INECUACIONES

Segundo Ao

TEMA: DIVISORES Y MLTIPLOS COMUNES (M.C.M. Y MC.D.)MXIMO COMN DIVISOR:

Definicin: Se llama mximo comn divisor de dos o ms nmeros al mayor de los divisores comunes a esos nmeros.

Se designa por las iniciales M.C.D. D. Asi el mximo comn divisor de los nmeros a, b, c, se escribir:

M.C.D. (a; b; c) D (a, b, c) = D

Mtodos para hallar el M.C.D.:

1)Por interseccin de conjuntos (mtodo grfico).

2)Regla prctica para determinar mentalmente el M.C.D.

3)Por descomposicin en factores primos.

4)Por la regla del mtodo abreviado.

5)Por divisiones sucesivas algoritmos de Euclides.

Nota: Los 2 primeros sirven para hallar el M.C.D. de pequeos nmeros.

Hallar el M.C.D. por interseccin de conjuntos:Recordamos previamente, que la interseccin de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y que tambin pertenecen a B. Se denota la interseccin de A y B por A g B y se lee:

A interseccin B

Graficando:

Ejm: Hallar el M.C.D. de 8 y 12.

*Se escriben los divisores distintos de la unidad.

*Los de 8 son: 2, 4, 8.

*Los de 12 son: 2, 3, 4, 6, 12.

( {2, 4, 8} g {2, 3, 4, 6, 12} = {2, 4}

( El mayor es 4, siendo el M.C.D. (8,12)

Hallar el M.C.D. por descomposicin en factores primos:

Cuando los nmeros son muy grandes, el procedimiento anterior resulta sumamente laborioso; por eso es preciso buscar otro camino que simplifique los clculos, y por ello se emplea lo siguiente:

Regla: Para hallar el M.C.D. de dos o ms nmeros, se les descomponen en sus factores primos y se multiplican los factores comunes afectados de sus menores exponentes.

Ejm. 1.Hallar el M.C.D. 2520; 720 y 540

2520

1260

630

315

195

35

7

12

2

2

3

3

5

7720

360

180

90

45

15

5

12

2

2

2

3

3

5540

270

135

45

15

5

12

2

3

3

3

5

2520=23 x 32 x 5 x 7

720=24 x 32 x 4

(540=22 x 33 x 5 .

M.C.D.22 x 32 x 5= 180

Hallar el M.C.D. por el mtodo abreviado:Para hallar el M.C.D. de varios nmeros, puede emplearse el mtodo abreviado que consiste en dividir todos los nmeros por el menor factor primo hasta que los cocientes sean primos entre s. El producto de los diversos factores primos empleados ser el M.C.D.Ejemplo:

Hallar el M.C.D. de 60 y 90.

Solucin:60 90

30 45

10 15

2 - 32 ( Se divide a 60 y 90 entre dos.

3 ( Se divide a 30 y 45 entre 3.

5 ( Se divide a 10 y 15 entre 5.

Como los cocientes 2 y 3 son primos entre s, el M.C.D. de 60 y 90 es: 2 x 3 x 5 = 30.( M.C.D. (60; 90) = 30 Hallar el M.C.D. por Divisiones Sucesivas:

Este procedimiento prctico conviene emplearlo cuando los nmeros no se pueden factorizar fcilmente en sus factores primos.Ejemplo:Hallar el M.C.D. de 615 y 225

Solucin:Divido : 615 por 225 y hallo 2 de cociente y 165 de residuo.

615225(AB

1652RC

Divido : 225165( BR

601 R1C1

Divido: 165 por 60; hallo 2 de cociente y 45 de residuo.

16560(RR1

452R2C2

Divido: 60 por 45 y hallo 1 de cociente y 15 de residuo.6045(R1R2

151R3C3

Divido: 45 por 15 y hallo 3 de cociente y cero de residuo.4515(R2R3

03R4=0C4

Luego el M.C.D. de 615 y 225 es 15.La disposicin de las operaciones sera:

C C1 C2 C3 C4( Cocientes Sucesivos

A B R R1 R2R3( Divisores Sucesivos

R R1 R2 R3 R4=0( Residuos Sucesivos

Ejm: Hallar el M.C.D. de 6 y 18

Solucin:

186 ( Como el residuo es cero, el nmero menor 6, es el M.C.D.

.0 3

MNIMO COMN MLTIPLO (M.C.M.)

Definicin: El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de dos nmeros es el menor nmero (distinto de cero) que es mltiplo de comn de ambos nmeros.

Este concepto se aplica, en la suma o resta de nmeros racionales, al tener que buscar un denominador comn para dos o ms fracciones.

Ejemplo:

A.Podemos tomar como denominador comn a 48, ste nmero contiene a los nmeros 6 y 8.

B.Podemos tomar como denominador comn a 24, ste nmero contiene a los nmeros 6 y 8.

Mtodos para calcular el Mnimo Comn Mltiplo (M.C.M.):a)Por factorizacin en sus factores primos:

El m.c.m. de dos o ms nmeros factorizados es el producto de sus factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente.

Ejemplo 1:

Hallar el m.c.m. de 160 y 240

Solucin:

Factorizamos cada nmero en sus factores primos as:

160

80

40

20

10

5

12

2

2

2

2

5

160 = 25 x 5240

120

60

30

15

5

12

2

2

2

3

5 240 = 24 x 3 x 5

De donde:m.cm. (160 y 240) = 25 x 5 x 3 = 480

b)Mtodo Abreviado para hallar M.C.M.:

Este mtodo abreviado consiste en dividir cada uno de los nmeros por el menor divisor primo posible, hasta que los cocientes sean igual a la unidad.

Ejemplo:

Hallar el m.c.m. de: 42 y 56.

42 56

21 28

21 14

21 7

7 7

1 12

2

2

3

7( m.c.m. = 23 x 3 x 7 = 8 x 21 = 168

c)Por el Mximo Comn Divisor (M.C.D.):

El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de dos nmeros es igual a su producto dividido entre su mximo comn divisor (M.C.D.)

Ejemplo:

Hallar el m.c.m. de: 70 y 84

Solucin:

Primero, hallamos el M.C.D. de 70 y 84, por medio de divisiones sucesivas, as:

15 * El M.C.D. = 14.

847014

140

Luego:

De donde:

Aplicaciones al Clculo de Fracciones-Mnimo Comn Denominador: Para reducir fracciones a mnimo comn denominador (m.c.d.), se toma como tal el m.c.m. de los denominadores y se multiplica cada numerador por el cociente de dividir el denominador comn por el denominador respectivo.

Ejemplo:

Sean las fracciones:

El m.c.m. de los denominadores es:

2 - 6 - 91 - 3 - 91 - 1 - 31 - 1 - 12

3

3

( m.c.m. = 18

-Fracciones Irreductibles: Una fraccin es irreductible si su denominador y numerador son primos entre s:

Ejemplo:

(Es una fraccin irreductible porque 4 y 7 son nmeros primos entre s o primos relativos porque tienen como divisor comn a la unidad.

( Son fracciones irreductibles.-Simplificar una fraccin: Significa hallar la fraccin irreductible equivalente a la fraccin dada.

Ejemplo:

Simplificar la fraccin:

Solucin:

Sacamos la mitad a cada trmino.

Sacamos la mitad a cada trmino.

Sacamos la mitad a cada trmino.

Luego:

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01.Cuntos divisores tiene el nmero 120?

Rpta.:

02.La menor distancia que se puede medir indistintamente utilizando una cinta mtrica de 4;10 o 16 metros de largo es:

Rpta.03.Cul es la mayor longitud de una medida con la que se pueden medir exactamente tres dimensiones 280; 1120 y 1600 metros.

Rpta.:

04.Hallar el M.C.D. de:

A = 24 . 37. 5 ( B = 26 . 32 . 72

Dar como respuestas el valor de su ltima cifra.

Rpta.:

05.La suma de cifras del mnimo comn mltiplo de los nmeros 144, 256 y 225 es:

Rpta.:

06.La mayor cifra de M.C.D. de los nmeros 1825; 2625 y 3650; es:

Rpta.:

07.Si el nmero de divisores de los nmeros 300n y 16.90n son iguales. Hallar n.

Rpta.

08.Tres amigos parten regularmente de la misma ciudad cada 8; 12 y 16 das, respectivamente. La ltima vez que salieron juntos fue el 16 de octubre de 1998 con la promesa de reunirse los tres en la primera oportunidad para intercambiar informacin sobre las carreras profesionales a seguir:

En qu fecha se produce el encuentro?

Rpta.:

09.Si el M.C.M. de A = 45.60n y B = 45n . 60; es igual a 12 veces su M.C.D. Hallar n.

Rpta.:

10.El mnimo comn mltiplo de dos nmeros es 240 y su M.C.D. es 2; si uno de los nmeros es 16. Cul es el otro?.

Rpta.:

11.De las 178 clases de matemticas al ao, un alumno asisti a un nmero de ellas que es mltiplo de 4; 12; 13. A cuntas clases asisti y a cuntas clases falt?

Rpta.:

12.Si tenemos 2 nmeros A y B tal que:

A = 22(46)n

B = 22n.46

En qu cifra termina el mximo comn divisor?. Para n un entero positivo mnimo.

Rpta.

13.Si:

A = 122 . 183

B = 182 . 123

Cuntos divisores tienen en comn?

Rpta.:

14.SI: M.C.D. es 28 de dos nmeros, y su suma es 140. Hallar los nmeros.

Rpta.:

15.Se dan los nmeros A y B. (A > B) y D(A; B) = 127. Si A = 1524. Hallar B,

Rpta.:

16.Hallar dos nmeros A y B sabiendo que:

Rpta.:17.Si - = . Qu valor debe tener la cifra b para que D(,) = 18?

Rpta.:

18.Al calcular el M.C.D. de dos nmeros primos entre s por el algoritmo de Euclides, se encuentra por cocientes sucesivos 3, 9, 4, 3 y 5. Calcular el mayor de dichos nmeros.

Rpta.:

19.Al calcular el M.C.D. de dos nmeros por divisiones sucesivas el primer cociente es 1 y el primer residuo 111, el segundo cociente es 4 y el segundo residuo 42. Entonces la suma de los cocientes residuos y M.C.D., obtenidos es:

Rpta.:

20.Cuntos nmeros menores que 80 tienen con 360 el M.C.D. 4?

Rpta.:PROBLEMAS PARA LA CASA01.Hallar el M.C.D. de A = 22. 33 . 7 y B = 34 . 52 . 72. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 12b) 16c) 15

d) 18e) 14

02.Si: y M.C.M. (N;M) = 3720. Hallar:

a) 2b) 3c) 5

d) 6e) 4

03.Un nmero N posee 10 divisores y D (N; 450) = 18. Calcular la suma de cifras de N.

a) 12b) 3c) 5

d) 6e) 4

04.Un nmero N posee 10 divisores y D (N; 450) = 18. Calcular la suma de cifras de N.

a) 12b) 9c) 7

d) 10e) 8

05.S: D = = 88. La suma (x + y) es igual a:

a) 9b) 10c) 8

d) 11e) 14

06.Si el M.C.D. de los nmeros y es . Luego el valor de y es:

a) 0b) 45c) 15

d) 35e) 25

07.El producto de dos nmeros es 7007 y su M.C.D. es 7. Uno de los dos nmeros no es:

a) 91b) 7c) 77

d) 123e) 1001

08.Calcular la menor diferencia que puede existir entre dos nmeros, cuya suma es 168 y su M.C.D. es 14.

a) 12b) 14c) 28

d) 18e) 16

09.Hallar la menor diferencia que puede existir entre dos nmeros enteros, sabiendo que el producto de los nmeros dividido entre el M.C.D. es 60, siendo la suma de los cocientes al dividir cada uno de ellos por el M.C.D. igual a 7.

a) 7b) 18c) 12

d) 4e) 5

10.Existen dos nmeros que son entre s como 30 es a 48 y cuyo M.C.D. ser 21. Uno de ellos es:

a) 103b) 167c) 104

d) 168e) 106

10.El M.C.D. de un nmero formando por 180 nueves; otro formado por 200 nueves y otro de 300 nueves, es otro nmero formado por:

a) 18 nuevesb) 20 nueves

c) 18 unosd) 20 unos

e) N.A.

11.La diferencia de los menores nmeros que tienen como M.C.D.; 90 que tienen 24 y 30 divisores respectivamente es:

a) 1924b) 3150c) 2430

d) 1530e) 2250

12.El m.c.d. de dos nmeros es 18. Uno con 21 divisores y el otro con 10 divisores. Hallar la suma de dichos nmeros.

a) 162b) 576c) 738

d) 414e) 396

13.Un tendero desea poner en cajas 12028 manzanas y 12772 naranjas de modo que cada caja contenga el mayor nmero posible de stas manzanas y naranjas. Cuntas cajas de naranjas ms que de manzanas hay?

a) 4b) 5c) 6

d) 7e) 9

14.El M.C.D. de A y B es 126, si:

A =

B =

Determinar: a + b + c.

a) 6b) 5c) 4

d) 7e) 8

15.Cul puede ser el M.C.D. de cuatro nmeros enteros positivos aumentados a cada uno en 8 unidades 2?. Si el M.C.D. de stos 4 enteros sin aumentar es 48.

a) 18b) 10

c) 12d) 14

e) 8

TEMA: NMERO FRACCIONARIO Y SU CLASIFICACINUNIDAD FRACCIONARIA: La unidad fraccionaria es cada una de las partes iguales en que se ha dividido la unidad principal.La unidad fraccionaria se representa por medio de dos nmeros separados por una rayita horizontal; encima de la rayita se escribe el nmero 1.Ejm:

Concepto de Fraccin:

Dividimos un terreno en siete partes iguales. A la persona E le corresponde cuatro partes y a la persona F, tres partes.

La unidad fraccionaria es: 1/7.

La parte de la persona E se representa por 4/7 porque tiene 4 unidades fraccionarias, y la parte de la persona F, por 3/7, porque tiene 3 unidades fraccionarias.

-Las expresiones 4/7 y 3/7 se denominan nmero fraccionario; tambin se puede llamar nmeros quebrados.

Escritura y Lectura de Nmeros FraccionariosSea el nmero fraccionario:

Se lee: cuatro sptimos.

Fracciones Equivalentes: Son las que representan el mismo valor, pero con trminos diferentes.

Ejm.:

Graficando:

Simplificacin de Fracciones:Simplificar una fraccin es hallar otra fraccin equivalente cuyos trminos sean ms pequeos.

*De lo dicho se deduce que si se multiplican o dividen el numerador y el denominador por un mismo nmero, la fraccin que resulta es equivalente, o lo que es lo mismo, el valor de la fraccin no vara.

En General:

Clase de Fracciones:

-Fraccin Irreductible:

Fraccin Irreductible es lo que no se puede simplificar, por no existir ningn nmero exactamente a sus dos trminos.

El numerador y el denominador de una fraccin irreductible son primos entre s.

Ejm:

Convertir en irreductible:

Hallamos el m.c.d. (120 y 180): siendo este 60, luego:

Atencin: Convertir una fraccin en irreductible es simplificarla todo lo posible.

-Fraccin Propia:

Fraccin propia es aquella cuyo numerador es menor que el denominador: tambin puede decir que fraccin propia es aquella que es menor que la UNIDAD.

Ejemplo:

-Fraccin Impropia:

Fraccin Impropia es la que tiene el numerador mayor que el denominador. Su valor es superior al de la unidad.

Ejemplo:

-Fraccin Impura:

Fraccin Impura es aquella cuyo numerador es mltiplo del denominador. stas fracciones equivalentes a un nmero entero.

Ejm.:

a) =4b) = 3c)

d)

-Fraccin Inversa o Recproca:

Dos fracciones son inversas cuando el numerador de una de ellas es el denominador de la otra y recprocamente.

Ejemplo:

a)

;b)

c)

d)

Un nmero recproco de un entero es una fraccin cuyo numerador es la unidad y cuyo denominador es dicho nmero.

Ejemplos:

es el recproco de 6; es el recproco de 18.

-Produccin de Fracciones a comn denominador:

Reducir fracciones a comn denominador es hallar otras fracciones equivalentes a las dadas, pero teniendo todas el mismo denominador.

-Para ello se multiplica el numerador y denominador, de cada una por los denominadores de las dems.

Ejemplo:

Reducir a comn denominador: ; y

-Otro procedimiento muy empleado es el del mnimo comn denominador, que explicaremos mediante un ejemplo:

Ejemplo:

Reducir a comn denominador

1) Se halla el m.c.m. de los denominadores.

3 4 6

3 2 3

3 1 3

1 1 1 2

2

3 m.c.m. (; 3 y 6) = 2 x 2 x 3 = 12

2)

Comparacin de Fracciones:

Las fracciones no son otra cosa que cocientes indicados. A veces nos interesa saber simple vista cul de varias fracciones tienen mayor o menor valor, sin necesidad de realizar la divisin.

Para ello conviene aplicar las siguientes reglas:

1era:Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor es la que tiene mayor numerador.

Ejemplo:

2da:Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

3ra :Si dos fracciones tienen distintos numeradores y denominadores se reducen a comn denominador y se aplica la regla ya antes mencionada.

Operaciones con Fracciones:-Adicin de Fracciones:

En la suma de fracciones pueden darse dos casos:

Suma de Fracciones con igual denominador (Fracciones Homogneas)

En este caso se suman los numeradores, y a esta suma se le pone el mismo denominador.

Ejemplos:

a)

b)

c)

Suma de Fracciones con distintos denominadores (Fracciones Heterogneas)

Cuando las fracciones son heterogneas, para poder sumarlas hay que convertirla en fracciones homogneas, dndoles un comn denominador.

Ejemplos:

Sumar:

Solucin

Damos comn denominador.

3 6 7

3 3 7

1 1 7

1 1 1 2

3

7 2 x 3 x 7 = 42

( =

Adicin de Nmeros Mixtos:1ro

Se suman las partes enteras, siendo el resultado la parte entera de la suma.

2doSe suman las partes fraccionarias, siendo el resultado la parte fraccionaria de la suma.

Ejemplo:

-Efectuar:

Solucin:

*

(

Adicin de Nmeros Enteros y Fraccionarios

Efectuar:

Sustraccin de FraccionesDefinida la adicin de dos nmeros fraccionarios, definiremos la sustraccin como la operacin inversa, diciendo que: la sustraccin de dos fracciones ( y ( (( > () llamadas respectivamente, minuendo y sustraendo.

Tienen por objeto hallar otra fraccin llamada diferencia, tal que:

( + ( = ( ( ( - ( = ( .Ejemplo:

Multiplicacin de Fracciones:La multiplicacin con fracciones tienen la misma finalidad que la multiplicacin con nmeros enteros.

Ejemplo:

a)

d)

b)

e)

c)

Divisin de Fracciones

Como la divisin es la operacin inversa a la multiplicacin lo haremos de modo inverso. As pues, para dividir dos fracciones se multiplica la fraccin dividendo por la fraccin divisor invertida.Ejemplo:

*Sea: dos fracciones

de donde:

a y d: se llaman trminos extremos.

b y c : se llaman trminos medios.

Potenciacin de Fracciones:-

-

-

Recuerde:i)

ii)

Radicacin de FraccionesSea:

;

Donde: ; se llama radicando y es un # racional

n ; se llama ndice; (n > 2)

y ;se llama raz

; se llama operador radical

Ejemplo:

PROBLEMAS PARA LA CLASE01.Si: n = -2/3 entonces:

n 2n = ?

Rpta.:

02.Los de la mitad de una torta equivalen a la fraccin.

Rpta.:

03.El inverso multiplicativo de - sumado con el inverso aditivo es igual a:

Rpta.:

04.Karina ha bordado ya 1/12 de una cinta en color amarillo 2/3 de color verde y 1/6 de color rojo le quedan para bordar 8 cm. de cinta. La longitud total de la cinta es:

Rpta.:

05.El valor de:

; es:

Rpta.:06.Al multiplicar:

se obtiene:

Rpta.:

07.En una bodega se han vendido la sexta parte, la quinta parte y la dcima parte de una pieza de gnero, quedando un saldo de 120m. Cuntos metros tena la pieza completa?.

Rpta.:

08.La diferencia entre

es:

Rpta.:

09.La mitad de de 1 es:

Rpta.:

10.Hallar el valor de x, si:

Rpta.:

11.Dadas las fracciones:

r = ; s = ;

T =

su relacin de orden es:

Rpta.:

12.A un alambre se le hacen dos partes, de modo que cada pedazo sea igual al anterior, aumentado en su mitad. Qu fraccin del alambre es el pedazo ms grande?.

Rpta.:

13.Un jugador en su primer juego pierde la mitad de su dinero; en el segundo juego pierde un cuarto de lo que le quedaba y en el tercer juego pierde 1/7 del nuevo resto. Qu fraccin del dinero inicial le ha quedado?.

Rpta.:

14.Cuntas fracciones equivalentes a 60/84 tienen como trminos a nmeros pares de dos cifras?

Rpta.:

15.Calcular el nmero que debe agregarse a los trminos de la fraccin 2/7, para hacerla equivalente a .

Rpta..

16.Cul es el quebrado cuyo valor es mayor que 1/7 pero menor que 1/6, sabiendo que su denominador es 84?

Rpta.:

17.Hallar dos fracciones respectivamente iguales a 2/5 y 4/7 y tal es que la suma de sus trminos sea la misma.

Rpta.:

18.Dos tcnicos de diferente especialidad deciden ir juntos al extranjero a trabajar. El primero gana por da 1/3 ms que el segundo. Alrededor de un cierto tiempo, el 1ro, que ha trabajado 5 das ms que el 2do, ha recibido 1200 dlares mientras que el otro ha recibido 720 dlares.

Cunto gana cada uno por da; si trabajaban juntos en una misma empresa?.

Rpta.:

19.Se tiene las siguientes fracciones:

Si:

Hallar E si:

E =

Rpta..

20.Un contratista agarra una obra para hacer un trabajo en 9 das con tres operarios.

Al realizar el trabajo lo hace solo con dos, hacindolos quedar 1 hora ms diaria, y termina as la obra en 12 das. Cuntas horas habrn trabajado diariamente?.

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA

01.Si: x = y =

Cul de las relaciones siguientes es la correcta?

a) x > yb) y > x

c) x = yd) x > 0

e) y < 0

02.La fraccin completa 7/15 al sumarla con 2/3 es:

a) 9/18b) 3/15

c) -5/12d) -1/5

e) N.A.

03.La direccin de un colegio ha efectuado compras de dos tipos de tizas en iguales cantidades.

Los profesores usan en clase 5/6 de un tipo y los del otro tipo. Qu fraccin de la cantidad total qued sin usar?

a) 7/24b) 5/12

c) 1/12d) 5/24

e) 1/24

04.Tres hermanos heredan S/.12000 en los siguientes trminos. Pedro recibe 1/3, Juana 2/5 y Ricardo el resto que corresponde a:

a) S/.3200b) S/.2800

c) S/. 4000d) S/.4800

e) S/.5800

05.En una fbrica de zapatos se hace una competencia de produccin entre operarios y operarias. De los 3000 pares de zapatos, las damas fabricaron 3/5 y ganaron el concurso.

Los pares que fabricaron los varones son:

a) 1800b) 1500

c) 1200d) 1750

e) 800

06.Manolito le dice a Karina: Yo comer de la torta y t:

. Qu fraccin de la torta quedar disponible si eso se cumple?

a) 7/125b) 2/125

c) 3/75d) 3/25

e) 1/125

07.Entre los racionales y se pueden intercalar las fracciones:

a)

b)

c)

d)

e)

08.Cul es la fraccin equivalente a 70/98, tal que el producto de sus trminos sea 315? (Dar como respuesta la diferencia de sus trminos).

a) 18b) 10

c) 12d) 6

e) 8

09.Ejecutar:

a) 1b) 2

c) 3d) 4

e) 5

10.Las fracciones representadas grficamente son f y g.

Entonces el valor de:

f + g f : g, es:

a) 7/8b) 5/6

c) 7/9d) 1/8

e) 6/5

11.Despus de una venta de sacos de arroz, un comerciante encontr que le quedaba 3/8 de su depsito de arroz. Al siguiente da vendi 1/3 de lo que quedaba.

Qu parte del depsito est vaco?

a) 7/8b) 3/4

c) 1/2d) 7/16

e) 5/16

12.Una fraccin se divide entre su inversa y da como resultado . Halle la suma de los trminos de la fraccin.

a) 36b) 38

c) 40d) 42

e) 44

13.Encontrar la diferencia entre la suma de la mayor y la menor de las fracciones:

y la suma de las otras es:

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

14.Dos sepulteros pueden cavar cada uno una fosa, separadamente; el primero en 12 horas y media, y el segundo en 10 horas. Cunto tiempo emplearan si trabajan los dos juntos, y si 2 horas y media despus de iniciado el trabajo el primero siente un malestar que disminuye el rendimiento en 1/4?

a)

b)

c)

d)

e)

15.Qu fraccin de los 4/3 de 9/16 hay que aadirle a los 3/7 de 21/15 para que sea igual a 44 veces la menor fraccin decimal exacto de dos cifras.

a) 12/15b) 3/29

c) 8/75d) 2/29

e) 1/12

TEMA: NMERO DECIMALDefinicin: Es toda aquella fraccin que tiene por denominador la unidad seguida de ceros. As, son fracciones decimales.

se leen respectivamente:

Siete Dcimos; cinco centsimos; tres milsimos; ocho diez milsimos.

Nmero Decimal:Consideramos la fraccin decimal

Descomponiendo 36759 = 36 x 1000 + 7 x 100 + 5 x 10 + 9(

(

Propiedades:

I)El valor de un nmero decimal no se altera escribiendo a la derecha cualquier nmero de ceros

Ejemplo: 72,683 = 72,68300

II)Todo nmero natural puede considerarse como decimal, escribiendo a su derecha un punto seguido de cualquier nmeros de ceros.

Ejemplo: 127 = 127.000 0

III)En un nmero natural o decimal, se corre el punto p lugares a la derecha o a la izquierda, el nmero queda respectivamente, multiplicado o dividido por 10P.

Ejemplo: 423.578 = 4.23578 x 102Operaciones con Fracciones Decimales:I)Adicin y Sustraccin: Se colocan los nmeros decimales uno debajo de los otros de modo que se correspondan las cifras de igual orden y luego se suman y restan las columnas empezando por la derecha.

Ejemplo:

Calcular: 28,315 15,42596 + 0.06942 0.063

II)Complemento Aritmtico: Para efectuar una resta, se suma al minuendo el C.A. del sustraendo y del resultado se resta una unidad del orden decimal inmediato superior al de las unidades de orden ms elevado del sustraendo,

Ejemplo:

Calcular: 68,549 0,0843

( 68, 549 +

0,1157

68,4647

III)Multiplicacin: Para multiplicar varios nmeros decimales, naturales y decimales, se prescinde del punto en stos, se multiplican los nmeros naturales que resultan y de la derecha se separan tantas cifras decimales como tengan en todos los factores.

Ejemplo:

5,32 x 0,036 x 13 =

IV) Potenciacin: Ejemplo:

0,0034 =

V)Divisin de Dos Nmeros Decimales: Se multiplica el dividendo y el divisor por la potencia de 10 que sea necesaria para transformar ambos trminos de la divisin en nmeros enteros.

Ejemplo: Dividir 348.32 entre 0.794.

Solucin: Se multiplica el dividendo y el divisor por 1000.

348320794

3072

6940

5880

3220

044438.74Cociente por defecto: 438,7Cociente por exceso: 438,8

Notacin Cientfica: Es la expresin de un nmero como el producto de dos factores: uno de ellos un nmero mayor que 1 y menor que 10, y el otro una potencia de 10.As, la escritura cientfica:

de 9500000000000 = 9.5 x 1012

de 0.0000000000571 es = 5,21 x 10-11Notacin Concreta sobre Cociente aproximado:

Definiciones de los cocientes en menos de 1 unidad, 0,1; 0,01; 0;001, por defecto y por exceso.

a)El cociente en menos de 1 unidad (por defecto), de dos nmeros, es el mayor nmero entero cuyo producto, por el divisor est contenido en el dividendo.b)El cociente en menos de 0,1; 0,01; 0,001; ; (por defecto) de dos nmeros es el mayor nmero de dcimos, centsimos, milsimos cuyo producto por el divisor est contenido en el dividendo.

c)El cociente en menos de una unidad, en menos de 0,1; 0,01; ; (por exceso) es el menor nmero entero, el menor nmero de dcimos, centsimos, etc., cuyo producto por el divisor sea superior al dividendo.Ejemplo: Se desea repartir 53 soles entre 8 personas. Parte exacta:

6,6 es el cociente de 53 por 8 en menos de 0,1 por defecto.

6,7 es el cociente de 53 por 8 en menos de 0,1 por exceso.

Parte exacta:

6 es el cociente en menos de una unidad por defecto.

7 es el cociente en menos de una unidad por exceso.

Parte exacta:

6.61 es el cociente en menos de 0,01 por defecto.

6,63 es el cociente en menos de 0,01 por exceso.

Clculo de un cociente con una aproximacin decimal dada

Definicin: Se llama cociente aproximado en menos de de dos nmeros, el mayor mltiplo de que est contenido en su cociente exacto.Buscar un Cociente Aproximado: Sean A y B dos nmeros dados. Su cociente aproximado se puede representar por la fraccin decimal , cuyo numerador k es entero, y viene a ser el mayor mltiplo de , que est contenido en la fraccin A/B, se tendr:

De donde:

Ejemplo: Hallar el cociente aproximado en menos de 1/100 de dos nmeros 5/7 y .

Solucin:

El cociente exacto de stos dos nmeros es igual a

Busquemos la parte entera de la fraccin = , ella es 95. EL cociente aproximado es luego 0.95.Clasificacin:

Una fraccin decimal se llama limitada cuando tiene un nmero definido de cifras.

Ejemplos: 0,25; 0,75; 0,128; etc.

Una fraccin decimal se llama ilimitada cuando tiene un nmero indefinido de cifras.

Las fracciones decimales ilimitadas se clasifican en peridicas y no peridicas.

Una fraccin decimal ilimitada se llama peridica cuando una cifra o un grupo de cifras llamada periodo se repite indefinidamente. Se llama no peridica cuando las cifras no se repiten en forma de periodo. Las fracciones peridicas se clasifican en puras o simples y mixtas o impuras. Una fraccin peridica se llama simple cuando el periodo inicia despus del punto decimal.

Ejemplos:

Se llama fraccin decimal peridica mixta cuando el periodo no se inicia despus del punto decimal sin o despus de una cifra un grupo de cifras llamadas parte no peridica.

Ejm:

Una fraccin decimal ilimitada no peridica es la que tiene un nmero indefinido de cifras decimales, pero no se repiten siempre en el mismo orden, es decir, que no hay periodo.

Ejemplos:

Nota: Se llaman nmeros irracionales a aquellos que no son potencia perfecta del ndice de la raz.Se llaman nmeros trascendentes aquellos nmeros que no pueden ser raz de ninguna ecuacin ni provienen de quebrados comn en (, relacin de la circunferencia al dimetro, y e, base de logaritmos neperianos).

Transformacin de una fraccin decimal en fraccin ordinaria

Transformar una fraccin decimal a ordinaria, es hallar la fraccin ordinaria que reducida a decimal, nos da la fraccin dada. La referida fraccin ordinaria, se llama generatriz de la decimal dada.Consiste en 3 casos:

Caso I: La generatriz de una fraccin decimal limitada, tiene como numerador la parte decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como nmero de cifras decimal tiene la fraccin.

Demostracin:Sea

Multiplicando por 10p.

( 10P F =

Hallar la generatriz de F = 0.375

Luego:

Caso II: La generatriz de una fraccin peridica pura, tiene como numerador al periodo y como denominador tantos nueves como cifras del periodo.

Demostracin:

Multiplicando (1) por 10P:

Restando (1) de (2):

F(10P - 1)=

De donde:

F =

Ejemplo:

Sea F = Luego: F = F = =

Caso III: La generatriz de una fraccin peridica mixta, tiene como numerador la parte no peridica seguida de un periodo; menos la parte no peridica. Como denominador tiene tantos nueves como cifras tiene la parte peridica seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte no peridica.Demostracin:

Restando miembro a miembro (2) y (3):

F10q(10p-1) =

F =

Ejemplo: Sea: F = Luego: F =

Nota: Cuando la fraccin decimal tenga parte entera, se descompone el nmero dado en la suma de un entero y de una fraccin.

Ejemplo:

3.125 = 3 + 0.125= 3 + = 3 + =

Ejemplo: Hallar a + b, si: Solucin:

Escribimos:

a + b = 13TRANSFORMACIN DE UNA FRACCIN ORDINARIA EN DECIMALPara convertir una fraccin ordinaria o comn en decimal, se divide el numerador entre el denominador, aproximando el cociente hasta que resulta exacto o hasta obtener, una fraccin decimal peridica.

Ejemplos de tipo de fracciones decimales:Exacta:

Reglas para determinar que tipos de fraccin decimal dar una fraccin ordinaria1ra:Si el denominador de una fraccin irreductible, contiene solamente los factores 2 5 simultneamente los dos factores, se origina una fraccin de decimal ilimitada.

Ejemplos:

Obsrvese que:

4 = 2 x 2; 125 = 5 x 5 x 5 : 50 = 52 x 2

2da:Si el denominador de una fraccin irreductible no contiene a los factores 2 ni 5, se originar una fraccin decimal inexacta, peridica pura.

3ra:Si el denominador de una fraccin irreductible contiene a los factores 2 5 y adems factores diferentes de 2 y 5, dar una fraccin decimal inexacta, peridica mixta.

Ejemplos:

Obsrvese que: 12 = 22 x 3; 45 = 32 x 5

Reglas para Determinar el nmero de cifras que tendr una fraccin decimal:

1ra:Si la fraccin decimal es exacta, el nmero de cifras decimales estar dado por el mayor exponente de los factores 2 5 del denominador de la fraccin comn irreductible.2da:Si la fraccin decimal es inexacta, peridica pura, el nmero de cifras del periodo est dado por la cantidad de cifras del menor nmero formando por nueves que contengan como factor al denominador de la fraccin ordinaria irreductible. Si el denominador tiene varios factores, el nmero de cifras estar dado por el M.C.M. de los valores que dar cada factor independientemente.

9 = 32

99 = 32 x 11

999 = 32 x 37

9999 = 32 x 11 x 101

99999 = 32 x 41 x 271

999999 = 32 x 7 x 11 x 13 x 37

3ra :Si la fraccin decimal es inexacta, peridica mixta, el nmero de cifras de la parte no peridica se calcular con la regla de 1ra y el nmero de cifras del periodo con la regla 2da.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01.El valor de la expresin:

(0,6 0,05) 0,5: es

Rpta.:

02.Las 2/3 de 12,96 equivalen a:

Rpta.:

03.El valor de la expresin:

Rpta.:04.Si x = 0,3; el valor de

x2 + x + 1, es:

Rpta.:

05.El valor de la fraccin:

es:

Rpta.:

06.Cul de stas expresiones son equivalentes a 35000?

I) 3,5 x 103

II) 3,5 x 104

III) 3,5 x 102

IV) 0,35 x 105

Rpta.:

07.El valor de la expresin:

es:

Rpta.:

08.Si: a = 0,6; b = ; c = y d = 0,60.

Hallar en forma ordenada:

Rpta.:

09.Si:

x = (0,6)2 + (0,05)2 (0,4)2

Entonces x es equivalente a:

Rpta.:

10.El valor de:

(102)-2 . (0,5 x 10-3)-2; es:

Rpta.:

11.Si:

0,00000213 = 2,13 x 10P, entonces P es:

Rpta.:

12.Cunto debe ser el valor de K en la expresin:

10011 + 11.10K para que el resultado sea 11111.

Rpta.:

13.Cul es la fraccin que dividida por su inversa da como cociente ?

Rpta.:

14.Se tiene un decimal peridico que est entre dos nmeros peridicos cuya generatriz tiene como denominador 11 y como numerador a dos nmeros impares consecutivos. Hallar la diferencia entre los periodos.

Rpta.:

15.Una fraccin es tal que multiplicada por 5 y dividida por 7 da como resultad dos fracciones cuyo producto es . Hallar la suma de los trminos de dicha fraccin irreductible.

Rpta.:

Hallar: a + b

Rpta.:

17.Si

S =

E =

Hallar: E + S

Rpta.:

18.Dados los nmeros:

y

Hallar la tercera cifra decimal que resulta al sumarlos.

Rpta.:

19.Sean:

E = y

F = 0,01 + R; siendo

R =

Hallar: E/F

Rpta.:

20.Hallar la fraccin equivalente a cuyo numerador est entre 106 y 117 y el denominador entre 41 y 44. Dar como respuesta la suma del numerador y denominador de dicha fraccin:

Rpta.:

21.Hallar a + b + c; sabiendo que:

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA01.El valor de:

es:

a) 3/4b) 7,5

c) -3/4d) 0,2

e) N.A.

02.La fraccin expresada como fraccin decimal se escribe como:

a) 15/20b) 75/100

c) 9/10d) 75/10

e) 15/10003.El valor de la expresin de: (0,01)3 es:

a) 1b) 0,01

c) 0,001d) 0,00001

e) 0,000001

04.Cul de las siguientes expresiones es igual a 6000?

I) 0,6 x 103III) 6 x 162

II) 0,06 x 105IV) 6 x 103

a) I y IIb) II y III

c) III y IVd) II y IV

e) I y IV

05.Si:

a = 0,23 . 0,33

b = 0,08 . 0,0027

c = 0,008 . 0,027

Entonces. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) a > b = cb) a be) a = b = c06.Hallar a + b, sabiendo que son nmeros naturales y que:a) 4b) 6c) 8d) 10e) 1207.Hallar la suma de los dos trminos de una fraccin irreductible, sabiendo que si se resta su inverso da como resultado: a) 10b) 9c) 12d) 13e) 1508.El valor exacto de la siguiente operacin:; es:a) 10b) 9c) 1/2 d) 13e) 1/509.Una persona compra un artculo y observa que no gasta 2/3 de lo que gasta. Qu parte de lo que queda debe agregar a su capital para tener su dinero inicial?a) b) c) d) e)10.Hallar el valor de a + b. Si:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 611.Para el examen de Admisin del ao 1999, se ha calculado b participacin de 11,000 postulantes. De los que ingresarn, se calcula que el por ciento provienen de academias y que el por ciento sern mujeres. Cul ser el mayor nmero de desaprobados?a) 6337b) 7347c) 5477d) 6847e) 733712.Si se tiene que:M = yN = Hallar el resultado de multiplicar por P.Si: a) 60b) 50c) 55d) 65e) 7013.Efectuar:a) 1,15b) 1,184c) 1,074d) 0,985e) 0,84314.Hallar el valor de si se cumple que: a) 28b) 30c) 34d) 48e) 3815.Si:M = a + b de donde: yConsiderando a con aproximacin de un centsimo por defecto.Hallar: a) 0,5b) 0,75c) 0,55d) 0,67e) 0,65TEMA: POTENCIACIN Y RADICACINPotenciacin: As como la adicin de nmeros todos ellos iguales se convierte en una nueva aproximacin, la multiplicacin, llamada de segunda clase, as la multiplicacin de nmeros iguales puede considerarse como una operacin de tercera clase: la potenciacin.Potencia de Exponente Natural: La definicin de potencia de un nmero es siempre la misma, cualquiera sea la naturaleza de ste nmero.Definicin:Se llama potenciacin a la operacin que tiene por objeto, hallar el producto de factores iguales. Asi:Ejemplos:I)an = a . a . a . a . ... . a (n factores), se dice que la potencia (an) es ensima o de grado n.II)III)Si se trata de fracciones:IV) Si se trata de decimales:(0,05)4 = (0,05) (0,05) (0,05) (0,05) = 0,00000625V)Si el exponente es cero:ao = 1 a(N = a ( 0Leyes Formales de Potenciacin: Su permanencia:Ley de Uniformidad: La potenciacin es uniforme, esto es, si se elevan a una misma potencia los dos miembros de una igualdad, resulta otra igualdad as:Si: a = b ( m = n ( am = bnEn efecto:am = a . a . a . . a y por ser uniforme la multiplicacin bn = b . b . b . . bcomo: a b ( a . a . a . . a = b . b . b . . bLey Distributiva: La potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin, osea:(a . b)n = an . bnEn efecto:( (a . b)n = an . bnLa potenciacin no es conmutativa ni asociativa. Por ejemplo, si:* an = a . a . a(n veces)* na = n . n . n(a veces) ( an ( naEn efecto:( anm = a . a . a a (nm veces) y como mn no es siempre igual a nm, no es asociativa.Ley de Monotona: La potenciacin es montona, significa esto que si a los dos miembros de una desigualdad se les eleva a una misma potencia diferente de cero se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que la propuesta.Si: a < b ( an < bn a; b; n ( N, n ( 0.Mdulo de la Potenciacin: El mdulo de la potenciacin es la unidad; esto es:am = a ( m = 1Consecuencias Prcticas:I)El producto de potencias de la misma base es otra potencia de igual base cuyo exponente es la suma de los exponentes: an . am = am + n .II)El resultado de elevar una potencia a otra potencia es otra de igual base cuyo exponente es el producto de los exponentes.Cuadrado Perfecto: K2Se llama as al producto de dos factores iguales; pudiendo ser los factores:I)Enteros: 5 x 5 = 52 ( 25 = K2 ( = 5II)Fracciones: x = III)Decimales: (0,03) (0,03) = (0,03)2 = 0,0009IV) Mixtos: V)Literales: a x a = a2Caracteres de Inclusin del Cuadrado Perfecto: K2I)La condicin necesaria y suficiente para que un nmero sea cuadrado perfecto es que los exponentes de sus factores primos sean pares es decir . As; consideremos que sea N un nmero cuadrado perfecto.N en factores primos:N = a( . b( . c( laSe cumple que: ( = ; ( = ; ( = ( = Ejemplo:90000 = K2 = II)Si un nmero termina en ceros y es cuadrado perfecto y necesariamente posee una cantidad par de ceros.-Se representa: N x 10n-Elevando al cuadrado: (N x 10n)2 = N2 x 102n ( El cuadrado.Termina en 2n ceros.III)Si un nmero termina en 5 y es cuadrado perfecto, necesariamente, la cifra de las decenas es 2 y la de centenas par pudiendo ser: 0; 6 y 8:0,25; 625 ; 825IV) Todo cuadrado perfecto es de la forma + 1. En efecto; si es par sea y si es impar:(2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 4(n) (n+1) + 1 = 4 x +1= + 1V)Todo nmero fraccionario que es K2, se necesita y es suficiente que lo sea el producto de sus trminos.Consecuencia: Si lo es un trmino debe serlo el otro.Cubo Perfecto: Se llama tercera potencia o cubo al producto de tres factores iguales y se dice que es cubo perfecto, porque tiene la raz cbica exacta, donde los factores pueden ser:I)Enteros: 5 x 5 x 5 = 53 = 125 ( 125 = K3 ( = 5II)Fracciones: III)Decimales: (0,2) (0,2) (0,2) = (0,2)3 = 0,008IV) Mixtos: V) Literales: a . a . a = a3Caracteres del Cubo Perfecto: K3I)Todo nmero que termina en cero, no es cubo perfecto, si el nmero de ceros eque termina no es mltiplo de 3.II)Si un nmero termina en cifra 5 y su cifra de las decenas no es 2 7 no podr ser cubo perfecto.III)Todo nmero que no adopta una de stas formas: + 1; no puede ser cubo perfecto.Radicacin:Definicin 1 : La radicacin exacta es la operacin inversa a la potenciacin que tiene por objeto, dada la potencia y el exponente, hallar la base; slo que en radicacin a la potencia se le llama radicando o cantidad subradical y al exponente, ndice de la raz.En radicacin:Definicin 2: Si A, r ( R+ y n ( N+, diremos que r es la raz ensima de A que se denotar por:Sabemos:am . an = am+n( Recordando que: ( a = aDefinicin 3: a ( R, n ( N (a > 0 cuando n es par)Ejemplos:Definicin 4:a ( R, m ( Z, n ( N, con la condicin de que si n es par a debe ser positivo.Ejemplo: Propiedades de la Radicacin:I)Para que la radicacin sea posible, es necesario y suficiente que el nmero que ha de extraerse, sea potencia perfecta del grado que indica el ndice. Recordamos que la condicin necesaria y suficiente para que un nmero sea potencia perfecta de grado m, es que los exponentes de sus factores primos sean todos, mltiplo de m.Suponiendo cumplida esta condicin, si el nmero N descompuesto en sus factores primos es:N = amp . bm.q . cm. r km.s( II)La radicacin es uniforme por serlo la potenciacin: es decir que si a los dos miembros de una igualdad se les extrae raz del mismo ndice, se obtiene otra igualdad.III)La radicacin es montona; si se extrae raz del mismo ndice a los dos miembros de una desigualdad, se obtiene otra del mismo sentido.IV) La radicacin es distributiva con respecto del producto y cociente porque:.Del mismo modo luego:am . bm = A . B = (ab)m; La radicacin no es conmutativa ni asociativa como su inversa.Raz Cuadrada:Raz cuadrada exacta en N:Definicin 1:Se llama raz cuadrada exacta de un nmero o A ( N, a otro o ( N, tal que: N, a ( N.Raz cuadrada entera en N: (inexacta)Definicin 2:Se llama raz cuadrada entera, o raz por defecto en menos de una unidad de un nmero, al mayor nmero natural cuyo cuadrado est contenido en dicho nmero, y se llama raz cuadrada en exceso en menos de una unidad, al nmero natural que se obtiene aumentando una unidad a la raz cuadrada entera.Si:a2 < A < (a + 1)2, se puede escribir:Al calcular la raz por defecto o por exceso, se encontrarn residuos que se llamarn por defecto y por exceso respectivamente.-Resta por Defecto (R): Es la diferencia entre el nmero y el cuadrado de su raz cuadrada entera.R = A a2 ( ( )-Resta por Exceso (R): Es la diferencia entre el cuadrado de la raz por exceso y el nmero:R = (a + 1) 2 A ( ( )De (() y (() se deducen las siguientes propiedades: II.El resto obtenido al hallar la raz cuadrada entera de un nmero, no puede exceder al doble de la raz por defecto.En efecto, de se deduce que cualquier residuo. R > 2a + 1 (()III.El residuo mximo de una raz cuadrada es igual al doble de la raz por defecto.De se infiere que: Rmximo = 2a .IV.En la extraccin de la raz cuadrada, si el resto no es mayor que la raz, el error de sta es inferior a media unidad.En efecto, si se tiene:Se tiene tambin con mayor razn:A < a2 + a + 1/4 , puesto que a2 < A, se puede escribir; y por lo tanto:Raz Cbica:Definicin 1: Se llama raz cbica exacta de un nmero A ( N, a otro a ( N. Tal que:Definicin 2: Si: a3 < A < (a + 1)3( Resto por Defecto (R): R = A a3Resto por Exceso (R): R = (a + 1)3 - AII)El resto obtenido al hallar la raz cbica entera de un nmero no puede exceder al triple producto de las races por defecto y por exceso ms1.En efecto:R < 3a (a + 1) + 1 ()III)El residuo mximo de una raz cbica es igual al triple producto de las races por defecto y por exceso.De ():Rmax = 3a (a + 1) .PROBLEMAS PARA LA CLASE01.Cuntos cuadrados perfectos + 4 hay entre 924 y 5920?Rpta.:02.Si se tiene que el nmero es cuadrado perfecto, mltiplo de 3 y de 7; hallar a + b.Rpta.: 03.Si se cumple que: N = + 13 y sabiendo que:Hallar la suma de las cifras de N.Rpta.:04.El producto de dos nmeros pares consecutivos es 5328. Cul es el mayor de dichos nmeros?.Rpta.:05.Si a y b son cuadrados perfectos. Determinar a + b, si es el nmero de mltiplos de 7 que hay entre a y b.Rpta.:06.La diferencia de los cuadrados enteros impares es 200. Cul es el menor de dichos nmeros?Rpta.:07.Sabiendo que: es un cubo perfecto; hallar el valor de a x b x c.Rpta.:08.Los cubos de dos nmeros enteros consecutivos se diferencian en:Rpta.:09.Cunto se debe sumar como mnimo a 14706000 para que sea un cubo perfecto?Rpta.:10.Hallar a si: es k3, y a + b = 5.Rpta.:11.La raz cuadrada de es el duplo de y el residuo es . Hallar a + b.Rpta.:12.Despus de realizar el proceso de extraccin de la raz cuadrada de un nmero se nota lo siguiente: Que la diferencia del radicando menos el residuo por defecto es 729 y la diferencia del residuo por exceso menos el residuo por defecto es 5. Hallar el producto de las cifras del radicando.Rpta.:13.El residuo que resulta de extraer la raz cuadrada de 12439729 es:Rpta.:14.Hallar un nmero entero N tal que al extraerle su raz cuadrada se obtiene por resto 13 y tal que si se le aumentan 98 unidades a N su raz cuadrada aumenta en una unidad y es exacta.Rpta.:15.Sabiendo que tiene raz cuadrada exacta; hallar el valor de sta.Rpta.:16.Cul es el menor nmero de centenas que se puede agregar a 2325 para que tenga raz cuadrada exacta?Rpta.:17.Poner una V cuando la proposicin sea verdadera y una F cuando sea falsa.I)Un nmero que tiene 2n divisores puede ser cuadrado perfecto (n ( 0, n ( N). ( )II) El producto del M.C.D. y M.C.M. de tres nmeros puede ser igual al producto de dichos nmeros. ( )III) La suma de los residuos por exceso y por defecto de una raz cuadrada es igual a la raz por defecto. ( )Rpta.:18.El producto de 2 nmeros compuestos tiene raz cbica exacta e igual a 21. SI el cociente de ellos es un nmero entero. Hallar su diferencia.Rpta.:19.Si:Hallar a + b:Rpta.:20.Extraer la raz cbica y la raz cuadrada del nmero:N = Si son exactos:Dar como respuesta la suma de dichas races.Rpta.: PROBLEMAS PARA LA CASA01.Hallar a + b + c si:a) 9b) 11c) 15d) 15e) 1002.La suma de un nmero y su cuadrado es 812. Cul es dicho nmero?a) 31b) 30c) 29d) 28e) 2603.Un nmero de dos cifras es cuadrado perfecto y el nmero de dos cifras que resulta de intercalarle dos ceros puede expresarse como el producto de dos nmeros consecutivos.Hallar la suma de sus cifras del menor de los nmeros consecutivos.a) 16b) 20c) 17d) 12e) 1904.Hallar a si:a) 5b) 6c) 7d) 9e) 205.Hallar (a + b + c).si: , es un cuadrado perfecto.a) 3b) 4c) 5d) 6e) 706)Hallar un nmero de 3 cifras consecutivos creciente, tal que al permutarle sus dos cifras de menor orden se obtenga un cuadrado perfecto. Dar como respuesta el producto de sus cifras.a) 19b) 18c) 17d) 16e) 1507)Hallar: a + b + c, si se cumple:a) 11b) 12c) 13d) 14e) 1008)Cuntos nmeros mayores que 343 y menores que 8000 son cubos perfectos de 16 divisores cada uno.a) 1b) 2c) 3d) 4e) N.A.09)Cul es la raz cuadrada de 350 en menos de 2/9?a) b) c) 18d) 18e) 1810)Hallar la raz cuadrada de la siguiente expresin:a) 961b) 900c) 343d) 1444e) 12111)Hallar a x b si:a) 8b) 14c) 24d) 15e) 3412)Poner una vela cuando la expresin es verdadero y F cuando sea falsa:I)Un cubo perfecto no puede terminar en 75. ( )II)El M.C.M. de tres nmeros consecutivos puede ser igual al producto de dichos nmeros. ( )III)La raz cuadrada del producto de dos nmeros que difieren en 2 unidades, es el menor de ellos. ( )a) FFFb) FVFc) FVVd) VFFe) VVF13.Un nmero comienza en 5 y tiene 41 cifras. La raz cuadrada del triple de ste nmero podr tener un nmero de cifras igual a:a) 61b) 62c) 25d) 21e) 3014)Hallar un nmero capica de cuatro cifras tal que su raz cuadrada y su residuo segn iguales y formadas por dos cifras iguales a la primera y ltima de la capica aumentada en una unidad. Dar como respuesta la suma de cifras.a) 10b) 12c) 14d) 16e) No se puede hallar.15)Hallar el valor de:con error < a) b) c) d) e) FORMULARIOI) Razones y ProporcionesRazn Aritmtica (R. A.) . Razn Aritmtica.Donde: a : Antecedente b: Consecuente r: Valor de la razn Razn Geomtrica (R.G.) Razn GeomtricaDonde: a : Antecedente b: Consecuente r: Valor de la razn geomtrica Serie de razones Geomtricas equivalentes r: valor de la razn geomtrica.En toda razn geomtrica el valor del antecedente es igual al consecuente multiplicado por el valor de la raznProporcin Aritmtica y Proporcin Geomtrica ( II) Promedios Media Aritmtica: Media Geomtrica Media ArmnicaIII) Magnitudes Proporcionales1) Magnitudes Directamente Proporcionales: Si tenemos: Se cumple que:(Quiere decir que entonces A es directamente proporcional a B. (A D.P B)2) Magnitudes Inversamente Proporcionales. Si tenemos: Si se cumple que:Entonces A y B sern inversamente proporcionales. A . B = K (A I.P B)Representacin Grafica:Magnitud Directamente proporcional.Pendiente: Magnitud Inversamente proporcional.IV) Reparto Proporcional Dada una cierta cantidad C repartirla directamente proporcional a:a1, a2; a3;.....; an.Sean: C1; C2; C3;; Cn las partes a obtiene de modo tal que:C1 + C2 + C3 + + Cn = C Adems: Por lo tanto: Donde K representa el cociente de la cantidad a repartirse entre la suma de los nmeros o coeficientes de repartimientos.V) Regla de Tanto por Ciento1) Regla de Porcentaje:a) Cuando se desee calcular un cierto tanto por ciento de una cantidad dada; entonces:b) Para determinar que porcentaje de una cantidad dada representa otra indicada; precdase del modo siguiente:2) Descuentos Sucesivos:De = D1 + D2 D1 de D2Aumentos SucesivosA = A1 + A2 + A1 de A2VI) Regla de Inters Elementos:C: CapitalI: Intersr %: Tasa de Inters o Rditot: Tiempo de PrstamoM: Monto Inters Simple: (I) Inters Compuesto (IC)Sea: C: Capital r %: Tasa t: Nmero de periodos de capitalizacin.M = C + ICIC = M C VII) Regla de Mezcla y AleacinPrecio Medio (Pm) Comparando los precios unitarios con el precio medio se observa Mezcla Alcohlica:Nota: Alcohol puro < > 100 Agua puro < > 0VIII) NumeracinPor convencin; cuando la base es mayor que 9 se utilizan letras para su representacin:(10) < > ( < > A(11) < >( < > B(12) < >( < > C Numeral Capica: Son aquellos cuyas cifras equidistantes son iguales.Ejemplo: PropiedadesA) Numeral de Cifras Mximas9 = 10 178 = 8 199 =102 1778 = 82 1999 = 103 17778 = 83 - 1 En General:IX) Divisibilidad01) Si Residuo cero ( 02) Criterios de Divisibilidad:A) Por 2N : Nmero ; es divisible por:21 (si g = O q par22 (si f = g = O es mltiplo de 2223 (si e = f = g = O es mltiplo de 23.((B) Por 3:Nmero ; es divisible por 3 si (a + b + c + d + e + f + g) es mltiplo de 3.C) Por 5NNmero es divisible por:51 (si g = O g = 552 (si f = g = O es mltiplo de 5253 (si e = f = g = O es mltiplo de 53.((D) Por 7:Nmero ; ser mltiplo de 7 si:Se efecta h + 3g + 2f +.. + 3a = TY T resulta, cero mltiplo de 7.E) Por 9:Nmero ; es divisible por 9 si (a + b + c + d + e + f + g) es mltiplo de 9F) Por 11:Nmero ; ser mltiplo de 11; (S1 = h + f + d + b) y (S2 = g + e + c +9); (S1 S2) es cero mltiplo de 11.X) Nmeros primos Sea el nmero N.(Descomposicin cannica)I) Cantidad de Divisores:II) Suma de Divisores:III) Producto de Divisores:IV) Suma de Inversas de los Divisores de NXI) M.C.D y M.C.M1. Mximo comn Divisor (MCD)2. Mnimo Comn Mltiplo (MCM)3. Nmeros Fraccionarios1. a ( Z, b ( Z, b ( 0 ( fraccin2. Comparando con la Unidad.3. Transformacin a MixtoDado Dividimos: Entonces: q = parte entera parte fraccionario4. Mixto a Fraccin5. Clasificacin de nmeros decimales Decimal Exacto: es limitado Ejemplo: 0,23; 0,32; 0,25 Fraccin generatriz. Decimal Inexacto: es ilimitado.a) Periodo Puro: 0,252525..= = b) Periodo Mixto: 0,3424243.= Fraccin Generatriz MISCELNEA01.Dados 4 nmeros A, B, C y D se observa que:MCD (A, B, C) = 84MCD (B,C,D) = 396Cul es el M.C.D. (A; B; C; D)?a) 6b) 18c) 12d) 24e) 3602.Se aplica el algoritmo de Euclides para obtener el M.C.D. de dos nmeros obtenindose como cocientes sucesivos; 1; 2; 2; 3; 2 Si el M.C.D. es 30.Cul es la diferencia de los dos nmeros?a) 280b) 560c) 420d) 480e) 24003.El M.C.D. de 2 nmeros A y B es 2. Si A tiene 20 divisores y B, 18 divisores.Cul es la suma de los divisores impares de A + B?a) 182b) 192c) 204d) 341e) 16204.Si:* M.C.D. (4A, 5B/3) = 27* M.C.D. (A/4, 0.6B) = 9Hallar el menor valor de B que cumpla dicha condicin.a) 810b) 910c) 405d) 300e) 27005.Se tiene que:y sabiendo que el producto de: A y B es 18,144. Hallar el M.C.M.a) 3024b) 9172c) 6048d) 6006e) 200806.Si:MCD (A, B) = MCD (A, C) = MCD (A, B, C) = 7Hallar: a + ba) 12b) 13c) 14d) 15e) 1607.Hallar la suma de los trminos de una fraccin tal que si se le suma su inversa da por resultado 41/20.a) 5b) 8c) 9d) 6e) 1008.Cuntos quintos de los 40/5 de los 7/2 de los 11/4 de los 10/2 se les debe sumar a los 13/2 de los 28/2 para que sta suma exceda en a los 7/3 de los 54/9?a) 10b) 22c) 12d) 14e) 2409.Calcular el valor de R en:R = a) b) c) d) e) 10.Tres personas tienen que hacer una colecta para reunir cierta suma de dinero.Si han colectado respectivamente los 5/24, los 3/10 y el quinto de la suma.Qu fraccin falta todava colectar?a) b) c) d) e) 11. Dos trenes A y B marchan en sentido contrario con velocidad es de 25 y 35 Km. por hora, respectivamente. Un viajero del tren A observa que se tardaron 6 segundos para pasar el tren B.Cul es la longitud de ste?a) 120 mb) 150 mc) 100 md) 110 me) 125 m12.Dada la expresin:Calcular la diferencia entre el denominador y el numerador.a) 0b) 1c) 3d) 4e) 213.Si la suma de las fracciones propias: y da como resultado .Hallar: a) 3/4b) 6/5c) 3/7d) 11/4e) N.A.14.El periodo de una fraccin de denominador 11 es 2 cifras que se diferencian en cinco unidades.Hallar la suma de los trminos de dicha fraccin, si esta es la mayor posible.a) 14b) 20c) 18d) 17e) 1915.Hallar la suma de los trminos de la fraccin decimal irreductible equivalente a: a) 15b) 13c) 11d) 14e) 1816.Cul es la ltima cifra del periodo de:a) 4b) 5c) 6d) 7e) 817.Hallar la suma de todos los nmeros de la frmula que son cuadrados perfectos.a) 10025b) 15825c) 12675d) 9880e) N.A.18.Hallar a + b + c + d; si el nmero es cubo perfecto.a) 11b) 12c) 14d) 13e) 1519.Hallar a sabiendo que al extraer la raz cuadrada al nmero: se obtiene por raz: y por residuo: .Hallar cuntas divisores tienen el nmero:a) 6b) 2c) 8d) 16e) 420.Si: es la raz cbica del cubo perfecto , hallar (a + b + c + d).a) 17b) 18c) 15d) 21e) 1121)Dos nmeros estn en la relacin de 4 a 5 pero agregando 150 al primero y 45 al segundo, la nueva relacin es de 2 a 1.a) 30b) 60c) 80d) 90e) 110022) La razn de dos nmeros es 7/3. Cual ser la razn de la suma de los cuadrados y la diferencia de dichos nmeros?a) 29 a 20b) 20 a 19c) 35 a 18d) 29 a 15e) 20 a 7023) P es a q como 3 es a 5 y r es a s como 3 es a 4. Cul es la relacin de Ps es a qr?a) b) c) d) e) 024) Dentro de cuantos aos la relacin entre las edades de dos personas ser igual a 7/6, si sus edades actualmente son 40 y 30 aos.a) 10b) 20c) 30d) 40e) 45025) En un estudio de marketing se obtuvo la siguiente informacin; por cada 3 peridicos A se vendan 4 B y 2 de C. Si la diferencia entre los peridicos B y A es 20. En ese momento cuntos peridicos C se vendieron. a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50026) En una reunin el nmero de mujeres asistentes es al nmero de mujeres que no bailan como 11 es a 3. Si todos los varones estn bailando y son 25 ms que las mujeres que no bailan. Cuntas personas hay en dicha reunin?a) 95b) 90c) 85d) 75e) 30027) Lo que cobra y lo que gasta diariamente Sandra suman S/.60. Lo que gasta y lo que cobra, esta en la relacin de 2 a 3. En cunto tiene que disminuir el gasto diario para que dicha relacin sea de 3 a 5?a) S/. 1,5b) S/. 2c) S/. 2,5d) S/. 3e) S/. 4 028) Si yo tengo tres veces lo que t tienes y l tiene tres veces mas de lo que t tienes, adems entre los tres tenemos S/. 120. Cuanto tendrs t, luego de que l te de S/.x soles, para que lo que tenga l y lo que tengo yo sean entre si como 10 es a 9.a) S/. 25b) S/. 7c) S/. 8d) S/. 10e) S/. 13029) En una fiesta por cada 3 mujeres hay 2 hombres. En un determinado momento se observo que entre las personas que no bailan la relacin de hombres y mujeres es como 6 es a 11. Si no ms de 50 personas estn bailando y adems hay ms de 50 hombres en la fiesta. Cuntas personas asistieron?a) 100b) 110c) 130d) 150e) 170030) Si:Y adems 3a 5b + 2c = 245. Hallar el valor de a + ba) 429b) 637c) 511d) 311e) 400031) Se tiene:Adems la relacin del primer antecedente y ltimo consecuente es de 16 a 81; la suma de los consecuentes es 1365. Calcular la suma de los dos primeros antecedentes.a) 100b) 140c) 280d) 300e) 360032) Si se tiene:Adems:Calcular:a) 6b) 1/6c) 36d) 1/36e) 216INDICE(Divisores y Mltiplos comunes (MCM y MCD) ...03(Nmero Fraccionario y su Clasificacin ...14(Nmero Decimal 31(Potenciacin y Radicacin .48(Formulario ..63(Miscelnea ..76 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Aritmtica1_1121588652.unknown_1121601430.unknown_1121664956.unknown_1122918437.unknown_1123161354.unknown_1123164357.unknown_1123165232.unknown_1123165842.unknown_1123609811.unknown_1123612702.unknown_1123612861.unknown_1124000023.unknown_1123612755.unknown_1123612806.unknown_1123612581.unknown_1123609809.unknown_1123609810.unknown_1123609807.unknown_1123609808.unknown_1123166006.unknown_1123165746.unknown_1123165779.unknown_1123165592.unknown_1123164556.unknown_1123164758.unknown_1123164806.unknown_1123164572.unknown_1123164436.unknown_1123164550.unknown_1123164412.unknown_1123163405.unknown_1123163823.unknown_1123163940.unknown_1123164335.unknown_1123163848.unknown_1123163511.unknown_1123163605.unknown_1123163421.unknown_1123163181.unknown_1123163209.unknown_1123163336.unknown_1123163188.unknown_1123161709.unknown_1123163004.unknown_1123161515.unknown_1122919781.unknown_1122922002.unknown_1122922522.unknown_1122922843.unknown_1122992744.unknown_1122994058.unknown_1122994078.unknown_1122993144.unknown_1122923130.unknown_1122923211.unknown_1122923112.unknown_1122922758.unknown_1122922790.unknown_1122922597.unknown_1122922285.unknown_1122922413.unknown_1122922176.unknown_1122920463.unknown_1122920768.unknown_1122921248.unknown_1122920524.unknown_1122920233.unknown_1122920039.unknown_1122918815.unknown_1122919097.unknown_1122919128.unknown_1122918908.unknown_1122918560.unknown_1122918590.unknown_1122918514.unknown_1122355826.unknown_1122866133.unknown_1122866514.unknown_1122918056.unknown_1122918389.unknown_1122867289.unknown_1122866268.unknown_1122866402.unknown_1122866259.unknown_1122865132.unknown_1122865942.unknown_1122865975.unknown_1122865822.unknown_1122864858.unknown_1122864980.unknown_1122772332.unknown_1122772343.unknown_1122519711.unknown_1122772301.unknown_1122359873.unknown_1121666696.unknown_1121667566.unknown_1121667865.unknown_1121668133.unknown_1121668481.unknown_1121668612.unknown_1121668735.unknown_1121668736.unknown_1121668659.unknown_1121668585.unknown_1121668345.unknown_1121668407.unknown_1121668283.unknown_1121668122.unknown_1121668123.unknown_1121667974.unknown_1121667719.unknown_1121667781.unknown_1121667818.unknown_1121667729.unknown_1121667597.unknown_1121667611.unknown_1121667580.unknown_1121667290.unknown_1121667524.unknown_1121667552.unknown_1121667490.unknown_1121667169.unknown_1121667265.unknown_1121666712.unknown_1121666082.unknown_1121666636.unknown_1121666666.unknown_1121666679.unknown_1121666657.unknown_1121666142.unknown_1121666210.unknown_1121666095.unknown_1121665696.unknown_1121666047.unknown_1121666068.unknown_1121666032.unknown_1121665456.unknown_1121665522.unknown_1121665023.unknown_1121609011.unknown_1121663759.unknown_1121664179.unknown_1121664409.unknown_1121664410.unknown_1121664307.unknown_1121664394.unknown_1121663871.unknown_1121664113.unknown_1121663842.unknown_1121662976.unknown_1121663250.unknown_1121663729.unknown_1121663085.unknown_1121662529.unknown_1121662887.unknown_1121609196.unknown_1121603323.unknown_1121604157.unknown_1121604675.unknown_1121608764.unknown_1121604662.unknown_1121603746.unknown_1121603874.unknown_1121603454.unknown_1121602384.unknown_1121602514.unknown_1121603068.unknown_1121602430.unknown_1121601963.unknown_1121602042.unknown_1121601640.unknown_1121593183.unknown_1121598831.unknown_1121600226.unknown_1121601058.unknown_1121601182.unknown_1121601267.unknown_1121601164.unknown_1121600671.unknown_1121600836.unknown_1121600493.unknown_1121599207.unknown_1121599599.unknown_1121599810.unknown_1121599517.unknown_1121599066.unknown_1121599161.unknown_1121598934.unknown_1121598459.unknown_1121598636.unknown_1121598755.unknown_1121598774.unknown_1121598700.unknown_1121598480.unknown_1121598492.unknown_1121598472.unknown_1121598161.unknown_1121598256.unknown_1121598450.unknown_1121598225.unknown_1121593371.unknown_1121593565.unknown_1121593233.unknown_1121590215.unknown_1121592261.unknown_1121592909.unknown_1121593063.unknown_1121593084.unknown_1121592985.unknown_1121592781.unknown_1121592846.unknown_1121592715.unknown_1121591570.unknown_1121592173.unknown_1121592260.unknown_1121592015.unknown_1121590774.unknown_1121591108.unknown_1121590527.unknown_1121589508.unknown_1121589883.unknown_1121589962.unknown_1121589970.unknown_1121589945.unknown_1121589534.unknown_1121589718.unknown_1121589522.unknown_1121589302.unknown_1121589412.unknown_1121589459.unknown_1121589346.unknown_1121589219.unknown_1121589279.unknown_1121588945.unknown_1121581283.unknown_1121584333.unknown_1121585574.unknown_1121587643.unknown_1121587863.unknown_1121588090.unknown_1121588103.unknown_1121588006.unknown_1121587731.unknown_1121587753.unknown_1121587671.unknown_1121586329.unknown_1121586671.unknown_1121586763.unknown_1121586526.unknown_1121586013.unknown_1121586086.unknown_1121586002.unknown_1121584992.unknown_1121585039.unknown_1121585435.unknown_1121585488.unknown_1121585309.unknown_1121585017.unknown_1121585026.unknown_1121585005.unknown_1121584772.unknown_1121584863.unknown_1121584890.unknown_1121584849.unknown_1121584399.unknown_1121584431.unknown_1121584372.unknown_1121582685.unknown_1121583470.unknown_1121584155.unknown_1121584285.unknown_1121584295.unknown_1121584284.unknown_1121583664.unknown_1121584141.unknown_1121583645.unknown_1121583012.unknown_1121583289.unknown_1121583452.unknown_1121583252.unknown_1121582746.unknown_1121582757.unknown_1121582731.unknown_1121581816.unknown_1121582449.unknown_1121582623.unknown_1121582634.unknown_1121582581.unknown_1121582073.unknown_1121582156.unknown_1121581962.unknown_1121581591.unknown_1121581694.unknown_1121581751.unknown_1121581623.unknown_1121581418.unknown_1121581500.unknown_1121581344.unknown_1121577356.unknown_1121579327.unknown_1121580338.unknown_1121580549.unknown_1121580944.unknown_1121580981.unknown_1121580550.unknown_1121580397.unknown_1121580548.unknown_1121580367.unknown_1121579742.unknown_1121579950.unknown_1121580257.unknown_1121579862.unknown_1121579898.unknown_1121579570.unknown_1121579586.unknown_1121579451.unknown_1121577895.unknown_1121578248.unknown_1121579143.unknown_1121579174.unknown_1121578361.unknown_1121578019.unknown_1121578025.unknown_1121578011.unknown_1121577805.unknown_1121577842.unknown_1121577885.unknown_1121577823.unknown_1121577668.unknown_1121577781.unknown_1121577381.unknown_1121525827.unknown_1121527858.unknown_1121576926.unknown_1121577116.unknown_1121577341.unknown_1121577091.unknown_1121576796.unknown_1121576850.unknown_1121576425.unknown_1121526781.unknown_1121526831.unknown_1121526854.unknown_1121526810.unknown_1121526456.unknown_1121526665.unknown_1121526455.unknown_1121524363.unknown_1121524522.unknown_1121525567.unknown_1121525790.unknown_1121525705.unknown_1121525759.unknown_1121524544.unknown_1121524476.unknown_1121524482.unknown_1121524444.unknown_1121523913.unknown_1121524079.unknown_1121524315.unknown_1121523957.unknown_1121523024.unknown_1121523100.unknown_1121522983.unknown