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1. ¿Por qué crees que dos personas no entendieron la información suministrada?

1 Aplicación de propiedades geométricas y numéricas para analizar procesos que se repiten infinitas veces

Grado 11 Tema

Matematicas - Unidad 3Conoce el cambio en uninstante y describe la situación.

Nombre: Curso:

Aplicación de propiedades geométricas y numéricas para analizar procesos que se repiten infinitas veces

La utilización de procesos infinitos en la construcción de figuras geométricas y en la vida tangible se desarrolla desde mucho tiempo atrás, tal es el caso que la naturaleza es la que mejor representa los procesos infinitos al momento de haber crecimiento en los seres vivos. El hecho de que se obtengan figuras a partir de la utilización infinita de una figura inicial para la elaboración de obras de arte y en otros aspectos de la vida, nos muestra que en la vida la matemática

Observa detenidamente la imagen y responde de manera individual las siguientes preguntas que luego se socializarán con el grupo:

Actividad Introductoria: Sigamos instrucciones

1. ¿Podrías realizar una copia de la imagen en una hoja de block?

Si ¿Cómo?

No ¿Pór que?

a. En la parte superior de una hoja de block, traza un segmento de longitud 1.

b. Dejando un espacio prudencial, traza nuevamente el mismo segmento.

c. Divide en tres partes iguales el último segmento trazado (Recuerda que debe ser igual al inicial).

d. Elimina la parte central abierta (es decir, sin incluir los extremos).

e. Dejando un espacio prudencial, traza nuevamente los extremos.

f. Cada uno de los extremos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes centrales (abiertas) en cada una de ellas.

g. Dejando un espacio prudencial, traza nuevamente los extremos.

h. Se procede igual con cada uno de los cuatro segmentos que quedan.


Apoyándote en el material que has traído a la clase, realiza el siguiente procedimiento.

a. ¿Dividiste en tres partes IGUALES los segmentos?

b. ¿Dividiste en tres partes IGUALES los segmentos?

c. ¿Cuántas veces es posible repetir las indicaciones dadas?


Ya con tu procedimiento elaborado, responde las siguientes preguntas de manera individual.

Instrucciones: Sigue atentamente las instrucciones y realiza lo que en cada una de ellas se describe. Utiliza las imágenes como referentes.

Traza el segmento AB

A partir del punto A del segmento (AB) ̅, traza una semirrecta (esta se puede direccionar hacia arriba o hacia abajo).

Imágen de referenciaInstrucción


Ahora que has dado respuesta a las anteriores preguntas, observa la siguiente tabla.

Toma el compás y ubica su punta en el punto A del segmento. Con el compás abierto, tanto como se desee, traza sobre la semirrecta, una circunferencia.

En la intercesión de la circunferencia y la semirrecta, la cual llamaremos punto C, ubica la punta del compás, conservando la abertura anterior.

Traza una nueva circunferencia con igual radio, y obtendrás una intersección la cual llamaremos punto D. Repite el proceso para obtener una nueva intersección que llamaremos punto E.

Repite la indicación anterior, obteniendo una nueva intersección que llamaremos punto E.


Traza una línea recta (l) que pase por B y por E.

Traza una recta paralela a (l), que pase por D, la llamaremos (m).

Traza una recta paralela a (m), que pase por C, la llamaremos (n).


Replica los pasos anteriores en tu material del estudiante y luego comparte los resultados con tus compañeros.

Con base en lo construido anteriormente, observa la siguiente imagen y detalla la forma en la que ha sido segmentada.

• ¿Esta imagen qué tendrá que ver con un fractal?

• ¿Y qué es un fractal?


» Analizar las formas fractales clásicas, como un acercamiento a figuras irregulares infinitas.

» Conjeturar acerca de las propiedades de formas fractales, justificando sus hipótesis.

¿Qué es un fractal?

La palabra fractal, referida a conjuntos matemáticos, apareció por primera vez en el año 1977 cuando Benoit Mandelbrot la utilizó en su libro “The Fractal Geometry of Nature” para referirse a ciertos conjuntos que cumplen con unas propiedades particulares.

Propiedades

Tienen detalles a todas las escalas, entendiendo por esto que mirados a cualquier nivel de escala (zoom) manifiestan detalles ya observados a nivel global.

Son autosemejantes, es decir, que están formados por partes que son semejantes al conjunto total.Tienen una descripción algorítmica simple, entendiendo por ello que su construcción se basa en un algoritmo sencillo.

Dentro de la matemática existe gran variedad de fractales, pero sobresalen algunos debido a su permanencia en la historia, los cuales se les conoce como los fractales clásicos. A continuación revisaremos algunos de esos fractales clásicos:

El conjunto de Cantor

Es el fractal por antonomasia, y también el primero conocido. Fue ideado por Georg Cantor en 1883 como ejemplo de conjunto de longitud cero cuyos puntos se pueden identificar uno a uno con todos los puntos de una recta (que tiene longitud infinita).

Para su construcción se parte de un segmento de longitud 1. Se divide en tres partes iguales y se elimina la parte central abierta (es decir, sin incluir los extremos). Cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes centrales (abiertas) en cada una de ellas. Se procede igual con cada uno de los cuatro segmentos que quedan. Y se repite el proceso infinitas veces.

Con base en lo visto hasta el momento y en la respuesta que diste con respecto a la pregunta ¿Qué es un fractal? revisa la siguiente información.

Actividad 1: Fractales


La curva de Koch

Fue ideada por Helge von Koch en 1904 como ejemplo de curva de longitud infinita contenida en un recinto acotado y sin tangente en cualquier punto. Su construcción se hace mediante un proceso similar al del conjunto de Cantor.

Se parte de un segmento de longitud 1. El primer paso consiste en dividirlo en tres intervalos igua-les, construir un triángulo equilátero sobre el intervalo central y suprimir la base de dicho triángu-lo, como indica la figura. El segundo paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los cuatro intervalos que han resultado. Y se repite el proceso infinitas veces. La curva de Koch es la curva a la que se van aproximando las sucesivas poligonales que resultan en cada paso.

El triángulo de Sierpinski

Fue ideado por Waclaw Sierpinski en 1915. Su construcción se hace mediante un proceso similar al de los conjuntos anteriores.

Se parte de un triángulo equilátero de lado 1. El primer paso consiste en dividirlo en cuatro trián-gulos equiláteros iguales (lo que se consigue uniendo los puntos medios de los lados) y eliminar el triángulo central, es decir nos quedamos con los tres triángulos equiláteros de los vértices. El segundo paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los tres triángulos obtenidos en el paso anterior. Y se repite el proceso infinitas veces, obteniendo como resultado final el triángulo de Sierpinski.


De acuerdo a las indicaciones dadas en la construcción de los fractales clásicos, trabajando en hojas de block, reproduce los procesos que generaron los fractales clásicos

La alfombra de Sierpinski

Se parte de un cuadrado de lado 1. El primer paso consiste en dividirlo en nueve cuadrados iguales (lo que se consigue dividiendo cada lado en tres partes iguales) y eliminar el cuadrado central, es decir nos quedamos con ocho cuadrados. El segundo paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los ocho cuadrados obtenidos en el paso anterior. Y se repite el proceso infinitas veces, obteniendo como resultado final el objeto frac-tal conocido como alfombra de Sierpinski.

Con base en lo realizado hasta el momento, realiza de manera individual la siguiente solicitud, luego socializaremos los trabajos realizados y las compararemos con las imágenes que se presentan más abajo.

a. Determina a que fractal corresponde cada imagen.


a. ¿Teniendo en cuenta tus reproducciones y conociendo las formas de cada uno de los fractales nombrados, determina que tan cercana fue tu reproducción.


Ahora que has visto los fractales clásicos y los conoces, detallemos el procedimiento para construir uno de ellos y responde las preguntas cuando haya lugar.


Dibuja un segmento de 1 unidad.

El segmento anterior divídelo en tres partes congruentes y borra la parte central..

A cada uno de los nuevos segmentos divídelos en tres partes iguales y borra la parte central.


a. ¿Cuántos segmentos hay?


b. ¿Cuál es la longitud del segmento?

b. ¿Cuál es la longitud de cada segmento, si el segmento






Repite en cada uno de los nuevos segmentos obtenidos el paso anterior.

Repite en cada uno de los nuevos segmentos obtenidos el punto 3.

Con base en lo realizado hasta el momento, completa la siguente tabla y responde de forma individual las siguientes preguntas, luego socializaremos los trabajos realizados:


a. Construyan la tabla de distribución de frecuencias, según las condiciones que han acordado.

Número de Segmentos Longitud de segmentosPaso

a. Si se continúa con el mismo procedimiento indefinidamente, ¿Qué sucedería?

b. ¿Es posible continuar llenando la tabla sin realizar el procedimiento indicado?

Si, ¿cómo?

No, ¿por qué?

0

1

2

3


Número de Segmentos Longitud de segmentosPaso

b. ¿Así mismo, completa la siguiente tabla para n pasos.

Observa la siguiente imagen y la información que se presenta.

Si detallamos los procesos que se llevan a cabo en cada uno de los pasos, se observa que es necesario que los segmentos de los extremos se conserven y que sean estos los que se subdividan en tres nuevos segmentos. Expresándose en un grupo de segmentos más abajo.

0

1

2

3

n


Con base en lo desarrollado hasta el momento y siguiendo el mismo razonamiento, completa la siguiente tabla y contesta las preguntas de manera individual:

Pero cada nuevo paso tendrá solo dos de los tres segmentos divididos, por lo cual es de la forma 2k

y por ser dividido en tres, su longitud depende del número de divisiones que se han realizado. Es decir 3-k

Para procesos en los que se hace reiterada la subdivisión, la longitud de los segmentos se hace cada vez más pequeña.

De ahí que la ecuación que permite conocer la longitud de los segmentos en el conjunto de Cantor se pueda expresar como:

Paso 1 3 4 K... ... Conjunto del cantor

Número de intervalos 2

1/3 1/27

2/3 4/9 0

4 ... ...

... ...

... ...Longitud total

Longitud de cada intervalo

De acuerdo a la secuencia que has elaborado, ¿qué generalización podrías plantear para esta columna?


1. ¿Es posible establecer generalizaciones, utilizando las propiedades numéricas de cada una de las características analizadas en el fractal clásico?

a. ¿Es posible realizar una tabla como la anterior, para cada uno de los fractales clásicos?

Si, ¿cual?

Si, ¿cual?

No, ¿por qué?

No, ¿por qué?

Para finalizar esta primera actividad, resuelve las siguientes preguntas de forma individual.


b. ¿Es posible establecer generalizaciones, utilizando las propiedades numéricas de cada una de las características analizadas en los fractales clásicos?

Si, ¿cual?

No, ¿por qué?

Ahora que ya has dado respuesta a las anteriores preguntas. Revisa la siguiente información de cada uno de los fractales Ahora que ya has dado respuesta a las anteriores preguntas. Revisa la siguiente información de cada uno de los fractales

Después de seguir un proceso similar al del conjunto de Cantor es posible para la Curva de Koch obtener la siguiente expresión y su respectiva tabla:

Paso 1 2 3 K... ... Curva de koch

Número de segmentos 4

1/3 1/9 1/27

64/274/3 16/9

16 64 4k...

...

...

...

...

...Longitud total

Longitud de cada segmento


De forma análoga y con el mismo razonamiento es posible obtener la fórmula y la respectiva tabla para el triángulo y la alfombra de Sierpinski, como lo veremos a continuación:

El Triángulo De Sierpinski

La alfombra de sierpinski

Paso

Paso

1

1

2

2

3

3

K

K

...

...

...

...

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Número de triángulos

Número de cuadrados

2

8

1/3

1/3

1/4

1/9

64/81 512/729 0

0

1/8

1/27

81/8

496/27

9/2

16/3 80/9

8/9

27/4

9

64

27

512

3k

8k

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Perímetro total

Perímetro total

Área total

Área total

Longitud de cada triángulo

Lado de cada cuadrado


Reúnete con tres compañeros, tu docente les asignará un fractal clásico y apoyándose en las tablas de la actividad 1; respondan las siguientes consignas:

a. Plantea posibles interpretaciones, de la información que se consignó en la tabla que seleccionaste, teniendo en cuenta los tres primeros pasos de reproducción del fractal.

b. Generaliza tus interpretaciones, a los posibles resultados que se obtendrían, si los procesos de generación del fractal, se repiten infinitas veces.

c. Plantea dos argumentos, a favor de las generalizaciones que estableciste, acerca de los procesos que se repiten infinitas veces en el fractal seleccionado.


Ya con las respuestas a las consignas anteriores, desarrolla las siguientes solicitudes en compañía de tu grupo:

a. Intercambia tu material con un grupo, al que le hayan asignado un fractal diferente al tuyo.

b. Lee detenidamente los planteamientos y generalizaciones de ese grupo.

c. Analiza con tu grupo la pertinencia de los planteamientos y generalizaciones establecidas.

d. Toma nota de las apreciaciones de tu grupo, con respecto a lo analizado.


a. Seleccionen un líder de equipo y un secretario (a).

e. Discutan la pertinencia de los planteamientos y generalizaciones establecidas para cada fractal, tomando en consideración los apuntes que se tengan.

b. El líder seleccionado, moderará la discusión que se debe plantear.

c. El secretario, tomará nota de las conclusiones que se establezcan en cada discusión.

d. Cada integrante del grupo, presente el trabajo realizado en relación al fractal asignado a su grupo inicial de trabajo.

Nombre del líder del equipo:

Nombre del secretario (a):

Organízate en un nuevo grupo de cuatro compañeros y sigue las siguientes consignas, donde cada integrante del grupo tiene información de un fractal distinto.


e. Finalizadas las presentaciones de cada fractal, hagan la lectura de los acuerdos establecidos y verifiquen que todos estén de acuerdo con estos.



Observa el lado derecho de la figura, si miras la forma general observas que éste lado se divide en tres partes iguales, una de ellas en blanco a partir del cual se crea un triángulo equilátero. Y así mismo los otros tres lados de la figura inicial.

Ahora, dentro de cada lado, es posible ver que se ha dividido cada uno de los segmentos en 3 partes iguales.

Cada nueva subdivisión estará dada por tres segmentos iguales. Donde el central estará formando un triángulo equilátero.

En cuanto a la longitud de los segmentos, al subdividirse en tres partes. Su expresión estará dependiendo del número de pasos (k) y se generaliza en la expresión:

Longitud segmento (paso K= (1/3)k



En cuanto a la longitud de los segmentos, al subdividirse en tres partes. Su expresión estará dependiendo del número de pasos (k) y se generaliza en la expresión:

Longitud segmento (paso K) = (1/3)k

De igual forma es posible analizar el comportamiento de las siguientes figuras y obtener para ellas una expresión que dé cuenta por medio de una generalización del número de figuras que se forman, o de la longitud de cada segmento.

Basándote en lo que has visto y realizado hasta este momento, desarrolla los siguientes ejercicios de manera individual.

a. Utilizando una hoja de block, realiza una propuesta en relación al diseño de un nuevo fractal.

b. Describe de forma verbal, cada uno de los pasos que seguiste para su elaboración.

Ejercicio 1:


c. Da un toque innovador a tu fractal aplicándole color a algunas de las formas obtenidas.


Ejercicio 2:

Ejercicio 3:

a. Identifica el elemento del cual se partió para dar inicio a tu propuesta.

b. Escribe en una hoja de block, los pasos que se deben reproducir para la construcción de tu fractal.

c. Entrega tu fractal y los pasos que estableciste para su construcción a uno de tus compañe-ros, teniendo en cuenta que nadie puede quedar sin fractal

Con base en lo trabajado hasta el momento y de la socialización de los trabajos, responde de manera individual las siguientes preguntas:


Si, ¿por qué?

Si, ¿por qué?

No, ¿por qué?

No, ¿por qué?

a. ¿La creación de tu compañero corresponde a un fractal?

b. ¿Es posible reproducir nuevamente la construcción realizada por tu compañero?


c. Generaliza tus interpretaciones a los posibles resultados que se obtendrían, cuando los procedimientos propuestos por tu compañero se apliquen infinitas veces.

d. Realiza una propuesta, con la que consideres, mejorarías el diseño de tu compañero.


a. Devuelve el fractal a su dueño original junto a las respuestas que diste con respeto al ejercicio 3.

b. Revisa los comentarios y sugerencias que te suministró tu compañero acerca de tu propuesta de fractal, evalúa la pertinencia de las respuestas de tu compañero.

Ejercicio 4:


Para finalizar la actividad,

c. Realiza una presentación de tu fractal de máximo dos minutos, en la cual expongas tu fractal después de las correcciones.

Revisa en compañía de tres compañeros el fractal que te asignará tu docente, con ello desarrolla las siguientes consignas. Luego un representante de cada grupo socializará las conclusiones.


Si, ¿Como?

No, ¿por qué?

a. ¿Es posible reproducir los procedimientos que generan el fractal?

b. ¿Qué se obtendría si los procesos de generación se repiten infinitas veces?


c. ¿Organiza en una tabla las características que se puedan analizar del fractal que se te asignó.


d. Establece generalizaciones utilizando las propiedades numéricas de cada una de las características analizadas.

e. Realiza una interpretación de los resultados que obtuviste en la tabla.


f. Argumenta tus conclusiones acerca de los procesos que se repiten infinitas veces.

Con base en lo que hemos trabajado en la clase hasta el momento, realiza las siguientes consignas.

a. Consulta en la web una obra de arte que incluya o que se genere a partir de un fractal.

b. Reseña la obra de arte, es decir, indica el nombre de su autor, la fecha y lugar de creación, lugar de presentación al público, entre otros datos que puedas conseguir.


Si, ¿Como?

No, ¿por qué?

c. ¿Es posible reproducir los procedimientos que generan la obra de arte?


d. Organiza en una tabla las características que se puedan analizar de la obra de arte.

e. Establece generalizaciones utilizando las propiedades numéricas de cada una de las características analizadas.


f. Realiza una interpretación de los resultados que obtuviste en la tabla.


g. Argumenta tus conclusiones acerca de los procesos que se repiten infinitas veces.


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