Breviario de Análisis Matemático I UTN

BBRREEVVIIAARRIIOO DDEE

AANNÁÁLLIISSIISS MMAATTEEMMÁÁTTIICCOO II

AUTORAS:

• Bindstein, Mirta

• Riccitelli, Marina

• Righetti, Gabriela

REVISIÓN:

• Boutet, Stella

UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD TTEECCNNOOLLÓÓGGIICCAA NNAACCIIOONNAALL

FFAACCUULLTTAADD RREEGGIIOONNAALL AAVVEELLLLAANNEEDDAA

ÍNDICE Pág

Introducción: Conjuntos numéricos 1

Valor absoluto de un número real 3

Cota superior e inferior de un conjunto 4

Intervalos 5

Distancia en ℝ 6

Entorno de un punto 7

Entorno reducido 8

Clasificación de puntos de un conjunto 8

Concepto de función 10

Clasificación de funciones 11

Composición de funciones 13

Función identidad 14

Función inversa 15

Estudio de algunas funciones particulares 17

Noción intuitiva de límite 36

Límite finito variable finita 38

Límites laterales 38

Propiedades de los límites finitos 40

Teorema: x 0

senx1lím x→

= 42

Infinitésimos 43

Álgebra de infinitésimos 45

Álgebra de límites finitos 49

Generalización del concepto de límite 51

Continuidad de una función en un punto 53

Álgebra de funciones continuas 54

Continuidad lateral 54

Continuidad en un intervalo cerrado 55

Derivada de una función en un punto 57

Interpretación geométrica 60

Recta tangente y recta normal 60

Relación entre continuidad y derivabilidad 63

Función derivada 65

Derivadas sucesivas 65

Reglas y fórmulas de derivación 66

Método de derivación logarítmica 72

Derivación de funciones inversas 74

Diferencial de una función en un punto 76

Interpretación geométrica 77

Reglas y fórmulas de diferenciación 78

Derivación de funciones definidas paramétricamente 78

Otra forma de obtener las mismas conclusiones 79

Límite y derivada de una función vectorial 81

Derivación de funciones definidas en forma implícita 83

Crecimiento y decrecimiento de una función 85

Relación entre el crecimiento y el signo de la derivada primera 85

Extremos absolutos y locales 86

Condición necesaria para la existencia de extremos relativos 87

Teorema de Rolle 88

Teorema de Lagrange 90

Teorema de Cauchy 91

Concavidad y convexidad de una función 92

Relación entre la concavidad y el signo de la derivada segunda 93

Estudio de funciones 94

Problemas con máximos y mínimos 98

Regla de L´Hôpital 99

Fórmula de Taylor y Mac Laurin 101

Sucesiones 105

Integral definida 109

Propiedades de la integral definida 111

Teorema del valor medio del Cálculo diferencial 112

Función área o función integral 112

Teorema fundamental del cálculo integral 113

Concepto de primitiva 114

Regla de Barrow 114

Integral indefinida 114

Teorema: si dos funciones tienen la misma derivada….. 116

Propiedades de la integral indefinida 117

Métodos de integración 118

Aplicaciones de la integral definida: cálculo de áreas 134

Integrales impropias 125

Series 138

Propiedades 139

Condición necesaria de convergencia 139

Series geométricas 140

Series de términos positivos 141

Series de funciones 148

Series de potencias 152

Series de Taylor 155

Derivación e integración de series de potencias 156

Análisis Matemático I- Números reales

1

NÚMEROS REALES

• Introducción : Conjuntos numéricos Notación: Indicamos con ℕ y 0ℕ a los conjuntos de números naturales {1,2,3,....} y

{0,1,2,3,...}respectivamente. Denotamos con ℤ al conjunto de números enteros: ℤ = {......,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. Conjunto de números racionales: Un número es racional si y sólo si se puede escribir como cociente de dos núme-ros enteros tales que el divisor sea distinto de cero.

ℚ = p

/ p q {0} mcd(p,q) 1q

∈ ∧ ∈ − ∧ =

ℤ ℤ ={ }x / x es número racional

La expresión decimal de un número racional puede ser finita o infinita periódica. Ejemplos:

• 2 35235

100

47

20, = = (expresión decimal finita)

• 2 353535 235 235

99

198 35

99

233

99, .... ,= = + =

+=

∩ (expresión decimal periódica pu-

ra)

• 2 35555 2 35 235 3

902

32

902

16

45

90 16

45

106

45, ... ,= = +

−= + = + =

+=

⌢ (expresión deci-

mal periódica mixta) Se verifica que: Entre dos números racionales siempre hay otro racional . (Se dice que ℚ es un conjunto denso) Sin embargo existen números que no son racionales. Podemos demostrar, por ejemplo, que 2 no puede escribirse como cociente de dos números enteros. Lo haremos por reducción al absurdo. Supongamos que existen dos números enteros p y q (q ≠ 0) tales que mcd(p,q)=1,

(es decir: p y q son primos entre sí ) y 2 =p

q ( fracción irreducible).

Elevemos al cuadrado ambos miembros. Se obtiene : 2

2 22

p2 p 2.q

q= ⇒ = ⇒p2 es par


2

Pero si el cuadrado de un número es par, entonces el número en cuestión también lo es, es decir : p es par1 ⇒ existe un número entero m / p = 2m. Resulta p2 = 4 m2

Comparando las dos expresiones recuadradas se tiene: 2.q2 = 4 m2 ⇒ q2 = 2 m2.⇒ q2 es par ⇒ q es par. Sin embargo es absurdo que p y q sean pares porque en ese caso la fracción sería simplificable, en contra de lo supuesto. El absurdo provino de suponer que 2 es racional. En consecuencia: 2 no es racional. Conjunto de números irracionales: Los números que llevados a la forma decimal tienen infinitas cifras decimales que NO se repiten periódicamente no son racionales. Constituyen el conjunto de los números irracionales que indicaremos con �. A cada número racional le corresponde un punto de la recta, pero existen puntos en la recta que no se corresponden con ningún número racional. Por ejemplo, si se dibuja un triángulo rectángulo isósceles con cateto 1, su hipote-

nusa, por el Teorema de Pitagóras, es 1 1 22 2+ = . Ya probamos que 2 no puede escribirse como cociente de dos números enteros, y por lo tanto no es un número racional. Sin embargo existe un punto en la recta que se corresponde con 2 . También podemos representar en la recta puntos que se correspondan con 3, 5 , etc. Si intentamos obtener las cifras decimales de 2 , veremos que no se repiten pe-riódicamente. Aquí les presentamos 100 decimales de 2 , obtenidos con el pro-grama Mathematica. 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727

1En efecto, si p fuese impar, existiría un número entero k / p = 2 k + 1, entonces sería: p2 = ( 2 k + 1 )2 = 4 k2 + 4 k + 1. Por lo tanto p2 sería impar. Absurdo

3 0 1 2


3

Existen otros números cuya expresión decimal consta de infinitas cifras que no se repiten periódicamente. Por ejemplo: Obtenemos 3 con 100 decimales 1.7320508075688772935274463415058723669428052538103806280558069794519330169088000370811461867572485757

5 con 100 decimales 2.236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925637804899414414408378782275 π con 200 decimales 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 Conjunto de números reales: ℝ = ℚ∪ � Al representar los números reales sobre la recta, ésta queda totalmente “cubierta”. A cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta. ℝ también es un conjunto denso.

• Valor absoluto o módulo de un número real:

Sea a∈ℝ : | |aa si a

a si a=

≥

− <

0

0 (| a | se lee “ valor absoluto o módulo de a” )

El valor absoluto de un número real representa su distancia al cero. Propiedades: 1) :| | 0 |a a∀ ∈ ≥ℝ

| a| = 0 ⇔ a=0 2) : | | | |a a a a∀ ∈ − ≤ ≤ℝ 3) , : | | | | | |∀ ∈ ∀∈ + ≤ +ℝ ℝa b a b a b 4) , : | | | | | |∀ ∈ ∀ ∈ − ≥ −ℝ ℝa b a b a b 5) , : | . | | | . | |∀ ∈ ∀ ∈ =ℝ ℝa b a b a b

6) Si k ∈ +ℝ : | |a k k a k≤ ⇔ − ≤ ≤

7) Si k ∈ +ℝ : | |a k a k a k≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ − Para tener en cuenta:

a) ∀x ∈ 0+ℝ : x x2 =

b) ∀x ∈ −ℝ : x x2 = −

Conclusión:

• ∀∀∀∀x ∈∈∈∈ ℝ : x nn = | x | si n es natural par

• ∀∀∀∀x ∈∈∈∈ ℝ : x nn = x si n es natural im-par.


4

c) ∀x ∈ ℝ : x x33 = Justificación para el caso n= 2:

x x x x x x x x2 2 2= = = = =. .

• Cota superior e inferior de un conjunto. Dado un subconjunto A de números reales, diremos que k∈ℝ es una cota superior de A si y sólo si todos los elementos de A son menores o iguales que k. En símbolos:

k∈ ℝ es cota superior de A⇔ ∀ ∈ ≤x A x k: La menor de las cotas superiores se llama supremo. Si pertenece al conjunto se dice que es un máximo. Dado un subconjunto A de números reales, diremos que k∈ℝ es una cota inferior de A si y sólo si todos los elementos de A son mayores o iguales que k. En símbolos: k∈ ℝ es cota inferior de A⇔ ∀ ∈ ≥x A x k: La mayor de las cotas inferiores se llama ínfimo. Si pertenece al conjunto se dice que es un mínimo. Un conjunto es acotado si y sólo si está acotado superior e inferiormente.

Ejemplo: Dado A=( )n

1x / x con n

n

− ∈ = ∈

ℝ ℕ , se pide:

a) Reconocer elementos de A b) Dar, si es posible, dos cotas inferiores y dos superiores. c) Indicar, si existen supremo e ínfimo. Decidir si son máximo y mínimo, res-

pectivamente. d) ¿El conjunto es acotado? a) Los elementos de A que se obtienen al darle a n valores 1, 2, 3, etc. son:

Como x2 ≥0, resulta |x2 |= x2

Definición de cuadrado

El módulo de un pro-ducto es = al producto de los mó-dulos

Definición de cuadrado Se puede simplificar

exponente e índice porque el radicando es no negativo


5

1 1 1 11; ; ; ; ;...

2 3 4 5− − −

Como ( )n

1n : 1

n

−∀ ∈ ≤ℕ , podemos afirmar que cualquier real menor o igual a -1

es cota inferior de A; y cualquier número real mayor o igual a 1 es cota superior de A.

b) –1, que pertenece al conjunto es la mayor de las cotas inferiores, por lo tanto –1 es ínfimo y mínimo del conjunto.

La menor de las cotas superiores es 1

2, ya que para n>1,

1 1

n 2≤ . Entonces

1

2 es

supremo y máximo de A.

c) Como A tiene cota inferior y superior, resulta A acotado.

• Intervalos Como los números reales pueden ponerse en correspondencia con los puntos de una recta, recíprocamente podemos interpretar que un segmento representa un conjunto de números reales. Si a∈ℝ , b∈ℝ y a<b, llamaremos intervalo cerrado a,b y lo indicaremos [a,b] al conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Gráficamente un intervalo cerrado corresponde a un segmento. [a,b]={x ∈ℝ / a ≤ x ≤ b} También se han establecido nombres y notaciones para otros conjuntos de núme-ros reales: Nombre Notación Definición Representación Intervalo abierto a,b (a,b) { x ∈ℝ / a<x <b}

Intervalo semiabierto a de-recha o semicerrado a iz-quierda

[a,b) { x ∈ℝ /a ≤ x <b}

Intervalo semiabierto a iz-quierda o semicerrado a de-recha

(a,b] { x ∈ℝ / a< x ≤b}

a b

( a

( a

) b

a

b

) b


6

El concepto de intervalo se generaliza para representar semirrectas con o sin su origen Notación Definición Representación [ a , +∞) { x ∈ℝ / a ≤ x }

( a , +∞) { x ∈ℝ / a < x }

(- ∞, b] { x ∈ℝ / x ≤ b }

(- ∞, b) { x ∈ℝ / x < b }

Observaciones:

� El símbolo “∞” se lee “infinito” y no representa un número, sino que está indicando que el conjunto no está acotado. Cuando se escribe “+∞” se está expresando que dado un número cualquiera, en el conjunto hay otro mayor. Si se escribe “-∞”, se quiere indicar que dado un número cualquiera, en el intervalo hay uno menor.

� En “∞”, el intervalo siempre es abierto � El conjunto de números reales, que se identifica con la recta, también pue-

de escribirse como un intervalo: ℝ = ( - ∞, + ∞ )

• Distancia en ℝ : Dados en la recta dos puntos A y B de abscisas a y b respectivamente la distancia entre A y B es el valor absoluto de la diferencia entre a y b A B d(A;B)= |b - a| Propiedades La distancia es una “función” que le asigna a cada par de puntos un número real que cumple con las siguientes condiciones: 1) La distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio es no negativa . ∀A,∀B:( A∈ℝ ∧ B∈ℝ⇒d(A,B) ≥0 ) 2) La distancia entre dos puntos es cero si y sólo si los puntos son coincidentes. ∀A,∀B:( A∈ℝ ∧ B∈ℝ ⇒ [d(A,B)=0 ⇔ A = B] ) 3) Verifica la propiedad simétrica. ∀A,∀B: (A∈ℝ ∧ B∈ℝ ⇒ d(A,B)= d(B,A) ) 4) Verifica la propiedad triangular. (∀A,∀B, ∀ C : A∈ℝ ∧ B∈ℝ ∧C∈ℝ ⇒ d(A,B) + d(B,C) ≥ d(A,C) .

( a

a

b

) b

a b


7

Entorno de un punto: Si x0 es un punto de una recta, se llama entorno simétrico de x0 de radio o ampli-tud δδδδ al conjunto de puntos de la recta que se encuentran a una distancia de x0

menor que δδδδ (////|////) x0-δ x0 x0+δ E(x0;δδδδ) ={x ∈ℝ /d(x;x0) < δ }={ x ∈ ℝ /| x – x0 | < δ}={x ∈ℝ / -δ < x-x0 <δ } Resulta: E(x0;δδδδ)= { x ∈ℝ / x0 -δ < x < x0+δ }= (x0-δ ;x0+δ) Un entorno es siempre un intervalo abierto. Además, cualquier intervalo abierto puede escribirse como un entorno cuyo centro es el punto medio del intervalo y cuyo radio es la distancia entre un extremo y el centro. El centro se obtiene como semisuma de los extremos y el radio como semidiferencia.

(a, b ) = E b a b a+ −

2 2;

Ejemplo: El intervalo (-1,3) puede escribirse como 3 ( 1) 3 ( 1)

E ;2 2

+ − − −

=E(1; 2)

Entorno reducido: Es el entorno sin su centro . Se indica con una señal, asterisco o coma, junto a la E. ( E*(x0;δ) o E´(x0;b) y se lee: “entorno reducido de centro x0 y radio δ” ).

E*(x0;δ)=E(x0; δ)- {a}= {x ∈ℝ / d(x;x0)<δ ∧ x≠x0} Si x≠x0, resulta d(x;x0)≠0, entonces: E*(x0;δ)= {x ∈ℝ / d(x;x0)< δ ∧ d(x;x0)≠0} Pero como la distancia es siempre mayor o igual a cero, si no es cero, sólo puede ser positiva, es decir: E*(x0;δ) ={ x ∈ℝ / 0<d(x;x0) < δ }. Si tenemos en cuenta la definición de distancia, se tiene: E*(x0;δ)={x ∈ℝ / 0 < | x – x0 | < δ} ( //// ////)

x0-δ x0 x0+ δ

por definición de distancia aplicando prop. de módulo

Sumando “x0” en los tres miembros de la desigualdad

Por definición de intervalo abier-to.


8

Clasificación de puntos de un conjunto Sea C ⊆ ℝ 1) x0 es punto interior de C si y sólo si existe al menos un entorno de x0 total-mente incluido en C. En símbolos: x0 es punto interior de C ⇔ ∃ δ >0 / E(x0; δ)⊆ C Al conjunto de puntos interiores de C lo indicamos Co . 2) Un conjunto es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. C es abierto ⇔ C = Co

3) x0 es punto exterior de C si y sólo si existe un entorno de x0 al que no perte-nece ningún elemento de C.

x0 es punto exterior a C⇔⇔⇔⇔ 00 / E(x C∃δ > δ ∩ = ∅; )

4) x0 es punto frontera de C si y sólo si no es interior ni exterior. x0 es punto frontera de C 0 00, x E(x ; ) x´ E(x ; ) / x C x´ C⇔ ∀δ > ∃ ∈ δ ∧ ∃ ∈ δ ∈ ∧ ∉

5) Frontera de un conjunto es el conjunto al que pertenecen todos los puntos frontera del mismo. A la frontera del conjunto C, la indicamos FC . 6) x0 es punto aislado de C si y sólo si x0 ∈ C pero existe un entorno reducido de x0 al que no pertenecen puntos de C.

x0 es punto aislado de C ⇔ x0 ∈∈∈∈ C 00 / E *( ; ) Cx ∧ ∃δ > δ ∩ = ∅

7) x0 es punto de acumulación de C si y sólo si cualquier entorno reducido de x0 tiene intersección no vacía con C. En símbolos:

x0 es punto de acumulación de C ⇔∀ δ >0 ,E* (x0; δ) ∩ C ≠ φ 8) Al conjunto de puntos de acumulación de C, lo llamamos conjunto derivado de C y lo indicamos C’. 9) Un conjunto es cerrado si y sólo si le pertenecen todos sus puntos de acumula-ción. En símbolos: C es cerrado ⇔ C´ ⊆ C


9

Ejemplo: Consideremos C ={x∈ℝ / | x - 2 | < 3 ∨ x=7} Veamos cómo podemos representar al conjunto: | x - 2 | < 3⇒ -3 < x-2 < 3⇒ -3 + 2 < x < 3 + 2 ⇒ -1 < x < 5 Es decir: C = { x ∈ℝ /-1<x<5 ∨ x = 7} Co = {x ∈ℝ / -1 < x < 5} FC = {-1,5,7} 7 es punto aislado C´= [ -1, 5] El conjunto no es abierto ni cerrado. Además, C está acotado. –1 es ínfimo de C (pero no es mínimo) y 7 es supremo y máximo del conjunto.

-1 5 7

• C

Análisis Matemático I: Límite. Continuidad

36

LÍMITE • Una noción intuitiva del concepto de límite: Se utilizan funciones para describir procesos o fenómenos de índole muy diversa. Es muy común volcar en gráficos resultados experimentales y unir los puntos obtenidos mediante curvas de aproximación que, en general, resultan asociadas a fórmulas conoci-das. De ahí la importancia de saber analizar el comportamiento de un gráfico. El cálculo de límites, que históricamente es posterior al concepto de derivada o integral en los que está incluido, es una de las herramientas que proporciona el Análisis Mate-mático para el conocimiento de algunas características de los gráficos. En tanto hablamos de un “comportamiento” de un gráfico, al calcular un límite puede darse una de estas situaciones: que sea un número ( límite finito), que sea, en valor abso-luto, mayor que cualquier número positivo que se nos ocurra (límite infinito), o que no podamos definir el comportamiento ( no existe límite) Ejemplo:

Consideremos la función f:3x 1

A , con A / f (x)x 1

−→ ⊂ =−

ℝ ℝ

Es obvio que A = ℝ –{1} y que 1 es punto de acumulación de A. Nos interesa preguntarnos si, a pesar de no existir f(1) podemos saber a qué valor se “acercan” las ordenadas de f(x), si es que se acercan a alguno, cuando x se “aproxima” a 1. A continuación mostramos una tabla de valores y el gráfico de la función. Tabla

x 1.25 1.1 1.01 1.001 1 0.999 0.99 0.9 0.5 f(x) 3.813 3.310 3.030 3.003 ? 2.997 2.970 2.710 2.313


37

Tanto el gráfico como los cálculos parecen mostrar que a medida que nos acercamos a “1” con las “x”, las ordenadas de la función se acercan a “3”.

Para mostrar esta situación, escribiremos: 31x1x

lím)x(flím3

1x1x=

−−=

→→.

Pero...¿cada vez que calculemos un límite deberemos hacer una tabla como la que mos-tramos o representar la función? No parece muy cómodo. Veamos un procedimiento posible de cálculo: Si factorizamos el numerador de f(x) , podemos escribir:

f(x)=1x

)1xx)(1x(1x1x 23

−++−=

−−

La función que se obtiene al simplificar (x-1) en el numerador y el denominador no es igual a f(x), por que tiene distinto dominio. En efecto , esa función es: g: 2/ g(x) x x 1→ = + +ℝ ℝ Sin embargo, el único punto en el que difieren es para x = 1. Como al calcular un límite no nos interesa los que ocurre en el punto sino en sus proximidades, es lícito escribir:

3)1xx(lím1x

)1xx).(1x(lím)x(glím)x(flím 2

1x

2

1x1x1x=++=

−++−

⇒=→→→→

Observación: 1xsisólo,11x1x ≠=

−− , por eso la palabra límite nos autoriza a simplificar.

Entonces, al decir que el límite de f(x) es 3, cuando x tiende a 1, estamos afirmando que la función se “aproxima” a 3, cuando x está “cerca” de 1. Como las palabras entre comillas resultan matemáticamente ambiguas, deberemos ser más precisos con la expresión. Aproximarse o acercarse significa acortar distancias, es decir hacerlas menor que cualquier número positivo ya que las distancias no pueden ser negativas.(Recordemos que distancia entre dos puntos a y b de una recta es | b-a|). Podemos encarar ahora la definición formal de límite funcional finito para variable fini-ta.

Para factorizar x3-1, buscamos una raíz: x3- 1=0 ⇒x=1 Aplicamos Ruffini para dividir x3-1 por x-1

1 0 0 -1 1 1 1 1 1 1 1 0 Entonces: x3-1=(x-1).(x2+x+1)


38

• Límite funcional : (límite finito-variable finita) En símbolos

→= ⇔ ∀ > ∃ > ∀ ∈ ∧ ∈ ⇒ − <ℓ

00

x xlím f(x) 0, ( ) 0 / x : [x A x E * (x , ) | f(x) | ]ε δ ε δ εℓ

Veamos además, que existen sólo dos "formas" de acercarse a xo, por derecha o por izquierda. Estos dos "caminos" permiten definir el concepto de "límite lateral". Si los límites laterales existen y son distintos, no existe límite. Si en cambio son iguales, el límite existe y es igual a ambos. Límites laterales Consideremos una función f:A→ ℝ , con A⊆ ℝ , y x0 punto de acumulación de A. Decimos que el límite para x→x0 por la derecha es ℓ d si y sólo si para cualquier ε >0 es

posible determinar un semientorno reducido de x0, con x > x0, tal que las imágenes de todos los elementos del dominio de la función que pertenecen a dicho semientorno se encuentran a una distancia de ℓ d menor que ε.

En símbolos:

0

lím f (x) 0, ( ) 0 / x : [x A x x x | f (x) |o o

x x

]+

= ∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ ∧ < < + δ ⇒ −→

⇔ < εℓ ℓd d

Consideremos una función f: A → ℝ / y = f(x) con A ⊆ ℝ y también el punto xo , punto de acumulación de A. Decimos que

0x xlím f (x)→

= ℓ si y sólo si para cualquier núme-

ro positivo ε, es posible determinar otro número positivo δ que dependa de ε, tal que todos los valores de "x" pertene-cientes al dominio de f y a un entorno reducido de xo de amplitud δ tengan su imagen a una distancia de ℓ menor

que ε.

f(x)

ℓ−ε

x x0-δ

x0 x0+δ

y

x

ℓℓℓℓ+ε

ℓℓℓℓ

y

x

ℓd + ε

f(x) ℓd

x0 x x0 +δ


39

Con el mismo criterio podemos definir límite por la izquierda: Decimos que el límite para x→x0 por la izquierda es ℓ i si y sólo si para cualquier ε >0

es posible determinar un semientorno reducido de x0, con x < x0, tal que las imágenes de todos los elementos del dominio de la función que pertenecen a dicho semientorno se encuentran a una distancia de ℓ i menor que ε.

En símbolos:

0

lím f (x) 0, ( ) 0 / x : [x A x x x | f (x) | ]o o

x x−= ⇔ ∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ ∧ − δ < < ⇒ − < ε

→ℓ ℓ

i i

Ejemplo: Consideremos la función “parte entera de x”que se simboliza [x]. La parte entera de un número real es el menor de los números enteros entre los que está comprendido. Es decir: [1,3]=1 ; [0,6]=0; [-2,3]=-3; [-π ]=-4 Al representar gráficamente, obtenemos:

0]x[lím

1]x[lím

1x

1x

=

=

−

+

→

→ ]x[lím

1x →∃⇒

y x

10

x0-δ x x0

y

x

ℓi

f(x) ℓi-ε


40

Propiedades de los límites finitos: Consideremos f:A , con→ ℝ A ⊆ ℝ y x0 punto de acumulación de A

1) Si =→

)x(flím0xx

ℓ entonces existe un entorno reducido de xo en el que la función per-

manece acotada. 2) Si =

→)x(flím

0xx ℓ y k es un número real tal que ℓ < k, entonces existe un entorno

reducido de xo en el que la función también es menor que k. Con el mismo criterio si ℓ > k´, entonces existe un entorno reducido de xo en el que la función también es

mayor que k´.

3) Consecuencia: Si aplicamos la propiedad anterior pensando que k ó k ’ son cero, podemos asegurar que:

x0- δ x 0 x0+δ x

y

ℓ+ε

ℓ

ℓ- ε

y

x x0

ℓℓℓℓ

k


41

Si una función tiene límite finito distinto de cero, para x→x0, existe un entorno reduci-do de x0 en el que la función conserva el signo del límite. 4) Si dos funciones f y g son tales que ,2xx1xx

)x(glím)x(flímoo

, ℓ ℓ ==→→

siendo ℓ 1< ℓ2

entonces, existe un entorno reducido de xo en el que f(x) < g(x).

5) Consecuencia Si una función admite límite finito para x→x0, éste es único. Demostración: (por reducción al absurdo) Supongamos que: ℓ1 < ℓ2, existiría, por la propiedad 4), un entorno reducido de x0 en el que: f(x) <f(x)

ℓ2 < ℓ1, existiría, por la propiedad 4), un entorno reducido de x0 en el que: f(x) <f(x)

El absurdo surge de suponer que ℓ1 ≠ ℓ2. Luego resulta: ℓ1 = ℓ2.

6) Si en un entorno reducido de xo (punto de acumulación del dominio de dos funciones f y g) se cumple que f(x) < g(x), entonces )x(glím)x(flím

00 xxxx →→≤

Observación: es importante tener en cuenta que a la desigualdad estricta entre las fun-ciones corresponde una desigualdad en sentido amplio para los límites.

f(x)

g(x)

x0

ℓ2

ℓ1

x

absurdo

y

xx 0

ℓ1

f ( x)

g ( x )


42

7) Sean tres funciones f, g y h tales que en un entorno reducido de xo, se verifica que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Sí

0 0x x x xlím f(x) = lím h(x) =→ →

ℓ entonces, 0x x

lím g(x)→

= ℓ

Teorema: El límite para x→0 de senx

x es igual a 1

Tesis: 1x

xsenlím

0x=

→

Quedaron formados dos triángulos rectángulos y entre ellos, un sector circular. Se cumple que:

área∆ V ∆

OMA < área OPA < áreaOPQ⌢

1 1 1

OM MA < OP x < OP PQ2 2 2

⋅ ⋅ ⋅

Multiplicamos por 2 los tres miembros de la desigualdad y reemplazamos: cosx senx <1.x <1.tgx

senxcosx senx < x <

cosx

⋅

⋅

Demostración.

Consideremos el arco x= ∩AP / 0< x <

2π

Resulta:

xtgPQ

xsenAM

xcosOM

1OP

=

=

=

=

f(x)

g(x)

h(x)

O M P

A

Q


43

Como para 0 < x < 2π , se cumple senx >0, dividimos los tres miembros de la desigual-

dad por senx:

xcos1

xsenx

xcos << (1)

Observación: Como cos (-x)= cos x y xsen

xxsen

x)xsen(

x =−

−=−

− , la relación (1) tam-

bién es válida para -2π < x < 0 .

Invertimos los tres miembros de la desigualdad:

1 senx senx 1> > cosx cosx < <

cosx x x cosx⇒

Como x 0 x 0

1límcosx = lím =1

cosx→ →, por propiedad 7 de los límites finitos:

x 0

sen xlím 1

x→=

Nota: Podríamos haber tomado límite directamente en la relación (1) en cuyo caso se hubiese probado que:

x 0

xlím 1

sen x→=

Algunas aplicaciones:

a) 1xcos

1x

xsenlím

xxcosxsen

límx

xtglím

0x0x0x=⋅==

→→→

b) 31.3x3

x3sen.3lím

xx3sen

lím0x0x

===→→

Infinitésimos Una función ϕ(x)es un infinitésimo para x→x0 si y sólo sí 0)x(lím

0xx=ϕ

→

Ejemplos: f(x) = sen x es infinitésimo para x tendiendo a 0, π, 2π,...,kπ.

1

multiplicamos numerador y denominador por 3

1


44

g(x)= x3 – x es infinitésimo para x tendiendo a 0 ,a 1y a –1. La función h(x)= 0,000001 no es un infinitésimo para ningún valor de x ya que su lími-te es siempre 0,000001≠0. Importante

Toda función con límite finito para x→x0 se puede escribir como su límite más otra fun-ción que es un infinitésimo para x→x0. En efecto: Consideremos f:A→ ℝ / ℓ=

→)x(flím

0xx.Definimos: : A / (x) f (x)ϕ → ϕ = −ℝ ℓ .(*)

Resulta 0)x(lím

0xx=ϕ

→, entonces de (*) se tiene f(x) = ℓ+ ϕ(x), siendo 0)x(lím

0xx=ϕ

→.

x

y

y

x -1 0 1

0 - π π 2π


45

Álgebra de infinitésimos

1) La suma de dos funciones que son infinitésimos para x→x0 es un infinitésimo para x→x0 Hipótesis: 0)x(lím;0)x(lím 2

xx1

xx 00

=ϕ=ϕ→→

Tesis: ( ) 0)x()x(lím 21xx 0

=ϕ+ϕ→

Demostración: Por definición de límite, si:

[ ]ε<−ϕ⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇒=ϕ ϕ→

0)x();x('ExDx:x/0)(,00)x(lím 11011xx 0

(1)

Del mismo modo, si: [ ]ε<−ϕ⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇒=ϕ ϕ

→0)x();x('ExDx:x/0)(,00)x(lím 22022

xx 0

(2)

Si llamamos };{mín 21 δδ=δ , podemos asegurar al sumar miembro a miembro (1) y

(2)que: ε<ϕ+ϕ⇒δ∈∧ϕ∩ϕ∈∀ 2)x()x();x('ExDDx[:x 21021 'ε

Como el módulo de una suma es siempre menor o igual que la suma de los módulos, resulta: |)x(||)x(|)x()x( 2121 ϕ+ϕ≤ϕ+ϕ

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: ')x()x( 21 ε<ϕ+ϕ

Es decir, se ha probado que: 1 2´ 0, mín{ ; ) 0 /∀ε > ∃ δ = δ δ >

]'0)]x()x([);x('ExDDx[:x 21021 ε<−ϕ+ϕ⇒δ∈∧ϕ∩ϕ∈∀

Entonces: ( ) 0)x()x(lím 21xx 0

=ϕ+ϕ→

y

x x0

-

ℓ

f(x)

ϕ(x)


46

2) El producto de dos funciones que son infinitésimos para x→x0 es un infinitésimo para x→x0. Hipótesis: 0)x(lím;0)x(lím 2

xx1

xx 00

=ϕ=ϕ→→

Tesis: ( ) 0)x()x(lím 21

xx 0

=ϕ⋅ϕ→


[ ]ε<−ϕ⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇒=ϕ ϕ→

0)x();x('ExDx:x/0)(,00)x(lím 11011xx 0

(1)

Del mismo modo, si:

[ ]ε<−ϕ⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇒=ϕ ϕ→

0)x();x('ExDx:x/0)(,00)x(lím 22022xx 0

(2)

Si llamamos };{mín 21 δδ=δ , podemos asegurar , si multiplicamos miembro a miem-

bro (1)y(2), que: 221021 )x()x();x('ExDDx[:x ε<ϕ⋅ϕ⇒δ∈∧ϕ∩ϕ∈∀ 'ε

Como el módulo de un producto es igual al producto de los módulos, se tiene:

|)x(||)x(|)x()x( 2121 ϕ⋅ϕ=ϕ⋅ϕ

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: ')x()x( 21 ε<ϕ⋅ϕ

Es decir, se ha probado que: 1 2´ 0, mín{ ; ) 0 /∀ε > ∃ δ = δ δ >

]'0)]x()x([);x('ExDDx[:x 21021 ε<−ϕ⋅ϕ⇒δ∈∧ϕ∩ϕ∈∀

Entonces: ( ) 0)x().x(lím 21

xx 0

=ϕϕ→

3) Producto de un infinitésimo por una función acotada Ejemplo:

Consideremos la función π − → =

ℝ ℝf : {0} / f(x) sen

x. Veamos su gráfico:


47

Observamos que en un entorno reducido de 0 la función no está definida y oscila , es

decir x 0límsen

x→

π ∃/

, aunque la función permanece en [-1,1].

Veamos ahora el gráfico de π − → = ⋅

ℝ ℝg : {0} / g(x) x senx

Vemos que x 0lím x sen

x→

π ∃

=0, ya que si bien la función oscila en un entorno reducido

de cero, esa “oscilación” es cada vez menor. Esta observación es general y da lugar al siguiente teorema: El producto de un infinitésimo para x→x0 por una función acotada en un entorno redu-cido de xo es un infinitésimo para x→x0

Hipótesis: 0)x(lím

0xx=ϕ

→ ; f(x)/ ox E '(x ;h) : f (x) k,con k +∀ ∈ < ∈ ℝ

Tesis: 0)x().x(flím0xx

=ϕ→


[ ]ε<−ϕ⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇒=ϕ ϕ→

0)x();x('ExDx:x/0)(,00)x(lím 101xx 0

(1)

Además , por hipótesis: ox E '(x ;h) : f (x) k,con k +∀ ∈ < ∈ ℝ (2)

Si llamamos }h;{mín 1δ=δ , podemos asegurar , si multiplicamos miembro a miem-

bro (1)y(2), que: ε<⋅ϕ⇒δ∈∧∩ϕ∈∀ k)x(f)x();x('ExDfDx[:x 0 ε’

Como el módulo de un producto es igual al producto de los módulos, se tie-ne: |)x(f||)x(|)x(f)x( ⋅ϕ=⋅ϕ


48

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: ')x(f)x( ε<⋅ϕ

Es decir, hemos probado que: 1´ 0, mín{ ;h) 0 /∀ε > ∃ δ = δ >

]'0)]x(f)x([);x('ExDfDx[:x 0 ε<−⋅ϕ⇒δ∈∧∩ϕ∈∀

Entonces: ( ) 0)x(f).x(lím

0xx=ϕ

→

4) Cociente de dos infinitésimos El cociente de dos infinitésimos puede dar: a) 0

Ejemplo: 0xlímx

xlím

0x

2

0x==

→→. Se dice que el infitésimo que está en el numerador es de

orden superior. Significa que el infinitésimo del numerador tiende a cero con “mayor velocidad” b) ∞

Ejemplo: ∞==→→ x

1lím

x

xlím

0x20x. Obviamente significa que el infinitésimo del numerador

es de menor grado que el del que está en el denominador. c) k/ k≠0, k≠1 Ejemplo:

4)2x(lím2x

)2x).(2x(lím

2x4x

lím2x2x

2

2x=+=

−+−=

−−

→→→

d) 1 Ejemplo:

1x

xsenlím

0x=

→. En este caso se dice que los infinitésimos son equivalentes. Significa que

en un entorno del punto en el que se da esta situación las dos funciones son práctica-mente iguales.

y=x2

y=x


49

Observación: Estos ejemplos muestran que no puede formularse conclusión alguna acerca del cociente

de infinitésimos. es por eso que 00 es una indeterminación.

Los casos de indeterminación son: 00 , ∞∞

∞.0, , 00 ,0,1, ∞∞−∞ ∞

Álgebra de límites finitos

1) Si dos funciones tienen límite finito para x→x0, entonces el límite de su suma para x→x0 es igual a la suma de sus límites.

Hipótesis: 2xx

1xx

)x(glím;)x(flím00

ℓℓ ==→→

Tesis: ( )0x x

lím f(x) + g(x)→

= +ℓ ℓ1 2


01 1 f 0 1 1x x

lím f (x) 0, ( ) 0 / x : x D x E*(x ; ) f (x)→

= ⇒∀ε > ∃ δ ε > ∀ ∈ ∧ ∈ δ ⇒ − < ε ℓ ℓ (1)

Del mismo modo, si:

02 2 g 0 2 2x x

lím g(x) 0, ( ) 0 / x : x D x E * (x ; ) g(x)→

= ⇒ ∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ ∧ ∈ δ ⇒ − < ε ℓ ℓ (2)

Si llamamos };{mín 21 δδ=δ , podemos asegurar al sumar miembro a miembro (1) y

(2)que: ε<−+−⇒δ∈∧∩∈∀ 2)x(g)x(f);x('ExDDx[:x 210gf ℓℓ 'ε

Como el módulo de una suma es siempre menor o igual que la suma de los módulos, resulta: |)x(g||)x(f|])x(g[])x(f[ 2121 ℓℓℓℓ −+−≤−+−

y= sen x

y= x


50

Por propiedad transitiva, se cumple que: ')(])x(g)x(f[ 21 ε<+−+ ℓℓ

Es decir, se hemos probado que: 1 2´ 0, mín{ ; ) 0 /∀ε > ∃ δ = δ δ >

]')()]x(g)x(f[);x('ExDDx[:x 210gf ε<+−+⇒δ∈∧∩∈∀ ℓℓ

Entonces, por definición de límite finito:

( ) 21xx

)x(g)x(flím0

ℓℓ +=+→

2) Si dos funciones tienen límite finito para x→x0, entonces el límite de su producto

para x→x0 , es igual al producto de sus límites. Hipótesis: 2

xx1

xx)x(glím;)x(flím

00

ℓℓ ==→→

Tesis: ( )0x x

lím f(x).g(x)→

= ℓ ℓ1 2. .

Demostración: Vimos que si una función tiene límite finito para x→x0 , la función se puede escribir como la suma entre su límite y otra función que es infinitésimo para x→x0. Entonces: 0)x(límsiendo,)x()x(f/)x()x(flím 1

xx1111

xx 00

=ϕ+ϕ=ϕ∃⇒=→→

ℓℓ

0)x(límsiendo)x()x(g/)x()x(glím 2xx

2222xx oo

=ϕϕ+=ϕ∃⇒=→→

ℓℓ

Entonces podemos escribir:

[ ] [ ])x()x()x(g).x(f 2211 ϕ+⋅ϕ+⋅= ℓℓ = )x()x()x(.)x( 21122121 ϕ⋅ϕ+ϕ+ϕ⋅+⋅ ℓℓℓℓ

Tomamos, en ambos miembros, límite para x→x0

=→

)]x(g).x(f[lím0xx

))x().x((lím))x(.(lím))x(.(lím).(lím 21xx

12xx

21xx

21xx 0000

ϕϕ+ϕ+ϕ+→→→→

ℓℓℓℓ

Resulta: ( )

01 2

x xlím f(x).g(x) = .→

ℓ ℓ

Enunciamos el resto de las propiedades del álgebra de límites:

es constante son 0 por ser producto de infinitésimo por función acotada

es 0 por ser producto de infinitésimos


51

3) El límite para x→x0 , de un cociente de dos funciones que tienen límite finito para x→x0 , es igual al cociente de los límites, siempre que el límite de la función que está en el denominador sea distinto de cero.

4)Si ℓ=→

)x(flím0xx

entonces [ ] nn

xx)x(flím

0

ℓ=→

.(Si n es fraccionario, debe ser 0>ℓ )

5) Si ℓ=→

)x(flím0xx

y k +∈ ℝ , entonces ℓkklím )x(f

xx 0

=→

6) Si 2

xx1

xx)x(glím;)x(flím

00

ℓℓ ==→→

, y 10 11 ≠∧> ℓℓ , entonces

[ ] 2

01

)x(g

xx)x(flím ℓ

ℓ=→

7) Si

0x xlím f (x)→

= ℓ > 0, entonces ℓln)]x(fln[lím0xx

=→

Generalización del concepto de límite a) Límite finito variable infinita. Definición de asíntota horizontal. Sea f:A→ ℝ , con A⊆ ℝ , A no acotado

xlím f (x) 0, ( ) 0 / x :[x A | x | | f (x) | ]

→∞= ⇔ ∀ε > ∃ δ ε > ∀ ∈ ∧ > δ⇒ − < εℓ ℓ

Esta definición puede dividirse en dos , según se considere x→+ ∞ ó x→- ∞.

Decimos que y = ℓ es la ecuación de la asíntota horizontal de f si y sólo si xlím f (x)

→∞= ℓ

δ

- δ

x’ x

ℓ + ε ℓ

ℓ - ε

f(x)

f(x’)


52

b) Límite infinito variable finita. Definición de asíntota vertical. Sea f:A→ ℝ , con A⊆ ℝ , xo punto de acumulación de A.

00x x

lím f (x) 0, ( ) 0 / x :[x A x E*(x ; ) f (x) ]→

= +∞ ⇔ ∀ε > ∃ δ ε > ∀ ∈ ∧ ∈ δ ⇒ > ε

Sea g:A→ ℝ , con A⊆ ℝ , xo punto de acumulación de A.

00x x

lím g(x) 0, ( ) 0 / x :[x A x E*(x ; ) g(x) ]→

= −∞ ⇔ ∀ε > ∃ δ ε > ∀ ∈ ∧ ∈ δ ⇒ < −ε

También puede definirse límite infinito (sin signo).1

]|)x(h|);x('ExAx[:x/0)(,0)x(hlím 0xx 0

ε>⇒δ∈∧∈∀>εδ∃>ε∀⇔∞±=→

Decimos que x= a es la ecuación de la asíntota vertical de f si y sólo si x alím f (x)

→= ∞

1 Hay autores que consideran que, en este caso, el límite no existe.

ε

x0-δ x0 x0+δ x

f(x)

x

h(x’) ε

- ε

x’ x x0- δ x 0 x0+δ

h(x)

y

x

x

x0-δ x0 x0+δ

- ε g(x)

x y


53

c) Límite infinito, variable infinita Sea f: A , A⊆ y A no acotado. Con el mismo criterio puede definirse límite igual a menos infinito para x tendiendo a más infinito, ó límite igual a infinito (sin signo) para x tendidendo a menos infinito, etc. CONTINUIDAD

• Continuidad de una función en un punto Consideremos una función f:A→ ℝ , con A⊆ ℝ , y x0 punto de acumulación de A. Decimos que f es continua en x0 si y sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1) ∃ f x( )0

2) ∃→

límf x finitox x

( )

0

3) límf xx x

( )→ 0

= f (x0)

Cuando alguna de las condiciones falla, se dice que f es discontinua en x0 . Si es discon-tinua pero existe límite finito, la discontinuidad es evitable, en caso contrario es esen-cial.

])x(fxAx[:x/0)(,0)x(flímx

ε−<⇒δ>∧∈∀>εδ∃>ε∀⇔−∞=+∞→

→ ℝ ℝ

δ x x

- ε f(x)

y

ε

x

Esta función presenta una discon-tinuidad esencial en x=2 pues

x 2límf(x)

→= ∞


54

Álgebra de funciones continuas. • La suma (o producto) de dos funciones continuas en x = x0 es una función continua

en x = x0. • El cociente de dos funciones continuas en x = x0 es una función continua en x = x0

sólo si la función que figura en el denominador no se anula en x0. Continuidad lateral f es continua a derecha en x = x0 si y sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1) ∃ f x( )0 2) ∃

→ +límf x finitox x

( )

0

3) límf xx x

( )→ +

0

= f (x0)

x x0

y f(x 0)

Esta función presenta una discontinuidad evitable en x=1 pues aunque no está defi-nida en ese punto tiene límite finito cuan-do x tiende a 1.

Esta función presenta una discontinui-dad esencial en x=1 pues como los lí-mites laterales son distintos, no tiene límite.

Esta función presenta una discontinuidad evitable en x = 1 porque aunque está defi-nida en 1 y tiene límite para x tendiendo a 1, ambos valores son distintos.


55

f es continua a izquierda en x = x0 si y sólo si se cumplen las siguientes tres condicio-nes: 1) ∃ f x( )0 2) ∃

→ −límf x finitox x

( )

0

3) límf xx x

( )→ −

0

= f (x0)

Continuidad en un intervalo cerrado f es continua en el intervalo cerrado [a,b] si y sólo si: f es continua ∀x ∈ (a,b) , f es con-tinua a derecha en a y f es continua a izquierda en b. Gráficamente decir que una función es continua en un intervalo cerrado significa decir que los extremos del arco de curva que la representa están “pegados” al arco. y Propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado. 1) Primer teorema de Weierstrass. Toda función continua en un intervalo cerrado permanece acotada en él En símbolos: f continua en [a,b] k / | f (x) | k, x [a,b]+⇒ ∃ ∈ < ∀ ∈ℝ

y f(x 0)

x

x0

f es continua en [a,b]

a b

g es continua en (a,b) pero no en [a,b]

x a b

y

x


56

2) Segundo teorema de Weierstrass. Toda función continua en un intervalo cerrado alcanza en él un máximo y un mínimo absoluto. f continua en [a,b] c [a,b] / f (c) es Máx. absoluto

d [a,b] / f (d) es mín. absoluto.

⇒ ∃ ∈∧ ∃ ∈

3) Teorema de los ceros de Bolzano Si una función es continua en un intervalo cerrado y tiene valores de distinto signo en los extremos del mismo, entonces existe por lo menos un punto interior al intervalo en el que la función se anula. H) f continua en [a,b] Sg[f(a)] ≠ Sg [f(b)] T) ∃ ∈ =c a b f c( , ) / ( ) 0 4) Teorema del valor intermedio Si f es continua en un intervalo cerrado y k es un número comprendido entre el mínimo y el máximo absoluto que la función alcanza en él, entonces existe por lo menos un pun-to interior al intervalo en el que la función es igual a k. H) f continua en [a,b] T) ∃ ∈ =c a b f c k( , ) / ( ) M máximo absoluto de f en [a,b] m mínimo absoluto de f en [a,b] k ∈ ℝ / m < k < M

a c b=d x

y M m

a c b x

y

y

x

a c b

f(a)

f(b)

k

Análisis Matemático I : Derivadas y diferenciales.

57

Derivación de funciones escalares

• Derivada de una función en un punto Introducción: El cálculo diferencial forma, junto con el cálculo integral, una de las ramas más importan-tes de la Matemática. Vivimos en un mundo caracterizado por cambios continuos. Es importante desarrollar mé-todos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar estos cambios. Éste es el propó-sito del cálculo diferencial: es la Matemática de los cambios. Todo el cálculo diferencial se puede reducir a un concepto fundamental: la razón de cam-bio. Siempre que dos magnitudes (variables) estén conectadas por una función, se puede estudiar el cambio relativo de una con respecto a la otra. Algunas razones o tasas de cam-bio tienen nombres especiales: la razón de cambio de la posición de un vehículo con res-pecto al tiempo es la velocidad, la razón de cambio del tamaño de una persona en relación con su edad es la tasa de crecimiento, etc. Ejemplo: El combustible de un cohete se quema en 180 seg. En los primeros t segundos (0≤t≤180), el cohete alcanza una altura de t2 km sobre la Tierra. Determinemos la relación entre va-riaciones de altura y las correspondientes variaciones de tiempo(tasa de cambio= velocidad media). to (seg) t1 (seg) h0 (km) h1 (km) ∆t= t1- t0

(seg.) ∆h= h1- h0

( km)

Vel.media=h km

t seg

∆

∆

2 1 4 1 -1 -3 3 2 1.5 4 2.25 -0.5 -1.75 3.5 2 1.9 4 3.61 -0.1 -0.39 3.9 2 3 4 9 1 5 5 2 2.5 4 6.25. 0.5 2.25 4.5 2 2.1 4 4.41 0.1 0.41 4.1 Observemos que a medida que los intervalos de tiempo alrededor de 2 seg son menores, la velocidad media se va acercando a 4 km/seg. Es decir, alrededor del instante t0= 2 seg, las velocidades medias se van aproximando a 4 km/seg.

En general, la velocidad media en el intervalo [2; t] o [t;2] es2

m

h(t) h(2) t 4v

t 2 t 2

− −= =− −

Para calcular la velocidad en el instante t0 = 2 seg, deberemos considerar el límite para t→2 de la velocidad media:

2

t 2 t 2 t 2

t 4 (t 2).(t 2)v(2) lím lím lím(t 2) 4

t 2 t 2→ → →

− − += = = + =− −

(km/seg)


58

Interpretemos estas relaciones geométricamente. Para ello, grafiquemos la función h(t)= t2, con 0≤t≤180

Como nos interesa trabajar cerca de 2 segundos ampliaremos la parte del gráfico que está remarcada. Hemos dibujado dos rectas secantes, correspondientes a los intervalos [1,2] y [2,3].

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

h(km)

t(seg)

0

4

0 1 2 3 5

h (km)

t (seg.)


59

Las pendientes de estas rectas secantes corresponden a los cocientes th

∆∆

(velocidad media)

para cada uno de los intervalos mencionados. Cuando 0t →∆ , las rectas secantes van “deslizándose” hasta coincidir ambas. Esta recta “límite” tiene, en un entorno de t0 =2 un solo punto en común con la curva, el punto (2;4). En esa posición límite, que corresponde a

la recta tangente, la pendiente está dada por el límite para 0t →∆ , del cociente th

∆∆

. Es

decir, la pendiente de la recta tangente representa la velocidad instantánea para t = 2 seg. Definición Sea f:A ,→ ℝ con A⊆ ℝ , y sea x0 interior a A Este límite puede ser finito o infinito. • Se dice que f es derivable en x0 si y sólo si el límite del cociente incremental es finito.

0

4

0 2

h (km)

t

t (seg)

x0

f(x0)

x

f(x)

∆∆∆∆x

∆∆∆∆f

Po

P

Se llama derivada de f en xo al límite, si existe, del cociente incremental 0

0

f (x) f (x )

x x

−−

,

cuando 0x x→ .

y

x


60

En ese caso, se dice que el límite es la derivada de f en x0 , y se escribe:

f ’(x o)=Df(xo)=0x

dy

dx

=o

0

x x0

f (x) f (x )lím

x x→

−−

• Si o

0

x x0

f (x) f (x )lím

x x→

− = +∞−

oo

0

x x0

f (x) f (x )lím

x x→

− = −∞−

, se dice que f tiene derivada infinita

en x0. • Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto Entonces, si la recta secante tiende a la recta tangente1, y el cociente incremental tiende a la derivada, resulta que: La derivada de una función en x0 representa , si existe y es finita, la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en Po. • Recta tangente y normal a una curva en un punto Teniendo en cuenta: a) la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto; b) la ecuación de la recta que pasa por un punto con pendiente conocida: y – y0 =m.(x – x0); c) que si dos rectas perpendiculares tienen pendientes no nulas, el producto de las mismas es igual a –1, podemos sintetizar en este cuadro cómo se obtienen las ecuaciones de las rectas tangente y normal2 a C en P0 . Si el límite del cociente incremental dá:

entonces la ecuación de la recta tangente es:

y la ecuación de la recta normal es:

+∞ ó - ∞

x=x0 y=f(x0)

0

y=f(x0) x=x0

f´(xo)≠0

y- f(x0)=f´(x0).(x -x0-) y - f(x0)= o

1f (x )

−(x -x0)

1 En realidad, si f es una función derivable en x0, se define como recta tangente al gráfico f en el punto P0=(x0;f(x0)) a la recta a la que pertenece P0 cuya pendiente es f ´(x0). 2 Recta normal a C en P0 es la recta perpendicular a la recta tangente a C en ese punto.

El cociente 0

0

f (x) f (x )

x x

−−

(cociente in-

cremental), representa la pendiente de la recta secante a la curva C, representativa de la función. Cuando 0xx → , el punto P “resbala”

sobre la curva hasta coincidir con P0, la recta secante alcanza una posición límite que corresponde a la recta tangente. x0

f(x0)

x

f(x)

∆∆∆∆x

∆∆∆∆f Po

P s

t

C

y

x


61

Ejemplos: Calcular, si existen las derivadas de cada una de las siguientes funciones en los puntos que se indican. Hallar, si es posible, la ecuación de la recta tangente y normal a las respectivas curvas en esos puntos.

I) f(x) = 1

x en x0= 1

o

0

x x x 1 x 1 x 10

1 1 x1f (x) f (x ) 1x xlím lím lím lím 1 f´(1) 1

x x x 1 (1 x) x→ → → →

−−− = = = − = − ⇒ = −− − − −

La ecuación de la recta tangente en P0(1;1) es: y – 1= -1.(x-1) ⇒y= -x +1 +1 ⇒

y = -x + 2 La pendiente de la perpendicular es m = 1, entonces la ecuación de la recta normal en P0(1;1) es: y – 1= 1.(x-1) ⇒

y= x

II) g(x)= 3 x 1− en x0=1

o

13 3

02x x x 1 x 1 x 1 30

g(x) g(x ) x 1 0 (x 1) 1lím lím lím lím

x x x 1 x 1 (x 1)→ → → →

− − − −= = = = +∞− − − −

y

x1 22-1-2-2

1

22

-1

-2-2

n

t


62

La ecuación de la recta tangente en P0(1;0) es: y=0, y la ecuación de la recta normal es x=1. III) h(x)= -x2 + 4x -1 en x0=2

o

2 2 2 20

x x x 2 x 2 x 20

h(x) h(x ) x 4x 1 ( 2 4.2 1) x 4x 4 (x 2)lím lím lím lím 0

x x x 2 x 2 x 2→ → → →

− − + − − − + − − + − − −= = = =− − − −

Resulta h´(2)=0 La ecuación de la recta tangente es y=3, y la de la recta normal es x=2

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

t

n

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

x

t

n


63

IV) j(x)= |2x-4| + 3 en x0 =2

o

0

x x x 2 x 20

j(x) j(x ) | 2x 4 | 3 (| 2.2 4 | 3) 2 | x 2 |lím lím lím

x x x 2 x 2→ → →

− − + − − + −= = =− − −

x 2 x 2

x 2 x 2

2 | x 2 | 2(x 2)lím lím 2

x 2 x 2 j'(2)2 | x 2 | 2(x 2)

lím lím 2x 2 x 2

+ +

− −

→ →

→ →

− − = = − −= ⇒ ∃ − − − = = − − −

Observación: Los límites laterales del cociente incremental reciben el nombre de derivadas laterales. Para que la función sea derivable, las derivadas laterales deben ser finitas e iguales. Si las derivadas laterales son infinitas de distinto signo, el punto se llama de retroceso y en ese punto el gráfico de la función tiene semirrecta tangente • Relación entre continuidad y derivabilidad : Condición necesaria para que una función sea derivable Teorema: Si f es derivable en x0 entonces es continua en x0. H) f derivable en x0. T) f continua en x0.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

x

En xo=2 la función no es derivable, por lo tanto no admite recta tangente en (2,3)


64

Demostración: Por definición de continuidad, alcanza con probar que

0ox x

lím f (x) f (x )→

=

En efecto:

f derivable en x0 ∃⇒ y es finito el 0

0

x x0

f (x) f (x )lím

x x→

−−

⇒0

00x x

0

f (x) f (x )lím f '(x )

x x→

− =−

Pero si una función tiene límite finito se puede escribir como suma de su límite más un infinitésimo, es decir:

00

0

f (x) f (x )f '(x ) (x)

x x

− = + ϕ−

, con 0)x(lím0xx

=ϕ→

⇒

0f (x) f (x )− = 0 0 0f '(x ).(x x ) (x).(x x )− + ϕ − ⇒

0f (x) f (x )= + 0 0 0f '(x ).(x x ) (x).(x x )− + ϕ − .

Entonces, como se cumplen las hipótesis de las propiedades de los límites finitos:

0 0 00x x x x x x

lím f (x) lím f (x ) lím→ → →

= +0

0 0 0x x[f '(x ).(x x )] lím[ (x).(x x )]

→− + ϕ −

00 0x x

lím f (x) f (x ) f '(x ).0→

= + + 0. 0 ⇒0

0x xlím f (x) f (x )→

= ⇒ f es continua en x0

IMPORTANTE: La propiedad demostrada es una condición necesaria para que una función sea derivable, pero no es suficiente; la propiedad recíproca no es cierta. Una función puede ser continua en un punto pero NO ser derivable en él. Ejemplo: j(x) = |2x- 4 | + 3 en x0=2 (ver que no es derivable en pág 63) Sin embargo, es continua , ya que j(2)=3 y

x 2lím(| 2x 4 | 3) 3

→− + = , ya que:

x 2

x 2

lím (| 2x 4 | 3) 3 , y

lím (| 2x 4 | 3) 3

+

−

→

→

− + =

− + =

cte. cte. 0


65

• Función derivada La derivada de una función en un punto, si existe, es un número. Consideremos f:A⊆ ℝ → ℝ y sea B el subconjunto de A formado por los elementos del dominio de f en los que f es derivable.

Es decir: B= { }f (x) f (a)y es finito lím

x ax aa A / −

−→∈ ∃

Podemos definir una nueva función de B en ℝ tal que a cada elemento “a” de B le asigne como imagen el correspondiente valor del límite del cociente incremental, es decir, el valor de f ´(a). Esta función recibe el nombre de función derivada de f.

Entonces, la función derivada de f es : x a

f (x) f (a)f : B / f (a) lím

x a→

−→ =−

ℝ

Ejemplo: Consideremos f(x) = sen x, y calculemos el valor de su derivada para un punto “a” genéri-co.

x a x a

f (x) f (a) sen x sen af '(a) lím f '(a) lím

x a x a→ →

− −= ⇒ =− −

Como sen p – sen q = 2 senp q

2

− cos

2

qp + , resulta:

x a x a

x a x a x a2sen .cos sen x a2 2 2f '(a) lím lím 2 .cos

x ax a 2.22

→ →

− + −+= = −−

=2a

cos cosa2

=

Resulta que la función derivada de f(x) = sen x es f ´(x)= cos x • Derivadas sucesivas En tanto definimos a f ´ como la función derivada de f, podemos definir, con el mismo cri-terio, la derivada de f ’, que llamaremos derivada segunda de f e indicaremos f ´´, a la deri-vada de ésta (f ´´´), y así sucesivamente. podemos definir, si existe, la derivada n-sima de f.

1

multiplicamos y dividimos el denominador por 2


66

REGLAS Y FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 1

FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA y = u(x)+v(x) y’= u’(x)+v’(x) y= arc sen x

yx

'=−

1

1 2

y= u(x).v(x) y’= u’(x).v(x)+u(x).v’(x) y= arc cos x y

x'= −

−

1

1 2

u(x)y

v(x)=

2

u '(x).v(x) u(x).v '(x)y '

v (x)

−= y = arc tg x

yx

'=+1

1 2

y= k. u(x) y ’= k.u´(x) y = arc sec x

1xx

1'y

2 −= si |x|>1

y= k y’=0 y= arc cosec x y

x x'=

−

−

1

12 si |x|>1

y =x y’=1 y = arc cotg x y

x'=

−+

1

1 2

y = x n y’=n. x n-1 y=Shx y’= Ch x

xy = 1y '

2 x=

y=Chx y’= Sh x

y = sen x y’=cos x y=Th x y’= Sech2 x

y = cos x y’=- sen x y= Sech x y’= - Sech x. Th x

y= tg x y’= sec2 x y = Cosech x y’= Cosech x. Cotgh x

y = sec x y’= sec x. tg x y= Cotgh x y’= - Cosech2 x

y= cosec x y’= - cosec x. cotg x y= Arg Shx y’=

2

1

x 1+

y = cotag x y ‘= - cosec2 x y= Arg Chx 2

1y '

x 1=

−

y = ex y’= ex y=Arg Thx 2

1y '

1 x=

−

y= ax y’=ax lna y=(f o g)(x) y’= f ’ u . g ‘x

siendo u = g(x)

y = ln x 1y '

x=

• Reglas y fórmulas de derivación 1 Las reglas y fórmulas son válidas en los conjuntos en que las funciones están definidas y son derivables.


67

Demostraremos a continuación algunas de las reglas y fórmulas de derivación del cuadro precedente, que nos permitirán en la mayoría de los casos, conocer la derivada de una fun-ción en distintos puntos sin necesidad de aplicar, cada vez, la definición. Deducciones de algunas reglas de derivación: a) Derivada de una suma de funciones Hipótesis: f(x)= u(x) + v(x) Tesis: f ’(a)= u’(a)+ v’(a) u(x) y v(x) derivables en x=a Demostración:

f (x) f (a) [u(x) v(x)] [u(a) v(a)]f ' (a) lím f '(a) lím

x a x ax a x a

[u(x) u(a)] [v(x) v(a)] u(x) u(a) v(x) v(a)f ' (a) lím lím lím

x a x a x ax a x a x a

− + − += ⇒ = ⇒

→ →− −

− + − − −= = +

→ → →− − −

Como u y v son derivables en x= a, resulta : u '(a) v '(a)f (a) += b) Derivada de un producto de funciones Hipótesis: f(x)= u(x) . v(x) Tesis: f ’(a)= u’(a).v(a)+ u(a).v ’(a) u(x) y v(x) derivables en x=a Demostración:

f (x) f (a) u(x).v(x) u(a).v(a)f '(a) lím f '(a) lím sumamos y restamos en el

x a x ax a x a

numerador u(a).v(x)

u(x)v(x) u(a).v(x) u(a)v(x) u(a)v(a)]f '(a) lím

x a x a

− −= ⇒ = ⇒

→ →− −

− + −= ⇒

→ − Si sacamos factor común entre los dos primeros términos de numerador y entre los dos últimos y aplicamos límite de una suma (es posible hacer esto porque existe el límite finito de cada término), se tiene:

Por def. de derivada

Por prop. límites finitos


68

u(x) u(a) v(x) v(a)f '(a) lím v(x) lím u(a)

x a x ax a x a

− −= + ⇒

→ →− −

Como se verifican las hipótesis del límite finito de un producto, resulta:

u(x) u(a) v(x) v(a)f '(a) lím lím v(x) lím u(a) lím

x a x ax a x ax a x a

− −= + ⇒

→ →− −→ →

Por definición de derivada y teniendo en cuenta que:

x alím v(x) v(a)

→= , pues v(x) es conti-

nua en a por ser derivable por hipótesis, se tiene:

f ' (a) u '(a) . v(a) u(a) . v '(a)= + Consecuencia Como la derivada de una constante es 0, si f(x)= k.u(x) , al aplicar la fórmula obtenida re-sulta: f ’(x)= 0.u(x)+ k. u’(x). Es decir: La derivada de una constante por una función , es igual a la constante por la derivada de la función. c) Derivada de un cociente de funciones

Hipótesis: f(x)= u(x)

v(x), v(a)≠ 0 Tesis: f ´(a)=

u '(a).v(a) u(a).v '(a)2v (a)

−

u(x) y v(x) derivables en x=a Demostración:

u(x) u(a) u(x).v(a) u(a).v(x)f (x) f (a) v(x) v(a) v(x).v(a)

f ' (a) lím f '(a) lím límx a x a x a x ax a x a

restamos y sumamos en el numerador u(a).v(a)

u(x)v(a) u(a).v(a) u(a)v(a) u(a)v(x)]f ' (a) lím

x a (x a).v(x).v(a)

−−−

= ⇒ = =→ → → −− −

⇒

− + −= ⇒

→ −

Si extraemos factor común entre los dos primeros términos del numerador y entre los dos últimos y aplicamos la propiedad de la suma de límites finitos, resulta:

Cte.


69

u(x) u(a) v(x) v(a)f '(a) lím v(a) lím u(a)

x a x a(x a).v(x).v(a) (x a).v(x).v(a)

− −= − ⇒

→ →− −

Por propiedades de los límites finitos, se tiene:

u(x) u(a) v(x) v(a)v(a) u(a)f '(a) lím lím lím lím

x a x av(x).v(a) v(x).v(a)x a x ax a x a

− −= − ⇒

→ →− −→ →

f ´(a) = u´(a) . v(a)

v(a).v(a) -

u(a)

v(a).v(a) .v´(a)

(*)

x alím v(x) v(a)

→= pues v(x) es continua en a por ser derivable por hipótesis.

Resulta: f ’(a)=u '(a).v(a) u(a).v '(a)

2v (a)

−

Deducción de algunas fórmulas de derivación a) Derivada de una constante

f(x)= k ⇒ f (x) f (a) k k

f ' (a) lím f ' (a) lím 0x a x a x ax a

− −= ⇒ = =

→ → −−

b) Derivada de una función potencial Hipótesis: f(x) = xn Tesis: f ’(x)=n.xn-1 Demostración:

Para salvar la indeterminación podemos aplicar Ruffini en el numerador 1 0 0 0.....0 0 -an a a a2 a3 an-2 an-1 an xn - an =(x –a).(xn-1+a.xn-2+a2.xn-3+...+an-2.x+an-1) 1 a a2 a3 ...an-2 an-1 0

def. de derivada (*)

def. de derivada

n nf (x) f (a) x af '(a) lím f '(a) lím

x a x ax a x a− −

= ⇒ =→ →− −

n términos


70

Entonces: n términ os

n 1 n 2 2 n 3 n 3 2 n 2 n 1n 1

x a

(x a) (x a.x a .x a .x a x af '(a) lím n.a

x a

− − − − − −−

→

− + + + + + += =−

��

⋯

Observación: La demostración vale para n natural, pero la fórmula es válida para ex-ponente negativos y racionales Consecuencia:

Si f(x) = 1 1

2 21 1

x x f '(x) .x2 2 x

−= ⇒ = =

c) Derivación de funciones trigonométricas c1) Derivada de y = sen x ( ver pág.65) c2) Derivada de y = cos x (Es y’ =-senx)

(La deducción es similar a la anterior. Usar: cosp - cosq= -2 senp q

2

−

senp q

2

+

)

c3) y = tg x=sen x

cos x

Derivando como cociente se tiene: y´ =2 2

2 2

cos x.cos x sen x.( sen x) cos x sen x

cos x cos x

− − +=

y´ = 22

1sec x

cos x=

c4) y = cotg x=xsenxcos⇒

y´ = 2 2

22 2 2

sen x.sen x cos x.cos x sen x cos x 1cot g x

sen x sen x sen x

− − − −= = − = −

c5) y = sec x =2

1 0.cos x 1( sen x) 1 sen xy ' sec x.tg x

cos x cos x cos x cos x

− −⇒ = = ⋅ =

c6) y = cosec x =1

sen x

2

0.sen x 1.cos x 1 cos xy ' cosec x.cot g x

sen x sen x sen x

− −⇒ = = ⋅ = −

d) Derivada de la función logarítmica

Definición: e=n

n n1

1lím

+∞→


71

Hipótesis) f(x)= ln x Tesis) f ´(x)=x1

Demostración:

Pero por propiedad de los logaritmos, resulta:

f´(a)=0x

lím→∆ x 0

1x1 x x

ln 1 lím ln 1x a a∆ →

∆∆ ∆ + = + ∆

Como el límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite, se tiene:

f ´(a)= lnx

1

ax

1lím0x

∆

∆+→∆

. Multiplicamos y dividimos en el exponente por “a”:

f ´(a)= lnxa

a

a

x1lím

0x

∆

∆+

→∆.=ln

1a

1a ax

x 0

x 1lím 1 ln e

a a

∆

∆ →

∆ + = =

e) Derivación de funciones compuestas (Regla de la cadena) Si f: A →ℝ / y = f(u)es derivable en u 0 y g: B→ A / u = g(x) es derivable en x0 , siendo g(xo)= u0, entonces fog es derivable en xo y se cumple que:

(f o g )´ (xo) = f u(uo). g x (xo) Demostración:

f derivable en uo ⇒ 0

00u u

0

f (u) f (u )lím f '(u )

u u→

−=

−(por def. de derivada)

Pero si una función tiene límite finito para u →u0, la función puede escribirse como suma de su límite más un infinitésimo para u →u0 . Entonces, y teniendo en cuenta que u = g(x), resulta:

0

00 u u

0

f [g(x)] f[g(x )]f '(u ) (u) con lím (u) 0

g(x) g(x ) →

−= + ϕ ϕ =

−

f (x) f (a) ln x lna ln(a x) lnaf '(a) lím f '(a) lím lím

x a x ax a x a xx 0

− − +∆ −= ⇒ = =

→ →− − ∆∆ →


72

De donde: ( ) ( )0 u 0 0 0f [g(x)] f[g(x )] f ' (u ). g(x) g(x ) (u) . g(x) g(x )− = − + ϕ −

Dividimos ambos miembros por x - xo y tomamos límite para x →xo, aplicando propieda-des de los límites finitos, cuyas hipótesis se verifican:

0 0 0 0 0

0 o ou 0x x x x x x x x x x

0 0 0

f [g(x)] f[g(x )] g(x) g(x ) g(x) g(x )lím lím f ' (u ). lím lím (u). lím

x x x x x x→ → → → →

− − −= + ϕ

− − −

cte. g´x(x0) g´x(x0) Analicemos el factor que nos queda:

0x xlím (u)→

ϕ .

Como u = g(x) derivable en xo es continua en x0, luego, cuando x→x0, también u→ u0 y por lo tanto el límite es 0, ya que ϕ es un infinitésimo para u→u0 . Resulta que el límite planteado en el primer miembro , que es (fo g)’(xo) existe y es igual a f ´u(uo). g x (xo) Ejemplo: Obtener la función derivada de cada una de las siguientes funciones compuestas:

a)f(x)= sen(ln x)⇒ f´(x)= 1 1 cos(ln x)

cos(ln x)x2 sen(ln x) 2x sen(ln x)

⋅ ⋅ =

b)g(x)=sen ln x ⇒ g´(x)=1 1 cos ln x

cos ln xx2 ln x 2x. ln x

⋅ ⋅ =

• Método de derivación logarítmica Derivación de funciones exponenciales Consideremos f(x)= a u(x) (a>0, a≠1) Aplicamos logaritmos a ambos miembros:

lnf(x) = ln [a u(x)] lnf(x) = u(x).lna⇒ 1

1 El log.de una potencia es igual al exponente por el log.de la base

(f o g )´ (xo) = f´u(uo). g x (xo)


73

Derivamos ambos miembros:1

f '(x) ln a u '(x)f (x)

⋅ = ⋅

Resulta: u(x )f '(x) f (x).ln a. u '(x) f '(x) a .ln a . u '(x)= ⇒ = Si u(x) = x, se tiene: f(x) = x xa f '(x) a .ln a⇒ = Si a=e , resulta: u(x) u(x)f (x) e f '(x) e .u '(x)= ⇒ = Si a = e y u(x) = x: x xf (x) e f ' (x) e= ⇒ =

Aplicación a funciones potenciales exponenciales Ejemplo:

xf (x) (sen x)=

Si aplicamos ln a ambos miembros y tenemos en cuenta una propiedad de los logatritmos:

ln f (x) x.ln(sen x)= Derivamos el primer miembro como función compuesta y el segundo como producto:

x

1 1f '(x) 1.ln(sen x) x cos x.

f (x) sen x

cos x cos xf '(x) f (x). ln(sen x) x f '(x) (sen x) . ln(sen x) x

sen x sen x

⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒

= + ⋅ ⇒ = + ⋅

Derivación de funciones hiperbólicas:

1) f(x) = Shx= ( ))xx ee21 −− ( ) ( )x x x x1 1

f '(x) e ( 1)e e e Chx2 2

− −⇒ = − − = + =

2) f(x) = Chx = ( ))xx ee21 −+ ( ) ( )x x x x1 1

f '(x) e ( 1)e e e Shx2 2

− −⇒ = + − = − =

Derivada de una cte.por una función


74

3) f(x) = Thx= Shx

Chx

2 2

2 2 2

Chx.Chx Shx.Shx Ch x Sh x 1f '(x)

Ch x Ch x Ch x

− −⇒ = = =

• Derivación de funciones inversas Sea f:A→B biyectiva / y = f(x), y sea g:B→A, su inversa / x = g(y) Resulta x = g[f(x)] ox (g f )(x)⇒ =

Derivando ambos miembros y recordando que el segundo es función compuesta, se tiene:

1= g’y .f ’x y'g⇒ =x

1

f '

Aplicación a funciones circulares inversas

1) f(x) = arc sen x x sen f (x)⇒ = x ,2 2

π π ∈ −

Derivando ambos miembros: 1 = cos f(x) . f´(x)

2 2

1 1 1f '(x)

cos f (x) 1 sen f (x) 1 x⇒ = = =

− −

2) De la misma forma se prueba que si:

f(x) = arc cos x, resulta f´(x) = 2

1

1 x−

−

3) f(x) = arc tg x x tg f (x)⇒ = . Derivando ambos miembros:

1= sec2 f(x). f ’(x)2

1f '(x) .

sec f (x)⇒ = (*)

Como sen2 a + cos 2a= 1 , al dividir ambos miembros por cos2 a , se tiene:

Teniendo en cuenta que:

cos2 a + sen2 a = 1 y que x ,2 2

π π∈ −


75

2 22

1tg a 1 sec a

cos a+ = = 2

2

1sec a

1 tg a⇒ =

+

Reemplazando en (*): 2 2

1 1f '(x)

1 tg f (x) 1 x= =

+ +

Aplicación a la derivación de funciones hiperbólicas inversas 1) y = Arg Shx x Sh y⇒ = Derivamos ambos miembros:

1 = Chy. y´1

y 'Chy

⇒ =

Pero: Ch2 a – Sh2 a = 1 2Cha 1 Sh a⇒ = + (**) porque a ,∀ ∈ℝ Ch(a) 0≥

Es decir: y´= 22 x1

1

ySh1

1

+=

+

2) De la misma forma se prueba que:

1x

1'yArgChxy

2 −=⇒=

3)y = Arg Thx x = Thy⇒ . Derivamos ambos miembros: 1 = 2

1.y '

Ch y

Si en (**) dividimos ambos miembros por Cha y a`licamos proa- distributiva de la divi-sión con respecto a la sustracción en el primer miembro, resulta:

1–Th2 a = 2

1

Ch a

Por lo tanto: 1 = (1–Th2 y) . y´ 2 2

1 1y '

1 Th y 1 x⇒ = =

− −


76

• Diferencial de una función en un punto Consideremos una función f derivable en x0; esto significa que existe y es finito el límite del cociente incremental.

0 0

0 00 0x x x x

0 0

f (x) f (x ) f (x) f (x )lím f '(x ) f '(x ) (x), con lím (x) 0

x x x x→ →

− −= ⇒ = + ϕ ϕ =

− −

Resulta:

00 0 0 0 x x

f (x) f (x ) f '(x ).(x x ) (x).(x x ), con lím (x) 0→

− = − + ϕ − ϕ =

Definición: Dada una función f derivable en xo, punto interior de su dominio, se llama diferencial de f en el punto x0 con respecto al incremento x∆ al producto de la derivada de f en x0 por

x∆ . En símbolos:

df(x0; x∆ )= f ´(x0). x∆

Resulta entonces que: 0 x 0

y df (x ; x) ( x). x , con lím ( x) 0∆ →

∆ = ∆ + ϕ ∆ ∆ ϕ ∆ =

(Tener en cuenta que x∆ =x - x0 ⇒x=x0 + x∆ ; además si x→ xo, entonces x∆ →0) Como el segundo término tiende a cero, cuando x∆ →0, se tiene que:

0y df(x ; x)∆ ≅ ∆

Probaremos que la variación de la función y su diferencial son infinitésimos equivalentes para x∆ →0.

En efecto: 00x 0 x 0 x 0

0 0 0 0

f '(x )y y 1 ylím lím lím 1;si f '(x ) 0

df (x ; x) f '(x ). x f '(x ) x f '(x )∆ → ∆ → ∆ →

∆ ∆ ∆= = = = ≠∆ ∆ ∆

Si una función tiene límite finito para x→x0 , entonces puede escribirse como la suma de su límite más un infinitésimo para x→x0

x∆

x∆ y∆


77

Interpretación geométrica:

df(x0; ∆x) representa la variación de ordenada de la recta tangente a la curva en P0

(x0; f(x0)), al pasar de x0 a x0 +∆x. Es una aproximación de la variación de la función.

Ejemplo: Calcular usando diferenciales el valor aproximado de e0, 3 Consideremos f(x) = ex; x0 =0 y ∆x=0,3 Resulta: f(xo+∆x)= f(x0) +∆y )x;x(df)x(f 00 ∆+≅

Como f ‘(x)= ex y e0=1, se tiene: e0,5 3,1e3,0.ee 3,000 ≅⇒+≅

Usando calculadora: e0,3=1,3498588...

En el dibujo:

0 0

RQdf (x ; x) f '(x ). x tg . x x RQ

x∆ = ∆ = α ∆ = ⋅ ∆ =

∆

f(x0 + x∆ )

x0 x 0 + x∆

f(x0)

∆y df(x0; ∆x) P0 R

Q

P

y

x

α

y=ex

e0,3

Valor aprox.


78

Cuanto mayor es ∆x, mayor es el error que se comete • Reglas y fórmulas de diferenciación: Veamos algunos ejemplos: 1) Diferencial de un producto Sea f(x) = u(x).v(x), con u y v derivables . df(x)=d[u(x).v(x)]=[u(x).v(x)]´ x∆ = [u´(x).v(x)+u(x).v´(x)]. x∆ df(x)= u´(x).v(x) x∆ + u(x).v´(x) x∆ d[u(x).v(x)]⇒ =du. v(x) +u(x). dv 2) Diferencial de f(x)= lnx

df=d(lnx)= xx

∆1

En general, las reglas y fórmulas de diferenciación son idénticas a las de derivación. y sen x dy d(sen x) cos x. x

1y x dy d( x ) x

2 xy x dy dx 1. x

= ⇒ = = ∆

= ⇒ = = ∆

= ⇒ = = ∆

Se puede redefinir el concepto de diferencial utilizando

dy=f´(x). dx 0

0x

dyf '(x )

dx

⇒ = (Notación diferencial de la derivada)

• Aplicaciones Derivación de funciones definidas paramétricamente Ejemplo:

Sea y = f(x) definida mediante: 2

x 2t

y 5t

= =

. Para obtener la relación entre las variables x e y

debe eliminarse entre ellas el parámetro t.

dv du

(*)

(*)


79

De la primera ecuación sale:2

2x x 5t y 5. y x

2 2 4 = ⇒ = ⇒ =

.

Si nos interesa obtener y´(2), hacemos: y´=. .x5

24

5y '(2) .2.2 5

4⇒ = =

Se pretende encontrar esta derivada sin llevar la función a su expresión cartesiana:

Como y´ =dy

dx y 2

x 2t dx 2dt

y 5t dy 10tdt

= ⇒ = = ⇒ =

10t.dt

y ' 5t2dt

⇒ = =

Como para que x sea igual a 2, debe ser t=1, se tiene:t 1

dyy '(2) 5.1 5

dx =

= = =

En general, dada y = f(x) mediante x x t

y y t

= =

( )

( ), se puede obtener

y´= t t

t t

x ' dt x 'dy

dx y ' .dt y '= =

De la misma forma, para obtener y”, que es la derivada de la derivada, procederemos

así:dy

ydx

= '" .

En el ejemplo: y”=5dt

2dt= 2,5.

Otra forma de obtener las mismas conclusiones

Definir y=f(x) en forma paramétrica mediante x x t

y y t

= =

( )

( ) con x A∈ ⊆ ℝ es equivalente a

pensar en una función que a cada valor de tA∈ le hace corresponder un par ordenado de números reales (x(t);y(t)). Es decir, una función con dominio A y codominio 2ℝ . Este tipo de funciones se llaman funciones vectoriales, su dominio es un subconjunto de ℝ y su codominio es nℝ con n 2≥ . Cuando en Geometría Analítica se trabaja con la ecuación vectorial de una recta en el pla-no, (x;y)=(x0;y0) + t (a;b) donde (x0;y0) es un punto de la recta, (a;b) un vector no nulo paralelo a la misma y t un número real ( parámetro), en realidad se está definiendo una función vec-

torial 2f : →�ℝ ℝ tal que 0 0f (t) (x at; y bt)= + +

�. Obsérvese que el gráfico de la recta, que

está en el plano es un subconjunto de 2ℝ ; más precisamente es el conjunto de todos los

puntos de 2ℝ que se obtienen como imagen de t∈ℝ . Esto significa que el gráfico de la

recta es la representación del conjunto imagen def�

.


80

Las conclusiones son generales:

• Definir una función escalar f en forma paramétrica mediante x x(t)

y y(t)

= =

con t A∈ ⊆ ℝ

equivale a dar una función vectorial ( )g(t) x(t); y(t)=�

definida de A en 2ℝ

• El gráfico de f es el conjunto imagen de g�

.

Podemos decir que una función vectorial 2g : A ⊆ →�

ℝ ℝ viene dada mediante una expre-

sión del tipo ( )g(t) x(t); y(t)=�

donde A es la intersección de los dominios de x(t) e y(t)

que se llaman componentes de la función vectorial. Ejemplo:

Dar la función vectorial 21 1g :[0, ] / g (t) (2cos t;2sent)π → =��

ℝ es equivalente a decir:

x 2cos t

y 2sent

= =

con t [ ]0,∈ π . Para 0 t≤ ≤ π , se cumple 2 x 2− ≤ ≤ , 0 y 2≤ ≤

Teniendo en cuenta que:2 2 2 2 2 2x y 4cos t 4sen t 4(cos t sen t) 4.1 4+ = + = + = = , se tiene que

la imagen de la función vectorialg�

es una semicircunferencia de radio 2 centrada en el ori-

gen de coordenadas, cuya forma escalar es: 2 21 1f :[ 2,2] / y f (x) 4 x− → = = −ℝ .

Si se define 22 2g :[ ,2 ] / g (t) (2cos t;2sent)π π → =��

ℝ , con un razonamiento similar, se ob-

tiene el gráfico de 22 2f :[ 2,2] / y f (x) 4 x− → = = − −ℝ , es decir la semicircunferencia del

mismo centro y el mismo radio incluida en el semiplano correspondiente a y≤ 0.

Esto significa que la función vectorial 2g :[0,2 ]π →�

ℝ , definida porg(t) (2cos t;2sent)=�

tiene como conjunto imagen toda la circunferencia centrada en el origen, de radio 2. Nótese que ese gráfico no corresponde al de una función escalar ya que, por ejemplo. para x= 0 corresponden dos imágenes: y= 2 ó y = -2. Entonces, podemos concluir que el gráfico de cualquier función escalar f: A⊆ →ℝ ℝ / y = f(x), puede pensarse como la imagen de una función vectorial haciendo x= t; y= f(t); o

sea : 2g : A / g(t) (t; f (t))⊆ → =� �

ℝ ℝ . Sin embargo, la imagen de una función vectorial puede ser una curva que no se corresponda con el gráfico de una función escalar.

-2 2

y

x -2

0 2π

g�

Gráfico de f1= Imagen de 1g

�


81

Límite y derivada de una función vectorial En tanto las componentes de una función vectorial son funciones escalares, podemos acep-tar que calcular el límite de una función vectorial equivale a calcular el límite de cada una de sus componentes. Ejemplo:

( ) ( ) ( )1 1

t tt 0 t 0 t 0

sent sentlím ; 1 t lím ; lím 1 t 1;e

t t→ → →

+ = + =

En cuanto a la derivada, se define en forma similar a la derivada de una función escalar y se calcula derivando cada una de sus componentes:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

0 0 0 000 t t t t t t

0 0 0

x(t); y(t) x(t ); y(t ) x(t) x(t ); y(t) y(t )g(t) g(t )g´ t lím lím lím

t t t t t t→ → →

− − −−= = =− − −

� ��

Entonces ( ) ( )0 0

0 00 0 0t t t t

0 0

x(t) x(t ) y(t) y(t )g´ t lím ;lím x´(t ); y (t )

t t t t→ →

− −= = − −

��

Ejemplo: Consideremos 2 2g : / g(t) (t; t )→ =

� �ℝ ℝ . Calculemos g (t)

��.

Derivando cada componente se tiene: g (t) (1,2t)=��

. En particular, se tiene: g (1) (1;2)=��

;

g ( 2) (1; 4)− = −��

y g (0) (1;0)=��

.

Es fácil ver que el conjunto imagen de esta función es la parábola y = x2 . En el dibujo se

muestra el conjunto imagen de g�

y los vectores derivados calculados.

g (1)��

g (0)��

g ( 2)−��


82

Puede notarse que los vectores resultan tangentes al gráfico en los puntos correspondientes.

Esta observación es general: Si g�

es derivable en t0 y su vector derivado no es nulo, resulta

tangente a la imagen de g�

en ( )0 0x(t ); y(t ) . Por lo tanto, una ecuación vectorial para la

recta tangente a la imagen de g�

en ( )0 0x(t ); y(t ) es :

( ) 0 0 0 0x; y (x(t ); y(t )) (x (t ); y (t ))= + λ .

Ahora bien, si el conjunto imagen de g�

corresponde al gráfico de una función escalar y = f(x), derivable en x0=x(t0), como la pendiente de la recta tangente en el punto corres-pondiente es f´(x0) y teniendo en cuenta que el vector ( )0 0x (t ); y (t ) es paralelo a la recta

tangente, podemos concluir que 00

0

y (t )f (x )

x (t )= ( si x´(t0) ≠ 0)

Ejemplo: Sea y= h(x) definida a partir de la función vectorial ⊆ →

�ℝ ℝ

2f : A /

( )2f (t) 1 ln t;2t cos(t 1)= + + −�

.

a) Hallar A y �f(1)

b) Encontrar el dominio de h

c) Escribir ecuaciones vectoriales y cartesianas paras rectas tangente y normal a

la trayectoria definida por �f en

�f(1) .

d) Calcular usando diferenciales el valor aproximado de 9

h10

.

a) El dominio de la función vectorial es la intersección de los dominios de sus compo-

nentes. Como el dominio de la primera es +ℝ y el de la segunda ℝ , resulta A= +

ℝ .

Además ( ) ( )2f (1) 1 ln1;2.1 cos(1 1 ) 1;3= + + − =�

.

b) Como x(t)= 1+ lnt con t +∈ℝ , resulta x∈ℝ . Por lo tanto Dominio de h=ℝ .

c) Obtenemos la función derivada de �f y la evaluamos en t=1:

( )1f (t) ;4t sen(t 1) f (1) 1;4

t = − − ⇒ =

�� .

Es decir, una ecuación vectorial para la recta tangente buscada es:X (1;3) (1;4)= + λ��

.

Como un vector perpendicular al vector derivado en t=1 es n (4, 1)= −�

, una ecuación vecto-

rial para la recta normal buscada es X (1;3) (4; 1)= + λ −��

Las correspondientes ecuaciones cartesianas son:


83

Para la tangente :y 3

x 1 4x 4 y 3 y 4x 14

−− = ⇒ − = − ⇒ = −

Para la recta normal : x 1 y 3 1 1 1 13

x y 3 y x4 1 4 4 4 4

− −= ⇒ − + = − ⇒ = − +−

d) De la ecuación cartesiana de la recta tangente se obtiene: h(1)=3 y h´(1)=4 Entonces, usando diferenciales se tiene:

9 9 1 9h h(1) h (1). x h 3 4. h 2,6

10 10 10 10 ≅ + ∆ ⇒ ≅ + − ⇒ ≅

Una aplicación física

Consideremos la ecuaciones horarias de un objeto en tiro oblicuo:0x

20y

x(t) v t

1y(t) v t gt

2

= = −

donde v0x y v0y son las velocidades iniciales en la dirección de los ejes x e y respectiva-mente y g es la aceleración de la gravedad.

La función vectorial 20s : + →

�ℝ ℝ definida por 2

0x 0y

1s(t) v t; v t gt

2 = −

� representa el vec-

tor posición del objeto en el instante t.

Su vector derivado ( )0x 0y 0x 0y

1s (t) v ;v g2t v ; v gt

2 = − = −

� es el vector velocidad en el

instante t. Derivación de funciones definidas en forma implícita. Dada una expresión del tipo F(x;y)=0 que defina una y = )x(ϕ , interesa obtener y´ sin des-pejar. Ejemplo: Supongamos que: x.ey+ cos(x.y) – 2x2.y3 –1=0 define y = )x(ϕ ,interesa obtener

dyx

dxϕ ='( )

Primer procedimiento: Derivando y como función compuesta ey+x.ey.y´-sen(x.y).[y +x.y´]- 4.x.y3 –6.x2 .y2.y´=0 y´[x.ey –x sen(xy)-6.x2.y2 ]= -ey + y sen(xy) + 4.x.y3


84

Luego: y 3

y 2 2

e y xy 4xyy

xe x xy 6x y

− + +=− −

sen( )'

sen( )

Segundo procedimiento: Usando diferenciales d(x.ey)+ d[cos(x.y)] – d[2x2.y3 ]=0

y y 2 3 2 3dx e x d e xy d xy d 2x y 2x d y 0⇒ + − − + =. . ( ) sen( ). ( ) [ ( ). . ( )

y y 3 2 2e dx x e dy x y y dx x dy 4 x y dx 6 x y dy 0⇒ + − + − + =. . . sen( . ).[ . . ] [ . . . . . . ]

y 2 2 y 3dy. x.e y.sen(xy) 6.x .y dx. e y.sen(xy) 4.x.y ⇒ − − = − + + ⇒

como y’=dy

dx, se tiene:

y 3

y 2 2

dy e ysen(xy) 4xyy´

dx xe x sen(xy) 6x y

− + += =− −

Análisis Matemático I: Propiedades de las funciones derivables

85

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

• Crecimiento y decrecimiento de una función Consideremos f: A⊆ →ℝ ℝ , a y b interiores a A • f es estrictamente creciente en x=a ⇔ existe un entorno de “a” tal que :

x a f (x) f (a)x E(a) :

x a f (x) f (a)

< ⇒ <∀ ∈ > ⇒ >

• f es creciente en x=a ⇔ existe un entorno de “a” tal que :

x a f (x) f (a)x E(a) :

x a f (x) f (a)

< ⇒ ≤∀ ∈ > ⇒ ≥

• f es estrictamente decreciente en x=b ⇔ existe un entorno de “b” tal que :

x b f (x) f (b)x E(b) :

x b f (x) f (b)

< ⇒ >∀ ∈ > ⇒ <

• f es decreciente en x=b ⇔ existe un entorno de “b” tal que :

x b f (x) f (b)x E(b) :

x b f (x) f (b)

< ⇒ ≥∀ ∈ > ⇒ ≤

Si una función crece (o decrece) estrictamente en un punto, también lo hace en sentido amplio. La recíproca no es cierta. Una función puede crecer (o decrecer) en sentido amplio y no hacerlo en sentido estricto. (Piense en y = cte) • Relación entre el crecimiento de una función y el signo de la derivada primera Teorema: Si f es derivable en x = a y f´ (a) >0, entonces f es estrictamente creciente en “a” H) f derivable en x = a T) f estrictamente creciente en “a” f´ (a) >0

a b

f(a)

f(b)

y

x


86

Demostración: f derivable en x = a ⇒ existe y es finito el límite del cociente incremental. Como además,

por hipótesis, f´(a) > 0, entonces x a

f (x) f (a)lím 0.

x a→

− >−

Por una propiedad de los límites

finitos, si un límite para x→a es distinto de cero, existe un entorno reducido de “a” en el que la función conserva el signo de su límite. Es decir:

f (x) f (a)0 / x E '(a; ) : 0 Sg[f (x) f (a)] Sg[x a]

x ax a x a 0 f (x) f (a) 0 f (x) f (a)

x a x a 0 f (x) f (a) 0 f (x) f (a)

−∃δ > ∀ ∈ δ > ⇒ − = − ⇒−

< ⇒ − < ⇒ − < ⇒ < ⇒ ⇒ > ⇒ − > ⇒ − > ⇒ >

El lector podrá demostrar, de manera similar, que si la derivada en “a" es negativa, la función es estrictamente decreciente. • Extremos absolutos y locales Consideremos f: A→ℝ , con A ⊆ ℝ , y x0 ∈ A, x1 ∈ A f (x0) es un máximo relativo o local de f⇔∃ δ > 0/ ∀ x∈ E(x0,δ) : f(x) ≤ f(x0)

f(x1) es un mínimo relativo o local de f⇔ ∃ δ > 0/ ∀x∈ E(x1,δ) :f(x) ≥ f(x1) A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o locales.

f(b ) es máximo absoluto de f en A ⇔ f(b) ≥ f(x), ∀x∈ A

f(a ) es mínimo absoluto de f en A ⇔ f(a) ≤ f(x), ∀x∈ A El máximo y el mínimo absolutos de f en A se llaman extremos absolutos de f en A y, si existen, son respectivamente, el máximo y el mínimo del conjunto imagen de f.

f(x0)

x1 x0

y

f(x1)

x

f estrictamente creciente en x = a

x

y

a b

f(a)

f(b)


87

Observaciones: � Los extremos absolutos no tienen porqué ser extremos relativos. � Si un extremo absoluto se produce en un punto interior del dominio de la función, el extremo es también relativo. � En los puntos de extremo relativo la función no es creciente ni decreciente. � Los extremos absolutos son los máximos y mínimos del conjunto imagen de f. • Condición necesaria para la existencia de extremos relativos. Si f(x) es derivable en x = a y f(a) es un extremo relativo, entonces f´ (a) = 0 Demostración

Supongamos que f ´ (a) ≠ 0, entonces sería: f '(a) 0 f estrict.crec.en x a

f '(a) 0 f estrict.decrec.en x a

> ⇒ = < ⇒ =

absurdo

pues en x = a f presenta un extremo y por lo tanto no es estrictamente creciente ni decreciente. El absurdo surgió de suponer f ´ (a) ≠ 0, luego es f ´ (a) = 0 Importante: � La condición es necesaria pero NO suficiente. La derivada puede anularse en puntos en los que no hay extremos y puede haber extremos en puntos en los que f no es derivable

El gráfico corresponde a una función f definida de [a,b] en ℝ f(c) máximo absoluto y relativo. f(a) mínimo absoluto pero no relativo. f(d) mínimo relativo pero no absoluto.

y

x a b d c

f(c)

f(d) f(a)


88

Ejemplos: 1) Sea f: →ℝ ℝ / f(x) = x3 y´ = 3 x2 ⇒ 3 x2 =0⇒ x = 0

-2 -1 1 2

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

2) Sea g: →ℝ ℝ / g(x) =| x | presenta un extremo en x = 0 y sin embargo no es derivable en ese punto. Los puntos del dominio de una función en los que la derivada no existe o es nula se llaman puntos críticos. • Teorema de Rolle Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y se cumple que f(a) = f(b), entonces existe un punto c interior al intervalo (a,b) en el que se anula la derivada de f. H) f cont. en [a,b] T) ∃ c ∈ (a,b)/ f´(c)=0 f deriv. en (a,b) f(a) = f(b) Demostración: Por el segundo teorema de Weierstrass, toda función continua en un intervalo cerrado presenta en él un máximo (M) y un mínimo (m) absolutos. Se pueden presentar los siguientes casos:

Pero en x= 0 la función es estrictamente creciente

x

y


89

I) M = m En este caso, la función sería constante en el intervalo [a,b] y por lo tanto la derivada es cero. Es decir: M=m ⇒ f(x) = k , ∀ x∈ [a,b] ⇒ f ‘(x)= 0, ∀ x ∈ (a,b) II.- M ≠ m Se presentan tres posibilidades: II.a) M = f(a)=f(b) (El máximo se presenta en los extremos del intervalo) II.b) m = f(a) =f(b) (El mínimo se presenta en los extremos del intervalo) II.c).- El máximo y el mínimo absolutos se presentan en puntos interiores al intervalo. Como no hay más posibilidades para considerar, la tesis se cumple.

Como el máximo se presenta en los extremos, el mínimo debe presentarse en un punto interior del intervalo, es decir ∃ c ∈ (a,b) / m= f(c) . Pero si un extremo absoluto se presenta en un punto interior de un intervalo es a la vez relativo. Como la función es derivable en (a,b), por la condición necesaria para la existencia de extremos relativos: f ´ (c) = 0 Es decir, encontramos un punto c interior a (a,b) en el que se anula f ´

Como el mínimo se presenta en los extremos, el máximo debe presentarse en un punto interior del intervalo, es decir ∃ c’ ∈ (a,b) /M= f(c’) . Pero si un extremo absoluto se presenta en un punto interior de un intervalo es a la vez relativo. Como la función es derivable en (a,b), por la condición necesaria para la existencia de extremos relativos: f ´ (c’) = 0 Es decir, encontramos un punto c´ interior a (a,b) en el que se anula f ´.

y f(a)=f(b) x

a b

f(a)=f(b)

f(c)

f(c’ )

a c c’ b x

y Con un razonamiento similar al seguido en los dos casos anteriores, podemos asegurar la existencia de, por lo menos, dos puntos c y c’ interiores a (a,b) en los que se anula f ´

f(c)

a c b

M=f(a)=f(b)

y

x

f(a)=f(b)=m

f(c´)

a c´ b x

y


90

Interpretación geométrica del teorema de Rolle. Geométricamente, el teorema asegura que si f es continua en el [a,b] , derivable en (a,b) y f(a) =f(b), entonces existe un punto c entre a y b tal que en el punto (c,f(c)), la recta tangente es paralela al eje x. • Teorema de Lagrange (o de los Incrementos Finitos , o del Valor medio del cálculo diferencial) Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) , entonces existe un punto “ c” interior al intervalo (a,b) tal que la variación que experimenta la función al pasar de “a” a “b” es igual al producto de la derivada de f en dicho punto “c” por la amplitud del intervalo. H) f cont. en [a,b] T) ∃ c ∈ (a,b)/ f(b)-f(a)= f ´(c).(b-a) f deriv. en (a,b) Llamamos r(x) a la función lineal cuya representación gráfica es la recta AB, entonces:

r(x) = f (b) f (a)

x kb a

− ⋅ +−

con k = f (b) f (a)

a f (a)b a

−− ⋅ +−

Por ser una función lineal, sabemos que r(x) es continua y derivable ∀ x∈ℝ . Por representar la recta AB, podemos asegurar que: r(a) = f(a) y r(b) = f(b).

Además r´ (x) =f (b) f (a)

b a

−−

, ∀ x∈ℝ . (*)

Inventamos una función que verifique las hipótesis del Teorema de Rolle: Definimos ϕ (x) = f(x) - r(x) ϕ (x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b) por ser resta de funciones continuas y derivables en esos intervalos

Demostración: Consideramos los puntos A (a;f(a)) y B (b;f(b)).

La ecuación de la recta AB es:y f (a) x a

f (b) f (a) b a

− −=− −

Si despejamos y, obtenemos:

( )f (b) f (a)y x a f (a)

b a

−= ⋅ − +−

⇒

f (b) f (a) f (b) f (a)y x a f (a)

b a b a

− −= ⋅ − ⋅ +− −

y

f(b)

f(a)

a c b x

A

B

t

ϕ

r

f


91

ϕ (a) = f(a) -r(a)=f(a) -f(a) =0 ⇒⇒⇒⇒ ϕ (a)= ϕ (b) ϕ (b) = f(b) -r(b)=f(b) -f(b) =0 Por el Teorema de Rolle , aplicado a ϕ , podemos asegurar que existe “c” ∈ (a,b) /ϕ‘(c)=0

Como ϕ´ (x)= f ´ (x) – r´ (x)= f ´ (x) - f (b) f (a)

b a

−−

por (*)

Entonces: ∃ “c” ∈ (a,b) / f ´ (c) - f (b) f (a)

b a

−−

=0 ⇒ f ´ (c)= f (b) f (a)

b a

−−

Luego: Interpretación geométrica del teorema de Lagrange (Ver dibujo página anterior) El T. de Lagrange asegura que si f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en

el correspondiente abierto, entonces ∃ “c” ∈ (a,b) / f ´ (c)= f (b) f (a)

b a

−−

El primer miembro representa la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto (c;f(c)), mientras que el segundo miembro representa la pendiente de la cuerda cuyos extremos son (a,f(a)) con (b,f(b)). Por lo tanto el teorema asegura que: Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el correspondiente abierto, entonces existe un punto en el arco representativo de f en (a,b) en el que la recta tangente es paralela a la cuerda que une los extremos del arco. • Teorema de Cauchy (o del Valor Medio generalizado) Si f y g son dos funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) , siendo g´ (x) no nula en cualquier punto de (a,b), entonces existe un punto “c” interior al intervalo tal que el cociente entre las variaciones de las funciones f y g al pasar de “a” a “b” es igual al cociente de sus respectivas derivadas en dicho punto “c”.

H) f y g cont. en [a,b];f y g deriv. en (a,b) T) ∃ c ∈ (a,b)/ f f

g g

f

g

(b) (a)

(b) (a)

' (c)

' (c)

−−

=

g´(x) ≠0,∀ x∈(a,b) (La demostración es similar a la del Teorema de Lagrange. La función que permite aplicar el T. de Rolle es ϕ(x)=[f(b)-f(a)] .g(x) - [g(b)-g(a)]. f(x)

∃ “c” ∈ (a,b) / f(b) - f(a) = f ´(c). (b-a)


92

• Concavidad y convexidad de una función

t

a

b

t

f

Consideremos una función f derivable en x= a y x = b. f o su gráfico representativo es convexo, cóncavo hacia las “y”negativas o cóncavo hacia abajo en x = a ⇔ ∃ δ >0/ ∀x∈E’(a,δ) : f(x) < t(x) , siendo t la función cuyo gráfico es la recta tangente a la curva en x = a. f o su gráfico representativo es cóncavo, cóncavo hacia las “y”positivas o cóncavo hacia arriba en x = b ⇔ ∃ δ >0/ ∀x∈E’(b,δ) : f(x) >t(x) , siendo t la función que cuyo gráfico es la recta tangente a la curva en x = b. Gráficamente significa que la función es convexa en A(a;f(a)) si y sólo si existe un entorno reducido de x=a tal que los puntos correspondientes del gráfico quedan por debajo de la recta tangente en A. (x0 ;f(x0 )) es un punto de inflexión de f ⇔ f es derivable en x0 y la recta tangente atraviesa el gráfico de f. Es decir: (x0 ;f(x0 )) es un punto de inflexión de f ⇔ es derivable en x0 ∧

0 00 : [ x E '(x ; ) / f (x) t(x) x ' E '(x ; ) / f (x ') t(x )]∀ δ > ∃ ∈ δ > ∧ ∃ ∈ δ <

y

x

x’ x0 x x

y f(x) f(x0) f(x’)

t(x)


93

• Relación entre la concavidad de una función y el signo de la derivada segunda Teorema: Sea f:A→ℝ , con A⊆ℝ , derivable hasta el segundo orden en un entorno de xo, siendo

00 ≠)x("f , entonces si 0f "(x ) 0> , la función en ( )o 0 0P x ;f (x )= ,es cóncava hacia arriba,

y si 0f "(x ) 0< , la función en ( )o 0 0P x ;f (x )= , es cóncava hacia abajo.

Para probarlo tendremos que analizar el signo de h(x)=f(x)-t(x) en un entorno reducido de x0, siendo t(x) la función que expresa la recta tangente en ( )o 0 0P x ;f (x )= , a la curva

representativa de f . Comenzaremos por buscar una expresión de h que facilite el análisis del signo. Por el Teorema de Lagrange, 0 o 0entrec x y x / f (x) f (x ) f '(c).(x x )∃ − = −

Reemplazando en (1): h(x)= f ´(c).(x – x0) - f ´(x0) .(x – x0) Si extraemos factor común se obtiene:

0 0h(x) (x x ).[f '(c) f '(x )]= − − con c entre x y x0 (2)

Supongamos: f ´´(x0) >0, como la derivada segunda es la derivada de f ´, si la derivada segunda es positiva en un punto, f ´ es estrictamente creciente en el mismo, es decir:

0 00

0 0

x x f '(x) f '(x )0 / x E(x ; ) :

x x f '(x) f '(x )

< ⇒ <∃δ > ∀ ∈ δ > ⇒ >

Veamos como incide esta situación en el signo de h(x):

0 0 0 0 0x x 0 x x c x f '(c) f '(x ) f '(c) f '(x ) 0− < ⇒ < ⇒ < ⇒ < ⇒ − <

0 0 0 0 0x x 0 x x c x f '(c) f '(x ) f '(c) f '(x ) 0− > ⇒ > ⇒ > ⇒ > ⇒ − >

La ecuación de la recta t, tangente en Po es:

o o 0

o o 0

y f (x ) f '(x ).(x x )

y t(x) f (x ) f '(x ).(x x )

− = − ⇒

= = + −

Resulta:

[ ]0 o 0h(x) f (x) t(x) f (x) f (x ) f '(x ).(x x )= − = − + −

Entonces: h(x)=f(x) - ( )0 0 0f (x ) f '(x ). x x− −

y

P0

x x0

f(x0 )

f(x)

t

f∆

(1)

c está entre x y x0 f ´es estrictamente creciente ⇒


94

Los dos factores en los que puede descomponerse h tienen el mismo signo. Es decir h(x)>0, 0x E (x ; ) f∀ ∈ δ ⇒ es cóncava hacia arriba en P0.

Con el mismo criterio se prueba que si f ´´ (x0)<0, f es cóncava hacia abajo en P0. Consecuencia:

Si (x0;f(x0)) es punto de inflexión, entonces f´´(x0)=0 La condición es necesaria pero no suficiente. La anulación de la derivada segunda NO permite asegurar la existencia de un punto de inflexión. Ejemplo: y = x4, y´ = 4x3 , y´´= 12 x2 , Es obvio que y´´(0)=0 y sin embargo en (0;0) no hay punto de inflexión. Para verificar que una valor en el que se anula la derivada segunda es efectivamente la abscisa de un punto de inflexión, debe analizarse el signo de la derivada segunda en un entorno de la abscisa del punto en cuestión; para que lo sea la derivada segunda debe cambiar de signo. • Estudio de funciones Condiciones suficientes para determinar si un punto crítico es o no extremo relativo. Sea f / en x=a f presenta un punto crítico, es decir: f '(a) f '(a) 0∃ ∨ =

1. Ver si se cumple la definición. (Suele ser el más dificultoso)

2. Analizar el cambio de signo de f´ en un entorno del punto crítico: � Si la derivada pasa de positiva a negativa, f(a) es un máximo relativo. � Si la derivada pasa de negativa a positiva, f(a) es un mínimo relativo.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-17

0

17

34

51

68 y

x

En (0;0) no cambia la concavidad de la curva.


95

3. Análisis del signo de la derivada segunda. (Sólo es aplicable cuando f´´(a) existe y es distinta de cero.

� Si f ´´(a) >0, resulta que f ´ es estrictamente creciente en x = a, pero como f ´(a)=0, f ´ debe pasar de valores negativos a positivos, lo que significa que la función pasa de ser decreciente a ser creciente y entonces, puedo asegurar que presenta en ese punto un mínimo relativo. � Si f ´´(a) < 0, resulta que f ´ es estrictamente decreciente en x = a, pero como f ´(a)=0, f ´ debe pasar de valores positivos a negativos, lo que significa que la función pasa de ser creciente a ser decreciente y entonces, se puede asegurar que presenta en ese punto un máximo relativo. Paridad de una función Sea f:A→ℝ , con A⊆ℝ • f es par si y sólo si x A : f (x) f ( x)∀ ∈ = − (Geométricamente significa que el gráfico de f es simétrico respecto del eje y) Ejemplos: f(x) = x2 ; g(x) = cos x ; h(x)= |x |; etc.

• f es impar si y sólo si x A : f (x) f ( x)∀ ∈ = − − (Geométricamente significa que la curva es simétrica respecto del origen de coordenadas) Ejemplos: f(x) = x3 ; g(x) = sen x ; h(x)=x.|x|; etc.

Asíntotas lineales de una curva: Sea f:A→ℝ , con A⊆ℝ • La recta x = c es asíntota vertical de f

x clím f (x)

→⇔ = ∞

• La recta y = k es asíntota horizontal de f xlím f (x) k

→∞⇔ =

(Observación: f puede tener asíntota horizontal para +∞→x y no tenerla o tener otra para x −∞→ ) • La recta y = m x + b ( con m0≠ ) es asíntota oblicua de f [ ]

xlím f (x) (mx b)

→∞⇔ − + = 0

Cálculo de m:

[ ]x x

f (x) mx blím f (x) (mx b) 0 lím 0

x→∞ →∞

− −− + = ⇒ =x x

f (x) blím m lím 0

x x→∞ →∞⇒ − − =


96

Resulta

Una vez calculada “m”, b se obtiene de la definición:

Ejemplo: Realicemos el estudio completo de f(x)=3

2

x

x 1+

1. Dominio. D= ℝ

2. Paridad: f(a)= 3

2

a

a 1+; f(-a)=

3

2

( a)

( a) 1

−− +

=3

2

a

a 1

−+

f (a) f ( a)⇒ = − − f⇒ impar

3. Ceros: f(x) = 0 x 0⇒ =

4. Asíntotas: � Asíntota vertical: no tiene

� Asíntota horizontal: 3

2x

xlím

x 1→∞ +=

x

3

1lím no tiene

1 1x x

→∞= ∞⇒

− asíntota horizontal

� Asíntota oblicua: m=3

2x

xlím

x.(x 1)→∞=

+

3

3x

xlím

x x→∞=

+ x

2

1lím 1

11

x

→∞=

−

b=3 3 3

2 2x x x

2

1x x x x xlím x lím lím 0

1x 1 x 1 1x

→∞ →∞ →∞

− − −− = = = + + +

La asíntota oblicua es : y=x

5. Puntos críticos

f ´(x)=( )

2 2 3

22

3x (x 1) x .2x

x 1

+ −

+=

( ) ( )4 2 4 4 2

2 22 2

3x 3x 2x x 3x

x 1 x 1

+ − +=+ +

=( )

2 2

22

x (x 3)

x 1

+

+

f ´(x)=0⇒ x=0

6. Posibles puntos de inflexión

3 2 2 4 2 2

2 4

(4x 6x)(x 1) (x 3x ).2(x 1).2xf "(x)

(x 1)

+ + − + +=+

m = x

f (x)lím

x→∞

[ ]x

b lim f (x) mx→∞

= −


97

2 2 2 32

2 4 3

2x(2x 3)(x 1) (x 3).4xf "(x) (x 1)

(x 1)

+ + − += ++

=2x.4 2 4 2

2 3

2x 5x 3 2x 6x

(x 1)

+ + − −+

2

2 3

3 xf "(x) 2x.

(x 1)

−=+

. f "(x) 0 x 0= ⇒ = x 3 x 3∨ = ∨ = −

7. Cuadro de signos de f, f ´ y f ´´. Para determinar el crecimiento, analizamos el signo de la derivada primera.

Observemos que f ´(x)=2 2

2 2

x (x 3)

(x 1)

++

>0, ∀ x ≠ 0

La concavidad se estudia a través del signo de la derivada segunda:

Veamos para qué valores de x resulta 2

2 3

2x.(3 x )

(x 1)

−+

>0.

Como el denominador es siempre positivo, debe ser: x. ( )23 x− >0, es decir:

( ) ( ) ( ) ( )2 2x 0 3 x 0 x 0 3 x 0 x 0 x 3 x 0 x 3> ∧ − > ∨ < ∧ − < ⇒ > ∧ < ∨ < ∧ >

Por lo tanto :0 x 3 x 3< < ∨ < − .

Con criterio similar se resuelve 2

2 3

2x.(3 x )

(x 1)

−+

< 0.

x - 3 0 3

f(x)=3

2

x

x 1+

0

+++

+++

+++++++++++

f ´(x)=2 2

2 2

x (x 3)

(x 1)

++

+++++++++++

+++

+++

0

+++

+++

+++++++++++

f ´´(x)=2

2 3

2x.(3 x )

(x 1)

−+

+++++++++++ 0

0

+++

0

La función es estrictamente creciente enℝ . No tiene extremos relativos. Intervalos de concavidad ),(),( 303 ∪−−∞

Intervalos de convexidad ),(),( +∞∪− 303 .


98

• Problemas con máximos y mínimos. Ejemplo: Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 6 cm, gira alrededor de uno de sus catetos, generando un cono circular recto. Determine las medidas de los catetos del triángulo para que el volumen del cono sea máximo. Se quiere el máximo de la función volumen del cono:

231

R.V π= .h Por el Teorema de Pitágoras :2 2R h 36+ =

y

x22-2-2

2

44

-2

-4-4

6 cm

h

R


99

Entonces: 2 2R 36 h= − 21V (36 h ).h

3⇒ = π − 31

V (36h h )3

⇒ = π −

Esta es la función con la que vamos a trabajar:

V´= 2 2 2 21.(36 3h ) V ' 0 36 3h 0 36 3h h 12 h 12

3π − ⇒ = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Se descarta el valor negativo porque se trata de una altura , de manera que el punto crítico

corresponde a : h=12 2 3= y R= 36 12 24 2. 6− = = . No hace falta verificar que es un máximo porque el volumen mínimo se produciría para h=0 y no tiene sentido. • Regla de L’Hôpital Teorema Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo abierto (a,b) que incluye a un entorno reducido de “c”. Si

x c x clím f (x) límg(x) 0

→ →= = ( o

x c x clím f (x) límg(x)

→ →= = ∞ ) y existe el

x c

f '(x)lím ,

g '(x)→ finito o infinito, entonces

x c

f (x)lím

g(x)→=

x c

f '(x)lím

g '(x)→.

Observaciones � La regla también vale si ∞→x . � Sólo es aplicable a indeterminaciones 0/0 ó ∞∞ / . Las demás indeterminaciones deben transformarse en alguna de las mencionadas, antes de aplicar la regla

Transformación de indeterminaciones del tipo 0.∞ . Si

x c x clím f (x) 0 y límg(x)

→ →= = ∞ y se desea calcular

x clím f (x).g(x)

→, debemos pensar que :

f(x).g(x)= f(x). 11g(x)

g(x)1f (x)

= y queda transformada en una indeterminación 0/0 ó ∞∞ / .


100

Ejemplo:

2

1x 0 x 0 x 0 x 0

2

1ln x xxlím x.ln x lím lím lím 0

2x 2xx

+ + + +−→ → → →= = = =

−−

Transformación de indeterminaciones del tipo ∞ - ∞ En general se transforman haciendo algunas de las cuentas indicadas. Si no se llega a 0/0 ó

∞∞ / , se puede utilizar la siguiente igualdad 1 1

g(x) f (x)f (x) g(x)

1f (x).g(x)

−− = , si

x c x clím f (x) límg(x)

→ →= = ∞ , el segundo miembro de la igualdad

plantea una indeterminación del tipo 0/0.

Ejemplo: x 0

1 1lim

sen x ln(1 x)→

− +

como sen 0=0 y ln 1=0, se trata de una indeterminación

∞ - ∞ .

x 0

1 1lim

sen x ln(1 x)→

− +

=x 0 x 0

1cos xln(1 x) sen x 1 xlím lím

1ln(1 x).sen x sen x ln(1 x).cos x1 x

→ →

− + − += = + + ++

2

x 0

2

1sen x

1 0 1(1 x)lim

1 1 1 1.0 1.1 1.1 0.0 2sen x cos x cos x ln(1 x)sen x(1 x) 1 x 1 x

→

− + − ++= = = − − − + + − + + − + + + +

Transformación de indeterminaciones del tipo ∞∞ 10 00 ,, (Se procede con los tres

casos de la misma forma) Consideremos f y g derivables en un entorno reducido de c/

x c x clím f (x) límg(x) 0

→ →= = , y

supongamos que queremos calcular [ ]g(x)

x clím f (x)

→

Consideremos h(x)=[ ]g(x)f (x) , y apliquemos logaritmos a ambos miembros:

lnh(x)=g(x).ln[f(x)] . Si ahora tomamos límite para x→c en ambos miembros, se tiene:

x c x clím ln[h(x)] límg(x).ln[f (x)]

→ →= .


101

El límite del segundo miembro es ahora una indeterminación del tipo 0.∞ que ya sabemos llevar a 0/0 ó ∞∞ / para poder aplicar la Regla de L’Hôpital y salvar la indeterminación.

Resulta: [ ]x clím ln h(x)

→= ℓ.

Como el límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite, se tiene:

lnx clím h(x)

→= ℓ

x clím h(x) e

→⇒ = ℓ

Ejemplo:

x

x 0

1lím

sen x→

. Se trata de una indeterminación 0∞

Sea h(x) =x

1 1ln[h(x)] x.ln

sen x sen x

⇒ =

[ ] [ ]1 1 2

x 0 x 0 x 0

2

1 1. .cos xsen xln sen x sen x

ln lím h(x) lím lím1 1

xx

− −

→ → →

−

⇒ = = −

2 22

x 0 x 0 x 0 x 0

2

1sen x. .cos x x cos x 2x.cos x x .sen x 0sen xln lím h(x) lím lím lím 0

1 sen x cos x 1x

→ → → →

−− ⇒ = = = = =

− .

Entonces : x

x 0

1lím

sen x→

= e0 =1

• Fórmula de Taylor y Mac Laurin Orden de contacto de dos funciones Sean f y g dos funciones definidas en un entorno de x0, derivables hasta el orden n+1. Se dice que f y g tienen un contacto de orden n en x0 si y sólo si en x0, ambas funciones coinciden, como así también sus n primeras derivadas, siempre que existan pero sean distintas las derivadas de orden n+1. Ejemplo:

Consideremos las funciones f(x)= ln x , y g(x)= 2 3( 1 x) ( 1 x)

( 1 x)2 3

− + − +− + − +


102

f(1)=0 g(1)=0

f ´(x)=1

f '(1) 1x⇒ = g´(x)= 1 – (-1+x) + 2( 1 x)− + ⇒ g’(1)=1

f ´´ (x)=2

1

x

−1)1("f −=⇒ g´´(x)= -1 +2(-1+x) g"(1) 1⇒ = −

f ´´´(x)=3

2f "'(1) 2

x⇒ = g´´´(x)=2 g"'(1) 2⇒ =

f iv (x)= iv4

6f (1) 6

x

−⇒ = − giv(x)=0 ivg (1) 0⇒ =

Resulta que f y g tienen para x = 1, un contacto de tercer orden. Polinomio y fórmula de Taylor Dada una función f :A ,→ ℝ con A ,⊆ ℝ derivable hasta el orden (n+1) en x0, se busca un polinomio de grado n, escrito en potencias de (x-x0), que tenga con f un contacto de orden n en x0. El polinomio que se busca tiene la forma: Pn(x)= a0 + a1 (x-x0) + a2 (x-x0)

2 +.....+ an-1(x-x0)n-1 + an (x-x0)

n Obtenemos las n primeras derivadas de Pn(x): P n(x)= a1 + 2.a2 (x-x0) +.....+(n-1) an-1(x-x0)

n-2 + ann (x-x0)n-1

P´´(x)= 2.a2 +.....+(n-1)(n-2) an-1(x-x0)

n-3 + ann(n-1) (x-x0)n-2

............................................................................... P(n)

n(x)= an n! Como se pretende que en x0 coincidan las derivadas de la función con las del polinomio, se tiene:

a0 = f(x0) a1= f ´( x0) a2 = 0f "(x )

2!................ an =

(n )0f (x )

n!

Reemplazando en la expresión original del polinomio buscado, resulta:

(n)2 (n)0 0

n 0 0 0 0 0

f"(x ) (x )fP (x) = f(x ) + f (x ).(x - x ) + (x - x +...+ .(x - x) )2! n!

′

Pn(x) =n

(i) i0 0

i 0

1f (x ).(x x )

i!=−∑


103

El ejemplo presentado en la introducción muestra que la aproximación mejora cuando más grande es el grado del polinomio y cuanto más cerca está x de x0. Para x ( )0E x∈ , se puede escribir: f(x) nP≅ (x).

El error que se comete se llama resto de Taylor o término complementario. La expresión del término complementario, según Lagrange es:

n 1 n 10

n 1

f (c)(x x )T

(n 1)!

+ +

+−=

+ con c entre x0 y x

Podemos escribir la fórmula de Taylor

f(x) =(n)

2 (n)0 00 0 0 0 0 n 1

f"(x ) (x )ff(x ) + f (x ).(x - x ) + (x - x +...+ .(x - x T (x)) )2! n! +′ + siendo

n 1 n 10

n 1

f (c)(x x )T

(n 1)!

+ +

+−=

+ con c entre x0 y x

Si x0 =0 , la fórmula se llama de Mac Laurin y adopta esta forma:

f(x)=n

(i) i

i 0

1f (0).x

i!=∑ + Tn+1 donde

n 1 n 1

n 1

f (c).xT

(n 1)!

+ +

+ =+

con c entre 0 y x

Ejemplo: Dada la función f(x) = ex, se pide: a) Polinomio de MacLaurin de segundo grado. b) Calcular con el polinomio hallado en a) e y acotar el error cometido. c) Hallar el grado del polinomio que permite encontrar e con error menor que 0,001

a) El polinomio de Mac Laurin de segundo grado es: P2(x)= 21f (0) f '(0)x f "(0)x

2!+ + .

Pero f(x)=f ´(x)=f ´´(x)= ex ⇒ f(0)=f ´(0)=f ´´(0)=e0=1

Luego: P2(x)= 1+ x + 0.5 x2

b) Como se quiere e=f(0.5), calculo P2(0.5)=1+0.5+0.5 . (0.5)2=1.625

Teniendo en cuenta que el término complementario es:


104

111 3 c 3c

3

f (c).x e 0.5 1T e

3! 6 48= = = con 0<c < 0.5

Luego, se tiene: c c3 3

1 1 1 1 11 e 2 1. e 2. T 0.0416 T 0.1

48 48 48 48 24

∩< < ⇒ < < ⇒ < < = ⇒ <

Es decir, podemos asegurar que

e 1,6≅ con 0,1ε <

Efectivamente, con la calculadora se obtiene:e 1.648721271= c) Queremos hallar n / Tn+1(0.5)< 0.001

Como Tn+1(0.5)=c n 1 c

n 1

e .(1 2) e

(n 1)! 2 (n 1)!

+

+=+ +

,

y 0 c 0.5 c 0.510 c e e e 1 e e

2< < ⇒ < < ⇒ < < . Pero 0.5 0.52 e 3 e 3 2< < ⇒ < < .

Entonces ec < 2, resulta que debe ser:

nn 1 n

2 1 10.001 2 .(n 1)! 1000

2 (n 1)! 2 (n 1)! 1000+ < ⇒ < ⇒ + >+ +

Para n=3 es: 23.4!=192<1000, pero para n =4 es: 24 5!=1920>1000

Significa que si se toma el polinomio de cuarto grado de MacLaurin se logra la aproximación deseada.

P4(x)= 1+ x + 0.5 x2+6

1 x3+24

1 .x4

P4(0.5)=1.6484375 ≅ 1.648 que efectivamente es e con error menor que 0.001.

Análisis Matemático I :Sucesiones

105

SUCESIONES

Ejemplos: Dividamos un cuadrado de lado 1 en 9 cuadrados de lado 1/3 y pintemos el del centro; repitamos el procedimiento con cada cuadrado de lado 1/3, luego con cada cuadrado de lado 1/9 y así sucesivamente. La figura1 muestra pintados: un cuadrado de lado 1/3; 8 de lado 1/9 y 64 de lado 1/27. Calculemos el área y el perímetro de la zona sombreada en cada paso: Paso Núm. de

cuadrados pintados en

este paso

Medida del lado del

cuadrado pintado

Perímetro de los cuadrados pintados en

este paso

Área de los cuadrados pintados en este paso

1 1 1

3

4

3

21 1 1 8

3 9 8 9 = = ⋅

2 8 1

9

48.

9=

32 4 8.

9 3 3 =

2 2

1 1 88

9 8 9 =

3 82 =64 1

27

24 4 8

64. .27 3 3

=

2 31 1 8

6427 8 9

= ⋅

--- --------- ------------ ----------- -------------- n

8n-1

n

1

3

n 14 8

.3 3

−

2n n nn 1 n 11 1 1 8

8 83 9 8 9

− − ⋅ = ⋅ = ⋅

1 La figura obtenida se llama “cuadrado de Sierpinski”.


106

Podemos observar que a cada paso le corresponde: a) un número de cuadrados pintados b) la medida del lado de cada cuadrado pintado c) el perímetro de la zona pintada en ese paso d) el área de la zona pintada en ese paso

Entonces, podemos considerar que se han definido cuatro funciones cuyo dominio es la columna encabezada por “Pasos” y cuyas imágenes se dan en cada columna no sombreada de la tabla anterior. Como el dominio es en todos los casos el conjunto de números naturales, podríamos escribir sólo las columnas no sombreadas y todos entenderíamos de qué se trata. La fila que corresponde a “n” nos da las fórmulas de las funciones. Si obviamos indicar el paso, podemos escribir directamente la forma de calcular el número de cuadrados, la medida del lado de cada cuadrado, el perímetro o el área de los cuadrados pintados en el paso “n”. Es decir: • el número de cuadrados pintados está dado por la función: c: →ℕ ℝ / c(n)= 8 n-1,

pero podríamos escribir sólo el conjunto imagen:{1 , 8, 64,...., 8n-1,...} ,o bien podríamos escribir que las imágenes son {cn} n∈ℕ siendo cn=8n-1

• la de las medidas de los lados de los cuadrados pintados quedan definidos por la

función a: →ℕ ℝ / n n

1a

3= . El conjunto imagen es

n

1 1 1, , , ,

3 9 3

⋯ ⋯

Las funciones definidas de ℕ en ℝ se llaman sucesiones.

Definición Se llama sucesión de números reales a toda función a: N→R /a(n) = an. Notación: Como la sucesión queda caracterizada por el conjunto imagen, se las denota: { }n n

a∈ℕ

Las otras sucesiones definidas en el ejemplo inicial son:

• la de los perímetros de la zona pintada en el paso “n”: np{ } ∈ℕn /n 1

n

4 8p .

3 3

− =

• la de las áreas de la zona pintada en el paso “n”: n{c } n∈ℕ /n

n

1 8c .

6 9 =

.

Ejemplos:

1. c: →ℕ ℝ / c(n)= 2 n-1, se indica {cn} n∈ℕ con cn = 2 n-1

Se trata de la sucesión:{ 1,2,4,8,16,.......}


107

2. a: →ℕ ℝ / a(n) = n

1

3, se indica na{ }

n∈ℕ / n n

1a

3=

Se trata de la sucesión:1 1

1, , ,3 9

⋯

3. b: →ℕ ℝ / b(n) =2n , se indican{b }n∈ℕ

/ nb 2n=

Se trata de la sucesión :{ 2,4,6,8,...}

Definición: La sucesión {an}n ≥1 converge a llll o tiene límite l si y sólo si

0 0 n0, n / n : (n n a )∀ε > ∃ ∈ ∀ > ⇒ − < εℕ l

Las sucesiones con límite finito son convergentes

Ejemplo: n n

3n 3lím lím 3 sucesión convergente

2n 2 1n

→∞ →∞= = ⇒

+ +.

Definición :

La sucesión {an}n ≥1 tiene límite infinito ( )nnlím a

→∞= ∞ si y sólo si

∀ k >0, ∃ no ∈ℕ /∀ n :[ n ≥ n0 ⇒ |an | > k]

Si una sucesión tiene límite infinito, es divergente. Si no tiene límite, es oscilante. Ejemplos: 1. n

nlím( 2) no existe la sucesión es oscilante

→∞− → .

2. 2

nlím n

→∞= ∞⇒ la sucesión es divergente.

Definiciones ♦♦ La sucesión {an}n ≥1 está acotada inferiormente si y sólo si ∃ k ∈ ℝ / a n ≥ k, ∀ n

(k es cota inferior) ♦♦ La sucesión {an}n ≥1 está acotada superiormente si y sólo si ∃ M∈ ℝ / a n ≤M, ∀ n

(M es cota superior) ♦♦ La sucesión {an}n ≥1 está acotada si y sólo está acotada superior e inferiormente

• Propiedades de las sucesiones convergentes: 1.- Toda sucesión convergente está acotada. 2.- Si una sucesión es convergente, su límite es único. 3.- Para las sucesiones convergentes valen las propiedades del álgebra de límites finitos (límite de una suma, de un producto, etc)


108

Definiciones: ♦♦ La sucesión {an} n∈ℕ es creciente si y sólo si ∀n: an ≤ an+1

♦♦ La sucesión {an} n∈ℕ es decreciente si y sólo si ∀n: an ≥ an+1

♦♦ La sucesión {an} n∈ℕ es monótona si y sólo si {an}n ≥1 es creciente o decreciente.

• Propiedades de las sucesiones monótonas:

i) Si la sucesión {an} n∈ℕ es monótona y acotada, entonces es convergente.

ii) Si la sucesión {an} n∈ℕ es monótona y no está acotada, entonces, si es creciente se

cumple que: anlímn→∞

= +∞ , y si es decreciente: nalímn→∞

= −∞ .

Análisis Matemático I: Integrales

109

INTEGRAL DEFINIDA Sea f:[a,b]→ℝ con [a,b]⊆ ℝ / f continua y no negativa ∀x ∈ [a,b]. Interesa calcular el área ( A ) del recinto plano limitado por el gráfico de f y las rectas de ecuación: x = a, x = b , y = 0. (Es decir, el área del recinto limitado por la curva, las paralelas al eje "y" trazadas por a y por b y el eje x ). Como f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], por el segundo teorema de Weierstrass, f alcanza en ese intervalo un máximo y un mínimo absoluto que indicaremos M y m respectivamente. Una primera aproximación al área buscada está dada por los rectángulos que tienen por base (b-a) y por altura M y m respectivamente. Es obvio que: m. (b - a) ≤≤≤≤ A ≤≤≤≤ M.( b - a) (El "=" corresponde al caso de función constante) Para mejorar la aproximación, provocamos una "partición regular" en [a,b], intercalando puntos equidistantes entre los extremos del intervalo.

a = xo < x1 < x2 <...< xi-1 < xi <.... < xn =b De esta forma, el intervalo [a,b] queda subdividido en "n" subintervalos: [xo , x1], [x1 , x2]... [x i-1 , xi],...[xn-1, xn ], cuyas amplitudes son:

i i i 1

b ax x x

n−−∆ = − =

Como la función es continua en [a,b], también lo es en cada uno de los subintervalos y por lo tanto alcanza en cada uno de ellos, un máximo y un mínimo absolutos. Designamos con M i y mi al máximo y al mínimo absoluto de f en [ xi-1, xi] Si indicamos con "P" a la partición realizada, llamamos suma inferior de f(x) con respecto a la partición P (SP ), a la suma de las áreas de los rectángulos que tienen por base la amplitud

de cada subintervalo ( ∆xi) y por altura el mínimo absoluto que la función alcanza en él ( mi).

En símbolos: n

P i ii 1

S m x=

= ∆∑

Con el mismo criterio, llamamos suma superior de f(x) con respecto a la partición P (SP ), a la suma de las áreas de los rectángulos que tienen por base la amplitud de cada subintervalo (∆xi) y por altura el máximo absoluto que la función alcanza en él ( M i).

a

y

x b

m

a

y

x b

M


110

En símbolos: n

P i ii 1

S M x=

= ∆∑

Se cumple:

m. (b - a) ≤≤≤≤ PS ≤≤≤≤ A ≤≤≤≤ PS ≤≤≤≤ M.( b - a)

Si “refinamos” la partición, es decir, definimos una nueva partición P’ con más puntos que la anterior, obtendremos una nueva suma inferior y una nueva suma superior que llamaremos

P 'S y P 'S respectivamente.

Se cumple que:

m. (b - a) ≤≤≤≤ PS ≤≤≤≤ P'S ≤≤≤≤ A ≤≤≤≤ P 'S ≤≤≤≤ PS ≤≤≤≤ M.( b - a)

Si se repite el proceso, considerando sucesivas particiones regulares, cada vez con más puntos, se obtienen dos sucesiones acotadas: una, de sumas inferiores, creciente, que no supera nunca al área buscada, y otra de sumas superiores, decreciente, que se mantiene siempre mayor o igual que A. Además se cumple que la diferencia entre dos términos correspondientes de ambas sucesiones es, en valor absoluto, cada vez menor. En efecto:

M.( b - a) - m. (b - a) ≥≥≥≥ PS - PS ≥≥≥≥ P 'S - P'S ≥≥≥≥ ....

Por lo tanto ambas sucesiones convergen a un mismo valor que es el área buscada.

Es decir: n

i ini 1

lím m x→∞ =

∆∑ = n

i ini 1

lím M x→∞ =

∆∑ = A

Si en lugar de considerar como altura los máximos o mínimos absolutos de f(x) en cada subintervalo, se elige en cada uno de ellos un punto arbitrario αi y se toma como altura de los rectángulos f(αi), obtenemos, para cada partición, la suma de Riemann o suma integral:

a =x 0

y

x b=x 3

x1 x2

m1

m2

m3

a =x 0

y

x b=x 3 x1 x2

M1

M2

M3

PS PS


111

Suma de Riemann: SR = n

i ii 1

f ( ). x=

α ∆∑ .

Resulta, para cada partición: SP ≤≤≤≤ SR ≤≤≤≤ SP

Se genera de esta forma una nueva sucesión, la de las sumas de Riemann que permanentemente se encuentra comprendida entre la de sumas inferiores y la de sumas superiores. Por lo tanto, cuando n →∞ , la sucesión de sumas de Riemann tiene el mismo límite que ellas.

Definición Sea f(x) continua en [a,b], se llama integral definida de f(x) entre a y b y se indica

b

af (x).dx∫ , al límite, si existe, para n→ ∞, de la sucesión de sumas de Riemann.

(Si f es continua, el límite siempre existe). b

af (x).dx∫ =

nlím

→∞

n

i ii

f ( ). x1=

α ∆∑

Interpretación geométrica Si la función es no negativa en [a,b], la integral definida representa el área limitada por f(x) , el eje x y las paralelas al eje y trazadas por a y por b . • Propiedades

I) a

a∫ f(x) dx = 0

II) b

a∫ f(x) dx = - a

b∫ f(x) dx

III) b

a∫ f(x) dx + c

b∫ f(x) dx = c

a∫ f(x) dx

IV ) b

a∫ ( f(x) + g(x) ) dx = b

a∫ f(x) dx + b

a∫ g(x) dx.

V) b

a∫ k f(x) dx = k b

a∫ f(x) dx

VI) |b

a∫ f(x) dx | ≤ b

a∫ |f(x)| dx

a =x 0

y

x b=x 3 x1 x2

f( 1α )

f( 3αf( α2 )

1α α2 α3


112

• Teorema del valor medio del cálculo integral Si f es continua en [a,b], entonces existe un punto c interior a (a,b) tal que la integral

b

af (x)dx∫ es igual al producto entre f(c) y la amplitud del intervalo de integración.

Interpretación geométrica: Si f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a,b], el teorema expresa que el área limitada por la curva representativa de f, el eje x y las paralelas al eje y trazadas por a y b es equivalente al de un rectángulo con base (b-a) cuya altura es el valor de f en algún punto interior del intervalo. Demostración De acuerdo con lo expuesto en la introducción, al hacer una partición regular en [a,b] se obtiene:

m. (b - a) ≤≤≤≤ n

i ii 1

m x=

∆∑ ≤≤≤≤ n

i ii 1

M x=

∆∑ ≤≤≤≤ M.( b - a)

Tomando límite para n→∞ se tiene:

m. (b - a) ≤≤≤≤ b

af (x).dx∫ ≤≤≤≤ M.( b - a)

Si se dividen los tres miembros por (b - a) resulta:

m ≤≤≤≤ b a

1−

b

af (x).dx∫ ≤≤≤≤ M

Por el teorema del valor intermedio, resulta que existe c ∈ (a,b)/

f(c) = 1

b a−

b

af (x).dx∫ ⇒

b

af (x).dx∫ = f(c) (b-a).

• Función área o función integral Si en una integral definida se mantiene fijo el límite inferior de integración y se considera variable el límite superior, se obtiene una función que depende de dicho límite. Esta función recibe el nombre de función área o función integral.

x

aA(x) f (t).dt= ∫

y

f(c)

a c b x

es un número comprendido entre el mínimo y el máximo de una función continua en un intervalo cerrado


113

• Teorema fundamental del cálculo integral o derivada de la función área

Si f es continua en [a,b] , y x0 es un punto interior a (a,b), la función x

aA(x) = ∫ f(t).dt es

derivable en x0 y resulta A’ (x0)= f(x0). Demostración:

Por definición de derivada: A’ (x0)=0

0

x x0

A(x) A(x )lím

x x→

−−

Reemplazando por la definición de A(x), se tiene:

A’ (x 0)= →

−

−∫ ∫

0

0o

x x

a a

x x

f(t)dt f(t)dtlím

x x= 0

o

x a

a x

x x0

límx x→

+

−∫ ∫f(t)dt f(t)dt

= 0

0

x

x

x x0

límx x→ −∫ f(t)dt

Por el T. Del valor medio del Cálculo integral resulta:

A’ (x 0)= 0

0

x x0

f (c).(x x )lím

x x→

−−

con c entre x0 y x ⇒ A’ (x0)=0

0x xlím f (c) f (x→

= )

Aplicación Supongamos que queremos calcular el área de la región del plano limitada por

y = senx, el eje x y la recta x=2π

Si bien no conocemos esta función, por el Teorema fundamental de Cálculo integral, su derivada es la función que estamos integrando. A’(x)= sen x⇒A(x)= - cos x + C, ya que (-cos x +C )‘ = sen x

Como A(0)= senx.dx=∫0

00 (por prop. de integral def.), resulta: - cos 0 + C = 0

Entonces: C = cos 0. Por lo tanto: A(x) = - cos x + cos 0

Nos interesa A(2

π )=/ 2

0senx.dx

π∫ = - cos

2π + cos 0= 0 1− + =1

por ser f continua

0 1 2 30

1

2π

y

x

El área se calcula mediante la integral:

A=/ 2

0senx.dx

π∫

Defino la función área asociada:

A(x)= x

0sent.dt∫


114

• Concepto de primitiva Si F es una función tal que F’(x) = f(x), diremos que F(x) es una primitiva de f(x). Por ejemplo: y= x2; y = x2+1; y = x2+ 100 son primitivas de f(x) = 2x El cálculo de primitivas se hace a través de la integración indefinida, que se estudiará más adelante.

• Regla de Barrow:

Se quiere calcular b

af (x).dx∫ con f continua en [a,b].

Defino A(t)= t

af (x).dx A '(t) f (t) A(t) F(t) C / F'(t) f (t)⇒ = ⇒ = + =∫ �

Pero A(a)= a

af (x).dx∫ =0 (prop. de la integral def.) F(a) C 0 C F(a)⇒ + = ⇒ = −

Resulta: b

af (x).dx A(b) F(b) C= = +∫

b

af (x)dx F(b) F(a), siendo F'(x) f (x)⇒ = − =∫

INTEGRAL INDEFINIDA Introducción:

Supongamos que un móvil se desplaza con una aceleración dada por a(t) =(10 t – 3) 2

m

seg y

que en el instante t =0 , se encuentra a 10 metros y su velocidad es de 4m

seg, ¿cómo es

posible encontrar las fórmulas de las funciones que indican su velocidad y su distancia al origen al cabo de t segundos? Para resolver este problema, hay que recordar que la aceleración es la derivada de la velocidad y que ésta a su vez, es la derivada de la función que da la posición del móvil.

Entonces, afirmar que a(t) = (10t–3)2

m

seg, equivale a expresar que v’(t) = (10t– 3)

2

m

seg.

Por lo tanto para encontrar la velocidad, es necesario pensar cuál es la función cuya derivada es 10t–3.

es derivada de

F(x) f(x)

es primitiva de

(Por el T. Fundamental del Cálculo Integral)


115

En tanto la derivada de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las derivadas, es posible asegurar que la función buscada tiene al menos dos términos cuyas derivadas son respectivamente 10 t y –3. Si se tiene en cuenta que (t 2)’ = 2t, resulta: 10 t = 5.2t= 5. (t 2)’ =(5.t 2)’ Además: -3 = -3.1 = -3. t ’ = ( -3.t)’ Luego: a(t) = (5.t 2)’ + ( -3.t)’ = (5.t 2 -3.t )’ , de donde v(t) = 5.t 2 - 3.t , cuya derivada es efectivamente a(t). Sin embargo, este resultado no es único, ya que la derivada de una función constante es cero y, por lo tanto, las funciones v1(t) = 5.t 2 - 3.t +100 ó v2(t) = 5.t 2 - 3.t – 25 también tienen la misma derivada. Resulta que existen infinitas funciones que tienen la misma derivada, pero todas ellas difieren, a lo sumo en un valor constante. Entonces el conjunto de funciones que tienen por derivada a a(t) , puede escribirse en forma general: v(t) = 5.t 2 - 3.t + C1

Como que v(0) = 4m

seg, es posible calcular el valor de C1 que satisface las condiciones del

problema.

En efecto: v(0) = 4 ( )2 2

1 1

m m m m5.0 3.0 C 4 C 4 v(t) 5t 3t 4

seg seg seg seg⇒ − + = ⇒ = ⇒ = − +

Para hallar la función s(t) que da la posición del móvil al cabo de t segundos, hay que proceder de manera similar. Como v(t) = s’(t), hay que buscar la función que tiene por derivada a 2v(t) 5t 3t 4= − + .

De igual forma que en el caso anterior, se sabe que ( )3 2 2 2 3 35 5 5t ' 3t 5t .3t (t ) ' t

3 3 3

' = ⇒ = = =

Y que 3t = 2 23 3 32t (t ) ' t

2 2 2

' = =

y 4 = (4t)’. Si además se tiene en cuenta que la derivada

de una constante es cero, se obtiene que v(t) = s’(t) = 3 2

2

5 3t t 4t C

3 2

' − + +

, es decir:

s(t) = 3 2

2

5 3t t 4t C

3 2− + +

Como en el instante t= 0, el móvil se encuentra a 10m, resulta:

10 = s(0) = 3 2

2 2

5 30 0 4 0 C C 10m

3 2⋅ − ⋅ + ⋅ + ⇒ =

Entonces: s(t) = 3 25 3t t 4t 10 m

3 2

− + +

, que expresa la distancia al cabo de t segundos.


116

Definición: Sea f:A ,→R con A⊆ R se llama antiderivada o primitiva de f a toda función F(x) que verifica: F’(x)=f(x). El proceso por el cual se calculan primitivas de una función se denomina integración indefinida.

Observación: Dada una función, es posible encontrar infinitas primitivas. Ejemplos: 1. La función senx es una primitiva de cosx puesto que (senx)’=cosx, también lo es senx+157

2. Una primitiva de x2 es3x

3 pues

'32x

= x3

. En general, cualquier primitiva de x2 es

de la forma3x

3+C

Definición: Al conjunto de todas las funciones primitivas se le llama integral indefinida y se

representa por f(x)dx∫ (se lee: “integral indefinida de f(x) diferencial x”)

Es decir, f(x)dx∫ = F(x) + C ⇒ F'(x) = f(x)

Ejemplos: senx dx cos x C= − +∫ pues (-cosx)’=senx

22x dx = x + C∫ pues (x2)’=2x

• Teorema: Si dos funciones tienen la misma derivada entonces difieren a lo sumo en una constante. H) F(x) y G(x)/ F’(x)= G’(x) T) F(x) = G(x) + C Demostración: Por hipótesis F’(x)= G’(x)⇒ F’(x) - G’(x)=0 ⇒[F(x)-G(x)]’=0⇒F(x) – G(x) = C⇒F(x) = G(x) +C. • Consecuencia: Existe una familia de infinitas funciones que difieren entre sí en una constante, que admiten la misma derivada. Geométricamente esto significa que para un mismo valor de x, las curvas tienen rectas tangentes paralelas.

• Propiedades de la integral indefinida


117

1. ( )f(x)+ g(x) dx∫ = f(x)dx∫ + g(x)dx∫

Demostración: Sean F(x) y G(x) primitivas de f(x) y g(x) respectivamente. Entonces, F’(x)=f(x) y G’(x) =g(x) ⇒ F’(x)+ G’(x)=f(x)+g(x). Por propiedad de las derivadas, (F(x)+ G(x))’= F’(x)+ G’(x)= f(x)+g(x).

O lo que es lo mismo, ( )f(x)+ g(x) dx∫ = f(x)dx∫ + g(x)dx∫

2. ( )k.f(x) dx∫ = k f(x)dx∫

Demostración: Sea F(x) una primitiva de f(x), es decir F’(x)=f(x). Entonces (k.F(x))’ =k.F’(x)=k.f(x), o lo que es lo mismo, una primitiva de k.f(x) es kF(x).

Es decir, ( )k.f(x) dx∫ = k f(x)dx∫

Ejemplos:

1. ( )xe + cosx dx∫ = xe dx∫ + cosx dx∫ = e x + sen x+ C

2. ( )4.senx dx = 4. senxdx = 4.(-cosx) + C = -4cosx + C∫ ∫

A partir de la tabla de derivadas, es posible construir la siguiente tabla de integrales indefinidas inmediatas: FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN 1 k.dx k.x C= +∫

2

1dx arcsenx C

1 x= +

−∫

n n 11x .dx x C si n 1

n 1+= + ≠ −

+∫ 2

1dx arc tgx C

1 x= +

+∫

1.dx ln | x | C

x= +∫ sec x.tgx.dx sec x C= +∫

cos x.dx senx C= +∫ cosec x.cotgx.dx cosec x C= − +∫

senx.dx cos x C= − +∫ 2cosec x.dx cotgx C= − +∫

2sec x.dx tgx C= +∫ x xe .dx e C= +∫

Shxdx Chx C= +∫ Chxdx Shx C= +∫

2Sech x.dx Thx C= +∫ 2Cosech x.dx Cothx C= − +∫

2

1dx A rg Thx C

1 x= +

−∫

2

1dx ArcShx C

1 x= +

+∫

Ejemplos: 1 Las fórmulas son válidas en los conjuntos en que las funciones están definidas y son integrables.


118

1. ( )3 32x + 5x - 2 dx = 2x dx + 5xdx - 2dx =∫ ∫ ∫ ∫ 32 x dx + 5 xdx - 2 dx =∫ ∫ ∫

= 3+1 1+11 12 x + 5 x - 2x + C

3 +1 1+1= 4 2 4 22 5 1 5

x + x - 2x + C = x + x - 2x + C4 2 2 2

2.3

32x + dx

x ∫

1-32= 2 x dx + 3 x dx =⋅ ⋅∫ ∫

x dx x dx x x C+− − += + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ +

− ++∫ ∫

1 11

3 3 12 21 1

2 3 2 31 3 1

12

x x C−= ⋅ − ⋅ +3

222 2 3

3 2

3. ( )2 x 2 x3 33sec x x ln 4.e dx 3sec xdx xdx ln 4.e dx+ + = + + =∫ ∫ ∫ ∫2 1/3 x 4/3 x3

3 sec xdx x dx ln 4 e dx 3tgx x ln 4.e C4

= + + = + + +∫ ∫ ∫

4. ( )3 2 3 2

22 2 2 2

2x 7x 4 x x 4dx 2 7 dx 2x 7 4.x dx

x x x x− − − = − − = − −

∫ ∫ ∫ =

= 22 xdx 7 1dx 4. x dx−− −∫ ∫ ∫ = 2 1

2x x 12 7x 4. C x 7x 4 C

2 1 x

−

− − + = − + +−

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

• Método de sustitución

Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente, basándose en la regla de la cadena, es decir en la regla de derivación de funciones compuestas. Importante: Recordemos que si t=g(x), entonces: dt=g´(x)dx

Se desea calcular f (g(x)).g '(x)dx∫ .

Si consideramos t = g(x) , resultaf (g(x)).g '(x)dx∫ = f (t)dt∫ , y la nueva integral con la

variable t, que resulta al aplicar el método, debe ser inmediata o, por lo menos, de menor complejidad.

Por lo tanto, si F(t) es primitiva de f(t), se tiene: f (g(x)).g '(x)dx∫ =F(g(x))+C

Ejemplos:


119

1. sen 4x dx∫ . Haciendo t=4x, resulta dt=4.dx 1

dt dx4

⇒ = .

Entonces, ( ) ( ) ( )1 1 1 1sen 4x dx sent. dt sent dt cos t C cos 4x C

4 4 4 4= = = − + = − +∫ ∫ ∫

2. senx 1

tgx dx dx senxdxcos x cos x

= =∫ ∫ ∫ . Si t=cosx ⇒dt=-senxdx ⇒ -dt=senxdx

Haciendo el cambio de variables, 1 1 1

senxdx ( 1)dt dt ln | t | C ln | cos x | Ccos x t t

= − = − = − + = − +∫ ∫ ∫

3. 2

2

3 3

x 1dx x dx

1 x 1 x=

+ +∫ ∫ . Si t=1+x3 ⇒dt=3x2dx ⇒1

3dt=x2dx

Sustituyendo en la integral, 2 1/2 1/ 2 3

3

1 1 1 1 1 2x dx dt t dt 2t C 1 x C

3 3 3 3t1 x

−= = = + = + ++∫ ∫ ∫

4. senxe cos xdx∫ . Considerando t=senx, resulta dt=cosx. dx.

Entonces: senx t t senxe cos xdx e dt e C e C= = + = +∫ ∫

5. x

xe 1dx e dx

x x=∫ ∫ . Si t= x , resulta

1 1dt dx 2dt dx

2 x x= ⇒ = .

Haciendo el cambio de variables, x t t t x1e dx e 2dt 2 e dt 2e C 2e C

x= = = + = +∫ ∫ ∫

� Integrales que se llevan a ∫ 2

1dx = arc tgx + C

1+ x

Para estudiar este tipo de integrales, analicemos algunos ejemplos:

1. 2

1dx

1 4x+∫=

( )2

1dx

1 2x+∫ . Al plantear esta igualdad, podemos llamar t=2x, entonces

dt=2dx 1

dt dx2

⇒ = , y por lo tanto:

2

1dx

1 4x+∫=

( )2 2 2

1 1 1 1 1 1 1dx dt dt arc tgt C arc tg(2x) C

1 t 2 2 1 t 2 21 2x= = = + = +

+ ++∫ ∫ ∫


120

2. 2

1dx

9 4x+∫ . Si en el denominador extraemos 9 como factor común, resulta:

22 2

1 1 1 1dx dx dx

9 4x 94x 2x9 1 19 3

= =+ + +

∫ ∫ ∫

Haciendo la sustitución:2x

t3

= , resulta 2 3

dt dx dt dx3 2

= ⇒ =

Entonces:

2 2 2

1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 2xdx dt dt arc tgt C arc tg C

9 9 1 t 2 9 2 1 t 6 6 32x1

3

= = ⋅ = + = + + + +

∫ ∫ ∫

3. 2

1dx

10 x 2x+ +∫ . Para trabajar con esta integral de forma similar a los ejemplos

anteriores, completamos cuadrados en el denominador:

2 2 2

1 1 1dx dx dx

10 x 2x 10 x 2x 1 1 9 (x 1)= =

+ + + + + − + +∫ ∫ ∫

Al igual que en el ejemplo 2, si en el denominador extraemos 9 como factor común, se

obtiene: 2 22

1 1 1 1 1dx dx dx

(x 1)9 (x 1) 9 9 x 11 19 3

= =++ + + + +

∫ ∫ ∫

Haciendo la sustitución:x 1

t3

+= , resulta 1

dt dx 3dt dx3

= ⇒ =

Entonces:

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 x 1dx 3dt dt arc tgt C arc tg C

9 9 1 t 3 1 t 3 3 3x 11

3

+ = = = + = + + + + +

∫ ∫ ∫

Observación: En general, las integrales que se llevan a 1

dx1 x∫ 2+

son de la

forma2

1dx

ax + bx + c∫ con 2b 4ac 0− <

� Integrales que se llevan a ∫ 2

1dx = arc senx + C

1 - x

Este tipo de integrales se trabaja igual que las que se llevan a 2

1dx

1 x∫ +.


121

Ejemplo:

Para resolver 2

1dx

8 x 2x− +∫ , completamos cuadrados en el denominador:

2 2 2

1 1 1dx dx dx

8 x 2x 8 (x 2x) 8 (x 2x 1 1)= =

− + − − − − + −∫ ∫ ∫ 2

1dx

9 (x 1)=

− −∫

Al extraer 9 de factor común en el denominador, se obtiene:

2 2 2

1 1 1 1 1dx dx dx

3 39 (x 1) (x 1) x 11 19 3

= =− − − − − −

∫ ∫ ∫

Mediante el cambio de variables: x 1

t3

−= , resulta 1

dt dx 3dt dx3

= ⇒ = .

Entonces:

2 2 2

1 1 1 1 1 x 1dx 3dt dt arcsent C arcsen C

3 3 31 t 1 tx 11

3

− = = = + = + − −− −

∫ ∫ ∫

Se resuelven de esta forma las integrales del tipo2

dx

ax bx c+ +∫ , con a<0 y b2-4ac>0.

� Integrales de la forma ∫n msen x.cos x.dxcon n 0∈ℕ ,m 0∈ℕ

a) Uno de los dos exponentes es impar.

Ejemplos:

1. Para calcular 5 2sen x.cos x.dx∫ , hay que tener en cuenta que ( )25 2sen x senx sen x= ⋅ .

Entonces: 5 2sen x.cos x.dx∫ ( ) ( )2 22 2 2 2senx sen x .cos x.dx senx 1 cos x .cos x.dx= ⋅ = ⋅ −∫ ∫

Resulta sencillo encontrar esta integral haciendo la sustitución t= cosx.

2. ( )5 3 5 2 5 2sen x.cos x.dx sen x.cos x.cos xdx sen x. 1 sen x .cos xdx= = −∫ ∫ ∫

que puede resolverse considerando t= senx.

Por la identidad pitagórica

Consideramos el menor exponente impar


122

Para calcular n msen x.cos x.dx∫ con n impar y m par, hay que tener en cuenta que: n n 1sen x senx sen x−= ⋅ (n-1 resulta ser par), luego aplicar la identidad Pitagórica para

expresar n 1sen x− en función de cos2x. De esta manera, queda planteada una integral sencilla de resolver a partir del método de sustitución. Si ambos exponentes son impares, se elige para descomponer y aplicar la identidad Pitagórica el factor con el menor exponente.

b) Ambos exponentes pares. Ejemplos:

1. Para calcular 2cos x.dx∫ , hay que tener en cuenta que 2 2cos(2x) cos x sen x= − y que

además 2 21 cos x sen x= + . Sumando miembro a miembro ambas identidades, resulta:

2 21 cos(2x)1 cos(2x) 2cos x cos x

2

++ = ⇒ =

Entonces:

( )2 1 cos(2x) 1 1 1cos x.dx dx 1 cos(2x) dx dx cos(2x)dx

2 2 2 2

+= = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

La primera de las dos integrales es inmediata, mientras que la segunda se resuelve mediante la sustitución t=2x. 2. 2 2 2 2sen x.cos x.dx sen x.cos xdx=∫ ∫

Trabajando de forma similar que al ejemplo anterior con 2 2

2 2

cos(2x) cos x sen x

1 cos x sen x

= −

= +, pero

restando miembro a miembro, se obtiene 2 21 cos(2x)cos(2x) 1 2sen x sen x

2

−− = − ⇒ =

En consecuencia:

( )2 2 2 21 cos(2x) 1 cos(2x) 1 1sen x.cos x.dx dx 1 cos (2x) dx sen (2x).dx

2 2 4 4

− += ⋅ = − ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫


123

Teniendo en cuenta que 2 1 cos(4x)sen (2x)

2

−= , resulta:

( )21 1 1 1sen (2x)dx 1 cos(4x) dx dx cos(4x)dx

4 8 8 8= − = −∫ ∫ ∫ ∫

La primera integral es inmediata, y la segunda es posible calcularla considerando t=4x.

Para resolver n msen x.cos x.dx∫ con n y m pares, hay que rescribir la integral teniendo en

cuenta las siguientes identidades:

2

2

1 cos(2 )sen

21 cos(2 )

cos2

− α α = + α α =

• Método de integración por partes Se basa en la regla de derivación del producto de dos funciones derivables. Sean u(x) y v(x) dos funciones derivables en un dominio común, se cumple:

u.dv u.v v.du = −∫ ∫

Demostración:

Si u(x) y v(x) dos funciones derivables, se cumple: [ ]u(x).v(x) u(x).v (x) v(x).u '(x) ′ = +

( )u( x ).v( x ) ' dx v( x ).u ( x )dx u( x ).v ( x )dx ′ ′⇒ = +∫ ∫ ∫

Pero ( )u(x).v(x) 'dx u(x)v(x)=∫ , entonces u( x ).v( x ) v( x ).du u( x ).dv = +∫ ∫

O lo que es lo mismo: u( x ).dv u( x ).v( x ) v( x ).du= −∫ ∫

Para aplicar el método, hay que identificar la integral dada con la fórmula del método: para ello se debe descomponer el integrando en dos factores u y dv. Aplicar bien el método surge de una “buena elección” de u y dv (a partir del cual se calcula la función v).

Al utilizar la fórmula se reemplaza el problema de resolver udv∫ por el problema de

resolver vdu∫ , que debería ser más sencillo.


124

Ejemplos:

1. ln xdx∫ . Si u=lnx, du=1

dxx

.

Necesariamente, dv=dx v '(x)dx dx v '(x)dx dx v(x) x⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ ∫

Aplicando la fórmula, 1

ln xdx x ln x x dx x ln x 1dx x ln x x Cx

= − = − = − +∫ ∫ ∫

2. 2xxe dx∫ . Si u=x⇒ du=dx. Al considerar, dv = e2xdx ⇒ v’(x)dx= e2xdx

2x 2x1v '(x)dx e dx v(x) e

2⇒ = ⇒ =∫ ∫

Aplicando la fórmula, 2xxe dx∫ = x· 2x1e

2- 2x1

e dx2∫

= x· 2x1e

2- 2x1

e4

+ C

3. I= xe senxdx∫ . Si u=ex ⇒ du=ex dx. Al considerar, dv = senxdx ⇒ v’(x)dx= senxdx

v x dx senxdx v x x⇒ = ⇒ = −∫ ∫'( ) ( ) cos

Aplicando la fórmula, I= -excosx + xcos xe dx∫ (1) . Para resolver el segundo término de la

igualdad (1) , es necesario aplicar nuevamente el método de integración por partes: Con u=ex ⇒ du=ex dx. Al considerar, dv = cosxdx ⇒ v’(x)dx= cosxdx

v '(x)dx cos xdx v(x) senx⇒ = ⇒ =∫ ∫

Al reemplazar en (1), resulta: I= -excosx +ex senx - xe senxdx∫ .

Entonces: I= -excosx +ex senx –I ⇒2I=-excosx +ex senx

x xx -e cosx + e senx

I= e senxdx C2

⇒ = +∫ .

A este tipo de integrales se las denomina cíclicas.

• Integración de funciones racionales

Son de la forma: P(x)

dxQ(x)∫ donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas.

Según cuál sea el grado de estas funciones (a las cuales llamaremos, por comodidad, polinomios) se presentan dos casos:

Integrar mediante la sustitución t=2x

I


125

� Grado P(x) ≥ Grado Q(x)

Entonces, efectuamos la división P(x)

Q(x) indicada en el integrando para obtener el cociente

C(x) y el resto R(x) (de menor grado que el divisor): y podemos escribir

P(x) C(x).Q(x) R(x) C(x).Q(x) R(x) R(x)C(x)

Q(x) Q(x) Q(x) Q(x) Q(x)

+= = + = +

En consecuencia:

es un polinomioCorresponde al siguientecaso

P(x) R(x) P(x)dx C(x) dx C(x)dx dx

Q(x) Q(x) Q(x)

= + = +

∫ ∫ ∫ ∫

��

��

Ejemplo:

�

�

resto dela division

32

cociente de la divisionefectuamos divisor deesta division la division

4x x 1 33dx (4x 8x 17)dx dx

x 2 x 2

+ − = + + +− −∫ ∫ ∫��

��

Ahora integramos término a término y llegamos a 3 24x 4x 17x 33ln x 2 C

3+ + + − + que es

el resultado de la integral propuesta, por lo tanto: 3

3 24x x 1 4dx x 4x 17x 33ln x 2 C

x 2 3

+ − = + + + − +−∫

� � Grado P(x) < Grado Q(x)

Factoreamos el polinomio Q(x) y de acuerdo con las características de sus raíces (realesy/o

complejas, simples y/o múltiples), se descompone la fracción P(x)

Q(x) en suma de fracciones

más simples. Veamos los casos más usuales.

a) Todas las raíces de Q(x) son reales y distintas.

Q(x) P(x)

C(x) R(x) Por el algoritmo de la división se cumple:

P(x)=C(x).Q(x)+R(x)


126

Ejemplo:

2

sus raices 1 y 2

8x 1dx

4x 4x 8−

++ −∫

��

:

Sacamos el coeficiente principal de Q(x), en este caso 4, como factor

común y escribimos: 2

sus raices: 1 y 2

1 8x 1dx

4 x x 2−

++ −∫

��

o bien:

polinomio anteriorfactoreado

1 8x 1dx

4 (x 1)(x 2)

+− +∫

��

(1)

Proponemos para el integrando una descomposición en fracciones cuya integración es casi inmediata:

8x 1 A B

(x 1)(x 2) x 1 x 2

+ = +− + − +

(2) Con A y B constantes a determinar.

Observación: Siendo en el primer miembro el grado del polinomio del numerador menor que el del denominador, en cada término del segundo miembro también deberá suceder lo mismo, y como cada uno de sus denominadores es de primer grado, cada uno de los numeradores respectivos deberá ser de grado cero, de allí que A y B sean constantes

Sacamos común denominador en el segundo miembro: 8x 1 A(x 2) B(x 1)

(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)

+ + + −=− + − +

Como se trata de una igualdad de fracciones con denominadores iguales, los numeradores también son iguales y podemos trabajar solo con ellos: 8x+1 = A(x+2)+B(x-1) Al distribuir y reordenar el segundo miembro: 8x+1 = (A+B)x+(2A-B) Pero esta es una igualdad entre dos polinomios, por lo tanto sus coeficientes deben coincidir y entonces podemos formar el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

A B 8

2A B 1

+ = − =

cuya solución es A=3 y B=5 (3)

Ahora, al reemplazar (3) en (2) y (2) en (1) llegamos a:

1 8x 1 1 3 5dx dx dx

4 (x 1)(x 2) 4 x 1 x 2

+ = + − + − + ∫ ∫ ∫

Notemos que cada integral del segundo miembro es de la forma:

K

dx K.ln x a Cx a

= − +−∫

Por lo tanto: 1 8x 1

dx4 (x 1)(x 2)

+− +∫ =

13ln x 1 5ln x 2 C

4 − + + +


127

Aplicando propiedades bien conocidas de los logaritmos: 1/ 43

52

x 18x 1dx ln C

4x 4x 8 x 2

−+ = + + − +

∫

Ahora, generalizamos:

Sea P(x)

dxQ(x)∫ donde Q(x) es un polinomio de grado n, con n raíces reales bi distintas y

coeficiente principal real a. O sea, una vez factoreado, Q(x) = a(x-b1)(x-b2)…(x-bn). En consecuencia, la integral a resolver es del tipo:

1 2 n

Q(x) ya factoreado

P(x)dx

a(x b )(x b ) (x b )− − −∫⋯

��

= 1 2 n

1 P(x)dx

a (x b )(x b ) (x b )− − −∫⋯

El integrando del segundo miembro se descompone en una suma de n fracciones más simples de la siguiente manera:

1 2 n

1 2 n 1 2 n

A A AP(x)

(x b )(x b ) (x b ) x b x b x b= + + +

− − − − − −⋯

⋯

siendo Ai constantes a

determinar.

Finalmente 1 2 n

1 2 n 1 2 n

A A A1 P(x) 1dx dx dx dx

a (x b )(x b ) (x b ) a x b x b x b

= + + + − − − − − −

∫ ∫ ∫ ∫⋯

⋯

,

donde cada integral del segundo miembro es igual a A iln ix b−

y en consecuencia: 1 2 n

1 P(x)dx

a (x b )(x b ) (x b )− − −∫⋯

= n

i ii 1

1A ln x b C

a =

− + ∑

b) Todas las raíces de Q(x) son reales e iguales.

Ejemplo: 2

3 2

su raiz es1 y es triple

x 3x 5dx

2x 6x 6x 2

− +− + −∫

��

.

Análisis Matemático I: Integrales 128

Sacamos el coeficiente principal de Q(x) como factor común (en este caso, 2) y

escribimos:2

3 2


1 x 3x 5dx

2 x 3x 3x 1

− +− + −∫

��

o bien: ( )2

3


1 x 3x 5dx

2 x 1

− +−∫

��

(1)

Proponemos para el integrando la siguiente descomposición en suma de fracciones más simples:

( ) ( ) ( ) ( )2

3 3 2

x 3x 5 A B C

x 1x 1 x 1 x 1

− + = + +−− − −

(2) siendo A, B y C constantes a determinar.

Sacamos común denominador en el segundo miembro:

( ) ( )2 2

3 3

x 3x 5 A B(x 1) C(x 1)

x 1 x 1

− + + − + −=− −

Al igual que en el ejemplo anterior, trabajando sólo con los numeradores: x2-3x+5 = A+B(x-1)+C(x-1)2 Distribuyendo y reordenando: x2-3x+5= Cx2+(-2C+B)x+(C-B+A) Nuevamente, esta es una igualdad entre dos polinomios, por lo tanto sus coeficientes deben coincidir y entonces podemos formar el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

C 1

B 2C 3

C B A 5

= − = − − + =

cuya solución es A=3, B=-1 y C=1 (3)

Ahora reemplazamos (3) en (2) y (2) en (1) y escribimos:

( ) ( ) ( ) ( )2

3 3 2

1 x 3x 5 1 3 1 1dx dx dx dx

2 2 x 1x 1 x 1 x 1

− + −= + + −− − −

∫ ∫ ∫ ∫

Observemos que las integrales del segundo miembro responden a las formas:

n 1n

K Kdx (x a) C

(x a) n 1− += − +

− − +∫ con n>1 y K

dx K.ln x a Cx a

= − +−∫

Por lo tanto: ( )2

2 13

1 x 3x 5 1 3dx (x 1) (x 1) ln x 1 C

2 2 2x 1− −− + = − − + − + − + −∫


129

Ahora, generalizamos:

Sea P(x)

dxQ(x)∫ donde Q(x) es un polinomio de grado n, con coeficiente principal real a y con

una raíz real b de multiplicidad n (o sea, posee n raíces reales iguales a b). Ya factoreado, Q(x) es de la forma: a(x-b)n.

En consecuencia, la integral a resolver es del tipo: n

Q(x) una vezfactoreado

P(x)dx

a(x b)−∫��

= n

1 P(x)dx

a (x b)−∫

El integrando del segundo miembro se descompone en una suma de n fracciones más simples así:

1 2 nn 2 n

A A AP(x)

(x b) x b (x b) (x b)= + + +

− − − −⋯ siendo Ai constantes a determinar.

Finalmente 1 2 nn 2 n

A A A1 P(x) 1dx dx dx dx

a (x b) a x b (x b) (x b)

= + + + − − − −

∫ ∫ ∫ ∫⋯

donde la primer integral del segundo miembro es igual a A1ln x b− y las demás dan por

resultado: (x-b)(-n+1)/(-n+1) con n>1.

En consecuencia: n

1 P(x)dx

a (x b)−∫ = ( i 1)n

1 ii 2

1 (x b)A ln x b A . C

a i 1

− +

=

−− + + − + ∑

c) Las raíces de Q(x) son complejas. Como el polinomio tiene coeficientes reales, puede demostrarse que las raíces complejas vienen de “a pares”: 2, 4, 6, etc, además por el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces (entre reales y complejas). Vamos a estudiar el caso más sencillo: Q(x) tiene raíces complejas y es de segundo grado. Se presentan dos casos según sea P(x) (recordemos que Grado P(x) < Grado Q(x)):


- P(x) es una constante. Este caso ya se estudió cuando se trabajó con el método de sustitución: es una integral que se

lleva a 2

1dx arc tgx C

1 x= +

+∫ ,

- P(x) es un polinomio de primer grado.

Ejemplo:2

sus raicesson complejas

3x 5dx

2x 12x 26

+− +∫

��

. Si extraemos el coeficiente principal del denominador como

factor común (2 en este caso) se tiene: 2

3x 5dx

2(x 6x 13)

+− +∫ o bien:

2

es reducido, conraices complejas

1 3x 5dx

2 x 6x 13

+− +∫

��

(1)

Trabajamos el denominador, completándolo para obtener un trinomio cuadrado perfecto:

2

2 2 2

sumamos y restamos 4(x 3)el cuadrado de la mitaddel coeficiente lineal

1 3x 5 1 3x 5 1 3x 5dx dx dx

2 x 6x 13 2 x 6x 9 9 13 2 (x 3) 4+−

+ + += =− + − + − + − +∫ ∫ ∫

��

Ahora, extraemos el término lineal del denominador (en este caso, 4) como factor común:

22

1 3x 5 1 3x 5dx dx

2 8(x 3) x 34 1 14 2

+ += − − + +

∫ ∫ .

Si a esta última integral, le aplicamos la sustitución z=(x-3)/2 ⇒dx=2dz

Y resulta: 2

1 3(2z 3) 52dz

8 z 1

+ ++∫

Al distribuir y reagrupar: 2

1 6z 14dz

4 z 1

++∫ =

2

3 2zdz

4 z 1+∫ +2

7 1dz

2 z 1+∫

Notemos que el primer término responde a la forma: f´(x)

dx ln f (x) Cf (x)

= +∫ (porque es

posible plantear la sustitución t=f(x)) y el segundo término es el arc tgz.

En consecuencia: 2

3x 5dx

2x 12x 26

+− +∫ =

3 x 3 7 x 3ln arc tg C

4 2 2 2

− − + +


131

Ahora generalicemos:

Sea P(x)

dxQ(x)∫ donde Q(x) es un polinomio de grado 2 con raíces complejas, coeficiente

principal a y P(x) es un polinomio lineal. O sea Q(x)= ax2+bx+c, con b2-4ac<0 y P(x)=mx+k. Por tener raíces complejas, al polinomio Q(x) siempre podemos presentarlo en la forma: a[(x-t)2+h] con h>0 Por lo tanto, se puede expresar la integral original en la forma:

( )2

1 mx kdx

a x t h

+− +∫ = 2

1 mx kdx

a.h x t1

h

+− +

∫

Aplicando la sustitución z=x t

h

− ⇒ dx hdz= , origina:

2

1 m( hz t) khdz

a.h z 1

+ ++∫ .

Esta última integral trabajada algebraicamente puede presentarse como suma de dos integrales

más “sencillas”: 2

m 2zdz

2a z 1+∫ +2

(mt k) h 1dz

a.h z 1

++∫ .

Notemos que la primera responde a la forma: v´

dv ln v Cv

= +∫ y la segunda a:

2

1dz arc tgz C

z 1= +

+∫ por lo tanto, y volviendo a la variable x, se obtiene como resultado

final: ∫ +++

dxcbxax

kmx2

=m x t (mt k) h x t

ln arctg C2a a.hh h

− + − + +

- Q(x) presenta raíces reales y dos complejas.

Aquí se combinan todos los casos ya vistos.

Ejemplo: 2

3 2

una raiz es1 ylas demas son complejas

5x 10x 21dx

2x 14x 38x 26

− +− + −∫

��

Podemos factorear Q(x) en la forma: 2(x2-6x+13)(x-1) donde el factor (x2-6x+13) tiene dos raíces complejas, para escribir:


∫ −+−+−

dxxxx

xx

2638142

2110523

2

= ∫ −+−+−

dxxxx

xx

)1)(136(

21105

2

12

2

(1)

Proponemos descomponer el integrando en la siguiente suma de fracciones simples:

2

2

5x 10x 21

(x 6x 13)(x 1)

− +− + −

=

polinomio lineal

2

sus raices soncomplejas

Ax B C

x 6x 13 x 1

+ +− + −

��

��

(2) , siendo A, B y C constantes a determinar.

Si extraemos común denominador en el segundo miembro:

2

2

5x 10x 21

(x 6x 13)(x 1)

− +− + −

=2

2

(Ax B)(x 1) C(x 6x 13)

(x 6x 13)(x 1)

+ − + − +− + −

O bien: 5x2-10x+21=(Ax+B)(x-1)+C(x2-6x+13) Si distribuimos y reordenamos convenientemente el segundo miembro: 5x2-10x+21=(A+C)x2+(B-A-6C)x+(13C-B)

y por igualdad de polinomios:

A C 5

A B 6C 10

B 13C 21

+ =− + − = − − + =

cuya solución es A=3, B=5 y C=2 (3)

En consecuencia, reemplazando en (3) en (2) y (2) en (1) y separando en dos integrales se tiene:

2

2

1 5x 10x 21dx

2 (x 6x 13)(x 1)

− +− + −∫ =

2

ya resuelta en un ejemplo anterior

1 3x 5dx

2 x 6x 13

+− +∫

��

+

ln x 1

1 2dx

2 x 1−

−∫��

Finalmente:

2

3 2

5x 10x 21dx

2x 14x 38x 26

− +− + −∫ =

3 x 3 7 x 3ln arctg ln x 1 C

4 2 2 2

− − + + − +

Vamos a generalizar:

Sea P(x)

dxQ(x)∫ donde Q(x) es un polinomio de grado n, con coeficiente principal real a, con

dos raíces complejas conjugadas, una raíz real simple d y con una raíz real b de multiplicidad n-3 (o sea, n-3 raíces reales iguales a b). Ya factoreado, Q(x) es de la forma: a(x2+px+q)(x-d)(x-b)n-3, donde el factor x2+px+q es el que origina las raíces complejas de Q(x).


133

En consecuencia, la integral a resolver es del tipo: 2 n 3

1 P(x)dx

a (x px q)(x d)(x b)−+ + − −∫ (1)

Nos proponemos encontrar las constantes A, B, C, D1, D2, …Dn-3 que nos permitan descomponemos el integrando en la siguiente forma según la naturaleza de las raíces de cada factor de Q(x) aplicando los casos anteriores:

2 n 3

P(x)

(x px q)(x d)(x b) −+ + − −=

un polinomiolineal

2

para el factorcon raicescomplejas

Ax B

x px q

++ +

��

��

+

para elfactorcon raizsimple d

C

x d−+

( ) ( )n 31 2

2 n 3

para el factor con raiz b de multiplicidad n 3

DD D

x b x b x b−

−

−

+ + +− − −

⋯

��

( )

(2) El procedimiento para obtener las constantes no difiere del utilizado en los ejemplos desarrollados. Una vez obtenidas estas, reemplazamos sus valores en (2) y (2) en (1) y obtenemos la integral original como suma de integrales más sencillas:

2 n 3

1 P xdx

a x px q x d x b −+ + − −∫( )

( )( )( )=

( )n 31 2

22 n 3

DD D1 Ax B 1 C 1dx dx dx dx dx

a x px q a x d a x b x bx b−

−

+ + + + + + + − − −−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫⋯⋯

( )

Y estas integrales se resuelven aplicando cada uno de los recursos estudiados.

Análisis Matemático I: Integral definida

134

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

• Cálculo de áreas planas

� Área de la región limitada por y = f(x), x = a, x = b y = 0 , siendo f continua en [a,b].

1) f(x) ≥ 0,∀ x ∈[a,b] 2) f(x) ≤0,∀ x ∈[a,b] 3) f(x) cambia de signo en [a,b] Ejemplo: Calcular el área limitada por : y = ln(x-1) , el eje x , entre x=1.5 y x= 2.5

y

x1.5

2 2.5

5

Por la interpretación geométrica de la integral definida, resulta:

A=b

af x dx⋅∫ ( )

En este caso la integral resulta negativa,

entonces: A=-b

af x dx⋅∫ ( ) =

a

bf x dx⋅∫ ( )

a) Se buscan los valores de x para los que f(x)=0. En el ejemplo , x=c b) Se calcula el área como suma de áreas:

A = c c

a bf x dx f x dx+∫ ∫( ) ( )

y

x a b

y a b x

b

y

x

a c


135

La curva corta al eje x en x= 2. Luego:

A=1.5 2.5

2 2ln(x 1)dx ln(x 1).dx− + −∫ ∫

] ]1.5 2.5

2 2A x.ln(x 1) x ln(x 1) x.ln(x 1) x ln(x 1)= − − − − + − − − − =

=1,5. ln0,5-1,5 – ln0,5-2.ln1+2+ ln1+2.5 ln1.5 - 2.5-ln1.5-2.ln1+2-ln1= =0,5.ln0,5+1,5.ln2,5 A=1,03

� Área comprendida entre dos curvas Ejemplo: Hallar el área de la región limitada por : x.y = 4 ; y=x ; x=8

• Integrales Impropias Calcular integrales definidas supone considerar funciones continuas en conjuntos acotados. Si los conjuntos no son acotados o las funciones presentan alguna discontinuidad en el intervalo de definición, se generaliza el concepto de integral mediante las denominadas integrales impropias.

g(x)

f(x)

a b

y

x

a) Se buscan las abscisas de los puntos de intersección entre las dos curvas, en el dibujo: a y b. b)

A= ( )b b b

a a af (x) dx g(x) dx f (x) g(x) dx⋅ − ⋅ = −∫ ∫ ∫

x.yx | x |

x y

xA x .dx ln | x |

x

A .ln ln .ln ln

A ln ln ln ,

=⇒ = ⇒ = =

= − = − ⇒

= − − − = − − +

= − + = − ≅

∫

2

82

8

2

2

2 2

3

44 2

44

2

8 24 8 2 32 4 2 2 2

2 2

30 12 2 2 30 11 2 22 38

y

y=x x.y=4

8 x 2


136

� Integrales impropias de primera especie (Intervalo no acotado) Ejemplo: Consideramos la función f:[0,+∞ ) → ℝ / f(x) = xe−

Sea b ),[ +∞∈ 0 . Consideremos F(b)=b

x

0

e dx−∫

Resulta F(b)=bx b 0

b0

1e e e 1

e− −− = − + = −

Se puede calcularb

x

b b0

lím F(b) lím e dx−

→+∞ →+∞= ∫

Entoncesbb b

1lím F(b) lím 1 1

e→+∞ →+∞

= − =

Se dice que la integral de primera especie de f(x)= xe− en [0,+∞ ) (que se escribe

x

0

e dx+∞

−∫ ) converge a 1.

Se escribe: x

0

e dx+∞

−∫ =1

Definición: Dada f: [a,+∞ ) → ℝ , continua , se llama integral impropia de primera especie de f en

[a,+∞ ) (se indica:a

f (x)dx+∞

∫ ) al límite, si existe, para b → +∞ , de F(b)=b

a

f (x)dx∫

a

f (x)dx+∞

∫ =b

ba

lím f (x)dx→+∞ ∫ .

Si el límite es finito, se dice que la integral impropia converge al valor del límite; si es infinito, la integral impropia diverge y si el límite no existe, se dice que oscila Con el mismo criterio se define:

b b

aa

f (x)dx lím f (x)dx→−∞

−∞

=∫ ∫ , siempre que el límite exista

-0.

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3

x

-0.

0

0.5

1

y


137

� Integral impropia de segunda especie (la función es continua en un intervalo semicerrado)

Ejemplo: Sea :f :[ , ) / f (x)x

→ =− 2

10 1

1

ℝ y sea ε >0

Se llama integral impropia de segunda especie de f en [0,1) a:

dx lím dxx x

+

− −ε

ε→=

− −∫ ∫1 1

2 200 0

1 1

1 1

=0

lím arcsen (1 )2+ε→

π− ε =

Definición: Sea f: [a,b)→ℝ , continua en [a,b) y tal que

x blím f (x)

−→= ∞ . Se llama integral impropia de

segunda especie de f en [a,b) a: b

a

f (x)dx

−

=∫b

a

lím f (x)dx+

−ε

ε→ ∫0

Con el mismo criterio se define:b b

aa

f (x)dx lím f (x)dx+

+ ε→+ε

=∫ ∫0

Puede ocurrir que la integral sea convergente, si el límite existe y es finito, divergente, si es infinito u oscilante, si no existe.

Calculamos:

dxx

−ε

−∫1

2

0

1

1

= ]arcsen arcsen( )−ε = − ε1

01x

Resulta F(ε )= arc sen (1-ε ). Se puede calcular el límite para ε→0+:

lím arcsen ( )+ε→

π− ε =0

12

y

Análisis Matemático I: Series

138

SERIES Sea la sucesión { an } n ≥ 1. Definimos a partir de ella una nueva sucesión, que llamamos sucesión de sumas parciales, mediante: s1=a1

s2 =a1+a2 s3=a1+a2+a3

.............................

sn=a1+a2+...+an .......................... Es decir, la sucesión de sumas parciales asociada a { an } n ≥ 1 es la sucesión { sn } n ≥ 1

donde sn=n

kk

a=∑

1

.

Definición: Se llama serie de términos an a la sucesión de sumas parciales de { an } n ≥ 1.

Como una serie es una sucesión, la serie es convergente si y sólo si la sucesión de sumas parciales es convergente. El límite de sn es la suma de la serie. Para expresar la suma de una serie se utiliza la

siguiente notación: kk

a∞

=∑

1

. Pero, por abuso de notación, se suele representar con el

mismo símbolo a la serie, aunque no se sepa si es o no convergente (Se lee “serie de los ak” )

Ejemplos:

1) Consideremos la sucesión { an } n ≥ 1 con nan.(n )

=+

1

1.

El término general de la correspondiente sucesión de sumas parciales es:

ns. . n.(n )

= + + +−

1 1 1

1 2 2 3 1⋯ .

Como .

= −1 11

1 2 2;

.= −1 1 1

2 3 2 3;

.= −1 1 1

3 4 3 4;...;

n.(n ) n n= −

+ +1 1 1

1 1, se puede

escribir: nsn n n n

= − + − + − + + − + − − +

1 1 1 1 1 1 1 1 11

2 2 3 3 4 1 1⋯ .

Si aplicamos propiedad asociativa y cancelativa, resulta: nsn

= −+1

11

.


139

Como nn nlims lim

n→∞ →∞

= − = +

11 1

1, decimos que la serie asociada a la sucesión dada es

convergente y su suma es1.

Escribimos ( )n n. n

∞

==

+∑1

11

1

2) Sea la sucesión {bn} n≥1 con bn= n. El término general de la correspondiente sucesión de sumas parciales

es: n

n.(n )s n

+= + + + + = 11 2 3

2⋯

(1)

Entonces: nn n

n.(n )lim s lim

→∞ →∞

+= = ∞1

2, y por lo tanto la serie asociada a la sucesión {bn} n≥1,

que escribimos n

n∞

=∑

1

, diverge.

• Propiedades:

1. kk

a∞

=∑

1

y kk

b∞

=∑

1

convergentes ⇒ k kk

(a b )∞

=+∑

1

y k kk

(a b )∞

=−∑

1

convergentes.

2. ∀ α ≠ 0 : k kk k

a y a∞ ∞

= +α ⋅∑ ∑

1 1

son ambas convergentes o ambas divergentes.

3. Condición necesaria de convergencia:

kk

a∞

=∑

1

convergente ⇒ nnlim a

→∞= 0

En efecto, si kk

a∞

=∑

1

converge, por definición se tiene: nnlims S

→∞= con sn=a1+...+ an-1+ an

También se cumple que: nnlims S−→∞

=1

con sn-1= a1+...+ an-1

Restando miembro a miembro: ( )n nnlim s s −→∞

− =1

0

Pero: sn-sn-1= an ⇒ nnlim a

→∞= 0

Importante: Si nn

lim a→∞

≠ 0 , la serie no es convergente

Ejemplo: Sea n

n n

∞

=

+

∑1

11 . Como

n

nlim e

n→∞

+ = ≠

11 0 , se puede asegurar que la serie

no es convergente. Si además tenemos en cuenta que todos los términos son positivos, podemos decir que la serie dada es divergente.

(1) n

n nn

s (n ) (n ) n n(n ).s n.(n ) s

s n (n ) (n )

= + + + + − + − + +⇒ = + ⇒ == + − + − + + + +

1 2 3 2 1 12 1

1 2 3 2 1 2

⋯

⋯

n+1 n+1 n+1


140

• Series geométricas

Definición

kk

a∞

=∑

1

es una serie geométrica de razón r ⇔ a k = a .r k-1 (con a y r ctes, a≠0)

� Propiedades

1. La serie geométrica k

k

a r∞

−

=

⋅∑ 1

1

converge ⇔ |r |<1.

2. La suma de una serie geométrica de razón r /|r |<1 es a

Sr

=−1

En efecto: Queremos encontrar la suma de n elementos de una sucesión geométrica; es decir:

Sn = a + a.r + a.r2 +a.r3+....+a.rn-1 Multiplicamos ambos miembros por r:

Sn .r = a.r + a.r2 + a.r3 +a.r4+....+a.rn

Sn = a + a.r + a.r2 +a.r3+....+a.rn-1 Si restamos miembro a miembro, resulta: Sn - Sn .r = a - a. rn Sacando factor común, se tiene: Sn (1-r) = a (1 – rn) ⇒

n

n

raS r

−=−

1

1

Además cuando

n→ ∞ : nn

aS r

r r= −

− −1

1 1

aconverge a S si | r |

rsi | r | r

oscila si r

= < −

→ → ∞ > ∨ = = −

11

1 1

1

Ejemplos

1) Consideremos la serie n

nn

−∞

+=∑

2

1

1

3

5

Desarrollemos los primeros términos de la serie:

.

nn

nn n

−−∞ ∞

+= =

= + + + = ⋅

∑ ∑12

1 2 3 4

1 1

3 1 1 3 1 3

5 3 5 5 5 75 5⋯


141

Observemos que el primer término es a=1

75 y que cada término se obtiene

multiplicando al anterior por 3

5. Es decir, se trata de una serie geométrica de razón

r =3

5. Como | r |<1, la serie resulta convergente y su suma es S= = =

−

1 1

175 75

3 2 301

5 5

.

2) Dada la expresión decimal periódica, queremos , , ...∩

=0 45 0 45454545 , escribirla como una serie geométrica convergente y transformarla en fracción a partir de la suma de la serie.

0,45454545.....=0,45+0,0045+0,000045+........=n

n

−∞

=

+ + + = ⋅

∑1

2 3

1

45 45 45 45 1

100 100 100 100 100⋯

Resulta que la expresión decimal dada corresponde a una serie geométrica de

razónr = 1

100 cuyo primer término es a=0,45. Como | r |<1, la serie resulta convergente

y su suma es S=, , , .= = = =

−

0 45 0 45 0 45 100 45 5

1 99 99 99 91

100 100

• Series de términos positivos

Son las series nn

a∞

=∑

1

con an>0,∀ n∈ℕ . Observemos que en este caso, la sucesión de

sumas parciales es siempre creciente, y por lo tanto, si está acotada superiormente, es convergente; si en cambio no está acotada, es decir nn

lims→∞

= +∞

� Criterios de convergencia I.- De comparación: Sean las sucesiones { a n} n ≥1 y { b n} n ≥1. Si se cumple que o n nn N / n n : a b ,∃ ∈ ∀ ≥ ≤ ≤

00 entonces :

* nn

b∞

=∑

1

converge ⇒ nn

a∞

=∑

1

converge. (Toda serie de términos positivos que

admita una mayorante convergente, es convergente)

* nn

a∞

=∑

1

diverge ⇒ nn

b∞

=∑

1

diverge. (Toda serie de términos positivos que admita

una minorante divergente, es divergente)


142

Consecuencia: Si { a n} n ≥1 y { b n} n ≥1 son dos sucesiones de términos positivos tales

que n

nn

alím L

b→∞= > 0 se cumple que: n

n

a∞

=∑

1

converge ⇔ nn

b∞

=∑

1

converge

Ejemplos:

1. Analicemos la convergencia de n

nn

∞

=

++∑

1

5 7

7 3.

Consideremos la serie geométrica n

n

∞

=

∑1

5

7 que es convergente porque su razón es

5

7 de

módulo menor que 1.

Calculamos

n

n n n nn

n n n n n nn n n n

n

lim lim lim lim→∞ →∞ →∞ →∞

++ + + = ⋅ = ⋅ = + ⋅ = > + + +

5 7

5 7 7 5 7 7 7 17 31 1 0

37 3 5 5 7 3 55 177

Por aplicación de la consecuencia del criterio de comparación, la serie n

nn

∞

=

++∑

1

5 7

7 3

converge.

2. Llamamos serie armónica a la serie k 1

1

k

∞

=∑ . Probaremos, aplicando el criterio de

comparación que la serie armónica diverge. En efecto, la serie armónica es:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... ...2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16

+ + + + + + + + + + + + +

La comparamos con: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... ...2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16

+ + + + + + + + + + + + +

La segunda serie puede agruparse de tal forma que desde el segundo término en adelante se obtiene una serie geométrica de razón 1, es decir, divergente. Entonces si la serie armónica admite una serie minorante divergente, es divergente. 3) Se llama serie armónica generalizada o serie “p”armónica a la serie

pk 1

1

k

∞

=∑ ( )p∈ℝ . Esta serie sólo converge si p >1; en los demás casos diverge.

≥

≥

≥

1/2 1/2 1/2


143

Veamos el caso p=2

∑∞

=1n2n

1 =2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 11

2 3 4 5 6 7 8 9 10+ + + + + + + + + ⋯=

=1 1 1 1 1 1 1 1

14 9 16 25 36 49 64 81

+ + + + + + + + ⋯

= ≤ ≤ ≤

La comparamos con 1 1 1 1 1 1 1 1

14 4 16 16 16 16 64 64

+ + + + + + + + ⋯

Entonces: 1 1 1

1 2 4 84 16 64

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋯

La segunda serie puede agruparse de tal forma que se obtiene una serie geométrica de razón 1/2, es decir, convergente. Entonces si la serie p-armónica con p=2 admite una serie mayorante convergente, es convergente. II.- Criterio de D’Alembert Si { a n} n ≥1 es una sucesión de términos positivos tal que

n

nn

alím a

+

→∞=1 L , entonces: L <1 ⇒ k

k

a∞

=∑

1

converge

L >1 ⇒ kk

a∞

=∑

1

diverge

(Si L =1, el criterio no permite obtener conclusiones) III.- Criterio de Cauchy Si { a n} n ≥1 es una sucesión de términos positivos tal que

n

nnlim a

→∞= L , entonces: L <1 ⇒ k

k

a∞

=∑

1

converge

L>1 ⇒ kk

a∞

=∑

1

diverge.

(Si L=1, el criterio no permite obtener conclusiones) IV.- Criterio de Raabe (Se utiliza cuando al aplicar D’Alembert se obtiene límite 1) Si { a n} n ≥1 es una sucesión de términos positivos tal que

n

nn

alím n

a +→∞

⋅ − = 1

1 L , entonces: L >1 ⇒ kk

a∞

=∑

1

converge

L<1 ⇒ kk

a∞

=∑

1

diverge

(Si L =1, el criterio no permite obtener conclusiones)


144

V. Criterio integral de convergencia

Sea la serie kk

a∞

=∑

1

de términos positivos decrecientes, es decir tal que ak ≥ ak+1, k∀ ∈ℕ

y sea f una función continua decreciente definida de [ )1,+∞ enℝ tal que k∀ ∈ℕ ,

f(k)=ak, entonces si la integral impropia1

f (x)dx∞

∫ converge, la serie kk

a∞

=∑

1

también y

si la integral impropia diverge, la serie es divergente. Ejemplos: Analizar la convergencia de las siguientes series:

a) n

n 1

2

n!

∞

=∑

Aplicando el criterio de D´Alembert se tiene:

( )( ) ( )

n 1

n 1 n 1 nn 1

n nn n n n nn

2n 1 !a 2 n! 2 n! 2

lím lím lím lím lím 0 12a n 1 ! 2 n 1 n! n 1n!

+

+ + −+

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

+ ⋅= = ⋅ = = = <+ + ⋅ +

, por lo tanto

la serie es convergente.

b) n

n 1

e∞

−

=∑

Utilizando el criterio de Cauchy, resulta: nnnn nnn n n

1 1lím a lím e lím 1

ee

−

→∞ →∞ →∞= = = < ⇒ la

serie es convergente.

c)n 1

1

(2n 1).2n

∞

= −∑

Aplicando el criterio del cociente, se obtiene:

( )n 1

n n n nn

1 122(n 1) 1 .2(n 1)a (2n 1).2n nlím lím lím lím 1

1 1 1a (2n 1).2(n 1)2 1

(2n 1).2n n n

+

→∞ →∞ →∞ →∞

−+ − + −= = = =+ + + ⋅ + −

Como el límites es 1, el criterio no informa acerca de la convergencia. Veamos si el criterio de Raabe nos permite decidir acerca de la convergencia.


145

n

nn n n

n n n

a ( n ).(n ) ( n )(n )lím n lím n lím n

a ( n ).n n

n n n n n nlím lím límn n

n

+→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

+ + + + ⋅ − = ⋅ − = − = − −

++ + − + += = = = > ⇒− − −

1

2 2

2 1 1 2 1 11 1

2 1 2 1

14

2 3 1 2 4 12 1

12 1 2 12

También podemos aplicar en este caso, el criterio integral.

En efecto, deberemos analizar la convergencia de 1

dx

(2x 1).2x

∞

−∫

Para buscar la primitiva, aplicamos el método de reducción a fracciones simples:

1A x Bx

1 1 1 1 A B 1 211 1(2x 1).2x 4 4 x 4xx. x x. x22 2

− + = = + = − −− −

Para que se verifique la igualdad, debe ser:

11 A x Bx

2

= − + . Si hacemos

1x

2= se tiene: B=2 y con x = 0, se obtiene A= -2

Entonces:

dx 1 2dx 2dx 1 1 1 2xln x ln x C ln C

1(2x 1).2x 4 x 2 2 2 2x 1x2

− = + = − − + + = + − − −

∫ ∫ ∫

Por lo tanto:

1

dx

(2x 1).2x

∞

−∫ =b b

1

0

1 2b 1 1 2b 1 1lím ln ln 2 ln lím ln 2 ln 2

2 2b 1 2 2 2b 1 2 2→+∞ →+∞

− = −− =− − −��

(converge)

Entonces la serie resulta convergente.

• Series alternadas.

Son de la forma kk

k

( ) a∞

=−∑

1

1 con ak ≥ 0

Criterio de Leibniz para la convergencia de series alternadas

Si { a n} n ≥1 es una sucesión decreciente de términos no negativos tal

que nnlim a

→∞= 0 , entonces la serie alternada k

kk

( ) a∞

=

−∑1

1 es convergente.

la serie converge.


146

Ejemplo:

Consideremos la serie n

n 1

( 1)

n

∞

=

−∑ .

Analicemos si se cumplen las condiciones del criterio de Leibniz.

� La sucesión ( )n n 1a

≥ con n

1a

n= ¿es decreciente?

En efecto:

n n 1

1 1n n 1 a a

n n 1 +< + ⇒ > ⇒ > ⇒+

la sucesión es decreciente.

� Además, también se cumple que n

1lím 0

n→∞= .

Por lo tanto la serie n

n 1

( 1)

n

∞

=

−∑ converge según el criterio de Leibniz.

• Series de términos cualesquiera. Convergencia absoluta.

nn

a∞

=∑

1

es absolutamente convergente si y sólo si ann=

∞∑

1 es convergente.

Si la serie converge, pero la serie de los módulos diverge, se dice que la serie es condicionalmente convergente. Ejemplos:

1) Volvamos a considerar la serie del ejemplo anterior: n

n 1

( 1)

n

∞

=

−∑ .

Vimos que según Leibniz, converge. Sin embargo como la correspondiente serie de

los valores absolutos n 1

1

n

∞

=∑ , diverge por ser la serie armónica , diremos que

n

n 1

( 1)

n

∞

=

−∑ es condicionalmente convergente.

2) Analicemos la convergencia de: n 1

1n

n 1( 1)

3n 1+

∞

=

+−+∑


147

Esta serie diverge porque n n n

n 1 11n 1 1n nlím lím lím 0

3n 1 13n 1 33n n

→∞ →∞ →∞

+ ++ = = = ≠++ +. ( No cumple la

condición necesaria de convergencia).

3) Por último, estudiemos la convergencia de la serie n 1 n

n 1

( 1) .e∞

+ −

=−∑

La serie de los módulos es n

n 1

e∞

−

=∑ . Se trata de una serie geométrica de razón

1r 1

e= < ,

por lo tanto converge. Es decir la serie converge absolutamente ya que la serie de los módulos es convergente. • Propiedades: � Toda serie absolutamente convergente es convergente.

� Si nn

a∞

=∑

1

es condicionalmente convergente, ∀α∈R, es posible encontrar un

reordenamiento { bn } de { an } tal que nn

b∞

=∑

1

converge a α.

(Para las series condicionalmente convergentes, no vale la propiedad conmutativa)

Análisis Matemático I: Series de potencias

148

I.- SUCESIÓN DE FUNCIONES

I.1Definición: Sea A[x] = { f / f:A →ℝ es función con A⊆ R}, se llama sucesión de funciones a toda función s: ℕ→ A[x].

Como las sucesiones numéricas , las de funciones quedan caracterizadas por su conjunto imagen. Ejemplo: s: N→ ℝ [x] / s(n)= fn(x)= xn . El conjunto imagen es:{x , x2 ,...., xn,....} Notación: (fn )n≥1 = xn Para cada valor de x , la sucesión de funciones se transforma en una sucesión numérica que puede o no converger.

I.2.- Definición: Dada la sucesión de funciones (fn )n≥1, de A en ℝ ( con A⊆ℝ ), se dice que la sucesión

converge puntualmente a una cierta función f:B→ℝ (con B⊆A) si y sólo si, para cada

x∈ B se verifica que )x(f)x(flím nn

=∞→

.

Notación : fn→f, ∀x ∈B (si B=A, se indica sólo fn→f ) En el ejemplo: ♦ Si x ≤ -1 ∨ x > 1, las sucesiones numéricas que se obtienen divergen.

♦ Si -1<x < 1, las sucesiones numéricas que se obtienen convergen a 0.

♦ Si x = 1, fn(1)=1n = 1, ∀n ∈N.

Entonces fn converge puntualmente a f:(-1,1]→R/ f xsi x

si x( ) =

− < <=

0 1 1

1 1

Observación: Cuando se analiza convergencia puntual, se exige que: dado ε>0, para cada x ∈A, existe no(ε) ∈ℕ tal que para todo n ≥ no se cumple que |fn(x)- f(x)|< ε . La expresión remarcada nos indica que, en realidad n0 depende de ε y del valor de x considerado.


149

I.3.-Definición : Dada la sucesión de funciones (fn )n≥1, de A en ℝ ( con A⊆ℝ ), se dice que la sucesión

converge uniformemente a una cierta función f:B→ℝ (con B⊆A) si y sólo si se

verifica que para cualquier ε>0, existe no(ε) ∈N tal que si x∈B y n ≥ no , entonces

|fn(x)-f(x)|< ε.

Obsérvese que en este caso el valor de n para un ε dado es el mismo, independiente-

mente del valor de x que se considere.

En el gráfico que sigue puede verse que la sucesión del ejemplo no converge

uniformemente en (-1,1] ya que para ε= 0,5 (rectángulo) no se verifica que,

Independientemente del valor de x, exista n0/ n ≥ n0⇒|fn(x)- f(x)|< ε.

Otro ejemplo:

Consideremos A=ℝ y (fn )n≥1/ fn(x)=12n

nxsen( ).

Como: |fn(x)|= 12n

nxsen( ) =12n

nx⋅ sen( ) ≤12n

, resulta que si se toma n0<1

ε, se

cumple que:

∀ n ≥ n0: 1 1 1 12 2

02

02n

nxn

nxn n

⋅ = ⋅ ≤ ≤ <sen( ) sen( ) ε

•y

x

ε

- ε

f1

f2

f3 f4

f


150

Resulta que: dado ε>0, ∃n0<1

ε/ ∀ n : [n≥ n0 ⇒ f xn( ) − <0 ε ] ⇒

fn converge uniformemente a f.

I.4.-Propiedades de las sucesiones uniformemente convergentes I.4.1.- Si una sucesión converge uniformemente, entonces converge puntualmente.

I.4..2.- Sea (fn)n≥1 una sucesión de funciones integrables en [a,b] que converge uniformemente a una función f , también integrable sobre [a,b].

Entonces: ∫ ∫ ⋅=⋅∞→

b

a

b

an

ndx)x(fdx)x(flím .

I.4.3.- Sea (fn)n≥1 una sucesión de funciones continuas en (a,b) que converge uniformemente a una función f . Entonces f es continua en (a,b). I.4.4.- Sea (fn)n≥1 una sucesión de funciones con derivada continua en (a,b) que converge puntualmente a una función f . Si (f ’n)n≥1 converge uniformemente a una función continua g , entonces f es derivable en (a,b) y f ’ (x) = )x('flím n

n ∞→= g(x).

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

f1

f2

f3 f4

y

x

Puede verse que para n>1, |fn -0|<ε, independientemente del valor de x considerado.

ε

ε


151

II.- SERIES DE FUNCIONES

II.1.- Definición Dada la sucesión de funciones (fn)n≥1, definidas de A en ℝ (con A⊆ℝ ) ,

llamaremos serie de funciones y anotaremos fnn=

∞∑

1

, a la sucesión de sumas parciales

(Sk ) k ≥1 , siendo Sk(x) = f xnn

k

( )=∑

1

.

Si la sucesión de sumas parciales converge puntual o uniformemente a una función f en A, diremos que la serie de funciones converge puntual o uniformemente , respectivamente, a f en A.

II.2.- Propiedades de las series uniformemente convergentes.

Sea fnn=

∞∑

1

uniformemente convergente hacia f en [a,b]

II.2.1.- Entonces fnn=

∞∑

1

converge puntualmente a f en [a,b].

II.2.2.- Si cada fn ( con n≥1) es continua en [a,b], entonces f es continua en [a,b]. = II.2.3.- Si f y cada fn ( con n≥1) son integrables en [a,b], entonces:

f x dxa

b( ) ⋅∫ = f x dxn

na

b( ).

=

∞∑∫

1

= f x dxna

b

n

( ) ⋅∫∑=

∞

1

.

II.2.4.- Si f xnn

( )=

∞∑

1

converge puntualmente en (a,b) a una función f y además la serie

f xnn

' ( )=

∞∑

1

converge uniformemente a una función h continua en (a,b) , entonces f es

derivable en (a,b) y f ’ (x) = h(x) , o sea f ‘(x)= f xnn

' ( )=

∞∑

1

.

II.3.- Prueba M de Weierstrass Sean ( fn ) n ≥1 una sucesión de funciones definidas sobre A y (Mn ) n ≥1 una sucesión de números reales tales que :| fn (x) | ≤ M n ,∀ x ∈ A.

Si M nn=

∞∑

1

converge , entonces ∀ x ∈ A f xnn

( )=

∞∑

1

converge absoluta y uniformemente a

una función f (x) definida en A.


152

III.- SERIES DE POTENCIAS

III.1.- Definición: Se llama serie de potencias a toda serie de funciones en la que cada fn es de la

forma: f x a x xn n on( ) ( )= ⋅ − con an∈ ℝ , ∀n.

Como mediante una sustitución adecuada todas pueden llevarse a la forma a xnn

n=

∞∑

1

, nos

limitaremos a estudiar éstas. III.2.- Lema de Abel

Sea x0 ∈ ℝ - { 0} / la serie a xnn

n0

1=

∞∑ resulte convergente. Entonces:

∀ r: 0 < r < |x0 |, la serie a xnn

n=

∞∑

1

converge absoluta y uniformemente en [-r, r]

III.3.- Radio de convergencia

III.3.2.- Cálculo del radio de convergencia

Sea a xnn

n=

∞∑

1

, si existe l = líma

an

n

n→∞+1 ≠ 0 ó l = lím

n→∞an

n ≠ ⇒ =01

Rl.

III.3.3.- Intervalo de convergencia

Sea a xnn

n=

∞∑

1

:

a) Si límaan

n

n→∞+ = ∞1 ó lím

n→∞an

n = ∞ , R= 0 ⇒ a xnn

n=

∞∑

1

sólo converge para x = 0.

b) Si l = 0, la serie converge ∀ x y el radio de convergencia es infinito.

III.3.1.Definición:

Consideremos la serie de potencias a xnn

n=

∞∑

1

, se llama radio de convergencia de

la misma al número real R definido como:

R= supremo { r ∈ R0+/ a xn

n

n=

∞∑

1

converge en [-r,r] } ( R puede ser 0 o infinito).


153

c) Si existe R finito / R ≠ 0, a xnn

n=

∞∑

1

converge absolutamente en (-R,R) y debe

analizarse la convergencia en x = R y en x = - R. Si converge absolutamente en uno de los extremos, también converge absolutamente en el otro. Si en uno de los extremos diverge y en el otro converge, en este último la convergencia será condicional. Por lo tanto, según lo que resulte en el análisis que se haga en los extremos, el intervalo de convergencia puede ser: (-R,R) , [-R,R], ( -R, R] ó [-R, R )

Además a xnn

n=

∞∑

1

converge uniformemente en [-R+ ε , R - ε ], ∀ ε > 0.

Ejemplos

1) Determinar el intervalo de convergencia de ( )n nn

n 1

n1 x

2

∞

=

−∑

Calculamosn

n 1n 1

n

a n 1 2 1 11

a 2 n 2 n+

+

+ = ⋅ = + , entonces:

n 1

n nn

a 1 1 1lim lim 1 R 2

a 2 n 2+

→∞ →∞

= + = ⇒ =

La serie es absolutamente convergente en (-2,2) Analizamos la convergencia en los extremos del intervalo:

Para x = -2, se tiene la serie( ) ( ) ( ) ( )n n n n nn n

n 1 n 1 n 1

n n1 2 1 1 2 n

2 2

∞ ∞ ∞

= = =

− − = − − =∑ ∑ ∑

Para x= 2, se tiene la serie( ) ( )n nnn

n 1 n 1

n1 2 1 n

2

∞ ∞

= =

− = −∑ ∑

Ninguna de las dos series convergen porque no cumplen la condición necesaria de convergencia , es decir el límite de sus términos generales no tiende a 0. Por lo tanto el intervalo de convergencia es (-2,2). Se trabaja de manera similar para series escritas en potencias de (x-x0) con x0≠0.

2) Determinar el intervalo de convergencia de ( )n2n 2n 1

n 3x 1

3 n

∞

=

+−∑

Calculamos( )

22n 2n 1

22(n 1)n

a n 4 3 .n 1 1 11 1

a n 3 9 n 3 n 13 n 1+

+

+ = ⋅ = + − + + ++, entonces:


154

2

n 1

n nn

a 1 1 1 1lim lim 1 1

a 9 n 3 n 1 9+

→∞ →∞

= + − = + +R 9⇒ =

La serie converge absolutamente para x 1 9 8 x 10− < ⇒− < <

Analizamos la convergencia en los extremos:

Para x=10, se tiene: ( )n 2n2n 2 2n 2 2

n 1 n 1 n 1

n 3 n 3 n 310 1 3

3 n 3 n n

∞ ∞ ∞

= = =

+ + +− = =∑ ∑ ∑ (serie de términos

positivos)

Como n : n 3 n∀ ∈ + >ℕ , se tiene:2 2 2

n 3 n n 3 1

n n n n

+ +> ⇒ > , es decir la serie de

términos positivos que se obtiene para x=10 tiene todos sus términos mayores que los términos de la serie armónica. Como ésta es divergente, por el criterio de comparación,

resulta 2

n 1

n 3

n

∞

=

+∑ divergente

Para x= -8, la serie que se obtiene es:

( )n n 2n n2n 2 2n 2 2

n 1 n 1 n 1

n 3 n 3 n 38 1 ( 1) .3 ( 1)

3 n 3 n n

∞ ∞ ∞

= = =

+ + +− − = − = −∑ ∑ ∑ (serie alternada)

Como la serie de los módulos es la misma que analizamos para x =10, la serie no es absolutamente convergente. Para ver si es condicionalmente convergente, veamos si se cumple el criterio de Leibniz

� n 2 2n n n

n 3 1 3lim a lim lim 0

n n n→∞ →∞ →∞

+ = = + =

� ( )n n 1 22

n 3 n 4a ;a

n n 1+

+ += =

+, debemos ver si n 1 na a+ <

Analizamos el signo de n 1 na a+ −

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )

( )

22

n 1 n 2 22 2

3 2 2 3 2 3 2 2

n 1 n 2 22 2

2

n 1 n n 1 n22

n (n 4) n 1 n 3n 4 n 3a a

nn 1 n n 1

n 4n n 2n 1 n 3 n 4n n 3n 2n 6n n 3a a

n n 1 n n 1

n 7n 3a a 0, n n : a a

n n 1

+

+

+ +

+ − + ++ +− = − = ⇒

+ +

+ − + + + + − − − − − −− = = ⇒

+ +

− − −− = < ∀ ∈ ⇒ ∀ ∈ <

+ℕ ℕ

Como el término general tiende a 0 y la sucesión de los módulos es decreciente, la serie cumple el criterio de Leibniz y resulta condicionalmente convergente.

Entonces el intervalo de convergencia de ( )n2n 2n 1

n 3x 1

3 n

∞

=

+−∑ es [-8,10)


155

IV.- SERIES DE TAYLOR

IV.1.- Definición Sea f una función indefinidamente derivable. Se llama serie de Taylor asociada a f a la

serie f x x x

i

io o

i

i

( )( ) ( )

!

⋅ −

=

∞∑

1

obtenida a partir del desarrollo de Taylor de f en un

entorno del punto x0.

La condición necesaria y suficiente para que una función f sea igual a su serie de Taylor asociada en x0, es que el término complementario de Taylor tienda a cero cuando n →∞.

Es decir: n

nnlím

f c

nx x

→∞

++

+⋅ − =

( )( )

( )!( )

1

01

10.

Ejemplos 1)La fórmula de Mac Laurin aplicada a f(x)=ex , nos permite escribir:

( )

2 3 n 1 cxx n

n n

x x x ee 1 x T (x) ;con T (x) x ,0 c 1

2! 3! n 1 ! n!

−

= + + + + + + = < <−

⋯

Se puede probar que para cada valor de x, existe n0∈ℕ ,tal que si n>n0, se cumple n! > xn, entonces, para cada valor de x, Tn(x)→0, cuando n→∞.

es decir, la serie n

n 1

x

n!

∞

=∑ converge a f(x)=ex. Para encontrar el intervalo de convergencia,

calculamos( )

( )n n n

1n 1 ! n! 1

lim lim lim 01 n 1 ! n 1n!

→∞ →∞ →∞

+= = =

+ +, entonces podemos asegurar que

la serie n

n 1

x

n!

∞

=∑ converge a f(x)=ex , x∀ ∈ℝ

2) La fórmula de Mac Laurin aplicada a g(x)= cos x, nos permite escribir:

cos x= ( )( )

2 4 6 2(n 1)n 1

2n 1

x x x x1 1 T

2! 4! 6! 2(n 1) !

−−

−− + − + + − +−

… , donde

( )( )

n

2n 12n 1

1 sen(cx)T (x) x ,0 c 1

2n 1 !−

−

−= < <

−


156

Como sen(cx) 1, x≤ ∀ , el término complementario tiende a 0 por la misma razón que

en el caso anterior, para cada valor de x.

Además: ( )

( )

( )( )n n n

12n ! 2n 2 ! 1

lim lim lim 01 2n ! 2n(2n 1)

2(n 1) !

→∞ →∞ →∞

−= = =

−−

Entonces, ( )( )

2n 2n 1

n 1

xx : cos(x) 1

2n 2 !

−∞−

=

∀ ∈ = −−∑ℝ

V. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS En su intervalo de convergencia, las series de potencias son derivables e integrables término a término. Ejemplos

1. En el apartado anterior, se vio que ( )( )

2n 2n 1

n 1

xx : cos(x) 1

2n 2 !

−∞−

=

∀ ∈ = −−∑ℝ .

Por derivación se puede obtener el desarrollo en serie de sen(x). En efecto:

( )'2 4 6 8

3 5 7

3 5 7

x x x xcos(x) ' 1

2! 4! 6! 8!

2x 4x 6x 8xsen(x) 0

2! 4! 6! 8!

x x xsen(x) x

3! 5! 7!

= − + − + − ⇒

− = − + − + − ⇒

= − + − +

⋯

⋯

⋯

Entonces resulta que ( )

n 12n 1

n 1

( 1)x : sen(x) x

2n 1 !

+∞−

=

−∀ ∈ =

−∑ℝ

1. Sea la serie ( )n n

n 0

1 x∞

=

−∑ , como se trata de una serie geométrica de razón "-x",

converge a 1

f (x)1 x=+

para ( )x 1,1∈ −


157

Entonces ( )x 1,1∀ ∈ − , vale:

( ) � ( ) ( )n 1x x n nn

0 0 0n 0 n 0

1 xdx 1 x dx ln 1 x ln1 1 0, x 1,1

1 x n 1

+∞ ∞

= =

= − ⇒ + − = − − ∀ ∈ −+ +∑ ∑∫ ∫

Como en (-1,1), se cumple: ln|1+ x|= ln(1+x), vale:

( ) ( ) ( )n 1

n

n 0

xln 1 x 1 , x 1,1

n 1

+∞

=

+ = − ∀ ∈ −+∑ .

2.La serie ( )n 2n

n 0

1 x∞

=

−∑ es geométrica de razón "-x2", entonces , para x 1< , la serie

converge a 2

1g(x)

1 x=+

.

Entonces en el intervalo (-1,1):

( ) ( ) ( )2n 1x x n n2n

20 0n 0 n 00

dx x1 x dx arctg(x) arctg0 1 0, x 1,1

1 x 2n 1

+∞ ∞

= =

= − ⇒ − = − − ∀ ∈ −+ +∑ ∑∫ ∫ ��

,

de donde: ( )2n 1

n

n 0

xx ( 1,1) : arctg(x) 1

2n 1

+∞

=

∀ ∈ − = −+∑

Breviario de Análisis Matemático I UTN

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