BETARM _ MANUAL TECNICO

Manual Técnico

09-Abril-2010

José Luís Marques

Manual Técnico Página 2 de 81

José Luís Marques


Índice .............................................................................................................................................................. 3

LAJE DE PISO – LP1 ......................................................................................................................................... 4

LAJE DE TECTO – LT1 ...................................................................................................................................... 7

LAJE DE TECTO – LTC1 .................................................................................................................................. 10

LAJE DE ESCADA – LE .................................................................................................................................... 13

LAJE EM CONSOLA LC – Encastrada num apoio e sem rotação .................................................................. 16

LAJE MACIÇA – LM – Simplesmente apoiada ............................................................................................... 19

LAJE ARMADA EM CRUZ – LX1 ..................................................................................................................... 22

VIGA V1 – Simplesmente apoiada ................................................................................................................ 30

VIGA V2 – Duplamente encastrada .............................................................................................................. 33

VIGA V3 – Duplamente encastrada com carga concentrada ....................................................................... 37

VIGA V4 – Contínua de dois tramos desiguais ............................................................................................. 42

CÁLCULO DE EXCENTRICIDADES................................................................................................................... 48

CÁLCULO SÍSMICO ........................................................................................................................................ 51

FLEXÃO COMPOSTA ..................................................................................................................................... 54

PILAR P1 – Secção rectangular – Compressão simples ................................................................................ 56

SAPATA S1 – Concêntrica, homotética, rectangular .................................................................................... 58

SAPATA S2 – Concêntrica, homotética, quadrada ....................................................................................... 61

SAPATA S3 – Excêntrica, homotética, rectangular ....................................................................................... 63

SAPATA S4 – Excêntrica, homotética, quadrada .......................................................................................... 66

SAPATA S5 – Sapata de parede, concêntrica ............................................................................................... 69

SAPATA S6 – Sapata de parede, excêntrica ................................................................................................. 71

MURO DE SUPORTE ...................................................................................................................................... 73

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................... 81

Índice

José Luís Marques


1 – Dados:

Aço A 400 Betão B 15 Vão l=5.00 m Pé direito do piso 2,70 m

2 - Determinação da altura h

Cálculo da altura mínima – Artigo 113.2 102.2 do REBAP

30min

lh

Tipo de aço Valores de

A235 = 1.4

A400 = 1.0

A500 = 0.8

Tipo de laje Valores de

Simplesmente apoiada armada numa só direcção = 1.0

Duplamente encastrada, armadas numa só direcção = 0.6

Apoiada num bordo e encastrada no outro, armada numa só direcção

= 0.8

Em consola = 2.4

Simplesmente apoiada, armada em duas direcções = 0.7

Duplamente armada, armada em duas direcções = 0.5

Tipo de laje Espessura mínima

Laje de terraços não acessíveis definidos de acordo com o RSA 5 cm

Lajes submetidas principalmente a cargas distribuídas 7 cm

Lajes submetidas a cargas concentradas relativamente importantes 10 cm

Lajes submetidas a cargas concentradas muito importantes 12 cm

Lajes apoiadas directamente em pilares 15 cm

130

90,000,5minh 0.15 m

Adoptamos h = 0.24 m

3 - Determinação do peso próprio

Vamos estudar a laje B22-20 P3-4 com pp=5,52 kN/m2 e rigidez EI=18895 kNm2/m

4 - Determinação de combinação de acções Sd

Acções permanentes: Peso próprio pp = 3.52 kN/m

2

Divisórias div =1.51 kN/m2

Revestimento ver = 0.50 kN/m2

G = 5.53 kN/m2

Determinação do peso das divisórias

%)/( 2 direitoPémpesoDiv

Div = 1,40 x 2,70 x 0.40 = 1,51 (Art.º 15 do RSA e pagina 97 das Tabelas Técnicas) Acções variáveis:

Tipo de laje Sobrecarga

Compartimentos de habitação sc = 2,0 kN/m2

Lajes de tecto sc = 1,0 kN/m2

Lajes de cobertura Sc = 0.30 kN/m2

Sobrecarga sc =2.00 kN/m2

LAJE DE PISO – LP1

José Luís Marques


Q= 2.00 kN/m2

Combinação de acções:

QGSd 5,1 253.55,1dS 11,30 kN/m2

5 – Verificação aos estados limites de utilização (artº 12 do RSA) 5.1 – Combinações frequentes

QGSdf 1 230.053.5dfS 6,13 kN/m2

5.2 – Combinações quase permanentes

QGSdqp 2 220.053.5dfS 5.93 kN/m2

6 - Cálculos dos esforços 6.1 – Verificação ao estado limite último de resistência

Momento Flector

8

2lSM d

sd

8

00,53,11 2sdM = 35.31 kN.m

Esforço Transverso

2

lSV d

sd

2

00,53,11 sdV = 28,25 kN/m

6.2 – Verificação ao estado limite de fendilhação

Momento Flector de descompressão

8

2lSM

df

sdf

8

00,513,6 2sdfM = 19.16 kN.m

Momento Flector de fendilhação

8

2lSM

dqp

sdqp

8

00,593,5 2sdqpM = 18,53 kN.m

7 – Verificação ao estado limite de deformação

Cálculo da deformada

400

max

lf

400

500max f = 12,50 kN.m

EI

lSf

df

inst

4

384

5

18995

00,513,6

384

5 4instf =2,64 mm

dfS

GR 21

13,6

53,521 R =2,80

José Luís Marques


R

EIX

8,2

18995X =6748

X

lSf

df

lprazo

4

384

5

6748

00,513,6

384

5 4instf =7,39 mm

8 – Verificação da segurança Esforços resistentes > Esforços actuantes

Mrd 38,20 kNm/m > 35,31 kNm/m Mfctk 39,20 kNm/m > 19,16 kNm/m M0 35,70 kNm/m > 18,53 kNm/m Vrd 42,90 kN/m > 28,25 kN/m

9 – Armadura de distribuição Laje B22-20 P3-4 Adistr=1,64 cm2 – MALHASOL AR46

10 – Nervuras transversais (tarugos) Número de tarugos

)10

int(h

ln

)

24.010

5int(

n = 2,08 = 2 tarugos

Distância entre tarugos

1

1

n

ld

12

00,51

d = 1,67 m

Armadura dos tarugos

1d

AdAt = 0,83 cm2 c/ 2 ø 8 mm

11 – Reacção dos apoios: Devido à acção G (acções permanentes)

2

lGRG

2

553,5 GR = 13,83 kN/m

Devido à acção Q (acções variáveis)

2

lQRQ

2

52QR = 5,00 kN/m

José Luís Marques


1 – Dados:

Aço A 400 Betão B 15 Vão l=4,50 m

2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 113.2 102.2 do REBAP

30min

lh


A235 = 1.4

A400 = 1.0

A500 = 0.8





= 0.8

Em consola = 2.4









130

90,050,4minh 0.135 m


3 - Determinação do peso próprio

Vamos estudar a laje B22-16 P2.3 com pp=2,74 kN/m2 e rigidez EI=9442 kNm2/m


Acções permanentes: Peso próprio pp = 2,74 kN/m

2

G = 2,74 kN/m2

Acções variáveis:






Q= 1.00 kN/m2


QGSd 5,1 174,25,1dS 5,61 kN/m2

LAJE DE TECTO – LT1

José Luís Marques



QGSdf 1 1074,2dfS 2,74 kN/m2


QGSdqp 2 1074,2dfS 2,74 kN/m2


Momento Flector

8

2lSM d

sd

8

50,461,5 2sdM = 14,20 kN.m

Esforço Transverso

2

lSV d

sd

2

50,474,2 sdV = 12,62 kN/m



8

2lSM

df

sdf

8

50,474,2 2sdfM = 6,94 kN.m


8

2lSM

dqp

sdqp

8

50,474,2 2sdqpM = 6,94 kN.m



400

max

lf

400

450max f = 11,25 kN.m

EI

lSf

df

inst

4

384

5

9442

50,474,62

384

5 4instf =1,55 mm

dfS

GR 21

74,2

74,221 R =3,00

R

EIX

0,3

9442X =3147

José Luís Marques


X

lSf

df

lprazo

4

384

5

3147

50,474,2

384

5 4instf =4,65 mm

7 – Verificação da segurança Esforços resistentes > Esforços actuantes Mrd 29,30 kNm/m > 14,20 kNm/m Mfctk 34,20 kNm/m > 6,94 kNm/m M0 18,10 kNm/m > 6,94 kNm/m Vrd 20,40 kN/m > 12,62 kN/m



)10

int(h

ln

)

19.010

5.4int(



1

1

n

ld

12

50,41

d = 1,50 m


1d

AdAt = 0,38 cm2 c/ 2 ø 6 mm


2

lGRG

2

5,474,2 GR = 6,17 kN/m


2

lQRQ

2

5.41QR = 2,25 kN/m

José Luís Marques


1 – Dados:


2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 113.2 102.2 do REBAP

30min

lh


A235 = 1.4

A400 = 1.0

A500 = 0.8





= 0.8

Em consola = 2.4









130

90,050,4minh 0.135 m


3 - Determinação do peso próprio Vamos estudar a laje B22-16 P2.3 com pp=2,74 kN/m2 e rigidez EI=9442 kNm2/m


Acções permanentes: Peso próprio pp = 2,74 kN/m

2

Peso da telha telh = 0,50 kN/m2 G = 3,24kN/m2






Sobrecarga sc = 0.30 kN/m2

Q= 0.30 kN/m2


QGSd 5,1 30,024,35,1dS 5.31 kN/m2

LAJE DE TECTO – LTC1

José Luís Marques



QGSdf 1 3,0024,3dfS 3,24 kN/m2


QGSdqp 2 3.0024,3dfS 3,24kN/m2


Momento Flector

8

2lSM d

sd

8

50,431,5 2sdM = 13,33 kN.m

Esforço Transverso

2

lSV d

sd

2

50,431,5 sdV = 11,95 kN/m



8

2lSM

df

sdf

8

50,424,3 2sdfM = 8,20 kN.m


8

2lSM

dqp

sdqp

8

50,424,3 2sdqpM = 8,24 kN.m



400

max

lf

400

450max f = 11,25 kN.m

EI

lSf

df

inst

4

384

5

9442

50,424,3

384

5 4instf =1,83 mm

dfS

GR 21

24,3

24,321 R =3,00

R

EIX

0,3

9442X =3147

José Luís Marques


X

lSf

df

lprazo

4

384

5

3147

50,424,3

384

5 4instf =5,50 mm

7 – Verificação da segurança Esforços resistentes > Esforços actuantes Mrd 29,30 kNm/m > 13,44 kNm/m Mfctk 34,20 kNm/m > 8,20 kNm/m M0 18,10 kNm/m > 8,20 kNm/m Vrd 20,40 kN/m > 11,95 kN/m



)10

int(h

ln

)

19.010

5.4int(



1

1

n

ld

12

50,41

d = 1,50 m


1d

AdAt = 0,38 cm2 c/ 2 ø 6 mm


2

lGRG

2

5,424,3 GR = 7,29 kN/m


2

lQRQ

2

5.43,0 QR = 0,68 kN/m

José Luís Marques


1 – Dados:

Aço A 400 Betão B 15 Vão l=3.00 m

2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 102 do REBAP

30min

lh


A235 = 1.4

A400 = 1.0

A500 = 0.8





= 0.8

Em consola = 2.4









130

90,000,3minh 0.09 m



Acções permanentes:

Peso próprio = 0.12 25 = 3,0 pp = 3.00 kN/m2

Revestimentos (de tabela) rev =1.00 kN/m2

Peso degraus = (0.18 / 2 ) 25 = 2.25 deg=2.25 kN/m2

G = 6.25 kN/m2



Acessos em locais privados sc = 3,0 kN/m2

Acessos em locais públicos sc = 5,0 kN/m2


Q= 3.00 kN/m2


QGSd 5,1 325,65,1dS 13.88 kN/m2

LAJE DE ESCADA – LE

José Luís Marques


4 - Cálculos dos esforços

Momento Flector

10

2lSM d

sd

10

00,388.13 2sdM = 12.49 kN.m

Esforço Transverso

2

lSV d

sd

2

00,388,13 sdV = 20.82 kN/m

5 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):

cd

sd

fdb

M

2

800010,01

49,122

0.156

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 = 0.180

syd

cds

f

fdbA

348

810100180.0 sA = 4.14 cm

2/m

Realizável com 6 Ø 10 p.m.l. ( Aef = 4.71 cm2)

)(5

1efectivasdist AA 71,4

5

1distA 0.94 cm

2/m

Realizável com 6 Ø 6 p.m.l. (Aef. = 1.70 cm2)

6 - Verificações 6.1 - Armadura:

Percentagem mínima ρ 0.15 % (A-400)

100

db

As

10010.01

000414,0 0.414 % (OK!)

Armadura máxima 00,112.004.0 sA = 48,00 cm2 (OK!)

José Luís Marques


6.2 - Fendilhação:

Espaçamento entre varões (a menor das três condições)

< h5,1 12.05,1 = 0.18 m = 18 cm

< 35 cm 35 cm

< 2 12,5 (1) 25 cm

(1) Duas vezes o valor da seguinte tabela (Art. 91 do REBAP)

Ambiente

Tipo de aço

A235

A400 A500

Pouco agressivo (w=0.3 mm)

---

12,5 cm 10 cm

Moderadamente agressivo

--- 7,5 cm 5 cm

Espaçamento de 100 / 6 varões = 16,66 cm (OK)

7 - Esforço transverso:

wdcdRD VVV

ddbVcd 6.16.01 10.06.16.010.01500cdV 51 kN

wdV 0

Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

rdsd VV 00,4582.20 kN (OK!)


2

lGRG

2

325,6 GR = 9.38 kN/m


2

lQRQ

2

33QR = 4,50 kN/m

José Luís Marques


1 – Dados:



30min

lh


A235 = 1.4

A400 = 1.0

A500 = 0.8





= 0.8

Em consola = 2.4









130

4,230,1minh 0.104 m




Peso próprio = 0.12 25 = 3,0 pp = 3,00 kN/m2

Revestimentos (de tabela) rev =1,00 kN/m2

G = 4,00 kN/m2



Acessos em varandas sc = 5,0 kN/m2


Q= 5.00 kN/m2


QGSd 5,1 00,500,45,1dS 13,50 kN/m2

Carga concentrada originada pelo encosto:

FS toen 5,1cos 5,05,1costoenS 0,75 kN/m

LAJE EM CONSOLA LC – Encastrada num apoio e sem rotação

José Luís Marques



Momento Flector

lSlS

M toend

sd

cos

2

2 30,175,0

2

30,150.13 2

sdM = -12,38 kN.m

Esforço Transverso

toendsd SlSV cos 75.030.15,13 sdV = 18.30 kN/m


cd

sd

fdb

M

2

80010,01

39,122

0.152

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 = 0.179

syd

cds

f

fdbA

348

810100179.0 sA = 4.11 cm

2/m

Realizável com 7 Ø 10 p.m.l. ( Aef = 5,50 cm2)

)(5


5

1distA 1,10 cm

2/m




100

db

As

10010.01

000411,0 0.411 % (OK!)


José Luís Marques




< h5,1 12.05,1 = 0.18 m = 18 cm

< 35 cm 35 cm

< 2 12,5 (1) 25 cm


Ambiente

Tipo de aço

A235

A400 A500


---

12,5 cm 10 cm


--- 7,5 cm 5 cm



wdcdRD VVV

ddbVcd 6.16.01 10.06.16.010.01500cdV 51 kN

wdV 0

Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

rdsd VV 00,5130.18 kN (OK!)


FlGRG 50.030.14 GR = 5,70 kN/m


lQRQ 30.15QR = 6,50 kN/m

José Luís Marques


1 – Dados:



30min

lh


A235 = 1.4

A400 = 1.0

A500 = 0.8





= 0.8

Em consola = 2.4









130

0,100,3minh 0.10 m




Peso próprio = 0.15 25 = 3,75 pp = 3.75 kN/m2


G = 4,75 kN/m2



Acessos em locais privados sc = 3,0 kN/m2

Acessos em locais públicos sc = 5,0 kN/m2


Q= 3.00 kN/m2


QGSd 5,1 375,45,1dS 11.63 kN/m2

LAJE MACIÇA – LM – Simplesmente apoiada

José Luís Marques



Momento Flector

8

2lSM d

sd

8

00,363,11 2sdM = 13,08 kN.m

Esforço Transverso

2

lSV d

sd

2

00,363,11 sdV = 17,45 kN/m


cd

sd

fdb

M

2

80013,01

49,122

0.774

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 = 0.106

syd

cds

f

fdbA

348

813100106.0 sA = 3,17 cm

2/m


)(5


5

1distA 1,10 cm

2/m




100

db

As

10013.01

000317,0 0.244 % (OK!)


José Luís Marques




< h5,1 15.05,1 = 22,5 cm

< 35 cm 35 cm

< 2 12,5 (1) 25 cm


Ambiente

Tipo de aço

A235

A400 A500


---

12,5 cm 10 cm


--- 7,5 cm 5 cm



wdcdRD VVV

ddbVcd 6.16.01

13.06.16.013.01500cdV 67.47 kN

wdV 0

Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

rdsd VV 47,6754,17 kN (OK!)


2

lGRG

2

375,4 GR = 7,13 kN/m


2

lQRQ

2

33QR = 4,50 kN/m

José Luís Marques


1 – Dados: Laje armada em cruz com dois bordos descontínuos e dois bordos com continuidade

Aço A 400 Betão B 15 Vão maior lx=6,20 m Vão menor ly=4,40 m


30min

lh


A235 = 1.4

A400 = 1.0

A500 = 0.8





= 0.8

Em consola = 2.4









130

5,020,6minh 0.10 m

130

7,020,6minh 0.14 m

Adoptamos h = 0.15 m; d=0,13 m

3 – Consulta às tabelas de Montoya

Relação entre os vãos 20,6

40,4

x

y

L

L0,70

(Condição necessária para utilizar este método: O vão maior não pode ultrapassar o dobro do vão menor.)

LAJE ARMADA EM CRUZ – LX1

José Luís Marques


Tabela do livro “Hormigon Armado de Pedro Jiménez Montoya e outros, Editora Gustavo Gili – 14ª Edição.

Escolhemos na tabela a configuração escolhida e cruzando com a relação do vão obtemos os coeficientes que utilizaremos mais à frente. No presente caso dois bordos contínuos e dois descontínuos, tiramos:

45001,02

yy lqM - Direcção Y e armadura inferior (no vão)

24001,02

yx lqM - Direcção X e armadura inferior (no vão)

101001,02

yy lqM - Direcção Y e armadura superior (no apoio)

80001,02

yx lqM - Direcção Y e armadura superior (no apoio)

43001,03

4

hE

lqw

y - Deformação (flecha) máxima


Acções permanentes: Peso próprio = 0.15 25 = 3,75 pp = 3.75 kN/m

2


Divisórias div =0.75 kN/m2

G = 5.00 kN/m2






Q= 2.00 kN/m2


QGSd 5,1 00,200.55,1dS 10,50 kN/m2

5 – Cálculos dos Momentos e armaduras 5.1 – Segundo a direcção YY e colocada na parte inferior

45001,02

yy lSdMsd

4540,450.10001,0 2

yMsd = 9,14 kNm

5.1.1 – Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):

cd

sd

fdb

M

2

1000813,01

14,92

0.067

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 067.01067.0 = 0,071

José Luís Marques


syd

cds

f

fdbA

348

813100071.0 sA = 2,12 cm

2/m


)(5


5

1distA 0,604 cm

2/m


5.1.2- Verificações

5.1.2.1 - Armadura:


100

db

As

10013.01

00035,0 0.269 % (OK!)


5.2 – Segundo a direcção XX e colocada na parte inferior

24001,02

yx lSdMsd

2440,450.10001,0 2

xMsd = 4.87 kNm


cd

sd

fdb

M

2

1000813,01

87.42

0.036

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 036.01036.0 = 0,037

syd

cds

f

fdbA

348

813100037.0 sA = 1.10 cm

2/m


)(5


5

1distA 0,604 cm

2/m



5.2.2.1 - Armadura:


100

db

As

10013.01

000302,0 0.232 % (OK!)

José Luís Marques



5.3 – Segundo a direcção YY e colocada na parte superior

101001,02

yx lSdMsd

10140,450.10001,0 2

xMsd = 20.53 kNm


cd

sd

fdb

M

2

1000813,01

53.202

0.151

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 151.01151.0 = 0,128

syd

cds

f

fdbA

348

813100128.0 sA = 3.83 cm

2/m


)(5

1efectivasdist AA 00.4

5

1distA 0,80 cm

2/m



5.3.2.1 - Armadura:


100

db

As

10013.01

0004,0 0.307 % (OK!)


5.4 – Segundo a direcção XX e colocada na parte superior

80001,02

yx lSdMsd

8040,450.10001,0 2

xMsd = 16.26 kNm


cd

sd

fdb

M

2

1000813,01

26.162

0.120

José Luís Marques


Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 120.01120.0 = 0,105

syd

cds

f

fdbA

348

813100105.0 sA = 3.13 cm

2/m


)(5

1efectivasdist AA 00.4

5

1distA 0,800 cm

2/m



5.4.2.1 - Armadura:


100

db

As

10013.01

0004,0 0.307 % (OK!)


6 – Áreas de influência:

Para o cálculo das reacções dos apoios e esforços transversos, consideramos apenas as áreas de influência, ou seja, um trapézio para o lado maior e um triângulo para o lado menor; se forem vãos iguais serão consideradas as áreas de dois triângulos. As áreas de influência poderão ser diferentes em função das condições de apoio, conforme se ilustra.

(Do livro “Hormigon Armado de Pedro Jiménez Montoya e outros, Editora Gustavo Gili – 14ª Edição)

Área do trapézio:

2

40,4

2

)40,420,6(20,6TRAPÉZIO

A 8,80 m2

Área do triângulo:

2

2

40,440,4

TRIÂNGULOA 4,84 m2

José Luís Marques


7 - Esforço transverso: 7.1 Vão maior

Vão maior:

x

SdL

ÁreaSdV

20,6

80,850,10SdV 14,90 kN

wdcdRD VVV

ddbVcd 6.16.01

13.06.16.013.01500cdV 67.47 kN

wdV 0

Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

rdsd VV 47,6790,14 kN (OK!)

7.1 Vão menor

Vão menor:

x

SdL

ÁreaSdV

40,4

84,450,10SdV 11,55 kN

wdcdRD VVV

ddbVcd 6.16.01

13.06.16.013.01500cdV 67.47 kN

wdV 0

Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

rdsd VV 47,6755,11 kN (OK!)

José Luís Marques


8 – Reacção dos apoios: 8.1 - Vão maior:

Devido à acção G (acções permanentes)

x

GL

ÁreaGR

20,6

80,800,5GR 7,10 kN


x

QL

ÁreaQR

20,6

80,800,2GR 2,84 kN

8.2 - Vão menor: Devido à acção G (acções permanentes)

y

GL

ÁreaGR

40,4

84,400,5GR 5,50 kN


y

QL

ÁreaQR

40,4

84,400,2GR 2,20 kN

9 – Verificação à Fendilhação:


< h5,1 15.05,1 = 22,5 cm

< 35 cm 35 cm

< 2 12,5 (1) 25 cm


Ambiente

Tipo de aço

A235

A400 A500


---

12,5 cm 10 cm


--- 7,5 cm 5 cm


10 – Verificação à Deformação:

Módulo de Elasticidade E(GPa)

B15 E=26,0 GPa

B20 E=27,5 GPa

B25 E=29,0 GPa

(Artigo 17º do REBAP)

43001,03

4

hE

lSdw

y

José Luís Marques


4313.01026

40,45.10001,0

36

4

w 2,96x10-3

m = 2,96 mm

11 – Colocação das armaduras:

(Do livro “Hormigon Armado de Pedro Jiménez Montoya e outros, Editora Gustavo Gili – 14ª Edição)

José Luís Marques


1 – Dados:



20min

lh


A235 = 1.4

A400 = 1.0

A500 = 0.8


Simplesmente apoiada = 1.0

Duplamente encastrada = 0.6

Apoiada numa extremidade e apoiada na outra = 0.8

Em consola (sem rotação do apoio) = 2.4

120

0,180.2minh 0.14 m

Adoptamos h = 0.24 m e b = 0,30 m



Peso próprio = 0.24 0,30 25 = 1,80 pp = 1,80 kN/m Laje LE LE = 9,38 kN/m

G = 11,18 kN/m

Acções variáveis: Laje LE LE = 4,50 kN/m

Q = 4,50 kN/m


QGSd 5,1 50,418,115,1dS 23,52 kN/m


Momento Flector

8

2lSM d

sd

8

80,252,23 2sdM = 23,05 kN.m


cd

sd

fdb

M

2

800021,030.0

05,232

0.218

VIGA V1 – Simplesmente apoiada

José Luís Marques


Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 = 0.265

syd

cds

f

fdbA

348

82130266.0 sA = 3,85 cm

2/m


6 - Esforço Transverso

Esforço Transverso

2

lSV d

sd

2

80,205.23 sdV = 32,93 kN/m

wdcdRD VVV

dbVcd 1 21.030,0500cdV 31,50 kN

5,3193,32wdV 1,43 kN (tem de ser absorvido pelos estribos)

dbVRd 2max 21.030,02400maxRdV 151,2 kN > Vsd

(max)6

12

6

1Rdw Vdb 2,151

6

125,2 kN

(max)3

22

3

2Rdw Vdb 2,151

3

2100,8 kN

Espaçamento de Estribos

Se

dbV wSD 26

1

Se

dbVdb wSDw 223

2

6

1

Se

dbV wSD 23

2

Espaçamento

ds 9,0

com máximo de 30 cm

ds 5,0


ds 3,0


José Luís Marques


Portanto 25,2 < Vsd < 100,8

Logo ds 5,0 com máximo de 25 cm

24.05,0s 0.12 adopta-se afastamento de 0.12 m

Admitindo estribos de Ø 6

s

fsydAdV swwd 9,0

10,0

348000)1057,0(21,09,0 4

wdV

wdV 37,49 > 1,43 que tinha de ser absorvido pelos estribos

wdcdRD VVV 49,3750,31RDV 68,99 kN

RDV 68,99 kN > SDV 32,93 kN OK

Estribos de 2 ramos em Ø 6 afastados 0,10 m.

7 – Deformada

Desnecessária - cumpre-se H(min)

8 – Fendilhação

Desnecessária – o espaçamento entre varões ultrapassa o mínimo

9 – Reacção de apoios

2

)(

lGR G

2

80,218,11)(GR 15,65 kN

2)(

lQR Q

2

80,250,4)(GR 6,30 kN

José Luís Marques


1 – Dados:



20min

lh


A235 = 1.4

A400 = 1.0

A500 = 0.8






0,120

60,070,3minh 0.11 m

Adoptamos h = 0.40 m d=0.37 e b = 0,25 m



Peso próprio = 0.40 0,25 25 = 2,50 pp = 2,50 kN/m Laje LP1 LE = 10,00 kN/m

G = 12,50 kN/m

Acções variáveis: Laje LP1 LE = 4,50 kN/m

Q = 4,50 kN/m


QGSd 5,1 50,450,125,1dS 25,50 kN/m


Momento Flector (a meio vão)

24

2lSM d

sd

24

70,350,25 2sdM = 14.54 kN.m

Momento Flector (sobre apoios)

12

2lSM d

sd

12

70.350.25 2sdM = 29.09 kN.m

VIGA V2 – Duplamente encastrada

José Luís Marques



A meio vão

cd

sd

fdb

M

2

800037,025.0

54.142

0.018

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 = 0.020 (Mínimo regulamentar 0.15) = 0.15 %

syd

cds

f

fdbA

348

8372515.0 sA = 3.18 cm

2/m


Sobre os apoios

cd

sd

fdb

M

2

800037,025.0

09.242

0.087

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 = 0.095 (Mínimo regulamentar 0.15) = 0.15 %

syd

cds

f

fdbA

348

8372515.0 sA = 3,18 cm

2/m


José Luís Marques



Esforço Transverso

2

lSV d

sd

2

70.350.25 sdV = 47.175 kN/m

wdcdRD VVV

dbVcd 1 37.025,0500cdV 46,25kN

25,46175.47wdV 0.925 kN (tem de ser absorvido pelos estribos)

dbVRd 2max 37.025,02400maxRdV 222 kN > Vsd

(max)6

12

6

1Rdw Vdb 222

6

137,0 kN

(max)3

22

3

2Rdw Vdb 222

3

2148,0 kN


Se

dbV wSD 26

1

Se

dbVdb wSDw 223

2

6

1

Se

dbV wSD 23

2

Espaçamento

ds 9,0


ds 5,0


ds 3,0






s

fsydAdV swwd 9,0

18,0

348000)1057,0(37,09,0 4

wdV

wdV 36.69 > 0.925 que tinha de ser absorvido pelos estribos


RDV 82.94 kN > SDV 47.17 kN OK

Estribos de 2 ramos em Ø 6 afastados 0,10 m.

José Luís Marques


7 – Deformada


8 – Fendilhação



2

)(

lGR G

2

70,350,12)(GR 23,125 kN

2)(

lQR Q

2

70,350,4)(GR 8,325 kN

José Luís Marques


1 – Dados:



20min

lh


A235 = 1.4

A400 = 1.0

A500 = 0.8






0,120

60,070,3minh 0.11 m




Peso próprio = 0.40 0,25 25 = 2,50 pp = 2,50 kN/m Laje LP1 LE = 10,00 kN/m

G = 12,50 kN/m

Acções variáveis: Laje LP1 LE = 4,50 kN/m

Q = 4,50 kN/m


QGSd 5,1 50,450,125,1dS 25,50 kN/m

Carga concentrada (das Tabelas Técnicas de Brazão Farinha, tiramos,

Esquema Fórmula para Reacções de apoios e Esforços Transversos

Fórmula para Momentos Flectores

)2(3

2

1 all

bFR

)2(23

2

bll

aFR

2

2

21l

baFM

2

2

12l

baFM

3

22

2l

baFM x

VIGA V3 – Duplamente encastrada com carga concentrada

l

Sd F

X

a b

José Luís Marques


l=3,70 m a= 1,70 m b=2,00 F=13.33x1,5=20,00 kN


Momento Flector (a meio vão) Devido à combinação de acções

24

2lSM d

sd

24

70,350,25 2sdM = 14.54 kN.m

Devido à carga concentrada

3

22

2l

baFM x

3

22

70,3

00,270,1202

xM = 33.77 kN.m

Momento Total (soma dos dois anteriores)

21 MMM sd = 14,54 + 33,77 = 48,31 kN.m


Devido à combinação de acções

12

2lSM d

sd

12

70.350.25 2sdM = 29.09 kN.m


2

2

21l

baFM

2

2

2170.3

00,270.120 M = 9,93 kN.m

2

2

12l

baFM

2

2

1270,3

00.270,120 M = 8.44 kN.m

Momento Total (soma dos dois anteriores)

21 MMM sd = 29,09 + 9,93 = 39.02 kN.m (no apoio 1)

21 MMM sd = 29,09 + 8.44 = 37.53 kN.m (no apoio 2)


A meio vão

cd

sd

fdb

M

2

800037,025.0

31.482

0.176

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

José Luís Marques


Como 31.0

0'

1 = 0.207

syd

cds

f

fdbA

348

83725207.0 sA = 4.41 cm

2/m


Sobre os apoios

cd

sd

fdb

M

2

800037,025.0

02,392

0.142

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 = 0.162

syd

cds

f

fdbA

348

83725162.0 sA = 3,44 cm

2/m



Esforço Transverso Devido à combinação de acções

2

lSV d

sd

2

70.350.25 sdV = 47.175 kN/m


)2(3

2

1 all

bFV

)70,1270,3(

70,3

00,2203

2

1

V = 11,21 kN

)2(23

2

bll

aFV

)00,2270,3(

70,3

70,1202

3

2

V =8,22 kN

Esforço Transverso Total (soma dos dois anteriores)

21 VVVsd = 47,165 + 11,21 = 58,37 kN/m (no apoio 1)

21 VVVsd = 47,165 + 8.22 = 55,38 kN/m (no apoio 2)

José Luís Marques


wdcdRD VVV

dbVcd 1 37.025,0500cdV 46,25kN



(max)6

12

6

1Rdw Vdb 222

6

137,0 kN

(max)3

22

3

2Rdw Vdb 222

3

2148,0 kN


Se

dbV wSD 26

1

Se

dbVdb wSDw 223

2

6

1

Se

dbV wSD 23

2

Espaçamento

ds 9,0


ds 5,0


ds 3,0






s

fsydAdV swwd 9,0

18,0

348000)1057,0(37,09,0 4

wdV

wdV 36.69 > 12,12 que tinha de ser absorvido pelos estribos


RDV 82.94 kN > SDV 47.17 kN OK

Estribos de 2 ramos em Ø 6 afastados 0,10 m. Para o outro apoio faz-se de igual modo.

7 – Deformada


8 – Fendilhação


José Luís Marques




2

)(

lGR G

2

70,350,12)(GR 23,125 kN


)2(3

2

1 all

bFR

)70,1270,3(

70,3

00,2203

2

1

R = 11,21 kN


2)(

lQR Q

2

70,350,4)(GR 8,325 kN


)2(23

2

bll

aFR

)00,2270,3(

70,3

70,1202

3

2

R =8,22 kN

21 RRRA = 47,165 + 11,21 = 58,37 kN/m (no apoio 1)

21 RRRB = 47,165 + 8.22 = 55,38 kN/m (no apoio 2)

José Luís Marques


1 – Dados:

Aço A 400 Betão B 15 Vãos 1º tramo l1=3.70 m

2º tramo L2=4.10 m


20min

lh


A235 = 1.4

A400 = 1.0

A500 = 0.8



Duplamente encastrada (considerei esta) = 0.6



0,120

60,010,4minh 0.123 m


3 - Determinação de combinação de acções Sd 3.1 – Tramo 1


Peso próprio = 0.50 0,25 25 = 2,50 pp = 3,13 kN/m Laje LP1 = 14,08 kN/m Laje LP4 = 7,73 kN/m Parede = 2,50 kN/m

G = 27,44 kN/m

Acções variáveis: Laje LP1 = 5,10 kN/m Laje LP4 = 2,80 kN/m

Q =7,90 kN/m


QGSd 5,1 50,450,125,1dS 53,01 kN/m

3.2 – Tramo 2


Peso próprio = 0.50 0,25 25 = 2,50 pp = 3,13 kN/m Laje LP2 = 11.97 kN/m Parede = 2,50 kN/m

VIGA V4 – Contínua de dois tramos desiguais

1,30 m

L1=3,70 m

Sd1=53,01 kN/m F=21.93 kN

1,30 2,80

L2=4,10 m

Sd2=32,85 kN/m

A B C

José Luís Marques


G = 17,60 kN/m

Acções variáveis: Laje LP2 = 4,30 kN/m

Q = 4,30 kN/m


QGSd 5,1 50,450,125,1dS 32,85 kN/m

Carga concentrada l=4,10 m a= 1,30 m b=2,80 F=114,62x1,5=21,93 kN

4 - Cálculos dos Momentos Flectores (realizados pelo Método de Cross)

Momento Flector (nos apoios)

)1(apoiosdM 0 kNm

)2(apoiosdM -87,93 kNm

)3(apoiosdM 0 kNm


)1(tramosdM 52,08 kNm

)2(tramosdM 42,51 kNm


Apoio 1 (B) (Momento negativo)

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

cd

sd

fdb

M

2

1000847,025.0

93,872

0.15

Como 31.0

0'

1 15,0115,0 = 0,17

syd

cds

f

fdbA

348

8472517.0 sA = 6,18 cm

2/m


Tramo 1 (AB) (Momento positivo)

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

José Luís Marques


cd

sd

fdb

M

2

1000847,025.0

08,522

0.09

Como 31.0

0'

1 09,0109,0 = 0,10

syd

cds

f

fdbA

348

8472510.0 sA = 3,47 cm

2/m


Tramo 2 (BC) (Momento positivo)

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

cd

sd

fdb

M

2

1000847,025.0

51,422

0.07

Como 31.0

0'

1 07,0107,0 = 0,08

syd

cds

f

fdbA

348

8472508.0 sA = 2,78 cm

2/m


6 - Esforço Transverso (cálculos feitos pelo Método de Cross)

Esforço Transverso

ESQUERDA

tramosdV)1(

74,30 kN

DIREITA

tramosdV)1(

-121,83 kN

ESQUERDA

tramosdV)2(

103,76 kN

DIREITA

tramosdV)2(

-52,85 kN

6.1 – Tramo 1 (à esquerda)

ESQUERDA

tramosdV)1(

74,30 kN

wdcdRD VVV

dbVcd 1 47.025,0500cdV 70,50 kN


José Luís Marques



(max)6

12

6

1Rdw Vdb 282

6

147,0 kN

(max)3

22

3

2Rdw Vdb 282

3

2188,0 kN


Se

dbV wSD 26

1

Se

dbVdb wSDw 223

2

6

1

Se

dbV wSD 23

2

Espaçamento

ds 9,0


ds 5,0


ds 3,0


Portanto 47,0 < Vsd < 1887,0




s

fsydAdV swwd 9,0

23,0

1000348)1001,1(47,09,0 4

wdV



RDV 135,14 kN > SDV 74,30 kN (OK!)

Estribos de 2 ramos em Ø 8 afastados 0,23 m. 6.2 – Tramo 1 (à direita)

ESQUERDA

tramosdV)1(

121,83 kN

wdcdRD VVV

dbVcd 1 47.025,0500cdV 70,50 kN



(max)6

12

6

1Rdw Vdb 282

6

147,0 kN

(max)3

22

3

2Rdw Vdb 282

3

2188,0 kN

José Luís Marques



Se

dbV wSD 26

1

Se

dbVdb wSDw 223

2

6

1

Se

dbV wSD 23

2

Espaçamento

ds 9,0


ds 5,0


ds 3,0


Portanto 47,0 < Vsd < 1887,0




s

fsydAdV swwd 9,0

23,0

1000348)1001,1(47,09,0 4

wdV


wdcdRD VVV 48.3650,70RDV 106,98 kN

RDV 106,98 kN > SDV 74,30 kN (OK!)

Estribos de 2 ramos em Ø 8 afastados 0,23 m. 6.3 – Tramo 2 (à esquerda)

Faz-se de forma análoga 6.3 – Tramo 2 (à direita)

Faz-se de forma análoga

7 – Deformada


8 – Fendilhação


9 – Reacção de apoios (realizadas pelo Método de Cross)

)1(R 49,54 kN

)2(R 150,40 kN

)3(R 35,23 kN

10 – Distâncias dos Momento nulos e máximos Tramo 1

As distâncias de Momento Nulo são:

José Luís Marques


0 m a contar do apoio A (ou seja no apoio é zero) 0,90 a contar do apoio B Momento máximo a 1,40 a contar do apoio A

Tramo 2

As distâncias de Momento Nulo são: 1,01 m a contar do apoio B 0, 0 a contar do apoio C (ou seja no apoio é zero) Momento máximo a 2,49 a contar do apoio B

Como no ponto de momento de V=0 o M é máximo, então temos Vsd=0m a 1,40 m do apoio A e a 2,49 do apoio B. Para o cálculo dos comprimentos da armadura negativa, temos de somar lbnet à distância de momentos nulos.

José Luís Marques


1 – Acções no pilar

Peso próprio do pilar P1 25 x 0,30 x 0,30 x 2,60 = 5,85 kN

P2 25 x 0,30 x 0,330 x 3,00 = 6,75 kN

Acção da viga V1 = 40,00 kN

V2 = 40,00 kN

V3 = 50,00 kN

V4 = 50,00 kN

TOTAL N = =192,60 kN

2 – Inércia das peças

12

3bhIY

12

3hbI X

Inércia dos pilares P1 e P2

12

30,03,0 3

YI 0,000675 m4

12

30,03,0 3

XI 0,000675 m4

Inércia das vigas V1 e V2

12

40,025,0 3

I 0,0013 m4

Inércia das vigas V3 e V4

12

50,025,0 3

I 0,0026 m4

3 – Esbelteza dos pilares - Comprimento efectivo de encurvadura

i

l0 ai 12

12 ll 0

- Para estruturas de nós móveis o menor de

)(15,00,1 21

min30,00,2

CÁLCULO DE EXCENTRICIDADES

X

Y

h

b

José Luís Marques


l

EIl

EI

VIGAS

PILARES

4

0013.02

60,2

000675,0

1

=0,39

4

0026,02

00,3

000675,0

60,2

000675,0

2

=0,39

3 1,00 (do REBAP, em função do apoio)

4 – Coeficientes η

ANDAR


)(15,00,1 21 = 1,0 + 0,15 (0,39 + 0,37) = 1,11

min30,00,2 = 2,0 + 0,30 x 0,37 = 2,11

ll 0 = 1,11 x 2,60 = 2,89 m

RÉS-DO-CHÃO


)(15,00,1 21 = 1,0 + 0,15 (0,39 + 1) = 1,21

min30,00,2 = 2,0 + 0,30 x 0,37 = 2,11

ll 0 = 1,21 x 2,60 = 3,63 m

5 – Cálculo da esbelteza

ANDAR

ai 12

12 = 30,0

12

120,086

i

l0 =0866,0

89,2= 33,37 < 35 Dispensa a Verificação à encurvadura

RÉS-DO-CHÃO

α1

α2

α3

José Luís Marques


ai 12

12 = 30,0

12

120,086

i

l0 =0866,0

63,3= 41,92 > 35 Não Dispensa a Verificação à encurvadura

6 – Cálculo das excentricidades

Excentricidade adicional – 0,02 m

Excentricidade de 2ª ordem

Nsd

Af ccd

4,0 =

50,160,192

3,0)108(4,0 23

=0,997

31051

hr= 097,010

30,0

5 3 = 0,017

10

12

2

ol

re =

10

63,3017,0

2

=0,022 m

Excentricidade de fluência

1

,

exp0

SgE

Sgc

a

Sg

sg

cNN

Ntt

eN

Me

Como o 70 é dispensado o cálculo da excentricidade de fluência.

7 – Momento flector actuante O Momento flector devido às excentricidades é

)( 2 casdsd eeeNM

Msd=(192,60x1,5) x (0,02+0,022)=12,13 KNm

José Luís Marques


1 – Quantificação da acção sísmica

As medições do prédio estão nas folhas de cálculo anexas

PISO 2 – Altura 2,60 m

Designação das cargas Acção G Acção Q Total (G+Ψ2.Q)

Carga da cobertura 100,00

Carga das Lajes 240,00

Sobrecarga das Lajes 96,00

Carga das Paredes 260,00

Carga das Vigas 130,00

Carga dos pilares 35,10

Carga do piso G(2)=765,20

PISO 1 – Altura 3.00 m

Designação das cargas Acção G Acção Q Total (G+Ψ2.Q)

Carga da cobertura 0

Carga das Lajes 302,00

Sobrecarga das Lajes 308,00

Carga das Paredes 560,00

Carga das Vigas 162,50

Carga dos pilares 75,10

Carga do piso G(2)=1161,70

Carga total do edifício N=1926,80 kN

Altura total do edifício H=5,60 m

2 – Cálculo das forças e momentos sísmicos Tipo de Estrutura: Pórtico η=2,5 artº 33.2 REBAP

Tipo de terreno de fundação Tipo II Artº 20.2 REBAP

Artº 31.2 RSA

Zona sísmica Zona A (Lisboa) α=1 Artº 29 RSA

Zona sísmica α

A 1,0

B 0,7

C 0,5

D 0,3

Número de pisos 2

Frequência (artº 31.2 RSA)

CÁLCULO SÍSMICO

José Luís Marques


n

f12

=2

12=6 0 0,40

n

0 =

5,2

140,0 =0,16

2.1 - Verificação (art.º 31.2 do RSA)

0,04 . a < β < 0,16 . a

0,04 < β < 0,16

3 - Forças sísmicas

ii

iiiki

Gh

GGhF

Artº 32.2 RSA

Gi=765,10 + 1161,70 = 1926,80 kN

hi.Gi=(765.10 x 5,60) + (1161,70 x 3) = 7769,66

66,7769

80,192610,76560,516,02 kF = 170,00 kN

66,7769

80,192670,116100,316,01 kF = 138,28 kN

4 - Cálculo de Pilares

PISO 2

1º Grupo Número de pilares 12

de Pilares Secção 0,30 x 0,30 m2

Inércia Segundo direcção XX 0,000675 m4

PILARES

PILARkiPILAR

I

IFF =

000675,012

000675,028,138

=11,52 kN

22

hFM =

2

60,252,11 =38,54 KNm

PISO 1

José Luís Marques


1º Grupo Número de pilares 12

de Pilares Secção 0,30 x 0,30 m2

Inércia Segundo direcção XX 0,000675 m4

PILARES

PILARkiPILAR

I

IFF =

000675,012

000675,000,170

=14,17 kN

221

hFFM =

2

60,217.14 =18,42 KNm

2

hFM

Modelo de cálculo utilizado no cálculo dos Momentos

Distribuição da carga sísmica nos pisos

F2

F1 F2

José Luís Marques


1 – Momento final (excentricidade + sísmico)

O Momento-flector devido às excentricidades e sismo é

Msd=12,13 + 38,54= 50,67 kNm

cd

SD

fhb

N

=

310830,030,0

9,288

=0,401

cd

SD

fhb

N

2 =

32 10830,030,0

67,50

=0,235

85,0C 85,0401,0C -0,449

h

a5,0

30,0

02,05,0 0,433

Para 85,0 Para 85,0

C.55,0 C

2 - Valores do coeficiente β

ν <= 0,4 0,5 0,6 0,7 > 0,85

β 1,0 0,93 0,88 0,88 0,93

Como 85,0

C.55,0 =

1433,0

)449,0(401,055,0235,00,307

3 - Armadura das faces

syd

cd

f

fhbAA

2'

348

8

2

30,03,0307,03,18 cm

2

c/ 3 Φ12 (em cada face)

FLEXÃO COMPOSTA

José Luís Marques


4 - Espaçamento das cintas

cm 30

cm 30

1412 12

cm 30

a

12 cm

14 cm

Verificação da armadura longitudinal

Mínima AcA %6,0 0,006x(30x30)=5,4 cm2

Máxima AcA %8 0,8x(30x30)=720 cm2

Como temos 8 Φ12 (9,04 cm2) está entre os limites regulamentares

José Luís Marques


1 – Dados:

Aço A 400 fsyd=204 MPa

Betão B 15 fcd=10,7 MPa

Vão l=2.50 m

2 – Dados:

Secção a = 30 cm

b = 30 cm

(Valor da mínima secção transversal = 20 cm)

3 – Acções:

Peso próprio do pilar (0,30 x 0,30 x 2,5 x 25 ) pp = 5,62

Pilar anterior N = 0

Viga V1 V1 = 50

Viga V2 V2 = 50

Viga V3 V3 = 0

Viga V4 V4 = 0

TOTAL N = 105,62 kN

Nsd = N x 1,5 Nsd = 158,43 kN

4 – Calculo de varejamento

4.1 – Comprimento efectivo de encurvadura

Tipo de apoio Valores de

Pilares isolados

Ambas as extremidades articuladas = 1,00

Ambas as extremidades encastradas = 0,50

Uma extremidade encastrada e outra articulada = 0,75

Uma extremidade encastrada e outra livre = 2,00

Pilares de

estruturas de

edifícios

Pilares entre pisos = 0,70 a 1,00

Pilar perfeitamente encastrado na sapata = 0,85

Pilar parcialmente encastrado na sapata = 0,90

Quando não há transmissão de momentos entre a sapata e o pilar

=1,35

ll 0 50,275,00l 1,875 m

4.2 – Esbelteza

Inércia

cA

Ii

hb

bh

i 12

3

PILAR P1 – Secção rectangular – Compressão simples

José Luís Marques


Raio de giração

6

3bi ai

12

120,289 x 30 cm = 8,67 cm

Esbelteza

i

l0 cm

cm

67,8

5,187 21,62 < 35

Dispensa a verificação da segurança em relação à encurvadura

5 – Estado limite último de compressão

ssydccdsd AfAfN 85,0

5.1 – Secção de betão que por si só resiste ao esforço (A’c)

10007,1085,0

'N

A c

10007,1085,0

43,158'cA 0,0174 m2 = 174 cm2

6 – Cálculo das armaduras

cs AA '%8,0 = 0,008 X 174 = 1,39 cm2

cs AA %4,0 = 0,004 x 900 = 3,60 cm2

c/ 4 Ø 12 mm (4,52 cm2)

7 – Verificação da segurança

52,410204900107,1085,0 11

sdN 910,75 kN

Como sdRD NN 910,75 > 158,43 OK

8 – Calculo da armadura transversal (Artigo 122.1 e 122.2 do REBAP)

Espaçamento - menor de:

≤ 12 Ø ≤ x 12 = 14,4 cm

≤ a (menor dimensão do pilar) ≤ 30 cm

≤ 30 cm ≤ 30 cm

Como a armadura longitudinal é inferior a Ø 25 aplicaremos Ø 6 espaçados 14 cm.

José Luís Marques


1 – Dados:

Aço A 400 Betão B 15 Secção do pilar (a x b) = 0,40 x 0,30 m2 Resistência do terreno Rt = 0.30 Mpa = 300 KN/m2

2 – Acção na sapata Esforço axial do pilar Np=300 kN Peso da sapata (estimado) Np x 10 % = 300 x 0.10 = 30 kN TOTAL 300,00 + 30,00 = 330 kN

3 – Largura da Sapata

Rt

NBA

B – Lado menor aR

bNB

t

40.010003.0

30.03300.91 adopta-se 1.00 m

A – Lado maior bR

aNA

t

30.010003.0

40.03301,21 adopta-se 1.25 m


3

min

aAh

3

40,025,1min

h = 0.28 m

Adoptamos h = 0.40 m e d = 0,35 m

5 - Determinação de combinação de acções Sd Acções

Peso próprio = 1,25 1,00 0,40 25 = 12,50 pp = 12,50 kN/m Carga transmitida pelo pilar N= 300 kN/m N = 312,50 kN/m

NN sd 5,1 50,3125,1sdN 468,75 kN/m

6 - Determinação do tensão de segurança efectiva no terreno

S

Nefectiva

)00,125,1(

50,312

efectiva = 250 kN/m2 = 0,25 MPa < terr=0,30 OK

SAPATA S1 – Concêntrica, homotética, rectangular

a

b

A

B

José Luís Marques


5,1efectiva 0.25 x 1,5 = 0,375 Mpa

7 - Cálculos das Forças (Método das Bielas)

d

aANF sd

as

8

)(

358

)40125(75,468

asF = 142,29 kN

d

aANF sd

bs

8

)(

358

)30100(75,468

asF = 117,18 kN

8 - Cálculo das armaduras Direcção AA

syd

as

f

FA

110204

29,142

sA = 6,97 cm2

Por metro

00,1

97,6

B

As 6,97 cm2 pml Realizável com 7 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 7,92 cm

2 )

Direcção BB

syd

as

f

FA

110204

18,117

sA = 5,74 cm2


Por metro

25,1

74,5

B


2 )

9 – Verificação ao punçoamento

Perímetro crítico

)2/(2 dbau

)2/35,030,040,0(2 u 2,50 m

Área para calcular a reacção do terreno que actua na base da tronco pirâmide

)4/()()( 2dhbhbaA

)4/35,0()35,030,0()35.030,0(40,0 2A 0,46 m2

Esforço de punçoamento

Vsd = Nsd – (Área * efectiva )= 468,75 – 0.46 x 0.375 x 1000 = 296,25 kN/m

= 296,25 / 2.50 = 118,50 kN/m

ddbVcd 6.16.01

35.06.16.035.0110005,0cdV 204,75 kN > 118,5 kN/m OK

José Luís Marques


Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

José Luís Marques


1 – Dados:



3 – Largura da Sapata A ou B

Rt

NBA

tR

NBA

10003.0

2200.85 adopta-se 1.00 m


3

min

aAh

3

30,000,1min

h = 0.23 m

Adoptamos h = 0.40 m e h = 0,35 m


Acções

Peso próprio = 1,00 1,00 0,40 25 = 10 pp = 10,00 kN/m Carga transmitida pelo pilar N= 200,00 kN/m N = 210,00 kN/m

NN sd 5,1 00,2105,1sdN 0,315 kN/m


S

Nefectiva

)00,100,1(

00,210


5,1efectiva 0.21 x 1,5 = 0,315 MPa

SAPATA S2 – Concêntrica, homotética, quadrada

a

b

A

B

José Luís Marques


7 - Cálculos das Forças

d

aANF sd

a

8

)(

358

)30100(00,315

asF = 78,82 kN

8 - Cálculo das armaduras

syd

as

f

FA

110204

82,78

sA = 3,86 cm2

Realizável com 7 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 7,92 cm2 )


Perímetro crítico

)2/(2 dbau

)2/35,030,030,0(2 u 2,29 m


)4/()()( 2dhbhbaA

)4/35,0()35,030,0()35.030,0(30,0 2A 0,396 m2


Vsd = Nsd – (Área * efectiva )= 465 – 0,396 x 0.315 x 1000 = 340,26 kN/m

= 340,26 / 2.29 = 148.58 kN/m

ddbVcd 6.16.01

35.06.16.035.0110006,0cdV 204,75 kN > 148,58 kN/m OK

Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

José Luís Marques


1 – Dados:




Rt

NBA

B – Lado menor aR

bNB

t

40.010003.0

30.03300.91 adopta-se 1.00 m

A – Lado maior bR

aNA

t

30.010003.0

40.03301,21 adopta-se 1.25 m


3

min

aAh

3

40,025,1min

h = 0.28 m



Acções

Peso próprio = 1,25 1,00 0,40 25 = 12,50 pp = 12,50 kN/m Carga transmitida pelo pilar N= 300 kN/m N = 312,50 kN/m

NN sd 5,1 50,3125,1sdN 468,75 kN/m

SAPATA S3 – Excêntrica, homotética, rectangular

a b

A

B

José Luís Marques



S

Nefectiva

)00,100,1(

00,210


5,1efectiva 0.21 x 1,5 = 0,315 MPa

7 - Cálculos das Forças

d

aANF sd

as

4

)(

354

)40125(75,468

asF = 284,59 kN

d

aANF sd

bs

4

)(

354

)30100(75,468

asF = 234,37 kN

8 - Cálculo das armaduras Direcção AA

syd

as

f

FA

110204

59,284

sA = 13,95 cm2

Por metro

00,1

95,13

B


2 )

Direcção BB

syd

as

f

FA

110204

37,234

sA = 11,48 cm2

Por metro

25,1

48.11

B


2 )


Perímetro crítico

dabu 2

35,040,030,02 u 2,10 m


)8/()2

()( 2dd

adabA

)8/35,02/35,040,0)35.040,0(30,0 2A 0,343 m2


Vsd = Nsd – (Área * efectiva )= 468,75 – 0,343 x 0.315 x 1000 = 350,41 kN/m

= 340,41 / 2.10 = 162,10 kN/m

ddbVcd 6.16.01

35.06.16.035.0110005,0cdV 204,75 kN > 162,10 kN/m OK

José Luís Marques


Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

José Luís Marques


1 – Dados:



3 – Largura da Sapata A ou B

Rt

NBA

tR

NBA

10004.0

2200.85 adopta-se 1.00 m


3

min

aAh

3

40,000,1min

h = 0.20 m



Acções Peso próprio = 1,00 1,00 0,60 25 = 10 pp = 15,00 kN/m Carga transmitida pelo pilar N= 300,00 kN/m N = 315,00 kN/m

NN sd 5,1 00,3155,1sdN 472,50 kN/m


S

Nefectiva

)00,100,1(

00,315

efectiva = 315 kN/m2 = 0,31 MPa > terr=0,30 OK

5,1efectiva 0.31 x 1,5 = 0,465 MPa

SAPATA S4 – Excêntrica, homotética, quadrada

a

b

A

B

José Luís Marques



Momento Flector

2

5,1 2lM

efcect

sd

2

70,031.0 2sdM = 0.077 x 1000 =

= 77,1 kN.m


cd

sd

fdb

M

2

800055,01

1,772

0.031

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 = 0.03 Mínimo 0.15

syd

cds

f

fdbA

348

855100150.0 sA = 18,96 cm

2/m


)(5


5

1distA 4,02 cm

2/m

Realizável com 6 Ø 10 p.m.l. (Aef. = 4,71 cm2)


Perímetro crítico

2/dbau

2/55,055,040,0 u 1,81m


)16/)2

()2

( 2dd

ad

abA

)16/55,02/55,040,0)2/55.040,0(40,0 2A 0,439 m2


Vsd = Nsd – (Área * efectiva )= 472,5 – 0,439 x 0.31 x 1000 = 336,41 kN/m

= 336,41 / 1,81 = 185,86 kN/m

ddbVcd 6.16.01

55.06.16.055.01500cdV 354,75 kN > 185,86 kN/m OK

José Luís Marques


Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

José Luís Marques


1 – Dados:

Aço A 400 Betão B 15 Largura da parede b=30 cm Resistência do terreno Rt = 0.30 Mpa = 300 KN/m2



Rt

NB 00,1

10003,0

22000,1

B 0.73 adopta-se 0,75 m


4

min

aAh

4

30,075,0min

h = 0.138 m



Peso próprio = 1,00 0,75 0,20 25 = 3,75 pp = 3,75 kN/m Carga transmitida pela parede N= 200 kN/m N = 203,75 kN/m

NN sd 5,1 75,2035,1sdN 305,625 kN/m


S

Nefectiva

)00,175,0(

75,203

efectiva = 271,66 kN/m2 = 0,27 MPa < terr=0,30 OK

5,1efectiva 0.27 x 1,5 = 0,405 MPa

SAPATA S5 – Sapata de parede, concêntrica

a=1,00 m

b

A=1,00 m

B

José Luís Marques



d

bBNF sd

bs

8

)(

358

)2075(625,305

asF = 60,03 kN


syd

b

sf

FA

110204

03,60

sA = 6,97 cm2


9 - Cálculo da armadura de distribuição

4

s

d

AA

4

97,6dA = 1,74 cm2



Perímetro crítico

2u m


1 haA

30,030,0 A = 0,60 m2



= 62,62 / 2 = 31,31 kN/m

ddbVcd 6.16.01

15.06.16.015.0110005,0cdV 78,75 kN > 31,31 kN/m OK

Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

José Luís Marques


1 – Dados:

Aço A 400 Betão B 15 Largura da parede b=30 cm Resistência do terreno Rt = 0.30 Mpa = 300 KN/m2



Rt

NB 00,1

10003,0

22000,1

B 0.73 adopta-se 0,75 m


4

min

aAh

4

30,075,0min

h = 0.138 m



Peso próprio = 1,00 0,75 0,35 25 = 3,75 pp = 6,56 kN/m Carga transmitida pela parede N= 200 kN/m N = 206,56 kN/m

NN sd 5,1 56,2065,1sdN 309,84 kN/m


S

Nefectiva

)00,175,0(

84,309

efectiva = 277,41 kN/m2 = 0,27 MPa < terr=0,30 OK

5,1efectiva 0.27 x 1,5 = 0,405 MPa

SAPATA S6 – Sapata de parede, excêntrica

a=1,00 m

b

A=1,00 m

B

José Luís Marques



d

bBNF sd

bs

4

)(

304

)3075(84,309

asF = 116,19 kN


syd

b

sf

FA

110204

19,116

sA = 5,69 cm2


9 - Cálculo da armadura de distribuição

4

s

d

AA

4

32,6dA = 1,58 cm2



Perímetro crítico

00,1u m


2

hbA

2

25,030,0 A = 0,45 m2



= 127,59 / 1 = 127,59 kN/m

ddbVcd 6.16.01

30.06.16.030.0110005,0cdV 171,00 kN > 127,59 kN/m OK

Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

José Luís Marques


1 – Dados:

Terreno

=40 º

=17,00 kN/m3

adm=0.2 mPa Materiais Aço A 400

Betão B 15 C=0 Sobrecarga Sc=3,00

2 – Pré-dimensionamento

3 – Cálculo dos pesos Peso do Muro P1 = 0,20 x (4 – 0.33 ) x 1,00 x 1,25 = 18,35 kN/m Peso da sapata P2 = 0,33 x 2,00 x 1,00 x 25 = 16,50 kN/m Peso das terras sobre sapata P3 = 1,3 x (4,00 – 0,33 x 1 ) x 17 = 81,10 kN/m

MURO DE SUPORTE

A

L/8

L/2

L/12

L

A

C B D

F

L

E

P1

P3

P2

Ia

d1

SC

K2 x ( x H + S)

K2 x S

H

HH

L= 3,00 m A= 20 cm B= 20 cm C= 50 cm D= 130 cm E= 33 cm F = 300 cm H=4,00 m

HH

L= 3,00 m A= 20 cm B= 20 cm C= 50 cm D= 130 cm E= 33 cm F = 300 cm H = 4,00 m

José Luís Marques


3 – Momento estabilizador

dorestabilizaM 18,35 x 0,60 + 16,5 x 1,00 + 81,1 x (0,50 + 0,20 + 1,30 / 2) = 137 kN/m

Se considerarmos = 0

sen

senK

1

12

401

4012

sen

senK 0,217

K2 x SC = 0,217 x 3,00 = 0,65 kN/m2

K2 x ( x H + SC) = 0.217 x (17 x 4 + 3) = 15,12 kN/m2

00,42

2,1565,0aI 31,54 kN/m

gH

gHHd

2

3

31

32417

23417

3

00,41d 1,39 m

1dIM aderrubador 39,154,31derrubadorM 43,84 kN.m

84,43

137

derrubador

dorestabiliza

M

M3,12 > 1,5 OK

4 - Escorregamento

321 PPPV 1,8150,1635,18V 115,95 kN/m

.

.

Horiz

tgVert

54,31

67,2695,115 Tg1,85 > 1,5 OK

Caso não verificasse, teríamos de aumentar o peso das terras a tardoz do muro, aumentando a sapata para esse lado.

José Luís Marques


5 – Verificação das tensões de segurança no terreno

N = 18,35 + 81,5 + 16,50 = 115,95 kN/m M= 18,35 x 0.4 + 31.54 x 1,39 – 81,1 x 0,35 = 22,8 kNm

N

Me

95,115

80,22e 0,197

6

00,2

6

B0,33 m

Como e > 6

B a base da sapata está toda comprimida

yI

MN

2

00,2

12

00,200,1

8,22

00,100,2

95,1153

92,175 kN/m2

23,775 kN/m2

1 0,00922 kN/cm2

4

3 )00238,000922,0(4

3

43 0,0075 > 0,02 kN/m2 OK

2 0,00238 kN/m2

A

C B D

F

H

E

P1

P3

P2

Ia

d1

José Luís Marques


6 – Calcular armaduras

6.1 – Laje vertical (muro)

0,65 x 1,5 = 0,975 kN/m

15,12 x 1,5 = 22,68 kN/m

62

22

max

PlPlM

6

6,3)975,068,22(

2

60,3975,0 22

maxM 53,2 kN.m

lPl

T 2

max

60,32

68,22975,0maxT 42,6 kN/m

6.2 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):

cd

sd

fdb

M

2

800017,01

20,532

0.230

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 = 0.283

syd

cds

f

fdbA

348

817100283.0 sA = 11,06 cm

2/m

Realizável com 10 Ø 12 p.m.l. ( Aef =11,30 cm2)

)(5


5

1distA 2,26 cm

2/m


Pelo diagrama dos Momentos, suprime-se metade da armadura e o resto vai até acima. Contudo será necessário respeitar a armadura mínima do capítulo de paredes (REBAP) e das lajes (armadura de distribuição, etc.).

3,60

K2 x ( x H + S)

K2 x S

José Luís Marques


6.3 - Esforço transverso:

wdcdRD VVV

ddbVcd 6.16.01

17.06.16.017.0110005,0cdV 76,50 kN

wdV 0

Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

rdsd VV 50,7660,42 kN (OK!)

7 – Calculo das Tensões

σ1=84.36 kN/m2 σ2=31,59 kN/m2

16,7150.0)00,2

59.3136.84(36.84'1

89,6530,1)00,2

59.3136.84(59,31'2

7.1 – Sapata anterior

Temos de contar com a carga da sapata (valor positivo), carga da reacção do trapézio (valor negativo), que

se decompõe em duas componentes – diagrama rectangular e diagrama triangular

σ 1 σ 2 σ' 1 σ' 2

0.50 1,30

2,00

José Luís Marques


622

222

max

PlPlPlM

6

50.0)16.7136.84(

2

50.016.71

2

50.0)2533.050.0( 222

maxM

= 10.615 x 1,5 = 15,915 kN.m

2max

PlPlPlV

2

50.0)16.7136.84(50.016.7150.0)2533.050.0(maxV

= 34,75 x 1,5 = 52,125 kN/m 7.2 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):

cd

sd

fdb

M

2

800031,01

915,152

0.020

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

1 = 0.002 (mínimo 0,15)

syd

cds

f

fdbA

348

83110015.0 sA = 10,68 cm

2/m

Realizável com 10 Ø 12 p.m.l. ( Aef =11,30 cm2)

)(5


5

1distA 2,13 cm

2/m



wdcdRD VVV

ddbVcd 6.16.01

17.06.16.031.0110005,0cdV 139,50 kN

wdV 0

José Luís Marques


Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

rdsd VV 50,139125,52 kN (OK!)

8 - Cálculo das Sapatas 8.1 – Sapata posterior

Temos de contar com a carga da sapata e peso das terras sobre a mesma (valor positivo), carga da reacção

do trapézio (valor negativo), que se decompõe em duas componentes – diagrama rectangular e diagrama triangular

622

222

max

PlPlPlM

222

max 30,13

2

)59,3189,65(

30,12

2

)59,3189,65(

2

30.1)2533.030,1(1,81M

= 55,38 x 1,5 = 83,07 kN.m

2max

PlPlPlV

2

30,1)59,3189,65(30,159,311,8150.0)2533.030.1(maxV

= 28,46 x 1,5 = 42,69 kN/m

8.2 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):

cd

sd

fdb

M

2

800031,01

07,832

0.108

Se 31.0 Se 31.0

0'

1

d

a

1

31.0'

41.0'

Como 31.0

0'

José Luís Marques


1 = 0.119 (mínimo 0,15)

syd

cds

f

fdbA

348

83110015.0 sA = 10,68 cm

2/m

Realizável com 10 Ø 12 p.m.l. ( Aef =11,30 cm

2)

)(5


5

1distA 2,13 cm

2/m

Realizável com 10 Ø 10 p.m.l. (Aef. = 7,90 cm

2)


wdcdRD VVV

ddbVcd 6.16.01

17.06.16.031.0110005,0cdV 139,50 kN

wdV 0

Valor da tensão

Tipo de betão

B15

B20 B25

1

0.50 0.60 0.65

2

2,4 3.2 4.0

rdsd VV 50,13969,42 kN (OK!)

José Luís Marques


O método de cálculo é o apresentado, salvaguardando possíveis erros ao dactilografar os valores.

A bibliografia utilizada foi a seguinte:

- BETÃO ARMADO – Esforços Normais e de Flexão – J. D´ Arga e Lima

- HORMIGÓN ARMADO – Pedro Jimenez Montoya

- REBAP – Regulamento de Betão Armado e Pré-esforçado

- RSA – Regulamento de Segurança e Acções

- TABELAS TÉCNICAS – de Brasão Farinha

- Apontamentos do Curso

José Luis Marques

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4445-122 ALFENA

Telefone e Fax 229672207

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BIBLIOGRAFIA

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