CAPITULO IV: SERIES DE FOURIER - cfm.clrjimenez/edp1/sa.pdf · 4.2 CONVERGENCIAS DE SUCESIONES Y...

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

CAPITULO IV: SERIES DE FOURIER 4.1. ESPACIOS DE FUNCIONES: Un primer problema que abordaremos es la convergencia de ciertas series de funciones. El concepto de convergencia lleva implícito el concepto de límite y éste a su vez, lleva el concepto de “cercanía”, es decir, el concepto de distancia. La distancia, en n se define con el valor absoluto, y este concepto en espacios de funciones, se define como norma. Para definir norma, necesitamos la siguiente DEFINICION 1: Sea V un espacio vectorial (ev) real o complejo. Un producto interior es una aplicación que a todo par de elementos u, v de V, le hace corresponder un número, denotado por <u, v>, con las siguientes propiedades: a); <u, v> ≥ 0; <u, u> = 0⇔ u = 0. b) <u+ w, v>=<u, v>+<w,v>; <λu v>=λ<u, v>. c) <u, v>=<v, u>, de suerte que <u, λv>=λ<u, v>. (Revise el caso complejo). DEFINICION 2: Un e.v. con producto interior de llama espacio euclídeo (e.e.). Ejemplos:

1. n con < > es un e.e. ==∑x y x yi ii

n

,1

2. C[a,b] con es un e.e. ∫>=<b

a

dx)x(g)x(fg,f

3. C[0,1] con es un e.e. En este caso se trata de un producto interior

ponderado con función peso ρ(x)>0 en [0,1].

∫ρ>=<1

0

dx)x(g)x(f)x(g,f

OBSERVACION IMPORTANTE: El Ej.1 es un espacio de dimensión finita. Los ejemplos. 2 y 3, son espacios de dimensión infinita. Estos espacios requieren un tratamiento cuidadoso!!. DEFINICION 3: Se llama norma sobre un e.e. V a una aplicación u→ u , con las siguientes propiedades: a) 0u0u,0u =⇔=≥

b) uu λ=λ

c) vuvu +≤+ , (desigualdad triangular) OBSERVACIONES: 1. vuvuvu +≤+≤− . Pruébelo.

2. La norma ⋅ coincide con el valor absoluto ⋅ si V= . DEFINICION 4: Un e.v. con una norma se llama espacio normado (en). La relación entre norma y producto interior está dada por:

Prof. Dr. Raúl F Jiménez

49


Vuu,uu 2/1 ∈∀>=< . Sea V un e.e, la expresión: < > ≤ ∀ ∈u v u v u v V, ,2 2 2 se llama desigualdad de Schwarz. La igualdad se cumple si ∃ k tal que v= ku. DEFINICION 5: Sea V un e.e. Se llama distancia entre u y v a la cantidad vu − =d(u,v). NOTA: Si V= n entonces u v− = ⎟u - v⎟ =d(u, v) es la distancia clásica. DEFINICION 6: Dos elementos no nulos u, v ∈ V se dicen ortogonales (OG) si <u, v>=0. Si <u, v>=0, entonces u v u v+ = +2 2 2 (Teorema de Pitágoras) Si V es un e.v. real, entonces, u v u v+ = +2 2 2 ⇒ <u, v>=0. DEFINICION 7: Un conjunto de vectores {xi} de un e.v. V es ortogonal (OG) si: i) xi≠0 ∀i ii) <xi,xj>=0 ∀i≠j Además, diremos que {xi} es ortonormal (ON) si es OG y

iii) xi =1 ∀i. Notación: {xi} ON ⇔ <xi,xj> = δij (delta de Kronecker). La propiedad más importante de los conjuntos OG es que sus componentes son linealmente independientes( l. i.). La extensión del concepto l. i. a conjuntos infinitos es trivial (aunque poco operativa...): "Todo conjunto infinito de vectores es l.i. si y sólo si cada una de los subconjuntos finitos es l.i”. Ejemplo 4. El espacio de los polinomios tiene dimensión infinita y claramente, 1, x, x2, x3,.... es l.i. en ese espacio. RECUERDOS : i). Un conjunto OG es una base de un e.e. de dimensión n ssi tiene n vectores l.i. ii) Todo e.e. de dimensión finita tiene una base ON. IDEA: Extender estos conceptos a espacios de dimensión infinita. Las combinaciones lineales finitas para expresar elementos de esos espacios son ahora combinaciones lineales infinitas, es decir, "series". Luego aparecerá el problema de la convergencia ! 4.2 CONVERGENCIAS DE SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES. A.- Convergencia de sucesiones de funciones. Estamos interesados en funciones definidas por expresiones del tipo:


50


f(x)=f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fn (x) + . . . , ∀x∈[a,b]⊆3, Para iniciar este estudio, debemos empezar con sucesiones de funciones y ver si ellas convergen o no, es decir, si la sucesión de funciones representa una función. Dicho en otras palabras, si es verdad que: f(x)={ }f xn n

( )=

∞

1={fn (x)}.

De los cursos de Cálculo, sabemos que si x0∈[a,b] fijo entonces {fn (x0)} es una sucesión de números reales, y si ella converge al número f(x0), entonces podemos escribir: f x lim f xn n( ) ( )0 0= →∞ , y decimos que fn (x0) converge puntualmente (CP) a f(x0). Si esto es válido para cada x∈[a,b], entonces decimos que {fn(x)} converge puntualmente a f(x) en [a,b]. NOTACION: (1) ]b,a[en)x(f)x(f .P.C

n ⎯⎯ →⎯ Supongamos que todas las fi (x) y f(x) pertenecen a un cierto espacio normado V. En tal caso, podemos expresar (1) como: (2) Nn,)x(f)x(fquetalN],b,a[x,0 n >∀ε<−∃∈∀>ε∀ , donde N puede depender de ε y de x.

EXISTEN OTROS TIPOS DE CONVERGENCIAS ?. La respuesta es afirmativa; como veremos hay otros dos tipos de convergencia: la convergencia uniforme y la convergencia en media. A. convergencia uniforme: Consideremos los siguientes ejemplos Ejemplo 5. La sucesión de funciones

f xx x

xn

n

( ), [,

,=∈

>

⎧⎨⎩

0 11 1

, ]

,⎯ →⎯⎯ =

∈

>

⎧⎨⎩

0 01 1

algunos de cuyos gráficos aparecen en la Fig.3. Claramente:

f x f xx

xnCP( ) ( )

, [ , ]1

Figura 3.

Observamos que todas las fn (x) son continua, pero f no lo es!.


51


Ejemplo 6. Sea f x

x nn x

n x n

x n

n( )

, /

sen , / /

, /

=

− ≤ −

− < <

≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

1 1

21

1 1

π1 , algunos de cuyos gráficos aparecen

en la Fig.4

Claramente, f x f xxxx

nCP( ) ( )

,,,

⎯ →⎯⎯ =

− <

=

>

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 00 01 0

Observamos que todas las fn (x) son derivables, pero f(x) no lo es!.

Figura 4

Ejemplo 7. Sea f xn x x nn n x n x n

n xn( )

, /, / /

, /=

≤ ≤

− < <

≤ ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 0 1 22 2 1 2 1

0 1 1

2

2 CP f x⎯⎯ =( ) 0 ⎯ → . Haga un gráfico y verifique la

CP.

En este caso, f x dx nn( ) ,=∫ 120

1∀ y sin embargo

0

10∫ =f x dx( )

De estos tres ejemplos deducimos que la función límite f pierde alguna propiedad que poseen todas las funciones de la sucesión fn!!!

ES POSIBLE REMEDIAR ESTA SITUACION ?

Los gráficos de fn (x) no se acercan al gráfico de f(x) en todo el intervalo [a,b]. Dicho de otro modo, si dibujamos una banda de ancho 2ε alrededor de f, entonces los gráficos de cada fn (x), a partir de un cierto n>N, no quedan completamente dentro de esa banda. Más aún, no existe un tal N que lo consiga, es decir, no se cumple: (3) ∀ε > ∃ ∀ ∈ − < ∀ >0, , [ , ,N x a b] tal que f f n Nn ε donde N puede depender de ε, pero NO de x. Observe que (2) y (3) son diferentes!!! DEFINICION 8. Decimos que {fn} converge uniformemente (CU) a f en [a,b] si (3) es válida. También decimos que f es el límite uniforme de {fn}.

NOTACION: f , en [a, b] fnCU⎯ →⎯⎯

CU ⇒ CP


52


Ejemplo 8. Sea fn (x)=xn ,x∈[0,½], algunos de cuyos gráficos aparecen en la Fig. 5 Claramente, limfn(x)=f(X)=0 (cp).

Dado ε>0, eligiendo N tal que 1

2N < ε ,

fn (x) está en la franja ∀n>N, ∀x∈[0,½]. Notar que N no depende de x, sólo de ε. Luego hay convergencia uniforme.

Figura 5

Ejemplo 9. Sea f xnxn x

xn( ) , [ , ]=+

∈2

10 12 2 ,

algunos de cuyos gráficos aparecen en la Fig.6.

Para calcular lím fn (x), escribimos f x

xn

xn

n( ) =+

2

122

Observamos que fn (0)=0 ∀n, y si x≠0, entonces lím fn (x)=0, x∈[0,1], luego fn (x)→0 en [0,1] (CP).

Figura 6

Para graficar las fn (x), calculamos f xn n x

n xn'( )

( )( )

=−

+

2 11

2 2

2 2 2 . Observamos que en x=1/n se alcanzan los

máximos y fn (1/n)=1, ∀n, es decir, las imágenes crecen desde 0 a 1 y luego decrecen. Si elegimos ε=1/2, la condición de CU requiere que 2/1)x(f)x(f2/1)x(f n +≤≤− , pero f(x)=0 en [0,1/2], luego 2/1)x(f2/1 n ≤≤− . Pero todas las fn (x) alcanzan el valor 1 en algún punto del intervalo [0,1]. Luego, no hay CU. CRITERIO PARA LA CONVERGENCIA UNIFORME DE SUCESIONES. Supongamos que fn (x) y f(x) son continuas en [a,b], entonces: .n,0)x(f)x(fmáx]b,a[en)x(f)x(f nn

CUn ∞→→−=ε⇔⎯⎯→⎯

Ejemplo 10. Dada la sucesión ]1,0[x,xn1

xn)x(f 23

2

n ∈+

= , demostrar que fn (x)→0 para cada x∈

[0,1] y determinar si la convergencia es o no uniforme.


53


SOL: Claramente f x

xn

nx

n( ) =+

13

2.

Si x=0, fn (0)=0, ∀n ⇒ fn (0)→0, n→∝

Para x∈]0,1], límf x límx n

x nn( )/

/=

+=2 31

0.

Luego, f(x)=0 en [0,1] ⇒ εn =máx⎜fn (x) ⎜.

Para hallar este máximo, calculamos

f xn x n n x n x

n xn n x

n xn' ( )

( )( )

( )( )

=+ −

+=

−

+

1 21

11

3 2 2 2 3

3 2 2

2 3 2

3 2 2 .

∴ fn'(x)=0⇒x=xn=n-3/2 ⇒εn =fn (xn)= ∞→∞→=+ −

−

n,2n

nn1nn

33

2/32

⇒ εn no converge a 0. Luego

no hay CU. EJERCICIOS 1 1. Dadas las sucesiones de funciones {fn} sobre el intervalo I⊆ estudie si existe una función f: I→ tal que lím fn = f. En qué casos la sucesión CU a f?

a) d) I=[-1,1], f n

0, x nI , f (x)

x n, x n≤⎧

= = ⎨ − >⎩x en

nx( ) = − 2

b) I=[0,1], f x xnn( ) = e) I= , f x

nen

x( ) = −1 2

c) I=]1,+∞[, f xexn

x

n( ) =

2. Estudie el límite de las siguientes sucesiones:

a) I=3, f xxn n( ) =

+

11 2 e) I=[0,1], f x

n xn xn( ) =+

+

2

b) I=[-2,2], f xx

xn

n

n( ) =+

2

21 f) I=[0,1],

n

n nx1)x(f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

c) I=[-1,1], f xnxn xn( ) =

+1 2 2 g) I=[0,+∞ [, f xnx

nxn( ) =+ 1


54


d) I=[-1,1], f xn x

n xn( ) =+

2 2

2 21

3. Estudie la convergencia puntual y la CU de las siguientes sucesiones de funciones. Averigüe si hay otros criterios para determinar la CU de sucesiones de funciones.

a) I=[0,1], f xnx

nxn( ) =+

3

1 e) I=[0,1], f x nxen

nx( ) = − 2

b) I=[0,1], f x f) I= [0,1], n x xnn( ) ( )= +2 1 f x

ne xen xn

x x

( ) =+

+

−

c) I=[-1,2], f xxnn

n

( ) =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ g) I= ]0,π[, f x

nxnxn( )

sen=

d) I=[-1,2], f x h) I=[0,π], ennx( ) = f x

nxnn( )

sen=

PROPIEDADES IMPORTANTES DE LAS SUCESIONES UNIFORMEMENTE CONVERGENTES: Las demostraciones de los teoremas dados a continuación, quedan como ejercicios. TEOREMA 1: "Supongamos que f en [a, b]. Si cada fn es continua en [a,b], entonces f es también continua".

f

f

nCU⎯ →⎯⎯

Supongamos que fn CU en [a,b]. Si c∈[a,b], entonces podemos formar una nueva sucesión Fn

definida por F , n=1,2,3...El siguiente resultado establece la convergencia de esta nueva sucesión.

x f t dtn nc

x( ) ( )= ∫

TEOREMA 2: "Supongamos que f en [a,b], y supongamos que cada fn

CU⎯ →⎯⎯ n es continua en

[a,b], entonces la sucesión Fn (x) CU a F x f t dtc

x( ) ( )= ∫ en [a,b]".

El siguiente teorema nos permite obtener conclusiones sobre sucesiones que son derivables término a término. TEOREMA 3: "Supongamos que fn(x0) converge en un punto x0 de [a,b] y que f g en [a,b]. Entonces f

nCU' ⎯ →⎯⎯

n CU a una función derivable tal que f '(x)=g(x) ∀x∈[a,b]". EJERCICIOS 2 1. En cada una de las siguientes sucesiones definidas sobre , estudie si: i) fn es continua ii) la sucesión {fn} converge a una función continua:


55


a) f xx

xn

n

n( ) =+

2

21 b) f x

si xx si x

si xn

n( ),,

,=

<

≤ ≤

>

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0 00 1

1 1

c) f xsi x n

nx si n x nsi x n

n( ), /, /

, /=

− ≤ −

− < <

≥

/

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 11 1

1 1

2. Demuestre que la sucesión {fn}, definida sobre [0,1] por f , converge a una

función integrable y que, sin embargo,

x n xennx( ) = −2 2

{ }lím f x dxn nn

→∞=

∞

∫ = +∞( )0

1

1.

3. Sea {fn} la sucesión sobre [0,1] definida por: a) f x nx xn

n( ) ( )= −1 2

b) f xn x si x n

n n x si n xsi n x

n( ), /

, /, /

=

≤ ≤

− <

≤ ≤

n/<

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 02 2 1 2 1

0 1

2

2

1 2

1

Cuál es la función f=lím ?. Es verdad que fn n→∞ { } { }f x dx lím f x dxn n( ) ( )0

1

0

1∫ ∫= →∞ ?

4. Sea fn: → la sucesión de funciones definida por:

f x

si x nn x

si n x n

si x nn( )

, /

sen , / /

, /

=

− ≤ −

− < <

≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 1

21 1

1 1

π

Compruébese que fn es derivable para todo n, y que la sucesión converge a una función f, que no es continua en .

5. Sea fn: → la sucesión de funciones definida por:2

nsenn xf (x)

n= . Demuestre que hay

CU, que fn es derivable en para todo n, y que { }fn' ( )0 no tiene límite.

6. Sea fn:[0,1]→3 la sucesión de funciones definida por:f xn xn xn( ) =

+

2

3 31. Cuál es la función

f=lím ?. Demuéstrese que la sucesión no CU, y que sin embargo, f '= límf 'n. fn n→∞{ }

7. Sea fn : → la sucesión de funciones definida por:f xxnxn( ) =

+1 2 . Hállese el límite de {fn} y

de {f 'n}. Determínense en que intervalos la convergencia es uniforme. B. CONVERGENCIA DE SERIES DE FUNCIONES:


56


DEFINICION 9. Sea fn:[a, b]→ una sucesión de funciones. Una serie de funciones es un par de sucesiones fn y sn cuyos términos están relacionados por:

i) s x (sumas parciales) f xni

n

( ) ( )==∑

1i

ii) f x . s x f x s x s xn n n1 1 1( ) ( ); ( ) ( ) ( )= = − −

NOTACION: o simplemente ∑ff xnn=

∞

∑1

( ) n.

La función sn se llama n-ésima suma parcial de la serie, y la función fn se llama término general de la serie. Nota: Las series de potencias ∑an (x-a)n son casos especiales de series de funciones. DEFINICION 10. Sea ∑fn una serie de funciones sobre un conjunto M de . Diremos de ∑fn converge si existe una función f: M→ tal que s x . En tal caso f se llama suma de la serie y se denota por S. Así mismo diremos que ∑f

f xnCP( ) ( )⎯ →⎯⎯

n converge a f. Nota: Las series no convergentes se llaman divergentes.

Ejemplo 11. , M=]-1,1[ converge a S=xn

n

−

=

∞

∑ 1

1

11− x

, ∀x∈]-1,1[.

Ejemplo 12. , M= diverge, pero la misma serie, con M=[0,2] converge a

f x

x x n

n( )1

1−

=

∞

∑x

x x( )

,,

==

− < <

⎧⎨⎩

0 01 0 2

DEFINICION 11. Sea ∑fn una serie de funciones sobre un conjunto M de . Diremos que ∑fn converge uniformemente en M, si existe una función f: M → tal que s f . n

CU⎯ →⎯⎯ CRITERIO PARA LA CU DE SERIES DE FUNCIONES: CRITERIO DE WEIERSTRASS Sea ∑fn una serie de funciones sobre un conjunto M de y sea ∑an una serie convergente de números reales, tales que |fn (x)|≤ an, ∀n, ∀x ∈ M. Entonces ∑fn es uniforme y absolutamente convergente sobre M.

Ejemplo 13. Determine la CU de la serie de funciones 1

1 nxn=

∞

∑ , M=[a,+∝[.

SOL: Claramente 1 1

n nx ≤ a , con a>1. Luego existe CU siempre que a∈]1,+∝[.

Ejemplo 14. Determine la CU de la serie de funciones x nxn∑ sen , M=[-½, ½].


57


SOL: |fn(x)|≤12n , ∀n, ∀x ∈ M y como ∑ n2

1 converge⇒ x nxn∑ sen CU y CA.

CRITERIO DE DIRICHLET Si bn(x) es una función positiva monótona decreciente en n para cada x∈[a,b], si bn(x) tiende uniformemente a cero en [a,b] , y si ∑un(x) ya sea que CU o bien oscile finitamente en [a,b], entonces la serie ∑bn(x)un(x) CU en [a,b]. Propiedades de las series uniformemente convergentes: Las demostraciones de los siguientes teoremas quedan como ejercicios al lector. TEOREMA 4. "Supongamos que la serie ∑fn CU a S. Si cada término de la serie es continuo en [a,b], entonces su suma S también es continua y f x dx f x dx S x dxna

b

na

b

a

b∫∑ ∑∫ ∫= =( ) ( ) ( ) ". Cuando existe CU podemos intercambiar las operaciones ∑ e ∫. TEOREMA 5. "Si ∑fn (x) CP a S(x) en [a,b] tal que fn ∈ C1[a,b] y ∑fn'(x) CU a g en [a,b], entonces S'(x)=g(x), x∈[a,b]". TEOREMA 6. "Si ∑fn (x) CU a S entonces ∑fn (x) CP a S". EJERCICIOS 3

1. Demuestre que la serie definida en [0,1] por xn

xn

n

n

n2 1

1 2 1 2

−

=

∞

−−∑ , es convergente, pero no

es uniformemente convergente.

2. Demuestre que la serie definida en por ( )

sen−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

∞

∑ 11

1

n

n nxn

es uniformemente

convergente. 3. Estúdiese la convergencia y la CU de las siguientes series en definidas por:

a) xx n

n ( )1 21 +=

∞

∑ e) ( )ln( )−

+=

∞

∑ 111

n

xn n n

b) x

n nxn ( )1 21 +=

∞

∑ f) ln

senn

nnx

n=

∞

∑1

c) x

nn2

1=

∞

∑ g) enx

nsen

=

nx∞

∑1


58


d) 1

21 n xn +=

∞

∑ 2 x h) cos cosn

nx n

=

∞

∑1

4. Estúdiese la convergencia y la CU de ∑fn sobre M dada por: a) M=[-½,½], f x xn

n n( ) ( )= − −1 1

b) M=[-1,1], f x xn nn( ) = −

12

1 2

c) M=[0,+∝[, f xx

nx n xn( )( )[(

=+ + +1 2) ]1

d) M=]0,1[, f xx

n nxn( )( )/=+3 4 21

e) M=]0,2π[, f xnx

nnx

( )cos

log ( )=

+1

5. Demuestre las siguientes relaciones:

a) 1

1 2 31

3 4 51

5 6 72

12⋅ ⋅

+⋅ ⋅

+⋅ ⋅

+ = −...... ln

b) 1

1 2 31

3 4 51

5 6 712

1 2⋅ ⋅

−⋅ ⋅

+⋅ ⋅

− = −...... ( ln )

c) 1

2 3 41

4 5 61

6 7 814

3⋅ ⋅

−⋅ ⋅

+⋅ ⋅

− = −...... ( )π

d) 1

1 2 3 41

5 6 7 814

26⋅ ⋅ ⋅

+⋅ ⋅ ⋅

+ = −...... (ln )π

6. Demuestre que la serie xn

xn

xn

n

n

n n2 1

1

2

2 1 2

−

=

∞

−− +∑ converge en el intervalo [0,1]. Determine su

suma y estudie si la convergencia es uniforme. 7. Demuestre que:

a) 114

17

110 1

13 3

230

1− + − + =

+= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∫...... ln

dxx

π

b) 12

15

18

111 1

13 3

230

1− + − + =

+= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∫......

( )ln ln

xdxx

π

CONVERGENCIA EN MEDIA DEFINICION 12. Sea fn una sucesión de funciones continuas. Decimos que fn converge en media a una función continua f, y escribimos f en [a,b], si fn

CM⎯ →⎯⎯

( )lím f f lím f x f x dxn n n na

b

→∞ →∞− = −⎛⎝

⎞⎠∫ ( ) ( )

/2 1 2

=0,

Ejemplo 15. La sucesión {x }⊆C[-1,1] CM a f(x)=0 en [-1,1]. En efecto, x x, , ,...2 3


59



60

lím x lím x dx límnn

nn

nn→∞ →∞ − →∞− = =

+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =∫0

22 1

02

1

1 1 21 2

( ) //

, Sin embargo, {x } NO CP a 0 en [-

1,1], pues en x=1 converge a 1, y en x= -1 no converge!.

x x, , ,...2 3

Convergencia Uniforme ⇒ Convergencia en Media C. ORTOGONALIDAD DE FUNCIONES DEFINICION 13. Una función f:[a,b]→ se dice acotada en [a,b] si existe M>0 tal que

⏐f(x)⏐<M ∀x∈[a,b], y se dice cuadrado integrable si f x dxa

b 2∫ < +∞( ) .

NOTA: Con una definición más general de integral (integral de Lebesgue), el espacio de las funciones cuadrado integrables sobre [a,b], constituye uno de los espacios de funciones más importantes en las aplicaciones. Se le denota por L2 [a,b]. Se trata de un espacio euclídeo con producto interior integral y es uno de los más conocidos espacios de Hilbert Ejemplo 16. Verificar que la sucesión de funciones cuadrado integrables {cos nx}, n=0,1,2,.. es OG en [0,π]. Hallar el conjunto ON asociado.

SOL: , n≠m ∫π

>=<0

mxdxcosnxcosmxcos,nxcos

∫π

−++=0

dx]x)mncos(x)mn[cos(21

, n≠m

=+

+

⎛⎝⎜ +

−

−

12 0

sen( ) sen( )n m xn m

n m xn m

π, n≠m

= 0. Además, claramente, <1,cosnx>=0, ∀n. Para obtener el conjunto ON asociado, debemos calcular f xn( ) , ∀n=0,1,2,3...

i) n≠0: f xn( ) 2= cos ( cos ) cos20 0

0

12

1 22 2

nxdx nx dxx

nxπ π

2

π π π∫ ∫= + = = ⇒ =

ii) n=0: 1 12

0= = ⇒ =∫dx

ππ π .

∴ El conjunto ON será 1

222

1 2

1π π π π π

,cos

/,cos

/,.... , cos

x xnx

n

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎭ =

∞

.

EJERCICIOS 4 1. Probar que: a) { es OG en [-π,π], y hallar el conjunto ON asociado. }sen , ,cosnx nx n1 1=

∞


NOTA: La OG de este conjunto en C[-π,π], indica que este conjunto es l.i. Además, como todo conjunto de n+1 vectores en un espacio de dimensión n, es l.d.; se concluye que C[-π,π] es de dimensión infinita !!

b) senn xL n

π⎧⎨⎩

⎫⎬⎭ =

∞

1

, L>0, es OG en [0,L] y en [-L,L]. Obtenga el conjunto ON asociado.

c) 12 2

1

,sen ,cosn xT

n xT n

π π⎧⎨⎩

⎫⎬⎭ =

∞

, es OG en [-T/2,T/2].

d) ( )112

3 112

5 32 3, , , ( )x x x x− −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

, es OG en [-1,1].

DEFINICION 14. Sea ρ:[a,b]→ una función continua sobre [a,b], ρ>0 en [a,b]. Un conjunto {gn (x)} es OG en [a,b] con respecto a la función ponderadora ρ(x) si:

< > , i≠j. = ∫g x g x x g x g x dxi j ia

b

j( ), ( ) ( ) ( ) ( )ρ 0=

Este producto interior se conoce como producto interior ponderado. NOTA: Si ρ(x)≡1, entonces el producto interior ponderado coincide con el producto interior clásico Ejemplo 17. Verifique que {e nxx

n− }

=

∞21

sen es ON en [0,π] con respecto a la función ponderadora

ρπ

( )x e x=2 4 .

4.3 SERIES GENERALIZADAS DE FOURIER A. Extensión del concepto de base a espacios de dimensión infinita: Sabemos que el conjunto φ φ de elementos de un e.e. V, forman una base si todo elemento f ∈ V puede escribirse en la forma

φ φ1 2 3, , ,.... ,...n

(1) f ci ii

==

∞

∑ φ1

donde las ci son constantes y la serie CONVERGE!!.

¿QUE SIGNIFICA QUE (1) CONVERJA ? Claramente, convergencia hacia un elemento de V. Por ejemplo, si V=C[a,b] y f es la función continua f:[a,b]→ , entonces la convergencia en (1) no significa convergencia a un valor particular de x (donde estén definidas todas las φi y f(x)). Más precisamente, si

s cn ii

n

==∑ φ

1i

entonces la convergencia en (1) significará: (2) lím s fn n→∞ − = 0,


61


es decir, convergencia en media. Por lo tanto, si V=C[a,b], entonces (2) puede escribirse como

(3) . ( ) 0dx)x(f)x(slím2/1b

a

2nn =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −∫∞→

Nota: Es obvio que si existe CU de sn a f, entonces (2) es válido. En lugar de bases ON, usaremos el término conjunto ortonormal completo, cuando tratamos con e.e. de dimensión infinita. Para aclarar esto, necesitamos el siguiente concepto: PROPIEDAD DE CAUCHY: Sea V un e.e. y {fn} ⊆V tal que lím f fn n→∞ − = 0 . Entonces (4) ∀ε > ∃ − ≤ ∀ ≥0, ( ): ,N f f n mn mε ε N. DEFINICION 15 Una sucesión fn que verifica la propiedad (4) se llama sucesión de Cauchy.

Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. DEFINICION 16. Si toda sucesión de Cauchy de V converge a un elemento de V, se dice que V es un espacio completo. Ejemplo 18. n con la norma euclídea es un espacio completo. DEFINICION 17. Un conjunto ON {φj } ⊂V e.e. es completo si todo elemento f∈V es el límite, en el sentido de la CM, de una sucesión {fn}, donde cada fn es una combinación lineal finita de los φj DEFINICION 18. Un espacio completo para una norma asociada a un producto interior se llama espacio de Hilbert. Ejemplo 19. Son espacios de Hilbert : n y n = espacio de las n-uplas de números complejos,

l2=espacios de las sucesiones de números reales tales que xii

2

1=

∞

∑ < ∞, L2[a,b], etc.

Nota: Los espacios de Hilbert son herramientas básicas en la Matemática Aplicada, y permiten resolver variados problemas de la Ingeniería En todo espacio de Hilbert podemos hacer "geometría": ortogonalidad, proyecciones,... ..................

Volvamos a (1): f ci ii

==

∞

∑ φ1

Si nada asegura la convergencia de la serie a un elemento f del espacio, escribimos


62


F ∼ ∑ci φi, y se dice que la "representación en serie" de f es formal, es decir, podría carecer de significado matemático.

DEFINICION 19. La serie f se llama serie generalizada de Fourier, y los números (reales o

complejos) c

ci ii

==

∞

∑ φ1

i se llaman coeficientes generalizados de Fourier de f con respecto al conjunto ON completo {φi }. OBSERVACIONES IMPORTANTES: 1. Todas las combinaciones lineales de un número finito de senos y cosenos constituyen un subespacio W de V de dimensión finita. 2. Todas las combinaciones lineales finitas de senos y cosenos forman un subespacio W de V de dimensión infinita. TEOREMA 7. "Sea {φi } un conjunto ON y supongamos que f está dado por

f (CM), entonces cci ii

==

∞

∑ φ1

i = <f, φi >".

Para demostrar este teorema necesitamos el concepto de "mejor aproximación", que veremos enseguida. Este teorema afirma que siempre que f pueda expresarse como una serie, que converge en media, donde los coeficientes de la serie están unívocamente determinados y deben ser los coeficientes generalizados de Fourier. Ejemplo 20. Hallar los coeficientes generalizados de Fourier de f ∈ C[-π,π], definida por f(x)=x, con

respecto al conjunto ON: ,....x3sen,x2sen,xsenπππ

SOL: dxkxsenx,fc kk ∫π

π− π>=φ=< , k=1,2,3,....

= =−

⎧⎨⎪

⎩⎪−∫1 2

2π

π

ππ

πx kx

k k impak k par

sen,

,r

∴ ckk

k= − −( )121 π

luego podemos escribir

x∼ 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+− ...

3x3sen

2x2senxsen .

Nota: Más adelante veremos que esta serie CM, luego, podemos escribir


63


xkx

kk

k= − −

=

∞

∑2 1 1

1( )

sen

Ejemplo 21. Si para la misma función del Ej. 20, consideramos el conjunto ON :

12

2π π π

,cos

,cos

,.....,x x

entonces, los coeficientes generalizados de Fourier son:

12

01

0π ππ

π

π

πxdx x kxdx− −∫ ∫= =, cos , ∀ k=1,2,3,....

∴ x ∼ 0. Es claro que esta SGF no representa a la función x con respecto a este conjunto ON, es decir, no se tiene la igualdad x=0. MORALEJA: A veces la SGF no representa a f∈V. B. Mejor aproximación en media: Sea Γ un plano de 3, y v ∉Γ. Sea u=proy v Γ . Es claro que v-u es OG con u, es decir, <v-u,u>=0 y se cumple la relación pitagórica:⏐u⏐2+⏐v-u⏐2=⏐v⏐2. Observe la Fig.8 Además: i) Si w es cualquier otro vector de Γ, entonces ⏐v-u⏐<⏐v-w⏐ ii) Si i,j son OG y unitarios, es decir, ON en Γ, entonces u=<v,i>i+<v,j>j

Figura 8 Generalicemos estas ideas... TEOREMA 8. "Sean φ1, φ2,...,φn un conjunto ON finito en V, y W el subespacio generado por las φi. Entonces, para cualquier f ∈V existe g ∈W tal que i) <f- g, g> =0 ii) g f g f2 2 2+ − = iii) Si h es cualquier otro elemento de W, entonces f g f h− < −

iv) g está dada por g , con c fck kk

n

==∑ φ

1k k=< >,φ ".

DEM.: Sea h un elemento de W. Entonces, akk

n

k==∑

1φ


64


f h f h f h f f f h h h− =< − − >=< > − < > + < >2 2, , , ,

21 1 1

φ φ φ

= . < > − < > + < >= = =∑ ∑ ∑f f f a a ak kk

n

k kk

n

k kk

n

, , ,

Pero los φk son ON y ck = <f, φk >, luego

f h f f a c akk

n

k kk

n

− =< > − += =∑ ∑2

1

2

12,

( 5 ) =< > + − −= =∑ ∑f f a c ckk

n

k kk

n

, ( )1

2 2

1

Notamos que esta última expresión alcanza un mínimo cuando ak = ck, es decir, cuando g=h. Así hemos probado iii) y iv).

Como g kk

n2 2

1=

=∑c , podemos hacer ak = ck en (5) y resulta ii).

Para i): Como < − >=< > − < >=< > −∑ ∑f g g f g g g f c ck k k, , , , φ 2 = c ck k

2 2 0∑ ∑− = ž DEFINICION 20. La función g determinada por el teorema anterior se llama mejor aproximación en media (cuadrática) de f en el espacio W.

En términos de la norma de V, g es el elemento de W "más próximo" a f. Ejemplo 22. Sea f(x)=x+x2 ∈C[-π,π] y sea W el subespacio generado por el conjunto ON

φπ

φπ

φπ1 2 3

1 12

13= = =cos , sen , cos .x x x

Hallar la mejor aproximación en media de f en W.

SOL.: Debemos hallar g tal que g c x c x c x= + +1 2 31 1

21

3π π π

cos sen cos .

Pero c x x xdx c c12

2 31

449

= + = − = − = −−∫

ππ π

π

π( )cos ; ; π . Compruébelo !!

∴ g x x x x( ) cos sen cos= − − −4 249

3 .

Ahora estamos en condiciones de probar el teorema 9. DEM.: (Teorema 9).

Como , se tiene que f ci ii

==

∞

∑ φ1

0cflím kk

n

1kn =φ−∑

=∞→ . Pero ∑ck φk es un elemento de W, luego

f f f ck kk

n

k kk

n

− < > ≤ −= =∑ ∑,φ φ φ

1 1 ∀n.


65


Así lím f fn k→∞ − < > =∑ ,φ φ 0k .

De aquí se sigue que f . f k k= < >∑ ,φ φ

Luego, restando esta serie de (1) se tiene: ( , )c fk k k− < > =∑ φ φ 0. De la CM de esta última serie, resulta el teorema. Notación: Wn es el espacio generado por φ1, φ2,...,φn. Del Teorema 10, se tiene el siguiente: COROLARIO : Sea φ1, φ2,... un conjunto ON infinito en V y sea f∈V con coeficientes de Fourier

, k=1,2,3,...Si s es la n-ésima suma parcial, entonces >φ=< kk ,fc cn kk

n

k==∑

1φ

i) Para cada n, sn es la mejor aproximación en media de f en Wn. ii) Para cada n, vale

(6) 2N

1K

2K fc ≤∑

=

DESIGUALDAD DE BESSEL

iii) La serie converge. ∑∞

=1k

2kc

iv) lím ck k→∞ =0. DEM.: i) obvio por el teorema 10.

ii) c f s fkk

n

n2

1

2 2

=∑ + − =

iii) En (6) hacemos n→∞ observando que f no depende de n. iv) obvio. � El resultado más importante para las SGF está contenido en el siguiente: TEOREMA 9. "Sea φ1, φ2,... un conjunto ON completo. Sea f ∈V y c fk k=< >,φ los coeficientes de Fourier de f. Entonces, la serie ∑cn φn converge en media a f y vale :

(7) 2

1n

2n fc =∑

∞

=

IDENTIDAD DE PARSEVAL".

DEM.: (ver Análisis Matemático, Protter-Morrey, pag. 458).


66


En el espacio de las funciones seccionalmente regulares y normalizadas y 2π periódicas, el

conjunto 12

1 1π π π

, cos , sennx nx, n=1,2,3,....es ON COMPLETO !!!.

Deducimos que será importante estudiar este espacio de funciones... C. El espacio de las funciones seccionalmente continúas. Hemos visto que existen funciones continuas cuyas SGF no convergen a la función, es decir, la SGF no la representa. Por otra parte, existen funciones discontinuas cuyas SF sí convergen a la función (esta convergencia puede no ser uniforme). Para tener buenos teoremas de convergencia, que incluya convergencia de funciones discontinuas, debemos considerar espacios "más grandes" que el espacio de las funciones continuas C[a,b]. DEFINICION 21. Una función f:[a,b]→ se dice seccionalmente continua en [a,b] si: i) f está definida y es continua ∀x∈[a,b], salvo en un número finito de puntos de [a,b]. ii) los límites f x lím f x h); f x lím f x h)

h h( ) ( ( ) (0 0 0 0 0 0

+→

−→

= + =+ − +].

existen ∀ ∈ x a b0 [ , Si x0 es un punto de continuidad, entonces f(x0+)≡f(x0-). Si x0 es un punto de discontinuidad, entonces |f(x0+)-f(x0-)|=: [f(x0)]<+∝ mide la magnitud del salto, como muestra la Fig. 9

Figura 9

DEFINICION 22. Diremos que f:[a,b]→ es regular en [a,b] si f, f ' son continuas en [a,b], e.d. f∈C1 [a,b], y diremos que es seccionalmente regular (o suave por tramos) si f, f ' son seccionalmente continuas en [a,b].


67


Figura 10

En la Fig. 10 aparece el gráfico de una función seccionalmente continua. Dibuje la derivada, y diga si es seccionalmente regular o no. NOTA: Los eventuales saltos de discontinuidad de f ' ocurren en los mismos puntos donde ocurren los saltos de f. NOTACION: SC[a,b]=espacio de las funciones seccionalmente continuas en [a,b]. El valor de f ∈ SC[a,b] en los puntos de discontinuidad, juega un importante rol en el Análisis de Fourier. DEFINICION 23 Diremos que f ∈ SC[a,b] está normalizada si su valor en los puntos de discontinuidad es el promedio de f(x0+) y f(x0 -). RECUERDOS : Si f ∈ SC[a,b] tiene puntos de discontinuidad en x1,x2,...,xk-1, entonces

(8) . f x dx f x dxa

b

x

x

i

k

i

i( ) ( )∫ ∫∑=−= 11

Los valores de las integrales del segundo miembro de (8) no están afectados por el valor de f en xi. Luego, la integral de f ∈SC[a,b] tiene el mismo valor que la integral de f normalizada. Las combinaciones lineales finitas de funciones seccionalmente continuas son también seccionalmente continuas, y vale la igualdad:

(9) [ ( ) ( )] ( ) ( )λ µ λ µf x dx g x dx f x dx g x dxa

b

a

b

a

b+ = +∫ ∫ ∫ ∀ f, g∈ SC[a,b], ∀λ,µ escalares.

Además, ∀f∈ SC[a,b]:

(10) , si mm b a) f x dx M b a)a

b( ( ) (− ≤ ≤ −∫ ≤ f(x)≤M en [a,b].

Si f∈ SC[a,b] y F está definida por F x f t dta

x( ) ( )= ∫ , entonces F, F ' son continuas, salvo en los puntos

donde f no es continua. Luego, F es seccionalmente continua en [a,b]. Es obvio que:

68



(11) C[a,b]⊆SC[a,b]. Es SC[a,b] un espacio euclídeo?. Con qué producto interior?

Pensando en la inclusión (11), cabe preguntarse si el producto interior en C[a,b], < >= ∫f g f x g x dxa

b, ( ) ( )

es también el producto interior para SC[a,b]?. La respuesta es NO !!!! Consideremos el siguiente ejemplo: Sea f(x)=0 en [a,b], salvo en un número finito de puntos, donde f toma cualquier valor real, como muestra la siguiente Fig. 11. Obviamente, f(x)≠0 en [a,b], sin embargo < f , f > = ∫ f2 dx=0 Oh!! Por lo tanto, con este ejemplo no se verifica una de las condiciones del producto interior: < x , x > ≠ 0 si x≠0.

Figura 11. Una función nula "casi todo punto".

Esta dificultad desaparece si pasamos por alto el hecho que una función nula no es idénticamente nula, y se la trata como si lo fuese. Podemos decir, entonces, que la función de este ejemplo es nula casi en todo punto, y escribimos f=0 c.t.p. Para ser consistentes, debemos considerar como iguales dos funciones f,g ∈SC[a,b], si ellas sólo difieren en un número finito de puntos. En tal caso escribimos (12) ∀ f,g ∈SC[a,b], f(x)=g(x) c.t.p. x∈[a,b]. Por lo tanto, el producto interior en SC[a,b] será el mismo de C[a,b], pero agregando c.t.p. Luego, podemos afirmar que

SC[a,b] es un espacio euclídeo. RECUERDOS: a) f:[-a, a]→ es una función par si f(-x)=f(x) en [a,b].

b) f par e integrable⇒ , f impar e integrable⇒f x dx f x dxa

a a( ) ( )

−∫ ∫= 2

0f x dx

a

a( )

−∫ = 0.

c) (par)(par)=(impar)(impar)= par; (par)(impar)= impar.

d) f,g paridades opuestas ⇒ ⇒ f, g son OG en SC[-a, a]. fga

a

−∫ = 0


69


Ejemplo 22. Si f impar 0nxdxcos)x(fa

a=⇒ ∫−

Si f par . 0nxdxsen)x(fa

a=⇒ ∫−

e) Toda función f:[-a, a]→ se puede expresar como la suma de una función par con una función impar. Ejemplo 23. f(x)=ex⇒ fp (x)=½[ex + e

-x] ; fi (x)=½[e

x-e-x].

4.4. SERIES DE FOURIER EN SC[-π, π] DEFINICION 24. Se llama serie de Fourier (SF) de f∈ SC[-π,π] a la expresión

(13) f xa

a nx b nn nn

( ) cos sen= + +=

∞

∑0

12x ,

donde

(14) a f x nxdx n b f x nxdxn n= = =− −∫ ∫1

0 11

π ππ

π

π

π( ) cos ; , ,... ( ) sen , n=1,2,3,...

son los coeficientes de Fourier. OBSERVACION IMPORTANTE: Notar que la expresión (13) es simplemente una combinación lineal (infinita) de un elemento de f∈ SC[-π,π], con respecto a la base 1, cosx, senx, cos2x, sen2x,....... Usando las ideas del Teorema 9, podemos escribir

(15) f xf

( ),

=< >1

1 2 +< >

+< >

=

∞

∑ f kxkx

kxf kx

kxkx

k

,coscos

cos,sensen

sen21

2 (CM)

Pero, como 1 22 2 2 2 2= = = = = =− − −∫ ∫ ∫dx kx kxdx kx kxdx

π

π

π

π

π

ππ π, cos cos ; sen sen π , obtenemos

(13) y (14).

Ejemplo 24. Hallar la SF de la función f∈ SC[-π,π] definida por f xx

x( )

,,

=− − < <

< <

⎧⎨⎩

1 01 0

π

π.

SOL: Como f es impar, an=0 ∀n; bn =⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=π

,...6,4,2n,0

,...5,3,1n,n4

⇒ f xn x

nn( )

sen( )=

−

−=

∞

∑4 22 11π

1 CM.

o bien f x xx x

( ) sensen sen

....= + + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

4 33

55π

.


70


En la Fig. 12 mostramos cómo las sumas parciales de la SF de la función del ejemplo anterior, aproxima a f. Es interesante observar que podemos aproximar funciones discontinuas por funciones continuas (más aún, por funciones de clase C∞)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

π 3x3senxsen4

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++

π 7x7sen

5x5sen

3x3senxsen4

Figura 12. Aproximación de funciones discontinuas por funciones continuas. TEOREMA 10. (Convergencia puntual de SF en SC[-π,π]). "Sea f∈ SC[-π,π] con f '∈ SC[-π,π], entonces la SF de f converge puntualmente a los valores:

(16) f x f x

x( ) ( )

, (0 002

+ −+∀ ∈ −π π, )

(17) f f

en x( ) ( )

,− +

= ±+ −π π

π2

"

Ejemplo 25. En el caso del ejemplo anterior, . ⎪⎩

⎪⎨

⎧

π<<ππ−=

<<π−−⎯⎯→⎯

x0,1,0,x,00x,1

SF CP

En x=π/2 , el valor de la SF es 1 ⇒ 1=4/π[1- 1/3 + 1/5 - 1/7 + -....] es decir, tenemos la serie de Leibnitz : π/4 = 1 -1/3 +1/5 - 1/7 + -.......

En x=π/4 ⇒ π/4=2

2[1 - 1/3 - 1/5 - 1/7 - ....] .

NOTA. Existen funciones continuas cuyas SF divergen en una cantidad finita de puntos de [-π,π]. Luego, la exigencia que f(x) sea tal que f '∈SC[-π,π] se impone para garantizar la CP de la serie. El problema de hallar una función continua cuya SF diverja en todo punto de [-π,π] está abierto Si la SF

(18) f xa

a nx bn nn

( ) cos sen= + +=

nx∞

∑0

12


71


converge a un valor k0, digamos, cuando x=x0, entonces la SF también converge a el mismo valor en todos los puntos x0+2nπ, n entero, debido a la 2π-periodicidad de cosnx, senx y la función constante a0/2. ∴ Si (18) CP a f(x) en [-π,π], entonces (18) converge en todo a la función F(x), que es la extensión 2π-periódica de f(x), como lo muestra la Fig. 13.

Figura 13. Convergencia en todo 3 de la serie de Fourier de una función arbitraria f:[-π,π]→3. TEOREMA 11. "La SF de una función suave por tramos y 2π-periódica CP en todo . Más aún, si F es la extensión 2π-periódica de f, entonces la SF converge a F(x0), si x0 es punto de continuidad, y la SF converge a [F(x0+)+F(x0-)]/2, si x0 es un punto de discontinuidad".

Ejemplo 26. Sea f x . xx

( ),

,=

− ≤ <

< ≤

⎧⎨⎩

1 2 31 3 4

A qué valor converge la SF de f para cada x∈[-1,1]?. SOL: El gráfico de F(x) está dado por

Figura 14.

De ese gráfico, deducimos fácilmente que la SFx

xx

CP⎯ →⎯⎯

= −

− < <

− < <

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0 1011 1 01 0 1

, , ,

,.

Más adelante volveremos a la convergencia de SF. EJERCICIOS 5. 1. Hallar el desarrollo en SF de las siguientes funciones; trazar la gráfica de la serie obtenida, poniendo particular atención a los puntos de discontinuidad:


72


a) f(x)= b) f(x)=⏐senx⏐ 1 0

1 2 0,/ ,− < <

< <

⎧⎨⎩

π

π

xx

c) f(x)=− − − ≤ ≤ −

− ≤ ≤

− ≤ ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x xx

x x

1 2 1 20 1 2 1 2

1 2 1 2

/ , /, / /

/ , /

π

π

d) f(x)= (π-x)(π+x) ,-π ≤x ≤π

2. a) Hallar el desarrollo en SF de la función f(x)=0 0

02

,,− < ≤

≤ <

⎧⎨⎩

π

π

xx x

b) Usar esta serie para demostrar que π2

2 2 261

12

13

14

= + + + +......

3. Hallar el desarrollo en SF de la función

f(x)= 0 0

0,cos ,

− < <

< <

⎧⎨⎩

π

π

xx x

y trazar la gráfica de la serie obtenida. 4. Conocidas las SF de las funciones f(x) y g(x), averigüe cuál es la SF de la función α βf x g x( ) ( )+ , α,β escalares.

5. a) Pruebe que las SF de f x y x

x1

0 010

( ),,

=− < <

< <

⎧⎨⎩

π

πf x

xx2( ) ,= − < <

ππ π son,

respectivamente 12

2 22 11

+−

−=

∞

∑π

sen( )k xkk

1 , kxsen

k)1(2

1k

1k

∑∞

=

+−π

b) Usando estas series y el ej.4 , hallar el desarrollo en SF de:

i) f(x)=

12

0

12

0

,

,

− < <

− <

⎧

⎨⎪

⎩⎪

π

π

x

x < ii) f(x)=

x xx x+ − < <

< <

⎧⎨⎩

π π

π

,,

00


73

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