APLICACIONES DE LAS REDES DE PETRI EN ADMINISTRACION DE PROYECTOS

ING. PEDRO FERNANDO GIFFUNI SALAZAR

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de Magister en Administración.

Director CARLOS JULIO CORTÉS R. Ingeniero Mecánico, M. Sc.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

MAESTRIA EN ADMINISTRACION SANTAFÉ DE BOGOTÁ, D.C.

1999

ii

“APLICACIÓN DE LAS REDES DE PETRI EN LA ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS”

Nota de Aceptación PROF. ASTRID MARTINEZ Coordinadora de la Maestría en Administración. ING. CARLOS JULIO CORTES Director del Proyecto. Jurado Jurado

Santafé de Bogotá D.C., Noviembre 1999

ii

TABLA DE CONTENIDOS

INTRODUCCION 7

1. LA ADMINISTRACIÓN POR PROYECTOS 11

1.1 ORGANIZACIÓN POR FUNCIONES 12

1.2 ORGANIZACIÓN POR PRODUCTOS 13

1.3 ORGANIZACIÓN POR PROYECTOS 14

1.4 PROBLEMÁTICA DEL MANEJO DE PROYECTOS 16

2. METODOLOGÍAS TRADICIONALES PARA ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS 18

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE REDES PARA PROYECTOS 18

2.1.1 Proyecto. 18

2.1.2 Administración de un proyecto. 19

2.1.3 Especificación de un proyecto. 19

2.1.4 Modelo del proyecto. 19

2.1.5 Complejidad de un proyecto. 19

2.1.6 Descomposición en base a los procesos. 21

2.2 REDES DE ACTIVIDADES 23

2.2.1 Redes CPM: el método de la ruta crítica. 26

2.2.2 Redes PERT. 27

2.2.3 Variaciones sobre las redes tradicionales. 28

2.3 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS 29

iii

3. REDES DE PETRI 33

3.1 CONCEPTOS ESENCIALES DE REDES 33

3.1.4 Conjuntos Pre y Post: conflictos de estados. 35

3.1.5 Habilitación de recursos: conflicto de transiciones. 36

3.1.6 Alcanzabilidad y pasos. 37

3.1.7 Redes puras, redes simples. 38

3.1.8 S-grafos, T-grafos y red de elección libre. 39

3.1.9 Subredes, S-Vectores, T-Vectores. 40

3.2 TIPOS FUNDAMENTALES DE REDES DE PETRI 41

3.2.1 Redes CE. 41 3.2.1.1 Definición de red CE. 42 3.2.2.2 Interpretación de una red CE. 43

3.2.2 Redes PT o Place/Transition. 45 3.2.2.1 Definición de una red PT. 45 3.2.2.2 Propiedades de las redes PT. 47 3.2.2.3 Matriz de incidencia. 50 3.2.2.4 Grafo de Alcanzabilidad. 51 3.2.2.5 Viveza, estados de detención y estados de hogar. 52 3.2.2.6 Conservación de recursos y reproducción de estados. 54

3.2.3 Variantes sobre las redes de Petri tradicionales. 57 3.2.3.1 Redes Coloreadas CPN. 58 3.2.3.2 Redes temporizadas TPN y estocásticas GSPN. 59 3.2.3.3 Redes Petri de alto nivel, HLPN. 59 3.2.3.4 Redes Difusas de Petri. 60

4. APLICACIONES DE LAS REDES DE PETRI EN PROYECTOS 61

4.1 ANÁLISIS INDEPENDIENTE DEL TIEMPO 61

4.2 MODELAMIENTO BASADO EN PROCESOS 65

4.3 MODELAMIENTO EN BASE A REDES DE ACTIVIDADES 68

4.4 MODELO GENERAL PARA REPRESENTACIÓN DE PROYECTOS 70

CONCLUSIONES 73

iv

ANEXO: LAS REDES DE PETRI EN INTERNET 78

LISTA DE FIGURAS

Número Página Figura 1. Estructura basada en funciones 12 Figura 2. Estructura basada en productos 13

Figura 3. Estructura basada en proyectos 15

Figura 4. Descomposición en Procesos de un Proyecto 24

Figura 5. Representación de un proyecto sencillo con redes de actividades 25

Figura 6. Ejemplo de representación de una red 35

Figura 7. S-grafo 39

Figura 8. T-grafo 40

Figura 9. Red que no es de elección libre 40

Figura 10. Ejemplo de una red CE 45

Figura 11. Ejemplo de una red PT antes y después de dos pasos de simulación. 50

Figura 12. Arbol de alcanzabilidad para la red de la figura 11 52

Figura 13. Red sin estados de detención que no esta viva. 54

Figura 14. S-grafos y T-grafos 55

Figura 15. Red que no es estrictamente S-subred o T-subred 56

v

AGRADECIMIENTOS

El autor expresa sus agradecimientos a:

MARCO ALDEMAR y NELSON DIAZ, Ingenieros Mecánicos de la Universidad Nacional.

WEI DENG de la Universidad Noruega de Ciencia y Tecnología.

ANDRÉS DÍAZ Físico la Universidad Nacional y candidato a Ph. D. en Ingeniería Eléctrica de

Penn State University.

CARLOS JULIO CORTES, Ingeniero Mecánico M. Sc. de la Universidad Nacional y director de

la investigación.

vi

GLOSARIO DE SIMBOLOS UTILIZADOS

{ } Notación de conjuntos.

∅ Conjunto vacío.

x ∉A x es un elemento del conjunto A

R = {x | x es un número real}

El conjunto de los números reales.

R X R El conjunto de pares ordenados de números reales.

⊆ Inclusión de conjuntos.

⊂ Inclusión propia.

∪ Unión de conjuntos.

∩ Intersección de conjuntos

\ Diferencia entre conjuntos.

P →q Implicación: si p entonces q.

∀x Para todo x.

∧ Operación lógica “y”

∨ Operación lógica “o”

// S // Número de elementos en el conjunto S.

INTRODUCCION

La gerencia de proyectos nació con la administración misma: en los primeros años de la sociedad

Taylorista se sentaron las bases que hoy en día rigen esta forma de trabajo. Con la natural

especialización de la administración, y una constante agregación teórica por parte de otras

disciplinas, la ingeniería y la administración tomaron caminos separados.

La formalización de la administración ha traído grandes ventajas, sin embargo la división del

conocimiento también ha dificultado el intercambio de conocimientos. La teoría básica de la

gerencia de proyectos ha seguido esta tendencia: pese a que usamos computadoras muy

sofisticadas para planear proyectos, los métodos que usamos se han mantenido prácticamente

inmodificados en los últimos 30 años.

Es claro que con los cambios en la coyuntura económica las empresas, y en general todas las

organizaciones, han desarrollado nuevas necesidades. La gerencia de proyectos requiere hoy en

día una mayor celeridad en la toma de decisiones y mayor habilidad en el manejo de recursos.

8

La unión de estas dos necesidades, mantener el flujo tecnológico de la ingeniería a la

administración y los nuevos requerimientos que aparecen con el manejo de proyectos, nos llevó a

plantear la investigación de la teoría de proyectos desde la perspectiva de una herramienta propia

de la ingeniería moderna: las redes de Petri.. C. A. Petri1 introdujo las redes de Petri a principios

de los años 60, como un a herramienta gráfica para modelar sistemas distribuidos, y en particular

nociones de concurrencia, no-determinismo, comunicación y sincronización. Las redes de Petri

han cobrado importancia en los últimos años por su relevancia en la simulación de elementos

microelectrónicos y algoritmos de computación.

A pesar de diversos avances en el modelamiento de procesos productivos con estas redes, al

comenzar la investigación se esperaba tener poca información por lo que se planteó una

metodología en la cual se exploraba el potencial de la herramienta y se hacía una comparación

entre las diversas herramientas existentes. Esta metodología tuvo que ser cambiada en el

proceso: a medida que se fue avanzando en la investigación, se encontró que el modelamiento

con esta herramienta es completamente distinto al modelamiento tradicional por lo que es muy

difícil realizar comparaciones.

Inicialmente se estudia la importancia de la organización orientada por proyectos en la empresa.

Solo al proveer una visión de conjunto de la organización, y su relación con los proyectos, se

1 Kommunikation mit Automaten. Petri, C.A., Bonn: Institut für Instrumentelle Mathematik, Schriften des IIM Nr. 2, 1962, Second

Edition:, New York: Griffiss Air Force Base, Technical Report RADC-TR-65--377, Vol.1, 1966, Pages: Suppl. 1, English translation

9

puede comprender la importancia del desarrollo por proyectos para las organizaciones que se

desenvuelven en un clima cambiante.

En el segundo capitulo realizamos una revisión de los métodos tradicionales de administración

de proyectos. Si bien no pretendemos restar validez a estos métodos es muy importante recordar

como funcionan, para qué fueron creados y, sobretodo, considerar sus limitaciones.

En el capitulo 3 abordamos la teoría fundamental de nuestra nueva herramienta: las redes de

Petri. Iniciamos por unas definiciones esenciales dentro de un marco sistémico general y

desarrollaremos la teoría completa hasta comentar las diversas variantes de redes de Petri. Es

importante observar que el tema no es difícil, sin embargo se requiere un conocimiento previo de

teoría de conjuntos para entender el carácter formal de la herramienta.

En el último capitulo se exploran plenamente la potencialidad de las redes de Petri en la

administración de proyectos. Si bien no se entra en los detalles de cada modelamiento, se

observan ejemplos de aplicación de esta herramienta y se plantean nuevos conceptos que

constituyen el eje fundamental para futuros desarrollos.

10

Si bien el software específico con que se modelan las redes de Petri no es relevante para esta

investigación, tener algún programa de simulación es una excelente experiencia didáctica. En el

anexo se hace referencia a algunas herramientas disponibles gratuitamente en Internet.

1. LA ADMINISTRACIÓN POR PROYECTOS

Las organizaciones2 se caracterizan por presentar una jerarquía, usualmente en forma de cadena

de mando, y una distribución de la inteligencia, representada en la especialización de funciones.

La estructura organizacional de una empresa debe seleccionarse de tal forma que pueda

reaccionar de una manera óptima al ambiente que la rodea; de esto depende la supervivencia

misma de la empresa.

Dentro de las estructuras organizacionales adoptadas por las empresas, podemos identificar tres

tipos básicos3:

§ Empresas organizadas de acuerdo a las funciones que realizan.

§ Empresas organizadas por los productos que distribuyen.

§ Empresas organizadas para trabajar por proyectos.

2 MENARD Claude, Economía de las Organizaciones, Editorial Universidad Nacional, Bogotá 1990, p. 35

3 Basado en las notas de la asignatura Gerencia de Proyectos con el profesor Julio Mario Rodríguez de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional en 1996.

12

Cada uno de estos tipos estructurales tiene objetivos distintos y por tanto presentan ventajas y

desventajas entre si. En muchos casos también es posible encontrar estructuras híbridas

resultantes de una combinación de estos tres tipos básicos.

1.1 ORGANIZACIÓN POR FUNCIONES

En una empresa organizada por funciones, la jerarquía usualmente corresponde a las funciones

que debe realizar cada grupo de la empresa: producción, mercadeo, contabilidad, recursos

humanos, etc. El objetivo de esta estructura es proveer una base estable y eficiente para el

desarrollo de la empresa.

Fuerzade

Ventas

G erencia

M ercados P r oduccion F inanzas ComprasR ecursos

Humanos

Vendedor es

P ersonal

Aux i l i a r

Obreros

Figura 1. Estructura basada en funciones

13

Estas organizaciones presentan una división efectiva de las funciones con una consecuente

especialización en todos los niveles de la empresa, sin embargo, también es usual encontrar que

cada miembro de la organización considera su división como la más importante de la empresa.

Cuando una empresa con este tipo de organización enfrenta una crisis se puede generar tanto

ruido interno que cada división termina acusando a las demás del fracaso.

1.2 ORGANIZACIÓN POR PRODUCTOS

En las empresas estructuradas por productos es común encontrar divisiones dedicadas a manejar

de manera centralizada un producto o una familia de productos especifica. El objetivo de esta

estructura es el de responder adecuadamente a las necesidades del cliente. Si bien las necesidades

del cliente pueden variar de acuerdo a la zona geográfica o al tiempo, este método de división

permite a la empresa dar una atención más dinámica y por lo tanto puede responder mejor al

cambio.

P roducto I P roducto II

Fuerzade

V entas I

P roducto III P roducto IV

G erencia

Compra s I

V endedor es

I

O breros 1

F inanzasR ecursos

Humanos

P ersonal

A u x i l i a rM ercados I

P roduccion I

Figura 2. Estructura basada en productos

14

Debido al manejo integral que da cada división al problema, en estas organizaciones los

individuos o divisiones no se culpan entre si de los errores que se cometen, pero existe una

tendencia a desaprovechar los recursos de la empresa ya que terminan existiendo departamentos

con funciones similares para productos distintos. No es normal encontrar empresas con este

tipo de estructura implementada de manera estricta: casi siempre algunos departamentos

cumplen funciones globales y se reportan a la alta gerencia mientras se administran de manera

independiente.

1.3 ORGANIZACIÓN POR PROYECTOS

Los nuevos esquemas de contratación y las necesidades generadas por las políticas de outsourcing

en diversas empresas han hecho necesaria la formación de grupos de trabajo que realicen

funciones específicas por un tiempo determinado.

Algunas empresas han optado por una estructura distinta que facilita la distribución de recursos.

A diferencia de las estructuras anteriores, la estructura usada para empresas centradas en

proyectos no es arborescente sino más bien matricial. En esta nueva estructura la jerarquía es

mucho mas débil que en las dos anteriores: los talleres o divisiones con recursos especializados

15

deben atender a cada proyecto, lo cual hace mucho más difícil la coordinación entre los diversos

elementos del equipo.

Si bien aún no hemos definido lo que es un proyecto, de nuestra noción empírica es fácil

entender que cuando se manejan proyectos se requiere un dinamismo mayor en el momento de

tomar decisiones y asignar recursos. Esta estructura permite un mejor aprovechamiento de los

recursos disponibles, sin embargo la organización debe conocer bien su capacidad para evitar

sobrecargar algunos departamentos. El problema de la asignación de recursos para este

problema particular se ha estudiado desde la perspectiva de la investigación de operaciones4, pero

aún es un campo activo de investigación.

4 HARRIS G. D. HAGGARD M. J. y LESSO W. G., Computer Models in Operations Research. Harper & Row, Nueva York, 1974.

R ecurso A

P royecto I

T iempo IA

T iempo I C

P royecto II

T iempo II B

P royecto III

T iempo IIIA

T iempo III BR ecurso B

R ecurso C

Figura 3. Estructura basada en proyectos

16

1.4 PROBLEMÁTICA DEL MANEJO DE PROYECTOS

Muchas empresas que trabajan en base a requerimientos de tiempo de entrega adoptan una de las

estructuras anteriores y manejan todas sus funciones como si fueran proyectos. No todas las

funciones de una empresa pueden clasificarse como proyectos, sin embargo, aun en los casos en

que si se puede dar este tratamiento a la tarea especifica, esta estrategia tiene complicaciones que

la administración tradicional no contempla:

§ Cada proyecto requiere recursos, tecnologías y en algunos casos personal distinto; ningún

proyecto es igual al anterior.

§ Si una división o individuo queda comprometida a llevar a adelantar varios proyectos a la vez,

su eficiencia disminuirá notablemente porque tendrá que dividir su tiempo y recursos entre

los distintos proyectos, con la correspondiente pérdida de continuidad en el trabajo

§ Los proyectos son dinámicos: pese a que se realice una planeación y un seguimiento es poco

común que los proyectos se terminen a tiempo o con el presupuesto planeado.

§ Si dos divisiones requieren del mismo recurso para proyectos distintos, habrá un conflicto en

el momento de distribuir el recurso de acuerdo a la importancia de cada proyecto.

§ Una vez solucionado el punto anterior, el empleado responsable del recurso puede quedar

respondiendo ante dos, o más, jefes distintos.

De las tres estructuras mencionadas anteriormente, la más adecuada para el trabajo por proyectos

es la descrita en la numeral 1.3; a esta estructura se le denomina funcional cruzada o simplemente

17

organización matricial. Ford y Randolf5 hacen un recuento de ésta metodología en el cual comentan

que ésta ha sido poco estudiada por los académicos a pesar de ser usada ampliamente. Plantean

también el siguiente listado de ventajas y desventajas:

Ventajas Desventajas

§ Mejoras en el procesamiento de la información, gracias a los canales horizontales que no considera la teoría burocrática convencional.

§ Disponibilidad de recursos para nuevas oportunidades.

§ Mejoramiento de las capacidades individuales.

§ Perfección técnica en el producto final.

§ Violación de la reglas administrativas tradicionales de mando único y relación directa entre responsabilidad y autoridad.

§ Conflicto sobre el uso de los recursos.

§ Mayores costos organizacionales.

§ Disminución en la respuesta a cambios abruptos de demanda, especialmente en casos de empresas multinacionales.

En el estudio de Ford y Randolf se encuentra que las organizaciones adoptan una estructura

matricial por un proceso evolutivo de acuerdo a las necesidades que desarrollan.

Las dificultades más grandes en este tipo de estructura se deben a la mayor complejidad

organizacional al distribuir los recursos entre varios proyectos y a la diferencia cultural que

implica esta nueva forma de trabajo.

5 FORD Robert C., RANDOLPH W Alan, Cross-functional structures: a review and integration of matrix organization and project management,

En: Journal of Management, Junio 1992 v18 n2 p267.

18

2. METODOLOGÍAS TRADICIONALES PARA ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS

Debido a la diversidad en las metodologías aplicables podemos decir que no existe una

metodología definida para todo tipo de proyecto, el método de solución debe escogerse siempre

de acuerdo a los requerimientos del problema y las características de la metodología presente. Es

importante entender las metodologías que se aplican comúnmente y ver como sus limitaciones

pueden afectar el desarrollo del proyecto.

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE REDES PARA PROYECTOS

2.1.1 Proyecto. Desde el punto de vista formal un proyecto “es un procedimiento con inicio y

final claros, con objetivos bien definidos, con un costo total y con un cronograma”. 6 En general

los proyectos constan de varias unidades funcionales y comprenden diversas tareas a realizar.

6 Comité PMI, A Guide to the Project Management Body of Knowledge. Project Management Institute, Automated Graphic Systems, Charlote,

USA, 1996,

19

2.1.2 Administración de un proyecto. La aplicación de conocimientos, habilidades,

herramientas y técnicas a las actividades de un proyecto para satisfacer o exceder las necesidades

y expectativas.

2.1.3 Especificación de un proyecto. Contiene los lineamientos básicos por los cuales se debe

regir el proyecto: debe incluir el objetivo y los pasos a seguir para alcanzarlo. En general deben

ser conocidas tanto la situación actual, antes de llevar a cabo el proyecto, y las condiciones bajo

las cuales se concluirá el proyecto.

2.1.4 Modelo del proyecto. Representación abstracta, usualmente en forma gráfica, de las

actividades o procesos que conforman el proyecto. En general el modelo no sólo es una

plataforma sobre la cual se llega a una mejor comprensión del proyecto; también es base sólida

para la toma de decisiones, la coordinación, la predicción, el mejoramiento, e inclusive para una

eventual simulación de los procesos.

2.1.5 Complejidad de un proyecto. Es posible asignar una medida a la complejidad de un

proyecto. Tal indicador puede ser útil, por ejemplo, en la determinación de prioridades durante

el desarrollo de un proyecto en una organización matricial.

20

Deng, Wendt y Rolstadås7. de la Universidad Noruega de Ciencia y Tecnología, plantean que “la

administración de proyectos sufre numerosos problemas debido a la complejidad estática y

dinámica”. Según el modelo que proponen, la complejidad estática resulta de sus elementos

intrínsecos, como el alcance del proyecto, el tiempo disponible, costo y sus relaciones entre

recursos y relaciones mutuas. Es así que:

COMPLEJIDAD ESTÁTICA = ESCALA X (ALCANCE ∩∩ TIEMPO ∩∩ COSTO ∩∩

RECURSOS).

Es posible determinar la complejidad estática antes de realizar el proyecto, ya que comprende

datos que se pueden estimar: duración del proyecto, costo total, etc.

La complejidad dinámica de un proyecto es el resultado de los cambios en un proyecto durante

su ciclo de vida. Aunque estos cambios incluyen alteraciones en los mismos factores que

componen la complejidad estática, los cambios son causados por alteraciones debido a un

número de factores ambientales potenciales8 que se pueden clasificar en los siguientes dos tipos:

• Factores sociales: regulación, relaciones familiares o de parentesco, relaciones laborales y

organizacionales, elementos políticos.

• Factores ambientales: tecnología, desarrollo de la tecnología, competencia, globalización del

mercado, cambios en las expectativas del cliente.

7 DENG Wei, WENDT Almuth y ROLSTADÅS Ashborn. A Set of Modeling Methods for Process-oriented Project Modeling, En:

Management Journal, 1998

8 LIENTZ Bennet P., y REA Kathryn P. Project Management for the 21st Century, Academic Press Inc., 1995

21

Comparados con los factores ambientales, los factores sociales son relativamente estables ya que,

aunque son difíciles de predecir, son más fáciles de detectar. Los factores ambientales están

constantemente interactuando entre sí, de tal forma, que la alteración de elementos políticos

puede causar cambios en el uso y desarrollo de la tecnología. La ejecución de un proyecto puede

afectarse seriamente por combinaciones de estos efectos, por lo que estos factores deben

considerarse sistemáticamente.

2.1.6 Descomposición basándose en los procesos.

Como se comentó en la sección 2.1.4, un modelo de un proyecto es una abstracción del proyecto

real en términos formales que filtra las ideas irrelevantes, desplegando sólo la información

esencial. Para facilitar la obtención de la información crítica del proyecto, así como la

identificación de relaciones entre los distintos componentes de un proyecto recurriremos a una

división funcional basada en los procesos.

En general, todo proceso contiene un numero finito de sub-procesos y estos sub-procesos se

pueden descomponer hasta obtener un nivel de procesos elementales. Los procesos elementales,

a su vez, están constituidos por una serie de actividades.

22

Un ejemplo particular en que se ha normalizado la división de un proceso en varios sub-procesos

es el de la propia gerencia de proyectos. De acuerdo con el Instituto de Gerencia de Proyectos9

un proceso de gerencia de proyectos puede dividirse en nueve sub-procesos como se muestra en

la figura 4., y cada uno de estos sub-procesos, a su vez, consta de otros procesos elementales. En

el caso de la gerencia de integración del proyecto hay tres procesos elementales: desarrollo del

plan de proyecto, ejecución del plan del proyecto, y control de cambios generales.

9 Comité PMI, A Guide to the Project Management Body of Knowledge, Project Management Institute, Automated Graphic Systems,

Charlotte, NC, USA, 1996

R i esgos

In tegrac ión

C ostos

C om u n i cacio

nes

T iempo

R ecursos

H umanos

P ro cu r adu r i a

G erenc ia del P r oyecto

A l cance

C a l i dad

Figura 4. Descomposición en Procesos de un Proyecto

23

2.2 REDES DE ACTIVIDADES

El primer método sistemático para llevar control sobre proyectos fue el diagrama de Gantt10,

bautizado en honor a su creador. Este primer método consistía en enumerar los pasos que se

debían realizar y programar, al lado de cada paso, el tiempo que cada etapa iba a durar dando

fecha de inicio y terminación. Por supuesto, este método debió ser complementado rápidamente

ya que no era fácil, a simple vista, determinar las dependencias entre una tarea y otra: también

era necesario actualizar los itinerarios cada vez que había un retraso.

Con posterioridad a Gantt, se desarrollaron los primeros métodos con redes de grafos dirigidos:

en estos métodos se parte de obtener un diagrama de las tareas que componen el proyecto, de tal

forma que sea más evidente qué tareas se deben realizar antes de las otras.

El modelo de un proyecto tiene un significado matemático que podemos usar con el objetivo de

analizar y sistematizar el avance del proyecto. Al dar una representación gráfica a un proyecto

explícitamente creamos un modelo de este proyecto.

10 CLARK W., The Gant Chart: A Working Tool of Management, 3a Edición, Sir Isaac Pitman & Sons, Londres, 1957

24

Aprovecharemos un ejemplo sencillo propuesto por Anastasia Pagnoni11 para ilustrar las redes de

actividades, siendo las redes CPM y PERT, los métodos más conocidos:

Especificación de Proyecto:

1. Un prototipo de producto deberá pasar por una prueba de rendimiento R, y una prueba

financiera F, antes de ser aprobado para la producción final. Las pruebas R y F se llevaran a

cabo independiente en las localidades LR y LF respectivamente y las pruebas tomarán,

respectivamente, tr y tf unidades de tiempo.

2. En determinado instante de tiempo la documentación necesaria será llevada a los sitios de

prueba. El transmisión de la información tomará, respectivamente sr y sf unidades de tiempo.

3. La decisión de ambas pruebas será tenida en cuenta por quien administra el proyecto para

tomar la decisión de seguir, o no el proceso.

Objetivo: trazar un plan de actividades para que se cumpla la especificación y obtener

información en cuanto a la fecha de culminación del proyecto.

En la representación de un proyecto con grafos dirigidos se concibe un proyecto como una

colección finita de actividades. El grafo dirigido consta de vértices (en el caso de la figura 5 son

cajas) donde confluyen arcos dirigidos que representan las actividades primarias.

11 PAGNONI Anastasia. Project Engineering, Springer Verlag, Nueva York, 1992; p6

25

Podremos diseñar una red de actividades ordinarias si las especificaciones cumplen tres

requisitos:

1. Se da un ordenamiento parcial entre las actividades, expresada como una precedencia en

tiempo.

2. La sincronización de actividades se especifican en una manera consistente con un lógica de

realización AND/AND: un vértice se “realiza” cuando todos los pasos que conducen a él se

han cumplido, y se inicia la siguiente actividad en ese mismo instante.

3. No se requiere toma de decisiones que involucren opciones o alternativas.

Una representación en forma de grafo dirigido es un lenguaje para describir el proyecto y por

tanto no puede ser ambiguo. Las condiciones dos y tres cobrarán especial importancia cuando

discutamos otro tipos de redes.

Prueba R

Prueba F

Enviar LR

Enviar LF

Examinar R

Examinar F

Figura 5. Representación de un proyecto sencillo con redes de actividades

26

2.2.1 Redes CPM: el método de la ruta crítica. El término CPM fue adoptado del inglés

Critical Path Method, y es un método que fue desarrollado en la década de los 1950s Para poder

aplicar CPM12 debemos tener información confiable acerca de los tiempos que demora cada

actividad.

Si bien decíamos que dos proyectos nunca son iguales, la experiencia que se tenga desarrollando

las actividades es un factor definitivo en el funcionamiento de este modelo: entre más se demore

un proyecto mayores serán los costos de mano de obra y los costos de inventario, por lo es

lógico tratar de minimizar el tiempo en que se culmina el proyecto.

En nuestro ejemplo, aplicar el método de la ruta crítica CPM, se limitaría a identificar cual de las

dos ramas de la red se demora más en completarse. El camino más demorado nos definirá cual

es el proceso que rige la terminación exitosa del proyecto. Si al conocer los tiempos

encontramos que:

TR + SR > TF + SF,

y los demás tiempos son despreciables, la ruta critica está dada por el camino entre el inicio, la

evaluación de rendimiento, y la entrega de resultados.

12 WIEST J. D., A Management Guide to PERT/CPM, with GERT/PDM/DCPM and other Networks, 2nd. Ed., Englewood Cliffs,

Prentice Hall, Nueva York, 1997

27

La ruta crítica nos sirve para determinar el mínimo tiempo de entrega del proyecto, pero además

el avance que tengamos sobre la ruta crítica nos indicará que tan avanzado está el proyecto, por

lo que la ruta crítica también puede servirnos de elemento de control.

2.2.2 Redes PERT. El PERT, o Program Evaluation and Review Technique, fue desarrollado de

manera simultánea e independiente del CPM, y soluciona una de las deficiencias más importantes

de este método: la incertidumbre en el tiempo de ejecución de las actividades primarias.

El método PERT toma en cuenta las desviaciones en los tiempos de ejecución explícitamente e

involucra esta información en el modelo del proyecto. Por supuesto, no es común que el

personal del proyecto lleve un registro del tiempo promedio y la varianza con que realiza sus

actividades, por lo que el método recurre un truco: se asume que cada tarea sigue un

comportamiento dado por la función de distribución beta. Esta distribución probabilística tiene

una forma similar a la de distribución normal, sin embargo se diferencia en que no es simétrica

sino que puede tener su media más cercana a alguno de los extremos. Con tres tiempos; el

tiempo optimista, el tiempo pesimista, y el tiempo más probable, es posible estimar el tiempo

promedio y la varianza de cada proceso y, si se desea, también la ruta crítica.

28

En la práctica, el uso del método PERT es un avance13 importante sobre sus pero se debe ser

cuidadoso al usarlo ya si la ruta crítica tiene una varianza alta, llegaremos a conclusiones

equivocadas.

2.2.3 Variaciones sobre las redes tradicionales. Si bien las redes CPM y PERT han sido muy

útiles14 para proyectos de gran complejidad, las limitaciones en el manejo lógico de las redes de

actividades hacen que diversos proyectos no se puedan manejar. Si en algún proyecto tiene que

cumplirse una sola de las condiciones, pero no ambas, necesitaríamos usan una lógica XOR, lo

cual esta fuera del alcance de las redes que hemos usado.

Las GERT15 son redes de actividades “generalizadas”, también llamadas redes de actividad

estocástica. Soportan decisiones lógicas como XOR y OR/AND, siendo mas generales que las

PERT. Recientemente también se han desarrollado las redes VERT16, una técnica de simulación,

con orientación matemática basada en redes, diseñada para analizar riesgos existentes en tres

parámetros: tiempo costo y rendimiento, en proyectos nuevos o ventures.

13 SOROUSH H. M., The Most Critical path in a PERT network, En: Journal of Operation Research Society, vol 45 n.3, 1994, p 287-

300.

14 BENJAMIN A., Critical Patch Methods Used by a Government Works Department and it’s Contractors. En Applications of Critical Path Techniques, J. Brennad Ed., American Elsevier Publishing company, Inc. Gran Bretaña 1968, p 61-89.

15 WIEST J. D. y LEVY F. K., A Management Guide to PERT/CPM: With GERT/PDM/DCPM and Other Networks. Nueva Delhi, India: Prentice-Hall, 1982

16 MOELLER G. L. y DIGMAN L. A., “Operations planning with VERT”, Oper. Res., vol. 29, Julio - Agosto, 1981, no. 4, pp. 676-697

29

La gran desventaja de estas redes, salvo por casos particulares, es que no se pueden analizar

simbólicamente como se hace en las redes CPM y PERT. Cuando se intenta analizar problemas

moderadamente grandes en este tipo de redes la complejidad de la solución obliga a recurrir a

técnicas de simulación combinadas con algoritmos simbólicos. Los paquetes de software para

este tipo de análisis son costosos y difíciles de conseguir.

2.3 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS

Pese a la gran utilidad que ha demostrado la administración tradicional de proyectos, existe una

amplia documentación sobre las limitaciones en los métodos tradicionales.

La planeación y ejecución de proyectos se ha considerado un problema de investigación de

operaciones, específicamente uno de optimización. Si decidiéramos seguir este camino,

tendríamos que considerar las condiciones de frontera, que en este caso serían las limitaciones de

recursos, y una función objetivo, que en este caso sería la disminución del costo total del

proyecto, tomando como base casi siempre el tiempo total de ejecución. En un estudio realizado

por Ozdamar y Ulusoy17 se observa la dificultad de modelar proyectos por métodos de

optimización.

17 OZDAMAR y ULUSOY, A survey on the resource-constrained project scheduling problem, IIE Transactions, 1995, n 27, p574-

586

30

En el numeral 2.2.1 se afirmó que la ruta crítica indica el tiempo mínimo necesario para realizar

un proyecto y por tanto se consideró el elemento esencial para medir el avance del mismo y para

controlarlo. Si bien esto es cierto para proyectos sencillos, al ir aumentando la complejidad de

los proyectos encontramos que esto no es cierto: si por efecto de tener ocupados los recursos, o

por descuidos en el desarrollo de ramas aparentemente menos importantes no completamos las

condiciones necesarias, el proyecto puede alargarse más e incluso detenerse.

Con el objetivo de aplicar los principios de la “teoría de la restricciones” en el área los proyectos,

Eliyahu Goldratt18 hace una analogía con los ambientes de producción y encuentra que la ruta

crítica no siempre indica el avance del proyecto. Goldratt llega a definir un nuevo concepto que

denomina la “cadena critica”, que corresponde al camino más demorado que puede seguir un

proyecto cuando se tienen en cuenta las restricciones en recursos.

La limitación más grande, sin embargo, que tiene el uso de los métodos tradicionales es la

inhabilidad del modelo para monitorear el proyecto. Deng, Wendt y Rolstadas19 observan que

los modelos tradicionales presentan las siguientes limitaciones:

18 GOLDRATT Eliyahu. Critical Chain,. Great Barrington : North River Press,1997 , 246 p.

19 DENG Wei, WENDT Almuth y ROLSTADÅS Ashborn. A Set of Modeling Methods for Process-oriented Project Modeling, Management Journal, 1998

31

1. No hay una descripción de los procesos y sus relaciones: si bien a través de los

diagramas tradicionales es posible descomponer el proyecto en sus procesos, no hay una

visión funcional clara de los procesos.

2. No existe una visión integrada del proyecto: falta integración entre el alcance del

proyecto, los recursos y la información.

3. Hay limitaciones en la habilidad de simulación: la simulación llevada a cabo en las redes

tradicionales está orientada a la determinación del calendario del proyecto para que se pueda

cumplir el itinerario pero no se da una representación clara de los recursos disponibles. Bajo

estas condiciones no se puede llevar a cabo una simulación realista del proyecto.

4. Los modelos son deficientes cuando la información que se provee es imprecisa: en

todo proyecto puede ocurrir eventos imprevistos que requieren toma de decisiones. Ninguna

de las técnicas existentes puede tratar este problema.

Ganesh y Kumar20 coinciden en varios puntos al comentar los diversos inconvenientes de los

modelos existentes:

1. Estos modelos no almacenan la información de los eventos que causan el inicio de una

actividad.

2. Ninguno de los métodos expuestos le permite al administrador analizar las razones para un

progreso tardío en las actividades.

32

3. Pese a que casi siempre se utilizan herramientas de computo, los modelos son inadecuados

para regenerar y reprogramar las actividades automáticamente.

4. Los modelos tradicionales no son capaces de representar la interdependencias entre recursos.

5. Estos modelos no dan soporte a estudios en asignación parcial, exclusividad mutua, y

substitución de recursos.

6. Estos modelos no son adecuados para resolver conflictos resultantes de prioridades de

recursos.

7. Estos modelos no pueden soportar estudios sobre los efectos de variaciones en la

disponibilidad de recursos, el tiempo en que cada tipo de recurso adquiere mayor

importancia, y la utilización o inutilización de recursos.

Estas limitaciones hacen necesaria la búsqueda de herramientas mas sofisticadas que

complementen, o de ser posible reemplacen, las herramientas existentes.

20 KUMAR Ashok V. K. y GANESH L. S., Use of Petri Nets for Resource Allocation in Projects, IEEE Transactions on

Engineering Management, Vol. 45 No. 1, Febrero 1998.

3. REDES DE PETRI

3.1 CONCEPTOS ESENCIALES DE REDES

3.1.1 Estado de un sistema. El estado de un sistema representa todos aquellos aspectos que

describen la “posición” completa del sistema en cada instante de tiempo y que son relevantes

para el comportamiento futuro de el sistema21.

3.1.2 Transiciones de Estado. A medida que el tiempo pasa, el sistema puede cambiar las

condiciones que definen su estado, en este caso diremos que se ha sufrido una transición de un

estado a otro.

3.1.3 Redes. Existen diversos tipos de redes y de acuerdo a esto también distintas definiciones:

el enfoque que usaremos tiene como referencia obligada a Anastasia Pagnoni22 ya que presenta

una visión orientada a proyectos.

21 DAELLENBACH Hans G., GEORGE John A., MCNICKLE Donald, Introduction to Operations Research Techniques, Allyn and

Bacon, Boston, 1987, P. 366

34

Las redes son una interconexión de elementos de transición y estados: son grafos dirigidos

bipartitas que poseen una interpretación blanda. Basados en la teoría de conjuntos23 definimos: :

Una red es una tripleta N = (S, T, F) que representa un sistema tal que:

1. S es un conjunto finito cuyos elementos representan elementos de estado, es decir componentes

elementales de estados del sistema. Los elementos que componen a S serán llamados

elementos-S y se representarán gráficamente por medio de círculos.

2. T es un conjunto finito cuyos elementos representan elementos de transición, es decir,

componentes elementales de transiciones de estado. Los elementos de T serán llamados

elementos-T y se representarán gráficamente por medio de cuadrados.

3. F es un conjunto finito de pares ordenados de dos tipos – (elementos-S, elementos-T) y (elementos-T,

elementos-S) – representando conexiones causales. El primer elemento representa un

componente de sistema que es una causa inmediata para el componente representado por el

segundo elemento. F es denominada la relación de flujo de la red y se representa gráficamente

por medio de arcos dirigidos.

Adicionalmente, podemos decir que:

§ S ∩T =∅ y S ∪ T ≠∅

§ El grafo dirigido (S ∪ T, F) es conexo;

22 PAGNONI Anasatasia, Project Engineering: Computer-Oriented Planning and Operational Decision Making, Springer Verlag, Nueva

York, 1990.

23 TRUSS J. K., Discrete Mathematics for Computer Scientists, Addison-Wesley, 1991.

35

§ Cada elemento de la red – S o T – Pertenece a por lo menos un par ordenado en F.

La figura 6 muestra un ejemplo de representación de una red sencilla con tres estados y cuatro

transiciones. Es importante comentar que a pesar de que las dos representaciones de la figura

parecen distintas, las redes son equivalentes ya que según nuestra definición los elementos son

los mismos.

3.1.4 Conjuntos Pre y Post: conflictos de estados.

El pre-conjunto de x es el conjunto de elementos de la red que son entradas de x, el post-conjunto

de x es el conjunto de todos los elementos de red que son salidas del elemento x.

Sea N = (S, T, F) una red, y x un elemento de N. El pre-conjunto de x será el conjunto

A

B C

1 2

3 4

A

B C1 2

3 4

(i) (ii)

Figura 6. Ejemplo de representación de una red

36

••x := {y | (y, x) ∈ F };

llamaremos el post-conjunto de x, el conjunto definido por

x•• := {y | (y, x) ∈ F }.

En la figura 6, •3 = {B}, B• = {3, 4}.

Un elemento-S s se denomina conflicto en N si // •x // ≥ 2 ∧ // x• // ≥ 2, es decir un conflicto

será un elemento-S al cual le corresponden más de dos transiciones en sus entradas o en sus

salidas. En la figura 6 el único conflicto es B.

3.1.5 Habilitación de recursos: conflicto de transiciones.

Sea C un subconjunto no vacío de S, y t un elemento-T. Decimos que t esta habilitado en C – o

que tiene concesión en C – si C ⊇ •t y C ∩ t• = ∅. Es decir, t tiene concesión en C si el

conjunto C contiene todo el pre-conjunto de t pero no el post-conjunto.

Dos elementos-T t’ y t’’ estarán habilitados concurrentemente si ambos están habilitados en C

pero no comparten elementos-S en sus entradas o salidas:

(•t’ ∪ t’•) ∩ (•t’’ ∪ t’’•) = ∅.

37

Si t’ y t’’ están habilitadas en C, pero

•t’ ∩ •t’’ ≠ ∅ ∨ t’• ∩ t’’• ≠ ∅

decimos que t’ y t’’ están en conflicto en C.

3.1.6 Alcanzabilidad y pasos.

Sean C’ y C’’ dos subconjuntos no vacíos de S, y E un subconjunto no vacío de transiciones

habilitadas en C. Decimos que C’’ es alcanzable desde C’ por paso E si::

i. cada par de elementos-T, t’ y t’’, pertenecientes a E están habilitados concurrentemente en

C’;

ii. C’’ = (C’\ •E) ∪ E• .

Cuando C’’ es alcanzable desde C’ por el paso E escribimos C’[E>C’’.

La definición anterior es una relación binaria r en (S) tal que:

∀ C’, C’’ ∈ (S) : (C’, C’’) ∈ r ↔ ∃ E ∈ (T): C’[E>C’’

donde r se llama relación de alcanzabilidad de un paso de la red.

38

La relación de alcanzabilidad r*, donde el asterisco por definición indicará una iteración finita de (r

∪r-1)* , es una relación de equivalencia, es decir cumple tres condiciones: reflexividad, simetría y

transitividad24. Si (C’, C’’) ∈ r* decimos que C’’ es alcanzable desde C’.

3.1.7 Redes puras, redes simples.

Decimos que un elemento-S es una condición lateral de un elemento-T t si

s ∈ •t ∩ t•,

En la figura 6, el elemento A es una condición lateral del elemento de transición 1. Cuando una

red no tiene condiciones laterales decimos que la red es pura.

Decimos que una red N es S-simple si

∀ s’, s’’ ∈ S : •s’ = •s’’ ∧ s’• = s’’• → s’ = s’’,

y que N es T-simple si

∀ t’, t’’ ∈ T : •t’ = •t’’ ∧ t’• = t’’• → t’ = t’’.

24 PAGNONI, Anastasia, Project Engineering : Computer-Oriented Planning and Operational Decision Making, Springer Verlag, 1990, cap. 5

39

Si la red N es tanto T-simple como S-simple, se denomina red simple. En una red simple cada

elemento está completamente definido por sus entradas y salidas: ningún elemento distinto tiene

la misma entrada y salida. La figura 6 es una red simple.

3.1.8 S-grafos, T-grafos y red de elección libre.

Una red N = (S, T, F) es denominada S-grafo, o máquina de estado, si

∀ t ∈ T : // •t // = // t• // = 1,

y es denominada T-grafo, o grafo marcado, si

∀ s ∈ S : // •s // = // s• // = 1.

En los S-grafos podemos eliminar la representación gráfica de los elementos-T sin perder

información marcando los arcos dirigidos con el nombre de la transición.

La figura 6 no es S-grafo ni T-grafo. Las figuras 7 y 8 son S-grafo y T-grafo respectivamente.

Figura 7. S-grafo

40

Retomaremos el tema de estos grafos hacia el final de esta sección, cuando hallemos las

invariantes de un sistema.

Decimos que N es una red de elección libre si

∀ s ∈ S : // •s // > 1 •(s•) = {s}.

Las figuras 6, 7, y 8 son redes de elección libre, la figura 9 no lo es.

3.1.9 Subredes, S-Vectores, T-Vectores.

La subrredes de una red N son sub-grafos dirigidos bipartitas inducidos en N por cualquier

subconjunto de vértices. Una subred comprende todos los arcos que unen sus nodos en la red

embebida. Decimos que la red N’ = (S’, T’, F’) es una subred de la red N =(S, T, F) si

Figura 9. Red que no es de elección libre

Figura 8. T-grafo

41

S ⊇ S’, T ⊇ T’ , F’ = F (S’ x T’ ∪ T’ x S’).

La red de la figura 7 es una subred de la figura 9.

Asumiremos ahora que existe un orden estructural en los conjuntos de transiciones y estados de

la red N =(S, T, F):

S : s1 < s2 < … < sm, T : t1 <t2 < … < tn.

Un S-vector es cualquier vector, columna o fila, indizado por medio elementos de S, y un T-vector

es cualquier vector que sea indizado usando el conjunto T. Como veremos más adelante, es

común asignar fichas a algunos elementos-S para designar la presencia de una característica

adicional en el estado. Las fichas son usualmente representadas por medio de S-vectores con

valores correspondientes a las fichas, también usaremos vectores cuando hagamos análisis de

invariantes sobre redes de Petri PT.

3.2 TIPOS FUNDAMENTALES DE REDES DE PETRI

.

3.2.1 Redes CE.

Las redes Condición/Evento, o redes CE, son la clase base para la construcción de otras redes

de Petri y por tanto sirven para entender los fundamentos de los modelos más complicados. Las

42

redes CE son útiles para representar análisis en que no se tiene en cuenta el tiempo pero se desea

analizar estados de planes y sus transiciones.

3.2.1.1 Definición de red CE. Una red Condición/Evento CE es una cuádrupla Q = (S, T, F,

C) que satisface las siguientes hipótesis:

1. (S, T, F) es una red simple;

2. Los elementos-S de (S, T, F) representan condiciones elementales del sistema, mientras que

sus elementos-T representan eventos elementales del sistema. Los elementos-S, por tanto,

son denominados condiciones, y los elementos-T son denominados eventos.

3. C es un conjunto no vacío de subconjuntos de S, llamados casos, de tal forma que:

3.1. C es una clase25 equivalente a la relación de alcanzabilidad r*;

3.2. Cada elemento-T está habilitado en por lo menos un caso.

C es denominada la clase caso de Q y representa un conjunto de condiciones específicas; es el

elemento que distingue a las redes de Petri de las redes simples. Para representar los casos

gráficamente usaremos un punto al interior de los círculos. Estos puntos también son llamados

fichas, y se acostumbra denominar el caso representado gráficamente como el caso actual.

25 El término clase, en este contexto, se utiliza para denominar una familia de elementos relacionados.

43

3.2.2.2 Interpretación de una red CE. Tenemos condiciones, eventos, una relación de flujo, y una

clase de casos, sin embargo, la definición de la red condición/evento no basta para llevar a cabo

un análisis con esta herramienta, se requiere darle una interpretación que comprende los

siguientes puntos:

• Tomamos casos para representar los estados del sistema; los elementos-S pertenecientes a un

caso representan condiciones que se mantienen ciertas en un sistema de estados representado

por el caso.

• El estado actual del sistema es representado por una variable sobre un clase de casos C.

Tomemos K como una variable sobre C representando el estado actual del sistema.

• Sea C una caso, y tomemos K := C. En el caso K, los eventos habilitados pueden ocurrir. Un

evento e esta habilitado en el caso K si todas las condiciones c ∈ •e pertenece a K, mientras

que todas las condiciones c ∈ e• no. Después de la ocurrencia de e, las condiciones c no

pertenecen más a K, mientras que las condiciones c ∈ e• si. El valor de K cambiará:

K = (C\•e) ∪ e• = C’ ∈ C.

• No se especifica cuando un evento habilitado ocurrirá, o si necesariamente va a ocurrir.

• Los pasos están definidos como conjuntos de eventos que están habilitados

concurrentemente en un caso dado. Un paso representa una transición de estado no

elemental cuyos componentes elementales pueden llevarse a cabo de una manera

44

causalmente independiente. Obsérvese que los pasos no están definidos como un conjunto

máximo de eventos habilitados concurrentemente.

• Los pasos pueden o no ejecutarse. La ejecución de un paso cambia el caso actual K.

• Como C es una clase de equivalencia de relación r*, cada caso es alcanzable desde cualquier

otro caso después de un número finito de pasos hacia adelante o hacia atrás. C representa un

conjunto máximo de estados del sistema, cada uno alcanzable por el otro desde un número

finito de transiciones de estado. Por supuesto, no todos los casos se pueden alcanzar desde

cualquier otro si sólo podemos dar pasos hacia adelante.

• Las clases de equivalencia de relación r* distintas de C representan conjuntos de estados de

sistemas que no pueden ser alcanzados desde casos pertenecientes a C.

Las redes CE no son muy usadas para los modelamientos que nos proponemos realizar, sin

embargo, haremos un ejemplo para ilustrar los conceptos básicos que comparten con las demás

redes de Petri.

a

b

A

B

AB

1

2

3

Figura 10. Ejemplo de una red CE

45

En el caso de la figura 10, la clase de casos es { {a}, {b, A}, {B, A}, {AB} }. El caso actual es {b,

A} y en el caso actual el único paso ejecutable es el paso T2.

3.2.2 Redes PT o Place/Transition.

Las redes de Petri Lugar/Transición, también denominadas PT por su sigla en inglés, son las

redes más estudiadas en la literatura26, y son las que más se aplican para modelar sistemas de la

vida real. Aunque las redes CE se pueden usar de manera análoga a las redes PT en muchas

situaciones, las redes PT tienen un formalismo que se acerca mas a las redes de actividades del

capitulo 2, y a los diagramas de flujo usados en las computadoras.

3.2.2.1 Definición de una red PT. Una red lugar/transición, o red PT, es una séxtupla N = (S, T,

F, K, W, M0) tal que:

(i) ( S, T, F) es una red, denominada red subyacente, donde:

• los elementos-S representan estados de recursos elementales, y son denominados lugares;

• los elementos-T representan operaciones elementales, y son denominadas transiciones;

• la relación de flujo F representa consumo de recursos cuando el par ordenado es de la forma (elemento-S, elemento-T), o producción de recursos cuando el par ordenado es de la forma (elemento-T, elemento-S).

26 PETERSON J. L., Petri Net Theory and the Modeling of Systems, Prentice-Hall, N. J., 1981

46

(ii) K(s) representa el numero más alto de unidades de recursos que se permiten simultáneamente

en el estado s:

K : S → ∪ {χχ0} es un mapeo que asocia un numero natural o en su defecto χχ0, la

cardinalidad del conjunto de los naturales, a cada lugar de la red. K(s) es llamada la función de

capacidad de la red. Si K(s) = χχ0 el número de recursos asignables a un estado s es ilimitado.

(iii) W: es llamada la función de peso de la red; el valor W(x, y) es denominado el peso del arco (x, y):

W : F → es un mapeo que asocia un número natural a cada arco de la red N. W(x, y) = n es

otra forma de decir que dos nodos deberían estas conectados por n arcos. Para la

representación gráfica, el peso W(x, y) se inscribe en el arco correspondiente y se omite en caso

que n = 1.

(iv) Las marcas representan la distribución actual de recursos:

Cada mapeo M : S → ℑ+ de tal forma que ∀s ∈ S : 0≤M(s)≤K(s) es denominado una marca

de la red. M(s) es llamado el marcaje del lugar s, y representa el número de unidades de recursos

actualmente en estado s. Las marcas M se representan gráficamente dibujando M(s) puntos

negros, denominados fichas, en el lugar s. M0 es una marca especial llamada el marcaje inicial de

la red: M0(s) representa el número de unidades de recursos que están inicialmente en el estado

s.

(v) Se define la siguiente regla de transición:

Una transición t ∈ T está habilita en el la marca M si

∀ s ∈ •t : W(s, t) ≤ M(s) ∧ ∀ s ∈ t• : M(s) ≤ K(s) + W(t, s).

Las transiciones habilitadas pueden ocurrir o pueden ser activadas.

Una transición habilitada representa una operación elemental que tiene disponible todos los

recursos que necesita, y su ejecución representa la ejecución de esa operación elemental. La

47

ocurrencia de una transición t cambia la distribución de recursos, y por tanto la marca M a una

marca M’ definida por:

∀ s ∈ S : M’(s) = M(s) - W(s, t) + W(t, s). Este estado particular de eventos se expresa

escribiendo: M[t>M’.

Las transiciones t’,…,t’’ estarán habilitadas concurrentemente en la marca M si están todas habilitadas

en M y después de la ocurrencia de cualquiera de ellas las demás todavía están habilitadas.

Las transiciones habilitadas concurrentemente pueden ocurrir concurrentemente. La ocurrencia

concurrente de un multiconjunto de transiciones t’,…,t’’ es denominado paso, y cambia el

marcaje M’ definido por:

∀ s ∈ S : M’(s) = M(s) - W(s, t’) -…- W(s, t’’) + W(t’, s) +…+ W(t’’, s), situación que

expresamos escribiendo: M[t’,…,t’’>M’.

Obsérvese que se permite tener t’ = t‘’, es decir que, las transiciones pueden ocurrir

concurrentemente sobre sí mismas.

3.2.2.2 Propiedades de las redes PT. Por supuesto, las propiedades de las redes sencillas se aplican a

las redes PT. Una red PT, N = (S, T, F, K, W, M0) es pura si su red subyacente es pura.

Dada una red PT, N = (S, T, F, K, W, M0), denotamos el conjunto de marcas alcanzables hacia

adelante, denotado por [M0>, el conjunto más pequeño de marcas tales que:

(i) M0 ∈ [M0>

48

(ii) M’ ∈ [M0> ∧ ∃t ∈ T : M’[t>M’’ → M’’ ∈ [M0>.

También podemos definir el conjunto de marcas alcanzables hacia adelante y hacia atrás [M0], como el

conjunto mas pequeño tal que:

(i) M0 ∈ [M0] .

(ii) M’ ∈ [M0] ∧ ∃t ∈ T : M’[t>M’’ → M’’ ∈ [M0]

(iii) M’’ ∈ [M0] ∧ ∃t ∈ T : M’[t>M’’ → M’’ ∈ [M0].

Las marcas alcanzables en el futuro representan los estados de distribución de recursos en que el

sistema puede entrar en su vida futura, la marcas alcanzables hacia atrás representan los estados

de distribución de recursos que el sistema pudo haber tenido en su vida anterior. Esta

información nos puede servir para saber como llegar a la situación deseada o como llegamos a la

situación actual.

Un sitio, o lugar, p se denomina conflicto si

//p•// ≥ 2 ∨ //•p// ≥ 2.

Decimos que dos transiciones están en conflicto en el marcaje M si están ambas habilitadas bajo

M pero al ocurrir alguna, una de las transiciones queda deshabilitada.

49

Una transición t es denominada transición de sincronización si

//t•// ≥ 2 ∨ //•t// ≥ 2.

Dos sitios estarán sincronizados en el marcaje M si son entradas o salidas de t. En sitios

sincronizados los recursos serán consumidos o producidos juntos.

La figura 11 presenta un ejemplo antes y después de activar una secuencia ordenada de

transiciones T1 y T2.

(i)

(ii)

Figura 11. Ejemplo de una red PT antes y después de dos pasos de simulación.

La capacidad de los lugares P1 y P2 se considera infinita (χχ0). Al activar T1 las dos recursos en

P1 son consumidos, y se producen otros dos recursos que pasan ahora a P2 por lo que T2

P1 P2

T1

T2

2 2P1 P2

T1

T2

2 2

50

queda habilitada. Como la multiplicidad entre P2 y T2 solo permite el paso de una ficha,

obtenemos el diagrama de la figura 11 (ii) después de nuestra pequeña simulación. Si deseamos

volver al estado inicial del sistema debemos activar de nuevo a T2, que en todo caso es la única

transición habilitada en la figura 11 (ii).

3.2.2.3 Matriz de incidencia. La estructura de una red PT pura puede representarse

algebraicamente por medio de una matriz denominada matriz de incidencia.

Sea N = (S, T, F, W, M0) una red PT cuya red subyacente es pura con S y T estrictamente

ordenados. La matriz de incidencia, también llamada matriz de cambio, de la red N será la matriz

W = { wst } definida por:

0 Si s∉ •t ∪ t•

-W(s, t) Si s∈ •t wst :=

W (s,t) Si s∈ t•

Donde s y t son índices sobre los conjuntos ordenados S y T. Esta matriz es muy usada cuando

se representan los modelos de redes de Petri por computador. En el ejemplo de la figura 11 la

matriz de incidencia estará dada por:

51

W T1 T2

P1 -2 1

P2 2 -1

3.2.2.4 Grafo de Alcanzabilidad. Un grafo donde los vértices representan los marcajes y las flechas

representan los pasos, constituye herramienta que nos representa completamente los estados y

sus transiciones de una forma muy conveniente. Tal grafo es conocido como el árbol de

alcanzabilidad.

Si tenemos un red PT N = (s, T, F, W, M0), podemos construir este grafo siguiendo el este

procedimiento:

1) Dibujar la raíz y rotularla M0.

2) Si ningún paso esta habilitado en el marcaje M0, entonces hemos terminado, si no, para cada

paso M0[t’,…,t’’>M dibujar un vértice rotulado M y un arco dirigido desde M0 hasta M

rotulado t’,…,t’’;

3) .Si no hay paso habilitado en ninguna de los marcajes M anteriores entonces hemos

terminado, si no; para cada paso M[t’,…, t’’>M’ : si nuestro grafo ya contiene el vértice

rotulado M’ entonces dibujar un arco entre M y M’ y rotularlo t’,…,t’’, de otra forma dibuje

un nuevo vértice M’ y un arco entre M y M’ rotulado t’,…,t’’;

52

4) repetir desde el paso 3.

En la figura 12, hemos usado un programa de computador27 que nos realizó el grafo de

alcanzabilidad correspondiente a la figura 11.

3.2.2.5 Viveza, estados de detención y estados de hogar. En el ejemplo de la figura 12, observamos que

después de ejecutar una secuencia de pasos volvemos al marcaje inicial, lo cual indica que

siguiendo una secuencia de pasos podemos recrear los marcajes. Esta propiedad no está presente

en todas las redes: se dice que una red con esta característica está viva. La viveza de una red es

una propiedad relevante: una red viva representa un plan en el que ninguna operación causa un

alto en el proceso.

Dada una red PT N = (S, T, F, W, M0), decimos que la transición t está viva si

Figura 12. Arbol de alcanzabilidad para la red de la

figura 11

53

∀M ∈ [M0> ∃M’ ∈ [M> : t está habilitado en la marca M’;

decimos que la red N esta viva si cada transición t ∈ T está viva. Una marca M de N está viva si

la red PT (S, T, F, W, M0), está viva.

Un marcaje alcanzable M es un estado de detención si

∀t ∈ T : t no está habilita en el marcaje M;

el marcaje alcanzable M se denomina estado de hogar si

∀M’ ∈ [M0> : M ∈ [M’>

Los estados de detención representan la terminación del plan: las redes vivas no tienen estados

de detención. La figura 13 presenta un caso en que una red PT no tiene estados de detención

pero que tampoco esta viva, también hay un estado hogar: B.

27 El anexo contiene información relacionada con varios programas usados en la realización de este trabajo.

54

3.2.2.6 Conservación de recursos y reproducción de estados. De la sección 3.1.8, recordamos la

clasificación de algunas redes particulares en S-grafos y T-grafos. Nos interesarán, ahora, las

propiedades de dichos grafos y el efecto de este tipo de configuraciones sobre una red.

La figura 14 (i) tiene una propiedad importante: sin importar lo que pase, el número de fichas en

la red será constante (= 2). En la figura 14 (ii), en cambio, esta propiedad no se cumple, pero si

A

B

C D

T1

T2 T3

T5T4

Figura 13. Red sin estados de detención que no esta viva.

A B CT t' t''

(i) (ii)

Figura 14. S-grafos y T-grafos

55

hay otra característica importante: sin importar lo que pase siempre es posible restaurar el estado

inicial, algo que no se puede hacer en la figura 14 (i). Siendo tan común encontrar subredes con

estas configuraciones, es conveniente definir dos nuevos conceptos.

1. Una S-subred es un subred que no pierde ni gana fichas; cada transición pone tantas fichas a

la subred como toma de ella.

2. Una T-subred es una subred que permite la reproducción de cualquier marcaje dado que

todas sus transiciones estén habilitadas.

Al hablar de redes PT, en ambos casos debemos considerar el peso de los arcos si deseamos

mantener la validez de las afirmaciones: debemos recordar que si el peso del arco de entrada es

distinto al de salida habrá creación o consumo neto de recursos. También es posible que una red

tenga una de las propiedades descritas anteriormente sin ser de tipo S-subred o T-subred. La

figura 15 es un caso los elementos A y D actúan como una S-subred.

56

Retomando los conceptos de la sección 3.1.9, podemos caracterizar los elementos de nuestra red

vectorialmente: el S-vector [1, 0, 0, 1, 0, 0], representaría una S-subred. Podemos ahora asignar

un peso distinto a los elementos y encontramos que si asignamos un número particular de fichas

a cada elemento, como seria el caso de [0, 1, 0, 0, 3, 0], es posible encontrar nuevas S-subredes

Definimos, entonces, un nuevo concepto:

Denominaremos S-invariante a cada S-vector de factores de peso que mantienen un conteo

constante de fichas para cada marcaje alcanzable. Las S-invariantes representan partes del

sistema que son estables en relación al conjunto de recursos involucrados; estos elementos nunca

ganan o pierden recursos.

Dos transiciones pertenecientes a distintas S-variantes no estarán nunca en conflicto por un

recurso: las S-invariantes representan partes del sistema que son independientes de los recursos.

Dos sitios de S-variantes distintos pueden estar sincronizados: tales situaciones representan

sincronización de recursos de producción o consumo.

T1 T2 T3 T4

A B C

D E F

Figura 15. Red que no es estrictamente S-subred o T-subred

57

De manera análoga a la S-invariante, denominamos T-invariante al conjunto de transiciones con

multiplicidades que son capaces de reproducir un marcaje inicial, dado, por supuesto, que una

secuencia de ocurrencia, con las multiplicidades indicadas se pueda realizar.

Es posible determinar las S- y T-invariantes planteando un sistema de ecuaciones lineales en que

interviene la matriz de incidencia, sin embargo no detallaremos aquí el procedimiento de cálculo.

La bibliografía sobre estas ecuaciones es extensa y los métodos de calculo se optimizan

constantemente, pero es evidente que tales cálculos requieren la ayuda de una computadora: en

una serie de pruebas a las que hace referencia Pagnoni28, se probaron 12 algoritmos con varias

redes compuestas por entre 20 y 500 elementos y la solución tomó un mes de tiempo de CPU en

un VAX 11/750.

3.2.3 Variantes sobre las redes de Petri tradicionales.

Si bien las redes que hemos estudiado hasta ahora son muy útiles, el análisis de un problema de la

vida real puede producir redes muy grandes e inmanejables. También tenemos problemas

debido a necesidades propias de problemas complejos: hemos ignorado, por ejemplo, el tiempo

como elemento primordial en nuestros análisis. Cuando las redes no responden a las expectivas

del modelador, es común recurrir a extensiones sobre el modelo original.

58

3.2.3.1 Redes Coloreadas CPN. Las redes que hemos venido usando se dominan genéricamente

redes blanco y negro. En la extensión conocida como redes de Petri coloreadas29, se asignan colores

a las fichas de acuerdo a valores arbitrarios de la información. Las condiciones de activación, o

de disparo, se definen entonces en términos de la presencia de fichas de colores determinados.

La notación usada en las redes coloreadas es más concisa por lo que se evita la duplicidad de

información usual en las redes tradicionales que se consideran de capacidad limitada de

modelamiento.

De manera análoga a un red PT, una red Coloreada de Petri, o red CPN, es una séptupla N = (S,

T, F, C, K, W, M0) donde tenemos:

• P : el conjunto de lugares.

• T : el conjunto de transiciones.

• C : función de color.

• K : Capacidad.

• W : multiplicidad.

• M0 : marcaje inicial (fichas).

28 PAGNONI, Anastasia, Project Engineering : Computer-Oriented Planning and Operational Decision Making, Springer Verlag, 1990, pp.

149 –152.

29 JENSEN K., Colored Petri Nets, vol. 1 Basic Concepts , Springer Verlag, Berlin 1992

59

3.2.3.2 Redes temporizadas TPN y estocásticas GSPN. Las redes originalmente creadas por Petri no

tenían soporte para actividades basadas en tiempo. En aquellos casos en que es necesario

considerar tiempos, es posible usar las redes temporizadas de Petri TPN, planteadas

originalmente por Ramchandani30 para trabajar en aplicaciones electrónicas . En estas redes se

adiciona un tiempo de demora a los lugares o a las transiciones. Respecto a las redes PN, las

redes TPN poseen dos conjuntos adicionales que representa las demoras

D : F : T x S → + ∪ {0};

y la frecuencia de las demoras

F : T x S → + ∪ {0}.

En este caso S es el conjunto de estados alcanzables y + los reales positivos.

En el caso particular en que las demoras estén distribuidas aleatoriamente denominamos a la red

generalizada estocástica de Petri, o GSPN por sus siglas en inglés. Las redes estocásticas son

equivalentes a las cadenas de Markov, por lo que tienen técnicas de solución conocidas.31

3.2.3.3 Redes Petri de alto nivel, HLPN. Las redes de alto nivel de Petri, o HLPN, es un término

usado recientemente para describir las redes coloreadas y otras redes que no hemos discutido

como la predicado/transición32. En los últimos años estas redes han encontrado tantas

30 RAMCHANDANI C., Analysis of asynchronous concurrent systems using timed Petri Nets, Ph. D. dissertation, Massachusets Institute of

Technology, Cambridge, 1974.

31 MARSAN M.A., Stochastic Petri Nets, An Elementary Introduction, En: Advances in Petri Nets, Lecture Notes in Computer

Science 424, Springer-Verlag, 1989,

60

aplicaciones33 que un comité especializado está trabajando para producir una norma34 y

presentarla ante la ISO.

3.2.3.4 Redes Difusas de Petri. El modelamiento por lógica difusa35 se utiliza cuando la

información que se tiene no es precisa y es posible definir la experiencia humana en reglas SI-

ENTONCES y funciones de membresía. El uso de la lógica difusa en combinación con las

redes de Petri produce una nuevo modelo, denominado Fuzzy Petri Networks o simplemente

FPN. Las redes FPN han sido tratadas por diversos autores, entre ellos Chun36 y Wendt37.

32 PAGNONI, Anastasia, Project Engineering : Computer-Oriented Planning and Operational Decision Making, Springer Verlag, 1990, pp.

156 –161.

33 ALDEMAR Marco y DIAZ Nelson, Modelación de sistemas de manufactura mediante redes de Petri, Tesis Ingeniero Mecánico, Universidad Nacional de Colombia, 1997. 263 p.

34 ISO Standards Comittee, High-level Petri Nets – Concepts, Definitions and Graphical Notation, committee Draft ISO/IEC 15909, versión 3.4, Oct. 2 1997. (El borrador está disponible en Internet mientras se termina y la ISO lo publica:)

35 PHILLIS Y. A., TSOURVELOUDIS N. C., Fuzzy assesment of machine flexibility, En: IEEE Transactions on Engineering Management, vol. 45, 1, p 78-87.

36 CHUN M. G., BIEN Z., Fuzzy Petri Net Representation and Reasoning Methods for Rule-Based Decision Making Systems, En: IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, vol E76-A,6.1993, p 974-983.

37 WENDT A., Fuzzy Set Theory and it’s Applications, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1991.

4. APLICACIONES DE LAS REDES DE PETRI EN PROYECTOS

4.1 ANÁLISIS INDEPENDIENTE DEL TIEMPO

En las redes de actividades, estudiadas en el capitulo dos, el elemento de gobierno sobre un

proyecto era el tiempo: las actividades se programaban para empezar o terminar en fechas

establecidas y el gerente del proyecto se podía limitar a hacer cumplir el calendario establecido.

El concepto de tiempo está, por supuesto, directamente relacionado con el del costo total del

proyecto.

Como se anotaba en 3.2.3.2, la teoría inicial de las redes de Petri no contempla el concepto

tiempo: las redes de Petri tradicionales, por tanto, no nos darán directamente información

relativa al costo o duración del proyecto. A diferencia de los esquemas tradicionales, el elemento

que gobierna el funcionamiento del modelo en la red de Petri es el administrador del proyecto;

es él quien toma las decisiones al activar las transiciones. Como veremos a continuación, las

redes de Petri son la herramienta por excelencia para estudiar la distribución de recursos en un

62

proyecto. Ilustraremos esta situación reproduciendo un ejemplo planteado por Anastasia

Pagnoni38:

Proyecto: Puesta en marcha de un taller de pintado de vehículos.

Especificación:

1. Este plan describe el pintado de cuarenta cuerpos de automóvil.

2. Se enviaran los 40 cuerpos juntos al taller de pintura.

3. 30 de ellos serán pintados con aerosl en las líneas A y B; 10 serán pintados a mano, un

cuerpo a la vez.

4. La línea A recoge y pinta cinco cuerpos de vehículo por corrida; la línea B pinta tres.

5. Una vez pintados, los cuarenta vehículos serán despachados al tiempo al taller de ensamble.

Como vemos, el proyecto está presentado de una forma muy distinta a como se presenta un

proyecto que se va a analizar por métodos tradicionales: mientras en un diagrama de Gantt se se

acostumbraría tener actividades y fechas, en la especificación de este proyecto es posible

identificar procesos y recursos.

El modelo que la naturaleza de este proyecto sugiere es de la una red PT con los recursos, y

específicamente los cuerpos de carro en sus distintos estados, modelados con sitios y los

procesos representados como transiciones. De esta forma es posible construir un modelo de

nuestro proyecto, tal y como se muestra en la figura 16.

38 PAGNONI Anasatasia, Project Engineering, Springer Verlag, Nueva York 1987, cap. 5

63

Transición Interpretación Lugar Interpretación

A Aerosol en línea A c1 Cuerpos para líneas A y B

S Enviar a pintar cr Cuerpo sin pintar

B Aerosol en línea B c2 Cuerpos para pintar a mano

C Pintura a mano c3 Cuerpos para despacho

D Despacho al ensamble c4 Cuerpos para despacho

R Reinicio cd Cuerpos despachados

cr

c1 c2

c3 c4

cd

S

A B C

D1030

3

5

5 3

30 10

40

40

Figura 16. Modelo del ejemplo propuesto

64

La matriz de incidencia será:

W S A B C D R cr -40 +40 c1 +30 -5 -3 c2 +10 -1 c3 +5 +3 -30 c4 +1 -10 cd +40 -40

Al poner este problema en una programa de computador39 es posible encontrar 3 T-invariantes:

J1 = [1, 6, 0, 10, 1, 1], J2 = [1, 3, 5, 10, 1, 1], J3 = [1, 0, 10, 10, 1, 1] .

Esto quiere decir que nuestro plan de ejecución puede componerse por una de estas tres

acciones:

T-invariante J1 : Operar la línea A: 6 veces

Pintura a mano: 10 veces

T-invariante J2 : Operar la línea A: 3 veces

Operar la línea B:: 5 veces

Pintura a mano: 10 veces

T-invariante J3 : Operar la línea A 6 veces

Pintura a mano 10 veces

Observamos que todas nuestras alternativas involucran 10 acciones de pintura a mano, y que las

líneas A y B están en conflicto por lo que podemos operar A, B, o ambas. El plan que tenemos

es flexible en cuanto permite la operación de las líneas A o B pero inflexible por cuanto es

necesario pintar a mano.

39 Ver Anexo.

65

Como vemos en este ejemplo, la información que nos dan las redes de Petri tienen poca relación

con la que nos daría la teoría tradicional, pero los datos son muy importantes en materia de

distribución de recursos y en la identificación de conflictos. En el ejemplo vemos que la pintura a

mano puede ser el "cuello de botella" de proyecto.

Si bien el ejemplo pasado nos presenta una forma de obtener información valiosa que no

teníamos antes, la falta de información sobre el tiempo hace que la herramienta parezca menos

poderosa. En los modelos que siguen veremos cómo se puede sobrellevar esta limitación.

4.2 MODELAMIENTO BASADO EN PROCESOS

Deng40 plantea la necesidad de mantener los diagramas tradicionales y complementarlos con

redes de Petri; en su modelamiento se propone el uso de redes Coloreadas CPN para representar

los atributos deseados del proceso.

40 DENG Wei, WENDT Almuth y ROLSTADÅS Ashborn. A Set of Modeling Methods for Process-oriented Project Modeling, En:

Management Journal, 1998

66

Un proceso está compuesto de entradas y salidas como se muestra en la figura 16. Los controles

y los mecanismos son parte de las entradas pero su función es la de proveer recursos físicos

(maquinaria) o información (una norma de manufactura) y casi nunca son transformados en el

proceso.

Utilizando CPNs podemos representar las entradas con colores que simbolizarían condiciones,

información, materia prima o recursos físicos o naturales. Dos colores distintos podrían, por

ejemplo, representar dos tipos distintos de materia prima. Los colores en las salidas, de hecho,

también pueden usarse para representar post-condiciones, información procesada, productos,

partes de productos o recursos liberados.

Proceso

Controles

Entradas

Mecanismos

Salida

Figura 16. Visión funcional de un proceso.

67

El resto de elementos se pueden usar como en una red PT corriente: las fichas podrían usarse

para representar el número de objetos en un almacén, o lugar, y la capacidad denotaría el máximo

número de objetos permitidos. Las transiciones coloreadas simbolizan eventos, procesamiento

de información, operaciones de manufactura o actividades de proyecto. Los arcos establecen la

conexión formal entre lugares y sitios con la multiplicidad representando el número de

materiales, información, o material que se requiere o se genera.

Las redes coloreadas presentan gran versatilidad por la capacidad de extenderlas con diversos

atributos de valoración. Se recordará de la sección 2.1.5 la existencia de variables externas que

influían sobre la complejidad del proyecto. este enfoque, asignación de atributos de valoración,

es válido también para modelar condiciones externas que influyen sobre procesos específicos.

Las redes coloreadas pueden almacenar información tan diversa que es posible plantear la

utilización de atributos muy distintos como las variables difusas que se comentaron en la sección

3.2.3.4.

68

4.3 MODELAMIENTO BASÁNDOSE EN REDES DE ACTIVIDADES

Desrochers, un experto en la aplicación de redes de Petrí en la industria41, se enfrenta a un

problema muy conocido en gerencia de proyectos: un proyecto de construcción de gran

envergadura.

En este proyecto42 se llevan a cabo cuatro grandes actividades en paralelo: construcción de vías,

instalación de drenajes, construcción de paredes retenedoras e instalación de sistemas eléctricos.

Estas actividades están distribuidas por todo el sitio de construcción y requieren transporte de

maquinaria, materiales y trabajadores en distintas áreas. Las tareas, por tanto, están ligadas por su

dependencia en recursos comunes y por relaciones de precedencia definidas: la misma grúa que

transporta bloques de paredes puede transportar transformadores eléctricos, también debe

terminarse la pared de retención antes de pavimentar una calle aledaña.

Para este proyecto particular Desrochers, Kim y Sanderson proponen el uso las redes de Petri

temporizadas TPN como método complementario a las redes tradicionales de tal forma que no

perdemos ninguna de las ventajas de los dos métodos. Si algo sale mal en un proyecto

tradicional hay necesidad de reprogramar todos los procesos; los modelos en redes de Petri

41 DESROCHERS A. A., y Al-Jaar: Applications of Petri Nets in Manufacturing Systems: Modeling, Control and Performance Analysis, IEEE

Press, Piscataway, N. J., 1995

42 DESROCHERS Alan A., KIM Jongwook y SANDERSON Arthur C, Task Planning and Project Management using Petri Nets, En: IEEE Transactions on Engineering Management, IEEE, 1995

69

sirven para llevar a cabo un control en tiempo real de los procesos y proveen un modelo que

permitiría automatizar el control del proyecto y modelar dinámicamente los cambios en

restricciones de recursos.

Desrochers, Kim y Sanderson plantean un sistema completo, basado en redes de Petri, para

controlar un proyecto en el sector de la construcción. Para este efecto, plantean tres conceptos

nuevos:

1. Un mapeo formal entre un diagrama de actividades tradicional y una representación en red

de Petri. Este mapeo permite al administrador del proyecto interactuar directamente con un

diagrama similar a CPM pero que contiene la información sobre recursos que provee la red

de Petri.

2. Se formaliza una red de monitoreo con una interface interactiva que le permite al usuario

visualizar el estado actual del proceso y los recursos.

3. Se plantea la necesidad de un mecanismo de soporte a decisiones que compara la red

predictora de Petri y la red de referencia. Estas decisiones de control modifican el

comportamiento del sistema y son las encargadas de comenzar la reprogramación de

eventos.

El hecho de basar todo el modelo en redes TPN permite una respuesta en tiempo real a los

cambios de estado del sistema. El modelo completo es un poco largo para describir aquí, pero

el proyecto, financiado por el National Institute of Standards and Technology NIST y la Federal Highway

70

Administration de los Estados Unidos, es una muestra clara de que es posible y ventajoso utilizar

las redes de Petri para el modelamiento de proyectos grandes.

4.4 MODELO GENERAL PARA REPRESENTACIÓN DE PROYECTOS

Los ejemplos anteriores partían del supuesto de tener un diagrama de actividades realizado con

anterioridad, o de alguna forma complementario, al modelo con red de Petri del sistema. A

diferencia de los modelos anteriores, Kumar y Ganesh43 plantean un modelo nuevo que está

desligado de los diagramas tradicionales.

1. Para mantener alguna similaridad con los diagramas PERT, las transiciones (actividades son

representadas por arcos entre lugares (sitios).

2. Los recursos como personas de distintas habilidades, equipo, herramientas y materiales son

representados por fichas de distintos colores.

3. Cuando una transición habilitada se dispara, las fichas (recursos) son retiradas del buffer

(representado por el ambiente) y al mismo tiempo utilizado por una unidad de tiempo, los

recursos reutilizables son depositados de nuevo en el buffer. La información de utilización

de recursos se mantiene para recursos consumibles como reutilizables.

43 KUMAR Ashok y GANESH L. S., Use of Petri Nets for Resource Allocation in Projects, En: IEEE Transactions on Engineering

Management, Vol. 45 No. 1, 1998, p. 49 - 56

71

4. Este modelo introduce el concepto de “ficha de precedencia” para indicar el estado de un

lugar. La generación de fichas de precedencia en lugares indica que se completó

satisfactoriamente las actividades o condiciones precedentes. El sitio de “inicio” generará la

ficha cuando el proyecto esté listo para comenzar y, de manera similar, el sitio “final”

indicará que el proyecto se completó.

5. Una transición (actividad) tj estará habilitada si el sitio de entrada pi de tj ha generado una

ficha de precedencia y el buffer esta marcado con al menos w(pi,tj) fichas al principio de la

unidad de tiempo bajo consideración, donde w(pi, tj) es el peso (en términos de fichas de

distintos colores) del arco tj a pi.

6. Una transición tj podrá disparase si el sitio de entrada pi de tj ha generado la ficha de

precedencia y el buffer está marcado con fichas con, por lo menos, el mismo peso de la

transición en cada instante en que se considere durante una unidad de tiempo.

7. La disponibilidad de distintos recursos (fichas coloreadas) al principio de cada unidad de

tiempo puede ser determinada por una función de distribución probabilística asociada con

cada ficha de color.

8. Varias transiciones pueden habilitarse al inicio de una unidad de tiempo. Las prioridades

para el disparo de transiciones pueden ser asignados con distintos criterios de acuerdo a la

literatura disponible de programación con recursos restringidos44. Todas las transiciones

habilitadas se disparan en la misma unidad de tiempo considerada El proceso se repite

44 ELAYSAYED E.A. y NAZR N. Z., Heuristicsfor resource constrained scheduling. En: Int. J. Prod. Res., vol. 24, no. 2, 1986, p. 311-

327

72

durante varias unidades de tiempo hasta que se genere una ficha de precedencia en el último

sitio, lo cual indica la culminación del proyecto.

La red resultante es muy similar a algunas que hemos utilizado: es coloreada, temporizada y

puede tener características estocásticas, sin embargo las características 3, 4, 6 y 7 son

completamente nuevas, y hacen que la representación gráfica sea distinta a la de las redes que

hemos estudiado.

Este modelo, por tanto, no se puede usar en los programas de computador tradicionales sino que

requiere un herramienta propia: los autores de este modelo tuvieron que desarrollar un programa

en lenguaje C para solucionar un problema específico..

CONCLUSIONES

A medida que las organizaciones desarrollan sus actividades propias encuentran nuevas

necesidades que pueden suplir adoptando estructuras más flexibles. La gerencia de proyectos es

un elemento importante dentro de un escenario de cambio por sus características de trabajo

interdisciplinario y contratación flexible, cobrando mayor importancia el replantear los criterios

que seguimos para tomar decisiones.

Las herramientas tradicionales de planeación de proyectos, Gantt, CPM, PERT y sus diversas

variantes, no nos proveen suficiente información para la toma de decisiones efectivas; en

particular no hay posibilidad modelar proyectos en función de los procesos que se siguen. Las

herramientas tradicionales también son muy inflexibles ante eventos imprevistos: si una

actividad presenta una falla es difícil identificar las implicaciones que va a tener esta falla sobre el

desarrollo del proyecto, usualmente es necesario reprogramar todas las actividades y consultar

con los demás miembros de proyecto los ajustes necesarios.

Si bien en los últimos años han habido desarrollos nuevos como las redes VERT y GERT, los

desarrollos están lejos de satisfacer todas las necesidades que puede tener un proyecto de gran

74

envergadura, especialmente cuando se requiere disponer de muchos recursos de manera

simultánea.

Las redes de Petri constituyen una herramienta interesante para modelar proyectos porque

poseen naturalmente la información que las redes de actividades no proveen. Los componentes

básicos de modelamiento de las redes de Petri son los sitios, las transiciones, y las fichas: al

aprovechar el nivel adicional de abstracción, y representar con éstos, los elementos básicos con

los cuales desarrollamos un proyecto, es mucho más fácil llevar a cabo un monitoreo de las

variables claves.

La información que nos provee un análisis con redes de Petri es muy relevante: nos indica las

condiciones bajo las cuales ocurrirán los eventos del proyecto. Esta información no está

disponible directamente en los métodos tradicionales.

Pese a su gran utilidad, el enfoque de las redes de Petri presenta dos inconvenientes:

1. Debido al nivel de detalle con que describimos el problema, los modelos en redes de Petri

son grandes y se pueden volver inmanejables.

2. Las redes originales planteadas por Petri no comprenden el concepto de tiempo que es

fundamental en el análisis tradicional.

75

Estos inconvenientes son consecuencia del objetivo con se crearon las redes: se concibieron para

obtener un mayor nivel de comprensión y por tanto se enfocan más en los procesos que en los

tiempos. Para superar este impase es posible plantear dos caminos distintos:

• Considerar el modelo de Petri como un complemento, no un reemplazo, de los métodos

tradicionales.

• Extender las propiedades de las redes de Petri para que contemplen las variables que estudian

los métodos tradicionales.

Aún no hay elementos de juicio para decidir entre estas dos alternativas; de hecho, no existe un

modelo único para representar y simular proyectos con redes de Petri. La herramienta que

hemos planteado abre muchas posibilidades nuevas de investigación y muchas posibilidades

nuevas de problemas que antes no se podían resolver. Una posibilidad interesante es la

combinación de lógica difusa con redes de Petri para describir proyectos, con esta herramienta se

podría elevar el nivel de dificultad en las decisiones que podemos tomar. También queda abierta

la inquietud por relacionar redes TPN con los diagramas de actividades tradicionales: una vez se

desarrollen estos conceptos se podría integrar las redes de Petri a sistemas automatizados de

asistencia lo cual facilitaría enormemente el manejo de recursos del administrador de los

proyectos más exigentes.

BIBLIOGRAFIA

ADAMOU, Moussa; BOURJAULT, Alain y ZERHOUNI, S. Noureddine. Modeling and Control of Flexible Manufacturing Assembly Systems using object oriented Petri Nets. En : IEEE 2nd International Workshop on Emerging Technologies and Factory Automation - Design and Operation of Intelligent Factories. (1993 : Palm Cove-Cairns, Qld, Australia). Workshop Proceeding. New York : IEEE Press, 1993. p. 164-168. ALDEMAR Marco y DIAZ Nelson, Modelación de sistemas de manufactura mediante redes de Petri, Tesis Ingeniero Mecánico, Universidad Nacional de Colombia, 1997. 263 p. AGERWALA, Tilak. Putting Petri Nets to Work. En : Computer. Vol. 12 (diciembre 1979); p. 85-94. ASKIN, Ronald. Modeling and Analysis of Manufacturing Systems. New York, NY : John Wiley & Sons, Inc., 1993. CHEN, Yigang; TSAI, W. T. y CHAO, Daniel. Dependency Analysis - A Petri Net Based Technique for Synthesizing Large Concurrent Systems. En : IEEE Transactions on parallel and distributed systems. Vol. 4, No. 4 (abril 1993); p. 414-426. DENG Wei, WENDT Almuth y ROLSTADÅS Ashborn. A Set of Modeling Methods for Process-oriented Project Modeling, En: Management Journal, 1998 DESROCHERS Alan A., KIM Jongwook y SANDERSON Arthur C, Task Planning and Project Management using Petri Nets, En: IEEE Transactions on Engineering Management, IEEE, 1995 DICESARE, Frank y DER JENG, Mu. A Synthesis Method for Petri Net Modeling of Automated Manufacturing Systems with Shared Resources. En: Conference on Decision and Control. (1992 : Tucson, Arizona). Proceedings of the 31st Conference on Decision and Control. Tucson, Arizona : IEEE Press, 1992. p. 1184-1189.

EUROPEAN WORKSHOP ON APPLICATION AND THEORY OF PETRI NETS. Application and theory of Petri Nets: selected papers. (1980 : Strasbourg, Francia). Strasbourg: Springer-Verlag, 1982. FORD Robert C., RANDOLPH W Alan, Cross-functional structures: a review and integration of matrix organization and project management, En: Journal of Management, Junio 1992 v18 n2 p267.

GOLDRATT, ELIYAHU, Critical Chain, Great Barrington : North River Press, 1997, 246 p HEYMAN D. P., SOBEL M.J, Handbooks in Operations Research and Management Science: Stochastic Models, Editorial NORTH-HOLLAND vol.2,1990, 723 p. KERZNER, Harold, Project Management for Executives, New York : Van Nostrand Reinhold, 1982, xiv, 716 p. : il. KUMAR Ashok V.K., GANESH L.S., Use of Petri Nets for Resource Allocation in Projects, En: IEEE Transactions on Engineering Management, Feb 1998 v45 n1, p49(12). LUENBERGER, David E. Programación lineal y no lineal. Wilmington, Delaware, Estados Unidos : Addison-Wesley Iberoamericana, 1989. p. 117-163. ISBN 0-201-64408-8. MEHREZ A; MUZUMDAR, M, A Petri Net model view of decision making: An operational management analysis. POMG ISSN 0305-0483. PAGNONI, Anastasia, Project Engineering: Computer-Oriented Planning and Operational Decision Making, Springer Verlag, 1990, pp. 156 –161. XING, Ke-Yi; HU, Bao-Sheng y CHEN, Hao-Xun. Deadlock Avoidance Policy for Petri Net Modeling of Flexible Manufacturing Systems with Shared Resources. En : IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. 41, No. 2 (febrero 1996); p. 289-295.

78

ANEXO: LAS REDES DE PETRI EN INTERNET

En Internet es posible encontrar una variedad de información sobre redes de Petri:

probablemente el sitio más importante, ganador de varios premios internacionales, es el Hogar de

la Comunidad de las Redes de Petri en la Universidad de Aarhus, en Dinamarca:

URL: http://www.daimi.aau.dk/PetriNets/.

En esta página es posible encontrar información sobre conferencias internacionales, grupos de

trabajo, e inclusive se puede visitar la página de Carl Adam Petri en la Universidad de Hamburgo.

Esta página también sirvió para obtener software para modelar redes de Petri: como es lógico,

ningún paquete de software esta orientado específicamente a la aplicación de éstas redes en

administración de proyectos, sin embargo hay programas de computador disponibles que son

muy útiles para analizar redes de Petri sin ser un expertos en la teoría. La herramienta que se use

siempre dependerá del tipo de análisis que se quiere hacer y del tipo de red que se desee utilizar.

A continuación se muestran las dos herramientas para PC más interesantes que se examinaron

durante el desarrollo del trabajo y la dirección donde conseguirlas.

79

Visual Object Net ++ http://www.systemtechnik.tui-lmenau.de/~drath/visual_E.htm

Sistema Operativo:

Windows 95 o (recomendado) NT

Tipo de Redes:

Redes Sitio Transición PT

Redes continuas TPN

Visual SimNet http://home.arcor-online.de/wolf.garbe/simnet.html

Sistema Operativo:

DOS (Windows en desarrollo).

Tipo de Redes:

Redes Sitio/Transición PT

Redes Petri de Alto Nivel HLPN

Redes Estocásticas GSPN

Redes con Tiempo TPN

Visual Object Net++, es la herramienta más sencilla de manejar de las dos: la interface gráfica

fue diseñada con gran cuidado y es muy cómoda de manejar. Aunque esta destinada a trabajar

80

con redes TPN, es posible trabajar con redes PN. El inconveniente de esta herramienta es que

aún no hace análisis de invariantes en las redes PN discretas..

Visual Simnet es una herramienta orientada a redes GSPN pero también soporta HLPN, realiza

análisis de invariantes y es muy poderosa pero no es tan fácil de manejar como la herramienta

anterior.

Si bien estas herramientas son poderosas y gratuitas, las aplicaciones más interesantes son

comerciales o corren en ambientes UNIX. En el momento en que se terminó este documento

había interés en la facultad de ingeniería por adquirir algunas herramientas gratuitas para

instituciones educativas, entre ellas DSPNexpress45.

45 LINDEMANN Christoph, Performance Modelling with Deterministic and Stochastic Petri Nets, John Wiley and Sons 1998, 405 p