Aplicaciones y Funciones Trascendentales a la Ingeniería

7/27/2019 Aplicaciones y Funciones Trascendentales a la Ingeniera

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADOR.

Matemtica I

Catedrtico:

Ing. Jos cruz Lpez Lpez

TEMA:

Aplicaciones de las funcionestrascendentales en la ingeniera

SECCION: 05

Integrantes: carnet

Bryan Orlando Orellana Martnez -25-4671-2013Roberto Esa Perdomo Aragn -25-4645-2013Luis Enrique Aguilar -___________


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Aplicaciones y Funciones

Trascendentales a la Ingeniera

Funciones trascendenteEn las funciones trascendentes la variable independiente

figura como exponente, o como ndice de la raz, o se halla

afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que

emplea la trigonometra. Las funciones cuyos valores no pueden calcularse haciendo un numero

finito

de operacionesaritmeticas (sumas, productos, potencias, etc.) se denom

inan

Trascendentes

FuncionesComo base se puede tomar cualquier nmero positivo diferente de

1 (pues este valor solo nos dara una funcin constante). Los

exponentes que se usen pueden tener cualquier valor, por lo que

su dom in io so n tod os los nmeros reales. Como al elevar a

cualquier potencia siempre se obtiene un nmero positivo, el

recorrido consta de todos los nmeros reales positivos. Esto indica

que la funcin exponencial no tiene races.

Una funcin, en matemticas, es el trmino usado para indicar la relacin o

correspondencia entre dos o ms cantidades. El trmino funcin fue usado

por primera vez en 1637 por el matemtico francs Ren Descartes paradesignar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemtico alemn

Gottfried Wilhelm Leibniz utiliz el trmino para referirse a varios aspectos

de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso ms

generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemtico alemn, J.P.G.

Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribi: "Una variable es un smbolo
http://www.monografias.com/trabajos14/aristot-descartes/aristot-descartes.shtml#DESCARThttp://www.monografias.com/trabajos14/trmnpot/trmnpot.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/trmnpot/trmnpot.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/aristot-descartes/aristot-descartes.shtml#DESCART


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que representa un nmero dentro de un conjunto de ello. Dos variables X

y Y estn asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por

alguna regla o correspondencia, se asigna automticamente un valor a Y,

se dice que Y es una funcin (unvoca) de X. La variable X, a la que se

asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que

la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variablesdependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de

definicin de la funcin y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Una funcin f de A en B es una relacin que le hace corresponder a cada

elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f,

que se escribe y=f (x). En smbolos, f: A B

Es decir que para que una relacin de un conjunto A en otro B sea funcin,

debe cumplir dos condiciones, a saber:

Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.

La imagen de cada elemento x E A debe ser nica. Es decir, ningn

elemento del dominio puede tener ms de una imagen.

El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de

algn elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

Observaciones:

En una funcin f: A B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E

B.

Un elemento y E B puede:

No ser imagen de ningn elemento x E A

Ser imagen de un elemento x E A

Ser imagen de varios elementos x E A.

La relacin inversa f-1 de una funcin f puede no ser una funcin.

Graficas de las funciones
http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/imco/imco.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/signos-simbolos/signos-simbolos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/signos-simbolos/signos-simbolos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/imco/imco.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES


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Hay dos clases de funciones reales.

Cualquier funcin que no sea una funcin algebraica es llamada funcin

trascendental. Tal funcin trasciende, lo que significa que no puede serexpresada en forma de operaciones algebraicas, de ah el nombre de la

misma.

A la luz de lo anterior se puede concluir que, para un valor de x la salida de

una funcin trascendental no puede ser calculada algebraicamente.


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Estas funciones son muy importantes en la solucin de problemas de fsica

e ingeniera. Son especialmente utilizados para detectar errores en el

anlisis dimensional. Esto se debe a que la funcin trascendental slo tiene

sentido despus que sus argumentos se hacen sin dimensiones, esto

tambin puede hacerse utilizando reducciones algebraicas.

Para definir una funcin trascendental elemental, principalmente se

emplean tres estrategias. Una de ellas es hacer uso de las series de

potencias. Sin embargo, rara vez se utiliza, ya que no forma parte del

clculo elemental. El otro, que se utiliza en gran manera, es el mtodo de

la integral definida. Dos de las funciones trascendentales ms importantes

son las funciones trigonomtricas y las funciones exponenciales. Las

funciones de los ngulos se conocen como funciones trigonomtricas.

Tambin se les conoce por el nombre de funciones circulares. Estasfunciones forman parte de la trigonometra: coseno, cosecante,

cotangente, seno, secante, tangente, etc. Estas funciones son una

herramienta muy esencial para relacionar la longitud de los lados de un

tringulo con los ngulos del tringulo. Entre muchas de las aplicaciones,

estas funciones son importantemente utilizadas para modelar los

fenmenos peridicos.

En trminos ms precisos, una funcin trigonomtrica se puede definir

como una funcin que es razn de cualquiera de los dos lados del

tringulo con un ngulo especfico entre ellos. Algunos de los matemticos

modernos incluso definen tales funciones como una serie de longitud

infinita o la solucin de ecuaciones diferenciales, extendiendo estas un

gran nmero de negativos as como positivos, incluso nmeros complejos

en algunos momentos.

1. El seno de una funcin puede ser definido como la razn de la longitud

perpendicular y la longitud de la hipotenusa del tringulo.


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2. El coseno de una funcin puede ser definido como la razn de la

longitud la base y la longitud de la hipotenusa del tringulo.

3. La tangente de una funcin puede ser definida como la razn de la

longitud de la base y la longitud perpendicular del tringulo.

4. La cosecante de una funcin, que es el inverso del seno de la funcin,

puede ser definida como la razn de la longitud de la hipotenusa y la

longitud perpendicular del tringulo.

5. La secante de una funcin, que es el inverso del coseno de la funcin,

puede ser definida como la razn de la longitud de la hipotenusa y la

longitud de la base tringulo.

6. La cotangente de una funcin, que es el inverso de la tangente de la

funcin, puede ser definida como la razn de la longitud perpendicular y lalongitud de la base del tringulo


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Una funcin entera, comnmente conocida por el nombre de funcinexponencial es definida como una funcin f: X Y de la forma, exp(z) = ez

Aqu e es el resultado de la ecuacin, tal que

lo que hace a x = e = 2.718. El valor de e siempre debe ser mayor que

cero y ambos e y x deben ser nmeros reales. Una funcin exponencial

siempre satisface la siguiente ecuacin, e(x + y) = e(x) e(y)

Tome un ejemplo, para evaluar la ecuacin f = 5(4)x dado que el valor de x

= 2.5. Siga los sencillos pasos de la siguiente manera, f = 5(4)2.5(reemplazando el valor de x) 5(32) = 160


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Clases de funciones:

Funcin Cuadrtica

El estudio de las funciones cuadrticas resulta de inters no slo en

matemtica sino tambin en fsica y en otras reas del conocimiento como

por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que

describe un ro al caer desde lo alto de una montaa, la forma que toma

una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido

desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partcula

es lanzada con una velocidad inicial.

Puede ser aplicada en la ingeniera civil, para resolver problemas

especficos tomando como punto de apoyo la ecuacin de segundo grado,

en la construccin de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en

uno de los cables amarrados a dos torres.Los bilogos utilizan las funciones cuadrticas para estudiar los efectos

nutricionales de los organismos.

Existen fenmenos fsicos que el hombre a travs de la historia ha tratado

de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como

herramienta principal para realizar sus clculos la ecuacin cuadrtica.

Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una

partcula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo est dada por

S= V0t - gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de lapartcula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

La funcin cuadrtica responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0.

Su grfica es una curva llamada parbola cuyas caractersticas son:

Si a es mayor a 0 es cncava y admite un mnimo. Si a es menor a 0 es

convexa y admite un mximo.

Vrtice: Puntos de la curva donde la funcin alcanza el mximo o el

mnimo.

Eje de simetra: x = xv.

interseccin con el eje y.

Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuacin de segundo

grado.

Funcin Logartmica

La geologa como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones
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logartmicas para el clculo de la intensidad de un evento, tal como es el

caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto est definida como R=

Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una

constante. (A es la amplitud de un sismgrafo estndar, que est a 100

kilmetros del epicentro del terremoto).

Los astrnomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o

planeta utilizan ciertos clculos de carcter logartmico. La ecuacin

logartmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.

En la fsica la funcin logartmica tiene muchas aplicaciones entre las

cuales se puede mencionar el clculo del volumen "L" en decibeles de un

slido, para el cual se emplea la siguiente ecuacin L= 10 . Log (I/I0) ,

donde I es la intensidad del sonido (la energa cayendo en una unidad de

rea por segundo), I0 es la intensidad de sonido ms baja que el odo

humano puede or (llamado umbral auditivo). Una conversacin en voz alta

tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.

El logaritmo en base b de un nmero a es igual a N, si la base b elevada a

N da como resultado a.

1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 1

2. El logaritmo de un nmero igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 =

a

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo

es igual al exponente de la potencia: logb am = m, ya que bm = am

4. No existe el logaritmo en cualquier base de un nmero negativo o cero.

5. El logaritmo de un nmero N mayor que cero y menor que 1,

estrictamente, 0


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donde H+ es la concentracin de iones de una sustancia expresada en

moles por litro. El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un PH

menor que 7, se dice que es cida, mientras que su PH es mayor que 7, se

dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del

agua de lluvia debido al efecto daino de la "lluvia cida" que se origina por

las emisiones de dixido de azufre de las fbricas y plantas elctricas quetrabajan con carbn.

Otras de la aplicacin de las funciones exponencial fue con el

descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie

Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la funcin: m = m0

e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de

un tiempo y t es el tiempo en das.

El crecimiento poblacional (Demografa) de una regin o poblacin enaos, parece estar sobre una curva de caracterstica exponencial que

sugiere el modelo matemtico dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la

poblacin inicial, t es el tiempo transcurrido en aos y k es una constante.

(En 1798, el economista ingls Thomas Malthus observ que la relacin N

= N0 ekt era vlida para determinar el crecimiento de la poblacin

mundial y estableci, adems, que como la cantidad de alimentos creca de

manera lineal, el mundo no poda resolver el problema del hambre. Esta

lgubre prediccin ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento

econmico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se

conoce con el nombre de modelo Malthusiano).

En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo

humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de

disminucin.

En Matemtica Financiera (Administracin), para el clculo de inters

compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo:

supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se colocaa un inters anual del i%. Al final del primer ao se tendr el capital inicial

ms lo que se ha ganado de inters P0i, si este proceso se contina por n

aos, la expresin que se obtiene est dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es

el capital final si los intereses se acumulan en un perodo de tiempo, P0 es

el capital inicial, i es la tasa de inters (anual, mensual, diaria) y n es el
http://www.monografias.com/trabajos14/problemadelagua/problemadelagua.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/plantas/plantas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/explodemo/explodemo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/explodemo/explodemo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/manual-ingles/manual-ingles.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/alim/alim.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/genesispensamto/genesispensamto.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/cuerpohum/cuerpohum.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/cuerpohum/cuerpohum.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/administracion-y-gerencia/administracion-y-gerencia.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/marx-y-dinero/marx-y-dinero.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/capintel/capintel.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos13/capintel/capintel.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/marx-y-dinero/marx-y-dinero.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/administracion-y-gerencia/administracion-y-gerencia.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/cuerpohum/cuerpohum.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/cuerpohum/cuerpohum.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/genesispensamto/genesispensamto.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/alim/alim.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/manual-ingles/manual-ingles.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/explodemo/explodemo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/explodemo/explodemo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/plantas/plantas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/problemadelagua/problemadelagua.shtml


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perodo de tiempo (ao, meses, das, etc.).

Se llama funcin exponencial de base a, siendo a un nmero real positivo y

distinto de 1, a la funcin f(x) = expa x y se lee exponencial en base a de

x.

Propiedades de la funcin exponencial y = ax

1a. Para x = 0, la funcin toma el valor 1: f(0) = a0 = 1

2a. Para x = 1, la funcin toma el valor a: f(1) = a1 = a

3a. La funcin es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.

Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier

potencia de base positiva da como resultado un nmero positivo.

4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la funcin es creciente.

5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a


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origen y que forma un ngulo q con la parte positiva del eje x. Las

coordenadas x e y pueden ser positivas o

Si el punto P, de la definicin de funcin trigonomtrica, se encuentra en el

eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la divisin por cero no est

definida en el conjunto de los nmeros reales, la tangente y la secante de

esos ngulos, como 90, 270 y -270 no estn definidas. Si el punto P est

en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos

ngulos, como 0, 180 y -180 tampoco est definida. Todos los ngulos

tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.

Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos

q varan entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener

cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1

o menor o igual que -1.

Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las

funciones trigonomtricas no depende de la longitud de r, pues las

proporciones son slo funcin del ngulo.

Si q es uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo (figura 4), las

definiciones de las funciones trigonomtricas dadas ms arriba se pueden

aplicar a q como se explica a

Los valores numricos de las funciones trigonomtricas de un ngulo

cualquiera se pueden hallar de forma aproximada

dibujando el ngulo en su posicin normal utilizando la regla, el comps y

el transportador de ngulos. Si se miden x, y y r es fcil calcular las

proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen

q y del cos q para unos cuantos ngulos especficos, pues los valores de

los dems ngulos y las dems funciones se calculan utilizando las

igualdades que se mencionan en el siguiente apartado.

Las razones trigonomtricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para

resolver tringulos, as como para resolver diferentes situaciones

problemticas en otras ciencias.

En Topografa se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la

base y el ngulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una

base de arena poco consistente; debido a ello sta se aparta cada vez ms

de su vertical. Originalmente tena una altura de 54,6m,

aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la
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base de la torre, determin un ngulo de elevacin de 54 a la punta de la

torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el

suelo es muy pequeo, comparado con la altura de la torre) aplic la ley

del seno para determinar el ngulo de inclinacin y la ley del coseno para

determinar el desplazamiento de la torre.

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