Universidad de Magallanes Facultad de IngenieraDepartamento de Ingeniera Elctrica

PRINCIPIOS DE LOGICA COMBINATORIA

INTRODUCCINLos sistemas digitales combinatorios son aquellos cuyas salidas slo dependen de las entradas actuales. Los circuitos de este tipo no pueden tener lazos de retroalimentacin. En anlisis de circuitos combinacionales, se empieza con un diagrama lgico y se obtiene una descripcin formal de la funcin realizada por el circuito, ya sea una tabla de verdad o una expresin lgica. En la sntesis, se comienza con una descripcin formal y se termina con un diagrama lgico. El diseo es una estrategia para resolver un problema por medio de la sntesis.

lgebra de Boole El lgebra booleana es la teora matemtica que se aplica en la lgica combinatoria. Las variables booleanas son smbolos utilizados para representar magnitudes lgicas y pueden tener slo dos valores posibles: 1 (valor alto) 0 (valor bajo).

Operaciones Booleanas y Compuertas Bsicas Las operaciones boolenas son posibles a travs de los operadores binarios negacin, suma y multiplicacin, es decir que estos combinan dos o ms variables para conformar funciones lgicas. Una compuerta es un circuito til para realizar las operaciones anteriormente mencionadas.

Inversin o negacin (complemento)Esta operacin se indica con una barra sobre la variable o por medio de un apstrofe en el lado superior derecho de la variable, en este curso emplearemos esta ltima notacin. El apstrofe () es un operador algebraico que invierte el valor de una variable, es decir, si X denota la seal de entrada de un inversor, entonces X representa el complemento de tal seal.

Ejemplo

S X = 0 entonces X = 1.

En la tabla de verdad 2.1.1. se muestra el resultado de la inversin lgica.

Ecuacin Entrada A Salida B

B=A0 11 0

Tabla 2.1.1. Tabla de verdad del inversor

El smbolo lgico de la negacin booleana se representa en la figura 2.1.1.

Figura 2.1.1. Inversor.

Sistemas Digitales: Lgica Combinatoria I 1

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Suma booleanaLa representacin matemtica de una suma booleana de dos variables se hace por medio un signo ms entre las dos variables.

Ejemplo

La suma booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma,

X = A + B

La suma booleana es 1 si alguna de las variables lgicas de la suma es 1 y es 0 cuando todas las variables son 0. Esta operacin se asimila a la conexin paralela de contactos.

La tabla de verdad de la suma se muestra en la tabla 2.1.2.

Entrada A Entrada B Salida X0 0 00 1 11 0 11 1 1

Tabla 2.1.2.Tabla de Verdad de la funcin OR

En circuitos digitales, el equivalente de la suma booleana es la operacin OR y su smbolo lgico se representa en la figura 2.1.2.

Figura 2.1.2. Smbolo lgico para la compuerta OR.

Con la correspondiente ecuacin X= A + B.

El inverso de la funcin OR es la funcin NOR. La tabla de verdad se muestra en la tabla 2.1.3.

Entrada A Entrada B Salida X0 0 10 1 01 0 01 1 0

Tabla 2.1.3.Tabla de verdad de la funcin NOR

El smbolo lgico de la compuerta NOR se representa en la figura 2.1.3.

Figura 2.1.3. Smbolo lgico para la compuerta NOR

Con la correspondiente ecuacin X= (A+B)

La suma booleana difiere de la suma binaria cuando se suman dos unos. En la suma booleana no existe acarreo.

Multiplicacin booleanaLa representacin matemtica de una multiplicacin booleana de dos variables se hace por medio un signo punto () entre las dos variables.

La multiplicacin booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma,

X = A B

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La multiplicacin booleana es 1 si todas las variables lgicas son 1, pero si alguna es 0, el resultado es 0. La multiplicacin booleana se asimila a la conexin serie de contactos.

La tabla de verdad de la multiplicacin booleana se muestra en la tabla 2.1.4.

Entrada A Entrada B Salida X0 0 00 1 01 0 01 1 1

Tabla 2.1.4. Tabla de verdad de la funcin AND

En circuitos digitales, el equivalente de la multiplicacin booleana es la operacin AND y su smbolo se representa en la figura 2.1.4.

Figura 2.1.4. Smbolo lgico de la funcin AND

con la correspondiente ecuacin X= AB

El inverso de la funcin AND es la funcin NAND. La tabla de verdad se muestra la tabla 2.1.5.

Entrada A Entrada B Salida X0 0 10 1 11 0 11 1 0

Tabla 2.1.5.Tabla de verdad de la funcin NAND

El smbolo lgico de la compuerta NAND se representa en la figura 2.1.5.

Tabla 2.1.5. Smbolo lgico de la funcin NAND

Con la correspondiente ecuacin X = (AB)

La Figura 2.1.1 muestra las compuertas ms importantes.

Figura 2.1.1. Compuertas Bsicas

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Propiedades de las Operaciones BooleanasLas operaciones booleanas estn regidas por tres leyes similares a las del lgebra convencional. Estas incluyen las leyes conmutativas de la suma y la multiplicacin y la ley distributiva.

Leyes conmutativas en dos variables

Ley conmutativa de la suma se enuncia como sigue

X + Y = Y + X

En aplicacin a los circuitos digitales, se puede decir que no importa el orden de conexin de las entradas a una compuerta OR.

Ley conmutativa de la multiplicacin

XY = Y X

En aplicacin a los circuitos digitales, se puede decir que no importa el orden de conexin de las entradas a una compuerta AND.

Leyes asociativas en tres variables

Ley asociativa de la adicin, se escribe en forma algebraica de la siguiente forma

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

En la figura 2.1.6 se muestra la aplicacin de la propiedad a las compuertas OR,

Figura 2.1.6. Ley asociativa de la adicin

Ley asociativa de la multiplicacin

A( B C) = ( AB ) C

En la figura 2.1.7 se muestra la aplicacin de la propiedad a las compuertas AND,

Figura 2.1.7. Ley asociativa de la multiplicacin

Ley distributiva para tres variables

En el lgebra de Boole, la multiplicacin lgica se distribuye sobre la suma lgica,

A( B + C ) = AB + AC

En la figura 2.1.8 se muestra la aplicacin de la propiedad a las compuertas AND y OR,

Figura 2.1.8. Ley distributiva para tres variables

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PRINCIPIOS DE LOGICA COMBINATORIAINTRODUCCINlgebra de Boole Operaciones Booleanas y Compuertas Bsicas Inversin o negacin (complemento)Suma booleanaMultiplicacin booleanaPropiedades de las Operaciones Booleanas