Capitulo 4 Teoria General de La Flexion Analisis de Deformaciones

Tema 4 – Teoría general de la flexión. Análisis de deformaciones.

1

Apuntes de la asignatura

Elasticidad y Resistencia de Materiales II

José María García Terán (PTEU)

Departamento de Construcciones Arquitectónicas, Ingeniería del Terreno, Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

Tema 4- Teoría general de la flexión.

Análisis de deformaciones.


2

Indice:

4.1.- Introducción. ..........................................................................................................................2

4.2.- Método de la doble integración. Ecuación de la línea elástica. .............................................3 4.2.1. Conceptos fundamentales..................................................................................................3 4.2.2. Ecuación de la deformada. ................................................................................................4 4.2.3. Ecuación universal de la deformada de una viga de rigidez constante. ............................5

4.3.- Teoremas de Mohr. ................................................................................................................8 4.3.1. Primer teorema de Mohr....................................................................................................8 4.3.2. Segundo teorema de Mohr. ...............................................................................................9

4.4.- Teorema de la viga conjugada..............................................................................................10

4.5.- Potencial interno de un prisma sometido a flexión simple. Sección reducida. ....................13

4.6.- Deformación por esfuerzo cortante......................................................................................14

4.7.- Método de Mohr para el cálculo de deformaciones. ............................................................15 4.7.1. Método de la multiplicación de gráficos. ........................................................................17

4.8.- Deformaciones a flexión de una viga por efecto de gradiente de temperatura. ...................18

4.9.- Flexión simple de vigas producida por impacto. .................................................................20

4.10.- Vigas de sección variable sometida a flexión simple...........................................................22 4.10.1.Vigas de igual resistencia................................................................................................23

4.10.1.1. Viga volada de altura constante y anchura variable, con carga puntual en el extremo libre. .........................................................................................................24

4.10.1.2. Viga en voladizo con altura variable y ancho constante, sometida a carga uniformemente repartida. .......................................................................................27

4.10.1.3. Viga en voladizo con altura variable y ancho constante, sometida a carga puntual en el extremo libre. ...................................................................................30

4.11.- Resortes de flexión...............................................................................................................33

4.1.- Introducción.

Mientras que el capítulo anterior estuvo dedicado al estudio de tensiones en flexión por lo tanto de la resistencia de las vigas, este capítulo se dedica al estudio de las deformaciones o rigidez. Este estudio es importante ya que el diseño de elementos de máquinas o estructuras viene en muchos casos determinado más por esta característica que por su resistencia. Por eso, en las normas de los países se fijan las deformaciones máximas o admisibles que pueden presentarse en distintos elementos.

Esto hace que en algunos casos se diseñe los sistemas mecánicos mediante criterios de rigidez (teniendo en cuenta las deformaciones admisibles), y posteriormente se compruebe su resistencia (que las tensiones máximas sean también inferiores a las admisibles).


3

4.2.- Método de la doble integración. Ecuación de la línea elástica.

4.2.1. Conceptos fundamentales.

• Inicialmente se considerará un prisma recto de sección constante, y el estudio se realizará respecto de ejes principales de inercia que pasan por el centro de gravedad de la sección. Se considerará que las cargas se producen sobre algún eje principal de inercia.

• Se define como superficie neutra la generada por los ejes neutros de todas las secciones de la viga. Esta superficie varía de forma debido a la acción de las fuerzas exteriores, pero no varía de longitud, ya que no está sometida a tensión normal.

• La intersección de la superficie neutra con el plano de carga determina la deformada de la línea media del prisma, denominada línea elástica.

• Para estudiar la deformada de la pieza prismática se considerará la ecuación de la línea elástica referida al sistema cartesiano ortonormal principal de inercia, cuyo eje x coincide con la configuración indeformada y el eje y (principal de inercia) se considera vertical, con sentido positivo hacia arriba.

• Para el caso de cargas verticales, que será el único que se considerará en este tema, se supondrá despreciable el desplazamiento en la dirección longitudinal (x) frente al desplazamiento vertical (y).

Lo anterior indica que la deformación de la línea neutra de una sección C estará definida por las siguientes magnitudes:

• yc desplazamiento perpendicular al eje longitudinal. Positivo en el sentido positivo del eje, y negativo en el contrario.

• θc ángulo girado por la sección, coincidente con el ángulo de la tangente de la elástica con el eje x. Positivo en sentido antihorario.


4

4.2.2. Ecuación de la deformada.

Para determinar la ecuación de la línea elástica se considera una rebanada de longitud ds, donde el ángulo que forman las secciones después de la deformación es dθ y el radio de curvatura de la línea media ρ.

La expresión de la curvatura de flexión para una trayectoria plana es,

( ) 232y1

y1

′+

′′=

ρ

donde:

dxd

dxydy

dxdyy 2

2 θθ ==′′==′

Recordando la expresión de la curvatura de flexión, obtenida a partir de tomar momentos en una rebanada,

z

z

z2

xF

Fz

IEM1

IEdyEdyM

MM

=⇒

=

−−=−=

=

∫∫∑

ρρ

Ωρ

ΩσΩΩ

se obtiene la expresión,

( )( ) 2

2

232z

z

z

z

232

dxydy

y1

yIE

M

IEM1

y1

y1

=′′≈′+

′′=⇒

=

′+

′′=

ρ

ρ

en la que para pequeñas deformaciones se desprecia el valor de 2y′ frente a la unidad del denominador, luego la ecuación diferencial de la deformada es,

z

z2

2

IEM

dxyd=

con el criterio de signos indicado en las figuras.

siendo el producto EIz la rigidez a flexión.


5

x

P

a1

My

Tz

x

M

a1

My

Tz

Mediante una doble integración se obtiene la expresión de la deformada de la línea neutra y=y(x). En cada proceso de integración aparecerá una constante que se deberá determinar a partir de las condiciones de contorno.

( )

( ) o221z

z1

z

z

o11z

z

z

z2

2

y0xyCconCdxCdxIE

MyCdxIE

Mdxdyy

0xCconCdxIE

MyIE

Mdxd

dxydy

ydxdy

dxdy

dxd

dx

ydy

===+

+=⇒+==′

===+==′⇒==′

=′′⇒

=′=

==′′

∫ ∫∫

∫ θθθθ

θ

La máxima deformación de una viga (que algunos autores denominan flecha) puede aparecer en alguno de sus extremos volados o en un punto dentro del dominio de la viga.

Para la obtención del máximo valor de la deformada en un punto del dominio de la viga se ha de determinar la cota x en la que se anula el giro ( )0x =θ , y sustituir su valor en la ecuación de la deformada

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0xyy0x0dx

xdyxyxy .max.max ==⇒=⇒==′=⇒ θθθ

4.2.3. Ecuación universal de la deformada de una viga de rigidez constante.

Si se considera el caso de una viga que tenga n campos de carga, es necesario obtener dos constantes de integración en cada uno de los campos. Para disminuir esta dificultad se busca una ecuación universal en la que independientemente del número de campos de carga que existan en la viga, sea preciso determinar sólo dos constantes de integración. Esto se logra con las funciones de discontinuidad o de Macaulay.

Las expresiones de giro y flecha correspondiente a cada una de las distintas cargas son:

Momento puntual:

( )

21z

1z

01y

ax2MyEI

axMEI

MaxMxM

>−<−=

>−<−=

−=>−<−=

θ

Carga puntual:

( )

31z

21z

1y

ax!3

PyEI

ax!2

PEI

axPxM

>−<−=

>−<−=

>−<−=

θ


6

x

q

a1 a2

My

Tz

x

q

a1 a2

My

Tz

x

q

a1 a2

My

Tz

x

q1

a1 a2

My

Tz

q2

Carga uniforme:

( )

>−<−

>−<−=

>−<−

>−<−=

>−<−

>−<−=

!4ax

!4axqyEI

!3ax

!3axqEI

2ax

2axqxM

42

41

z

32

31

z

22

21

y

θ

Carga triangular creciente:

( )

!4axq

!5ax

!5ax

aaqyEI

!3axq

!4ax

!4ax

aaqEI

2axq

!3ax

!3ax

aaqxM

42

52

51

12z

32

42

41

12z

22

32

31

12y

>−<+

>−<−

>−<−

−=

>−<+

>−<−

>−<−

−=

>−<+

>−<−

>−<−

−=

θ

A partir del análisis de estas cargas simples se pueden determinar el giro y la deformada para cargas más complejas a partir de su superposición.

Carga triangular decreciente:

( )

>−<−

>−<−

+>−<

−=

>−<−

>−<−

+>−<

−=

>−<−

>−<−

+>−<

−=

!5ax

!5ax

aaq

!4axqyEI

!4ax

!4ax

aaq

!3axqEI

!3ax

!3ax

aaq

2axqxM

52

51

12

41

z

42

41

12

31

z

32

31

12

21

y

θ

Carga trapecial creciente:

( )

!4ax

q!5ax

!5ax

aaqq

!4ax

qyEI

!3ax

q!4ax

!4ax

aaqq

!3ax

qEI

2ax

q!3ax

!3ax

aaqq

2ax

qxM

42

2

52

51

12

124

11z

32

2

42

41

12

123

11z

22

2

32

31

12

122

11y

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

θ


7

x

q1

a1 a2

My

Tz

q2

Carga trapecial decreciente:

( )

!4ax

q!5

ax!5ax

aaqq

!4ax

qyEI

!3ax

q!4

ax!4ax

aaqq

!3ax

qEI

2ax

q!3ax

!3ax

aaqq

2ax

qxM

42

2

52

51

12

124

11z

32

2

42

41

12

123

11z

22

2

32

31

12

122

11y

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

θ

El estado de carga trapecial creciente permite obtener cualquier otro estado de carga repartida sin más que modificar sus parámetros:

Carga uniforme: q1 = q2 = q

( ) ( )

>−<+

>−<−=

>−<+

>−<−=

>−<+

>−<−=

⇒

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

!4ax

q!4ax

qyEI

!3ax

q!3ax

qEI

2ax

q2ax

qxM

!4ax

q!5ax

!5ax

aaqq

!4ax

qyEI

!3ax

q!4ax

!4ax

aaqq

!3ax

qEI

2ax

q6ax

6ax

aaqq

2ax

qxM

42

41

z

32

31

z

22

21

y

42

2

52

51

12

124

11z

32

2

32

41

12

123

11z

22

2

32

31

12

122

11y

θθ

Carga triangular creciente: q1 = 0, q2 = q

( ) ( )

>−<+

>−<−

>−<−

−=

>−<+

>−<−

>−<−

−=

>−<+

>−<−

>−<−

−=

⇒

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

!4ax

q!5ax

!5ax

aaq

yEI

!3ax

q!4ax

!4ax

aaq

EI

2ax

q6ax

6ax

aaqxM

!4ax

q!5ax

!5ax

aaqq

!4ax

qyEI

!3ax

q!4ax

!4ax

aaqq

!3ax

qEI

2ax

q6ax

6ax

aaqq

2ax

qxM

42

52

51

12

2z

32

32

41

12

2z

22

32

31

12y

42

2

52

51

12

124

11z

32

2

32

41

12

123

11z

22

2

32

31

12

122

11y

θθ

Carga triangular decreciente: q1 = q, q2 = 0

( ) ( )

>−<−

>−<−

+>−<

−=

>−<−

>−<−

+>−<

−=

>−<−

>−<−

+>−<

−=

⇒

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

>−<+

>−<−

>−<−−

−>−<

−=

!5ax

!5ax

aaq

!4ax

qyEI

!4ax

!4ax

aaq

!3ax

qEI

6ax

6ax

aaq

2ax

qxM

!4ax

q!5ax

!5ax

aaqq

!4ax

qyEI

!3ax

q!4ax

!4ax

aaqq

!3ax

qEI

2ax

q6ax

6ax

aaqq

2ax

qxM

52

51

12

14

1z

32

41

12

13

1z

32

31

12

21

y

42

2

52

51

12

124

11z

32

2

32

41

12

123

11z

22

2

32

31

12

122

11y

θθ

Con estas expresiones, tomando el parámetro x a partir de la sección izquierda de la viga, las constantes de integración corresponden al giro (θo) y flecha (yo) en el origen, por ello, las expresiones de los giros y deformada de una viga se puede expresar mediante,

[ ]

∑

∑∑

=

==

>−<+

>−<−

>−<

−

−−

>−<−+

+

>−<−+>−<+=

repartidas

1i

32

2

32

41

12

123

11

puntuales

1i

21

imomentos

1i1iozz

!3ax

q!4

ax!4

axaaqq

!3ax

q

ax!2

PaxMIEIE

i

i

ii

ii

iii

i

ii

θθ


8

∑

∑∑

=

==

>−<+

>−<−

>−<

−

−−

>−<−+

+

>−<−+

>−<++=

repartidas

1i

42

2

52

51

12

124

11

puntuales

1i

31

imomentos

1i

21

iozozz

!4ax

q!5

ax!5

axaaqq

!4ax

q

ax!3

Pax2

MxIEyIEyIE

i

i

ii

ii

iii

i

ii

θ

4.3.- Teoremas de Mohr.

En numerosos casos no es necesario hacer el cálculo de la elástica, ya que sólo se requiere conocer el desplazamiento del centro de gravedad o el giro de una determinada sección. Para estos casos y en los que la sección transversal de la viga es variable se aplican los teoremas de Mohr.

4.3.1. Primer teorema de Mohr.

A partir de la ecuación diferencial de la deformada a flexión,

z

z2

2

EIM

dxd

dxyd

==θ

se puede obtener el ángulo que forman dos secciones infinitamente próximas entre sí,

dxEIMd

z

z=θ

Esto indica que el ángulo entre dos secciones viene dado por el área del gráfico de momentos flectores ( dxM z ) dividida entre la rigidez a flexión.

El ángulo que forma las tangentes a la elástica en dos puntos de abcisas xC y xD viene dado por la integral de la expresión anterior,


9

∫=D

C

x

x z

zCD dx

EIMθ

Expresión correspondiente al primer teorema de Mohr, que indica que el ángulo formado por las tangentes trazadas por dos puntos de la elástica de una viga, es igual al área del diagrama de momentos flectores delimitada por la vertical en dichos puntos, partido por la rigidez a flexión EIz.

4.3.2. Segundo teorema de Mohr.

Las tangentes por dos puntos de la elástica infinitamente próximos entre sí N y N’ cortan a la vertical trazada por un punto arbitrario C en P y P’, respectivamente. La longitud del segmento PP’ se puede obtener mediante,

( ) θdxxdv'PP c−==

Desarrollando a partir del primer teorema de Mohr se tiene,

( )( ) dx

EIMxxdv

dxxdv'PP

dxEIMd

z

zc

c

z

z−=⇒

−==

=

θ

θ

lo que corresponde al momento estático del área del gráfico de momentos de la rebanada respecto del punto C, dividido por la rigidez a flexión EIz.

Si se denomina δCD la distancia desde el punto C hasta la intersección D’ de la tangente de la elástica por el punto D con la vertical por C, se tiene,

( )∫∫ −==D

C

D

C

x

x z

zc

x

xCD dx

EIMxxdvδ


10

Por lo que el segundo teorema de Mohr se puede enunciar diciendo que el segmento sobre la vertical de un punto de la elástica de la viga C, determinado por la distancia entre los puntos C (de la elástica) y D’ (correspondiente a la intersección de la tangente a la elástica por D con la vertical por C), es igual al momento estático del área del diagrama de momentos entre las cotas C y D respecto del punto C, partido por la rigidez de la viga.

4.4.- Teorema de la viga conjugada.

Dada una viga con un estado de cargas, se denomina viga conjugada de ésta a una viga ficticia de la misma longitud y material, cuya vinculación se analizará más adelante. Esta viga conjugada está cargada con un estado de cargas repartidas ficticias que se corresponden con el momento flector de la viga inicial dividido por su rigidez a flexión (EIz).

Criterio de signos.

Se considerará que cuando el momento flector de la viga inicial es positivo (Mz > 0) el estado de cargas de la viga conjugada es vertical y hacia arriba ( 0q < ), mientras que cuando el momento flector de la viga inicial es negativo (Mz < 0) el estado de cargas de la viga conjugada es vertical y hacia abajo ( 0q > ).

En la viga inicial existen una serie de relaciones entre su carga repartida (q), el esfuerzo cortante (Ty) y el momento flector (Mz), que son:

2z

2y

zy

y

dxMd

dxdT

q

dxdMT

dxdT

q==−⇒

=

−=

Al mismo tiempo existen relaciones entre momento flector (Mz), y el giro (θ) y deformada (y) que son,

z

z2

2

z

z2

2

2

2

EIM

dxd

dxyd

EIM

dxyd

dxd

dx'dy

dxdy

dxd

dxyd''y

dxdy'y

==⇒

=

==

==

==

θθ

θ

Si consideramos ahora la viga conjugada de una viga inicial, cargada con una carga repartida ficticia ( q ) coincidente con el momento flector de la viga inicial partido por su rigidez, y con el criterio de signos anteriormente indicado, tendremos,

z

zEIMq −=

Se distinguirán las características de la viga conjugada mediante una raya alta sobre el símbolo correspondiente (-).


11

Las relaciones entre esta carga ficticia ( q ) con el esfuerzo cortante ( yT ) y momento flector ( zM ) de la viga conjugada serán los siguientes:

2z

2y

zy

y

dx

MddxTd

q

dxMdT

dxTd

q−=−=⇒

=

−=

pero al mismo tiempo, la carga repartida ficticia de la viga conjugada se puede relacionar con el giro de la viga inicial mediante,

dxdq

dxd

EIM

EIMq

z

z

z

zθ

θ−=⇒

=

−=

luego,

θθθ

=⇒−=−=⇒

−=

−=y

yy

Tdxd

dxTd

q

dxdq

dxTd

q


12

lo cual nos indica que la magnitud del esfuerzo cortante en una sección de la viga conjugada ( yT ) coincide con el valor del giro de dicha sección de la viga inicial (θ).

De la misma forma podemos poner,

yMdx

yddx

Mdq

dxyd

dxd

EIMq

dxMdq

z2

2

2z

2

2

2

z

z

2z

2

=⇒−=−=⇒

−=−=−=

−=

θ

lo cual nos indica que la magnitud del momento flector en una sección de la viga conjugada ( zM ) coincide con el valor de la deformada de dicha sección de la viga inicial (y).

Se demuestra así la relación directa entre el esfuerzo cortante ( yT ) y el momento flector ( zM ) de la viga conjugada con el giro (θ) y la flecha (y) de la viga inicia.

A partir de las relaciones entre cortante de la viga conjugada, momento de la viga conjugada, giro de la viga inicial y flecha de la viga inicial,

yMT zy ==θ

A partir de esta similitud, se pueden determinar las transformadas de los distintos vínculos de la viga inicial a los correspondientes de la viga conjugada. Estas transformaciones se reflejan en la siguiente tabla:

Lo cual da lugar a las siguientes transformaciones

Apoyo articulado extremo ⇔ Apoyo articulado extremo

Apoyo articulado intermedio ⇔ Rótula intermedia

Empotramiento ⇔ Extremo libre


13

Para casos de vigas con inercia y material constantes, se puede considerar la carga ficticia de la viga conjugada únicamente mediante los momentos flectores de la viga inicial, y al resultado dividirle por la rigidez a flexión.

La aplicación de la viga conjugada adquiere importancia en el estudio de comportamiento de vigas sometidas a flexión de inercia variable.

4.5.- Potencial interno de un prisma sometido a flexión simple. Sección reducida.

La expresión del potencial interno del entorno de un punto de un prisma sometido a flexión simple viene dado por,

( ) dzdydxG21dzdydx

E21dW 22 τσ +−=

Mientras que el de una rebanada de ese prisma se obtiene por integración,

( ) ∫∫ +−=ΩΩ

τσ dzdyG2

dxdzdyE2

dxdW 22

Sustituyendo la tensión normal y tangencial por las expresiones correspondientes a la ley de Navier y la fórmula de Colignon respectivamente, se obtiene,

( )

∫∫

∫∫

+

=⇒

+−=

=

−=

ΩΩ

ΩΩ

τσ

τ

σ

dzdyIbmT

G2dxdzdyy

IM

E2dxdW

dzdyG2

dxdzdyE2

dxdW

IbmT

yI

M

2

z

zy2

z

z

22

z

zy

z

z

Expresión que desarrollando es,


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∫∫

+=

ΩΩ

Ω dybb

mGI2

dxTdy

EI2dxMdW

2z

2z

2y2

2z

2z

la integral del primer sumando corresponde al momento de inercia respecto de la línea neutra, mientras que en el segundo sumando considerando,

∫

=

ΩΩ

dybb

mI11 2

z2zy1

la expresión del potencial se puede poner,

dxG2

Tdx

EI2MdW

y1

2y

z

2z

Ω+=

donde al término y1Ω se le denomina sección reducida.

Según esto, el potencial interno de una rebanada sometida a flexión simple viene determinada por dos términos. El primero asociado al efecto del momento flector, mientras que el segundo está producido por el esfuerzo cortante. Esta expresión es la que se utiliza para determinar la deformación por esfuerzo cortante.

4.6.- Deformación por esfuerzo cortante.

Hasta ahora la influencia de la deformación producida por el esfuerzo cortante se ha considerado despreciable, pero para el caso de vigas que tienen pequeña longitud respecto del canto de la sección, puede ser importante.

Para la determinación del desplazamiento vertical (dv) debido al esfuerzo cortante (Ty) se utiliza el teorema de Castigliano, a partir de derivar el potencial interno (dW) respecto de dicho esfuerzo,

( )

dxG

Tdv

dxG2

Tdx

EI2MdW

dTdWddv

y1

y

y1

2y

z

2z

y

ΩΩ

=⇒

+=

=


15

y dado que el desplazamiento vertical (dv) se puede poner en función de la deformación angular (γ) su expresión es,

y1

yy1

y

G

T

dxdv

dxG

Tdv

Ωγ

γ

Ω =⇒

=

=

Por lo tanto la deformación debido al efecto del esfuerzo cortante, teniendo en cuenta la relación entre esfuerzo cortante y momento flector viene dada por,

( ) ( )[ ]0MxMG

1dMG

1

G

dMy

dxdMT

dxG

Tdvy

zzy1

x

0z

y1

x

0 y1

z

zy

x

0 y1

yx

0 −−=−=−=⇒

=

−=−=

∫∫∫∫

ΩΩΩΩ

En general, esta deformación producida por el esfuerzo cortante se considera despreciable frente a la correspondiente al momento flector.

4.7.- Método de Mohr para el cálculo de deformaciones.

Otro método distinto para el cálculo de deformaciones a flexión basado en consideraciones energéticas es el denominado método de Mohr.

Si se supone una viga cargada a flexión simple en la que deseamos determinar la deformación producida en una sección C, tal como muestra la figura.

El método se basa en desarrollar los siguientes pasos:

• Se considera una carga puntual ficticia (Φ) situada en la sección (C) donde queremos calcular la deformación en dirección del desplazamiento.

• Se determina el potencial interno de la viga sometida a las acciones de las cargas reales más la carga ficticia.

• El desplazamiento de la sección se calcula aplicando el teorema de Castigliano, particularizando el resultado para el caso de carga ficticia nula

0C d

dW

=

=

ΦΦδ


16

• Aplicando el principio de superposición, el momento flector y el esfuerzo cortante en cada una de las secciones de la viga sometida a la carga real más la ficticia, es la suma del momento flector y esfuerzo cortante, respectivamente, debidos a la carga real de la viga, más el momento flector y el esfuerzo cortante debidos a la carga ficticia.

• Por el principio de linealidad, el momento flector y el esfuerzo cortante de la carga ficticia es igual al momento flector y el esfuerzo cortante de una carga unidad (Mz1, Ty1) aplicada en el mismo punto de la carga ficticia (C) con su misma dirección y sentido, multiplicados por la magnitud de la carga ficticia (Φ). Por ello las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes en la viga con carga real y ficticia son, respectivamente

1yyoy1zzoz TTTMMM ΦΦ +=+=

donde:

Mzo – momentos flectores de la viga sometida a la carga real.

Tzo – esfuerzos cortantes de la viga sometida a la carga real.

Mz1 – momentos flectores de la viga sometida a la carga unitaria.

Tz1 – esfuerzos cortantes de la viga sometida a la carga unitaria.

• El potencial interno de la viga vendrá dado entonces por,

( ) ( )∫∫

∫∫+

++

=⇒

+=+=

+=l

0 y1

21yyo

l

0 z

21zzo

1yyoy

1zzoz

l

0 y1

2y

l

0 z

2z

dxG2

TTdx

EI2

MMdWTTT

MMM

dxG2

Tdx

EI2

MdW

Ω

ΦΦ

ΦΦ

Ω

• Por lo que, para obtener el desplazamiento vertical aplicando el teorema de Castigliano se tiene,

( ) ( )

+=

=

++

+=

⇒

=

∫∫

∫∫

=

= l

0 y1

1yyol

0 z

1zzo

0C

l

0 y1

1y1yyol

0 z

1z1zzo

0C

dxG

TTdx

EIMM

ddW

dxG2

TTT2dx

EI2MMM2

ddW

ddW

ΩΦδ

Ω

ΦΦΦ

Φδ

Φ

Φ

Expresión en la que, si se desprecia el efecto del esfuerzo cortante, se tiene,

∫=

=

=

l

0 z

1zzo

0C dx

EIMM

ddW

ΦΦδ

• El movimiento final obtenido dependerá de la carga ficticia que se considere, de forma que para cargas transversales se obtendrán desplazamientos transversales (deformaciones), para cargas longitudinales se obtendrán desplazamientos longitudinales (alargamientos), y para momentos puntuales, giros.


17

4.7.1. Método de la multiplicación de gráficos.

El desarrollo de la aplicación del método de Mohr lleva a tener que calcular integrales del tipo,

∫=

=

=

l

0 z

1zzo

0C dx

EIMM

ddW

ΦΦδ

en la que aparece el producto de dos funciones (Mzo y Mz1) que dependen de la variable x.

Dado que los momentos flectores debidos a cargas unitarias tienen variación lineal, existe un método denominado método de multiplicación de gráficos que permiten determinar los valores de las integrales asociadas al método de Mohr sin desarrollarlas.

Si se quiere calcular la integral del producto de dos funciones (Fo(x) y F1(x)), de las cuales la segunda es lineal en el dominio l,

( ) ( )∫=l

01o dxxFxFI

al ser F1(x) lineal se puede indicar que es del tipo,

( ) baxxF1 +=

luego la integral a determinar es,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +=+==l

0o

l

0o

l

0o

l

01o dxxFbdxxxFadxbaxxFdxxFxFI

La primera corresponde al momento estático de la función Fo(x) respecto al eje y, mientras que la segunda es el área del diagrama de la función Fo(x). Si se denomina oΩ el área bajo la función Fo(x) y xG la posición de su centro de gravedad, la integral anterior se obtiene de,

( ) ( )

( )

( )

( )bxabxaI

xdxxxF

dxxF

dxxFbdxxxFaI

GooGo

Go

l

0o

o

l

0o

l

0o

l

0o

+=+=⇒

=

=

+=

∫

∫

∫∫

ΩΩΩ

Ω

Ω

y sacando factor común al área oΩ bajo la función Fo(x) se tiene,

( )( ) ( )G1o

GG1

Go xFIbaxxF

bxaIΩ

Ω=⇒

+=+=


18

Es decir, el valor de la integral buscada se obtiene de multiplicar el área oΩ bajo la función Fo(x) por el valor de la función lineal F1(x) aplicada al centro de gravedad de la función Fo(x). Para que la integral tenga el signo correcto, habrá que tener en cuenta los signos de las dos funciones (Fo(x) y F1(x)), de forma que si el signo de la integral es positivo, indica que el sentido del movimiento de la sección buscada coincide con el de la solicitación unitaria aplicada, y si es negativo será el contrario.

4.8.- Deformaciones a flexión de una viga por efecto de gradiente de temperatura.

Si a un prisma mecánico se le somete a una variación térmica uniforme, todas las fibras de sus secciones tienden a aumentar o disminuir su longitud en una magnitud constante, de forma que se produce una variación de la longitud del prisma (∆l) que viene dada por,

tll ∆α∆ =

donde,

α – coeficiente de dilatación lineal,

l – longitud del prisma,

∆t – variación de la temperatura.

Si se considera una viga con apoyos articulados en los extremos, de sección rectangular constante, y con temperatura inicial to, en la que actúa un gradiente térmico constante a lo largo de su canto, de forma que las temperaturas de la cara superior (t1) e inferior (t2) de las secciones de la viga sean distintas y su variación lineal, los alargamientos longitudinales de las fibras pertenecientes a una sección son también distintos, lo que hace que la línea media de la viga se curve.

El efecto producido en las fibras de una rebanada de la viga indicada por el gradiente de temperatura, corresponde a un alargamiento de magnitud,

( )om ttll −=α∆

donde tm es la temperatura media entre las correspondientes a las parte superior e inferior de la sección,

2ttt 21

m−

=


19

seguido de un giro semejante al que produciría un momento flector actuando en los extremos del elemento.

Para obtener la ecuación diferencial de la elástica en este caso se determina el ángulo girado por la línea media de la rebanada,

( )[ ] ( )[ ] ( )dxh

tth

dxtt1dxtt1d 210201 −=

−+−−+=

αααθ

luego,

( )( )

htt

dxyd

dxyd

dxd

dxdy

htt

dxd

212

2

2

2

21−

=⇒

=⇒=

−=

αθθ

αθ

Ecuación diferencial a partir de la cual se obtiene la elástica de la viga por un proceso de doble integración.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) o22121

121

o112121

2

2

y0xyCconCdxCdxh

ttyCdxh

ttdxdyy

0xCconCdxh

ttyh

ttdxd

dxyd

dxyd

===+

+

−=⇒+

−==′

===+−

==′⇒−

==′

=

∫ ∫∫

∫αα

θθαθαθ

En el caso de una viga en la que exista estado de cargas y gradiente de temperatura, para la obtención de su deformada se utilizaría el principio de superposición,

( )z

z212

2

EIM

htt

dxyd

+−

=α

Para la aplicación de los teoremas de Mohr o de la viga conjugada, se sustituirá en las

expresiones correspondientes el momento flector partido por la rigidez de la viga (z

zEIM ) por el

segundo término de la ecuación diferencial anterior.

Otra forma de plantear el problema es a partir de obtener el momento flector equivalente que actúa en la sección debido al gradiente de temperatura (Mz equiv.), y aplicarlo en los cálculos

( ) ( )z

21.equivz

z

.equivz21 EIh

ttMEI

Mh

tt −=⇒=

− αα


20

4.9.- Flexión simple de vigas producida por impacto.

Hasta ahora se han considerado únicamente cargas estáticas (que se aplican de forma lenta y progresiva) actuando sobre una viga para el cálculo de su deformación. Se va a analizar ahora la flexión que se produce en una viga cuando un cuerpo de masa M impacta contra ella.

El impacto a analizar produce una deformación en el cuerpo elástico por transformación de la energía cinética de la masa impactante en energía de deformación en el prisma elástico, por lo que el estudio se realizará mediante planteamientos energéticos. Para el estudio se considerarán las siguientes hipótesis:

• El sistema es conservativo.

• La masa que impacta con la viga permanecerá unida a ellla durante su deformación.

• No se tienen en cuenta efectos de rebote.

• Se considerará el principio de rigidez relativa (deformaciones pequeñas) por lo que no se tendrán en cuenta variaciones del sólido elástico respecto de su configuración indeformada.

• Se va a calcular la deformación máxima de la viga (δ) que aparece al final del desplazamiento en su primera oscilación (instante en que la velocidad del sistema masa impactante-viga es nulo), para a partir de ella obtener la carga elástica equivalente, que se corresponde con la que actuando sobre la viga en equilibrio elástico produciría la misma energía de deformación que la masa impactante.

• Después de producida la deformación máxima, aparece un periodo transitorio en el que el prisma vibrará hasta que pierde energía y alcanza el equilibrio estático, periodo que no se analiza.

El análisis se realiza a partir del principio de conservación de la energía del sistema masa impactante-viga, planteado entre los instantes inicial 1 (en que la masa cae sobre la viga) y final 2 (en que el sistema masa impactante-viga alcanzan conjuntamente su máxima deformación),

21 EE =

donde,

2peb2pgb2pgM2

1peb1cb1pgb1cM1pgM1

EEEE

EEEEEE

++=

++++=

1

2


21

siendo,

EpgM1 – Energía potencial gravitatoria de la masa M en el instante 1.

EcM1 – Energía cinética de la masa M en el instante 1.

Epgb1 – Energía potencial gravitatoria de la barra en el instante 1.

EcM1 – Energía cinética de la barra en el instante 1.

Epeb1 – Energía potencial elástica de la barra en el instante 1.

EpgM2 – Energía potencial gravitatoria de la masa M en el instante 2.

Epgb2 – Energía potencial gravitatoria de la barra en el instante 2.

Epgb2 – Energía potencial elástica de la barra en el instante 2.

Sustituyendo cada uno de los términos por su expresión correspondiente y haciendo las siguientes consideraciones: cota de potencial nulo la configuración indeformada de la viga (Epgb1 = 0), la viga está inicialmente descargada (Epeb1 = 0) en el instante de impacto y despreciando la variación de posición del centro de gravedad de la viga en su configuración deformada (Epgb2 = 0), tenemos,

22b

2M

22peb

2pgb

2pgM

1peb

2b1cb

1pgb

2M1cM

1pgM

k21MgMv

21Mv

21Mgh

k21E

0E

MgE

0E

Mv21E

0E

Mv21E

MghE

δδ

δ

δ

+−=++⇒

=

=

−=

=

=

=

=

=

donde k es la constante elástica de proporcionalidad de la viga, correspondiente a la relación elástica entre la fuerza realizada y el desplazamiento generado. Esta constante dependerá de la posición en la que impacta la masa sobre la barra, de sus vínculos, del material de la viga y de sus dimensiones.

Para el caso de la figura, correspondiente a una barra biarticulada en los extremos en la que el impacto se produce en su punto medio, la constante elástica de proporcionalidad de la barra (k) correspondiente a la deformada producida en este punto por una carga puntual P viene dada por,

3z

3z

z

3

lEI48k

lEI48P

EI48Pl

=⇒=⇒= δδ

Considerando el caso concreto en que tanto la masa móvil (M) como la viga tienen velocidad nula en el instante inicial (1), la expresión de la conservación de la energía es,

23

z

lEI48

21MgMgh δδ +−=


22

A partir de la cual se obtiene el desplazamiento de la viga (δ) en el punto de impacto

z

3z

233332

z EI48

hMglEI96MglMgl0MghllMgEI24

+

+

=⇒=−− δδδ

Determinado el valor del desplazamiento (δ) se puede obtener la carga puntual elástica equivalente (Pe equiv.) que produciría esa deformación en la viga,

( )( )

( )3

3z

233

z

3z

233

3z

.equive

z

3z

233

3z

.equive

l

hMglEI96MglMgl

EI48hMglEI96MglMgl

lEI48P

EI48hMglEI96MglMgl

lEI48P

++=

=++

=⇒

++=

=

δ

δ

De los resultados calculados se pueden obtener las siguientes conclusiones:

• La carga elástica equivalente es siempre superior al peso de la masa impactante (Mg).

• Si la masa impactante se aplica a la viga desde una altura nula (h=0), pero con un procedimiento no estático (que no sea de forma lenta y progresiva), la carga equivalente sería el doble del peso de la masa.

Mg2l

MglMglP

0hl

hMglEI96MglMglP 3

233

.equive3

3z

233

.equive =

+

=⇒

=

+

+

=

• El desplazamiento determinado es el máximo posible ya que no se han tenido en cuenta ningún tipo de pérdidas energéticas.

4.10.- Vigas de sección variable sometida a flexión simple.

Hasta ahora se ha considerado la deformación en vigas de sección constante. Sin embargo existen innumerables casos en la práctica en los que la viga a analizar es de sección variable, ya sea por condicionamientos económicos o constructivos. Para el análisis de vigas de inercia variable se admiten todas las hipótesis consideradas en el estudio de flexión de vigas con sección constante.

Ejemplos de viga de inercia variable son las denominadas vigas de igual resistencia a flexión, que se van a utilizar para indicar los procesos de cálculo.


23

4.10.1. Vigas de igual resistencia.

Son aquellas en la que la tensión máxima que aparece en todas las secciones adquiere una magnitud constante. Teniendo en cuenta la expresión asociada a las tensiones normales, esta condición se puede indicar mediante,

cteWM

z

z.max ==σ

Para la determinación de la flecha en una viga de inercia variable se pueden utilizar dos métodos:

1- Ecuación universal de la deformada.

A partir de las ecuaciones universales de asociadas al giro y la deformada de la viga, se introduce un giro ( ioθ ) y una flecha ( ioy ) en el origen de cada uno de los distintos campos de inercia (i) que posea.

[ ]

∑

∑∑

=

==

>−<+

>−<−

>−<

−

−−

>−<−+

+

>−<−+>−<+=

repartidas

1i

32

2

32

41

12

123

11

puntuales

1i

21

imomentos

1i1ioziz

!3ax

q!4

ax!4

axaaqq

!3ax

q

ax!2

PaxMIEIE

i

i

ii

ii

iii

i

iiiiiθθ

∑

∑∑

=

==

>−<+

>−<−

>−<

−

−−

>−<−+

+

>−<−+

>−<++=

repartidas

1i

42

2

52

51

12

124

11

puntuales

1i

31

imomentos

1i

21

iozoziz

!4ax

q!5

ax!5

axaaqq

!4ax

q

ax!3

Pax2

MxIEyIEyIE

i

i

ii

ii

iii

i

iiiiiiiθ

donde izI corresponde al momento de inercia existente en la cota x de estudio.

Este procedimiento genera dos constantes de integración para cada campo de inercia de la viga, por lo que aumenta el número de incógnitas a terminar.

Para su resolución se han de introducir nuevas condiciones de contorno, que corresponden a la compatibilidad (igualdad) del giro y flecha existentes en la sección de cambio de inercia, teniendo en cuenta cada una de las dos inercias que la afectan.

2- Método de la viga conjugada.

Se carga la viga conjugada de la inicial con el momento flector dividido por la rigidez de la viga en cada sección.

Se aplicarán estos métodos a algunos casos de viga de igual resistencia:


24

4.10.1.1. Viga volada de altura constante y anchura variable, con carga puntual en el extremo libre.

Se va a considerar la viga de inercia variable de sección rectangular mostrada en la figura. Se va a determinar en principio su geometría para posteriormente calcular su deformación.

Si se denomina bx la anchura variable con la posición, y h la altura constante, el momento resistente de cualquier sección de la viga es,

6hb

2h

hb121

yIW

2x

3x

.max

zz ===

tomando origen del parámetro longitudinal (x) a partir del extremo libre de la viga, el momento flector es,

Px0xPM z −=−−=

luego la tensión normal máxima de cualquier sección viene dada por,

2x

2xz

zx

hbPx6

6hb

PxWM

==−=σ

Si queremos que esa tensión sea igual a la tensión admisible del material, el ancho de la sección ha de ser,


25

[ ][ ]σ

σσ2x2

xx

h

Px6bhb

Px6=⇒==

por lo que el ancho de fibra de la sección rectangular de la viga varía linealmente.

Atendiendo a la expresión obtenida, en la sección correspondiente al extremo libre de la viga (x = 0), la anchura de la fibra necesaria es nula (bx = 0). Esto ocurre porque el momento flector en dicha sección es nulo, pero el esfuerzo cortante no lo es, por lo que debe de existir material para soportarlo. Para definir la anchura de la fibra necesaria para soportar el esfuerzo cortante, se tiene en cuenta la tensión tangencial máxima que actúan en la fibra central de la sección. Para el caso de una sección rectangular, se analizó el valor de la tensión tangencial máxima, luego la anchura de la fibra necesaria para que la tensión tangencial no supere su valor admisible es,

[ ][ ] [ ]τττ

ττ

τ

h2P3b

hb2P3PT

bh2T3

oo

.max

.max

.max

=⇒==⇒

==

=

que corresponde a una anchura constante.

La longitud del dominio (xo) en que la anchura de la viga es constante (bo) se obtiene igualando las expresiones correspondientes a las anchuras necesarias para soportar la tensión normal y tangencial máximas,

[ ]

[ ][ ] [ ]

[ ][ ]τσ

τστ

σ4hx

h2P3

h

Px6

h2P3b

h

Px6b

o2o

2x

=⇒=⇒

=

=

Una vez determinadas las características geométricas de la viga de igual resistencia, se va a calcular la deformación (giro y flecha) a partir de distintos métodos:

Primer y segundo teorema de Mohr.

Despreciando el efecto del dominio de sección constante, el giro y la deformada máximas de la viga se pueden obtener de forma muy sencilla a partir del primero y segundo teorema de Mohr,

( )

( ) [ ]

[ ] [ ] [ ]

( )

( ) [ ]

[ ] [ ] [ ] 2L

0

2L

0

L

03

2

L

0 z

zo

L

0 z

zo

L0

L

0

L

03

2

o

L

0 z

zo

LEh2

xEh

2xdxEh

2xdxh

h

Px6121E

PxxdxEIMy

0Lxy

xdxEIMyLxy

LEh

2xEh

2dxEh

2dxh

h

Px6121E

Px

0Lx

dxEIMLx

σσσ

σ

σσσ

σ

θ

θ

θθ

−=−=−=−

==⇒

==

−==

===−

−=⇒

==

+==

∫∫∫∫

∫∫∫


26

Viga conjugada.

Se carga ahora la viga conjugada de la inicial con la gráfica de momentos flectores partido por la rigidez,

[ ][ ] [ ]

[ ]Eh

2

x2PhE

PxEIM

x2PhI

h

Px6b

hb121I

EIM

q

z

z

z

2x

3xz

z

zc

σ

σσσ

−=−=⇒

=⇒

=

=

=

P

L

Px/EIz(x)

L

PL -

Viga conjugada

L

x x

bx

M)

-

M/EIz)

Como ya sabemos, el esfuerzo cortante (Tcy) y momento flector (Mc

z) de la viga conjugada coinciden con el giro y flecha de la viga inicial, respectivamente. Para la obtención de los valores máximos calculamos el esfuerzo cortante y el momento flector en el empotramiento de la viga conjugada.

[ ]

[ ] [ ] 2A

cA

AcA

LEh2

LLEh

2yM

LEh

2T

σσ

σθ

−=−==

==

Ecuación de la elástica.

Otro método sería el uso de la ecuación universal de la elástica,

[ ][ ]

[ ]

[ ] [ ] xEh

2Eh

2

hh

Px6121E

Pxdxd

hh

Px6121I

h

Px6b

hb121I

EIPx

dxd

PxMEIM

dxd

o323

2z

2x

3xz

z

z

z

z

z

σθθσ

σ

θ

σσ

θθ

−=⇒−=−

=⇒

=⇒

=

=

−=⇒

−=

=


27

[ ][ ]

−+=⇒

−=

=

2x

Eh2xyy

xEh

2dxdy

2

oo

o

σθσθθ

θ

ecuaciones en las que aplicando las condiciones de contorno se tiene,

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] 2o

2

o

oo

LEh

y2L

Eh2LL

Eh2y0yLx

LEh

2LEh

20Lx

σσσ

σθσθθ

−=⇒

−+==⇒=

=⇒−==⇒=

4.10.1.2. Viga en voladizo con altura variable y ancho constante, sometida a carga uniformemente repartida.

Nuevamente, se determina inicialmente la geometría. Si se denomina hx la altura variable de la sección rectangular con la posición (x), y b la anchura constante, el momento resistente es,

6bh

2h

bh121

yIW

2x

x

3x

.max

zz ===

siendo el momento flector,

2Px

!2lx

!20x

pM222

z −=

−−

−−=

luego la tensión normal máxima en cualquier sección es,

2x

2

2x

2

z

zx

bh

px3

6bh

2px

WM

==−=σ

Si queremos que esa tensión sea igual a la admisible, la altura necesaria de la sección ha de ser,


28

[ ] [ ] [ ] xb

p3bpx3h

bh

px3 21

21

2

x2x

2

=

=⇒=

σσσ

por lo que la altura de la viga varía linealmente con el parámetro longitudinal (x).

En la sección correspondiente al extremo libre de la viga, tanto el momento flector como el esfuerzo cortante son nulos, por lo que la altura necesaria en el extremo también lo es.

Una vez determinadas las características geométricas de la viga de igual resistencia, se va a calcular la deformación (giro y flecha) a partir de distintos métodos:


El giro y la flecha máximos de la viga se pueden obtener a partir del primer y segundo teorema de Mohr, respectivamente,

( )

( )[ ] [ ]

[ ]

( )

[ ]

( )

( )

( )[ ] [ ]

[ ] [ ]23

L0

23

L

023

L

03

21

2L

0 z

zo

L

0 z

zo

23

L0

23

L

023

L

03

21

2L

0 z

zo

L

0 z

zo

bp3Eb

pL6x

bp3Eb

p6

dx

bp3Eb

p6xdx

xb

p3b121E

2xp

xdxEIMy

0Lxy

xdxEIMyLxy

1Lln

bp3Eb

p6xln

bp3Eb

p6

dxx1

bp3Eb

p6dx

xb

p3b121E

2xp

dxEIM

0Lx

dxEIMLx

−=

−=

−=

−==⇒

==

−==

−

=

=

=

=

−−=−=⇒

==

+==

∫∫∫∫

∫∫∫∫

σσ

σσ

σσ

σσ

θ

θ

θθ

Viga conjugada.

Se carga ahora la viga conjugada de la inicial con la gráfica de momentos flectores partido por la rigidez,

[ ][ ] [ ] [ ] x

bp3Eb

p6

xb

p3b121E

2xp

EIM

xb

p3b121I

xb

p3h

bh121I

EIMq

23

323

2

z

z32

3

z21

x

3xz

z

zc

−=

−=⇒

=⇒

=

=

=

σσσ

σ


29

P

PL/EIz(x)

L

PL -

Viga conjugada

L

x

hx

M)

-

M/EIz)

Para la obtención de los valores máximos calculamos el esfuerzo cortante y el momento flector en el empotramiento de la viga conjugada.

[ ] [ ] [ ]

( )

[ ]

( )

[ ] [ ] [ ] [ ]

L

bp3Eb

p6x

bp3Eb

p6dx

bp3Eb

p6xdx

xb

p3b121E

2xp

xdxEIMyM

1Lln

bp3Eb

p6xln

bp3Eb

p6dxx1

bp3Eb

p6dx

xb

p3Eb

p6T

23

L0

23

L

023

L

03

21

2L

0 z

zA

cA

23

L0

23

L

023

L

0 23A

cA

−=

−=

−=

−===

−

=

=

=

−−==

∫∫∫

∫∫

σσσσ

σσσσ

θ


También se puede obtener a partir de la elástica,

[ ] [ ] [ ]

( )1xln

bp3Eb

p6x1

bp3Eb

p6

xb

p3b121E

2xp

EIM

dxd

23o

233

21

2

z

z −

−=⇒

−=

−==

σ

θθ

σσ

θ

[ ]

( )

[ ]

( )

−

−+=⇒−

−== xxlnx

bp3Eb

p6xyy1xln

bp3Eb

p6dxdy

23oo

23o

σ

θ

σ

θθ

con las condiciones de contorno,


30

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )( )

[ ]23o

23

23o

23o

23o

bp3Eb

pL6yLLlnL

bp3Eb

p6LLln

bp3Eb

p6y0yLx

1Lln

bp3Eb

p61Lln

bp3Eb

p60Lx

−=⇒

−

−

+==⇒=

−

=⇒−

−==⇒=

σσσ

σ

θ

σ

θθ

4.10.1.3. Viga en voladizo con altura variable y ancho constante, sometida a carga puntual en el extremo libre.

Si se denomina hx la altura, variable con la posición, y b la anchura constante, el momento resistente es,

6bh

2h

bh121

W2x

x

3x

z ==

siendo el momento flector,

Px0xPM z −=−−=

luego la tensión normal máxima es,

2x

2xz

zx

bhPx6

6bhPx

WM

==−=σ

Si queremos que esa tensión sea igual a la admisible, la altura de la sección ha de ser,


31

[ ] [ ]21

x2x

bPx6h

bh

Px6

=⇒=

σσ

por lo que la altura de la viga varía con la raíz cuadrada del parámetro longitudinal (x). Para definir la altura de la fibra necesaria para soportar el esfuerzo cortante, se tiene en cuenta la tensión tangencial máxima que actúan en la fibra central de la sección,

[ ][ ] [ ]τττ

ττ

τ

b2P3h

hb2P3PT

bh2T3

oo

.max

.max

.max

=⇒==⇒

==

=

que corresponde a una altura constante.

La longitud del dominio (xo) en que la altura de la viga es constante (bo) se obtiene igualando las expresiones correspondientes a las alturas necesarias para soportar la tensión normal y tangencial máximas,

[ ]

[ ][ ] [ ]

[ ][ ]2o

21

o

21

x

b8P3x

b2P3

bPx6

b2P3h

bPx6h

τσ

τσ

τ

σ =⇒=

⇒

=

=

Una vez determinadas las características geométricas de la viga de igual resistencia, y despreciando el dominio de inercia constante, se calcula la deformación (giro y flecha) a partir de distintos métodos:


El giro y la flecha de la viga se pueden obtener a partir de los teoremas de Mohr,


32

( )

( )[ ] [ ]

[ ] [ ]

( )

( )[ ] [ ]

[ ] [ ]23

23

l0

23

23

L

0

21

23

L

03

21

L

0 z

zo

L

0 z

zo

21

3

21

L

0

21

3

21

L

0

21

3

21

L

03

21

L

0 z

zo

L

0 z

zo

bP6Eb

PL8L3x2

bP6Eb

P12

dxx

bP6Eb

P12xdx

bPx6b

121E

PxxdxEIMy

0Lxy

xdxEIMyLxy

L

bP6Eb

P24

21

x

bP6Eb

P12

dxx

bP6Eb

P12dx

bPx6b

121E

PxdxEIM

0Lx

dxEIMLx

−=

−=

=

−−=

−==⇒

==

−==

=

=

=

=

−−=−=⇒

==

+==

∫∫∫∫

∫∫∫∫ −

σσ

σσ

σσ

σσ

θ

θ

θθ


También se puede obtener a partir de la elástica,

[ ] [ ] [ ]

21

23o2

1

233

21z

z x

bP6Eb

P24x

bP6Eb

P12

bPx6b

121E

PxEIM

dxd

−=⇒

−=

−==

−

σ

θθ

σσ

θ

[ ] [ ]

−+=⇒

−== 23

23oo2

1

23o x

bP6Eb

P16xyyx

bP6Eb

P24dxdy

σ

θ

σ

θθ

con las condiciones de contorno,


33

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

23

23o

23

23

23

23o

21

23o

21

23o

L

bP6Eb

P8yL

bP6Eb

P16L

bP6Eb

P24y0yLx

L

bP6Eb

P24L2

bP6Eb

P120Lx

−=⇒

−

+==⇒=

=⇒

−==⇒=

σσσ

σ

θ

σ

θθ

4.11.- Resortes de flexión.

Se va a analizar la equivalencia desde el punto de vista de la resistencia y la rigidez entre dos vigas en voladizo del mismo material cargadas con la misma carga puntual en su extremo. Una de las vigas está formada por n láminas iguales de sección rectangular, mientras que la otra tiene sección maciza de igual altura.

Supongamos dos vigas en voladizo, de la misma longitud l y sección rectangular de altura h, la primera de ellas formada por n láminas superpuestas con posibilidad de deslizamiento de unas respecto de las otras, y la segunda con sección maciza. Se considerará la hipótesis de que, para la viga formada por sección de láminas, los momentos flectores absorbidos por cada una de las láminas son iguales.

Si aplicamos en ambas vigas la misma carga (P), la viga formada por láminas trabaja de forma que cada una de ellas absorbe una parte (-Pl/n) del momento flector total, y la tensión normal máxima en cada lámina de altura h/n es,

nbh

Pl6n2

h

nhb

121

nPl

yI

M23.max

z

.maxz.lam.max =

=−=σ

Sin embargo, si se considera la viga de sección maciza, la tensión normal máxima es,


34

23.maxz

.maxz.mac.max

bh

Pl62h

bh121

PlyI

M==−=σ

Luego la viga de sección maciza es n veces más resistente ante una misma carga que la viga de sección de láminas, ya que la tensión máxima es n veces menor.

n

bh

Pl6

nbh

Pl6

2

2

.mac.max

.lam.max ==σ

σ

Desde el punto de vista de la rigidez, la curvatura de la elástica de la viga de sección formada por láminas es,

233z

z

.lamn

Ebh

Pl12

nhb

121E

nPl

EIM1

=

==ρ

mientras que en la viga de sección maciza su valor es,

33z

z

.mac Ebh

Pl12

bh121E

PlEIM1

===ρ

las expresiones anteriores indican que la viga de sección formada por n láminas va a tener una curvatura n2 veces mayor que la sección maciza equivalente, lo que indica que la viga de sección de láminas es n2 veces más flexible que la viga de sección maciza.

2

3

23

.mac

.lam n

Ebh

Pl12

nEbh

Pl12

1

1

==

ρ

ρ

Esta es la razón por la que, para conseguir la mayor flexibilidad posible, los resortes a flexión se realizan con láminas en vez de con secciones macizas, aunque esto reduzca sus resistencia.

Capitulo 4 Teoria General de La Flexion Analisis de Deformaciones

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