Modelado de Sistemas Redes de Petri

8/17/2019 Modelado de Sistemas Redes de Petri

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Modelado de

Sistemas:Redes de Petri

Modelos conceptualesmediante redes de Petri


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Índice

Introducción Redes de Petri (RdP) Modelando con redes de Petri

Precondiciones i postcondiciones de un evento

Ejemplos. Descomposición en subsistemas Modelando programas Problemas. Otros sistemas

Análisis de las redes de Petri Árbol de alcance

Redes de Petri no acotadas y árbol de cobertura Bloqueos

Redes de Petri coloreadas (RdPC) Definición Ejemplos


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3

Introducción

SistemasConjunto de objetos que interactúan entre sí

Estado i variables de estadoEl estado del sistema queda determinado por los

valores de las variables que se necesitan paracaracterizar al sistema

Sistemas continuos Cambios continuos de las variables

Sistemas discretos Cambios discretos de las variables

Sistemas orientados a eventos discretos Cambios discretos + secuencia temporal aleatoria


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Introducción

ModelosRepresentación simbólica (matemática) del sistema que

permite representar las dinámicas de interés(reproduce el comportamiento y las características

del sistema) Modelos de simulación de eventos discretos

Elementos utilizados Evento

Acción instantánea que cambia el estado del modelo

Actividad Tareas del sistema con duración temporal

Entidades Entidades temporales: Objetos que se procesan

Recursos: Medios utilizados para ejecutar lasactividades


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5

Introducción

Bibliografía

Guasch, A.; Piera, M.A.; Casanovas, J.; Figueras, J.Modelado y simulación. Aplicación a procesos

logísticos de fabricación y servicios. Ediciones UPC,2002.

Jensen, K. Coloured Petri Nets. Basic Concepts, Analysis Methods and Practical Use. Volume 1, Basic

Concepts. Springer-Verlag. 1997

Peterson, J. L. Petri Net Theory and the Modelling ofSystems. Prentice-Hall, 1981.


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6

Redes de Petri

Los modelos de eventos discretos se basanfundamentalmente en los conceptos de evento yactividad.

Un evento genera un cambio en las variables de estado y marca el inicio o el final de una actividad. Las Redes de Petri (RdP) permiten representar de forma

natural un modelo de eventos discretos. En una RdP loseventos están asociados a transiciones y las actividadesa lugares.

Las RdP permiten representar formalmente laconcurrencia (actividades paralelas) y la sincronización (transferencia sincronizada de materiales o deinformación).


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Redes de Petri

Es un formalismo de modelado gráfico con muy pocasreglas sintácticas.

Permiten estudiar aspectos estructurales tales como las

situaciones de bloqueo o la alcanzabilidad de ciertosestados.

Permiten formalizar un sistema a distintos niveles deabstracción de acuerdo con los objetivos de modelado.

Permiten la descripción de un sistema complejomediante la metodología Bottom-Up: construcción delmodelo del sistema completo a partir de las RdP de lossubsistemas (submodelos), que han sido previamentedesarrollados y verificados (modularización).


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Redes de Petri: Definiciones básicas

Una estructura de Red de Petri, C, estácompuesta por 4 elementos, C = (P, T, I, O).

P = {P1, P2, …, Pn} conjunto finito de lugares, n ≥ 0.T = {T1, T2, …, Tm} conjunto finito de transiciones, m ≥ 0.I:T→P∞ es una función de entrada, una aplicación de las

transiciones a bolsas de lugares.

O:T→P∞

es una función de salida, una aplicación de lastransiciones a bolsas de lugares.

La Teoría de Bolsas es una extensión natural de la Teoría deConjuntos. En las bolsas se admiten elementos repetidos.Entrada/salida múltiple → grado de multiplicidad del lugar de E/S Notación P∞: Es posible un número ilimitado de repeticiones


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9


Asignación de marcas (tokens) M de una Redde Petri, C.

M:P→N es una función del conjunto de lugares P alconjunto de los números enteros no negativos N.

El estado del sistema se caracteriza a través de laasignación de marcas. Se representa a través del

vector

Nn es el conjunto de todas las asignaciones demarca (todos los estados del sistema).

nP M P M P M p ,,, 21


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La representación gráfica de las RdP es unmultigrafo dirigido, ponderado y bipartito

Dos tipos de nodos: lugares (círculos) y transiciones (rectángulos). Las conexiones entre los lugares de entrada y de

salida de cada transición y la transición se representana través de arcos (orientados).

El grado de multiplicidad de los lugares de entrada ysalida se representa a través del peso asociado al arco correspondiente.


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El grafo de una Red de Petri está compuesta por5 elementos: RdP = (P, T, A, W, M).P = {P1, P2, …, Pn} conjunto de n lugares (círculos).

T = {T1, T2, …, Tm} conjunto de m transiciones (rectáng.). A = {A1, A2, …, As} conjunto de s arcos.

Entradas lugar-transición Ak1 ≡ (Pi1, T j1)Salidas transición-lugar Ak2 ≡ (Pi2, T j2)

W(Ak) k = 1, 2, …, s Peso asociado a cada arco. Ak1 ≡ (Pi1, T j1) W(Ak1) = W(Pi1, T j1) Ak2 ≡ (Pi2, T j2) W(Ak2) = W(Pi2, T j2)

M(Pi) i = 1, 2, …, n Asignación de marcas (estado)


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Para analizar la RdP se utilizará el conjunto de lugares deentrada, I(Tr), y el conjunto de lugares de salida, O(Tr), decada transición Tr.

El número de elementos (piezas, personas, recursos, etc.)que hay en una cola de espera se representagráficamente a través del número de marcas.

El estado de una condición (verdadero o falso) se

representa gráficamente con una marca en el interior delnodo lugar cuando la condición se cumple.

AT P P P T I r i i r ,: AP T P P T O i r i r ,:


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Reglas para simular el comportamiento de una RdP Una transición Tr está activada si cada uno de los lugares de

entrada a la transición Tr contiene un número de marcas superior

o igual al peso del arco correspondiente (precondiciones).

Una transición activada puede ejecutarse (dispararse) encualquier momento.

Como resultado de ejecutar (disparar) una transición activada, Tr ,se eliminan W(Pi,Tr) marcas del lugar Pi , para todos los lugaresde entrada de la transición Tr , y se añaden W(Tr, Pj) marcas allugar Pj , para todos los lugares de salida de Tr (postcondiciones).

r i r i i T I P T P W P M ,


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14


T

1

T

1

P

1 P

1

P

2

P

2

P

3

P

3

P

4

P

5

P

5

P

5

2

2

2

1 1

1 1

3 3

2

Ejemplo:

A la izquierda se representa el estado inicial de la RdP con latransición T1 activada: M(P1)=3, M(P2)=1 y M(P3)=4.

A la derecha se representa el estado final de la RdP después de

dispararse la transición.


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Función estado siguiente δ(M , T r ) de una asignación demarcas M y una transición T r.

δ: N n T → N n δ(M , T r ) = M’

La función estado siguiente de M y T r está definida si y solo si Tr está activada con la asignación de marcas M .

Como resultado de disparar la transición activada, T r , se eliminanW(P i ,T r ) marcas del lugar P i , (si P i no es un lugar de entrada de latransición T r , W(P i ,T r ) = 0, y se añaden W(T r , P i ) marcas al lugar P i (si P i no es un lugar de salida de T r , W(T r , P i ) = 0.

P P P T W T P W P M T M P M i i r r i i r i ,,,'


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M’ = δ(M , T 1 )

T 1 M’ (P 1) = M (P 1) – W (P 1,T 1) + W (T 1, P 1) = 3 – 2 + 0 = 1 -2

M’ (P 2 ) = M (P 2 ) – W (P 2 ,T 1) + W (T 1, P 2 ) = 1 – 1 + 0 = 0 -1

M’ (P 3) = M (P 3) – W (P 3,T 1) + W (T 1, P 3) = 4 – 2 + 0 = 2 -2

M’ (P 4) = M (P 4) – W (P 4,T 1) + W (T 1, P 4) = 0 – 0 + 1 = 1 +1

M’ (P 5 ) = M (P 5 ) – W (P 5 ,T 1) + W (T 1, P 5 ) = 1 – 0 + 3 = 4 +3

T

1

T

1

P

1

P

1

P

2

P

2

P

3

P

3

P

4

P 5

P

5

P 5

2

2

2

1 11 1

3 3

2


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Estado inmediatamente alcanzableLa asignación de marcas M’ es inmediatamente alcanzable desde M si existe una transición T r tal que M’ = δ(M , T r ).

Estado alcanzable

La asignación de marcas M’ es alcanzable desde M si existe unasecuencia de ejecución de transiciones que transforme M en M’ .

Conjunto de estados alcanzables R (C, M ) de una red de PetriC = (P, T, I, O) desde una asignación de marcas M .R (C, M ) es el conjunto que cumple:

1) M є R (C, M )2) M’ є R (C, M ) y M’’ = δ(M’ , T k ) → M’’ є R (C, M )

La relación de alcanzabilidad es el cierre reflexivo transitivo de larelación de alcanzabilidad inmediata.


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Redes de Petri: Definiciones básicas Las RdP permiten representar las dinámicas de los procesos orientados a

eventos discretos:a) secuencia; b) decisión; c) concurrencia; d) sincronización; e) agrupación.

a) b) c)

d) e)

P

1 P

2

P

3

P

1 P

1

P

2

P

3

T

1

T

2 T

1

T

2

T

3

T

4

T

1

T

2

T

3

P

1

P

2

P

3

P

P

1

T

1

T

1 T

2 T

3

T


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19

Precondiciones y postcondiciones Modelo de un recurso limitado

Estación de trabajo formada por dos máquinas dedicadas aprocesar piezas. Las piezas que llegan se esperan en una únicacola, son procesadas, y finalmente abandonan la estación.

P

1

P

3

P

4

T

2

T

3

P

2

T

1

P1 Piezas en cola CONDICIONESP2 Máquinas libresP3 Piezas en proceso. (máquinas ocupadas)P4 Piezas procesadas

T1 Llegada de la pieza EVENTOSPrecondiciones: Ninguna (arco ent.)

Postcondiciones: Pieza en cola (arco sal.)T2 Inicio del proceso

Precondiciones: Pieza en cola; Máquina librePostcondiciones: Pieza en proceso

T3 Fin del procesoPrecondiciones: Pieza en procesoPostcondiciones: Pieza procesada; Máq. libre


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20

Modelando con Redes de Petri Modelo de un proceso robotizado simple

Dos flujos diferentes de fabricación (piezas tipo 1 i piezas tipo 2)compiten por un mismo recurso. Un mismo robot transporta todaslas piezas.

P1 Robots libres

P2 Cola piezas 1 P3 Cola piezas 2P4 Transp. pieza 1 P5 Transp. pieza 2P6 Salida piezas 1 P7 Salida piezas 2

T1 Lleg. piezas 1 T2 Lleg. piezas 2

T3 Inicio transp. 1 T4 Inicio transp. 2T5 Fin transp. 1 T6 Fin transp. 2

La marca de la posición P1 puede activar T3 oT4 (decisión: especificar criterio)

P

3

P

5

P

7

T

4

T

6

P

1

T 2 P

2

P

4

P

6

T

3

T

5

T 1


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21

Modelando con Redes de Petri Modelo de una máquina ensambladora

Se considera que sólo llegan al sistema piezas de tipo a. Las piezasde tipo b están previamente almacenadas en el sistema (RdP no acotada; M(P2 ) puede crecer ilimitadamente)

P1 Almacén piezas b (bebida) P2 Cola de entrada piezas a (cliente)

T0 Llegada cliente T1 Proceso de ensamblado

M

1Piezas

ensambladas

P

1 T

0

P

2

T

1


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22

Modelando con Redes de Petri Modelo de una máquina ensambladora con limitación en

el número de piezas que lleganSe considera una cola de entrada de 3 plazas para las piezas de tipoa. Las piezas de tipo b están previamente almacenadas en elsistema. (RdP acotada) P1 Almacén piezas b P2 Cola de entrada piezas a (cliente)P3 Plazas libres en la cola de entrada de piezas a T0 Llegada cliente T1 Proceso de ensamblado

P

1

P

3

T

0

P

2

T

1


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Descomposición en subsistemas Modelo de una línea de producción

Robots transporte: R1, R2; Máquinas: M1, M2, M3; Almacenes: S1, S2.Funcionamiento: R1 transporta pieza S1 → M1; M1 efectúa la 1ª operación;R2 transporta pieza M1 → M2 o M3; M2 o M3 efectúa 2ª operación R2 transporta pieza M2 o M3 → S2 Subsistema 1: S1 → M1 + proceso M1 Subsistema 2: M1 → M2 + proceso M2 + M2 → S2 Subsistema 3: M1 → M3 + proceso M3 + M2 → S2

S

1 S

2 M

1

M

2

M3

R1 R2


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24

Subsistema 1P1 M1 libre P2 R1 transp S1→M1

P3 R1 libre P4 M1 procesandoP5 M1 ocupada P6 Almacén S1

T1 Inicio transp S1→M1 T2 Final transp S1→M1; Inicio proceso M1

T3 Final proceso M1

Estado incial (1, 0, 1, 0, 0, 5)M1 libre M(P1)=1; M(P4)=0; M(P5)=0R1 libre M(P2)=0; M(P3)=1S1 (5 piezas) M(P6)=5

S

1 S

2 M

1

M

2

M

R1 R2

P 6

P

3 P

2

P

4

P

5

T 1

T 2

T 3

P

1


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25

Dinámica del subsistema 1

P 6

P

3 P

2

P

4

P

5

T 1

T 2

T 3

P

1

Disparo T1 Disparo T2Inicio transp. S1→M1 Final transp. S1→M1; Inicio M1

P 6

P

3 P

2

P

4

P

5

T 1

T 2

T 3

P

1 P 6

P

3 P

2

P

4

P

5

T 1

T 2

T 3

P

1


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26

Dinámica del subsistema 1

P 6

P

3 P

2

P

4

P

5

T 1

T 2

T 3

P

1

Disparo T2 Disparo T3

Final transp. S1→M1; Inicio M1 Final M1

P 6

P

3 P

2

P

4

P

5

T 1

T 2

T 3

P

1 P 6

P

3 P

2

P

4

P

5

T 1

T 2

T 3

P

1


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27

Subsistema 2P1 M1 libre P5 M1 ocupada

P7 M2 libre P8 R2 libreP9 R2 M1→M2 P10 M2 procesandoP11 M2 ocupada P12 R2 M2→S2 P18 Almacén S2

T4 Inicio M1→M2 T5 Final M1→M2; Inicio M1 T6 Final M2 T7 Inicio M2→S2T8 Final M2→S2

P1 P5 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P18Estado inicial (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0)

S

1 S

2 M

1

M

2

M

R1 R2

P

1

P

7 P

5

P

9

P

8

P 1

0

P 1

8

P 1

1

P 1

2

T 4

T 5

T 6

T 7

T 8


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28

Subsistema 3P1 M1 libre P5 M1 ocupada

P13 M3 libre P8 R2 libreP14 R2 M1→M3 P15 M3 procesandoP16 M3 ocupada P17 R2 M3→S2 P18 Almacén S2

T9 Inicio M1→M3 T10 Final M1→M3; Inicio M3 T11 Final M3 T12 Inicio M3→S2T13 Final M3→S2

P1 P5 P8 P13 P14 P15 P16 P17 P18Estado inicial (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0)

S

1 S

2 M

1

M

2

M

R1 R2

P

1

P

5

P 1

3

P

8 P 1 4

P 1

5

P 1

7

P 1

8

P 1

6

T 9

T 1

0

T 1

2

T 11

T 1

3


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29

T1 Inicio S1→M1

T2 Final S1→M1; Inicio M1 T3 Final M1T4 Inicio M1→M2 T5 Final M1→M2; Inicio M2 T6 Final M2

T7 Inicio M2→S2 T8 Final M2→S2 T9 Inicio M1→M3 T10 Final M1→M3; Inicio M3 T11 Final M3T12 Inicio M3→S2T13 Final M3→S2

Estado inicial:(1,0,1,0,0,5,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0)

P 6 P

1

P

3

P 2

P

4 P

7 P

5

P 1

3

P

9

P

8 P

1

4

P 1

0

P 1

7

P 1

8

P 1

6

P 1

2

T 1

T 2

T 3

T 4

T 5

T 6

T 7

T 8

T 9

T 1

0

T 1

2

T 1

1

T 1

3

P 1

1

P 1

5


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30

Modelando programas El programa de un proceso es un conjunto de operaciones

de computación ejecutadas en un cierto orden. Programa → Computación + control

Computación: ejecución de operadores aritméticos y/ológicos; manipulación de entradas, salidas y valores de lasvariables.Control: Orden en el cual deben ejecutarse las operaciones.

Representado a través de los diagramas de flujo. Las RdPpermiten representar la estructura de control de losprogramas.

begin Acción Interpretación Input(y1); Input(y2); y3:=1; a Input(y1); Input(y2); y3:=1;while y1>0 b y1>0 ?

do begin

if odd(y1) c odd(y1) ?then begin

y3:=y3*y2; y1:=y1-1; d y3:=y3*y2; y1:=y1-1;end;

y2:=y2*y2; y1:=y1-2; e y2:=y2*y2; y1:=y1-2;end;

Output(y3); f Output(y3);end;

a

b

c d

e

f

V VF

F


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31

Modelando programas Nodos del diagrama de flujo: computación (rectángulos);

decisión (diamantes) → Transiciones de la RdPEn las RdP las decisiones se toman a partir de un lugar

Arcos del diagrama de flujo → Lugares de la RdPEn el diagrama de flujo el proceso debe detenerse entrenodos (antes de iniciar una operación de toma dedecisiones o de computación).

a j

Decisión VVF

Computación

ai

ai

a j ak

ai

ai

a j

a j ak

F


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32

Modelando programas Diagrama de flujo y RdP correspondiente del programa ejemplo

a

b

c

d

e

f

VVF

F

a

b ,V

b ,F

c ,Fc ,

Vd

f

e


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33

Problema de la exclusión mutua Datos compartidos por varios procesos (lectura de datos y

escritura de nuevos valores). Exclusión mutua:

Mientras un proceso manipula los datos compartidos (seccióncrítica) ningún otro proceso puede manipular estos mismos datos

Lugar m de la RdP ≡ autorización para acceder a la seccióncrítica


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34

Problema productor / consumidor Sistema formado por s productores de objetos que se depositan

en un aparador (buffer ) y t consumidores. Para que el número de objetos en el aparador no pueda crecer

indefinidamente, se introduce un número máximo n de plazas. Lugar B ≡ Objetos en el aparador Lugar B’ ≡ Plazas libres en el aparador


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35

Otros sistemas Reacción química de oxidación reducción.

Ejemplo: Oxidación reducción de ácido oxálico y peróxido de hidrógenoLugar ≡ Número de moléculas (moles) de cada compuesto Transiciones ≡ Reacción Arcos ≡ Número de moléculas (moles) que se consumen/producen

H2C2O4

CO2 e-

H+ H2O2

H2O

22

2

2 2

2

H2C2O4 → 2 CO2 + 2 H+ + 2 e-2 e- + 2 H+ + H2O2 → 2 H2O


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36

Descanso

Modelando de sistemas:

Redes de Petri


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Análisis de las RdPObjetivos

Determinar las situaciones de bloqueo del sistema. Determinar los estados posibles a partir de un cierto estado inicial. Determinar caminos para alcanzar un estado final a partir de un estado

inicial.

Árbol de alcanceRepresentación del conjunto de estados alcanzables R (C, M 0 ) de unared de Petri C = (P, T, I, O) con una asignación inicial de marcas M 0 .Nodos del árbol de alcance ≡ Estados del sistema (asig. marcas)

Reglas de construcción del árbol de alcance:

1. El nodo raíz es el estado inicial2. Cada nodo genera nodos hijos ejecutando las transiciones activadas3. Nodo duplicado (old) → no genera nodos hijos 4. Nodo terminal (dead) ≡ No tiene transiciones activadas

→ no genera nodos hijos


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38

Árbol de alcanceReglas de construcción:

1. El nodo raíz es el estado inicial2. Cada nodo genera nodos hijos ejecutando las transiciones activadas3. Nodo duplicado (old) → no genera nodos hijos 4. Nodo terminal (dead) ≡ No tiene transiciones activadas

→ no genera nodos hijos

Ejemplo:

P1

P2

P3

T1

T2

2

1

(2, 1, 0)

(1, 1, 1)

(1, 1, 1)old

(2, 1, 0)old

(0, 1, 2)

T1

T1 (-1, -1+1, +1)

T2 (+1, -1+1, -1)

T2


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Análisis de las RdPRedes de Petri acotadas

Definición: Un lugar P i de una RdP C = (P, T, I, O) con una asignacióninicial de marcas M 0 es k-acotado si para todas las asignaciones demarcas M del conjunto de estados alcanzables R (C, M 0 ), M(P i ) ≤ k.

En el ejemplo anterior P 1

y P 3

son 2-acotados; P 2

es 1-acotado.

Definición: Una RdP C = (P, T, I, O) con una asignación inicial demarcas M 0 es k-acotada si todos los lugares son k-acotados

Definición: Un lugar o una RdP con una asignación inicial de marcas M 0 es acotado si es k-acotado para algún valor finito k.

En el ejemplo anterior la RdP es 2-acotada.Los lugares P 1, P 2 , P 3 y la RdP son acotados


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Árbol de alcanceEjemplo de RdP 1-acotada

Sistema de producciónMáquinas M1, M2; Cintas transportadoras C1, C2; piezas tipo a, bRestricciones para la secuencia de operaciones1. Pieza tipo a: Proceso en M1; transporte C1 M1→M2; Proceso en M2.2. Pieza tipo b: Proceso en M1; transporte C2 M1→M2; Proceso en M2.3. Las máquinas no pueden efectuar dos operaciones consecutivas deun mismo tipo de pieza.4. Almacenes de piezas a y b a la entrada de capacidad infinita5. Los palets de las cintas C1 y C2 tienen dos posiciones: M1 y M2.


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Árbol de alcanceT1 Final proceso de a en M1 ; Inicio proceso de b en M1

T2 Final proceso de b en M2; Inicio proceso de a en M2T3 Final proceso de b en M1; Inicio proceso de a en M1T4 Final proceso de a en M2; Inicio proceso de b en M2 P1 palet C1 en M1 P5 M1 procesando aP2 palet C1 en M2 P6 M1 procesando b

P3 palet C2 en M2 P7 M2 procesando b P4 palet C2 en M1 P8 M2 procesando a Estado inicial: M1 procesando a; C1 en M1; M2 procesando b; C2 en M1

(1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0)


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Árbol de alcance A partir del árbol de alcance de la RdP se puede concluir:

1) La RdP es 1-acotada2) Desde el estado inicial se puede llegar a 5 estados distintos


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43

RdP no acotadas: Árbol de alcanceRdP no acotada → Árbol de alcance infinito (crece de forma ilimitada)

Ejemplo: Estado inicial (1, 0, 0) t 1 (-1+1,+1, 0) t 2 (-1,+1,+1) t 3 (0, -1, -1+1)

dead

old


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44

RdP no acotadas: Árbol de cobertura

Ampliación de la asignación de marcas:

A cada lugar de la RdP se le puede asignar un número demarcas:

Número no negativo (0, 1, 2, 3, …) Símbolo especial ω para representar a un número de marcas que

puede crecer ilimitadamente (infinito)

Cuando el disparo de una transición comporte sumar o restar n marcas a un lugar con símbolo especial, ω, se comportará de la siguiente

manera1) ω + n = ω 2) ω - n = ω 3) n < ω


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Árbol de cobertura Caracteriza las tipologías de nodos del árbol de alcance Se genera con las 4 reglas de generación del árbol de

alcance + Regla de cobertura

Regla de coberturaSi en el camino desde el nodo raíz M 0 hasta el nodo M delárbol de alcance se puede encontrar un nodo M’ tal que

M (P i ) ≥ M’ (P i ) para todos los lugares P i Existe un lugar P k tal que M (P k ) > M’ (P k )

entonces el valor M’ (P k ) del árbol de alcance se substituyepor M’ (P k ) = ω


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Árbol de coberturat 1 (-1+1,+1, 0) t 2 (-1,+1,+1) t 3 (0, -1, -1+1)M = (1, 2, 0) y M’ = (1, 1, 0) M’ = (1, 1, 0) → M’ = (1, ω, 0)(1, ω, 0) + t 2 = (0, ω, 1) (0, ω, 1) + t 3 = (0, ω, 1)

(1, 0, 0)

(1, ω, 0) (0, 1, 1)

(0, 0, 1)dead

(1, ω, 0)old

(0, ω, 1)

(0, ω, 1)old

t 2 t 1

t 1 t 2 t 3

t 3


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RdP no acotadas: Árbol de cobertura Árbol de coberturaT1 (-1+1,+1, -1) T2 (+1,-1,+1) M 0 = (1, 0, 1)Estructura secuencial repetitiva: T1 , T2 , T1 , T2 , … M = (2, 1, 0) y M’ = (1, 1, 0) M’ = (1, 1, 0) → M’ = (ω, 1, 0)(ω, 1, 0) + T2 = (ω, 0, 1) (ω, 0, 1) + T1 = (ω, 1, 0)


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BloqueosBloqueo

Dos procesos concurrentes utilizan recursos compartidos y quedanparados en mitad del proceso a la espera de recursos que tienereservados otro proceso.

Ejemplo: Después de ejecutar T1 y T2 (T2 y T1) ninguna transición estáactivada


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BloqueosEjemplo: Línea de producción

Sistema de producciónMáquinas M1, M2; Transporte R1, R2; piezas tipo a, bRestricciones para la secuencia de operaciones1. Pieza tipo a: Proceso en M1; transporte R M1→M2; Proceso en M2.2. Pieza tipo b: Proceso en M2; transporte R M2→M1; Proceso en M1.3. Pieza accede máquina si la máquina y un manipulador están libres4. A la entrada de una pieza al sistema se le asigna un transporte quemantiene ocupado hasta la salida.5. Concluida la primera operación, la pieza espera hasta que la 2ªmáquina esté libre. Durante la espera la 1ª máquina está ocupada.6. Cuando finaliza 2ª operación queda libre la 2ª máquina y transporte.

7. No puede haber más de una pieza tipo a o tipo b en el sistema


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Bloqueos

T1 Inicio proceso de a en M1

T2 Inicio proceso de a en M2

T3 Final proceso de a en M2

T4 Inicio proceso de b en M2

T5 Inicio proceso de b en M1

T6 Final proceso de b en M1

P1 M1 procesa a P4 M2 procesa b

P2 M2 procesa a P5 M1 procesa b

P3 Plazas a libres P6 Plazas b libres

P7 Unidades transporte libresP8 M2 libre P9 M1 libre

Estado inicial: Máquinas, transportes yplazas libres

(0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 1)

P 6

T 1

T 2

T 3

T 4

T 5

T 6

P 1

P 2

P 7

P 4

P 5

P 8 P 9

1 1 1 1

2

P 3


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Bloqueos

T1 Inicio proceso de a en M1 T2 Inicio proceso de a en M2

T3 Final proceso de a en M2 T4 Inicio proceso de b en M2

T5 Inicio proceso de b en M1 T6 Final proceso de b en M1

El sistema se bloquea cuando M1 y M2 están efectuando la primeraoperación i el estado del sistema es (1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0)

P 6

T 1

T 2

T 3

T 4

T 5

T 6

P 1

P 2

P 7

P 4

P 5

P 8 P 9

1 1

P 3


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Bloqueos

Árbol de alcance

(0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 1)

(1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0) (0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1)

(0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1) (1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0)dead (bloqueo)

(0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0)

(0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 1)old

(0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 1)old

T 1 T 4

T 2 T 4 T 1 T 5

T 3 T 6

P 6

T 1

T 2

T 3

T 4

T 5

T 6

P 1

P 2

P 7

P 4

P 5

P 8 P 9

1 1 1 1

2

P 3


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Bloqueos

Una forma de evitar el bloqueo es incorporar la restricción de queantes de empezar la primera operación en una pieza deben estar lasdos máquinas libres.

El sistema procesa las

piezas de una en una.Un transporte es suficiente.

(0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 1)

(1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0) (0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1)

(0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1) (0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0)

(0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 1)old

(0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 1)old

T 1 T 4

T 2 T 5

T 3 T 6

P 6

T 1

T 2

T 3

T 4

T 5

T 6

P 1

P 2

P 7

P 4

P 5

P 8 P 9

1 1 1 1

2

P 3


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Redes de Petri coloreadas

Una Red de Petri coloreada, RdPC, está compuesta por 9 elementosRdPC = (Σ, P, T, A, N, C, G, E, I).Σ = {C1, C2, …, Cnc} conjunto finito de nc colores. Cada color

corresponde a un atributo y tiene asociados m valores, Ci = {ci1, ci2,…, cim}.

P = {P1, P2, …, Pnp} conjunto finito de np lugares T = {T1, T2, …, Tnt} conjunto finito de nt transiciones

A = {A1, A2, …, Ana} conjunto finito de nt arcos N Función nodo: Definida sobre el conjunto de los arcos. Asocia a

cada arco sus nodos terminales: origen y destino.

C Función color: Definida sobre el conjunto de los lugares. Asocia acada lugar un único color (una tipología de objeto).G Función guarda: Definida sobre el conjunto de las transiciones.

Especifica las condiciones para desinhibir la transición. Seformaliza a través de expresiones booleanas.Gráficamente condición entre corchetes (al lado de la transición).


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Una Red de Petri coloreada, RdPC, está compuesta por 9 elementosRdPC = (Σ, P, T, A, N, C, G, E, I).

E Función entidad: Definida sobre el conjunto de los arcos.(Generalización de la función peso W de las RdP).

En arco de entrada: especifica el número de marcas de cada tipode objeto (valor de la variable color) que se necesitan para activarla transición.En arco de salida: especifica el número de marcas de cada tipo delas entidades de salida.Gráficamente n

c1

’(c1

)+ nc2

’(c2

)+ … + ncm

’(cm

) (al lado arco)I Función de inicialización: Definida sobre el conjunto de los lugares.

Especifica el número de marcas para cada valor de la variablecolor (el número de cada tipo de objeto). (Generalización de laasignación de marcas).Gráficamente nc1’(c1)+ nc2’(c2)+ … + ncm’(cm) (al lado lugar)


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Una Red de Petri coloreada, RdPC, está compuesta por 9 elementosRdPC = (Σ, P, T, A, N, C, G, E, I).

Adicionalmente es posible formalizar las prioridades entretransiciones mediante la función Π:T→N que asigna un entero nonegativo de prioridad a cada transición. Para disparar unatransición hace falta que no esté activada ninguna otra con mayorprioridad.

Mismas técnicas de análisis que para las RdP.

Las RdPC permiten formalizar las características de los objetos (color) y las condiciones para que un evento se produzca (G y E).

Los modelos con RdPC son más compactos y más abstractos quecon RdP.


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Ejemplo: Dos tipos de piezas distintas a, b son procesadas por lamisma máquina.

RdP

T1 Inicio proceso de a T2 Inicio proceso de b

T3 Final proceso de a T4 Final proceso de b

RdPCT1 Inicio proceso de a T2 Inicio proceso de b


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Conjunto de coloresΣ = {x, y, R} x = {1, 2} Color tipo pieza 1→a 2→b

y = {0, 1} Color estado máquina 0→libre 1→ocupada

R = x y Color máquina procesando

(1, 1) máquina procesa pieza 1(2, 1) máquina procesa pieza 2

Transiciones

T1 Inicio proceso

T2 Fin proceso

Lugares

P1 Almacén entrada

P2 Máquina libre

P3 Máquina procesando

P4 Almacén salida


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Redes de Petri coloreadasFunción guarda

G(T1) = true G(T2) = true No hay restriccionesFunción entidad E(A1) = 1’(x) Una marca tipo pieza (puede ser a o b)E(A2) = 1’(0) Sólo se activa transición con y = 0 (maq. libre)E(A3) = 1’(x,1) Una máquina procesando pieza (a o b)E(A4) = 1’(x,1) Una máquina procesando pieza (a o b)

E(A5) = 1’(x)

Una marca tipo pieza

E(A6) = 1’(0)

Marca tipo estado máquinaFunción estado inicial

I(P1) = 3’(1)+3’(2)

I(P2) = 1’(0)

Función nodo flechas


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Redes de Petri coloreadasEjemplo: Sistema de producción

Sistema: 2 máq. erosión, 2 máq. mecanizado, 2 máq. EnsambladorasProceso siguiendo secuencia: erosión, mecanizado y ensamblado.

Conjunto de colores

Σ = {x, z, R}

x = {1, 2, 3, 4} Color cola Ci

z = {1, 2, 3} Color tipo máquina

R = z x Color estado máquina

(1, 1); (2, 2); (3, 3)


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Nodos lugar

P = {P1, P2, p3} P1 Máq. libre (color z) P2 Piezas en cola (x) P3 Máq. proces. (R)Transiciones T1 Inicio proceso T2 Fin proceso

Función guarda G(T1) = [x = z] La máquina z = 1 sólo puede procesar pieza decola x = 1

G(T2) = true

Función entidad

E(A1) = 1’(x) Una pieza activa T1

E(A2) = 1’(x+1) Una pieza pasa ala cola siguiente

E(A3) = E(A4) = 1’(z)

E(A5) = E(A6) = 1’(z, x)


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Muchas gracias por su atención

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