FASE 1

1. La dietista de la universidad informa a sus pacientes que con determinada dieta y un mínimo de ejercicios diarios una persona puede bajar de peso 200 g por semana. Si una persona que pesa 100 kg quiere bajar a su peso normal de 68 kg ¿Cuántas semanas tardaría en lograrlo?

a. Halle el término general an de la sucesión.

b. Demuestre que la sucesión resultante es decreciente.

El primer paso e convertir las unidades para que se facilite el trabajo de la siguiente manera:

1Kg = 1.000g

100Kg = 100.000g

68Kg = 68.000g

Gramos por semana = 200g

Para determinar si la sucesión es decreciente revisamos la recurrencia:

a1=100.000g−200 g=99.800g

a2=99.800 g−200 g=99.600 g

a3=99.600 g−200 g=99.400 g

Tenemos la sucesión:

an={100.000 ,99.800 ,99.600 ,99.400 ,………………an}; vemos que la sucesión es decreciente porque cada termino es menor que el anterior.

El término general an de la sucesión debe hallarse de la siguiente manera:

an=a1 (n−1 )∗d

Par aplicar la formula debemos tener en cuenta lo siguiente:

a1 = 100.000g a1 – an= 32.000g

an= 68.000g

d = - 200g

an=100.000+(n−1 ) ¿200)

Después de operar la formula tenemos el término general:

an=100 .000−200n−200

Reemplazando a n:

a0=100.000+(−200∗0 )−200=99.800

a1=100.000+(−200∗1 )−200=99.600

a2=100.000+(−200∗2 )−200=99.400

Luego aplicando una regla de tres simple obtenemos el número de semanas necesarias para alcanzar los 68.000g.

¿Si en una semana reduce 200g en cuantas semanas reduce 32.000g?, tenemos entonces:

xsemanas= 32.000 gr200gr . semana

=160 semanas

FASE 2

En la granja de la UNAD en Acacias se quiere saber cuál es el ingreso por la venta de un lote de 600 cerdos, cuyo peso promedio es de 30 kg, los cuales tendrán un tiempo de engorde de 150 días. Durante los primeros 60 días los animales aumentarán de peso en promedio 1,2 kg por día y en los otros 90 días su aumento será de 500 g por día.

El precio del kg de cerdo en pie es de $3.800.

a. Encuentre los términos generales para los dos lapsos de tiempo de cría (hasta los 60 días y de los 60 a los 150 días).

b.Demuestre que las sucesiones de cada intervalo son crecientes.

1. Un={n∗1,2 }n≥1 Termino General.

Un={n∗0,5 }n≥1 Termino General

Se tiene Un+1−Un>0

Para el primer caso tenemos:

Un={n+1∗1,2 }−{n∗1,2 }

Un=1,2n+1,2−1,2n

Un=1,2>0 Creciente.

Para el segundo caso tenemos:

Un={n+1∗0,5 }−{n∗0,5 }

Un=0,5n+0,5−0,5n

Un=0,5>0 Creciente.

Finalmente tenemos que para los primeros 60 dias de engorde el cerdo habra incrementado su peso en 72 Kg, y para los restantes 90 dias el cerdo incrementara su peso en 45 Kg, teniendo en cuenta el peso incial que es de 30 Kg, tendremos un peso final de 147 Kg.

FASE 3

3. Inicialmente el cuadrado azul tiene un área de 1 metro cuadrado.

El siguiente cuadrado, de color blanco, resulta de unir el centro de cada lado del exterior azul y así sucesivamente.

a) Encuentre los cinco primeros términos de la sucesión que forma los lados de la figura.

Utilizando el teorema de Pitágoras, obtenemos que el primer lado es 1m y los lados del triangulo rectángulo son iguales a 1/2

L=√22

calculando los cinco primeros lados

{1 , √22 , 12 , √24 , 14 ,…}Termino Un es:

para el caso particular

Un=(√22 )n

∗1=(√22 )n

=( 1√2 )n

=( 12 12 )n

=(2 12 )n

=2−n2

Termino Un es:

Un=2−n2

b) Usando los conceptos y fórmulas de las progresiones halle, en centímetros, la suma de los lados de los diez primeros cuadrados.

s=∑n=0

n=9

2−n2

Sn=Un∗q−Uoq−1

=Un+1−Uoq−1

=¿

Para Diez cuadrados n=9

S9=U 10−Uo

2−12−1

=U 10−1

2−12−1

=¿

Done Un

Un=2−n2

U 10=2−102

=2−5

S9= 2−5−1

2−12−1

=(1−2−5 )

2−5(1−2 12)= −−3132 (−0,4142)

=2.34

4. HALLE EL TÉRMINO GENERAL DE LA SUCESIÓN:

∁ n={2 ,2√2 ,4 ,4 √2 ,8 ,…}

∁ n={2 1+12 ,22+12,23+12,24+12,25+12,…}

Termino Cn es:

∁ n=2 n+12