Capitulo 9.pdf

Deflexin de vigas

La fotografa muestra un puente con varias trabes durante su construccin. El diseo de las tra-bes de acero se basa tanto en consideraciones sobre su resistencia como en evaluaciones desu deflexin.

99Deflexin de vigasC A P T U L O

9.1 INTRODUCCINEn el captulo anterior se estudi el diseo de vigas para lograr su resisten-cia. En ste y en el siguiente se analizar otro aspecto del diseo de vigas:la determinacin de la deflexin. El clculo de la deflexin mxima de unaviga bajo una carga dada es de inters particular, ya que las especificacionesde diseo incluyen generalmente un valor mximo admisible para la defle-xin. Tambin resulta de inters conocer las deflexiones para analizar las vi-gas indeterminadas. stas son vigas en las que el nmero de reacciones enlos apoyos excede el nmero de las ecuaciones de equilibrio de que se dis-pone para determinar las incgnitas.

En la seccin 4.4 se dijo que una viga prismtica sometida a flexin pu-ra se flexiona en forma de arco y que, dentro del rango elstico, la curvatu-ra de la superficie neutra puede expresarse como

(4.21)

siendo M el momento flector, E el mdulo de elasticidad e I el momento deinercia de la seccin transversal con respecto al eje neutro.

Cuando una viga se somete a carga transversal, la ecuacin (4.21) per-manece vlida para cualquier seccin transversal, siempre que el principio deSaint-Venant sea aplicable. Sin embargo, el momento flector y la curvatu-ra de la superficie neutra variarn en las diversas secciones. Si x es la distan-cia de la seccin al extremo izquierdo de la viga, se tiene:

(9.1)

El conocimiento de la curvatura en varios puntos de la viga permitir dedu-cir algunas conclusiones generales con respecto a la deformacin de la vigabajo carga (vase seccin 9.2).

Para determinar la pendiente y la deflexin de la viga en cualquier pun-to, se deduce primero la siguiente ecuacin diferencial lineal de segundo or-den que caracteriza a la curva elstica o forma de la viga deformada (vaseseccin 9.3):

Si el momento flector se representa para todos los valores de x, por unasola expresin M(x) como en el caso de vigas y cargas de la figura 9.1, lapendiente u = dy/dx y la deflexin y en cualquier punto de la viga puedenobtenerse por dos integraciones sucesivas. Las dos constantes de integracinintroducidas en el punto se determinarn de las condiciones de frontera in-dicadas en la figura.

d2ydx2

M1x2EI

1r

M1x2EI

1r

MEI

530 Deflexin de vigas

B

B

xA

A

y

y

a) Viga volada

b) Viga simplemente soportada

[ yA0 ] [ yB0 ]

x

[ yA0][ A 0]

Figura 9.1

Sin embargo, si se requieren diferentes funciones para representar el mo-mento flector en varias porciones de la viga, se requerirn tambin diferen-tes ecuaciones diferenciales, que conducirn a distintas funciones para la cur-va elstica en las diversas porciones de la viga. En el caso de la viga de lafigura 9.2, por ejemplo, se requieren dos ecuaciones diferenciales, una parala porcin AD y otra para la DB. La primera produce las funciones 1 y y1,y la segunda u2 y y2. En suma deben determinarse cuatro constantes de inte-gracin: dos se obtendrn considerando que la deflexin es cero en A y enB; las otras dos, expresando que las porciones de viga AD y DB tienen igualpendiente y deflexin en D.

En la seccin 9.4 se observar que en el caso de una viga con carga dis-tribuida w(x), la curva elstica puede obtenerse directamente de w(x) me-diante cuatro integraciones sucesivas. Las constantes introducidas en este pro-ceso se determinarn de los valores de V, M, u y y.

En la seccin 9.5 se estudiarn las vigas estticamente indeterminadas,es decir, apoyadas de tal manera que las reacciones en los apoyos introducencuatro o ms incgnitas. Como slo hay tres ecuaciones de equilibrio, stasdeben complementarse con ecuaciones deducidas de las condiciones lmiteimpuestas por los apoyos.

El mtodo antes descrito, para la determinacin de la curvatura elsticacuando se requieren varias funciones para representar el momento flector M,puede ser muy laborioso, ya que requiere ajustar pendientes y ordenadas encada punto de transicin. En la seccin 9.6 se estudiar que el uso de fun-ciones de singularidad (analizadas en la seccin 5.5) simplifica mucho el clculo de u y de y en un punto de la viga.

La siguiente parte del captulo (secciones 9.7 y 9.8) se dedica al mtodode superposicin, que consiste en determinar por separado la pendiente y de-flexin causadas por diferentes cargas aplicadas a la viga, y luego sumarlas.Este mtodo es ms fcil usando la tabla del apndice D, que muestra laspendientes y las deflexiones de las vigas para diversas cargas y tipos de apoyo.

En la seccin 9.9 se usarn ciertas propiedades geomtricas de la curvaelstica para determinar la deflexin y pendiente de una viga en un punto da-do. En lugar de expresar el momento flector como una funcin M(x) e inte-grarla analticamente, se dibujar el diagrama que representa la variacin deM/EI a lo largo de la longitud de la viga y se deducirn dos teoremas del mo-mento de rea. El primer teorema del momento de rea permitir calcular elngulo entre las tangentes de la viga en dos puntos; el segundo teorema delmomento de rea se usar para calcular la distancia vertical de un punto so-bre la viga a la tangente en un segundo punto.

Los teoremas del momento de rea se emplearn en la seccin 9.10 pa-ra determinar la pendiente y deflexin en puntos seleccionados de vigas envoladizo y vigas con cargas simtricas. En la seccin 9.11 se encontrar queen muchos casos las reas y momentos definidos por el diagrama M/EI pue-den determinarse con ms facilidad si se dibuja el diagrama de momento flec-tor por partes. Como se estudi en el mtodo de momento de rea, se obser-var que este mtodo es efectivo en el caso particular de vigas de seccintransversal variable.

9.1 Introduccin 531

BA

D

y

[x 0, y1 0]

x

x L, 1 214[ [

x L, y1 y214[ [

x L, y2 0[ [P

Figura 9.2

Las vigas con cargas asimtricas y vigas colgantes se estudiarn en laseccin 9.12. Toda vez que para una carga asimtrica la deflexin mximano ocurre en el centro de la viga, en la seccin 9.13 se analizar con el finde determinar la deflexin mxima cmo localizar el punto en el que la tan-gente es horizontal. La seccin 9.14 se dedicar a la solucin de problemasque involucran vigas estticamente indeterminadas.

9.2 DEFORMACIN DE UNA VIGA BAJO CARGA TRANSVERSAL

Al comenzar este captulo se record la ecuacin (4.21) de la seccin 4.4,que relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector enuna viga sometida a flexin pura. Se anot que esta ecuacin es vlida paracualquier seccin transversal de una viga bajo carga transversal si rige el prin-cipio de Saint-Venant. Sin embargo, el momento flector y la curvatura varia-rn en las diversas secciones. Si x es la distancia de la seccin al extremo iz-quierdo de la viga, se tiene

(9.1)

Considere, por ejemplo, una viga en voladizo AB de longitud L someti-da a una carga concentrada de P en su extremo libre A (figura 9.3a). Si setiene que M(x) = Px, y sustituyendo en (9.1),

la cual muestra que la curvatura de la superficie neutra vara linealmente conx, desde cero en A, donde A es infinito, hasta PL/EI en B, donde B =EI/PL (figura 9.3b).

Considere ahora la viga AD de la figura 9.4a, que sostiene dos cargasconcentradas, como se muestra. Del diagrama de cuerpo libre de la viga (fi-gura 9.4b) se tiene que las reacciones en los apoyos son RA = 1 kN y RC = 5kN, respectivamente, y se dibuja el diagrama de momento flector correspon-diente (figura 9.5a). Note que M y, por tanto, la curvatura se anulan en am-bos extremos de la viga y tambin en un punto E situado en x = 4 m. EntreA y E el momento flector es positivo y la viga es cncava hacia arriba; en-tre E y D el momento flector es negativo y la viga es cncava hacia abajo

1r

PxEI

1r

M1x2EI


BA x

A

a)

P

L

B

A

b)

P

B

Figura 9.3

DB C

A

a)

b)

4 kN 2 kN

3 m 3 m 3 m

DAB C

4 kN 2 kN

RC 5 kN RA 1 kN

3 m 3 m 3 m

a)

Figura 9.4

(figura 9.5b). Observe tambin que el mximo valor de la curvatura (es de-cir, el mnimo valor del radio de curvatura) ocurre en el apoyo C, donde Mes mximo.

De la informacin obtenida sobre su curvatura, se obtiene una buena ideasobre la forma de la viga deformada. No obstante, el anlisis y diseo de laviga requieren informacin ms precisa sobre la deflexin y la pendiente dela viga en varios puntos. De particular importancia es el conocimiento de ladeflexin mxima de la viga. En la prxima seccin se utilizar la ecuacin(9.1) para obtener una relacin entre la deflexin y, medida en un punto da-do Q en el eje de la viga, y la distancia x de ese punto a algn origen fijo(figura 9.6). La relacin obtenida es la ecuacin de la curva elstica, es de-cir, la ecuacin de la curva en la cual se convierte el eje de la viga, bajo lacarga dada (figura 9.6b).

9.3 ECUACIN DE LA CURVA ELSTICARecuerde primero, del clculo elemental, que la curvatura de una curva pla-na en un punto Q(x,y) de la curva es:

(9.2)

en donde dy/dx y d2y/dx2 son la primera y segunda derivadas de la funciny(x) representada por esa curva. Pero, en el caso de la curva elstica de unaviga, la pendiente dy/dx es muy pequea y su cuadrado es despreciable com-parado con la unidad. Entonces:

(9.3)

Sustituyendo por 1/ de (9.3) en (9.1), se tiene

(9.4)

La ecuacin obtenida es una ecuacin diferencial ordinaria, lineal, de segun-do orden; es la ecuacin diferencial que gobierna la curva elstica.

d2ydx2

M1x2EI

1r

d2ydx2

1r

d2ydx2

c1 adydxb2 d 32

9.3 Ecuacin de la curva elstica 533M

AB

E C D

4 m

3 kN m

6 kN m

x

a)

C

D

4 kN 2 kN

B E

A

b)a) b)

Figura 9.5

x

DC

Cy

y

AD

Q

Q

A

x

Curva elstica

a)

b)

P2P1

Figura 9.6

Debe notarse que, en este captulo y el siguiente, y representa el desplazamiento vertical. En ca-ptulos anteriores representaba la distancia de un punto dado, en una seccin transversal al eje neu-tro de la seccin.

534 Deflexin de vigas El producto EI se conoce como la rigidez a flexin y si vara a lo largode la viga, como en el caso de una viga de seccin variable, debe expresr-sele como funcin de x antes de integrar la ecuacin (9.4). Sin embargo, pa-ra una viga prismtica, que es el caso considerado aqu, la rigidez a flexines constante. Pueden multiplicarse ambos miembros de la ecuacin (9.4) porEI e integrar en x. Se escribe

(9.5)

siendo C1 una constante de integracin. Si u(x) es el ngulo en radianes quela tangente a la curva elstica forma con la horizontal en Q (figura 9.7), y re-cordando que este ngulo es pequeo, se tiene

En consecuencia, la ecuacin (9.5) puede escribirse en la forma alternativa

( )

Integrando los dos miembros de la ecuacin (9.5) en x, se tiene

(9.6)

en donde C2 es una segunda constante y el primer trmino del miembro de-recho es la funcin de x obtenida integrando dos veces en x el momento flec-tor M(x). Si no fuera porque C1 y C2 permanecen indeterminadas, la ecua-cin (9.6) definira la deflexin de la viga en cualquier punto dado Q y laecuacin (9.5) o la (9.5) definiran del mismo modo la pendiente de la vigaen Q.

Las constantes C1 y C2 se determinan de las condiciones de frontera o,dicho con mayor precisin, de las condiciones impuestas en la viga por susapoyos. Limitando al anlisis en esta seccin a vigas estticamente determi-nadas, es decir, a vigas apoyadas de tal manera que las reacciones puedenobtenerse por esttica, observe que aqu puedan considerarse tres tipos de vi-gas (figura 9.8): a) la viga simplemente apoyada, b) la viga de un tramo envoladizo y c) la viga en voladizo.

En los primeros dos casos, los apoyos son fijos en A y mviles en B ytodos requieren que la deflexin sea cero. Haciendo x xA, y = yA 0 enla ecuacin (9.6) y luego x xB, y yB 0 en la misma, se obtienen dosecuaciones que pueden resolverse para C1 y C2. En el caso del voladizo (fi-gura 9.8c), se nota que tanto la pendiente como la deflexin en A deben sercero. Haciendo x xA, y yA 0 en la ecuacin (9.6) y, x xA, u uA 0 en la ecuacin (9.5) se obtienen de nuevo dos ecuaciones que pueden re-solverse para C1 y C2.

EI y x

0 dx

x

0 M1x2 dx C1x C2

EI y x

0 c

x

0 M1x2 dx C1 d

dx C2

9.5EI u1x2 x

0 M1x2 dx C1

dydx tan u u1x2

EI dydx

x

0 M1x2 dx C1

y

y(x) (x)

x

O

Q

x

P

P

BA

y

y

y

a) Viga simplemente soportada

yA 0 yB 0

x

yA 0

B

B

xA

A x

c) Viga en voladizo

b) Viga de un tramo en voladizo

yA 0

A 0

yB 0

Figura 9.7

Figura 9.8 Condiciones de frontera para vigas estticamente determinadas.

535

(9.9)

Integrando ambos miembros de (9.9),(9.10)

Pero en B se tiene Sustituyendo en (9.10),

Llevando este valor de C2 a la ecuacin (9.10) se obtiene laecuacin de la curva elstica:

o

(9.11)

La deflexin y la pendiente en A se obtiene haciendo en las ecuaciones (9.11) y (9.9). Se halla que

yA PL3

3EI y uA adydxbA

PL2

2EI

x 0

y P

6EI 1x3 3L2x 2L32

EI y 16 Px3 12 PL2x

13 PL3

C2 13 PL30 16 PL3 12 PL3 C2

x L, y 0.

EI y 16Px3 12PL2x C2

EI dydx 12 Px2

12 PL2

La viga en voladizo AB es de seccin transversal uniforme y so-porta una carga P en su extremo libre A (figura 9.9). Halle la ecua-cin de la curva elstica y la deflexin y pendiente en A.

EJEMPLO 9.01

EJEMPLO 9.02

Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la porcin AD dela viga (figura 9.13) y tomando momentos con respecto a D, seencuentra que

(9.12)Sustituyendo a M en la ecuacin (9.4) y multiplicando ambosmiembros por EI,

(9.13)Integrando dos veces en x,

(9.14)

(9.15) EI y 124

wx4 1

12 wL x3 C1x C2

EI dydx

16

wx3 14

wL x2 C1

EI d 2ydx2

12

wx2 12

wL x

M 12 wL x 12 wx

2

La viga prismtica simplemente apoyada AB soporta una cargauniformemente distribuida w por unidad de longitud (figura 9.12).Halle la ecuacin de la curva elstica y la deflexin mxima.

L

P

BA

P

V

MA

x

C

Figura 9.9 Figura 9.10

BO

y

yAA

L

x

[x L, 0][x L, y 0]

Figura 9.11

B

w

A

L

A

2x

DM

V

wx

RA wL

x

21

Figura 9.12Figura 9.13

Usando el diagrama de cuerpo libre de la porcin AC de laviga (figura 9.10) en donde C est a una distancia x del extremoA, se tiene

(9.7)Sustituyendo M en la ecuacin 9.4 y multiplicando por EI,

Integrando en x,

(9.8)

Se observa ahora que en el extremo fijo B se tiene x L y dy/dx 0 (figura 9.11). Sustituyendo estos valores (9.8) y des-pejando C1, se tiene,

que se reemplaza en (9.8):C1 12 PL2

EI dydx 12 Px2 C1

EI d 2ydx2

Px

M Px

La deflexin mxima o, ms exactamente, el mximo valor abso-luto de la deflexin es:

0y 0mx 5wL4

384EI

Observando que y 0 en ambos extremos de la viga (figura 9.14),primero se hace x 0 y y 0 en la ecuacin (9.15) y se obtie-ne C2 0. Luego x L y y 0 en la misma ecuacin y se es-cribe

Llevando los valores de C1 y C2 a la ecuacin (9.15) se obtienela ecuacin de la curva elstica.

o

(9.16)

Sustituyendo en la ecuacin (9.14) el valor de C1, se verifi-ca que la pendiente de la viga es cero para x L/2 y que la cur-va elstica tiene un mnimo en el punto medio C de la viga (fi-gura 9.15). Haciendo x L/2 en la ecuacin (9.16),

yC w

24EI a L4

16 2L

L3

8 L3

L2b 5wL4

384EI

y w

24EI 1x4 2Lx3 L3x2

EI y 124 wx4 1

12 wL x3 124 wL3x

C1 124 wL3 0 124 wL4 112 wL4 C1L

EJEMPLO 9.03

En los dos ejemplos considerados, slo fue necesario un diagrama de cuerpo librepara determinar el momento flector en la viga. En consecuencia, slo se utiliz una fun-cin de x para representar a M a lo largo de la viga. Esto, generalmente, no es el caso.Las cargas concentradas, las reacciones en los apoyos o las discontinuidades en una car-ga distribuida dividirn la viga en varias porciones y representarn el momento por unafuncin diferente M(x) en cada una de dichas porciones (figura 9.16). Cada funcin M(x)conducir a una expresin diferente para la pendiente u(x) y para la deflexin y(x). Co-mo cada expresin para la deflexin debe contener dos constantes de integracin, debendeterminarse numerosas constantes. Como se estudiar en el prximo ejemplo, las con-diciones adicionales de frontera requeridas pueden obtenerse observando que aunque lafuerza cortante y el momento flector pueden ser discontinuos en varios puntos de unaviga, la deflexin y la pendiente de la viga no pueden ser discontinuas en ningn punto.

536

Para la viga prismtica y la carga mostradas (figura 9.17) deter-mine la pendiente y la deflexin en el punto D.

Debe dividirse la viga en dos porciones, AD y DB, y hallarla funcin y(x) que define la curva elstica para cada una de ellas.

BA

L

y

x

x 0, y 0 x L, y 0[[ [[

B

C

L/2

A

y

x

Figura 9.14

Figura 9.15

BD

A

3L/4L/4

P

Figura 9.17

Figura 9.16 Se requiere una funcin M(x) diferente en cada partede los brazos volados.

0 y y1 0. En el apoyo B, donde la deflexin la da la ecuacin(9.24), debe tenerse x L y y2 0. Tambin, puesto que no de-be haber cambio en la deflexin o en la pendiente en el puntoD, se sigue que y1 y2 y en x L/4. Se tiene entonces

(9.25)

(9.26)

(9.27)

Resolviendo estas ecuaciones,

Sustituyendo C1 y C2 en las ecuaciones (9.19) y (9.20), se tienepara

(9.29)

(9.30)

Haciendo x L/4 en cada una de estas ecuaciones, se halla quela pendiente y la deflexin en D son, respectivamente,

Note que como la deflexin en D no es la mxima dela viga.

uD PL2

32EI y yD

3PL3

256EI

EI y1 18

Px3 7PL2

128 x

EI u1 38

Px2 7PL2

128

x L4,

C1 7PL2

128, C2 0, C3

11PL2

128, C4

PL3

384

3128

PL2 C1 7

128 PL2 C3

3x L, y2 0 4 , ecuacin 19.24 2: 0 112 PL3 C3L C43x 0, y1 0 4 , ecuacin 19.20 2: 0 C2

u1 u2

537

AE

M1

V1

x

34P

x L14

V2

M2AD

x

E

P

34P

D

BA

y

x x 0, y1 0

x L, y2 0[[

[[

x L, 1 14[ [

x L, y1 y2

214[ [

P

Figura 9.18 Figura 9.19

Figura 9.20

3x L4, y1 y2 4 , ecuaciones 19.20 2 y 19.24 2:

3x L4, u1 u2 4 , ecuaciones 19.19 2 y 19.23 2:

(9.28)PL3

512 C1 L4

11PL3

1 536 C3 L4 C4

1. De A a D (x L/4). Dibuje el diagrama de cuerpo librede una porcin de viga AE de longitud x L/4 (figura 9.18). To-mando momentos con respecto a E, se tiene

(9.17)

o, de la ecuacin (9.4)

(9.18)

en donde y1(x) es la funcin que define la curva elstica para laporcin AD de la viga. Integrando en x,

(9.19)

(9.20) EI y1 18

Px3 C1x C2

EI u1 EI dy1dx

38

Px2 C1

EI d 2 y1dx2

34

Px

M1 3P4

x

2. De D a B (x L/4). Ahora dibuje el diagrama de cuerpolibre de una porcin de viga AE de longitud x L/4 (figura 9.19)y escriba

(9.21)

o, de la ecuacin (9.4), reordenando trminos,

(9.22)

en donde y2(x) define la curva elstica para la porcin DB de la vi-ga. Integrando en x,

(9.23)

(9.24) EI y2 124

Px3 18

PL x2 C3x C4

EI u2 EI dy2dx

18

Px2 14

PL x C3

EI d 2y2dx2

14

Px 14

PL

M2 3P4

x P ax L4b

Clculo de las constantes de integracin. Lascondiciones que deben satisfacer las constantes de integracinse resumen en la figura 9.20. En el apoyo A, en donde la defle-xin se define mediante la ecuacin (9.20), deben tenerse x

uD 0,

*9.4 DETERMINACIN DIRECTA DE LA CURVA ELSTICA A PARTIR DE LA DISTRIBUCIN DE CARGA

En la seccin 9.3 se estudi que la ecuacin de la curva elstica puede obte-nerse integrando dos veces la ecuacin diferencial

(9.4)

siendo M(x) el momento flector de la viga. Recuerde, de la seccin 5.3, quecuando una viga soporta una carga w(x), se tiene dM/dx = V y dV/dx = wen cualquier punto de la viga. Derivando la ecuacin (9.4) con respecto a xy suponiendo a EI constante,

(9.31)

y derivando de nuevo,

Se concluye que cuando una viga prismtica soporta una carga distribuidaw(x), su curva elstica obedece a la ecuacin diferencial lineal de cuarto or-den

(9.32)

Multiplicando ambos miembros de la ecuacin (9.32) por la constanteEI e integrando cuatro veces:

(9.33)

EI y1x2 dx dx dx w1x2 dx 16 C1x3 12

C2x2 C3x C4

EI dydx EI u 1x2 dx dx w1x2 dx 12 C1x2 C2x C3

EI d2ydx2

M1x2 dx w1x2 dx C1x C2

EI d 3ydx 3

V1x2 w1x2 dx C1

EI d4ydx4

w1x2

d4ydx4

w1x2EI

d4ydx4

1EI

dVdx

w1x2EI

d3ydx3

1EI

dMdx

V1x2EI

d2ydx2

M1x2EI


B

B

xA

A

y

y

a) Viga en voladizo

b) Viga simplemente soportada

[ yA 0 ]

x

[ yA0][ A 0]

[ VA0][MB0]

[ yB 0 ]

[MB 0 ][MA 0 ]

Figura 9.21 Condiciones de fronterapara vigas que soportan cargas distribuidas.

Llevando los valores de C3 y C4 a la ecuacin (9.35) y dividien-do ambos miembros entre EI, se obtiene la ecuacin de la curvaelstica

(9.36)

El valor de la mxima deflexin se obtiene haciendo x L/2en la ecuacin (9.36). Se tiene

0y 0mx 5wL4

384EI

y w

24EI 1x4 2L x3 L3x2

C3 124 wL3 0 124 wL4 112 wL4 C3L

La viga prismtica simplemente apoyada AB soporta una cargauniformemente distribuida w por unidad de longitud (figura 9.22).Determine la ecuacin de la curva elstica y la deflexin mxi-ma. (sta es la misma viga del ejemplo 9.02.)

Como w constante, las primeras tres de las ecuaciones(9.33) dan:

(9.34)

Puesto que las condiciones de frontera exigen que M 0 en am-bos extremos de la viga (figura 9.23), se hace primero x 0 yM 0 en la ecuacin (9.34) y se obtiene C2 0. Despus se ha-ce x L y M 0 en la misma ecuacin, para obtener

Llevando los valores de C1 y C2 a la ecuacin (9.34) e inte-grando dos veces:

Pero las condiciones de frontera tambin requieren que y 0 enambos extremos de la viga. Si x 0, y y 0 en la ecuacin(9.35), se obtiene C4 0; haciendo x L y y 0 en la ecua-cin, se escribe

EI dydx

16

wx3 14

wL x2 C3

EI d 2ydx2

12

wx2 12

wL x

EI d 2ydx2

M1x2 12

wx2 C1x C2

EI d 3ydx3

V1x2 wx C1

EI d 4ydx4

w

EJEMPLO 9.04

Las cuatro constantes de integracin se determinan de las condiciones defrontera. stas incluyen: a) las condiciones impuestas en la deflexin o pen-diente de la viga por sus apoyos (vase la seccin 9.3) y b) la condicin deque tanto V como M deben ser cero en el extremo libre de una viga en vo-ladizo o que el momento flector debe ser cero en ambos extremos de una vi-ga simplemente apoyada (vase seccin 5.3). Esto se ilustra en la figura 9.21.

El mtodo aqu presentado puede usarse eficientemente en voladizos ovigas simples con cargas distribuidas. En el caso de vigas con dos apoyos yvoladizo, sin embargo, las reacciones en los apoyos causarn discontinuida-des en la fuerza cortante, es decir, en la tercera derivada de y, y se requeri-rn diferentes funciones para definir la curva elstica en toda la viga.

B

w

A

L

wL

BA

y

x 0, M 0

x

[ ] x L, M 0[ ]x L, y 0[ ]x 0, y 0[ ]

Figura 9.22

Figura 9.23

9.4 Determinacin directa de la curva elstica 539a partir de la distribucin de carga

EI y 1

24 wx4

112

wL x3 C3 x C4 19.352

C1 12wL.

(9.39)

Resolviendo la ecuacin (9.39) para M y llevando este valor a laecuacin (9.4),

ggMC 0: M 12wx2 MA Ay x 0

Determine las reacciones en los apoyos para la viga prismticade la figura 9.24a.

Ecuaciones de equilibrio. Del diagrama de cuerpo li-bre de la figura 9.24b, se tiene

(9.38)

Ecuacin de la curva elstica. Dibujando el diagramade cuerpo libre de una porcin de viga AC (figura 9.26), se es-cribe

ggMA 0: MA BL 12wL2 0

cgFy 0: Ay B wL 0

S gFx 0: Ax 0

EJEMPLO 9.05

540

9.5 VIGAS ESTTICAMENTE INDETERMINADASEn las secciones anteriores, el anlisis se limit a vigas estticamente deter-minadas. Considere ahora la viga prismtica AB (figura 9.24a) empotrada enA y con apoyo sobre rodillos en B. Dibujando el diagrama de cuerpo libre dela viga (figura 9.24b), se observa que las reacciones incluyen cuatro incg-nitas, con slo tres ecuaciones de equilibrio disponibles, a saber

(9.37)

Como slo Ax puede determinarse mediante estas ecuaciones, se dice que laviga es estticamente indeterminada.

Sin embargo, recuerde, de los captulos 2 y 3, que en un problema est-ticamente indeterminado pueden obtenerse las reacciones considerando lasdeformaciones de la estructura incluida. Por tanto, debe procederse con elclculo de la pendiente y la deformacin a lo largo de la viga. Siguiendo elmtodo de la seccin 9.3, el momento M(x) en cualquier punto de AB se ex-presa en funcin de la distancia x desde A, la carga dada y las reacciones des-conocidas. Integrando en x, se obtienen expresiones para u y y que contienendos incgnitas adicionales, llamadas las constantes de integracin C1 y C2.Pero hay seis ecuaciones disponibles para hallar las reacciones y las cons-tantes C1 y C2; son las tres ecuaciones de equilibrio (9.37) y las tres ecua-ciones que expresan que las condiciones de frontera se satisfacen, es decir,que la pendiente y deflexin en A son nulas y que la deflexin en B es cero(figura 9.25). En consecuencia, las reacciones en los apoyos y la ecuacin dela curva elstica pueden determinarse.

gFx 0 gFy 0 gMA 0

B

w

A

A

La)

B

wL

A x

AyL

L/2

b)

MA

B

Figura 9.24

w

Bx

x 0, 0[ ]x L, y 0[ ]

x 0, y 0[ ]

A

y

Figura 9.25

AMA

x/2

CM

V

wx

Ay

Ax

x

Figura 9.26

541

ecuacin (9.41) y se concluye que C1 C2 0. As, la ecuacin(9.41) puede formularse como sigue:

(9.42)Pero la tercera condicin de frontera requiere que y 0 para x L. Llevando estos valores a la ecuacin (9.42),

o

(9.43)Resolviendo esta ecuacin simultneamente con las tres ecuacio-nes de equilibrio (9.38), se obtienen las reacciones en los apoyos:

Ax 0 Ay 58 wL MA 18 wL2 B 38 wL

3MA Ay L 14 wL2 0

0 124 wL4 16 Ay L3 12 MAL2

EI y 124 wx4 16 Ay x3

12MA x2

En el ejemplo anterior haba una reaccin redundante, es decir, una reac-cin adicional a las que se obtendran por equilibrio. La viga es estticamen-te indeterminada de primer grado. Otro ejemplo similar es el del problemamodelo 9.3. Si los apoyos de la viga son tales que dos reacciones son redun-dantes (figura 9.27a), se dice que sta es indeterminada de segundo grado.Aunque ahora hay cinco reacciones desconocidas (figura 9.27b), se halla quecuatro pueden obtenerse de las condiciones de frontera (figura 9.27c). As,en total hay siete ecuaciones simultneas para determinar las cinco reaccio-nes y las dos constantes de integracin.

Integrando en x,

(9.40)

(9.41)

Refirindose a las condiciones de frontera de la figura 9.25, sehacen en la ecuacin (9.40), x 0, y 0 en lax 0, u 0

EI y 124

wx4 16

Ay x3 12

MAx2 C1x C2

EI u EI dydx

16

wx3 12

Ay x2 MAx C1

EI d 2ydx2

12

wx2 Ay x MA

L

L

w

w

w

MB

MA

y

x

A

A

B

B

AB

Ax

Ay Bb)

a)

c)

Extremo fijoSuperficie sin friccin

x 0, 0[ ] x L, 0[ ]x L, y 0[ ]x 0, y 0[ ]

Figura 9.27

542

PROBLEMA MODELO 9.1La viga parcialmente en voladizo de acero ABC soporta una carga concentrada P enel extremo C. Para la porcin AB de la viga: a) obtenga la ecuacin de la curva els-tica, b) determine la deflexin mxima, c) calcule ymx para los siguientes datos:

SOLUCINDiagramas de cuerpo libre. Reacciones:

.Usando el diagrama de cuerpo libre de la porcin AD de longitud x, se tiene

Ecuacin diferencial de la curva elstica. Se utiliza la ecuacin (9.4) y seescribe

Notando que la rigidez a flexin EI es constante, se integra dos veces

(1)

(2)Determinacin de constantes. Para las condiciones de frontera mostradas, se

tiene:

[x 0, y 0]: De la ecuacin (2), se encuentra C2 0

[x L, y 0]: Usando nuevamente la ecuacin (2), se escribe

a) Ecuacin de la curva elstica. Sustituyendo C1 y C2 en las ecuaciones (1)y (2),

(3)

b) Deflexin mxima en la porcin AB. La deflexin mxima ymx ocurre enE, donde la pendiente de la curva elstica es cero. Haciendo en la ecua-cin (3), se determina la abscisa xm del punto E:

Sustituyendo en la ecuacin (4), se tiene

c) Evaluacin de ymx. Para los datos dados, el valor de ymx es

ymx 0.238 in. ymx 0.0642 150 kips2 148 in.2 1180 in.22129 106 psi2 1723 in.42

ymx 0.0642 PaL2

EI ymx

PaL2

6EI 3 10.5772 10.57723 4

xmL 0.577

0 PaL6EI

c 1 3axmLb2 d xm L23 0.577L

dydx 0

142 y PaL26EI

c xL a x

Lb3 d EI y 1

6 P

a

L x3

16

PaL x

dydx

PaL6EI

c 1 3a xLb2 d EI dy

dx

12

P a

L x2

16

PaL

EI102 16

P a

L L3 C1L C1

16

PaL

EI y 16

P a

L x3 C1x C2

EI dydx

12

P a

L x2 C1

EI d 2ydx2

P a

L x

M P a

L x 10 6 x 6 L2

RA PaL T RB P11 aL2 c

RA PV

B

D

y

P

M

RA RB

C

x

L a

A

A

La

BC

x

L a

A

y

[ x 0, y 0 ] [ x L, y 0 ]

B

P

CA

L a

C

x

xm

ymx

ABE

y

P 50 kips L 15 ft 180 in. a 4 ft 48 in.W 14 68 I 723 in.4 E 29 106 psi

543

PROBLEMA MODELO 9.2Para la viga y carga mostradas, determine: a) la ecuacin de la curva elstica, b) lapendiente en el extremo A, c) la deflexin mxima.

SOLUCINEcuacin diferencial de la curva elstica. De la ecuacin (9.32),

(1)

Integrando la ecuacin (1) dos veces:

(2)

(3)

Condiciones de frontera:

[x 0, M 0]: De la ecuacin (3), se halla que C2 0

[x L, M 0]: Usando de nuevo la ecuacin (3), se escribe

As:

(4)

Integrando dos veces la ecuacin (4):

(5)

(6)

Condiciones de frontera:

[x 0, y 0]: Usando la ecuacin (6), se tiene que C4 0

[x L, y 0]: De la ecuacin (6), se halla que C3 0

a) Ecuacin de la curva elstica

b) Pendiente en el extremo A. Para x 0,

c) Deflexin mxima. Para ymx

w0L4

p4EI T ELymx w0

L4

p4 sen

p

2

x 12 L

uA w0L3

p3EI c EI uA w0

L3

p3 cos 0

EIy w0 L4

p4 sen

px

L

EI y w0 L4

p4 sen

px

L C3x C4

EI dydx EI u w0

L3

p3 cos

px

L C3

EI d 2ydx2

w0L2

p2 sen

px

L

0 w0L2

p2 sen p C1L C1 0

EI d 2ydx2

M w0L2

p2 sen

px

L C1x C2

EI d 3ydx3

V w0Lp

cos px

L C1

EI d 4ydx4

w1x2 w0 sen pxL

B

w w0 sen

A

xL

x

y

L

Bx

L

A

y

[ x 0, M 0 ][ x 0, y 0 ]

[ x L, M 0 ][ x L, y 0 ]

L/2 L/2

A B

y

x

ymxA

544

PROBLEMA MODELO 9.3Para la viga uniforme AB, a) determine la reaccin en A, b) obtenga la ecuacin dela curva elstica, c) halle la pendiente en A. (Ntese que la viga es estticamente in-determinada de primer grado.)

SOLUCINMomento flector. Usando el diagrama de cuerpo libre mostrado, se escribe

Ecuacin diferencial de la curva elstica. Se utiliza la ecuacin (9.4) y seescribe

Notando que la rigidez a flexin EI es constante, se integra dos veces y se obtiene

(1)

(2)

Condiciones de frontera. En el esquema se muestran las tres condiciones defrontera que deben satisfacerse

(3)

(4)

(5)

a) Reaccin en A. Multiplicando la ecuacin (4) por L, restando miembro amiembro la ecuacin (5) de la ecuacin obtenida y notando que C2 0, se tiene

Note que la reaccin es independiente de E y de I. Sustituyendo en laecuacin (4), se tiene

b) Ecuacin de la curva elstica. Sustituyendo RA, C1 y C2 en la ecuacin (2)

c) Pendiente en A. Derivando la anterior ecuacin con respecto a x,

Haciendo x 0 se tiene uA w0L3

120EI c uA

w0L3

120EI

u dydx

w0120EIL

15x4 6L2x2 L42

y w0

120EIL 1x5 2L2x3 L4x2

EI y 16

a 110

w0Lb x3 w0x5

120L a 1

120 w0L3b x

12 1 110 w0L2L2 124 w0L3 C1 0 C1 1120 w0L3

RA 110 w0L

RA 110 w0L c 13 RAL3 130 w0L4 0

16

RAL3 w0L4

120 C1L C2 03x L, y 0 4 :

12

RAL2 w0L3

24 C1 03x L, u 0 4 :

C2 03x 0, y 0 4 :

EI y 16

RAx 3 w0x

5

120L C1x C2

EI dydx EI u

12

RAx2 w0 x

4

24L C1

EI d 2ydx2

RAx w0 x

3

6L

bgMD 0: RAx 12

aw0 x2Lb x

3 M 0 M RAx

w0 x3

6L

A B

L

w0

A

w w0

xL(w0 ) x12

x13 xL

Dx

M

VRA

x

y

[ x 0, y 0 ][ x L, y 0 ]

[ x L, 0 ]

A B

A

L

Bx

A

545

PROBLEMAS

En los siguientes problemas suponga que la rigidez a flexin EI de cada viga esconstante.

9.1 a 9.4 Para la carga mostrada en las figuras, determine a) la ecuacin dela curva elstica para la viga en voladizo AB, b) la deflexin en el extremo libre,c) la pendiente en el extremo libre.

9.5 y 9.6 Para la viga en voladizo y la carga que se muestran en las figuras,determine a) la ecuacin de la curva elstica para el tramo AB de la viga, b) la de-flexin en B, c) la pendiente en B.

9.7 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la ecuacinde la curva elstica para el tramo BC de la viga, b) la deflexin en el punto mediodel claro, c) la pendiente en B.

Figura P9.1 Figura P9.2


Figura P9.6

Figura P9.5

Figura P9.7

M0

B

A

y

L

xB

A

y

L

P

x

BA

y

w

L

x BA

C

y

w0

w0

L/2 L/2

x

y

A

w

B

Cx

P 23wa

a2a

y

A

w

B

L a

C x

MC wL2

6

Bx

y

C

w

wL5P

A

LL/2

9.8 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la ecuacinde la curva elstica para el tramo AB de la viga, b) la pendiente en A, c) la pendienteen B.


9.9 Si se sabe que la viga AB es de un perfil laminado S8 18.4 y que w0 4 kips/ft, L 9 ft y E 29 106 psi, determine a) la pendiente en A, b) la de-flexin en C.

9.10 Si se sabe que la viga AB es de un perfil laminado W130 23.8 y queP 50 kN, L 1.25 m y E 200 GPa, determine a) la pendiente en A, b) la de-flexin en C.

9.11 Para la viga y la carga mostradas, a) exprese la magnitud y ubicacin dela mxima deflexin en trminos de w0, L, E e I. b) Calcule el valor de la deflexinmxima, suponiendo que la viga AB es de acero laminado W460 74 y que w0 60 kN/m, L 6 m y E 200 GPa.

9.12 a) Determine la ubicacin y magnitud de la deflexin mxima de la vigaAB entre A y el centro de la viga. b) Si se supone que la viga AB es de un perfil W18 76, M0 150 kip ft y E 29 106 psi, determine la longitud mxima per-misible L si la deflexin mxima no debe exceder de 0.05 in.

9.13 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine la deflexin enel punto C. Utilice E 29 106 psi.

9.14 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine la deflexin enel punto C. Utilice E 200 GPa.

Figura P9.8


Figura P9.9


Figura P9.12

y

AC

B

L L/2

w

x

2w

AC

xB

yw0

S

L/2 L/2

y

A

L/2L/2

xBC

P

Wx

y

A

L

B

w0

y

x

M0M0

BA

L

x

y

A

L 15 ft

W14 30

a 5 ft

BC

P 35 kips

x

y

A

L 3.2 m

W100 19.3

a 0.8 m

B

C

M0 38 kN m

9.15 Si se sabe que la viga AE es de un perfil W360 101 de acero laminadoy que M0 310 kN m, L 2.4 m, a 0.5 m y E 200 GPa, determine a) laecuacin de la curva elstica para el tramo BD, b) la deflexin en el punto C.

Problemas 547

9.16 Si se sabe que la viga AE es una S200 27.4 de acero laminado y queP 17.5 kN, L 2.5 m, a 0.8 m, y E 200 GPa, determine a) la ecuacin dela curva elstica para el tramo BD, b) la deflexin en el centro C de la viga.

9.17 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) laecuacin de la curva elstica, b) la deflexin en el extremo libre.

9.18 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) laecuacin de la curva elstica, b) la pendiente en el extremo A, c) la deflexin en elpunto medio del claro.

9.19 a 9.22 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinela reaccin en el apoyo deslizante.

Figura P9.15

Figura P9.17

Figura P9.16

Figura P9.18

Figura P9.19Figura P9.20


M0 M0

AE x

y

aa

B

L/2 L/2

C D

y

E xA

a a

B C D

L/2L/2

PP

w w0 [1 4( ) 3( )2]xL

xL

y

Ax

L

B x

y

A

L

B

w w0 [ ]1 x2L2

BA

w

L

L

A

M0B

BA

w0

L

BA

w0

L

9.23 Para la viga que se muestra en la figura, determine la reaccin en el apoyodeslizante cuando w0 65 kN/m.


9.24 Para la viga que se muestra en la figura, determine la reaccin en el apoyodeslizante cuando w0 1.4 kips/ft.

9.25 a 9.28 Determine la reaccin en el apoyo deslizante y dibuje el diagramade momento flector para la viga y la carga que se muestran en las figuras.

9.29 y 9.30 Determine la reaccin en el apoyo deslizante y la deflexin en elpunto C.

9.31 y 9.32 Determine la reaccin en el apoyo deslizante y la deflexin en elpunto D, si se sabe que a es igual a L/3.

Figura P9.23

Figura P9.25

Figura P9.27



Figura P9.26

Figura P9.28

Figura P9.24

B

L 4 m

w w0 (x/L)2

A

w0

L 10 ft

w0

AB

w w0(x/L)2

A C

P

B

L/2 L/2

A

L/2 L/2

C B

w

B

C

w0

12

A

L

L

BA

L/2

C

L

M0

AC

B

w

B

L/2 L/2

BC

w

w

A

L/2 L/2

BA

D

a

L

P

BA

a

L

D

M0

9.33 y 9.34 Determine la reaccin en A y dibuje el diagrama de momentoflector para la viga y la carga que se muestran en las figuras.

*9.6 USO DE FUNCIONES DE SINGULARIDAD PARA DETERMINAR LA PENDIENTE Y LA DEFLEXIN DE UNA VIGA

Al repasar lo estudiado hasta el momento en este captulo, se advierte que elmtodo de la integracin proporciona un modo conveniente y efectivo de calcular la pendiente y la deflexin en cualquier punto de una viga prism-tica, siempre que pueda representarse el momento flector mediante una fun-cin analtica nica M(x). Sin embargo, cuando el modo de carga de la vigaexige dos funciones para representar el momento flector, como en el ejem-plo 9.03 (figura 9.17), se requieren cuatro constantes de integracin y un n-mero igual de ecuaciones que expresen continuidad en el punto D, as comocondiciones de frontera en los apoyos A y B, para determinar estas constan-tes. Si se requieren tres o ms funciones para representar el momento flec-tor, aumenta el nmero de constantes y de ecuaciones adicionales, lo que dacomo resultado el uso de clculos extensos. ste puede ser el caso para laviga mostrada en la figura 9.28. En esta seccin se estudiar cmo puedensimplificarse los clculos mediante el uso de las funciones de singularidadanalizadas en la seccin 5.5.

9.6 Uso de funciones de singularidad para 549determinar la pendiente y la deflexin

de una viga

Figura 9.28 En esta estructura de un techo, cada uno de los travesaos aplica unacarga concentrada a la viga en que se apoya.

Figura P9.33

BA C

P

L/2 L/2

Figura P9.34

A B

w

L

Considere nuevamente la viga y carga del ejemplo 9.03 (figura 9.17) ydibuje el diagrama de cuerpo libre de esa viga (figura 9.29). Usando la fun-


cin de singularidad apropiada, como se explic en la seccin 5.5, para re-presentar la contribucin a la fuerza cortante de la carga concentrada P, seescribe

Integrando en x y recordando de la seccin 5.5 que, en ausencia de pares con-centrados, la expresin obtenida para el momento flector no tendr trminosconstantes, se escribe

(9.44)

Sustituyendo M(x) de (9.44) en la ecuacin (9.4),

(9.45)

e integrando en x,

(9.46)

(9.47)

Las constantes C1 y C2 se determinan mediante las condiciones de fron-tera mostradas en la figura 9.30. Haciendo x 0, y 0 en la ecuacin (9.47),

que se reducen a C2 0, ya que cualquier parntesis triangular que conten-ga una cantidad negativa es igual a cero. Haciendo ahora x L, y 0 y C2 0 en la ecuacin (9.47),

0 18

PL3 16

PH34 LI3 C1L

0 0 16

PH0 14 LI3 0 C2

EI y 18

Px3 16

PHx 14 LI3 C1x C2 EI u EI

dydx

38

Px2 12

PHx 14 LI2 C1

EI d 2ydx2

3P4

x PHx 14 LI

M1x2 3P4

x PHx 14 LI

V1x2 3P4

PHx 14 LI0

AD

B x

y P

L/43L/4

34 P

14 P

Figura 9.29

BD

A

3L/4L/4

P

BA

y

x

x 0, y 0[ ] x L, y 0[ ]

Figura 9.17 (repetida)

Figura 9.30

Las condiciones de continuidad para la pendiente y la deflexin en D estn incluidas en las ecua-ciones (9.46) y (9.47). Ciertamente, la diferencia entre las expresiones para la pendiente u1 en AD yla pendiente u2 en DB est representada por el trmino en la ecuacin (9.46), y estetrmino es cero en D. Anlogamente, la diferencia entre las expresiones para la deflexin y1 en ADy la deflexin y2 en DB es el trmino en la ecuacin (9.47), y este trmino es tambinnulo en D.

16 PHx 14 LI312 PHx 14 LI2

Como la cantidad entre parntesis triangulares es positiva, stos pueden reem-plazarse por parntesis ordinarios. Resolviendo para C1,

Se verifica que las expresiones obtenidas para las constantes C1 y C2 sonlas ya encontradas antes en la seccin 9.3. Pero se ha eliminado la necesidadde las constantes adicionales C3 y C4 y no hay que escribir ecuaciones queexpresen que la pendiente y la deflexin son continuas en el punto D.

C1 7PL2

128

Integrando dos veces la ltima expresin, se obtiene

(9.48)

(9.49)Las constantes C1 y C2 pueden determinarse de las condicio-

nes de frontera mostradas en la figura 9.32. Haciendo x 0, y 0 en la ecuacin (9.49) y notando que todos los parntesis trian-

C1x C2 0.4333x3 0.2Hx 0.6I3 0.72Hx 2.6I2

EIy 0.0625Hx 0.6I4 0.0625Hx 1.8I4 1.3x2 0.6Hx 0.6I2 1.44 Hx 2.6I1 C1

EIu 0.25Hx 0.6I3 0.25Hx 1.8I3Para la viga y carga mostradas en la figura 9.31a y usando fun-ciones de singularidad a) exprese la pendiente y deflexin comofunciones de la distancia x al apoyo A, b) halle la deflexin en elpunto medio D. Considere E 200 GPa e I 6.87 106 m4.

EJEMPLO 9.06

B

w0 1.5 kN/mP 1.2 kN

M0 1.44 kN m

AC D

E

0.6 m1.2 m

3.6 m

0.8 m 1.0 m

E

w

w0 1.5 kN/mP 1.2 kN

B

Ay 2.6 kN w0 1.5 kN/m

M0 1.44 kN m

BxA E

C

D

0.6 m

2.6 m

1.8 m

E

BA

y

x[x 0, y 0] [x 3.6, y 0]

a)

b)

Figura 9.31

Figura 9.32

a) Note que la viga est cargada y apoyada como la viga delejemplo 5.05. Refirindose a ese ejemplo, recuerde que la cargadistribuida se reemplaz por dos cargas equivalentes de extremoabierto, mostradas en la figura 9.31b, y que para la fuerza cortan-te y el momento flector se obtuvieron las siguientes expresiones:

2.6x 1.2Hx 0.6I1 1.44Hx 2.6I0M1x2 0.75Hx 0.6I2 0.75Hx 1.8I2

2.6 1.2Hx 0.6I0 V1x2 1.5Hx 0.6I1 1.5Hx 1.8I1

gulares contienen cantidades negativas y que, por consiguiente,son nulas, se concluye que C2 0. Haciendo x 3.6, y 0 yC2 0 en la ecuacin (9.49), se escribe

Puesto que todas las cantidades entre parntesis triangulares sonpositivas, stos pueden reemplazarse por parntesis ordinarios.Despejando C1, se tiene C1 2.692.

b) Sustituyendo C1 y C2 en la ecuacin (9.49) y haciendo x xD 1.8 m, se halla que la deflexin en el punto D est de-finida por la relacin

El ltimo parntesis triangular contiene una cantidad negativa y,por tanto, es igual a cero. Todos los otros parntesis triangularescontienen cantidades positivas y pueden reemplazarse por parn-tesis ordinarios. Se tiene

Recordando los valores numricos de E e I, se escribe

yD 13.64 103 m 2.03 mm1200 GPa2 16.87 106 m42yD 2.794 kN m3

0.433311.823 0.211.223 0 2.69211.82 2.794EIyD 0.062511.224 0.06251024

0.433311.823 0.2H1.2I3 0.72H0.8I2 2.69211.82EIyD 0.0625H1.2I4 0.0625H0I4

0.433313.623 0.2H3.0I3 0.72H1.0I2 C113.62 00 0.0625H3.0I4 0.0625H1.8I4

9.6 Uso de funciones de singularidad para 551determinar la pendiente y la deflexin

de una viga

552

PROBLEMA MODELO 9.4Para la viga prismtica y carga mostradas en la figura, determine a) la ecuacin dela curva elstica, b) la pendiente en A, c) la deflexin mxima.

SOLUCINMomento flector. La ecuacin que define el momento flector de la viga se ob-

tuvo en el problema modelo 5.9. Usando el diagrama modificado de carga mostradoen la figura, se tena en la ecuacin (3)

a) Ecuacin de la curva elstica. Usando la ecuacin (9.4), se escribe

(1)

e integrando dos veces x,

(2)

(3)

Condiciones de frontera.Usando la ecuacin (3) y observando que cada parntesis trian-

gular contiene una cantidad negativa y que por tanto es igual a cero, se halla que

Usando de nuevo la ecuacin (3), se escribe

Sustituyendo C1 y C2 en las ecuaciones (2) y (3),

(4)

b) Pendiente en A. Sustituyendo x 0 en la ecuacin (4),

c) Deflexin mxima. Debido a la simetra de los apoyos y de la carga, la de-flexin mxima ocurre en el punto C, donde Sustituyendo en la ecuacin (5)

ymx w0L4

120EIT

EI ymx w0L4 c 1601322 0 1

24182 5

192122 d w0L4

120

x 12 L.

uA 5w0L3

192EIc EI uA

5192

w0L3

EI y w060L

x 5 w030L

Hx 12 LI5 w0L24 x3 5

192 w0L3x 152

EI u w012L

x4 w06L

Hx 12 LI4 w0L8 x2 5

192 w0L3

0 w0L4

60w030L

aL2b5 w0L4

24 C1L C1

5192

w0L3

3x L, y 0 4 :C2 0.

H I3x 0, y 0 4 :

EI y w060L

x5 w030L

Hx 12 LI5 w0L24 x3 C1x C2 EI u

w012L

x4 w06L

Hx 12 LI4 w0L8 x2 C1

EI d 2ydx2

w03L

x3 2w03L

Hx 12 LI3 14 w0L x

M1x2 w03L

x3 2w03L

Hx 12 LI3 14 w0 L x

w0

A B

L/2 L/2

C

w 2w0L

k1

AC

RA RB

xB

L/2 L/2

4w0L

k2 1 w0L4

L

ABC

y

x[ x 0, y 0 ] [ x L, y 0 ]

L/2

AB

C

y

xymxA

553

PROBLEMA MODELO 9.5La barra rgida DEF se encuentra soldada en el punto D a la barra uni-forme de acero AB. Para la carga mostrada en la figura, determine a) laecuacin de la curva elstica de la viga, b) la deflexin en el punto me-dio C de la viga. Considere E 29 106 psi.

BC

F E

DA

50 lb/ft

160 lb

8 ft3 ft

3 in.

1 in.

5 ft

Bx

DA

w0 50 lb/ftw

MD 480 lb ft

RA 480 lb RBP 160 lb

5 ft11 ft

16 ft

y

A xB

[ x 0, y 0 ] [ x 16 ft, y 0 ]

8 ft 8 ft

y

A

C

xByC

SOLUCINMomento flector. La ecuacin que define el momento flector se obtuvo en el

problema modelo 5.10. Usando el diagrama modificado de carga mostrado y expre-sando x en ft, se tena en la ecuacin (3):

a) Ecuacin de la curva elstica. Usando la ecuacin (8.4), se escribe(1)

e integrando dos veces en x,

(2)

(3)Condiciones de frontera.[x 0, y 0]: Usando la ecuacin (3) y observando que cada parntesis trian-

gular contiene una cantidad negativa y en consecuencia es igual a cero, se hallaque C2 0.

[x 16 ft, y 0]: Usando de nuevo la ecuacin (3) y teniendo en cuenta quecada parntesis triangular contiene una cantidad positiva y, por tanto, puede reempla-zarse por un parntesis, se escribe

Sustituyendo los valores hallados para C1 y C2 en la ecuacin (3), se tiene

Para calcular EI recuerde que E 29 106 psi

Sin embargo, como todos los clculos anteriores se realizaron tomando los ft comounidades de longitud, se escribe

b) Deflexin en el centro C. Haciendo x 8 ft en la ecuacin (3), se tiene

Observando que cada parntesis triangular es cero y sustituyendo EI por su valor nu-mrico

y, resolviendo para yC:

Note que la deflexin obtenida no es la deflexin mxima.

yC 1.548 in. yC 0.1290 ft1453.1 103 lb ft22yC 58.45 103 lb ft3

EI yC 2.0831824 801823 26.67H3I3 240H3I2 11.36 103182

EI 165.25 106 lb in.22 11 ft/12 in.22 453.1 103 lb ft2

EI 129 106 psi2 12.25 in.42 65.25 106 lb in.2 I 112 bh3 112 11 in.2 13 in.23 2.25 in.4

11.36 103x lb ft3 13 2 EI y 2.083x4 80x3 26.67Hx 11I3 240Hx 11I2

C1 11.36 103 0 2.08311624 8011623 26.671523 2401522 C11162

H I

C1x C2 lb ft3 EI y 2.083x4 80x3 26.67Hx 11I3 240Hx 11I2 EI u 8.333x3 240x2 80Hx 11I2 480Hx 11I1 C1 lb ft2

EI 1d2y/dx22 25x2 480x 160Hx 11I1 480Hx 11I0 lb ft

M1x2 25x2 480x 160Hx 11I1 480Hx 11I0 lb ft

554

SOLUCINReacciones. Para la carga vertical P, las reacciones son como se muestran en

la figura. Se observa que son estticamente indeterminadas.

Fuerza cortante y momento flector. Usando una funcin paso para represen-tar la contribucin de P a la fuerza cortante, se escribe

Integrando en x, se obtiene el momento flector:

Ecuacin de la curva elstica. Usando la ecuacin (9.4) se escribe

Integrando dos veces en x,

Condiciones de frontera. Notando que es cero para x 0, y (L a)para x L, se escribe

a) Reaccin en A. Multiplicando la ecuacin (2) por L, restando miembro amiembro la ecuacin (3) de la obtenida y observando que C 0, se tiene:

Se advierte que la reaccin es independiente de E e I.

b) Reaccin en A y deflexin en B cuando Haciendo en laexpresin obtenida de RA, se tiene

Sustituyendo a L/2 y RA 5P/16 en la ecuacin (2) y resolviendo para C1, se ha-lla que C1 PL2/32. Haciendo x L/2, C1 PL2/32 y C2 0 en la expresinobtenida para y, se tiene

Note que la deflexin obtenida no es la deflexin mxima.

yB 7PL3

768EI T >yB

7PL3

768EI

RA 516 P c >RA P11 12 2211 14 2 5P16a 12 La

12 L.

RA P a1 aLb2a1 a

2Lb c >

13

RAL3 16

P1L a22 33L 1L a2 4 0

Hx aI EI y

16

RAx3 16

PHx aI3 C1x C2 EI

dydx EI u

12

RAx2 12

PHx aI2 C1

EI d 2ydx2

RAx PHx aI1

M1x2 RAx P Hx aI1

V1x2 RA PHx aI0

B

P

C

La

A

P

L

A

y

B Cx

a

MC

RCRA

L

CA x

y [ x 0, y 0 ]

[ x 0, y 0 ][ x L, 0 ]

P

A

B

C

RA

yB

L/2L/2

(1)(2)(3)16 RAL3 16 P1L a23 C1L C2 03x L, y 0 4 :

12 RAL2

12 P1L a22 C1 03x L, u 0 4 :

C2 03x 0, y 0 4 :

PROBLEMA MODELO 9.6Para la viga uniforme ABC, a) exprese la reaccin en A en funcin de P, L, a, E e I,b) determine la reaccin en A y la deflexin bajo la carga cuando a L/2.

555

PROBLEMAS

Emplee funciones de singularidad para resolver los siguientes problemas ysuponga que la rigidez a flexin EI de cada viga es constante.

9.35 y 9.36 Para la viga y la carga mostradas en las figuras, determine a) laecuacin de la curva elstica, b) la pendiente en el extremo A, c) la deflexin en elpunto C.

9.37 y 9.38 Para la viga y la carga mostradas, determine la deflexin en a) elpunto B, b) el punto C, c) el punto D.

9.39 y 9.40 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinea) la pendiente en el extremo A, b) la deflexin en el punto B, c) la deflexin en elextremo D.


Figura P9.38


Figura P9.37

A B

P P

C D

y

a

x

P

aa

x

y

BC

P

A

L

a b

M0

x

y

B

CA

L

a b

C D E

y

xAB

P P

a

P

aaa

A DCB

P P

a a a

AC

B

a a a

D

M0 M0

556 Deflexin de vigas 9.41 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) laecuacin de la curva elstica, b) la deflexin en el punto B, c) la deflexin en el puntoC.

9.47 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) la pen-diente en el extremo A, b) la deflexin en el punto medio C. Utilice E 200 GPa.

9.45 Para la viga de madera y la carga que se muestran en la figura, determinea) la pendiente en el extremo A, b) la deflexin en el punto medio C. Utilice E 1.6 106 psi.

9.46 Para la viga y la carga ilustradas en la figura, determine a) la pendienteen el extremo A, b) la deflexin en el punto B. Utilice E 29 106 psi.

9.42 Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) laecuacin de la curva elstica, b) la pendiente en el punto A, c) la deflexin en elpunto C.

9.43 Para la viga y la carga representadas en la figura, determine a) la ecuacinde la curva elstica, b) la deflexin en el punto B, c) la deflexin en el punto D.

9.44 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la ecuacinde la curva elstica, b) la deflexin en el punto medio C.

Figura P9.42

Figura P9.43



Figura P9.41

Bx

y

C

w0

L/2 L/2

A

AC

B x

wy

L

L/3

L/2 L/2

BA

y

C D x

ww

L/2

C

y

xAB

aaaa

w w

A D

350 lb/ft

2 kips

CB

1.75 ft 1.75 ft3.5 ft

3.5 in.

5.5 in.

A D

1.25 in.

24 in.16 in.

48 in.

8 in.

200 lb

10 lb/in.

B C

CBA

1.8 m 1.8 m0.9 m 0.9 m

W310 60

6.2 kN

3 kN/m

Problemas 557

9.51 y 9.52 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinea) la reaccin en el apoyo deslizante, b) la deflexin en el punto B.

9.53 Para la viga y la carga que se ilustran en la figura, determine a) la reac-cin en el punto C, b) la deflexin en el punto B. Utilice E 200 GPa.

9.54 Para la viga y la carga que se ilustran en la figura, determine a) la reac-cin en el punto A, b) la deflexin en el punto B. Utilice E 200 GPa.

9.48 Para la viga y la carga mostradas en la figura, determine a) la pendienteen el extremo A, b) la deflexin en el punto medio C. Utilice E 200 GPa.

9.49 y 9.50 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinea) la reaccin en el apoyo deslizante, b) la deflexin en el punto C.

Figura P9.48



Figura P9.53

Figura P9.54

A

S130 15

1 m 1 m

BC

8 kN48 kN/m

BA

C

P

L/2 L/2 L/2 L/2

CA

B

M0

L/3

A B CD

P P

L/3 L/3

A

B

M0 M0

L/4 L/2 L/4

DC

CB

A

14 kN/m

W410 60

5 m 3 m

1.2 m

50 kN 50 kN

1.2 m 1.2 m

AB C D

W200 52


9.7 MTODO DE SUPERPOSICINCuando una viga se somete a varias cargas concentradas o distribuidas, amenudo es conveniente calcular de manera separada la pendiente y la de-flexin causadas por cada carga. La pendiente y la deflexin totales se ob-tienen aplicando el principio de superposicin (vase la seccin 2.12) y su-mando los valores de la pendiente o la deflexin correspondiente a lasdiversas cargas.

9.55 y 9.56 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinea) la reaccin en el punto A, b) la deflexin en el punto C. Utilice E 29 106 psi.

9.57 y 9.58 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinea) la reaccin en el punto A, b) la deflexin en el punto medio C.

9.59 a 9.62 Para la viga y la carga que se muestran en las figuras, determinela magnitud y localizacin de la mayor deflexin hacia abajo.

9.59 La viga y la carga del problema 9.45.9.60 La viga y la carga del problema 9.46.9.61 La viga y la carga del pr oblema 9.47.9.62 La viga y la carga del problema 9.48.

9.63 La barra rgida BDE est soldada en el punto B a la viga de acero lami-nado AC. Para la carga que se ilustra en la figura, determine a) la pendiente en elpunto A, b) la deflexin en el punto B. Utilice E 200 GPa.

9.64 Las barras rgidas BF y DH estn soldadas a la viga de acero laminadoAE, como se muestra en la figura. Para la carga que se ilustra, determine a) la de-flexin en el punto B, b) la deflexin en el punto medio C de la viga. Utilice E 200 GPa.

Figura P9.56

Figura P9.57

Figura P9.58


Figura P9.55

BC

2.5 kips/ft

6 ft 6 ft

A

W10 22

B

C

w 4.5 kips/ft

2.5 ft2.5 ft2.5 ft2.5 ft

A D E

W14 22

L/2 L/2

B

A C

w

L/2 L/2

A B C D

L/3

P

CB

ED

A

1.5 m 1.5 m 1.5 m

W410 85

20 kN/m

60 kN

D0.4 m

H

G

E

CB

F

A

W100 19.3

0.15 m

0.5 m 0.3 m 0.3 m 0.5 m

100 kN

559

(9.51)

Haciendo y L 8 m, en las ecuaciones(9.51) y (9.50), se tiene

Combinando las pendientes y deflexiones producidas por las car-gas concentradas y distribuidas, se obtiene:

yD 1yD2P 1yD2w 9 mm 7.60 mm 16.60 mm 5.93 103 rad

uD 1uD2P 1uD2w 3 103 2.93 103

7.60 mm

1yD2w 20 103

241100 1062 19122 7.60 103 m 1uD2w 20 10

3

241100 1062 13522 2.93 103 rad

w 20 kN/m, x 2 m,

u dydx

w

24EI 14x3 6L x2 L32

Determine la pendiente y deflexin en D para la viga y carga mos-tradas (figura 9.33), sabiendo que la rigidez a flexin de la vigaes EI 100 MN m2.

La pendiente y la deflexin en cualquier punto de la vigapueden obtenerse superponiendo las pendientes y deflexiones cau-sadas respectivamente por la carga concentrada y por la carga dis-tribuida (figura 9.34).

EJEMPLO 9.07

Para facilitar el trabajo de los ingenieros, los manuales de ingeniera es-tructural y mecnica incluyen tablas con las deflexiones y pendientes de vi-gas para diversas cargas y apoyos. En el apndice D se encuentra una de es-tas tablas. Note que la pendiente y la deflexin de la viga de la figura 9.33hubieran podido determinarse a partir de all. Ciertamente, usando la infor-macin dada en los casos 5 y 6, pudo haberse expresado la deflexin de laviga para cualquier valor Tomando la derivada de la expresin asobtenida, se habra determinado la pendiente de la viga en el mismo interva-lo. Tambin se observa que la pendiente en los extremos de la viga puede ob-tenerse sumando los valores correspondientes de la tabla. Sin embargo, la

x L4.

Como la carga concentrada en la figura 9.34b se aplica a uncuarto del claro, pueden usarse los resultados obtenidos para laviga y la carga del ejemplo 9.03 y escribirse

Por otra parte, recordando la ecuacin de la curva elstica obte-nida para la carga uniformemente distribuida en el ejemplo 9.02,la deflexin en la figura 9.34c se expresa como:

(9.50)

y diferenciando con respecto a x,

y w

24EI1x4 2L x3 L3x2

9 mm

1yD2P 3PL3

256EI 31150 1032 18232561100 1062 9 103 m

1uD2P PL2

32EI

1150 1032 1822321100 1062 3 103 rad

AD

B

150 kN

20 kN/m2 m

8 m

D

20 kN/m2 m

150 kN

BA

D

BA

D

BA

w 20 kN/m

x 2 mL 8 mL 8 m

P 150 kN

b)a) c)

Figura 9.34

Figura 9.33

De la tabla del apndice D (casos 2 y 1) se halla que

1yB2w wL4

8EI 1yB2R RBL

3

3EI

Determine las reacciones en los apoyos de la viga prismtica y lacarga mostradas en la figura 9.36. (sta es la misma viga del ejem-plo 9.05 de la seccin 9.5.)

La reaccin en B se considera redundante y se libera la vigade ese apoyo. La reaccin RB se establece como una carga des-conocida (figura 9.37a) y se obtendr de la condicin de que ladeflexin de la viga en B debe ser cero.

EJEMPLO 9.08

deflexin mxima de la viga de la figura 9.33 no puede obtenerse sumandolas deflexiones mximas de los casos 5 y 6, pues stas ocurren en puntos di-ferentes de la viga.

9.8 APLICACIN DE LA SUPERPOSICIN A VIGAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS

A menudo ser til el mtodo de la superposicin para determinar las reac-ciones en los apoyos de una viga estticamente indeterminada. Consideran-do primero una viga indeterminada de primer grado (vase seccin 9.5), comola que se muestra en la figura 9.35 se seguir el mtodo descrito en la sec-cin 2.9. Se escoge una de las reacciones como redundante y se elimina omodifica el apoyo correspondiente. La reaccin redundante se trata como unacarga desconocida que, junto con las otras, debe producir deformaciones com-patibles con los apoyos originales. La pendiente o la deflexin donde el apo-yo se ha modificado o eliminado se obtiene calculando separadamente lasdeformaciones causadas por las cargas dadas y la reaccin redundante, y su-perponiendo los resultados obtenidos. Una vez calculadas las reacciones enlos apoyos, pueden determinarse la pendiente y la deflexin en cualquier pun-to de la viga.

La solucin se efecta tomando por separado la deflexin (yB)wproducida en B por la carga uniformemente distribuida w (figura9.37b) y la deflexin (yB)R producida en el mismo punto por lareaccin redundante RB (figura 9.37c).

BA

w

L

w w

B

B

A AB

yB 0

(yB)w

(yB)R

RB

RB

A

a) b) c)

Figura 9.37

Figura 9.36

Figura 9.35 Las vigas continuas que soportaneste puente de autopista tiene tres soportes queson indeterminados.

El valor aproximado de la deflexin mxima de la viga se obtiene elaborando la grfica de losvalores de y correspondientes a varios de x. La determinacin de la localizacin exacta y magnitudde la deflexin mxima requiere igualar a cero la expresin de la pendiente y resolver esta ecuacinpara x.


La viga estudiada en el ejemplo previo era indeterminada de primer gra-do. En el caso de una viga indeterminada de segundo grado (vase seccin9.5), dos reacciones deben designarse como redundantes y los soportes co-rrespondientes eliminados y modificados como corresponda. Las reaccionesredundantes se tratan entonces como cargas desconocidas que, simultnea-mente con las otras cargas, deben producir deformaciones compatibles conlos apoyos originales (vase problema modelo 9.9).

y, despejando a MA,

Los valores RA y RB pueden encontrarse mediante las ecuacionesde equilibrio (9.52) y (9.53).

MA 18 wL2 MA 18 wL2 g

uA wL3

25EI MAL3EI

0

uA 1uA2w 1uA2M 0

Escribiendo que la deflexin en B es la suma de estas dos canti-dades y que debe ser cero, se tiene

y resolviendo para

Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 9.38)y escribiendo las correspondientes ecuaciones de equilibrio, setiene

(9.52)

(9.53)

Solucin alternativa. El par en el extremo empotrado Apuede considerarse redundante y reemplazarse el extremo fijo porun apoyo de segundo gnero. El par MA es ahora una carga des-conocida (figura 9.39a) y se calcular de la condicin de que la

MA 18 wL2 g MA 12 wL2 RBL

12 wL2

38 wL2

18 wL2

MA RBL 1wL2 112L2 0ggMA 0: RA 58 wL c

RA wL RB wL 38 wL 58 wL

RA RB wL 0 c gFy 0:

RB 38 wL RB 38 wL cRB,

yB wL4

8EI

RBL3

3EI 0

yB 1yB2w 1yB2R 0

pendiente debe ser cero en el punto A. La solucin se consigueconsiderando separadamente la pendiente (A)w producida en Apor la carga uniformemente distribuida w (figura 9.39b) y la pen-diente (A)M producida por el mismo punto por el par desconoci-do MA (figura 9.39c).

Usando la tabla del apndice D (casos 6 y 7) y observandoque A y B deben intercambiarse en el caso 7, se halla que:

Escribiendo que la pendiente en A es la suma de estas dos canti-dades y que debe ser cero, se halla que:

1uA2w wL3

24EI 1uA2M MAL3EI

BA

wMA

MA

w

BA

a) b)c)

A 0 ( A)w( A)M

BA

Figura 9.39

B

wL

MA

RA RB

A

L

L/2

Figura 9.38

9.8 Aplicacin de la superposicin a vigas 561estticamente indeterminadas

562

PROBLEMA MODELO 9.7Para la viga y carga mostradas en la figura, determine la pendiente y la deflexin delpunto B.

SOLUCIN

Principio de superposicin. La carga dada puede obtenerse superponiendo lascargas mostradas en la siguiente pelcula de ecuacin de carga. La viga AB es, na-turalmente, la misma en cada parte de la figura.

BC

w

A

L/2 L/2

BC

w

A

y

L/2 L/2

B

x

yBA

B

w

Carga I Carga II

A

L

BC

w

A

L/2 L/2

B

y

B

A

B

xx(yB)I

( B)I

A

y

( B)II

(yB)II

B

w

Carga I

Carga II

A

Ly

B

x

(yB)I( B)I

A

BC

w

A

L/2 L/2

A C

B

x

y ( B)II( C)II

(yB)II

(yC)II

Para cada una de las cargas I y II, la pendiente y la deflexin en B se determinanusando la tabla de Deflexiones y pendientes de viga del apndice D.

Carga I

Carga II

En la porcin CB, el momento flector para la carga II es cero y, por tanto, la curvaelstica es una lnea recta.

Pendiente en el punto B

Deflexin en B

yB 41wL4

384EI T >yB 1yB2I 1yB2II wL

4

8EI

7wL4

384EI

41wL4

384EI

uB 7wL3

48EI c >uB 1uB2I 1uB2II wL

3

6EIwL3

48EI

7wL3

48EI

wL4

128EIwL3

48EI aL

2b 7wL4

384EI

1yB2II 1yC2II 1uC2II aL2b1uB2II 1uC2II wL3

48EI

1yC2II w1L224

8EI

wL4

128EI1uC2II w1L22

3

6EI

wL3

48EI

1yB2I wL4

8EI1uB2I wL

3

6EI

563

PROBLEMA MODELO 9.8Para la viga y carga mostradas en la figura, halle a) la reaccin de cada apoyo, b) lapendiente en el extremo A.

SOLUCINPrincipio de superposicin. La reaccin RB se escoge como redundante y se

considera como carga desconocida. Las deflexiones debidas a la carga distribuida ya la reaccin RB se examinan separadamente, como se indica en la figura.

B

w

A C

2L/3

L

L/3

B

B

w

A

A

y

C

xC

2L/3 L/3RB RB

B

w

A C

2L/3 L/3

BA C

2L/3 L/3

[ yB 0 ]B

A

y

xC

(yB)w( A)w

B

A

y

xC

(yB)R( A)R

B

w

A C

RA 0.271 wL RB 0.688 wL

RC 0.0413 wL

Para cada carga, la deflexin en el punto B se halla usando la tabla de deflexiones ypendientes de viga del apndice D.

Carga distribuida. Se utiliza el caso 6 del apndice D

En el punto B,

Carga por la reaccin redundante. Del caso 5, apndice D, con yse tiene

a) Reacciones de los apoyos. Recordando que se tiene

Como la reaccin RB ahora es conocida, se utiliza el mtodo de la esttica para de-terminar las otras reacciones:

b) Pendiente en el extremo A. Refirindose de nuevo al apndice D, se tiene

Carga distribuida.

Carga de reaccin redundante. Para y

Finalmente,

uA 0.00769 wL3

EI c >

uA 0.04167 wL3

EI 0.03398

wL3

EI 0.00769

wL3

EI

uA 1uA2w 1uA2R1uA2R 0.03398 wL

3

EI1uA2R Pb1L

2 b226EIL

0.688wL

6EIL aL

3b cL2 aL

3b2 d

b 13 LP RB 0.688wL

1uA2w wL3

24EI 0.04167

wL3

EI

RA 0.271wL c RC 0.0413wL c >

RB 0.688wL c >0 0.01132 wL4

EI 0.01646

RBL3

EI

yB 1yB2w 1yB2RyB 0,

1yB2R Pa2b2

3EIL

RB3EIL

a23

Lb2aL3b2 0.01646 RBL3

EI

b 13 L,a 23 L

1yB2w w24EI c a23

Lb4 2L a23

Lb3 L3a23

Lb d 0.01132 wL4EI

x 23 L:

y w

24EI 1x4 2L x3 L3x2

564

PROBLEMA MODELO 9.9Para la viga y carga mostradas, determine la reaccin en el empotramiento C.

SOLUCINPrincipio de superposicin. Suponiendo que la carga axial en la viga es ce-

ro, la viga ABC es indeterminada de segundo grado y se escogen como redundantesla fuerza vertical RC y el par MC. Las deformaciones producidas por la carga P, lafuerza RC y el par MC se consideran separadamente como se muestra.

B

P

C

L

a b

A

B

P

C

C

a b

ABA

PMC MC

RC RCa b

C

C

L

A

C

C

A

A

L

BBC

C

A

A A( C)M

(yC)M

( C)P

( C)R

( B)P

(yC)P

(yC)R

(yB)P

[ B 0 ]

[ yB 0 ]

L

a bRA RC

Pa2bL2

MC PPab

2

L2MA

Pb2

L3RA (3a b)

Pa2

L3RC (a 3b)

Para cada carga, la pendiente y la deflexin en C se encuentran en la tabla Deflexio-nes y pendientes de viga del apndice D.

Carga P. Se observa que, para esta carga, la porcin BC de la viga es recta.

Fuerza RC

Par MC

Condiciones de frontera. En el extremo C la pendiente y la deflexin debenser cero.

(1)

(2)Componentes de la reaccin en C. Resolviendo simultneamente las ecua-

ciones (1) y (2) se encuentran las reducciones

La reaccin en A puede hallarse ahora usando los mtodos de esttica.

MC Pa2b

L2 b >MC

Pa2bL2

RC Pa2

L3 1a 3b2 c >RC Pa

2

L3 1a 3b2

0 Pa2

6EI 12a 3b2 RC L3

3EI

MC L2

2EI

yC 1yC2P 1yC2R 1yC2M3x L, yC 0 4 :0

Pa2

2EI

RC L2

2EI

MC LEI

uC 1uC2P 1uC2R 1uC2M3x L, uC 0 4 :

1yC2M MC L2

2EI1uC2M MC LEI

1yC2R RC L3

3EI1uC2R RC L

2

2EI

Pa3

3EI

Pa2

2EI b

Pa2

6EI 12a 3b2

1uC2P 1uB2P Pa2

2EI 1yC2P 1yB2P 1uB2p b

565

PROBLEMAS

Utilice el mtodo de superposicin para resolver los siguientes problemas ysuponga que la rigidez a flexin EI de cada viga es constante.

9.65 a 9.68 Para la viga y la carga mostradas en las figuras, determine a) ladeflexin en C, b) la pendiente en el extremo A.

9.69 y 9.70 Para la viga en voladizo y la carga mostradas en las figuras, de-termine la pendiente y la deflexin en el extremo libre.

9.71 y 9.72 Para la viga en voladizo y la carga mostradas en las figuras, de-termine la pendiente y la deflexin en el punto B.

Figura P9.65


Figura P9.66

Figura P9.67

Figura P9.68


CB

P P

A D

L/3 L/3 L/3 L

a

CA B

PMA Pa

CA B

MA M0 MB M0

L/2 L/2

B

w

A

wL2

12MA wL2

12MB

C

L

CA B

P P

L/2 L/2

CA

B

P

a

L

MA Pa

A

a

w w

a a

B C D

w

P wL

A B

L/2 L/2

C

566 Deflexin de vigas 9.73 Para la viga en voladizo y la carga que se muestran en la figura, deter-mine la pendiente y deflexin en el extremo C. Use E 200 GPa.

9.79 y 9.80 Para la viga uniforme que se muestra en las figuras, determine a)la reaccin en A, b) la reaccin en B.

9.81 y 9.82 Para la viga uniforme que se muestra en las figuras, determine lareaccin en cada uno de los tres apoyos.

9.74 Para la viga en voladizo y la carga que se muestran en la figura, deter-mine la pendiente y deflexin en el punto B. Use E 200 GPa.

9.75 Para la viga en voladizo y la carga que se muestran en la figura, deter-mine la pendiente y deflexin en el extremo C. Use E 29 106 psi.

9.76 Para la viga en voladizo y la carga que se muestran en la figura, deter-mine la pendiente y deflexin en el punto B. Use E 29 106 psi.

9.77 y 9.78 Para la viga en voladizo y la carga que se muestran en las figu-ras, determine a) la pendiente en el extremo A, b) la deflexin en el punto C. UtiliceE 200 GPa.

Figura P9.73 y P9.74

Figura P9.75 y P9.76




3 kN 3 kN

C

B

A

0.75 m 0.5 mS100 11.5

1.75 in.

30 in. 10 in.

BC

A

125 lb15 lb/in.

CB

140 kN80 kN m80 kN m

2.5 m 2.5 m

A

W410 46.1

W150 24

20 kN/m

30 kN

1.6 m0.8 m

A BC

a

A

M0

C

L

B

L/2 L/2

CA

B

w

AB

P

CD

L/3 L/3 L/3

A BC

L/2L/2

M0

Problemas 5679.83 y 9.84 Para la viga que se muestra en las figuras, determine la reaccinen B.

9.85 La viga DE descansa sobre la viga en voladizo AC, como se muestra enla figura. Si se sabe que para cada viga se usa una varilla cuadrada con 10 mm delado, determine la deflexin en el extremo C si el par de 25 N m se aplica a) en elextremo E de la viga DE, b) en el extremo C de la viga AC. Utilice E 200 GPa.

9.86 La viga BD descansa sobre la viga en voladizo AE, como se muestra enla figura. Si se sabe que para cada viga se usa una varilla cuadrada con 0.75 in. delado, determine para la carga que se indica, a) la deflexin en el punto C, b) la de-flexin en el punto E. Utilice E 29 106 psi.

9.87 Las dos vigas que se muestran en la figura tienen la misma seccin trans-versal y estn unidas mediante una bisagra en C. Para las cargas mostradas, deter-mine a) la pendiente en el punto A, b) la deflexin en el punto B. Utilice E 29 106 psi.

9.88 Una viga central BD est unida por medio de bisagras a dos vigas en vo-ladizo AB y DE. Todas las vigas tienen la seccin transversal que se indica. Para lacarga que se muestra en la figura, determine el mximo valor de w si la deflexin enC no debe exceder 3 mm. Considere E 200 GPa.

9.89 Antes de aplicar la carga uniformemente distribuida w, haba un espacio0 1.2 mm entre los extremos de las barras en voladizo AB y CD. Si E 105 GPay w 30 kN/m, determine a) la reaccin en A y b) la reaccin en D.




Figura P9.89

BA

C

L/2 L/2

M0

w

B

A C

L/2 L/2

A BC

D

E

15 in. 15 in. 15 in.

200 lb

0.75 in.

0.75 in.

A BCB

12 in.12 in.6 in.

Bisagra

D

800 lb

1.25 in.

1.25 in.A

B

CB

0.4 m 0.4 m 0.4 m 0.4 m

BisagraBisagraD E

24 mm

12 mm

w

400 mm250 mm

50 mm

50 mmw

A CD

B 0

E

120 mm 180 mm

25 N mB

A

C

D

10 mm

10 mm

568 Deflexin de vigas 9.90 Antes de aplicar la carga de 2 kips/ft, haba un espacio 0 0.8 in. en-tre la viga W16 40 y el apoyo en C. Si E 29 106 psi, determine la reaccinen cada apoyo despus de aplicar la carga uniformemente distribuida.

9.91 Las vigas AB y DE que se muestran en la figura tienen la misma rigideza flexin. Para la carga mostrada, determine la reaccin a) en B, b) en E.

9.92 La viga en voladizo BC est unida al cable de acero AB, como se mues-tra en la figura. Si se sabe que el cable estaba inicialmente tenso, determine la ten-sin en el cable causada por la carga distribuida que se indica. Use E 200 GPa.

9.93 Una varilla BC con in. de dimetro est unida a la palanca AB y alapoyo fijo en C. La palanca AB tiene una seccin transversal uniforme de in. deespesor y 1 in. de profundidad. Para la carga que se muestra en la figura, determinela deflexin en el punto A. Utilice E 29 106 psi y G 11.2 106 psi.

9.94 Una varilla de 16 mm de dimetro se dobla en la forma mostrada en lafigura. Determine la deflexin del extremo C despus de aplicar la fuerza de 200 N.Utilice E 200 GPa y G 80 GPa.

Figura P9.90


Figura P9.94

Figura P9.93

2 kips/ft

BA

W16 40

12 ft 12 ft

C 0

P 6 kipsa 4 ft

a 4 ft

b 5 ftD

A C

E

B

b 5 ftW410 46.1

6 m

A 255 mm2

3 m 20 kN/m

CB

A

20 in.

C

B

80 lb

10 in.

A

L 250 mm L 250 mm

200 N

C

A

B

78

38

*9.9 TEOREMAS DE MOMENTO DE READe la seccin 9.2 a la 9.6, se us un mtodo matemtico basado en la inte-gracin de ecuaciones diferenciales para determinar la deflexin y pendien-te de una viga en cualquier punto dado. El momento flector se expres co-mo una funcin M(x) de la distancia x medida a lo largo de la viga, y dosintegraciones sucesivas condujeron a las funciones (x) y y(x) que represen-tan, respectivamente, la pendiente y la deflexin en cualquier punto de la vi-ga. En esta seccin se ver cmo pueden usarse las propiedades geomtricasde la curva elstica para determinar la deflexin y pendiente de una viga enun punto especfico (figura 9.40).

Considere una viga AB sometida a alguna carga arbitraria (figura 9.41a).Se dibuja el diagrama que representa la variacin de la cantidad M/EI a lolargo de la viga, que se obtuvo dividiendo el momento flexionante M entrela rigidez de flexin EI (figura 9.41b). Se observa que, excepto para distin-tas escalas en la ordenada, este diagrama ser el mismo que el del momentoflector si la rigidez a flexin de la viga es constante.

Al recordar la ecuacin (9.4) de la seccin 9.3, y el hecho de quese tiene:

o bien

(9.54)

Al considerar dos puntos arbitrarios C y D en la viga e integrando am-bos miembros de la ecuacin (9.54) de C a D, se tiene

o bien

(9.55)

en donde y denotan la pendiente en los puntos C y D, respectivamen-te (figura 9.41c). Pero el miembro del lado derecho de la ecuacin (9.55) re-presenta el rea bajo el diagrama (M/EI) entre C y D, y el miembro del la-do izquierdo es el ngulo entre las tangentes a la curva elstica en C y D(figura 9.41d). Si se denota este ngulo como se tiene

uD/C rea debajo del diagrama (M/EI)entre C y D (9.56)

ste es el primer teorema del momento de superficie.

uD/C,

uDuC

uD uC xD

xC

MEI

dx

uD

uC

du xD

xC

MEI

dx

du MEI

dx

dudx

d2ydx2

MEI

dy/dx u,

9.9 Teoremas de momento de rea 569

Figura 9.40 Las deflexiones de las vigas quesoportan los pisos de un edificio deben tomarseen cuenta en el proceso de diseo.

B

B

B

C

C

C

D

D

D

A

A

A

ME1

x

a)

b)

c)

d)

D

C

B

CD

AD/C

Figura 9.41

d

d

C

dsP'

P

Figura 9.42

Esta relacin tambin puede obtenerse haciendo referencia a los resultados de la seccin 9.3, alnotar que el ngulo formado por las tangentes a la curva elstica en P y , tambin es el ngu-lo que forman las normales correspondientes a dicha curva (figura 9.42). Entonces se tiene que

, en donde ds es la longitud del arco y es el radio de curvatura en P. Sustituyendopara de la ecuacin (4.21), y observando que, como la pendiente en P es muy pequea, ds esigual en una primera aproximacin a la distancia horizontal dx entre P y entonces se tiene

(9.54)du MEI

dx

P,1r

rPPdu dsr

Pdu

Se observa que el ngulo uD/C y el rea bajo el diagrama (M/EI) tie-nen el mismo signo. En otras palabras, un rea positiva (por ejemplo, un rea localizada sobre el eje x) corresponde a una rotacin contra las agujasdel reloj de la tangente a la curva elstica conforme se pasa de C a D, y unrea negativa corresponde a una rotacin en el sentido del movimiento delreloj.

Considere dos puntos P y P localizados entre C y D y a una distan-cia dx uno de otro (figura 9.43). Las tangentes a la curva elstica dibuja-das en P y P interceptan un segmento de longitud dt sobre la vertical a travs del punto C. Dado que la pendiente u en P y el ngulo du formado porlas tangentes en P y P son cantidades pequeas, se puede asumir que dt esigual al arco de crculo de radio x1 que subtiende el ngulo du. Se tiene, en-tonces

o, sustituyendo para d de la ecuacin (9.54),

(9.57)

Ahora, se integra la ecuacin (9.57) desde C hasta D. Se observa que,conforme el punto P describe la curva elstica desde C hasta D, la tangenteen P recorre la vertical en C, desde C hasta E. La integral del miembro dellado izquierdo, entonces, es igual a la distancia vertical de C a la tangenteen D. Esta distancia se denota por tC/D y se llama desviacin tangencial deC con respecto a D. As, se tiene

(9.58)

Se observa que (M/EI) dx representa un elemento de rea bajo el diagra-ma (M/EI), y x1(M/EI) dx es el primer momento de ese elemento con respec-to al eje vertical que pasa por C (figura 9.44). El miembro del lado derechode la ecuacin (9.58), entonces, representa el primer momento del rea loca-lizada bajo el diagrama (M/EI) entre C y D, con respecto a dicho eje.

Por tanto, es posible establecer el segundo teorema del momento de reacomo sigue: la desviacin tangencial tC/D de C con respecto a D es igual alprimer momento del rea bajo el diagrama (M/EI) entre C y D con respec-to a un eje vertical que pasa por C.

Si se tiene presente que el primer momento de un rea con respecto a uneje es igual al producto del rea con la distancia de su centroide a dicho eje,tambin puede establecerse el segundo teorema del momento de rea comosigue:

(9.59)

en donde el rea se refiere al rea bajo el diagrama (M/EI), y donde es la distancia del centroide del rea al eje vertical que pasa por C (figura 9.45a).

x1

tC/D 1rea entre C y D2 x1

tC/D xD

xC

x1 MEI

dx

dt x1 MEI

dx

dt x1 du


BC D

dxx1

dt

d

A

P'P

E

BC DA

ME1

xP'P

dxx1

BA

B

CtC/D

tD/C

D

D

A

C'

D'

C

BC DA

ME1

x

BC DA

ME1

x

x2

a)

b)

x1

Figura 9.43

Figura 9.44

Figura 9.45

Se debe tener cuidado para distinguir entre la desviacin tangencial deC con respecto a D, denotada por tC/D, y la desviacin tangencial de D conrespecto a C, la cual se denota por tD/C. La desviacin tangencial tD/C repre-senta la distancia vertical de D a la tangente a la curva elstica en C, y seobtiene multiplicando el rea bajo el diagrama (M/EI) por la distancia des-de su centroide al eje vertical que pasa por D (figura 9.45b):

(9.60)

Se observa que, si el rea bajo el diagrama (M/EI) se localiza arriba deleje x, su primer momento con respecto al eje vertical ser positivo; si se lo-caliza abajo del eje x, su primer momento ser negativo. En la figura 9.45 seobserva que un punto con una desviacin tangencial positiva se localiza arri-ba de la tangente correspondiente, mientras que un punto con una desviacintangencial negativa se localizar debajo de esa tangente.

*9.10 APLICACIN A VIGAS EN VOLADIZO Y VIGAS CON CARGAS SIMTRICAS

Se recuerda que el primer teorema de momento de rea que se obtuvo en laseccin precedente define el ngulo uD/C entre las tangentes en dos puntos Cy D de la curva elstica. Entonces, el ngulo uD que la tangente en D formacon la horizontal, es decir, la pendiente en D, puede obtenerse slo si se co-noce la pendiente en C. En forma similar, el segundo teorema de momentode rea define la distancia vertical de un punto de la curva elstica desde latangente en otro punto. La desviacin tangencial tD/C, entonces, ayudar a lo-calizar el punto D slo si se conoce la tangente en C. Se concluye que losdos teoremas de momento de rea se pueden aplicar eficazmente a la deter-minacin de pendientes y deflexiones slo si primero se ha determinado unacierta tangente de referencia a la curva elstica.

En el caso de una viga en voladizo (figura 9.46), se conoce la tangen-te a la curva elstica en el extremo fijo A y puede usarse como la tan-gente de referencia. Como uA 0, la pendiente de la viga en cualquier punto D es uD uD/A y puede obtenerse por medio del primer teorema demomento de superficie. Por otro lado, la deflexin yD del punto D es iguala la desviacin tangencial tD/A medida desde la tangente de referencia horizontal en A y puede obtenerse por medio del segundo teorema de mo-mento de rea.

En el caso de una viga AB apoyada simplemente con una carga simtri-ca (figura 9.47a) o en el caso de una viga simtrica colgante con carga si-mtrica (vase el problema modelo 9.11), la tangente en el centro C de la

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