinar. El valor de estas variables, una vez determinado, representa la solución del problema. Para identificar estas variables, debemos cuestionarnos: ¿qué es lo que queremos cuantificar?, ¿qué valores del problema podemos manipular?, ¿cuáles son los valores de las variables a optimizar?, ¿qué valores, una vez determinados, forman una solución del problema? Analicemos el siguiente ejemplo para ver cómo se identifican las variables de decisión:

Ejemplo 4

La empresa NINTEN se dedica a la fabricación de impresoras. Producen tres modelos distintos, la impresora de matriz de puntos, la láser y la de inyección de tinta. El ingeniero de producción decidirá sobre el número de impresoras (de cada tipo) que deben fabricar. Para ello debe tomar en cuenta los datos contenidos en la siguiente tabla:

Tabla 1

La información contenida en la tabla 1 se interpreta de la siguiente manera: el renglón nos indica el tipo de impresora y la columna nos indica el tipo de dato. Por ejemplo, cada impresora de inyección de tinta produce una ganancia de $ 700.00, el costo de una impresora de matriz de puntos es de $ 1 000.00, mientras que el tiempo para fabricar una impresora láser es de 60 minutos.

El ingeniero sabe que el capital disponible para producir el lote de impresoras es de $ 595 000.00 y sólo se dispone de 265 horas de fuerza de trabajo. Además, el departamento de ventas le informa que todas las impresoras producidas por debajo o igual a la demanda mínima se pueden vender sin ningún problema.


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Lo primero para construir el modelo matemático de este problema es identificar las variables de decisión, para esto debemos contestar las siguientes preguntas:

1. ¿Qué es lo que queremos cuantificar?

Respuesta: Las ganancias producidas por la producción y venta del lote de impresoras.

2. ¿De qué dependen las ganancias?

Respuesta: Del número de impresoras que se fabriquen y vendan de cada tipo (no confundir con la ganancia unitaria precio-costo).

3. ¿Se puede optimizar el número de impresoras fabricadas de cada modelo?

Respuesta: Sí.

4. Si conocemos el número óptimo de impresoras que debemos producir de cada modelo para obtener la máxima ganancia, ¿está resuelto el problema?

Respuesta: Sí.

Podemos concluir que las variables de decisión son la cantidad de impresoras de cada modelo que se deben producir.

Se le dará un nombre a cada una de las variables de decisión. El nombre debe dar una idea del tipo de variable que representa, además debe ser de fácil manipulación. Para el ejemplo podemos utilizar:

IM = número de impresoras del tipo de matriz de puntos que se deben producir y vender.

IT = número de impresoras del tipo de inyección de tinta que se deben producir y vender.

IL = número de impresoras láser que se deben producir y vender.

Unidad 2

60

Identificación de los datos

Una vez determinadas las variables de decisión, debemos identificar aquellas cantidades que intervienen en el problema. Por ejemplo; los costos de fabricación de cada impresora, la demanda del producto, la fuerza de trabajo disponible, el tiempo de uso de una máquina, etc. A todas estas cantidades les llamaremos datos; estos datos quedan determinados al plantearse el problema.

Los datos para el ejemplo son:

• El capital disponible de $ 595 000.00.• El total de fuerza de trabajo es 265 horas.• Demanda mínima de cada tipo de impresoras.• El tiempo de fabricación de cada tipo de impresora.• El costo de cada tipo de impresora.• La ganancia de cada tipo de impresora.

2.2.2. Las restricciones y la función objetivo

Una vez que se tienen las variables de decisión y los datos del problema, se formula matemáticamente, tanto el objetivo que se persigue, como cada una de las restricciones del problema.

Identificación de la función objetivo

La función objetivo se llama así ya que su propósito es:

• Maximizar utilidades.• Minimizar costos.

Por ejemplo, en una dieta se busca la combinación óptima de nutrientes que minimice costos, a la vez que se minimiza el contenido de grasa en el menú. En general, la función objetivo debe medir de manera cuantitativa el factor a optimizar.


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Recordemos que la I. O. es una herramienta que permite al ingeniero tomar decisiones de tipo operativo. Estas decisiones son tomadas con la premisa de maximizar las utilidades de la empresa, las cuales dependen de los siguientes factores:

• Costos de producción.• Precio de venta.• Volumen de venta.

La función de utilidades U(x) de una empresa asociada a un producto, la podemos escribir matemáticamente como:

U x p x C x( ) ( )

Donde:

x = volumen de venta.p = precio de venta.C(x) = función de costos evaluada en x, esto es, nos dice el costo de producir x productos.

Si tenemos dos o más productos, la función de utilidad es igual a la suma de las funciones de utilidad de cada uno de los productos, es decir:

U x x x U x U x U xn n( , , ... ) ( ) ( ) ... ( )1 2 1 2

Donde xi es el volumen de venta del i-ésimo producto.

Para poder maximizar las utilidades de la compañía tenemos varias alternativas:

• Producir más unidades del producto que representa una mayor utilidad.• Disminuir costos de producción.• Buscar combinaciones de productos de bajo costo de producción y precio competitivo.

Estos factores son los que se deben ver reflejados en la función objetivo, la cual debe medir de una manera matemática los costos o utilidades de producir y vender una combinación de productos.

Unidad 2

62

Para construir la función objetivo debemos:

• Describir el objetivo que perseguimos en forma verbal. Para el ejemplo de NINTEN: maximizar las utilidades de la empresa, debidas a la producción y venta de los tres tipos de impresoras.

• Escribir el objetivo en términos de las variables de decisión y de los datos del problema, utilizando operaciones aritméticas.

Para la empresa NINTEN las utilidades por producir y vender impresoras de matriz de puntos (IM) es igual al producto de la ganancia unitaria por el total de impresoras producidas y vendidas, es decir:

U IM IM1 800( )

De manera similar se obtienen las ganancias para las impresoras de inyección de tinta (IT) y las del tipo láser (IL).

U IT ITU IL IL

2

3

7001 000

( )( )

Finalmente, la utilidad total es la suma de estas tres utilidades:

U IM IT IL IM IT IL( , , ) 800 700 1 000 Esta última expresión matemática calcula la utilidad en términos de las variables de decisión. La función objetivo la escribimos como:

Zmáx = 800 700 1 000IM IT IL

Identificación de las restricciones

Las restricciones son relaciones matemáticas entre las variables de decisión y las limitantes de la empresa. En el caso de los modelos de P. L. estas restricciones son desigualdades o igualdades lineales. Estas inecuaciones matemáticas incluyen restricciones lógicas para las variables que las condicionan a ser siempre positivas. A estas restricciones que se presentan al final del modelo les llamaremos condiciones de no negatividad.


63

En las restricciones se deben tomar en cuenta:

Las restricciones son las condiciones que las variables de decisión deben satisfacer para constituir una solución aceptable.*

Para nuestro ejemplo las restricciones son las siguientes:

• Restricciones de la empresa. Sólo tenemos $ 595 000.00 de capital disponible para la producción del lote de impresoras, por lo tanto, el costo de producción debe ser menor o igual a esta cantidad. El costo de producir IM es de 1 000 IM, para las IT es de 1 500 IT y para las IL 2 400 IL, por lo tanto, el costo de producción es la suma de las cantidades anteriores, es decir:

1 000 1 500 2 400 IM IT IL Pero esta cantidad debe ser menor a 595 000. Esto lo representamos matemáticamente como:

* Kamlesh Mathur y Daniel Solow, Investigación de operaciones, Prentice-Hall.

Unidad 2

64

1 000 1 500 2 400 595 000 IM IT IL

• Restricción física. La empresa cuenta con 265 horas de fuerza de trabajo para la producción del lote de impresoras. El tiempo de fabricación de las IM es de 30 IM minutos, para las IT es de 40 IT minutos y finalmente para las IL 60 IL minutos. Por lo tanto, el tiempo total de fabricación del lote en minutos es de:

30 40 60IM IT IL

Pero este tiempo debe ser a lo más de 265 horas. Para representarlo matemáticamente, primero se convierten 265 horas en minutos (para trabajar con las mismas unidades)

265 601

15 900hrhr

mínmin

Con lo cual la restricción se escribe como:

30 40 60 15 900IM IT IL

• Restricción externa. Para asegurarnos que todas las impresoras producidas sean vendidas, la cantidad de IM debe ser menor o igual a 100, las de IT debe ser menor o igual a 80 y las IL deben ser a lo más 50. Para escribir esto en forma matemática:

IMITIL

1008050

• Restricciones lógicas o condición de no negatividad de las variables. No podemos producir cantidades negativas de impresoras y en este caso, tampoco podemos producir fracciones de ellas, por tanto, los valores de las variables deben ser enteros positivos:

IMITILIM IT IL Z

000

, ,


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El modelo matemático que obtenemos es del tipo de programación lineal:

Función objetivo

Zmáx = IM IT IL 800 700 1 000

sujeto a las restricciones:

1 000 1 500 2 400 595 00030 40 60 15 900

100

IM IT ILIM IT IL

IM

IITIL

8050

Con condición de no negatividad:

Además:

IMITILIM IT IL

000

, ,

Ejercicio 2

1. Escribe la definición de un modelo de programación lineal.______________________________________________________________________________________________________________________________________.

2. Los modelos que vamos a utilizar en I. O. son:

a) Modelos icónicos.b) Modelos simbólicos o matemáticos.c) Modelos críticos.d) Modelos analógicos.

Unidad 2

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3. El modelo de P. L. se utiliza en:

a) Modelos de líneas de espera.b) Modelos de inventarios.c) Modelos no lineales.d) Modelos de transporte.

4. Una variable de decisión en el ejemplo de NINTEN es:

a) El precio de venta de las impresoras.b) El tiempo de fabricación de cada impresora.c) El número de impresoras láser que se debe producir.d) El capital disponible.

5. Escribe los pasos del proceso de construcción de los modelos de P. L.

Identificación _____________________________________.Identificación _____________________________________.Identificación _____________________________________.

6. Relaciona las siguientes columnas.

a) Restricciones físicas. ( ) Las variables deben ser siempre positivas. b) Restricciones de la empresa. ( ) El precio del producto debe ser menor al de la competencia. c) Restricciones lógicas. ( ) El espacio del almacén de producto terminado. d) Restricción externa. ( ) El capital disponible.

2.3. Construcción de modelos de redes y de líneas de espera

En la sección anterior aprendimos a construir modelos simbólicos de programación lineal. Aunque este modelo se puede aplicar en varios problemas reales de manufactura y transporte, no se puede utilizar para modelar problemas con variables estocásticas, es decir, variables cuyo valor depende del azar.


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En este libro vamos a estudiar dos modelos que utilizan variables estocásticas:

• Modelo de redes. • Modelo de líneas de espera.

El modelo de redes se utiliza para calcular el tiempo de elaboración de un proyecto.* Si conocemos este tiempo, podemos tratar de disminuirlo cuidando que los costos no se eleven demasiado. El modelo de líneas de espera se utiliza para determinar el número de estaciones de servicio, o de personas que deben ser contratadas para dar atención a clientes, buscando tener el número óptimo, esto es, el número que permita conservar los costos más bajos y, además, disminuir el tiempo de espera de cada uno de los clientes.

Modelo de redes

La fabricación de un bien o servicio se lleva a cabo en varias etapas donde cada una recibe el nombre de proceso. Para tener un control sobre el tiempo en que se produce el bien o servicio, debemos conocer cada uno de los procesos, el tiempo que tarda en llevarse a cabo y el orden que se debe seguir. Por ejemplo, en la fabricación de una computadora se deben ensamblar cada una de sus partes (tarjeta madre, memoria RAM, memoria ROM, bus, disco duro, discos flexibles, puertos, fuente de poder, etc.). Si alguno de estos procesos se interrumpe o tarda demasiado, afecta toda la línea de producción, por lo tanto, es importante tener un modelo que nos permita conocer los posibles puntos de falla y así poder tomar medidas preventivas. Los modelos de redes también miden los tiempos de cada proceso, para que de esta manera se trate de optimizar el tiempo total, al buscar alternativas en la elaboración del producto (rutas críticas).

Para obtener el modelo matemático de un problema de redes, debemos seguir los siguientes cuatro pasos:

• Identificar los procesos individuales que componen el proyecto.

* Plan que se idea para producir un bien o servicio.

Unidad 2

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• Obtener el valor del tiempo probable en que se realiza cada proceso (si usamos la técnica PERT) o establecer una estimación determinística de este tiempo (si usamos la técnica CPM).

• Dibujar un diagrama de red del proyecto que refleje cada uno de los procesos, su interrelación y sus tiempos estimados.

• Calcular el tiempo mínimo estimado de terminación del proyecto.

Identificación de los procesos individuales que componen el proyecto

Los procesos* pueden ser sencillos o complejos. Los procesos complejos pueden analizarse como proyectos, los cuales a su vez tienen otros procesos intermedios.

Por ejemplo, el proyecto estadounidense de poner al hombre en la luna antes de que terminara la década de los 60’s constaba de varios procesos complejos (construcción de una nave para el viaje, selección y entrenamiento de los astronautas, desarrollo tecnológico para las comunicaciones, diseño y construcción de pequeñas computadoras que se pudieran llevar en las naves, etc.), por lo tanto, cada uno de estos procesos constituía en sí mismo un proyecto que a su vez estaba formado por numerosos procesos. Los procesos tienen características bien definidas que nos pueden servir para identificarlos, éstas son:

• Los procesos deben tener un comienzo y un final claros. Ejemplo. El proceso de selección de los astronautas comienza con la convocatoria para reclutar candidatos y termina con la selección de un grupo para formar la tripulación de la nave.

• La terminación de cada proceso debe ser necesaria para la culminación del proyecto. Ejemplo. Si no tenemos lista a la tripulación, no podemos llevar a cabo el proyecto de poner un hombre en la luna.

• Un proceso debe representar un progreso en el proyecto. Ejemplo. En cuanto se tiene la tripulación, una parte del proyecto esta concluida.

• El tamaño del proceso está en relación directa con el control que se tiene sobre el proyecto. Ejemplo. Para el presidente de la NASA, un proceso es la construcción de computadoras para controlar el vuelo, pero para el ingeniero de sistemas, un proceso es la construcción de un

* Pasos intermedios para la elaboración de un bien o servicio.


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compilador para el lenguaje de programación que se va a utilizar en las computadoras de las naves espaciales.

• Debe existir una persona o grupo de personas responsables de cada proceso. Ejemplo. El presidente nombró un responsable del proyecto, el cual a su vez nombró responsables de cada uno de los procesos.

Obtención del tiempo probable (PERT)Para obtener el tiempo probable de cada proceso se debe realizar un análisis estadístico,* el cual nos va a dar como resultado tres datos: Tiempo probable del proceso: es el tiempo con mayor probabilidad en el que puede llevarse a cabo el proceso.Tiempo pesimista del proceso: es el intervalo de tiempo más largo en el que puede llevarse a cabo el proceso.Tiempo optimista: es el intervalo de tiempo más corto en el que puede llevarse a cabo el proceso.Para obtener el tiempo que se asigna a cada proceso, se utiliza un promedio ponderado, donde el tiempo probable tiene un peso mayor al de los tiempos extremos:

tt t t

ep o 4

6Donde:

te = tiempo esperado.tp = tiempo pesimista.t = tiempo probable.to = tiempo optimista.

Creación de la red de proyectos

Para comenzar a diseñar la red de proyectos, primero se realiza una tabla que muestre la relación de precedencia** de cada uno de los procesos. Por ejemplo, en el proyecto de preparar a los astronautas, el primer proceso

* Para más detalles consultar Spiegel, Estadística, McGraw-Hill.** Precedencia: Antelación, prioridad de una cosa con respecto a otra en el tiempo o en el espacio (Larousse 2000).

Unidad 2

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es seleccionarlos, posteriormente se empieza con un acondicionamiento físico, pruebas de manejo de aeronaves, prepararlos para la ingravidez, etc. Por lo tanto, seleccionar a los candidatos es un proceso que precede al proceso de acondicionamiento físico.

La red que se construye tiene la forma de un grafo, es decir, es un conjunto de vértices o nodos (que representamos con un círculo) unidos por arcos o aristas. Un ejemplo de grafo se muestra en la figura 2.1.

Figura 2.1.

Ahora, para construir la red se dibuja un nodo con el número cero, el cual indica el inicio de nuestro proyecto. Tomando como punto de partida este nodo, se dibujan los nodos que no son precedidos por ningún otro; éstos se unen con el nodo cero mediante arcos de flecha, los cuales se nombran con la etiqueta del proceso como se muestra en la figura 2.2.

Figura 2.2.

El nodo uno representa un punto en el tiempo, en el cual el proceso A ya se concluyó, por lo tanto, a partir de este punto se dibujan los nodos que representen los procesos que siguen al proceso A. Esto se facilita si observamos la tabla de precedencia, supongamos que el proceso que sigue a A es B como se muestra en la figura 2.3.


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Figura 2.3.

Y que al proceso C le sigue el proceso D, si se añaden estos dos procesos, se obtiene el esquema presentado en la figura 2.4.

Figura 2.4.

Se continúa de esta manera hasta representar todos los procesos del proyecto. Finalmente, se coloca el nodo que represente el final del proyecto. Si algunos de los nodos no están unidos con otros para que la red se cierre, se colocan procesos artificiales, los cuales se representan con una línea punteada y se les asigna un tiempo nulo. Con esto se obtiene una red que representa los pasos a seguir en la elaboración del proyecto. En la figura 2.5., se muestra el ejemplo de una red de proyecto:

Figura 2.5.

Por último, se colocan los tiempos estimados para cada proceso, con esto se obtiene una red que representa el proyecto (figura 2.6.), la cual va a permitir posteriormente buscar la ruta crítica, para tratar de optimizar el tiempo de terminación del proyecto. Esto último se estudiará en la unidad 10.

Unidad 2

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Figura 2.6.

Ejemplo 5

Para poder generar energía eléctrica en una planta termoeléctrica, se utiliza la energía química que tiene el combustóleo para calentar el agua y convertirla en vapor sobrecalentado, el cual proporciona la presión necesaria para mover las turbinas, las cuales lo convierten en energía mecánica que es trasmitida al generador eléctrico. El proyecto de convertir el agua en vapor para generar energía eléctrica, consta de los siguientes procesos:

• Se extrae agua de los pozos.• El agua es desmineralizada.• El combustóleo es precalentado a 135° C.• El combustóleo es inyectado a la caldera para su combustión.• El agua es bombeada a la caldera, donde pasa por el primer nivel de calentado a 230°C.• El vapor de agua pasa por el segundo nivel de las calderas, donde se eleva su temperatura a 350° C.• El agua pasa por el tercer nivel, donde se convierte en vapor seco y sale con una temperatura de 530° C.• El vapor sobrecalentado entra a la turbina. • Termina el proyecto.

Cada una de estas tareas se llevan a cabo de manera independiente. Si queremos calcular el tiempo mínimo de terminación del proyecto, debemos medir el tiempo que se lleva cada proceso. En este caso, como las variaciones de tiempo son muy pequeñas, consideramos que su valor es constante y analizamos el proceso como un modelo de redes tipo CPM.


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En la siguiente tabla mostramos el tiempo de cada proceso:

Proceso Etiqueta Tiempo (minutos) Extracción de agua A 30 Desmineralización B 120 Primer nivel de calentado C 65 Segundo nivel de calentado D 50 Tercer nivel de calentado E 25 Paso por turbina F 5 Precalentado de combustible G 35 Inyección de combustible H 5

A continuación presentamos la tabla de precedencia.

Proceso Procesos precedentes A. Extracción de agua Ninguno B. Desmineralización A C. Primer nivel de calentado H, B D. Segundo nivel de calentado C E. Tercer nivel de calentado D F. Paso por turbina E G. Precalentado de combustible Ninguno H. Inyección de combustible G

Con esta información construimos la red, véase la figura 2.7.

Figura 2.7.

Unidad 2

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Modelos de líneas de espera

En la industria existen varios procesos que se comportan como un sistema de línea de espera. Una línea de espera se forma cuando los clientes o productos llegan a una “estación de servicio” y tienen que esperar a ser atendidos.

Ejemplos:• El proceso de reinscripción en las escuelas.• Los clientes que llegan a verificar su automóvil.• Las llamadas telefónicas que llegan al centro de atención telefónica de un banco.• Los pacientes que llegan para ser atendidos por un dentista.• Los trabajos de impresión que llegan a una impresora compartida en red.

Este tipo de sistemas tienen una modelación especial, ya que en ellos aparecen variables y distribuciones probabilísticas. Una línea de espera se describe mediante los siguientes parámetros:

1. El tiempo promedio de llegada de nuestros clientes. 2. El tiempo promedio que lleva a las estaciones atender a un cliente. 3. El número máximo de clientes que pueden esperar en la fila. 4. El comportamiento de la fila. 5. Número de estaciones.

Si se conocen estos parámetros, es posible tomar decisiones sobre:

• Número de estaciones de servicio. Si se debe aumentar o disminuir. Esto es crucial para las empresas, ya que al abrir demasiadas estaciones los costos se elevan, mientras que tener un número insuficiente puede ocasionar perdida de clientes.

• Tipo de fila. Es posible construir una fila única (unifila) donde los clientes se distribuyen a las estaciones de servicio, o bien construir una fila delante de cada una de ellas. En los bancos se utilizan unifilas, mientras que en las tiendas de autoservicio se utilizan multifilas (al igual que en los hospitales).

• Colocar estaciones especiales. Se pueden colocar estaciones de servicio que sólo atiendan a clientes que cumplan ciertas características. En los bancos se cuenta con cajas empresariales, en las


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tiendas de autoservicio se colocan cajas rápidas y en los hospitales se cuenta con el área de urgencias.

• Espacio físico para la fila. Se debe determinar un espacio físico para que los clientes se formen, éste depende del número máximo de clientes que puede tener la fila o del número promedio de ellos. En algunos bancos se colocan sillas para que los clientes esperen sentados, mientras que en otras empresas existen almacenes intermedios entre un proceso y otro.

Para realizar el modelo simbólico de una línea de espera, se debe conocer cada uno de los siguientes componentes:

• Población de clientes. Es el total de clientes que pueden llegar a nuestra estación de servicio. Esta población puede considerarse infinita (en un sentido teórico), si el número de clientes es demasiado grande. Por lo general es más sencillo modelar líneas de espera infinitas que finitas.

Ejemplos. Un banco considera que su población es infinita, ya que en teoría cualquier persona puede entrar a solicitar uno de sus servicios.

En una empresa con 15 empleados, la fila que se forma para que les paguen es a lo más de 15, por lo tanto es finita.

• Proceso de llegadas. Las llegadas pueden ocurrir con una frecuencia conocida (variable determinística) o bien pueden ser aleatorias. En el caso de que la llegada de clientes sea probabilística, se utiliza una función de distribución probabilística exponencial

negativa f t e t( ) 1

donde (lambda) es el número promedio

de llegadas por unidad de tiempo. Esto es, si se quiere saber cuál es la probabilidad de que llegue un cliente en la próxima unidad de tiempo.

P(tiempo entre llegadas < t)=1– e t

Ejemplo. En un hospital la llegada de pacientes al departamento de urgencias es aleatorio, con un promedio =10 pacientes/hora. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un cliente en los próximos 20 minutos?

Unidad 2

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Lo primero es convertir los 20 minutos a horas, ya que (lambda) está dada en pacientes por hora; 20 min = 1/3 de hora. P(tiempo entre llegadas < 1/3) = 1–e–10(1/3)

1 1 0 036 0 9643 33 e . . .

Esto quiere decir que nuestra probabilidad es de 96.4%.

En cambio en el área de especialidades a los clientes se les programa mediante citas, por lo que su llegada es determinística.

• Proceso de la fila. Los clientes tienen que elegir entre varias filas (multicanal), o existe una fila única (canal sencillo). Ejemplo: En una empresa se tienen dos casetas de servicio, los obreros pasan todas las mañanas por sus herramientas de trabajo, el ingeniero no sabe si deben formar una fila única e ir pasando a una de las dos casetas, o bien, formar una fila frente a cada caseta.

• Proceso de servicio. Es la forma en que cada estación da el servicio a los clientes, incluyendo el tiempo que tarda en atenderlos. El tiempo puede ser determinístico o probabilístico. En este último caso, podemos utilizar también una función de distribución de probabilidades. Ejemplo: En una ensambladora de automóviles la línea de producción está semiautomatizada, por lo que la planeación se hace pensando en que los robots siempre tengan piezas esperando a ser atendidas, pues de otra manera el robot estaría ocioso y esto ocasionaría un costo adicional. Aquí la estación de servicio (robot) siempre tarda el mismo tiempo en atender a sus clientes. En cambio en un centro de servicio de automóviles el tiempo que tarda un mecánico en reparar un automóvil es variable, ya que depende del tipo de falla que atienda.

• Proceso de salida. Después de ser atendidos los clientes se pueden retirar del proceso o deben pasar a otra estación de servicio. Cuando sucede esto último se dice que se tiene una red de líneas de espera.

Ejemplo: En una industria de refrescos los envases deben formar una fila frente a la máquina de lavado y posteriormente formarse frente a la máquina de llenado.


77

Ejemplo 6

Pensemos en una clínica de consulta externa donde atienden dos doctores. El horario de atención es de 8 a.m. a 5 p.m. El tiempo de consulta por paciente oscila entre 6 y 30 minutos. Los pacientes llegan a la clínica de manera aleatoria, con una frecuencia dada por la siguiente tabla:

Núm. de pacientes por hora Frecuencia 6 20% 7 30% 8 25% 9 15% 10 10%

Esto es, se tiene el 0.20 de probabilidad de que lleguen 6 pacientes en la siguiente hora, el 0.30 de que lleguen 7, 0.25 de que lleguen 8, etc. El tiempo que tarda la consulta también es aleatorio, el cual se modela con una distribución normal con media de 18 y desviación estándar de 4 minutos. Si los pacientes llegan más rápido de los que son atendidos por los doctores, entonces se va a formar una fila. En este proceso existen dos variables estocásticas, el número de pacientes que llegan a la clínica y el tiempo de consulta por paciente.

El interés del problema es minimizar el tiempo que esperan los pacientes para ser atendidos, ya que si se prolonga demasiado, el paciente sale de la clínica, con lo cual se perdería al cliente. Una solución pudiera ser contratar más doctores, sin embargo, esto hace que los costos se eleven y si el número de clientes no es lo suficientemente grande para tener ocupados a todos los doctores, se pierde dinero por el tiempo ocioso. Por lo tanto, nuevamente se busca un punto de equilibrio, donde el tiempo de espera por parte del paciente sea mínimo pero al menor costo posible. Todo esto se tratará con mayor detalle en la unidad 9.

Unidad 2

78

Ejercicio 3

1. Es el nombre que se les da a las variables cuyo valor depende del azar.

a) Discreta.b) Aleatoria.c) Continua.d) Determinística.

2. Es el proceso de análisis de proyectos que utiliza tiempos aleatorios.

a) PERTb) CPMc) PETRd) PCM

3. Proceso donde los clientes deben esperar ser atendidos por una estación de servicio.

a) Redes.b) Programación lineal.c) Inventarios. d) Líneas de espera.

4. Describe las cinco características que debe cumplir un proceso.______________________________________________________________________________________________________________________________________________.

5. Coloca el nombre de cada componente en la siguiente red.a)

b)

c)

d)


79

6. Relaciona las siguientes columnas

a) Tipo de fila. ( ) Almacén intermedio entre un proceso y otro.b) Estaciones especiales. ( ) Unifila.c) Espacio físico para la fila. ( ) Caja rápida.d) Multicanal.

7. Describe cada uno de los siguientes componentes de una línea de espera:

a) Proceso de llegadas.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

b) Proceso de servicio.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

2.4. Clasificación de modelos matemáticos en investigación de operaciones

Los modelos matemáticos que se obtienen al resolver problemas de I. O., se clasifican dependiendo del tipo de variables que utilizan, del tipo de función objetivo, si existen restricciones y de qué tipo son; esto se hace con la finalidad de tener bien identificado el modelo y así poder buscar la mejor técnica para resolverlo. A continuación presentamos una clasificación de los modelos:

• Por el tipo de variables que utilizan:

Determinísticos. Si el valor que toman las variables no depende del azar.Estocástico. Si el valor de las variables depende del azar.

Los determinísticos se clasifican a su vez:

Unidad 3

92

3.1. Definición de modelo deprogramación lineal

Un proceso productivo, en su forma más general, puede ser analizado como un conjunto secuenciado de actividades que tienen como propósito combinar y transformar ciertos insumos, para obtener uno o varios tipos de productos terminados.

Recordemos que la forma en que se establece la secuencia de las actividades, generalmente está dada por las condiciones tecnológicas del proceso productivo. A continuación se presenta un diagrama de la situación que se describe:

Figura 3.1. Diagrama de un proceso productivo.

Además de los insumos (materia prima, mano de obra, energía, etc.), se requieren también de ciertos activos fijos como: instalaciones físicas, maquinaria, almacenes y equipos en general. Estos activos determinan cierta capacidad instalada que no puede ser modificada de manera instantánea, a menos que se hagan inversiones y ampliaciones, las cuales usualmente requieren de una inversión adicional y de tiempo suficiente para poderlas efectuar.

Ante las limitaciones de capacidad instalada y muchas otras restricciones dentro de las cuales opera una empresa (como restricciones legales, fiscales, ecológicas, sociales, etc.), el propietario o responsable de la


93

operación de la empresa buscará obtener el mayor provecho de los recursos con los que dispone, esto es, buscará alcanzar niveles de producción con los que maximice su beneficio.

Es importante mencionar que en la práctica los procesos productivos pueden ser muy complejos, con una gran diversidad de productos y con la combinación de muchos insumos. Sin embargo, la complejidad de dichos procesos no influye para que éstos puedan ser analizados desde la perspectiva de la I. O.

Supongamos que una empresa produce n productos (donde n puede ser cualquier número entero positivo) por medio de un proceso productivo que consta de m etapas (donde m también debe ser un número entero y positivo). Si partimos del supuesto que la demanda es ilimitada y, por lo tanto, el fabricante vende todo lo que produce, así como que cada uno de los productos que elabora, tiene su propia contribución a las utilidades: c1, c2, ..., cn, ¿cuánto debe fabricar de cada producto para que los ingresos sean máximos?

Si representamos por: x1, x2, ..., xn las cantidades por producir para cada uno de los n productos distintos, entonces la función de ingresos del fabricante está dada por:

Z = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn

El análisis de transformación lo podemos realizar a partir del diagrama siguiente:

Figura 3.2. Diagrama de bloques del proceso.

Unidad 3

94

El producto 1 al pasar por la etapa 1 consume a11 unidades del recurso 1; al pasar por la etapa 2 requiere de a12 unidades del recurso 2 y así sucesivamente, el producto 1 al pasar por la etapa m-ésima requiere a1 m unidades del recurso m-ésimo.

De forma similar, el producto 2 al pasar por la etapa 1 consume a21 unidades del recurso 1, al pasar por la etapa 2 requiere de a22 unidades del recurso 2 y así sucesivamente, el producto 1 al pasar por la etapa m-ésima requiere a2 m unidades del recurso m-ésimo.

En general, el término aij representa la cantidad del recurso j-ésimo que requiere en la etapa j-ésima del proceso, cada unidad de producto i-ésimo, donde:

1 i n y 1 j m

Como los recursos son limitados, las restricciones serán válidas tanto para las personas como para las empresas. Si denotamos por: b1, b2, ..., bm las disponibilidades máximas de cada uno de los recursos de las m etapas del proceso productivo, entonces debemos reconocer que el número de unidades producidas de cada tipo de bien deberá estar limitado por la disponibilidad máxima de los recursos que se requieren para la producción total. Esta condición expresada matemáticamente toma la forma de un conjunto de m desigualdades con n variables:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn b 2

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn bm

Una restricción adicional al conjunto de desigualdades es la condición de no negatividad. Esto significa que las variables xi con i = 1, 2, ..., n, siempre deberán tomar un valor positivo o cero; es decir: xi 0, con i = 1, 2, ... n.


95

Reuniendo los tres elementos descritos anteriormente:

a = la función objetivo que se desea optimizar.b = el conjunto de restricciones a las que está sujeta la función

objetivo. c = la condición de no negatividad.

El planteamiento matemático del problema general de la programación lineal es:

Z c x c x c xa x a x a x ba x a x

n n

n n

m x

...

.

á

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2

…

...

..., , ,

a x b

a x a x a x bx x x

n n

m m mn n m

n

2 2

1 1 2 2

1 20 0 0

Observa que al referirse la función objetivo a ingresos, lo que se busca es su maximización y si el planteamiento del problema incluyera costos como función objetivo, entonces se buscaría su minimización. Esto quiere decir que en un modelo de programación lineal se puede buscar tanto la maximización, como la minimización de la función objetivo.

Un hecho también importante es que en el planteamiento general del problema de programación lineal las restricciones pueden estar combinadas. Para un mismo problema, algunas de ellas pueden ser de la forma , otras de la forma y otras como igualdades estrictas =.

Un ejemplo sería:

Z c x c x c xa x a x a x ba x a x

n n

n n

m n

....

í

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2

…

...

..., , ,

a x b

a x a x a x bx x x

n n

m m mn n m

n

2 2

1 1 2 2

1 20 0 0


99

Si el costo de extracción por kg para cada una de las minas es de $ 30, $ 40 y $ 25 respectivamente, ¿qué cantidad se debe extraer de cada mina, de tal forma que el acero producido cumpla con las especificaciones y su costo sea mínimo?

2. Un ingeniero químico desea obtener dos litros de ácido clorhídrico con una concentración de 20%. Por la peligrosidad del producto, en el laboratorio sólo se tiene ácido clorhídrico en solución acuosa a 10%, 40%, 50% y a 70%. Si el precio por litro de cada una de estas soluciones es de $ 20, $ 15, $ 45 y $ 100, respectivamente, ¿qué combinación de soluciones es la que cumple con las especificaciones de concentración y minimiza el costo de elaboración?

Nota: Supongamos que la disponibilidad de las cuatro soluciones es ilimitada.

3.2.2. Modelo para planeación de producción

Todo proceso productivo enfrenta el problema de lograr el máximo aprovechamiento de los recursos con los que se cuenta. Sin embargo, la mano de obra es limitada, y lo mismo sucede con la capacidad instalada, la materia prima y todo lo demás que se requiere para alcanzar el nivel de producción deseado.

Determinar el plan de producción óptimo equivale a encontrar la combinación y los volúmenes a producir de cada uno de los bienes, de tal forma que se garantice la obtención de mejores ganancias. Con el propósito de ampliar estas ideas, a continuación se presenta un ejemplo:

Unidad 3

100

Ejemplo 2

La fábrica de chocolates La Azteca elabora dos tipos de productos; el chocolate dulce y el amargo. Para producir una tonelada de chocolate amargo necesita 700 horas de mano de obra. Para hacer la misma cantidad de chocolate dulce requieren sólo 500 horas.

Debido a recientes ajustes que se han hecho en la plantilla de personal, sólo se puede disponer de 60 000 horas de mano de obra al mes; además, se sabe que será necesario producir cuando menos 8 toneladas mensuales de chocolate, independientemente de la proporción en cuanto a los sabores que se produzcan. Es importante tomar en consideración que la demanda de chocolate dulce es el doble de la del chocolate amargo, por lo tanto, este criterio deberá ser tomado en cuenta cuando se diseñe el esquema de producción.

Si cada tonelada de chocolate amargo deja una utilidad de $ 1 000 y cada tonelada de chocolate dulce de $ 1 500, ¿cuántas toneladas de cada sabor de chocolate se deben producir, si se espera que la utilidad sea máxima?

Denotemos con la letra x el número de toneladas que se desean producir del chocolate dulce, y con la letra y el número de toneladas de chocolate sabor amargo. La función objetivo, misma que describe la utilidad del fabricante y que deseamos sea máxima, está dada por:

Z x ymáx 1 000 1 500

Por lo que a las restricciones se refiere, éstas se pueden expresar de la manera siguiente:

La producción mínima debe ser de 8 toneladas; por lo tanto, la suma de las dos cantidades a producir debe ser mayor o igual que 8; donde:

x + y 8

La especificación de la demanda nos dice que la cantidad de chocolate dulce debe ser el doble que la del chocolate amargo; por lo tanto:

x – 2y = 0


101

Finalmente, la restricción en cuanto al número de horas disponibles de mano de obra está dada por:

700x + 500y 60 000

Reuniendo la función objetivo y las restricciones, el problema planteado toma la forma:

Z x yx y

x yx y

x y

máx

1 000 1 5008

2 0700 500 60 000

0 0,

Ejercicio 2

1. Una compañía líder en la fabricación de aparatos eléctricos tiene una planta de ensamblado en el Estado de México donde produce televisores de 14, 20, 27 y 29 pulgadas. Para esto cuenta con una línea automatizada que ensamblan las partes más pequeñas. Esta línea puede trabajar hasta 5 000 horas a la semana.

Además, cuenta con una plantilla de personal operativo de 4 800 horas a la semana de trabajo efectivo. En la tabla siguiente se muestran la utilidad, el tiempo de mano de obra requerido en el proceso y el tiempo consumido en la línea automatizada de ensamble. Todo esto de acuerdo con el tamaño de televisor que se esté fabricando.

Una restricción adicional es que la empresa no debe producir más de 3 000 televisores a la semana.

¿Cuántas televisiones de cada uno de los modelos debe producir la compañía, de tal forma que la utilidad sea máxima?


125

Introducción

Después de construir modelos matemáticos de programación lineal, necesitamos desarrollar métodos que nos permitan encontrar la solución de estos modelos. En esta unidad se

resolverán modelos de P. L. de dos variables (2 dimensiones) por el método gráfico.

Los pasos a seguir en este método son:

• Graficar las restricciones.• Hallar la región de soluciones factibles (polígono de solución).• Graficar la función objetivo.• Desplazar la función objetivo hasta encontrar la solución óptima.

Aunque difícilmente se encuentran ejemplos reales de dos dimensiones, nos sirven como antecedente para comprender mejor el método símplex analítico o tabular, el cual se estudiará en la siguiente unidad. Este método se utiliza para resolver problemas de P. L. de n dimensiones.

Además realizaremos un análisis de sensibilidad, el cual consiste en estudiar el comportamiento de la solución óptima cuando se cambian los coeficientes de la función objetivo o las cantidades limitantes de las restricciones. Habrá modelos cuya solución no exista o bien no sea única, también analizaremos algunos ejemplos de este tipo, los cuales se presentan continuamente en la realidad.

4.1. Gráfica de rectas y regiones en el plano

Una línea recta es un objeto geométrico. Euclides definió la recta como la distancia más corta entre dos puntos en el plano. Más tarde Descartes asocia a toda línea recta una representación algebraica a través de una ecuación lineal de dos variables. La definición en geometría analítica de la línea recta es:

Definición. Decimos que una línea recta que pasa por el punto (x0, y0) está formada por todos los puntos del plano cartesiano (x, y) tales que la relación

Unidad 4

126

m y yx x

0

0

permanece constante. A este número se le da el nombre de pendiente de una línea recta y se denota con la letra m.

Geométricamente la pendiente de una línea recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje positivo de las abscisas (ángulo de inclinación) medido en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (véase la figura 4.1.).

Figura 4.1. Gráfica de una línea recta.

La ecuación general de una línea recta es de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números reales. Ésta es una ecuación de primer orden con dos incógnitas que tiene un grado de libertad, esto quiere decir que podemos dar un valor arbitrario a cualquiera de las incógnitas y después despejar el valor de la otra variable. El conjunto solución de esta ecuación es infinito y representa todos los puntos que forman la línea recta.

Ejemplo 1

Obtener la gráfica de la ecuación 3x – 2y = 8.

Sabemos que dados dos puntos, sólo existe una recta que pasa por ellos, por lo tanto, basta conocer estos dos puntos que pertenecen a la línea recta para poderla trazar.


127

1. Damos un valor arbitrario a la variable y que puede ser el valor cero (y = 0), sustituimos en la ecuación: 3x – 2(0) = 8. Se resuelve la ecuación

resultante 3x = 8. Despejamos x y obtenemos x 83

, por lo que el primer

punto de la recta es 83

0,

.

2. En la ecuación 3x – 2y = 8, damos el valor arbitrario 2 a la variable x (x = 2), sustituyendo en la ecuación se tiene 3(2) – 2y = 8. La ecuación

resultante es 6 – 2y = 8. Despejamos y para obtener y

8 62

donde y = – 1.

Se obtiene así el segundo punto de la recta: (2, – 1).

3. Localizamos estos puntos en un plano cartesiano y trazamos la recta cuya ecuación es 3 2 8x y .

Ejercicio 1

1. La pendiente de una línea recta es ______________________ del ángulo de inclinación.

2. Euclides definió la línea recta como _____________________ más corta entre dos puntos en el plano.

yy

x

Unidad 4

128

3. La intersección de la ecuación x – 3y = 10 con el eje de las ordenadas es:

a) (0, 10)

b) 0 103

,

c) 0 103

,

d) 0 310

,

4. La gráfica de la ecuación x + y = 0 es:

5. La gráfica de la ecuación 2x1 + 4x2 = 4 es:

a) b)

c) d)

6. Obtener la gráfica de la ecuación 6x – 5y = 30

y

x

y

x

y

x

y

x


129

4.1.1. Gráfica de desigualdades lineales de dos variables

Una desigualdad lineal de una variable, así como una desigualdad lineal de dos variables, tienen por solución una región del plano cartesiano.

Por ejemplo, si tenemos la desigualdad x + y > 0, el punto (2, 3) pertenece al conjunto solución de esta desigualdad ya que 2 + 3 = 5 > 0 y, en general, el conjunto solución de esta desigualdad está dada por el plano que se encuentra sobre la recta x + y = 0. Gráficamente se representa como la región sombreada (véase la figura 4.2.):

Figura 4.2.

En este caso los puntos de la recta no pertenecen al conjunto solución, ya que estos puntos hacen que se cumpla la igualdad y no la desigualdad. En los modelos de I. O. generalmente se permiten ambos, es decir, la igualdad y la desigualdad. Esto lo denotamos utilizando los símbolos < (menor o igual que) o > (mayor o igual que). En estos casos la línea recta pertenece al conjunto solución y se marca como una línea continua.

Si queremos graficar una desigualdad lineal, se procede como sigue:

1. Graficar la igualdad asociada a la restricción. Con esto obtenemos una línea recta, la cual divide al plano cartesiano en dos regiones.

2. Para saber cuál de las dos regiones satisface la desigualdad, tomamos un punto cualquiera del plano cartesiano. Este punto se sustituye en la desigualdad.

y

x

Unidad 4

130

3. Si la desigualdad se cumple, entonces la región donde tomamos el punto es la región solución. Si no satisface la desigualdad entonces la región solución es la opuesta a donde tomamos el punto.

Ejemplo 2

Obtener la gráfica de la desigualdad 5x1 + 3x2 < 10

1. Se traza la gráfica de la igualdad asociada: 5x1 + 3x2 = 10

2. Se toma un punto, por ejemplo, (5, 10) que está por encima de la recta.

3. Lo sustituimos en la desigualdad 5(5) + 3(10) < 10 y verificamos que ésta se cumpla:

5(5) + 3(10) < 1025 + 30 < 10

55 < 10

Observamos que esta expresión es falsa, por lo tanto se toma la región que no incluye al punto seleccionado. Esto quiere decir que la región solución es la sombreada en la siguiente figura:


131

Figura 4.3.

Ejemplo 3

Obtener la gráfica de la desigualdad 2x1 + 3x2 < 6

1. Se traza la gráfica de la igualdad asociada 2x1 + 3x2 = 6

2. Se elige el punto (0, 0) que está por debajo de la recta.

3. Sustituimos en la desigualdad y verificamos si se satisface:

2 0 3 0 60 0 60 6

( ) ( )

Unidad 4

132

El origen cumple con la desigualdad, por lo tanto se toma la región que incluye al origen, la gráfica es la región sombreada en la siguiente figura:

Figura 4.4.

Ejemplo 4

Obtener la gráfica de la desigualdad 2x1 + 6x2 > 12

1. Se traza la gráfica de la igualdad asociada.


133

2. Se elige el punto (2, 0) que está por debajo de la línea recta.

3. Sustituimos este punto en la desigualdad y verificamos si la satisface:

2(2) + 6(0) > 124 + 0 > 12

4 > 12 Esta última expresión es falsa, por lo tanto, se toma la región que no contiene al punto (2, 0). La región es la parte sombreada en la siguiente figura:

Figura 4.5.

Ejercicio 2

1. La gráfica de la desigualdad 3x1 – 5x2 > 15 es:

–3

3

Unidad 4

134

2. Para graficar una desigualdad lineal primero se traza la _______________ asociada.

3. La gráfica de la desigualdad x1 > 0 es:

a)

b)

4. La gráfica de la desigualdad x2 es:

5. Obtener la gráfica de la desigualdad 3x1 + 6x2 < 30

6. Obtener la gráfica de la desigualdad 2x1 + 10x2 > 20

x2

x2

x1

y1


135

4.2. Región de soluciones factibles en maximización

En la sección anterior aprendimos a graficar desigualdades lineales con dos incógnitas, esto nos va a ayudar a obtener la solución de problemas de P. L., los cuales se resuelven primero por método gráfico; para posteriormente utilizar un método analítico.

Un modelo de maximización de P. L. de dos dimensiones tiene la forma general:

Zmáx = f(x1, x2) Sujeto a las restricciones (s. a.):a11x1 + a12x2 < b1a21x1 + a22x2 < b2...an1x1 + an2x2 < bncon las condiciones de no negatividad:x1 > 0x2 > 0

Donde:Zmáx = f(x1, x2) es una función lineal de dos variables, la cual queremos maximizar; un conjunto de desigualdades lineales de dos variables, las cuales pueden ser de la forma menor o igual que y la condición de no negatividad para las variables.

Lo primero que debemos hacer es buscar la región del plano que contiene los puntos solución de todas las desigualdades, para hacerlo primero debemos graficar cada una de las desigualdades y posteriormente empalmar todas las gráficas, la intersección de todas las regiones solución, es llamada región de soluciones factibles. O bien en un solo sistema coordenado se grafica al conjunto de restricciones (rectas y regiones) y la intersección será la región de soluciones factibles.

Unidad 4

136

Ejemplo 5

Obtener la región de soluciones factibles del siguiente conjunto de desigualdades.

3x1 + 2x2 < 6x1 + x2 > 0

Graficamos por separado cada una de las desigualdades y obtenemos:

3x1 + 2x2 < 6

x1 + x2 > 0

Si empalmamos estas dos gráficas, podremos observar que se intersectan en una franja, que se forma entre las dos líneas rectas.


137

Esta zona contiene los puntos solución de ambas desigualdades, por ejemplo, el punto (1, 1) está dentro de esta zona y al sustituirlo en las desigualdades las satisface:

3(1) + 2(1) < 6 1 + 1 > 0 3 + 2 < 6 2 > 0 5 < 6

Sin embargo, el punto (4, 5) sólo está en la zona de la desigualdad x1 + x2 > 0, esto quiere decir que solo satisface esta desigualdad. Para verificarlo se sustituye en ambas desigualdades el punto mencionado.

3(4) + 2(5) < 6 4 + 5 > 0 12 + 10 < 6 9 > 0 22 < 6 Falso Verdadero

Por lo tanto este punto no pertenece a la región de soluciones factibles.

Nota. La región de soluciones factibles de un conjunto de desigualdades también se llama región factible.

Cuando tenemos varias desigualdades, la zona factible puede ser de dos formas:

• No acotada.• Acotada.

Unidad 4

138

Si la región factible es no acotada, quiere decir que se puede extender indefinidamente hacia algún extremo del plano cartesiano. Si es acotada, lo que tenemos es un polígono irregular que contiene todos los puntos solución del sistema. Es importante añadir que las líneas del polígono también pertenecen a la zona factible; recordemos que estamos trabajando con desigualdades donde la igualdad se incluye.

Ejemplo 6

Obtener la región factible del siguiente conjunto de desigualdades.

3x1 + 2x2 < 18x2 < 6x1 < 4x1 > 0x2 > 0

a) Graficamos la primera desigualdad que es 3x1 + 2x2 < 18


139

b) Graficamos la segunda desigualdad que es x2 < 6

c) Graficamos la tercera desigualdad que es x1 < 4

d) Las desigualdades cuarta y quinta nos indican que nos limitamos a valores positivos de x1 y x2 dentro del primer cuadrante.

–6

–3

3

6

Unidad 4

140

e) Finalmente, si colocamos todas las gráficas en un mismo plano cartesiano y sombreamos sólo la parte donde se traslapan, obtenemos la zona factible.

En este caso obtuvimos un polígono irregular de 5 lados.

Otro método

Podemos graficar todas las desigualdades sobre un mismo sistema coordenado marcando con una flecha la región que corresponde a cada una. La intersección es la región factible como se muestra en la figura 4.6.

Figura 4.6.


141

Ejemplo 7

Obtener la región factible del siguiente problema de P. L.

s.a.: Zmáx = 3x1 + x2 3x1 + 2x2 < 12 x1 + x2 > 1 x2 < 3 x1 > 0 x2 > 0

Graficamos cada una de las desigualdades:

3x1 + 2x2 < 12 (1)

a) Graficamos primero la igualdad 3x1 + 2x2=12

xx

x

1

2

2

03 0 2 12

122

6

0 6

( )

( , )

xx

x

2

1

1

03 2 0 12

123

4

4 0

( )

( , )

Unidad 4

142

b) Ahora sustituimos el punto (6, 6) en la desigualdad.

3 2 123 6 2 6 1218 12 1230 12

1 2x x

( ) ( )

Como la desigualdad es falsa, se considera la región que no contiene el punto.

x1 + x2 > 1 (2)

a) Graficamos primero la igualdad asociada x1 + x2 = 1

xx

x

1

2

2

00 1

10 1

( , )

xxx

2

1

1

00 11

1 0

( , )


143

b) Ahora sustituimos el punto (2, 2) en la desigualdad.

x x1 2 12 2 14 1

Como la última expresión es verdadera, entonces el punto es un punto solución de la desigualdad y, por lo tanto, se considera la región que lo contiene.

x2 < 3, x1 > 0, x2 > 0 (3)

a) Graficamos las igualdades asociadas a cada desigualdad. La primera es una línea paralela al eje x1 al igual que la tercera. La segunda es una línea paralela al eje x2 que pasa por el origen.

Nota. En este tipo de rectas no es necesario obtener dos puntos para graficarlas.

Unidad 4

144

b) Las desigualdades x1> 0, x2 >0 nos limitan al primer cuadrante del plano cartesiano, mientras que la desigualdad x2 < 3 se satisface con los puntos que están por debajo de la recta asociada, por lo tanto, la zona solución de estas desigualdades es:

Ahora colocamos todas las gráficas en un plano cartesiano y obtenemos la región factible del problema de P. L.

Obtenemos un polígono irregular de 5 lados. Cada uno de los segmentos de línea que limitan la región factible, recibe el nombre de fronteras. La intersección de dos fronteras forma un vértice. Decimos que dos vértices son adyacentes si comparten una frontera.

Se asegura (como resultado de un teorema) que la solución óptima de nuestro problema (al maximizar o minimizar la función objetivo) se encuentra en uno de los vértices de la región factible.

x2

x1

21

43

–1–2–3–4

–2–4 2 4


145

Para saber cuál de los cinco vértices es el punto solución óptima, tenemos que graficar la función objetivo. Para hacerlo, tomamos un punto arbitrario de la región factible y lo sustituimos en la función objetivo para obtener un valor inicial. Por ejemplo, tomemos el punto (2, 2).

Zmáx=3x1 + x2 Z(2, 2)=3(2) + 2 Z(2, 2)=8

Ahora buscamos todos los puntos del plano para los cuales la función objetivo tiene el valor 8. Estos puntos los encontramos graficando la ecuación 3x1 + x2=8

Sólo un segmento de esta recta cae dentro de la región factible, es justamente este segmento el que contiene todos los puntos que son las combinaciones que pueden tomar nuestras variables de decisión, sin embargo, todas ellas dan a nuestra función objetivo el valor constante de ocho. Sabemos que el lado derecho de una ecuación lineal determina la posición de la recta dentro del sistema cartesiano, sin afectar la pendiente de la misma. Se trata de que la función objetivo asuma el máximo valor posible, entonces tomamos un valor mayor a ocho, digamos 10 y graficamos dentro del sistema cartesiano, es decir, se grafica la ecuación 3x1 + x2=10

Unidad 4

146

Al darle un valor más grande a nuestra función objetivo, ésta se desplazó hacia la derecha, entonces debemos desplazarla en esta dirección sin salirnos de la región factible. Esto lo podemos hacer con ayuda de unas escuadras y unas hojas milimétricas, para poder identificar el último punto que toca la función objetivo.

Así encontramos que la solución óptima del modelo de P. L. dado es x1 = 4 y x2 = 0 con el cual obtenemos un valor máximo de la función objetivo en Z = 12, ya que no existe ningún punto dentro de la región factible que haga que la función objetivo tome un valor mayor a 12.


147

Ejemplo 8

Recordemos que en la primera unidad se planteó el siguiente problema:

La empresa Patito produce dos tipos de detergentes, uno para ropa blanca y otro para ropa de color. El detergente de ropa blanca deja una ganancia de $ 2 por litro vendido, mientras que el de ropa de color deja una ganancia de $ 3. La empresa sólo puede producir 10 litros del de color y 15 del de ropa blanca al día. Los vendedores pueden vender como máximo 15 litros de detergente al día sin importar de cual se trate. ¿Cuál es la combinación que maximiza las ganancias de la empresa?

El modelo de programación lineal asociado es:

Zmáx = 2x + 3y

s.a.: x + y < 15 (1)

x < 15 (2)

y < 10 (3)

x > 0 (4)

y > 0 (5)

Si resolvemos este modelo utilizando el método gráfico, obtenemos:

Unidad 4

148

a) Graficamos cada una de las desigualdades sobre un mismo sistema cartesiano para hallar la zona factible.

b) Tomamos un punto arbitrario dentro de la zona factible y lo sustituimos en la función objetivo, para hallar un valor y poder graficarla. Por ejemplo el punto (5, 5); por lo tanto, Z(5, 5)= 2(5) + 3(5) = 25, con lo que tenemos que graficar la ecuación

2x + 3y=25

c) Damos un valor mayor (Z = 28) y graficamos, para ver hacia dónde se mueve la función objetivo.

4 2y

15

10

20

–5 5 10 15 20 2

1

3

5

x


149

En general siempre que demos un valor mayor al lado derecho de una ecuación lineal de dos variables, esta se va a desplazar a la derecha sobre el eje horizontal. Si la línea es paralela a este eje, entonces se desplaza hacia arriba.

d) Desplazamos la función objetivo en la dirección de maximización, sin salirnos de la región factible. El último punto que toque es la solución óptima.

Esto quiere decir que debemos producir 5 litros del detergente para ropa blanca y 10 litros de detergente para ropa de color, con esta combinación la empresa va a tener una ganancia de $ 40.

Unidad 4

150

Ejercicio 3

1. Un modelo de P. L. está formado por una función _________________ que se tiene que maximizar o minimizar.

2. El método gráfico se utiliza para resolver problemas en __________ dimensiones.

3. El área donde coinciden todas las gráficas de las desigualdades se llama:

a) Solución.b) Región factible.c) Región no factible.

4. Si la región factible es acotada, lo que obtenemos es un:

a) Cuadrado.b) Triángulo.c) Polígono irregular.

5. Los candidatos a solución del problema son:

a) Los puntos interiores.b) Los puntos exteriores.c) Los vértices.

6. Obtener la región factible del siguiente modelo de programación lineal, además de la solución óptima con el valor de Zmáx:

Zmáx = 4x1 + x2 s.a.: 6x1 + 2x2 < 12 x1 + 2x2 > 1 x2 < 3 x1 > 0 x2 > 0


151

4.3. Región de soluciones factibles en minimización

En esta sección resolveremos problemas de P. L. por método gráfico, donde la función objetivo se va a minimizar. Como los pasos a seguir son esencialmente los mismos, vamos a desarrollar el método resolviendo el siguiente problema.

Ejemplo 9

Resolver el siguiente problema de P. L.

Zmín = 3x1 + x2 s.a.:

3 2 121300

1 2

1 2

2

1

2

x xx x

xxx

Su región factible ya la calculamos, por lo tanto sólo la dibujamos:

Ahora debemos graficar la función objetivo. La gráfica queda entonces de la siguiente forma:

Unidad 4

152

La diferencia es que ahora le damos un valor menor a la función objetivo y observamos hacia donde se desplaza. Por ejemplo, con el valor Z = 4 graficamos la línea recta 3x1 + x2=4

La recta se desplaza hacia la izquierda, por lo tanto debemos desplazar esta recta paralelamente hasta alcanzar el último punto de la región factible.


153

De esta manera, la solución óptima se encuentra en el vértice (0, 1), donde la función objetivo toma el valor Zmín=1.

La única diferencia para resolver un problema de maximizar o de minimizar es la dirección en la que se debe desplazar la línea que representa la función objetivo.

Ejercicio 4

Obtener la región factible de los siguientes modelos de programación lineal, además de la solución óptima

1. Zmín=4x1 + x2 s.a.:

6 2 122 1

3

1 2

1 2

2

x xx x

x

xx

1

2

00

2. Zmín=x1 + 4x2

s.a.:

6 2 122 2

3

1 2

1 2

1

x xx x

x

xx

1

2

00

4.4. Solución gráfica con propiedades especiales

Al igual que en los sistemas de ecuaciones lineales, existen tres casos posibles:

• Que el problema tenga solución única.• Que el problema no tenga solución.• Que el problema tenga una infinidad de soluciones.


159

5. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal.

Z x xx x

x xx x

m xá

s.a.:

10 52 10

4 6 248

1 2

1 2

1 2

1 2

x x1 2 0,

4.5. Análisis gráfico de sensibilidadUna vez que obtuvimos la solución del modelo de programación lineal, debemos realizar un análisis de sensibilidad, debido a que los sistemas con los que se trabaja en la realidad son dinámicos y no estáticos. Por ejemplo, ¿cómo se afecta la solución si cambiamos los coeficientes de la función objetivo? o ¿qué pasa si se varían las cantidades limitantes en las desigualdades? Esto es importante, ya que si la empresa tiene capital para comprar una mayor cantidad de alguna de las materias primas, debemos decidir en cual nos conviene este aumento. El análisis de sensibilidad presentado en esta sección se basa en ideas gráficas, un análisis analítico lo vamos a llevar a cabo en la unidad 5.

Cambio en los coeficientes de la función objetivo

Los coeficientes de la función objetivo representan la utilidad unitaria de cada uno de los productos, o bien el costo unitario. En ambos casos una variación en estos datos hacen que la función objetivo cambie. Para llevar a cabo el análisis de sensibilidad en este caso, revisemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 13

Una empresa fabrica bocinas de 3” y 8” de diámetro. Las bocinas de 3” dejan una utilidad de $ 20, mientras que las de 8” de $ 30. La empresa puede fabricar como máximo 300 bocinas al día, por políticas del departamento de ventas se deben producir al menos 100 bocinas de 3” y como máximo 150 bocinas de 8”. ¿Cuántas bocinas de cada tamaño se deben producir para maximizar la utilidad?

Unidad 4

160

Las variables de decisión son:

x1= número de bocinas de tres pulgadas que se deben fabricar. x2= número de bocinas de ocho pulgadas que se deben fabricar.

El modelo de P. L. asociado a este problema es:

Z x xx x

x

m xá

s.a.:

20 30300

100

1 2

1 2

1

xxx

2

1

2

15000

Los coeficientes de la función objetivo se obtienen de las ganancias que deja cada tipo de bocinas. Aplicando el método gráfico, obtenemos la siguiente región factible.

En el punto (150, 150) Zmáx tiene un valor de $ 7 500. La pregunta ahora es ¿qué pasa con la solución si la ganancia de la bocina de 3” aumenta a $ 25? Este cambio hace que la función objetivo cambie de coeficientes, sin embargo, no afecta ninguna de las desigualdades, por lo tanto la zona factible se mantiene igual y lo único que cambia es la inclinación de la recta que representa la función objetivo. Lo que nos interesa saber es si debemos seguir produciendo 150 bocinas de cada tipo, o si este cambio realizado afecta nuestra solución. Esto depende de qué tanto cambie la inclinación de la recta. Realicemos un análisis gráfico para determinar el rango en que se puede variar la inclinación de dicha recta sin cambiar el vértice solución.

Zmáx


161

La ecuación de la recta asociada a Zmáx en el punto solución es:

20x1 + 30x2=7 500, con una pendiente de m12030

23

.

Zmáx con la modificación del coeficiente asociado a la bocina de 3” es:

25x1 + 30x2=7 500, con una pendiente m22530

56

. Si graficamos

ambas rectas obtenemos lo siguiente:

La pendiente disminuyó, lo que hizo que la recta se desplazara hacia abajo, por lo que al desplazarla nuevamente hacia arriba llegamos al mismo punto óptimo, pero el valor de Zmáx ahora es $ 8 250.

El vértice no varió, porque el cambio de la pendiente se mantuvo entre las pendientes de las fronteras del vértice solución óptima, esto es, de las rectas x1 + x2=300 con pendiente ma= – 1 y la recta x2=150 con pendiente mb= 0. Por ejemplo, si la ganancia de las bocinas de 3” se incrementa a $ 35 entonces Zmáx toma la forma 35x1 + 30x2=9 750 (9 750 porque la evaluamos

en el punto (150, 150)), cuya pendiente es m33530

76

que se sale del

intervalo [–1, 0]. Si graficamos esta recta obtenemos:

Unidad 4

162

En la gráfica se ve claramente que esta recta giro más allá de la frontera x1 + x2=300, y que, además, podemos seguir moviéndola hacia la derecha sin salirnos de la región factible, y así llegar al vértice (300, 0) que es nuestra nueva solución, con un valor de Z = $ 10 500.

El punto que escogimos hizo que la pendiente fuera negativa, si cambiamos los coeficientes para que la pendiente sea mayor a cero, esto implicaría que una de las bocinas causará pérdidas en lugar de utilidades. Realicemos el análisis, porque en ocasiones esto sucede en la realidad, ya que el introducir un nuevo producto puede reportar pérdidas en lugar de ganancias. Por ejemplo, digamos que nuestras bocinas de 3” dejan una pérdida de $ 20. Con esto la función objetivo toma la forma – 20x1 + 30x2=4 200 con una

pendiente m42030

23

. Si graficamos obtenemos:


163

La recta giró más allá de la frontera x2=150. En este caso para maximizar la función Zmáx debemos desplazar la recta hacia arriba, por lo que la solución pasa a ser el punto (100, 150) con una ganancia de $ 2 500.

Podemos decir entonces que la solución no va a cambiar de vértice, a menos que la pendiente se salga del intervalo [ma, mb] que son las pendientes de las fronteras que se intersectan en dicho vértice.

Cambio en las cantidades limitantes

Ahora supongamos que la empresa quiere producir 400 bocinas en lugar de las 300 que originalmente consideramos. ¿Cómo afecta esto la solución?

Unidad 4

164

Ésta es la otra posibilidad, cambiar las cantidades limitantes de las desigualdades y mantener constantes los coeficientes de la función objetivo. Vamos a analizar el caso donde sólo varió una de las restricciones, posteriormente se pude generalizar este análisis.

El cambiar la cantidad límite de alguna de las desigualdades implica que la región factible también se modifique, sin embargo, la función objetivo se mantiene sin cambios, lo importante ahora es determinar nuevamente cómo se afecta el punto óptimo. El cambiar el valor numérico de una ecuación de la forma x1 + x2=400 no afecta su pendiente, lo que hace es desplazarla sobre los ejes, moviendo su ordenada al origen. Esto ocasiona que la región factible se haga más grande o más pequeña. En el ejemplo la región factible toma la forma:

En este caso la región factible aumenta de tamaño, el vértice solución óptima se desplaza hacia la derecha, lo que hace que la función objetivo pueda tomar un valor mayor.

Lo que debemos cuidar al variar el lado derecho de las desigualdades es no variarlo de tal manera que resulte una región no factible.

Otra pregunta importante es: ¿En cual de las desigualdades me conviene aumentar o disminuir su cantidad limitante?

Esta pregunta la vamos a contestar cuando realicemos el estudio del problema dual, por el momento sólo debemos tener presente que pequeños incrementos en las cantidades limitantes de las desigualdades implican pequeños aumentos en la región factible, lo que se traduce en pequeños aumentos de la función objetivo Zmáx.

Para ejemplificación del análisis de sensibilidad ver anexo al final del libro.


223

Introducción

En la unidad 5 aprendimos a resolver modelos de P. L. por el método símplex y el dual símplex, el resultado obtenido podía ser cualquier número real, sin embargo, existen problemas que

no aceptan como solución un número real, por ejemplo, pensemos en el problema de selección de personal de la unidad 3, en este caso no podemos colocar 1.5 empleados. Por esta razón se han desarrollado algoritmos especiales para la búsqueda de soluciones enteras de modelos de P. L.

Podemos suponer que es más fácil resolver un problema de P. L. entera que uno de P. L. estándar, pero esto en general no es cierto, ya que en la actualidad no existe un algoritmo óptimo (desde el punto de vista computacional) para su puesta en práctica; por esta razón mostramos dos de los métodos más utilizados en la practica:

• El método de ramifica y acota (Branch and Bound).• El algoritmo de corte (Gomory).

Los problemas que resuelven corresponden a los llamados modelos de programación lineal entera (P. L. E.). Estos modelos se clasifican de la siguiente manera:

• Modelos de P. L. E. puros. Cuando todas las variables de decisión sólo tienen sentido si toman valores enteros.• Modelos de P. L. E. mixtos. Cuando alguna de las variables de decisión pueden tomar valores reales y sólo un subconjunto está restringido a tomar valores enteros.• Modelos de P. L. E. binarios. Cuando las variables de decisión sólo pueden tomar dos valores, por ejemplo, verdadero o falso, esto se representa con cero o uno.

Empezaremos la unidad dando un ejemplo de cada uno de ellos y posteriormente analizaremos los dos métodos de solución mencionados. Estos dos métodos se estudian sólo con modelos de P. L. E. que tienen como objetivo maximizar; para resolver problemas de minimización se sugiere obtener el modelo dual presentado en la unidad 5.

Unidad 6

224

6.1. Aplicaciones ilustrativas

En la unidad 3 obtuvimos los modelos de algunos problemas de P. L., sin embargo, no hicimos hincapié en que algunos de ellos eran modelos de P. L. E. En esencia la formulación de un modelo de P. L. E. sigue los mismos pasos que un modelo de P. L. estándar, la única diferencia es que algunas de las variables de decisión o todas están restringidas a tomar sólo valores enteros. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Problema de costo fijo (ejemplo de modelo puro)

Una fábrica produce tres tipos de herramientas, taladros, máquina caladora y desarmador eléctrico. Los costos para producir cada herramienta están dados por un costo fijo que es aplicable sólo si se produce al menos una unidad, más un costo por unidad. En la siguiente tabla mostramos los datos correspondientes.

Esto es, si producimos 3 taladros el costo es C(3) = 100 + 3(25) = 175, ya que el costo fijo aplica desde una unidad hasta varias unidades. La empresa tiene que fabricar por lo menos 50 taladros, 80 máquinas caladoras y 100 desarmadores eléctricos, sin embargo sólo tiene un capital de $ 20 930. El taladro deja una ganancia de $ 100 por unidad, la máquina caladora $ 50 y el desarmador eléctrico $ 20. ¿Cuál es la combinación que optimiza las ganancias? Obtener el modelo de P. L. E. asociado.


225


x1 = número de taladros que se van a producir. x2 = número de caladoras que se van a producir. x3 = número de desarmadores que se van a producir.

Hacemos la suposición de que toda la producción se vende, ya que el problema no nos proporciona información al respecto.

La función objetivo la podemos escribir como:

Zmáx = 100x1 + 50x2 + 20x3

Las restricciones son:

100 + 25x1 + 80 + 20x2 + 50 + 10x3 < 20 930 x1 > 50 x2 > 80

x3 > 100

Por lo tanto el modelo de P. L. E. es:

Z x x xx x x

m xá

s. a.:

100 50 2025 20 10 20 700

1 2 3

1 2 3

xxxxi

1

2

3

50801000

ii

xi

1 2 3, , enteros

La última restricción es necesaria ya que no podemos producir fracción de taladros o fracción de desarmadores. Este modelo se resuelve en la sección de problemas resueltos (problema 2).

Nota. Aquí es importante el hecho de que las variables no pueden tomar el valor cero, ya que esto cambiaría sustancialmente el modelo, debido a que el costo fijo sólo es aplicable si se produce al menos una unidad.

Unidad 6

226

Ejemplo 2

Problema de producción (ejemplo de modelo mixto)

Una empresa produce tornillos y clavos. Los tornillos se venden por cajas de 100 unidades cada una, mientras que los clavos se venden a granel. La producción de cada 100 tornillos tiene un costo de $ 20, mientras que el kg de clavos tiene un costo de $ 10. La empresa tiene un capital disponible de $ 10 000 y desea saber cuál es la combinación que optimiza sus ganancias.

El precio de venta por caja de tornillos es de $ 25 mientras que el kg de clavos se vende a $ 20, la empresa debe entregar por lo menos 20 cajas de tornillos. Hallar el modelo de P. L. E. asociado a este problema.

Las variables de decisión son las siguientes:

x1 = número de cajas de tornillos producidas y vendidas. x2 = cantidad producida y vendida de clavos (en kg).

El objetivo es maximizar las ganancias de la empresa, por lo tanto la función objetivo debe cuantificar las ganancias producidas por las diferentes combinaciones de producción:

Zmáx = 5x1 + 10x2

La primera restricción tiene que ver con el capital disponible para la producción:

20x1 + 10x2 < 10 000

La segunda restricción está en función de la demanda mínima de cajas de tornillos:

x1 > 20

Finalmente la condición de positividad:

x1, x2 > 0


227

Como los tornillos se venden por caja, entonces la variable x1 sólo toma valores enteros, mientras que la variable x2 puede tomar cualquier valor ya que la venta de clavos es a granel, esto es, podemos vender 123.4 kg de clavos.

Por lo tanto el modelo de P. L. E. es mixto, y lo escribimos a continuación:

Zmáx = 5x1 + 10x2 s. a.: 20x1 + 10x2 < 10 000 x1 > 20 con x1, x2 > 0 y x1 Z

Ejemplo 3

Problema de producción (ejemplo de modelo binario)

Una asociación crediticia de asistencia pública debe colocar como mínimo $ 15 000 en créditos personales de $ 1 000 y créditos para útiles escolares por $ 1 500. La asignación de estos créditos tiene un costo, el cual se divide en dos partes: un costo fijo que se aplica en caso de que se asigne al menos un crédito y otra que depende del número de créditos otorgados. En la siguiente tabla presentamos estos costos:

Los costos son absorbidos por la asociación, por lo tanto desean minimizarlos. ¿Cuál es la combinación que minimiza dichos costos? Obtener el modelo de P. L. E. asociado al problema.


x1 = número de créditos personales otorgados.x2 = número de créditos para útiles otorgados.

Unidad 6

228

El costo por crédito personal está dado por:

C xx x

x1 11 1

1

500 100 00 0

( )

El costo por crédito para útiles está dado por:

C xx x

x2 22 2

2

300 150 00 0

( )

Una primera idea puede ser escribir la función objetivo de la siguiente manera:

Zmín = 500 + 100x1 + 300 + 150x2

Esta función objetivo tiene el inconveniente de que si no se otorgan créditos para útiles, no se incurre en el costo fijo, sin embargo, la función objetivo sí lo contabiliza. Para solucionar este problema se agregan dos variables artificiales del tipo binario; esto es, variables que sólo pueden tomar el valor 0 o 1. Dichas variables las definimos de la siguiente manera:

yxx1

1

1

0 01 0

yxx2

2

2

0 01 0

Estas restricciones las podemos escribir como:

x1 < My1x2 < My2

Donde M > 0 es lo suficientemente grande, de tal manera que xi < M sea trivial para cualquier restricción del problema.


229

Entonces el modelo de programación lineal se escribe como:

Z x x y yx x

m ní

s. a.:

100 150 500 3001 000 1 500 15 000

1 2 1 2

1 2

x Myx Myx x

1 1

2 2

1 2 0

,

y yM

1 2 0 10

,

o

El modelo anterior representa al problema.

Si xi > 0 entonces la desigualdad xi < Myi obliga que yi tome el valor 1. Con lo cual en la función objetivo se considera el costo fijo. Si xi = 0 entonces la desigualdad xi < Myi hace que yi puede tomar el valor 0 o 1, pero como en la función objetivo se está minimizando, obliga que yi tome el valor 0 y, por lo tanto no se toma en cuenta el costo fijo asociado con xi.

El modelo que se obtuvo es un modelo de P. L. E. binario ya que algunas de las variables sólo pueden tomar el valor 0 o 1, mientras que otras sólo pueden tomar valores enteros.

Con estos tres ejemplos nos damos cuenta de que la formulación de los modelos de P. L. E. sigue los mismos pasos que la de los modelos de P. L. estándar. En la siguiente sección, se verán los cambios que se deben realizar al resolver dichos modelos y de la complejidad que representan.

Ejercicio 1

1. Un modelo de P. L. cuyas variables de decisión sólo pueden tomar valores enteros se clasifica como entero:

a) Puro.b) Mixto.c) Binario.d) Dual.

Unidad 6

230

2. Un modelo de P. L. en el que algunas variables de decisión sólo pueden tomar valores enteros se clasifica como entero:


3. Un problema de P. L. donde las variables de decisión sólo pueden tomar dos posibles valores se denomina modelo:


4. Uno de los métodos conocidos para resolver un modelo de P. L. E. es:

a) Símplex.b) Gráfico.c) Gomory.d) Dual.

5. Obtener el modelo de P. L. E. asociado al siguiente problema:

Una empresa produce 2 tipos de refacciones para automóviles. El costo por unidad para la refacción 1 es de $ 2, mientras que el costo de la refacción 2 es de $ 1. Se tiene un presupuesto de $ 2 500 para la fabricación del lote. La utilidad de la refacción 1 es de $ 5, mientras que para la refacción 2 es de $ 6. El departamento de ventas informa que se pueden vender fácilmente hasta 250 unidades de la refacción 1 y hasta 100 unidades de la refacción 2. Se trata de optimizar la utilidad de la empresa.


231

6.2. Algoritmos para la solución de modelos de P. L. E.

Se mencionó al inicio de la unidad que no es fácil resolver los modelos de P. L. E., ya que si bien el número de posibles soluciones disminuye, nada nos garantiza que el vértice solución óptima del problema contenga en sus coordenadas sólo valores enteros. Sin embargo, la P. L. E. tiene tantas aplicaciones que es necesario contar con algoritmos que permitan resolverlos de manera óptima. En esta sección vamos a estudiar dos de los métodos más utilizados en la actualidad:

• Método de ramifica y acota.• Método de Gomory.

Como no existe el método óptimo, en ocasiones conviene utilizar uno, mientras que en otras puede ser que no funcione. El gran problema surge al implementarlos en la computadora, ya que el método de ramifica y acota requiere de demasiadas operaciones, lo cual lo vuelve costoso, mientras que el método de corte es más económico, pero no siempre converge a la solución óptima.

Método de ramifica y acota

Al resolver un modelo de P. L. E., la primera idea que surge es la de resolver el modelo como un problema de P. L. estándar. Una vez que se tienen la solución, si ésta cumple con las condiciones de que todas las variables de decisión sean enteras, entonces el problema está resuelto. Si no, entonces podemos redondear los valores y aplicar el proceso hacia la solución del modelo de P. L. E. A continuación se presentan ejemplos para analizar a fondo.

Unidad 6

232

Ejemplo 4

Resolver el siguiente modelo de P. L. E. puro.

Z x xx x

xx

m x

..

á

s. a.:

3 45 5

3 5

1 2

1 2

2

1,,,

x

x x2

1 2 0

enteros

Por el método símplex se obtiene la solución óptima del modelo (sin considerar la restricción de que x1 y x2 deben ser enteros):

x1 = 2 x2 = 3.5

Y el valor de la función objetivo es: Z = 20.

Observamos que la variable x1 si satisface la restricción de ser entera, sin embargo, la variable x2 no lo satisface. Si redondeamos el valor de x2 obtenemos:

x1 = 2x2 = 4

El punto (x1, x2) no está dentro de la región factible, por lo tanto tenemos que modificar el valor de x2, con lo cual obtenemos la solución óptima:

x1 = 2 x2 = 3 con Zmáx = 18

que satisface la condición de que las variables sean enteras.

El método de ramifica y acota toma la idea anterior, sólo que ahora analiza todas las posibilidades de redondeo. Para ello va formando un árbol de combinaciones, como los utilizados en probabilidad. A continuación describimos el algoritmo del método:


233

Paso 1. Se resuelve el modelo utilizando el método símplex, sin tomar en cuenta las restricciones de que las variables deben tomar valores enteros. Si la solución óptima del problema satisface la condición de ser entera, el modelo esta resuelto. Parar. Si no, continuar con el algoritmo.

Paso 2. Se toma una de las variables que no es entera y se toma el valor del entero próximo mayor y el valor del entero próximo menor. Se plantean dos nuevas restricciones: que la variable sea mayor al entero mayor y que la variable sea menor al entero menor.

Paso 3. Una vez hecho esto se plantean dos nuevos modelos de P. L. que se deben resolver. Cada uno de ellos se obtiene al agregar una de las dos restricciones del punto anterior.

Paso 4. Se resuelve cada uno de los modelos utilizando el método símplex. Si la solución óptima es entera se anota el valor de la función objetivo. Si la solución óptima de todos los modelos ya es entera se pasa al punto 5, si no, se aplica nuevamente el método desde el punto 2, para cada uno de los modelos que tiene solución no entera.

Paso 5. Se comparan los valores de Z y se toma el máximo, la solución asociada a este valor es la solución óptima del modelo.

Ejemplo 5

Hallar la solución del siguiente problema de P. L. E.

Z x xx xx x

x

m xá

s. a.:

1 2

1 2

1 2

8 5 404 6 24

11 2

1 2 0,,

x

x x

enteros

Si resolvemos este problema utilizando el método símplex, obtenemos la solución óptima:

Unidad 6

234

x1 = 4.2857 x2 = 1.1429 con Z = 3.1428

En este problema ninguna de las variables cumple con la condición de ser entera, por lo tanto tenemos que redondear los dos valores, obteniendo:

x1 = 4 x2 = 1 con Z = 3

Pareciera que ésta es la solución óptima, sin embargo, este punto no está en la región de soluciones factible. Entonces:

¿Cómo debemos redondear para que los valores estén dentro de la región factible?

Se selecciona la variable a redondear (una a la vez) y se toma el valor del entero próximo mayor y el valor del entero próximo menor, de manera que se plantean dos nuevos modelos de P. L. que se deben resolver.

En este ejemplo trabajaremos con x1 = 4.2857. Las restricciones que se deben añadir a los sistemas asociados son: x1 < 4 o x1 > 5.

Tomamos el problema del lado izquierdo, y aumentamos las siguientes restricciones: x2 < 1 o x2 > 2, con lo que se generan los siguientes sistemas asociados:


235

Continuamos añadiendo al modelo de la derecha una de las siguientes restricciones: x1 < 3 o x1 > 4.

Por lo tanto la solución óptima del modelo de P. L. E. es:

x1 = 3 x2 = 2 con Zmáx = 1

Ejemplo 6

Resolver el siguiente modelo de P. L. E.

Z x xx x

x

m x

..

á

s. a.:

3 45 53 5

1 2

1 2

2

xx xx x

1 2

1 2 0,,

enteros

Resolviendo por método símplex se obtiene la solución óptima (sin considerar la restricción de que las variables sean enteras):

x1 = 2 x2 = 3.5 con Z = 20

Seleccionamos la variable que no cumple la condición de ser entera. En este caso es x2. Escribimos los enteros próximos (mayor y menor) al valor que obtuvimos de esta variable: 4 y 3.

Se plantean dos nuevos modelos de P. L., los cuales se obtienen al agregar una de las siguientes restricciones al modelo de P. L. E. original:

x2 < 3 o x2 > 4

Unidad 6

236

Los modelos que obtenemos son:

Z x xx x

xx

m x

..

á

s. a.:

3 45 5

3 5

1 2

1 2

2

2 33

01 2

1 2

enteros

x xx x

,,

Problema asociado 1

Z x xx x

xx

m x

..

á

s. a.:

3 45 5

3 5

1 2

1 2

2

2 44

01 2

1 2

enteros

x xx x

,,

Problema asociado 2

A continuación se resuelve cada uno de estos modelos utilizando el método símplex.

La solución óptima del problema asociado 1 es:

x1 = 2.5 x2 = 3 Z = 19.5

Mientras que el problema asociado 2 no tiene solución, ya que no existe región de solución factible.

Como el problema asociado 1 sí tiene solución pero no es entera, entonces tomamos la variable x1 cuyo valor es 2.5, tomamos los enteros mayor (3) y menor (2) próximos y escribimos dos modelos asociados añadiendo al problema asociado 1 una de las siguientes desigualdades:

x1 < 2 o x1 > 3


237

Con lo que obtenemos:

Z x xx x

xx

m x

..

á

s. a.:

3 45 5

3 5

1 2

1 2

2

2 3321

1 2

1

enteros

xx xx x

,

, 22 0

Problema asociado 3

Z x xx x

xx

m x

..

á

s. a.:

3 45 5

3 5

1 2

1 2

2

2

331

1 2

1

enteros

xx xx

,, xx2 0

Problema asociado 4

Resolvemos el problema asociado 3 con el método símplex y se obtiene la solución óptima:

x1 = 2x2 = 3Z = 18

Resolviendo el problema asociado 4 con el método símplex se obtiene la solución óptima:

x1 = 3x2 = 2.5

Z = 19

La solución del problema asociado 3 satisface la condición de ser entera, pero no sabemos si es óptima, por lo que tenemos que continuar con el método.

La solución del problema asociado 4 presenta la variable x2 con un valor no entero, por lo tanto nuevamente se plantean dos problemas asociados, al añadir al problema asociado 4 una de las siguientes restricciones:

Unidad 6

238

x2 < 2 o x2 > 3

Obtenemos los problemas asociados:

Z x xx x

xx

m x

..

á

s. a.:

3 45 5

3 5

1 2

1 2

2

2

332

1

2

1 2

enteros

xxx x,

x x1 2 0,

Problema asociado 5

Z x xx x

xx

m x

..

á

s. a.:

3 45 5

3 5

1 2

1 2

2

2

333

1

2

1 2

enteros

xxx x,

x x1 2 0,

Problema asociado 6

Resolvemos cada uno de estos problemas utilizando el método símplex:

La solución óptima del problema asociado 5 es:

x1 = 2x2 = 2Z = 14

Mientras que el problema asociado 6 tiene la solución óptima:

x1 = 2x2 = 3Z = 18

Como ambas soluciones son enteras, se concluye que la solución óptima es:


239

x1 = 2 x2 = 3 con Zmáx = 18

Por el llamado método del árbol:

Unidad 6

240

Ejercicio 2

1. En cada iteración del método de ramifica y acota, la región factible se:

a) Divide. b) Reduce.c) Corta.d) Aumenta de tamaño.

2. En el método de ramifica y acota cada variable no entera da origen a:

a) Una restricción nueva.b) Dos restricciones nuevas.c) Ninguna restricción.d) No se sabe.

3. Si el valor de una de las variables de decisión en un modelo de P. L. es x = 2.8, entonces debemos agregar las siguientes desigualdades:

a) x > 3 o x < 3b) x > 3 o x > 2c) x > 3 o x < 2d) x > 2 o x < 2

4. La solución óptima de un modelo de P. L. E. sólo acepta valores:

a) Positivos.b) Reales.c) Positivos y enteros.d) Positivos y reales.

5. Si la solución por método símplex de un modelo de P. L. E. sin tomar en cuenta la condición de que las variables sean enteras es x1 = 2.3, x2 = 5.8, entonces la solución óptima se obtiene al:

a) Redondear hacia arriba.b) Redondear hacia abajo.


241

c) Tomar la parte entera.d) Aplicar el método de ramifica y acota.

6. Obtener los dos primeros modelos auxiliares (el primer nivel del árbol) que se tienen al resolver el siguiente modelo de P. L. E. por el método de ramifica y acota:

Z x xx x

x x

m x

,

á

s. a.: enteros

1 2

1 2

1 2

8 5 32

x x1 2 0,

Método de Gomory

El método presentado de ramifica y acota tiene el inconveniente de que en cada paso se tiene que resolver dos nuevos programas asociados. Esto hace que el número de operaciones sea grande, aunque en ocasiones puede ser que uno de los dos problemas no tenga solución. En el método que vamos a presentar a continuación se reduce el tamaño de la región factible pero sin dividirla, para esto, se va añadiendo una restricción en cada iteración. Estas iteraciones “cortan” la región factible, de tal manera que la nueva región debe contener la solución entera óptima de nuestro modelo, si es que existe. El algoritmo del método se presenta a continuación.

Paso 1. Se resuelve el modelo sin tomar en cuenta la restricción de que las variables sean enteras.

Paso 2. Si la solución óptima cumple la condición de ser entera, ésta es la solución del modelo. Si no, se toma uno de los renglones de la tabla símplex óptima con lado derecho no entero. A este renglón le llamamos renglón fuente.

Paso 3. Escribimos los coeficientes del renglón fuente como una combinación de un número entero y una parte fraccionaria positiva entre cero y uno.

Unidad 6

242

Paso 4. Pasamos todos los coeficientes fraccionarios del lado izquierdo, los enteros los pasamos al lado derecho. Ahora hacemos que el lado izquierdo sea mayor o igual a cero.

Paso 5. Escribimos esta desigualdad en forma de igualdad al sumar la variable de superávit y la añadimos a nuestra tabla símplex óptima. Resolvemos por el método dual símplex. Regresamos al paso 2.

Ejemplo 7

Para explicar el método descrito vamos a resolver el siguiente modelo de P. L. E.:

Z x xx x

x x

m x

,

á

s. a.: enteros

22 5 17

1 2

1 2

1 2

x x1 2 0,

Resolvemos el problema utilizando el método símplex tabular sin tomar en cuenta las restricciones de que las variables sean enteras. La tabla óptima se presenta a continuación:

Paso 1. Buscamos el primer renglón asociado a la variable básica que no cumpla con la condición de ser entera. En este caso es el renglón asociado a la variable x1. Este renglón representa la ecuación:

x1 + 2.5x2 + 0.5s1 = 8.5

Paso 2. Se escribe cada coeficiente y constante fraccionarios de la ecuación obtenida en el paso 1, como la suma de un entero y una fracción positiva entre 0 y 1.

x1 + 2x2 + 0.5x2 + 0.5s1 = 8 + 0.5


243

Escribimos la ecuación de tal manera que el lado izquierdo contenga solamente términos con coeficientes fraccionarios y una constante fraccionaria, mientras que del lado derecho sólo aparezcan números enteros.

0.5x2 + 0.5s1– 0.5 = 8 – x1– 2x2

Paso 3. Hacemos que el lado izquierdo de la igualdad sea mayor o igual a cero.

0.5x2 + 0.5s1– 0.5 > 0o

0.5x2 + 0.5s1 > 0.5

Ésta es la nueva restricción que debemos agregar al modelo.

El nuevo modelo por resolver es el que obtenemos al escribir las restricciones de la tabla óptima del método símplex, agregando la última restricción obtenida. La función objetivo no cambia:

Z x xx x x

x x

m x

. . .. .

á

s. a.:

22 5 0 5 8 50 5 0 5

1 2

1 2 3

2 33

1 2 3

1 2 3

0 50

.

, ,, ,

x x xx x x enterass

Modelo 2

Aquí la variable artificial s1 se renombró como la variable x3.

Resolvemos este problema por método símplex y repetimos los pasos 1 a 3.

La tabla óptima del método símplex asociado al modelo 2 es:

Unidad 6

244

Donde obtenemos la solución:

x1 = 8 x2 = 0 Zmáx = 16

La cual es la solución óptima entera.

Ejemplo 8

Utilizando el método de Gomory resolver el siguiente modelo de P. L. E.

Z x xx x

x x

m xá

s. a.:

22 5 17

5 3 16

1 2

1 2

1 2

enteros

x xx x

1 2

1 2 0,,

Paso 1. Resolvemos el problema utilizando el método símplex y tabular sin tomar en cuenta las restricciones de que las variables sean enteras. La tabla óptima es:

Paso 2. La solución es: x1 = 3.20, x2 = 0 con Z = 6.4. Como la variable x1 no es entera entonces continuamos con el método. Buscamos uno de los renglones asociado a la variable básica que no cumpla con la condición de ser entera. En este caso es el renglón asociado a la variable x1. Este renglón representa la ecuación:

x1 + 0.60x2 + 0.2h2 = 3.20


245

Paso 3. Escribimos los coeficientes como una combinación de un número entero y una parte fraccionaria entre cero y uno.

x1 + 0.60x2 + 0.2h2 = 3 + 0.20

Paso 4. Pasamos todos los coeficientes fraccionarios al lado izquierdo.

0.60x2 + 0.2h2– 0.20 = 3 – x1 0.60x2 + 0.2h2– 0.20 > 0

Paso 5. Escribimos la desigualdad anterior en forma de igualdad al sumar la variable de superávit y la añadimos a la tabla símplex óptima:

– 0.60x2 + 0.2h2 + h3 = –0.20

Resolvemos utilizando el método dual símplex:

Regresamos al paso 2.

Paso 2. La solución obtenida es:

x x Z1 23 13

1813

, , con

Unidad 6

246

La variable x1 ya cumple la condición de ser entera, pero la variable x2 aún no, por lo que volvemos a aplicar el método. Buscamos uno de los renglones asociado a la variable básica que no cumpla con la condición de ser entera. En este caso es el renglón asociado a la variable x2. Este renglón representa la ecuación:

x2 + 0.33h2 – 1.67h3 = 0.33

Paso 3. Escribimos los coeficientes como una combinación de un número entero y una parte fraccionaria entre cero y uno.

x2 + 0.33h2 – 2h3 + 0.33h3 = 0.33

Paso 4. Pasamos todos los coeficientes fraccionarios al lado izquierdo.

0.33h2 + 0.33h3– 0.33 = – x2 + 2h3 0.33h2 + 0.33h3– 0.33 > 0

Paso 5. Escribimos esta desigualdad en forma de igualdad al sumar la variable de superávit y la añadimos a la tabla símplex óptima.

– 0.33h2 – 0.33h3 + h4 = – 0.33

Resolvemos utilizando el método dual símplex.


247


La solución óptima entera que obtenemos es:

x1 = 3 x2 = 0 con Zmáx = 6

Realicemos el siguiente ejemplo para ver qué tipo de obstáculos podemos tener al resolver un modelo de P. L. E. con este método.

Ejemplo 9

Resolver el siguiente modelo de P. L. E.:

Z x xx x

xx

m x

..

á

s. a.:

3 45 5

3 5

1 2

1 2

2

1,,, enteros

x

x x2

1 2 0

Resolvemos el modelo por método símplex tabular (sin tomar en cuenta las restricciones de que las variables tomen valores enteros). La tabla final se muestra a continuación:

Unidad 6

248

Paso 1. Buscamos el renglón asociado a la primera variable básica que no cumpla con ser entera, en este caso es el segundo renglón, donde x2 = 3.5. Este renglón representa la restricción:

x2 + s2 = 3.5

Paso 2. Escribimos cada coeficiente y constante fraccionarios de la ecuación obtenida en el paso 1, como la suma de un entero y una fracción positiva entre 0 y 1.

x2 + s2 = 3 12

Se escribe la ecuación de tal manera que el lado izquierdo contenga solamente términos con coeficientes fraccionarios y una constante fraccionaria, mientras que del lado derecho sólo aparezcan números enteros:

12

32 2x s

Paso 3. Hacemos que el lado izquierdo de la igualdad sea mayor o igual a cero.

12

0

En este caso el método no se puede aplicar, ya que esta última desigualdad es falsa, por lo tanto el método no funciona para este ejemplo.

Esta es la razón de que el método de ramifica y acota se sigue utilizando aunque involucre más operaciones.

También podemos hacer uso del método dual símplex como veremos en el siguiente ejemplo.


249

Ejemplo 10

Resolver el modelo de P. L. E. de costo fijo, obtenido en el ejemplo 1:

Z x x xx x x

m xá

s. a.:

100 50 2025 20 10 20 700

1 2 3

1 2 3

xxxx ii

1

2

3

50801000

1 2 3, , enterosxi

La tabla símplex óptima asociada es:

Tomamos el renglón asociado a la variable x1 y añadimos la restricción:

– 0.8h2– 0.4h3– 0.04h4 + h5 = – 0.04

La tabla símplex cambia a:

Unidad 6

250

Utilizamos el método dual símplex y obtenemos:

Utilizamos el renglón asociado a la variable x2 y añadimos la restricción:

– 0.5h3 – 0.05h4 – 0.75h5 + h6 = –0.05

Usamos el método dual símplex y obtenemos:

Utilizamos el renglón asociado a la variable x3 y añadimos la restricción:

–0.1h4 –0.5h5 + h7 = –0.1

Usamos el método dual símplex:


251

Donde obtenemos la solución entera óptima:

x1 = 724 x2 = 80 x3 = 100 con Zmáx = 78 400

Ejercicio 3

1. En el método de Gomory la zona factible se:

a) Reduce.b) Divide.c) Rota.d) Secciona.

2. En el primer paso del método de Gomory seleccionamos la restricción con:

a) Coeficientes enteros.b) Limitantes negativas.c) Limitantes no enteras.d) Coeficiente cero.

Unidad 5

180

5.1. Algoritmo en modelos de maximización

El primer tipo de modelo que vamos a resolver por el método símplex es el que tiene como objetivo maximizar a una función lineal, la cual está sujeta a una serie de restricciones de la forma menor igual que. El modelo tiene la forma:

Z c x c x c xa x a x a x b

n n

n n

máx

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

…… s. a.:

a x a x a x bn n21 1 22 2 2 2 …

aa x a x a x bx i n

m m mn n m

i

1 1 2 2

0 1 2

…… , ,

Que se representa en forma matricial por:

Zmáx = CX AX < B X > 0Donde:

C = (c1, c2, ...cn) matriz de costosA = matriz de coeficientesB = matriz columna de términos independientesX = matriz columna de las variables x1, x2, x3, ..., xn

Algoritmo símplex

1. El primer paso consiste en convertir las desigualdades en igualdades al sumarles una variable de holgura h. Esta variable representa la cantidad que le falta a la desigualdad para ser igualdad. Las variables de holgura son siempre positivas.

a x a x a x h ba x a x a x h b

a x

n n

n n

m

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1

……

11 2 2 a x a x h bm mn n m m…


181

2. Formamos la tabla símplex. Se construye una tabla como la que se muestra a continuación:

En la primera celda escribimos la etiqueta variables básicas, en la siguiente la etiqueta Z , en la última colocamos la etiqueta solución y en las intermedias escribimos los nombres de las variables originales, seguidas de las variables de holgura.

El segundo renglón contiene la función objetivo, escrita de la siguiente manera: Zmáx–c1x1–c2x2–...–cnxn–0h1–0h2–0h3=0, esto es, se agregan las variables de holgura h, colocándoles como coeficiente cero (–0 = +0) y después todas las variables se pasan del lado izquierdo de la igualdad.

A partir del tercer renglón escribimos cada una de las restricciones, en la columna de la variable básica colocamos las variables que forman la base ortogonal más simple (las componentes de la matriz identidad) que corresponden a las variables de holgura:

Unidad 5

182

De esta manera se forma la tabla inicial símplex.La primera solución asociada a esta tabla símplex es:

h1 = b1 h2 = b2 ... hm = bm Z = 0

Esta solución se obtiene al observar que si en la tabla tomamos las columnas asociadas a las variables básicas, entonces tenemos la matriz identidad aumentada. El valor de Z se lee directamente del coeficiente que está en el renglón de Z, debajo de la columna solución.

Una vez que obtuvimos la tabla inicial símplex asociada al modelo de P. L. se continúa para encontrar la solución óptima (si es que existe) o bien determinar que el problema no tiene solución óptima.

3. Verificamos si todos los coeficientes asociados al renglón de Z son mayores o iguales a cero, si es así entonces la solución en la tabla es la óptima. Termina. Si no es así, se continúa con el proceso.

4. Del conjunto de columnas se toma la que tenga el mayor valor negativo (número menor). Ésta es la variable que entra al sistema (pasa a ser básica) de manera que una variable tiene que salir para dar paso a la nueva.

5. Se divide el coeficiente de la columna seleccionada entre los elementos de la columna solución, de la operación se selecciona el menor valor positivo. Ésta es la variable que sale de la base (pasa a ser no básica). Nota. Las divisiones entre cero o entre números negativos no se toman en cuenta. Si todas son negativas o indeterminadas el problema no tiene solución. Termina.

6. La celda que se encuentra en la intersección de la columna seleccionada con el renglón seleccionado contiene al que llamaremos elemento pivote, por medio de operaciones elementales entre columnas el elemento pivote se convierte en 1 y sus elementos restantes en su columna en ceros; se obtiene una nueva columna componente de matriz identidad.


183

7. Se repite el proceso desde el paso 3 operando sobre matrices.

Para entender mejor el algoritmo vamos a resolver el siguiente modelo de P. L.

Ejemplo 1

Z x xx x

x

m xá

s. a.:

3 53 2 18

4

1 2

1 2

1

xx x

2

1 2

60

,

1. Lo primero es sumar a cada una de las desigualdades una variable de holgura, lo cual nos permite escribir:

Z x xx x h

x h

máx

s. a.:

3 53 2 18

4

1 2

1 2 1

1 2

x hx x h h h

2 3

1 2 1 2 3

60

, , , ,

2. Creamos la tabla símplex:

El segundo renglón contiene la función objetivo, escrita como: Zmáx – 3x1 – 5x2 – 0h1 – 0h2 – 0h3 = 0

Unidad 5

184

A partir del tercer renglón escribimos cada una de las restricciones, en la columna de las variables básicas colocamos las variables de holgura que aparecen en las restricciones:

Función objetivo Primera restricción Segunda restricción Tercera restricción

De la tabla símplex inicial, la solución asociada es:

h1 = 18 h2 = 4 h3 = 6 Z = 0

Esta solución se obtiene al tomar sólo las columnas asociadas a las variables básicas y los términos independientes que forman una matriz identidad aumentada:


185

3. Observamos que los coeficientes de x1 y x2 en el renglón Z son negativos. Se tendrá la solución óptima cuando los valores en Z sean todos positivos.

4. Seleccionamos la columna que tiene como coeficiente a –5, ya que es el mayor valor negativo. Entrará la variable x2 a formar parte de la base.

5. Realizamos la división de los elementos de la columna solución entre los elementos de la columna seleccionada y se elige el valor menor.

El menor de los resultados positivos es 6, por lo tanto la variable que sale es h3.

6. El elemento pivote es 1 por lo tanto su inverso multiplicativo es 1. Multiplicamos R3 1 y el resultado lo escribimos en una nueva tabla.

7. Ahora se toma el elemento pivote para hacer cero los coeficientes de su misma columna. Empezamos con R0. El coeficiente de este renglón en la columna seleccionada es –5, por lo tanto su inverso aditivo es 5, entonces multiplicamos R3 (actual) por 5 y el resultado se lo sumamos a R0.

Unidad 5

186

Este resultado lo escribimos en la nueva tabla.

Continuamos con el renglón R1, el cual tiene como coeficiente 2, su inverso aditivo es –2. Multiplicamos R3 por –2 y el resultado se lo sumamos a R1.


Como R2 ya tiene como coeficiente cero en la columna seleccionada, simplemente se transcribe a la nueva tabla:

8. Ésta es la tabla símplex que se obtiene después de una iteración. La solución asociada a esta tabla es: h1 = 6 h2 = 4 x2 = 6 Z = 30


187

Regresamos al punto 1.

3. El coeficiente asociado a la columna de x1 es negativo, por lo tanto la solución actual no es óptima y pasamos al punto 2.

4. La columna de x1 es la única con coeficiente negativo en R0, por lo tanto, ésta es la variable que pasará a formar parte de la base.

5. Realizamos la división de los elementos de la columna solución entre los elementos de la columna seleccionada.

El menor de los resultados positivos es 2, por lo tanto la variable que sale es h1.

6. El elemento pivote es 3, para convertirlo en 1 multiplicamos por su inverso multiplicativo que es 1/3. Multiplicamos R1 (1/3) y el resultado lo escribimos en una nueva tabla:

7. Usamos el elemento pivote 1 para hacer cero los coeficientes que están arriba y debajo de él. Empezamos con R0. El coeficiente de este renglón en la columna seleccionada es –3, por lo tanto su inverso aditivo es 3, entonces multiplicamos R1 (actual) por 3 y el resultado se lo sumamos a R0.

Unidad 5

188


Continuamos con el renglón R2, el cual tiene como coeficiente 1, su inverso aditivo es –1. Multiplicamos R1 por –1 y el resultado se lo sumamos a R2.

Este resultado lo escribimos en la nueva tabla:

Como R3 ya tiene como coeficiente cero en la columna seleccionada, simplemente se transcribe a la nueva tabla.

8. Esta es la tabla símplex que se obtiene después de la segunda iteración. La solución asociada a esta tabla es:

x1 = 2, h2 = 2, x2 = 6, Z = 36, h1 = h3 = 0 (por tener valores múltiples).


189

Regresamos al punto 1.

Como todos los coeficientes del renglón R0 son positivos, entonces hemos llegado a la solución óptima del problema donde el valor de z máxima es 36.

Ejercicio 1

Selecciona la respuesta que completa de manera correcta los siguientes enunciados:

1. Para poder convertir una desigualdad de la forma menor o igual que en una igualdad, se debe sumar una variable de:

a) Superávit. b) Holgura. c) Complementaria. d) Global.

2. La solución del método símplex es óptima si todos los coeficientes del renglón asociado con la función objetivo en la tabla símplex son:

a) Cero. b) Negativos. c) Positivos. d) Mayores o iguales a cero.

3. La variable que entra a formar parte de la base es la que en el renglón asociado con la función objetivo en la tabla símplex tiene el coeficiente:

a) Positivo. b) Cero. c) Menor negativo. d) Mayor negativo.

4. Para hacer 1 el elemento pivote, multiplicamos por:

a) Su inverso aditivo. b) El elemento neutro. c) El mismo. d) Su inverso multiplicativo.

Unidad 5

190

5. Los elementos que están arriba y abajo del elemento pivote deben convertirse en:

a) Positivos. b) Negativos. c) Cero. d) Uno.

6. Resolver por método símplex el siguiente modelo de P. L.

Z x xx xx x

m xá

s. a.:

5 46 4 24

2 6

1 2

1 2

1 2

xx x

2

1 2

20

,

5.2. Soluciones básicas factibles

La forma de trabajar del método símplex puede variar en relación con otras lecturas del área, pero los resultados de optimización tendrán que ser siempre iguales para un mismo problema sin importar el método. En este libro tratamos que la enseñanza del algoritmo símplex sea lo más natural posible, partiendo desde la elaboración de la tabla inicial hasta la localización de las variables básicas entrantes y salientes, así como la interpretación de los resultados de la última tabla.

En la sección anterior aprendimos el algoritmo del método símplex, el cual es una herramienta poderosa para resolver modelos de programación lineal. En esta sección explicamos cómo es que este método encuentra la solución óptima.

Lo primero es escribir las restricciones del modelo en forma de igualdades (sumamos las variables de holgura). Esto se hace porque la solución del modelo (si es que existe) siempre está en un vértice del polígono de soluciones factibles, el cual se forma como la intersección de n restricciones (n es el número de variables del modelo).


191

Al convertir todas las restricciones en igualdades, se tiene un sistema de n+m variables con m ecuaciones (m es el número de restricciones sin tomar en cuenta las de no-negatividad).

a x a x a x h ba x a x a x h b

a

n n

n n

m

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1

xx a x a x h bm mn n m m1 2 2 …

Los vértices representan las soluciones del sistema anterior. El inconveniente es que como en general n+m > m, entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones, ya que tenemos n grados de libertad. Para resolver este problema se divide a las variables en dos grupos:

Variables no básicas. De las n+m variables se toman n y se les asigna el valor cero.

Variables básicas. El resto de las variables (m) se determinan al resolver el sistema que se obtiene al sustituir el valor de las variables no básicas en el sistema (1).

Observamos que existen varias combinaciones para seleccionar cuáles de las variables van a ser básicas y cuáles no básicas. Dependiendo de la combinación que tomemos es el vértice que encontramos, algunos de estos vértices pueden ser factibles (caen dentro de la región factible), no factibles (si alguna o algunas de las variables básicas tienen solución menor a cero) o bien puede ser que el sistema no tenga solución. De los vértices factibles debemos seleccionar aquel que optimice el valor de la función objetivo.

Realicemos un ejemplo para comprender mejor estas ideas.

(1)

Unidad 5

192

Ejemplo 2

Tomemos el modelo del ejemplo 1 que resolvimos en la sección anterior.

Z x xx x

x

m xá

s. a.:

3 53 2 18

4

1 2

1 2

1

xx x

2

1 2

60

,

El grupo de restricciones sin tomar en cuenta las de no negatividad son:

3x1+2x2 < 18 x1 < 4 x2 < 6

Escritas en forma de igualdad son:

3x1 + 2x2+h1 = 18 x1 + h2 = 4 x2 + h3 = 6

Este es un sistema de ecuaciones con 5 variables (2 del modelo y 3 de holgura) y 3 ecuaciones (n = 5, m = 3), por lo tanto tenemos 5–3 = 2 grados de libertad. Esto quiere decir que tenemos 3 variables básicas y 2 no básicas. Debemos seleccionar dos variables no básicas y determinar el valor de las básicas al resolver un sistema de 3 por 3. El número de combinaciones para seleccionar el acomodo de las variables está dado por la fórmula:

5 2

52 5 2

10C

!

!( )!

Estas combinaciones son:


193

Al tomar la primera opción tenemos que x1 = 0 y x2 = 0, si sustituimos estos valores en el sistema de ecuaciones obtenemos:

3(0) + 2(0) + h1 = 18 (0) + h2 = 4 (0) + h3 = 6

Al simplificar se tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya solución se obtiene de manera inmediata.

h1 = 18 h2 = 4 h3 = 6

Ésta es una solución factible, ya que todas las variables son mayores o iguales a cero. La solución completa es:

x1 = 0, x2 = 0, h1 = 18, h2 = 4, h3 = 6

Evaluamos la función objetivo en esta solución y obtenemos:

Zmáx=3x1+5x2 Z=3(0)+5(0) Z=0

Esta solución es justamente con la que empezamos el método símplex al formar la tabla inicial.

Al tomar las siguientes combinaciones, obtenemos los otros vértices de la región de soluciones factibles. En la siguiente tabla se resumen estos resultados.

Unidad 5

194

De la tabla nos damos cuenta que el máximo valor de Z se alcanza en la combinación h1= 0, h3= 0, x1= 2, x2= 6, h2= 2 con Z = 36. Esta solución coincide con la del método de tablas:

El algoritmo del método símplex por tablas tiene la ventaja de que no analiza todas las combinaciones, ya que empezando por una combinación cuya solución sea factible, sólo pasa por las combinaciones que den soluciones factibles y siempre mejorando o manteniendo el valor de la función objetivo.

Lo más importante del método símplex por tablas es empezar con una tabla que contenga una solución básica factible; si el modelo tiene todas las restricciones de la forma menor igual que, las variables de holgura nos proporcionan una solución inicial factible, sin embargo, si una o varias de las restricciones son de la forma mayor igual que, tenemos que buscar técnicas que nos permitan obtener una solución inicial básica factible. Una de estas técnicas es ocupando el problema dual, el cual vamos a estudiar en la siguiente sección.

Unidad 5

196

5.3. Método símplex primal-dual

Todo problema de programación lineal de maximización tiene asociado un problema de P. L. de minimización llamado dual y viceversa. Los dos problemas se construyen a partir del mismo problema real, sólo que si en uno de ellos el objetivo es maximizar las utilidades, en el otro el objetivo es minimizar los costos y como resultado el valor de la función objetivo de ambos problemas coincide, es decir, Zmáx=Zmín en las soluciones óptimas. Esto significa que hay un equilibrio entre utilidad y costo.

El estudio del problema dual se realiza con dos objetivos:

Si tenemos un modelo de P. L. cuyo objetivo es minimizar (con restricciones de la forma mayor igual que) llamado modelo primal, entonces el modelo dual asociado será de maximización (con restricciones de la forma menor igual que), el dual se resuelve por el algoritmo descrito en la sección anterior. La solución óptima del modelo dual estará en el valor de las variables de holgura del primal donde se cumple que Zmáx=Zmín.

Al resolver el problema dual obtenemos un análisis de sensibilidad del modelo calculando los precios sombra.

5.3.1. Tabla primal-dual

Si el problema primal es de maximización, se utiliza el algoritmo descrito directamente. Pero si el modelo por resolver es de minimización se utiliza la llamada tabla primal-dual para trasladar el problema a maximización y volver al uso del mismo algoritmo. Si tenemos el modelo primal de minimización:


197

Z c x c xa x a x b

n n

n n

m ní

s. a.:

1 1

11 1 1 1

a x a x bn n21 1 2 2 2 ( )

a x a x bx i n

m mn n m

i

1 1

0 1 2

, , ...

Definimos el modelo dual asociado con el modelo (2), como el modelo de programación lineal que tiene como objetivo maximizar la función objetivo (todas sus restricciones son de la forma menor o igual que):

Z b y b ya y a y c

m m

m m

m xá

s. a.:

1 1

11 1 1 1

aa y a y cm m12 1 2 2 3

( )

a y a y cy i m

n mn m n

i

1 1

0 1 2

, , ...

Observamos que si el modelo dual tiene m variables y n restricciones (sin incluir las de no negatividad), entonces el modelo primal tiene n variables y m restricciones. Las variables y1 son las variables del problema dual.

Para formar la tabla primal-dual se procede como sigue:

El tamaño de la tabla es de m + 2 renglones y n + 2 columnas. (m número de variables y n número de restricciones).

1. La celda de la esquina superior izquierda se divide en dos con una diagonal, en la parte superior escribimos la palabra primal (mín) y en la parte inferior dual (máx).

2. En la celda de la esquina superior derecha se escribe el símbolo >, mientras que en la primera columna del último renglón se escribe el símbolo <.

Unidad 5

198

3. En la primera columna a partir del segundo renglón se escriben los nombres de las variables del problema dual (m).

4. En el primer renglón se escriben los nombres de las variables del problema primal (n).

5. Se escriben los coeficientes de la función objetivo del modelo dual en la última columna.

6. Se escribe cada una de las restricciones del problema dual en forma vertical, ocupando las columnas de la tabla.

7. En el último renglón se escriben las cantidades limitantes de las restricciones del modelo primal.

8. De esta tabla podemos obtener el modelo dual, lo único que debemos hacer es leer el modelo de manera vertical y los coeficientes de la función objetivo se obtienen de la última columna.

Ejemplo 3

Resolver el siguiente modelo de P. L.:

Z x x xx x xx x

m ní

s. a.:

42 2 43 3

1 2 3

1 2 3

1 22 3

1 2 3

30

xx x x , ,


199

Como no tenemos descrito un procedimiento de solución para modelos de minimización usamos una tabla primal-dual para obtener el modelo de maximización asociado y resolvemos por el método visto anteriormente.

Creamos la tabla primal-dual, con el procedimiento descrito:

De esta tabla podemos obtener el modelo dual, lo único que debemos hacer es leer el modelo de manera vertical y la función objetivo se obtiene de la última columna, es decir:

Y y yy yy y

m xá

s. a.:

4 32 3 4

3 1

1 2

1 2

1 2

2 10 1 2

1 2y yy ii

,

Este es el problema dual asociado al problema primal. Existe una relación importante entre los dos modelos, la última tabla símplex de solución del modelo dual proporciona la solución del primal, debido a la propiedad de soluciones complementarias, la cual damos a continuación.

Propiedad de soluciones complementarias

En cada iteración el método símplex identifica simultáneamente una solución básica factible para el modelo primal y una solución complementaria para el modelo dual (que se encuentra en el primer renglón de la tabla símplex, como los coeficientes de las variables artificiales).

Esto quiere decir que los valores de las variables xi del modelo primal son los valores que se encuentran en el renglón R0 en las columnas de las variables de holgura de la tabla símplex del modelo dual.

Unidad 5

200

Ejemplo 4

Continuando con el ejemplo 3 de la sección anterior, el modelo que se obtiene al sumar las variables de holgura es:

Y y yy y hy y

m xá

s. a.:

4 32 3 4

3

1 2

1 2 1

1 2 hhy y h

y h i ji j

2

1 2 3

12 1

0 0 1 2 1 2

, , ,, 3

La tabla inicial que obtenemos es:

Función objetivo Primera restricción Segunda restricción Tercera restricción

La tabla después de la primera iteración es:

La tabla después de la segunda iteración es:


201

Ésta ya es la tabla óptima, la cual tiene como solución del problema dual la siguiente: y1 = 0.40 y2 = 0.20 Zmáx = 2.20

Sin embargo, nuestro interés está en la solución del problema primal de minimización, la cual obtenemos del renglón R0, al tomar los coeficientes de las variables de holgura, es decir: x1 = h1 = 0 x2 = h2 = 0.40 x3 = h3 = 1.80

Al sustituir en la función objetivo, tenemos: Zmín = 4x1+x2+x3 Zmín = 4(0)+0.40+1.80 Zmín = 2.20

Se comprueba que efectivamente la función objetivo del problema dual tiene el mismo valor que la función objetivo del primal.

Ejemplo 5

Obtener la solución óptima del siguiente modelo de P. L.

Z x x x xx x x

x

m ní

s. a.:

1 2 3 4

1 2 3

1

3 22 4 833 10

3 4 73 4

2 3 4

1 2 3 4

x xx x xx x x x

, , , 00

Lo primero es formar la tabla primal-dual, asociada con el modelo:

Unidad 5

202

De esta tabla obtenemos el modelo dual, el cual es:

Z y y yy y

y y

m xá

s. a.:

8 10 71

2 3 1

1 2 3

1 2

1 3

4 3 4 320

1 2 3

2 3

1 2 3

y y yy y

y y y

, ,

Resolvemos este modelo por el método símplex (ya no escribimos detalles). La tabla inicial es:

La tabla óptima es:

La solución del primal es: x1 = h1 = 4.75 x2 = h2 = 0 x3 = h3 = 1.75 x4 = h4 = 0 Zmín = 10


209

5.5. Maximización y Minimización(cambios en la función objetivo)

Es posible transformar un problema de maximizar a uno de minimizar y viceversa. Para ello analicemos lo siguiente:

Supongamos que queremos encontrar el máximo del siguiente conjunto de números:

máx{1, 3, 5, 7}

Sabemos que el máximo es 7. Ahora multipliquemos los elementos del conjunto por –1, nos queda entonces el conjunto:

{–1, –3, –5, –7}

Si buscamos el mínimo de este nuevo conjunto obtenemos que es –7. Esto quiere decir que el máx{1, 3, 5, 7} = –(mín{–1, –3, –5, –7}), por lo tanto si queremos cambiar el objetivo de un modelo de P. L. se hace lo siguiente:

1. Se multiplica la función objetivo por –1. 2. Se cambia el objetivo de la función. 3. Se resuelve el modelo.

4. Se multiplica el valor de Z óptimo por –1 y éste es el valor del modelo original.

Ejemplo 7

Hallar la solución óptima del siguiente modelo de P. L.

Z x xx xx x

m ní

s. a.:

5 104 2 103 8 16

1 2

1 2

1 2

xx x

2

1 2

50

,

Unidad 5

210

Este modelo tiene todas las desigualdades de la forma menor igual que, por lo tanto, parece que lo podemos resolver por método símplex, sin embargo, el objetivo de la función es minimizar. Para transformar el problema multiplicamos la función objetivo por –1.

–1(Zmín= 5x1–10x2) –Zmáx= –5x1+10x2

Con este cambio nos queda el modelo:

Z x xx xx x

m xá

s. a.:

5 104 2 103 8

1 2

1 2

1 2 11650

2

1 2

xx x

,

Este modelo ya lo podemos resolver por el método símplex. La tabla inicial es:

La tabla final es:

Donde obtenemos la solución: x1 = 0 x2 = 2 –Zmáx = 20


211

Para obtener el valor de Z multiplicamos por –1 de manera que la solución óptima es

x1 = 0 x2 = 2 con Zmín = –20

Ejercicio 5

Resolver los siguientes modelos utilizando la técnica vista en esta sección.

Z x x xx x xx x

m ní

s. a.:

3 83 10

3

1 2 3

1 2 3

1 2 77 15200

3

2 3

1 2 3

xx x

x x x

, ,

Z x x xx xx x

m xá

s. a.:

5 72 4 8

1

1 2 3

1 2

2 3 0001 2 3 x x x, ,

Resumen

En esta unidad aprendimos el método símplex y algunas de sus variantes, en la siguiente tabla describimos las características que puede tener un modelo y el método más recomendado para su solución:

1.

2.


285

5. Hallar la primera solución factible y el valor de Z para el siguiente ejemplo, utilizando el método de la esquina noroeste.

6. Hallar la primera solución factible y el valor de Z para el modelo anterior, utilizando el algoritmo de Vogel.

7.4. Método Modi

La técnica de la esquina noroeste tiene el inconveniente de que tenemos que analizar todas las trayectorias posibles que se pueden formar a partir de las celdas no básicas (trayectorias no empleadas en la solución). El método Modi también calcula costos marginales pero sólo se busca la trayectoria asociada a la variable no básica que va a entrar al sistema. Los pasos hacia la solución óptima se presentan a continuación.

Paso 1. Se calcula una solución inicial factible, por cualquiera de los métodos presentados anteriormente

Paso 2. Calculamos los valores de los multiplicadores ui y vj. Asociamos los multiplicadores ui y vj con el renglón i y la columna j de la tabla de transporte. Para cada variable básica xij de la solución actual, los multiplicadores ui y vj deben satisfacer la ecuación siguiente:

ui + vj = cij

De esta manera obtenemos m + n – 1 ecuaciones con m + n incógnitas. Los valores de los multiplicadores se pueden determinar a partir de estas ecuaciones suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores y resolviendo las m + n – 1 multiplicadores desconocidos restantes.

Unidad 7

286

Paso 3. Calcular los costos marginales asociados con las variables no básicas. Esto lo hacemos utilizando la siguiente fórmula:

c. m. = cij – ui – vj

Paso 4. Si todos los costos marginales no son negativos, entonces la solución actual es óptima, parar y salir. Si no, continuar.

Paso 5. Seleccionamos la celda con el mayor valor negativo en costo marginal, creamos un circuito y hacemos que esta variable no básica pase a ser básica, y que una básica pase a ser no básica. El circuito empieza y termina en la variable no básica designada. Éste consta de segmentos sucesivos horizontales y verticales cuyos puntos extremos deben ser variables básicas, salvo para los puntos extremos que están asociados con la variable que entra. Esto significa que todo elemento de esquina del ciclo debe ser una celda que contenga una variable básica.

Paso 6. Ajustamos el valor de las variables básicas para satisfacer las restricciones de oferta y demanda. Asignamos a la variable no básica la cantidad y moviéndonos sobre los vértices del circuito en el sentido de las manecillas del reloj, vamos restando y sumando (a la primera celda se le resta, a la segunda se le suma, a la tercera se le resta, etc.) la cantidad al valor asignado a cada una de las celdas, hasta regresar a la celda de la variable no básica. Para determinar el valor de debemos recordar que el valor de las variables xij debe ser mayor o igual a cero, por lo tanto le asignamos a el máximo valor posible, de tal manera que ninguna de las variables xij sea negativa. Regresamos al paso 2.

Ejemplo 6

Resolver el problema de la fábrica de computadoras (ejemplo 4), que tiene la tabla inicial siguiente.


287

La primera solución factible utilizando el método de la esquina noroeste es:

El costo de esta solución es $772 500. Aumentamos una columna para la variable ui y una fila para la variable vj. Le asignamos el valor 0 a la variable u2 = 0

Para las celdas básicas utilizamos la ecuación: cij – ui – vj = 0

Sustituyendo el valor de u2 = 0 y resolviendo el resto de las ecuaciones obtenemos los valores de las ui y las vj. Estos valores los sustituimos en la tabla.

Unidad 7

288

Calculamos los costos marginales de cada una de las celdas no básicas utilizando la ecuación: c. m. = cij – ui – vj

Escribimos estos datos en la tabla:

Como el costo marginal de la celda (2, 1) es negativo la solución actual no es óptima. Partiendo de esta celda construimos una trayectoria. En la celda (1, 1) colocamos un signo ( – ), en la celda (1, 2) un signo ( + ) y en la celda (2, 2) un signo ( – )

Asignamos a la celda (2, 1) la cantidad, a la celda (1, 1) debemos restarle la cantidad para cumplir con la demanda, a la celda (1, 2) le


289

sumamos para no afectar la oferta de la fila uno y finalmente a la celda (2, 2) le restamos . Como todas las asignaciones deben ser mayores o iguales a cero, obtenemos las siguientes desigualdades:

> 0 2 500 – > 0 500 + > 0 2 250 – > 0

El máximo valor de que satisface todas las desigualdades es 2 250. Al realizar los ajustes en cada una de las celdas obtenemos la siguiente solución:

El costo de esta nueva solución es $682 500, por lo tanto, esta solución es mejor, para determinar si es la óptima calculamos el valor de las variables ui y vj y los costos marginales asociados a cada una de las celdas no básicas. La información completa se presenta en la siguiente tabla.

Por lo tanto, como todos los costos marginales son positivos esta solución es la óptima. El valor de las variables básicas es:

x11 = 250, x12 = 2 750, x21 = 2 250, x23 = 1 750 con un costo mínimo de $682 500.

Unidad 7

290

Ejercicio 4

1. La variable que entra en el sistema es la que tiene el costo marginal: a) Más positivo. b) Más negativo. c) Cero. d) Uno.

2. La solución actual es óptima si los costos marginales son: a) Mayores a cero. b) Menores a cero. c) Negativos. d) No negativos.

3. Una trayectoria incluye sólo una celda: a) Positiva. b) Básica. c) No básica. d) Por fila.

4. Para calcular el costo marginal de las celdas no básicas utilizamos la ecuación:

a) c. m. = cij – ui – vj b) c. m. = cij + ui – vj c) c. m. = cij – ui + vj d) c. m. = cij + ui + vj

5. Hallar la solución óptima del siguiente modelo de transporte, utilizando la técnica de Modi:


263

Introducción

La globalización de los mercados ha permitido que las empresas manufactureras puedan emplear los insumos de regiones o países donde éstos tienen más poder económico; de tal forma que cuando

el producto está terminado, nos damos cuenta que ha requerido de partes hechas en países asiáticos, que la mano de obra para el ensamblado es latinoamericana y la publicidad se hizo en Estados Unidos. Esta situación plantea desafíos cada vez mayores. Por un lado requiere de sistemas de comunicación y de manejo de grandes volúmenes de información ágiles y rápidos; por otro, necesita contar con esquemas de logística que abatan los costos de envío, así como medios de transporte cada vez más económicos, seguros y puntuales.

El modelo de transporte de la P. L. tiene que ver con situaciones como las antes descritas. El objetivo es encontrar el costo mínimo de envío de una cantidad determinada de productos desde ciertos puntos geográficos llamados orígenes, hasta los puntos de distribución llamados destinos.

Históricamente el problema de transporte data de 1941, cuando F. L. Hitchcook presentó un estudio titulado “The distribution of a product from several source to numerous localities”, que se considera el primer trabajo realizado que aborda el problema de transporte.

Iniciamos la presente unidad definiendo las partes componentes del modelo general de transporte, continuamos con la construcción de un esquema descriptivo y las tablas asociadas al modelo de transporte que usaremos para obtener la solución óptima del problema, aplicando alguna de las tres técnicas más conocidas: Esquina noroeste. Vogel. Modi.

Presentamos el algoritmo para llegar a la solución óptima del problema, si es que esta existe. En la actualidad, el método Modi es el más usado para resolver problemas de transporte.

Unidad 7

264

7.1. Definición del modelo de transporte

En la industria constantemente se presenta el problema de trasladar productos desde los centros de producción hasta los centros de distribución, esto genera un costo, que incrementa el precio de venta; costo que buscamos reducir.

Para desarrollar el modelo suponemos que conocemos los costos unitarios de transporte desde cada una de las plantas a cada uno de los centros de distribución, además de la oferta y la demanda en cada centro (determinar de dichos costos queda fuera del objetivo de este libro). El objetivo que perseguimos es minimizar los costos asociados con el transporte.

Las variables de decisión las denotaremos por xij, la cual nos indica el número de bienes que serán transportados del origen i al destino j. Si además, cij son los costos por unidad trasladada del origen i al destino j, entonces la función que representa los costos de transporte de todas las unidades se calcula sumando el producto del costo unitario por el número de unidades transportadas desde cada uno de los orígenes a cada uno de los destinos, es decir:

Z c xij ij

j

n

i

m

m ní

11

Las restricciones asociadas con el modelo son: La oferta de cada una de las fuentes:

x a i mij

j

n

i

11 2, , …

La demanda de cada uno de los centros de distribución:

x b j nij

i

m

j

11 2, , …


265

Para el modelo matemático suponemos que existe equilibrio entre la oferta y la demanda, condición que escribimos matemáticamente como:

a bi

i

m

jj

n

1 1

Si éste no es el caso, debemos agregar un origen artificial, el cual va a producir la cantidad de bienes que haga falta para cubrir la demanda faltante, o bien, si es mayor la oferta, se crea un destino artificial que absorba el excedente de la oferta. En ambos casos los costos de transporte asociados con estos orígenes o destinos ficticios es cero. Veremos ejemplos relacionados con lo anterior en la sección de problemas desbalanceados.

Condiciones de no negatividad: xij > 0 i = 1, 2,... m j = 1, 2,… n

Finalmente, el modelo de trasporte en su forma general lo podemos escribir como:

Z c x

x a i m

x b j

ij ijj

n

i

m

ijj

n

i

iji

m

j

m n

, ,

,

í

11

1

1

1 2

1

…

22,… n

xij > 0 i = 1, 2,... m j = 1, 2,… n

Con el propósito de aclarar esto analizaremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

Obtén el modelo de transporte asociado con el siguiente problema. Una empresa dedicada a la fabricación de automóviles tiene dos

Unidad 7

266

plantas armadoras, una en Guadalajara y otra en Oaxaca. La planta de Guadalajara dispone de 5 000 automóviles listos para su distribución, mientras que la de Oaxaca cuenta con 3 500. La empresa tiene tres centros de distribución, mismos que atienden a todas y cada una de las agencias comercializadoras de esta marca de automóviles. Uno de estos centros de distribución se encuentra en la Ciudad de México, otro en Monterrey y el tercero en Mérida. Por la experiencia de años anteriores, se estima que la demanda por automóviles de cada uno de estos centros es de 4 000, 3 000 y 1 500, respectivamente. Por otro lado, sabemos que los costos de envío por cada unidad entre las plantas armadoras y las agencias distribuidoras son:

El gerente de distribución de la compañía desea saber de qué armadora a qué distribuidora debe enviar los automóviles, de tal forma que los costos de envío sean mínimos.

Iniciaremos el planteamiento del problema mediante su representación esquemática:

Figura 7.1. Diagrama de transporte que representa los orígenes y los destinos.


267

La variable xij representa el número de unidades que se envían del origen i-ésimo al destino j-ésimo. Como sólo son dos plantas armadoras i = 1, 2 que mandan sus unidades a tres distribuidoras, por lo que j = 1, 2, 3.

Si además, cij son los costos por unidad trasladada del origen i al destino j, entonces la función que representa los costos de transporte de todas las unidades estará dada por la expresión:

c x x x x x x xij ij

ji

1

3

1

2

11 12 13 21 22 23100 50 300 120 200 180

Las restricciones asociadas con el problema son:

El número de unidades (ai) que se puede enviar desde las dos plantas armadoras a los tres centros de distribución debe ser igual a 8 500. Asimismo, el número de unidades (bj), que deben recibir las distribuidoras también debe ser de 8 500.

a

b

ii

jj

1

2

1

3

5 000 3 500 8 500

4 000 3 000 1 500 8 500

El número de automóviles enviados desde cada una de las plantas armadoras hasta los tres centros de distribución (xij) debe cumplir con las limitantes:

x x x x

x x x x

jj

jj

11

3

11 12 13

21

3

21 22 23

5 000

3 500

Por su parte las restricciones de demanda que tiene cada una de las distribuidoras se expresan mediante las igualdades:

Unidad 7

268

x x x

x x x

x x x

ii

ii

ii

11

2

11 21

21

2

12 22

31

2

13

4 000

3 000

223 1 500

Reuniendo la función objetivo y restricciones, el problema de transporte adopta la forma:

Z x x x x x xm ní 100 50 300 120 200 18011 12 13 21 22 23

s.a.:

a

b

x

ii

jj

1

2

1

3

1

5 000 3 500 8 500

4 000 3 000 1 500 8 500

jjj

jj

ii

x x x

x x x x

x

1

3

11 12 13

21

3

21 22 23

11

2

5 000

3 500

x x

x x x

x x x

ii

ii

11 21

21

2

12 22

31

2

13 23

4 000

3 000

1 5

000

xij 0 con i = 1, 2 y j = 1, 2, 3


269

Ejemplo 2

Obtén el modelo de transporte asociado con el siguiente problema.

Una fábrica de computadoras tiene 2 plantas ensambladoras, la primera en Guadalajara y la segunda en Toluca. La oferta mensual de cada una de ellas es: 3 000 y 4 000, respectivamente. Se tiene un pedido por parte del gobierno federal de 7 000 computadoras que deben ser entregadas a más tardar en un mes. La siguiente tabla indica el número de computadoras requeridas y el lugar donde deben ser entregadas.

El ingeniero del área de entrega estima que los costos de transporte por unidad de cada una de las plantas a cada uno de los destinos es el siguiente:

Con esta información queremos hallar la combinación que minimiza los costos de transporte, es decir, debemos decidir cuántas computadoras de cada una de las plantas deben ser transportadas a cada uno de los destinos, de tal manera que el costo total de transporte sea mínimo.

Podemos proporcionar una representación en red del problema, lo cual nos ayudaría significativamente a comprenderlo. Colocamos dos columnas de círculos, la columna alineada a la izquierda representa cada una de las plantas productoras (fuentes), mientras que la columna de la derecha representa cada uno de los destinos; dentro de cada círculo se coloca la cantidad de oferta o demanda, según corresponda. Las flechas indican las diferentes conexiones que se pueden realizar, el costo se coloca sobre esta flecha. A continuación presentamos el esquema asociado con el ejemplo.

Unidad 7

270

Para el ejemplo, el modelo de transporte es:

Z x x x x x xx

m ní

s. a: 50 150 80 60 200 7011 12 13 21 22 23

11

x xx x xx

12 13

21 22 23

11

3 0004 000

xx

x xx x

21

12 22

13 23

2 5002 7501 750

x i ji j, , , , 0 1 2 1 2 3

7.1.1. El modelo de transporte como caso especial de P. L.

Los modelos de transporte tienden a incluir una gran cantidad de variables y restricciones, lo que hace que su solución, usando el método símplex con tablas, requiera una gran cantidad de memoria y operaciones computacionales. Por este motivo se han buscado métodos alternos que aprovechan que varias entradas de la tabla son cero.


271

Ejemplo 3

Construir la tabla inicial asociada con el siguiente modelo de transporte (ejemplo 2):

Z x x x x x xx

m ní

s. a: 50 150 80 60 200 7011 12 13 21 22 23

11

x xx x xx x

12 13

21 22 23

11

3 0004 000

221

12 22

13 23

2 5002 7501 750

x xx x

x i ji j, , , , 0 1 2 1 2 3

Si formamos la tabla símplex inicial de este modelo de transporte como modelo de programación lineal, sin considerar variables de holgura, obtenemos lo siguiente:

Nos damos cuenta de que la mayoría de las entradas de la tabla son ceros. El resto de las entradas son unos, con excepción de las entradas de la función objetivo. Este tipo de tabla hace necesario que se busque un método alterno más eficiente para resolver este modelo y que tome en cuenta las características particulares del modelo de transporte.

Unidad 7

272

7.1.2. Tabla y algoritmo asociado con el modelo de transporte

Tabla inicial

Independientemente del método que utilicemos para resolver el modelo de transporte (esquina noroeste, Vogel o Modi) la forma de trabajar con él es por medio de una tabla que contiene la información de orígenes, destinos, oferta, demanda y costos. A continuación damos el procedimiento para la construcción de esta tabla, la cual simplifica la solución del modelo de transporte:

1. Verificamos que la oferta total = demanda total.

2. Construimos una tabla con s columnas y r renglones. El número s es igual al número de destinos más dos. Y r es igual al número de plantas más dos.

3. En la primera fila, a partir de la segunda columna, se colocan como etiquetas el nombre o número de cada uno de los destinos. En la última columna se coloca la etiqueta oferta.

4. En la primera columna a partir de la segunda fila, se colocan como etiquetas el nombre o número de cada una de las plantas. En la última fila se coloca la etiqueta demanda.

5. En las intersecciones de cada fila y columna se coloca el costo de transportar una unidad desde el origen asociado a esa fila, hasta el destino asociado con la columna.

6. En la columna de oferta se coloca la oferta disponible en el origen asociado con cada una de las filas.

7. En la fila de la demanda se escribe la demanda de cada destino, asociada con cada columna.

La tabla inicial para el ejemplo 2 se presenta a continuación:


273

Creamos una tabla de 4 filas por 5 columnas. Y colocamos las etiquetas correspondientes:

Una vez que se plantea la tabla asociada al modelo de transporte, debemos buscar técnicas matemáticas para su solución. A continuación presentamos el algoritmo general para la solución del modelo de transporte.

Algoritmo general

1. Se construye la tabla inicial del modelo y se busca una solución inicial.

2. Se verifica que la solución inicial sea óptima. Si es así, se termina porque ya se encontró la solución del modelo, si no, se continua.

3. Se hacen los ajustes necesarios para hallar una mejor solución y se regresa al punto 2.

Existen diferentes métodos que utilizan este algoritmo, entre ellos tenemos los siguientes:

Método de la esquina noroeste. Método de Vogel. Método Modi.

En las siguientes secciones de la unidad analizaremos cada uno de ellos.

Unidad 7

274

Ejercicio 1

1. El objetivo del modelo de transporte es _____________ el costo de transporte.

2. Se dice que un problema de transporte está _______________ si la oferta total es igual a la demanda total.

3. La mayoría de las entradas en la tabla símplex asociada con el modelo de transporte son _____________ y unos.

4. El método ___________ es el que vamos a utilizar para resolver el modelo de transporte de forma eficiente.

5. El costo de transportar una unidad de la fuente i al destino j se designa por_________.

6. Construir la tabla inicial del siguiente problema de trasporte:

Una empresa dedicada a la fabricación de autos desea transportarlos desde sus tres plantas de producción a sus cuatro centros de distribución. La oferta de cada una de las plantas es: 300, 200 y 100, respectivamente, mientras que la demanda es 100, 200, 150 y 100, respectivamente. Los costos de transporte asociados por unidad son:

7.2. Método de la esquina noroeste

El primer paso para resolver el modelo de transporte es formar una tabla inicial. A continuación presentamos el algoritmo llamado de la esquina noroeste empleando los valores numéricos del siguiente ejemplo:


275

Ejemplo 4

Hallar la solución óptima para el ejemplo 2 de la fábrica de computadoras. La tabla inicial es:

Colocamos en la celda superior izquierda 2 500, ya que es el número menor entre la oferta (3 000) y la demanda (2 500). Tachamos la columna 1, ya que la demanda ya está satisfecha.

Nos trasladamos una celda a la derecha. A la oferta que es 3 000 le restamos 2 500, que es la cantidad asignada a la celda (1, 1), por lo tanto asignamos 500 a la celda (1, 2) y tachamos la fila 1, ya que agotamos la oferta.

Nos trasladamos una celda hacia abajo y restamos a 2 750 la cantidad de 500. En la celda (2, 2) asignamos 2 250 ya que es la cantidad menor entre 2 750 y 4 000 y tachamos el resto de la columna, ya que la demanda ya está satisfecha.

Unidad 7

276

Nos trasladamos una celda a la derecha y restamos a 4 000 la cantidad de 2 250. Asignamos 1 750 a la celda (2, 3), con lo cual se satisfacen tanto la oferta como la demanda y llegamos a la esquina inferior izquierda.

Ésta es la primera solución factible del modelo. La forma de interpretarla es: Se mandan 2 500 computadoras de Guadalajara a Morelia, 500 de Guadalajara a Sonora, 2 250 de Toluca a Sonora y 1 750 de Toluca a Veracruz. El costo asociado es:

Z = 50 2 500 + 150 500 + 200 2 250 + 70 1 750 = 772 500

Esto quiere decir que las variables básicas son:

x11 = 2 500, x12 = 500, x22 = 2 250, x23 = 1 750

Una vez que tenemos la primera solución factible, debemos calcular los costos marginales asociados a cada una de las celdas no básicas (no empleadas en la solución).

Trasladamos una unidad a la celda (2, 1) y a (1, 3):

Si los costos marginales son cantidades positivas, entonces hemos llegado a la solución óptima ya que no existe otro arreglo que disminuya los costos. Termina.


277

Si los costos marginales generan una cantidad negativa, entonces será necesario formar otra tabla de solución ya que significa que existe otro arreglo que disminuye los costos. Continuar.

a) Trasladamos una unidad de la trayectoria (1, 1) a la trayectoria no básica (2, 1) y colocamos un ( – ) y ( + ), respectivamente.

b) Regla para equilibrar la transferencia: consideramos siempre trayectorias empleadas en la solución. Las celdas (1, 2) y la (2, 2) se utilizan en la transferencia:

c) Colocamos un signo ( – ) en la celda básica (2, 2) y un signo ( + ) en la celda (1, 2).

Calculemos el costo marginal de trasladar una unidad a la cantidad asignada a la celda (2, 1). Construimos una tabla y escribimos los rótulos y datos correspondientes.

Unidad 7

278

Al sumar los valores de la columna obtenemos:

60 + ( – 200) + 150 + ( – 50) = – 40

Hay una disminución en costo al trasladar una unidad a la celda (2, 1). El costo marginal de esta trayectoria es – $40, por lo tanto, es necesario formar otra tabla de solución.

Calculemos el costo marginal asociado a la celda no básica (2, 3).

La tabla con la trayectoria posible se presenta a continuación:

El costo marginal es:

El costo marginal es: $60.

Como al trasladar una unidad hay un aumento en los costos marginales (+ 60), la solución actual no es óptima. Para mejorar la solución debemos incrementar tanto como sea posible la cantidad asignada a la celda (2, 1), conservando las restricciones de oferta y demanda:


279

La celda con signo negativo y costo mayor es la (2, 2) con 2 250. Asignamos a la celda (2, 1) la cantidad de 2 250, para la celda (1, 1) restamos 2 250 a 2 500 y queda 250, para la celda (1, 2) restamos 250 a 3 000 y queda con 2 750 y, finalmente, a la celda (2, 3) le restamos 2 250 a 4 000 y tenemos 1 750. Se genera la siguiente tabla:

Volvemos a calcular los costos marginales de las celdas no básicas: (2, 2) y (1, 3).

A continuación mostramos las trayectorias y sus costos marginales asociados.

Unidad 7

280

Costo marginal $40.

Costo marginal $20.

Como los dos costos marginales son positivos, la última tabla de solución es la óptima.

La solución óptima del problema de transporte es:

x11 = 250, x12 = 2 750, x21 = 2 250, x23 = 1 750 con Zmín = $682 500.

Ejercicio 2

1. El primer paso para resolver un problema de transporte es hallar una ____________ inicial.

2. El método de la esquina noroeste empieza en la celda _______________ izquierda de nuestra tabla.

3. A la celda superior izquierda se le asigna la cantidad ______________ entre la oferta y la demanda asociada con dicha celda.


281

4. Si los costos marginales son todos _______________, la solución actual es óptima.

5. Hallar una solución inicial del siguiente problema de transporte:

Una empresa de transporte debe llevar el maíz de tres graneros a cuatro molinos. La oferta en cada uno de los graneros es 15, 25 y 10 toneladas de maíz, respectivamente. La capacidad de cada uno de los molinos es de 5, 12, 17 y 16 toneladas cada uno. Los costos de transporte por tonelada son:

7.3. Método de aproximación de Vogel

A diferencia del método de la esquina noroeste, este método, trata de buscar una mejor solución inicial y así reducir el número de iteraciones necesarias para llegar a la solución óptima.

El método de Vogel es un algoritmo que requiere una mayor cantidad de operaciones para generar la primera solución factible, pero que tiene la ventaja de acercarnos a la solución óptima. A continuación escribimos el algoritmo:

1. Para cada renglón (columna) con una oferta (demanda) estrictamente positiva, determina una medida de penalidad calculando el valor absoluto de la diferencia de los dos costos por unidad más bajos en el mismo renglón (columna).

2. Identifica el renglón o la columna con la penalidad más grande. Rompa los empates arbitrariamente. Asigna tantas unidades como sea posible a la variable con el costo más bajo por unidad en el renglón (columna) seleccionados. Ajusta la oferta y la demanda y tacha el renglón o columna satisfechos. Si se satisfacen simultáneamente un renglón y una columna sólo se tacha uno de los dos, y al renglón (columna) restante se le asigna una oferta (demanda) de cero.

Unidad 7

282

3. a) Si queda exactamente un renglón y una columna sin tachar con oferta y demanda cero, detente.

b) Si queda sin tachar un renglón (columna) con una oferta (demanda) positiva, determina las variables básicas en el renglón (columna) ajustando la oferta (demanda), detente.

c) Si todos los renglones y las columnas no tachadas tienen una oferta y una demanda de cero, determina las variables básicas cero, comenzando por los cuadros de costo más bajo, detente.

d) De lo contrario, ve al paso 1.

Ejemplo 5

Hallar una solución inicial para el problema de transporte utilizando el método de Vogel.

La tabla inicial es:

Agregamos un renglón y una columna para calcular las medidas de penalidad.

La columna con penalidad máxima es la cuarta, buscamos la celda con costo menor en la columna. La celda es la (2, 4). A esta celda le asignamos 11 unidades y tachamos la columna cuatro, pues su demanda está satisfecha.


283

Como todavía quedan celdas sin tachar, volvemos a repetir el algoritmo tomando en cuenta sólo las celdas vacías.

Calculamos las nuevas penalidades.

La columna con penalidad máxima es la 1, buscamos la celda con costo menor en la columna. La celda es la (3, 1). A esta celda le asignamos 12 unidades y tachamos la columna 1, pues su demanda está satisfecha.Continuamos el algoritmo; calculamos las penalidades.

El renglón con penalidad máxima es el uno, buscamos la celda con costo menor en el renglón, la celda es la (1, 2) a esta celda le asignamos 8 unidades y tachamos la columna 2, pues está satisfecha su demanda.

Sólo quedan las celdas (1, 3), (2, 3) y (3, 3) para asignarles una cantidad. La celda de costo menor es la (3, 3), a esta celda le asignamos 3 unidades, la siguiente es la (2, 3) y a ésta le asignamos 1 unidad y finalmente a la (1, 3) le asignamos 2 unidades (para completar al máximo las cantidades en demanda).

Unidad 7

284

Se obtiene la primera solución factible. Las variables básicas son:

x12 = 8, x13 = 2, x23 = 1, x24 = 11, x31 = 12, x33 = 3, con Z = $290

Hallar una solución por el método de Vogel implica un número mayor de operaciones, pero al comparar los costos de las soluciones obtenidas con este método y considerando el costo mínimo, nos damos cuenta de que Vogel brinda una solución inicial más cercana a la óptima.

Para verificar que la solución obtenida por el método de Vogel sea óptima podemos aplicar la técnica de esquina noroeste junto con el análisis del costo mínimo.

Ejercicio 3

Califica cada una de las siguientes aseveraciones como verdaderas o falsas, según corresponda.

1. El método de Vogel brinda la solución óptima del modelo de transporte. _____

2. La medida de penalidad es mayor o igual a cero. _____

3. La fila seleccionada es aquella con penalidad máxima. _____

4. Los empates entre penalidades se rompen arbitrariamente. _____


285

5. Hallar la primera solución factible y el valor de Z para el siguiente ejemplo, utilizando el método de la esquina noroeste.

6. Hallar la primera solución factible y el valor de Z para el modelo anterior, utilizando el algoritmo de Vogel.

7.4. Método Modi

La técnica de la esquina noroeste tiene el inconveniente de que tenemos que analizar todas las trayectorias posibles que se pueden formar a partir de las celdas no básicas (trayectorias no empleadas en la solución). El método Modi también calcula costos marginales pero sólo se busca la trayectoria asociada a la variable no básica que va a entrar al sistema. Los pasos hacia la solución óptima se presentan a continuación.

Paso 1. Se calcula una solución inicial factible, por cualquiera de los métodos presentados anteriormente

Paso 2. Calculamos los valores de los multiplicadores ui y vj. Asociamos los multiplicadores ui y vj con el renglón i y la columna j de la tabla de transporte. Para cada variable básica xij de la solución actual, los multiplicadores ui y vj deben satisfacer la ecuación siguiente:

ui + vj = cij

De esta manera obtenemos m + n – 1 ecuaciones con m + n incógnitas. Los valores de los multiplicadores se pueden determinar a partir de estas ecuaciones suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores y resolviendo las m + n – 1 multiplicadores desconocidos restantes.


309

Introducción

Un caso particular del modelo de transporte es el modelo de asignación, que tiene como propósito asignar personas u objetos a tareas de tal forma que se optimice algún objetivo, por ejemplo:

• Minimizar tiempos de producción.• Minimizar costos.• Minimizar defectos de producción.

Históricamente el problema de asignación se resolvió utilizando las mismas técnicas que se utilizaban para el modelo de transporte, sin embargo, resultaba tedioso hacerlo de esta manera debido a las características particulares del mismo. A partir del trabajo realizado por dos matemáticos húngaros, se obtiene un algoritmo eficiente para este modelo, el cual se conoce como método húngaro.

Iniciamos la unidad planteando el problema general de asignación, hacemos hincapié en su estructura, como en el caso especial del modelo de transporte y planteamos algunos problemas tipo. Continuamos resolviendo el modelo de asignación por el método húngaro. Terminamos la unidad estudiando algunos problemas de asignación desbalanceados.

8.1. Definición del modelo de asignación

Los problemas de asignación aparecen en varios contextos de la ingeniería económica, en donde se requiere asignar de manera óptima objetos o personas “indivisibles” a ciertas tareas, por ejemplo:

• En los astilleros es indispensable contar con soldadores especializados en cada tipo de soldadura existentes (mig, tig, bajo el agua, eléctrica, oxiacetilénica, etc.). Si no se cuenta con personal especializado representa un costo extra en gasto de material. Por lo tanto, se debe asignar a la persona óptima en cada puesto de trabajo para minimizar costos.• En una empresa textil se asigna a las personas con más habilidad en cada máquina (recta, zigzag, ojales, etc.) para minimizar tiempos de producción.• En las universidades se desea asignar un salón para cada materia- grupo, pensando en optimizar los espacios disponibles.

Unidad 8

310

El problema clásico de asignación consiste en asignar n objetos o personas indivisibles a m tareas de una manera óptima.

Las propiedades que debe cumplir un conflicto para formularse como un problema de asignación son las siguientes:

• El número de objetos o personas es igual al número de tareas. • A cada persona se le asigna sólo una tarea.• Cada tarea debe ser realizada por una sola persona.• Existe un costo Cij de asignación de la persona i a la tarea j.• El objetivo es buscar la combinación que minimice los costos totales.

8.1.1. Construcción del modelo de asignación

Las variables que se utilizan en el modelo de asignación son variables binarias, es decir, variables que sólo pueden tomar los valores 0 o 1. Matemáticamente se escribe:

xi j

ij

10

si el asignado realiza la tareaen caso contrario

para i=1, 2,... n j=1, 2, 3,... n

El costo total de la asignación es igual a la suma de los productos de cada variable xij por el costo asignado Cij

Z C xij ijj

n

i

n

mín

11

En las restricciones se asigna una persona a cada una de las tareas y cada tarea debe ser realizada por una persona. Esto lo representamos como:

x i n

x j n

ijj

n

iji

n

1 1 2

1 1 2

1

1

para

para

, ,...

, ,...

El modelo completo de asignación se obtiene al añadir la restricción de no negatividad y la de variables binarias:


311

Z C xij ijj

n

i

n

mín 1

1

Sujeto a:

x i n

x j n

ijj

n

iji

n

1 1 2

1 1 2

1

1

para

para

, ,...

, ,...

x i jx

ij

ij

binarias para toda y 0

Vemos que el modelo de asignación es muy parecido al modelo de transporte, la diferencia radica en que las variables del modelo de asignación son binarias, mientras que en el modelo de transporte las variables son enteras. Entonces podemos tomar el modelo de asignación como un problema de transporte donde cada una de las personas es el origen y cada una de las tareas son los destinos. La oferta y demanda son igual a uno, es decir, cada origen tiene una sola persona y cada destino necesita sólo una persona. Los costos de capacitación representan el costo de transportar una unidad del origen i al destino j. Por lo tanto, el objetivo es encontrar la combinación que minimice los costos de asignación y cumpliendo las restricciones de oferta y demanda.

Al final de la unidad veremos problemas que aunque no cumplen la primera propiedad pueden formularse como problemas de asignación.

Ejemplo 1

Una empresa contrata a cuatro personas para cubrir los siguientes puestos: supervisor de acabado, supervisor de empaque, supervisor de producción, supervisor de materia prima.

A cada uno se aplica un examen de aptitudes para determinar sus habilidades. A partir del resultado de los exámenes se determina el costo que tiene su capacitación para cada uno de los puestos. Los costos se presentan en la siguiente tabla.

Unidad 8

312

Si se desea conocer la asignación de menor costo para la empresa, obtener la tabla inicial asociada al problema.

La tabla inicial asociada al problema es:

Ejemplo 2

Una empresa dedicada a la compra y venta de equipo de cómputo adquirió seis máquinas para ser vendidas, sin embargo, el cliente pide una prórroga de un mes para que le entreguen las máquinas. La empresa tiene que almacenar las seis máquinas durante este tiempo, se cotizan los precios de seis bodegas que pueden almacenar las máquinas, los costos se muestran en la siguiente tabla.


313

Nuevamente podemos ver este problema como un modelo de transporte, donde los orígenes son las máquinas, los destinos son las bodegas y el costo Cij es el costo de almacenaje. La oferta de cada uno de los orígenes es uno, mientras que la demanda de cada uno de los destinos también es uno. Nuevamente, las variables sólo pueden tomar el valor cero o uno. La tabla inicial de este problema es:

Ejercicio 1

1. El objetivo en el problema de asignación es ________________ los costos.2. Las variables en el problema de asignación son _______________.3. Una persona debe ser asignada a ________ tarea.4. El número de tareas y el número de personas por asignar deben ser _____________.5. Construir la tabla inicial del siguiente problema de asignación.

Se abrirán 3 centros de cómputo en diferentes ciudades de la República Mexicana, por lo que se lanza una convocatoria para que se presenten propuestas. Tres empresas interesadas hacen las siguientes ofertas:

Empresa 1: $ 3 000, $ 5 000 y $ 8 000 por cada uno de los centros.Empresa 2: $ 4 000, $ 6 000 y $ 9 000 por cada uno de los centros.Empresa 3: $ 3 500, $ 5 000 y $ 7 000 por cada uno de los centros.

Se desea asignar de manera óptima cada uno de los proyectos a cada una de las empresas.

Unidad 8

314

8.2. Método húngaro o de matriz reducida

Una vez que obtenemos el modelo de un problema de asignación, es conveniente desarrollar un procedimiento que nos permita hallar la solución óptima del mismo. Dos matemáticos húngaros desarrollaron un algoritmo eficiente para el problema de asignación llamado método de matriz reducida o método húngaro, en honor a sus creadores. A continuación describimos el algoritmo.

Algoritmo general

1. Se construye una tabla de n+1 por n+1, la primera columna se utiliza para colocar las etiquetas de los candidatos a asignar, mientras que la primera fila se utiliza para colocar las etiquetas de las tareas. En las intersecciones se escribe el costo de asignación asociado.

2. Se identifica el costo menor de cada una de las filas y se resta a los costos de la misma fila (o renglón).

3. Para la matriz que resulte del punto anterior, se identifica el costo menor por columna y se resta a los costos de la misma columna.

4. Se buscan los llamados ceros de asignación que son únicos en su renglón y su columna, de manera que si existen dos o más ceros en un solo renglón o en una sola columna, éstos se marcan con dos líneas cruzadas. Los ceros de asignación generan la solución óptima del problema. La posición de los ceros de asignación indican la tarea que corresponde a cada persona. Cuando el número de ceros de asignación sea igual al número de columnas (o filas) hemos llegado a la solución óptima. Termina, si no, seguir con el algoritmo.

5. Si no es posible obtener todos los ceros de asignación con el proceso anterior, entonces se procede como sigue:

a) Trazamos el menor número de líneas rectas horizontales y verticales, de tal manera que se cubran todas las entradas con un cero.b) Seleccionamos el costo menor no cubierto por línea de alguna de las rectas trazadas en el inciso anterior y se lo restamos al resto de las entradas no cubiertas.


315

c) Se suma a los elementos que se encuentren en el cruce de dos líneas el elemento menor seleccionado del inciso anterior.d) Los elementos cruzados por una sola línea se copian en la nueva tabla.e) Regresa al paso 4.

Ejemplo 3

Hallar la solución óptima del siguiente problema de asignación:

Una empresa compra 3 impresoras, una de inyección de tinta, una de punto matriz y una láser. Las impresoras se deben asignar a los siguientes departamentos: recursos humanos, facturación y dirección. Debido a la frecuencia de uso en cada departamento y al tipo de impresora se tiene un costo de asignación, el cual se muestra en la siguiente tabla:

Paso 1. La tabla inicial del método húngaro es:

Paso 2. El costo menor de cada una de las filas es 5, 4 y 4 respectivamente. Al restar 5 a los elementos de la primer fila, restar 4 a los de la segunda y 4 a los de la tercera, obtenemos:

Unidad 8

316

Paso 3. El costo menor de cada una de las columnas es 0, 0 y 2 respectivamente. Al restar en su columna respectiva obtenemos:

Paso 4. Buscamos los ceros de asignación. En este caso, la entrada (1, 1) tiene asignado un cero, por lo tanto la impresora de inyección de tinta va al departamento de recursos humanos. La celda (2, 2) tiene un cero de asignación, por lo tanto, la impresora de punto matriz va al departamento de facturación. La celda (3, 3) tiene un cero de asignación, por lo tanto, la impresora láser va a la dirección. El costo total mínimo de esta asignación es: 5 + 4 + 6 = $ 15.

Una manera de identificar si se puede realizar una asignación óptima es: “si al permutar las filas podemos hacer que la diagonal principal de la tabla tenga entradas cero”.


317

Ejemplo 4

Retomando el ejemplo 1, cuya tabla de costos es:

Obtener la asignación de menor costo para la empresa.

Paso 1. La tabla inicial del método húngaro es:

Paso 2. El costo menor de cada una de las filas es 100, 300, 250 y 150 respectivamente. Al restar el costo mínimo de cada una de las filas correspondientes obtenemos:

Paso 3. El costo menor por columna de esta nueva tabla es 50, 0, 0 y 0. Al restar este costo mínimo a cada una de las columnas correspondientes obtenemos:

Unidad 8

318

Paso 4. Para verificar si es posible realizar una asignación factible óptima, intercambiamos las filas para ver si es posible obtener entradas ceros en la diagonal principal.

Intercambiamos la fila cuatro por la fila uno y obtenemos la siguiente tabla:

El método asegura que la asignación óptima es: La persona 4 supervisa el departamento de acabado, la persona 2 al departamento de empaque, la persona tres al departamento de producción y la persona uno al departamento de materia prima, con un costo mínimo de $ 850.

Ejemplo 5

Se necesitan hacer trabajos de jardinería, pintura y plomería en una casa. Se pide a Juan, Pedro y Luis que realicen un presupuesto sobre cada uno de los trabajos de manera independiente. A continuación se muestra el costo que presentaron para las diferentes tareas.


319

Debemos asignar una tarea a cada uno de ellos, de tal manera que se minimice el costo total.

Paso 1. La tabla inicial es:

Paso 2. Los costos mínimos de cada una de las filas son 15, 25 y 18 respectivamente. Al restar cada uno de ellos a cada una de las filas respectivas obtenemos:

Paso 3. Los costos mínimos de esta nueva tabla por columna son 0, 0 y 3. Al restar cada uno de estos valores a la columna respectiva obtenemos la siguiente tabla:

Paso 4. La celda (1, 2) y la (2, 2) tienen cero, pero no es cero de asignación por no ser único en su columna. La celda (3, 1) tiene un cero, pero no es de asignación. La celda (3, 3) tiene un cero pero tampoco es de asignación ya que no es único en su renglón.

Aunque permutemos las filas no es posible colocar ceros en la diagonal principal, como fue el caso del ejemplo 1, por lo tanto continuamos con el algoritmo:

Unidad 8

320

Trazamos el menor número de líneas rectas que cubran todas las celdas con entradas cero

a) El costo menor no cubierto es $ 2, que se resta de las entradas no cubiertas por línea alguna:

b) Le sumamos el costo menor $ 2 a las celdas donde se intersectan dos rectas:

c) La tabla que obtenemos es:


Paso 4. Si intercambiamos la fila tres con la fila uno, obtenemos los ceros de asignación en la diagonal principal:


321

Como el número de ceros de asignación es igual al número de columnas (filas), por lo tanto la asignación óptima es:

A Luis el trabajo de jardinería con un costo de $ 18, a Pedro el trabajo de pintura con un costo de $ 25 y a Juan el trabajo de plomería con un costo de $ 20. El costo total mínimo es de $ 63.

Ejemplo 6

Hallar la solución óptima del problema del ejemplo 3, pero con la condición de que Juan no realiza trabajos de plomería.

Paso 1. La tabla inicial del modelo es:

Paso 2. Los costos mínimos por fila son 15, 25 y 18, se restan a los valores en la fila correspondiente:

Unidad 8

322

Paso 3. Los costos mínimos por columna son 0, 0 y 12, se restan a los valores de su columna correspondiente:

Paso 4. Se buscan los ceros de asignación. En la celda (2, 1) se tiene un cero de asignación ya que es único en su fila y columna. Si en la celda (1, 2) elegimos el cero como de asignación entonces el cero de su misma columna se anula y por tanto el cero en la celda (3, 3) también será de asignación. Concluimos que:

Pedro realiza el trabajo de jardinería, Juan el de pintura y Luis el de plomería con un costo mínimo de $ 25 + $ 15 + $ 30 = $ 70.

Ejercicio 2

1. El método de matriz reducida fue desarrollado por dos matemáticos:

a) Ingleses.b) Rusos.c) Estadounidenses.d) Húngaros.

2. El tamaño de la tabla inicial del método de matriz reducida es de:

a) m nb) n mc) n nd) n–1 n–1


323

3. Para comenzar el algoritmo se selecciona el costo _______________ por fila y se resta del resto de las entradas de la fila.

4. Para poder llevar acabo una asignación óptima, debemos escribir la matriz reducida con ____________ en la diagonal principal.

5. Si no es posible realizar una asignación óptima, debemos trazar el _____________ número de líneas posibles que cubran todas las celdas con entrada cero.

6. Una empresa compra 3 computadoras, una Pentium I, una Pentium II y una Pentium III. Las computadoras se deben asignar a los siguientes departamentos: recursos humanos, facturación y dirección. Debido a la frecuencia de uso en cada departamento y al tipo de computadora se tiene un costo de asignación, el cual se muestra en la siguiente tabla:

Hallar la asignación óptima y el costo mínimo.

8.3. Algoritmo de solución

Una vez que aprendimos a utilizar el método húngaro para la solución de problemas de asignación, es importarte que ahora estudiemos el porqué funciona.

En la primera sección de la unidad encontramos que el modelo de P. L. de asignación es el siguiente:

Z C xij ijj

n

i

n

mín 1

1

Unidad 8

324

Sujeto a:

x i n

x j n

ijj

n

iji

n

1 1 2

1 1 2

1

1

para

para

, ,...

, ,...

x i jx

ij

ij

binarias para toda y 0

Vamos a demostrar que la solución óptima de este modelo permanece sin cambios si se suma o resta una constante a cualquier fila o columna de la matriz de costos.

Supongamos que la matriz de costos es la siguiente:

Sea pi el costo menor de cada fila, al restar esta cantidad de cada fila nos queda un nuevo costo, dado por: C’ij = Cij – pi

La tabla actualizada es:

Sea qj el costo menor por columna de la tabla anterior, al restar esta cantidad de cada columna nos queda un nuevo costo, dado por: C’’ij = Cij – pi –qj. La tabla actualizada es:


325

Ahora calculemos la función objetivo, en término de estos nuevos costos:

Z=(C11–p1–q1)x11+(C12–p1–q2)x12+(C21–p2–q1)x21+(C22–p2–q2)x22

Realizando algunos cambios algebraicos, podemos llegar a la siguiente expresión equivalente:

Z=C11x11+ C12x12+ C21x21+ C22x22–(p1+q1) x11–(p1+q2)x12–(p2+q1)x21–(p2+q2)x22

Esta expresión la podemos rescribir como:

Z C x p q xij ijj

n

i

n

i j ijj

n

i

n

11 11( )

Por restricciones del problema de asignación, sólo una de las variables de cada fila puede ser igual a uno y el resto debe ser igual a cero, por lo tanto, la suma del segundo término es:

( )p q x p qi j ijj

n

i

n

ii

n

jj

n

11 1 1

Finalmente la función objetivo la podemos escribir como:

Z C x p q C xij ijj

n

i

n

ii

n

jj

n

ij ijj

n

i

11 1 1 1constante

ii

n

Debido a que esta función objetivo difiere de la original por sólo una constante, ambas deben tener los mismos valores de xij, por lo tanto tienen la misma solución. Con esto demostramos que los pasos realizados en el algoritmo húngaro son válidos.

Unidad 8

326

Ejemplo 7

Una empresa compra 3 compresoras de diferentes capacidades, una grande, una mediana y una chica. Las compresoras se deben asignar a los siguientes departamentos: pintura de interiores, pintura de exteriores y pintura de detalle. Debido a la frecuencia de uso en cada departamento y al tipo de compresora se tiene un costo de asignación, el cual se muestra en la siguiente tabla:

Obtener la asignación de compresoras a los diferentes departamentos de tal manera que se minimicen los costos.

Paso 1. Al resolver el modelo, obtenemos la tabla inicial:

Paso 2. Las cantidades mínimas de cada fila son 10, 2 y 5 respectivamente, se restan a cada valor en la fila correspondiente:


327

Paso 3. Las cantidades mínimas por columna son 0, 0 y 2 respectivamente, se restan a cada valor en la columna correspondiente:

Paso 4. Los ceros de asignación están en la diagonal principal de la tabla, por tanto, la solución óptima del problema es: la compresora grande a pintura de exteriores, la compresora mediana a pintura de interiores y la compresora chica a pintura de detalle (solución óptima: x11=1, x22=1, x33=1) con un costo mínimo de asignación de Z=$ 19.

Ahora, si los costos se incrementan en 10% la tabla con los nuevos costos es:

Al resolver obtenemos:

Paso 2. Los costos menores por fila son 11, 2.20 y 5.50, respectivamente, se restan de los costos en su fila correspondiente:

Unidad 8

328

Paso 3. Los costos menores por columna son 0, 0 y 2.20, respectivamente, se restan de los costos en su columna correspondiente:

La solución óptima del problema es: x11=1, x22=1, x33=1 con un costo mínimo de asignación de Z=$ 20.90. Observamos que la solución es la misma, es decir, tenemos las mismas variables con valor uno, lo único que cambia es el valor de Z, el cual se incrementa en $ 1.90.

8.4. Problemas no balanceados

La primera condición que debe cumplir un problema de asignación es que el número de personas a asignar sea igual al número de tareas, sin embargo, en ocasiones algunos problemas no lo cumplen. En esta sección vamos a aprender cómo podemos modificar este tipo de problemas para aplicar el algoritmo de asignación.

Ejemplo 8

Una empresa de transportes tiene cuatro diferentes modelos de camiones. Dependiendo de la pericia del conductor para manejar los cambios de la caja de velocidades, el camión consume más o menos combustible. En la actualidad la planta cuenta con tres conductores. Los costos por uso adicional de combustible se muestran en la siguiente tabla:

Antologia de Investigacion de Operaciones

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