MODELOS FUNCIONALES

DE COSTO E INGRESO

APLICACIONES DE FUNCIONES

Profesor: Lic: Walter Pérez Díaz

MODELOS LINEALES DE COSTO E INGRESO

MODELO LINEAL DE COSTO

Entendemos como costo el gasto realizado para producir un bien en general

Costo total = Costo fijo + costo variable

Es un modelo de función

lineal de costo

En general, si C0 es el costo fijo por periodo ( diario, semanal, quincenal, etc.) y “m” es costo unitario de producir cierto articulo, entonces el Costo total C(x) de producir “x” unidades estará dado por:

C(x) = C0 + mx

Supongamos que producir una unidad de cierto artículo cuesta S/. 5, luego producir “x” unidades del artículo costará S/. 5x. Además si sabe que se tiene que enfrentar un costo fijo de S/. 1500 semanales, entonces el costo semanal C(x) que se gastará en producir “x” unidades semanalmente será:

C(x) = 1 500 + 5x

Costo total Costo fijo

Costo variable

Notemos que la función es

lineal

Hagamos la interpretación geometrica de la función costo

Ejemplo

x C(x)

50 17 50

100 2000

S/.C(x)

1500

50

1750

2000

X

C(x) = 1 500 + 5x

Unidades producidas semanalmente

100

Costo fijo

Tabulación Costo Total

MODELO LINEAL DE INGRESO

Si “p” es el precio unitario fijado para vender un articulo y si “x” es número

de unidades vendidas en un periodo , entonces el ingreso I(x) total obtenido por la venta de los artículos está dado por:

Ingreso = precio unitario x número de unidades vendidas

I(x) = px Es un modelo

de función lineal

Entendemos como Ingreso como el capital obtenido por la venta de una cantidad “x” de unidades de cierto articulo.

Ejemplo

Siguiendo con los datos del ejemplo anterior, supongamos que cada unidad de dicho articulo se puede vender a S/. 20. ¿Cuál sera el ingreso obtenido por vender “x” unidades?

Ingreso = precio unitario . número de unidades vendidas

I(x) = 20x

Tabulación

x I(x)

50 1000

100 2000

50

1000

2000

X

I(x) = 20x

Unidades producidas semanalmente

100

S/. I(x)

UTILIDAD

Teniendo en cuenta los conceptos de Costo e Ingreso tendremos en cuenta que la Utilidad “U” obtenida por la venta de “x” unidades de cierto articulo en un periodo está dado:

Utilidad = Ingreso total – Costo total

U(x) = I(x) – C(x)

PUNTO DE EQUILIBRIO INGRESO - COSTO

Es aquel punto donde el Ingreso obtenido es igual al Costo, es decir la Utilidad obtenida es cero, no se gana ni se pierde, lo hallamos:

C0

X

Costo

Unidades

x0

S/.I Ingreso

I(x) = C(x)

I(x) = C(x)

Punto de Equilibrio

Interpretación geométrica de la utilidad

Sabemos que la U(x) = I(x) – C(x) Si I(x) > C(x) Hay Ganancia

Si I(x) < C(x) Hay Pérdida

Zona de pérdida

Zona de Ganancia

Punto de Equilibrio Pto de intersección de las curvas de Ingreso y

Costo

I(x) = C(x)

C0

X

Costo S/.

Ingreso

x0 Se pierde Se gana

Ejemplo: Teniendo en cuenta los ejemplos anteriores hallemos el punto de equilibrio

Usemos : I(x) = C(x)

20x = 1 500 + 5x

Resolviendo: X = 100

1500

X

Costo

Unidades

100

S/. Ingreso

2000

Si se vende 100 unidades no se pierde ni se gana, no Se obtiene utilidad.

Si queremos ganar debemos vender más de 100 unidades

Si vendemos menos de 100 unidades tendremos pérdida.

EJEMPLO:

Se tiene una microempresa familiar dedicada a la elaboración de queques para abastecer la zona norte de Lima. Esta empresa cuenta con una pequeño local por el cual pagan 800 soles mensuales de alquiler. Tienen dos empleados que cobran 20 soles por día. La elaboración completa de c/queque más gastos de distribución asciende a 10 soles y el precio de venta es de 15 soles.

1.- Definir la función Costo total , C(x), por elaboración de “x” unidades de

queques. Graficar dicha función.

2.- Definir la función Ingreso total, I(x), correspondiente. Graficar la función.

3.- Definir la función Utilidad total, U(x)

4.- Hallar el punto de equilibrio

5.- ¿Cuántos queques deben venderse para obtener una ganancia de 1000 soles

SOLUCION

1.- Función Costo total C(t)

Sabemos que: C(x) = C0 + mx

C0 = S/. 800+2x20x30 = S/. 2000

Costo variable m=S/. 10 c/queque

2000

50

2500

3000

X

C(x) = 2000 + 10x

Unidades producidas mensualmente

100

C(x) = 2000+ 10x

x C(x)

50 2550

100 3000

S/.C(x)

Costo Fijo • Alquiler • Sueldos

Sabemos que : Ingreso = precio unitario x número de unidades vendidas

I(x) = 15x

Tabulación

x I(x)

50 1000

100 2000

50

750

1500

X

I(x) = 15x

Unidades producidas semanalmente

100

S/. I(x)

2.- Función Ingreso total: I(x)

Precio unitario= S/. 15

3.- Función Utilidad U(t)

Utilidad = Ingreso total – Costo total

U(x) = I(x) – C(x)

U(x) = 15x - ( 2000 + 10x) U(x) = 5x - 2000

4.- Punto de Equilibrio

Sabemos que se cumple: I(x) = C(x)

15x = 2000+10x Resolviendo hallamos: x = 400

Si se produce 400 queques no se obtiene utilidad.

2000

X

Costo

Unidades producidas

400

S/. Ingreso

6000

Punto de Equilibrio

5.- Número de unidades producidas para una ganancia de S/. 1000

Usemos: U(x) = 5x - 2000

1000 = 5x - 2000 Resolviendo tenemos: x = 600

Debe venderse 600 queques para obtener una ganancia de 100º soles