CAPITULO 6 ANUALIDADES SIMPLES ORDINARIAS

6.1 INTRODUCCIÓN

En matemática financiera, generalmente se denomina anualidad a un conjunto de

pagos que se realizan a intervalos iguales de tiempo.

Una anualidad no siempre significa pagos iguales, sino pagos a intervalos de

tiempo. Por consiguiente se denominan anualidades a los dividendos sobre

acciones, los fondos de amortización, los pagos a plazo, los pagos mensuales. Por

renta. Etc.

Las empresas y las personas cuando desean comprar algo o invertir en una

actividad generalmente lo hacen con dinero prestado, importe que deben pagar

con pagos mensuales cada determinado tiempo.

6.2 DEFINICIÓN

UNA ANUALIDAD ES UNA SUCESIÓN DE PAGOS PERIÓDICOS

6.3 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES

Las anualidades considerando los factores que intervienen pueden clasificarse de

diferentes formas o tipos. Mencionaremos algunas.

Según el tiempo una anualidad puede clasificarse en :

- Anualidad cierta

- Anualidad contingente

Una anualidad es cierta cuando se conoce la fecha inicial y final.

Una anualidad es contingente cuando el primer o último pago dependen de

algún suceso previsible donde la fecha de realización no se conoce

Una anualidad se clasifica también en:

- Anualidad simple

- Anualidad general.

Una anualidad es simple u ordinaria, cuando el periodo de pago coincide con el

periodo de capitalización de los intereses.

Una anualidad es general cuando el periodo de pago no coincide con el

periodo de capitalización de los intereses.

Considerando los pagos una anualidad puede clasificarse en:

- Anualidad vencida

- Anualidad anticipada

- Anualidad diferida

Una anualidad es vencida cuando los pagos periódicos se efectúan al final del

periodo

Una anualidad es anticipada cuando los pagos periódicos se efectúan al

principio del periodo.

Una anualidad es diferida cuando los pagos periódicos se efectúan transcurrido

un determinado tiempo, llamado tiempo diferido

En este capítulo se desarrollará la anualidad simple vencida.

6.4 ANUALIDAD VENCIDA

UNA ANUALIDAD ES VENCIDA CUANDO LOS PAGOS PERIÓDICOS

SE REALIZAN AL FINAL DEL PERIODO, VENCIDO EL PERIODO

6.5 VALOR FINAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA

Las cuotas o pagos periódicos que se realizan al final de cada periodo general

intereses compuestos por los periodos futuros hasta la fecha final.

Es importante tener claro cuales son los elementos que intervienen en una

anualidad.

- Renta.- La anualidad o el valor de cada pago periódico recibe el nombre de

renta.

- Periodo.- Es el tiempo establecido entres dos pagos sucesivos. Es el

periodo de pago.

- Tiempo es el intervalo de tiempo entre el inicio del primer periodo y el final

del último periodo.

- Tasas de una anualidad, es la tasa de interés fijado, puede ser nominal o

efectiva.

NOTACIÓN

Sn : Monto o valor final de una anualidad

R : Renta o anualidad

n : Tiempo o número de periodos.

i : Tasa de interés

El valor final o monto de una anualidad vencida, es la suma de todos los pagos

periódicos y sus correspondientes intereses compuestos, acumulados al final de la

operación financiera.

6.6 CÁLCULO DEL VALOR FINAL O MONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.

Cuando el número de los pagos periódicos son pocos. Se puede calcular el valor

final de todos los pagos periódicos incluidos los intereses acumulados

capitalizando cada cuota a interés compuesto.

Sin embargo, cuando el número de pagos periódicos es grande, es decir, 60

cuotas mensuales, 120 cuotas mensuales o más, el cálculo del valor final es

demasiado moroso y extenso. En la práctica este tipo de cálculo se efectúa

mediante fórmula.

A continuación daremos un ejemplo simple y luego generalizando determinaremos

la fórmula correspondiente

EJEMPLO 1

Si una persona deposita al final de cada mes Bs. 100 al 2% de interés mensual,

durante 5 meses ¿Cuánto retira al final del quinto mes?

SOLUCIÓN

Para resolver este problema vamos a hallar el valor final de las 5 cuotas

mensuales, al final del quinto mes y la suma de los valores finales de las 5 cuotas

es el monto o valor final de la anualidad vencida.

La primera cuota depositada al final del primer mes ganará intereses por cuatro

meses

La segunda cuota depositada al final del segundo mes ganará intereses por tres

meses

La tercera cuota depositada al final del tercer mes ganará intereses por 2 meses

La cuarta cuota depositada al final del cuarto mes ganará intereses por 1 meses.

La quinta cuota no gana interés alguno, porque al final del quinto mes se retiran

todos los depósitos y sus intereses acumulados.

R = 100 S = C (1 + i)n

n = 5 meses

i = 0.02 mensual

Sn = ?

Primera cuota: S1 = 100 (1 + 0.02)4 = 108.24

Segunda cuota: S2 = 100 (1 + 0.02)3 = 106.12

Tercera cuota: S3 = 100 (1 + 0.02)2 = 104.04

Cuarta cuota: S4 = 100 (1 + 0.02)1 = 102.00

Quinta cuota: S5 = no gana intereses = 100.00

520.40

Monto o valor final de la anualidad vencida.

Intereses ganados = Monto de la anualidad – Total depositado

I = 520.40 – 500

I = 20.40 interés ganado

Generalizando

Para este cálculo consideramos depósitos de Bs. 1 cada fin de periodo, tiempo n

periodos y una tasa i por periodo

La primera cuota gana interés por n – 1 periodos.

Por lo tanto, su monto al terminar los n periodos será: (1 + i) n -1

La segunda cuota gana interés por n – 2 periodos.

Por lo tanto, su monto al terminar los n periodos será: (1 + i) n -2

Seguimos el mismo análisis para las siguientes cuotas………

Cuando falta dos periodos para llegar a n , es decir, la antepenúltima cuota gana

intereses por 2 periodos, su monto al finalizar los n periodos será:

(1 + i)2

La penúltima cuota gana interés por 1 solo periodo, su monto al finalizar los n

periodos será: (1 + i)

Finalmente la última cuota no gana intereses: I

Si sumamos los montos anteriormente obtenidos, tendremos el valor final de una

anualidad vencida de Bs. 1, por n periodos a la tasa i por periodo

Sn i = (1 + i) n -1 + (1 + i) n -2 + …. + (1 + i) 2 + (1 + i) + 1

Por la propiedad conmutativa de la suma se tiene:

Sn i = 1 +(1 + i) + (1 + i) 2 +…. + (1 + i) n -2 + (1 + i) n -1

La anterior expresión constituye una progresión geométrica creciente, en la cual el

primer término es I, la razón (1 + i) y el número de términos n.

Sabemos que la suma de los términos de una progresión geométrica es igual a:

Donde:

a : Es el primer término

r : La razón de la progresión geométrica.

n : Número de términos de la progresión

S : Suma de todos los términos de la progresión.

En este caso el primer término es I es decir a = 1

Sustituyendo los valores anteriores en la fórmula de la suma de términos de una

progresión geométrica se tiene:

Esta expresión es el “factor de

capitalización” de una serie uniforme

Si en lugar de I la cuota es R. la fórmula del valor final o monto de una anualidad

vencida será:

S n = R * S n / i

EJEMPLO 2

Una persona deposita Bs. 1.000 cada fin de mes durante un año. Si la tasa de

interés es 24% capitalizable mensualmente, hallar el monto total que tendrá al final

del año

SOLUCIÓN

R = 1.000

n = 1 años = 12 meses

i = 0.24 / 12 = 0.02 mensual

S 12 =

EJEMPLO 3

Hallar el monto o valor final de una anualidad de Bs. 500 que será pagado

semestralmente durante tres años y seis meses al 18% capitalizable

semestralmente.

R = 500

n = 3 años, 6 meses = 7 semestres

i = 0.18 / 2 = 0.09 semestral

S 12 =

EJEMPLO 4

Una empresa vende heladeras a crédito con pagos trimestrales vencidos de Bs.

1.000 durante tres años. Si no efectúa los cuatro primeros pagos. ¿Cuánto debe

pagar al vencer la quinta cuota para poner al día su deuda, si la tasa de la

operación es del 12% capitalizable trimestralmente?

R = 1.000 trimestral

n = 3 años = 12 trimestres

i = 0.12 / 4 = 0.03 trimestral

S 5 =

6.7 VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA

El valor actual de una anualidad vencida es la suma de los valores presente de

todos los pagos de la anualidad.

NOTACIÓN

An : VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA

Para el cálculo del valor presente de una anualidad vencida, consideramos

depósitos de Bs. 1 cada fin de periodo, tiempo n periodos y una tasa i por periodo.

Sumando los valores presentes de las cuotas de la anualidad.

A n / i = (1 + i) - 1 + (1 + i) -2 + … + (1 + i) – (n - 2) + (1 + i) – (n - 1) + (1 + i) – n

Aplicando la propiedad conmutativa, la suma anterior puede escribirse así

A n / i = (1 + i) – n + (1 + i) – (n - 1) + (1 + i) – (n - 2) + … + (1 + i) -2 (1 + i) - 1

La anterior expresión resulta ser una progresión geométrica creciente donde el

primer término es (1 + i) – n, la razón (1 + i) y el número de términos n.

La suma de una progresión geométrica se obtiene mediante la fórmula

La suma de los términos anteriores, es la suma de todos lo valores presentes de

cada uno de las cuotas futuras. Luego la suma es el valor total de una anualidad.

Esta expresión es el “factor de

actualización” de una serie uniforme

Si en lugar de I la cuota es R, la formuladle valor actual o valor presente de una

anualidad vencida será

A n = R * A n / i

EJEMPLO 5

Se depositan Bs. 600 al final de cada mes, durante dos años en un banco que

abona el 12% anual capitalizado mensualmente hallar el valor presente de la

anualidad.

SOLUCIÓN

R = 600

n = 2 años = 24 meses

i = 0.12 / 12 = 0.01 mensual

A24 =

EJEMPLO 6

Una empresa vende artefactos eléctricos con una cuota inicial de Bs. 3.000 y 12

cuotas mensuales de Bs. 2.000, si carga el 18 % capitalizable mensualmente

hallar el precio al contado.

SOLUCIÓN

CI = 3.000

R = 2.000

n = 12 meses

i = 0.18 / 12 = 0.015 mensual

A12 =

PC = (Precio al Contado) PC = CI + A12

PC = 3.000 + 21. 815.01

PC = 24.815.01

EJEMPLO 7

La empresa ÉXITO LTDA. Contrae un crédito, que debe pagar durante 5 años,

con cuotas bimestrales de Bs. 3.000. Transcurridos 3 años, no pago ninguna

cuota, en este instante decide liquidar toda la deuda pendiente de pago con un

pago único. Hallar el monto del pago único si la tasa de interés es del 12%

capitalizable bimestralmente.

SOLUCIÓN

R = 3.000 trimestres

n1 = 3 años = 18 bimestres

n2 = 2 años = 12 bimestres

i = 0.12 / 6 = 0.02 bimestral

PU = (pago único)

PU = S18 + A12

PU = 64.236.94 + 31.726.02

PU = 95.962.96

EJEMPLO 8

Usted adquiere mercaderías a crédito que serán pagados mediante 4 cuotas

mensuales de Bs. 1.500 seguido de 6 cuotas mensuales de Bs. 1.000. Hallar el

valor al contado de la mercadería, si la tasa de mercado es del 2% mensual.

Para hallar el precio al contado, primero encontramos el valor presente de las

primeras 4 cuotas de Bs. 1.500 y luego hallamos el valor presente de las seis

últimas cuotas de Bs. 1.000 por partes. Es decir, encontramos el valor presente al

final del cuarto periodo, este resultado se actualiza por los 4 primeros periodos a

interés compuesto.

Primero:

Segundo:

Precio al contado

PC = A4 + A6

PC = 5.711.59 + 5.174.86

PC = 10.886.45

6.8 CÁLCULO DE LA RENTA DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.

Muchas vedes es necesario conocer el importe de los pagos periódicos. Para

resolver algunos problemas. Así es necesario conocer el pago periódico que debe

hacerse para cancelar una deuda en un determinado número de años.

Para hallar el importe de la cuota periódica o renta, despejamos R. de la fórmula

del valor final y del valor actual de una anualidad vencida.

EJEMPLO 9

Hallar los depósitos mensuales necesarios en una cuenta de ahorros que paga el

15% con capitalización mensual, para obtener el 2 años un capital de Bs. 12.000.

i = 0.15 / 12 = 0.125 mensual

n = 2 años = 24 meses

Sn = 12.000

R = ?

EJEMPLO 10

Una persona, adquiere a crédito un automóvil que cuesta Bs. 30.000 y conviene

pagar con cuotas mensuales vencidas durante 3 años ¿Cuánto debe pagar cada

mes si la tasa de interés es 12% capitalizable mensualmente?

An = 30.000

n = 3 años = 36 meses

i = 0.12 / 12 = 0.01 mensual

R = ?

EJEMPLO 11 Un comerciante debe cancelar una deuda en 3 años con pagos semestrales de

Bs. 5.000 el deudor conviene con su acreedor cancelar la deuda en 5 años, con

cuotas semestrales. Hallar el valor de los nuevos pagos. Si la tasa del interés es

del 24% capitalizable semestralmente.

SOLUCIÓN

R1 = 5.000

R2 = x

i = 0.24 / 12 = 0.12 mensual

Los nuevos pagos, se designan con x y para resolver tomamos como fecha focal

la fecha inicial.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 semestres

R1 R1 R1 R1 R1 R1

x x x x x x x x x x

EJEMPLO 12

Para liquidar una deuda de Bs. 10.000 con intereses del 4 % convertible

semestralmente, el deudor acuerda hacer una serie de pagos semestrales de valor

y cada uno. El primero con vencimiento al término de seis meses y el último con

vencimiento en 5 años; un año después un pago de Bs. 2.500. hallar el importe de

cada uno de los pagos X.

Solución

El importe de la deuda (Bs. 10.000) debe ser igual a la suma del valor de la

anualidad de cuotas x, y el valor de Bs. 2.500. Tomar como focal de fecha inicial.

6.9. CALCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.En las operaciones financieras, un factor importante a considerar es el tiempo o

plazo necesario para cumplir con las obligaciones.

En una anualidad vencida el tiempo está dado por el número de periodos. Es

decir, el tiempo se considera desde el principio del primer hasta el final del último

periodo.

Partiendo de la fórmula (12), obtenemos el tiempo o plazo n en la forma siguiente:

Aplicando la propiedad lo logaritmos a ambos miembros se obtiene:

Ídem de la formula (13)

Aplicando la propiedad de logaritmos a ambos miembros se obtiene:

Ejemplo 13.

Una persona desea acumular Bs. 22.881.Para reunir cantidad decide hacer

depósitos trimestre vencidos en un fondo de inversiones que rinde 32% anual

convertible trimestralmente.

Si deposita Bs. 500 cada fin de trimestre ¿En cuanto tiempo habrá acumulado la

cantidad que desea?

Solución

Ejemplo 14

¿Cuánto pagos semestrales de Bs. 800 se deben hacer para cancelar una deuda

de Bs. 4.193,71 al 8% capitalizable semestralmente?

Solución

Ejemplo 15.

Por la compra de una casa, se firma un documento por Bs. 23.845,26 que será

pagado dentro de cierto tiempo. El deudor realizar depósitos de Bs. 1.000 al final

de cada semestre durante 3 años, seguidos de cuotas de Bs. 2.000 hasta

completar ahorrar Bs. 23.845,26 ¿Cuántos depósitos de Bs. 2.000 debe realizar

par pagar toda la deuda si la tasa de interés es el 12% con capitalización

semestral?

Solución

Primero obtenemos el monto de la anualidad por los 6 primeros meses y el valor

obtenido capitalizamos por los siguientes periodos n-6.

Segundo. Se calcula el monto de una anualidad por los pagos de Bs. 2.000.

Tercero. El tiempo de la deuda es igual a la suma del valor final, al del plazo de las

cuotas de Bs. 1.000 más el valor de las cuotas de Bs. 2.000.

Para alcanzar el importante de la deuda, debe depositar 6 cuotas de Bs. 2.000. Es

decir, el plazo de la deuda es de 12 semestres o 6 años.

6.10 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS

La tasa de intereses es la condición contractual en una operación financiera. Por

lo tanto, su calculo se utiliza más en problema teóricos que prácticos; por eso, el

resultado que se obtiene de la tasa de interés es aproximado, por ejemplo, si el

resultado es 3,24689% que es correcto matemáticamente, pero en practica se

tomara como 31/4%.

Para hallar la tasa de interés, despejamos i de la formula principal.

Conociendo el monto de una anualidad vencida:

Conociendo el valor actual de una anualidad vencida:

En ambos casos, para hallar la tasa de interés i utilizamos la tabla de valores del

factor de capitalización o de actualización.

EJEMPLO 16

Usted debe pagar hoy Bs. 4.000. Como no cuenta con esa cantidad disponible

acuerda con su acreedor pagar mediante 6 cuotas de Bs. 714.10 al final de cada

mes ¿Qué tasa de interés se aplica en la operación?

An = 4.000

n = 6 meses

R = 714.10

i = ?

Para hallar la tasa de interés i debemos utilizar la tabla financiera para n= 6

periodos, en éste caso encontramos en la tabla el valor 5.60143089 que es muy

aproximado al valor anteriormente encontrado. Por lo tanto, la tasa de interés i es

igual al 2%.

I = 0.02 mensual.

EJEMPLO 17

Una persona desea reunir en un año Bs. 258.840.62, con tal motivo realiza

depósitos de 2.000 cada fin de mes. Durante todo el año ¿Cuál es la tasa que

carga el Banco?

SOLUCIÓN

Sn = 25.840.62

R = 2.000

n = 1 año = 12 meses

i = ?

En este caso, como no existe un valor que satisfaga éste resultado, tomamos los

valores aproximados para luego realizar la interpolación

1% _____________ 12.68250301

i _____________ 12.92031

I ½ % _____________ 13.04121143

0.23780699

0.35870842 X

1 / 2

PROBLEMAS RESUELTOS

1. ¿Cuál será el monto acumulado en una cuenta de ahorro. Si se depositan

Bs. 2.000 cada semestre, durante 4 años y medio al interés del 18 %

capitalizable semestralmente?

SOLUCIÓN

R = 2.000

n = 4.5 años = 9 semestres

i = 0.18 / 2= 0.09 semestres

Sn =?

2. Una persona debe depositar Bs. 6.000 cada bimestre durante 6 años. Al no

haber cumplido con los 5 primeros pagos, decide poner al día su deuda al

pagar la sexta cuota. ¿Cuánto debe pagar al pagar la sexta cuota, si la tasa

de interés es del 18 % convertible bimestralmente?

SOLUCIÓN

R = 6.000

n = 6 años = 36 bimestres

i = 0.18 / 6 = 0.03 bimestral

Sn =?

3. Usted destina parte de su sueldo al ahorro y consigna Bs. 200 mensuales

en una cuenta de ahorros que paga el 12% capitalizable mensualmente

durante 6 años. Hallar el importe que tendrá en su cuenta. Si los dos

últimos años la tasa de interés se incrementó al 15% capitalizable

mensualmente.

SOLUCIÓN

R = 200

n = 48 meses

i = 0.12 / 12 = 0.01 mensual

S = ?

Sn = 24 meses

i = 0.15 / 12 = 0.0125 mensual

S3 = ?

S = ?

4. ¿Cuál es el valor actual de 15 pagos mensuales de Bs. 300 si la tasa de

interés es del 30% capitalizable mensualmente?

SOLUCIÓN

R = 300

n = 15 meses

i = 0.30 / 12 = 0.025 mensual

A15 =?

5. Una compañía promociona la venta de vehículos con una cuota inicial de

Bs. 10.000 y 24 cuotas bimestrales de Bs. 3.000. hallar el precio de contado

considerando una tasa de interés de ***** capitalizable bimestralmente

SOLUCIÓN

CI = 10.000

R = 3.000

n = 24 bimestres

i = 0.12 / 6 = 0.02 bimestral

A24 =?

6. Para liquidar una deuda con interés del 9% convertible mensualmente, el

señor Blanco realiza pagos de Bs. 500 al final de cada mes por los

próximos 18 meses y un pago final de Bs. ***** un mes más tarde ¿Cuál es

el importe de la deuda?

SOLUCIÓN

R = 500

n = 18 meses

i = 0.09 / 12 = 0.0075 mensual

R1 = 300

A19 =? (deudas)

0 1 2 3 4 18 19

R R R R R R

A

C

7. Considerando una tasa del 6% convertible semestralmente ¿Cuánto deberá

ahorrar cada 6 meses una persona para obtener Bs. 8.000 en 6 años?

SOLUCIÓN

i = 0.06 / 2 = 0.03 semestral

n = 6 años = 12 semestres

Sn = 8.000

R = ?

8. Una persona compra un automóvil que cuesta Bs. 30.000. paga al contado

Bs. 6.000 y el saldo en 24 cuotas mensuales. Si la tasa de interés es del

18% convertible mensualmente ¿Cuál es el valor de los pagos mensuales?

SOLUCIÓN

An = 30.000 – 6.000 = 24.000

n = 24 meses

i = 0.18 / 12 = 0.015 mensual

R = ?

9. Una persona adquiere un inmueble un crédito otorgado por un banco.

Crédito que debe pagar durante 3 años con cuotas mensuales de Bs, 5.000

a la tasa de interés del 2 % mensual. Transcurridos dos años la tasa de

interés se incremental al 2 ½ % mensual. Hallar el importe de los nuevos

pagos mensuales

SOLUCIÓN

PRIMERO.- Determinamos el importe de la deuda, es decir, el valor presente de la

anualidad.

SOLUCIÓN

SEGUNDO.- Calculamos el importe de la deuda pagada, antes del cambio de la

tasa de interés y el saldo por pagar.

n = 24 meses

Importe por pagar = A36 – A24

Importe por pagar = 127.444.21 – 94.569.63

Importe por pagar = 32.874.58

TERCERO.- Determinamos el importe de las 12 nuevas cuotas a realizar para

liquidar la deuda:

i = 0.025 mensual

n1 = 12 meses

n2 = 24 meses

C = 32.874.58

Deuda pendiente de pago

10. ¿Cuántos pagos bimestrales de Bs. 8.000 serán necesario para pagar una

deuda de Bs. 87.260 contraída hoy, con interés del 9 % capitalizable

bimestralmente?

SOLUCIÓN

R = 8.000

i = 0.09 / 6 = 0.015 bimestral

An = 87.260

n = ?

11. Una persona desea reunir Bs. 5.938.48. para acumular dicha cantidad,

realiza depósitos trimestrales de Bs. 600 en un fondo que rinde el 24 %

capitalizable trimestralmente ¿En Cuánto tiempo acumulará la cantidad

deseada?

SOLUCIÓN

Sn = 5.938.48

R = 600

i = 0.24 / 4 = 0.06 trimestral

n = ?

12. El señor Blanco adquiere mercaderías a crédito que serán pagados en 3

años. Con cuotas de Bs. 4.000 cada fin de trimestre a la tasa del 20%

capitalizable trimestralmente. El Sr. Blanco conviene con su acreedor.

Cancelar la deuda en 5 años con cuotas trimestrales. Hallar el importe de

los nuevos pagos (tomar como la fecha focal la fecha inicial).

SOLUCIÓN

R = 4.000

n = 12 trimestres

i = 0.20 / 4 = 0.05 trimestres

A12 =?

n1 =20 trimestres

A20 =?

R1 =?

13. Se adquiere un vehículo que cuesta Bs. 50.000, mediante una cuota inicial

de Bs. 2.5000. hallar la tasa anual nominal

SOLUCIÓN

An =50.000 – 20.000 =30.000

n = 15 meses

R = 2.500

i = ?

2½ %_____________ 12.38137773

i _____________ 12

3 % _____________ 11.93793509

14. Determinar a que tasa bimestral de interés se depositaron cuotas

bimestrales vencidas de Bs. 3.000 durante 1 año y 8 meses para reunir un

capital de Bs. 34.391.64

SOLUCIÓN

R = 3.000

n = 20 meses = 10 bimestres

Sn = 34.391.64

i = ?

0..38137773

0.44344264 X

1 / 2

Buscamos en la tabla financiera el valor aproximado de 11.46388 para n=10 y

encontramos que corresponde a:

i = 3 % bimestral

i = 3 (%)

i = 185 anual capitalizado bimestralmente

15. Usted decide ahorrar parte decide consignar cada mes Bs. 200 en una

cuenta de ahorro que paga el 12% capitalizable mensualmente durante 6

años. Hallar el importe que tendrá en su cuenta, si los dos últimos años la

tasa se incremento al 15% capitalizables mensualmente.

SOLUCIÓN

R = 200

n = 48 meses

i = 0.12 / 12 = 0.01 mensual

S48 = ?

S = ?

n2 = 24 meses

i2 = 0.15 / 12 = 0.0125 mensual

S24 = ?

ST = ? (monto o valor final)

16. El señor Abdala adquiere un crédito que debe cancelar con 12 cuotas

mensuales de Bs. 3.000 y 12 cuotas mensuales de Bs. 4.000 durante el

segundo año. Hallar el importe del crédito, si la tasa de interés es del 30 %

capitalizable mensualmente.

SOLUCIÓN

R1 = 3.000

n = 12 meses

i = 0.30 / 12 = 0.025 mensual

A12 = ?

17. Se adquiere un vehículo a crédito, que será pagado con cuotas mensures

de Bs. 800 durante 3 años con una tasa de interés del 15% capitalizable

mensualmente. Posteriormente conviene cancelar todas las obligaciones

con un solo pago a realizar al final del segundo año de haber adquirido el

vehículo. Hallar el importe del pago único.

SOLUCIÓN

i = 0.25 / 12 = 0.0125 mensual

PU = ? (pago unico)

S24 = ?

A12 = ?

18. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad

a) Bs. 4000.000 de contado.

b) Bs. 190.000 se contado y Bs. 25.000 trimestrales durante 2 ½ años

c) Bs. 20.000 por trimestre durante 3 años y un pago de Bs. 250.000 al final

del cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger. Si la tasa de interés es del 8%

anual capitalizable trimestralmente?

SOLUCIÓN

a) Bs. 400.000

b) CI = 190.000

R = 25.000

n = 2 ½ años = 10 trimestres

i = 0.08 / 4 = 0.02 trimestral

A10 = ?

0 1 2 3 12 13 15 16 trimestres

R R R R 250.000

Bs. 20.000

i = 0.02 trimestral

n =12 trimestres

A12 = ?

S = 250.000

n =16 trimestres

C = ?

Tercera oferta = 211.506.82 + 182.111.45

Tercera oferta = 393.618.27

Respuesta: La segunda oferta (Bs. 414.564.62) es la mejor para el propietario.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una persona realiza depósitos mensuales de Bs. 1.200 durante 15 meses,

en un banco que abona el 24 % capitalizable mensualmente, hallar el importe

que tendrá en su cuenta al cabo del tiempo establecido.

2. El Sr. Mendez deposita Bs. 500 cada tres meses en un banco que otorga el

10% de interés convertible trimestralmente. ¿cuánto tendrá en su cuenta al

final de 5 años?

3. Una familia desea adquirir una casa y deciden realizar depósito cada fin de

semestres de Bs. 5.000 durante 10 años a la tasa de interés del 8%

capitalizable semestralmente, hallar el monto, que obtendrá al finadle 10 años,

si la tasa de interés se incremento al 10% capitalizable semestralmente

durante los últimos 3 años.

4. Al cumplir su hijo de 8 años, el padre decide realizar depósitos

semestralmente de Bs. 2.000 realizando el primer depósito 6 meses más tarde

hasta que el hijo cumpla 15 años. ¿Cuánto tendrá acumulado cuando el hijo

cumpla 21 años, si la tasa de interés es el 12 % capitalizable semestralmente?

5. El Sr. Morales realiza depósitos mensuales de Bs. 4.000 durante 2 años

seguido de depósitos de Bs. 6.000 los siguientes 3 años, considerando la tasa

del 24% anual convertible mensualmente ¿Cuál es el monto final del quinto

año?

6. Encontrar el valor presente de una mensualidad de Bs. 500 mensuales durante

un año y seis meses del 12% con capitalización mensual.

7. Hallar el precio al contado de una maquinaria adquirida con pago inicial de Bs.

10.000 y 18 pagos mensuales de Bs. 2.000 a la tasa de interés del 30% con

capitalización mensual.

8. Para saldar una deuda se tiene dos opciones de pago:

a) Pagar Bs. 22.000 dentro de 10 meses.

b) Pagar Bs. 2.000 cada mes durante 10 meses. Si la tasa del mercado, es

del 2% mensual, ¿Cuál es la opción más conveniente?

9. ¿Qué cantidad debe depositar el Sr. Martínez el 1° de enero del 2005 en un

fondo que paga el 8% convertible semestralmente con el fin de poder hacer

retiros semestrales de Bs. 1.000 a partir del 1° de julio del 2005 hasta el 1° de

enero del 2020?

10. La importadora EL VOLANTE, vende vehículos a dos años plazo, sin cuota

inicial, pagaderas con doce cuotas bimestrales de Bs. 1.500 y un último pago al

final de los dos años y seis meses de Bs. 5.000. Hallar el precio de contado

del vehículo, si la tasa de interés es de! 18% capitalizable bimestralmente.

11. ¿Cuánto debe depositar cada fin de mes, durante 10 meses para obtener Bs.

4.379,89, si la tasa de interés es del 24% capitalizable mensualmente?

12. Después de depositar Bs. 2.000 cada trimestre al 3% de interés trimestral

durante 3 años, tendrá opción a un préstamo equivalente al doble de la suma

acumulada. ¿Cuál es el importe del préstamo que podrá obtener?

13. Al cumplir 12 años su hijo, el padre decide consignar semestralmente Bs. 3.000

en una cuenta de ahorro que paga el 15% capitalizable semestralmente. Si

hace estas consignaciones durante 5 años consecutivos. Calcular la cantidad

que tendrá en su cuenta el hijo al cumplir 21 años.

14. Usted compra una casa cuyo valor es de Bs. 120.000 al contado. Pago Bs.

40.000 al contado y el saldo en 10 pagos iguales por semestre vencido. Hallar

el importe de los dos pagos trimestrales si la tasa de interés es del 10% con

capitalización trimestral.

15. El Sr. Blanco desea acumular en un fondo Bs. 80.611,20 en 5 años con

depósitos trimestrales vencidos a la tasa de interés del 3% trimestral.

Transcurridos 3 años la tasa de interés se incrementa al 4% trimestral. Hallar el

importe de las cuotas que realiza antes y después de la modificación de la tasa

de interés para reunir el monto deseado.

16. ¿En cuánto tiempo se pagara una deuda de Bs. 43.952,89 con pagos de Bs.

6.000 cada trimestre vencido a la tasa del 2% trimestral?

17. Un socio de una empresa obtiene una utilidad de Bs. 150.000 que es

depositado inmediatamente en un fondo que paga el 8% convertible

trimestralmente, para recibir cada 3 meses Bs. 5.000. Hallar el número de

retiros de Bs. 5.000 y el pago final 3 meses después del último pago completo.

18. Se adquiere una computadora a crédito que serán pagados con 12 cuotas

mensuales vencidos de Bs. 500 con el interés del 18% capitalizare

mensualmente. Al no haber cumplido con las dos primeras cuotas, propone a

su acreedor pagar la deuda con 4 cuotas trimestrales a la tasa de interés del

18% capitalizable trimestralmente. Hallar el importe de las nuevas cuotas

trimestrales.

19. Usted adquiere un equipo electrónico a crédito, el mismo que debe pagar con 6

cuotas de Bs. 10.000 cada fin de mes. Propone a su acreedor pagar toda la

deuda con dos pagos semestrales iguales, el primero dentro de 6 meses y el

segundo dentro de un año. Hallar el importe de los nuevos pagos al interés del

30% capitalizable mensualmente.

20. ¿A qué tasa nominal convertible mensualmente, el monto de 12 depósitos

mensuales de Bs. 1.000 cada año, será Bs. 14.192,03?

21. Un vehículo cuyo valor de contado es de Bs. 80.000 puede adquirirse con un

pago inicial de Bs. 20.000 y 12 pagos semestrales de Bs. 6.000. ¿Qué tasa de

interés capitalizable semestralmente se aplico?

22. El precio al contado de un televisor es de Bs. 2.500. Un cliente puede pagar Bs.

1.000 en efectivo y 24 mensualidades de Bs. 80. ¿Cuál es la tasa nominal

convertible mensualmente?

23. El Sr. Méndez debe pagar una deuda durante 9 años con una cuota de Bs.

4.000 semestrales pactados al 12% capitalizable semestralmente. Al efectuar

el octavo pago desea liquidar el saldo con pago único. ¿Cuánto debe pagar en

la fecha del octavo pago, para liquidar la deuda?

24. En una cuenta que abona el 3% bimestral, se hicieron depósitos bimestrales de:

Bs. 800 durante los 2 primeros años, Bs. 1.000 los siguientes 2 años y Bs.

1.200 el 5a año. ¿Cuál es la cantidad que se ha acumulado en la cuenta al final

del quinto año?