Arit -alg- cepu invierno 2017.

“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN”

CENTRO PREUNIVERSITARIO

TEORIA DE CONJUNTOS

CICLO INVIERNO 2017-II

1

ARITMÉTICA Y ALGEBRA

01. Considerando el conjunto M. Halle el

valor de: 2 2P N

Siendo: 1 ; 2 ;1;2; 1;M

N=# de proposiciones verdaderas. P=# de proposiciones falsas. Además: I. 1 ;1;2 M

II. 1;2 M

III. 1; M

IV. ( )P M

V. 1; ( )P M

VI. 1 ; 2 ; 1; ( )P M

A) 10 B) 26 C) 17

D) 25 E) 14 02. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. I. 1;2 3;4P P

II. 1;2 1;2;3P P

P III.

A) VVV B) FFV C) VVF D) FVV E) VFV 03. ¿Cuál de estas expresiones es incorrecta?

(cA Indica el complemento de A, A y B

están contenidos en un mismo conjunto universal)

A) cA B B

B) c c cA B A B

C) c c cA B A B

D) cA B A B A

E) c c cA B A B A B

04. Dados dos conjuntos P y Q, la suma de sus cardinales es 90 y el cardinal de la intersección de los mismos es 5. Si el cardinal de la diferencia entre Q y P es igual a la octava parte del cardinal de la diferencia simétrica entre P y Q, halle el cardinal de la reunión de P y Q.

A) 70 D) 100 B) 85 C )9 3 E) 12

05. Si: 11n A B ; (A) ( ) 192n P n P B .

Calcular: n P A B , siendo A y B

subconjuntos de U.

A) 1 B) 9 C) 16 D) 4 E) 32 06. Siendo A y B dos conjuntos finitos tales

que: 2n A n B ; 3n A B n A B .

Calcular:

n A B

n B A

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 07. En un ciudad a la cuarta parte de la población no le gusta la carne ni las

verduras, a la mitad de la población le gusta la carne y a los 5/12 les gusta las verduras. ¿A qué fracción de la población le gusta la carne y las verduras?

A) 16

B) 13

C) 23

D) 14

E) 25

08. De 100 personas que leen por lo menos dos de tres revistas, A, B y C, se observó que 40 leen A y B, 50 leen A y C y 60 leen B y C. ¿Cuántas personas leen solo dos revistas? A) 25 B) 50 C) 60 D) 72 E) 75 09. En el CEPU-UNJBG se realiza una encuesta a 200 de sus postulantes a las carreras de ingeniería, sobre sus preferencias a alentar a los equipos de futbol: Alianza Lima (A), Universitario (U), Garcilazo (G), luego de estudiar la muestra, la reconocida estadista Juana la Loba infiere:

80n A U G n A U G

30n A U A G U G n A U G

Si 70 de los encuestados no son de los equipos de futbol en mención. ¿Cuántos prefieren alentar a los tres equipos? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 10. En un concejo internacional de medicina se debatió el problema de la eutanasia planteándose una moción. 115 europeos

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA Práctica 01

2

votaron a favor de la moción, 75 cardiólogos votaron en contra, 60 europeos votaron en contra, 80 cardiólogos votaron a favor. si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos de otras especialidades y no hubo abstenciones.

¿Cuántos médicos participaron en el evento? A) 210 B)330 C)270 D)240 E)300 11. Dados los conjuntos A, B y C.

x C x A x B . Además:

n A C a

n B C b

n A B c

n A B d

Halle n C en función de , , a b c y d

A) 3

a b c d B)

2a b c d

C) 2

a b c d D)

2c d a b

E) 3

a b c d

12. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de fruta de manzana, fresa y piña es el siguiente:

60% gustan manzana. 50% gustan fresa. 40% gustan piña. 30% gustan manzana y fresa. 20% gustan fresa y piña. 10% gustan manzana y piña. 5% gustan de los tres.

¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan alguno de los jugos de frutas mencionados? A) 5% B) 20% C) 50%

D) 12% E) 10% 13. Si los cardinales de los conjuntos A, B y C son números enteros consecutivos. Además.

448n P A n P B n P C , entonces

el valor de: E n A n B n C , sabiendo

que A, B y C son disjuntos. A) 21 B) 22 C) 20 D) 23 E) 24 14. Se rindieron 3 exámenes para aprobar un curso y se observó que el número de los que

aprobaron los tres exámenes es igual al número de los que los desaprobaron e igual a 1/3 de los que aprobaron sólo 2 exámenes

e igual a 1/5 de los que solo aprobaron un examen. ¿Qué tanto por ciento del total de los alumnos aprobaron el curso si para ello es necesario aprobar por lo menos 2 exámenes? A) 30% B) 42% C) 36%

D) 40% E) 47% 15. Si:

/ 6 11A x es impar x

3 1 / 0 72

nB Z n

Calcular: n P A B B A

A) 202 B)

222 C) 242

D) 262 E)

282 16. Durante un examen se observó en un aula que 15 alumnos miraban al techo y no usaban lentes, 10 usaban lentes y resolvían el examen. El número de alumnos que usaban lentes y miraban al techo era el doble de los que resolvían el examen y no usaban lentes. Si en el salón había 85 alumnos. ¿Cuántos resolvían su examen? (considere que los que no resolvían su examen miraban al techo) A) 20 B) 25 C) 24 D) 30 E) 36 17. Para estudiar la calidad de un producto se consideran 3 defectos: A, B y C como los más importantes. Se analizaron 100 productos con el siguiente resultado:

33 productos tienen el defecto A. 37 productos tienen el defecto B. 44 productos tienen el defecto C. 53 productos tienen exactamente un

defecto.

7 productos tienen exactamente tres defectos.

¿Cuántos productos tienen exactamente dos defectos? A) 53 B) 43 C) 22 D) 20 E) 47


3

TEORIA DE CONJUNTOS

NOCIÓN DE CONJUNTO

Conjunto: Concepto primitivo que no tiene

definición, pero que nos da la idea de agrupación de objetos a los cuales llamaremos elementos del

conjunto. RELACIÓN DE PERTENENCIA

Si un objeto es elemento del conjunto, se dirá que pertenece () a su conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece ( ) a dicho conjunto.

Ejemplo: A = {4; 9; 16; 25}

16 A 21 A

4 A 10 A

CARDINAL DE UN CONJUNTO

Es la cantidad de elementos de un conjunto y se denota: n(A), así en el ejemplo anterior n(A) = 4

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

a) Por extensión o en forma tabular: Es cuando se

indican los elementos del conjunto. A = { * ; ; # ; ......; }

b) Por compresión ó en forma constructiva: Es

cuando se indica alguna característica particular y

común a sus elementos.

A = {f(x)/ x cumple alguna condición} Diagrama de Venn - Euler:

Figuras geométricas planas cerradas que se utilizan

para representar a los conjuntos, gráficamente. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Inclusión ( )

Se dice que un conjunto A está incluido en B; si

todos los elementos de A, están en el conjunto B.

Es decir : AB x A x B

Igualdad

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Es decir : A = B A B B A

PRINCIPALES CONJUNTOS

Conjunto Vacío: Aquel que no tiene elementos,

también se le llama nulo y se denota o { }

Conjunto Unitario: Aquel que tiene un solo

elemento, también se le llama singleton.

Conjunto Universal: Conjunto referencial que se

toma como base para el estudio de otros conjuntos

contenidos en él y se denota por U.

Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos que no

tienen ningún elemento en común. Por ejemplo: E

= {1, 3, 5} y G = {2, 4, 6 } son conjuntos disjuntos

Conjuntos Comparables: Cuando uno de ellos está

incluido en el otro.

Conjuntos Equivalentes: Cuando tienen la misma

cantidad de elementos. A es equivalente a B entonces:

n(A) = n(B)

Conjunto Producto: También llamado producto

cartesiano. A B = {(a;b) / a A b B}

Par ordenado Ejemplo:

A = {1 ; 4 ; 5} B = {8 ; 11}

A B ={(1;8) ; (1;11) ; (4;8) ; (4;11) ; (5;8) ; (5;11)}

Conjunto Potencia: Es el conjunto cuyos elementos

son todos los subconjuntos de otro conjunto A y se

denota por P(A).

Ejemplo: A = {2 ; 8}

P(A) = { ;{2} ; {8} ; {2 ; 8}}

Observación: La cantidad de subconjuntos de un

conjunto A es igual a (A)2n

Ejemplo:

A = {3 ; 5 ; 9} ; n(A) = 3

Entonces hay 32 = 8 subconjuntos que son:

; {3} ; {5}; {9}; {3; 5} ; {3; 9} ; {5; 9} y {3; 5; 9}

"A todos los subconjuntos de A, excepto A se les

llama subconjuntos propios"

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto de los Números Naturales (N)

N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; .......} Conjunto de los Números Enteros (Z)

Z = {........ ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; .........}

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1. Unión: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de

U. Si sobre U se aplica la función proposicional “x

A v x B”, entonces se obtiene un nuevo conjunto llamado la unión de A y B, es decir:

A U B = {x/x A v x B}

Representación:

A) Simbólica: x (A U B) x A v x B B) Gráfica:

A B

A U B=

Propiedades: 1. Idempotencia: A U A = A

2. Identidad: A U = A ; A U U = U

3. Conmutativa: A U B = B U A 4. Asociativa: A U (B U C) = (A U B) U C

5. Adición: A (A U B) ; B (A U B)

2. Intersección: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la función proposicional “x


4

A x B”, se obtiene un nuevo conjunto

llamado la intersección de A con B, es decir:

A B = {x/x A x B}

Representación:

A) Simbólica: x (A B) x A x B

B) Gráfica:

A B

A B =

Propiedades:

1. Idempotencia: A A = A

2. Identidad: A = ;A U = A

3. Conmutativa: A B = B A

4. Asociativa: A (B C) = (A B) C

5. Distributiva: a) A(BUC) = (A B) U (A C)

b) AU(B C)= (A U B) (A U C)

6. (A B) A ; (A B) B

7. Si A y B son disjuntos entonces A B =

3. Diferencia:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una función proposicional

“x A x B”, se obtiene un nuevo conjunto

llamado diferencia entre A y B. Notación: La diferencia entre A y B se designa por

A – B.

A – B = {x/x A x B}

Representación:

A) Simbólica: x (A – B) x A x B B) Gráfica:

A B

A – B=

Propiedades:

1. A – B = A B’

2. A – A =

3. A - = A

4. - A = , U – A = A’

5. A – B = B - A A = B

6. (A - B) - C A - (B - C)

7. (A - B) A

4. Diferencia simétrica:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una función proposicional

“x (AB) x (AB)”, se obtiene un nuevo

conjunto llamado la diferencia simétrica entre A y B.

Notación: Se designa la diferencia simétrica entre

los conjuntos A y B por A B.

A B={x/x (AB) x (AB)}

Representación: A. Simbólica:

x(A B) x(AB) x (AB)

B. Gráfica:

A B

A B =

Propiedades:

1. AB BA

2. (AB)C = A (BC)

3. A = A

4. AA =

5. (AB)C = (AC) (BC)

6. AB = (A-B)U (B-A)

7. AB = (A U B)-(AB)

5. Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto

de elementos que no pertenecen a A. El complemento de A se denota por A’, o por Ac,

o por Ā

A’ = {x/x A}

Representación:

A) Simbólica: x A’ x A (x A)

B) Gráfica:

A A’=

Propiedades: 1. (A’)’ = A (Complemento del complemento) 2. A U A’ = U (Tercer excluido)

3. A A’ = (Contradicción)

4. (Leyes de De Morgan)

(A U B)’ = A’ B’

(A B)’ = A’ U B’

5. U’ = ; ’ = U



NUMERACION Y 4 OPERACIONES


1


01. Calcule la suma de las cifras de N al ser

expresado en base diez, siendo:

)()6()()( 03)1( dcb bcddabaaN

A)11 B) 9 C) 8 D) 10 E) 12

02. Si: )8()3()2( 75637 bbaaa aa

Calcular: ba

A)12 B) 13 C) 8 D) 14 E) 15 03. Si al expresar “E” en base “n” la suma de cifras es 17, donde:

2 ;23233 356 nnnnnECalcule la suma de cifras de E al expresarlo en base “ 2n ” A) 90 B) 60 C) 45 D) 30 E) 80

04. Dado: 1121 20152015 N .

Indique la suma de cifras de N, cuando se escribe en la base 2016. A) 8120450 B) 8120451 C) 8120452 D) 8120453 E) 8120454 05. Si un número del sistema octal termina en 66. ¿Cuáles son las tres últimas cifras al escribir dicho número en el sistema cuaternario? A) 213 B) 231 C) 321 D) 312 E) 612 06. ¿Cuántos números de la forma

22

3)3(3

)2(

cbaca

Existen? A) 48 B) 150 C) 180 D) 240 E) 275 07. Se tiene el siguiente número capicúa:

( 2 )4(3 )( )c b c b c a . ¿Cuál es el

mayor valor de "" cba ? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

08. ¿Cuántos números de la forma

(8)( )abc a b c existen?

A) 250 B) 84 C) 71 D) 64 E) 41 09. Si a la suma de 35 números impares y consecutivos se le resta 42, entonces la cifra de la unidad del resultado final es: A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

10. Si: 3388aa bb

Calcular: ba

A)11 B) 9 C) 13

D) 10 E) 12

11. Si: 1190CA mnp CA pnm

y 3**mnp pnm

Calcular: m n p

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

12. Para escribir todos los números enteros y

positivos hasta el número 1ab , se han utilizado una cantidad de cifras que es igual a un número de 3 cifras consecutivas

crecientes. Calcular "" ba A) 2 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7 13. Se divide un numero de dos cifras entre la suma de sus cifras. Se invierte el orden de las cifras del número y se divide el nuevo número otra vez entre la suma de sus cifras (en ambos casos se obtiene divisiones exactas). Se observa entonces que la diferencia de los cocientes es igual a la diferencia de las dos cifras del número original, y que el producto de tales cocientes es el propio número original. ¿Cuál es este número?. Dar como respuesta la diferencia de cifras del número original A) 3 B) 5 C) 7 D) 1 E) 6 14. Sea la P.A.:

4 6; ;68 ; 6 ( 2); 70a b c b d


2

donde el término del trigésimo lugar de la

P.A. es 68b

Halle ( a b c d ). A) 26 B) 24 C) 30 D) 25 E) 13 15. Un libro tiene entre 100 y 1500 páginas, si en las 40 últimas páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas cifras tendría si se enumerara en el sistema octal? A) 3555 B) 4005 C) 3750 D) 4125 E) 4325 16. ¿Cuantos números impares de tres cifras existen, tal que la suma de sus tres cifras sea un número impar? A) 220 B) 225 C) 275 D) 175 E) 200

17. Si: )7(24 qamnpq y ademas:

60mamama

ma

ma

vecesk ""

Calcular “k” A) 275 B) 325 C) 472 D) 220 E) 225

18. ¿Qué valor debe tomar “ a ” para que al convertir N a la base decimal, este termine en cifra tres?

)7( 442

44...444 cifras

aN

A) 0 B) 4 C) 3

D) 6 E)5

NUMERACION

NUMERACIÓN

Parte de la aritmética que se encarga de la forma

correcta de expresar y representar a los números.

NÚMERO

Es un ente matemático que nos permite cuantificar

a los objetos que nos rodean.

NUMERAL

Es la representación simbólica del número.

Romanos: I ; V ; X ; L ; C ; D ; M

Hindúes - Árabes: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 SISTEMA DE NUMERACIÓN

Conjunto de reglas y principios convencionales

para representar un número.

PRINCIPIOS

1. DEL ORDEN: Toda cifra en un numeral, tiene

orden, por convención, se enumera de derecha a

izquierda.

Por ejemplo:

2 0 1 6

1er. orden (unidades)

2do. orden (decenas)

3er. orden (centenas)

4to. orden (millares)

2. DE LA BASE: Todo Sistema posicional de

numeración tiene una base, que es un número

natural mayor que la unidad, el cual indica la cantidad de unidades necesarias para pasar de un

orden al orden inmediato superior. En forma

sencilla, la base nos indica la forma como debemos

agrupar. 3. DE SUS CIFRAS: Las cifras son números

naturales que siempre son menores que la base. En base "n" las cifras pertenecen al conjunto:

{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...... ; (n - 1)}

Algunos Sistemas de Numeración

Base Nombre del Sistema Cifras utilizadas

2 3 4 5 6 7 8 9

10 11

12 . . n

Binario Ternario

Cuaternario Quinario Senario

Heptaniario Octanario y octal Nonario o nonal

Decimal Undecimal

Duodecimal . .

Enesimal

0,1 0,1,2

0,1,2,3 0,1,2,3,4

0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5,6

0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,, . .

0,1,2,3,4, . . ., n – 2, n – 1 Características de un Sistema de Numeración

a) En cualquier Sistema de Numeración existen

tantas cifras como el valor de base y con las

combinaciones de ellas pueden formar todos

los números posibles de dicho sistema.

b) El Mínimo valor que puede tomar una cifra en

cualquier sistema es el cero y el máximo es

una unidad menos que el valor de la base.

c) La base de un Sistema de Numeración es un

número entero positivo mayor que 1.

d) La base de un Sistema de Numeración siempre

es mayor que cualquiera de las cifras que se

usan en dicho sistema. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO

* Numeral de 2 cifras base 10

10; 11; 12; ...; 99ab

* Numeral de 3 cifras base 5

(5) (5) (5) (5) (5)100 ; 101 ; 102 ; ...; 444abc


3

NUMERAL CAPICÚA: Aquel cuyas cifras

equidistantes de los extremos del numeral son iguales.

Ejemplo : ; ; ; ; ; etc. a aa aba abba abcba

CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UNA

BASE A OTRA Se representa tres casos Caso I: De base “n” a base 10: En este caso se calcula el número de unidades que posee dicho número, para esto es suficiente aplicar la “descomposición polinómica” del número y efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo:

Convertir (7)2016 a la base 10

3 2(7)

(7)

2016 2 7 0 7 1 7 6

2016 699

Caso II: De base 10 a base “n” Se efectúa empleando el método de “divisiones sucesivas”, para lo cual se divide el número dado “n” (base del sistema al cual se desea pasar). Si el cociente es igual o mayor que “n” se divide este nuevamente entre “n” y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor que “n”. El nuevo número estará formado por el último cociente y todos los residuos obtenidos de derecha a izquierda. Ejemplo: Convertir 699 a la base 7

699

693

7

99

986

7

14

141

7

2

0

(7)699 2016

Caso III: De base “n” a base “m”(n, m 10)

En este caso primero se convierte el número de

base “n” a la base 10 y el resultado se convierta a

la base “m”

Ejemplo: Convertir 413(8) a la base 5

Primero: 413(8) a la base 10 413(8) = 4 . 82 + 1 . 8 + 3 = 267

Luego: 267 a la base 5

267

265

5

53

502

5

10

103

5

2

0

413(8) = 2032(5)

Propiedades: Si un número es expresado en dos sistemas de numeración se cumple que: “a mayor

representación aparente le corresponde menor base

y viceversa”

Ejemplo:

“ley de los signos"

1) Si: (x) (y)UNJBG CEPU

Como: UNJBG CEPU

Se cumple: x y

2) Sea:

" "

( 1)( 1)............( 1)( 1)n cifras

k k k k (k) = 1nk

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

En General:

1 2 3 1 , , , ... , , n na a a a a

r

r

r

Se deduce que:

I. RAZÓN (r): Es la diferencia de dos términos

consecutivos de la progresión aritmética.

1k kr a a

II. TÉRMINO ENÉSIMO ( na ): La siguiente

fórmula se utiliza para hallar un término

cualquiera de la progresión.

1 ( 1)na a n r

"n" es el lugar que ocupa el término que se quiere

calcular. III. NÚMERO DE TÉRMINOS (n)

Donde:

: término de lugar n

: primer término

: valor de la razón

1 1na anr

na1a

r

PAGINACIÓN

Al imprimir un libro, periódico, etc. antiguamente se utilizaba en la tipografía por cada letra o

símbolo un tipo de imprenta.

Para un libro de "P" páginas el número de cifras o tipos de imprenta utilizado es :

" "

( 1) 111...111n veces

N de cifras P n

n Número de cifras de "P"

CUATRO OPERACIONES PROPIEDAD:

Si a > c y además:

( )

( )

n

n

abc

cba

( )nxyz

Se cumple que :Se cumple que :

1x z y n

1a c x


4

COMPLEMENTO ARITMÉTICO

Sea N un numeral de k cifras de la base B

( )

1000...000B Bk cifras B

CA N N

DIVISION

Dados dos números naturales a y b ( 0b ) , se

define división (Operación inversa a la multiplicación) de a entre b

y se denota ab si existe un c tal que: a b c .

Ahora si c no es entero, debe existir un r < b tal

que a b c r

I. DIVISIÓN ENTERA EXACTA:

D d

c0

D d c

Dividendo

divisor

cociente

II. DIVISIÓN ENTERA INEXACTA:

II.1) Por defecto:

D d

cr

D d c r

Dividendo

divisor

Cociente

Por defecto

residuo

II.2) Por exceso

D d

c+1r

( 1)D d c r

Dividendo

divisor

Cociente

por exceso

Residuo

por exceso

PROPIEDADES

1. El residuo de una división entera es siempre menor que

el divisor.

Residuo < Divisor

Como consecuencia:

Residuo máximo = divisor 1 Residuo mínimo = 1

2. La suma del residuo por defecto y el residuo por exceso de una división entera es igual al divisor.

r r d

3. Los cocientes por defecto y por exceso de una división son dos números consecutivos.



DIVISIBILIDAD


1


01. Halle el valor de " "b si:

5o

abca

9o

cabc

7o

bcab

A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

02. Si el numeral 2 22 222 2222 ...a a a a a Tiene 90 cifras y es divisible por 9, hallar el mayor valor de “ a ”. A) 3 B) 6 C) 2 D) 4 E) 8

03. ¿Cuántos números de cuatro cifras son 7o

y terminan en cifra 1? A) 128 B) 129 C) 130 D ) 131 E) 132 04. De los 4350 primeros números naturales, cuántos son divisibles entre 29 pero no entre 3? A) 60 B) 85 C) 88 D) 100 E) 120

05. En: 3 56 ; 4 56 ; 5 56 ; ...; 2000 56

¿Cuantos de sus términos no son 9o

? A) 1775 B) 1776 C) 1777 D) 1778 E) 1779 06. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes existen, tales que sean iguales a 7 veces la suma de sus tres cifras? A) 0 B) 1 C) 3 D) 4 E) 6 07. ¿Cuántos números de 6 cifras que empiezan con 2 y terminan en esta misma cifra, son múltiplos de 3, 7 y 11 simultáneamente? A) 39 B) 43 C) 47 D) 48 E) 51

08. Si: 4 23 8o

abc , ¿Cuál será el residuo

de dividir 4abc entre 23? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

09. Calcule: abd e . Si:

9o

abccde ,

(9 )(9 ) 99o

ab c c de

51ab de

A) 63 B) 64 C) 65 D) 66 E) 67

10. Sabiendo que n N y además 5o

x Calcular el residuo de dividir E entre 5, si:

100 200 300 12004 9 144n n n nE x x x x A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

11. Si: 1N ab ba es múltiplo de 44 entonces la cantidad de números de cuatro cifras que son múltiplos de ( 5b ) pero no

múltiplos de 2a es:

A) 1245 B) 1250 C) 1252 D) 1255 E) 1260

12. Si: (9) (9) (9)1 2 8o

n n n n

,Determine la suma de todos los posibles valores que puede tomar “ n ”. A) 15 B) 17 C) 18 D) 16 E) 19 13. En el sistema de base siete la cifra de las

unidades del número 251459 es:

A) 3 B) 1 C) 2 D) 4 E) 0


2

14. Calcular el resto que se obtiene al dividir N entre 5 el número:

2017(4)20177

PROFEUNTN A) 5 B) 2 C) 1 D) 4 E) 3 15. Luis vive en un país donde solo hay billetes de 12, 17 y 29 unidades. Si un día Luis compra en una tienda un televisor que vale 422 unidades monetarias, pagando su valor exacto con 25 billetes. ¿Cuántos billetes de 12 unidades uso en el pago,, si el número de billetes de cada denominación es mayor que 1? A) 10 B) 12 C) 13 D) 15 E) 16 16. Si:

4O

xy

6 5 10Oxy yx

yx x y x

Hallar el máximo valor de: “ x y ”

A) 11 B) 7 C) 3 D) 4 E) 5 17. Si:

175 34o

aabcd

(8) 13 5o

bcaadd

Calcular: " "a b c d A) 12 B) 13 C) 15 D) 16 E) 17

18. Hallar el residuo de dividir “ S ” entre 7: 1031321 5555 S

A) 1 B) 6 C) 3 D) 4 E) 5

DIVISIBILIDAD

I. NÚMEROS DIVISIBLES:

Dos números enteros a y b son divisibles si:

a0

; c enterobc

.a b c

En la cual diremos que "a" es múltiplo de "b" y lo

denotaremos: o

a b

También se utilizan la notación:

.a b k k Z

Nota:

012 12.k

entero12 ; 24 ; 36 ;....

0 ; 12 ; 24 ;....

II. NÚMEROS NO DIVISIBLES: a y b no son

divisibles si la división de a por b es inexacta.

37

2

75

0 037 7 2 7 5

2 5

residuo por defectoresiduo por exceso

III. OPERACIONES CON MULTIPLOS

1.

0 0 0n n n

2.

0 0 0n n n

3.

0 0 0.n n n

4.

0 0k

n n

5.

0 0 0( ).( ) .n a n b n a b

IV. BINOMIO DE NEWTON APLICADO A

LA DIBISILIDAD

1.

0 0kkn a n a

00

0

k k

k

n an a

n a

par

impar2.

V. TEOREMA DE ARQUIMIDES:

Sea:

0.a b n , si a y n no tienen divisores

comunes, excepto la unidad (primos entre sí)

entonces:

0b n

VI. PROPIEDAD ESPECIAL:

N

0x r0y r0z r

0

( , , )N MCM x y z r


3

VII. ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL: Es una

ecuación algebraica cuyas variables son enteras:

Ax By C

VIII. RESTOS POTENCIALES: Son los diversos

residuos que se obtienen al dividir las diferentes potencias de una misma base entre un cierto

número llamado módulo. Ejemplo: Calcule los restos potenciales de 10,

respecto al módulo 7.

10 7 1o o

gaussiano

Se observa que existen 6 restos

diferentes (1; 3; 2; 6; 4; 5)

A dicha cantidad de restos

diferentes se le llama

“GAUSSIANO”

0

1

2

3

4

5

6

10 7 1

10 7 3

10 7 2

10 7 6

10 7 4

10 7 5

10 7 1

o

o

o

o

o

o

o

6gaussiano

IX. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Son ciertas reglas prácticas que aplicados a las

cifras de un numeral permiten determinar su divisibilidad respecto a un cierto número.

PRINCIPALES CRITERIOS:

1. Divisibilidad por 2: 2 2o o

abcd d


abcd cd


abcd bcd

4. Divisibilidad por 3:

3 3o o

abcd a b c d


9 9o o

abcd a b c d


5 0 5o

abcde e e


25 25o o

abcde de


11 11o o

abc d e a b c d e


2 3 1 2 3 1 7

2 3 2 3 7

o

o

a b c d e k

a b c d e k


1 4 3 1 4 3 1 13

4 3 4 13

o

o

a b c d e n m

a b c d e n m


1 (10) 1 (10) 133 10 10 33

o oa b c d e a b c d e


1 (10) 1 (10) 199 10 10 99

o oa b c d e a b c d e

X. PROPIEDAD ESPECIAL:

( )nabcde

on e

2( )

o

nn de

3( )

o

nn cde

4( )

o

nn bcde



NUMEROS PRIMOS – MCD Y MCM


1


01. Cuantos divisores tiene N , si N es la

cantidad de divisores de 800000 A) 8 B) 9 C) 36 D) 54 E) 60

02. Si los números nA 30.24 y

3234 3.2 nnB tienen la misma

cantidad de divisores, el valor de “ n ” es: A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7 03. ¿Cuántos números naturales de tres cifras existen tales que tengan 6 divisores enteros?

A) 5 B) 7 C) 9 D) 12 E) 15

04. Si: a y b son números naturales,

calcule un número primo P tal que: 2 29P a b y además ( 2 )a b es el

menor número de dos cifras. Dar como

respuesta la suma de cifras de P . A) 3 B) 7 C) 5 D) 6 E) 4 05. si un número entero se divide entre 9, su cantidad de divisores disminuye en ocho. ¿Cómo variara el número de divisores si se multiplica por 27? A) Disminuye en 3 B) Aumenta en 9 C) Aumenta en 12 D) Aumenta en 18 E) Disminuye en 6

06. Calcular “ n ”, si: 175.245nN tiene 28 divisores que no son múltiplos de 35. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 07. La diferencia de 2 números es 44 y la diferencia entre su MCM y su MCD es 500. ¿Cuál de los siguientes números es uno de ellos?

A) 24 B) 72 C) 48 D) 73 E) 80

08. Calcular “ n ”, si:

6305

9;107;

521

xxxMCM.

A) 40 B) 50 C) 35 D) 60 E) 70 09. Si:

1116)5)(5)(1(; cbaabcMCM

Calcule acb

A) 4 B) 3 C) 6 D) 1 E) 2

10. Si: 12096;63 BAMCM

10413;91 BAMCD

Calcular el menor valor posible de: (A+B) A) 86 B) 87 C) 88 D) 89 E) 85 11. Si:

600

222...222cifras

A (3)

200

888...888cifras

B (9)

Calcular el ;MCD A B en base 81, dar

como respuesta la suma de sus cifras. A) 4000 B) 3200 C) 2400

D) 15081 1 E)

10081 1

12. Si:

9; baabMCD y 30; bcacMCD

Calcular el MCM de bayab

A) 252 B) 235 C) 234 D) 945 E) 360

13. Halle “ n ” si al numero n7 le preceden

14406 primos con el. A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 8


2

14. Si la descomposición canónica de N es

( 1)( ) 1 4b ab a aa a b b y tiene 571

divisores compuestos, entonces “ a b ” es: A) 10 B) 7 C) 9

D) 12 E) 15

15. Si: 48 64 27m nN tienen 136

divisores más que el número 51 7x y , el cual

es divisible por 77. Halle " "m n A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

16. Al calcular el M C D de los números

2a b y 6cd por el método del algoritmo de Euclides, se obtuvieron por cocientes 2; 3; 1 y

5. Calcule " "a b c d A) 17 B) 18 C) 19 D) 21 E) 20

17. Sabiendo que 25 26 27 ... 124N

tiene " "n divisores. ¿Cuántos divisores

tendrá Sabiendo que 125N ?

A) 28

25n B) 27

25n C) 2527

n

D) 2725

n E)

2825

n

18. Si: 3 4 4; 8

2 3n nMCD

.

Calcular cuántos pares de números existen

tal que su MCM sea “n”, sabiendo que “n” es el menor número entero positivo posible. A) 6 B) 5 C) 2 D) 7 E) 8

NUMEROS PRIMOS

1. NÚMERO PRIMO: Es aquel número entero

positivo que posee sólo dos divisores: la unidad y

el mismo número. Ejemplo:

3 es un número primo debido a que tiene sólo dos

divisores: 1 y 3. Son números primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; ......

2. NÚMERO COMPUESTO: Es aquel número

entero positivo que tiene más de dos divisores. Ejemplo:

6 es un número compuesto debido a que tiene más

de dos divisores: 1 , 2 , 3 y 6. 3. NÚMERO SIMPLE: Es aquel número entero

positivo que no tiene más de dos divisores. 4. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI): Son

aquellos que tienen como único divisor común a la

unidad. A dichos números, también se les llama primos relativos o coprimos.

5. DIVISOR PROPIO: Son todos los divisores de

N, menores que N. Ejemplo: Los divisores propios de 12 son: 1, 2, 3, 4

y 6.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA

ARITMÉTICA:

Todo número entero positivo se puede

descomponer como el producto de potencias de sus factores primos, esta descomposición es única

y se conoce como descomposición canónica.

Ejemplo:

Descomponer canónicamente el número: 360.

3 2

360 2 2 2 3 3 5

360 2 3 5descomposicion canonica

36018090451551

222335

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN

NÚMERO

Sea N a b c una descomposición canónica.

1. Cantidad de Divisores de un Número:

( ) ( 1)( 1)( 1)NCD

2. Cantidad de Divisores compuestos de un Número:

(compuestos) (N) ( ) 1primosCD CD CD

3. Suma de los Divisores de un Número:

1 1 1

( )1 1 1

1 1 1Na b cSD

a b c

4. Producto de los Divisores de un Número:

( )( )

NCDNPD N

INDICADOR DE UN NÚMERO

(FUNCION DE EULER)

Sea N a b c una descomposición canónica.

La cantidad de números menores o iguales que N

y PESI con N se puede calcular utilizando la expresión:

1 1 1( ) 1 1 1N a a b b c c

TEOREMAS ADICIONALES


3

TEOREMA DE WILSON: Si p es un número primo.

( 1)! 1o

p p

Ejemplo:

(5 1)! 5 1o

TEOREMA DE EULER: Si a y b son PESI:

( ) 1o

pa p

Ejemplo: Sea a = 3 y p = 8. Se cumple:

(8)

4

3 8 1

3 8 1

o

o

TEOREMA DE FERMAT: Si a y p son PESI y p es

un

número primo.

1 1o

pa p

Ejemplo: Sea a = 4 y p = 3 se cumple:

3 1

2

4 3 1

4 3 1

o

o

MCM - MCD INTRODUCCIÓN

Al considerar el conjunto de los enteros positivos, una de las partes de la Teoría de Números, es el

cálculo del M.C.D. y el M.C.M. de varios

números. Se sabe que ya antes de nuestra era, Euclides

aportaba (en su obra Elementos) el algoritmo de la

división que nos da la obtención del M.C.D.

NOCIONES PRELIMINARES

I. DIVISOR COMÚN: Se llama divisor común de

un conjunto de números enteros, a aquel número entero positivo que se encuentra contenido en

todos ellos una cantidad entera y exacta de veces.

Ejemplo:

Los divisores de 12 ; 18 y 30 son: D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

D(18) = {1; 2; 3; 6 ; 9; 18}

D(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Como Ud. observará los divisores comunes son:

1; 2; 3 y 6.

Entonces llamaremos Máximo Común Divisor al

mayor de los divisores comunes. En consecuencia

el M.C.D. (12; 18; 30) = 6 MCD : El Máximo Común Divisor de dos o más

números enteros (por lo menos uno distinto de cero) cumple dos condiciones.

I) Es un divisor común positivo.

II) Es el mayor posible Ejemplos:

M.C.D ( 8 ; 12) = 4

II. MÚLTIPLO COMÚN: Es aquel entero que

contiene a otro un número entero y exacto de veces.

Ejemplo:

Los múltiplos positivos de 6 y 9 son:

6o

={6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; …}

9o

={ 9 ; 18 ; 74 ; 36 ; 45 ; …}

Los múltiplos comunes a 6 y 9 son:

{ 18; 36; 54; ....}

Entonces se llama Mínimo Común Múltiplo al

menor de los múltiplos comunes positivos. En consecuencia el M.C.M (6 ; 9) = 18

MÉTODOS PARA CALCULAR EL M.C.D. Y

M.C.M.

1. Por descomposición simultánea

Se colocan los números uno a la derecha del otro y

luego se traza una línea vertical, comenzando a extraer los factores primos comunes, cuando los

números no contengan factores comunes, o sea,

sean P.E.S.I. el producto de dichos factores

comunes será el M.C.D. Para el M.C.M. se sigue extrayendo los factores no comunes hasta que

quede la unidad y el producto de los factores

primos comunes y no comunes será el M.C.M. 2. Por descomposición canónica:

El M.C.D. de varios números viene a ser el

producto de los factores primos comunes elevados a su menor exponente; mientras que el M.C.M.

viene a ser el producto de los factores primos

comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.

3. Por divisiones sucesivas (Algoritmo de Euclides)

Fundamento Teórico: En toda división inexacta el

M.C.D. del dividendo y el divisor es

numéricamente igual al M.C.D. del divisor y el

residuo que origina esta división: Procedimiento:

Dados dos enteros A y B con A > B

BA1q 2q 3q

1r 2r

1r 2r 3r

1nq nq1nr 2nr

01nr

cocientesMCDresiduos

PROPIEDADES DEL M.C.D Y M.C.M

1. Si A y B son P.E.S.I. ( ; ) 1MCD A B

2. ( ; ) ( ; ) .MCD A B MCM A B A B

3. Sean los números 1pN n y 1qM n

entonces se cumple: ( ; )( ; ) 1MCD p qMCD N M n

4. Si a varios números los dividimos entre su M.C.D. los cocientes obtenidos serán P.E.S.I.

5. Si un conjunto de enteros se reemplazan dos o más de ellos por su M.C.D. o su M.C.M. entonces


4

el M.C.D. o el M.C.M. del conjunto de dichos

enteros no se altera.

6. Si un número es múltiplo de otros, será múltiplo del M.C.M. de aquellos números.

7. Si el ( ; )MCD A B n y ( ; )MCM A B m

entonces se cumple:

( ; )k k kMCD A B n

( ; )k k kMCM A B m

8. Si a varios números los multiplicamos o dividimos por un mismo número entero, el M.C.D. y el M.C.M. de ellos quedarán

multiplicados o divididos por dicho entero.



FRACCIONES, RAZONES PROPORCIONES

Y PROMEDIOS


1


01. Halle la fracción de menores términos

que sea equivalente a 447

1192 tal que la suma

de sus términos sea 9o

y la diferencia de los

mismos sea 55o

. Dé como respuesta el denominador. A) 372 B) 432 C) 496 D ) 792 E) 649

02. Dos números están en la razón ab ,

sabiendo que ab genera un número decimal

periódico puro con 2 cifras en el periodo y que 16a b . Halle la suma de dichos números si se sabe que su diferencia es 180. A) 1560 B ) 480 C) 1430 D) 1200 E) 2000 03. La fracción propia reductible

( 1)( 1)61 4 2

3

p ppp p p

genera n cifras en el

periodo y m cifras no periódicas. Calcular: n m A) 8 B) 2 C) 5 D ) 6 E) 9

04. Si la fracción Nab

origina un decimal

periódico puro de la forma: 0.( 2)( 1)b b b , entonces el valor de: N a b es:

A) 20 B) 29 C) 30 D) 31 E) 35 05. En una proporción geométrica de números naturales, el producto de los antecedentes es 116 y el producto de los consecuentes es 464. El mayor valor que puede tomar la suma de los términos de la proporción es: A) 351 B) 225 C) 275 D) 315 E) 153 06. En una proporción geométrica continua se cumple que la diferencia de los extremos

es 245 de la media proporcional, entonces la

razón de la proporción es (razón >1): A) 8 B) 9 C) 7 D) 6 E) 5

07. Si: 31 2

1 2 3

0,5n

n

a aa ab b b b

Calcular “ n ” en la expresión siguiente: 32

31 2

1 2 3

2046n

n

n

b bb ba a a a

A) 10 B) 9 C) 11 D) 12 E) 13 08. La razón armónica de los enteros

positivos a y b es 67

y la razón aritmética

entre ella es 6. La media aritmética de a y b es:

A) 12

B) 1 C) 32

D) 4 E) 72

09. El producto de la MA, MG y MH de dos

números es 32 10 y la mayor diferencia

entre dos de las medias es 9. Calcule la diferencia de los números.

A) 35 B) 40 C) 45

D) 30 E) 25 10. A un grupo de 40 números, cuyo promedio aritmético es 84, se le suprimen los 5 primeros y los 5 últimos números, y a los restantes se le disminuye en 2 unidades cada uno. Calcule el promedio aritmético de los números que quedan si el promedio aritmético de los números suprimidos es 27. A) 87 B) 101 C) 97 D) 103 E) 100 11. De una muestra de n personas, el promedio de las edades de los casados es m años, de los solteros es u y el promedio de las edades de todas las personas es t años. ¿Cuántas personas son solteras?


2

A) ( )n t mu m

B)

( )n u mt m

C) ( )mu t m

u m

D)

( )nu t mu m

E) ( )nu t n

u m

12. Una vendedora de frutas compra manzanas a razón de 6 manzanas por S/.7, luego vende los 3/5 del número de manzanas que compró a razón de 3 por S/.5 y lo demás a razón de 4 por S/.7. ¿Cuántas manzanas compró si su utilidad fue de S/.832? A) 1100 B) 800 C) 900 D) 1000 E) 1560 13. ¿Cuántas cifras tiene la parte no periódica de la siguiente fracción?

80031! 21!

F

A) 17 B) 18 C) 15 D) 13 E) 5 14. Halle la última cifra del desarrollo decimal de

79 51

353

3 1 4 15

N

A) 6 B) 7 C) 9 D) 8 E) 3 15. Se tiene 2 toneles de distinto tamaño, cuyos contenidos están en la relación 25/11. Se pasa del primer tonel al segundo tantos litros como hay en este último y luego se hace la misma operación hacia el otro tonel y así sucesivamente hasta que el tonel más pequeño queda con 160 litros. Calcule con cuántos litros quedaron en el otro tonel. A) 100 B) 240 C) 180 D) 200 E) 310 16. En la serie:

2 2

2

a a b b kb a b c c

Dónde: , , a b c y k Z y 60a b

Calcule: " "c k A) 1 B) 7 C) 3 D) 4 E) 5

17. La MG , de ab y mn es12 b . Si al primer

número se le disminuye en 9 unidades y al otro se le aumenta en 8 unidades, entonces la

nueva MG será 12 1b . Halle la MA de

ab y mn , sabiendo que a b m n .

Además n y b son diferentes de cero.

A) 41 B) 31 C) 30,5 D) 52,5 E) 22 18. Si la fracción irreductible:

( 7)( 2)

c a aca a

origina un decimal de la forma

0,abca

Calcular: a b c . A) 10 B) 14 C) 18 D) 20 E) 25

FRACCIONES

NÚMERO RACIONAL

Es aquel número que puede expresarse como: ab

Donde * a Z b Z

El conjunto de los números racionales se denota con la letra Q.

* */ ; 0aQ a Z b Z Z Zb

Ejemplos:

4 7 18 0 24 ; ; ; ; ; ...3 4 6 8 15

NÚMERO FRACCIONARIO

Es aquel número racional que no es entero. Ejemplos:

2 4 1 29 87 ; ; ; ; ; ...5 3 7 3 13

FRACCIÓN

Una fracción es un número fraccionario de términos

positivos. Ejemplos:

2 7 6 19 43 ; ; ; ; ; ...5 9 12 3 169

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES

Sea la fracción ( 0)af bb

I. Por la comparación de sus términos:

a) Propia: af a bb

b) Impropia: af a bb

II. Por grupos de fracciones:

a) Homogéneas: Cuando todas las fracciones de un


3

grupo tienen el mismo denominador.

5 9 11 ; ; 7 7 7

b) Heterogéneas: Cuando todas las fracciones de un

grupo no tienen el mismo denominador

5 7 3 ; ; 8 7 11

III. Por los divisores comunes de sus términos:

a) Reductibles:

af es reductible a y b no son PESIb

b) Irreductible:

af es irreductible a y b son PESIb

FRACCIONES EQUIVALENTES

Son aquellas fracciones que tienen el mismo valor; por ejemplo:

1 402 80

NOTA: Sea ab

una fracción irreductible, para hallar

una equivalente bastara multiplicar por un entero a ambos términos. NÚMEROS DECIMALES

Números decimales es la expresión en forma lineal de

una fracción, que se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de una fracción irreductible. CLASES DE NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales se clasifican en 2 grandes grupos: Números decimales limitados o exactos, e ilimitados o inexactos.

Numero

decimal

Dec. Exacto

Dec. Inexacto

Periódico puro

Periódico mixto

a) Decimal Exacto

Si el número tiene una cantidad limitada de cifras decimales.

Ejemplos:

1) 0,28 2) 1,375 3) 0,225

Origen: Una fracción irreductible dará origen a un

decimal exacto cuando el denominador esté conformado por sólo factores 2, factores 5 o ambos. Obs.: El número de cifras decimales de un decimal

exacto estará dado por el mayor exponente de 2 ó 5 que tenga el denomina-dor de la fracción irreductible. Conversión de decimal exacto a fracción: Fracción Generatriz

La fracción generatriz de un decimal exacto será igual al número formado por las cifras decimales, dividida entre la unidad, seguida de tantos ceros como cifras

decimales tenga el número decimal. Ejemplo:

0,10000abcdabcd

b) Decimal Inexacto Son números decimales inexactos aquellos que tienen una cantidad de cifras decimales ilimitada. b.1 D. I. Periódico Puro: Se dice que es Periódico Puro

cuando la parte decimal consta de una cifra o un grupo de cifras que se repetirá indefinidamente (a estas cifras que se repiten se les denomina periodo) y se las indica con un arco encima. Origen: Una fracción irreductible originará un decimal

Periódico Puro cuando el denominador sea diferente de un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5.

Ejemplos

1) 0,666... 2) 0,454545... 3) 1,296296...

Obs. El número de cifras del periodo está dado por la cantidad de cifras del menor número formado por cifras 9 que contengan exactamente al denominador de la fracción generatriz. Descomposición Canónica de los números de cifras 9

Para un fácil manejo del cálculo del número de cifras

de un decimal periódico puro, es recomendable

recordar la siguiente tabla de nueves:

2

2

3

2

2

3

9 3 99 3 .11 999 3 .37 9999 3 .11.10199999 3 .41.271999999 3 .7.11.13.37

Conversión de D.I. Periódico Puro a fracción:

Fracción Generatriz

La fracción generatriz de un D.I. Periódico Puro está

dado por el número formado por las cifras del periodo, dividido entre tantos nueves como cifras tenga el periodo.

0,999abcabc

b.2. D. I. Periodo Mixto: Una expresión decimal es periódica mixta cuando después de la coma decimal el

periodo se inicia después de una cifra o grupos de cifras. Al grupo inicial anterior al periodo se le llama parte no periódica. Origen: Una fracción irreductible dará origen a un

decimal inexacto periódico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, algún otro factor necesariamente diferente:

Obs. La cantidad de cifras no periódicas del decimal inexacto periódico mixto está dado por la regla para el número de cifras decimales de un decimal exacto, y el número de cifras del periodo está dado por la regla del número de cifras de un D.I. Periódico Puro. Conversión de un D.I. Periódico Mixto a fracción:

Fracción Generatriz

La fracción generatriz de un D.I.P. Mixto estará dado por el número formado por la parte no periódica, seguida de la parte periódica, menos la parte no


4

periódica, todo entre el número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tengan la parte no periódica.

2954 29 2925 130,2 9 5 49900 9900 14

2 nueves

2 ceros

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN:

Es la comparación que existe entre dos cantidades de una magnitud, mediante las operaciones de sustracción y división. RAZÓN ARTIMÉTICA: Ejemplo:

Dos toneles contienen 20 litros y 15 litros

respectivamente, al comparar sus volúmenes.

15 l20 l 5 l

antecedente

consecuente

valor de la razón

RAZÓN GEOMÉTRICA:

Ejemplo: Se comparan dos terrenos, cuyas superficies

son: 80m2 y 48m2 y así obtenemos:

antecedente

consecuente

2

2

80 5 = 48 3

mm

valor de la razón

Razón geométrica

PROPORCIÓN

Es la igualdad de dos razones de una misma especie. PROPORCIÓN ARITMÉTICA

ba dc

Términos extremos

Términos medios

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA:

Términos extremos = a cb d

:a d

Términos medios :b c

NOTA:

"Cuando los medios son diferentes, la proporción se llama discreta, pero cuando los medios son iguales se llama

continua"

Proporción aritmética

a b c d a b b c

4ta proporcional:d media proporcional:b3ra proporcional:c

Proporción Geométrica

a cb d

4ta proporcional:d media proporcional:b3ra proporcional:c

a bb c

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS

EQUIVALENTES Sean:

31 2

1 2 3

n

n

a aa a kb b b b

Se cumplen las siguientes propiedades:

I. 1 2 3

1 2 3

......

n

n

a a a a kb b b b

II. 1 2 3

1 2 3

......

nn

n

a a a a kb b b b

III. 1 2 3

1 2 3

......

m m m mmn

m m m mn

a a a a kb b b b

Obs: Donde "n" nos indica el número de razones.

PROMEDIOS

1. Promedio Aritmético o Media Aritmética (M.A.)

1 2 3 ... na a a aMAn

2. Promedio Geométrico o Media Geométrica (M.G.)

1 2 3 ...nnMG a a a a

3. Promedio Armónico o Media Armónica (M.H.)

1 2 3

1 1 1 1...n

nMH

a a a a

PARA DOS CANTIDADES a y b

2a bMA

MG ab 2abMHa b

PROPIEDADES

1. Para "n" cantidades se cumple:

MH MG MA

2. Para dos cantidades a y b se cumple:

2( , ) ( , ) ( , )MA a b MH a b MG a b

PROMEDIO PONDERADO (P. P.)

Es un caso particular del promedio aritmético, donde una o más cantidades se repiten dos o más veces. Aplicación: El número de créditos indica las veces que se repite

cada nota. Entonces el promedio ponderado es:

Cursos N° de créditos Notas Matemática I 6 12

Química I 4 14

Física I 3 15

Geomecánica 2 13

Determine su promedio. Resolución:

El número de créditos indica las veces que:

6.12 4.14 3.15 2.13 13,2666...6 4 3 2

PP

En general:

Datos: 1 2 3; ; ; ; na a a a

Pesos: 1 2 3; ; ; ; np p p p

El Promedio Ponderado (P.P.) es:

1 1 2 2 3 3

1 2 3

......

n n

n

a p a p a p a pPPp p p p

NOTA: Cuando no nos mencionen qué tipo de

promedio se ha tomado y sólo se diga promedio de ..............,consideraremos al Promedio Aritmético.



MAGNITUDES PROPORCIONALES

REGLA DE TRES Y PORCENTAJES


1


01. La eficiencia de un obrero es DP a los años de experiencia e IP a la raíz cuadrada de su edad. Si a los 25 años con 1 año de experiencia hacia una obra en “n” horas. ¿Cuánto tiempo menos demorara ahora que tiene 36 años y trabaja continuamente en la misma actividad?

A) 910

n B)

320n

C) 10n

D) 1110

n E)

85n

02. La presión (P) del viento sobre las alas de un ave varia proporcionalmente con el área de las alas (Área = A) y con el cuadrado de la velocidad (V) del viento. La presión sobre un área de un pie cuadrado es de una libra cuando la velocidad es 16 millas/h. Determinar la velocidad del viento en millas/h, cuando la presión sobre una yarda cuadrada es de 36 libras. (1 yarda= 3 ft) A) 10 B) 12 C) 64 D) 40 E) 32 03. El siguiente cuadro muestra los valores de las magnitudes A y B que guardan cierta relación de proporcionalidad.

Valores de la magnitud A

2 x 8 98

Valores de la magnitud B

3 24 y 21

Calcular x y

A) 124 B) 134 C) 128 D) 160 E) 192 04. 8 costureras pueden entregar un pedido en 20 días. Si después de 5 días de trabajo se retiran 3 costureras. Con cuantos días de retraso se entregara el pedido. A) 10 B) 8 C) 12 D) 6 E) 9 05. Cuarenta obreros pueden culminar una obra en 60 días trabajando 4h/d. Luego de 10 días, ocho de ellos renuncian, por lo que

se decide trabajar 5h/d, sin embargo, luego de 20 días más se decide terminar la obra 15 días antes del plazo establecido. ¿Cuántos obreros se deben incorporar, si trabajan todos 8h/d? A) 1 B) 2 C) 8 D) 4 E) 5 06. Una obra se empezó con “n” obreros y a partir del segundo día se fue despidiendo un obrero cada día, hasta que no quedo ningún obrero, pero se terminó la obra. Determinar en cuantos días se realizó el trabajo, si en el primer día se hizo la novena parte de toda la obra. A) 17 B) 16 C) 15 D) 19 E) 18 07. Al tostar café se pierde el 20% de su peso, Un tendero vende café tostado a S/. 46 el kg ganando el 15% sobre el precio de costo, ¿a qué precio en soles se ha comprado el kg de café sin tostar? A) 30 B) 32 C) 40 D) 48 E) 50 08. Un comerciante compra una artículo en S/. 1600. ¿Qué precio debe fijar para su venta, para que al hacer un descuento del 20% aun obtenga una ganancia del 15%? A) 2200 B) 2300 C) 2400 D) 9100 E) 2600 09. En un teatro que tiene capacidad para 200 personas, cierto día a media función

ingreso una cantidad de personas pagando 50% menos y quedo completamente lleno, pero se afectó la recaudación en un 20%, al otro día cuando se inició la función solo había 5/6 de la cantidad inicial del día anterior y a media función, se rebajaron las entradas en un 60%. Calcule el mínimo porcentaje en que se afectaría la recaudación de este día.

A) 50% B) 20% C) 30% D) 60% E) 40% 10. Se vende una joya en determinadas

condiciones de proporcionalidad, de donde se tiene que:

Para un peso de 19 g su precio es de


2

S/. 2 527 Para un peso de 23 g su precio es de

S/. 3 703 Calcule el precio para un peso de 30 g. A ) 4 703 B) 6 300 C) 4 979

D ) 5 936 E) 6 703 11. Un grupo de obreros en 12 días han avanzado los 2/5 de una obra, si a partir de ese momento trabajan 5 obreros menos por lo que la obra se culmina con 2 días de retraso. ¿Cuántos obreros trabajaban inicialmente? A) 50 B) 32 C) 40 D) 36 E) 45 12. En el último examen de admisión a la UNI, se observó que de N postulantes, el 20% eran hombres y de éstos el 3 por 10 trabajan, pero se observa que de éstos últimos al 2 por 5 les gusta Aritmética. Calcule N, si se sabe que hay 36 hombres que trabajan pero no les gusta Aritmética. A) 1600 B) 1500 C) 1000 D) 2 400 E) 2 500 13. El gráfico adjunto muestra las relaciones de proporcionalidad de dos magnitudes A y B.

OO

AA

BB

PP

RR

QQ

c

b

12

6e a 2a 3a d

( ; 2)d c

SS

Si el área del triángulo rectángulo

sombreado es 80 2u , calcule

a b c d e . A) 129 B) 84 C) 80 D) 134 E) 64 14. Nueve personas deciden ir de campamento y llevar víveres para 8 días. Si

antes de partir 3 personas deciden también ir de campamento pero no tienen víveres.

¿Para cuantos días menos alcanzarían los víveres si las 3 personas van al campamento? A) 6 B) 3 C) 4 D) 5 E) 2 15. Una persona compra 200 maletas y las

vende ganando 10%. Con el importe de la venta compra 80 lámparas y las vende ganando el 10%. Con el importe de esta última venta compra 2 464 corbatas al precio de S/. 198 las seis docenas. Calcule cuánto cuesta cada maleta. A) 23 B) 28 C ) 40 D) 27 E) 22 16. El alcance que tiene un proyectil al ser lanzado es D.P. a la fuerza de lanzamiento, I.P a la resistencia del medio en el cual fue lanzado y a su vez, I.P. al tamaño del proyectil. Si dos cuerpos A y B se lanzan desde dos armas cuyas fuerzas de lanzamiento están en la relación de 5 a 3, siendo el tamaño del segundo proyectil 2 veces más que el primero y el medio en el que fue lanzado el primer proyectil ofrece 3 veces más la resistencia del medio del segundo proyectil, calcule la relación de los alcances de ambos proyectiles. A) 2/5 B) 3/4 C) 4/3 D) 5/3 E) 5/4 17. Un ejército de 200 soldados, tiene víveres para 40 días a razón de 3 raciones diarias. Pero al cabo de 20 días reciben 40 soldados con víveres para 30 días a razón de 40 raciones diarias. Si se juntan los víveres y consumen a razón de 2 raciones diarias, calcule para cuantos días alcanzaran los víveres. A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50 18. ¿Qué precio debe fijarse a un artículo que costó S/. 4 sabiendo que se va a hacer una rebaja del a % de dicho precio y aun así se gana el a % del precio costo, sabiendo además que el precio fijado es un número

entero y 16 25a ? A ) 5 B) 7 C) 6 D ) 8 E ) 9


3

MAGNITUDES

PROPORCIONALES

MAGNITUD

Propiedad de la materia o de un fenómeno físico o

químico suceptible de variación, es decir puede

aumentar o disminuir. MAGNITUDES DIRECTAMENTE

PROPORCIONALES

Suponga que dos magnitudes están relacionadas

de modo que al duplicar el valor de una de ellas, el valor de la otra también se duplica; al triplicar la

primera, la segunda también queda multiplicada

por tres, etc. Siempre que sucede esto, decimos que existe entre ambas magnitudes, una relación de

proporción directa.

Valor de AA DP BValor de B

Constante

MAGNITUDES INVERSAMENTE

PROPORCIONALES

A IP B Valor de A Valor de B Constante

REGLA DE TRES

INTRODUCCIÓN

Una de las aplicaciones de proporcionalidad más antigua es la Regla de Tres que resulta al comparar

dos o más magnitudes.

Cuando cuatro cantidades forman una proporción y una de ellas es desconocida, la operación que

tiene por objeto determinar esta incógnita en

función de las cantidades conocidas lleva el

nombre de Regla de Tres Simple. REGLA DE TRES SIMPLE

Es cuando se comparan dos magnitudes proporcionales. Pueden ser directas o inversas. 1. Directa: Cuando las magnitudes comparadas son

directamente proporcionales.

Esquema:

a xb c

1ra magnitud 2da magnitud

Si son magnitudes directamente proporcionales se

cumple:

.a x a cxb c b

2. Inversa: Cuando las magnitudes comparadas son

Inversamente proporcionales: Esquema:

a bx c

1ra magnitud 2da magnitud

Si son magnitudes inversamente proporcionales se cumple :

.. . a ba b x c xc

REGLA DE TRES COMPUESTA

Es cuando se comparan más de dos magnitudes es

decir al menos 3 magnitudes (6 valores

correspondientes) Método de las proporciones:

I. Trasladar la información a la hoja de cálculo.

II. Se ubica la magnitud de la incógnita, la cual se

compara con c/u de las otras magnitudes (deberá

considerar que las otras magnitudes que no

intervienen permanecen constantes) III. En caso que la comparación determine que las

magnitudes son DP, cambie la posición de los

valores, escribiéndolos como una fracción. IV. En caso que la comparación determine que las

magnitudes son IP, mantenga la posición original

de los valores (en fracción). V. La incógnita se determina del siguiente modo:

A B1A x

C1C

D1D

DP DP

IP

Se cumple:

1 1

1

. .A Dx CB A C D

PORCENTAJES

TANTO POR CUANTO

El 5 por 8 de una cantidad, significa dividir dicha cantidad en 8 partes iguales y tomar 5 de ellas. Ejemplo:

El 5 por 8 de 120.

120 lo dividimos en 8 partes iguales, tomando 5 de ellas o sea:

120 55 .120 758 8

Es decir, el A por B de N es: .A NB

Cuando B = 100 se lee A por 100 de N y se denota por A% de N y se escribe:

.100

A N

Ejemplo:

El 20% de 75 es:

20 .75 15100

Tanto por ciento expresado en fracción:


4

10 110% 100 10

25 125% 100 4

50 150% 100 2

100100% 1100

Un número racional en tanto por ciento:

3 3 .100% 75%4 4

6 6 .100% 120%5 5

Observación: Es muy frecuente aplicar Regla de

Tres Simple para problemas de tanto por ciento. ASUNTOS COMERCIALES

1) V CG P P

2) C VP P P

3) Generalmente, al realizar un negocio, que nos va a dar una utilidad, ocasiona gastos (movilidad,

alquiler, viáticos, etc.), entonces se cumple:

bruta netaG G gastos

3. Al precio fijado para la venta de un artículo se le

llama Precio de Lista al cual casi siempre se le hace

una rebaja y por consiguiente se cumple:

V LP P R

Importante: Generalmente, los aumentos se

realizan sobre el precio de costo; mientras que los

descuentos se hacen sobre el precio de lista.

“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO

TEORIA DE EXPONENTES Y POLINOMIOS


ARITMETICA

1. Si: 5ab y 12

ba

Calcular: 1 1a bb aM a b

a) 57 b) 50 c) 58 d) 62 e) 64

2. Si: 𝑥2𝑥6= 3, 𝑥 > 0 Calcular 𝐸 = (𝑥𝑥𝑥6

)√3

a) √3 b) √2 c) 1 d) 3 e) √3

3

3. Hallar la suma de las raíces al resolver la ecuación:

𝑥13−𝑥2+𝑥 = 𝑥2 − 12 a) 1 b) -1 c) 2 d) 3 e) -4

4. Si: 𝒙𝒙𝒙+𝟓= √𝟑

𝟑 , halle el valor de:

𝑴 = 𝒙𝒙𝟑𝒙𝒙+𝟓+𝒙+𝟓 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

5. Sean P y Q dos polinomios de variable x, tales que: ( ) ( )A AG P G Q ; [ ] 10AG P Q

y 3( ) 2.( )A

P xGQ x

Entonces, determine el

2 2( . )AG P Q a) 42 b) 48 c) 52 d) 54 e) 60

6. De la igualdad: 12 1 xx x x .

Calcule el valor de: 22

1A xx

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 6

7. Resolver: 1 1

2 12 24 3 3 2 .x xx x

Calcule el valor de: 4x a) 10 b) 12 c) 6 d) 3 e) 5

8. En el polinomio 𝑷(𝒙) = (𝟏 + 𝟐𝒙)𝒏 +(𝟏 + 𝟑𝒙)𝒏 la suma de coeficientes excede en 23 al término independiente, según ello establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El polinomio P(x) es de grado 2. II. La suma de coeficientes es 25. III. El término cuadrático de P(x) es 212x a) VVV b) VFV c) FFV d) FVV e) VVF

9. Si x Z y además se tiene que: 112 .9 24,

xx x

Encuentre el valor de 2 x . a) 4 b) 6 c) 3 d) 5 e) 1/8

10. Determinar la suma de los elementos del conjunto:

𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅/4𝑥 = 3(2√𝑥+𝑥) + 41+√𝑥} a) 8 b) 4 + √2 c) 16 d) 4 e) 2√2

11. ¿Para qué valores de “a” la siguiente ecuación: 2 29 4 3 0x x a

Tiene solución real? a) a R b) 0,3]a c) [ 3;0a d) 3,3a e) 3,3a R

12. 2 216 ( 1) 2 2 1( ) 3 5 ....

n nn n n bP x x x x mx es completo y ordenado en forma ascendente con 4 nn términos con 0n ; 𝑏 > 0. Hallar M=b+m a) 19 b) 15 c) 22 d) 35 e) 32

13. Si P(x;y) es un polinomio completo y homogéneo de grado 2, indique el valor de verdad de los siguientes enunciados: I. ( ; ) ( ; )Q x y P x y x y es homogéneo II. 2 2( ; ) ( ; )H x y x y P x y es homogéneo III. ( ; ) ( ;0) ( ;0)Q x y P x P y es homogéneo Son correctos: a) Solo I b) Solo II y III c) Solo I y III d) Solo I y II e) I, II y III

14. Si el polinomio: 2 2 2( ) ( 2) ( 3) (2 3)P x a x b x x c es

idénticamente nulo. Entonces, determine el valor de: cE a b a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

15. Si P es un polinomio homogéneo, completo y ordenado (con respecto a la variable x), definido por:

5 3 4 2 3 1( ; ) ....m n m n m nP x y x y x y x y Tal que ( ) 10GR x y ( ) 15GR y , entonces el valor de mn es: a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50

16. Hallar “n” si el grado de:

𝑷(𝒙) = (𝒙𝒏𝒏𝒏

+ 𝒙 + 𝟏)𝒏𝒏𝒏

. (𝒙 + 𝟐)𝒏𝒏𝒏

Es 272. a) 16 b) 4 c) 1 d) 2 e) 272


17. Si se verifica: 3𝑥 = (3√𝑥 + 1)𝑥3√𝑥−3𝑥+1

; ¿Qué podemos afirmar del equivalente de

13 3x x

? a) Es par b) Es impar c) Es irracional d) Es una fracción e) Es negativo

18. Si 2 22 1 1 2 2( ; ) ( 1) ( 1)a a a aP x y a x y a x y es

un polinomio homogéneo, entonces el número de términos que le falta para ser completo es: a) 30 b) 28 c) 26 d) 24 e) 21

19. Resolver: 1( ) .... ,n nP x x bx w es de coeficientes enteros y una de sus raíces es

32 3 . . Luego la suma de los coeficientes

de P(x) es: a) -24 b) -14 c) 12 d) -12 e) -34

20. Si x e y verifican la igualdad 1xy x y , halle el valor de:

1( )1 31

1 1

44

x yy xyx

x y

a) 1 b) 2 c) 2 d) 4 e) 8

Teoría De Exponentes

Exponente Negativo

𝑎−1 =1

𝑎; ∀𝑎𝜖𝑅 − {0}

Exponente cero

0 1 ; 0a a R

Nota 00 indeterminado

Exponente Fraccionario 𝑎

𝑛𝑚 = √𝑎𝑛𝑚

; ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ≥ 2 TEOREMAS 1. Producto de bases iguales

𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

2. Producto de bases diferentes e igual potencia 𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = (𝑎𝑏)𝑛

3. División de bases iguales 𝑎𝑛

𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚; 𝑎 ≠ 0

4. División de bases diferentes e igual potencia

𝑎𝑛

𝑏𝑛= (

𝑎

𝑏)

𝑛

; 𝑏 ≠ 0

5. Exponente Negativo

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛; 𝑎 ≠ 0

6. Exponente Fraccionario

𝑎𝑚𝑛 = √𝑎𝑚𝑛

7. Potencia de potencia

(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑛.𝑚

8. Potencia negativa con un cociente n na b

b a

9. Raíz de Raíz

√ √𝑎𝑚𝑛

= √𝑎𝑛.𝑚

10. Producto de raíces con igual índice √𝑎𝑛 . √𝑏

𝑛= √𝑎. 𝑏

𝑛 Si n es par a0 y b0

POLINOMIOS DEFINICIÓN: Es una expresión algebraica en la cual los exponentes de la variable o variables son números enteros no negativos. Ejemplos:

7 5 8 10( , ) 4 9P x y x y x y 2 5 6( , ) 4 9 yQ x y x y x y no es polinomio 7 5 8 6 5( , ) 3 7R x y x y x y x no es polinomio


POLINOMIO DE UNA VARIABLE Es aquella expresión algebraica de la siguiente forma:

1 20 1 2( ) ....n n n

nP x a x a x a x a Donde: 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛: Coeficientes 𝑎𝑛: Coeficiente principal 𝑎0: Término independiente

GRADO DE UN POLINOMIO 1. Grado relativo(G.R)

Es representado por el valor del mayor exponente de la variable en referencia.

2. Grado absoluto(G.A) a. Para un monomio Se obtiene sumando los exponentes de las variables. Ejemplo 1

Sea 7 5( , ) 4P x y nx y

𝐺. 𝐴. (𝑃) = 7 + 5 = 12

b. Polinomio de 2 o más términos El grado absoluto está dado por el mayor grado de los monomios que intervienen. Ejemplo 2

Sea 7 5 8 10( , ) 4 9P x y nx y x y

𝐺. 𝐴. (𝑃) = 18 POLINOMIOS ESPECIALES 1. Polinomio ordenado

Si los exponentes de una variable presentan un orden ya sea ascendente o descendente respecto a esa variable será ordenado.

3 6 10( ) 2 7 9P x x x x 2. Polinomio completo

Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el grado cero.

3. Polinomio homogéneo Es homogéneo cuando cada término tiene el mismo grado absoluto.

TEOREMA 1 Dado un polinomio P(x):

I. Suma de coeficientes . ( ) (1)Coef P x P

II. Término independiente . . ( ) (0)T I P x P

TEOREMA 2 Si ( ; )P x y es un polinomio homogéneo de grado " "n ; se cumple:

( . ; . ) . ( ; )np x y P x y TEOREMA 3 Dado el polinomio P(x) completo se cumple:

# de t min . . ( ) 1er os G A P x


PRODUCTOS NOTABLES Y COCIENTES NOTABLES

CICLO VERANO 2016-II

ARITMETICA

1. Si: 33

1 7xx

, calcule el valor numérico de:

1E xx

a) 18 b) 19 c) 16 d) 14 e) 12

2. Si: 3 1 0x y 1x , calcular:

3 3

2

( 1) ( 1)x xAx x

a) 2 b) 0 c) -1 d) 1 e) -2

3. Sean a, b y c números diferentes de 0, tales que:

a b c abc y 2 2 2

1 1 1 2a b c

Hallar el valor de: 2 2 2

ab bc cac a b

a) -1 b) 3 c) 1 d) 0 e) -3

4. Con respecto a la división algebraica:

21 2 1m mx x x Cuáles de los siguientes enunciados son correctos: I. Los coeficientes del cociente son enteros impares. II. Es una división algebraica exacta. III. La suma de los coeficientes es 2m a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y III e) I, II y III

5. Determine la suma de coeficientes del cociente que se obtiene al dividir:

80 794 2 11

x x xx

a) 165 b) 163 c) 164 d) 161 e) 162

6. El resto de la división: 21 17 5

2

2 3 2 31

x x x xx x

a) 6x b) 6 6x c) 6x d) 6 1x e) 2 1x

7. Un polinomio ( )P x de sexto grado al ser dividido por 5( 1)x , arroja un cociente entero

( )g x y un residuo 3 2x . Si ( )g x tiene como coeficiente principal al número 7 y la suma de los coeficientes de ( )p x es 325. Determine el termino independiente de ( )g x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Sean x, y, z números reales tales que:

6x y zxy yz xz xyz

Halla el valor de: x y y z z xA

z x y

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

9. Si la división: 20

2( 1)x ax b

x

es exacta

Determine el valor de a+b. a) 41 b) 36 c) 24 d) 39 e) 42

10. Halle el grado absoluto del undécimo termino

en el cociente notable al dividir: 3 2 5 1

2 5 .n n

n

x yx y

a) 25 b) 32 c) 28 d) 30 e) 34

11. Un término del CN: 99 99(5 1) (5 1)x x

x es de

la forma 2(25 1)na x ; calcular el valor de ( 4 )n a . a) 9 b) 12 c) 18 d) 22 e) 30

12. Si residuo de la división división: 299

5 4 3 2

11

xx x x x x

se divide entre:

2 1 .x x Calcular el valor del cociente en

esta última división cuando 3 2x a) 18 b) 54 c) 72 d) 325 e) 650

13. Calcule el valor de (m+n) si se sabe que la división:

5 3 2

2

3 23

x mx nx xx

Deja residuo 5 10x a) 11 b) 5 c) 1 d) 7 e) 4

14. Si: 1a b c y 3 3 3 4a b c Entonces el valor de:

1 1 1a bc b ac c ab

es:

a) 1 b) -1 c) 3 d) -1 e) -2

15. Indique el término independiente de un polinomio de tercer grado que al ser dividido entre ( 1)x , ( 2)x , ( 4)x de el mismo resto 20 y además que sea divisible por ( 1).x a) 4 b) 36 c) 18 d) 10 e) 14

PRODUCTOS NOTABLES Y COCIENTES NOTABLES

16. Hallar el resto de la división inexacta: 82 63 24 3

2

( 2) 4( 2) 5( 2) 3( 2) 74 5

x x x xx x

a) 2x b) 2 1x c) 2 1x d) 1x e) 1x

17. Calcular el valor de:

2 4 8 6432 1 3 2 1 2 1 2 1 .... 2 1E

a) 24 b) 16 c) 32 d) 8 e) NA

18. En el cociente notable que se obtiene de: 4 4

2 3

m bx xx x

el décimo término contando a partir

del final es independiente de x. ¿Cuántos términos racionales enteros contiene dicho cociente notable? a) 6 b) 9 c) 7 d) 8 e) 10

19. Si 2

1,( )( )

x z zz y x y z y

hallar

2 2 2z x x y z yy z x

a) 0 b) 3 c) 1 d) -1 e) 12

20. Calcular el resto en la siguiente división:

15 5 3 2

3 2

( 1) 32 3 72 6 10 2

x x x xx x x

a)-5x+6 b)5x c)4x+1 d)3x+2 e) 8x+3

21. Hallar el término independiente de un polinomio de cuarto grado en variable “x”, que

de cómo residuo “2x” al dividirlo por 2( 1)x y

de cómo residuo “3x” al dividirlo por 3( 2)x .

a) -8 b) -32 c) 24 d) -27 e) 66


FACTORIZACION, MCD Y MCM


ARITMETICA

1. Indique la suma de coeficientes de un factor primo de:

( ) ( 3)( 5)( 2)( 4) 49A x x x x x a) 1 b) -1 c) 15 d) -13 e) -15

2. Factorizar: 2 2( ; ) 2 15 7 22 6 8A x y x y xy y x

La suma de los factores primos es: a) 2x–3y+2 b) 3x+2y–2 c) 2x+y–1 d) 3x+2y e) 2x–3y

3. Dado el polinomio: 2 2 2( ; ; ) 2A x y z x x y y z z yz

Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes. a) 1x y z b) x y z c) 1x y z d) x y z e) x y

4. Determinar el grado del MCM de los polinomios:

2( ) 15 36A x x x , 2( ) 9B x x y 3 2( ) 6 63 108C x x x x

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

5. Señale la suma de coeficientes de un factor primo de:

13 8 7 2( ) 2 2 4P x x x x x a) 8 b) 5 c) 3 d) 6 e) 4

6. Factorizar 23 2 2( ) 1 ( 4),M x x x x

dando la suma de los coeficientes de sus factores primos: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

7. Indique el grado del factor primo que tenga menos términos en:

22 3 4 5 5( ) 1Z x x x x x x x

a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3

8. Cuál de las siguientes expresiones no es termino de un factor primo de:

2 2 2 3 3 4( ; ) 2 6 4 4 1P x y x x y x y xy y

a) 2x b) 2xy c) 2y d) 22x e) 2y

9. Hallar el MCD de los siguientes polinomios en R:

4 3 2( ) 2 3 3 9P x x x x x 3 2( ) 10 9 17 6Q x x x x

Dar como respuesta la suma de coeficientes a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

10. Obtener la suma de coeficientes de un factor primo del siguiente polinomio: 10 216 32P x x x .

a) -3 b) -2 c) -8 d) -5 e) -6

11. Luego de factorizar

5 4 5( ; )P x y x x y y , señale la suma de los coeficientes de uno de los factores primos. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) -1

12. Al factorizar el polinomio

4 44 81P x y y evaluar uno de sus factores para 2x y .

FACTORIZACION, MCD Y MCM

a) 8 b) -8 c) 22 d) -2 e) 34

13. Determine uno de los factores

primos del polinomio 4 4 4 2 2 2( , , ) 2P x y z x y z x yz y z

a) 2 2 2x y z yz b) 2 2 2x y z yz c) 2 2 2x y z yz d) 2 2x xyz y e) 2 2 2x y z xyz

14. Hallar el término independiente de un factor primo del polinomio 4 3 26 4 3 15 5P x x x x x

a) -5 b) 5 c) -2 d) -4 e) 3

15. Luego de factorizar. El polinomio en R

7 5 4 3 2( ) 1P x x x x x x Se obtiene un factor primo doble, el cual es: a) x+1 b) 2 1x x c) 2 1x x d) 1x e) 2 1x

16. Sabiendo que el máximo

común divisor de los polinomios: 3 2( ) 2 3P x x x x m

3 2( )Q x x x n Es 2 2x x Halle el valor de: 1 1E

m n

a) 3/4 b) 4/3 c) 2 d) 5/2 e) 10/3

17. Luego de factorizar el polinomio:

5 4 2( ) 2 2 1.A x x x x x De cómo respuesta la suma de los términos lineales de los factores primos.

a) 2x b) x c) -2x d) 3x e) 0

18. Luego de factorizar el polinomio:

5 5 5( , , ) (3 5 ) (2 2 ) (3 ) .A x y z x y z z y x z x

Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I. Un factor primo es 2x+y–2z. II. La suma de dos factores

primos es x–3z. III. Un factor primo es 3x+y+5z. IV. La suma de los coeficientes de un factor primo es 3. a) VVVV b) VVFF c) FVFF d) VFFV e) FVFV


FRACCIONES Y RADICACION


1

ARITMETICA

1. Reducir: 4 417 12 2 17 12 2E

a) 2 b) 0 c) 1 d) 5 e) 4

2. Al simplificar la expresión: 3 3 3 3

3 6T

a) 1 b) 2 c) 2

d) 22

e) 2 3

3. Al racionalizar la expresión:

23

5 11 6 2 17 12 2L

Se obtiene a) 3 2 b) 4 2 c) 5 2 d) 4 2 e) 5 2

4. Al racionalizar la expresión: 3 4 3

6 2 5T

Se obtiene: a b c Calcular: a+b+c. a) 14 b) 15 c) 12 d) 13 e) 16

5. Hallar el valor de: 2

2 349

xRx

para x=1.

a) 1/56 b) -1/28 c) 0 d) -1/56 e)

6. Si: 11 29 1311 29 13

m

y 29

11 13n

Determine el valor de:2 2 2 2 2 22 2 2E m m n n m n mn mn

a) 2 b) 1 c) -1 d) -2 e) 3

7. Reducir: 7 113 72 2 22 2

2 2 1

a) 3 b) 25 c) 12 d) 6 e) 15

8. Al efectuar: ( 2) (2 3 1) 38 4 7

m x m n y nx y

toma un valor constante “k” para todos los valores de “x” e “y”, entonces este valor constante es: a) -1/9 b) 1/4 c) 2 d) 3 e) 1

9. Simplifique la expresión.

22

1 1 1 111 1 1 1

a aa aa a a a

si 0 1.a a) -2 b) 2 c) -1 d) 1 e) 0

10. El denominador racional de:

4

62 2 2

es:

a) 1 b) 2 c) -6 d) 7 e) 14

11. Sabiendo que A, B y C son los

numeradores de las fracciones parciales en que puede ser descompuesta la fracción:

3 2

4 22

xx x x

Hallar A+B+C a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

12. Al simplificar 3 60 3 42 6 , , uno de sus radicales simples es: a) 5 b) 2 c) 2 3 d) 7 e) 11

13. Hallar el verdadero valor de: 3 5

4

2 21 2

x xAx

Para x= –1.

a) 815

b) 415

c) 815

d) 415 e) 0

FRACCIONES Y RADICACION PRÁCTICA 10

2

14. Se sabe que: 3 2

3 2

19 4( 1) 23 7

x nx x nx n x x n

es reductible, simplificarlo y dar como respuesta la suma de sus términos. a) 4x b) 2 9x c) 9 x

d) 2 3x e) 4 3x

15. Hallar el verdadero valor de:

3

1 3 ,1 1

Rx x

para x=1

a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2

16. Al racionalizar la expresión:

3 3

102 12 18

M

Se obtiene: a) 32 5 b) 3 9 1 c) 31 9 d) 31 12 e) 32 12

17. Resolver:

10 25 2 1 3 1 2 2 2x x x x x

a) 11 b) 21 c) 31 d) 41 e) 51

18. Simplificar 16 80 112 140 , , uno de los radicales simples es: a) 7 b) 11 c) 13 d) 2 e) 3

19. Luego de descomponer: 4 3 2

12 2x x x x

en

suma de fracciones parciales, dar la suma de sus numeradores. a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) -1

20. Si 0ax by cz , simplificar:

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ab x y bc y z ac z xAax by cz

a) a+b b) b+c c) a+c d) a+b+c e) 1

RADICALES DOBLES Son radicales de la forma: n mA B TRANSFORMACION DE RADICALES DOBLES EN SIMPLES a) Radical de la forma A B

Donde A y B son dos expresiones racionales y positivas y A B 1raForma (Propiedad)

2 2A C A CA B

Donde; 2C A B 2daForma (Método práctico)

2 .A B x y x y

= x y Donde; 𝑥 > 𝑦

Radical de la forma 3 a b 3 ;a b x y donde: 3 2w a b 34 3x wx a 2y x w


ECUACIONES - INECUACIONES


ARITMETICA

1. Resolver: 1 1 13 2 16x x

indicando luego

la suma de raíces: a) 37 b) -37 c) 36 d) -43 e) 86

2. Si una de las raíces de la ecuación 3 (2 1) 3 0x k x k es 2. Hallar el

producto de las otras raíces. a) 15 b) 12 c) 10 d) -12 e) -15

3. Al resolver la ecuación: 2 1 1 1 32 1 1 1

x x xx x x

El valor de x es: a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4 d) 1 e) 5/4

4. Determinar el valor de .b c t Si la ecuación de primer grado en x.

2 21 ,4 3b cx x t x

2b t

Tiene por raíz el número -1. a) 37 b) 39 c) 42 d) 43 e) 45

5. Determine el conjunto solución:

3 2

1 08 14 12

xx x x

a) 2;1 b) 6; 1 c) 3; 1 d) 2;3 e) 1;6

6. Resolver: 2( 7) 2 7 15 0x x e indicar el conjunto solución: a) b) 2;12 c) 2; 12 d) 4 e) 2;12

7. Determinar los valores reales que admite

“a”, tal que una de las raíces de la ecuación:

23 4 12 9 0x x a ax Es mayor que 6. a) ⟨−∞;−6⟩ b) ⟨−∞;−2⟩ c) ⟨−6; −2⟩ d) ⟨6; +∞⟩ e) ϕ

8. Al resolver la inecuación: 2 3 6 6x x x se obtiene como

conjunto solución ; ;a b c d con a b c d . Determinar a+b+c+d. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

9. El conjunto solución de: 1

02 3xx

es de la

forma ; ] [ ;a b b a . Hallar a+b a) 1 b) 3/2 c) 5/2 d) 2/3 e) 0

10. Con respecto al conjunto solución S de la ecuación: 1 7 6x x determine la veracidad (V) o la falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. I. S tiene dos elementos enteros. II. S tiene solo elementos negativos. III. S a) VVV b) FVF c) FVV d) FFV e) FFF

11. Determine el conjunto solución de la

ecuación: 2 2 1 3x x x

a) 4 b) 5 c) 6 d) [3; e) [4;

12. Determine el conjunto solución de la inecuación 2 2x x x a) 1; b) 0; c) 1; d) 2; e) 3;

13. Determine la suma de sus raíces de la

ecuación 2 ( 2) 1 0x m x m , sabiendo que la suma de sus cuadrados es el mínimo valor posible. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Luego de resolver: 22 16

1 4xx

x x

, la

solución es de la forma 𝑎 𝑏⁄ . Hallar a+b a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11


15. Indique el intervalo al cual pertenece el

valor de m, para que la inecuación: 2

2

4 41

x x mx x

, se cumpla x R

a) 2; b) 1; c) 13

3; d) 3;9 e) 5;

16. Resolver la inecuación: 2

1 1x x

xx

a) [0;3 b) [0;3] c) 0;2 d) 0;1 e) [0;2]

17. Las raíces de la ecuación 3 0x ax a son 1 2,x x y 3x . Si se cumple que:

3 3 31 2 3( 1) ( 3) ( 4) 0x x x

Hallar la cantidad de valores que puede tomar a. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Más de 3

18. Determine la ecuación cuadrática cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la ecuación: 23 2 1 0x x a) 29 9 2 0x x b) 29 9 2 0x x c) 29 9 2 0x x d) 29 9 2 0x x e) 29 9 2 0x x

19. Resuelva la inecuación exponencial.

22 13 2 xx x e indique el intervalo de

solución: a) [0; b) [0;1 c) 1; d) 3[0;log 2 e) 31;log 2

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad condicional que se verifica para valores particulares asignado a su incógnita. Ecuación Lineal o de primer grado Es de la forma y su solución es Ecuación cuadrática o de segundo grado Es de la forma y su solución se obtiene de dos formas: Factorización: , entonces las soluciones son:

Por formula general:

Propiedades de las raíces: x1 y x2

; ;

Discriminante de una ecuación cuadrática

Si Presenta dos raíces reales y

diferentes: Si Presenta dos raíces reales e

iguales: Si Presenta dos raíces

Imaginarias y conjugados

Formación de una ecuación cuadrática: Si , son raíces, entonces la ecuación cuadrática es:

VALOR ABSOLUTO

Definición:

Ejemplo: , Teoremas

se cumple: 1. 2.

3.

4. Ecuaciones con Valor Absoluto 1. 2. 3.

0ax b /x b a

2 0ax bx c

( )( ) 0mx n px q

1 /x n m 2 /x q p

2 42

b b acxa

1 2bx xa

1 2cx xa

2

1 24b acx x

a

2 4b ac

0

1 2x x

0

1 2x x

0

1 2x x

1x 2x2

1 2 1 2( ) 0x x x x x x

, 0, 0

x si xx

x si x

8 8 21 21

x

0 ;x x R

x x

2 2;x x x R

2x x

0 0a a

0 ( )a b b a b a b

a b a b a b


Inecuaciones con Valor Absoluto 4. 5. 6. 7. 8. 9.

DESIGAULADADES

Propiedades: 1) 2, 0x R x 2) Si 0x y n nx ny

3) 1a c b dxb d a x c

INTERVALOS

Abierto: ; /a b x R a x b Cerrado: [ ; ] /a b x R a x b TEOREMA DEL TRINOMIO POSITIVO

2( ) 0, 0 0P x ax bx c x R a TEOREMA DEL TRINOMIO NEGATIVO

2( ) 0, 0 0P x ax bx c x R a Donde; , ,a b c R

0 ( )a b b b a b

0 ( )a b b b a b

a b a b a b

a b a b a b

( )( ) 0a b a b a b

( )( ) 0a b a b a b


RELACIONES Y FUNCIONES


1

ARITMETICA

1. Sea la función f definida en Z, así:

2(2;5), (3; ), (2; ), (3;4), ( ;5)f a a b b Hallar a.b a) -14 b) 14 c) 6 d) -6 e) 18

2. Sea la función: 1 4( )2 6

x xf xx

Hallar: ( )Dom f a) [1;3 3;4] b) [1;4] c) 1;4 d) 1;3 3;4 e) 3/ 2;3/ 5

3. Hallar el rango de la función: 2( ) 4 6f x x x

a) R b) ; 3 c) 3; d) ;5] e) NA

4. Sea la función: 2( ) 4f x x x

Determine ( ) ( )Ran f Dom f a) [0;1] b) [0;2] c) [ 1;1] d) [ 1;2] e) [0; 2]

5. Sea la función :f R R definida por

(0;0),(1;1),(2;3),(3,5);(4,2)f

(6;5),(2;0),(3;6),(5,1);(4,8)g Determine la suma de los elementos del rango de fog . a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Si las funciones f y g son tales que: ( ( )) 2g f x x Determine ( )g x sabiendo

que 3 2( ) 6 12 8f x x x x a) 3( ) 1g x x b) 3( ) 2g x x c) 3( ) 1g x x d) ( ) 2g x x e) 3( )g x x

7. Dada las funciones ( 2)f x x y

2( 5)g x x halle ( )( ) ( )( )2

fog x gof xT

a) 4x b) 4x c) ( 4)x d) 2x e) 2x

8. Hallar el rango de la función:

2 4, 3

2 5, 3x si x

f xx si x

a) [ 4; b) [ 3; c) 2; d) [ 1; e) [0;

9. Si: ( ) 2 3,f x x hallar ( ) cDom f

a) [1;5] b) 1;5 c) 1;5] d) [ 1;5 e) { }

10. Dada la función 2

1( )1

f xx

Halle

( ) ( ).Dom f Ran f a) b) 1 c) 0;1 d) 0 e) R

11. Sea ( ) 2f x x n y 2( ) 4g x x mx dos

funciones cuyas gráficas se muestran. Sí ,m n Z , calcular la suma de las coordenadas de P.

-8P

x

y

a) -6 b) -8 c) -10 d) -12 e) -15

12. Si el rango de la función ,f definida por 1 3

( ) ;1 3x

f xx

es 1 . Indique el menor

elemento entero del dominio de .f a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

ARITMÉTICA: RELACIONES Y FUNCIONES PRACTICA 12

13. Sean las funciones: 2( ) 2 3,f x x x 3;2]x ( ) 5 3 ,g x x [1;4]x Halle el dominio de fog. a) [0,16 b) [0;8 c) [1;8 / 3 d) [2;18] e) [3;18

14. Se define la función máximo entero:

( ) 1;f x x n n x n n Z

Si el domino de la función 6( )3

xg x es

[5;10], calcular el rango ( ).Ran g

a) 1;2 b) 0;1;2 c) 0;1 d) 1;0 e) 1;0;1

15. Sea f una función definida por:

2

8( )4

xf xx

a) [0;4] b) [ 4;4] c) [ 2;2] d) [ 3;3] e) [ 4; 3] [3;4]

16. Dada la función .

Determinar a) b) [3;+∞ > c) [1;+∞ > d) e)

17. Determine la inversa de la función:

( ) 4f x x x , [0;1]x

a) 2*( ) 2 4 , 0f x x x

b) 2*( ) 2 4 , 0f x x x

c) 2*( ) 2 4 , 3f x x x

d) 2*( ) 2 4 , 4f x x x

e) 2*( ) 2 4 , [0;3]f x x x

18. Sea f la función definido por:

2 22

2 2

2 2( )

2 2

x x x xf x x

x x x x

Determinar el ( ) ( )Dom f Ran g a) [0; 2 > b) < −1,0] c) ⟨2; 4⟩ d) ⟨−1; 4⟩ e) ⟨−1; 1⟩

FUNCIONES

Definiciones Producto Cartesiano El producto cartesiano de A y B se denota de la siguiente forma.

( ; ) /A B a b a A b B Relación Una relación R de A en B es un subconjunto de AxB. Es decir, R AxB Función Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x;y), tales que para cada elemento x Domf le corresponde un solo elemento .y B Función Real de Variable Real Sea f una función, tal que :f A B , f es una función de variable real si: .A R B R Ejemplo

123

abc

A Bf

“ f ” es función

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION Dado una función )(/: xfyBAf

( ) /( , )Dom f x A x y f ( ) /( , )Ran f y B x y f

Nota: El dominio de la función son los valores que pude tomar “x” y el rango son los valores que toma "𝑓(𝑥)" FUNCIONES ELEMENTALES 1) Función lineal

Forma general: ( )f x ax b

x

yy=f(x)

Dom(f)=RRag(f)=R

2 6f x x x

( ) ( )Dom f Ran f

[ 2;2]

0; 3;

ARITMÉTICA: RELACIONES Y FUNCIONES PRACTICA 12

2) Función raíz cuadrada Forma: ( )f x x

x

Dom(f)=[0;+ >8

Rag(f)=[0;+ >8

x

y

3) Función Constante

Forma: ( )f x k

x

yy=f(x)

Dom(f)=RRag(f)=R

4) Función cuadrática

Forma: 2( )f x ax bx c , se puede escribir como 2( ) ( )f x a x h k , donde al par ( ; )h k se le llama vértice de la parábola. Caso 1

V(h;k)x

ya >0

h

k

f(x)Rag(f)= k; >8

Dom(f) = R

]

Nota Sea la función de segundo grado

2 2( ) ( )f x ax bx c a x h k , donde:

2bha

y 𝑘 = 𝑓(ℎ)

Caso particular

2( )f x x

x

yy=f(x)

Criterios para calcular el Dominio a) Si ( ) ( )f x P x , donde 0)( xP 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥/𝑃(𝑥) ≥ 0}

b) Si ( )( )( )

P xf xQ x

, donde 0)( xQ

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥/𝑄(𝑥) ≠ 0} ALGEBRA DE FUNCIONES Suma y resta de funciones ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x

( )( ) ( ) ( )Dom f g x Dom f Dom g Producto de Funciones ( . )( ) ( ). ( )f g x f x g x

( . )( ) ( ) ( )Dom f g x Dom f Dom g Producto escalar ( . )( ) . ( )c f x c f x

( . ) ( )Dom c f Dom f Composición de Funciones ( )( ) ( ( ))fog x f g x

( ) ( ) ( ) ( )Dom fog x Dom g g x Dom f ( )( ) ( ( ))gof x g f x

( ) ( ) ( ) ( )Dom gof x Dom f f x Dom g FUNCION INVERSA Si: ( ; ) / ( ) ( )f x y y f x x Dom f es una función biyectiva, entonces f posee inversa, definida por:

* ( ; ) / ( ) ( )f y x y f x x Dom f

Arit -alg- cepu invierno 2017.

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