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Capítulo I

INTRODUCCIÓN

I.1 Economía matemática

Es una parte de la teoría económica que se formula y desarrolla a través del uso de los símbolos y métodos de la matemática, es decir, la economía matemática es la expresión matemática de la teoría económica. La economía matemática se basa en última instancia en hechos observados, los cuales están siempre sujetos a interpretaciones variables, de acuerdo al investigador y al objeto de su investigación. De estas observaciones se extraen, de algún modo, proposiciones generales (hipótesis, teorías, leyes, etc.) las cuales tienen dos propiedades importantes: a) Son siempre provisionales, sujetas a revisión y rechazo tanto en el campo

lógico como empírico. b) Usualmente tienen muchas implicaciones que no son inmediatamente

visibles para el investigador. La economía matemática usualmente se reserva para describir aquellos casos en los que se emplean técnicas matemáticas que van más allá de la simple geometría, tales como álgebra matricial, cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales, ecuaciones en diferencias, programación matemática, etc. Las técnicas de las matemáticas pueden, en consecuencia, ser usadas por el investigador al menos por tres razones generales: 1. Como ayuda para expresar las definiciones, postulados y conclusiones de una

teoría en una forma clara y consistente. 2. Para guiar y facilitar la obtención de conclusiones valiosas en sí mismas.

3. Para obtener conclusiones que puedan ser usadas para probar el realismo de la teoría.

ECONOMÍA MATEMÁTICA Y MODELOS ECONÓMICOS

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Por otro lado podemos decir que la economía matemática es una aproximación al análisis económico en donde el economista emplea símbolos matemáticos para deducir un conjunto de conclusiones o teoremas a partir de un conjunto dado de hipótesis de razonamiento. En este punto debemos diferenciar “economía matemática” de “economía literaria o economía discursiva”. La mayor diferencia radica en el hecho de que en la economía matemática las hipótesis y conclusiones se determinan haciendo uso de símbolos matemáticos en lugar de palabras y utilizando ecuaciones en lugar de frases; además, emplea teoremas matemáticos en el proceso de razonamiento en vez de utilizar la lógica literaria. Asimismo, el lenguaje matemático, es más preciso y conciso que el literario: contribuye a un mayor rigor lógico, ayuda al razonamiento, a sintetizar y ha realizar desarrollos generales. El lenguaje literario, en cambio, puede omitir algunos pasos en el razonamiento y puede dar lugar a diferentes interpretaciones, mientras que el lenguaje matemático previene contra estas imperfecciones y contra el peligro de adoptar hipótesis implícitas no deseadas. Por otro lado, mediante el uso del lenguaje matemático únicamente se puede representar una gama restringida de circunstancias y relaciones económicas. El comportamiento de los agentes económicos, los rasgos históricos, culturales o psicológicos, y las relaciones humanas no pueden “reducirse” a razonamientos matemáticos. Es necesario recalcar que, lo importante es no tener que decidir entre una preferencia matemática y otra no matemática para la economía. La elección no es pues entre utilizar o no las matemáticas en economía, sino entre hacerlo o no con las suficientes precauciones y en las cantidades apropiadas. Un gran número de economistas coinciden en la idea de que la economía necesita las matemáticas, las técnicas cuantitativas, pero no puede reducirse sólo a matemáticas. Por tanto, lo que se debe buscar es el no tener que elegir, más bien hay que saber integrar las matemáticas con la lógica literaria. También es importante diferenciar los términos de “economía matemática” y “econometría”. La econometría se interesa principalmente por la medición de los datos económicos, de ahí que trate del estudio de las observaciones empíricas utilizando métodos estadísticos de estimación y contraste de hipótesis. Mientras que la economía matemática se refiere a la aplicación de las matemáticas a los aspectos puramente teóricos del análisis económico, con poco o ningún interés por problemas estadísticos tales como los errores de medición de las variables en estudio. Además, la economía matemática hace uso de relaciones exactas o determinísticas, mientras que la econometría utiliza relaciones estocásticas.

MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS

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I.2 Modelos económicos

1. Metodología científica en la economía

La economía desarrolla sus teorías y modelos a partir de observaciones empíricas y no experimentales de los agentes económicos. En la actualidad, la economía se considera como una ciencia empírica. Toda ciencia empírica emplea una metodología (lógico-empírica) en la elaboración de modelos, que incluye la observación, la modelización y la verificación, y que se puede resumir en los siguientes pasos: 1. Observaciones cualitativas y cuantitativas de los fenómenos,

directamente o a través de experimentación cuidadosamente diseñada. 2. Procesamiento numérico y estadístico de los datos observados. 3. Elaboración de un modelo teórico que describa los fenómenos

observados y que explique las relaciones entre ellos. 4. Utilización del modelo teórico para deducir predicciones. 5. Corrección y mejora del modelo de modo que permita realizar mejores

predicciones.

2. La modelización

Todo fenómeno económico se presenta en un entorno complejo sobre el que influyen muchos factores de diversa índole: económicos, tecnológicos, políticos, psicológicos, etc. El análisis de un fenómeno económico se puede realizar en dos pasos. En primer lugar, debido a la imposibilidad de tener en consideración todos los factores que influyen en un fenómeno tan complejo, se seleccionan aquellos que se consideran relevantes prescindiendo del resto de factores. Es decir, en las explicaciones del fenómeno, únicamente se tiene en consideración ciertos factores y todo lo demás se mantiene constante (ceteris paribus). A continuación se establecen relaciones entre los factores seleccionados. El conjunto de relaciones entre los factores relevantes constituyen lo que se conoce como modelo económico. Al proceso de seleccionar los factores relevantes y establecer relaciones entre ellos se le denomina modelización.

3. Definiciones de modelo económico

1. Un modelo económico es una representación esquemática y aproximada

de la economía real y que proporciona una imagen simplificada e idealizada de ciertos aspectos de la actividad económica.

2. Es una representación simplificada de la forma en que ciertos fenómenos están constituidos y/o de la manera en que se desenvuelven. Este concepto incluye, en forma explícita, el análisis estructural (la forma en que ciertos fenómenos están constituidos) y el análisis dinámico (la manera en que ciertos fenómenos se desarrollan en el tiempo).


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3. Es un conjunto de relaciones matemáticas que expresan en forma simplificada e idealizada, las características básicas y esenciales de: un orden institucional y legal vigente, una tecnología incorporada a la actividad económica objeto de análisis, la regularidad observada en el comportamiento real de los sujetos de la actividad económica.

4. Es una representación formal de los rasgos básicos de un sistema complejo (la economía real) por medio de unas cuantas relaciones fundamentales.

5. Es una representación de ciertos aspectos de la realidad económica (el mundo de las relaciones entre agentes que poseen bienes y que tienen ciertas preferencias, buscan un mejor bienestar y están dispuestos al intercambio), manteniendo todo lo demás igual (ceteris paribus).

4. Elementos constitutivos de un modelo

Un modelo económico de naturaleza matemática resulta especificado por un conjunto de ecuaciones o funciones entre las variables más relevantes que ayudan a explicar una tecnología incorporada, un orden institucional o legal y/o el comportamiento de los sujetos de la actividad económica en un sistema, sub-sistema, sector o sub-sector. Las ecuaciones con que se especifica un modelo se llaman “estructurales o primarias” y por lo tanto se dice que el modelo es “estructural o primario”. Se debe indicar que un modelo no es una estructura sino que es una familia de estructuras y que una estructura es un conjunto de ecuaciones cuyos parámetros previamente han sido estimados. Así:

( )

( )

( ) ( )equilibrioqSD3

0,0PS2

0,PD1

ttt

22t21t22t

11t1t11t

==

>β<αµ+β+α=

>βαµ+β−α=

−

Donde "P" t es el precio, "D" t la demanda, "S" t la oferta, "µ" t1 y "µ" t2 son variables aleatorias. Todos ellos en el periodo "t" , define un modelo en su forma primaria que, en economía, se le conoce como el modelo de la telaraña.


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En cambio,

( )

( )

( ) ttt

t21tt

t1tt

qSD6

P9,05S5

P2,180D4

==

µ++−=

µ+−=

−

define una estructura. Ella es un elemento, de entre los infinitos elementos posibles, pertenecientes al modelo de la telaraña, en efecto, para cada combinación de valores factibles de 1α , 2α , 1β y 2β , sin tener en consideración por el momento los parámetros correspondientes a la especificación que se realice sobre t1µ y t2µ , se tiene una estructura distinta. Simbolizando con "S" al conjunto de estructuras o modelo y con "s" una estructura perteneciente a "S" , o sea ,Ss∈ resulta, para la especificación del modelo de la telaraña, de acuerdo con la notación de la lógica formal que es común en teoría de conjuntos:

0,0,0,0/sS 2121 <β>β<α>α=

En palabras, el modelo "S" se define como el conjunto (familia o clase) de estructuras "s" tal que sus parámetros 1α , 1β y 2β son positivos y 2α es negativo. En la concepción expuesta sobre los modelos en economía se han introducido las categorías de ecuaciones, variables y parámetros como elementos integrantes de los modelos. A continuación trataremos en detalle los mismos.

4.1 Ecuaciones: En primer lugar, un modelo se especifica mediante una ecuación (modelos uniecuacionales) o varias ecuaciones (modelos multiecuacionales). Cada ecuación explica un sector (agricultura, manufactura, gobierno, etc.) o una categoría (consumidores, productores, inversionistas, instituciones financieras, etc.) de la actividad económica objeto de investigación.

Según sea su contenido empírico, las ecuaciones de un modelo se clasifican en: 4.1.1 Ecuaciones de comportamiento. 4.1.2 Ecuaciones institucionales o legales. 4.1.3 Ecuaciones tecnológicas. 4.1.4 Ecuaciones de definición o identidad. 4.1.5 Ecuaciones de equilibrio móvil.


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Esta clasificación es de vital importancia para determinar si el modelo puede o no ser sometido a las pruebas de comprobación con la experiencia. Sólo las tres primeras clases de ecuaciones son el resultado de axiomas o hipótesis empíricamente comprobables. Para su construcción, el investigador parte de las observaciones empíricas sobre el modo de actuar de los sujetos de la actividad económica. De la observación empírica se obtendrá: a) Las variables relevantes que intervienen en la explicación del sector o

actividad sometida a análisis. b) Las características de permanencia o regularidad que determinan el

comportamiento de dichas variables. c) Sus relaciones de causalidad. Para conseguir esta información, el economista hace ciertos supuestos simplificadores de la realidad mediante un proceso de abstracción. Elaboradas las ecuaciones de origen empírico que integrarán un modelo, ellas deben ser contrastadas con “nueva” experiencia en términos probabilísticos, para determinar la medida de realidad de las mismas. Obsérvese que hemos dicho “nueva” experiencia, es decir, nuevas observaciones, ya que las viejas observaciones en que se basa la ecuación nunca darán resultados diferentes a los obtenidos. Sólo las nuevas observaciones son las que podrán decidir a favor o en contra de la hipótesis y del modelo en general. Las restantes clases de ecuaciones, a saber, por definición y de equilibrio móvil, son axiomas por “convención” o por “definición implícita” y por tanto no pueden ser sometidas a las pruebas de comprobación empírica. A continuación damos el significado de cada uno de los tipos de ecuaciones que pueden integrar un modelo:

4.1.1 Ecuaciones de comportamiento: Explican el modo de actuar de los sujetos de la actividad económica pertenecientes a una categoría determinada (consumidores, productores, importadores, asalariados, etc.). Ejemplos: La función consumo,

( ) 10tTYC 1t21t1t10t <α<µ+α+−α+α= −−


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representa el comportamiento de los consumidores; según la cual el consumo "C" t es función del ingreso disponible del periodo precedente medido por ( )1t1t TY −− − , esto es, el ingreso nacional menos los impuestos, y de los hábitos de consumo y gastos de los consumidores reflejados en la componente tendencial que se expresa por medio de la variable tiempo "t" . La función inversión inducida,

( ) 0ββµrβYYββI 2,1tt22t1t10t >+−−+= −− es también de comportamiento, pero ahora del conjunto de los inversionistas y nos dice que la inversión inducida "I" t es función creciente del incremento de ingreso del periodo precedente, medido por ( )2t1t YY −− − y función decreciente de la tasa de interés bancaria "r" t . 4.1.2 Ecuaciones institucionales o legales: Reflejan los efectos que producen en un modelo económico, la existencia de leyes o un orden institucional dado, al condicionar la actividad económica. Ejemplos: La ecuación del impuesto,

1β0µYβαT ttt <<++=

ella indica que el total de impuestos "T" t que se pueda recaudar es función del ingreso nacional "Y" t pero sus parámetros "β"y"α" están condicionados por las leyes impositivas. La ecuación,

0βµYβαM ttt >++=

es también una ecuación institucional o legal, ahora en relación con la oferta monetaria "M" t como función del ingreso "Y" t y donde "β"y"α" son parámetros determinados por disposiciones legales que rigen el tamaño de la base monetaria. 4.1.3 Ecuaciones tecnológicas: Explican los modos de producción incorporados a la actividad económica. En general ellas reflejan la tecnología que utiliza una economía.


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Ejemplos: La ecuación de producción Cobb–Douglas, homogénea de grado uno [ ]L)λF(K,λL)K,λF( = .

( ) α1αLAKL,KFQ −== Esta ecuación tecnológica considera que la producción es función de dos factores productivos, el capital "K" y el trabajo "L" , y supone rendimientos globales constantes a escala. Cuando la función de producción Cobb–Douglas es homogénea de grado “r”, su ecuación resulta,

( ) βαrLAKL,KFQ βα +=== 4.1.4 Ecuaciones de definición o identidades: Son relaciones que se verifican siempre, ya sea por su construcción lógica o por la definición contable que ellas satisfacen. Ejemplos:

ttt ICY += Que particiona funcionalmente la demanda final total o producto nacional

"Y" t en la demanda de bienes de consumo "C" t y la demanda de bienes de inversión "I" t , es una identidad por definición de las variables que intervienen.

t1tt IKK += − Define una identidad por la construcción lógica a que responde. En efecto, el capital acumulado hasta el periodo "t" , "k" t se ha particionado temporalmente en dos: una parte es el capital acumulado hasta el periodo "1t" − y la otra recoge la inversión neta "I" t realizada en el periodo "t" . Cuando una identidad es el resultado de la partición de una variable (construcción lógica), sus componentes son conjuntos disjuntos, o sea, su intersección es el conjunto nulo y su unión reproduce la variable particionada.

=∩ tt IC Ø ttt YIC =∪


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Es decir, que cada bien demandado en el periodo "t" es un bien de consumo o uno de inversión y que ningún bien pertenece a ambas categorías. Análogamente:

=∩− t1t IK Ø tt1t YIK =∪−

Una identidad por definición contable es una relación que “ex post” se verifica siempre, como las identidades “ex post” que resultan de la contabilidad del ingreso nacional. Por ejemplo, la identidad (contable) “ex post” ahorro = inversión. 4.1.5 Ecuaciones de equilibrio móvil: Son aquellas igualdades que resultan de una condición impuesta o de un postulado introducido. Así la ecuación de equilibrio en el modelo de la telaraña,

ttt qSD == es una ecuación de equilibrio móvil. Se postula la igualdad entre la oferta y la demanda como condición de equilibrio.

4.2 Variables, constantes y parámetros: Hemos visto que toda ecuación es una relación matemática entre un conjunto de variables, que se verifica para determinados valores numéricos de ellas. De este conjunto de valores sólo nos interesan aquellos que tienen significado económico, es decir, los valores factibles que definen su correspondiente dominio o recorrido. Así, para las variables precio, producción, consumo, ingreso, ahorro, etc., sólo son factibles los valores no negativos. Además en toda ecuación interviene otra categoría matemática que son las constantes y los parámetros.

4.2.1 Variable: Una variable es algo cuya magnitud puede cambiar; es decir, algo que puede tomar diferentes valores. Debido a que una variable puede asumir valores distintos no puede ser representada por un número sino que debe ser representada por un símbolo. Por ejemplo, podemos representar el precio por la letra "P" , el costo por la letra "C" , la renta nacional por la letra "Y" , etc.


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4.2.1.1 Clasificación de las variables: La clasificación de las variables que intervienen en un modelo es indispensable para determinar si el mismo cumple o no, como sistema axiomático, con las propiedades de consistencia y de independencia de todo modelo. Por consistencia se entiende la no contradicción entre las diferentes hipótesis o ecuaciones que integran el modelo y por independencia se entiende que cada hipótesis no puede ser deducida como proposición final de las restantes. Si el sistema de ecuaciones es consistente, entonces el modelo puede tener una única solución o infinitas soluciones. En caso contrario, el modelo no admite solución alguna. Otra razón primordial es la necesidad de conocer los tipos de variables que intervienen en el modelo, las cuales nos permitirán seleccionar de manera óptima los métodos de estimación de los parámetros presentes en el modelo. Clasificación de las variables en los modelos estructurales: I. Variables endógenas. II. Variables predeterminadas:

II.1 Exógenas. II.2 Endógenas con retardo.

III. Variables aleatorias o estocásticas. IV. Variables expectativas. I. Variables endógenas: Son aquellas cuyos valores estimados van a ser determinadas por las soluciones particulares del sistema de ecuaciones que integran el modelo. Ellas son las variables dependientes en el análisis matemático. Ejemplos: En el modelo de la telaraña, son variables endógenas la demanda

"D" t , la oferta "S" t y el precio "P" t . En la función consumo, es variable endógena el consumo "C" t . II. Variables predeterminadas: Son aquellas cuyos valores no se obtienen por la solución del modelo sino que provienen fuera del mismo y que contribuyen a explicar el comportamiento de las variables endógenas de un modelo sin ser explicadas por el modelo mismo.


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II.1 Variables exógenas: Este tipo de variables incluyen variables económicas propiamente dichas y variables no económicas. Ambas son explicativas en un modelo dado pero no constituyen objeto de análisis y de explicación en dicho modelo. Así por ejemplo en la ecuación de demanda de un bien industrial, si el modelo estuviera constituido por esa única ecuación, el precio del bien "P" t , el precio de un bien sustituto "P" st , el ingreso nacional "Y" t , y los gastos publicitarios "Z" t se considerarían variables exógenas, todas ellas con significado estrictamente económico. Este hecho limitaría severamente la validez del modelo, ya que algunas de esas variables necesitan ser explicadas en el modelo, particularmente el precio del bien en cuestión, y no consideradas como explicativas. En casos no extremos como éste, el carácter de exógena o endógena respecto a una variable depende fundamentalmente del papel que va a desempeñar en el modelo, es decir, si va a ser explicativa o explicada, respectivamente. La inclusión de variables exógenas con significado económico se justifica por el dominio de la investigación (sector, sub - sector, actividad, etc.) y el periodo que se considera. Así, la inversión pública puede tratarse como variable exógena en un modelo macroeconómico a corto plazo, pero si el modelo es de largo plazo difícilmente podrá tratarse como exógena y, en cambio, requerirá ser explicada por el modelo. Las variables exógenas sin significado estrictamente económico no tienen la limitación anterior. Ejemplos de dichas variables nos lo brinda la precipitación pluvial en una ecuación de oferta de productos agrícolas, la población, el tiempo, etc. II.2 Variables endógenas con retardo: Por sus características específicas, intervienen como variables explicativas. En efecto, recurriendo nuevamente al modelo de la telaraña, el precio "P" t , es una variable endógena, su comportamiento resulta explicado por el modelo [ecuaciones (1), (2) y (3)], pero "P" 1t − , o sea el precio en el periodo anterior, es endógena con retardo de una unidad de tiempo, y se considera explicativa. En el periodo "t" , "P" 1t − es un dato y, por consiguiente, es irreversible. Su valor influye sobre "S" t y no es explicada por el modelo. Las variables endógenas con retardo intervienen intensamente en el análisis económico y su introducción caracteriza la forma más importante que se sigue en la construcción de los modelos dinámicos, de los cuales nos ocuparemos más adelante.


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Lo importante de su introducción en el análisis económico se debe al efecto producido en los niveles actuales de las variables endógenas por los valores asumidos en el pasado inmediato por muchas de ellas.

III. Variables aleatorias o estocásticas: Son variables no observables que cumplen con la misión de recoger el conjunto de causas que no se encuentran explícitamente incorporadas en un modelo, como son: omisión de variables explicativas, errores de especificación y errores de medida sobre las variables endógenas.

III.1 Omisión de variables explicativas: En la especificación de una ecuación se incluyen aquellas variables que se consideran más relevantes, así, para el modelo de la telaraña, en la función de demanda se incluye únicamente el precio del bien considerado, se omiten variables explicativas de la demanda, tales como el ingreso, los precios de los bienes sustitutivos y de los complementarios, etc. Un principio general que debe observarse en la selección de variables, es que la contribución explicativa de las que se excluyen deber ser proporcionalmente inferior a la debida al conjunto de variables incluidas. III.2 Errores de especificación: La variable aleatoria recoge los efectos de una especificación incorrecta sobre la ley matemática de correspondencia entre las variables que se incluyen en la ecuación. Así, por ejemplo cuando se especifica que la relación de correspondencia entre las variables es lineal pero la observación indica que no es lineal (cuadrática, logarítmica, logística, exponenciales, etc.). III.3 Errores de medida sobre las variables endógenas: Se considera que dichos errores son aleatorios y se los incorpora en la variable estocástica de cada ecuación de un modelo. Se supone que las variables exógenas están medidas sin error.

IV. Variables expectativas: Es aquella que refleja una situación de ocurrencia en el futuro. Son variables expectativas, entre otras, las variables: precio normal esperado, ingreso normal esperado, inversión normal esperada, etc. Esta clase de variables interviene en los modelos con retardos distribuidos.


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4.2.2 Constante: Es un valor numérico que no cambia. 4.2.3 Parámetro o constante paramétrica: Es un factor de ponderación correspondiente a cada variable explicativa y mide el efecto de las fluctuaciones de estas variables sobre la variable explicada. Ejemplo: En la ecuación (2) del modelo de la telaraña, que relaciona el precio en el periodo "1t" − con la oferta en el periodo "t" , o sea:

( ) 0β,0αuPβαS2 22t21t22t ><++= −

el parámetro "β" 2 mide el impacto de los niveles de "P" en un periodo, sobre el nivel de la oferta en el periodo siguiente. De acuerdo con la restricción impuesta a "β" 2 (positiva), dicho impacto mide una relación directa, o sea, a valores crecientes de "P" en un periodo inducen valores crecientes de "S" en el periodo siguiente. Matemáticamente podemos definir un parámetro como una constante que es “variable”. En una ecuación normalmente las variables aparecen multiplicadas por constantes tal como R5,0óP7 , pero sin embargo para dar un mayor grado de generalidad podemos reemplazar el valor de la constante por un símbolo RbóaP y debido a que no les hemos asignado valores específicos a "b"y"a" , éstas pueden virtualmente tomar cualquier valor.

5. Análisis de un modelo En la sección anterior se ha mostrado en forma resumida los elementos constitutivos de un modelo económico de naturaleza matemática. Ahora vamos a señalar que tipo de análisis se puede llevar a cabo con un modelo de esta clase. Existen dos posibles tipos de análisis de un modelo. En primer lugar, se puede realizar un análisis estático, que se centra en el estudio de eventos que se supone ocurren en un punto del tiempo. Es decir, el análisis estático estudia los valores alternativos de equilibrio instantáneo para un determinado grupo de variables endógenas relacionadas con diversas estructuras para las variables exógenas del modelo en un punto particular del tiempo. En segundo lugar, se puede efectuar un análisis dinámico, que estudia las sendas temporales de las variables endógenas asociadas a las diversas sendas temporales de las variables exógenas del modelo. Es decir, el análisis dinámico permite el estudio de eventos a lo largo del tiempo.


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6. Propiedades de un modelo

Un modelo debe presentar propiedades lógicas y empíricas.

6.1 Lógicas:

6.1.1 Consistencia: No debe existir contradicción entre las diferentes hipótesis que integran el modelo. Si el sistema de ecuaciones es consistente, entonces puede tener una o infinitas soluciones. 6.1.2 Independencia: Ninguna hipótesis del modelo debe tener carácter redundante, es decir, ninguna hipótesis puede ser deducida de otra. Ninguna proposición puede ser obtenida como consecuencia de las otras proposiciones del modelo.

6.2 Empíricas:

6.2.1 Validez: Hace referencia al grado de precisión con que las conclusiones o proposiciones finales obtenidas explican la realidad. 6.2.2 Generalidad: La generalidad supone reducir las restricciones de las hipótesis o su grado de especificación respecto a la conducta “real” de los sujetos de la actividad económica, analizada en la dimensión espacio- temporal, con esto el modelo cubre una gran cantidad de casos. Cuanto más generalizante sea el modelo, más probabilidades tiene de aplicación empírica, pero pierde validez en cuanto a sus conclusiones. Por el contrario, cuanto más especializado sea un modelo, esto es, cuanto más sustancia y rigor o especificación agregamos a las hipótesis, perdemos generalidad y ganamos en validez.

7. Tipos de modelos: Existen tres tipos de modelos.

7.1 Descriptivos: Representan los fenómenos reales sin prejuzgar sobre su explicación, su predicción o alguna acción fundada en su evolución. Se apoyan en la utilización de datos y de las distribuciones estadísticas.

7.2 Analíticos: Explican la realidad (modelos descriptivos) y las relaciones de causa-efecto que se comprueban en los fenómenos. 7.3 Pronóstico: Se encargan de prever los hechos. Recurren al pasado y al presente para tratar de conocer el futuro apoyándose en la idea que existe una permanencia estructural de los fenómenos. Utilizan el análisis descriptivo y explicativo de los hechos.

Capítulo II

ANÁLISIS ESTÁTICO O ANÁLISIS DE EQUILIBRIO

II.1 El concepto de equilibrio en la economía

1. Equilibrio Es un conjunto de variables escogidas e interrelacionadas, ajustadas de tal modo entre sí que no prevalezca ninguna tendencia inherente al cambio en el modelo que constituyen. Palabras aclaratorias acerca de la definición de equilibrio: 1.1. Escogidas: Subraya el hecho de que existen variables que por decisión del analista no han sido incluidas en el modelo. 1.2. Interrelacionadas: Esta palabra sugiere que para alcanzar el equilibrio todas las variables del modelo deben hallarse simultáneamente en estado de reposo. Además, el estado de reposo de cada variable debe ser compatible con el de todas las demás, de otra forma, podría cambiar una o más variables y hacer con ello que cambien las otras en una reacción en cadena, y no cabría decir que existe equilibrio. 1.3. Inherente: Cuando se define el equilibrio, el estado de reposo se basa únicamente en el balance de las fuerzas internas del modelo, mientras que los factores externos se suponen fijos. Operacionalmente, esto significa que los parámetros y las variables exógenas se tratan como constantes. Cuando realmente cambian los factores externos resulta un nuevo equilibrio definido sobre la base de los nuevos valores paramétricos, pero al definirlo volveremos a suponer que éstos permanecen invariables.

ANÁLISIS DE EQUILIBRIO O EQUILIBRIO ESTÁTICO

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El equilibrio para un modelo específico es en esencia una situación que se caracteriza por una falta de tendencia al cambio, es por esta razón que al estudio de cuando puede aparecer el equilibrio se le llama “análisis estático”. Un equilibrio es una situación que una vez alcanzada, tiende a perpetuarse a menos que cambien las fuerzas externas. Un equilibrio no siempre es un punto deseable, sólo es el resultado de un proceso impersonal de ajuste de fuerzas económicas. Lo llamaremos equilibrio no finalista.

II.2 Herramienta del análisis estático

1. Herramienta La herramienta a utilizar para el estudio del análisis estático es el álgebra matricial.

2. Utilidad

1. Proporciona una forma compacta de escribir un sistema de ecuaciones. 2. Prueba la existencia de una solución (mediante la evaluación del

determinante). 3. Proporciona un método para hallar una solución (si es que existe).

3. Restricción

• Sólo se puede aplicar a los sistemas de ecuaciones lineales. El grado en que las ecuaciones lineales puedan describir de manera realista las relaciones económicas depende de la naturaleza de las mismas. En muchos casos, aun sacrificando cierto realismo al tomar la hipótesis de linealidad, ésta puede darnos una buena aproximación. Por último, aun conservando la no linealidad del modelo, podemos efectuar una transformación de variables para obtener una relación lineal con la que trabajar. Ejemplo: La función no lineal baxy = puede transformarse fácilmente en una función lineal haciendo uso de los logaritmos. Si sacamos logaritmos a cada miembro del signo de igualdad de la función no lineal, entonces:

( ) xlogbalogxlogalogaxlogylog bb +=+==


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La cual representa una función lineal respecto de las variables ".xlog"y"ylog"

En resumen, la hipótesis de linealidad frecuentemente adoptada en economía puede resultar en ciertos casos muy razonable y justificada.

II.3 Equilibrio parcial de mercado

1. Modelo lineal

En un modelo de equilibrio estático el problema radica en hallar el conjunto de valores de las variables endógenas que satisfacen la condición de equilibrio del sistema. Ilustraremos esto con un “modelo de equilibrio parcial de mercado”, es decir, un modelo de determinación del precio de un bien en un mercado aislado.

2. Construcción del Modelo

Se considera un solo bien, por lo tanto el modelo sólo incluirá tres

variables: .PQQ

s

d

Donde:

:Qd cantidad demandada del bien (kg/semana). :Qs cantidad ofrecida del bien (kg/semana). :P precio del bien ($, S/., etc.)

2.1 Hipótesis: Acerca del comportamiento del mercado.

1. Especificamos una condición de equilibrio (indispensable), se alcanza el equilibrio ⇔ la demanda excedente es nula:

⇒=−= 0QQE sd en este caso esto significa que el mercado está vacío.

2. ( ) →= PfQd función lineal decreciente. ( ) →= PgQs función lineal creciente.

3. No se oferta ninguna cantidad a menos que el precio exceda un

determinado nivel positivo.

2.2 Modelo expresado en términos matemáticos: El modelo contendrá una condición de equilibrio más dos ecuaciones de comportamiento que rigen, respectivamente los lados del mercado de la demanda y de la oferta.


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( )( ) ( )( ) ( )0d,0cdPcQ3

0b,0abPaQ2QQQ1

s

d

sd

>>+−=

>>−=

==

2.3 Solución del modelo: Hallar las soluciones particulares de las variables endógenas (valores de equilibrio de las variables endógenas).

−=

−

−≡

−=−+

=++

=+−

ca0

PsQdQ

d10b01011

cdPs1Qd0Q

abPs0Qd1Q

00Ps1Qd1Q

EndógenasVariables321

Resolviendo la ecuación matricial por el método de “Cramer”:

db

bcad

db

adbc

d)1)((b)1(

bc)ad1)((

d10b01011

d1cb0a010

dQ+

−=

−−

−=

−−−−

+−−−=

−

−

−−

−

=

db

bcad

db

adbc

d)1)((b)1(

bc)ad(1)(

d10b01011

dc0ba1001

sQ+

−=

−−

−=

−−−−

+−=

−

−

−−=

bcad0bcad0db

bcadQQQ sd >⇒>−⇒>

+

−===

db

ca

db

ca

d)1)((b)1(

c)1)((a)(1)(

d10b01011

c10a01011

P+

+=

−−

−−=

−−−−

−−−−=

−

−

−

−

=

0db

caP >

+

+= ya que: ( )0d,c,b,a >


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A continuación mostraremos la solución gráfica.

En el gráfico podemos notar que el punto )Q,P(E = representa el punto de equilibrio, el cuál es único, es decir, el modelo presenta una única solución.

Figura 1 II.4 Equilibrio general de mercado En la sección anterior se ha estudiado un modelo de un mercado aislado, en donde

dQ y sQ de un bien son funciones del precio de ese bien exclusivamente. Sin embargo, en el mundo real no hay ningún bien que goce (o sufra) de una existencia tan solitaria; comúnmente para cada bien existen muchos bienes sustitutos y complementarios. Por eso un cuadro más realista tanto de la función de demanda así como la de oferta de un bien debe tomar en cuenta el efecto no solo de ese bien, sino también el precio de todos los artículos relacionados con él.

Una vez que los precios de los otros bienes son incorporados en el modelo, debe ampliarse su estructura de forma que éste nos permita determinar los valores de equilibrio de esos otros precios, esto implica que las variables cantidad y precio de las múltiples mercancías deben intervenir endógena y globalmente en el mercado.

( ) equilibrio de punto únicoQ,P →

P1=c/d

Qd Q

Qs a

P

a/b P

Q

c


20

El considerar simultáneamente varios artículos interdependientes implica que el equilibrio requerirá la ausencia de exceso de demanda para todos y cada uno de los bienes incluidos en el modelo. Por tanto, la condición de equilibrio de un modelo de mercado con “n” bienes comprenderá “n” ecuaciones, una para cada bien, del siguiente tipo:

( )n,..,1inulodemandadeexceso0QQE

0QQE

0QQE0QQE

0QQE

sidii

sndnn

3s3d3

2s2d2

1s1d1

=→=−=

=−=

=−==−==−=

M

M

Si se presentara un 0Ei ≠ , el ajuste del precio de dicho bien afectaría necesariamente a las cantidades ofrecidas y demandadas de los bienes restantes causando, por tanto, cambios generales de precios.

1. Modelo de mercado con dos bienes En este modelo sólo consideraremos dos bienes relacionados entre sí. Por sencillez, supondremos que las funciones de demanda y oferta de ambas mercancías son lineales.

BIEN 1

( )( )( )

++=

++=

=−

3pbpbb1sQ

2papaa1dQ

101sQ1dQ

22110

22110

BIEN 2

( )( )( )

β+β+β=

α+α+α=

=−

6pp2sQ

5pp2dQ

402sQ2dQ

22110

22110

No nos hemos preocupado por los signos de los coeficientes, pero a lo largo del análisis aparecerán ciertas restricciones como prerrequisitos para que los resultados sean aceptables desde el punto de vista económico: BIEN 1: Reemplazando (2) y (3) en (1):

( ) 0 pbpbb papaa 2211022110 =++−++


21

( ) ( ) ( ) ( )I0pbapbaba 22211100 =−+−+−

BIEN 2: Reemplazando (5) y (6) en (4):

( ) 0pβpββpαpαα 2211022110 =++−++

( ) ( ) ( ) ( )II0pβαpβαβα 22211100 =−+−+−

Hacemos:

( )2,1,0iβαγbac

iii

iii =

−=−=

Donde "γ"y"c" ii reciben el nombre de parámetros derivados o también llamados parámetros de la forma reducida del modelo. Son funciones de los parámetros estructurales y se les conoce habitualmente con el nombre de multiplicadores.

( ) ( )VcPcPcIII0PcPcc 0221122110 −=+⇒=++

( ) ( )VIγPγPγIV0PγPγγ 0221122110 −=+⇒=++

−−

=

0

0

2

1

21

21γc

PP

γγcc

)γcγ(c 0γcγc

γcγc

γγccγγcc

1P 12211221

0220

21

21

20

20

≠>−

+−=

−−

=

)γcγ(c 0γcγc

γcγc

γγcc

γγcc

2P 12211221

1001

21

21

01

01

≠>−

+−=

−−

=

Ejemplo:

( ) ( )3PP15Q1PP210Q 212d211d −+=+−=

( ) ( )4P21Q2P32Q 22s11s +−=+−=


22

Podemos notar que en cada bien la "Q" si depende únicamente de su propio precio "P" i , mientras que "Q" di depende de ambos precios. Debido a que en

"Q" 1d el signo del coeficiente que precede a "P" 1 es negativo y el del coeficiente que precede a "P" 2 es positivo, podemos suponer que los dos artículos son bienes sustitutos ya que si aumentamos el precio del bien 2 ( )2P entonces es lógico pensar que "Q" 1d aumente y que "Q" 2d disminuya. El papel de "P" 1 en la función "Q" 2d tiene una interpretación similar.

( ) ( ) ( )1bien:equilibrio21 =

( )512PP5P32PP210 21121 =−⇒+−=+−

( ) ( ) ( )2bien:equilibrio43 =

( )616P3PP21PP15 21221 −=−⇒+−=−+

−

=

−−

⇒

=−=−

1612

PP

3115

16P3P12PP5

2

1

21

21

753

14

52

115

1636

3115

316112

P1 =−

−=

+−

−−=

−−

−−−

=

746

14

92

14

1280

3115

161125

P2 =−

−=

−

−−=

−−

−=

7

64Q

7

46

7

26210Q 11 =⇒

+

−=

7

852Q

7

4621Q2 =⇒

+−=


23

2. Modelo de mercado con “n” bienes

Hemos estudiado un modelo de mercado con múltiples bienes pero solo para dos bienes. La tendencia es desplazarnos hacia el estudio de equilibrio general a partir del análisis de equilibrio parcial. Conforme intervengan más bienes en un modelo, habrá más variables y más ecuaciones y las ecuaciones serán más grandes y más complicadas. Si incluimos todos los bienes de una economía en un modelo de mercado de gran alcance, como resultado obtendremos un modelo de equilibrio general del tipo “Walrasiano”, en el que el exceso de la demanda de cada bien se considera como una función de los precios de todos los bienes de la economía.

( )( )( )

( )n,...,2,1i3 0QQ2 )P...,,.........P,P(QQ1 )P..,,.........P,P(QQ

ecuaciones"3n"sidi

n21sisi

n21didi

=

=−==

44444 344444 21

Reemplazando (1) y (2) en (3):

( )n,...,2,1i0)P....,,.........P,P(Q)P....,,.........P,P(Q n21sin1di ==− Por otro lado: 0QQE sidii =−=

( )n,...,2,1i0)P....,,.........P,P(E n21i ==

Resolviendo las “n” ecuaciones se determinarán los “n” precios de equilibrio

Pi y las “n” cantidades de equilibrio .Qi

3. Equilibrio en el análisis de la renta nacional

Modelo Keynesiano de la renta nacional.

1)b0 0,(a (2) bYaC(1) GICY 00 <<>

+=

++=

Donde:


24

Y: Renta Nacional (V. endógena) C: Gastos de Consumo (V. endógena) I0: Inversión determinada exógenamente. G0: Gastos Públicos. (V. exógena) La ecuación (1) es una condición de equilibrio en donde la renta nacional es igual al gasto total. La ecuación (2) función de consumo es una ecuación de comportamiento en donde: • “a” consumo autónomo, indica el nivel de “C” que no es explicado por

“Y”. • “b” propensión marginal al consumo, representa el aumento que

experimenta los gastos de consumo cuando “Y” aumenta en una unidad monetaria.

Solución: Escribiremos el sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial.

aGI

CY

1b11

aCbY GICY 0000

−+

=

−−

⇒

−=−

+=−

b1

GIa

b1

a)G(I

1b11

1a1GI

Y 0000

00

+−

−−−=

+−

−+−=

−−

−−−+

=

1)(b b1

GIaY 00 ≠

−

++=

1)(b b1

)G(Iba

b1

)G(Iba

1b11

abGI1

C 0000

00

≠+−

−+=

+−

+−−=

−−

−+

=

Se debe imponer que 1b ≠ para evitar la división entre cero, pero como inicialmente se supuso ⇒>> 0b1 está restricción se satisface automáticamente.


25

4. Modelo de renta nacional que considera impuestos totales

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

++=<<>+=<<>−+=

3GICY1λ00λ2YλλT1α00α1TYααC

00 tttt

10t10t

10tt10t

Donde:

:Ct Consumo Nacional: (V. endógena). :Tt Impuestos Totales: (V. endógena). :Yt Ingreso Nacional: (V. endógena). :I

0t Inversión Neta: (V. exógena). :G

0t Gasto Público en bienes y servicios: (V. exógena). La ecuación (1) nos indica que los consumidores compran en función de sus ingresos disponibles ( )tt TY − . La ecuación (1) es una ecuación de comportamiento. La ecuación (2) representa el volumen total recaudado de impuestos el cuál está en función del ingreso nacional. La ecuación (2) es una ecuación legal o institucional. La ecuación (3) es una ecuación de definición del ingreso nacional como el total del consumo más la inversión neta más los gatos públicos.

+−=−=−=−+

)G(IY C λYλT

α Yα TαC

00 tttt

0t1t

0t1t1t

+−=

−−−

)GI(λα

YTC

A

101λ10αα1

00 tt

0

0

t

t

t

1

11

44 344 21

)1)(α()λ(α)1(1A 111 −−+−−=

01)λ1(αA 11 ≠−−=

Como el 0A ≠ , el sistema de ecuaciones es consistente y presenta una única solución.


26

1)λ1(α

10)GI(λ1λααα

C11

tt

10

110

t00

−−

−+−−−

=

( ) [ ]1)λ1(α

)GI(α)GI(λλα1αC

11

tt1tt1010t

0000

−−

+−+−−−−=

1)λ1(α

1)GI(1λλ0αα1

T11

tt

10

10

t00

−−

−+−−−

=

( )[ ] ( ) ( )( )1)λ1(α

λαλα)GI(λλ1T

11

0110tt10t

00

−−

−−+−+−−=

1)λ1(α

)GI(01λ10αα1

tY11

tt

0

01

00

−−

+−=

( ) ( ) ( )

( ) 11

1GI1Y

11

001ttt

00

−λ−α

−α+λ−α−−−=

II.5 Limitaciones del análisis estático En el análisis del equilibrio estático del mercado o de la renta nacional nos hemos centrado únicamente en hallar los valores de equilibrio de las variables endógenas del modelo, ignorándose en el análisis el proceso real de ajustes y reajustes de las variables que finalmente conducen al estado de equilibrio, es decir, sólo nos hemos preguntado dónde llegaría, pero no cuando o qué puede ocurrir en el camino. Por tanto, el análisis estático falla por dos razones fundamentales:


27

1. Debido a que el proceso de ajuste puede requerir mucho tiempo hasta completarse, un estado de equilibrio como el determinado en el análisis estático puede perder su importancia incluso antes de alcanzarse, si mientras tanto las fuerzas exógenas del modelo experimentan ciertos cambios. Este es el problema de cambios en el estado de equilibrio.

2. Aún cuando el proceso de ajuste continúe su curso sin ser perturbado, podría darse

el caso de no alcanzar en su conjunto el estado de equilibrio concebido en un análisis estático. Este sería el caso del denominado “equilibrio inestable”, que se caracteriza por el hecho de que el proceso de ajuste alejará las variables del estado de equilibrio concebido en un análisis estático.

Los cambios del estado de equilibrio (como respuesta a cambios exógenas, pertenecen al tipo de análisis denominado “estática comparativa” y la cuestión de la accesibilidad y la estabilidad del equilibrio cae dentro del terreno del análisis dinámico). II.6 Ejercicios de equilibrio estático:

1.- Resolver el siguiente sistema encontrando los valores de equilibrio.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

++=<λ<λ+λ=

>β−β+β=

<α<−α+α=

−−

−−

4GICY103YT

02YYI101TYC

tttt

1t10t

12t1t10t

11t1t10t

Donde:

:Ct Consumo Nacional en el periodo actual: (V. endógena). :Yt Ingreso Nacional en el periodo actual: (V. endógena).

:Y 1t − Ingreso Nacional: (V. endógena con un periodo de retardo). :Y 2t − Ingreso Nacional: (V. endógena con dos periodos de retardo).

:Tt Impuestos Totales en el periodo actual: (V. endógena). :T 1t − Impuestos Totales: (V. endógena con un periodo de retardo).

:It Inversión Neta en el periodo actual: (V. endógena). :Gt Gasto Público en bienes y servicios en el periodo actual: (V. exógena).

:λ,λ,β,β,α,α 101010 Parámetros. La ecuación (1) es una ecuación de comportamiento, y nos indica que los consumidores compran en función de sus ingresos disponibles ( )1t1t TY −− − en el periodo anterior.


28

La ecuación (2) es una ecuación de comportamiento, y nos indica que los individuos invierten en función de la diferencia entre el ingreso nacional en el periodo anterior y el ingreso nacional con dos periodos de rezago ( )2t1t YY −− − . La ecuación (3) es una ecuación legal o institucional, y representa el volumen total recaudado de impuestos el cuál está en función del ingreso nacional. La ecuación (4) es una ecuación de definición del ingreso nacional como el total del consumo nacional más la inversión neta más los gatos públicos.

Matricialmente, tenemos que:

( )( )

=

λ−β+β−α+α

=

−−λ−

−−

−−

4

3

2

1

t

0

2t1t10

1t1t10

t

t

t

t

1bbbb

G

YYTY

YTIC

1011100

00100001

( )( )( ) 11

A

1

4

13

2

1

t b111

1b

1011λ10000100001101bλ10b001b000b

C ==

−−−

−−

=

444 3444 21

trivial.soluciónlaincluyenoqueúnicasoluciónsingularnomatriz0A ⇒⇒≠

( )1t1t10___

t TYC −− −α+α=

( )2

24

13

2

1

t b1

1b1

110b1

1b000b000b1

I ==−

λ−

=

( )2t1t10t YYI −− −β+β=


29

( )( ) ( )( ) ( ) 3421111124134

13

2

1

t bbbb1

1bbbb11

1

1b11b00

0b100b01

T +++λ=λ−−+λ+λ+

=−−

λ−

=

( ) ( )[ ] 0t2t1t101t1t101t GYYTYT λ++−β+β+−α+αλ= −−−−

( ) ( )( )124

1244

3

2

1

t bbb1

11bbb11

1

b011b100b010b001

Y ++=−−+

=−−

=

( ) ( )1t1t102t1t10tt TYYYGY −−−− −α+α+−β+β+=

2.- Resolver el siguiente sistema encontrando los valores de equilibrio:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

−+++=

−λ+λ=β+β=

−α+α=

4MXGICY

3TYM2YT1TY C

t000tt

tt10t

t10t

tt10t

Donde:

:Ct Consumo Nacional en el periodo actual: (V. endógena). :Yt Ingreso Nacional en el periodo actual: (V. endógena). :Tt Impuestos Totales en el periodo actual: (V. endógena).

:M t Nivel de importaciones del periodo actual: (V. endógena). :I0 Inversión Neta: (V. exógena). :G 0 Gasto Público en bienes y servicios: (V. exógena). :X0 Nivel de exportaciones: (V. exógena).

:λ,λ,β,β,α,α 101010 Parámetros. La ecuación (1) es una ecuación de comportamiento, y nos indica que los consumidores compran en función de sus ingresos disponibles ( )tt TY − .


30

La ecuación (2) es una ecuación legal o institucional, y representa el volumen total recaudado de impuestos el cuál está en función del ingreso nacional tY . La ecuación (3) es una ecuación de comportamiento, y nos indica que las importaciones se hallan en función los ingresos disponibles ( )tt TY − .

La ecuación (4) es una ecuación de definición del ingreso nacional en una economía abierta, donde el ingreso nacional es igual al consumo nacional, mas la inversión neta, mas los gatos públicos, mas las exportaciones, menos las importaciones.

Matricialmente, tenemos que:

++λβα

=

−λ−λβ−α−α

000

0

0

0

t

t

t

t

11

1

11

XGIYMTC

11011001001

Donde:

444 3444 21A

11

1

11

000

110

10

110

t

11011001001

110XGI1010

C


++λ−λλβ−βα−αα

=

( ) ( )[ ]( ) 11

XGIXGI1C

11111

000000000111110t

+λ+λβ−−βα

β−+++λ−−−−λβα++λ+λβ−α=

.trivialsoluciónlaincluyenoqueúnicasoluciónsingularnomatriz0A ⇒⇒≠


31

( ) ( )( ) 11

XGI1

11011001001

11XGI1100001

T11111

10100000110

A

11

1

11

000

10

10

10

t+λ+λβ−−βα

αβ+βα+−−−λβ−λ+β=


++−λ−λβ−βα−α

=

444 3444 21

444 3444 21A

11

1

11

000

101

10

101

t

11011001001

1XGI010

101

M


++−λ−λλβ−βα−αα

=

( )[ ] ( )( )[ ]

( ) 11

XGI111M

11111

0000011110t

+λ+λβ−−βα

β−α+++β−λ+β−α−λ=

Capítulo III

ANÁLISIS ESTÁTICO – COMPARATIVO

III.1 Estática-comparativa

1. Definición

Trata acerca de la comparación de los diferentes estados de equilibrio los cuales están asociados con ciertos valores de las variables exógenas y de los parámetros.

En el análisis estático comparativo se supone un estado de equilibrio inicial dado, luego se introduce un cambio en alguna variable exógena o en algún parámetro que desequilibre el modelo. Como resultado, las distintas variables endógenas deberán experimentar ciertos ajustes para poder definir y alcanzar un nuevo estado de equilibrio relacionado con los nuevos valores de los parámetros. La cuestión que se plantea en el análisis estático comparativo es: ¿cómo compararíamos el nuevo equilibrio con el anterior? La estática comparativa no estudia el proceso de ajuste de las variables, simplemente compara el estado de equilibrio inicial con el estado de equilibrio final. Además, excluimos la posibilidad de que el equilibrio sea inestable, porque suponemos que el nuevo equilibrio es alcanzable. El análisis estático – comparativo puede ser:

1.1 Cualitativo: sólo considera la dirección del cambio, es decir si la variable endógena aumenta o disminuye, cuando se incrementa una de las variables exógenas o uno de los parámetros.

1.2 Cuantitativo: considera la magnitud del cambio producido en la variable endógena al haber producido un incremento en una de las variables exógenas o en uno de los parámetros.

ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO

33

El análisis estático comparativo consiste en hallar la tasa de cambio del valor de equilibrio de una variable endógena con respecto al cambio en una variable exógena particular o en un parámetro particular.

2. Aplicaciones al análisis estático – comparativo:

2.1 Modelo de mercado aislado

( )( ) ( )( ) ( )

>+−=>−=

=

0d,c3dpcQ0b,a2bpaQ

1QQ

s

d

sd

+

−=

+

+=

d)(b

bc)(adQ

d)(b

c)(aP

Estos son valores de equilibrio también conocidos como formas reducidas debido a que las variables endógenas han sido reducidas a expresiones explícitas de los parámetros a, b, c, y d. Podemos observar que P y Q dependen de 4 parámetros que son independientes entre sí, es decir, si cambia uno el resto de parámetros permanece constante. En caso de que en el modelo intervengan variables exógenas, entonces consideramos que todas ellas son independientes entre sí. La pregunta es: ¿qué ocurre con el valor de equilibrio de la variable endógena ante el cambio de cualquier variable exógena o de cualquier parámetro? Para responder a esto tendríamos que calcular la derivada parcial del valor de equilibrio de la variable endógena respecto de la variable exógena o respecto al parámetro cambiante.

Análisis Estático – Comparativo:

1.- ¿Qué pasa con P y Q cuando incrementamos “a”?

a db

1 P 0

d)(b

1

a

P⇒∆

+≅∆⇒>

+=

∂

∂

.P a Si 0 P 0 a como ↑⇒↑⇒>∆⇒>∆


34

⇒∆

+≅∆⇒>

+=

∂

∂ a

db

d Q 0

d)(b

d

a

Q

.Q a Si 0Q 0 a como ↑⇒↑⇒>∆⇒>∆

ds Q,Q

0E

a

1E 1Q

0Q

0P 1P ba P

dc

Si a↑ ⇒ b, c y d = constantes ⇒ la curva de demanda se trasladará así misma hacia arriba definiéndose un nuevo punto de equilibrio 1E en

donde observamos que tanto P y Q han aumentado de 0P a 1P y de

0Q a 1Q .

2.- ¿Qué pasa con P y Q cuando incrementamos “b”?

0 d)(b

c)(a

b

P2<

+

+−=

∂

∂

.pb Si0P0b como b b)(d

c)(a P 2 ↓↑⇒⇒<∆⇒>∆⇒∆

+

+−≅∆

0 )db(

ad)(cd

d)(b

bc)(1)(ad d)(b c

b

Q22

<+

+−=

+

−−+−=

∂

∂


35

.Q b Si0Q 0b como b)db(

ad)(cdQ 2 ↓⇒↑⇒<∆⇒>∆⇒∆

+

+−≅∆

1Q

0Q

1E

0E

1P 0P 1ba b

a

sd Q,Q

1α 0α

a

dcP

Si ↑ b ⇒ a, c y d = constantes ⇒ la pendiente de la curva de demanda se hace más negativa definiéndose un nuevo punto de equilibrio 1E en

donde observamos que tanto P y Q han disminuido de 0P a 1P y de

0Q a 1Q .

101011

00 mmtgtg0tgm0tgm

>⇒α>α⇒

<α=<α=

3.- ¿Qué pasa con P y Q cuando incrementamos “c”?

0 d)(b

1

c

P>

+=

∂

∂

.P c Si 0 P 0 c como c db

1 P ↑⇒↑⇒>∆⇒>∆⇒∆

+≅∆

0 d)(b

b

c

Q<

+

−=

∂

∂


36

.Q c Si 0Q 0 c como c db

b Q ↓⇒↑⇒<∆⇒>∆⇒∆

+

−≅∆

a

1E 0Q 1Q

0E

c−

0P 1P ba P

sd Q,Q

↓Q

Si ↑ c ⇒ a, b y d = constantes ⇒ la curva de oferta se trasladará paralelamente así misma hacia abajo definiéndose un nuevo punto de equilibrio 1E en donde observamos que P ha aumentado de 0P a 1P y

que Q ha disminuido de 0Q a 1Q . 4.- ¿Qué sucede con P y Q cuando aumenta “d”?

⇒<+

+−=

∂

∂ 0

d)(b

c)(a

d

P2

0P0d como d d)(b

c)(a P 2 <∆⇒>∆⇒∆

+

+−≅∆

.Pd Si ↓⇒↑⇒


37

⇒>+

+=

+

−−+=

∂

∂ 0

)db(

bc)(ab

d)(b

bc)(1)(ad d)(b a

d

Q22

.Qd Si0Q 0d como d)db(

bc)(abQ 2 ↑↑⇒⇒>∆⇒>∆⇒∆

+

+≅∆

c−

1Q

0Q

1E

0E

1P 0P ba P

sd Q,Q

a

Si ↑ d ⇒ a, b y c = constantes ⇒ la pendiente de la curva de oferta se hace más positiva definiéndose un nuevo punto de equilibrio 1E en

donde observamos que P ha disminuido de 0P a 1P y que Q ha

aumentado de 0Q a 1Q .

El método de diferenciación nos ofrece dos ventajas respecto al método gráfico. En primer lugar, la técnica gráfica está sometida a limitaciones dimensionales, pero la diferenciación no lo está. En segundo lugar, el método de diferenciación puede dar resultados que tienen un mayor nivel de generalidad.


38

2.2 Modelo de renta nacional tomando en cuenta el impuesto total

1)α0 0,(α (1))T(Yααt C 10tt10 <<>−+=

1)λ0 0,(λ (2) YλλT 10t10t <<>+=

)AD(OA (3)GICY

00 tttt =++=

Las restricciones sobre los valores de los parámetros 0α , 1α , 0λ , 1λ pueden explicarse como: 0α es positivo porque el consumo es positivo, aún cuando la renta disponible ( )tt TY − sea cero; 1α es una fracción positiva porque representa la propensión marginal al consumo; 0λ es positivo porque aunque tY sea cero habrá recaudación de impuestos positiva (de base imponible diferente a la de la renta), y, por último, 1λ es una fracción positiva porque representa una tasa de impuesto sobre la renta y como tal no puede exceder el 100%. Las variables exógenas

0tI y

0tG , son por supuesto, no negativas. Supongamos que todos los parámetros y variables exógenas son independientes entre sí. Hemos encontrado del equilibrio estático:

[ ])1(1

)GI()GI( C

11

tt10tt101t 0000

λ−α−

+α+α++λ+λα−=

)1(1

)GI( T

11

0110tt10t 00

λ−α−

λα−λα++λ+λ=

)λ1(α1

αλαGIY

11

001ttt

00

−−

+−+=

A continuación vamos a ver que sucede con tY cuando producimos un cambio en una de sus variables exógenas o en uno de sus parámetros. De tY podemos extraer seis derivadas estático – comparativas. De estas seis, las tres siguientes tienen especial trascendencia política:


39

¿Qué sucede cuando 0tG aumenta?

[ ].YG Si0

)1(1

1

)1(

1

G

Ytt

11111t

t0

0

↑⇒↑⇒>−λα+

=λα+α−

=∂

∂

=∂

∂

0t

t

G

YMultiplicador de gastos gubernamentales.

¿Qué sucede con tY cuando 0λ cambia?

[ ].Y Si0

)1(1

Yt0

11

1

0

t ↓⇒↑λ⇒<λ−α−

α−=

λ∂

∂

=λ∂

∂

0

tYMultiplicador de impuestos indirectos, porque muestra cómo un

cambio en 0λ afectará la renta de equilibrio.

0λ : Ingreso gubernamental de otras fuentes que excluyen el impuesto sobre la renta. ¿Qué sucede con tY cuando 1λ cambia?

.Y Si0)1(

)GI(Yt12

111

001tt1

1

t 00 ↓⇒↑λ⇒<λα+α−

α+λα−+α−=

λ∂

∂

=∂

∂

1

t

λ

YMultiplicador de tasa de impuesto sobre la renta.

:0α Consumo autónomo, no depende del ingreso.

1α : Propensión marginal al consumo. Por cada sol adicional que gana el gasto de consumo se incrementa en 1α soles.

( )1α1 − : Propensión marginal a ahorrar.

tC : Consumo nacional.


40

tT : Impuestos totales.

tY : Ingreso o Renta nacional.

0tI : Inversión neta.

0tG : Gasto público en bienes y servicios.

( )tt TY − : Ingresos disponibles de los consumidores.

( )00 ttt GTC ++ : Demanda agregada. Suma de los gastos de las

unidades familiares, empresa y gobierno.

1λ : Tasa de impuesto sobre la renta. Todos los sujetos de esta economía tributan una tasa fija por cada unidad monetaria percibida como ingreso.

0λ : Ingresos distintos a lo que se percibe por impuesto a la renta = ingreso gubernamental de otras fuentes que excluyen el impuesto sobre la renta. Nivel del monto total de tributación recaudado por el gobierno que no depende del nivel de ingreso nacional.

III.2 Análisis estático – comparativo de modelos de funciones

generales Hasta este punto hemos estudiando modelos en donde sus ecuaciones están expresadas en forma explícita y no están conformadas por funciones generales. Ahora vamos a estudiar modelos que pueden presentar funciones generales en su estructura. El hecho de que en una o más de las ecuaciones que conforman un modelo que aparezca una o más funciones generales impide que podamos obtener una solución en el equilibrio en forma explícita y por tanto no podremos calcular las derivadas parciales de dicha solución respecto de uno de sus parámetros o respecto de una de sus variables exógenas debido a que no serán independientes entre sí. Por lo tanto deberemos recurrir a la diferenciación total que nos permitirá calcular derivadas de funciones implícitas en lugar de recurrir a la diferenciación parcial para calcular las derivadas estático – comparativas.


41

Ejemplo:

)equilibrio de (ec.GI)TC(Y,Y )TC(Y;C

GICY000

0

00 →++=⇒

=++=

Debido a la forma general de la función C, no se dispone de una solución explícita, por tanto, debemos obtener las derivadas estático – comparativas directamente a partir de la ecuaciones de equilibrio. Para poder conseguir esto vamos a suponer que existe una solución de equilibrio Y como función de 0I ,

0G y 0T . De donde podemos escribir la ecuación:

)T,G,I(YY 000=

Aún cuando seamos incapaces de determinar explícitamente la forma que adopta la función. Además, en algún entorno del valor de equilibrio Y , se verificará la siguiente identidad:

).equilibrio de (Identidad GI)T,YC(Y 000 →++≡

Debido a que Y depende directamente de 0T , los dos argumentos de C no son

independientes, entre sí, por lo tanto no podríamos calcular por ejemplo 0T

Y

∂

∂,

por lo que necesitaremos de la derivación total para calcular las derivadas estático – comparativas de funciones cuyos argumentos no sean todos independientes entre sí. Ejemplo:

Calcular 0T

Y

∂

∂.

0GI)T,Y(CY)G,I,T,YF( F 0GI)T,Y(CY 000000000 =−−−==⇒=−−−

)T,G,I(YY 000=

Variables independientes: .T,G,I 000

F 0T

Y

0I

0G

0I

0G

0T


42

Diferencial total: 0dGG

FdI

I

FdT

T

FYd

Y

FFd 0

00

00

0=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

Derivada total parcial:

0dT

dG

G

F

dT

dI

I

F

dT

dT

T

F

dT

Yd

Y

F

T

F0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

000=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

δ

δ876

0T

F

dT

Yd

Y

F

T

F

000=

∂

∂+

∂

∂=

δ

δ

YC1

TC

YC1

TC

YF

TF

T

Y 000

0 ∂∂−

∂∂

=

∂∂−

∂∂−

−=

∂∂

∂∂

−=∂

∂

III.3 Funciones implícitas

Una función dada en la forma: ( ),xfy = digamos, ( ) ( )1:5x4xfy 5 +== se denomina una función explícita, porque la variable “y” está explícitamente expresada como una función de “x”. Sin embargo, si esta función se escribe alternativamente en la forma equivalente: ( ) ( )2:0xfy5x4y 5 =−=−− ya no tenemos una función explícita. Entonces la función (1) queda definida implícitamente por la ecuación (2). Por tanto, cuando (sólo) damos una ecuación de la forma (2), la función ( )xfy = implicada, y cuya forma explícita no siempre conoceremos, se dice que es una función implícita. Una ecuación de la forma (2) puede denotarse en general por ( ) 0y,xF = ya que su primer miembro está formado por las dos variables “y” y “x”: ( ) ( ) .0xfyy,xF =−= También podemos encontrar una ecuación ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = la cual “puede” definir una función implícita ( )m21 x,...,x,xfy = . La palabra ambigua “puede” de la frase anterior se ha usado deliberadamente, porque, mientras que una función explícita, por ejemplo, ( )m21 x,...,x,xfy = siempre puede transformarse en una ecuación ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = simplemente trasladando la expresión ( )m21 x,...,x,xf a la izquierda del signo igual, la transformación recíproca no

siempre es posible. Ejemplo:

( ) 09yxy,xF 22 =−+=


43

No implica una función, sino una relación debido a que a cada valor de “x” no le corresponde un único valor de “y”.

222222 x9yyx9yx9y −==⇒−=⇒−=

2x9y −±=

De esta última expresión podemos observar que para un valor de “x” le corresponden dos valores de “y”⇒ es una relación y no una función. Podemos decir lo siguiente acerca de una ecuación de la forma ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = :

1. No siempre a partir de ella podremos despejar ( )m21 x,...,x,xfy = aunque

( )m21 x,...,x,xf sea una función y esté implícitamente definida por ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = .

Ejemplos:

( ) ( )103xyyxy,xF 53 =−+=

( ) ( )205yln3yxxy,xF 22 =−−+=

( ) ( )30xcosexyy,xF y =+=

2. En caso de que podamos obtener a partir de ella ( )m21 x,...,x,xfy = , esta

última puede no ser una función sino una relación.

Ejemplos:

( ) ( ) ( )1xfx9y09xyy,xF 22 =−=⇒=−+=

( ) ( ) ( )2xfx5y05yxy,xF 222 =−±=⇒=−+=

En el ecuación (1) tenemos una función y en la ecuación (2) una relación. A nosotros nos va a interesar que la ecuación ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = , nos defina implícitamente una función, independientemente del hecho de que se pueda o no a partir de ella obtener ( )m21 x,...,x,xfy = .


44

En vista de que no toda ecuación ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = puede definir siempre una función implícita ( )m21 x,...,x,xfy = , entonces vamos a estudiar bajo que condiciones generales podemos asegurar que una ecuación dada en la forma ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = , define realmente una función implícita

( ).x,...,x,xfy m21=

1. Teorema de la función implícita Dada ( ) ( )I0x,...,x,x,yF m21 =

Si: 1.- Todas las derivadas parciales xm2x1xy F,..,F,F,F son continuas. 2.- En un punto ( )0m20100 x,...,x,x,y que pertenece a (I), es decir tal que

( ) 0x,...,x,x,yF 0m20100 = , se tiene que:

( ) ( ) 0x,...,x,x,yF0y

x,...,x,x,yF0m20100y

0m20100 ≠⇒≠∂

∂

Entonces:

a.- Existe un entorno m-dimensional de ( ),x,...,x,x 0m2010 E, en el que “y” está definida como función implícita de las variables m21 x,...,x,x donde:

( ).x,...,x,xfy 0m20100 = Además, para cualquier ( ) Ex,...,x,x m21 ∈ se verifica que: ( )( ) .0x,...,x,x,x,...,x,xfF m21m21 ≡

b.- Se puede asegurar que la función implícita ( )m21 x,...x,xfy = es continua y que todas sus derivadas parciales xm2x1x f,..,f,f son continuas en ( ).x,...,x,x 0m2010 .

Ejemplo:

( ) 09yxy,xF 22 =−+=

( )

⇒=∂

∂=

⇒=∂

∂=

.continuapolinomialfunciónx2x

FF

.continuapolinomialfuncióny2y

FF

1

x

y

( ) ⇒≠⇒≠⇒≠ 0ydevalorcualquierpara0y0F2 y

( ) ( ).0,3y0,3enexcepto,0Fy −≠


45

De este modo, exceptuando ( ) ( )0,3y0,3− , alrededor de cualquier otro punto del círculo, podemos construir un entorno en el cual ( ) 0y,xF = defina una función implícita ( )xfy = . Esto lo podemos verificar observando la gráfica de ( ) 0y,xF = :

Podemos tomar un entorno (por ejemplo: un rectángulo) alrededor de cualquier punto del círculo excepto en ( ) ( )0,3y0,3− tal que la porción del círculo encerrada en el rectángulo constituye el gráfico de una función de modo que a un único valor de “y” le corresponde a cada valor de “x” en dicho rectángulo. El teorema de la función implícita tiene tres limitaciones:

1.- Aún cuando esté asegurada la existencia de una función implícita “f”, el teorema no da ningún indicio sobre que forma específica toma la función “f”.

2.- No dice la medida exacta del entorno en el que está definida la función implícita.

3.- El hecho de que 0Fy = en un punto que pertenezca a “F” no es una condición necesaria para negar la existencia de una función implícita “f”.

Sin embargo a pesar de las limitaciones anteriormente citadas, este teorema es de gran importancia porque siempre que se cumplan las condiciones del teorema, tendrá sentido hablar y hacer uso de una función tal como

( )m21 x,...,x,xfy = , aún cuando nuestro modelo contenga una ecuación ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = que sea difícil de resolver explícitamente para “y” en

términos de m21 x,...,x,x . Además, puesto que el teorema también garantiza la existencia de las derivadas parciales xm2x1x f,...,f,f , también será importante el estudio de estas derivadas de la función implícita.


46

2. Derivadas de funciones implícitas Si una ecuación ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = no se puede resolver explícitamente para “y”, en este caso, si bajo las condiciones del teorema de la función implícita sabemos que existe una función implícita, podemos obtener las derivadas buscadas sin tener que resolver primero para “y”. Para esto, utilizaremos la denominada “regla de la función implícita”. Esta regla depende de los siguientes datos: 1. Si dos expresiones son idénticamente iguales, sus respectivos

diferenciales totales tienen que ser iguales. Ejemplo:

( )( )yxyxyx 22 −+≡−

( ) ydy2xdx2yxd 22 −=−

( )( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]yxdyxyxyxdyxyxd −++−+=−+

( )( )[ ] ( )( ) ( )( )dydxyxyxdydxyxyxd −++−+=−+

( )( )[ ] ydy2xdx2yxyxd −=−+

2. La diferenciación de una expresión que incluye ( )m21 x,...,x,x,y dará lugar a otra que incurra los diferenciales m21 dx,...,dx,dx,dy .

3. Si dividimos dy por 1dx y hacemos todos los otros diferenciales

m32 dx,...,dx,dx iguales a cero, el cociente puede interpretarse como la

derivada parcial 1x

y∂

∂ , pueden obtenerse derivadas similares si

dividimos dy por 2dx , etc. Aplicando esto a la ecuación ( )m21 x,...,x,x,yF , entonces podemos escribir ( ) 00ddF == .

0dxFdxFdxFdyF mxm22x11xy =++++ L

Supongamos que sólo a “ y ” y a “ 1x ” les está permitido variar (sólo “ dy ” y “ 1dx ” no son iguales a cero). Entonces la ecuación anterior se reduce a:

y

1x

1y

1x

.ctesxm...3x2x111xy

F

F

x

y

F

F

dx

dy0dxFdyF −=

∂

∂⇒

−=⇒=−=

====


47

De forma similar, podemos deducir todas las otras derivadas parciales de la función implícita “f”. Esto puede resumirse de la siguiente manera: Dada ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = , si existe una función implícita

( )m21 x,...,x,xfy = , entonces las derivadas parciales de “f” son:

( )m,...,2,1iF

F

x

y

y

x

i

i =−=∂

∂

Lo que esta regla dice es que, incluso si no conocemos la forma específica de la función implícita, siempre podremos hallar sus derivadas tomando el valor negativo del cociente de un par de derivadas parciales de la función “F” que aparezcan en la ecuación dada que define la función implícita. Podemos observar que “ yF ” siempre aparece en el denominador del cociente, por tanto, en este caso no es admisible 0Fy = . Puesto que el teorema de la función implícita específica que 0Fy ≠ en el entorno del punto en el que está definida la función implícita, el problema de un cero en el denominador queda automáticamente resuelto.

Ejemplo:

1. Hallar X

y

∂

∂ para cualquier función implícita que pueda definirse por la

ecuación 03yxwwxy)w,x,y(F 323 =−++= (*)

Está ecuación no se puede resolver fácilmente para “y”.

⇒+= xwxy3F 22y función polinomial ⇒ continua.

⇒+= ywxy2F 3

x función polinomial ⇒ continua.

⇒+= xyw3F 2w función polinomial ⇒ continua.

Debido a que wxy FyF,F son continuas, y puesto que 0Fy ≠ en un punto tal como el ( )1,1,1 que satisface (*), está asegurada la existencia de una función implícita ( )w,xfy = al menos alrededor de ese punto. Por

tanto tiene sentido hablar de xy∂

∂ .

xwxy3

ywxy2

F

F

x

y22

3

y

x

+

+−=−=

∂

∂⇒

( )4

3

x

1,1,1y−=

∂

∂


48

3. Extensión al caso de ecuaciones simultáneas

El teorema de la función implícita también viene en una versión más general y potente que trata de las condiciones bajo las cuales un conjunto de ecuaciones simultáneas:

( )( )

( )

( )I

0x,...,x;y,...,yF

0x,...,x;y,...,yF

0x,...,x;y,...,yF

m1n1n

m1n12

m1n11

=

=

=

M

Definirán ciertamente un conjunto de funciones implícitas:

( )( )

( )

( )II

0x,...,xfy

0x,...,xfy0x,...,xfy

m1nn

m122

m111

==

====

M

Por decirlo de otra forma, estas condiciones sirven para asegurarnos que las “n” ecuaciones de (I) pueden en principio resolverse para las “n” variables ( )n21 y,...,y,y incluso aunque no seamos capaces de obtener la solución (II) en forma explícita. La versión generalizada del teorema dice: Dado el sistema de ecuaciones (I), si:

a. Las funciones n321 F,...,F,F,F tienen todas las derivadas parciales

continuas con respecto a todas las variables “y” y “x”, y si b. En el punto ( )0m100n10 x,...,x;y,...,y que satisface (I), el siguiente

determinante jacobiano es no nulo.

0

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

)y,...,y,y(

)F,...,F,F(J

n

n

2

n

1

n

n

2

2

22n

1

2

1

1

1

n21

n21≠

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=∂

∂=

L

M

L

L


49

Entonces:

a. Podemos afirmar que existe un entorno m-dimensional ( ),x,...,x,x m2010 E, en el cual las variables n21 y,...,y,y son funciones de las variables

m21 x,...,x,x en la forma de (II) donde: ( ) ( ).n,,2,1ix,...,x,xfy 0m2010i0i K=∀= Además, para cualquier

( ) Ex,...,x,x m21 ∈ se verifica que:

( )( ) ( ).n,,2,1i0x,...,x,x,x,...,x,xfF m21m21ii K=∀≡

b. Se puede asegurar que las funciones implícitas n21 f,...f,f son continuas y

tienen derivadas parciales continuas con respecto a todas las variables x. Como en el caso de una única ecuación, es posible hallar las derivadas parciales de las funciones implícitas directamente a partir de las “n” ecuaciones (I), sin tener que resolverlas para las variables “y”. Vamos a calcular la diferencial total de cada una de las ecuaciones (I) y escribir ( ).n,...,2,1i0dFi ==

0dxx

Fdx

x

Fdx

x

F

dyy

F...dy

y

Fdy

y

FdF

mm

1

22

1

11

1

nn

1

22

1

11

11

=∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

+∂

∂++

∂

∂+

∂

∂=

L

M

M

L

L

0dxx

Fdx

x

Fdx

x

F

dyy

Fdy

y

Fdy

y

FdF

mm

2

22

2

11

2

nn

2

22

2

11

22

=∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

+∂

∂++

∂

∂+

∂

∂=

0dxx

Fdx

x

Fdx

x

F

dyy

Fdy

y

Fdy

y

FdF

mm

n

22

n

11

n

nn

n

22

n

11

nn

=∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

+∂

∂++

∂

∂+

∂

∂=

L

L

Pasando los términos "d" xi a la derecha de los signos de igualdad:


50

( )

∂

∂++

∂

∂

+

∂

∂−=

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂

∂

∂++

∂

∂

+

∂

∂−=

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂

∂

∂++

∂

∂

+

∂

∂−=

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂

mm

n

22

n

11

n

nn

n

22

n

11

n

mm

2

22

2

11

2

nn

2

22

2

11

2

mm

1

22

1

11

1

nn

1

22

1

11

1

dxx

Fdx

x

F

dxx

Fdy

y

Fdy

y

Fdy

y

F

dxx

Fdx

x

F

xdx

Fdy

y

Fdy

y

Fdy

y

F

dxx

Fdx

x

F

dxx

Fdy

y

F...dy

y

Fdy

y

F

**

L

L

M

M

L

L

L

Puesto que todas las derivadas parciales que aparecen en (**) tomarán valores concretos (constantes) cuando las evaluemos en el punto ( )0m100n10 x,...,x;y,...,y [punto alrededor del cual están definidas las funciones implícitas] tenemos aquí un sistema de “n” ecuaciones lineales, en el cual los diferenciales "d" yi (considerados como endógenos) están expresadas en términos de los diferenciales "d" xi (considerados como exógenos). Ahora, suponiendo que sólo se permite variar a “ 1x ” y “ ctexxx n32 ==== L ”, entonces 0ddd

m32 xxx ==== L ; si además dividimos cada uno de los términos restantes por "d" 1x entonces surgirán las

expresiones 1

n

1

1

dx

dy,,

dx

dyK . Estas sin embargo, deben interpretarse como

derivadas parciales de (II) porque todas las variables “x” han permanecido constantes excepto x1. Así, siguiendo los pasos descritos, llegaremos a las derivadas parciales buscadas de las funciones implícitas.


51

∂

∂−=

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂

1

n

1

n

n

n

1

2

2

n

1

1

1

n

1

2

1

n

n

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

1

1

n

n

1

1

2

2

1

1

1

1

1

x

F

dx

dy

y

F

dx

dy

y

F

dx

dy

y

F

x

F

dx

dy

y

F

dx

dy

y

F

dx

dy

y

F

x

F

dx

dy

y

F

dx

dy

y

F

dx

dy

y

F

L

M

M

L

L

En este sistema las derivadas que estamos buscando aparecen entre paréntesis:

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂++

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂++

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂++

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

1

n

1

n

n

n

1

2

2

n

1

1

1

n

1

2

1

n

n

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

1

1

n

n

1

1

2

2

1

1

1

1

1

x

F

x

y

y

F

x

y

y

F

x

y

y

F

x

F

x

y

y

F

x

y

y

F

x

y

y

F

x

F

x

y

y

F...

x

y

y

F

x

y

y

F

L

M

L

Notación matricial:

[ ] [ ] [ ]43421

M

M

43421

M

M

444 3444 21

L

M

M

L

L

d1

n

1

2

1

1

D1

n

1

2

1

1

Jn

n

2

n

1

n

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

x

F

x

F

x

F

x

y

x

y

x

y

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂


52

Sabemos que [ ] 0J ≠ bajo las condiciones del teorema de la función implícita, y ya que el sistema tiene que ser no homogéneo (porque de no ser así se estaría derivando respecto a una variable exógena que no perteneciese al modelo), tendrá solución única. Podemos generalizar el sistema de ecuaciones anterior para obtener las derivadas parciales de las funciones implícitas con respecto a todas las variables m321 x,...x,x,x .

( )m,...,3,2,1i

x

F

x

F

x

F

x

y

x

y

x

y

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

y

F

i

n

i

2

i

1

i

n

i

2

i

1

n

n

2

n

1

n

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

=

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

M

M

M

M

L

M

M

L

L

Para encontrar el vector columna [D] que contienen todas las derivadas parciales de las funciones implícitas con respecto a todas las variables

m321 x,...x,x,x podemos utilizar el método de la matriz inversa o el de Cramer.

[ ] [ ] [ ]d*JD 1−= (matriz inversa)


53

Aplicaciones: Modelo de renta nacional que toma en cuenta los impuestos totales

( ) 0YT

0)TY(C0GICY

YT

)TY(CGICY

1

10

10

00

10

10

00≡

=λ−λ−=−α−α−

=−−−≡

λ+λ=−α+α=

++=

( )( )( )

=

=

=

≡

=

↓↓↓↓↓↓

=

↓↓↓

0λ,λ,α,α,G,I;T,C,YF

0λ,λ,α,α,G,I;T,C,YF

0 λ,λ,α,α,G,I;T,C,YF

x x x x x x yy y

1010003

1010002

1010001

6m

654321

3n

321

4444 84444 7648476

111

1

11

333

222

111

11 0 λ

1 α0 1 1

T

F

C

F

Y

F

T

F

C

F

Y

F

T

F

C

F

Y

F

J λα+α−=−

α−−

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

0)1λ(α1J 11 >−+=

Puesto que J es no nulo y 321 FyF,F tienen derivadas parciales continuas

(todas son constantes). Podemos tomar TyC,Y como funciones implícitas de ( )101000 λ,λ,α,α,G,I alrededor de cualquier punto que cumpla con (1). Pero un punto que cumpla (1) sería una solución de equilibrio, conduciendo a

T y C,Y . Por lo que de acuerdo al teorema de la función implícita está justificado escribir:

( )1010001 λ,λ,α,α,G,IfY =

( )1010002 λ,λ,α,α,G,IfC =

( )1010003 λ,λ,α,α,G,IfT =


54

Las derivadas parciales de las funciones implícitas, tales como oI

Y∂

∂ y

oGY∂

∂ , tienen la naturaleza de derivadas estático – comparativas. Para

hallarlas, necesitamos sólo las derivadas parciales de las funciones “F”, evaluadas en el estado de equilibrio del modelo. Supongamos ahora que todas las variables exógenas y los parámetros permanecen fijos excepto G0.

[ ]

∂∂−

∂∂−

∂∂−

=

=

∂∂

∂∂

∂∂

−α−

−

03

02

01

0

0

0

J1

11

GF

GF

GF

001

GT

GC

GY

1 0 λ 1 α

0 1 1

44 344 21

)1λ(α1

1

)1λ(α1

1 0 0α 1 0

0 1 1

G

Y

1111

1

0 −+=

−+

−

=∂

∂: Multiplicador del gasto público.

El resultado es el mismo que se obtuvo antes, pero ahora no hemos resuelto explícitamente el sistema para TyC,Y . Es esta característica particular del método la que nos permite abordar la estática comparativa de los modelos con funciones generales, los cuales, por su propia naturaleza, pueden no tener solución explícita.


55

III.4 Estática comparativa de modelos de ecuaciones simultáneas

Cuando un modelo contiene funciones expresadas en forma general, las técnicas de diferenciación parcial simple resultan inaplicables por la no disponibilidad de soluciones explícitas, en su lugar emplearemos conceptos tales como las diferenciales totales, derivadas totales así como el teorema y la regla de la función implícita extendido al caso de ecuaciones simultáneas.

1. Modelo de mercado

Consideremos un mercado de un único bien, donde la cantidad demandada “ dQ ” es una función no sólo del precio “ p ” sino también de una renta determinada exógenamente “ 0Y ”. En cambio la cantidad ofertada “ sQ ” es únicamente una función del precio. Si esas funciones no están dadas en forma específica, nuestro modelo puede escribirse en general como:

( )

>=

>∂∂<∂

∂=

=

)0dPdS( )P(SQ

)0YD ;0P

D( )Y,P(DQ

QQ

I

s

00d

sd

Suponemos que tanto “D” como “S” son funciones que poseen derivadas continuas, o en otras palabras, tienen gráficas suaves. Además, en orden a asegurar su importancia económica, hemos impuesto restricciones definidas sobre los signos de estas derivadas.

0dP

dS⇒> La función de oferta será creciente con el precio.

0P

D⇒<

∂

∂La función de demanda será decreciente con el precio.

⇒>∂

∂0

Y

D

0La función de demanda será creciente con la renta.

Al dibujar la usual curva de demanda bidimensional suponemos que el nivel de renta es constante, pero cuando cambie la renta, se ajustará el equilibrio dado provocando una desviación de la curva de demanda. Del mismo modo, en (I), “ 0Y ” puede causar un desequilibrio a través de la función de demanda.


56

Aquí “ 0Y ” es la única variable exógena; así el análisis estático – comparativo de este modelo se centrará exclusivamente en cómo afectará un cambio en “ 0Y ” a la posición de equilibrio del modelo. La posición de equilibrio del mercado está definida por la condición de equilibrio sd QQ = , la cual, sustituyendo y agrupando, puede expresarse por:

( ) ( ) ( ) ( ) 0Y,PFPSY,PDII 00 ==− Aunque esta ecuación no tiene solución explícita para el precio de equilibrio P , supondremos que existe un equilibrio estático ya que de otro modo no habría un punto en que plantear la cuestión de la estática comparativa. Si ( ) 0Y,PF 0 = satisface las condiciones del teorema de la función implícita, entonces se garantizará que cada valor de “ 0Y ” produzca un único valor de

P para un entorno que cumpla (II), esto es, en el entorno de una inicial solución de equilibrio. En este caso, podemos escribir la función implícita

)Y(PP 0= y estudiar la derivada estático – comparativa 0dY

Pd que

sabemos que existe. 1.1. Comprobación del teorema:

1. Por hipótesis hemos asumido que ( )0Y,PD y ( )PS tienen derivadas

continuas, por tanto ( ) ( ) ( ) 0PSY,PDY,PF 00 =−= poseerá derivadas continuas.

2. dP

dS

P

DFP −

∂

∂= , es negativa y por tanto no nula.

.definidasestán)'A(0)P(S)Y,P(DF

)A()Y(PP:tantoPor

0

0

=−=

=

Para calcular 0dY

Pdpodemos aplicar la regla de la función implícita para

la obtención de la derivada estático – comparativa.

0

Pd

dS

P

DY

D

PF

YF

F

F

dY

Pd

)(

)(

00

P

Y

0

0 >−

∂

∂∂

∂

−=

∂∂∂

∂−=−=

−

+

43421


57

Un incremento en el nivel de la renta producirá un incremento en el precio de equilibrio.

Puesto que en el estado de equilibrio tenemos )P(SQ = , y puesto que ),Y(PP 0= podemos aplicar la regla de la cadena para obtener la derivada:

( )

( )

0dY

Pd

Pd

dS

dY

Qd

00>

=

++ 43421

2. Aproximación a las ecuaciones simultáneas

El análisis del modelo anterior (I), se realizó sobre la base de una única ecuación (II). Debido a que en una ecuación sólo puede incorporarse provechosamente una variable endógena, la inclusión de “ P ” significa la exclusión de “ Q ” simultáneamente. Como son dos variables endógenas, habrá que construir un sistema con dos ecuaciones. Hacemos: sd QQQ ==

0Q)Y,P(D)Y;Q,P(F 001 =−=

0Q)P(S)Y;Q,P(F 0

2 =−=

Donde:

2n = (número de ecuaciones).

1m = (número de variables exógenas). 2.1. Comprobación del teorema de la función implícita:

1. Puesto que ( )0Y,PD y ( )PS , tienen derivadas continuas (por hipótesis),

entonces 1F y 2F también tendrán derivadas continuas. 2. Podemos comprobar que el jacobiano de las variables endógenas ( )Q,P

es distinto de cero, independientemente de donde se evalúe.

0

P

D

dP

dS

1dP

dS

1P

D

Q

F

P

F

Q

F

P

F

J

)()(22

11

>

∂

∂−=

−

−∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

−+


58

Entonces si están definidas:

)B()Y(QQ

)Y(PP

0

0

=

= y )'B(

0Q)P(SF

0Q)Y,P(DF2

01

=−=

=−=

Aunque no podamos resolverlas explícitamente para QyP . Además poseerán derivadas continuas.

[ ]

∂

∂−

=

∂

∂−

∂

∂−

=

−

−∂

∂

0

Y

D

Y

F

Y

F

dY

Qd

dY

Pd

1Pd

dS

1P

D

0

0

2

0

1

0

0

J43421

0

P

D

Pd

dSY

D

P

D

Pd

dS10

1Y

D

dY

Pd 0

0

0>

∂

∂−

∂∂

=

∂

∂−

−

−∂

−∂

=

0

P

D

Pd

dSY

DPd

dS

P

D

Pd

dS

0Pd

dSY

D

P

D

dY

Qd 0

0

0>

∂

∂−

∂∂⋅

=

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂

=

Todas las derivadas de las funciones de demanda y oferta incluidas las que aparecen en el jacobiano están evaluadas en el equilibrio inicial.

3. Uso de derivadas totales

Tanto el enfoque de la ecuación única como el de las ecuaciones simultáneas visto anteriormente tienen un rasgo en común: tomamos las diferenciales totales de ambos miembros de una ecuación de equilibrio y luego igualamos los dos resultados. Sin embargo, en vez de tomar las diferenciales totales, es posible tomar, e igualar, las derivadas totales de los dos miembros de la ecuación de equilibrio con respecto a una variable exógena o parámetro particular.


59

En la aproximación de la ecuación única, la ecuación de equilibrio es:

)'A(de 0)P(S)Y,P(DF 0 =−=

Donde )A(de )Y(PP 0= Tomando la derivada total de la ecuación de equilibrio con respecto a

00

dY

Fd:Y .

Variable independiente: 0Y

Diferencial total:

0PdP

FdY

Y

FFd 0

0=⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=

La derivada total de F respecto a Y0 es:

0dY

Pd

P

F

Y

F

dY

Fd

000=⋅

∂

∂+

∂

∂=

0dY

Pd

P

S

P

D

Y

D

dY

Fd

000=

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=

Despejando 0dY

Pd tenemos:

P

S

P

DY

D

dY

Pd 0

0

∂

∂−

∂

∂∂

∂−=

P

0Y

F


60

En cambio, en la aproximación de las ecuaciones simultáneas, hay un par de ecuaciones de equilibrio:

( )( ) ( )'

022

0011

Bde0Q)P(SY;Q,PFF

0Q)Y,P(DY;Q,PFF

=−==

=−==

Donde )Y(QQ y )Y(PP 00 == de (B). Variable independiente: .Y 0

Diferencial total:

0QdQ

FdY

Y

FPd

P

FFd

1

00

111 =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

La derivada total es:

0dY

Qd

Q

F

dY

dY

Y

F

dY

Pd

P

F

dY

Fd

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

0dY

Qd)1(

Y

D

dY

Pd

P

D

dY

Fd

0000

1=−+

∂

∂+

∂

∂=

0dY

Qd

Y

D

dY

Pd

P

D

000=−

∂

∂+

∂

∂

Operando:

)1( Y

D

dY

Qd

dY

Pd

P

D

000 ∂

∂−=−

∂

∂

Por otro lado:

P

0Y

Q

2F 0Y

P

0Y

Q

1F 0Y


61

Variable independiente: .Y 0

Diferencial total:

0QdQ

FdY

Y

FPd

P

FFd

2

00

222 =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

Derivada total:

0dY

Qd

Q

F

Y

F

dY

Pd

P

F

dY

Fd

0

2

00

2

0

2

0

2=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

0dY

Qd)1(

dY

Pd

P

S

dY

Fd

000

2=−+

∂

∂=

)2( 0dY

Qd

dY

Pd

P

S

00=−

∂

∂

De ( ) ( ) :2y1

∂

∂−

=

−∂

∂

−∂

∂

0

Y

D

dY

Qd

dY

Pd

1P

S

1P

D

0

0

0

Resolviendo, los resultados son idénticos a los obtenidos por los métodos anteriores.

4. Modelo de renta nacional

Esta vez haremos abstracción de los gastos públicos y de los impuestos y, en su lugar, añadiremos en el modelo las relaciones comerciales con el extranjero. Además, incluiremos el mercado monetario junto con el mercado de bienes. 4.1. El mercado de bienes: se caracteriza por las siguientes funciones:

1. La inversión “I” es una función decreciente de la tasa de interés “i”.

( )iII = ( )0I' < .


62

2. El ahorro “S” es una función creciente de la renta nacional “Y”; así como, de la tasa de interés “i”, siendo la propensión marginal al ahorro “SY” una fracción positiva.

( ) ( )0S;1S0i,YSS iY ><<=

3. Las importaciones “M” son una función de la renta nacional, siendo la propensión marginal a importar “M’” otra fracción positiva.

( ) ( )1M0YMM ' <<=

4. El nivel de exportaciones “X” se determina exógenamente.

0XX =

4.2. Mercado de dinero: se caracteriza por las siguientes funciones:

1. La cantidad de demanda de dinero "M" d es una función creciente de la

renta nacional (demanda de transacciones) pero una función decreciente de la tasa de interés (demanda especulativa).

( ) ( )0L;0Li,YLM iYd <>=

El símbolo “L” se emplea aquí porque la función de demanda de dinero suele denominarse “función de liquidez”.

2. La oferta de dinero se determina exógenamente como una cuestión de

política monetaria.

0ss MM =

Observaciones: 1. “I”, “S”, “M” y “X” representan conceptos de “flujo” ya que todos están

medidos por período de tiempo, como ocurre con “Y”.

2. “ dM ” y “ sM ” son conceptos “stocks” e indican las cantidades existentes en algún punto específico del tiempo.

Hipótesis: 1. Supondremos que todas las funciones, independientemente de si son

existencias o flujos, tienen derivadas continuas.


63

2. La consecución del equilibrio en este modelo requiere la satisfacción simultánea de dos condiciones:

a. Condición de equilibrio del mercado de bienes.

Entradas = Salidas1

( )IMSXI +=+

b. Condición de equilibrio del mercado de dinero.

Demanda Monetaria = Oferta Monetaria

( )IIMM sd =

=+=+

)II(M)i,Y(L)I()Y(M)i,Y(SX)i(I

)A(0s

0

Variables endógenas: Y, i.

Variables exógenas:

)monetariassautoridadelasporda(determinaM)exterioresdecisionesen(basadasX

s0

0

De (I) y (II):

=−=

=−−+=↓↓↓↓

0M)i,Y(L)M,X;i,Y(F

0)Y(M)i,Y(SX)i(I)M,X;i,Y(F)B(

0s0s02

00s01

xxyy 2121

Debemos comprobar que el sistema de ecuaciones (B) satisfaga el teorema de la función implícita. 4.3. Verificación del teorema:

1. “F1” y “F2” tienen derivadas continuas puesto que por hipótesis todas las

funciones que las componen tiene derivadas continuas.

2. ( ) ( ) ( )[ ] 0S'IL'MSLLL

SIMSiFYFiFYFJ iYYi

iY

i''

Y22

11>−++−=−+−=

∂∂∂∂∂∂∂∂=

El determinante jacobiano de las variables endógenas no se anula ni cuando se evalúa en el equilibrio inicial (que suponemos existe) ni en cualquier otro punto.

1 Ver apéndice al final del capítulo.


64

Al verificarse las dos condiciones del teorema, podemos afirmar la existencia de:

=

=

)M,X(ii

)MX(YY

0s0

0s,0

Aunque no seamos capaces de resolverlas explícitamente para Y e i . También se verifica la identidad:

( ) ( )( ) 0Mi,YLF

0YMi,YSX)i(IF

0s2

01

=−=

=−−+=

Cálculo de las derivadas totales de 1F y 2F respecto de las variables exógenas:

Variables independientes: .M,X 0s0 Diferencial total:

0dMM

FdX

X

Fid

i

FYd

Y

FFd 0s

0s

1

00

1111 =⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=

Derivadas totales de carácter parcial:

)c(0dX

dM

M

F

X

F

X

i

i

F

X

Y

Y

F

X

F

00

0s

0s

1

0

1

0

1

0

1

0

1=⋅

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

)d(0M

F

dM

dX

X

F

M

i

i

F

M

Y

Y

F

M

F

0s

1

00s

0

0

1

0s

1

0s

1

0s

1=

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

Y

0X

0X

0sM

0X 1F0sM

i

Ms0


65

Por otro lado:

Diferencial total:

0dMM

FdX

X

Fid

i

FYd

Y

FFd 0s

0s

2

00

2222 =⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=


)e(0 X

M

M

F

X

F

X

i

i

F

X

Y

Y

F

X

F

00

0s

0s

2

0

2

0

2

0

2

0

2=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

)f(0M

F

dM

dX

X

F

M

i

i

F

M

Y

Y

F

M

F

0s

2

00s

0

0

2

0s

2

0s

2

0s

2=

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

Trabajando con (c):

0X

F

X

i

i

F

X

Y

Y

F

0

1

0

1

0

1=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

[ ] [ ] )g(1X

iSI

X

YMS

0i

'

0

'Y −=

∂

∂−+

∂

∂+−

Trabajando con (e):

0

2

0

2

0

2

X

F

X

i

i

F

X

Y

Y

F

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

[ ] [ ] )h(0X

iL

X

YL

0i

0Y =

∂

∂+

∂

∂

Y

0X

0X

0sM

0X

0sM

i

Ms0

2F


66

Colocando en forma matricial ( ) ( ) :hyg

( ) ( )

−=

∂

∂

∂

∂

−+−

0

1

X

i

X

Y

LLSIMS

0

0

iY

i''

Y

Resolviendo por Cramer:

0J

L

J

L0

)SI(1

X

Y ii

i'

0>

−=

−−

=∂

∂

( )

0J

L

J

0L

1MS

X

i YY

'Y

0>=

−+−

=∂

∂

Si trabajamos con (d) y (f) podremos obtener .M

iy

M

Y

0s0s ∂

∂

∂

∂

Podemos observar que 0X

Y

∂

∂ tiene la naturaleza de un multiplicador de la

exportación. Puesto que el incremento de la exportación inducida en la renta de equilibrio causará por medio de la función de importación ( )YMM = , una subida de las importaciones, podremos aplicar la regla de la cadena para hallar las derivadas estático-comparativas auxiliares:

0J

LM

X

Y

Yd

Md

X

M i

'

00>

−=

∂

∂⋅=

∂

∂

0J

LI

X

i

id

Id

X

I Y'

00<=

∂

∂⋅=

∂

∂

0J

LS

X

i

i

S

X

S Yi

00>=

∂

∂⋅

∂

∂=

∂

∂


67

5. Modelo IS - LM

En el apartado anterior hemos visto el modelo de renta nacional y hemos analizado el mercado de bienes y el mercado de dinero que son piezas del Modelo IS - LM.

( ) ( )( ) ( ) 0000 Gr,YIIr,YTTYCCY/r,YIS +++−−+==

( ) ( ) 00 Mr,YLL/r,YLM =+=

IS: representa el equilibrio en el mercado de bienes. LM: representa el equilibrio en el mercado de dinero.

Siendo: Y : Ingreso nacional.

0C Consumo autónomo.

( )r,YCC d= : Función de consumo.

( )YTTYY 0d −−= : Ingreso disponible.

0T : Impuesto exógeno.

( )YTT = : Función de impuestos.

r : Tasa de interés.

0I : Inversión autónoma.

( )r,YII = : Función de inversión.

0G : Gasto del gobierno.

0L : Demanda exógena de dinero.

( )r,YLL = : Función de demanda monetaria.

0M : Oferta monetaria (conocida). 5.1. Hipótesis: 1. Supondremos que las funciones tienen derivadas parciales continuas.

Donde: .0L;0L;1IC;0I;0I;0C;0T;1C0 rYYYrYrYY dd<><+<><><<

2. A pesar de que la pendiente de la curva IS es negativa y la pendiente de la

curva LM es positiva2, no se puede garantizar que estas curvas se intercepten, sin embargo supondremos que sí se da la intersección en el punto ( )r,Y . Este es el punto de equilibrio del modelo ya que satisface las ecuaciones de ambas curvas.



68

Realizar el análisis estático comparativo de este modelo utilizando el método de las derivadas totales. 2. El sistema de ecuaciones puede ser escrito como:

( )( ) ( )

( )

=++++−−+=

)II(Mr,YLL)I(Gr,YIIr,YTTYCCY

)A(00

0000

Variables endógenas: Y, r. Variables exógenas: .000000 M,L,G,I,T,C De (I) y (II):

↓↓↓↓↓↓↓↓

)M,L,G,I,T,C;r,Y(F

)M,L,G,I,T,C;r,Y(F)B(

0000002

0000001

xxxxxxyy 65432121

( ) ( )( ) ( )( )

=−+=

=−−−−−−−=

0Mr,YLLF

0Gr,YIIr,YTTYCCYFB

002

00001

Debemos comprobar que el sistema de ecuaciones (B) satisfaga el teorema de la función implícita.

Y

LMIS

Y

r

r


69

5.2. Verificación del teorema:

1. “F1” y “F2” tienen derivadas continuas puesto que por hipótesis todas las funciones que las componen tienen derivadas continuas.

2. ( )

rY

rrYyY

22

11

LLICIT1C1

r

F

Y

F

r

F

Y

F

J d−−−−−

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

( )[ ] ( ) 0LICLIT1C1J YrrrYyYd

<++−−−= El determinante jacobiano de las variables endógenas no se anula ni cuando se evalúa en el equilibrio inicial (que suponemos existe) ni en cualquier otro punto. Al verificarse las dos condiciones del teorema, podemos afirmar la existencia de:

=

=

)M,L,G,I,T,C(rr

)M,L,G,I,T,C(YY

000000

000000

Aunque no seamos capaces de resolverlas explícitamente para .ryY También se verifica la identidad:

( )( ) ( )( ) 0Mr,YLLF

0Gr,YIIr,YTTYCCYF

002

00001

=−+=

=−−−−−−−=

Cálculo de las derivadas totales de 21 FyF respecto de las variables exógenas: Se hace notar que en las diferenciales totales de 21 FyF sólo se ha tenido en consideración las variables de las cuales verdaderamente dependen. Es decir, en la expresión de 1Fd no se han considerado las variables 00 MyL por no

aparecer en la expresión de .F1 Mientras que en la expresión de 2Fd no se han considerado las variables 0000 IeG,T,C por no aparecer en la expresión

de .F2 La inclusión de las variables antes mencionadas en las expresiones de 1Fd y de 2Fd no alterarán los resultados (se deja al alumno la comprobación

de esto último).


70

Variables independientes: .M,L,G,I,T,C 000000 Diferencial total:

0dGG

FdI

I

FdT

T

FdC

C

Frd

r

FYd

Y

FFd 0

0

1

00

1

00

1

00

1111 =⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=


)c( 0dC

dG

G

F

dC

dI

I

F

dC

dT

T

F

C

F

C

r

r

F

C

Y

Y

F

C

F

00

0

0

10

0

0

0

1

00

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

=⋅∂

∂+

+⋅∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

Trabajando con (c):

0

1

0

1

0

1

C

F

C

r

r

F

C

Y

Y

F

∂

∂−=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂

( )[ ] ( ) ( )'0

rr0

YYY c1C

rIC

C

YIT1C1

d=

∂

∂⋅+−

∂

∂⋅−−−

0C

Y

0C

0T

1F

0M

r

0T

0I

0G

0I0G0L

0C

0T

0M

0I 0G0L


71

( )d0dT

dG

G

F

dT

dI

I

F

T

F

dT

dC

C

F

T

r

r

F

T

Y

Y

F

T

F

00

0

0

1

00

0

0

1

0

1

00

0

0

1

0

1

0

1

0

1

=⋅∂

∂+

+⋅∂

∂+

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

Trabajando con (d):

0

1

0

1

0

1

T

F

T

r

r

F

T

Y

Y

F

∂

∂−=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂

( )[ ] ( ) ( )'Y0

rr0

YYY dCT

rIC

T

YIT1C1

dd−=

∂

∂⋅+−

∂

∂⋅−−−

( )e0dI

dG

G

F

I

F

dI

dT

T

F

dI

dC

C

F

I

r

r

F

I

Y

Y

F

I

F

00

0

0

1

0

1

00

0

0

1

00

0

0

1

0

1

0

1

0

1

=⋅∂

∂+

+∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

Trabajando con (e):

0

1

0

1

0

1

I

F

I

r

r

F

I

Y

Y

F

∂

∂−=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂

( )[ ] ( ) ( )'0

rr0

YYY e1I

rIC

I

YIT1C1

d=

∂

∂⋅+−

∂

∂⋅−−−

( )f0G

F

dG

dI

I

F

dG

dT

T

F

dG

dC

C

F

G

r

r

F

G

Y

Y

F

G

F

0

10

0

0

0

1

00

0

0

1

00

0

0

1

0

1

0

1

0

1

=∂

∂+

+⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321321321


72

Trabajando con (f):

0

1

0

1

0

1

G

F

G

r

r

F

G

Y

Y

F

∂

∂−=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂

( )[ ] ( ) ( )'0

rr0

YYY f1G

rIC

G

YIT1C1

d=

∂

∂⋅+−

∂

∂⋅−−−

)g(0dL

dG

G

F

dL

dI

I

F

dL

dT

T

F

dL

dC

C

F

L

r

r

F

L

Y

Y

F

L

F

00

0

0

10

0

0

0

1

00

0

0

1

00

0

0

1

0

1

0

1

0

1

=⋅∂

∂+

+⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

Trabajando con (g):

0L

r

r

F

L

Y

Y

F

0

1

0

1=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂

( )[ ] ( ) ( )'0

rr0

YYY g0L

rIC

L

YIT1C1

d=

∂

∂⋅+−

∂

∂⋅−−−

)h(0dM

dG

G

F

dM

dI

I

F

dM

dT

T

F

dM

dC

C

F

M

r

r

F

M

Y

Y

F

M

F

00

0

0

1

00

0

0

10

0

0

0

1

00

0

0

1

0

1

0

1

0

1

=⋅∂

∂+⋅

∂

∂+

+⋅∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321321

321321

Trabajando con (h):

0M

r

r

F

M

Y

Y

F

0

1

0

1=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂

( )[ ] ( ) ( )'0

rr0

YYY h0M

rIC

M

YIT1C1

d=

∂

∂⋅+−

∂

∂⋅−−−


73

Variables independientes: .M,L,G,I,T,C 000000

0dLL

FdM

M

Frd

r

FYd

Y

FFd 0

0

2

00

2222 =⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=


( )i0dC

dL

L

F

dC

dM

M

F

C

r

r

F

C

Y

Y

F

C

F

00

0

0

2

00

0

0

2

0

2

0

2

0

2=⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

Trabajando con (i):

0C

r

r

F

C

Y

Y

F

0

2

0

2=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂

( )'0

r0

Y i0C

rL

C

YL =

∂

∂⋅+

∂

∂⋅

( )j0dT

dL

L

F

dT

dM

M

F

T

r

r

F

T

Y

Y

F

T

F

00

0

0

2

00

0

0

2

0

2

0

2

0

2=⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

Trabajando con (j):

0T

r

r

F

T

Y

Y

F

0

2

0

2=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂

Y

0M

0C 0T

2F

0M

r

0L

0I 0G0L

0C

0T

0M

0I0G 0L


74

( )'0

r0

Y j0T

rL

T

YL =

∂

∂⋅+

∂

∂⋅

( )k0dI

dL

L

F

dI

dM

M

F

I

r

r

F

I

Y

Y

F

I

F

00

0

0

2

00

0

0

2

0

2

0

2

0

2=⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

Trabajando con (k):

0I

r

r

F

I

Y

Y

F

0

2

0

2=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂

( )'0

r0

Y k0I

rL

I

YL =

∂

∂⋅+

∂

∂⋅

( )l0dG

dL

L

F

dG

dM

M

F

G

r

r

F

G

Y

Y

F

G

F

00

0

0

2

00

0

0

2

0

2

0

2

0

2=⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321321

Trabajando con (l):

0G

r

r

F

G

Y

Y

F

0

2

0

2=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂

( )'0

r0

Y l0G

rL

G

YL =

∂

∂⋅+

∂

∂⋅

( )m0 L

F

dL

dM

M

F

L

r

r

F

L

Y

Y

F

L

F

0

2

00

0

0

2

0

2

0

2

0

2=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

Trabajando con (m):

L

F

L

r

r

F

L

Y

Y

F

0

2

0

2

0

2

∂

∂−=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂

( )'0

r0

Y m 1L

rL

L

YL −=

∂

∂⋅+

∂

∂⋅


75

)n(0dM

dL

L

F

M

F

M

r

r

F

M

Y

Y

F

M

F

00

0

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2=⋅

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂=

δ

δ

321

Trabajando con (n):

0

2

0

2

0

2

M

F

M

r

r

F

M

Y

Y

F

∂

∂−=

∂

∂⋅

∂

∂+

∂

∂⋅

∂

∂

( )'0

r0

Y n1M

rL

M

YL =

∂

∂⋅+

∂

∂⋅

Se pueden calcular doce derivadas estático-comparativas. Nosotros vamos a calcular sólo cuatro de ellas, dejando al alumno el cálculo de las restantes.

Colocando en forma matricial ( ) ( ) :iyc ''

( )[ ] ( )

=

∂

∂

∂

∂

+−−−−

0

1

C

r

C

Y

LLICIT1C1

0

0

rY

rrYYYd

( )

0J

L

J

L0

IC1

C

Y rr

rr

0>=

+−

=∂

∂

( )[ ]0

J

L

J

0L1IT1C1

C

r YY

YYY

0

d

>−

=

−−−

=∂

∂

Colocando en forma matricial ( ) ( ) :jyd ''

( )[ ] ( )

−

=

∂

∂

∂

∂

+−−−−

0

C

T

r

T

Y

LLICIT1C1

d

d

Y

0

0

rY

rrYYY


76

( )

0J

CL

J

L0

ICC

T

Y d

d

Yrr

rrY

0<

⋅−=

+−−

=∂

∂

( )[ ]0

J

LC

J

0LCIT1C1

C

r YYY

YYYY

0

d

dd

<⋅

=

−−−−

=∂

∂

III.5 Limitaciones de la estática-comparativa

La estática comparativa ignora el proceso de ajuste del viejo equilibrio al nuevo y también prescinde del elemento temporal que implica ese proceso de ajuste.

No toma en cuenta que de repente el nuevo equilibrio no se alcance jamás si es que el modelo es inestable.


77

Apéndice

Demostración de la ecuación de equilibrio en el mercado de bienes del modelo de renta nacional: Se sabe que:

GICY ++= ( )1 Y que:

( )TYC 10 −α+α= ( )2 Reemplazando ( )2 en ( )1 se tiene:

( ) GITYY 10 ++−α+α= Sumando a ambos lados “T” se tiene:

( ) TGITYTY 10 +++−α+α=+

( ) ( ) ( ) IT1GTY1TGITYTY 101110 =α−−α−−+α−⇒+++α−α+α=+ ( )( ) ( ) ( )cerradaEconomíaISIGTTY1

públicoprivado SS01 =⇒=−+α−−α− 321444 3444 21

Por tanto, en una economía abierta se tendrá:

( )abiertaEconomíaMIXS +=+ ( )3 Donde: X: Exportaciones. M: Importaciones S: Ahorro I: Inversiones La ecuación ( )3 se puede escribir como sigue:

( ) ( ) ( ) ( )444 3444 21444 3444 214342143421

PúblicoSector públicopúblico

PrivadoSector privadoprivado

ExternoSector ComercialBalanzaSISIMXSIMX −+−=−⇒−=−

Si: ⇒> MX superávit en la balanza comercial ⇒>⇒ SI déficit en el sector público y/o en el sector privado.


78

Cálculo de las pendientes de las curvas “IS” y “LM”:

( ) ( )( ) ( ) 0000 Gr,YIIr,YTTYCCY/r,YIS +++−−+==

( ) ( ) 00 Mr,YLL/r,YLM =+=

Escribiendo las ecuaciones en forma implícita tenemos que:

( )( ) ( ) 0Gr,YIIr,YTTYCCYF 0000IS =−+−−−−−=

( ) 0Mr,YLLF 00

LM =−+=

Por la regla de derivación de la función implícita tenemos:

( )( )

( )( )

0IC

TCIC1

IC

IT1C1

F

F

Y

r

rr

YYYY

rr

YYYISr

ISY ddd <

+

⋅++−=

−−

−−−−=−=

∂

∂

0L

L

F

F

Y

r

r

YLMr

LMY >−=−=

∂

∂

Capítulo IV

OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA

IV.1 Análisis convexo

Las funciones cóncavas y convexas juegan un rol importante en la teoría económica. La mayor parte de los problemas que se presentan en economía involucran a individuos racionales que resuelven algún tipo de problema de optimización, los conceptos de conjuntos convexos, y de concavidad y convexidad de funciones serán de gran utilidad para el desarrollo de estos problemas de optimización.

IV.2 Conjuntos convexos

Sea un conjunto nℜ⊂Χ , será un conjunto convexo si para cualquier par de puntos y,x

rrΧ∈ y para todo [ ]1,0∈λ se cumple que:

( ) ( ) ( ) Χ∈λ−+λ=λ−+λ== n21n21n21 y,,y,y)1(x,,x,xy)1(xz,,z,zz LL

rrL

r ( )A 1

Es decir que si trazamos un segmento entre los puntos y,x

rr; para que el conjunto

Χ sea un conjunto convexo, todo el segmento que los une deberá estar totalmente contenido en el conjunto Χ . En la figura 1 los tres primeros conjuntos (a), (b) y (c) son convexos en cambio los conjuntos (d) y (e) no lo son.

(a) (b) (c)

1 A la ecuación (A) se le denomina combinación convexa de .yyx

rr

y

xx

y

x

y


80

(d) (e)

Figura 1

Ejemplos: Determinar si los siguientes son conjunto convexos. a) 12

221 xx/)x,x(X ≥ℜ∈=

b) 2122

21 xx/)x,x(X ≥ℜ∈=

c) 2122

21 xx/)x,x(X ≥ℜ∈=

d) Dados dos conjuntos convexos X1 y X2 que pertenecen a ,ℜ determinar si la unión de estos conjuntos es un conjunto convexo.

Solución: a) Sea )x,x(x 21=

r e )y,y(y 21=

r dos elementos de X, debemos probar que para

todo [ ]1,0∈λ :

( ) )y)1(x,y1x(y)1(x)z,z(z 221121 λ−+λλ−+λ=λ−+λ==rrr

debe pertenecer a X.

Debido a que y,xrr

Χ∈ se cumple que 12 xx ≥ e 12 yy ≥ y como 01 ≥λ≥ y 011 ≥λ−≥ se tiene que 12 xx λ≥λ y ( ) 12 y)1(y1 λ−≥λ− . Por lo tanto,

,zy)1(xy)1(xz 111222 =λ−+λ≥λ−+λ= lo que prueba que X es convexo ya que Χ∈z

r.

x y

x

y


81

x1

X

x2

Figura 2

b) Siguiendo un procedimiento similar al del ejercicio anterior, dado que xr

e yr

son dos elementos de X, y que [ ]1,0∈λ se tiene:

212 xx λ≥λ , ( ) 2

12 y)1(y1 λ−≥λ− Ya que se verifica que:

( ) ( )[ ] ( )( ) 0yx1y1xy1x 211

211

21

21 ≥−λ−λ=λ−+λ−λ−+λ ( )*

Por tanto:

( ) ( )[ ]211

21

21 y1xy1x λ−+λ≥λ−+λ

Por otro lado, tenemos que:

( ) ( ) ( )[ ] 21

211

21

21222 zy1xy1xy1xz =λ−+λ≥λ−+λ≥λ−+λ=

212 zz ≥

Lo que prueba que X es convexo.


82

Figura 3

c) En este caso, probaremos que éste no es un conjunto convexo con un

ejemplo. Por ejemplo, para )4,2(y),4,2(x −== y [ ]1,02

1∈=λ tales que:

( ) X)0,2()4,2(2

14,2

2

1y)1(xz ∉=−+=λ−+λ=rrr

Por tanto X no es un conjunto convexo.

Figura 4

d) Dado que en ℜ todo intervalo es un conjunto convexo, los siguientes

intervalos son conjuntos convexos: ( )3,1X1 = y ( ]8,6X2 = . Podemos ver que

213 XXX U= no es convexo ya que por ejemplo existen 2x1 = y

32 X7x ∈= y sin embargo podemos ver que para un 2

1=λ :

.X5,4x)1(x 321 ∉=λ−+λ Por tanto, por lo general la unión de dos conjuntos convexos no es un conjunto convexo.

x1

X

x2

x1

x2

X 212 xx ≥

212 xx ≥−


83

IV.3 Funciones cóncavas y convexas 1. Introducción

En esta sección se introducen los conceptos de función convexa, estrictamente convexa, cóncava y estrictamente cóncava en un conjunto convexo. Estas características son fundamentales en la teoría de la optimización, ya que permiten garantizar la globalidad de las soluciones.

f(x)

x

f(x)

x

f(x)

x

a) b)

c)

Figura 5

La figura 5a) representa una función convexa, pero no estrictamente convexa ya que hay pares de puntos de la función tales que la cuerda que los une está sobre la función y no estrictamente encima de ella. La figura 5b) representa una función estrictamente convexa ya que la cuerda que une cualquier par de puntos de ella se encuentra estrictamente sobre dicha función. La figura 5c) representa una función que no es ni cóncava ni convexa ya que existen cuerdas que unen pares de puntos que la cortan ubicándose en una región por encima y en otra por debajo de dicha función.


84

2. Definiciones

Dada una función “f” definida en un conjunto convexo nX ℜ⊂ :

• Será convexa en X si y sólo si para todo Xy,x ∈rr y para todo

[ ]1,0∈λ se cumple:

( )[ ] ( ) ( ) ( )yfxf1yx1frrrr

λ+λ−≤λ+λ−

• Será cóncava en X si y sólo si para todo Xy,x ∈rr y para todo

[ ]1,0∈λ se cumple:

( )[ ] ( ) ( ) ( )yfxf1yx1frrrr

λ+λ−≥λ+λ−

Dada una función “f” definida en un conjunto convexo nX ℜ⊂ :

• Será estrictamente convexa en X si y sólo si para todo Xy,x ∈rr

, ,yxrr

≠ y para todo ( )1,0∈λ se cumple:

( )[ ] ( ) ( ) ( )yfxf1yx1frrrr

λ+λ−<λ+λ−

• Será estrictamente cóncava en X si y sólo si para todo Xy,x ∈rr ,

,yxrr

≠ y para todo ( )1,0∈λ se cumple:

( )[ ] ( ) ( ) ( )yfxf1yx1frrrr

λ+λ−>λ+λ−

Dada una función “f” definida en un conjunto convexo nX ℜ⊂ . Se dice que “f” es convexa en X si y sólo si la función “f” es cóncava en X.

Dada una función “f” definida en un conjunto convexo nX ℜ⊂ . Se dice que “f” es estrictamente convexa en X si y sólo si la función “f” es estrictamente cóncava en X.

x

z

y

X xr y

r1x

1y

zr1z

2x 2y2z

( )zfr

( )yfr

( )xfr

( ) ( ) ( )yf1xfrr

λ−+λ

( )y,xf

AB

Figura 6


85

La figura 6 muestra una función cóncava en 2X ℜ⊂ ya que se verifica que para todo par de puntos ,Xy,x ∈

rr la función evaluada en cualquier

combinación convexa zr

de ,yyxrr

es mayor o igual que la correspondiente combinación convexa de ( ) ( ),yfyxf

rr es decir: ( ) ( ) ( ) ( ).yf1xfzf

rrrλ−+λ≥ Esto

implica que el arco que una los puntos A y B nunca estará debajo del segmento de recta que une tales puntos. Para este caso, es importante señalar que por lo general se verifica que ( ) ( ) ( ) ( ),yf1xfzf

rrrλ−+λ> pero en los puntos

A y B (cuando respectivamente 0y1 =λ=λ ) se cumple respectivamente que: ( ) ( ) ( ) ( ).yfzfyxfzf

rrrr==

Ejemplos:

1.- Determinar de acuerdo a las definiciones anteriores que tipo de funciones

son las siguientes:

a) x

1)x(f = en ++ℜ⊂X , X es convexo.

b) x)x(f = en ++ℜ .

Solución:

a) Sean [ ],1,0,Xy,x ∈λ∈ como X es convexo se cumple que ( ) .Xyx1z ∈λ+λ−= Para que “f” sea convexa se debe verificar que:

[ ]( )

( ) ( ) )y(fxf1y

1

x

1)1(

yx1

1yx)1(f λ+λ−=λ+λ−≤

λ+λ−=λ+λ−

Resolviendo:

( )0

yx1

1

y

1

x

1)1( ≥

λ+λ−−λ+λ−

( )0

yx1

1

xy

xy)1(≥

λ+λ−−

λ+λ−

Operando algebraicamente se llega a:

[ ]0

yx)1(xy

)yx)(1( 2≥

λ+λ−

−λ−λ


86

Pero gracias a ( )* , se cumple que ( )( ) 0yx1 2 ≥−λ−λ . Asimismo, dado que ,0ye0xX >>⇒ℜ⊂ ++ ya que .Xy,x ∈ Por tanto, fácilmente se puede ver que el denominador de esta expresión es positivo, por lo que se prueba que “f” es convexa. También, si yx ≠ y ( )1,0∈λ se cumple

que ( )( ) ,0yx1 2 >−λ−λ por lo que “f” también es estrictamente convexa en X.

b) Sean [ ],1,0,y,x ∈λℜ∈ ++ y ( ) .yx1z ++ℜ∈λ+λ−= Para que “f” sea

cóncava se debe verificar que:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) )y(f)x(f1yx1yx1yx1fzf λ+λ−=λ+λ−≥λ+λ−=λ+λ−=

( ) ( ) yx1yx1 λ+λ−≤λ+λ−

Elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad:

( ) ( )22

yx1yx1

λ+λ−≤

λ+λ−

( ) ( ) ( ) yx1yxy12x1 22 λ+λ−≤λ+λ−λ+λ−

Operando se tiene que:

0yx)1(2≥

−λ−λ

Podemos observar que la inecuación anterior siempre se verifica para

[ ],1,0,y,x ∈λℜ∈ ++ por lo que “f” es cóncava en ++ℜ . Pero para

,yx,y,x ≠ℜ∈ ++ y para ( )1,0∈λ se cumple que ( ) 0yx12>

−λ−λ .

Por tanto, “f” también es estrictamente cóncava ++ℜ .

f(x)

x 0 x z y

( ) yλxλ1

z

+−

Figura 7


87

2.- En la teoría de la empresa competitiva, dado un vector de precios nw +ℜ∈

r de “n” factores de producción y el nivel “q” de producción del

bien correspondiente, se define la función “costo” como aquella que al vector ( ) 1nq,w +

+ℜ∈r

le hace corresponder el menor valor de ( ),xwxwxwxw nn2211 +++=⋅ L

rr siendo ( )n21 x,,x,xx L

r= un vector de

cantidades de insumos que permite obtener el nivel de producción “q” [lo cual se resume expresando ( )qVx ∈

r]. Siendo ( )qV el conjunto de insumos

requeridos para producir al menos “q” unidades del bien. Esto es:

( ) ( )( ) ( ) ++ ℜ∈≥ℜ∈=∈

⋅==

qxQxqVx:a.s

xwminq,w,,w,wCq,wCn

n21rrr

rrL

r

Donde ( )xQ

r es la función de producción. Se pide demostrar que la

función de costo es cóncava respecto a .wr

Solución:

Primero que nada debemos resaltar que en este problema de minimización restringida, las variables de elección son las componentes de x

r, mientras que los parámetros son las componentes de w

v y q. Asimismo, debemos tener en consideración que las soluciones del problema de minimización, denominadas demandas de factores condicionadas al nivel de producción q, serán funciones de los parámetros, esto es:

( )q,wxx *** vrr=

Ahora, para demostrar que ( )q,wC

r es cóncava respecto a ,w

r

demostraremos que dados dos vectores de precios de los factores, ,wyw 21

rr para todo vector de precios ( ) ,w1ww 21

* rrvλ−+λ= con

[ ]1,0∈λ se deberá cumplir que:

( ) ( ) ( ) ( )q,wC1q,wCq,wC 21* rrv

λ−+λ≥

( )( ) ( ) ( ) ( ).q,wC1q,wCq,w1wC 2121rrrr

λ−+λ≥λ−+λ

Para algún ( ) ( )qVq,wx ** ∈vr

se debe verificar que:

( ) ( )q,wxwq,wC **** vrvv⋅=

( ) ( )( ) ( )q,wxw1wq,wC **

21* vrrrv

⋅λ−+λ=

( ) ( ) ( ) ( )q,wxw1q,wxwq,wC **2

**1

* vrrvrrv⋅λ−+⋅λ=


88

De acuerdo a la definición, ( )q,wx ** vr minimiza el costo de producir el

nivel “q” con el vector de precios ,w *v pero no necesariamente minimiza el costo de producir el mismo nivel “q” con los vectores de precios 1w

r o

.w 2r

Por tanto, se debe verificar que:

( ) ( ) ( )q,wxwq,wCq,wxw 111**

1vrrrvrr

⋅=≥⋅

( ) ( ) ( )q,wxwq,wCq,wxw 222**

2vrrrvrr

⋅=≥⋅

En consecuencia es fácil comprobar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q,wC1q,wxw1q,wCq,wxw 2**

21**

1rvrrrvrr

λ−≥⋅λ−∧λ≥⋅λ

Sumando miembro a miembro las dos últimas inecuaciones tenemos que:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )q,wC1q,wCq,wxw1w 21**

21rrvrrr

λ−+λ≥⋅λ−+λ

( ) ( ) ( ) ( )q,wC1q,wCq,wC 21* rrv

λ−+λ≥

Por tanto, la función ( )q,wCr

es cóncava respecto a .wr

3.- Sea el problema de elección de la cesta de consumo que proporcione un

nivel de utilidad fijo al mínimo gasto:

xpMinrr

⋅ s.a: ( ) 0UpU ≥

r (*)

0x ≥r

Para cualquier elección de pr

y 0U , denotaremos como ( )0U,pCrr

a la

cesta de consumo que resuelve el problema (*); ( )0U,pCrr

se le denomina función de demanda compensada (Hicksiana) ya que, en su construcción, los cambios en la renta son compensados por cambios en los precios para mantener al consumidor en un nivel de utilidad fijo. De manera análoga a la función utilidad indirecta, definimos la función de gasto del consumidor ( )0U,pE

r como el valor óptimo de la función

objetivo del problema (*):

( ) ( )00 U,pCpU,pErrrr

⋅=

La función de gasto ( )0U,pEr

es el costo mínimo (cantidad mínima de renta necesaria) para que el consumidor consiga un nivel de utilidad “ 0U ” cuando el precio del sistema es p

r.

Demostrar que la función de gasto, como una función de p

r para cada 0U

fijo, es cóncava.


89

Solución:

Sean ( )x,prr

y ( )'' x,prr

dos combinaciones precio − consumo que minimizan el gasto al nivel de utilidad 0U . Su combinación lineal es:

( ) ( ) ( )( )'''''' x1x,p1px,prrrrrr

λ−+λλ−+λ= 10 ≤λ≤∀

Por tanto:

( ) ( )( ) '''''''0

'' xp1pxpU,pErrrrrr

⋅λ−+λ=⋅=

Pero ''xr

no es necesariamente la forma más barata para alcanzar la utilidad 0U a los precios p

r o 'p

r, por tanto:

( ) ( )0''''

0'' U,pExpU,pExp

rrrrrr≥⋅∧≥⋅

En consecuencia, multiplicando las expresiones anteriores por ( )λ−λ 1y respectivamente, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )0''''

0'' U,pE1xp1U,pExp

rrrrrrλ−≥⋅λ−∧λ≥⋅λ

Sumando miembro a miembro las expresiones anteriores, tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )0'

0''''' U,pE1U,pExp1xp

rrrrrrλ−+λ≥⋅λ−+⋅λ

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0'

00''''''''' U,pE1U,pEU,pExpxp1p

rrrrrrrrλ−+λ≥=⋅=⋅λ−+λ

Por tanto, la función de gasto, como una función de pr

para cada 0U fijo, es cóncava.

4.- Sea la función de beneficio óptimo ( )w,pr

π que es el máximo beneficio que se puede lograr cuando el precio del bien producido es “p” y el costo de los factores de producción es w

r. Escribimos “ π ” como:

( ) ( ) xQq:xwqpmaxw,p

x,q

rrrrr ≤⋅−⋅=π

Donde

bien. del producción de nivel el es"q".producción defución adeterminad una es"Q"

Demostrar que ( )x,p

rπ es convexa.

Solución:

( ) xwpqmaxx,px,q

rrrr ⋅−=π

s.a: ( ) qxQ ≥r

Sean dos vectores: ( )11 w,pArr

= y ( )22 w,pBrr

= y su combinación lineal la siguiente:


90

( ) ( ) ( )( )2121 w1w,p1pB1AZrrrrr

λ−+λλ−+λ=λ−+λ= Para que la función de beneficio sea convexa deberemos verificar lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )B1AZrrr

πλ−+λπ≤π

Donde:

( ) xwqpA 11rrr⋅−⋅=π ( ) xwqpB 22

rrr⋅−⋅=π

Para algún ( ) ( ) qxQ/x,q ≥rr

se debe cumplir:

( ) ( )[ ] ( )[ ] xw1wqp1pZ 2121rrrr

⋅λ−+λ−λ−+λ=π

Por otro lado, ( )x,qr

maximiza el beneficio de producir el nivel “q” con el

vector Zr

, pero no necesariamente maximiza el beneficio de producir el mismo nivel “q” con los vectores A

r y B

r entonces se debe cumplir que:

( )1111 w,pxwqprrr

π≤⋅−⋅

( )2222 w,pxwqprrr

π≤⋅−⋅

( ) ( )Aw,pxwqp 1111rrrr

λπ=λπ≤⋅λ−⋅λ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B1w,p1xw1qp1 2222rrrr

πλ−=πλ−≤⋅λ−−⋅λ−

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )B1Axw1xwqp1qp 2121rrrrrr

πλ−+λπ≤⋅λ−+⋅λ−⋅λ−+⋅λ

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )B1Axw1wqp1pZ 2121rrrrrr

πλ−+πλ≤⋅λ−+λ−⋅λ−+λ=π

Por tanto, la función ( )x,pr

π es convexa.

3. Condiciones para la convexidad/concavidad de funciones Debido a que no es sencillo establecer la convexidad o concavidad de las funciones simplemente a partir de la definición antes vista, será indispensable establecer condiciones necesarias o necesarias y suficientes. Éstas serán distintas dependiendo de si la función es diferenciable o no lo es necesariamente. 3.1. Funciones no necesariamente diferenciables Condiciones necesarias: a) Una condición necesaria pero no suficiente para que “f” sea convexa en

un conjunto convexo X de nℜ es que para cada número real α el conjunto:

n)x(f/Xx ℜ⊂α≤∈=Λαrr

sea convexo.


91

b) Una condición necesaria pero no suficiente para que “f” sea cóncava en un conjunto convexo X de nℜ es que para cada número real α el conjunto:

n)x(f/Xx ℜ⊂α≥∈=Ωα

rr sea convexo.

Estas condiciones sólo nos permiten afirmar qué funciones no son ni cóncavas ni convexas, pero no nos permiten asegurar si son cóncavas o convexas.

Para mayor entendimiento de estas condiciones veamos los siguientes gráficos:

f(x)

x

α

αΛ

Figura 8

α

x

f(x)

αΩ

Figura 9

Tanto en la figura 8 como en la figura 9 podemos ver como las condiciones a) y b) respectivamente se cumplen para las funciones convexas y cóncavas, pero debido a que tan solo son condiciones necesarias pero no suficientes podemos ver en la figura 10 que a pesar de que cumple las condiciones no es ni cóncava ni convexa. Es decir en este caso la condición no nos sirve para descartar que sea una función convexa o que sea una función cóncava.


92

x

α

αΩ αΛ

f(x)

…….. ……..

Figura 10

Ejemplos:

De acuerdo a las definiciones anteriores, ¿podemos asegurar que alguna de las siguientes funciones no sea cóncava ni convexa?

a) xe)x(f = con ℜ∈x ,

b) xln)x(f = con x>0.

Solución:

a) Debemos ver que tipo de conjunto será αΛ y αΩ para todo α :

( ]

>αα∞−≤αφ

=α≤ℜ∈=Λα 0siln,0si

e/x x

[ ) 0si,lne/x x >α+∞α=α≥ℜ∈=Ωα

x

α

f(x)

αln

αΩ

ex

αΛ

Figura 11


93

Como se puede ver, aunque los conjuntos resultantes αΛ y αΩ son convexos para todo ,α las condiciones a) y b) no nos permiten asegurar si la función es cóncava o convexa.

b) De manera similar, vemos que ambos conjuntos resultantes son

convexos, por lo que no podemos descartar que la función sea cóncava o que sea convexa.

( ]α+α =α≤ℜ∈=Λ e,0xln/x

[ )∞+=α≥ℜ∈=Ω α+α ,exln/x

α

αe

f(x)

x αΩαΛ

Figura 12

Condiciones necesarias y suficientes:

Para estudiar estas condiciones debemos analizar las siguientes definiciones:

Sea un conjunto convexo nX ℜ⊂ y una función “f” definida de X en ℜ .

a) El epígrafo de “f” es el conjunto:

( ) ( ) 1n1nf yxf,y,Xx/y,xE ++ ℜ⊂≤ℜ∈∈ℜ∈=

rrr

b) El hipógrafo de “f” es el conjunto:

( ) ( ) 1n1nf yxf,y,Xx/y,xH ++ ℜ⊂≥ℜ∈∈ℜ∈=

rrr

La figura 13 ilustra estos conceptos para la siguiente función: .x)x(f 2= Donde: .1n =


94

Figura 13

Una función f: ℜ→X es convexa si y sólo si 1nfE +ℜ⊂ es un conjunto

convexo.

Una función f: ℜ→X es cóncava si y sólo si 1nfH +ℜ⊂ es un conjunto

convexo.

Ejemplos:

De acuerdo a las definiciones anteriores, ¿podemos asegurar que alguna de las siguientes funciones no sea cóncava o convexa? a) senx)x(f = con [ ]π∈ 2,0x ,

b) xe)x(f = con ℜ∈x ,

c) x)x(f = con ++ℜ∈x .

Solución:

a) Utilizando las definiciones anteriores, podemos ver que el epígrafo y el hipógrafo de la función no son conjuntos convexos, por tanto la función no será ni cóncava ni convexa.

Ef

Hf

Figura 14

f(x)=x2

Ef Hf


95

b) Como podemos ver en este caso el epígrafo es un conjunto convexo, mas el hipógrafo no lo es por lo tanto podemos afirmar que es una función convexa.

Ef

Hf

Figura 15 c) A diferencia del caso anterior, en este caso el epígrafo no es un conjunto

convexo, mas el hipógrafo si lo es por lo tanto podemos afirmar que es una función cóncava.

Hf

Ef

Figura 16

3.2 Funciones diferenciables

Condiciones necesarias de primer orden: Dado X un conjunto abierto2, no vacío y convexo en nℜ y una función “f” definida de X en ℜ y diferenciable en X: a) Una condición necesaria pero no suficiente para que “f” sea convexa en

X es:

Para todo par Xx,x 21 ∈rr

: ( ) ( ) ( ) ( )12112 xxxfxfxfrrrrr

−⋅∇≥−



96

b) Una condición necesaria pero no suficiente para que “f” sea cóncava en X es:

Para todo par Xx,x 21 ∈

rr: ( ) ( ) ( ) ( )12112 xxxfxfxf

rrrrr−⋅∇≤−

Donde f∇ indica el gradiente3 de “f”: ( ) ( ) ( ) ( )[ ].xfxfxfxfn21 xxxr

Lrrr

=∇ Las funciones serán respectivamente estrictamente cóncavas y estrictamente convexas si las desigualdades anteriores se cumplen de forma estricta. Las condiciones anteriores están representadas gráficamente en la figura 17. Tenga presente que para la figura 17b ( ) ( ) 0xfxf 12 <−

rr y

( ) ( ) 0xxxf 121 <−⋅∇rrr

ya que ( ) ( ) ( ) .0xx0x'fxf 1211 >−∧<=∇rrr

Además, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).xxxfxfxfxxxfxfxf 1211212112

rrrrrrrrrr−⋅∇<−∴−⋅∇>−

x1 x2 x1 x2

( ) ( )12 xfxfrr

− ( ) ( )121 xxxf

rrr−⋅∇

( ) ( )121 xxxfrr

−⋅∇

a) Convexa b) Cóncava

( ) ( )12 xfxfrr

−

Figura 17

Ejemplos: Teniendo en cuenta las definiciones anteriores estudiar la convexidad o concavidad de las siguientes funciones: Funciones de ℜ en ℜ definidas en un conjunto X:

a) ,xbax)x(f ℜ∈+=

b) ,0xx)x(f >=

c) ,xx)x(f 3 ℜ∈=

Funciones definidas de 2ℜ en ℜ en un conjunto X:

d) ,b,a)x,x(bxax)x(f 221

22

21 ℜ∈ℜ∈+=

e) ,b,a)x,x(e)x(f 221

bxax 21 ℜ∈ℜ∈= +



97

Funciones de 3ℜ en ℜ definidas en un conjunto X:

f) ,d,c,b,a)x,x,x(dcxbxax)x(f 3321

23

22

21 ℜ∈ℜ∈+++=

g) .0)x,x,x(xxx)x(f 3321321

r−ℜ∈++= +

Solución: Todas las funciones a analizar son diferenciables en X (conjunto abierto, no vacío y convexo). Por tanto podemos aplicar las condiciones necesarias de primer orden anteriormente vistas. a) ( ) ( ) )xx()x(f)xx(a)bax(baxxfxf 121121212 −⋅∇=−=+−+=−

Por lo que según las condiciones vistas anteriormente esta función es cóncava y convexa.

b) ( ) ( ) )xx()x(f)xx(x2

1xxxfxf 12112

11212 −⋅∇=−<−=−

Debido a que:

=+−+

−=−−−

2

x

x2

x

xx

xx)xx(

x2

1xx 1

1

2

12

1212

112

( )0

xxx2

xxxx

121

2112<

+

−−

=

La función es estrictamente cóncava en ).,0(X ∞+= Podemos ver que en el punto 0x1 = la función no es derivable, por lo que no es posible probar la concavidad de la función con las definiciones recién vistas. Sin embargo, de acuerdo a lo visto anteriormente, para ( )1,0y0y ∈λ> se cumple que:

( )[ ] ( ) )y(f)0(f1yyx01f 2 λ+λ−>⋅λ=λ=λ+λ− Por tanto, la función también es cóncava en este punto.

c) ( ) ( ) 31

3212 xxxfxf −=−

)xx(x3)xx()x(f 1221121 −=−⋅∇

En este caso es un poco difícil determinar el signo de la desigualdad, pero operando se puede llegar a la siguiente expresión:

( ) ( ) )xx(x3)xx()xx()x(fxfxf 1221

31

3212112 −−−=−⋅∇−−


98

( )122

12 x2x)xx( +−=

El primer término de esta expresión es siempre positivo, pero el signo del segundo dependerá de los valores que tomen x2 y x1. Esta función no es ni cóncava ni convexa.

Figura 18

d) ( ) )xy(b)xy(abxaxbyayxf)y(f 22

22

21

21

22

21

22

21 −+−=−−+=−

rr

[ ] )xy(bx2)xy(ax2xyxy

bx2ax2)xy()x(f 22211122

1121 −+−=

−−

=−⋅∇rrr

( ) ( ) 2

222

11 )xy(b)xy(a)xy()x(fxfyf −+−=−⋅∇−−rrrrr

Para esta expresión se puede ver que el signo que tome dependerá del signo de a y b. Si a y b son positivos y yx

rr≠ la función será estrictamente convexa.

Si a y b son negativos y yxrr

≠ la función será estrictamente cóncava.

Si a y b tienen signos distintos la función no será ni cóncava ni convexa

ya que existen yexrr

tales que .0)xy(b)xy(a 222

211 ≤

≥−+−

e) ( ) 2121 bxaxbyay eexf)y(f ++ −=−

rr

[ ] [ ])xy(b)xy(aexyxy

bae)xy()x(f 2211bxax

22

11bxax 2121 −+−=

−−

=−⋅∇ ++rrr

Se puede verificar que para todo yex

rr con yx

rr≠ :


99

( )xf)y(f)xy()x(frrrrr

−>−⋅∇

Ya que: [ ])xy(b)xy(aeee 2211

bxaxbxaxbyay 212121 −+−>− +++ ( )*

Dividiendo ambos términos entre 21 bxaxe + obtenemos:

)xy(b)xy(a1e1e

e2211

)xy(b)xy(abxax

byay2211

21

21

−+−>−=− −+−+

+

Para entender el porque del sentido de la desigualdad, realizaremos un cambio de variable:

z)xy(b)xy(a 2211 =−+−

Por lo que tenemos que comparar ahora es:

1ez − con “z”, y gracias a la figura 19 comprobamos ( )* . Por tanto, la

función es estrictamente convexa para cualquier valor de “a” y “b”.

1e)z(f z −=

f(z)=z

Figura 19 f) De manera similar al ejercicio d) se prueba que si +ℜ∈d,c,b,a la

función es estrictamente convexa y si −ℜ∈d,c,b,a es estrictamente cóncava. La demostración queda para el alumno.

g) ( ) 321321 xxxyyyxf)y(f ++−++=−

rr


100

( ) ( ) ( )[ ]321

321321

33

22

11

xxxxxx2

)xxx()yyy(

xyxyxy

xfxfxf)xy()x(f321 ++

++−++=

−−−

=−⋅∇rrrrrr

( ) ( ) =−⋅∇−− )xy()x(fxfyf

rrrrr

321

321321321321

xxx2

)xxx()yyy(xxxyyy

++

++−++−++−++=

( ) ( ) 0)xxxyyy()xy()x(fxfyf 2

321321 <++−++−=−⋅∇−−rrrrr

Lo que indica que la función es estrictamente cóncava. Es importante señalar que la concavidad de esta función no se puede estudiar en

( )0,0,00x ==rr

empleando las condiciones que utilizan gradientes ya que en este punto la función no es diferenciable.

Condiciones de segundo orden:

Sea X un conjunto abierto y convexo de nℜ y “f” una función definida de X en ℜ dos veces diferenciable con continuidad en X, es decir, C2. Entonces se verifica que:

1. Una condición necesaria y suficiente para que “f” sea convexa en X es

que para cada Xx ∈r

se verifique que 0y)x(Hfyt ≥rrr

para todo ny ℜ∈r

, es decir que )x(Hf

r sea semidefinida positiva (SDP) o definida positiva

(DP)4. 2. Una condición suficiente pero no necesaria para que “f” sea estrictamente

convexa sobre X es que )x(Hfr

sea definida positiva para todo xr

de X (es decir, 0y)x(Hfyt >

rrr para todo 0y,y n

rrr≠ℜ∈ ).

3. Una condición necesaria y suficiente para que “f” sea cóncava en X es

que para cada Xx ∈r

se verifique que 0y)x(Hfyt ≤rrr

para todo ny ℜ∈r

, es decir que )x(Hf

r sea semidefinida negativa (SDN) o definida negativa

(DN).

4. Una condición suficiente pero no necesaria para que “f” sea estrictamente cóncava sobre X es que )x(Hf

r sea definida negativa para todo xr

de X (es decir 0y)x(Hfyt <

rrr para todo 0y,y n

rrr≠ℜ∈ ).



101

Ejemplos:

a) 22

2121 bxax)x,x(f += (x1,x2) 2ℜ∈ ℜ∈b,a

b) 2142

22

21

4121 x8x3xxxx)x,x(f −−++= (x1,x2) 2ℜ∈

c) 2121 xx)x,x(f = (x1,x2) 2ℜ∈

d) b2

a121 xx)x,x(Q = (x1,x2) 2

+ℜ∈ ℜ∈b,a

e) dcxbxax)x,x,x(f 23

22

21321 +++= (x1,x2,x3) 3ℜ∈

Solución:

a) Para todo ,x 2ℜ∈ el hessiano de la función 22

2121 bxax)x,x(f += es:

=

b200a2

)x(Hfr

Los menores principales dominantes son:

a2H1 =

ab4)x(HfH2 ==r

Podremos obtener distintos resultados: Si ,0by0a >> 0H1 > y 0H2 > entonces )x(Hf

r es definida positiva

para todo xr

. Por tanto, la función es estrictamente convexa. Si ,0by0a << 0H1 < y 0H2 > entonces )x(Hf

r es definida negativa

para todo xr

. Por tanto, la función es estrictamente cóncava. Si ,0by0a => 0H1 > y 0H2 = entonces )x(Hf

r es semidefinida positiva para todo x

r. Por tanto, la función es convexa.

Si ,0by0a =< 0H1 < y 0H2 = entonces )x(Hf

r es semidefinida

negativa para todo xr

. Por tanto, la función es cóncava. Si 0by0a <> ó ,0by0a >< 0H1 > y 0H2 < ó 0H1 < y

0H2 < entonces )x(Hfr

es indefinida y la función no es ni convexa ni cóncava.

b) El hessiano de la función es:

++= 2

22121

2122

21

x12x2xx4xx4x2x12)x(Hf

r


102

Para 0xrr

≠ , los menores principales dominantes de orden uno y dos, 22

211 x2x12H += y ,x24xx132x24H 4

222

21

412 ++= son positivos, por

lo que )x(Hfr

es definida positiva. Por tanto, “f” es una función estrictamente convexa.

c) El hessiano de la función es:

=

0110

)x(Hfr

Los menores principales dominantes de primer y segundo orden son

,00H1 == 01)x(HfH2 <−==r

. Dado que 0H2 < y por tanto ( )par:2k = entonces )x(Hf

r es indefinida y la función no es ni convexa

ni cóncava. d) Para este caso el hessiano será:

−

β−= −−−α

−−−

2b2

a1

1b2

11

1b2

1a1

b2

2a1

21xx)1b(bxabx

xxaxx)1a(a)x,x(HQ


b2

2a11 xx)1a(aH −−=

2b2

22a2

12 xx)ba1(ab)x(HQH −−−−==r

Entonces para que la que la función sea estrictamente cóncava en 2+ℜ ,

necesitamos que ( ) 01aa <− y ( ) 0ba1ab >−− es decir, necesitamos que ,1ba0y,1b0,1a0 <+<<<<< de modo que 0H1 < y 0H2 > , y )x(HQ

r sea definida negativa. Por tanto, para que una función de

producción Cobb Douglas en 2+ℜ sea estrictamente cóncava es

necesario que exhiba rendimientos decrecientes a escala.

e) El Hessiano será en este caso:

=

c2000b2000a2

)x(Hfr


a2H1 =


103

ab4H2 =

abc8H3 =

Podremos obtener distintos resultados: Si ,0cy0b,0a >>> ,0H1 > 0H2 > y 0H3 > entonces )x(Hf

r es

definida positiva para todo xr

. Por tanto, la función es estrictamente convexa. Si ,0cy0b,0a <<< ,0H1 < 0H2 > y 0H3 < entonces )x(Hf

r es definida negativa para todo x

r. Por tanto, la función es estrictamente

cóncava. Si ,0cy0b,0a ≥≥≥ ,0H1 ≥ 0H2 ≥ y 0H3 ≥ entonces )x(Hf

r es

semidefinida positiva para todo xr

. Por tanto, la función es convexa. Si ,0cy0b,0a ≤≤≤ los menores principales de orden uno son:

,0H1 ≤ 0b2b2 ≤= y 0c2c2 ≤= ; los menores principales de orden

dos son: ,0H2 ≥ 0bc4c200b2

≥= y ;0ac4c200a2

≥= el menor

principal de orden tres es: ,0H3 ≤ entonces )x(Hfr

es semidefinida negativa para todo x

r. Por tanto, la función es cóncava.

IV.4 Funciones seudoconvexas y seudocóncavas

Sea X un conjunto convexo y abierto de nℜ y una función “f” definida de X en ℜ y diferenciable en X. a) La función “f” es seudoconvexa en X si y sólo si para todo Xx,x 21 ∈

rr tales

que 0)xx)(x(f 121 ≥−∇rrr

se verifica que ).x(f)x(f 12rr

≥ b) La función “f” es seudocóncava en X si y sólo si para todo Xx,x 21 ∈ tales

que 0)xx)(x(f 121 ≤−∇rrr

se verifica que ).x(f)x(f 12rr

≤ La seudoconvexidad, a parte de ser una propiedad muy restrictiva al exigir diferenciabilidad de “f”, no se verifica en los puntos de inflexión con derivada nula. Ejemplos: a) ( ) 3xxf = b) ( ) 1x2x2xxf 23 −+−=


104

Solución: a) Esta función es diferenciable en ( )+∞−∞≡ℜ∈ ,X , conjunto convexo y

abierto, y como veremos a continuación, no es seudoconvexa ni seudocóncava.

No es seudoconvexa ya que existen 0x1 = y 1x2 −= con:

00)01)(0(f ' ≥=−−

y se verifica que )x(f)0(f01)1(f)x(f 12 ==≥/−=−= .

No es seudocóncava ya que existen 0x1 = y 1x2 = con:

00)01)(0(f ' ≤=−

Y se verifica que )x(f01)x(f 12 =≤/= .

Se resalta que en ambos casos se ha tomado como punto inicial 0x1 = . Este punto es un punto de inflexión de “f” con derivada nula.

Figura 20

b) Esta función es diferenciable en ( )+∞−∞≡ℜ∈ ,X , conjunto convexo y

abierto, y como veremos a continuación, es seudoconvexa.

En primer lugar podemos ver que “f” es estrictamente creciente, pues:

09

2

3

2x32x4x3)x('f

22 >

+

−=+−= para todo x

Para probar la seudoconvexidad tenemos que demostrar que para todo x1 y x2 de X con 0)xx)(x('f 121 ≥− se verifica que ).x(f)x(f 12 ≥


105

Como 0)x(f ' > para todo x, si 21 xx ≠ de verificarse que 0)xx)(x('f 121 ≥− se deduce que 0xx 12 >− , es decir que x2>x1 y por ser estrictamente creciente,

)x(f)x(f 12 ≥ como se quería probar. Es importante resaltar que la función presenta un punto de inflexión en

,64x = en el que ( ) ,064f ' ≠ Por tanto, se verifica la condición de seudoconvexidad para todo x.

Figura 21 IV.5 Funciones cuasiconvexas y cuasicóncavas

Sea X un conjunto convexo de nℜ y “f” una función de X en ℜ . • La función “f” es cuasiconvexa en X si y sólo si para todo Xx,x 21 ∈

rr con

)x(f)x(f 21rr

≥ y todo [ ]1,0∈λ se verifica que:

( )[ ] )x(f),x(fmax)x(fxx1f 21121rrrrr

=≤λ+λ−

• La función es cuasicóncava en X si y sólo si para todo Xx,x 21 ∈rr

con )x(f)x(f 21

rr≥ y todo [ ]1,0∈λ se verifica que:

( )[ ] )x(f),x(fmin)x(fxx1f 21221

rrrrr=≥λ+λ−

x

( )xf

64

277−


106

• La función es estrictamente cuasiconvexa en X si y sólo si para todo Xx,x 21 ∈

rr con 21 xx

rr≠ , )x(f)x(f 21

rr≥ y todo ( )1,0∈λ se verifica que:

( )[ ] )x(f),x(fmax)x(fxx1f 21121

rrrrr=<λ+λ−

• La función es estrictamente cuasicóncava en X si y sólo si para todo

Xx,x 21 ∈rr

con 21 xxrr

≠ , )x(f)x(f 21rr

≥ y todo ( )1,0∈λ se verifica que:

( )[ ] )x(f),x(fmin)x(fxx1f 21221rrrrr

=>λ+λ−

Es importante resaltar que la cuasiconvexidad estricta no implica la cuasiconvexidad. Proposición: Sea X un conjunto convexo de nℜ y “f” una función de X en ℜ . • Si “f” es convexa en X, “f” es cuasiconvexa en X.

• Si “f” es cóncava en X, “f” es cuasicóncava en X.

• Si “f” es estrictamente convexa en X, “f” es estrictamente cuasiconvexa en X.

• Si “f” es estrictamente cóncava en X, “f” es estrictamente cuasicóncava en X.

Es importante resaltar que los recíprocos no son ciertos. En la figura 22 se muestra una superficie en forma de “campana” que no es cóncava ya que cerca de su base presenta curvatura convexa. No obstante, esta superficie tiene la propiedad de ser estrictamente cuasicóncava, ya que todos los arcos de su superficie, ejemplificados por AB y BC, satisfacen la condición de que todos los puntos de cada arco que están situados entre los dos extremos son mayores que el menor de los puntos extremos. Se puede apreciar que el segmento lineal OD que une los puntos “O” y “D”, que pertenecen al dominio de la función, es una combinación convexa de “O” y “D”. Cualquier punto del segmento OD da lugar al arco AB de la curva. Además, se aprecia que “A” (OA) es mayor que “B” (DB). Ya que todos los puntos del arco AB, excepto “A” y “B”, son estrictamente mayores que “B” (DB), este arco en particular satisface la condición parta la cuasiconcavidad estricta. Asimismo, se puede apreciar que el segmento lineal DC que une los puntos “D” y “C”, que pertenecen al dominio de la función, es una combinación convexa de “D” y “C”. Cualquier punto del segmento DC da lugar al arco BC de la curva. Además, se aprecia que “B” (DB) es mayor que “C” (C=0). Ya que todos los puntos del arco BC, excepto “B” y “C”, son estrictamente mayores que “C” (C=0), este arco también satisface la condición parta la cuasiconcavidad estricta.


107

Figura 22 Ejemplos: 1.- De acuerdo a las definiciones anteriores determinar a que tipo de función

pertenecen las siguientes gráficas.

a)

( )zf( )'xf

( )''xf

0x ''x 'x 1xz

Figura 23

La figura 23 corresponde a una función estrictamente cuasiconvexa, pues para cualquier [ ] ℜ⊂=∈ Xx,xx,x 10

''' con ,xx ''' ≠ ( ) ( )''' xfxf > y ( )1,0∈λ∀ se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .xf,xfmaxxfx)1(xfzf ''''''' =<λ−+λ= Pero también se puede verificar que esta función es estrictamente cuasicóncava, ya que para cualquier [ ] ℜ⊂=∈ Xx,xx,x 10

''' con ,xx ''' ≠

( ) ( )''' xfxf > y ( )1,0∈λ∀ se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .xf,xfminxfx)1(xfzf '''''''' =>λ−+λ=


108

b)

2x a1x z

( )a1xf ( )2xf

( )zf

( )xfy =

b1x

( )b1xf

Figura 24

La figura 24 corresponde a una función estrictamente cuasicóncava, pues para cualquier ( )∞+∞−=∈ ,Xx,x 2

a1 con ,xx 2

a1 ≠ ( ) ( )2

a1 xfxf > y

( )1,0∈λ∀ se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .xf,xfminxfx)1(xfzf 2a122

a1 =>λ−+λ=

Se puede verificar que esta función es estrictamente cuasicónvexa, para cualquier ( ]0,Xx,x 2

b1 ∞−=∈ con ,xx 2

b1 ≠ ( ) ( )2

b1 xfxf > y

( )1,0∈λ∀ se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .xf,xfmaxxfx)1(xfzf 2b1

b12

b1 =<λ−+λ=

2.- Sea ( ) .exf x= Donde: ℜ→ℜ⊂X:f y ℜ∈X es un conjunto abierto y convexo. Demuestre que esta función es estrictamente cuasicóncava y estrictamente cuasiconvexa.

1x 2xz

( )2xf

( )1xf( )zf

xey =

Figura 25

Sea ( ) ⇒λ+λ−= 21 xx1z como .xzx10 21 <<⇒<λ<

Además, como ( ) ( ) ( ) ( ) .exfezfexf0exf 21 x2

zx1

x' =<=<=⇒>=


109

Por otro lado, tenemos que:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 2121 xx1xx1z21 eeeexx1fzf λλ−λ+λ− ⋅===λ+λ−=

Asimismo, tenemos que:

( ) ( ) ( ) 2x221 exfxf,xfmax ==

Entonces, dado que:

( ) ( ) ( ) ( ) 2x221

z exfxf,xfmaxezf ==<= “f” es estrictamente cuasiconvexa. Por otro lado, se tiene que:

( ) ( ) ( ) 1x121 exfxf,xfmin ==

Entonces, dado que:

( ) ( ) ( ) ( ) 1x121

z exfxf,xfminezf ==>= “f” también es estrictamente cuasiconvexa.

1. Condiciones necesarias y suficientes para la cuasiconcavidad de funciones no necesariamente diferenciables

Sea X un conjunto convexo no vacío de nℜ y “f” una función de X en ℜ . Se verifica que: La función es cuasiconvexa si y sólo si para todo ℜ∈α , el conjunto

( ) α≤∈=Λα xfXxrr

Es convexo. La función “f” es cuasicóncava si y sólo si para todo ℜ∈α , el conjunto

α≥∈=Ωα )x(fXxrr

Es convexo. Ejemplos: Determinar si las siguientes funciones son cuasicóncavas o cuasiconvexas.

a) xe)x(f = con ℜ∈x ,

b) xln)x(f = con x>0


110

Solución: Podemos ver que estas funciones ya fueron analizados anteriormente y se llego a la solución que para cualquier αα ΩΛα y, son convexos, por tanto, dichas funciones son cuasiconvexas y cuasicóncavas.

2. Condiciones para la cuasiconcavidad de funciones diferenciables 2.1. Condiciones de primer orden Sea X un conjunto abierto, no vacío y convexo de nℜ y “f” una función definida de X en ℜ diferenciable en X.

La función “f” es cuasiconvexa en X si y sólo si para todo Xx,x 21 ∈

rr con

)x(f)x(f 12rr

≤ se verifica que .0)xx)(x(f 121 ≤−∇rrr

La función “f” es cuasicóncava en X si y sólo para todo Xx,x 21 ∈ con

)x(f)x(f 12rr

≥ se verifica que .0)xx)(x(f 121 ≥−∇rrr

Para el caso de estrictamente cuasiconvexa y estrictamente cuasicóncava las condiciones serán similares solo que con las desigualdades, en las que aparece el gradiente de “f” evaluado en ,x1 en sentido estricto. Ejemplos: Determinar si las siguientes funciones son cuasicóncavas o cuasiconvexas.

a) ( ) ,xxf 2= con ℜ∈x b) ( ) ,cbxaxx,xf 2121 ++= con ℜ∈ℜ∈ c,b,a)x,x( 2

21

c) ( ) ( ),xxlnx,xf 2121 += con (x1,x2) 2++ℜ∈

Solución: a) La función ( ) 2xxf = es cuasiconvexa, ya que para todo x1 y x2 de ℜ con

)x(fxx)x(f 121

222 =≤= se verifica que:

Si x1< 0 y x2<0, 0)xx(x2)xx)(x(f 121121' ≤−=−

Si x1< 0 y x2>0, 0)xx(x2)xx)(x(f 121121' ≤−=−

Si x1> 0 y x2<0, 0)xx(x2)xx)(x(f 121121' ≤−=−

Si x1> 0 y x2>0, 0)xx(x2)xx)(x(f 121121' ≤−=−


111

Para verificar que lo anterior es útil tener en cuenta que a partir de )x(fxx)x(f 1

21

222 =≤= se llega a:

0)xx)(xx(0xx 2121

22

21 ≥−+⇒≥−

b) Para cualquier a, b y c, la función ( ) cbxaxx,xf 2121 ++= es

cuasiconvexa y cuasicóncava. En efecto, sean )y,y(y 21=r

y )x,x(x 21=r

dos elementos cualesquiera tales que:

),x(f)x,x(f)y,y(f)y(f 2121rr

=≤=

Por tanto:

cbxaxcbyay 2121 ++≤++

Entonces:

)xy(b)yx(b)xy(aaxay 22221111 −−=−≤−=−

Como:

[ ] 0)xy(b)xy(axyyy

b,a)xy)(x(f 221122

11 ≤−+−=

−−

=−∇rrr

Podemos concluir que “f” es cuasiconvexa. Razonando de forma análoga se prueba que “f” es cuasicóncava.

c) La función ( ) ( )2121 xxlnx,xf += con 2

21 )x,x(x ++ℜ∈=r

es cuasiconvexa y cuasicóncava. En efecto, sean )y,y(y 21=

r y )x,x(x 21=

r con

2121 xxyy +≤+ , entonces se verifica que ),x(f)y(frr

≤ y que:

[ ] 0)xx()yy(xx

1xyxy

xx

1

xx

1)xy)(x(f 2121

2122

11

2121≤+−+

+=

−−

++=−∇

rrr

Por tanto, la función es cuasiconvexa. No podemos asegurar que es estrictamente cuasiconvexa, puesto que con xy

rr≠ puede verificarse que

2121 xxyy +=+ , pero entonces )x(f)xxln()yyln()y(f 2121rr

=+=+= y 0)xy)(x(f =−∇

rrr . Razonando de forma análoga se prueba que “f” es cuasicóncava.


112

2.2. Condiciones de segundo orden Sea “f” una función definida de n

+ℜ en ℜ continua y dos veces

diferenciable. Sea ( )n,21 x,x,xfH K el hessiano orlado dado por:

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )1n1n

nn1nn

n1111

n1

xfxfxf

xfxfxfxfxf0

x,x,xfH

xxxxx

xxxxx

xx

n,21

+×+

=

rKK

rr

MMM

rKK

rr

rKK

r

K

Siendo ( )n,21r x,x,xfD K el menor principal dominante de ( ),x,x,xfH n,21 K que viene dado por:

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )1r1r

rr1rr

r1111

r1

xfxfxf

xfxfxfxfxf0

x,x,xfD

xxxxx

xxxxx

xx

n,21r

+×+

=

rKK

rr

MMM

rKK

rr

rKK

r

K

Se verifica que: a) Si “f” es una función cuasiconvexa, n,,2,1r K=∀ se tiene que

( ) .0x,x,xfD n,21r ≤K (condición necesaria pero no suficiente).

b) Si n,,2,1r K=∀ ( ) ,0x,x,xfD n,21r <K la función “f” es cuasiconvexa. (condición suficiente pero no necesaria).

c) Si “f” es una función cuasicóncava, n,,2,1r K=∀ se tiene que

( ) .paresrsi,0imparesrsi,0

x,x,xfD n,21r≥≤

=K Es decir, se verifica que:

( ) ( ) .0x,x,xfD1 n,21rr ≥− K (condición necesaria pero no suficiente).

d) Si n,,2,1r K=∀ se verifica que: ( ) .paresrsi,0imparesrsi,0

x,x,xfD n,21r><

=K Es

decir, ( ) ( ) ,0x,x,xfD1 n,21rr >− K entonces “f” es una función

cuasicóncava. (condición suficiente pero no necesaria).


113

Ejemplos: Teniendo en cuenta las definiciones anteriores estudiar la cuasiconvexidad o cuasiconcavidad de las siguientes funciones: a) ( ) b

2a121 xxx,xU = en 2

++ℜ con ,1b0,1a0 <<<<

b) ( ) 321321 xxxx,x,xf = en .3+++ℜ

Solución: a) El hessiano orlado de ( ) b

2a121 xxx,xU = es:

( ) ( )( )

( ) ( )1212

2b2

a1

1b2

1a1

1b2

a1

1b2

1a1

b2

2a1

b2

1a1

1b2

a1

b2

1a1

n,21xx1bbxabxxbx

xabxxx1aaxaxxbxxax0

x,x,xUH

+×+

−−=

−−−−

−−−−

−−

K

Los menores principales dominantes son los siguientes:

( )( )

( ) 0xaxxx1aaxax

xax0x,x,xUD2b

21a

1b2

2a1

b2

1a1

b2

1a1

n,211 <−=−

= −−−

−K

( ) ( ) ( )[ ] =−−−−= −− 2b3

22a3

12222

n,212 xx1bbab1aaba2x,x,xUD K

( ) ( ) 0xxbaabx,x,xUD 2b32

2a31n,212 >+= −−K

Por tanto, la función “U” es cuasicóncava en .2

++ℜ

b) El hessiano orlado de ( ) 321321 xxxx,x,xf = es:

( )

( ) ( )13130xxxxx0xxxxx0xxxxxxxx0

x,x,xfH

1221

1331

2332

213132

n,21

+×+

=K

Los menores principales dominantes son los siguientes:

( ) ( ) 0xx0xxxx0

x,x,xfD 232

32

32n,211 <−==K


114

( ) 0xxx20xxxx0xxxxxx0

x,x,xfD 2321

331

332

3132

n,212 >==K

( ) 0xxx

0xxxxx0xxxxx0xxxxxxxx0

x,x,xfD 23

22

21

1221

1331

2332

213132

n,213 <−==K

Por tanto, la función “f” es cuasicóncava en .3

+++ℜ

IV.6. Formulación de programas matemáticos

Los problemas de programación matemática que vamos a tratar tienen por objetivo determinar el óptimo de una función (máximo o mínimo), que denominaremos función objetivo, sobre un determinado conjunto de soluciones factibles. De manera formal, tenemos que:

( ) ( ) ( )( ) CFx,,x,xx:a.s

x,,x,xfxfminomax

n21

n21

∈=

=

Kr

Kr

Es decir, debemos determinar los valores que han de adoptar las variables de decisión ( )n21 x,,x,xx K

r= dentro del conjunto CF (conjunto de soluciones

factibles que queda definido por las restricciones del problema), para que la función objetivo adopte el valor óptimo buscado. En general, para un problema con “n” variables de decisión, de la forma:

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) 0x,,x,xh

0x,,x,xh0x,,x,xg

0x,,x,xg:a.sx,,x,xfxfminomax

n21k

n211

n21m

n211

n21

=

=≤

≤=

K

M

K

K

M

K

Kr

El conjunto CF de soluciones factibles es:

( ) ( ) .k,,1jpara,0xhm,,1ipara,0xgxCF jin K

rK

rr==∧=≤ℜ∈=


115

1. Definiciones

Sea CF el conjunto de soluciones factibles de un programa matemático, cuya función objetivo es “f”. a) Un punto ( ) CFx,,x,xx *

n*2

*1

* ∈= Kr

es un máximo global del programa si

se verifica que ( ) ( )xfxf * rr≥ para todo ( ) .CFx,,x,xx n21 ∈= K

r

b) ( ) CFx,,x,xx *n

*2

*1

* ∈= Kr

es un máximo global estricto si *xr

es un máximo

global y ( ) ( )xfxf * > para todo xx* ≠ en CF.

c) ( ) CFx,,x,xx *n

*2

*1

* ∈= Kr

es un máximo local (o máximo relativo) del

programa si existe una bola5 ( )*r xBr

alrededor de *xr

tal que ( ) ( )xfxf * rr≥

para todo ( ) .CFxBx *r ∩∈rr

d) ( ) Xx,,x,xx *n

*2

*1

* ∈= Kr

es un máximo local estricto de “f” existe una bola

( )*r xBr

alrededor de *xr

tal que ( ) ( )xfxf * rr> para todo xx* rr

≠ en

( ) .CFxB *r ∩r

En otras palabras, un punto *x

r es un máximo local si no hay puntos cercanos

a él en los que “f” adopte un mayor valor. Por supuesto, un máximo global es siempre un máximo local. Sin embargo, el recíproco no es cierto. Invirtiendo las desigualdades en las cuatro definiciones anteriores obtendremos las definiciones de mínimo global, mínimo global estricto, mínimo local, y mínimo local estricto respectivamente. Es importante resaltar que las definiciones de óptimos locales y globales son aplicables a cualquier función independientemente que sea o no continua o diferenciable. 1.1. Teorema de Weierstrass

Sea ℜ→ℜn:f una función continua definida en nX ℜ⊂ donde X es un conjunto cerrado y acotado6. Entonces existen Xx,x 21 ∈

vv tales que:

( ) ( )( ) ( ) Xxxfxf

Xxxfxf

2

1∈∀≥∈∀≤vvv

vvv

Por tanto, 1x

v es un mínimo global de “f” en X y 2xv es un máximo

global de “f” en X. 5 Ver apéndice al final del capítulo. 6 Ver apéndice al final del capítulo.


116

2. Formulación de programas sin restricciones

La formulación general de un programa sin restricciones es:

( )( )

ℜ∈ nx

xfopt:I r

r

Donde: .D:f n ℜ→ℜ⊂ Siendo “D” el dominio de la función. 2.1. Condiciones necesarias de primer orden de óptimo local

Sea “D” un subconjunto abierto de nℜ y “f” una función definida de “D” en ,ℜ diferenciable en “D”. Si Dx* ∈

r es un mínimo o máximo

local de “f”, entonces:

( ) ( ) 0xfII *rr

=∇

A los puntos *xr

que hacen que el gradiente de una función “f” sea nulo se les denomina puntos críticos de la función “f”. Por tanto, los máximos y mínimos locales, y los puntos de silla (para n = 1: puntos de inflexión) de una función diferenciable son puntos críticos de “f”. La interpretación geométrica de la condición ( )II nos señala que el plano tangente a la gráfica de una función diferenciable que depende de dos variables ( )2n = en un óptimo local es horizontal.

a)

b)

Figura 26


117

En la figura 26 se aprecia el gráfico de funciones que dependen de dos variables y que presenta planos tangentes horizontales en sus puntos críticos. No obstante, se puede apreciar que la condición ( )II es necesaria pero no suficiente, ya que la gráfica de la función a) tiene un punto crítico (punto de silla) que no es ni máximo ni mínimo. Definición de punto de silla: Sea “f” una función diferenciable en un subconjunto abierto nD ℜ⊂ con valores en .ℜ Un punto crítico

n*x ℜ∈r

se denomina punto de silla si para toda bola abierta ( )*r xBr

se

verifica que existen ( )*r

21 xBx,xrrr

∈ tales que:

( ) ( )*1 xfxfrr

<

( ) ( )*2 xfxfrr

>

Ejemplos: Dadas las siguientes funciones, hallar los puntos críticos y clasificarlos como máximos mínimos locales o globales o como puntos de silla.

a) ( ) ,3x2xxx2x2xf 12221

21 −+++=

r

b) ( ) ,13x2x10x3x8x5xxf 32231

22

21 −+−−+−−=

r

c) ( ) .xxxf 21=r

Solución: a) Para hallar los puntos críticos de “f” calculamos el vector gradiente

de “f” y lo igualamos al vector cero.

( ) 0xf *rr

=∇

( ) ( ) ( )0,0x2x2,2x2x4xf *2

*1

*2

*1

* =+++=∇r

Por lo que de la expresión anterior se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

02x2x4 *2

*1 =++

0x2x2 *2

*1 =+

Resolviendo se tiene que el único punto crítico de “f” es: ( ) ( ).1,1x,xx *

2*1

* −==r

Por otro lado, la función que estamos analizando se puede escribir de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) 41xxxxf 21

221 −+++=

r


118

Podemos notar que ( ) ( ) 01xxx 21

221 >+++

( ) ( ).1,1x,x 221 −≠ℜ∈∀ Mientras que para ( )1,1x* −=

r se verifica

que ( ) ( ) .01xxx 21

221 =+++ Por lo que ( ) ( )1,1x,x 2

21 −≠ℜ∈∀ se

verifica que ( ) ( ) ( ),xf1,1f4xf *rr=−=−> y si ( ) ( )1,1x,xx *

2*1

* −==

resulta que ( ) ( ) ( ).xf1,1f4xf *rr=−=−= Por tanto, en

( ) ( )1,1x,xx *2

*1

* −==r

“f” alcanza un mínimo global estricto ya que

( ) ( ) ⇒−≠ℜ∈∀ 1,1x,x 221 ( ) ( ) ( ).xf1,1f4xf *rr

=−=−>

Figura 27

b) Para hallar los puntos críticos de “f” calculamos el vector gradiente de “f” y lo igualamos al vector cero.

( ) ( ) ( )0,0,02x6,10x10,8x2xf *

3*2

*1

* =+−−−+−=∇r


08x2 *

1 =+−

010x10 *2 =−−

02x6 *

3 =+−

Resolviendo se tiene que el único punto crítico de “f” es: ( ) ( ).31,1,4x,x,xx *

3*2

*1

* −==r

Dado que “f” puede escribirse como:

( ) ( ) ( ) ( ) 32531x31x54xxf 23

22

21 +−−+−−−=

r


119

Se comprueba que ( ) ( )31,1,4x,x,xx *3

*2

*1

* −==r

es un máximo

global ya que para todo ( ) 3321 x,x,xx ℜ∈=

r:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*2

32

22

1 xf32532531x31x54xxfrr

=≤+−−+−−−=

c) Para hallar los puntos críticos de “f” calculamos el vector gradiente de “f” y lo igualamos al vector cero.

( ) ( ) ( )0,0x,xxf *

1*2

* ==∇r


0x*

1 =

0x*2 =

Resolviendo se tiene que el único punto crítico de “f” es:

( ) ( ).0,0x,xx *2

*1

* ==r

Ahora vamos a ver como se comporta “f” en el entorno al punto ( ) ( ).0,0x,xx *

2*1

* ==r

Se observa que ( ) ( ) ( ) .00,0fx,xfxf *2

*1

* ===r

Si

trazamos una bola centrada en ( ) ( )0,0x,xx *2

*1

* ==r

con un radio 0r > notamos que existen puntos del primer y segundo

cuadrantes en los que ( ) ( ) 0x,xfx,xf *2

*121 => y en los que

( ) ( ) ,0x,xfx,xf *2

*121 =< mientras que en el tercer y cuarto cuadrantes

existen puntos en los que ocurre lo mismo. Por tanto, ( ) ( )0,0x,xx *

2*1

* ==r

representa un punto de silla. 2x

( ) 0x,xf 21 >

( ) 0x,xf 21 > ( ) 0x,xf 21 <

( ) 0x,xf 21 <

( )0,01x

r

Figura 28


120

Figura 29

2.2 Condiciones de segundo orden de óptimo relativo (local)

Sea ℜ→ℜ⊂ nD:f cuyas derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en su dominio D. Es decir, “f” es de clase dos ( ).C2

Sea Dx* ∈r

un punto crítico de “f”. Siendo ( )*xHfr

el hessiano de “f” evaluado en *x

r (simétrico dado que “f” es 2C ), se verifica que:

a) Si ( )*xHfr

es definido positivo, *xr

es un mínimo relativo estricto de “f”: (condición suficiente pero no necesaria).

b) Si ( )*xHfr

es definido negativa, *xr

es un máximo relativo estricto de “f”: (condición suficiente pero no necesaria).

c) Si ( )*xHfr

es indefinido, *xr

es un punto de silla de “f” (condición suficiente pero no necesaria).

d) Si ( )*xHfr

es semidefinido positivo, *xr

es un mínimo relativo o un punto de silla de “f” (condición necesaria).

e) Si ( )*xHfr

es semidefinido negativo, *xr

es un máximo relativo o un punto de silla de “f” (condición necesaria).

Ejemplos: Dadas las siguientes funciones, identificar si sus puntos críticos son máximos, mímimos o puntos de silla. Además, averiguar si los óptimos relativos son globales. a) ( ) ( )2xxxx,xf 12121 −=

b) ( ) 221

3121 xx2xx,xf −=

c) ( ) 22

2121 xx2x,xf =

d) ( ) 22

21 xx

21 e2x,xf −−=


121

Solución: a) Calculamos los puntos críticos igualando el gradiente de “f” al

vector cero:

( ) ( ) ( )( ) ( )0,02xx,1xx2xf 1112* =−−=∇r

( ) 01xx2 12 =−

( ) 02xx 11 =−

De la segunda ecuación se desprende que o ,0x1 = o bien .2x1 = Si

,0x1 = reemplazando este valor en la primera ecuación .0x2 = Mientras que si ,2x1 = de manera análoga, se obtiene que .0x2 =

Por tanto, los puntos críticos son: ( ) ( ).0,2xy0,0x *2

*1 ==

rr

Para poder emplear las condiciones de segundo orden primero verificamos que “f” es una aplicación de ℜ→ℜ2 , que es de clase dos y que su dominio ( ) ( ) 22121 x,x/x,xD ℜ∈= es un conjunto abierto. Ahora calculamos el hessiano para analizar las condiciones de segundo orden:

( ) ( )( )

−

−=

01x21x2x2

xHf1

12r

Reemplazando ( ) ( )0,2xy0,0x *

2*1 ==

vv en el hessiano se tiene:

( )

−

−=

0220

xHf *1r

( )

=

0220

xHf *2r

( )*1xHfr

es una matriz indefinida ya que tiene un autovalor positivo

( )41 =λ y otro negativo ( ).42 −=λ Por tanto, ( )0,0x*1 =v es un punto

de silla.


122

( )*1xHfr

es una matriz indefinida ya que tiene un autovalor positivo

( )41 =λ y otro negativo ( ).42 −=λ Por tanto, ( )0,2x*2 =v es un punto

de silla.

Figura 30

b) Calculamos los puntos críticos igualando el gradiente de “f” al vector cero:

( ) ( ) ( )0,0xx4,x2x3xf 2122

21

* =−−=∇r

0x2x3 22

21 =−

0xx4 21 =−

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se tiene que el único punto crítico de “f” es ( ).0,0x* =

v

Para poder emplear las condiciones de segundo orden primero verificamos que “f” es una aplicación de ℜ→ℜ2 , que es de clase dos y que su dominio ( ) ( ) 22121 x,x/x,xD ℜ∈= es un conjunto abierto. Ahora calculamos el hessiano para analizar las condiciones de segundo orden:


123

( )

−−−

=12

21x4x4x4x6

xHfr

Reemplazando ( )0,0x* =

v en el hessiano se tiene:

( )

=

0000

xHf *r

En este caso, las condiciones de segundo orden no nos dan ningún tipo de información. Por tanto, el punto crítico ( )0,0x* =

v puede ser máximo, mínimo o punto de silla. Analizando la función observamos que:

( ) ( ) 00,0fxf * ==r

Ahora vamos a ver como se comporta “f” en el entorno al punto ( ).0,0x* =

r Se observa que ( ) .0xf * =

r Si trazamos una bola centrada

en ( )0,0x*r con un radio 0r > notamos que existen puntos que se encuentran sobre el eje “ 1x ” y a la derecha del eje “ 2x ” en los que

( ) ( ) ( ) ( ),0x00,0fxfx0,xf 1*3

1 1>==>=

r y que existen puntos que se

encuentran sobre el eje “ 1x ” y a la izquierda del eje “ 2x ” en los que

( ) ( ) ( ) ( ).0x00,0fxfx0,xf 1*3

11 >==<−=−r

Por tanto, ( )0,0x* =r

representa un punto de silla de “f”.

Figura 31


124

c) Calculamos los puntos críticos igualando el gradiente de “f” al vector cero:

( ) ( ) ( )0,0xx4,xx4xf 2

21

221

* ==∇r

0xx4 221 =

0xx4 221 =

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se tiene que los puntos críticos de “f” son de la forma ( ) ( )b,0y0,a siendo a y b números reales. Para poder emplear las condiciones de segundo orden primero verificamos que “f” es una aplicación de ℜ→ℜ2 , que es de clase dos y que su dominio ( ) ( ) 22121 x,x/x,xD ℜ∈= es un conjunto abierto. Ahora calculamos el hessiano para analizar las condiciones de segundo orden:

( )

= 2

121

2122

x4xx8xx8x4xHf

r

Reemplazando ( ) ( )b,0y0,a en el hessiano se tiene:

( )

= 2a40

000,aHf

( )

=

000b4b,0Hf

2

Ambos hessianos son semidefinidos positivos ya que tienen un autovalor positivo ( )0b4y0a4 2

12

1 >=α>=λ y un autovalor nulo ( ).0y0 22 =α=λ Por tanto, en los puntos críticos puede haber mínimo relativo o punto de silla. Se observa que:

( ) ℜ∈∀= a00,af

( ) ℜ∈∀= b0b,0f


125

Pero, dado que ( ) ( ) 221

22

2121 x,x0xx2x,xf ℜ∈∀≥= , entonces en

todos los puntos críticos (los ejes x1 y x2) hay un mínimo global.

Figura 32

d) Calculamos los puntos críticos igualando el gradiente de “f” al vector cero:

( ) ( )0,0ex4,ex4xf22

21

22

21 xx

2xx

1* =

−−=∇ −−−−r

0ex422

21 xx

1 =− −−

0ex422

21 xx

2 =− −−

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que el único punto crítico de “f” es ( ).0,0x* =

v Para poder emplear las condiciones de segundo orden primero verificamos que “f” es una aplicación de ℜ→ℜ2 , que es de clase dos y que su dominio ( ) ( ) 22121 x,x/x,xD ℜ∈= es un conjunto abierto. Ahora calculamos el hessiano para analizar las condiciones de segundo orden:

( ) ( )( )

−

−=

−−−−

−−−−

22

21

22

21

22

21

22

21

xx22

xx21

xx21

xx21

e4x8exx8

exx8e4x8xHfr

Reemplazando ( )0,0x* =

v en el hessiano se tiene:


126

( )

−

−=

4004

xHf *r

El hessiano es definido negativo ya que sus autovalores son negativos ( )421 −=λ=λ . Por tanto, ( )0,0x* =

v es un máximo relativo estricto.

Figura 33

2.3 Aplicaciones Económicas Empresa maximizadora de beneficios (privados) Supóngase una empresa que utiliza “n” factores de producción para

producir un único producto. Si nx +ℜ∈r

representa un paquete de factores de producción, si ( )xQy

r= es la función de producción de la

empresa de clase uno ( ),C1 y si “p” es el precio de venta de este producto, entonces el ingreso de la empresa viene dado por ( ) ( ).xQpxI

vv⋅= Si ( )xC

v representa el costo del paquete de factores de producción ,x

v el beneficio de la empresa de uso óptimo del paquete de factores de producción x

v es:

( ) ( ) ( ).xCxIxvvv

−=π

Asumiremos que ( ) ( )xCyxIvv son tales que la empresa maximizadota de

beneficios utiliza una cantidad positiva de cada factor de producción de manera que el x

v que maximiza el beneficio es un punto interior del ortante positivo .n

+ℜ


127

El problema de optimización que la empresa deberá resolver es el siguiente:

( ) ( ) ( )

nx

xCxIxmax

+ℜ∈

−=πr

vvv

Por las condiciones de primer orden de óptimo local se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )43421 K

v

K

vvv

scomponente"n"n210,,,0,0

x

x,,

x

x,

x

xx =

∂

π∂

∂

π∂

∂

π∂=π∇

Es decir, tenemos un sistema de ecuaciones de “n” ecuaciones con “n” incógnitas:

( ) ( ) ( )

0x

xC

x

xI

x

x

1

*

1

*

1

*=

∂

∂−

∂

∂=

∂

π∂vvv

( ) ( ) ( )

0x

xC

x

xI

x

x

2

*

2

*

2

*=

∂

∂−

∂

∂=

∂

π∂vvv

M ( ) ( ) ( )

0x

xC

x

xI

x

x

n

*

n

*

n

*=

∂

∂−

∂

∂=

∂

π∂vvv

En particular, la productividad marginal de la renta (ingreso marginal) de utilizar una unidad más del factor de producción “i” debe igualarse al costo marginal de comprar otra unidad del factor de producción “i”.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).n,,2,1i

x

xC

x

xI0

x

xC

x

xI

x

x

i

*

i

*

i

*

i

*

i

*K

vvvvv

=∀∂

∂=

∂

∂⇒=

∂

∂−

∂

∂=

∂

π∂ ( )*

Suponiendo que cada factor de producción “i” tiene un costo unitario constante ,wi se tiene que:

( ) .xwxwxwxwxC nn2211

rrK

r⋅=+++=

Las condiciones de primer orden ( )* serían:

( ) ( ) ( ).n,,2,1ip

w

x

xQw

x

xQp i

i

*

ii

*K

vv

=∀=∂

∂⇒=

∂

∂

Las condiciones de segundo orden definidas en la sección 2.2 requieren que ( )*xH

rπ sea semidefinido negativo. En el caso de costo marginal

constante, implica que ( )*xHQr

debe ser semidefinido negativo en el paquete de factores de producción óptimo.


128

En particular, esto implica que cada ( ) .0xQ *xx ii

≤r

Otra forma de decir esto es que el vector de factores de producción que maximiza el beneficio se da sólo en aquellas regiones del espacio de factores de producción donde todas las ( ) .0xQ *

xx ii≤

r Si para cada ,x n

+ℜ∈r

existe un índice “i” tal que ( ) ,0xQ

iixx >r

entonces la empresa en estudio no puede

tener un producto que maximice su beneficio en el interior de .n+ℜ

Discriminación monopolística Incluso en el caso de una empresa que produce un único bien, puede surgir un problema de optimización con dos o más variables. Tal podría ser el caso, por ejemplo, de una empresa monopolística que vende un único bien en dos o más mercados separados (por ejemplo, en el propio país y en el extranjero) y, en consecuencia, debe decidir acerca de las cantidades (Q1, Q2, etc.) que enviará a los mercados respectivos para maximizar su beneficio. En general, los diversos mercados tendrán diferentes condiciones de demanda, y, si la elasticidad de la demanda difiere en los distintos mercados, la maximización del beneficio estará vinculada a la práctica de la discriminación de precios. A continuación vamos a deducir matemáticamente esta conocida conclusión. Supondremos tres mercados separados y trabajaremos con funciones generales. Por eso, nos limitaremos a suponer que nuestra empresa monopolística tendrá las siguientes funciones de ingreso y costo total:

( ) ( ) ( ) ( )332211321 QIQIQIQ,Q,QI ++= y ( )QCC =

Donde: 321 QQQQ ++=

Obsérvese que todas las funciones de ingreso total ( )321 I,I,I implican, naturalmente, una estructura particular de demanda, que, en general, será diferente de la que rige en los otros dos mercados. En cuanto al costo, en cambio, sólo se postula una función de costo, porque es la misma empresa la que produce para los tres mercados. Como

321 QQQQ ++= , también el costo total “ C ” es básicamente una función de 321 Q,Q,Q , que constituyen las variables de elección del modelo. Podemos, naturalmente, volver a escribir ( )QC como ( )321 QQQC ++ . Convendría observar, sin embargo, que aunque la

última versión contiene tres variables independientes, seguiremos considerando que la función tiene un único argumento “ Q ”, porque la suma de 321 QyQ,Q es realmente una única entidad. Por el contrario, si las funciones aparecen en la forma ( )321 Q,Q,QC , entonces hay que tener en cuenta tantos argumentos como variables independientes.


129

Ahora la función de beneficios es:

( ) ( ) ( ) ( )QCQIQIQI 332211 −++=π

Por las condiciones de óptimo relativo tenemos:

( )0,0,0Q

,Q

,Q 321

=

∂

π∂

∂

π∂

∂

π∂=π∇

( )

=−=−=∂

∂−=

∂

π∂

=−=−=∂

∂−=

∂

π∂

=−=−=∂

∂−=

∂

π∂

0dQ

dC)Q('I

dQ

dQ

dQ

dC)Q('I

Q

C)Q('I

Q

0dQ

dC)Q('I

dQ

dQ

dQ

dC)Q('I

Q

C)Q('I

Q

0dQ

dC)Q('I

dQ

dQ

dQ

dC)Q('I

Q

C)Q('I

Q

a

33

1

333

333

3

22

1

222

222

2

11

1

111

111

1

876

876

Resulta que: 0)Q('I)Q('I)Q('IdQ

dC332211 ====

Es decir: 321 IMgIMgIMgCMg === Así los niveles de “ 1Q ”, “ 2Q ” y “ 3Q ” han de ser elegidos de manera tal que el ingreso marginal de cada mercado sea igual al costo marginal del producto total Q.

Para comprender las implicaciones de esta condición con respecto a la discriminación de precios, hallemos primero cómo se relaciona específicamente el “ IMg ” de cualquier mercado con el precio en ese mercado. Ya que el ingreso de cada mercado es ( ) iiii QQPI ⋅= , es lógico que el ingreso marginal sea:

( ) ( )i

iii

i

iii

i

ii

dQ

QdPQ

dQ

dQQP

dQ

dIIMg +==

( )( )

( ) ( )( )

( )

+=

+=

iii

iii

iii

ii

ii

iiii

QPQ

QdPdQ

11QP

dQ

QdP

QP

Q1QPIMg


130

( ) )3,2,1i(d

11QPIMg

iiii =

ε+=

Donde “ idε ”, la elasticidad puntual de la demanda en el mercado i-ésimo, es normalmente negativa. En consecuencia, la relación entre

iIMg y ( )ii QP puede expresarse alternativamente mediante la ecuación:

( ) )A()3,2,1i(d

11QPIMg

iiii =

ε−=

Recuérdese que idε , por lo general, es una función de ( )ii QP , de manera tal que cuando se elige iQ entonces ( )ii QP queda así especificado, y idε también adoptará un valor específico, que puede ser mayor, menor o igual que uno. Pero si idε < 1 (siendo la demanda inelástica en este punto), entonces su valor inverso será mayor que uno y la expresión que aparece entre paréntesis en (A) será negativa, con lo cual “ iIMg ” tomará un valor negativo. Análogamente, sí 1di =ε (elasticidad unitaria), entonces el iIMg tomará valor cero. Ya que el “ CMg ” de una empresa es positivo, la condición de primer orden

iIMgCMg = requiere que la empresa trabaje con un nivel positivo de

iIMg . De aquí que los niveles de venta iQ elegidos por la empresa deben ser tales que la correspondiente elasticidad puntual de la demanda en cada mercado sea mayor que uno. La condición de primer orden 321 IMgIMgIMg == se puede convertir ahora, por medio de (A), en lo siguiente:

ε−=

ε−=

ε−

333

222

111

d

11)Q(P

d

11)Q(P

d

11)Q(P

De esto se puede inferir fácilmente que cuanto menor sea el valor de

idε (en el nivel elegido de producción) en un mercado en particular y cuanto mayor sea el precio en ese mercado (de ahí la discriminación de precios) tanto mayor será el beneficio. Para asegurar la maximización del beneficio, examinaremos la condición de segundo orden. A partir de (a), las derivadas parciales de segundo orden son:

)Q(''C)Q(''IQ

Q)Q(''C)Q(''I

Q11

1112

1

2−=

∂

∂−=

∂

π∂


131

)Q(''C)Q(''IQ

Q)Q(''C)Q(''I

Q22

2222

2

2−=

∂

∂−=

∂

π∂

)Q(''C)Q(''IQ

Q)Q(''C)Q(''I

Q33

3332

3

2−=

∂

∂−=

∂

π∂

)Q(''C

233213311221 QQQQQQQQQQQQ −=π=π=π=π=π=π

De manera tal que el hessiano de π es:

−−−−−−−−−

=π)Q(''C)Q(''I)Q(''C)Q(''C

)Q(''C)Q(''C)Q(''I)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''I

H

33

22

11

Los menores principales dominantes del hessiano de π son:

)Q(''C)Q(''I)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''I)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''I

HH

33

22

11

3−−−

−−−−−−

=π=π

[

])Q(''I)Q(''I)Q(''I)Q(''I

)Q(''I)Q(''I)Q(''C)Q(''I)Q(''I)Q(''IH

33223311

22113322113

++

+−=π

)Q(''C)Q(''I)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''I

H22

112 −−

−−=π

[ ] )Q(''C)Q(''I)Q(''I)Q(''I)Q(''IH 221122112 +−=π

)Q(''C)Q(''IH 111 −=π

Para obtener un máximo será necesario que se verifique: 1. 0)Q(''C)Q(''I0H 111 <−⇒<π ; es decir, la pendiente de 1IMg

deberá ser menor que la pendiente del CMg del producto total (puesto que cualquiera de los tres mercados puede considerarse como el “primer” mercado, esto implica, en efecto que,

0)Q(''C)Q(''I 22 <− y 0)Q(''C)Q(''I 33 <− .

2. [ ][ ] [ ] 0)Q(''C)Q(''C)Q(''I)Q(''C)Q(''IH0H 2221122 >−−−=π⇒>π

3. 0H 3 <π


132

2.4 Condiciones suficientes de optimalidad global: Programación convexa

Programa convexo: Dado un programa matemático de la forma:

( )( )

ℜ⊂∈ nCFx:a..s

xfoptIII r

r

Se dice que: a) Es convexo para mínimo si CF es convexo y “f” es una función

convexa en CF. b) Es convexo para máximo si CF es convexo y “f” es una función

cóncava en CF.

Teorema fundamental de la programación convexa: Dado el programa convexo:

( )( )

ℜ⊂∈ nCFx:a..s

xfminIV r

r

Se cumple que:

a) Si CFx* ∈r

es un mínimo relativo, entonces *xr

es un mínimo global.

b) El conjunto de todos los mínimos del programa es un conjunto convexo.

Dado el programa convexo:

( )( )

ℜ⊂∈ nCFx:a..s

xfmaxV r

r

Se cumple que:

c) Si CFx* ∈r

es un máximo relativo, entonces *xr

es un máximo global.

d) El conjunto de todos los máximos del programa es un conjunto convexo.

Es importante resaltar que el teorema fundamental de la programación convexa nos dice que la convexidad del programa da una condición suficiente (pero no necesaria) para que todo óptimo relativo sea global. Asimismo, es importante hacer notar que un programa convexo (ya sea de maximización o de minimización) puede no tener solución óptima (esto se da cuando CF es un conjunto no acotado7).

7 Ver apéndice.


133

A continuación veremos que para programas convexos sin restricciones las condiciones de primer orden son necesarias y suficientes para la optimalidad global. Proposición 1: Dada ℜ→ℜn:f diferenciable en nℜ se comprueba que: a) Si “f” es convexa en nℜ , la condición necesaria y suficiente para

que *xr

sea mínimo global de “f”, es que ( ) .0xf *rr

=∇

b) Si “f” es estrictamente convexa en nℜ , la condición necesaria y suficiente para que *x

r sea mínimo global estricto de “f”, es que

( ) .0xf *rr

=∇

c) Si “f” es cóncava en nℜ , la condición necesaria y suficiente para que *x

r sea máximo global de “f”, es que ( ) .0xf *

rr=∇

d) Si “f” es estrictamente cóncava en nℜ , la condición necesaria y suficiente para que *x

r sea máximo global estricto de “f”, es que

( ) .0xf *rr

=∇

La convexidad de un programa es suficiente para que la solución óptima sea global. Cuando un programa no presenta restricciones, basta que la función objetivo sea convexa (respectivamente cóncava) para que dicho programa sea convexo. No obstante, para funciones que cumplen condiciones más débiles que éstas, también se verifica que los óptimos locales son globales. Para ello es suficiente con exigir que la función sea seudoconvexa o cuasiconvexa. Proposición 2: Sea S un subconjunto convexo de nℜ y .S:f ℜ→ Se verifica que: a) Si Sx* ∈

r es un punto crítico de “f” y la función “f” es

seudoconvexa en *xr

, entonces *xr

es un mínimo global de “f”. (condición suficiente pero no necesaria).

b) Si Sx* ∈r

es un punto crítico de “f” y la función “f” es seudocóncava en *x

r, entonces *x

r es un máximo global de “f”.

(condición suficiente pero no necesaria).

c) Si “f” es cuasiconvexa en S y Sx* ∈r

es un mínimo relativo estricto de “f”, entonces *x

r es un mínimo global de “f”.

d) Si “f” es cuasicóncava en S y Sx* ∈r

es un máximo relativo estricto de “f”, entonces *x

r es un máximo global de “f”.


134

Proposición 3: Sea S un subconjunto convexo y abierto de nℜ y ℜ→S:f una función con derivadas parciales primeras y segundas

continuas en S. Si “f” es cuasiconvexa en S, se verifica que, si Sx* ∈r

es tal que ( ) ,0xf *

rr=∇ entonces ( )*xHf

r es semidefinido positivo. Por tanto,

*xr

puede ser un mínimo o un punto de silla. Ejemplos: Determine los óptimos globales de las siguientes funciones: a) ( ) 3x4x5xx,xf 2

22

2121 ++−−=

b) ( ) ( )22121 2xxx,xf +−=

Solución: a) Por las condiciones de primer orden, el punto crítico de “f” se

obtiene:

( ) ( ) ( )0,04x10,x2x,xf 2121 =+−−=∇

0x2 1 =−

04x10 2 =+−

Resolviendo el sistema, el único punto crítico de “f” es ( ) ( ).52,0x,x *

2*1 =

Para todo ( ) 2

21 x,xx ℜ∈=r

se tiene que:

( )

−

−=

10002

xHfr

El hessiano es definido negativo, ya que sus autovalores son negativos ( ).10,2 21 −=λ−=λ Por tanto, “f” es estrictamente cóncava, y gracias al apartado d) de la proposición 1, ( ) ( )52,0x,x *

2*1 = es un máximo global estricto.

Note que como el dominio de “f”: ( ) ,x,xD 2

21 ℜ∈= que coincide con el CF (para un programa sin restricciones), es un conjunto convexo, y la función objetivo es estrictamente cóncava, entonces tenemos un programa convexo para máximo. Por tanto, el máximo local obtenido será también un máximo global.


135

Figura 34

b) Por las condiciones de primer orden, el punto crítico de “f” se

obtiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )0,02xx2,2xx2x,xf 212121 =+−−+−=∇

( ) 02xx2 21 =+−

( ) 02xx2 21 =+−−

Resolviendo el sistema, todos los puntos de la recta 02xx 21 =+− son puntos críticos de “f”.

Para todo ( ) 2

21 x,xx ℜ∈=r

se tiene que:

( )

−

−=

2222

xHfr

El hessiano es semidefinido positivo, ya que posee un autovalor positivo y un autovalor nulo ( ).0,4 21 =λ=λ Por tanto, “f” es convexa, y gracias al apartado a) de la proposición 1, los puntos de la recta 02xx 21 =+− son mínimos globales.

Por otro lado, dado que ( ) ( ) 02xxx,xf 2

2121 ≥+−= para todo

( ) 221 x,xx ℜ∈=

r, y como para ( ) 02xx/x,xx *

2*1

*2

*1

* =+−=r

se cumple

que ( ) ( ) .0x,xfxf *2

*1

* ==r

Por tanto, en los puntos

( ) 02xx/x,xx *2

*1

*2

*1

* =+−=r

“f” tiene un mínimo global.


136

Figura 35

2.5 Análisis de Sensibilidad. Teorema de la envolvente

En muchas situaciones, la función objetivo de un problema de optimización depende, a parte de las variables independientes, de parámetros. En estas situaciones, el análisis de sensibilidad consiste en determinar el efecto sobre el valor óptimo de la función objetivo ante un pequeño cambio en alguno de los parámetros del problema de optimización. El teorema de la envolvente permite cuantificar este efecto.

Definición: Sea el problema:

( ) ( )

ℜ∈

βnx

,xfoptVI r

rr

Siendo “f” una función de clase dos ( )2C , x

r el vector de variables de

decisión, y kℜ∈βr

un vector de parámetros. Si kE ℜ⊂ es un conjunto abierto y para todo E∈β

r existe una solución

óptima de (VI) dada por ( ) ( ) ( ) ( )( )βββ=βr

Krrrr *

n*2

*1

* x,,x,xx que verifica las condiciones necesarias y suficientes de optimalidad local. Definimos la función de valor óptimo o función objetivo indirecta de la siguiente manera:

( ) ( )( )ββ=βϕrrrr

,xf *

Teorema de la envolvente: Dado el problema (VI) y las condiciones de la definición anterior, si ( ) ( )( )ββ=βϕ

rrrr,xf * es la función

objetivo indirecta del programa, se comprueba que ( ) :k,,2,1jj K=β∀


137

( ) ( )( )j

*

j

,xf

β∂

ββ∂=

β∂

βϕ∂rrrr

Ejemplos: 1.- Una empresa monopolística produce un bien cuya función inversa

de demanda es ( ) qqp θ−α= siendo “p” el precio y “q” la cantidad, y los parámetros .0y0 >θ>α La función de costo total de la empresa está dada por ( ) qqC γ+ε= siendo γ el costo marginal (y costo unitario) y ε el costo fijo. Suponiendo que α<γ<0 y que

.0>ε Se requiere:

a) Determinar la cantidad que debe producir la empresa para maximizar sus beneficios.

b) Calcular la función de valor óptimo y determinar directamente sus derivadas parciales.

c) Calcular las derivadas parciales de la función de valor óptimo utilizando el teorema de la envolvente.

d) Comprobar que un decremento del costo marginal o del costo fijo produce un incremento del beneficio óptimo.

2.- La función de producción de una empresa competitiva ese de clase

dos ( )2C y está dada por ( )L,KQ donde “K” y “L” representan las cantidades a utilizar de los factores de producción capital y trabajo respectivamente. Si suponemos que los costos unitarios del capital “r” y del trabajo “w” son constantes, entonces la función de costos de la empresa será ( ) .wLrKL,KC += Si el precio unitario al que vende su producto es “p”, entonces sus ingresos serán ( ) ( ).L,KpQL,KI = Se requiere:

a) Determinar las condiciones que deben satisfacer “K” y “L” para

maximizar el beneficio de la empresa. b) Calcular la función objetivo indirecta y determinar sus derivadas

parciales. c) Verificar que un aumento de “p” produce un aumento en el

beneficio óptimo y que un decremento de “r” o de “w” produce un decremento en el beneficio óptimo.

Solución: 1.- a) El beneficio de la empresa es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε−θ−γ−α=γ+ε−θ−α=−⋅=γεθαπ 2qqqqqqCqqp,,,;q


138

Por la condición de primer orden tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )θ

γ−α=⇒=θ−γ−α=

γεθαπ=γεθαπ∇

2q0q2

dq

,,,;qd,,,;q **

**

El hessiano de ( )γεθαπ ,,,;q* es:

( )1*1

*qq

* 2,,,;q,,,;qH

θ−=

γεθαπ=γεθαπ

Es una matriz definida negativa ya que posee un autovalor negativo ( ).02 <θ−=λ Por tanto, la función de beneficio es estrictamente cóncava, por lo que en q* el beneficio es máximo.

b) La función de valor óptimo es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε−θ−γ−α=γεθαπ=γεθαϕ=βϕ2*** qq,,,;q,,,

r

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ε−

θ

γ−α=ε−

θ

γ−αθ−

θ

γ−αγ−α=βϕ

422

22r

Sus derivadas parciales son:

( ) ( )θ

γ−α=

α∂

βϕ∂

2

r

( ) ( )

2

2

4θ

γ−α−=

θ∂

βϕ∂r

( ) ( )

θ

γ−α−=

γ∂

βϕ∂

2

r

( )

1−=ε∂

βϕ∂r

c) Aplicando el teorema de la envolvente tenemos:

( ) ( ) ( )

θ

γ−α==

α∂

γεθαπ∂=

α∂

βϕ∂

2q

,,,;q **

r

( ) ( ) ( ) ( )

2

22*

*

4q

,,,;q

θ

γ−α−=−=

θ∂

γεθαπ∂=

θ∂

βϕ∂r


139

( ) ( ) ( )θ

γ−α−=−=

γ∂

γεθαπ∂=

γ∂

βϕ∂

2q

,,,;q **

r

( ) ( )

1,,,;q*

−=ε∂

γεθαπ∂=

ε∂

βϕ∂r

d) Por los datos del problema se comprueba que: .0q* > Por tanto,

( )0q* <−=

γ∂

βϕ∂r

( ) ( )0q* >γ∆−=γ∆

γ∂

βϕ∂≈βϕ∆⇒

rr

.0<γ∆⇔ Es

decir, un pequeño decremento en el costo marginal producirá un incremento del beneficio óptimo.

De forma análoga, ( )

⇒<−ε∂

βϕ∂01

r

( ) ( )0q* >ε∆−=ε∆

γ∂

βϕ∂≈βϕ∆

rr

.0<ε∆⇔ Es decir, un pequeño decremento en el costo fijo producirá un incremento del beneficio óptimo.

2.- a) El beneficio de la empresa (función objetivo a maximizar) es:

( ) ( ) ( )wLrKw,r,p;L,KpQw,r,p;L,K +−=π

Donde las variables de decisión son “K” y “L”. Por tanto, *K y

*L maximizarán el beneficio si: I) Satisfacen la condición de primer orden:

( ) ( ) ( )( ) ( )0,0wL,KpQ,rL,KpQw,r,p;L,K **L

**K

** =−−=π∇

( ) ( ) ( )( ) ( )

=−=

=−=

0wL,KpQw,r,p;L,KF

0rL,KpQw,r,p;L,KF**

**L

**2

**K

**1

II) Satisfacen la condición de segundo orden: El hessiano de

( )** L,Kπ debe ser definido negativo, por lo que el menor principal dominante de orden uno de ( )** L,Kπ deberá ser negativo y el menor principal dominante de orden dos ( )** L,Kπ deberá ser positivo, esto es:

( ) ( ) ( ) 0L,KpQL,KpQL,KH **

KK**

KK**

1 <==π

Dado que ,0p > se deduce que: ( ) .0L,KQ **

KK <


140

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )**

LL**

KL

**KL

**KK****

2L,KpQL,KpQ

L,KpQL,KpQL,KHL,KH =π=π

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0L,KQL,KQL,KQpL,KH2**

KL**

LL**

KK2**

2 >

−⋅=π

Nuevamente, como ,0p > se deduce que:

( ) ( ) ( )( )2**KL

**LL

**KK L,KQL,KQL,KQ >⋅

Pero, dado que ( ) ,0L,KQ **

KK < para que la desigualdad anterior se verifique debe cumplirse que:

( ) .0L,KQ **LL <

Por otro lado, si suponemos que las funciones “ 1F ” y “ 2F ” del sistema (**) tienen derivadas continuas y si verificamos que el jacobiano de este sistema con respecto a las variables endógenas “K*” y “L*” no se anula en el equilibrio inicial: ( ),w,r,p;L,K ** en tal caso sería posible aplicar el teorema de la función implícita.

( ) ( )( ) ( ) Lw,r,p;L,KFKw,r,p;L,KF

Lw,r,p;L,KFKw,r,p;L,KFJ

**2**2

**1**1*

∂∂∂∂

∂∂∂∂=

( ) ( )( ) ( )**

LL**

KL

**KL

**KK*

L,KpQL,KpQ

L,KpQL,KpQJ =

Como se puede apreciar, el determinante jacobiano del sistema de ecuaciones conformado por “ 1F ” y “ 2F ” coincide con el determinante del hessiano de ( )** L,Kπ , esto es:

( ) ( ) ( ) ( )( )

−⋅=π=

2**KL

**LL

**KK

2*** L,KQL,KQL,KQpL,KHJ

Pero, para que *K y *L maximicen el beneficio el ( ) ,0L,KH ** >π entonces ( ) .00L,KHJ *** ≠>π= En

consecuencia, existe un entorno tridimensional de ( )000 w,r,p , E, en el que: I) *K y *L se pueden expresar como funciones de las variables

exógenas ( )w,r,p , es decir:


141

( ) ( )( )

=

=

w,r,pLL

w,r,pKK***

**

**

II) Las dos funciones anteriores satisfacen el sistema de

ecuaciones (**) para cualquier ( ) Ew,r,p ∈ , son continuas y tienen derivadas parciales continuas con respecto a todas las variables exógenas (independientes).

Es importante resaltar que las expresiones de (***) verifican las condiciones necesarias y suficientes de máximo local y que además supondremos que ,0Ly0K ** >> con ( ) .0L,KQ ** >

c) La función objetivo indirecta es:

( ) ( ) ( ) =π=ϕ=βϕ ** L;Kw,r,pr

( ) ( )( ) ( ) ( )( )w,r,pwLw,r,prKw,r,pL,w,r,pKpQ **** +−=

Aplicando el teorema de la envolvente, tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( )( )w,r,pL,w,r,pKQp

L,K

p**

**=

∂

π∂=

∂

βϕ∂r

( ) ( ) ( )w,r,pK

r

L,K

r*

**−=

∂

π∂=

∂

βϕ∂r

( ) ( ) ( )w,r,pL

w

K,K

w*

**−=

∂

π∂=

∂

βϕ∂r

c) En función de los resultados obtenidos en el apartado anterior,

tenemos que:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) pw,r,pL,w,r,pKQ0w,r,pL,w,r,pKQp

**** ∆≈βϕ∆⇒>=∂

βϕ∂ rr

( ) .0p0 >∆↔>βϕ∆r

Es decir, un incremento en “p” producirá un incremento del beneficio óptimo.

( ) ( ) ( ) ( ) rw,r,pK0w,r,pKr

** ∆−≈βϕ∆⇒<−=∂

βϕ∂ rr


142

( ) .0r0 >∆↔<βϕ∆r

Es decir, un incremento en “r” producirá un decremento del beneficio óptimo.

( ) ( ) ( ) ( ) ww,r,pL0w,r,pLw

** ∆−≈βϕ∆⇒<−=∂

βϕ∂ rr

( ) .0w0 >∆↔<βϕ∆r

Es decir, un incremento en “w” producirá un decremento del beneficio óptimo.

( ) ( ) ( )w,r,pLw

K,K

w*

**−=

∂

π∂=

∂

βϕ∂r

3. Formulación de programas con restricciones de igualdad

La formulación genérica de un programa matemático con restricciones de igualdad es la siguiente:

( )

( ) ( )( )

( )

=

==

0x,,x,xg

0x,,x,xg:a.sx,,x,xfxfopt

VII

n21m

n211

n21

K

M

K

Kr

Con ,nm < siendo ℜ→ℜn:f y ( ).m,,2,1i:g ni K=ℜ→ℜ

3.1 Condiciones necesarias de primer orden de óptimo local

Definición: Dado el programa (VII), se denomina función Lagrangiana asociada al programa (VII) a la función de nm + variables definida por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=

λ+=λ++λ+=λ⋅+=λm

1iiimm11

T xgxfxgxgxfxgxfx,Lrrr

Krrrrrrrr

Donde:

( )

( )( )

( ) 1mxm

2

1

xg

xgxg

xg

=

rM

M

r

r

rr

1mxm

2

1

λ

λλ

=λM

Mr

A los componentes de λr

se le conocen como multiplicadores de Lagrange asociados a las restricciones ( ) ( )m,,2,1i,0xgi K

r== o

variables duales correspondientes a las restricciones ( ) ( )m,,2,1i,0xgi Kr

== .


143

Condición necesaria de Lagrange:

Sea nD ℜ⊂ un conjunto abierto. Para el programa (VII) con ,nm < siendo ℜ→D:f y ( ),m,,2,1iD:gi K=ℜ→ ambas con derivadas parciales primeras continuas en D y el conjunto de soluciones factibles

( ) ( ) .m,,2,1i,0xgDxxCF in K

rrr==∧∈ℜ∈=

Se comprueba que si *xr

es un óptimo local de (VII) tal que la matriz jacobiana de ( )*xg

rr, ( ),xgJ *rr tiene un menor de orden “m” distinto de cero8

(es decir el rango de ( )*xgJrr

es “m”, lo que equivale a decir que dicha matriz tiene “m” vectores fila linealmente independientes, lo que a su vez equivale a decir que los gradientes de las restricciones en *x

r:

( ) ( ) ( )*m

*2

*1 xg,,xg,xg

rK

rr∇∇∇ sean linealmente independientes), existen “m”

números reales *m

*2

*1 ,,, λλλ K y “n” variables de decisión *

n*2

*1 x,,x,x K

tales que son solución del siguiente sistema de ( )nm + ecuaciones:

( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )A0

0

xg

xgxf

x,L

x,Lx,L

1xnm1mx

1nx

*

*T*T*

T**

T**x

1xnmT**

+λ

+

=

λ⋅∇+∇=

λ∇

λ∇=λ∇ r

r

rr

rrrr

rr

rr

rr

r

r

La condición necesaria de optimalidad de primer orden de Lagrange dada por (A) se puede descomponer en: las condiciones de estacionariedad (primera fila del sistema (A) y las condiciones de factibilidad (segunda fila del sistema (A)). Donde:

( )

( )( )

( )( )( )

( )( ) 1xnm

**

**

**

**n

**2

**1

T**

x,L

x,L

x,L

x,Lx

x,Lx

x,Lx

x,L

m

2

1

+λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=λ∇

rrM

M

rr

rr

rrM

M

rr

rr

rr ( )

( )( )

( ) 1nx**

n

**2

**1

T**x

x,Lx

x,Lx

x,Lx

x,L

λ

λ

λ

=λ∇

rrM

M

rr

rr

rrr

8 A esta condición se le conoce como condición de regularidad (suficiente pero no necesaria). Todos los

puntos *xr

que verifican la condición de regularidad se denominan puntos regulares.


144

( )

( )( )

( )

,

x,L

x,L

x,L

x,L

1mx**

**

**

T**

n

2

1

λ

λ

λ

=λ∇

λ

λ

λ

λ

rrM

M

rr

rr

rrr ( ) ( )∑

=

∇λ=λ⋅∇m

1i

T*i

*i

*T* xgxgrrrr

( ) ( ) ( ) ( )[ ]nx1

*x

*x

*x

* xfxfxfxfr

LLrrr

n21=∇

( )

( )( )

( )

( )*

mxn*n

*2

*1m

*n

*2

*12

*n

*2

*11

*m

*2

*1

* xgJ

)x,........,x,x(g

)x,........,x,x(g

)x,........,x,x(g

xg

xg

xg

xgrr

M

M

rM

M

r

r

rr=

∇

∇

∇

=

∇

∇

∇

=∇

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )mxnn

*m

*m

*m

n

*2

*2

*2

n

*1

*1

*1

*

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

xg

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=∇

r

LL

rr M

M

r

LL

rr

r

LL

rr

rr

21

21

21

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )mxnn

*m

*m

*m

n

*2

*2

*2

n

*1

*1

*1

*

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

xg

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=∇

r

LL

rr M

M

r

LL

rr

r

LL

rr

rr

21

21

21

El sistema (A) se puede escribir en forma compacta de la siguiente manera:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

==

==∂

∂λ+=λ ∑

=

m,,2,1i0xg

n,,1j0x

xgxfx,L

B*

i

m

1i j

*i*

i*

x**

x jj

Kr

K

rrrr


145

Las soluciones factibles *xr

del programa (VII) que satisfacen la primera fila del sistema (A) se denominan puntos estacionarios del programa (VII).

Es importante resaltar que se verifica que todo punto crítico ( )**,x λ

rr de la

función Lagrangiana asociada al programa (VII), es un punto estacionario *xr

del programa (VII) con multiplicadores de Lagrange asociados .*λr

Es decir, se verifica que si *x

r es una solución factible, entonces ( ) ,0xg 1xm

*rrr

=

por lo que ( ) ( ) ( ) ( ).xf0xfx,L ***mx1

*** λ∀=λ⋅+=λrrrrrrr

También es importante hacer notar que si la función objetivo así como las restricciones de igualdad no son diferenciables y continuas, entonces las condiciones de Lagrange no son aplicables. Además, el hecho de que no se verifique la condición de regularidad (que los gradientes de las restricciones de igualdad en *x

rsean linealmente independientes)

puede impedir la aplicabilidad de las condiciones de Lagrange, ya sea porque no existan o existan infinitos multiplicadores de Lagrange. De la primera ecuación de (A) se puede obtener:

( ) ( ) ( )∑=

∇λ−=λ⋅−∇=∇m

1i

T*i

*i

*T*T* xgxgxfrrrrr

( ) ( ) ( )∑=

∇λ−=∇⋅λ−=∇⇒m

1i

*i

*i

*T** xgxgxfrrrrr

Lo que implica que si se verifica la condición de Lagrange en ,x*r entonces el vector gradiente de la función objetivo se puede expresar como una combinación lineal de los vectores gradientes de las “m” restricciones de igualdad. Ejemplos: 1.- En el siguiente programa indique si se verifica la condición de

Lagrange en la solución óptima dada.

( )

=

++

12

22

21

xx:a.sx3xmin Donde: ( ).0,0x* =

r

2.- Sea el programa matemático:

( )( ) bx,xg:a.s

x,xfmax

21

21=


146

Siendo “f” y “g” funciones con derivadas parciales continuas en 2ℜ y ( )*

2** x,xx1

=r

es un máximo relativo del programa, tal que

( ) .0xg *rr

≠∇ Se pide:

a) Demostrar que en ( )*2

** x,xx1

=r

se satisface la condición necesaria de Lagrange haciendo uso del teorema de la función implícita y de las condiciones de primer orden para problemas de optimización libre.

b) Obtener el valor del multiplicador de Lagrange asociado a la

restricción en ( )*2

** x,xx1

=r

y, analizar el significado de las condiciones de primer orden.

c) Verificar que para el programa:

( )1xx:a.s

1x2xmax221

22

21

=+

−−−

Se satisface la condición de Lagrange en el punto ( )1,0x* =r

. ¿Es

( )1,0x* =r

un máximo del problema? 3.- En una fábrica se consume un único input, del que se dispone en una

cantidad limitada “c”, que es preciso consumir completamente. En dicha planta funcionan dos procesos independientes entre los que es preciso repartir la cantidad disponible del input. Si 1x y 2x son las cantidades de dicho input asignadas a cada proceso, y ( ) ( )211 2x100xR −−= y ( ) ( )222 2x100x −−=ℜ representan los

rendimientos obtenidos de ellos. ¿Cómo debe efectuarse el reparto de “c” entre 1x y 2x ? Compruebe que se verifica la condición de regularidad en el óptimo.

4.- Dado el siguiente programa, si el mínimo global se da en ( )0,1,0 ,

verifique si la condición de primer orden de Lagrange es aplicable.

( )

1x1xx:a.s

x2xxmin

2

22

21

23

22

21

==+

+−+

Solución:

1.- En el punto crítico ( )0,0x* =r

no se puede aplicar la condición de Lagrange ya que en dicho punto no existe el gradiente de la

restricción ( ) 1221 xxx,xg −= debido a que no existe ( )

.x

0,0g

1∂

∂


147

2.- a) Dado que ( ) ,0xg *rr

≠∇ al menos una de sus dos componentes es distinta de cero. Supondremos, sin pérdida de generalidad, que

su segunda componente es la no nula: ( )

.0x

xg

2

*≠

∂

∂r

Verificamos las condiciones del teorema de la función implícita:

• ( ) ( ) ,0bx,xgb;x,xF *2

*1

*2

*1 =−= ya que *x

r es solución

del programa, • ( )21 x,xg es una función continua y con derivadas

parciales de primer orden continuas en *xr

, lo es por hipótesis en todo .2ℜ Por tanto, “F” tiene derivadas parciales continuas,

• ( ) ( )

,0x

xg

x

xF

2

*

2

*≠

∂

∂=

∂

∂rr

ya que ( ) .0xg *rr

≠∇

Al verificarse las condiciones del teorema de la función implícita, existen *

1xE y *2xE entornos de *

1x y *2x

respectivamente, y una función *2

*1 xx EE:h → tal que:

• ( ) *1x112 Exxhx ∈∀= y en ( )*

2*1 x,x se cumple que

( )*1*2 xhx = ,

• ( )( ) ( )( ) 0bxh,xgb,xh,xF 1111 =−= , para todo 1x que pertenece a *

1xE ,

• “h” es continua y derivable en *1xE siendo su derivada

respecto a 1x en *1x :

( ) ( )( )

( )( ) .xg

xg

xF

xF

dx

xdh*

x

*x

*x

*x

1

*1

2

1

2

1r

r

r

r

−=−=

En consecuencia, en un entorno de ,x*r el programa original se reduce al siguiente programa sin restricciones:

( )( ) ( )111 xTxh,xfmax =

Antes de utilizar las condiciones de primer orden de un programa sin restricciones es conveniente tener en mente el siguiente esquema:

f

1x

2x 1x


148

Utilizando las condiciones de primer orden para un programa sin restricciones se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

dx

xdh

x

xf

x

xf

dx

xdf

dx

xdTxT

1

*1

2

*

1

*

1

*

1

*1*

1 =⋅∂

∂+

∂

∂===∇

rrr

Reemplazando ( )

1

*1

dx

xdh en la expresión anterior, tenemos que:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0xgxg

xfxf

xg

xg

x

xf

x

xf *x*

x

*x*

x*x

*x

2

*

1

*

1

2

21

2

1 =⋅

−=⋅

∂

∂−

∂

∂ rr

rr

r

rrr

( )( )

( )( )*

x

*x

*x

*x*

xg

xf

xg

xf

2

2

1

1r

r

r

r

−=−=λ

( ) ( ) 0xgxf *

x**

x 11=⋅λ+

rr ( )1

Hemos supuesto que ( )

.0x

xg

2

*≠

∂

∂r

Si ( )

,0x

xg

2

*=

∂

∂r

las hipótesis

implican que ( )

.0x

xg

1

*≠

∂

∂r

Entonces el teorema de la función

implícita nos dice que ( ) bx,xg 21 = define a 1x como una función

diferenciable de 2x en un entorno de *xr

. El resto del razonamiento es análogo, con 1x y 2x intercambiados, es decir:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0xgxg

xfxf

xg

xg

x

xf

x

xf *x*

x

*x*

x*x

*x

1

*

2

*

2

1

12

1

2 =⋅

−=⋅

∂

∂−

∂

∂ rr

rr

r

rrr

( )( )

( )( )*

x

*x

*x

*x*

xg

xf

xg

xf

2

2

1

1r

r

r

r

−=−=λ

( ) ( ) 0xgxf *

x**

x 22=⋅λ+

rr ( )2

Las ecuaciones ( )1 y ( )2 se pueden expresar en la siguiente forma:

( ) ( ) ( )2,1i0xgxf *x

**x ii

==⋅λ+rr

( )3


149

Es importante resaltar que las ecuaciones ( )3 junto con la restricción ( ) ,bx,xg 21 = son las condiciones necesarias de primer orden de un programa con restricciones de igualdad.

b) Tenemos que ( )( )

( )( )*x

*x

*x

*x*

xg

xf

xg

xf

2

2

1

1r

r

r

r

−=−=λ , por lo que podemos

escribir la expresión anterior en forma equivalente como sigue:

( )( )

( )( )*

x

*x

*x

*x

xg

xf

xg

xf

2

2

1

1r

r

r

r

=

Por otro lado, la pendiente de la gráfica de la restricción ( ) bx,xg 21 = en *x

r es:

( ) ( ) ( )

( ) .xg

xg

dx

xdh

dx

xdx*

x

*x

1

*1

1

*1

*2

2

1r

r

−==

Las curvas de nivel de la función objetivo satisfacen la siguiente

ecuación ( ) cx,xf 21 = , siendo “c” una constante. La pendiente de estas curvas en general es:

( ) ( )( ) .xf

xf

dx

xdx*

x

*x

1

*1

*2

2

1r

r

−=

En consecuencia:

( ) ( ).

dx

xdx

dx

xdx

nrestricció1

*1

*2

niveldecurva1

*1

*2 =

La ecuación anterior nos dice que en *x

r la pendiente de la

restricción coincide con la pendiente de la curva de nivel. Es decir, en *x

r la curva de la restricción y la curva de nivel de la

función objetivo que pasa por *xr

son tangentes, tal como se aprecia en la figura 36. Tenga presente que en esta figura se ha supuesto que la restricción de igualdad es lineal.

Es importante resaltar que al haber impuesto que ( )

0x

xg

2

*≠

∂

∂r

se

está garantizando la condición de regularidad en *xr

ya que:

( ) ( ) ( ) [ ].00x

xg

x

xgxg

2

*

1

** ≠

∂

∂

∂

∂=∇

rrr


150

1x

2x

( )21 x,xf

*xr

Figura 36

c) El programa a resolver es:

( )01xx:a.s

1x2xmax221

22

21

=−+

−−−

Se observa que la función objetivo es ( ) ( )22

21 1x2xxf −−−=

v y

que la restricción de igualdad es ( ) .1xxx,xg 22121 −+=

Asimismo, se comprueba que ( ) ( ) 22121 x,xx,xD ℜ∈= y que

( ) ( ) ( ) .01xxx,xgDx,xx,xCF 2212121

221 =−+=∧∈ℜ∈=

Las derivadas parciales de “f” y de “g” son continuas en ,2ℜ y vienen dadas por las siguientes expresiones:

1x x2f1

−= , ( )1x4f 2x2−−=

1g

1x = , 2x x2g2=

Por tanto, sus respectivos gradientes serán:

( ) ( )[ ]1x4x2x,xf 2121 −−−=∇

( ) [ ]221 x21x,xg =∇ Reemplazando ( )1,0x* =

r en ( )21 x,xg∇ se tiene que:

( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 000211,0gx,xgxg *

2*1

*rr

=≠=∇=∇=∇


151

Se comprueba que se cumple la condición de regularidad (en este caso existen dos menores de orden uno distintos de cero, el “ 01 ≠ ” y el “ 02 ≠ ”, lo que equivale a decir que el rango de

( )*xgr

∇ es uno). El lagrangiano de este programa es:

( ) ( ) ( )1xx1x2x,x,xL 221

22

2121 −+λ+−+=λ

Además, se comprueba que ( ) CF1,0x* ∈=

r y cumplirá la

condición de Lagrange si para algún valor de λ resuelve el siguiente sistema:

( ) ( )( )

=

−+

λ+−−

λ+−

=λ∇000

1xx

x21x4

x2

x,L

2*2

*1

*2

**2

**1

T** r

Se comprueba que una solución del sistema es: ( ) ( ) ( ).1,0,0x,x,x, *

2*1

*** =λ=λr

En consecuencia, ( )1,0x* =r

es una

posible solución del programa para .0* =λ Se puede verificar que ( )21 x,x∀ la función objetivo es no

positiva, esto es: ( ) ( ) .01x2xx,xf 22

2121 ≤−−−= Además, en

( )1,0x* =r

se cumple que ( ) ( ) .01,0fxf * ==r

Por otra parte, ( ) ( ) ( )1,0x,x/CFx,x 2121 ≠∈∀ se verifica que

( ) ( ) .01x2xx,xf 22

2121 <−−−= Por tanto, ( )1,0x* =

r es un

máximo global del programa.

3.- La siguiente figura muestra el problema propuesto:

Figura 37

El programa es:

( ) ( )[ ]cxx:a.s

2x1002x100max

21

22

21=+

−−+−−

Proceso 1

Proceso 2

( )1xR

( )2xℜ

c


152

( ) ( )[ ]0cxx:a.s

2x2x200max

21

22

21

=−+−−−−

Se observa que la función objetivo es ( ) ( ) ( )22

2121 2x2x200x,xf −−−−= y que la restricción de igualdad

es ( ) .cxxx,xg 2121 −+= Además, se verifica que 2xxD ℜ∈=rr

y

que .0cxxDxxCF 212 =−+∧∈ℜ∈=rr


( )2x2f 1x1−−= , ( )2x2f 2x2

−−=

1g1x = , 1g

2x =


( ) ( ) ( )[ ]2x22x2x,xf 2121 −−−−=∇

( ) [ ]11x,xg 21 =∇ Se observa que para todo ( ) 2

21 x,x ℜ∈ el ( ) 0x,xg 21r

≠∇ . Por tanto, en

particular, en la solución del programa ( )*2

*1

* x,xx =r

se verificará que:

( ) ( ) [ ] [ ] 00011x,xgxg *2

*1

*rr

=≠=∇=∇

La ecuación anterior nos garantiza el cumplimiento de la condición de regularidad. En consecuencia, se puede aplicar la condición de Lagrange.

El lagrangiano de este programa es:

( ) ( ) ( ) ( )cxx2x2x200,x,xL 212

22

121 −+λ+−−−−=λ

Para ( ) CFx,xx *2

*1

* ∈=r

se cumplirá la condición de Lagrange si para algún valor de λ resuelve el siguiente sistema:

( )( )( )

=

−+

λ+−−

λ+−−

=λ∇000

cxx

2x2

2x2

x,L

*2

*1

**2

**1

T** r


153

Se comprueba que la solución del sistema es:

( ) ( ) .2

c,

2

c,c4x,x,x, *

2*1

***

−=λ=λ

r En consecuencia,

=

2

c,

2

cx*r es

una posible solución del programa para .c4* −=λ Con las condiciones de segundo orden, que veremos más adelante,

el lector podrá verificar que en

=

2

c,

2

cx*r la función alcanza un

máximo global (restringido).

4.- El programa equivalente es el siguiente:

( )

01x01xx:a.s

x2xxmin

2

22

21

23

22

21

=−=−+

+−+

Se observa que la función objetivo es ( ) ( ) 2

32

221321 x2xxx,x,xf +−+=

y que las restricciones de igualdad son ( ) 1xxx,x,xg 22

213211 −+= y

( ) .1xx,x,xg 23212 −= Asimismo, se comprueba que 3xxD ℜ∈=rr

y

que ( ) ( ) .1xxg01xxxgDxxCF 222211

3 −=∧=−+=∧∈ℜ∈=rrrr


1x x2f1= , ( )2x2f 2x2

−= , 3x x2f2=

11

1 x2x

g=

∂

∂, 2

2

1 x2x

g=

∂

∂, 0

x

g

3

1 =∂

∂

0x

g

1

2 =∂

∂, 1

x

g

2

2 =∂

∂, 0

x

g

3

2 =∂

∂


( ) ( )[ ]321321 x22x2x2x,x,xf −=∇

( ) [ ]0x2x2x,x,xg 213211 =∇

( ) [ ]010x,x,xg 3212 =∇ Reemplazando ( )0,1,0x* =

r en ( )3211 x,x,xg∇ se tiene que:


154

( ) ( ) ( )( )( )

=

∇

∇=∇=∇=∇

010020

x,xg

x,xg0,1,0gx,x,xgxg

*2

*12

*2

*11*

3*2

*1

* rrrr

Se aprecia que ( )*

2*11 x,xg∇ y ( )*

2*12 x,xg∇ son linealmente

dependientes ya que:

( ) ( ) 0x,xgbx,xga *2

*12

*2

*11

r=∇+∇

[ ] [ ] [ ]000010b020a =+

De donde se desprende que:

a2b0ba2 −=⇒=+

Por tanto existen infinitos valores reales de “a” y “b” que satisfacen la expresión anterior. En consecuencia, la combinación lineal de

( )*2

*11 x,xg∇ y ( )*

2*12 x,xg∇ no genera al vector cero con unicidad.

Al no ser ( )*

2*11 x,xg∇ y ( )*

2*12 x,xg∇ linealmente independientes,

entonces no se verifica la condición de regularidad y por tanto no se puede aplicar la condición necesaria de Lagrange.

3.2 Condiciones de segundo orden de óptimo local Definición: Dado el programa (VII) con f y ( )m,,2,1igi K=

funciones de clase dos en ,nℜ se define el hessiano orlado asociado a (VII) como el hessiano de su función lagrangiana, esto es:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∂

λ∂

∂∂

λ∂

λ∂∂

λ∂

λ∂∂

λ∂

∂∂

λ∂

∂

λ∂

λ∂∂

λ∂

λ∂∂

λ∂

∂λ∂

λ∂

∂λ∂

λ∂

λ∂

λ∂

λ∂λ∂

λ∂

∂λ∂

λ∂

∂λ∂

λ∂

λ∂λ∂

λ∂

λ∂

λ∂

=λ

2n

2

1n

2

mn

2

1n

2

n1

2

21

2

m1

2

11

2

nm

2

1m

2

2m

2

1m

2

n1

2

11

2

m1

2

21

2

x

x,L

xx

x,L

x

x,L

x

x,L

xx

x,L

x

x,L

x

x,L

x

x,L

x

x,L

x

x,Lx,Lx,L

x

x,L

x

x,Lx,Lx,L

x,HL

rr

KK

rr

M

rr

KK

rrMOMMMOM

MOMMMOM

rr

KK

rr

M

rr

KK

rrKKKKKKKKK

rr

KK

rr

M

rr

KK

rrMOMMMOM

MOMMMOM

rr

KK

rr

M

rr

KK

rr

rr


155

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∂

λ∂

∂∂

λ∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

λ∂

∂

λ∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=λ

2n

2

1n

2

n

m

n

1

n1

2

21

2

1

m

1

1

n

m

1

m

n

1

1

1

x

x,L

xx

x,L

x

xg

x

xg

xx

x,L

x

x,L

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg00

x

xg

x

xg00

x,HL

rr

KK

rr

M

r

KK

rMOMMMOM

MOMMMOM

rr

KK

rr

M

r

KK

rKKKKKKKKK

r

KK

r

MKK

MOMMMOM

MOMMMOM

r

KK

r

MKK

rr

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )nmxnmnxnxTnxm

mxnmxm

x,LHxg

xg0x,HL

++

λ∇

∇=λ

rrM

rrKKK

rrM

rr

r

Condiciones suficientes de Lagrange de optimalidad local

Sea el programa (VII) con nm < y f y ( )m,,2,1igi K= funciones de

clase dos en un subconjunto abierto nD ℜ⊂ con ( ) .Dm,,2,1i,0xgxCF i

n ⊂==ℜ∈= Krr

Si CFx* ∈r

es un punto estacionario del programa (VII) con multiplicadores asociados *λ

r y definimos Dj con nm,,2,1j += K los

menores principales dominantes de ( )** x,HLrr

λ , entonces: a) Si los menores principales dominantes Dj con nm,,1m2j ++= K

de ( )** x,HLrr

λ tienen todos el mismo signo que ( ) ,1 m− se verifica que *x

r es un mínimo local estricto de (VII).

b) Si los menores principales dominantes Dj con nm,,1m2j ++= K

de ( )** x,HLrr

λ tienen signos alternos, siendo el signo de 1m2D + el

de ( ) ,1 1m+− se verifica que *xr

es un máximo local estricto de (VII).

Teorema: Si ( )** x,HLrr

λ es no singular (Decimos que tenemos un máximo o un mínimo regular), entonces las condiciones suficientes de Lagrange de segundo orden son también necesarias para un mínimo (respectivamente máximo) para el problema (VII).


156

Ejemplo: Dado el siguiente programa, calcular sus puntos estacionarios y clasificarlos:

6xxx:a.sxxxopt

321

321=++

Solución: 1.- La función lagrangiana es:

( ) ( )6xxxxxxx,L 321321 −++λ+=λr

El gradiente del lagrangiano es:

( )

=

−++λ+λ+λ+

=λ∇

0000

6xxxxxxxxx

x,L

*3

*2

*1

**2

*1

**3

*1

**3

*2

T** r

Las soluciones del sistema son:

( )0,0,6x*1 =r

con 0*1 =λ

( )0,6,0x*

2 =r

con 0*2 =λ

( )6,0,0x*

3 =r

con 0*3 =λ

( )2,2,2x*

4 =r

con 4*4 −=λ

En todos los puntos estacionarios se verifica la condición de regularidad ya que 3x ℜ∈∀

r se cumple que

( ) [ ] [ ].000111xg ≠=∇r

Como en este caso 3ny1m == deberemos calcular los menores principales dominantes de orden 31m2 =+ y 4nm =+ de la matriz hessiana del lagrangiano:

( )

=λ

0xx1x0x1xx011110

x,HL

12

13

23r


157

Los menores principales dominantes del Hessiano Orlado son:

0x1x01110

D

3

33 =

0xx1x0x1xx011110

D

12

13

234 =

• En ( )0,0,6x*

1 =r

tenemos que:

( ) 0010011

1001001110

D3 =−===

( ) ( ) 036666011

61060600111

1

0601600100011110

D4 >==−−=−==

Se aprecia que el signo de todos los menores principales dominantes anteriormente calculados no coinciden con el signo de ( ) ( ) 0111 1m <−=−=− ni alternan de signo, por lo que

( )0,0,6x*1 =r

no es ni un máximo ni un mínimo local.

• En ( )0,6,0x*2 =r

tenemos que:

( ) 0010011

1001001110

D3 =−=−==

( ) ( ) 036660611

61006600111

1

0061000160011110

D4 >=−−=−===


( )0,0,6x*1 =r



158

• En ( )6,0,0x*3 =r

tenemos que:

( ) ( ) 0126161061601110

D3 >=+−−==

( ) ( ) 0363610660

11001061601

1

0001006106011110

D4 >=−−=−=−==


( )0,0,6x*1 =r


• En ( )2,2,2x*4 =r

tenemos que:

( ) ( ) 042121021201110

D3 >=+−−==

012221021201

1021221201

1021201221

1

0221202122011110

D4 <−=−+−==

Se aprecia que los menores principales anteriormente calculados alternan de signo y que el signo de 0DD 31m2 >=+ coincide con

el signo de ( ) ( ) .0111 111m >=−=− ++ Por tanto, ( )2,2,2x*4 =r

es un máximo local.

3.3 Condiciones suficientes de optimalidad global

Teorema: Sea ( )** x,rr

λ una solución de (A). Si ( )x,L * rrλ es una función

cóncava (respectivamente convexa) en ,xr entonces *x

r es un máximo

(respectivamente mínimo) global del programa (VII). Un inconveniente aquí es que tenemos que resolver el problema (para poder evaluar el lagrangiano en *λ

r) antes de que podamos afirmar la

clase de óptimo que se obtiene.


159

Proposición 1: Dado el programa (VII) con nm < y “f” y ( )m,,2,1igi K= funciones de clase uno en un subconjunto abierto

.D nℜ⊂ Entonces se verifica que si “f” es cóncava (respectivamente convexa) en CF y, las funciones ( )m,,2,1igi K= son lineales, todos los puntos estacionarios de (VII) son máximos (respectivamente mínimos) globales. Es importante resaltar que en la proposición anterior el programa matemático es convexo para máximos (respectivamente para mínimos) ya que “f” es cóncava (respectivamente convexa) en CF, y CF es un conjunto convexo. Proposición 2: Sean “f” y ( )m,,2,1igi K= funciones cóncavas (respectivamente convexas) en CF. Si “f” es creciente en x

r y todas las

( )m,,2,1igi K= son decrecientes en xr

o si “f” es decreciente mientras

todas las ( )m,,2,1igi K= son crecientes, si ( )** x,rr

λ resuelven (A) y

todos los multiplicadores de Lagrange son del mismo signo, *xr

es un máximo global (respectivamente mínimo) del programa (VII). (Si el programa matemático sólo tiene una restricción de igualdad, el requerimiento sobre el signo de los multiplicadores puede dispensarse). Ejemplos: Obtención de las funciones de costos Sea ( )xfq

r= la función de producción de una empresa y w

r el vector de

precios fijos de los factores de producción. Para conocer el costo de producción de “q” unidades del producto, la empresa deberá resolver el siguiente problema, dados w

r y “q”.

( ) 0xfq:a.sxwmin T

=−

⋅r

rr

Donde:

[ ] nx1n21T wwww =r

,

1xnn

2

1

x

xx

x

=M

r

Por tanto, el problema se puede escribir de forma equivalente como sigue:


160

( ) 0xfq:a.s

xwxwxwminn

1iiinn11

=−

=++ ∑=

r

K

Se aprecia que la función objetivo es lineal, por tanto convexa, y creciente para ;0w

rr> la restricción es convexa y decreciente si

adoptamos el usual supuesto sobre la función de producción (cóncava, creciente, pero a tasas decrecientes); por tanto podemos aplicar la proposición 2 de la sección 3.3. El lagrangiano es:

( ) ( )( )xfqxwxwx,L nn11r

Kr

−λ+++=λ La condición de primer orden de Lagrange es la siguiente:

( )

( )( )( )

( ) ( ) 1x1n*

*x

*n

*x

*2

*x

*1

T**

00

00

xfq

xfw

xfw

xfw

x,L

n

2

1

+

=

−

λ−

λ−

λ−

=λ∇ M

r

rM

r

r

r

( ) ( ) 1xnT**T**

x 0xfwx,Lrrrr

r =∇λ−=λ∇

( ) ( ) 00xfqx,L 1x1*T** ==−=λ∇ λ

rrr

De la penúltima expresión se puede deducir que *λ debe ser positivo ya que por hipótesis ( ) n,,2,1i0xf *

xiK

r=∀> y ,0w

rr> por lo que podremos

aplicar el teorema de la sección 3.3 a la función Lagrangiana ( ) ( )( )xfqxwxwx,L nn11

rK

r−λ+++=λ que claramente es convexa en x

r

bajo nuestros supuestos. Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtendremos ( ),w,qx* rr

y la función de costos será: ( ) ( ).w,qxww,qC *T rrrr⋅=

Ahora ilustraremos esto con un ejemplo numérico. Encuentre la función de costo asociada con la función de producción

.xxq 5,02

25,01=

Esta función es claramente creciente en ( )21 x,x y también cóncava (la verificación se deja al alumno). El lagrangiano será:

( ) ( )5,02

25,012211 xxqxwxwx,L −λ++=λ

r


161

Las condiciones de primer orden serán:

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

=

−

λ−

λ−

=λ∇−

−

000

xxq

xx5,0w

xx25,0w

x,L

5,0*2

25,0*1

5,0*2

25,0*1

*2

5,0*2

75,0*1

*1

T** r

De las dos primeras ecuaciones se obtiene:

( )( )

( )( ) 25,0*

1

5,0*22

5,0*2

75,0*11*

x

x

5,0

w

x

x

25,0

w⋅=⋅=λ

De esta última se desprende que:

*2

1

2*1 x

w

w5,0x =

Reemplazando en la tercera ecuación del sistema matricial tenemos que:

( ) ( ) 75,0*2

25,0

1

2415,0*2

25,0*2

1

2 xw

w2xx

w

w5,0q

=

= −

De donde la demanda condicionada del factor de producción 2 es:

( )3

1

2

1343121

*2

w

wq2w,w,qx

=

Reemplazando la expresión anterior en *

1x se obtiene la demanda condicionada del factor de producción 1:

( )3

2

2

1343221

*1

w

wq2w,w,qx

−

−

=

La función de costos es:

( ) ( ) ( )21*2221

*1121 w,w,qxww,w,qxww,w,qC ⋅+⋅=

( )3

1

2

134312

32

2

13432121

w

wq2w

w

wq2ww,w,qC

⋅+

⋅=

−

−


162

( ) ( ) 322

311

343132322

311

3431322

311

343221 wwq22wwq2wwq2w,w,qC +=+= −−

( ) ( ) 32

231

13432

231

13432

21 wwq9,1wwq23w,w,qC ≈⋅= −

( ) 322

311

3421 wwq9,1w,w,qC ≈

Se aprecia que la función de costos es una función convexa en “q” que poseerá la usual característica de costo marginal creciente. Además, es importante resaltar que las condiciones de regularidad se satisfacen en

( ) ( )( ).w,w,qx,w,w,qx 21*221

*1 Finalmente, es importante subrayar que ( )21 w,w,qC representa una familia de curvas de costos para distintos

valores de .wyw 21 Obtención de las funciones de demanda Marshaliana Sea ( )xU

r la función de utilidad de un individuo, p

r el vector de precios,

y “m” los ingresos del individuo. Este consumidor busca maximizar su utilidad sujeta a la restricción presupuestaria, por tanto deberá elegir x

r

para maximizar ( )xUr

sujeto a .mxpT =⋅rr

( )0xpm:a.s

xUmaxT =⋅−

rr

r

Si asumimos que la función ( )xU

r es cóncava, y ya que la restricción es lineal en x

r, podemos aplicar la proposición 1 de la sección 3.3.

El lagrangiano será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn2211T xpxpxpmxUxpmxUx,L −−−−λ+=⋅−λ+=λ K

rrrrr


( )

( )( )( )

=

−−−−λ−

λ−

λ−

=λ∇

00

00

xpxpxpmpxU

pxU

pxU

x,L

*nn

*22

*11

n**

x

2**

x

1**

x

T**

n

2

1

M

K

rM

r

r

r

De las primeras “n” ecuaciones se obtiene que:

( ) ( ) ( )n

*x

2

*x

1

*x*

p

xU

p

xU

p

xUn21

r

K

rr

====λ


163

( ) ( )n,,2,1ip

xU

i

*x* i K

r

==λ

De estas “n” ecuaciones se puede obtener:

( )( ) ( )ji

p

p

xU

xU

j

i*

x

*x

j

i ≠=r

r

Esta expresión nos dice que el cociente de las utilidades marginales es igual al correspondiente cociente entre precios.

Resolviendo el sistema de ecuaciones dado por ( )T** x,Lr

λ∇ obtendríamos ( ),p,mx* rr

que son las cantidades de bienes que el individuo está

dispuesto a comprar al precio ,pr

con ingresos “m”. Es decir, ( )p,mx* rr

representa las funciones de demanda para el consumidor. Ahora ilustramos esto con un ejemplo numérico. Obtenga las funciones de demanda asociadas con la función de utilidad de Klein-Rubin (1949):

( ) ( )ii

n

1ii xlnxU γ−θ= ∑

=

r

Donde ix representa el consumo total del bien “i”, iγ es la cantidad mínima de subsistencia del bien “i” según la percepción del consumidor y iθ es la proporción marginal del presupuesto destinado al consumo del bien “i” una vez que se ha cubierto el consumo de subsistencia total.

Asumimos que ,0i ≥θ 1n

1ii =θ∑

=

(sin pérdida de generalidad), y que

.ppmn

1iii

T ∑=

γ=γ⋅>rr

Donde ∑=

γn

1iiip es el gasto en consumo de

subsistencia de todos los bienes. El lagrangiano será:

( ) ( ) ( )nn2211ii

n

1ii xpxpxpmxlnx,L −−−−λ+γ−θ=λ ∑

=

Kr



164

( )

=

−=−−−−

λ−γ−

θ

λ−γ−

θ

λ−γ−

θ

=λ∇

∑=

00

00

xpmxpxpxpm

px

px

px

x,L

n

1i

*ii

*nn

*22

*11

n*

n*n

n

2*

2*2

2

1*

1*1

1

T** M

K

Mr

Las primeras “n” ecuaciones se pueden expresar de la siguiente manera:

0px

i*

i*i

i =λ−γ−

θ

( ) ( )n,,2,1ixp i

*ii

*i K=γ−λ=θ

Aplicando sumatorias a ambos lados de la expresión anterior se tiene:

( )∑∑==

γ−λ=θn

1ii

*ii

*n

1ii xp

γ−λ= ∑ ∑

= =

n

1i

n

1iii

*ii

* pxp1

∑∑

=

= γ−

=λ⇒

γ−λ= n

1iii

*n

1iii

*

pm

1pm1

Reemplazando esta última expresión en iθ tenemos:

( )∑=

γ−

γ−=θ n

1iii

i*ii

i

pm

xp

De donde:

( ) [ ]γ⋅−θ

+γ=

γ−

θ+γ= ∑

=

rrr T

i

ii

n

1iii

i

ii

*i pm

ppm

pp,mx

A estas funciones de demanda se les suele denominar sistema de gasto lineal.


165

Note que:

( )m

pxm

px

pm

p,mx i*i

ii

i*i

i

i*i

∆

∆≈θ⇒∆

θ≈∆⇒

θ=

∂

∂r

Es decir, iθ representa la parte del presupuesto, una vez cubierto el gasto en consumo de subsistencia de todos los bienes, que se destina al consumo del bien “i”.

3.4. Análisis de sensibilidad. Interpretación de los multiplicadores de Lagrange Teorema de Sensibilidad: Sea el programa:

( )

( ) ( )( )

( )

=

==

mn21m

1n211

n21

bx,,x,xg

bx,,x,xg:a.sx,,x,xfxfopt

VIII

K

M

K

Kr

Donde “f” y ( )m,,2,1igi K= son funciones de clase dos en un

conjunto abierto nD ℜ⊂ que contiene a CF. Si para ( ) 0b,,b,bb m21

rK

r== hay una solución local *x

r en las que se verifican

las condiciones necesarias de primer orden de Lagrange y que, junto con sus multiplicadores asociados *λ

r satisface las condiciones

suficientes de segundo orden para óptimo local estricto. Entonces, para cada mb ℜ∈

r perteneciente a un entorno de 0

r, existen

( ) ( ) ( )( )bx,,bxbx n1r

Krrr

= y ( ) ( ) ( )( )b,,bb m1r

Krrr

λλ=λ funciones continuas y

diferenciables en 0brr

= tales que ( ) ,x0x *rrr= ( ) *0 λ=λ

rrr y ( )bx

rr es óptimo

local de (VIII) con multiplicadores ( ).brr

λ Asimismo,

( )( ) ( ) *T*b

T

0bb xfbxf λ−=∇=∇=

rrrrrrrr

Esto es, para cada m,,2,1i K= se cumple:

( )( ) ( ) *i

i

*

0bi b

xf

b

bxfλ−=

∂

∂=

∂

∂

=

rrr

rr

De la expresión anterior se observa que el multiplicador de Lagrange asociado a la i-ésima restricción en la solución óptima representa la variación del valor óptimo de la función objetivo ante cambios en el término independiente de la restricción i-ésima.


166

Esta propiedad tiene importancia en ciertos problemas en economía. En concreto, si la función objetivo mide “valores” como beneficios, costos, ingresos, etc., y la restricción i-ésima está determinada por una cierta cantidad dada de producto, factor, dinero, etc., entonces *

iλ− da la sensibilidad de un “valor” frente a cambios en una cantidad, por esta razón, dicho multiplicador representa un “precio” que suele denominarse seudoprecio o precio sombra. Definición: Sea el programa:

( )

( ) ( )( )

( )

=ααα

=αααααα=α

0,,,,x,,x,xg

0,,,,x,,x,xg:a.s,,,,x,,x,xf,xfopt

IX

k21n21m

k21n211

k21n21

KK

M

KK

KKrr

Donde “f” y ( )m,,2,1igi K= son funciones de clase dos, siendo

( )n21 x,,x,xx Kr= un vector de variables de decisión y ( )k21 ,,, ααα=α K

r un vector de parámetros.

Sea kB ℜ⊂ un conjunto abierto, suponiendo que para todo B∈α

r

existe ( ) ( ) ( )( )ααα=r

Krrr *

n*2

*1

* x,,x,xx que es solución de (IX) con

multiplicadores de Lagrange asociados ( ) ( ) ( )( )αλαλ=αλr

Krrr

*m

*1

* ,, y que verifica las condiciones necesarias y suficientes de optimalidad local. Entonces: a) La función Lagrangiana asociada a (IX) viene dada por:

( ) ( ) ( )∑=

αλ+α=αλm

1iii ,xg,xf,x,L

rrrrrrr

b) La función objetivo indirecta o función de valor óptimo viene dada

por:

( ) ( ) ( ) ( )( )αααα=αϕrr

Krrr

,x,,x,xf *n

*2

*1

Teorema de la envolvente: Dado el problema (IX) y las condiciones de la definición, si ( ) ( ) ( ) ( )( )αααα=αϕ

rrK

rrr,x,,x,xf *

n*2

*1 es la

función de valor óptimo del programa se cumple que para todo :k,,2,1r,r K=α

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑

= α∂

αα∂αλ+

α∂

αα∂=

α∂

αααλ∂=

α∂

αϕ∂ m

1i r

*i*

ir

*

r

**

r

,xg,xf,x,Lrrr

rrrrrrrrrr


167

Ejemplos: 1.- Sea ( )iii xFq = la función de producción y ip el precio en la

industria ;2,1i = ix la cantidad del recurso utilizado por la industria “i”; y la cantidad total disponible del recurso para ambas industrias es X. Supongamos que los precios son determinados por el mercado mundial, y por tanto en este caso son fijos. Para asignar el recurso eficientemente, un planificador central maximiza los ingresos sujetos a la restricción del recurso, esto es:

( ) ( ) ( )Xxx:a.s

xFpxFpx,xIMax

21

22211121=+

+=

Se pide encontrar el multiplicador de Lagrange en el óptimo dándole una interpretación económica. Solución: Bajo el usual supuesto de concavidad de las funciones de producción, las condiciones de primer orden de Lagrange serán necesarias y suficientes para un máximo. El lagrangiano de este programa es:

( ) ( ) ( ) ( )XxxxFpxFpx,x,L 2122211121 −+λ++=λ Las condiciones de primer orden de Lagrange son:

( )

( )

( )

=

−+

λ+

λ+

=λ∇000

Xxx

dx

xdFp

dx

xdFp

x,x,L

*2

*1

*

2

*21

1

*

1

*11

1

T*2

*1

*

De las dos primeras ecuaciones se obtiene:

( ) ( )2

*22

21

*11

1*

dx

xdFp

dx

xdFp −=−=λ

Si suponemos que se produce un pequeño cambio exógeno en la cantidad disponible del recurso: ahora tenemos dXX + de éste. ¿Cómo el planificador central asignaría la cantidad extra dX , digamos 1dX para la industria 1 y 2dX para la industria 2? Dado que estamos tratando arbitrariamente con cambios pequeños, la aproximación lineal a través de la diferencial total es aceptable.


168

Teniendo en cuenta que:

La diferencial total de I evaluada en ( )*

2*1

* x,xx =r

es:

( ) ( ) ( )2

2

*2

*1

11

*2

*1*

2*1 dx

x

x,xIdx

x

x,xIx,xdI

∂

∂+

∂

∂=

( ) ( ) ( )2

2

*22

211

*11

1*2

*1 dx

dx

xdFpdx

dx

xdFpx,xdI +=

Reemplazando *λ− se tiene:

( ) ( )21*

2*

1**

2*1 dxdxdxdxx,xdI +λ−=λ−λ−=

Dado que la restricción de igualdad debe satisfacerse, es decir

Xxx 21 =+ , entonces: ( ) .dXxxd 21 =+ Por tanto, tenemos que:

( ) ( )dX

x,xdIdXx,xdI

*2

*1***

2*1 =λ−⇒λ−=

Se puede apreciar que *λ− representa la derivada total del ingreso máximo con respecto a la cantidad disponible del recurso. Esto implica que una unidad extra del recurso permitiría al planificador generar *$λ− más en los ingresos.

( ) Xx,xI **2

*1 ∆λ−≈∆

Si 1X =∆ entonces:

( ) **2

*1 $x,xI λ−≈∆

Por tanto, *λ− es lo que el recurso vale para el planificador, y él estaría dispuesto a pagar *$λ− para obtener una unidad extra del recurso. Vemos que *λ− emerge como el valor marginal del hasta ahora no valorado recurso; un nombre común para *λ− es el de precio sombra o valor asignado del recurso.

I

x1

x2


169

2.- La función de utilidad de un consumidor es:

( ) 212

31121 xxx,xU =

Donde 1x y 2x representan las cantidades de los bienes 1 y 2 consumidos en un período de tiempo dado. Si 1p y 2p son los precios unitarios de cada uno de los bienes y “m” es la cantidad de dinero que el individuo va gastar en la adquisición de ambos bienes. Se pide:

a) Calcular la cantidad a consumir de cada uno de los bienes, en función de los parámetros 1p , 2p y “m”, si el objetivo es maximizar la utilidad.

b) Obtener la función de utilidad indirecta ( ).m,p,p 21ϕ

c) Determinar ( )

1

21

p

m,p,p

∂

ϕ∂ derivando directamente en ( )m,p,p 21ϕ ,

y utilizando la función lagrangiana, de acuerdo al teorema de la envolvente, comprobando que se obtiene el mismo resultado.

d) Verificar que un aumento en “m” produce un incremento en la utilidad máxima, que un aumento en 1p produce una disminución en la utilidad máxima y que un aumento de 2p también da lugar a una disminución en la utilidad máxima.

Solución: a) El programa a resolver es el siguiente:

0mxpxp:a.sxxmax

2211

212

311

=−+

Es sencillo verificar que la función objetivo es cóncava y que la restricción es lineal en ,x

r por lo que de acuerdo a la proposición

1 de la sección 3.3, la solución es un máximo global. Si tenemos en cuenta que x

r es el vector de variables de desición y que 1p ,

2p y “m” son parámetros positivos, el lagrangiano viene dado por:

( ) ( )mxpxpxxm,p,p,x,x,L 221121

231

12121 −+λ+=λ

Las condiciones necesarias de primer orden son:

( )( ) ( )( ) ( )

=

=−+

λ+

λ+

=λ∇−

−

000

0mxpxp

pxx21

pxx31

m,p,p,x,x,L

*22

*11

2*21*

231*

1

1*21*

232*

1

T21

*2

*1

*


170

Resolviendo el sistema anterior se tiene:

( ) ,p5

m2m,p,px

121

*1 = ( )

221

*2

p5

m3m,p,px =

( )32

121

2121

*

m2

p5

p5

m3

p3

1m,p,p

−=λ

b) La función de utilidad indirecta es:

( ) ( ) ( )[ ]21

2

31

121

*221

*121

p5

m3

p5

m2m,p,px,m,p,pxUm,p,p

==ϕ

c) Derivando la expresión anterior respecto a 1p se obtiene:

( ) 21

2

31

11

21

221

32

11

21

p5

m3

p5

m2

p3

1

p5

m3

p5

m2

p5

m2

3

1

p

m,p,p

−=

−

=

∂

ϕ∂−

Por otro lado, se tiene que:

( )

11

2121 xp

m,p,p,x,x,Lλ=

∂

λ∂

Por tanto, evaluando la expresión anterior en ( )*

2*1

* x,x,λ se tiene:

( ) ( )

−=λ=

∂

λ∂

1

321

21

2121

*1

*

1

21*2

*1

*

p5

m2

m2

p5

p5

m3

p3

1m,p,px

p

m,p,p,x,x,L

( ) 31

1

21

211

21*2

*1

*

p5

m2

p5

m3

p3

1

p

m,p,p,x,x,L

−=

∂

λ∂

Se observa que por ambos procedimientos obtenemos el mismo resultado.

d) Por el teorema de la envolvente tenemos que:

( ) ( ) 321

21

21

*21*2

*1

*21

m2

p5

p5

m3

p3

1

m

m,p,p,x,x,L

m

m,p,p

=λ−=

∂

λ∂=

∂

ϕ∂

En consecuencia,


171

( ) ( ) mm2

p5

p5

m3

p3

1m,p,p0

m

m,p,p 321

21

2121

21 ∆

≈ϕ∆⇒>

∂

ϕ∂

Es decir, un aumento de “m” produce un incremento de la función de utilidad indirecta, esto es, de la utilidad máxima.

Del apartado anterior tenemos:

( ) ( ) 31

1

21

21

*1

*

1

21*2

*1

*

1

21

p5

m2

p5

m3

p3

1x

p

m,p,p,x,x,L

p

m,p,p

−=λ=

∂

λ∂=

∂

ϕ∂

( ) ( ) 1

31

1

21

2121

1

21 pp5

m2

p5

m3

p3

1m,p,p0

p

m,p,p∆

−≈ϕ∆⇒<

∂

ϕ∂

Es decir, un aumento de 1p produce un decremento de la función de utilidad indirecta, esto es, de la utilidad máxima.

Finalmente,

( ) ( ) 321

23

21

*2

*

2

21*2

*1

*

2

21

m2

p5

p5

m3

p3

1x

p

m,p,p,x,x,L

p

m,p,p

−=λ=

∂

λ∂=

∂

ϕ∂

( ) ( ) 2

321

23

2121

2

21 pm2

p5

p5

m3

p3

1m,p,p0

p

m,p,p∆

−≈ϕ∆⇒<

∂

ϕ∂

Es decir, un aumento de 2p produce un decremento de la función de utilidad indirecta, esto es, de la utilidad máxima.

4. Programas con restricciones de desigualdad: Programación

no lineal

4.1 Introducción

Es importante mencionar que la resolución de problemas de optimización de funciones no lineales con restricciones de desigualdad mediante “programas matemáticos no lineales” es mucho más reciente que la resolución de problemas con restricciones de igualdad. En el caso de la programación lineal (optimización de funciones lineales con restricciones de desigualdad lineales), la teoría y los métodos de solución de problemas con este tipo de restricciones se conoce desde principios de los años cincuenta del siglo pasado gracias a las investigaciones del profesor norteamericano G. Dantzig.


172

En problemas con formulaciones no lineales (programación no lineal), los métodos teóricos de resolución son recién conocidos en 1951 gracias a los trabajos realizados por los matemáticos norteamericanos Kuhn y Tucker. Este tipo de problemas son más representativos de las circunstancias en las que se desarrolla la actividad económica, que los problemas con restricciones de igualdad. En realidad, normalmente se dispone de cantidades limitadas de recursos, pero sin la obligación de emplearlas en su totalidad si ello no resultase conveniente. Por lo tanto, es factible concebir soluciones posibles y óptimas que no saturen necesariamente todas las restricciones, dejando un excedente sin utilizar del recurso cuya disponibilidad limitan.

4.2 Formulación de programas con restricciones de

desigualdad

La formulación general de un programa con restricciones de desigualdad es la siguiente:

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

≥

≥≤

≤=

0x,,x,xh

0x,,x,xh0x,,x,xg

0x,,x,xg:a.sx,,x,xfxfopt

X

n21k

n211

n21m

n211

n21

K

M

K

K

M

K

Kr

Donde “f”, ( )m,,2,1igi K= y ( )k,,2,1jh j K= son funciones de

.n ℜ→ℜ El problema (X) se puede reducir al estudio de:

( )

( ) ( )( )

( )

≤

≤=

+ 0x,,x,xG

0x,,x,xG:a.sx,,x,xfxfmin

XI

n21km

n211

n21

K

M

K

Kr

Con ℜ→ℜn:f y ( ),km,,2,1i:G n

i +=ℜ→ℜ K ya que el programa de ( ) ( )n21 x,,x,xfxfmax K

r= es equivalente a ( ) ( )[ ]n21 x,,x,xfxfmin K

r−=−

y las restricciones ( ) ( )k,,2,1j0x,,x,xh n21j KK =≥ pueden expresarse

como ( )[ ] .0x,,x,xh n21j ≤− K


173

Definición: Sea *xr

una solución factible de (XI), se dice que *xr

satura la i-ésima restricción ( ) 0xGi ≤

r si ( ) ,0xG *

i =r

mientras que si

( ) 0xG *i <r

se dirá que *xr

no satura la i-ésima restricción. Si ( ) 0xG *i =r

decimos que la restricción está activa, y si ( ) 0xG *i <r

se dice que la restricción está inactiva.

4.3 Condiciones necesarias de primer orden de óptimo local

Condiciones de Fritz-John (1948)

Sea el programa:

( )

( ) ( )( )

( )

≤

≤=

0x,,x,xg

0x,,x,xg:a.sx,,x,xfxfmin

XII

n21m

n211

n21

K

M

K

Kr

Con ℜ→ℜn:f y ( ).m,,2,1j:g nj K=ℜ→ℜ Sea *x

r tal que

( ) ,0xgiI *i ==r

“f” y ( )Iigi ∈ son diferenciables en .x*r Entonces, si

( )Iigi ∉ son continuas en *xr

se verifica que, cuando *xr

es un óptimo local, solución del programa (XII), existen escalares ( )Ii, *

i*0 ∈λλ no

todos nulos tales que:

( )

( ) ( )

( ) ( )

=≤

∈∀≥λ≥λ

=∇λ+∇λ ∑∈

m,,2,1j0xg

Ii0,0

0xgxf

1

*j

*i

*0

Ii

T*i

*i

T**0

Kr

rrr

Además, si ( )Iigi ∉ es diferenciable en ,x*r entonces (1) puede expresarse de forma equivalente como:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

=≤

=≥λ≥λ

==λ⇔=λ=λ⋅

=∇λ+∇λ=λ⋅∇+∇λ

∑

∑

=

=

m,,2,1j0xg

m,,2,1j0,0

m,,2,1j0xg0xgxg

0xgxfxgxf

2

*j

*j

*0

*j

*j

m

1j

*j

*j

*T*

m

1j

T*j

*j

T**0

*T*T**0

Kr

K

Krrrrr

rrrrrrr

Con ( )m,,2,1j*j K=λ no todos nulos.


174

Donde:

( )( )( )( )

1xn*

x

*x

*x

T*

xf

xfxf

xf

=∇

rM

r

r

r

n

2

1

1mx*m

*2

*1

*

λ

λλ

=λ

M

Mr

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )nxmn

*m

n

*2

n

*1

2

*m

*2

*1

1

*m

*2

*1

T*

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

xg

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=∇

r

LL

rr M

M

r

LL

rr

r

LL

rr

rr

22

11

Las condiciones de Fritz –John son necesarias pero no suficientes ya que existen soluciones factibles que las verifican trivialmente y que no son soluciones óptimas del programa. Por ejemplo, las condiciones de Fritz –John se cumplen en cualquier solución factible Fx

r en la que el

vector gradiente de alguna restricción saturada por Fxr

es nulo, cuando el vector gradiente de la función objetivo en Fx

r es nulo o cuando en el

programa existan restricciones de igualdad9. Además, cuando ,0*

0 =λ las condiciones de Fritz –John no permiten una selección eficiente de los posibles óptimos locales. En consecuencia, conviene introducir hipótesis adicionales para garantizar que ,0*

0 ≠λ estas condiciones se llaman generalmente de cualificación o de regularidad10. Las más utilizadas por su operatividad son las referidas a la independencia lineal de los gradientes correspondientes a restricciones saturadas que, como ya se ha indicado, aseguran que

.0*0 ≠λ Este planteamiento se recoge en las condiciones necesarias

pero no suficientes de Kuhn-Tucker.

9 Es importante resaltar que una restricción ( ) 0xg =

r puede reemplazarse por las siguientes desigualdades:

( ) ( ) 0xgxg1

≤≡rr

y ( ) ( ) .0xgxg2

≤−≡rr

10 La finalidad de la condición de cualificación o de regularidad es garantizar que el vector gradiente de la

función objetivo en la solución óptima *xr

se pueda escribir como una determinada combinación lineal de los vectores gradientes correspondientes a las restricciones saturadas por ,x*r esto es:

( ) ( )∑∈

∇λ−=∇λIi

T*i

*T** xgxfi0

rr para ( ) .0xgiI *i ==r


175

Condiciones de Kuhn-Tucker (1951)

Sea *xr

un punto factible del programa (XII) tal que sature las restricciones ( ) 0xgi ≤

r para ,Ii ∈ donde: ( ) .0xgiI *

i ==r

Si en *xr

las funciones “f” y ig con Ii∈ son diferenciables, las ig con Ii ∉ son

continuas y los vectores gradientes ( )*i xgr

∇ para Ii ∈ son linealmente

independientes (condición de regularidad)11. En consecuencia, si *xr

es un óptimo local del programa (XII) existen escalares *

iλ para Ii∈ tales que:

( )

( ) ( )

( ) ( )

=≤

∈∀≥λ

=∇λ+∇ ∑∈

m,,2,1j0xg

Ii0

0xgxf

3

*j

*i

Ii

T*i

*i

T*

Kr

rrr

Si además suponemos que las ig con Ii∉ son diferenciables en ,x*r las condiciones de Kuhn-Tucker pueden ser escritas equivalentemente de la siguiente forma:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

=≤

=≥λ

==λ⇔=λ=λ⋅

=∇λ+∇=λ⋅∇+∇=λ∇

∑

∑

=

=

m,,2,1j0xg

m,,2,1j0

m,,2,1j0xg0xgxg

0xgxfxgxfx,L

4

*j

*j

*j

*j

m

1j

*j

*j

*T*

m

1j

T*j

*j

T**T*T***x

Kr

K

Krrrrr

rrrrrrrrr

Donde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=

λ+=λ⋅+=λm

1j

*j

*j

**T**** xgxfxgxfx,Lrrrrrrrr

( )

( )( )

( ) 1nx**

n

**2

**1

T**x

x,Lx

x,Lx

x,Lx

x,L

λ

λ

λ

=λ∇

rrM

M

rr

rr

rrr ( ) ( ) ( ) ( )[ ] mx1

*m

*2

*1

T* xgxgxgxgr

Krrrr

=

11 Los puntos que no saturan ninguna restricción (puntos interiores al CF) también son considerados puntos regulares.


176

A los escalares ( )m,,2,1j*j K=λ se les denomina multiplicadores de

Lagrange. Las ecuaciones de la segunda fila de (4) reciben el nombre de condiciones de holgura complementaria12 y nos dicen que todos los multiplicadores asociados a restricciones no saturadas (inactivas o no vinculantes) son nulos ( )( )0xgsi0 *

j*j <=λ

r, mientras que todos los

multiplicadores correspondientes a restricciones saturadas (activas o vinculantes) deben ser no negativos ( )( )0xgsi0 *

j*j =≥λ

r si *x

r es un

mínimo local. Por tanto, ( )( )0xgsi0 *j

*j =≥λ

r implica que si

( ) .0xg0si *j

*j =⇒>λ

r No obstante, es importante resaltar que es posible

que de manera simultánea ( ) 0xgy0 *j

*j ==λ

r en ( )( )0xgsi0 *

j*j =≥λ

r.

Ejemplos: 1.- Dados los siguientes programas:

( ) ( )

=

≥≥≤+

≥+−−+−

2,2x

0x0x4xx

0xx:a.s23x3xmin)a

2

1

22

21

21

22

21

r

( ) ( )( ) ( ) [ ]1,0bconb,b1x

0x0x

01xx:a.s

1x1xmax)b

2

1

321

22

21

∈−=

≤−≤−≤−+

−−−−r

Estudiar si en los puntos xr

señalados (que son soluciones factibles de los programas propuestos) se verifican las condiciones de Fritz-John, calculando los posibles valores de .m,,1,0i,*

i K=λ Asimismo, comprobar si los gradientes de las restricciones saturadas en x

r son linealmente independientes.

Solución: a) Escribimos el programa en forma equivalente:

( ) ( )

0x0x04xx

0xx:a.s23x3xmin

2

1

22

21

21

22

21

≤−≤−≤−+

≤−−+−

12 La holgura complementaria exige que al menos una de las dos desigualdades ( ) 0xgy0 *

j*j ≤≥λ

r

se mantenga como una desigualdad estricta. Equivalentemente, al menos una debe ser una igualdad.


177

Vemos que en

= 2,2x

r las restricciones que se saturan son

( ) 0xxxg 211 ≤−=r

y ( ) 04xxxg 22

212 ≤−+=

r, y como todas las

funciones que definen el programa son diferenciables, en virtud de las condiciones de Fritz-John, existirán escalares *

4*3

*2

*1

*0 ,,,, λλλλλ no

negativos y no todos nulos tales que:

=≤

=≥λ≥λ

==

λ

=

∇λ+

∇λ ∑

=

4,3,2,1j02,2g

4,3,2,1j0y0

4,3,2,1j02,2g

00

2,2g2,2f

j

*j

*0

j*j

4

1j

Tj

*j

T*0

≤

−

−=

=

0000

2

2

0

0

2,2g

2,2g

2,2g

2,2g

2,2g

4

3

2

1

r

−

−

=

∇

2322

3222,2f

T

−

=

∇

11

2,2gT

1

=

∇

22

222,2g

T2

−=

∇

01

2,2gT

3

−=

∇

10

2,2gT

4


178

( )

( )

=λ−λ+λ−λ

−

=λ−λ+λ+λ

−

b0222322

a022322

*4

*2

*1

*0

*3

*2

*1

*0

( ) ( )c00*1 =⋅λ

( ) ( )d00*2 =⋅λ

( )e02*3 =

−⋅λ

( )f02*4 =

−⋅λ

( )g0;0;0;0;0 *4

*3

*2

*1

*0 ≥λ≥λ≥λ≥λ≥λ

( )h002,2g;002,2g 21 ≤=

≤=

( )i022,2g;022,2g 43 ≤−=

≤−=

Por (e) y (g) tenemos que ,0*3 =λ y por (f) y (g) tenemos que

.0*4 =λ

Reemplazando 0*4

*3 =λ=λ en (a) y (b) se obtiene que:

( )j249

24

3

2 *2

*1

*0 λ

−=λ=λ

Dado que los ( )4,3,2,1j*j =λ deben ser no todos nulos. Por tanto,

las condiciones de Fritz-John se verifican para cualesquieras *2

*1

*0 ,, λλλ positivos que satisfagan (j). En particular, tenemos que

para:

22

24923 *

2*0

*1

−=λ⇒=λ⇒=λ con .0*

4*3 =λ=λ

Ahora comprobaremos si los gradientes de las restricciones saturadas en

= 2,2x

r son linealmente independientes:

=

∇+

∇

00

2,2gb2,2gaT

2T

1


179

=

+

− 0

0

22

22b

11

a

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene que

.0ba == Por tanto, los gradientes de las restricciones que están

saturadas en

= 2,2x

r son linealmente independientes.

b) Escribimos el programa en forma equivalente:

( ) ( )( )

0x0x01xx:a.s

1x1xmin

2

1

321

22

21

≤−≤−≤−+

−+−

( ) ( )

−

−=−∇

1b2b2

b,b1f T ( )

=−∇

00

b,b1g T1

( )

−=−∇

01

b,b1g T2 ( )

−

=−∇1

0b,b1g T

3

Si ,1b0 << en ( )b,b1x −=

r se satura únicamente la restricción

( ) ( ) .01xxxg 3211 ≤−+=

r Por tanto, ( ) .0b,b1g1I 1 =−= Se observa

que las funciones que definen el programa son diferenciables en ( )b,b1x −=

r y las condiciones de Fritz-John que se deberán

satisfacer son:

( )( ) .1b2yb2

01b2

0b2*0

*3

*0

*2

*3

*0

*2

*0

λ−=λλ−=λ⇒

=λ−λ−

=λ−λ−

Dado que ,01b1 <−<− entonces la única posibilidad es que

00 *3

*2

*0 =λ=λ⇒=λ con .0*

1 >λ

En este caso, el vector ( )

=−∇

00

b,b1g T1 es linealmente

dependiente ya que ( ) .a00

00

ab,b1ga T1 ℜ∈∀

=

=−∇ Es

importante resaltar que dado que ( )T1 b,b1g −∇ es linealmente dependiente, la única posibilidad que existe para que se verifique (XII) es que .0*

0 =λ


180

Si ,1b = en ( ) ( )1,0b,b1x =−=r

se saturan ( ) ( ) 01xxxg 3211 ≤−+=

r y

( ) .0xxg 12 ≤−=r

Por tanto, ( ) ( ) .01,0g01,0g2,1I 21 =∧== Se observa que las funciones que definen el programa son diferenciables en ( )1,0x =

r y las condiciones de Fritz-John que se

deberán satisfacer son:

( ).0y2

00

02*3

*0

*2

*3

*0

*2

*0

=λλ−=λ⇒

=λ−λ

=λ−λ−

Entonces, la única posibilidad es que 00 *2

*0 =λ⇒=λ con .0*

1 >λ

En este caso, los vectores ( )

=∇

00

1,0g T1 y ( )

−=∇

01

1,0g T2 son

linealmente dependientes ya que para el siguiente sistema:

( ) ( )

=

−+

=∇+−∇

00

01

b00

a1,0gbb,b1ga T2

T1

La solución es: .0bya =ℜ∈ Es decir, el vector cero no es generado con unicidad por los gradientes de las restricciones saturadas en ( ).1,0x =

r

Si ,0b = en ( ) ( )0,1b,b1x =−=

r se saturan ( ) ( ) 01xxxg 3

211 ≤−+=r

y ( ) .0xxg 13 ≤−=r

Por tanto, ( ) ( ) .01,0g01,0g3,1I 31 =∧== Se observa que las funciones que definen el programa son diferenciables en ( )0,1x =

r y las condiciones de Fritz-John que se

deberán satisfacer son:

( ).2y0

02

00*0

*3

*2

*3

*0

*2

*0

λ−=λ=λ⇒

=λ−λ−

=λ−λ

Entonces, la única posibilidad es que 00 *3

*0 =λ⇒=λ con .0*

1 >λ

En este caso, los vectores ( )

=∇

00

1,0g T1 y ( )

−

=∇1

01,0g T

3 son

linealmente dependientes ya que para el siguiente sistema:

( ) ( )

=

−

+

=∇+−∇

00

10

b00

a1,0gbb,b1ga T2

T1


181

La solución es: .0bya =ℜ∈ Es decir, el vector cero no es generado con unicidad por los gradientes de las restricciones saturadas en ( ).0,1x =

r

2.- Analizar si se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker en los

puntos que se indican para los siguientes programas:

=

≥≥≤−

≤+

−−

1,3x

0x0x2xx

4xx:a.s

xx2min)a

*

2

1

221

22

21

21

r

( ) ( )

( )

==

≤−≤−≤+≤+

−−−−

5

6,

5

9xy1,2x

0x0x3xx5xx:a.s

2x3xmax)b

F*

2

1

21

22

21

22

21

rr

Solución: a) Escribimos el programa en forma equivalente:

0x0x

02xx

04xx:a.s

xx2min

2

1

221

22

21

21

≤−≤−

≤−−

≤−+

−−

En la solución factible ,1,3x*

=

r tenemos que ,2,1I = siendo

los vectores gradientes T

2T

1 1,3gy1,3g

∇

∇ linealmente

independientes. Veamos si existen 4,3,2,1j,0*j =≥λ tales que:

( ) ( )

( )

( )

=≤

=≥λ

==λ

=∇λ+∇ ∑=

4,3,2,1j0xg

4,3,2,1j0

4,3,2,1j0xg

0xgxf

*j

*j

*j

*j

4

1j

T*j

*j

T*

r

r

rrr


182

Dado que

= 1,3x*r no satura ( ) ( ) ,4,3jxg *

j =r

se tiene que:

⇒<−=

<−=

011,3gy031,3g 43 .0*

4*3 =λ=λ

Y como:

−−

=

∇

12

1,3fT

=

∇

2321,3g

T1

−=

∇

1321,3g

T2

=

∇

01

1,3gT

3

=

∇

10

1,3gT

4

Entonces:

=

λ+

λ+

−λ+

λ+

−−

00

10

01

132

232

12

0*4

0*3

*2

*1

033

32y0

33

31

021

032322*2

*1

*2

*1

*2

*1

>−

=λ>+

=λ⇒

=λ−λ+−

=λ+λ+−

Por tanto, se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker en

= 1,3x*r .

b) Escribimos el programa en forma equivalente:

( ) ( )

0x0x03xx05xx:a.s

2x3xmin

2

1

21

22

21

22

21

≤−≤−≤−+≤−+

−+−

Teniendo en cuenta que todas las funciones que definen el programa son continuas y diferenciables en los puntos especificados, las condiciones de Kuhn-Tucker son:


183

( )( )

( )( )

( )

( )

≥λ≥λ≥λ≥λ

≤−=−λ

≤−=−λ

≤−+=−+λ

≤−+=−+λ

=

−

λ+

−λ+

λ+

λ+

−−

0,0,0,0

0x;0x

0x;0x

03xx;03xx

05xx;05xx

00

10

01

11

x2x2

2x23x2

*4

*3

*2

*1

22*4

11*3

2121*2

22

21

22

21

*1

*4

*3

*2

2

1*1

2

1

• En el punto ( )1,2x* =r

se tiene que:

( ) 0xg *1 =r

( ) 0xg *2 =r

( ) 02xg *3 <−=r

( ) 01xg *4 <−=r

( ) ( ) .0ba00

11

b24

axgbxgaT*

2T*

1 ==⇒

=

+

=∇+∇

rr

Se aprecia que los vectores gradientes ( ) ( )T2T

1 1,2gy1,2g ∇∇ son linealmente independientes. Debido a que la tercera y la cuarta restricción no están saturadas, entonces: .0*

4*3 =λ=λ

Reemplazando 0,1x,2x *4

*321 =λ=λ== en la ecuación

matricial se tiene:

.02y0

022

042*2

*1

0*4

*2

*1

0*3

*2

*1

>=λ=λ⇒

=λ−λ+λ+−

=λ−λ+λ+−

Es decir, en el punto ( )1,2x* =r

se verifican las condiciones de

Kuhn-Tucker con multiplicadores .0y02 *4

*3

*1

*2 =λ=λ=λ>=λ

• En el punto

=

5

6,

5

9xFr se tiene que:

( ) 025

8xg F

1 <−=r

( ) 0xg F2 =r

( ) 05

9xg F

3 <−=r

( ) 05

6xg F

4 <−=r

( ) .0a00

11

axgaTF

2 =⇒

=

=∇

r


184

Se aprecia que el vector gradiente ( )TF2 xgr

∇ es linealmente independiente. Debido a que la primera, la tercera y la cuarta restricción no están saturadas, entonces: .0*

4*3

*1 =λ=λ=λ

Reemplazando 0,5

6x,

5

9x *

4*3

*121 =λ=λ=λ== en la ecuación

matricial se tiene:

=λ+−

=λ+−

05

8

05

12

*2

*2

El sistema anterior no tiene solución. Por tanto, en el punto

=

5

6,

5

9xFr no se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker.

En consecuencia, el punto

=

5

6,

5

9xFr no es la solución

óptima del programa.

3.- Determinar analíticamente las soluciones factibles *xr

en las que se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker en el siguiente programa diferenciable:

( )

0x01xx01xx:a.s

2xxmin

2

21

21

22

21

≤−≤−+−≤−+

−+

Solución:

Los gradientes de las funciones del programa son:

( ) ( )

−

=∇2x2

x2xf

2

1Tr ( )

=∇

11

xg T1r

( )

−=∇

11

xg T2r

( )

−

=∇1

0xg T

3r

Debemos verificar si existen 0y0,0 *3

*2

*1 ≥λ≥λ≥λ tales que:

( )

( ) ( )

( ) ( )301xx

202x2

10x2

21*1

*3

*2

*12

*2

*11

=−+λ

=λ−λ+λ+−

=λ−λ+


185

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )110

100

90

80x

701xx

601xx

50x

401xx

*3

*2

*1

2

21

21

2*3

21*2

≥λ

≥λ

≥λ

≤−

≤−+−

≤−+

=−λ

=−+−λ

Las hipótesis que podemos hacer sobre los valores de ( )3,2,1i*i =λ

se resumen en los 823 = casos que a continuación presentamos: Caso 1: 0y0,0 *

3*2

*1 =λ=λ=λ

De (1) y (2) tenemos:

( ) 2x02x2

0x0x2

22

11

=⇒=−

=⇒=

Pero el punto ( )2,0 no verifica la restricción (7):

( ) 012,0g2 ≤/=

Por tanto, la hipótesis no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Caso 2: 0*

2*1 =λ=λ


( ) ( ) ( )122x202x2

0x0x2

2*3

*32

11

−=λ⇒=λ−−

=⇒=

Como por hipótesis la tercera restricción se satura, ( ) 0x0xx,xg 22213 =⇒=−= y por tanto, reemplazando 0x2 = en

(12) tenemos que 04*3 <−=λ lo que contradice la no negatividad de

los .*iλ En consecuencia, debemos rechazar la hiptesis 2.


186

Caso 3: 0*3

*1 =λ=λ


( )

( ) ( ) ( )142x202x2

13x20x2

2*2

*22

1*2

*21

−−=λ⇒=λ+−

=λ⇒=λ−

Igualando (13) y (14) se obtiene:

)15(x2x 21 −= Como por hipótesis la segunda restricción se satura,

( ) ( ).16:1xx01xxx,xg 2121212 −=⇒=−+−= Igualando (15) y (16) se tiene que:

2

3xy

2

1x 21 ==

Pero el punto

2

3,

2

1 no satisface la restricción (6)

012

3,

2

1g1 ≤/=

Por tanto, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker.

Caso 4: 0*3

*2 =λ=λ


( )

( ) ( ) ( )182x202x2

17x20x2

2*1

*12

1*1

*11

−−=λ⇒=λ+−

−=λ⇒=λ+

Igualando (17) y (18) se obtiene:

( )192xx 21 −=

Como por hipótesis la primera restricción se satura, ( ) ( ).20:x1x01xxx,xg 2121211 −=⇒=−+= Igualando (19) y

(20) se tiene que:

2

3xy

2

1x 21 =−=


187

Pero el punto

−

2

3,

2

1 no satisface la restricción (7):

012

3,

2

1g2 ≤/=

−

En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Caso 5: 0*

1 =λ Como por hipótesis la segunda y tercera restricciones se saturan tenemos que:

( ) ( )161xx01xxx,xg 2121212 −=⇒=−+−=

( ) 0x0xx,xg 22213 =⇒=−= Reemplazando 0x2 = en (16) tenemos que .1x1 −= Por tanto,

sustituyendo ,1x1 −= 0x2 = y 0*1 =λ en (1) se obtiene:

,02*2 <−=λ lo que contradice (10).

Caso 6: 0*

2 =λ Como por hipótesis la primera y tercera restricciones se saturan tenemos que:

( ) ( )20x1x01xxx,xg 2121211 −=⇒=−+=

( ) 0x0xx,xg 22213 =⇒=−= Reemplazando 0x2 = en (20) tenemos que .1x1 = Por tanto,

sustituyendo ,1x1 = 0x2 = y 0*2 =λ en (1) se obtiene: ,02*

1 <−=λ lo que contradice (9). Caso 7: 0*

3 =λ Como por hipótesis la primera y segunda restricciones se saturan tenemos que:

( ) ( )20x1x01xxx,xg 2121211 −=⇒=−+=

( ) ( )161xx01xxx,xg 2121212 −=⇒=−+−=


188

Igualando (16) y (20) tenemos:

1xy0x 21 == Reemplazando 1x,0x 21 == y 0*

3 =λ en (1) y (2) tenemos:

=λ+λ+−

=λ−λ

02

0

*2

*1

*2

*1

De donde: .01*

2*1 >=λ=λ

Además, dado que:

( ) ( ) .0ba00

11

b11

a1,0gb1,0ga T2

T1 ==⇒

=

−+

=∇+∇

Se aprecia que en ( )1,0x* =

r los vectores gradientes

( ) ( )T2T

1 1,0gy1,0g ∇∇ son linealmente independientes. Por tanto, el punto ( )1,0x* =

r dado que ,01*

2*1 >=λ=λ 0*

3 =λ es un posible mínimo local del programa. Caso 8: ( ) ( ) ( ) 0xgxgxg0y0,0 *

3*

2*

1*3

*2

*1 ===≡≥λ≥λ≥λ

vvv Esta hipótesis presupone que se saturen las tres restricciones simultáneamente, esto es:

( ) ( )20x1x01xxx,xg 2121211 −=⇒=−+=

( ) ( )161xx01xxx,xg 2121212 −=⇒=−+−=

( ) 0x0xx,xg 22213 =⇒=−=

Reemplazando 0x2 = en (16) y (20) se obtiene 1x1 = y 1x1 −= lo cual es contradictorio. Finalmente, sólo bajo la hipótesis 7 se satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker. Éstas se verifican en el punto ( )1,0x* =

r para

.0y1 *3

*2

*1 =λ=λ=λ Por tanto, sólo el punto ( )1,0x* =

r es un posible

óptimo del programa.


189

4.4 Condiciones suficientes de segundo orden de óptimo local

Sea el programa (XII) con “f” y ( )m,,2,1jg j K= funciones de clase C2

y sea *xr

una solución factible en las que se verifican las condiciones de regularidad y las condiciones de Kuhn-Tucker, esto es, se verifica el sistema de ecuaciones (4). Si la matriz

( ) ( ) ( )*j

Jj

*j

***x xHgxHfx,LH

rrrrr ∑

∈

λ+=λ :

• es definida positiva para todo ( )*xMp

rr∈ , es decir,

( ) ,0px,LHp **x

T >λrrrr

r donde:

( ) ( ) ≠≠∧∈∀=∇ℜ∈= 0pJj0pxgpxM *j

n*rrrrrr

Ø

Siendo ( ) 0,0xg,m,,2,1jjJ *j

*j >λ===r

K Se verifica que *x

r es un mínimo local estricto del programa.

• es definida negativa para todo ( )*xMp

rr∈ , es decir,

( ) ,0px,LHp **x

T <λrrrr

r donde:

( ) ( ) ≠≠∧∈∀=∇ℜ∈= 0pJj0pxgpxM *j

n*rrrrrr

Ø

Siendo ( ) 0,0xg,m,,2,1jjJ *j

*j <λ===r

K Se verifica que *x

r es un máximo local estricto del programa.

Ejemplos: Hallar analíticamente las soluciones factibles *x

r en las que se verifican

las condiciones de Kuhn-Tucker en los siguientes problemas diferenciables, y estudiar si se cumplen las condiciones de la sección 4.4 en dichas soluciones.

1.-

≤−+

+−

01xx:a.s

xx1min22

21

221

2.-

≤≤−−

+

0x0xx2x:a.s

xxmax

2

221

41

21


190

Solución:

1.-

≤−+

+−

01xx:a.s

xx1min22

21

221


( )

−=∇

2

T

x21

xfr

( )

=∇

2

1T1 x2

x2xgr

Debemos verificar si existe ,0*1 ≥λ tal que:

( )10x21 *

1 1 =λ+−

( ) ( )201x2 *12 =λ+

( )30*

1 ≥λ

( ) ( )401xx 22

21

*1 =−+λ

( )501xx 2

221 ≤−+

Las hipótesis que podemos hacer sobre el valor de *1λ se resumen

en los 221 = casos que a continuación presentamos: Caso 1: 0*

1 =λ (la solución es interior al conjunto factible: ( ) 0xg1 <r

) De (1) tenemos:

01 ≠− En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Caso 2: ( ) 0xg1 =

r (la solución está en la frontera del conjunto

factible) De (2) se tiene que 0x2 = ó que .01*

1 >/−=λ Por tanto, 0x2 = ya

que por (3) *1λ no puede ser negativo.

Por hipótesis:

( ) 1x010x01xxxg 122

122

211 ±=⇒=−+⇒=−+=

r


191

Pero al reemplazar 1x1 −= en (1) se obtiene ,021*1 >/−=λ lo que

contradice (3). En consecuencia, 1x1 = con .021*1 >=λ

Además, dado que:

( ) .0a00

02

a0,1ga T1 =⇒

=

=∇

Se aprecia que en ( )0,1x* =

r el vector gradiente ( )T1 1,0g∇ es

linealmente independiente. Por tanto, el punto ( )0,1x* =

r dado que ,021*

1 >=λ es un posible mínimo local del programa. Dado que ( ) [ ],020,1g1 =∇ el conjunto ( ) ≠*xM

rØ será:

( ) ( ) [ ]

≠

∧=

⋅ℜ∈=

00

pp

0pp

02p,p0,1M2

1

2

1221

( ) ( )

≠

∧=+ℜ∈=

00

pp

0p0p2p,p0,1M2

121

221

( ) ( ) ( ) 0aa,00p0pp,p0,1M 2

212

21 −ℜ∈ℜ∈=−ℜ∈∧=ℜ∈=

Siendo ( ) .021,00,1g1J *

11 >=λ==


( ) ( ) ( )*j

Jj

*j

***x xHgxHfx,LH

rrrrr ∑

∈

λ+=λ

( )

=

+

=

3001

2002

2

12000

0,1,21LHxr

Se tiene que :0a −ℜ∈∀

( ) [ ] 0a3a0

3001

a0p0,1,21LHp 2x

T >=

⋅

⋅=

rrr

En consecuencia, de acuerdo a las condiciones suficientes de la sección 4.4, ( )0,1x* =

r es un mínimo local estricto del programa.


192

2.- ( )

≤≤−−

+−

≡

≤≤−−

+

0x0xx2x:a.s

xxmin

0x0xx2x:a.s

xxmax

2

221

41

21

2

221

41

21


( )

−−

=∇11

xf Tr ( )

−−=∇1

x4x4xg 131T

1r

( )

=∇

10

xg T2r

Debemos verificar si existen 0,0 *

2*1 ≥λ≥λ tales que:

( ) ( )10x4x41 *

1131 =λ−+−

( )201 *

2*1 =λ+λ−−

( )30*

1 ≥λ

( )40*2 ≥λ

( ) ( )50xx2x 2

21

41

*1 =−−λ

( ) ( )60x2

*2 =λ

( )70xx2x 2

21

41 ≤−−

( )80x2 ≤

Las hipótesis que podemos hacer sobre los valores de ( ),2,1i*

i =λ se

resumen en los 422 = casos que a continuación presentamos:

Caso 1: 0,0 *2

*1 =λ=λ

De (1) tenemos:

01 ≠−

En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker.


193

Caso 2: 0*1 =λ

De (1) tenemos:

01 ≠− En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Caso 3: 0*

2 =λ

De (2) tenemos:

01*1 >/−=λ

En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Caso 4: 0,0 *

2*1 ≥λ≥λ

Por hipótesis:

( ) 0xx2xxg 221

411 =−−=

r

( ) 0x0xxg 222 =⇒==r

Reemplazando 0x2 = en ( )xg1r

tenemos:

( )

−

=⇒=−

2

2

0

x02xx 121

21

Por tanto, tenemos que:

• En ( ) :0,0

De (1) tenemos:

01 ≠−

• En :0,2

−

De (1) tenemos:

0241*1 >/−=λ


194

• En :0,2

De (1) tenemos:

0241*1 >=λ

Reemplazando 241*1 =λ en (2) se obtiene:

02411*2 >+=λ

Además, dado que:

.0ba00

10

b124a0,2gb0,2ga

T2

T1 ==⇒

=

+

−=

∇+

∇

Se aprecia que en

= 0,2x*r los vectores gradientes

T2

T1 0,2gy0,2g

∇

∇ son linealmente independientes.

Por tanto, el punto

= 0,2x*r dado que 0241*

1 >=λ y

02411*2 >+=λ es un posible mínimo local del programa

equivalente (de minimización). No obstante, dado que el problema inicial era de maximización,

= 0,2x*r será un posible máximo

local del programa original con 0241*1 <−=λ y

.02411*2 <

+−=λ

Dado que [ ]100,2gy1240,2g 21 =

∇

−=

∇ el conjunto

( ) =*xMr

Ø ya que:

[ ]

≠

∧=

∧=

−ℜ∈=

00

pp

0pp

100pp

124p0,2M2

1

2

1

2

12r

=

≠

∧

=

ℜ∈=

00

pp

00

pp

p0,2M2

1

2

12r Ø

En este caso no puede aplicarse las condiciones suficientes de segundo orden ya que los vectores gradientes

T2

T1 0,2gy0,2g

∇

∇ con 2,1J = generan 2ℜ y por eso

( ) =*xMr

Ø.


195

Cuando en el punto *xr

se verifica la condición de regularidad y *xr

satura tantas restricciones como número de variables de decisión hay en el programa (siempre y cuando los multiplicadores asociados a las restricciones saturadas en *x

r sean distintos de cero) se tendrá

que ( ) =*xMr

Ø. También se obtiene ( ) =*xMr

Ø si *xr

es un punto

crítico de la función objetivo ( )

=∇ 0xf

T*rr

y en dicho punto se

verifica la condición de regularidad, ya que bajo estas circunstancias todos los multiplicadores de Lagrange son nulos. Las dos últimas situaciones que se han mencionado se presentan con mucha frecuencia, por lo que esto hace que se reduzcan notablemente las posibilidades de aplicar las condiciones suficientes de segundo orden. Efectivamente, las hipótesis para que se verifiquen estas condiciones son muy restrictivas a pesar de garantizar únicamente la optimalidad local.

4.5 Condiciones suficientes de óptimo global

Sea el programa (XII) con “f” y ( )m,,2,1jg j K= funciones

diferenciables en un subconjunto abierto ,D nℜ⊂ siendo ( ) Dm,,2,1j,0xgxCF j

n ⊂=≤ℜ∈= Krr

un conjunto convexo. Entonces:

a) Si *xr

es una solución factible en la que se cumplen las condiciones de Kuhn-Tucker para mínimo local y “f” es una función convexa en CF, se verifica que *x

r es un mínimo global del programa.

b) Si *xr

es una solución factible en la que se cumplen las condiciones de Kuhn-Tucker para máximo local y “f” es una función cóncava en CF, se verifica que *x

r es un máximo global del programa.

Ejemplos: 1.- Una empresa produce refrigeradoras y ha establecido un contrato

para suministrar 50 unidades al final del primer mes, 50 al final del segundo y 50 al final del tercero. El costo de producir “x” refrigeradoras en cualquier mes es .x2 La empresa puede producir más refrigeradoras de las que necesita en cualquier mes y guardarlas para el siguiente, pero el costo de almacenaje es de 2000 soles por unidad/mes. Suponiendo que no hay inventario inicial, determinar el número de refrigeradoras que deben producirse cada mes para minimizar el costo total.

2.- Un monopolista desea maximizar sus ingresos de modo que los beneficios que obtenga no sean menores a $340. Si la función inversa de demanda es ( ),$q4100p −= la función de costos es ( ) ( )$q2050qC += y “q” es no negativa. Se pide determinar el

máximo global del programa.


196

Solución:

1.- El programa en cuestión es:

( ) ( ) ( )

0x0x

150xxx100xx

50x:a.s100xx200050x2000xxxx,x,xCmin

3

2

321

21

1

21123

22

21321

≥≥

≥++≥+

≥−++−+++=

Escribiendo el programa en forma estándar tenemos:

( ) ( ) ( )

0x0x

0150xxx0100xx

050x:a.s100xx200050x2000xxxx,x,xCmin

3

2

321

21

1

21123

22

21321

≤−≤−

≤+−−−≤+−−

≤+−−++−+++=


( )

++

=∇

3

2

1T

x22000x24000x2

xCr

( )

−=∇

001

xg T1r

( )

−−

=∇011

xg T2r

( )

−−−

=∇111

xg T3r

( )

−=∇01

0xg T

4r

( )

−=∇

100

xg T5r

Donde ,x,x,x 321 representan el número de frefrigeradoras a producir en el i-ésimo mes. El programa es convexo porque el conjunto factible es convexo y porque la función objetivo es convexa. Debemos verificar si existen ( )5,4,3,2,1j0*

j =≥λ tales que:

( )104000x2 *3

*2

*11 =λ−λ−λ−+

( )202000x2 *

4*3

*22 =λ−λ−λ−+

( )30x2 *

5*33 =λ−λ−

( ) ( )4050x1

*1 =+−λ


197

( ) ( )50100xx 21*2 =+−−λ

( ) ( )60150xxx 321

*3 =+−−−λ

( ) ( )70x2

*4 =−λ

( ) ( )80x3

*5 =−λ

( )9050x1 ≤+−

( )100100xx 21 ≤+−−

( )110150xxx 321 ≤+−−−

( )120x2 ≤−

( )130x3 ≤−

( )140*

1 ≥λ

( )150*2 ≥λ

( )160*

3 ≥λ ( )170*

4 ≥λ ( )180*

5 ≥λ

Dado que el programa es convexo, será suficiente encontrar una solución que verifique las condiciones de Kuhn-Tucker, que de existir, será un mínimo global. En base a los datos del problema, una posibilidad interesante es producir cada mes el número de refigeradoras que hay que entregar al final del mismo, con lo cual, se evitan los costos de almacenamiento. Es decir, esto implica que:

( ) ( )9050xxg 11 =+−=r

( ) ( )100100xxxg 212 =+−−=r

( ) ( )110150xxxxg 3213 =+−−−=r


198

( )170*4 =λ

( )180*

5 =λ

De (9) tenemos .50x1 = Reemplazando 50x1 = en (10) tenemos que .50x2 = Reemplazando 50x1 = y 50x2 = en (11) se obtiene que .50x3 = Reemplazando ( ) ( ),50,50,50x,x,xx 321 ==

r (17) y (18)

en (1), (2) y (3) se tiene que ,02000*1 >=λ 02000*

2 >=λ y

.0100*3 >=λ

Dado que ( ) ( ) ( ) ,0xgxgxg 321 ===

rrr verificamos que los gradientes de

dichas restricciones sean linealmente independientes:

( ) ( ) ( )

=

−−−

+

−−

+

−=∇+∇+∇

000

111

c011

b001

axgcxgbxga T3

T2

T1

rrr

Dado que la solución del sistema anterior es ,0cba === entonces

( ) ( ) ( )T3T

2T

1 xgyxg,xgrrr

∇∇∇ son linealmente independientes. Por tanto, ( ) ( )50,50,50x,x,xx 321 ==

r con ,02000*

1 >=λ

02000*2 >=λ y 0100*

3 >=λ verifica las condiciones de Kuhn-Tucker de mínimo global del programa. En consecuencia, la empresa deberá producir 50 refrigeradoras en cada uno de los tres meses, siendo el costo mínimo ( ) .Soles7500xC * =r

2.- El problema a resolver es el siguiente:

( )

0q34050q80q4:a.s

q4q100qImax2

2

≥≥−+−

−=


( )

0q0390q80q4:a.s

q4q100qImin2

2

≤−≤+−

+−=


( ) [ ]q8100qI T +−=∇ ( ) [ ]80q8qg T1 −=∇ ( ) [ ]1qg T

2 −=∇


199

Este programa es convexo ya que la función objetivo es cóncava y el conjunto de soluciones factibles es convexo. Por esto, todo punto que verifique las condiciones de Kuhn-Tucker será un mínimo global del programa equivalente (un máximo del programa original).

Las condiciones de Kuhn-Tucker son:

( ) ( )1080q8q8100 *2

*1 =λ−λ−++−

( ) ( )20390q80q4 2*

1 =+−λ

( ) ( )30q*2 =−λ

( )40390q80q4 2 ≤+−

( )50q ≤−

( )60*

1 ≥λ

( )70*2 ≥λ

Dado que el programa es convexo, será suficiente encontrar una solución que verifique las condiciones de Kuhn-Tucker, que de existir, será un mínimo global para el programa equivalente (un máximo global para el programa original).

Si suponemos que ,0*

2 =λ entonces:

( )

=⇒=+−=42,858,11

q0390q80q4qg 21

Reemplazando “q” y 0*

2 =λ en (1) tenemos:

• Para 58,11q = tenemos que .0582,0*1 >=λ

• Para 42,8q = tenemos que .0582,2*

1 >/−=λ

Dado que ( ) ,058,11g1 = verificamos que el gradiente de dicha restricción sea linealmente independiente:

( ) [ ] .0a064,12a58,11ga T

1 =⇒==∇


200

Dado que la solución del sistema anterior es ,0a = entonces ( )T1 58,11g∇ es linealmente independiente.

Por tanto, 58,11q* = con 0582,0*

1 >=λ y 0*2 =λ es un mínimo

global del programa equivalente, siendo el ingreso mínimo ( ) .$614,621qI * −= Es decir, 58,11q* = con 0582,0*

1 <−=λ y 0*2 =λ

es un máximo global del programa original, siendo el ingreso máximo ( ) $.614,621qI * =

4.6 Propiedades e interpretación de los multiplicadores Teorema de Sensibilidad: Sea el programa:

( )

( ) ( )( )

( )

≤

≤=

mn21m

1n211

n21

bx,,x,xg

bx,,x,xg:a.sx,,x,xfxfopt

XIII

K

M

K

Kr

Donde “f” y m1 g,,g K son funciones de clase dos. Si para

( ) 0b,,b,bb m21r

Kr

== hay una solución local *xr

en las que se verifican

las condiciones de Kuhn-Tucker con multiplicadores asociados *λr

y, se satisfacen las condiciones suficientes de segundo orden para un mínimo local estricto. Suponiendo además que ( ) .0,0xgiIi *

i*

i >λ==∈r

Entonces, para cada mb ℜ∈r

perteneciente a un entorno de 0r

, existen ( ) ( ) ( )( )bx,,bxbx n1

Fr

Krrr

= y ( ) ( ) ( )( )b,,bb m1F

rK

rrrλλ=λ funciones continuas y

diferenciables en 0brr

= tales que ( ) ,x0x *F rrr= ( ) *F 0 λ=λ

rrr y ( )bxF

rr es mínimo

local de (XIII) con multiplicadores ( ).bFrr

λ Asimismo,

( )( ) ( ) *T*b

T

0bF

b xfbxf λ−=∇=∇=

rrrrrrrr

Esto es, para cada Ii ∈ se cumple:

( )( ) ( ) *i

i

*

0bi

F

b

xf

b

bxfλ−=

∂

∂=

∂

∂

=

rrr

rr

De la expresión anterior se observa que los multiplicadores de Lagrange con signo cambiado representan las derivadas parciales del valor óptimo de la función objetivo del programa respecto a los términos independientes de las restricciones saturadas, por lo que dichos multiplicadores dan una medida de sensibilidad del valor óptimo frente a variaciones de los segundos miembros de las restricciones saturadas.


201

Definición: Sea el programa:

( )

( ) ( )( )

( )

≤ααα

≤αααααα=α

0,,,,x,,x,xg

0,,,,x,,x,xg:a.s,,,,x,,x,xf,xfopt

XIV

k21n21m

k21n211

k21n21

KK

M

KK

KKrr

Donde “f” y ( )m,,2,1igi K= son funciones de clase dos, siendo

( )n21 x,,x,xx Kr= un vector de variables de decisión y ( )k21 ,,, ααα=α K

r un vector de parámetros.

Sea kB ℜ⊂ un conjunto abierto, suponiendo que para todo B∈α

r

existe ( ) ( ) ( )( )ααα=r

Krrr *

n*2

*1

* x,,x,xx que es solución óptima local de (XIV), en la que se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker, con multiplicadores de Lagrange asociados ( ) ( ) ( )( )αλαλ=αλ

rK

rrr*m

*1

* ,, . Entonces: c) La función Lagrangiana asociada a (XIV) viene dada por:

( ) ( ) ( )∑=

αλ+α=αλm

1iii ,xg,xf,x,L

rrrrrrr

d) La función objetivo indirecta o función de valor óptimo viene dada por:

( ) ( ) ( ) ( )( )αααα=αϕrr

Krrr

,x,,x,xf *n

*2

*1

Teorema de la envolvente: Dado el problema (XIV) y las condiciones de la definición, si ( ) ( ) ( ) ( )( )αααα=αϕ

rrK

rrr,x,,x,xf *

n*2

*1 es la

función de valor óptimo del programa se cumple que para todo :k,,2,1r,r K=α

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑= α∂

αα∂αλ+

α∂

αα∂=

α∂

αααλ∂=

α∂

αϕ∂ m

1i r

*i*

ir

*

r

**

r

,xg,xf,x,Lrrr

rrrrrrrrrr

Nota: Los teoremas y la definición de esta sección también son válidos para programas de maximización.

Ejemplo: Un monopolista desea maximizar sus ingresos de modo que los beneficios que obtenga no sean menores a un valor prefijado ( ) .0$0 >π Si la función inversa de demanda es ( ),$bqap −= la función de costos es ( ) ( )$dqcqC += , donde ,0dy0c,0b,dad2 >>>>> y “q” es no negativa.


202

Determinar el ótpimo global del programa, y estudiar cuál es la variación del ingreso máximo ante un cambio en “a” y en .0π Solución: El problema a resolver es el siguiente:

( )( )

0qcqdabq:a.s

bqaqqImax

02

2

≥π≥−−+−

−=


( ) ( )( )

0q0cqdabq:a.s

bqaqqImin

02

2

≤−≤π++−−

−−=−

Se debe tener presente que como la función objetivo es estrictamente cóncava y el conjunto factible es convexo, el programa equivalente es convexo para mínimo global estricto (mientras que el programa original es convexo para máximo global estricto). Las condiciones de Kuhn-Tucker que deben verificarse son:

( ) ( )1bq2adabq2 *2

*1

**1

* λ−λ+λ−+−

( ) ( ) ( )20cqdaqb 0*2**

1 =

π++−−λ

( ) ( )30q**

2 =−λ ( )40*

1 ≥λ

( )50*2 ≥λ

( ) ( ) ( )60cqdaqb 0*2* ≤π++−−

( )70q* ≤−

Las hipótesis que podemos hacer sobre los valores de ( ),2,1i*

i =λ se

resumen en los 422 = casos que a continuación presentamos:


203

Caso 1: 0,0 *2

*1 =λ=λ

De (1) se obtiene que .0b2

aq* >=

Reemplazando *q en (6) se tiene que:

( ) ( ) ( )0

b4

cb4ad2aqg 0*

1 ≤/π++−

=

En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Caso 2: 0*

1 =λ De (1) se tiene que:

abq20abq2 **2

*2

* −=λ⇒=λ−− Por hipótesis:

( ) 0q0qqg ***2 =⇒=−=

Reemplazando 0q* = en *

2λ tenemos que:

0a*2 >/−=λ

En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker.

Caso 3: 0*

2 =λ De (1) se tiene que:

( ) *

**1

*1

**1

*

bq2ad

bq2a0bq2adabq2

+−

−=λ⇒=λ+λ−+−

Por hipótesis:

( ) ( ) ( ) ⇒=π++−−= 0cqdaqbqg 0*2**

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )020

2* cb4da0

b2

cb4dadaq π+≥−⇔>

π+−−±−=


204

Reemplazando *q en *1λ se tiene que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

>/π+−−−

π+−−+

>π+−−

π+−−−

=π+−−±

π+−−=λ

0cb4da

cb4dad

0cb4da

cb4dad

cb4da

cb4dad

02

02

02

02

02

02

*1

m

Por tanto, para ( ) ( )

( ) ( )02

02

*1

cb4da

cb4dad

π+−−

π+−−−=λ se tiene que

( ) ( ) ( ).

b2

cb4dada,d,c,b,aq 0

2

0* π+−−+−

=

π

α48476r

Se puede apreciar que ( ) ( ) ( ) 0cb4daqg 02*

1 ≠π+−−=∇ , por lo que dicho gradiente es linealmente independiente. En consecuencia,

( ) ( ) ( )b2

cb4dadaq 0

2* π+−−+−= con

( ) ( )

( ) ( )02

02

*1

cb4da

cb4dad

π+−−

π+−−−=λ

es un mínimo global estricto del programa equivalente. Además,

( ) ( ) ( )b2

cb4dadaq 0

2* π+−−+−= con

( ) ( )

( ) ( )02

02

*1

cb4da

cb4dad

π+−−

π+−−−−=λ

es un máximo global estricto para el programa original. Esto hace innecesario el análisis del último caso.

La función Lagrangiana asociada al programa es:

( )( ) ( )qcqdabqbqaq,d,c,b,a;q,,L 202

12

021 −λ+π++−−λ++−=

πλλ

α48476r

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )α−λ+

+π++α−−αλ+α+α−=ααλλ

r

rrrrrr

**2

0*2**

12****

2*1

q

cqdabqbqaq,q,,L

La función de valor óptimo es:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )α−α=α−α−=α−=αϕrrrrrr *2*2*** aqbqbqaqqI

Donde ( )αr*q es la solución óptima del programa para un valor α

r del

vector de parámetros.


205

Teniendo en cuenta el teorema de la envolvente, obtenemos:

• ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )*

1***

1*

**2

*1 1qqq

a

,q,,L

aλ+α−=αλ−α−=

∂

ααλλ∂=

∂

αϕ∂ rrrrrr

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 01q1asia1q *1

**1

* <λ+α−≈αϕ∆⇒=∆⇒∆λ+α−≈αϕ∆rrrr

Es decir, si se produce un incremento en la demanda (incremento en “a”), se producirá un decremento en ( )( ).qI *α−

v Lo que equivale a decir que si si se produce un incremento en la demanda, entonces se producirá un incremento en ( )( ).qI *α

v

• ( )

( )( )( )

( )*1

0

**2

*1

0

,q,,Lλ−=

π−∂

ααλλ∂=

π−∂

αϕ∂rrr

( ) ( ) ( ) ( ) 01si *100

*1 <λ−≈αϕ∆⇒=π−∆⇒π−∆λ−≈αϕ∆

rr

Es decir, si se produce un incremento en el valor prefijado para el mínimo beneficio con signo cambiado (incremento en ( )0π− ), se producirá un decremento en ( )( ).qI *α−

v Lo que equivale a decir que si se produce un incremento en el valor prefijado para el mínimo beneficio con signo cambiado, entonces se producirá un incremento en ( )( ).qI *α

v

Tenga en cuenta que:

( ) ( ) ( )( )

( )a

q

qaa

*

* ∂

α∂⋅

α∂

αϕ∂+

∂

αϕ∂=

δ

αδϕr

r

rrr

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )

α∂α∂

∂α∂−⋅−α+α−=

δ

αδϕrr

rrr

r

**1

*1**

qqg

aqgabq2q

a

Dado que:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0cqdaqbqg 0*2**

1 =π−−+α−−α=αrrr

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

−−α=α∂α∂

α−=∂α∂⇒

dabq2qqg

qaqg

***1

**1

rrr

rr

Por tanto:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

−−α

α⋅−α+α−=

δ

αδϕ

dabq2

qabq2q

a *

***

r

rrr

r


206

Pero, ya que:

( )( )

( ) ( ) ( )*1

**

*

**1

bq2adabq2

bq2ad

bq2a

λ

α−=−−α⇒

α+−

α−=λ

rr

r

r

Reemplazando la expresión anterior en ( )aδ

αδϕr

tenemos:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )αλ−α−=

α−

αλ⋅−α+α−=

δ

αδϕ rrr

rrr

r**

1*

*

**1** qq

bq2a

qabq2q

a

( ) ( )( )*

1* 1q

aλ+α−=

δ

αδϕ rr

Asimismo, teniendo en cuenta que:

( )( )

( )( )

( )( )0

*

*0

q

q π−∂

α∂⋅

α∂

αϕ∂=

π−∂

αϕ∂r

r

rr

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

α∂α∂

π−∂α∂−⋅−α=

π−∂

αϕ∂rr

rr

r

**1

0*

1*

0 qqg

qgabq2

Dado que:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0cqdaqbqg 0*2**

1 =π−−+α−−α=αrrr

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

−−α=α∂α∂

−=π−∂α∂⇒

dabq2qqg

1qg

***1

0*

1

rrr

r

Por tanto:

( )( )

( )( )( ) ( )

−−α⋅−α=

π−∂

αϕ∂

dabq2

1abq2 *

*

0r

rr

Pero, ya que:

( )( )

( ) ( ) ( )*1

**

*

**1

bq2adabq2

bq2ad

bq2a

λ

α−=−−α⇒

α+−

α−=λ

rr

r

r

Reemplazando la expresión anterior en ( )

( )0π−∂

αϕ∂r

tenemos:

( )( )

( )( )( )

*1*

*1*

0 bq2aabq2 λ−=

α−

λ⋅−α=

π−∂

αϕ∂r

rr

Capítulo V

OPTIMIZACIÓN DINÁMICA

V.1 Introducción

El problema fundamental de la economía consiste en la asignación eficiente de

recursos escasos entre distintos fines competitivos. La manera más sencilla de

resolver este problema es a través de la programción matemática considerando

que las variables económicas son invariantes en el horizonte temporal o que nos

encontramos en un determinado instante del tiempo. Bajo estas simplificaciones,

estaríamos frente a un problema de optimización estática que busca optimizar

una función (función objetivo) a través de la elección de ciertas variables

(variables de elección o de decisión) que pueden tomar valores dentro de un

conjunto de oportunidades (conjunto factible). La solución buscada en tales

problemas usualmente consta de una única magnitud óptima para cada variable

de elección, lo cuál no exige un programa de acción secuencial óptima.

Cuando permitimos que las variables de elección varíen con el tiempo, sujetas a

una determinada dinámica entre un instante inicial y un instante final, nos

encontramos frente a un problema de Optimización Dinámica u Optimización Intertemporal. La optimización dinámica estudia la optimización de sistemas

dinámicos, esto es, la optimización de sistemas que evolucionan con el tiempo.

Dado un sistema que evoluciona en el tiempo, se busca conducir o controlar el

sistema de manera óptima a lo largo de un horizonte de tiempo determinado, de

acuerdo a un objetivo previamente establecido.

En contraste a los problemas de optimización estática, los problemas de

optimización dinámica plantean la interrogante de cuál es la magnitud óptima de

una variable de elección en cada periodo del tiempo dentro de un periodo de

planificación (caso de tiempo discreto) o en cada instante del tiempo en un

intervalo de tiempo dado, digamos [ ]10 t,t (caso de tiempo continuo). Es incluso

posible considerar un horizonte de planificación infinito, de manera que el

intervalo relevante pordría ser [ ].,t 0 +∞ Es decir, desde el instante actual hasta la

“eternidad”. La solución de un problema de optimización dinámica por tanto,

adoptará la forma de una senda (trayectoria) de tiempo óptima para cada variable

de elección, detallando el mejor valor de dicha variable desde el inicio del

periodo de planificación hasta el final del mismo.

CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA

232

Por ejemplo, la economía de un país es un sistema que evoluciona a lo largo del

tiempo, por lo que rerpresenta un sistema dinámico. En determinado instante, el

estado de dicha economía es recogido en un cuadro macroeconómico, donde

figuran los valores de las siguientes variables (variables de estado1): consumo

privado y consumo público, variación de existencias, demanda interna,

importaciones y exportaciones, PBI, tasa de inflación, tasa de desempleo, etc. La

autoridad económica decide realizar una serie de medidas de política fiscal y de

política monetaria (variables de control2), que van a afectar el comportamiento

de los agentes económicos y que conducirán a nuevos valores de las variables de

estado, cuando éstas sean presentadas en el futuro. Los valores del cuadro

macroeconómico al final del año dependerán de los valores del mismo a

comienzos de año, de las medidas de política económica adoptadas durante el

transcurso del año, y de la respuesta de los agentes económicos a dichas

medidas. Las medidas de política económica dependerán de los objetivos que

tenga el gobierno en el instante que se adoptan.

Para poder resolver el ejemplo anterior con las técnicas de la optimización

dinámica, será necesario que el sistema dinámico en cuestión se pueda expresar

matemáticamente a través de un sistema de ecuaciones diferenciales (tiempo

continuo) o mediante ecuaciones en diferencias (horizonte temporal discreto),

que contengan las variables de estado y las de control. Además, las condiciones

iniciales del sistema, las restricciones de las variables, y la funcional3 objetivo

del problema tienen que poderse representar matemáticamente.

Existen tres métodos diferentes para resolver problemas de optimización

dinámica los cuales son equivalentes en muchos sentidos. El primer método es el

del Cálculo de Variaciones (1696) que resuelve el problema con las Ecuaciones

de Euler (1744). El segundo método es el del Control Óptimo o Teoría Moderna de Control que resuelve el problema por medio del Principio del Máximo de

Pontryagin (1958). El tercer método se denomina Programación Dinámica que

se basa en el Principio de Optimalidad de Bellman (1957). Las tres

aproximaciones pueden formularse en tiempo discreto o en tiempo continuo.

El cálculo de variaciones se ha aplicado fundamentalmente, tras su

descubrimiento, en mecánica (campo de la física). El desarrollo sistemático del

control óptimo se inició en los EEUU alrededor de 1930 en el campo de las

ingenierías mecánica y eléctrica. Durante las décadas del cincuenta y del sesenta

del siglo pasado, en el campo de la economía, aparecen algunas aportaciones

aisladas sobre el control óptimo. En los años sesenta se utiliza de forma

sistemática las técnicas del conrol óptimo en la teoría de crecimiento, y desde

entonces se difunden trabajos sobre el tema, los cuales han sido el instrumento

básico para describir el comportamiento de individuos y empresas cuando la

actividad económica se desarrolla a lo largo del tiempo.

1 Una variable de estado es aquella que define la dinámica de un sistema. Es aquella que describe el estado

de un sistema 2 Una variable de control es un instrumento que permite al agente que se enfrenta a un problema de

optimización dinámica influir sobre una variable de estado. En general, una variable de control está sujeta a

la elección discrecional del agente planificador, y se caracteriza porque la elección de dicha variable afecta

a la variable de estado. Es decir, una variable de control es aquella que puede ser controlada por el

planificador u operador del sistema en todo instante del tiempo. 3 Ver apéndice al final del capítulo.


233

En la actualidad, los métodos de la teoría de control se utilizan en el análisis

macroeconómico, tanto bajo la perspectiva de la macroeconomía clásica como

de la nueva macroeconomía clásica. El término “Economía Dinámica”

frecuentemente puede encontrarse en la literatura económica actual, en la cual la

teoría de control juega un papel preponderante.

V.2 El cálculo de variaciones

El cálculo de variaciones es una técnica empleada para resolver problemas de

optimización dinámica, la cual es predecesora de la teoría del control óptimo. El

cálculo de variaciones es la aproximación clásica al problema de la optimización

dinámica, data del siglo XVII, y desde entonces este tema se ha constituido

como una parte importante de las matemáticas aplicadas. Los primeros en

resolver problemas de optimización dinámica utilizando está técnica fueron

Isaac Newton (1687) y los hermanos Bernoulli (1696)4.

En la economía, esta técnica se empleó por primera vez a finales de los años

veinte y a comienzos de los treintas en los trabajos de Roos5, Evans

6, Ramsey

7 y

Hotelling8. Su finalidad fue resolver problemas relativos a encontrar la

trayectoria temporal óptima de una variable, con el propósito de optimizar

alguna funcional relacionada con los beneficios o la utilidad.

1. Formulación del problema fundamental del cálculo de variaciones

En esta sección vamos a formular el problema básico del cálculo de

variaciones. Este problema se caracteriza porque la funcional a optimizar

(funcional objetivo) depende de una sola variable de estado, ( ),tx de una sola

variable de control, ( ),tx' de las condiciones iniciales y finales que están

completamente especificadas (condiciones de borde), no hay restricciones

(que podrían ser ecuaciones diferenciales o simplemente funciones del

tiempo y de las variables de estado), y el horizonte temporal es continuo.

( ) [ ] ( ) ( )( )

( )( )

=

=

= ∫Ω∈

bordedescondicionextx

xtx:a.s

dtt,tx,txfxJoptI

11

00

objetivofuncional

t

t

intermediafunción

'

x

1

0

4444 84444 76

44 844 76

4 Para más detalle, ver Kline, M. (1962): “Mathematics: A Cultural Approach”, Mass.: Addison-Wesley.

5 Roos, C. (1925): “A Mathematical Theory of Competition”, American Journal of Mathematics, 46, pp.

163-175. 6 Evans, G. (1924): “The Dynamics of Monopoly”, American Mathematical Monthly, febrero, pp. 77-83.

7 Ramsey, F. (1928): “A Mathematical Theory of Savings”, Economic Journal, Oxford: Blackwell

Publishers, diciembre, pp. 543-559. 8 Hotelling, H. (1931): “The Economics of Exhaustible Resourses”, Journal of Political Economy,

Chicago: The University of Chicago Press, abril, pp. 137-175.


234

Donde ( ) ( )( )t,tx,txf ' es una función de clase C2, ( )

( ),

dt

tdxtx' = y los parámetros

1010 xyx,t,t son dados previamente. Siendo Ω el conjunto de todas las

funciones “x” con derivadas primeras y segundas continuas en un intervalo

cerrado [ ]10 t,t con ,tttyt 1010 <∧ℜ∈ y que viene dado por:

[ ] [ ] .t,tenCesxt,t:x 102

10 ℜ→ℜ⊂=Ω

Donde el conjunto factible (denominado conjunto de sendas admisibles)

viene dado por:

( ) ( ) ( )II1,0ixtxx ii ==Ω∈=Ψ

Es decir, la tarea del cálculo de variaciones consiste en encontrar entre todas

las trayectorias “x”, mostradas en la figura 1, que parten de x0 en el instante

t0 y llegan a x1 en el instante t1, aquella trayectoria *x , de clase C2 en [ ]10 t,t

tal que ( ) ( ),1,0ixtx ii* == que hace máxima (o mínima) la integral [ ]xJ

(funcional).

*x

0t 1t

( ) 00 xtx =

( ) 11 xtx =

t

( )tx

Figura 1

Para que el problema (I) se pueda resolver es necesario que la funcional sea

integrable, es decir que la integral sea convergente. Además, las funciones

que aparecen en dicho problema deberán ser continuas y continuamente

diferenciables. Esto es necesario ya que la metodología sobre la cual se basa

el cálculo de variaciones es muy semejante a la utilizada en el clásico cálculo

diferencial. La diferencia fundamental radica en que en lugar de utilizar la

diferencial “dx” que cambia el valor de ( ),xfy = se empleará la “variación”

de una trayectoria (curva) completa “x” que afectará al valor de la funcional

[ ].xJ

Este problema se diferencia de un problema de optimización estática en dos

aspectos. En primer lugar, tiene carácter dinámico (aparece la variable

temporal) y la solución del problema es una trayectoria *x que depende del

tiempo. En segundo lugar, lo que se optimiza es una funcional, no una

función.


235

Sin pérdida de generalidad, inicialmente supondremos que todos los

problemas de cálculo de variaciones consisten en maximizar la funcional

objetivo [ ]xJ . Más adelante, cuando se expliquen las condiciones de segundo

orden, se distinguirán entre problemas de maximización y de minimización.

Por tanto, el problema que resolveremos será:

[ ] ( ) ( )( )

( )( ) 11

00

t

t

'

x

xtx

xtx:a.s

dtt,tx,txfxJmax

1

0

=

=

= ∫Ω∈

)III(

2. Optimalidad local: Condición necesaria de primer orden. Ecuación de Euler (1744)

A la condición que permite seleccionar, de un extenso conjunto factible de

curvas (sendas o trayectorias) “ x ”, aquella que maximice o minimice la

funcional objetivo [ ]xJ (trayectoria óptima: *x ) se le denomina ecuación de

Euler. Por tanto, si 2*Cx ∈ resuelve el problema (III), es decir:

[ ] ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )IVtxdtt,tx,txfxJdtt,tx,txfxJ

1

0

1

0

t

t

*'**

t

t

' ∀

=≤= ∫∫

Para cualquier senda admisible ,Cx2∈ dicha función debe satisfacer la

siguiente ecuación (Ecuación de Euler):

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

[ ] ( )Vt,tttx

t,tx,txf

dt

d

tx

t,tx,txf10'

''

∈∀

∂

∂=

∂

∂

Si por simplicidad obviamos los paréntesis en “f”, en “x” y en “ 'x ”

tendremos:

( )[ ] ( )VIt,tt

dt

fdf

x

f

dt

d

x

f10

xx'

'

∈∀=⇒

∂

∂=

∂

∂


'xf

x 'x

t

t

t


236

La diferencial total de 'xf es:

dtt

fdx

x

fdx

x

fdf

'''

'x'

'

xxx

⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=

Por tanto:

( )( )VIIfxfxf

t

f

dt

dx

x

f

dt

dx

x

f

t

f

tx''

xx'

xxx

'

'

xxx''''

''''

+⋅+⋅=∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=

δ

δ

Reemplazando (VII) en (VI) tenemos:

[ ] ( )VIIIt,ttfxfxff 10tx

''

xx

'

xxx '''' ∈∀+⋅+⋅=

La ecuación (VIII) es una ecuación diferencial de segundo orden. A las

soluciones de esta ecuación se les denomina extremales9 y su forma genérica

es la siguiente:

( ) ( )IXC,C,txx 21=

Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Para obtener soluciones que

verifiquen la condición necesaria de máximo local del problema (III), hay

que resolver la ecuación de Euler (ecuación VIII) e imponer las condiciones

inicial y final dadas.

3. Condición suficiente de optimalidad global para el problema fundamental

Sea el problema de cálculo de variaciones (I). Donde ( ) ( )( )t,tx,txf ' es una

función (función intermedia) dos veces diferenciable respecto a “x” y “ 'x ”,

entonces se verifica que:

a) Si f es cóncava respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es

una condición suficiente de máximo global.

b) Si f es convexa respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es

una condición suficiente de mínimo global.

Si ( ) ( )( )t,tx,txf ' es una función de clase dos y es estrictamente cóncava

(convexa) en “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es una condición

suficiente de máximo (mínimo) global estricto (único).

9 Un extremal no tiene porque ser un óptimo, sólo es un candidato a óptimo.


237

Ejemplos:

Modelo de competencia dinámica

Un productor en un mercado competitivo desea encontrar el camino óptimo

de producción ( ),tx donde ,Tt0 ≤≤ de manera tal que partiendo de un nivel

de producción x0 en ,0t = alcance un nivel objetivo xT en el instante T, de

modo que se maximicen los beneficios.

Debido al carácter dinámico del problema, dichos beneficios dependerán del

tiempo, y los consideraremos como la diferencia entre los ingresos y los

costos:

( ) ( )t,x,xCpxt,x,x '' −=π

El problema al que se enfrenta el productor será el de maximización

temporal de beneficios que se reduce al siguiente problema de cálculo de

variaciones:

[ ] ( ) ( )[ ]

( )( ) T

0

T

0

'

T

0

'

xTx

x0x:a.s

dtt,x,xCpxdtt,x,xxJmax

=

=

−=π= ∫∫

Siendo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] .t,xCxCtpxt,x,xCtpxt,x,x '21

'' +−=−=π

Se han considerado dos tipos de costos, por un lado se han incluido los

costos de producción:

( ) ( )0cyb,acbxaxxC 21 >++=

Por tora parte, se seleccionan otros costos ( )t,xC '2 asociados a los

incrementos de la producción ,x' tales como construcción de capacidad extra

en previsión a los crecimientos de la producción, alquiler de mano de obra

extra y su formación, reclutamiento de directivos o inflación. Supondremos

que el agregado de este tipo de costo se puede representar como:

( ) ( ) ( )0CyB,ACtBxxAt,xC '2''2 >++=

La función de beneficios será:

( ) [ ] ( ) .CtBxxAcbxaxpxt,x,x '2'2'

++−++−=π


238

Por tanto el problema a resolver será:

[ ] ( ) ( )

( )( ) T

0

T

0

'2'2

xTx

x0x:a.s

dtCtBxxAcbxaxpxxJmax

=

=

++−++−= ∫

La ecuación de Euler será:

( )1xdt

d

x '

∂

π∂=

∂

π∂

Ahora calculamos las derivadas necesarias para conformar la ecuación de

Euler:

( )2bax2px

−−=∂

π∂

( )3BAx2x

'

'−−=

∂

π∂

[ ] ( )4Ax2BAx2dt

d

xdt

d'''

'−=+−=

∂

π∂

Reemplazando (2) y (4) en (1) se tiene:

( ) 0bpax2Ax2Ax2bax2p'''' =−+−⇒−=−−

( )5A2

pbx

A

ax

''

−=−

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden dos con

coeficientes constantes, cuyo polinomio característico es:

( )

−=

=

⇒=−=

A

ar

A

ar

0A

arrP

2

12

La solución complementaria es:

( ) ( )6eAeAtxtAa

2tAa

1c−

+=


239

Mediante el método de los coeficientes indeterminados podemos verificar

que la solución particular será una constante, digamos:

( ) ( ) ( ) ,0txtxktx p''

p'

p ==⇒= por lo que reemplazando estos valores en

(5) tenemos que:

a2

pbk

A2

pbk

A

a0

−=⇒

−=−

Por tanto, la solución particular será:

( ) ( )7a2

bp

a4

bp

a4

bptx p

−=

−+

−=

Por tanto, la trayectoria óptima es:

( ) ( )8a2

bpeAeAtx

tAa2

tAa1

*−

++=−

Donde A1 y A2 se determinan utilizando condiciones de borde, esto es:

( ) 021* x

a2

bpAA0x =

−++=

( )9a2

bpxAA 021

−−=+

( ) TTAa

2TAa

1* x

a2

bpeAeATx =

−++=

−

( )10a2

bpxeAeA T

TAa2

TAa1

−−=+

−

Resolviendo (9) y (10) tenemos:

−

−−−

−−

=TAa2

TAaT0

1

e1

ea2

bpx

a2

bpx

A

−

−−−

−−

=TAa2

TAa0T

TAa

2

e1

ea2

bpx

a2

bpxe

A


240

Finalmente, tenemos que:

( )

a2

bpe

e1

ea2

bpx

a2

bpxe

e

e1

ea2

bpx

a2

bpx

tx

tAa

TAa2

TAa0T

TAa

tAa

TAa2

TAaT0

*

−+

−

−−−

−−

+

+

−

−−−

−−

=

−

Extracción óptima de recursos naturales: versión simplificada del modelo de Hotelling

Una empresa es propietaria de una cantidad “Q” de un recurso agotable

(petróleo, cobre, oro, gas, etc). La función de beneficios de la empresa es

logarítmica de manera tal que por extraer “ q ” unidades del recurso agotable

obtien beneficios:

( ) ( )11qlnq =π

El objetivo de la empresa es determinar el patrón de extracción de los

recursos de manera que se maximice el valor presente de los beneficios. Se

asume que la tasa de descuento10

es constante e igual a “ρ” y que el recurso

se agota en su totalidad en el periodo “T”.

Para resolver este problema, primero vamos a definir la variable a optimizar.

Para ello debemos distinguir entre variables de stock y variables de flujo. La

dotación de recursos “Q” constituye el stock total, y la cantidad “ q ” extraída

del recurso agotable en cada instante constituye un flujo. Una forma simple

de relacionar estas variables sería definiendo a las ventas acumuladas del

recurso natural como “ x ”. Las ventas acumuladas “x” constituyen una

variable de stock con un valor inicial igual a cero (en el periodo inicial no se

ha realizado ninguna venta previamente: ( ) 00x = ) y un valor terminal igual a

“Q” (todo el stock del recurso ha sido vendido previamente en el último

periodo). Por tanto, podemos relacionar la variable de flujo “q” con la

variable de stock “x” integrando la siguiente ecuación, la cual nos dice que la

cantidad extraída del recurso “ q ” en cada instante equivale a la variación en

el tiempo de las ventas acumuladas:

( )( )

( ) ( )12tqdt

tdxtx' ==

10

Ver apéndice al final del capítulo.


241

Por lo que, integrando (12) tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )Tt0dttqdttxtx

t

0

t

0

' ≤≤== ∫∫

Donde:

( ) ( ) 0dttqdttx)0(x

0

0

0

0

' === ∫∫

( ) ( ) Qdttqdttx)T(x

T

0

T

0

' === ∫∫

De esta forma, reemplazando (11) en (12) obtenemos la función de

beneficios de la empresa para cualquier instante del tiempo:

( ) ( )13xlnqlnq '==π

Por tanto, el valor presente de los beneficios vendrá dado por:

( )( ) ( ) ( )14dttxlnedttqe

T

0

'tT

0

t∫∫

ρ−ρ− =π

En consecuencia, el problema que debe resolver la empresa será:

[ ] ( )

( )( ) QTx

00x:a.s

dttxlnemaxxJ

T

0

't

=

=

= ∫ρ−


( )15xdt

d

x '

∂

π∂=

∂

π∂

Ahora calculamos las derivadas necesarias para conformar la ecuación de

Euler:

( )160x

=∂

π∂


242

( )17x

e

x'

t

'

ρ−

=∂

π∂

Reemplazando (16) y (17) en (15) tenemos:

ctekx

e

dt

x

ed

0'

t'

t

==⇒

=ρ−

ρ−

( )18ek

1x

t' ρ−=

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden uno con

coeficientes constantes. Integrando a ambos lados de la ecuación (18)

tenemos:

∫∫∫∫ρ−ρ−ρ− === dteAdte

k

1dte

k

1dtx

t1

tt'

Por tanto, la solución general es:

( ) ( )19eAAAeA

txt

322t1 ρ−ρ− +=+

ρ−=

Utilizando las condiciones de borde tenemos:

( ) ( )200AA0x 32 =+=

( ) ( )21QeAATx T32 =+= ρ−


( ) ( )( )22

1e

QAy

1e

QA

T3

T2

−=

−−=

ρ−ρ−

Sustituyendo (22) en (19) obtenemos la senda óptima de las ventas

acumuladas:

( )( ) ( )

( )23

e1

Qe

1e

Qtx

T

t

T

*

ρ−

ρ−

ρ− −+

−=

Si derivamos (23) respecto de “t” obtendremos la trayectoria óptima de la

extracción del recurso:

( ) ( )( )

( )24e

e1

Qtxtq t

T

*'* ρ−

ρ−−

ρ==


243

Para 1T ≥ y ,0>ρ ( )Te1

Q

ρ−−

ρ tomará un valor positivo (ya que 1e0 t << ρ− )

y, por tanto, la trayectoria del patrón de extracción de recursos disminuirá

exponencialmente a lo largo del tiempo a la tasa “ρ” tal como se aprecia en la

figura 2.

t T

( )tq*

( )te1

Q

ρ−−

ρ

Figura 2 Ahora vamos a aplicar la condición necesaria y suficiente de segundo orden

de Mangasarian para los dos ejemplos que hemos desarrollado

anteriormente:

• Competencia dinámica

( ) ( ) ( ) ( )

++−++−=π≡ CtBxxAcbxaxpxt,x,xt,x,xf '2'2''

Su matriz hessiana evaluada en cualquier ( )t,x,x ' es:

−

−=

ππ

ππ=π

A20

0a2H

'''

'

xxxx

xxxx

Esta matriz es definida negativa ya que tiene dos autovalores

negativos ( )A2ya2 21 −=λ−=λ . Por tanto, ( )t,x,x 'π es estrictamente

cóncava (por tanto también cóncava) respecto a “x” y “ 'x ”,

entonces la ecuación de Euler es una condición necesaria y

suficiente de máximo. Es decir, *x maximiza la funcional objetivo.


244

• Extracción óptima de recursos naturales

( ) ( )txlnet,x,xf 't' ρ−≡

Su matriz hessiana evaluada en ( ) ( )( )t,tx,tx '** es:

( ) ( )( )( )

( )( )

ρ

−−

=

−=ρ−

ρ−ρ−

t2

2T

2'*

t'**

eQ

e10

00

x

e0

00

t,tx,txHf

Esta matriz es semidefinida negativa ya que todos sus menores

principales son menores o iguales a cero:

Tiene dos menores principales de orden uno:

Eliminando la primera fila y la primera columna tenemos:

( )( )

( )( )

0eQ

e1

eQ

e1

t2

2T

t2

2T

<ρ

−−=

ρ

−−

ρ−

ρ−

ρ−

ρ−

Eliminando la segunda fila y la segunda columna tenemos:

00 =

Tiene un menor principal de orden dos:

( )( )

0

eQ

e10

00

t2

2T=

ρ

−−

ρ−

ρ−

Por tanto, ( )txlne'tρ− es cóncava respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la

ecuación de Euler es una condición necesaria y suficiente de

máximo. Es decir, *x maximiza la funcional objetivo.

4. Condición de transversalidad

Hasta este punto, el problema (III) se ha resuelto utilizando la ecuación de

Euler, y las codiones de borde (condiciones que debían satisfacer las

trayectorias admisibles). No obstante, si no se conoce el valor inicial y/o el

valor terminal de la trayectoria óptima se perderá una condición de borde.

Por tanto, es indispensable contar con una condición adicional denominada

condición de transversalidad para poder resolver dicho problema. En

consecuencia, el nuevo problema que tendremos que resolver será:


245

[ ] ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

=

=

= ∫Ω∈

libres:xót11

dado:x00

t

t

'

x

11

0

1

0

xtx

xtx:a.s

dtt,tx,txfxJmax

)X(

Por conveniencia, se ha supuesto que sólo la condición terminal es variable.

Sin embargo, una vez que aprendamos a trabajar con este caso, la técnica

será fácilmente aplicable al caso de punto inicial variable.

4.1 Condición de transversalidad

La función 2* Cx ∈ resuelve el problema (X) si satisface la ecuación de

Euler y la condición de transversalidad:

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

0ttx

t,tx,txf

dt

tdxt,tx,txftx

tx

t,tx,txf1

tt

'

''

1

tt

'

'

11

=∆⋅

∂

∂−+∆⋅

∂

∂

==

O de forma compacta:

[ ] ( ) [ ] ( )XI0tfxftxf 1ttx

'1

ttx1

'

1

' =∆⋅−+∆⋅==

Donde ( )1tx∆ y 1t∆ son pequeñas variaciones de la condición final

“ ( )1tx ” y del instante final “ 1t ”.

4.2 Casos especiales de la condición de transversalidad

La ecuación (XI), a diferencia de la ecuación de Euler, es relevante sólo

en el instante final “ 1t ”. Su papel es tomar el lugar de la condición

terminal perdida en el presente problema. Dependiendo de la

especificación exacta de la línea o curva terminal, sin embargo, la

ecuación general (XI) puede ser escrita en varias formas especializadas.

A continuación, se presentan tres casos posibles de la condición de

transversalidad: línea terminal vertical u horizonte temporal fijo, línea

terminal horizontal o valor final fijo, y curva terminal.

Línea terminal vertical (horizonte temporal fijo): (((( )))) (((( ))))libretx 1

En este caso se cumple que ,0t1 =∆ por lo que reemplazando en (XI)

tenemos:

[ ] ( ) ( )XII0txf 1ttx1

' =∆⋅=


246

Pero, dado que ( )1tx∆ puede tomar cualquier valor, la única forma de

que (XII) se verifique es que se cumpla la siguiente condición:

[ ] ( )XIII0f1

'ttx

==

Este caso se puede apreciar en la figura 3. Como en este caso sólo el

horizonte temporal [ ]10 t,tT = se encuentra fijo, mientras que existe un

amplio conjunto de valores terminales factibles. Al resolver el problema

debemos encontrar simultáneamente la trayectoria óptima y el valor

terminal ( ).tx 1 En este sentido, la ecuación (XIII) permite seleccionar el

valor final óptimo del conjunto de valores factibles.

( )tx

t 1t

( ) 00 xtx =

0t

Figura 3

Línea terminal horizontal (valor final fijo): (((( ))))libret1

Cuando el valor final de la trayectoria óptima ( )1tx se encuentra fijo,

( ) 0tx 1 =∆ por lo que (XI) se reduce a:

[ ] ( )XIV0tfxf 1ttx

'

1

' =∆⋅−=

Pero, de modo que se verifique (XIV) independientemente del valor que

adopte 1t∆ se tiene que satisfacer la siguiente condición:

[ ] ( )XV0fxf1

'

ttx' =−

=

En la figura 4 se aprecia el problema a resolver. En este caso, debemos

determinar la trayectoria temporal óptima y el valor final “ *1t ” óptimo,

ya que para un valor final ( )1tx dado existen varios “ 1t ” factibles. La

condición (XV) permite determinar el “ *1t ” óptimo.


247

( )tx

t

( ) 11 xtx =

( ) 00 xtx =

0t

Figura 4

Curva terminal: (((( ))))libret1

En esta situación, supondremos que el instante final “ 1t ” es libre, y que

“ 1t ” y el estado final “ ( )1tx ” y están ligados mediante una función “ φ ”

de clase uno, donde:

( ) ( ) ( )XVIttx:ttpara 111 φ==

Con una curva cuya ecuación es (XVI), no se puede asignar valores

nulos a ( )1tx∆ y 1t∆ , por lo que no podemos eliminar ningún término de

(XI). No obstante, para un pequeño cambio arbitrario 1t∆ , se producirá

un pequeño cambio en la curva terminal igual a:

( ) ( ) ( )XVIItttx 1tt

'1

1

∆φ≈∆=

Reemplazando (XVII) en (XI) y factorizando 1t∆ se podrá eliminar

( )1tx∆ de (XI), y obtendremos la siguiente ecuación:

( )[ ] ( )XVIII0tfxf 1ttx

''

1

' =∆⋅

−φ+

=

Por tanto, para cualquier valor arbitrario de 1t∆ la condición de

transversalidad para este caso será:

( )[ ] ( )XIX0fxf1

'

ttx'' =

−φ+

=


248

En la figura 5 se aprecia el problema que debemos resolver en este

caso. Aquí, debemos determinar “ *x ” y “ *1t ”. Una vez encontrados

“ *x ” y “ *1t ” podremos determinar el estado final ( ).tx *

1

( )tx

t 0t

φ

( ) 00 xtx =

Figura 5

Línea terminal vertical truncada (estado terminal acotado inferiormente): (((( ))))(((( ))))mín1 xtx ≥≥≥≥

Cuando la línea terminal vertical es truncada, restringida por la

condición terminal ( ) mín1 xtx ≥ donde mínx es el nivel mínimo

permitido de “x”, la solución óptima puede tener dos posibles tipos de

resultado: ( ) mín1* xtx > o ( ) .xtx mín1

* = Donde ( )1* tx es el valor

terminal de una trayectoria admisible ( )tx* que satisface la ecuación de

Euler y la siguiente condición de transversalidad:

( ) ( )( )( )

0fxtxxtx0f

CHC

ttxmín1*

mín1*

ttx1

'

1

' =

⋅−≥≤

==

44444 844444 76

( )XX

Para aplicar (XX), primero suponemos que 0f1

'ttx

==

y verificamos si el

valor resultante de ( )1* tx satisface la restricción terminal ( ) mín1

*xtx ≥ . Si

es así, el problema está resuelto. En caso contrario, se fija ( ) mín1*

xtx =

para satisfacer la condición de holgura complementaria (CHC), y tratamos

el problema como si fuera uno con punto final dado ( )( ).tx,t 1*

1


249

( )tx

t 1t

( ) 00 xtx =

0t

( ) mín1 xtx =

Figura 6

5. Condición necesaria de optimalidad local para punto terminal fijo o variable: condición de Legendre

Una condición necesaria de segundo orden de optimalidad local es la de

Legendre. Esta condición establece que si en el extremal ( )tx* se cumple que:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ).tttpara,

IIIdelocalmínimo:tx0

IIIdelocalmáximo:tx0t,tx,txf 10

*

**'*

xx '' ≤≤

⇒≥

⇒≤

6. Condiciones suficientes de optimalidad global de segundo orden para punto terminal variable

Si ( ) ( )( )t,tx,txf ' es de clase dos y es cóncava (convexa) en las variables ( )'x,x

para cada [ ],t,tt 10∈ si ( )tx* satisface la ecuación de Euler, las condiciones

de frontera y (en caso la condición terminal sea ( )1tx “libre” o ( ) mín1 xtx ≥ )

las condiciones de transversalidad (XIII) o (XX), entonces ( )tx* es un

máximo (mínimo) global de [ ]xJ .

Ejemplos:

1.- Una empresa tiene un pedido de “N” unidades que debe surtir en un

tiempo por determinar. Si ( )tx denota el número de unidades producidas

en [ ]t,0 (que puede interpretarse como el inventario acumulado en “t”), el

costo en “t” está dado por ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] .txtx2tx,txC2'' += Resolver el

problema de minimización de costos de la empresa si se sabe que

( ) ,00x = ( ) yNTx = “T” libre. Compruebe si el extremal hallado minimiza

globalmente la funcional objetivo. Calcule los costos mínimos totales.


250

2.- Modelo de Ramsey11 (1928): La cuestión central tratada por Ramsey es la

de la asignación intertemporal del recurso: ¿Qué cantidad del producto

nacional neto en cualquier instante del tiempo la autoridad planificadora

debería destinar al consumo presente para producir utilidad presente, y

cuánto debería destinar al ahorro (y a la inversión) para incrementar la

producción y el consumo futuros, y por tanto producir utilidad futura?

Considere una economía que evoluciona a lo largo del tiempo donde

( )tKK = denota el stock de capital, ( )tCC = el consumo e ( )tYY = el

producto nacional neto en el instante “t”. Supóngase que:

( )( )tKFY = con ( )( ) ( )( )

0dK

tKFd,0

dK

tKdF

2

2

≤>

De manera que el producto nacional neto es una función cóncava

estrictamente creciente respecto al stock de capital. Además,

supondremos que la producción se divide en consumo e inversión, esto

es:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

dt

tdKtCtItCtKFY +=+==

De donde:

( ) ( )( )( )

( )Θ−=dt

tdKtKFtC

Asimismo, permítase a ( ) 0K0K 0 >= ser el stock de capital existente en

la actualidad, y supóngase que estamos considerando un periodo de

planeamiento [ ].T,0

Ahora, para cada elección de la función de inversión ( )( )

dt

tdKtI = en [ ],T,0

el capital es completamente determinado por la función

( )( )

ττ

+= ∫ ddt

dKKtK

t

0

0 y ( )Θ a su vez determina ( ).tC Además, se asume

que la sociedad tiene una función de utilidad “ ( )( )tCU ”, donde ( )( )tCU es la

utilidad (flujo) que el país disfruta cuando el consumo total es ( ),tC y

permítasenos requerir que:

( )( )

( )

( )( )

( )0

tdC

tCUd,0

tdC

tCdU

2

2

<>

11

Frank Ramsey no ha pasado a la historia como alguien especialmente recordado fuera del entorno

económico, en parte se ha debido a su temprana muerte a la edad de 27 años. A pesar de ello dejó plasmadas varias ideas brillantes en sus trabajos, que serían desarrolladas posteriormente por varios

renombrados economistas: Solow y Swan (1956), Cass y Koopmans (1965).


251

De modo que ( )( )tCU es estrictamente creciente y estrictamente cóncava

(este supuesto implica que la gente en un determinado nivel de consumo

deriva menos incremento en su satisfacción ante un incremento dado en

el consumo que el que deriva la gente a un nivel de consumo más bajo).

Finalmente, se asume que la tasa de descuento es “r” y que el criterio de

inversión es el siguiente: escoger ( )( )

dt

tdKtI = para [ ]T,0t ∈ de manera que

la utilidad total descontada para el país en el periodo [ ]T,0 sea la mayor

posible.

Se pide resolver el problema de asignación intertemporal eficiente del

recurso teniendo en cuenta que ( )( ) ( ) ( ),0btbKtKF >=

( )( )( )[ ]

( ),101

tCtCU

1

<γ<γ−

=

γ−

y que la condición terminal es:

a) ( ) ,0KTK T >=

b) ( ) .libreTK =

3.- Halle la senda, cuyo punto inicial es ( )1,0A = y cuyo estado terminal está

determinado por ( ) ,t34t −=φ que minimice la distancia entre “A” y ( ).tx

4.- Un individuo tiene una única fuente de ingresos que son los intereses

obtenidos por sus ahorros ( )tSS = a una tasa de interés “i” ( ).1i0 <<

Estos intereses son distribuidos entre consumo ( )tC y nuevo ahorro

( ) ( ) 0tStI '

<

>= (es decir, se permite el desahorro). Inicialmente el individuo

tiene unos ahorros de S0, y elige su tasa de consumo para maximizar su

flujo de utilidad descontada sobre un horizonte finito:

( )( )[ ] dtetCUmax

rt

T

0tC

−∫

La elección de la senda temporal para ( )tC en la maximización es

restringida por la siguiente relación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tStSitCtCtSitS '' −=⇒−=

Y por las condiciones de borde:

( )

( )

>

=

=

libre)b

0S)aTS

S0S

T

0


252

Resuelva el problema si se sabe que:

( )[ ]( )

( )0e

tCU

tc

>αα

−=

α−

5.- Una empresa ha recibido un pedido de “A” unidades de su producto, que

deben entregarse al cabo de un tiempo T, fijado. La empresa quiere saber

cuál debe ser la tasa de producción ( ) ,t0,tP Τ≤≤ para atender ese

pedido en la fecha estipulada, al costo mínimo. Se sabe que el costo

unitario de producción es proporcional a la tasa de producción (sea

“ 0K1 > ” la constante de proporcionalidad), y que el costo unitario de

mantener el producto en inventario por unidad de tiempo es constante e

igual a “ 0K 2 > ”. Sea ( )tx el inventario acumulado en el instante “t”

igual a la producción acumulada pasada. Por lo que, bajo el supuesto

anterior, se verifica que ( ) ( ).txtP '= Entonces, se tiene que ( ) ,00x = y se

debe alcanzar ( ) .ATx = Se pide:

a) Encontrar la tasa de producción y el inventario acumulado óptimos

(ignórese la restricción ( )( ) .0tP ≥ ¿Qué condición tiene que

cumplirse para que la solución óptima cumpla ( ) 0tP ≥ ?

b) Suponer ahora que “A” es una constante dada, pero “T” es libre.

Encontrar la solución óptima (ignorando la restricción ( )( ) .0tP ≥

c) Verifique si se cumple la condición de optimalidad local de Legendre.

d) Verifique si la solución es globalmente óptima.

6.- Considere el problema macroeconómico de conducir el estado ( )tx de la

economía sobre el curso del periodo de planificación [ ]T,0 hacia el nivel

deseado ,x independiente de “t”, por medio del control ( )tu , donde

( ) ( ).tutx ' = Ya que utilizar el control es costoso, el objetivo es minimizar la

integral ( )( ) ( )[ ] dttucxtx

T

0

22

∫

+− con ( ) ,xTx = donde “c” es una

constante positiva.

Es más conveniente definir ( )ty como la diferencia entre la variable de

estado original y el nivel objetivo ,x de manera que el valor objetivo de

( )ty sea nulo: ( ) .0Ty = Entonces ( ) ( ).tytu '= Esto conduce al siguiente

problema de cálculo de variaciones:

( ) ( )[ ]

( )( ) 0Ty

y0y:a.s

dttyctymin

0

T

0

2'2

=

=

+∫


253

Donde 0y es la desviación inicial del nivel objetivo. Se pide:

a) Encontrar la trayectoria óptima global.

b) Suponiendo ahora que ( )Ty es libre, encuentre la trayectoria global

óptima de la variable de estado, y discuta qué le sucede al estado

terminal ( )Ty cuando el horizonte +∞→T y también cuando .c +∞→

7.- De un stock de capital igual a ( )tK en el instante “t” se puede producir

un bien a una tasa ( )( ).tKF La función de producción “F” se asume que

es de clase dos, creciente y cóncava. Esta producción puede consumirse,

produciendo inmediata satisfacción, o puede invertirse para aumentar el

stock de capital y por tanto la capacidad productiva futura. La producción

( )( )tKF es por tanto la suma del consumo ( )tC y la inversión ( )tK' (el

cambio en el stock de capital).

Es decir:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tKtKFtCtKtCtKF'' −=⇒+=

El problema consiste en elegir la parte de la producción a ser invertida en

cada instante “t” para maximizar la utilidad derivada del consumo a lo

largo del periodo [ ]T,0 . Es decir:

( )( )( ) ( )[ ]

( )( ) 0TK

00K:a.s

dttKtKFUmax

T

0

'

tK

≥

=

−∫

Se supone que la función de utilidad es una función de clase dos,

estrictamente creciente y estrictamente cóncava.

Resuelva el problema suponiendo que la función de utilidad es la función

de utilidad exponencial o función con coeficiente de aversión absoluta al

riesgo constante (CAAR):

( )( )( )

α−=

⋅α− tcetcU para 0α >

Donde el coeficiente de aversión absoluta al riesgo es:

( )( )( )( )

( )( )

( )

( )α=

α−−=−=β

⋅α−

⋅α−

tC

tC

e

e

tC'U

tC''UtC

Además asuma que la producción es:

( )( ) ( )tbKtKF = para 0b >


254

Solución:

1.- La formulación matemática de este problema es la siguiente:

( ) ( )[ ]( ) ( )( )

( ) ( )[ ]( ) ( )( )

( )( ) libre:TyNTx

00x:a.s

dttxtx2maxdttxtx2min

T

0

tx,txC

2'T

0

tx,txC

2'

''

=

=

−−=

+ ∫∫

−444 8444 76444 8444 76

La ecuación de Euler es:

( ) ( )( )25

x

C

dt

d

x

C

'

∂

−∂=

∂

−∂

[ ] ( )261xx2x2dt

d2 ''''' =⇒−=−=−

Integrando dos veces (26) se obtiene:

( ) ( )27BAt2

ttx

2

++=

La condición de transversalidad es:

( )( )280

x

CxC

Tt

'

' =

∂

−∂−−

=

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ⇒=+−=−−−− 0TxTx2Tx2TxTxTx22'''2'

( )[ ] ( )Tx2Tx2' = ( )29

Por las condiciones iniciales tenemos que:

( )( )

( ) ( ) ( )30At2

ttx0BB0A

2

00x

22

+=⇒=⇒++=

Derivando (30) respecto del tiempo tenemos:

( ) ( )31Attx' +=

Evaluando (30) y (31) en “T” tenemos:

( ) ( )32AT2

TTx

2

+=


255

( ) ( )33ATTx' +=


( ) 0AAT2TAAT2TAT2

T2AT 222

22 =⇒+=++⇒

+=+

Reemplazando “A” en (30):

( ) ( )342

ttx

2* =

Por las condiciones finales:

( ) ( )35N2TN2

TTx *

2

=⇒==

La matriz hessiana de “ ( ) ( )( )tx,txC '**− ” es:

( ) ( )( )[ ]

−=−

20

00tx,txCH '**

El hessiano es semidefinido negativo ya que tiene un autovalor nulo y el

otro negativo (igual a 2− ). Por tanto, ( )tx* maximiza globalmente a

( ) ( )( )[ ]dttx,txC

T

0

'∫ − y minimiza globalmente ( ) ( )( )[ ] .dttx,txC

T

0

'∫

N2T* = 0 t

( )tx

( ) 2ttx2* =

N

Figura 7

Derivando (34):

( ) ( )36ttx '* =


256

Reemplazando (34) y (36) en ( ) ( )( )tx,txC ' obtenemos el valor máximo de la

funcional objetivo:

( ) ( )( ) ( ) 23N2

0

222

'** N23

2dtt2t

2

t2tx,txC =⇒+

= ∫


[ ] ( )( )

( ) 0

T

0

rt

K0K:a.s

dtetCUmaxKJ

=

= ∫−

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )37,10e1

tKtbK

t,tK,tKfrt

tCU

1tC

'

' <γ<γ−

−

= −

γ−

444 3444 21

44 844 76

Las derivadas parciales de “f” de primer y segundo orden son:

( ) ( )38eKbKbebUf rt

U

'rt'K

'

−γ−− −==

4484476

( )39eKbKeUf rt'

Frt'

K '−

γ−

−

−−=−=

( ) ( )

( )40eKbKbeUbff rt1'rt''F

KKKK

'

''−+γ−− −γ=−==

( ) ( )( )41eKbKbeUbf rt1'2rt''2

KK−+γ−− −γ−==

( ) ( )( )42eKbKeUf rt

U

1'rt''KK

''

''−+γ−− −γ−==

444 8444 76

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43eKbKKbKKbKreCUrUf rt

C

'''1''rt''''

tK

'

'−γ+−γ−−

−−γ+−=−=

48476


( )44fftKK '=

Reemplazando (38) y (43) tenemos:

( ) ( ) ( )*UUbrCeCUrUebU''''rt''''rt' −=⇒−= −−


257

Teniendo en cuenta que el coeficiente de aversión relativa al riesgo de

Arrow-Pratt es ( )( ) ( )( )

( )( )tCU

tCUtCt

'

''

r

⋅−=β , tenemos:

( )

( )

( )( )

( )( )**

t

rtKF

tC

tC

r

b

'

'

β

−

=

48476

Dado que se ha asumido que ( )( ) 0tCU'' < y ( )( ) 0tCU

' > , entonces

( ) .0tr >β Por lo que que:

( )

( )( )( ) rtKF0

tC

tC ''

>⇔>

Por tanto, el consumo crece si y sólo si la productividad marginal del

capital “ ( )( )tKF' ” excede a la tasa de descuento intertemporal “r”. Por

otro lado, si ( )( ) rtKF' < , existe tanta impaciencia a consumir que el

consumo empieza alto, y luego decrece en el tiempo.

Reescribiendo (**) tenemos:

( )

( )( ) ( )( ) ( )***tKFt

tC

tCr

b

'

TRC

r

' 4847644 844 76

=β+

La ecuación (***) se puede interpretar como una condición de equilibrio

intertemporal, en la que la tasa de retorno del consumo “TRC” debe ser

igual en todo instante a la tasa de retorno del ahorro (la productividad

marginal del capital o tasa de retorno real del capital).

Reemplazando 'U de (38), ''U de (42), y 'C de (43), en (*) tenemos:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) 1'

1'

'''' KbK

rbbr

KbK

KbKKbK

−

+γ−

γ−

−γ

−=−

−−

−=−

( )450KKK0Krb

bKbrb

K '''''' =δ+θ−⇒=

γ

−+

+

γ

−−

δθ 484764484476

El polinomio característico es:

( ) .rb

yb0P 212

λ

−=λ=λ⇒=δ+θλ−λ=λ


258

La solución es:

( ) ( )46eAeAtK

trb

2bt

1*

γ

−

+=

Por tanto, la inversión óptima será:

( )( )

( )47erb

AbeAdt

tdKtI

trb

2bt

1

**

γ

−

γ

−+==

El producto nacional neto óptimo será:

( ) ( ) ( )48beAbeAtbKtY

trb

2bt

1**

γ

−

+==

El consumo óptimo será:

( ) ( ) ( ) ( )49erb

bAtItYtC

trb

2***

γ

−

γ

−−=−=

Considerando la condición inicial se tiene que:

( ) ( )50kAA0K 021* =+=

a) Para la condicón final ( ) TKTK = tenemos:

( ) ( )51KeAeATK T

Trb

2bT

1* =+=

γ

−

De (50) y (51) se obtiene que:

bTT

rb

bT0T

2

bTT

rb

T

Trb

01

ee

eKKAy

ee

KeKA

−

−=

−

−=

γ

−

γ

−

γ

−

Reemplazando “A1” y “A2” en (46), (47), (48) y (49) tenemos:

( ) ( )52e

ee

eKKe

ee

KeKtK

trb

bTT

rb

bT0Tbt

bTT

rb

T

Trb

0*

γ

−

γ

−

γ

−

γ

−

−

−+

−

−=


259

( ) ( )53erb

ee

eKKbe

ee

KeKtI

trb

bTT

rb

bT0Tbt

bTT

rb

T

Trb

0*

γ

−

γ

−

γ

−

γ

−

γ

−

−

−+

−

−=

( ) ( )54be

ee

eKKbe

ee

KeKtY

trb

bTT

rb

bT0Tbt

bTT

rb

T

Trb

0*

γ

−

γ

−

γ

−

γ

−

−

−+

−

−=

( ) ( )55erb

b

ee

eKKtC

trb

bTT

rb

bT0T*

γ

−

γ

−

γ

−−

−

−=

Ahora constataremos que la senda del stock de capital maximiza la

funcional objetivo.

La matriz Hessiana de la función intermedia “f” en cualquier [ ]T,0t ∈ es:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )561b

bbtKtbKet,t'K,tKHf

2

1tC

'rt

−

−

−γ=

+γ−

−

44 844 76

El hessiano en ( ) ( )

t,t

'*K,tK

* lo obtenemos reemplazando (55) en (56):

( ) ( )

( )

( )

−

−

γ

−−

−

−γ=

+γ−

γ

−

γ

−

−

1b

bbe

rbb

ee

eKKet,t'K,tKHf

2

1

tC

trb

bTT

rb

bT0Trt

**

*

44444444 344444444 21

Para que el consumo óptimo sea positivo deberemos imponer las

siguientes condiciones:

( )57eKKyrb

bbT

0T <

γ

−>

Al ser ( ) ⇒> 0tC* ( ) ( )

t,t

'K,tKHf

** será semidefinido negativo ya que

tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a ( ).b1 2+− Por tanto,

“F” es cóncava. En consecuencia, (52) maximiza la funcional objetivo.

Por ende, las trayectorias (53), (54) y (55) también serán óptimas.


260

b) Para la condición final ( ) :libreTK =

Junto con la ecuación de Euler y la condición inicial, deberemos utilizar

la siguiente condición de transversalidad:

( )580fTtK *' =

=

( ) ( )[ ] ( ) ( )590eTCeTKTbKf rT*rT*'*

TtK *' =−=−−= −γ−−γ−

=

Pero para:

( )( )( )[ ]

( )101

tCtCU

1

<γ<γ−

=

γ−

Tenemos que:

( )( )

( ) ( )( ) 0tC0

tC

1

tdC

tCdU>⇔>=

γ

( )( )

( ) ( )[ ]( )( ) 0tC0

tCtdC

tCUd

12

2

>⇔<γ−

=+γ

Por tanto, para que se verifiquen las hipótesis:

( )( )

( )0

tdC

tCdU>

( )( )

( )0

tdC

tCUd

2

2

<

Se deberá verificar que:

( ) [ ]T,0t0tC ∈∀>

Por tanto:

( ) 0TC* >

Lo cual implica que:

( ) ( )600eTCf rT*

TtK *' <−= −γ−

=

En consecuencia, para esta condición final, el problema no tendría

solución ya que (60) contradice a (59).


261

3.- Se consideran todas las curvas ( )tx de clase C2 que parten de ( ),1,0A =

que por tanto satisfacen la condición inicial, y que llegan a la recta

( ) ,t34t −=φ por lo que cumplen la condición final ( ) ( ) ,t34ttx 111 −=φ= tal

como se aprecia en la figura 8. A cada una de dichas funciones se les

asigna como valor objetivo, la longitud total del arco de la curva ( )tx , que

parte de ( )1,0A = y llega a la recta ( ) .t34t −=φ

Ahora vamos a deducir una expresión que nos permita calcular la

longitud de arco de una curva ( )tx que parta de ( )1,0A = y llegue a la

recta ( ) .t34t −=φ Para ello nos vamos a apoyar en el hecho que para dos

puntos muy próximos de una curva, la longitud de arco entre dichos

puntos se puede expresar, gracias al teorema de Pitágoras, de la siguiente

forma (ver la porción de la curva ( )tx encerrada en un círculo en la figura

8):

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

( )dt

dt

dx1dLdt

dt

dx1dLdxdtdL

2

22

2

22222 +=⇒

+=⇒+=

( ) ( )61dtx1dtdt

dx1dL

2'

2

+=

+=

dL

dt

dx

( )tx

t

( )1,0A =

( )tx*

( ) t34t −=φ

Figura 8

Por tanto, la longitud total del arco de la curva ( )tx , que parte de

( )1,0A = y llega a la recta ( ) t34t −=φ vendrá determinada por la

integral de “dL” desde 0t = hasta el instante terminal 1tt = :


262

[ ] ( ) ( )62dtx1xL

1t

0

2'∫ +=

En consecuencia, el problema a resolver consiste en determinar una

trayectoria que posea la longitud total de arco mínima, pero sujeta a la

condición terminal ( ) ,t34tx 11 −= esto es:

[ ] ( )

( )( ) 11

t

0

2'

t34tx

10x:a.s

dtx1xLmin

1

−=

≡=

+= ∫

[ ] ( )

( )( )

( )( ) 11

t

0

txF

2'

t34tx

10x:a.s

dtx1xLmax

1

'

−=

=

+−=− ∫

4484476


( )( )( )( )

( )( )( )( )

∂

∂=

∂

∂

tx

txf

dt

d

tx

txf

'

''

Sustituyendo las derivadas correspondientes tenemos:

( ) ( )B

A1

AxA

x1

x

x1

x

dt

d0

2

2'

2'

'

F

2'

'

'x

=−

=⇒=

+

−⇒

+

−=

44 844 76

Integrando 'x tenemos:

( ) ( ) ( )63tt0,CBttx 1≤≤+=

Por la condición inicial tenemos:

( ) ( ) ( )641Bttx1C0x +=⇒==

( ) ( )65Btx' =

Por la condición final tenemos:

( ) ( )663B

3tt341Bttx *1111

+=⇒−=+=

La condición de transversalidad es:

( )[ ] 0fxf*1

'

ttx'' =−φ+

=


263

Calculando y reemplazando las expresiones correspondientes tenemos:

( ) 0

B1

BB3B1

2

2 =

+

−−−++−

Resolviendo la ecuación anterior se obtiene que .3

1B = Por tanto, dado

que ( )( ) 910txF '* −= es una constante, entonces tanto “F” como “ F− ”

serán cóncavas y convexas, y en consecuencia ( )tx* será una trayectoria

que reemplazada en la funcional objetivo ( )[ ]txL hará que ésta sea

mínima.

En consecuencia, el instante final, la trayectoria óptima, y el valor de la

trayectoria óptima en el instante final vienen dados por:

( )6710

9t*1 = ( ) ( ) ( )68109t01

3

ttx* ≤≤+= ( ) ( )69

10

13tx *1

* =

La distancia mínima es:

[ ] .1010

3t

9

10dt

9

10dt

3

11xL

109

0

109

0

109

0

2

* ===

+= ∫∫

Note que dicha distancia mínima también se puede calcular utilizando la

fórmula de distancia entre los puntos ( ) ( ):1013,109y1,0

( ) ( ) .1010

3101311090d

22* =−+−=


[ ] ( )( )

( ) 0

T

0

rt

S0S:a.s

dtetCUmaxKJ

=

= ∫−

( )( )( ) ( ) ( )[ ]

( ),0ee

tCU

tStiStC '

>αα

−=α

−=

−α−α−

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( )

( )70e1

t,tS,tSf rttStiS'

tC

' −−α−

α−=

44 844 76


264

Las derivadas parciales de “F” de primer y segundo orden son:

( ) ( )71;ief rttC

S−α−= ( ) ( )72;ef

rttCS '

−α−−=

( ) ( )73;ieff

rttCSSSS ''

−α−α== ( ) ( )74;eif rttC2SS

−α−α−=

( ) ( )75;efrttC

SS ''−α−α−= ( )[ ] ( ) ( )76ertCf

rttC'tS '

−α−+α=


( )77fftSS '=


( ) ( )[ ] ( ) rttC'rttCertCie

−α−−α− +α=

( )[ ] ( )78rtCi ' +α=

Pero:

( ) ( ) ( ) ( )79tStiStC '''' −=

Reemplazando (79) en (78) se obtiene:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )80br

tiStSrtStbSb ''''''

α

−=−⇒+−α=

El polinomio característico es:

( )

=λ

=λ⇒=λ−λ=λ

i

00iP

2

12


( ) ( )81eAAtS it21

*c +=

Por tanto:

( ) ( ) ( )820tS1tS '11 =⇒=

( ) ( ) ( )83ietSetS it'2

it2 =⇒=


265

El determinante Wronsquiano es:

( ) 0ieie0

e1tW

it

it

it

≠==

En consecuencia, ( )tS1 y ( )tS2 son linealmente independientes.

Entonces:

( ) it

it

it

1 eri

ieir

e0

tW

α

−=

α

−= ( )α

−=

α

−=ir

ir0

01

tW2

( ) ( )( )

( )( )84t

i

ridt

i

ridt

tW

tWtStS

11p1

α

−=

α

−== ∫∫

( ) ( )( )

( )( )85

i

ridte

i

iredt

tW

tWtStS

2

itit22p2

α

−=

α

−== ∫∫ −

Sumando (84) y (85) obtenemos la solución particular:

( ) ( )86i

rit

i

ritS

2p

α

−+

α

−=

Sumando (81) y (86) obtenemos la solución general:

( ) ( )87i

rit

i

rieAAtS

2

it21

*

α

−+

α

−++=

Derivando (87) respecto de “t” tenemos:

( ) ( ) ( )88i

riieAtStI

it2

'**

α

−+==

De (70) sabemos que:

( ) ( ) ( ) ( )89tri

iAtStiStC 1'***

α

−+=−=

Considerando la condición inicial se tiene que:

( ) ( )90Si

riAA0S 0221

* =

α

−++=


266

a) Para la condicón final ( ) TSTS = tenemos:

( ) ( )91Si

riT

i

rieAATS T2

iT21

* =

α

−+

α

−++=


( )( )92

1e

i

rieiT1SeS

AiT

2

iTT

iT0

1−

α

−−++−

=

( )931e

Ti

irSS

AiT

0T

2−

α

−+−

=

Reemplazando (92) y (93) en (87), (88) y (89) tenemos:

( )( )

( )94i

rit

i

rie

1e

Ti

irSS

1e

i

rieiT1SeS

tS

2

it

iT

0T

iT

2

iTT

iT0

*

α

−+

α

−+

−

α

−+−

+

+−

α

−−++−

=

( ) ( ) ( )95i

riie

1e

Ti

irSS

tStI it

iT

0T

'**

α

−+

−

α

−+−

==

( )( )

( )96tri

i1e

i

rieiT1SeS

tCiT

2

iTT

iT0

*

α

−+

−

α

−−++−

=

Ahora constataremos que la trayectoria del ahorro (y por tanto la del

consumo) maximiza globalmente la funcional objetivo.

La matriz Hessiana de la función intermedia, para cualquier [ ],T,0t ∈

evaluada en ( ) ( )

t,t

'*S,tS

* es:


267

( ) ( ) ( ) ( )971i

iiet,t

'*S,tSHf

2rttC* *

−

−α= −α−

La matriz hessiana ( ) ( )

t,t

'*S,tSHf

* será semidefinida negativa ya que

tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a ( ).i1 2+− Por tanto, la

función intermedia “F” es cóncava.

En consecuencia, la ecuación (94) maximiza la funcional objetivo. Por

ende, las trayectorias dadas por (95) y por (96) también serán óptimas.

b) Para la condición final ( ) :libreTS =

Junto con la ecuación de Euler y la condición inicial, deberemos utilizar

la siguiente condición de transversalidad:

( )980fTtS *' =

=

Reemplazando (72) en (98) y evaluando en “T” tenemos la siguiente

expresión:

( ) ( )990ef rTTC

TtS

*

*' ≠−= −α−

=

Por tanto, en este caso particular, el problema en cuestión no tendrá

solución ya que la ecuación (99) contradice a la ecuación (98).

5.- De acuerdo al enunciado del problema tenemos que la tasa de cambio

instantánea de los costos totales de la empresa en cualquier instante “t” será:

( ) ( ) ( )

dt

tdC

dt

tdC

dt

tdC InventprodTot+= (100)

Aplicando la regla de la cadena a la tasa de cambio instantánea de los

costos de producción, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )

dt

tdC

dt

tdq

dq

tdC

dt

tdC Inventprod

prod

prodTot+⋅= (101)

Definamos a “ ( )tq prod ” como la cantidad producida en cada instante de

tiempo “t”. Por el enunciado del problema se tiene que en cada “t” dicha

cantidad deberá ser igual al inventario acumulado. Esto es:

( ) ( )txtq prod = (102)


268

Derivando (102) respecto al tiempo, y teniendo en cuenta que por el

enunciado del problema y por (102) resulta que ( )( )

,dt

tdqtP

prod=

entonces tenemos que:

( )( )

( )txdt

tdqtp 'prod

== (103)

Por otro lado, de acuerdo al enunciado del problema:

( )( )tpK

dq

tdC1

prod

prod⋅= (104)

( )( )txK

dt

tdC2

Invent⋅= (105)

Reemplazando (103), (104) y (105) en (2) se tiene que:

( )( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )txKtpKtxKtptpK

dt

tdC2

2121

Tot⋅+⋅=⋅+⋅⋅=

( )( )[ ] ( )txKtxK

dt

tdC2

2'1

Tot⋅+⋅= (106)

Por tanto, el costo total de la empresa en el periodo [ ]T,0 será:

( )[ ] ( )∫

⋅+⋅

T

0

2

2'1 dttxKtxK (107)

En consecuencia, el problema que deberá resolver la empresa será:

( )[ ] ( )

( )( )( ) 0tp

ATx

00x:a.s

dttxKtxKmin

T

0

2

2'1

≥

=

=

⋅+⋅∫

(108a)

Por lo que el problema equivalente será:

( )[ ] ( )

( )( )( ) 0tp

ATx

00x:a.s

dttxKtxKmax

T

0

2

2'1

≥

=

=

⋅+⋅−∫

(108b)


269

a) La ecuación de Euler a resolver será:

( )

( )

( )( )

dt

txdt

tdCd

tx

dt

tdC 'TotTot ∂

−∂

=∂

−∂

( )[ ]( ) ( )

K2

KtxtxK2K

dt

txK2dK

2''''12

'1

2 =⇒−=−⇒−

=− (109)

Integrando (109) tenemos:

( ) 32' Kt

K2

Ktx += (110)

Integrando (110) tenemos:

( ) 432

1

2* KtKtK4

Ktx ++= (111)

Aplicando las condiciones iniciales a (111) se tiene:

( ) 0K0x 4* == (112)

Reemplazando (112) en (111) tenemos:

( ) tKtK4

Ktx 3

2

1

2* += (113)

Aplicando las condiciones finales a (113) se tiene:

( ) TK4

K

T

AKATKT

K4

KTx

1

233

2

1

2* −=⇒=+= (114)

Reemplazando (114) en (113) resulta:

( ) ( )Tt0tTK4

K

T

At

K4

Ktx

1

22

1

2* ≤≤

−+= (115)

Para que ( ) 0tP ≥ debe verificarse:

( ) ( ) 0txtP '** ≥= (116)

Derivando (115) respecto al tiempo tenemos:


270

( ) ( ) ( )Tt0TK4

K

T

At

K2

Ktptx

1

2

1

2*'* ≤≤−+== (117)


0TK4

K

T

At

K2

K

1

2

1

2≥−+ (118)

Dado que K1 y K2 son constantes positivas y ,Tt0 ≤≤ entonces,

para que (118) se verifique en cualquier [ ]T,0t ∈ bastará con que:

TK4

K

T

A0T

K4

K

T

A

1

2

1

2≥⇒≥− (119)

b) Para este nuevo caso, en el que “T” es libre, siguen siendo válidas la

ecuación de Euler, las condiciones iniciales y las condiciones finales

(pero “T” es desconocido) y las ecuaciones (115), (117) y (119). Pero

ahora hay que añadir la condición de transversalidad correspondiente

a “T” desconocido:

[ ][ ]

0x

xKxK

xxKxK

Tt

'

2

2'1

'2

2'1 =

∂

⋅−⋅−∂

⋅−

⋅+⋅−

=

(120)

( )[ ] ( ) ( ) ( ) 0TxK2TxTxKTxK *'1

*'*2

2*'1 =⋅+

⋅+⋅−

( )[ ] ( ) ( )[ ] 0TxK2TxKTxK2*'

1*

2

2*'1 =+⋅−⋅−

( )[ ] ( ) 0TxKTxK *2

2*'1 =⋅− (121)

Reemplazando (115) y (117), evaluadas en “T”, en (121) tenemos:

0TTK4

K

T

AT

K4

KKT

K4

K

T

AT

K2

KK

1

22

1

22

2

1

2

1

21 =

−+⋅−

−+

0AKT

AT

K4

KK 2

2

1

21 =−

+ (122)


271

Factorizando se tiene:

0TK4

K

T

AK

2

1

21 =

−

Entonces, como 0K1 > tenemos:

0K

AK2T0T

K4

K

T

A

2

1*

1

2>+=⇒=−

En consecuencia, reemplazando “T*”

en (115) y (117) tenemos:

( ) ( )*2

1

2* Tt00tK4

Ktx ≤≤≥=

( ) ( ) ( )*

1

2*'* Tt00tK2

Ktptx ≤≤≥==

c) La condición necesaria de Legendre:

( )[ ] ( )

( )0K2

tx

txKtxK

12'

*2

2'*1

2

<−=∂

⋅−⋅−∂

Nos dice que ( )tx* , tanto para el apartado a) como para el apartado

b), es un máximo local del problema (108b) y un mínimo local del

problema (108a).

d) Para verificar la globalidad de las soluciones debemos verificar si la

función intermedia es cóncava en ( )'x,x para cada [ ]T,0t ∈ en el

problema (108b). Para ello bastará con verificar que el Hessiano de la

función intermedia es semidefinido negativo en ( )'x,x para cada

[ ]T,0t ∈ . El Hessiano de la función intermedia para cada [ ]T,0t ∈

viene dado por:

( )[ ] ( )

−=

⋅−⋅−

12

2'1

K20

00txKtxKH

Los autovalores del Hessiano son:

0K2y0 121 <−=λ=λ

Por tanto, el Hessiano de la función intermedia es semidefinido

negativo, y ( )tx* , tanto para el apartado a) como para el apartado b),

es un máximo global del problema (108b) y un mínimo global del

problema (108a).


272

6.- El problema original y el problema equivalente vienen dados por:

( ) ( )[ ]

( )( ) 0Ty

y0y:a.s

dttyctymin

0

T

0

2'2

=

=

+∫

(123a) ≡

( ) ( )[ ]

( )( ) 0Ty

y0y:a.s

dttyctymax

0

T

0

2'2

=

=

+−∫

(123b)

a) La ecuación de Euler a resolver será:

( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ] ( )

dt

tytyctyd

ty

tycty'2'22'2 ∂

+−∂

=∂

+−∂

( )( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) 0tyc

1tytcy2ty2

dt

tcy2dty2 ''''

'

=−⇒−=−⇒−

=− (124)

El polinomio característico de (124) es:

−=

+=

⇒=−

c

1r

c

1r

0c

1r

2

1

2 (125)

La solución complementaria (y también total) de (124) será:

( ) ( ) tc1tc1*c

* BeAetyty−

+== (126)

Ya que el Wronsquiano construido con:

( ) ( ) tc1'1

tc11 ec1tyety =⇒=

( ) ( ) tc1'2

tc12 ec1tyety

−−−=⇒=

Y que viene dado por:

( ) ( ) 0tW0c12

ec1ec1

eetW

tc1tc1

tc1tc1

≠⇒<−=

−

=−

−

Aplicando las condiciones iniciales a (126) se tiene:

( ) 0* yBA0y =+= (127)


273

Aplicando las condiciones finales a (126) se tiene:

( ) Tc12Tc1Tc1*AeB0BeAeTy −=⇒=+=

− (128)


Tc12

0

Tc12

0

e1

yBy

e1

yA

−−

=

−

= (129)


( ) tc1

Tc12

0tc1

Tc12

0*e

e1

ye

e1

yty

−

−

−

+

−

= (130)

Para verificar la globalidad de ( )ty* debemos verificar si la función

intermedia es cóncava en ( )'y,y para cada [ ]T,0t ∈ en el problema

(123b). Para ello bastará con verificar que el Hessiano de la función

intermedia es semidefinido negativo en ( )'y,y para cada [ ]T,0t ∈ . El

Hessiano de la función intermedia para cada [ ]T,0t ∈ viene dado por:

( ) ( )[ ]

−

−=

+−

c20

02tyctyH

2'2

Los autovalores del Hessiano son:

0c2y2 21 <−=λ−=λ

Por tanto, el Hessiano de la función intermedia es definido negativo,

por lo que la función intermedia de (123b) será estrictamente cóncava.

Entonces, ( )ty* es un máximo global del problema (123b) y un

mínimo global del problema (123a).

Finalmente, la trayectoria óptima global será:

( ) xe

e1

ye

e1

ytx

tc1

Tc12

0tc1

Tc12

0* +

−

+

−

=−

−

b) Para este nuevo caso, en el que “ ( )Ty ” es libre, siguen siendo válidas

la ecuación de Euler, la condición inicial y las ecuaciones (126) y

(127). Pero ahora hay que añadir la condición de transversalidad

correspondiente a “ ( )Ty ” desconocido:


274

( ) ( )[ ]( )

0ty

tycty

Tt

'

2'2

=∂

+−∂

=

( ) ( ) 0Ty0Tcy2*''* =⇒=− (131)


( ) tc1tc1*' ec1Bec1Aty−

−= (132)

Evaluando (132) en “T”, y teniendo en cuenta (131) se tiene:

( ) 0ec1Bec1ATyTc1Tc1*' =−=

− (133)

De (127) y (133) se obtiene:

Tc12

0

Tc12

0

e1

yBy

e1

yA

−+

=

+

= (134)


( ) tc1

Tc12

0tc1

Tc12

0*e

e1

ye

e1

yty

−

−

+

+

+

= (135)

De manera análoga al apartado a) podemos verificar que ( )ty* es un

máximo global del problema (108b) y un mínimo global del problema

(108a) con “ ( )Ty ” libre.

Evaluando (135) en “T” obtenemos:

( ) Tc1

Tc12

0Tc1

Tc12

0*e

e1

ye

e1

yTy

−

−

+

+

+

=

( )Tc1Tc1

0*

ee

y2Ty

−+

=

Por otro lado, cuando +∞→T ( )Ty* tiende a:

( ) 0

ee

y2límTylím

Tc1Tc1

0

T

*

T→

−

=−+∞→+∞→


275

Asimismo, cuando 0c → ( )Ty* tiende a:

( )

−

=

−

=→−→→

1e

ey2lím

ee

y2límTylím

Tc12

Tc10

0cTc1Tc1

0

0c

*

0c

Ya que si reemplazamos 0c → en ( )Ty* se obtiene la forma

indeterminada ,∞

∞ podemos aplicar L’Hôpital:

( ) 0

e

ylím

ec12

ec1y2límTylím

Tc1

0

0cTc12

Tc10

0c

*

0c→

=

=→→→

Finalmente, podemos observar que si 0c → entonces ( ) 0ty* →

incluso cuando “T” es fijo. Esto se aprecia aplicando límites a (135)

cuando 0c → :

( )

+

+

+

=−

−→→

tc1

Tc12

0tc1

Tc12

0

0c

*

0ce

e1

ye

e1

ylímtylím

( )( )

0

e1

eelímytylím

Tc12

tT2c1tc1

0c0

*

0c→

+

+=

−

−−−

→→

Lo anterior no es sorprendente, ya que según “c” se hace pequeño, es

decir, los costos se hacen insignificantes, entonces ( )ty* se ajusta a

cero casi inmediatamente.

7.- El problema a resolver es:

( )( )[ ]

( )( )

( ) ( ) ( )tKtKbtC

0TK

00K:a.s

dttCUmax

'

T

0tK

−⋅=

≥

=

∫ (136)


[ ]dt

KUd

K

U'∂∂

=∂

∂


276

( )( )

dt

K

tCUd

K

tCU

'

'

'

∂

∂

=∂

∂⋅

[ ]'

'

'

'''''''

'''

C

F

U

UCUFU

dt

UdFU =−⇒⋅−=⋅⇒

−=⋅ (137)

Para la función de utilidad exponencial o función con coeficiente de

aversión absoluta al riesgo constante (CAAR):

( )( )( )

α−=

⋅α− tce

tcU para 0α >

Se tiene que el coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo

es:

( )( )( )( )

( )( )

( )

( )α=

α−−=−=β

⋅α−

⋅α−

tC

tC

e

e

tC'U

tC''UtC (138)


α=⇒=α

''

'

'F

CC

F (139)

Por otro lado, la producción es:

( )( ) ( )tbKtKF = (140)

Entonces:

( )( ) btKF' = (141)


( )α

=b

tC '

Por tanto, integrando obtenemos:

( ) γ+α

= tb

tC* (142)

Reemplazando (140) y (1142) en (136) se tiene que:

( ) ( ) ( )tKtbKtb

tC '* −=γ+α

=


277

( ) ( ) γ−α

−=− tb

tbKtK '

La ecuación diferencial homogénea es:

( ) ( ) 0tbKtK' =−

El polinomio característico de la ecuación diferencial homogénea es:

( ) b0bP =λ⇒=−λ=λ

Entonces, la solución complementaria será:

( ) btc etK θ= (143)

Por lo que tenemos:

( ) bt1 etK =

El Wronsquiano vendrá dado por:

( ) 0eetW btbt >==

Para hallar la solución particular necesitamos calcular ( )tW1 :

( ) γ−α

−=γ−α

−= tb

tb

tW1

Por tanto, la solución complementaria será:

( ) ( )( )

( ) ∫∫α

+α

+αγ=

γ−

α−

==t

b

1dt

e

tb

edttW

tWtKtK

bt

bt11c (144)

La trayectoria del capital será:

( ) ( ) ( ) btpc

* et

b

1tKtKtK θ+

α+

α

+αγ=+= (145)

En este caso utilizaremos la condición de transversalidad de “línea

terminal vertical truncada”, esto es:

( ) ( )( )( )

0U0TK0TK0U

CHC

TtK**

TtK '' =

⋅−>≤

==

4444 84444 76

(146)


278

En este caso tenemos que:

( )[ ] ( ) 0eTCUU TC'

TtK ' <−=−= α−

=

Por tanto, por la (CHC) que aparece en (146) se tiene que:

( ) 0KTK mín* == (147)

Evaluando (145) en “T”, y teniendo en cuenta (147) tenemos:

( ) 0eT

b

1TK bT* =θ+

α+

α

+αγ= (148)

Aplicando la condición inicial a (1145) obtenemos:

( )b

1KK

b

10K 00

*

α

+αγ−=θ⇒=θ+

α

+αγ= (149)


( )

( )1e

1bT1Kbe

bT

0bT

−α

++−α=γ (150)


( )bT

0

e1

TK

−α

+α=θ (151)

Reemplazando (150) y (151) en (145) resulta:

( )( )

( ) ( )bt

bT

0

bT

bT0*

e

e1

TKt

1e

TeKtK

−α

+α+

α+

−α

+α= (152)

Derivando respecto (152) del tiempo tenemos:

( )( )

( )bt

bT

0'*e

e1

TKb1tK

−α

+α+

α= (153)


( )( )

( )1e

1bT1Kbet

btC

bT

0bT

*

−α

++−α+

α= (154)


279

Ahora constataremos que la trayectoria del capital, ecuación (152), y la

trayectoria de la inversión, ecuación (153), maximizan globalmente la

funcional objetivo.

La matriz Hessiana de la función intermedia, para cualquier [ ],T,0t ∈

evaluada en ( ) ( )

t,t

'*K,tK

* es:

( ) ( ) ( )

−

−α= α−

1b

bbet,t

'*K,tKHU

2tC* *

La matriz hessiana ( ) ( )

t,t

'*K,tKHU

* será semidefinida negativa ya que

tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a ( ).b1 2+− Por tanto,

la función intermedia “U” es cóncava.

En consecuencia, las ecuaciones (152) y (153) maximizan globalmente la

funcional objetivo. Por ende, la trayectoria dada por (154) también será

óptima.

7. Horizonte temporal infinito

Un supuesto común en economía es considerar horizonte temporal infinito.

Este supuesto es razonable cuando los agentes enfrentan decisiones de muy

largo plazo y cuando los agentes se preocupan por el bienestar de sus

descendientes. La forma general del problema de cálculo de variaciones a

resolver en este caso sería:

( )

[ ] ( ) ( )( )

( )( )

=

=

= ∫∞

librefinalx

x0x:a.s

dtt,tx,txfxJmax

XX

0

0

'

Dado que ahora la funcional está dada por una integral impropia, para que

esta funcional esté definida, la integral debe ser convergente. A continuación

se presentan dos condiciones suficientes para que la funcional objetivo sea

convergente.

7.1 Condiciones para la convergencia de la funcional objetivo

Condición 1: Dada la integral impropia [ ] ( ) ( )( )dtt,tx,txfxJ

0

'∫∞

= , si la

función intermedia “f” posee un valor finito hasta el periodo “T”, y

luego toma un valor nulo y éste se mantiene constante a lo largo del

tiempo, entonces la integral converge.


280

Condición 2: Si la función intermedia es descontada mediante el

factor de descuento ( ),0re rt >− y durante todo el horizonte temporal

posee un valor mayor o igual a cero y menor o igual a “S”

( ),S0 +∞<≤ entonces la integral converge. Más formalmente, ya que

el valor de ( ) ( )( )t,tx,txf ' no puede nunca exceder el valor de su cota

superior “S”, podemos escribir:

[ ] ( ) ( )( )r

SdtelímSdteSdtet,tx,txfxJ

b

0

rt

b

rt

0

rt

0

' ==≤= ∫∫∫−

+∞→

−∞

−∞

7.2 Condiciones de transversalidad

Cuando el horizonte temporal es infinito, la ecuación de Euler y la

condición suficiente de segundo orden siguen siendo válidas para la

resolución del problema de cálculo de variaciones. No obstante la

condición de transversalidad se modifica ligeramente. En lugar de

utilizar la condición (XI), ahora se emplea la siguiente condición:

[ ] ( ) [ ] ( )XXItfxftxf 1tx

'1

tx '' ∆⋅−+∆⋅∞→∞→

Donde cada uno de los dos términos deberá desaparecer

individualmente.

Considerando el segundo término de (XXI), como el horizonte temporal

es infinito, ,0t1 ≠∆ entonces deberá cumplirse la siguiente condición:

[ ] ( )XXII0fxflím 'x'

t=−

∞→

Considerando el primer término de (XXI), existen dos posibilidades a

tener en cuenta:

a) Si un estado terminal asintótico (meta asintótica), se especifica en el

problema:

( ) ( )XXIIIdaespecificaconstanteuna:xtxlímt

∞∞→

=

Entonces el primer término de (XXI) será nulo, ya que ( ) ,0tx 1 =∆

por lo que la condición a utilizar será la ecuación (XXIII).

b) Si el valor terminal de la senda no está especificado (es libre), al

igual que en (XX), deberá cumplirse la siguiente condición:

[ ] ( )XXIV0flím 'xt=

∞→


281

Si el estado terminal está sujeto a la restricción del tipo ( ) mín1* xtx ≥ ,

entonces deberemos utilizar la condición (XX). No obstante, en la

práctica, siempre podremos utilizar (XXIV) primero. Si la restricción

( ) mín1* xtx ≥ es satisfecha por la solución, entonces el problema

termina. De lo contrario, tendremos que utilizar mínx como un estado

terminal dado.

7.3 Condición Suficiente

Si la función intermedia ( ) ( )( )t,tx,txf ' es cóncava (convexa) en las

variables ( )'x,x en un problema con horizonte temporal infinito,

entonces la ecuación de Euler más la siguiente condición suplementaria:

( )[ ] 0xxflím*

xt' ≤−⋅

+∞→

Son suficientes para un máximo (mínimo) absoluto de [ ]xJ .

En esta condición, “ 'xf ” está evaluada en la trayectoria óptima, y

( )*xx − representa la desviación de cualquier trayectoria admisible

“ ( )tx ” de la trayectoria óptima “ ( )tx* ”.

Ejemplo:

Modelo de Inversión12: Este modelo fue desarrollado por Eisner y

Strotz (1963). El modelo se centra en la inversión neta como un proceso

que amplía el tamaño de la planta de una empresa. Por tanto, no se

considera la depreciación del stock de capital. Se supondrá que una

empresa tiene como único insumo el capital K, que ( ) 2BKAKK −=π

( )0ByA > es su función de beneficios brutos, y que ( ) ( ) '2''bKKaKC +=

( )0bya > es su función de costos de inversión (expansión de la

planta). Además, ,0brA >− donde “r” es el factor de descuento.

El objetivo de la empresa es escoger la trayectoria ( )tK* que maximiza

el valor presente de sus beneficios netos a lo largo del tiempo, esto es:

[ ] ( ) ( )( )

( )( ) libre:finalK

0K0K:a.s

dtebKKaBKAKmaxKJ

0

0

t,K,Kf

rt'2'2

'

>=

+−−= ∫

∞−

4444444 84444444 76

12

Basado en Eisner, R. y Strotz, R., “Determinants of Business Investment”, Impacts of Monetary Policy,

Prentice-Hall, Englrwood Cliffs, New Jersey 1963, pp. 60-233.


282

Donde:

( ) ( ) ( ) rt'2'2' ebKKaBKAKt,K,Kf −

+−−=

Con derivadas:

( ) rtK eBK2Af −−= ( ) rt'

KebaK2f '

−+−= rtKK Be2f −−=

0ffKKKK '' == rt

KKae2f ''

−−= ( )[ ] rt'''tK

eaK2rbaK2f '−−+=


( ) ( )[ ] rt'''rttKK eaK2rbaK2eBK2Aff '

−− −+=−⇒=

( )155a2

ArbK

a

BrKK '''

−=−−



( )

( )

( )

+−=λ

++=λ

⇒=−λ−λ=λ

2

aB4rr

2

aB4rr

0ar

BrP

2

2

2

12


( )

( ) ( )

( )156eAeAtK

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

1c

22

+−

++

+=

Dos soluciones de ( )tKc son:

( )

( )

( )( )

( )t

2

aB4rr

2'1

t2

aB4rr

1

22

e2

aB4rrtKetK

++

++

++

=⇒=

( )

( )

( )( )

( )t

2

aB4rr

2'2

t2

aB4rr

2

22

e2

aB4rrtKetK

+−

+−

+−

=⇒=


283

El Wronsquiano será:

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

t2

aB4rr

2t

2

aB4rr

2

t2

aB4rrt

2

aB4rr

22

22

e2

aB4rre

2

aB4rr

ee

tW

+−

++

+−

++

+−

++

=

( ) ( ) 0eaB4rtW rt2 ≠+−=

Dado que ( ) ,0tW ≠ las soluciones ( ) ( )tKytK 21 son linealmente

independientes.

En consecuencia:

( )

( )

( )( )

( )t

2

aB4rr

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

1

2

2

2

ea2

rbA

e2

aB4rr

a2

Arb

e0

tW

+−

+−

+−

−=

+−−

=

( )

( )

( )( )

( )t

2

aB4rr

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

2

2

2

2

ea2

Arb

a2

Arbe

2

aB4rr

0e

tW

++

++

++

−=

−

++

=

Por tanto:

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

dte

aB4ra2

eArbdt

tW

tWtK

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

11

2

2

∫∫

++

−

++

+

−=

( )( )

( ) ( ) ( )

+++

−=∫

aB4rraB4ra

rbAdt

tW

tWtK

22

11


284

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

dte

aB4ra2

eArbdt

tW

tWtK

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

22

2

2

∫∫

+−

−

+−

+−

−=

( )( )

( ) ( ) ( )

+−+

−=∫

aB4rraB4ra

Arbdt

tW

tWtK

22

22

La solución particular será:

( )( ) ( ) ( ) ( )

+−+

−+

+++

−=

aB4rraB4ra

Arb

aB4rraB4ra

rbAtK

2222p

Simplificando:

( )1570B2

rbAK p >

−=


( )

( ) ( )

( )158B2

rbAeAeAtK

t2

aB4rr

2

t2

aB4rr

1*

22

−++=

+−

++

( )( )

( )

( )( )

t2

aB4rr

2

2

t2

aB4rr

2

1'*

22

e2

aB4rrAe

2

aB4rrAtK

+−

++

+−

+

++

=

Obsérvese que 01 >λ y 02 <λ son reales y de signos opuestos y que el

supuesto 0brA >− implica que la solución particular .0Kp > La condición

inicial es:

( ) ( )159KKAA0K 0p21 =++=

Las condiciones de transversalidad son:

[ ] 0fKflím 'x'

t=−

∞→

( ) 0eKaBKAKlímCT rt2'2

t1 =

+−= −

∞→


285

Reemplazando ( )tK* y ( )tK

'* en el límite anterior obtenemos lo siguiente:

( ) ( ) 0eKaKBAKlímCT rt2'*2**

t1 =

+−= −

∞→

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0eBKAKeBAAeBK2AA

BAAA2eBAAeBK2AAlímCT

rt2pp

tr222

22

trp2

2121tr22

121

trp1

t1

22

11

=

−+−λ+−+

+−λλ+−λ

+−=

−−λ−λ

−λ−λ

∞→

La única forma de que este límite sea convergente a cero es que .0A1 = Por

tanto, de (159) se tiene que:

( )160KKA p02 −=

Entonces, reemplazando 0A1 = y p02 KKA −= en (158) tenemos que:

( )

( )

( )161B2

rbAe

B2

rbAKtK

t2

aB4rr

0*

2

−+

−−=

+−

La segunda condición de transversalidad:

[ ] ( )1620flím 'Kt=

∞→

No es necesaria en este problema. No obstante, si la utilizamos también

obtendremos que 1A debe ser nulo para evitar que (162) sea explosiva.

Ahora comprobaremos si la trayectoria del capital maximiza globalmente la

funcional objetivo. Para ello vamos a construir la matriz Hessiana de la

función intermedia, para cualquier [ )∞+∈ ,0t :

( ) ( )

−

−=

−

−

rt

rt*

ae20

0Be2t,t

'*K,tKHf

La matriz Hessiana es definida estrictamente negativa ya que posee sus dos

autovalores negativos ( )0ae2,0Be2 rt2

rt1 <−=λ<−=λ −− . Por tanto, la

función intermedia “f” es estrictamente cóncava en .'K,K

En este caso, la condición suplementaria a utilizar es:

( )[ ] [ ] ( )[ ] 0KKlímflím0KKflím*

tKt

*Kt

'*'* ≤−⋅⇒≤−⋅+∞→+∞→+∞→

(163)


286

Derivando (161) respecto del tiempo se tiene:

( )( )

( )

( )164eB2

rbAK

2

aB4rrtK

t2

aB4rr

0

2'*

2

+−

−−

+−

=

Por lo que:

[ ] ( )( )

t2

aB4rr

t0

2

Kt

2

'* elímB2

rbAK

2

aB4rrflím

+−

+∞→+∞→

−−

+−

=

[ ] 0flím '*Kt→

+∞→ ya que

( ).0

2

aB4rr 2

<+−

En cuanto a ( )*KK − , la forma cuadrática en “K” de la función de

beneficios, representada en la figura 9, sugiere que según “t” tienda a

infinito, la diferencia entre el valor “K” de cualquier trayectoria vecina

admisible y el valor “K*” es limitada. Por tanto, el hecho que “ '*K

f ” tienda a

cero conforme “t” tiende a infinito, nos asegura que la condición

suplementaria (163) se satisfaga como igualdad. En consecuencia, la

concavidad estricta de la función intermedia hará que la ecuación de Euler

sea suficiente para un máximo global estricto en la funcional objetivo.

2BKAK −=π

K B2A 0

Figura 9

V.3 Teoría de control óptimo

Las primeras investigaciones realizadas sobre control óptimo fueron efectuadas

por Valentine (1937), McShane (1939) y Hestenes (1949). Pero el verdadero

desarrollo de esta técnica fue realizado por los rusos Pontryagin, Boltyanskii,

Gamkrelidze y Mishchenko (1958). La teoría de control óptimo se ha aplicado

extensivamente a la solución de problemas económicos desde los tempranos

documentos de trabajo que aparecieron en Shell (1967) y los trabajos de Arrow

(1968) y Shell (1969). El campo es demasiado extenso para ser examinado

detalladamente aquí. Sin embargo, podemos citar algunos interesantes libros que

abordan este tópico: Seierstad y Sydsæter (1987), Kamien y Schwartz (1991),

Léonard y Long (1992), Takayama (1993) y (1997), Gandolfo (1997), Chiang,

A. (2000), De la Fuente, A. (2000).


287

1. Formulación del problema fundamental de control óptimo

En la sección V.2 hemos estudiado el método clásico para resolver

problemas de optimización dinámica, el cálculo de variaciones. No obstante,

esta técnica no resulta conveniente para resolver problemas de optimización

dinámica en los que aparecen restricciones sobre las derivadas de las

funciones que intervienen en dichos problemas. Además, mediante este

método sólo se admiten soluciones interiores.

La técnica moderna que permite tratar características no clásicas como

soluciones de esquina, restricciones en forma de desigualdad sobre las

trayectorias, y otras generalizaciones, es la teoría de control óptimo. Esta

técnica se centra en una o más variables de control13

que sirven como

instrumentos de optimización, y que están asociadas a una o más variables de

estado a través de la denominada ecuación de movimiento. Específicamente,

esta técnica tiene como principal objetivo determinar la trayectoria temporal

óptima para la/s variable/s de control, a partir de la/s cual/es podremos

determinar la/s trayectoria/s óptima/s de la/s variable/s de estado asociada/s.

Supongamos que tenemos un sistema que está representado en el tiempo por

ciertas variables, denominadas variables de estado, dadas por

( ) ( ) ( ),tx,,tx,tx n21 K cuya dinámica está descrita por un sistema de

ecuaciones diferenciales (tiempo continuo) o por un sistema de ecuaciones

en diferencias (tiempo discreto), y que pueden ser controladas por unas

variables denominadas variables de control, variables de decisión o instrumentos, denotadas por ( ) ( ) ( )tu,,tu,tu m21 K . El problema general de

control óptimo que se plantea es obtener una trayectoria (senda) para las

variables de estado ( ) ( ) ( )tx,,tx,tx n21 K eligiendo adecuadamente las

trayectorias temporales de las variables de control ( ) ( ) ( )tu,,tu,tu m21 K de

modo que se maximice un objetivo sujeto a determinadas restricciones.

En esta sección, vamos a plantear el problema más sencillo de control óptimo. El

problema fundamental del control óptimo se caracteriza porque la funcional a

optimizar (funcional objetivo) depende de una sola variable de estado, ( ),tx de

una sola variable de control, ( )tu14

, y de las condiciones de borde: condiciones

iniciales (completamente especificadas) y condiciones finales (donde el estado

terminal puede ser: libre (linea terminal vertical), una linea terminal vertical

truncada, o fijo). Asimismo, ( )tx no está sujeta a restricciones, ( )tu no está

sujeta a restricciones conjuntistas, es decir, ( ) ( ),,Utu +∞−∞=ℜ=∈ y el

horizonte temporal es continuo y fijo: [ ].t,tt 10∈ En términos formales, el

problema más simple de control óptimo es:

13

En economía, una variable de control (por ejemplo: el consumo, la tasa de impuestos (política fiscal), la

tasa de interés, la proporción de inversiones asignada a diferentes sectores, la tasa de extracción del stock

de un recurso agotable por unidad de tiempo, la inversión gubernamental) es un instrumento político que

permite influir sobre una variable de estado. En general, una variable de control está sujeta a la elección

discrecional del agente optimizador, y su elección afecta a la variable de estado. 14

La variable de control ( )tu puede escogerse de un conjunto de funciones U, denominado conjunto de

controles admisibles. Cuando ( ) ,Utu ∈ ( )tu es denominada control admisible. Al conjunto ,U de

imágenes de los controles admisibles, se le conoce como región de control.


288

( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

=

≥

=

=

ℜ=∈

= ∫

cybendado:x

dados:tyt,x

****bordedesCondicione:

xtxc

xtxb

libre:txa

:finalessCondicione

xtx:inicialessCondicione

***tu,tx,tgtx:estadodeEcuación

**Utu:a.s

*dttu,tx,tfuJmax

1

100

11

11

1

00

'

objetivoFuncional

t

t

ermediaintFunción

tu

1

0 44444 344444 21

44 84476

En (XXV)15

, la funcional objetivo, tiene como argumento a “u” y no a “x” y

la función intermedia tiene a “u” como argumento en lugar de “ 'x ” como

ocurría en el cálculo de variaciones. Además, debido a la presencia de “u”, es

indispensable contar con una conexión entre dicha variable y “x” para saber

cómo “u” afectará a la trayectoria adoptada por “x”. Esta información es

proporcionada por la ecuación diferencial, denominada ecuación de movimiento, de transición o de estado, que relaciona a “x” con “u”. Esta

ecuación nos muestra cómo, en cada momento del tiempo, para un valor

dado de “x”, la variable de control “u”, elegida por un “planificador”, guiará

a “x” a lo largo del tiempo. Una vez determinada la senda óptima de la

variable de control, ( ),tu* la ecuación de estado permitirá obtener la

trayectoria óptima de la variable de estado ( ).tx*

Para que (XXV) pueda resolverse, deberá verificarse que las funciones

( ) ( )( )tu,tx,tf y ( ) ( )( )tu,tx,tg sean continuas en todos sus argumentos, y posean

derivadas parciales de primer orden continuas con respecto a “t” y a “ ( )tx ”, pero

no necesariamente respecto a ( ).tu Además, ( )tu no tendrá que ser continua

para llegar a ser admisible; sólo necesitará ser continua a trozos16. Asimismo,

( )tx debe ser continua en el periodo de planificación temporal, aunque puede

presentar un número finito de puntos agudos o esquinas17

. Es decir, para que una

senda de estado sea admisible sólo necesita ser diferenciable a trozos18

.

15

Sin pérdida de generalidad, supondremos que todos los problemas de control óptimo consisten en

maximizar la funcional objetivo. Esto se adopta debido a que todo problema de minimización siempre se

podrá reformular como un problema de maximización añadiendo el signo menos a la funcional objetivo. 16

Esto significa que es continua en todos los puntos, excepto, quizá, en un número finito de ellos. Es decir,

( )tu podrá contener un número finito de saltos en los que ( )tu no tienda a valores infinitos (cualquier

discontinuidad que involucre saltos finitos). 17

Una esquina es un punto de una función en el que su derivada es discontinua. En una esquina la función

no es diferenciable. 18

Esto significa que es diferenciable en todos los puntos, excepto, quizá, en un número finito de ellos. Es

decir, ( )tx podrá contener puntos en los que no sea diferenciable respecto al tiempo (esto es, puede existir

un número finito de puntos donde las derivadas laterales derecha e izquierda de ( )tx respecto al tiempo

difieran la una de la otra).

(XXV)


289

Al igual que las trayectorias de control admisibles19, las trayectorias de

estado admisibles deben tener un valor finito para cada instante en el periodo

de planificación temporal. Además, se asumirá que si ( )tu está definida en

[ ],t,t 10 entonces ( )tu es continua en los extremos del intervalo.

En el problema (XXV), tenemos que la condición inicial está completamente

especificada (instante inicial y el valor inicial de la variable de estado) y se

conoce el instante final pero el valor final de la variable de estado dependerá

si estamos en el caso de estado terminal fijo [caso (a)], linea vertical terminal

truncada [caso (b)], o estado terminal libre [caso (c)].

Por otro lado, el conjunto de controles admisibles, U, por lo general es un

conjunto compacto (cerrado y acotado) y convexo. Esto deja abierta la

posibilidad de que existan soluciones de esquina en el problema de

optimización, a diferencia de los problemas de cálculo de variaciones. No

obstante, en el problema (XXV), tenemos que ( ) ( ),,Utu +∞−∞=ℜ=∈ es

decir, la variable de control debe pertenecer al conjunto abierto ( ),,+∞−∞ por

lo que en este caso no hay restricciones sobre la variable de control. Por

tanto, en el problema (XXV) podríamos omitir ( ) .Utu ∈

2. Condiciones necesarias de optimalidad: El principio del máximo de Pontryagin (1958)

En esta sección vamos a estudiar el método que nos permitirá resolver el

problema fundamental de control óptimo, el denominado principio del máximo de Pontryagin. Dado que el principio del máximo involucra

conceptos como función Hamiltoniana y variable de coestado, primero

vamos a explicar dichos conceptos.

Una variable de coestado, variable adjunta o variable auxiliar es una

variable, semejante a los multiplicadores de Lagrange que aparecen en

problemas de optimización estática restringida, que mide o valora el precio

sombra de una variable de estado asociada. Esta variable puede adoptar

diversos valores a lo largo del horizonte de planificación temporal, y la

denotaremos como ( ).tλ El medio a través del cual la variable de coestado

aparece en el problema de control óptimo es la función Hamiltoniana o

Hamiltoniano. El Hamiltoniano es la versión dinámica de la función

Lagrangiana en problemas de optimización estática con restricciones, y viene

denotado por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )tu,tx,tgttu,tx,tft,tu,tx,tH 0 ⋅λ+⋅λ=λ ( )XXVI

Donde:

0λ es una constante no negativa a determinar, ( ) ( )( )tu,tx,tf es la función

intermedia, ( ) ( )( )tu,tx,tg es la ecuación de movimiento de la variable de

estado y ( )tλ es la variable de coestado. Todos estos elementos constitutivos

del Hamiltoniano aparecen en el problema XXV.

19

Aquellas que pertenecen al conjunto de controles admisibles: ( ) .Utu ∈


290

El principio del máximo de Pontryagin, que a continuación enunciaremos,

transfiere el problema de encontrar una ( )tu que maximice [ ]uJ sujeto a las

restricciones dadas, problema XXV, al problema de maximizar la función

Hamiltoniana con respecto a ( ) .Utu ∈ En términos formales:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]

( )

∈

∈∀λ

Utu:a.s

t,ttt,tu,tx,tHMaxXXVII

10tu

Además, este principio nos permite determinar la función ( ).tλ

El Principio del Máximo para problemas con intervalo de tiempo fijo

Sea ( )tu* la trayectoria de control óptima, continua a trozos, que resuelve el

problema XXV, y sea ( )tx* la trayectoria de estado óptima asociada

continua y diferenciable a trozos, definidas en [ ]10 t,t . Entonces, existe una

constante 0λ y una función ( )tλ continua y con derivadas de primer orden

continuas a trozos20

tal que para todo [ ]10 t,tt ∈ se tiene que

( )( ) ( )0,0t,0 ≠λλ y ( )tu* maximiza ( ) ( ) ( )( ),t,tu,tx,tH

* λ es decir:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Utut,tu,tx,tHt,tu,tx,tH *** ∈∀λ≥λ ( )XXVIII

Excepto en los puntos de discontinuidad21

de ( ),tu* se verifica que:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )tx

t,tu,tx,tH

dt

tdt

**'

∂

λ∂−=

λ=λ ( )XXIX

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )tu,tx,tg

t

t,tu,tx,tH

dt

tdxtx

****

' =λ∂

λ∂== ( )XXX

Asimismo, se cumple que:

0o1 00 =λ=λ ( )XXXI

20

Como ( )tλ es continua para todo “t” en el intervalo finito cerrado [ ]10 t,t , entonces ( )tλ debe ser

acotada en dicho intervalo. 21

Las posibles discontinuidades de ( )t'λ y ( )tx ' ocurren en los puntos de discontinuidad de ( ).tu Es

decir, los posibles puntos de esquina de ( )tλ y ( )tx ocurren en los puntos de discontinuidad de ( ).tu

Aunque los valores de ( ).tu en los puntos de discontinuidades no son de alguna significancia en la

aplicación del principio del máximo, supondremos que en un punto de discontinuidad [ ],t,t 10∈τ se

cumple que ( ) ( ).tulímut

−τ→=τ Por otro lado, en “ τ ”, la inecuación XXVIII seguiría siendo válida, pero se

transformaría en ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .Utut,tu,tx,tHt,tulím,tx,tH **

t

* ∈∀λ≥

λ

+τ→


291

Finalmente, a cada condición final en (XXV) le corresponde una condición de transversalidad:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

λ

=λ⋅−>≥λ

=λ

condiciónsintc

0txtxxtx0tb

0ta

1

CHC

111*

11*

1

1

4444 84444 76

( )XXXII

Al sistema de ecuaciones conformado por (XXIX) y (XXX) se le suele

denominar “Sistema Hamiltoniano” o “Sistema Canónico”. Siendo la (XXIX)

la ecuación de movimiento de “ ( )tλ ” y (XXX) la ecuación de movimiento de

“ ( )tx ”. Es importante resaltar que el principio del máximo de Pontryagin da

condiciones necesarias de primer orden para que ( )tu* sea la trayectoria

óptima. Estas condiciones necesarias no garantizan la existencia de un control

óptimo ( )tu* ; éstas solamente son las condiciones implícitamente contenidas

en la optimalidad, asumiendo la existencia de un control óptimo ( )tu* .

Asimismo, se hace notar que ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tHt,tu,tx,tH * λ≥λ ( ) Utu ∈∀

es equivalente a ( )

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tHMaxtu

λ , y que este requerimiento tiene en cuenta

a la condición de primer orden ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ (que necesitará ser

apoyada por una apropiada condición de segundo orden). No obstante, como

veremos a continuación, no siempre la condición de primer orden nos será útil para

determinar el control óptimo ( )tu* en U, incluso si el Hamiltoniano es diferenciable.

En la figura 10 se muestran algunas posibles curvas del Hamiltoniano como

funciones de ( )tu en un específico punto del tiempo y para específicos valores de

( )tx y ( ).tλ Por ejemplo, si el Hamiltoniano es una función lineal creciente respecto

a ( )tu en [ ]10 u,uU = , entonces el máximo del Hamiltoniano (punto A) se dará en

1u , mientras que si el Hamiltoniano es una función lineal decreciente respecto a ( )tu

en [ ]10 u,uU = , entonces el máximo del Hamiltoniano (punto B) se dará en 0u .

Tanto 1u como 0u son soluciones de esquina. Se aprecia que en estos dos casos la

condición ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ no es aplicable porque en ninguna parte

aquella derivada es igual a cero. Si el Hamiltoniano es una línea recta horizontal en

[ ]10 u,uU = , entonces no hay un único control óptimo. En este caso, todos los

puntos de la recta CD maximizan el Hamiltoniano, y todos los puntos de

[ ]10 u,uU = son controles óptimos. Por otro lado, para la curva que pasa por el

punto “E” y que es diferenciable con resppecto a ( )tu , el máximo del Hamiltoniano

ocurre en ( ) ,utu = punto interior de U, en este caso, la ecuación

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ sirve para identificar el control óptimo en aquel

punto del tiempo. Pero si la curva relevante es la que pasa por el punto “G”, entonces

el control óptimo ( )tu* en U que maximiza ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ es ( ) ,utu 1= una

solución de esquina de U. Por tanto, la condición ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ no

es aplicable, aún cuando el Hamiltoniano es diferenciable.


292

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ

( )tu u0 u1

A

B

C D

E

G

u 0 Figura 10

Del análisis anterior podemos concluir que, mientras la condición

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ puede servir a nuestro propósito cuando el

Hamiltoniano es diferenciable respecto a ( )tu y puede producir una solución

interior22

, el hecho que U pueda ser un conjunto cerrado, con posibles

soluciones de esquina, necesita la más amplia condición:

( )( ) ( ) ( )( ).t,tu,tx,tHMax

tuλ Esto es así ya que bajo el principio del máximo no

se requiere que necesariamente el Hamiltoniano sea diferenciable con

respecto a ( )tu .

También es importante resaltar que la condición ( )( ) ( )0,0t,0 ≠λλ indica que

( )ty0 λλ no pueden ser ambos a la vez igual a cero. Dado que en la

mayoría de problemas de corte económico se encuentra que ,00 >λ 0λ

suele normalizarse a la unidad, ,10 =λ lo cual transforma el Hamiltoniano

que aparece en ( )XXVI en:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )tu,tx,tgttu,tx,tft,tu,tx,tH ⋅λ+=λ ( )XXXIII

Sin embargo, es recomendable en todo problema verificar que 00 >λ ya

que la eventualidad de 00 =λ puede presentarse en ciertas situaciones, no

muy usuales, donde la solución del problema es verdaderamente

independiente de la función intermedia ( ) ( )( )tu,tx,tf , es decir, donde la

función ( ) ( )( )tu,tx,tf no importa en la solución del proceso. Esto es, por

supuesto, porque el coeficiente 0λ debe ser igual a cero, de manera que

elimine la función ( ) ( )( )tu,tx,tf del Hamiltoniano.

22

Si el Hamiltoniano es no lineal y diferenciable, y ( )tu no está restringida, esto es,

( ) ( ),,Utu +∞−∞=ℜ=∈ entonces la condición ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ producirá una solución

interior.


293

Lo dicho antreriormente justifica la aparición de la condición ( )XXXI en el

principio del máximo de Pontryagin.

A continuación presentaremos algunos ejemplos en los que se intentará

indicar cómo “básicamente” trabaja el principio del máximo de Pontriagyn y

cómo éste permite seleccionar uno o unos pocos candidatos a óptimo. Es

importante señalar que no es del todo evidente cómo aplicar el principio del

máximo de Pontryagin. En realidad, la forma en que éste es usado difiere

significativamente de un tipo de problema a otro, de modo que ningún

procedimiento estándar para encontrar la solución puede ser concebido.

Ejemplos:

1.- Resolver el siguiente problema:

[ ]( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )2

2tu1

libre:2x

00x

tutxtx:a.s

1dttxMaxuJ

'

2

0tu

≤≤−

=

+=

= ∫

El Hamiltoniano viene dado por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tutxttxt,tu,tx,tH 0 +⋅λ+⋅λ=λ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )tutttxt,tu,tx,tH 0 ⋅λ+λ+λ⋅=λ ( )3

Supongamos ahora que ( ) ( )( )tu,tx** resuelve el problema. De acuerdo al

principio del máximo debe existir una constante 0λ y una función

continua ( )tλ tal que:

( )( ) ( ) [ ]2,0t0,0t,0 ∈∀≠λλ ( )4

Además, para cada [ ]2,0t ∈ , ( )tu* es aquel valor de ( ) [ ]2,1tu −∈ que

maximiza:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )tutttxt,tu,tx,tH 0** ⋅λ+λ+λ⋅=λ ( )5

La variable de coestado ( )tλ satisface, de acuerdo a ( )XXIX , excepto en

los puntos de discontinuidad de ( )tu* , la ecuación:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )[ ] ( )tttx

t,tu,tx,tH

dt

td00

**

λ−λ−=λ+λ−=∂

λ∂−=

λ ( )6


294

Ya que ( )2x es libre, por ( )XXXII se debe verificar que:

( ) 02 =λ ( )7

De ( )4 se obtiene, en particular para ,2t = que 0λ y ( )2λ no pueden ser

ambos a la vez iguales a cero. Ya que ( ) ,02 =λ entonces ,00 ≠λ y en

consecuencia por ( )XXXI , .10 =λ

Reemplazando 10 =λ en la ecuación diferencial lineal con coeficientes

constantes que aparece en (6) se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) 1ttt1t'' −=λ+λ⇒λ−−=λ ( )8

La ecuación característica de esta ecuación es:

( ) 1r01rrp −=⇒=+=

La solución complementaria será:

( ) tC Aet −=λ

Donde:

( ) t1 et −=λ

Por tanto el Wronsquiano será:

( ) ( ) 0tW0eetW tt ≠⇒>== −−

Es decir, ( ) t1 et −=λ son soluciones de ( )tcλ que son linealmente

independientes.

Mientras que:

( ) 11tW1 −=−=

Por tanto:

( )

( )tt

t

1edtedt

e

1dt

tW

tW−=−=

−= ∫∫∫ −


( ) ( )( )

( )[ ] 1eedt

tW

tWtt

tt11p −=−=λ=λ ∫


295

Por tanto, la solución general de ( ) ( ) 1tt' −=λ+λ es:

( ) 1Aett −=λ ( )9


( ) 22eA01Ae2

−=⇒=−=λ

Por tanto, la variable de coestado será:

( ) 1et2t −=λ − ( )10

Derivando (10) respecto al tiempo, tenemos:

( ) t0e2t 2t' ∀<−=λ − ( )11

Teniendo en cuenta (11) y (7), se aprecia que para todo [ )2,0t ∈ la

variable de coestado ( ) 01et2t >−=λ − .

Se observa que en el Hamiltoniano dado por la ecuación (5) únicamente

el término ( ) ( )tut ⋅λ depende de ( ).tu Por tanto, ( )tu* es el valor de

( ) [ ]2,1tu −∈ que maximiza ( ) ( )tut ⋅λ . Cuando [ )2,0t ∈ se cumple que

( ) 01et2t >−=λ − , de modo que en este caso el máximo de ( ) ( )tut ⋅λ se

alcanza para ( ) .2tu = Para 2t = se verifica que ( ) 02 =λ y por tanto

(5) no determina ( )2u* . El valor de ( )tu

* en este único punto no es de

importancia. Sin embargo, nosotros previamente hemos decidido escoger

( )tu como una función continua en los extremos de su dominio (ver

página 253). Por tanto, debemos hacer ( ) ,2tu* = de modo que nuestra

propuesta para un control óptimo sea:

( ) [ ]2,0t2tu* ∈∀= ( )12

La trayectoria asociada ( )tx* debe satisfacer ( )XXX :

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2txtutxtu,tx,tg

dt

tdx ******

+=+==

( )( ) 2tx

dt

tdx **

=− ( )13

De manera análoga a (8), la solución de (13) será:

( ) 2Betxt* −= ( )14


296

Reemplazando la condición inicial ( ) 00x* = en (14) se tiene que .2B =

Por tanto:

( ) ( )1e22e2txtt* −=−= ( )15

Nosotros ahora hemos probado que si el problema tiene solución, el

control óptimo es dado por (12) y la trayectoria óptima asociada está dada

por (15). El correspondiente valor de la funcional objetivo es:

[ ] ( ) ( ) ( ) 78,83e2dt1e2dttxuJ 22

0

t2

0

** ≈−=−== ∫∫

Hemos ilustrado como el principio del máximo de Pontryagin trabaja en

un caso simple. Sin embargo, nuestro esfuerzo no era realmente necesario

para resolver el problema. De (2) vemos que ( ) 2tu* = produce el más

alto valor de ( )tx para cualquier [ ],2,0t ∈ y por tanto ( ) 2tu* = debe

maximizar [ ] ( )dttxuJ

2

0

**∫= .

2.- Consumo vs inversión: Un país recibe un flujo constante de 1 unidad

monetaria como ayuda económica. Sea ( )tx el nivel de infraestructura en

el instante “t”, y sea ( )tu la parte de la ayuda económica que es asignada

a la inversión en infraestructura en el instante “t”. Sea ( )( )tu1U − la

utilidad que perciben los habitantes del país por aquella parte de la ayuda

económica que destinan al conumo, ( ).tu1 − Donde ( )( )tu1U − es una

función de clase dos con ( )( ) 0tu1U' >− y ( )( ) 0tu1U

'' <− en [ ].,0 ∞+

El periodo de planificación es [ ]T,0 y se asume que ( ) TxTx ≥ , es decir,

se asume que el país intenta alcanzar al menos el nivel Tx al final del

periodo de planificación. El problema de planificación es encontrar la

asignación de inversión que maximiza la utilidad total.

El problema a resolver es:

[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) [ ]

( )17

1,0tu

xTx

x0x

tutx:a.s

16dttu1UMaxuJ

T

0

'

T

0tu

∈

≥

=

=

−= ∫

Se asumirá que:

Txxx0 0T0 +<<< ( )'17


297

En este caso se aprecia que, en cada instante “t” del periodo de

planificación, la variación del nivel de infraestructura respecto del tiempo

debe ser igual a la parte de la ayuda económica que es asignada a la

inversión en infraestructura. Es decir, ( ) ( ).tutx ' = Es precisamente

gracias a esta ecuación diferencial (ecuación de movimiento) que

podemos darnos cuenta que la variablede estado será ( )tx y que la

variable de control será ( ).tu Esto es así, ya que ( )tu puede afectar el

comportamiento dinámico de ( )tx a través de la ecuación de movimiento

de ( ).tx

El Hamiltoniano de este problema de optimización intertemporal será:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )tuttu1Ut,tu,tx,tH 0 ⋅λ+−⋅λ=λ ( )18

Asumiendo que ( ) ( )( )tu,tx** resuelve el problema. De acuerdo al

principio del máximo, debe existir una constante 0λ y una función


( )( ) ( ) [ ]T,0t0,0t,0 ∈∀≠λλ ( )19

Donde, por (XXXI), .0o1 00 =λ=λ Además, para cada [ ]T,0t ∈ ,

( )tu* es aquel valor de ( ) [ ]1,0tu ∈ que maximiza:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )tuttu1Ut,tu,tx,tH 0* ⋅λ+−⋅λ=λ ( )20



( ) ( ) ( ) ( )( )( )

⇒=∂

λ∂−=

λ0

tx

t,tu,tx,tH

dt

td**

( ) ct =λ (siendo “c” una constante) ( )21

Por ( )XXXII , la condición de transversalidad en Tt = será:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )4444 84444 76

CHC

T*

T* 0TxTxxTx0T =λ⋅−≥≥λ ( )22

Evaluando (21) en “T”, y teniendo en cuenta (22) se tiene que:

( ) 0cT ≥=λ ( )'22

Pero por la continuidad de ( )tλ tenemos que:

( ) 0ct ≥=λ ( )23


298

Las derivadas de primer y segundo orden del Hamiltoniano respecto a

( )tu serán:

( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )ttu1Utu

t,tu,tx,tH '0

*

λ+−⋅λ−=∂

λ∂ ( )24

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )tu1Utu

t,tu,tx,tH ''02

*2

−⋅λ=∂

λ∂ ( )25

Por (XXXI) sabemos que ,00 ≥λ y por datos del problema se sabe que

( )( ) 0tu1U'' <− . Por tanto se tiene que:

( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) 0tu1Utu

t,tu,tx,tH ''02

*2

≤−⋅λ=∂

λ∂ ( )26

Por (26) sabemos que el Hamiltoniano será cóncavo en ( )tu . A

continuación, en la figura 11, se muestran todos los casos posibles a tener

en cuenta en nuestro análisis.

( )tu

1

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ

( )tu

1

b) c)

a)

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ

B G

A

0

0

( )tu

( ) atu * =

( ) 0tu * = ( ) 1tu * =

C

D

E

F

Figura 11


299

En la figura 11a) se observa que el máximo se alcanza en el punto “A”

donde ( ) [ ]1,0tu* ∈ y donde ( ) ( ) ( )( )

( )0

tu

t,tu,tx,tH**

=∂

λ∂ de modo que:

( )( ) ( ) cttu1U *'0 =λ=−⋅λ ( )27

En la figura 11b) se aprecia que, para la curva BD y para la recta BD, el

máximo se alcanza en el punto “B” (solución de esquina). Donde

( ) ,0tu* = y se verifica que23

:

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( ) 0c1U0tu

t,tu,tx,tH '0

0tu

**

*

<+⋅λ−⇒<∂

λ∂

=

( )28

Asimismo, en la figura 11b) se aprecia que todos los puntos de la recta

BC maximizan el Hamiltoniano. Donde se verifica que:

( ) ( ) ( )( )( )

0tu

t,tu,tx,tH**

=∂

λ∂ ( )29

En particular, evaluando (29) en ( ) ,0tu* = tenemos que24

:

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( ) 0c1U0tu

t,tu,tx,tH '0

0tu

**

*

=+⋅λ−⇒=∂

λ∂

=

( )30

Por tanto, de (28) y (30) tenemos que:

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( ) 0c1U0tu

t,tu,tx,tH '0

0tu

**

*

≤+⋅λ−⇒≤∂

λ∂

=

( )31

En la figura 11c) se aprecia que, para la curva FG y para la recta FG, el

máximo se alcanza en el punto “G” (solución de esquina). Donde

( ) ,1tu* = y se verifica que25

:

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( ) 0c0U0tu

t,tu,tx,tH '0

1tu

**

*

>+⋅λ−⇒>∂

λ∂

=

( )32

23

En realidad, en la curva BD y en la recta BD la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la

derecha de ( ) ,0tu* = es negativa.

24 En realidad, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la derecha de

( ) ,0tu* = es nula. Asimismo, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la

izquierda de ( ) ,1tu * = es nula.

25 En realidad, en la curva FG y en la recta FG la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la

izquierda de ( ) ,0tu* = es positiva.


300

Asimismo, en la figura 11c) se aprecia que todos los puntos de la recta

EG maximizan el Hamiltoniano. Donde se verifica que:

( ) ( ) ( )( )( )

0tu

t,tu,tx,tH**

=∂

λ∂ ( )33

En particular, evaluando (33) en ( ) ,1tu* = tenemos que26

:

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( ) 0c0U0tu

t,tu,tx,tH '0

1tu

**

*

=+⋅λ−⇒=∂

λ∂

=

( )34

Por tanto, de (32) y (34) tenemos que:

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( ) 0c0U0tu

t,tu,tx,tH '0

1tu

**

*

≥+⋅λ−⇒≥∂

λ∂

=

( )35

De (27), (31) y (35) se puede extraer lo siguiente:

( )

( )

( ) ( )( )( )

⋅λ≥⇒

−⋅λ=⇒∈

⋅λ≤⇒

=

0Uc1

tu1Uc1,0

1Uc0

tu

'0

*'0

'0

* ( )36

Si suponemos que ,00 =λ de (19) y de (23), vemos que:

( ) ( ) ( )( )( )

( ) 0cttu

t,tu,tx,tH*

>=λ=∂

λ∂ ( )37

Entonces, por (36), el Hamiltoniano sería maximizado por ( ) 1tu* = para

todo [ ].1,0t ∈ En consecuencia, por la ecuación de movimiento de ( )tx

que aparece en (17), se tendría que:

( ) ( ) ( ) 1*' kttxdttdx1tx +=⇒=⇒= ( )38

Reemplazando la condición inicial en (38) tendríamos:

( ) ( ) 0*

01* xttxxk0x +=⇒== ( )39

26

En realidad, en la recta EG la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la izquierda de

( ) ,1tu * = es nula. Asimismo, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la

derecha de ( ) ,0tu* = es nula.


301

Por lo que, teniendo en cuenta ( )'17 y reemplazando la condición

terminal en (39), se tendría:

( ) T0* xxTTx >+= ( )40

Pero, por (22) y (23), la condición (40) implicaría:

( ) ( ) T* xTxpara0cT >==λ ( )41

No obstante, (41) contradice (19). Por tanto, se tiene que:

10 =λ ( )42

Reemplazando (23) y (42) en (20) se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )tuctu1Ut,tu,tx,tH* ⋅+−=λ ( )43

Reemplazando (42) en (26) se tiene:

( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) 0tu1Utu

t,tu,tx,tH ''

2

*2

<−=∂

λ∂ ( )44

Además, reemplazando (42) en (36) se tiene:

( )

( )

( ) ( )( )( )

≥⇒

−=⇒∈

≤⇒

=

0Uc1

tu1Uc1,0

1Uc0

tu

'

*'

'

* ( )45

La condición (44) nos indica que el Hamiltoniano es estrictamente

cóncavo respecto a ( ) ,tu y tiene un único máximo en “ u ” que es

independiente de “t”. Es decir, ( ) utu* = para alguna elección de

[ ].1,0u ∈ En consecuencia, las líneas rectas que aparecen en las figuras

11b) y 11c) serán descartadas, y sólo nos quedará por analizar las curvas

que aparecen en las figuras 11a), 11b) y 11c).

Para el caso que se presenta en la figura 11b), curva BD, se aprecia que

( ) 0utu* == , pero esto es imposible ya que por la ecuación de

movimiento de ( )tx que aparece en (17), se tendría que:

( ) ( ) ( ) ( ) 0*

02*

2*' xtxxk0xktx0tx =⇒==⇒=⇒= ( )46

De modo que reemplazando Tt = en (46), y teniendo en cuenta (17), se

tendría:

( ) T0* xxTx ≥= ( )47

Lo cual contradice a ( )'17 .


302

De lo anterior, resulta que ( ) .0utu* >= Entonces, la posibilidad que

( ) 0ct ==λ es imposible por (45). Por tanto, de la (CHC) en (22) se tiene

que:

( ) ( ) T** xTxy0cT =>=λ ( )48

En consecuencia, al haber descartado la optimalidad de no asignar

ninguna ayuda económica al consumo ( )( ),0utu* == ahora nos

corresponde analizar la posibilidad que ( ) .1utu* ==

Para el caso que se presenta en la figura 11c), curva FG, se aprecia que

( ) 1utu* == , pero esto es imposible ya que por la ecuación de

movimiento de ( )tx que aparece en (17), y cuya solución está dada por

(39), se tendría que:

( ) ( ) 0*

0* xTTxxttx +=⇒+= ( )49

Igualando (48) y (49) resulta que:

( ) T0* xxTTx =+=

La cual es inconsistente con ( )'17 .

Por consiguiente, el único caso que se puede dar es el de la figura 11a)

donde ( ).1,0u ∈ Resolviendo la ecuación de movimiento ( )tx que

aparece en (17), se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) 03*

3*' xk0xktutxdtutdxutx ==⇒+=⇒=⇒=

( ) ( ) 0*

0* xTuTxxtutx +⋅=⇒+⋅= ( )50

Igualando (48) y (50) tenemos que:

( ) ( )T

xxutuxxTuTx

0T*T0

*−

==⇒=+⋅= ( )51


( ) 00T*

xtT

xxtx +

−= ( )52

Evaluando (23) en Tt = , tenemos:

( ) 0cT* ≥=λ ( )53


303

Pero por (48) y por la continuidad de ( )tλ tenemos que:

( ) 0ct* >=λ ( )54


( ) ( )( ) 0tu1Uct*'* >−==λ ( )55


( ) 0T

xx1Uct

0T'* >

−−==λ ( )56

La solución óptima27

al problema viene dada por ( ) ( )( ),tu,tx ** con la

variable de coestado asociada ( )t*λ .

El valor óptimo de la funcional objetivo dependerá de los parámetros

,Tyx,x T0 como se puede apreciar a continuación:

( )[ ] ( )( ) TT

xx1Udt

T

xx1Udttu1UtuJ

0TT

0

0TT

0

**

−−=

−−=−= ∫∫

Derivando parcialmente la funcional objetivo óptima respecto a x0 y a xT,

respectivamente, se obtiene:

( )[ ]( )0

T

xx1U

x

tuJ *0T'

0

*

λ=

−−=

∂

∂

( )[ ]( )T

T

xx1U

x

tuJ *0T'

T

*

λ−=

−−−=

∂

∂

Se puede apreciar que las derivadas anteriores nos permiten dar

interpretaciones de precio a la variable de coestado. Por ejemplo, ( )T*λ−

mide, aproximadamente, el incremento en la utilidad total óptima al

incrementar el requerimiento terminal sobre el nivel de infraestructura en

una unidad. Asimismo, ( )0*λ mide, aproximadamente, el incremento en

la utilidad total óptima al incrementar el requerimiento inicial sobre el

nivel de infraestructura en una unidad. Posteriormente estudiaremos

resultados generales que dan interpretaciones de precio a las variables de

coestado.

27

Más adelante se demostrará, utilizando el teorema de suficiencia de Mangasarian, que la solución

obtenida es un óptimo global del problema.


304

3.- Resolver el siguiente problema:

[ ]( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) [ ]

( )58

1,0tu

0Tx

00x

tutx:a.s

57dttuMaxuJ

2'

T

0tu

∈

=

=

=

= ∫

En este caso, el Hamiltoniano viene dado por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tuttut,tu,tx,tH 20 ⋅λ+⋅λ=λ ( )59

Asumiendo que ( ) ( )( )tu,tx** resuelve el problema. De acuerdo al

principio del máximo, debe existir una constante 0λ y una función


( )( ) ( ) [ ]T,0t0,0t,0 ∈∀≠λλ ( )60

Donde, por (XXXI), .0o1 00 =λ=λ Además, para cada [ ]T,0t ∈ ,

( )tu* es aquel valor de ( ) [ ]1,0tu ∈ que maximiza:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tuttut,tu,tx,tH 20

* ⋅λ+⋅λ=λ ( )61



( ) ( ) ( ) ( )( )( )

⇒=∂

λ∂−=

λ0

tx

t,tu,tx,tH

dt

td**

( ) 1kt =λ (siendo “k1” una constante) ( )62

Por ( )XXXII , no hay ninguna condición de transversalidad en Tt = para

( )tλ .

Suponiendo que ,10 =λ y teniendo en cuenta (62), el Hamiltoniano

sería:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tuktut,tu,tx,tH 21

* ⋅+=λ ( )63

De la condición de primer orden se tiene que:

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )1

**1

*

k2

1tu0tuk21

tu

t,tu,tx,tH−=⇒=+=

∂

λ∂ ( )64


305

Reemplazando (64) en la ecuación de movimiento que aparece en (58) se

tiene que:

( ) ( ) ( ) 221

*

2

1

2

1

'kt

k4

1txdt

k2

1tdx

k2

1tx +=⇒

−=⇒

−= ( )65

Reemplazando las condiciones iniciales en (65) se tiene que:

( ) ( ) tk4

1tx0k0x

21

*2

* =⇒== ( )66

Reemplazando las condiciones terminales en (66) se tiene que:

( ) 0Tk4

1Tx

21

* ≠=

Pero esta ecuación no puede anuilarse en el estado terminal. En

consecuencia ,00 =λ lo que por (60) implica que:

( ) 0kt 1* ≠=λ ( )67

En este caso el Hamiltoniano sería:

( ) ( ) ( )( ) ( )tukt,tu,tx,tH 21 ⋅=λ ( )68

La condición de primer orden será:

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) 0tu0tuk2tu

t,tu,tx,tH **1

*

=⇒==∂

λ∂ ( )69

Reemplazando (69) en la ecuación de movimiento que aparece en (58) se

tiene que:

( ) ( ) 0tx0tx*' =⇒= ( )70

Reemplazando las condiciones iniciales y las condiciones finales en (70)

se tiene que:

( ) ( ) 0Tx0x** == ( )71

Es decir, se verifican las condiciones de borde.


306

Para asegurarnos que (69) maximiza antes que minimiza el Hamiltoniano

vamos a analizar el signo de la derivada de segundo orden del

Hamiltoniano respecto a ( ).tu Para que (69) maximice al Hamiltoniano

será necesario que éste sea estrictamente cóncavo respecto a ( ) ,tu lo cual

a su vez requiere que:

( ) ( ) ( )( )( )

( ) 0kt0k0k2tu

t,tu,tx,tH1

*112

*2

<=λ⇒<⇒<=∂

λ∂ ( )72

Por tanto, la solución óptima28

al problema viene dada por ( ) ( )( ),tu,tx **

con la variable de coestado asociada ( )t*λ .

El valor óptimo de la funcional objetivo será:

[ ] 0dt0uJ

T

0

* == ∫

3. Condiciones suficientes de optimalidad global para problemas con tiempo fijo: Teoremas de Mangasarian (1966) y Arrow (1968)

El principio del Máximo de Pontryagin proporciona un conjunto de

condiciones necesarias para un control óptimo, que por lo general no son

suficientes. No obstante, cuando se satisfacen ciertas condiciones de

concavidad/convexidad, entonces las condiciones estipuladas por el principio

del máximo de Pontryagin son suficientes para la maximización/minimización

global. En esta sección sólo vamos a presentar dos teoremas de suficiencia

que fueron desarrollados por O. Mangasarian y por K. Arrow. Las

condiciones de Arrow son más generales, pero es más difícil comprobar su

cumplimiento.

Teorema de Mangasarian

Sea ( ) ( )( )tx,tu ** un par admisible29 del problema (XXV). Supóngase que

Ψ es un conjunto convexo y que ( ) ( )( )

( )tu

tu,tx,tg

∂

∂ existe y es continua. Si

existe una función ( )tλ continua y con derivadas de primer orden continuas a

trozos tal que que las siguientes condiciones se satisfacen con ,10 =λ

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )tx

t,tu,tx,tH

dt

tdt

**'

∂

λ∂−=

λ=λ ( )XXXIV

28

Como se verá a continuación, una condición suficiente que garantiza la optimalidad global de ( )tu * es el

teorema de suficiencia de Mangasarian. 29

Al par que satisface las condiciones (**), (***) y (****) del problema (XXV) se le suele denominar par admisible. Un par admisible que maximiza la funcional objetivo (*) del problema (XXV), y que por tanto

resuelve dicho problema, es llamado par óptimo.


307

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )[ ] ( ) tUtu0tututu

t,tu,tx,tH*

**

∀∧∈∀≥−⋅

∂

λ∂ ( )XXXV

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

λ

=λ⋅−>≥λ

=λ

condiciónsintc

0txtxxtx0tb

0ta

1

CHC

111*

11*

1

1

4444 84444 76

( )XXXVI

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ es cóncavo (estrictamente cóncavo) en ( ) ( )( ) ttu,tx ∀ (XXXVII)

Entonces, ( ) ( )( )tu,tx** es un máximo global (máximo global estricto) del

problema (XXV). Es decir, ( ) ( )( )tu,tx** es un par óptimo.

Una formulación equivalente del teorema de Mangasarian sería: Supóngase

que ( ) ( )( )tu,tx** es un par admisible que satisface todas las condiciones del

principio del máximo de Pontryagin [(XXVIII) → (XXXII)] con 10 =λ y

siendo U un conjunto convexo. Si el Hamiltoniano ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ es

cóncavo (estrictamente cóncavo) en ( ) ( )( ),tu,tx entonces ( ) ( )( )tu,tx** es un

máximo global (estricto) del problema (XXV), y por tanto, un par óptimo.

Note que si ( ) ( )( )tu,tx,tf y ( ) ( )( )tu,tx,tg son cóncavas con respecto a

( ) ( )( )tu,tx , entonces el Hamiltoniano es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx siempre que

( ) .0t ≥λ Asimismo, si ( ) ( )( )tu,tx,tf es cóncava y ( ) ( )( )tu,tx,tg es lineal en

( ) ( )( )tu,tx , entonces el Hamiltoniano también es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx y

( )tλ no necesita restricción de signo.

Teorema de Arrow

Dado que en un número de interesantes problemas de control en economía el

Hamiltoniano no es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx , es indispensable ver qué

condiciones, menos restrictivas que la concavidad en ( ) ( )( )tu,tx , serán

suficientes para garantizar la optimalidad global en dichos problemas. Una

condición de suficiencia, más débil que la concavidad del Hamiltoniano

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ en ( ) ( )( )tu,tx , viene dada en el teorema de Arrow.

Sea ( ) ( )( )tu,tx** un par admisible del problema (XXV). Si existe una

función ( )tλ continua y con derivadas de primer orden continuas a trozos tal

que que las siguientes condiciones se satisfacen con ,10 =λ

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )tx

t,tu,tx,tH

dt

tdt

**'

∂

λ∂−=

λ=λ ( )XXXVIII

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) tUtut,tu,tx,tHt,tu,tx,tH *** ∀∧∈∀λ≥λ ( )XXXIX


308

( ) ( ) ( )( ) ( ) condiciónsint;xtxsi00t;0t 111*

11 λ>=≥λ=λ ( )XXXX

Si ( ) ( )( )t,tx,tu* λ es el valor de la variable de control que maximiza

( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ para valores dados de ( ) ( )( ).t,tx,t λ El valor del

Hamiltoniano cuando es evaluado en ( ) ( )( )t,tx,tu* λ , denominado

Hamiltoniano maximizado, viene dado por:

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )t,tx,tu,tx,tgtt,tx,tu,tx,tf

t,tu,tx,tHmaxt,tx,tH

**

Utu

λ⋅λ+λ=

λ=λ∈

( )⊗

Si ( ) ( )( )∃λ t,tx,tH y es cóncavo en ( ) [ ]10 t,tttx ∈∀ , para un ( )tλ dado ( )XXXXI

Entonces, ( ) ( )( )tu,tx** es un máximo global del problema (XXV).

Además, si ( ) ( )( )t,tx,tH λ es estrictamente cóncavo en ( ) [ ]10 t,tttx ∈∀ , para un

( )tλ dado, entonces ( )tx* es único (pero ( )tu

* no es necesariamente único).

Una formulación equivalente del teorema de Arrow sería: Supóngase que

( ) ( )( )tu,tx** es un par admisible que satisface todas las condiciones del

principio del máximo de Pontryagin [(XXVIII) → (XXXII)] con 10 =λ . Si

el Hamiltoniano maximizado, definido en ( )⊗ , es cóncavo en en

( ) [ ]10 t,tttx ∈∀ , para un ( )tλ dado, entonces ( ) ( )( )tu,tx** es un máximo

global del problema (XXV).

Es importante resaltar que el teorema de Arrow puede considerarse como una

generalización del teorema de Mangasarian (o el último como un caso

especial del primero), ya que la concavidad de ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ con respecto

a ( ) ( )( )tu,tx implica la concavidad de ( ) ( )( )t,tx,tH λ con respecto a ( )tx30

.

Ejemplos:

1.- En la sección 2, ejemplo 1, resolvimos el siguiente problema:

[ ]( )

( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) 2tu1

libre:2x

00x

tutxtx:a.s

dttxMaxuJ

'

2

0tu

≤≤−

=

+=

= ∫

( )73

30

Si ( ) ( )( )tu,tx,tf y ( ) ( )( )tu,tx,tg son cóncavas en ( ) ( )( )tu,tx y ( ) ,0t ≥λ como indica el teorema de

Mangasarian, entonces ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ también es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx , y de esto se desprende que

( ) ( )( )t,tx,tH λ es cóncavo en ( )tx , según lo estipulado por Arrow. Pero ( ) ( )( )t,tx,tH λ puede ser cóncava

en ( )tx incluso si ( ) ( )( )tu,tx,tf y ( ) ( )( )tu,tx,tg no son cóncavas en ( ) ( )( )tu,tx , lo cual hace que la

condición de Arrow sea un requerimiento más débil.


309

Ahora, vamos a aplicar a este problema los teoremas de suficiencia de

Mangasarian y de Arrow.

En este caso, ya que ( ) ( )( ) ( ) ( )tu0txtu,tx,tf += es una función lineal en

( ) ( )( )tu,tx , también será cóncava en ( ) ( )( )tu,tx . Además, ya que la

función ( ) ( )( ) ( ) ( )tutxtu,tx,tg += es lineal en ( ) ( )( )tu,tx , también es

cóncava en ( ) ( )( )tu,tx . Para ambos casos, resulta irrelevante la restricción

( ) .0t ≥λ Entonces, el Hamiltoniano también es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx .

Por tanto, el teorema de Mangasarian se satisface, y

( ) ( )( ) ( )( )2,1e2tu,tx t** −= es el par óptimo (la solución óptima global)

del problema.

Una vez que se verifica el teorema de Mangasarian, ya no es necesario

verificar el teorema de Arrow. Pero, si deseamos aplicar el teorema de

Arrow, podemos proceder a verificar si el Hamiltoniano maximizado

( ) ( )( )t,tx,tH λ es cóncavo en ( )tx . En el presente ejemplo, el

Hamiltoniano es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )tutxttxt,tu,tx,tH +λ+=λ ( )74

Cuando el control óptimo ( ) 2tu* = es sustituido en (74) para eliminar

( )tu , el Hamiltoniano maximizado será:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )t2txt12txttxt,tx,tH λ+λ+=+λ+=λ ( )75

Se aprecia que ( ) ( )( )t,tx,tH λ es lineal en ( )tx para ( )tλ dado, por lo que

se satisface el teorema de Arrow.

2.- En la sección 2, ejemplo 2 (consumo vs inversión), resolvimos el siguiente

problema:

[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) [ ]

( )77

1,0tu

xTx

x0x

tutx:a.s

76dttu1UMaxuJ

T

0

'

T

0tu

∈

≥

=

=

−= ∫

Con:

Txxx0 0T0 +<<< ( )78




310

En este caso se aprecia que ni ( ) ( )( ) ( )( )tu1Utu,tx,tf −= ni

( ) ( )( ) ( )tutu,tx,tg = dependen de ( ),tx por lo que la condición de

concavidad se refiere sólo a ( )tu . Derivando ( ) ( )( )tu,tx,tf se obtiene:

( ) ( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )( ) 0tu1U

tu

tu,tx,tfytu1U

tu

tu,tx,tf''

2

2' <−=

∂

∂−=

∂

∂ ( )79

Por tanto, ( ) ( )( )tu,tx,tf es una función cóncava en ( )tu . En cuanto a

( ) ( )( ) ( )tutu,tx,tg = , ya que es lineal en ( )tu , es automáticamente

cóncava en ( )tu . Además, el hecho que ( ) ( )( )tu,tx,tg sea lineal hace que

la condición ( ) 0t ≥λ sea irrelevante. En consecuencia, se satisface el

teorema de Mangasarian, y el control óptimo que maximiza globalmente

a la funcional objetivo [ ]uJ es ( )T

xxutu

0T* −== .

Para aplicar el teorema de Arrow, procederemos a verificar si el

Hamiltoniano maximizado ( ) ( )( )t,tx,tH λ es cóncavo en ( )tx . En el

presente ejemplo, el Hamiltoniano es:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )tuttu1Ut,tu,tx,tH λ+−=λ ( )80

Cuando el control óptimo ( )T

xxutu

0T*−

== es sustituido en (80) para

eliminar ( )tu , el Hamiltoniano maximizado será:

( ) ( )( ) ( ) ( )tuu1Ut,tx,tH λ+−=λ ( )81

Se aprecia que ( ) ( )( )t,tx,tH λ contiene únicamente a ( )tλ , y no depende de

( )tx . Por tanto, ( ) ( )( )t,tx,tH λ es lineal y de ahí cóncavo en ( )tx para un

( )tλ dado, y se satisface el teorema de Arrow.

3.- En la sección 2, ejemplo 3, resolvimos el siguiente problema:

[ ]( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) [ ]

( )83

1,0tu

0Tx

00x

tutx:a.s

82dttuMaxuJ

2'

T

0tu

∈

=

=

=

= ∫




311

En este caso se aprecia que ni ( ) ( )( ) ( )tutu,tx,tf = ni ( ) ( )( ) ( )tutu,tx,tg2=

dependen de ( ),tx por lo que la condición de concavidad se refiere sólo a

( )tu . Se observa que ( ) ( )( )tu,tx,tf es lineal en ( )tu , y por tanto cóncava

en ( )tu . Derivando ( ) ( )( )tu,tx,tg se obtiene:

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )02

tu

tu,tx,tfytu2

tu

tu,tx,tg

2

2

>=∂

∂=

∂

∂ ( )84

Por lo que la función ( ) ( )( )tu,tx,tg es estrictamente convexa en ( )tu . No

obstante, ya que de (62) se tiene que ( ) 1kt =λ , para que el Hamiltoniano

sea cóncavo en ( )tu es necesario que ( ) ,0kt 1 <=λ de modo que

( ) ( ) ( )( )tu,tx,tgtλ sea una función cóncava en ( )tu . Gracias a (72)

tenemos que ( ) ,0kt 1* <=λ por lo que esto garantiza que ( ) 0kt 1 <=λ y

que el Hamiltoniano sea cóncavo en ( )tu . En consecuencia, se satisface

el teorema de Mangasarian, y el control óptimo que maximiza

globalmente a la funcional objetivo [ ]uJ es ( ) .0tu* =

Para aplicar el teorema de Arrow, procederemos a verificar si el

Hamiltoniano maximizado ( ) ( )( )t,tx,tH λ es cóncavo en ( )tx . En el

presente ejemplo, el Hamiltoniano es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tuttut,tu,tx,tH2λ+=λ ( )85

Cuando el control óptimo ( ) 0tu* = es sustituido en (85) para eliminar

( )tu , el Hamiltoniano maximizado será:

( ) ( )( ) 0t,tx,tH =λ ( )86

Se aprecia que ( ) ( )( )t,tx,tH λ es nulo, y no depende de ( )tx . Por tanto,

( ) ( )( )t,tx,tH λ es lineal y de ahí cóncavo en ( )tx para un ( )tλ dado, y se

satisface el teorema de Arrow.

4. Problemas con tiempo final variable

En los problemas de control óptimo que hemos estudiado hasta aquí el

intervalo de tiempo había sido fijado. En algunos problemas de control, que

surgen en economía, el instante final “ 1t ” no está fijado, sino que es una

variable que es determinada por el problema de optimización, junto con ( )tu ,

[ ].t,tt 10∈ Es decir, la única diferencia respecto del problema con

restricciones terminales estándar, problema (XXV), es que “ 1t ” ahora puede

escogerse óptimamente. El problema de tiempo final variable se puede

formular como sigue:


312

( )

( )

[ ] ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

φ

=

≥

θ=

γ=

βℜ=∈

α=

∆

∫

cybendado:x

libre:t

dados:t,x

xtxc

xtxb

libre:txa

:finalessCondicione

xtx:inicialessCondicione

tu,tx,tgtx:estadodeEcuación

Utu:a.s

dttu,tx,tfuJmax

1

1

00

11

11

1

00

'

t

tt,tu

1

0

1

El problema ( )∆ consiste en maximizar la integral en (α), sobre todos los

controles admisibles que, sobre el intervalo de tiempo [ ]10 t,t , llevan al

sistema desde ( ) 00 xtx = hasta el punto que satisface las condiciones finales

(φ). Note que en este caso, las variables de elección son “ 1t ” y ( )tu , y que

[ ].t,tt 10∈ En contraste a la situación estudiada en la sección 2, el tiempo

“ 1t ” no es fijado a priori ya que a los diferentes controles admisibles se les

permiten estar definidos en diferentes intervalos de tiempo.

5. El principio del máximo de Pontryagin para problemas con tiempo final variable

Sea ( )tu* la trayectoria de control, continua a trozos definidas en [ ]10 t,t

que resuelve el problema (XXV) con “ 1t ” libre ( )[ ]∞∈ ,tt 01 y sea ( )tx* la

trayectoria de estado óptima asociada. Entonces todas las condiciones del

principio del máximo de Pontryagin [(XXVIII) → (XXXII)] se satisfacen en

[ ]*10 t,t y, además,

( ) ( ) ( )( ) 0t,tu,tx,tH *1

*1

**1

**1 =λ ( )XXXXII

Una forma natural de resolver un problema con tiempo final libre es, para

cualquier 01 tt > , resolver primero el problema correspondiente con “ 1t ”

fijo. Denotar la solución a este problema como ( ) ( )( )tu,tx11 tt , con la

variable de coestado asociada ( ).t1tλ Entonces, la solución al problema con

tiempo final libre se obtiene considerando a “ 1t ” como un parámetro

desconocido. La condición ( )XXXXII nos dice que podremos determinar

“ 1t ” a través de la condición:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0t,tu,tx,tHtF 1t1t1t11 111=λ≡ ( )XXXXIII


313

Nota 1: Es importante resaltar que ( ) 0tF *1 = es una condición necesaria para

que “ *1t ” sea el tiempo final óptimo. Asimismo, se hace notar que el único

requerimiento del principio del máximo de Pontryagin, en problemas de

tiempo final variable, sobre el intervalo de definición de las variables

admisibles [ ]10 t,t es que 01 tt > . Supóngase que 21 T,T son números fijos,

,TTt 210 <≤ y supóngase que requerimos que [ ].T,Tt 211 ∈ Entonces, el

principio del máximo de Pontryagin para problemas de tiempo final variable

aún será válido siempre que ( ).T,Tt 21*1 ∈ Si ,Tt 1

*1 = entonces la igualdad en

( )XXXXIII será reemplazada por:

( ) 0tF *1 ≤ ( )XXXXIV

Si ,Tt 2*1 = entonces la igualdad en ( )XXXXIII será reemplazada por:

( ) 0tF *1 ≥ ( )XXXXV

Si ( )tu* es únicamente medible, ( ) ( ) ( )( )*1

*1

*1

**1 t,tu,tx,tH λ en ( )XXXXII debe ser

reemplazado por ( )

( ) ( ) ( )( ),t,tu,tx,tHsup*1

*1

*1

**1

Utu

λ∈

que es finito31

.

Si 01 tT = y ,tt 0*1 = el principio del máximo de Pontryagin para problemas

de tiempo final variable y la condición en esta nota no tienen ningún sentido.

Las siguientes condiciones son necesarias: Existe un número

,0λ ,0o1 00 =λ=λ y un vector ( )*1tλ con ( )( ) ( )0,0t, *

10 ≠λλ tal que ( )*1tλ

satisface ( )XXXII y ( )

( ) ( ) ( )( ) 0t,tu,tx,tHsup*1

*1

*1

**1

Utu

≤λ∈

.

6. Condiciones suficientes para problemas con tiempo final libre

Para problemas de tiempo final variable es difícil encontrar condiciones

suficientes de algún valor práctico, debido a una inherente carencia de

propiedades de convexidad en tales problemas. No obstante, las siguientes

condiciones, formuladas por Seierstad (1984), parecen algo promisorias.

Considerar el problema (XXV) con [ ],T,Tt 211 ∈ para .TTt 210 <≤

Supóngase que para cada [ ]21 T,TT ∈ existe un par admisible ( ) ( )( )tu,tx TT

definido en [ ]T,t0 , con la variable de coestado asociada ( )tTλ que satisface

todas las condiciones en el teorema de suficiencia de Arrow de la sección 3.

Asimismo, supongamos que ( ) .TtUUtu 'T ∀∧∀⊆∈ Se supone también

que ( )Tx T es continua en “T” y ( ) [ ] 21T T,TT:T ∈λ es acotado. Finalmente,

se asume que la función:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )10T,Tu,Tx,THTF 0TTT =λ=λ= ( )XXXXVI

31

En el apéndice podrá encontrar la definición del supremo de una función.


314

Tiene la propiedad que existe un [ ]21* T,TT ∈ tal que:

( )

( )

>≥≤

<≤≥

*2

*

*1

*

TTsiTTpara0TF

TTsiTTpara0TF ( )XXXXVII

Entonces, el par ( ) ( )( )tu,tx ** TT definido en [ ]*

0 T,t resuelve el problema

(XXV) con [ ].T,Tt 211 ∈ El par es único si ( )XXXXVII es válida también

cuando todas las desigualdades en ( )XXXXVII son estrictas y

( ) ( )( )t,tx,tH *Tλ es estrictamente cóncava en ( )tx para todo

[ ] .T,tt *0∈ Cuando 01 tT = es únicamente necesario contrastar las

condiciones del teorema para .TT 1>

Es importante señalar que si se requiere que [ ) 1011 Tt,,Tt ≤∞∈ y si la terna

( ) ( )( )tu,tx,T*T

*T

*** satisface las condiciones suficientes para problemas con

tiempo final libre de Seierstad para todos los intervalos [ ]21 T,T que contienen

T*, entonces la terna es óptima.

Ejemplos:

1.- Extracción óptima de recursos naturales: Supóngase que en el instante

0t = existe una cantidad fija 0x > de algún recurso (digamos petróleo

en cierto yacimiento de petróleo) que es extraíble. Sea la tasa de

extracción:

( ) 0tu ≥ ( )87

Si “T” es el instante en el que la extracción finaliza, entonces:

( ) ( ) 0dttuxxdttu

T

0

T

0

≥−⇒≤ ∫∫ ( )88

Si definimos ( )tx como el stock del recurso que resta por extraer en el

instante “t”, [ ],T,0t ∈ se tiene que:

( ) ( )∫ ττ−=

t

0

duxtx ( )89

Derivando (89) respecto al tiempo se tiene32

:

( ) ( )tutx' −= ( )90

32

Para derivar esta expresión se ha utilizado una de las reglas de Leibniz, que se presentan en el apéndice.


315

Reemplazando Tt = en (89) y teniendo en cuenta (88), se tiene:

( ) ( ) 0duxTx

T

0

≥ττ−= ∫ ( )91

Además, si reemplazamos 0t = en (89) se tiene que:

( ) ( ) 0xdux0x

0

0

>=ττ−= ∫ ( )92

Se asume que el precio del mercado mundial del recurso en el instante “t”

es ( ),tp de modo que los ingresos de las ventas por unidad de tiempo en

el instante “t” son ( ) ( ) ( ).tutptI ⋅= Asimismo, se asume que los costos por

unidad de tiempo son convexos en “ ( )tu ”, con ,0u

C

2

2

>∂

∂ y vienen dados

por ( )( ).tu,tCC =

Por tanto, la tasa instantánea de beneficios en el instante “t” será:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )tu,tCtutptu,t −⋅=π ( )93

El beneficio total descontado sobre el intervalo [ ],T,0 cuando la tasa de

descuento es “r”, es por tanto:

( ) ( ) ( )( )[ ] dtetu,tCtutp

T

0

rt∫

−−⋅ ( )94

El problema a resolver será: encontrar el instante “T” y la tasa de

extracción ( )tu que maximicen (94) sujeta a las restricciones (87), (90),

(91) y (92). Es decir, en términos formales tenemos:

( )( )

( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )( )( ) 0tu

0Tx

0x0x

tutx:a.s

dtetu,tCtutpmax

'

T

0

rt

tu,T

≥

≥

>=

−=

−⋅∫−

( )95

En este caso, la variables de estado y de control son ( )tx y ( )tu

respectivamente. Por tanto, el Hamiltoniano será:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )tutetu,tCtutpt,tu,tx,tH rt0 ⋅λ−−⋅λ=λ − ( )96


316

Supongamos que ( ) ( )tu,tx** , ambos definidos sobre el intervalo

[ ] ,T,0 * resuelven nuestro problema. Entonces existe una variable de

coestado ( )tλ tal que para todo [ ],T,0t *∈

( )( ) ( )0,0t,0 ≠λλ ( )97

( )tu* maximiza ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH ≥∀λ ( )98

Salvo en los puntos de discontinuidad de ( )tu* , se cumple que:

( )( ) ( ) ( )( )

( )0

tx

t,tu,tx,tHt

' =∂

λ∂−=λ ( )99

Además, ,0o1 00 =λ=λ y

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

4444 84444 76CHC

****** 0T0Tx0Tx0T =λ⋅−≥≥λ ( )100

Finalmente, de ( )XXXXII tenemos:

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )***rT******0 TuTeTu,TCTuTp

*

λ=−⋅λ − ( )10133

De (99) vemos que ( ) λ=λ t para alguna constante λ , y por ( )100 ,

( ) ( )( )

44 844 76CHC

**** 0Tx0Tx0 =λ⋅≥≥λ ( )102

Si suponemos que ,00 =λ de ( )97 resulta que ( ) 0t ≠λ=λ por lo que de

( )102 tenemos:

0>λ y ( ) 0Tx ** = ( )103

Entonces, reemplazando ( ) 0t >λ=λ y 00 =λ en ( )96 tenemos que:

( ) ( ) ( )( ) ( )tut,tu,tx,tH ⋅λ−=λ ( )104

De (98), se deduce que ( ) ,0tu* = y por la ecuación de movimiento de

( ),tx que aparece en (95), se tiene que:

( ) ( ) ktx0tx *' =⇒= ( )105

33

Si ,0T* = las condiciones deben ser modificadas de acuerdo a la nota 1 de la sección 5.


317

Reemplazando 0t = en (105), y teniendo en cuenta la condición inicial

dada en (95) se tiene que:

( ) 0xk0x* >== ( )106

Pero si reemplazamos *Tt = en (105), y teniendo en cuenta (106) y la

condición final dada en (95) se tiene que:

( ) 0xkTx** >== ( )107

Pero (107) contradice (103). Por tanto, ,10 =λ y el Hamiltoniano resulta:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )tutetu,tCtutpt,tu,tx,tHrt ⋅λ−−⋅=λ − ( )108

Gracias a (99) y a (102) sabemos que ( ) ,0t ≥λ=λ donde λ es una

constante. Reemplazando λ en (108) tenemos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )tuetu,tCtutpt,tu,tx,tHrt ⋅λ−−⋅=λ − ( )109

Ya que ( )( )tu,tC es convexa en ( )tu y los otros términos de (109) son

lineales en ( )tu , ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ es cóncavo en ( )tu . De acuerdo a

(98), vemos que ( )tu* debe maximizar ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ sujeto a que

( ) .0tu ≥ Por tanto, de acuerdo a las condiciones de Kuhn-Tucker, si

( ) ,0tu* = se tendría que:

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )( )( )

( )0e

tu

tu,tCtp

tu

t,tu,tx,tH rt*

0tu

*

*

≤λ−

∂

∂−=

∂

λ∂ −

=

Mientras que si ( ) ,0tu* > entonces:

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )( )( )

( )0e

tu

tu,tCtp

tu

t,tu,tx,tH rt*

0tu

*

*

=λ−

∂

∂−=

∂

λ∂ −

>

En consecuencia, ( )98 implica que:

( )( )( )

( )( )( )0tusi00e

tu

tu,tCtp

*rt*

>=≤λ−

∂

∂− − ( )110

Ya que ( )( )( )

( )rt

*

etu

tu,tCtp

−

∂

∂− es cóncava en ( )tu , entonces ( )110 es

también una condición suficiente que satisface ( )98 .


318

Para cualquier instante “t” en el que ( ) 0tu* > , ( )110 implica que:

( )( )( )

( )0e

tu

tu,tCtp

rt*

≥λ=∂

∂− ( )111

El lado izquierdo de la ecuación ( )111 es el beneficio marginal

( )( ) ( ).tutu,t ∂π∂ Por tanto, ( )111 nos dice que en el óptimo el beneficio

marginal debe crecer exponencialmente con una tasa igual al factor de

descuento “r”.

7. Horizonte infinito

8. El principio del máximo y el cálculo de variaciones

9. Hamiltoniano en tiempo corriente


207

Apéndice

Definición de producto cartesiano: El producto cartesiano de “n” conjuntos ( )Nn ∈ n21 A,,A,A K es el conjunto formado por las n-uplas ordenadas:

( ) .n,,2,1i,Aaa,,a,aAAA iin21n21 KKK =∈=××× El caso particular de la definición anterior que más nos interesa son los productos cartesianos de ℜ por sí mismo, es decir, los denominados conjuntos euclídeos.

( ) .n,,2,1i,xx,,x,x in21n

veces"n"KK44 344 21 K =ℜ∈=ℜ=ℜ××ℜ×ℜ

A cada componente n,,2,1i,x i K= de un elemento ( ) nn21 x,,x,x ℜ∈K se le suele

llamar coordenada i-ésima.

Ejemplos:

• La recta real ( ) .:1n ℜ= El conjunto de números reales se suele representar gráficamente a través de una recta.

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 ℜ

• El plano euclídeo ( ) ( ) .2,1i,xx,x:2n i212 =ℜ∈=ℜ= Su representación

gráfica se realiza a través de dos ejes (perpendiculares entre sí) de coordenadas cartesianas.

2ℜ

a

b

1x

2x

( )b,a

• El espacio euclídeo ( ) ( ) .3,2,1i,xx,x,x:3n i3213 =ℜ∈=ℜ= Su

representación gráfica se realiza a través de tres ejes (perpendiculares entre sí) de coordenadas cartesianas.


208

3ℜ

b

c

1x

2x( )c,b,a

3x

a

De acuerdo a la definición anterior, es importante resaltar que las n-uplas deben ser ordenadas. Es decir, por ejemplo en ,3ℜ los elementos de coordenadas ( ) ( ) ( ) .3,1,22,3,13,2,1 ≠≠ Definición de bola cerrada/abierta Dado ,x nℜ∈

r ,r ℜ∈ ,0r > se define:

a) Bola cerrada de centro xr

y radio “r”: ( ),xBrr como el conjunto de puntos

de nℜ cuya distancia al punto xr

es menor o igual que “r”, es decir:

( ) ryxyxB nr ≤−ℜ∈=

rrrr

b) Bola abierta de centro xv y radio “r”: ( ),xBr

r como el conjunto de puntos de

nℜ cuya distancia al punto x es menor estrictamente que “r”, es decir:

( ) ryxyxB nr <−ℜ∈=

rrrr

Donde la distancia (euclídea) entre los puntos xr

y yv es:

( ) ( )2nn2

11 yxyxyx −++−=− Krr

Es importante recalcar que siempre se verificará que: ( ) ( ).xBxB rrrr

⊂ Esto es así ya que a diferencia de la bola abierta, la bola cerrada incluye la frontera. Ejemplos:

• En ℜ tenemos:

( ) ( ) [ ]rx,rxryxyxyxyxB 2r +−=

≤−=−=−ℜ∈=


209

ℜ

x-r x x+r

Gráficamente este conjunto coincide con los puntos de un intervalo cerrado en ambos extremos con centro en x y longitud 2r.

( ) ( ) ( )rx,rxryxyxyxyxB 2r +−=

<−=−=−ℜ∈=

ℜx-r x x+r

Gráficamente este conjunto coincide con los puntos de un intervalo abierto en ambos extremos con centro en x y longitud 2r.

• En ,2ℜ sea ( ) 221 x,xx ℜ∈=

v entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

≤−+−ℜ∈= ryxyxy,yxB 222

211

221r

v

xv

2x

1x

r 2ℜ

Gráficamente este conjunto coincide con los puntos de un círculo con centro en x

v y radio “r” incluyendo los puntos de la circunferencia de centro en xv y

radio “r”.

( ) ( ) ( ) ( )

<−+−ℜ∈= ryxyxy,yxB 222

211

221r

v


210

xv

2x

1x

r 2ℜ

Gráficamente este conjunto coincide con los puntos de un círculo con centro en x

v y radio “r” sin incluir los puntos de la circunferencia de centro en xv y

radio “r”.

• En ,3ℜ sea ( ) 3321 x,x,xx ℜ∈=

v entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

≤−+−+−ℜ∈= ryxyxyxy,y,yxB 233

222

211

3321r

v

3ℜ

3x

xv

r 1x

2x

Gráficamente este conjunto coincide con los puntos interiores de una esfera con centro en x

v y radio “r” incluyendo los puntos de la esfera que la delimita.


211

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

<−+−+−ℜ∈= ryxyxyxy,y,yxB 233

222

211

3321r

v

3ℜ

3x

xv

r 1x

2x

Gráficamente este conjunto coincide con los puntos interiores de una esfera con centro en x

v y radio “r” sin incluir los puntos de la esfera que la delimita.

Definición de interior de un conjunto: Sea nx ℜ∈

v y ,S nℜ⊆ se dice que el punto x

v es un punto interior al conjunto S, si

( ) .SxB0run r ⊆>∃v El conjunto interior de S, denotado por

0S , es el conjunto

formado por todos los puntos interiores al conjunto S. Es decir, 0S es el conjunto

abierto que resulta de la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en S. Por su definición, el interior de un conjunto puede considerarse como el más grande conjunto abierto que está contenido en el conjunto dado. Por ejemplo, el interior de una bola cerrada con centro en x

v es la bola abierta con

centro en xv . El interior del intervalo semiabierto [ )b,a es el intervalo abierto ( ).b,a

El interior de una línea en el plano es el conjunto vacío, ya que ningún subconjunto de la línea en 2ℜ es abierto en 2ℜ . Teorema:

a) Cualquier conjunto abierto es la unión de bolas abiertas. b) Cualquier conjunto abierto es su propio interior. Es decir, el interior de un

conjunto abierto S es el mismo conjunto S.


212

Definición de conjunto abierto: Un conjunto nS ℜ⊆ es abierto si para cada ,Sx ∈

v existe una bola abierta con centro

en xv

completamente contenida en S:

( ) .SxB0runSx r ⊂>∃⇒∈vv

Es decir, S será un conjunto abierto si todos sus puntos son interiores, esto es, si

.SS0

= Un conjunto abierto S que contiene al punto xv

se le denomina vecindad abierta de x

v . La palabra “abierta” tiene la connotación de “no acotado”: desde cualquier punto uno siempre puede desplazarse una pequeña distancia en cualquier dirección y aún permanecer en el conjunto. La definición de conjunto abierto establece la siguiente idea en términos precisos: cada elemento en un conjunto abierto contiene una bola completa al rededor de él que se encuentra en dicho conjunto. En consecuencia, los conjuntos abiertos no pueden contener sus puntos de frontera.

Sea nx ℜ∈v

y ,S nℜ⊆ se dice que el punto xv

es un punto frontera del conjunto S, si ( ) ( ) .ØSxByØSxB,0r C

rr ≠∩≠∩>∀vv

Donde CS es el conjunto complementario de S. Es decir x

v es un punto de frontera de S si cualquier bola centrada en él siempre contiene elementos del conjunto S y de su complementario. Al conjunto formado por todos los puntos frontera de S se le denomina conjunto frontera y se le denota como

( ).SFr De la definición de punto frontera se desprende que ( ) ( ).SFrSFr C= Además, se desprende que un punto interior no puede pertenecer a la frontera del conjunto. De la definición de conjunto abierto se desprende que nS ℜ⊆ es un conjunto abierto sí y sólo sí ( ) ( ).SFrSFr C⊆

Teorema:

a) Las bolas abiertas son conjuntos abiertos. b) La unión de conjuntos abiertos es otro conjunto abierto. c) La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es otro conjunto

abierto.

Definición de conjunto cerrado:

Sea nx ℜ∈v

y ,S nℜ⊆ se dice que el punto xv

es un punto adherente al conjunto S, si ( ) .ØSxB,0r r ≠∩>∀

v Al conjunto formado por todos los puntos adherentes al conjunto S se le denomina conjunto adherencia o clausura de S y lo denotaremos por .S

Un conjunto nS ℜ⊆ se denominará conjunto cerrado si contiene todos sus puntos adherentes, esto es, si .SS = De su definición se desprende que nS ℜ⊆ es un

conjunto cerrado sí y sólo sí su complementario CS es abierto.


213

Definición de conjunto acotado: Se dice que un conjunto nS ℜ⊆ está acotado si y sólo si existe un ,Sx0r ∈∀>

r se

cumple que .rx ≤r

De manera equivalente, podemos decir que S será un conjunto

acotado si existe una bola abierta centrada en n0 ℜ∈v

y radio 0r > que lo contiene totalmente, esto es, ( ).0BS0run r

v⊆>∃

Definición de conjunto compacto: Se dice que un conjunto nS ℜ⊆ es un conjunto compacto si es cerrado y acotado. Ejemplos: 1.- Conjuntos interior, adherencia y frontera de conjuntos en .y 2ℜℜ

• En :ℜ Sean .ba,b,a <ℜ∈ Los conjuntos interior, adherencia y frontera de los distintos intervalos de extremos a y b serán:

( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) b,ab,aFr,b,ab,a,b,ab,a0

===

[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]( ) b,ab,aFr,b,ab,a,b,ab,a0

===

[ ) ( ) [ ) [ ] [ )( ) b,ab,aFr,b,ab,a,b,ab,a0

===

( ] ( ) ( ] [ ] ( ]( ) b,ab,aFr,b,ab,a,b,ab,a0

===

Si :a −∞=

( ) ( ) ( ) ( ] ( )( ) bb,Fr,b,b,,b,b,0

=∞−∞−=∞−∞−=∞−

( ] ( ) ( ] ( ] ( ]( ) bb,Fr,b,b,,b,b,0

=∞−∞−=∞−∞−=∞− Si :b +∞=

( ) ( ) ( ) [ ) ( )( ) a,aFr,,a,a,,a,a0

=+∞+∞=+∞+∞=+∞

[ ) ( ) [ ) [ ) [ )( ) a,aFr,,a,a,,a,a0

=+∞+∞=+∞+∞=+∞


214

• En :2ℜ Por ejemplo, para [ ) ( ]4,13,2A ×= se tiene:

( ) ( ) [ ] [ ]4,13,2A,4,13,2A0

×=×=

( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ] ( )43,213,24,134,12AFr ×∪×∪×∪×= 1

2ℜ

( )0,2

( )1,0

( )0,3

A

( )0,0

( )4,0

2.- Conjuntos abiertos, cerrados, acotados y compactos en .y 2ℜℜ

• En :ℜ Todo intervalo abierto en ambos extremos será un conjunto abierto, mientras que todo intervalo cerrado en ambos extremos será un conjunto cerrado (los intervalos abiertos no contienen su frontera y los cerrados sí). Todo intervalo que sea abierto en un extremo y cerrado en el otro no es ni abierto ni cerrado. Asimismo, si los dos extremos del intervalo son finitos, el conjunto será acotado (siempre encontraremos una bola abierta centrada en “0” que contenga al intervalo), mientras que si uno de su extremos es infinito será no acotado. Por tanto, todo intervalo cerrado de amplitud finita será un conjunto cerrado y acotado y, en consecuencia, compacto.

• En :2ℜ

El conjunto ( ) ( )4,13,2A ×= es abierto ya que ,AA0

= y es acotado ya que, por ejemplo, está contenido en la bola abierta de centro ( )0,0 y radio .6r = Al no ser cerrado no será un conjunto compacto.

1 Note que el conjunto frontera de A está formado por los puntos que se sitúan sobre el rectángulo que bordea al mismo.


215

2ℜ

( )0,2

( )1,0

( )0,3

6r =

A

( )0,0

( )4,0

El conjunto [ ] [ ]4,13,2B ×= es compacto ya que es cerrado ( )BB = y acotado.

2ℜ

( )0,2

( )1,0

( )0,3

6r =

B

( )0,0

( )4,0


216

Por otro lado, el conjunto ( ] [ ]4,13,2C ×= no es abierto ya que contiene puntos frontera, ni cerrado ya que no contiene algunos de sus puntos frontera (los de coordenadas ( ) ,x,1 con [ ]4,1x ∈ ), siendo un conjunto acotado, pero no compacto.

2ℜ

( )0,2

( )1,0

( )0,3

6r =

C

( )0,0

( )4,0

Independencia lineal Los vectores n21 ,,, ννν

vK

vv son linealmente independientes (l.i) si ninguno de ellos es combinación lineal de los demás. Son linealmente dependientes (l.d) si al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás. Un conjunto de vectores n21 ,,, ννν

vK

vv que genera con unicidad el vector cero se denomina conjunto linealmente independiente. De no ser así, ese conjunto de vectores es linealmente dependiente.

• Independencia lineal significa:

0kn

1iii

v=ν⋅∑

=

implica que i0k i ∀=

• Dependencia lineal significa:

0kn

1iii

v=ν⋅∑

=

pero no todo 0k i =


217

Ejemplo:

A continuación demostraremos que los siguientes vectores

−

−

710

y022

,321

son

linealmente independientes. Para ello deberemos resolver el siguiente sistema matricial:

=

+

−+

−

000

710

k022

k321

k 321

Del cual podemos obtener las siguientes ecuaciones:

=++=+−−=++

0k7k0k30k1k2k20k0k2k

321

321

321

Luego de resolver el sistema obtenemos: 0k1 = , 0k 2 = y 0k 3 = . De lo cual se concluye que por ser la única solución (trivial), estos vectores generan con unicidad al vector 0

v, por lo tanto son linealmente independientes.

Menor de una matriz Se llama menor de orden “k” de “A” al determinante de una submatriz de “A” que resulta de suprimir todas las filas de “A” salvo “k” de ellas y suprimir todas las columnas de “A” salvo “k” de ellas. Ejemplo: Hallar los menores de la matriz:

=

122024201201

A

a) 4 menores de orden 3. Se obtienen suprimiendo una columna.

;2120220101

;4220420201

−=−=

0122242120

;0120240121

==


218

b) 18 menores de orden 2. Se obtienen suprimiendo una fila y dos columnas de todas las formas posibles. Dos de ellos son:

22001

= (Se obtiene suprimiendo la 3ª fila y la 3ª y 4ª columna).

21210

−= (Se obtiene suprimiendo la 2ª fila y la 1ª y 3ª columna).

c) 12 menores de orden 1. Son los 12 elementos de “A”. Rango de una matriz Se puede asociar a toda matriz un número muy importante que recibe el nombre de rango. El rango r(A) de una matriz matriz “A” de orden “ nm × ” es igual al orden de un menor no nulo de A de orden máximo. El rango r(A) de la matriz “A” coincide con el máximo número de vectores columna y con el máximo número de vectores fila linealmente independientes que hay en “A”. Es decir, el rango de la matriz “A” es igual al mayor número de filas linealmente independientes de dicha matriz, y también es igual al mayor número de columnas linealmente independientes de dicha matriz. El rango de una matriz “A” de orden “ nm × ” puede ser a lo sumo “m” o “n”, según cual sea el más pequeño. Formalmente esto se puede escribir como:

( ) n,mmínAr ≤

Ejemplo: A continuación vamos a determinar el rango de la matriz formada por los siguientes vectores columna:

0011

,

0111

,

1111

La matriz en cuestión es:

=

001011111111

A


219

Primero hallamos los menores de orden 1, comenzando por la parte superior izquierda (sólo para llevar un orden).

011 ≠= , como este menor de orden 1 es diferente de cero, entonces el rango es por lo menos uno. Ahora hallamos los menores de orden 2, comenzando por la parte superior izquierda (sólo para llevar un orden).

Como 01111

= , entonces buscamos algún otro menor de orden 2 que sea diferente

de cero.

10111

−= , como este menor de orden 2 es diferente de cero, entonces el rango es

por lo menos dos. Finalmente, hallamos los menores de orden 3, comenzando por la parte superior izquierda (sólo para llevar un orden).

Como 00111111

10111

10111

1011111111

=++−=×+×−×= , entonces

buscamos algún otro menor de orden 3 que sea diferente de cero.

( ) ( ) 1110100111

10101

10001

1001011111

−=−+−=×+×−×= , como este

menor de orden 3 es diferente de cero, entonces el rango es por lo menos 3. Ya no podemos hallar menores de orden mayor que tres, por lo tanto ( ) .3Ar = Por

tanto, podemos añadir que en este caso los tres vectores columna del espacio 4ℜ son linealmente independientes. Métodos para definir una matriz simétrica o una forma cuadrática Para definir (positiva, negativa, etc.) una matriz simétrica “A” de orden nn × o una forma cuadrática cuya matriz asociada es “A”, mostraremos el método de los menores principales dominantes de “A” y el método de los autovalores de “A”. Menores principales de una matriz Definición: Sea una matriz “A” de orden nn × . La submatriz de orden “k” obtenida borrando “nk” filas y las mismas “nk” columnas de “A” se le denomina submatriz principal de orden “k” de “A”. A su determinante se le denomina menor principal de orden “k” de “A”.


220

Ejemplo:

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A :

Tiene un único menor principal de orden 3: .AAdet =

Tiene tres menores principales de orden dos:

,aaaa

2221

1211 obtenido eliminando la columna 3 y la fila 3 de A.

,aaaa

3331


,aaaa

3332


Tiene tres menores principales de primer orden:

,a11 obtenido eliminando las dos últimas filas y columnas.

,a22 obtenido eliminando la primera y tercera filas y la primera y tercera columnas.

,a33 obtenido eliminando las dos primeras filas y columnas.

Definición: Sea una matriz “A” de orden nn × . La submatriz principal de orden “k” obtenida borrando las últimas “nk” filas y las últimas “nk” columnas de “A” se le denomina submatriz principal dominante de orden “k” de “A”. A su determinante se le denomina menor principal dominante de orden “k” de “A”.

111 aA = orden 1.

2221

12112 aa

aaA = orden 2.

333231

232221

131211

3aaaaaaaaa

A = orden 3.

kk3k2k1k

k2232221

k1131211

k

aaaa

aaaaaaaa

A

K

MLMMM

MLMMM

K

K

= orden k.

M

AAn = orden n.


221

Definición de una matriz simétrica Método de los menores principales dominantes de A: Sea “A” una matriz simétrica de orden nn × . La matriz “A” es:

• Definida Positiva: Si y sólo sí todos sus “n” menores principales dominantes son estrictamente positivos. Es decir, .n,,2,1k0Ak K=∀>

• Definida negativa: Si y sólo sí sus “n” menores principales dominantes alternan de signo como sigue: .etc,,0A,0A,0A 321 K<>< Es decir, ( ) .n,2,1k0A1 k

k K=∀>−

• Indefinida: Si algún “k-ésimo” menor principal dominante de “A” (o algún par de ellos) no es nulo y no se ajusta a cualquiera de los patrones de signos descritos en los dos casos anteriores. Este caso se da si 0Ak < para un entero par “k”, o si 0A0A mk >∧< para dos enteros impares “k” y “m” siempre que .mk ≠

Una manera en la que el método de los menores principales dominantes puede fallar para una matriz simétrica “A” es cuando algún menor principal dominante de A es nulo mientras que los menores principales dominantes no nulos siguen el patron de signos de cualquiera de los dos primeros casos antes mencionados (definida positiva y definida negativa). Cuando esto ocurre, la matriz “A” es no definida (positiva o negativa), y ésta puede ser semidifenida (positiva o negativa) o indefinida. En este caso, para comprobar si la matriz “A” es o no semidefinida (positiva o negativa) se debe verificar el signo de todos los menores principales de “A” y no solo verificar el signo de los “n” menores principales dominantes de “A”.

• Semidefinida positiva: Si y sólo si los 12n− menores principales de A son

mayores o iguales a cero.

• Semidefinida negativa: Si y sólo si los 12n− menores principales alternan

de signo de modo que los menores principales de orden impar de la matriz A son menores o iguales a cero y todos los menores principales de orden par son mayores o iguales a cero.

Ejemplo: Supongamos que “A” es una matriz simétrica de orden 44 × , como es usual, iA representa el menor principal dominante de orden “i”:

a) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 >>>> entonces “A” es definida positiva (el recíproco también se cumple).

b) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 ><>< entonces “A” es definida negativa (el recíproco también se cumple).


222

c) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 <=>> entonces “A” es indefinida debido a que

el signo de ( ) .01A 44 >−≠

d) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 <<<< entonces “A” es indefinida debido a que

el signo de ( ) 01A 22 >−≠ y a que el signo de ( ) .01A 4

4 >−≠

e) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 =><= entonces “A” es indefinida debido a que

el signo de ( ) 01A 22 >−≠ .

f) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 >>=> entonces “A” no está definida. No es semidefinida negativa, pero puede ser semidefinida positiva. Para verificar si la matriz “A” es semidefinida positiva, debemos verificar todos los 15 menores principales de “A”, no únicamente los cuatro menores principales dominantes. Si ninguno de los menores principales es negativo, entonces “A” es semidefinido positivo. Si al menos uno de ellos es negativo, “A” es indefinida.

g) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 >=>= entonces “A” no está definida, pero podría ser semidefinida positiva o semidefinida negativa. Para decidir, también deberíamos verificar todos sus 15 menores principales.

Raíces características o autovalores Sea una matriz A de orden .nn × Se dice que λ es una raíz característica o autovalor de A si verifica que: ( ) ,0xIAxxA

rrrr=λ−⇒λ= para algunos vectores .0x

rr≠ Donde “I”

es la matriz identidad de orden “n”. De modo que la solución de ( ) ,0xIArr

=λ− no sea trivial, esto es ( ),0x

rr≠ se debe verificar:

.0IA =λ−

Donde IA λ− es un polinomio de grado “n” que se le suele denominar polinomio característico de A. Las “n” raíces de este polinomio son los autovalores. Vectores característicos o autovectores Para una determinada raíz característica iλ de A, a todos los valores de “x” que

satisfagan ( ) ,0xIA irr

=λ− se les denomina vectores característicos o autovectores de A asociados a .iλ


223

Formas cuadráticas

Dado un vector [ ] ,xxxX nn21

T ℜ∈= LLr

una forma cuadrática es una

aplicación ℜ→ℜn:Q de la forma:

( ) [ ] ∑∑= =

=

==n

1i

n

1kkiik

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

n21T xxa

x

xx

aaa

aaaaaa

xxxXAXXQM

M

L

MMM

L

L

LLrrr

Donde [ ]ikaA = es una matriz simétrica cuadrada de orden “n” de valores reales.

Definición de las formas cuadráticas Método de los autovalores de la matriz asociada A:

Sea ( )XQr

una forma cuadrática diremos que es:

• Definida Positiva: Sí y sólo si para todo ( ) .0XQ,0x,x n >≠ℜ∈rvvv En este

caso todos sus autovalores serán positivos.

Ejemplo: ( ) [ ] .xx

1001

xxxxxQ2

121

22

21

=+=

v

El polinomio característico y los valores característicos serán:

( ) .010110

011001

1001

212 >=λ=λ⇒=λ−=

λ−λ−

=

λ−

3x

1x

2x


224

• Semidefinida positiva: Sí y sólo si para todo ( ) 0XQ,x n ≥ℜ∈rv y existe

algún vector ( ) .0XQ0x 00 =≠rvv En este caso, existirán np < autovalores

positivos y pn − autovalores nulos.


1111

xxxxx2xxQ2

121

2221

21

=++=

v Se observa que

para todos los vectores que se encuentran sobre el eje 1x ( ) 0xQ =v , y para

cualquier otro vector que no pertenece al eje 1x se verifica que ( ) .0xQ >v


( ) .02y00211

111001

1111

21 >=λ=λ⇒=−λλ=λ−

λ−=

λ−

2x

3x

1x

• Definida negativa: Sí y sólo si para todo ( ) .0XQ,0x,x n <≠ℜ∈rvvv Esto se da

cuando todos los autovalores de A son negativos.


1001

xxxxxQ2

121

22

21

−

−=−−=

v


( ) .01011001

1001

1001

212 <−=λ=λ⇒=λ+=

λ−−λ−−

=

λ−

−

−


225

3x

1x

2x

• Semidefinida negativa: Sí y sólo si para todo ( ) 0XQ,x n ≤ℜ∈rv y existe

algún vector ( ) .0XQ0x 00 =≠rvv En este caso, existirán np < autovalores

negativos y pn − autovalores nulos.


1111

xxxxx2xxQ2

121

2221

21

−−−−

=−−−=r

Se observa

que para todos los vectores que se encuentran sobre el eje 1x ( ) 0xQ =v y

para cualquier otro vector que no pertenece al eje 1x se verifica que ( ) .0xQ <v


( ) .02y00211

111001

1111

21 <−=λ=λ⇒=+λλ=λ−−−

−λ−−=

λ−

−−−−

1x

3x

2x


226

• Indefinida: Sí y sólo si existen ( ) ( ) .0XQ0XQX,X 2121 >∧<ℜ∈rrrr

Por tanto, existirán autovalores de A positivos y negativos.


1001

xxxxxQ2

121

22

21

−

=−=v Se observa que para

todos los vectores de la forma ( )0,xx 12 =

v ⇒ ( ) ( )0x0xxQ 121

2 ≠>=v

(Curva AB), mientras que para vectores de la forma ( )21 x,0x =v ⇒

( ) ( )0x0xxQ 222

1 ≠<−=v (Curva CD).


.01y01011001

1001

1001

212 <−=λ>=λ⇒=−λ=

λ−−λ−

=

λ−

−

1x

2x

3x

Gradiente de una función Sea “f” una función de “n” variables y que posea derivadas parciales respecto a todas sus variables en un punto que pertenezca a su dominio “D” ( ) .Dx nℜ⊂∈

r Al

siguiente vector de :nℜ

( ) ( ) ( ) ( )[ ]xfxfxfxfn21 xxxr

Lrrr

=∇ Se le denomina vector gradiente de “f” en x

r y se denota como ( ).xf

r∇

Si ( )xf

r tiene derivadas parciales, se puede probar que el gradiente ( )xf

r∇ es ortogonal

a la superficie de nivel cuya ecuación es ( ) kxf =r

, donde “k” es una constante, y que ( )xfr

∇ apunta en la dirección de crecimiento máximo de ( )xfr

. Es decir, el vector gradiente nos da la dirección y el sentido del desplazamiento en que aumenta el valor de “k” y, el vector ( )xf

r−∇ , vector con sentido opuesto a ( )xf

r∇ , indica la dirección y el

sentido en el que disminuye el valor de “k”.


227

x

y

( ) ( )y,xfxf =r

k

( )xfr

∇−

x

y

xr

( ) 0ky,xf >=

( ) 0ky,xf >=

z

( ) 0y,xf =


319

Apéndice

Factor de descuento

En optimización dinámica es común encontrarse en situaciones en las que en un

periodo de tiempo dado, hay que analizar cantidades monetarias (ingresos, costos) que

se producen en instantes distintos. Asimismo, existen otras situaciones en las que se

producen utilidades en distintos instantes. La temporalidad de estas cantidades nos

obliga a realizar una homogeneización de las mismas ya que no es lo mismo recibir

“A” unidades monetarias en la actualidad que recibirlas en el futuro, como tampoco

es lo mismo tener la utilidad “U” ahora que poseerla en el futuro. Es por esto que se

introduce el concepto de tasa de descuento.

Por ejemplo, supongamos que tenemos “A” nuevos soles, que depositamos en un

banco a un tipo de interés nominal anual “i”1, en tanto por uno

2. Dicha cuenta la

dejamos abierta por “t” años, sin ingresos ni reintegros, acumulándose los intereses

(compuestos) que se vayan generando a lo largo del tiempo. El problema consiste en

determinar la cantidad “B” de dinero que existe en la cuenta después de “t” años.

Dicha cantidad dependerá de “A”, de “i”, de “t”, y de las veces que se capitalicen los

intereses durante cada año.

A continuación se presentan los casos que se dan de acuerdo al número de veces que

los intereses se capitalizan al año.

• Se capitaliza “m” veces al año:

( )mt

mt

mt

mi1

1Bmi1BAA

im

11B

+=+=⇒

+= −

• Se capitaliza de manera continua:

( )[ ] ( ) ititmt

m

mt

mBeAAemi1límAAmi1límB −

∞→∞→=⇒=+=+=

Las expresiones anteriores nos indican que “A” nuevos soles de hoy se transforman

en “B” nuevos soles dentro de “t” años. Asimismo, “B” nuevos soles dentro de “t”

años equivalen a:

+

− it

mt

Be

mi1

1B

nuevos soles de ahora, según la capitalización sea “m” veces al año o

de manera continua.

1 mi representa la tasa de interés efectiva capitalizable “m” veces al año.

2 Como sabemos, el tanto por ciento representa una cierta cantidad con respecto a 100. Si en lugar de tomar

como referencia 100, se toma la unidad 1, se llama tanto por uno. Si se divide un tanto por ciento entre 100

dará el tanto por uno correspondiente. Por ejemplo, 0,35 es el tanto por uno correspondiente al 35%.


320

El factor de descuento también puede utilizarse en otros campos distintos al

financiero. Por ejemplo, para el caso discreto, si se tienen las utilidades:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) .t,tCU,,t,tCU,t,tCUt,tCU 1N1N1100jj −−= K

Correspondientes a los periodos ( )1N,,1,0j −= K . Se considera el factor de descuento

,1i1

10 ≤

+=α≤ donde 1i0 ≤≤ es la tasa de descuento. El valor actual del flujo

de utilidad descontada en el horizonte temporal dado es:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ).t,tCUi1t,tCUi1

1t,tCU jj

1N

0j

jjj

1N

0j

j

jj

1N

0j

j ∑∑∑−

=

−−

=

−

=

+=

+=α

En este caso, tanto la tasa de descuento como el factor de descuento son ahora

subjetivos y reflejan la valoración del presente sobre el futuro que hace el planificador

o el individuo. Si ,i0 ∞=⇒=α sólo se valora el presente, el futuro no vale nada. Si

,0i1 =⇒=α el futuro se valora exactamente igual que el presente. En la medida

que α vaya creciendo desde 0 hasta 1 (o que “i” vaya decreciendo desde ∞ hasta 0),

el futuro va teniendo más peso.

Para el caso continuo, supongamos que se tiene el siguiente nivel de utilidad en cada

instante “t” perteneciente al horizonte temporal [ ].T,0 Si “i” es la tasa de descuento, y

( )( )t,tCU es el nivel de utilidad en el instante “t”. En este caso, el valor actual del flujo

de utilidad descontada en el horizonte temporal dado es:

( )( ) ( )( ) .dtt,tCUdtt,tCUe

T

0

tT

0

it∫∫ α=−

De la misma manera que ocurre en tiempo discreto, si 0i = el futuro se valora

exactamente igual que el presente. Si ∞=i sólo se valora el presente. Cuanto mayor

es “i” menor valor se concede al futuro. Donde el factor de descuento en tiempo

continuo viene dado por:

1m

i1líme0

mt

m

i ≤

+==α≤

−

∞→

−

Funcionales

Una funcional es una aplicación, cuyo dominio es un conjunto de funciones, y cuyo

rango es un subconjunto de .ℜ Vamos a considerar funcionales “J” cuyo dominio es

el conjunto ,Ω esto es:

[ ]xJx

:J

→

ℜ→Ω


321

Donde Ω es el conjunto de todas las funciones “x” con derivadas primeras y

segundas continuas en un intervalo cerrado [ ]10 t,t con ,tttyt 1010 <∧ℜ∈ y que

viene dado por: [ ] [ ] .t,tenCesxt,t:x 102

10 ℜ→ℜ⊂=Ω Es decir, una funcional

es una regla de correspondencia (un tipo especial de mapeo) que asigna a cada

función Ω∈x un único valor real [ ].xJ

En la figura I se muestra el mapeo entre tres trayectorias, pertenecientes al conjunto

de trayectorias admisibles ,Ψ y el valor asociado a cada una de ellas,

[ ] ( ).III,II,IjJxJ jj == En esta figura se aprecia que a cada trayectoria admisible

(que parte de x0 en el instante t0, punto A, y llega a x1 en el instante t1, punto B) que

pertenece a ( ) ( ) Ω⊆===Ω∈=Ψ IIIIIIii x,x,x1,0ixtxx le corresponde un único

valor [ ] .xJ j ℜ⊆

( )tx

( )tx

( )tx

t

t

t

Conjunto de valores asociados a las trayectorias (línea real)

Conjunto de trayectorias admisibles (funciones)

[ ] II JxJ =

[ ] IIII JxJ =

[ ] IIIIII JxJ =

Ix

IIx

IIIx

0t 1t

0t 1t

t t

A

A

A

B

B

B

0x

1x

0x

1x

0x

1x

Figura I


322

En este punto es importante resaltar que muchos autores, omiten la variable “t” en la

variable de estado que aparece como argumento de la funcional ( )[ ]txJ y únicamente

escriben [ ]xJ o ,xJ de esta manera subrayan el hecho que es el cambio en la

posición de la trayectoria completa ( )tx , la variación en la trayectoria ( )tx , en

contraste al cambio en “t”, que resulta en un cambio en el valor ( )[ ]txJ de la

trayectoria. El símbolo ( )[ ]txJ difiere del símbolo que corresponde a una función

compuesta ( )[ ]xfg ya que “g” es una función de “f”, y “f” es a su vez una función de

“x”, por lo que al final “g” es una función de “x”. Sin embargo, en el símbolo ( )[ ]txJ

no se debe tomar a “J” como una función de “t”, sino que por el contrario “J” debe ser

entendido como una función de ( ).tx Una vez hecha esta aclaración, para evitar

confusión, el símbolo que utilizaremos en este capítulo será [ ].xJ

Ejemplos:

• A cada función ,x Ω∈ le hacemos corresponder [ ] ( ) .dttxxJ

1

0

t

t

∫= Como Ω∈x ,

( )tx es una función continua y por tanto integrable, en consecuencia, [ ]xJ es

un número real. Por ende, [ ]xJ es una funcional.

• Para ,x Ω∈ sea:

[ ] .2

ttxxJ

10'

+=

En este caso [ ]xJ también es una funcional ya que, al ser “x” derivable, la derivada

de “x” en el punto medio del intervalo [ ]10 t,t en el que está definida, existe y es un

número real.

• Para ,x Ω∈ sea [ ] ( ).txxJ '= En este caso [ ]xJ no es una funcional ya que la

derivada de una función derivable por lo general es otra función, y no un número real.

Diversas formas de funcionales objetivo

• La forma integral de la funcional objetivo

En optimización dinámica, una trayectoria óptima es, por definición, aquella

que maximiza o minimiza el valor de la trayectoria [ ]xJ3. Dado que cualquier

trayectoria ( )tx por fuerza debe viajar a lo largo de un intervalo de tiempo

[ ]10 t,t , su valor total naturalmente sería la suma de los valores de los arcos

que la constituyan. Esta suma, en tiempo continuo, será una integral definida,

( ) .dtarcodelvalor

1

0

t

t

∫ Pero, para poder identificar un “arco” en una trayectoria

continua se necesita conocer el tiempo de partida, el estado de partida, y la

dirección en la cual el arco avanza. En tiempo continuo, ya que cada arco es de

longitud infinitesimal, la información anterior es representada por “t”, ( )tx y

( ),tx' respectivamente.

3 Los valores numéricos asociados a cada trayectoria de estado, [ ],xJ como suele asumirse en el análisis

económico, podrían ser interpretados como niveles de “utilidad” que pueden medirse.


323

En general, para una trayectoria “x” dada, el arco asociado con un punto

específico del tiempo “t” es caracterizado por un único valor ( )tx y por una

única pendiente ( ).tx' Si existe alguna función, “f” que asigne valores de arcos

a los arcos, entonces el valor de dicho arco puede ser escrito como

( ) ( )( ).tx,tx,tf ' Por tanto, la suma de los valores de arcos puede generalmente

escribirse como la integral definida:

[ ] ( ) ( )( )∫=1

0

t

t

' dttx,tx,tfxJ ( )*

La expresión anterior revela que es la variación en la trayectoria “x” (digamos

III xvsx ) lo que altera la magnitud de [ ].xJ Cada diferente trayectoria “x”

está constituida por un diferente conjunto de arcos en el intervalo de tiempo

[ ],t,t 10 que, a través de la función “f” que asigna valores a los arcos, toma un

diferente conjunto de valores de arco. La integral definida suma aquellos

valores de arco sobre cada trayectoria “x” en un valor de trayectoria.

Si en el problema hay dos variables de estado, “x” y “z”, los valores de arco de

“x” y “z” deberán tomarse en cuenta. La funcional objetivo deberá entonces

ser:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )∫=

1

0

t

t

'' dttz,tx,tz,tx,tfz,xJ ( )**

Un problema con una funcional objetivo en la forma de ( )* o de ( )** constituye

el problema estándar.

• Otras formas de la funcional objetivo

En ocasiones, el criterio de optimización en un problema puede no depender de

ninguna posición intermedia que la trayectoria atraviese, pero puede depender

exclusivamente de la posición del punto terminal alcanzado. En este caso, no

aparece ninguna integral definida, ya que no es necesario sumar valores de

arcos sobre un intervalo de tiempo. Más bien, la funcional objetivo adopta la

siguiente forma:

[ ] ( )[ ]Tx,TGxJ = ( )***

Donde la función “G” se basa únicamente sobre lo que ocurre en el instante

final “T”. A un problema con este tipo de funcional objetivo se le denomina

problema de Mayer. Ya que sólo la posición terminal ocurre en [ ]xJ , también

es conocido como problema de control terminal.


324

Con dos variables de estado, “x” y “z”, ( )*** se convertiría en:

[ ] ( ) ( )[ ]Tz,Tx,TGxJ = ( )****

Podría también suceder que la integral definida en ( )* y el criterio del punto

terminal en ( )*** ingresen simultáneamente en la funcional objetivo.

Entonces tendríamos la siguiente funcional:

[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]Tx,TGdttx,tx,tfxJ

1

0

t

t

' += ∫ ( )*****

Si (*****) es la forma de la funcional objetivo, entonces tendremos el

problema denominado problema de Bolza.

Aunque el problema de Bolza puede parecer ser la formulación más general, la

verdad es que los tres tipos de problema, Estándar, Mayer y Bolza, son

convertibles en los otros dos restantes.

Derivadas de funciones trigonométricas

Derivadas del sen θ y cos θ

• Si ( ) θsenθf = :

Entonces: ( ) ( ) θ∆senθcosθ∆cosθsenθ∆θsenθ∆θf +=+=+

Aplicando la definición analítica de la derivada de una función:

( )( ) ( ) ( )

−+=

−+=

→→ ∆θ

θsen ∆θθsen lím

∆θ

θf∆θθf límθ'f

0∆θ0∆θ

−+=

→ ∆θ

θsen ∆θsen . θ cos ∆θ cos . θsen lím

0∆θ

( )

+

−=

→→ ∆θ

∆θsen . θ cos lím

∆θ

1θ∆ cosθsen lím

0∆θ0∆θ

( ) ( ) ( )

+

−∆

=→→→→ ∆θ

∆θsen límθ cos lím

∆θ

1θ cos límθsen límθ'f

0∆θ0∆θ0∆θ0∆θ

( ) ( ) ( )

+

−∆=

→→ ∆θ

∆θsen límθ cos

∆θ

1θ cos límθsen θ'f

0∆θ0∆θ


325

Ahora vamos a calcular cada uno del los límites que conforman ( )θ' f .

En primer lugar vamos a ayudarnos de la gráfica del cos θ para determinar el valor

del

−∆

→ ∆θ

1θ cos lím

0∆θ.

Cos θ

θ(radianes)

Pendiente = d(Cos θ)/dθ| θ = 0 = 0

π/2 0 –π/2

Figura II

La figura II muestra una parte de la gráfica de la función ( )θcos para valores

cercanos a 0θ = . Se puede observar que la recta tangente a la gráfica en 0θ = es

horizontal, por lo que su pendiente será igual a cero en dicho punto; de ahí que la

derivada del ( )θcos en 0θ = , es cero.

Utilizando la definición analítica de la derivada de una función:

( )( )

( )

−+==

→ ∆θ

θ cos∆θθ cos lím'θ cos

θ d

θ cosd

0∆θ

Para :0=θ

( )( )

( )

−+==

→== ∆θ

0 cos∆θ0 coslím'θ cos

θ d

θ cosd

0∆θ0θ0θ

( ) 0∆θ

1∆θ cos lím'θ cos

0∆θ0θ=

−=

→=

En segundo lugar vamos a calcular el

→ θ∆

θ∆sen lím

0∆θ haciendo uso de un círculo

de radio unitario.


326

y

R

P(x, y)

x 0 Q

1

θ x

y

Figura III

De la figura III PQ1

PQθseny === .

Como “θ” se mide en radianes, se obtiene que: θ = PR

=

⇒=

→→ PR

PQ lím

θ

θsen lím

PR

PQ

θ

θsen

0θ0θ

Podemos observar en la circunferencia que cuando 0θ → , la magnitud de PQ

prácticamente coincide con el arco de circunferencia PR, por lo tanto:

1

PR

PQ lím

θ

θsen lím

0θ0θ=

=

→→

Por lo que si hacemos θθ∆ = , tenemos que:

1θ∆

θ∆sen lím

0∆θ=

→

Reemplazando estos límites en ( )θ' f , tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( )( ) θcos1θ cosθsen 0θ'f =+=

Por tanto:

( )cosθ

dθ

senθd=


327

• Si ( ) ( )θcosθf =

Ahora vamos a calcular ( )

θ d

θ cosd .

Sabemos que:

( ) ( )Ugsen Uθ cosθ2

πθf Uhacemos siθ

2

πsen θ cos ==⇒

−==⇒

−=

Aplicando la regla de la cadena:

( ) ( ) ( ) Ucos1)( Ucos

θ d

Ud

Ud

sen Ud

θ d

Ud

Ud

Udg

θ d

θ cosd −=−⋅=⋅=⋅=

Reemplazando

−= θ

2

πU , tenemos que:

( )( ) θsen θ2π cos

θ d

θ cosd −=−−=

Por tanto:

( )θsen

θ d

θ cosd −=

Derivadas de otras funciones trigonométricas

• θ cos

θsen θ tg =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

θ cos

θsen . θsen θ cos . θ cos

θ cos

'θ cos . θsen θ cos . 'θsen

θ d

θ tgd

22

−−=

−=

( )θ sec

θ cos

1

θ cos

θ sen θ cos

θ d

θ tgd2

22

22

==+

=

• θsen

θ cosθ ctg =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

θ sen

θ cos . θ cosθsen . θsen

θsen

'θsen . θ cos θsen . 'θ cos

θ d

θ ctgd

22

−−=

−=

( ) ( )θ csc

θ sen

1

θ sen

θ cosθ sen

θ sen

θ cosθ sen

θ d

θ ctgd2

22

22

2

22

−=−

=+−

=−−

=


328

• ( ) 1θ cos

θ cos

1θ sec

−==

( )( ) ( )

( )θ tg. θ sec

θ cos

θsen

θ cos

1

θ cos

θsen θsen θ cos

θ d

θ secd

2

2 =

==−−= −

• ( ) 1θsen

θsen

1θ csc

−==

( )( ) ( )

( )θ ctg . θ csc

θsen

θ cos

θsen

1

θsen

θ cosθ cosθsen

θ d

θ cscd

2

2 −=

⋅

−=−=−= −

Integrales de funciones trigonométricas

De las derivadas de las funciones trigonométricas que se han obtenido en el apartado

anterior podemos obtener algunas integrales de las funciones trigonométricas

fundamentales.

• ∫ θθ= dsenI

Sabemos que:

( )( ) ( ) ⇒θ−=⇒θ−=⇒−= ∫∫ dsenθcosθdθdenscosθdθens

dθ

cosθd

kcosdsenθI +θ−=θ= ∫

• ∫ θθ= dcosI

Sabemos que:

( )( ) ( ) ⇒θ=⇒θ=⇒= ∫∫ dcosθsenθdcosθosenθdcosθ

dθ

senθd

ksendcosθI +θ=θ= ∫

• ∫ θ= θd secI 2

Sabemos que:

( )( ) ( ) ⇒θ=⇒θ=⇒= ∫∫ θd secθ tgdθd secθ tgdθ sec

θ d

θ tgd 222

ktgθd secI 2 +θ=θ= ∫


329

• ∫ θ= θd cscI 2

Sabemos que:

( )( ) ( ) ⇒−=⇒−=⇒−= ∫∫ θ θd cscθ ctgdθ θd cscθ ctgdθ csc

θ d

θ ctgd 222

kctgθ θd cscI 2 +θ−== ∫

• ( )∫ θ⋅= dθ tgθ secI

Sabemos que:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ⇒θ⋅=⇒θ⋅=⇒⋅= ∫∫ dθ tg θ secθ secddθ tg θ secθ secdθ tg θ sec

θ d

θ secd

( ) ksecdθ tgθ secI +θ=θ⋅= ∫

• ( )∫ θ⋅= dθ ctg θ cscI

Sabemos que:

( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫ θ⋅−=⇒θ⋅−=⇒⋅−= dθ ctg θ cscθ cscddθ ctg θ cscθ cscdθ ctg θ csc

θ d

θ cscd

( ) kθ cscdθ ctg θ cscI +−=θ⋅= ∫

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes

Este tipo de ecuaciones diferenciales permiten la obtención de soluciones analíticas

sin más que resolver ecuaciones algebraicas de orden “n”.

Su forma general es:

) ) ( ) ( )1tfxaxaxaxax 0

'1

''2

1n1n

n =+++++ −− K

Con ecuación homogénea igual a:

) ) ( )20xaxaxaxax 0

'1

''2

1n1n

n =+++++ −− K

Donde )inx − con ( )ni0 ≤≤ es la “ in − ”-ésima derivada de “x” con respecto a “t”.

A la solución de (2) se le denomina solución complementaria, y se le denota por ( ).txc


330

La solución complementaria puede encontrarse realizando la combinación lineal de

“n” soluciones linealmente independientes. Es decir:

( ) ( )3xKtx

n

1i

iic ∑=

=

Donde “xi” representa la i-ésima solución linealmente independiente de (2), y “ki” es

una constante asociada a “xi”. Las “n” soluciones de (2) serán linealmente

independientes si su Wronsquiano es distinto de cero, esto es:

( ) ) ) ) )

) ) ) )

( )ni0con0

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

tW

1nn

1ni

1n2

1n1

in

ii

i2

i1

'n

'i

'2

'1

ni21

≤≤≠=

−−−− KL

MMMMMM

KK

MMMMMM

KK

KK

La solución complementaria está asociada al polinomio característico que resulta de

reemplazar )inx − por inr − en la ecuación (2):

( ) ( )40ararararrP 012

21n

1nn =+++++= −

− K

La solución del polinomio (4) implica la obtención de “n” raíces. Si “n1” raíces son

reales y distintas, “n2” son raíces reales e iguales entre sí y “n3” raíces son pares de

complejas conjugadas, tal que se verifica que ,nn2nn 321 =++ la solución

complementaria vendrá dada por:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )5tqsenGtqcosCeetBeAtx

3

i

21

i

n

1i

iiiitp

n

1i

rt1ii

n

1i

tric ∑∑∑

==

−

=

+++=

Donde la primera sumatoria está vinculada a las raíces reales y distintas, la segunda

sumatoria se refiere a las raíces reales e iguales, y la tercera sumatoria se asocia con

las raíces complejo conjugadas de (4). Las “n” constantes arbitrarias (“n1” constantes

Ai, “n2” constantes Bi y “n3” constantes Ci y “n3” constantes Gi) se podrán determinar

a partir de “n” condiciones iniciales. Siendo “pi” y “qi” la parte real y la parte

imaginaria del i-ésimo par de raíces complejo conjugadas.

La solución general de (1) se puede hallar como la suma de dos componentes, la

solución complementaria ( )( ),txc y la solución particular ( )( )txp :

( ) ( ) ( ) ( )6txtxtx pc +=

Donde:

( )( )

( )( )7dt

tW

tWxtx

n

1i

iip ∑ ∫

=

=


331

Siendo ( )tW el Wronsquiano de las “n” soluciones de (2), ix la i-ésima solución de

(2) y ( )tWi es el determinante obtenido del Wronsquiano al reemplazar la i-ésima

columna por el vector columna

( )

,

tf

0

0

0

1n ×

M

M es decir:

( ) ) ) )

) ) ( ) )1nn

1n2

1n1

kn

k2

k1

'n

'2

'1

n21

i

xtfxx

x0xx

x0xx

x0xx

tW

−−−

=

KL

MMMMMM

KK

MMMMMM

KK

KK

Por tanto, la solución general de (1) es:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )

( )

( )

( )44 844 764444444444444 84444444444444 76

tx

n

1i

ii

tx

n

1i

iiiitp

n

1i

rt1ii

n

1i

tri

pc

3

i

21

i dttW

tWxtqsenGtqcosCeetBeAtx ∑ ∫∑∑∑

===

−

=

++++= ( )8

Ejemplos:

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. .A2

pbx

A

ax

''

−=− Si las condiciones iniciales son: ( ) ( ) .xTxyx0x T0 ==



( )

−=

=

⇒=−=

A

ar

A

ar

0A

arrP

2

12


( ) ( )9eAeAtxtAa

2tAa

1c−

+=


332

Dos soluciones de ( )txc son:

( ) ( ) tAa'1

tAa1 eAatxetx =⇒=

( ) ( ) tAa'2

tAa2 eAatxetx

−−−=⇒=

El Wronsquiano será:

( ) 0Aa2eAaeAa

eetW

tAatAa

tAatAa

≠−=−

=−

−

Dado que ( ) ,0tW ≠ las soluciones ( ) ( )txytx 21 son linealmente independientes.

En consecuencia:

( ) tAatAa

tAa

1 eA2

bp

eAaA2

pbe0

tW−

−

−−

=−

−=

( ) tAatAa

tAa

2 eA2

pb

A2

pbeAa

0etW

−=−=

Por tanto:

( )

( )tAatAa1

ea4

bpdte

AaA4

pbdt

tW

tW −− −=

−= ∫∫

( )( )

( ) a4

bpe

a4

bpedt

tW

tWtx

tAatAa11

−=

−

=

−

∫

( )

( )tAatAa2

ea4

bpdte

AaA4

bpdt

tW

tW −=

−= ∫∫

( )( )

( ) a4

bpe

a4

bpedt

tW

tWtx

tAatAa12

−=

−

=

−

∫


( ) ( )10a2

bp

a4

bp

a4

bptx p

−=

−+

−=


333


( ) ( )11a2

bpeAeAtx

tAa2

tAa1

* −++=

−

Donde A1 y A2 se determinan utilizando condiciones de borde, esto es:

( ) 021* x

a2

bpAA0x =

−++=

( )12a2

bpxAA 021

−−=+

( ) TTAa

2TAa

1* x

a2

bpeAeATx =

−++=

−

( )13a2

bpxeAeA T

TAa2

TAa1

−−=+

−


−

−−−

−−

=TAa2

TAaT0

1

e1

ea2

bpx

a2

bpx

A

−

−−−

−−

=TAa2

TAa0T

TAa

2

e1

ea2

bpx

a2

bpxe

A

Finalmente, tenemos que:

( )

a2

bpe

e1

ea2

bpx

a2

bpxe

e

e1

ea2

bpx

a2

bpx

tx

tAa

TAa2

TAa0T

TAa

tAa

TAa2

TAaT0

*

−+

−

−−−

−−

+

+

−

−−−

−−

=

−


334

2.- .t5x2xx ''' =−+ Si las condiciones iniciales son: ( )4

50x −= y ( ) .

2

10x ' =

Resolvemos la ecuación homogénea: .0x2xx ''' =−+ cuyo polinomio

característico es:

( ) ( )( ) .2r

1r02r1r2rrrP

2

12

−=

=⇒=+−=−+=


( ) t22

t1c eAeAtx −+=

Donde:

( ) ( ) t'1

t1 etxetx =⇒=

( ) ( ) t2'2

t22 e2txetx −− −=⇒=


( ) ( ) 0tW0e3e2e

eetW

t

t2t

t2t

≠⇒<−=−

= −−

−

Es decir, ( ) ( ) t22

t1 etxyetx −== son soluciones de ( )txc que son linealmente

independientes.

Mientras que:

( ) t2

t2

t2

1 te5e2t5

e0tW

−−

−

−=−

=

( ) t

t

t

2 te5t5e

0etW ==

Por tanto:

( )

( )( ) tt

t

t21

e1t3

5dtte

3

5dt

e3

te5dt

tW

tW −−

−

−

+−==−

−= ∫∫∫

( )( )

( )( ) ( )1t

3

5e1t

3

5edt

tW

tWtx tt1

1 +−=

+−= −

∫


335

( )

( )( )1t2e

12

5dtte

3

5dt

e3

te5dt

tW

tW t2t2

t

t2

−−=−=−

= ∫∫∫ −

( )( )

( )( ) ( )1t2

12

51t2e

12

5edt

tW

tWtx t2t22

2 −−=

−−= −

∫

Donde

( ) ( ) ( )1t212

51t

3

5tx p −−+−=

Por tanto, la solución general de t5x2xx ''' =−+ es:

( ) ( ) ( )1t212

51t

3

5eAeAtx t2

2t

1 −−+−+= −

Simplificando:

( ) ( )1t24

5eAeAtx t2

2t

1 +−+= −

Ahora calculamos la primera derivada de “x”:

( )2

5eA2eAtx t2

2t

1' −−= −

Aplicando condiciones iniciales:

Para 0t = se tiene que:

( ) ( )144

5

4

5AA0x 21 −=−+=

( ) ( )152

1

2

5A2A0x 21

' =−−=

Resolviendo se tiene que:

.1Ay1A 21 −==

Reemplazando estos valores en ( )tx tenemos:

( ) ( )1t24

5eetx t2t +−−= −


336

3. .ex34x13x t2'''' −=−+ Si las condiciones iniciales son: ( ) ,68

1350x = ( )

34

1030x' = y

( ) .17

10x '' −=

Resolvemos la ecuación homogénea: ,0x34x13x'''' =−+ cuyo polinomio

característico es:

( ) ( )( ) .4qy1pj41r

2r017r2r2r34r13rrP

11

123

=−=⇒±−=

=⇒=++−=−+=


( ) ( )[ ])t4(senGt4cosCeeAtx 11tt2

1c ++= −

Donde:

( ) ( ) ( ) t2''1

t2'1

t21 e4txe2txetx =⇒=⇒=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ])t4(sen8t4cos15etx)t4(sen4t4cosetxt4cosetx t''2

t'2

t2 +−=⇒+−=⇒= −−−

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ])t4(sen15t4cos8etx)t4(sent4cos4etxt4senetx t''3

t'3

t3 +−=⇒−=⇒= −−−


( )( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

0100

)t4(sen15t4cos8e)t4(sen8t4cos15ee4

)t4(sent4cos4e)t4(sen4t4cosee2

t4senet4cosee

tWttt2

ttt2

ttt2

≠=

+−+−

−+−=−−

−−

−−

Es decir, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t4senetxyt4cosetx,etx t3

t2

t21

−− === son soluciones de ( )txc que

son linealmente independientes.

Mientras que:

( )( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

t4

ttt2

tt

tt

1 e4

)t4(sen15t4cos8e)t4(sen8t4cos15ee

)t4(sent4cos4e)t4(sen4t4cose0

t4senet4cose0

tW −

−−−

−−

−−

=

+−+−

−+−=

( )( )

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]t4cos4)t4(sen3e

)t4(sen15t4cos8eee4

)t4(sent4cos4e0e2

t4sene0e

tW t

tt2t2

tt2

tt2

2 −=

+−

−= −

−−

−

−


337

( )( )

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]t4cos3)t4(sen4e

e)t4(sen8t4cos15ee4

0)t4(sen4t4cosee2

0t4cosee

tW t

t2tt2

tt2

tt2

3 +−=

+−

+−= −

−−

−

−

Por tanto:

( )

( )t4t4

t41

e100

1dte

25

1dt

100

e4dt

tW

tW −−−

−=== ∫∫∫

( )( )

( )t2t4t21

1 e100

1e

100

1edt

tW

tWtx

−− −=

−=∫

( )

( )

( )[ ]( )[ ]t4cos8)t4(sen19e

1700

1dt

100

t4cos4)t4(sen3edt

tW

tW tt

2+−=

−= −

−

∫∫

( )( )

( )( ) ( )[ ]t4cos8)t4(sen19t4cose

1700

1dt

tW

tWtx t22

2 +−= −∫

( )

( )

( )[ ]( )[ ]t4sen8)t4cos(19e

1700

1dt

100

t4cos3)t4(sen4edt

tW

tW tt

3−=

+−= −

−

∫∫

( )( )

( )( ) ( )[ ]t4sen8)t4cos(19t4sene

1700

1dt

tW

tWtx t23

3 −= −∫

Donde:

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

1700

t4sen8)t4cos(19t4sene

1700

t4cos8)t4(sen19t4cosee

100

1tx

t2t2t2

p

−+

+−−=

−−−

Por tanto, la solución general de t2'''' ex34x13x −=−+ es:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

1700

t4sen8)t4cos(19t4sene

1700

t4cos8)t4(sen19t4cosee

100

1)t4(senGt4cosCeeAtx

t2

t2t2

11tt2

1

−+

++

−−++=

−

−−−

( ) ( )[ ] t2t211

tt21 e

1700

8e

100

1)t4(senGt4cosCeeAtx −−− −−++=

( ) ( )[ ] t211

tt21 e

68

1)t4(senGt4cosCeeAtx −− −++=


338

Ahora calculamos la primera y segunda derivada de “x”:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] t21111

tt21

' e34

1t4senC4G)t4cos(CG4eeA2tx −− ++−−+=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] t21111

tt21

'' e17

1)t4cos(C15G8t4senG15C8eeA4tx −− −+−−+=

Para 0t = se tiene que:

( ) ( )162CA68

135

68

1CA0x 1111 =+⇒=−+=

( ) ( )173CG4A234

103

34

1CG4A20x 111111

' =−+⇒=+−+=

( ) ( )180C15G8A417

1

17

1C15G8A40x 111111

'' =+−⇒−=−+−=

Resolviendo se tiene que:

4/7Gy2C,4A 111 −=−==

Reemplazando estos valores en ( )tx tenemos:

( ) ( ) t2tt2e

68

1)t4(sen

4

7t4cos2ee4tx

−− −

−−+=

Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden La forma normal de un sistema de “n” ecuaciones diferenciales de primer orden viene

dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tbtxtatxtatxtatx

tbtxtatxtatxtatx

tbtxtatxtatxtatx

nnnn22n11n'n

2nn2222121'2

1nn1212111'1

++++=

++++=

++++=

K

M

K

K

(19)

El sistema (19) puede escribirse equivalentemente en forma matricial:

( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

( )43421

M

43421

M

44444 344444 21K

MMM

K

43421

M

vvvtb

n

2

1

tX

n

2

1

tA

nn2n1n

n22221

n11211

tX

'n

'2

'1

tb

tb

tb

tx

tx

tx

tatata

tatata

tatata

tx

tx

tx

'

+

⋅

=

(20)


339

Donde ( )tA es una matriz de dimensión nn × cuyos coeficientes variables en el

tiempo son continuos en ,bta << y ( )tbv

es un vector de dimensión 1n × cuyas

componentes son variable en el tiempo y continuas en .bta << El caso de

coeficientes constantes surge como un caso particular en el que ( ) AtA = y ( ) btbvv

=

son constantes (no dependen del tiempo). El sistema (20) será homogéneo si ( ) 0tbvv

=

y no homogéneo si ( ) .0tbvv

≠ La solución completa de (20) viene dada por la

combinación de la solución complementaria y de la solución particular o solución de

equilibrio:

( ) ( ) ( )tXtXtX pc

vvv+= (21)

Donde ( )tX c

v es la solución de la parte homogénea de (20), esto es, es la solución de

( ) ( ) ( );tXtAtX'

vv= y ( )tX p

v es la solución que fija a (20).

En general, si cada uno de los vectores ( ) ( ) ( )tX,,tX,tXn21

vK

vv son solución de (20),

también lo será su combinación lineal, esto es:

( ) ( ) ( ) ( )tXctXctXctX nn

22

11

vK

vvv+++= (22)

Donde ( )n,2,1ic i K= son constantes arbitrarias.

La ecuación (22) la podemos escribir equivalentemente como sigue:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ct

c

c

c

tXtXtXtX

c

n

2

1

t

n21 v

321

M44444 344444 21

vK

vvv

v

⋅χ=

⋅=

χ

(23)

Donde ( )tχ es una matriz cuyas columnas son ( ) ( ) ( ),tX,,tX,tXn21

vK

vv esto es:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )nnnn2n1n

n22221

n11211

n21

txtxtx

txtxtx

txtxtx

tXtXtXt

×

==χ

K

MMM

K

vK

vv (24)

Siendo:

( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

⇒

=

=

=

tx

tx

tx

tX;;

tx

tx

tx

tX;

tx

tx

tx

tX

nn

n2

n1

1

2n

22

12

2

1n

21

11

1

M

vK

M

v

M

v

( )

( )( )

( )

( )n,2,1j

tx

tx

tx

tX

nj

j2

j1

j KM

v=

= (25)


340

Al determinante de la matriz ( )tχ4 se le conoce como Wronskiano, ( ),W χ esto es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tXtXtXtW n21v

Kvv

=χ=χ (26)

De (23) se tiene que:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) 0tW

t

tadjtXtc

1 ≠χ=χ⇔χ

χ=⋅χ= −

vv (27)

De (27) podemos concluir que si el Wronskiano de χ (determinante de χ ) no es

nulo, ( ) ( ) ,0tW ≠χ=χ entonces existirá un único vector .0cvv

≠ Además, las “n”

soluciones de (23) en un instante bta << serán linealmente independientes si

( ) .0W ≠χ

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes

En el caso que los coeficientes de la matriz ( ) AtA = y del vector ( ) btbvv

= del

sistema (20) sean constantes (no dependan del tiempo), tenemos:

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( ) ( ) btXAtX

b

b

b

tx

tx

tx

aaa

aaa

aaa

tx

tx

tx

'

b

n

2

1

tX

n

2

1

A

nn2n1n

n22221

n11211

tX

'n

'2

'1

'

vvv

321

M

43421

M

4444 34444 21K

MMM

K

43421

M

vvv

+⋅=⇒

+

⋅

=

(28)

Para sistemas homogéneos lineales, ,0bvv

= tenemos que:

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( ) ( )tXAtX

tx

tx

tx

aaa

aaa

aaa

tx

tx

tx

'

tX

n

2

1

A

nn2n1n

n22221

n11211

tX

'n

'2

'1

'

vv

43421

M

4444 34444 21K

MMM

K

43421

M

vv

⋅=⇒

⋅

=

(29)

Si ,0A ≠ el único punto de equilibrio es :0X*

vv=

( )( )

( )

( )

0X

*n

*2

*1

0X

*n

*2

*1

A

nn2n1n

n22221

n11211

tX

'n

'2

'1

0

0

0

x

x

x

0

0

0

x

x

x

aaa

aaa

aaa

tx

tx

tx

**'vvvvv

M

321

MM

321

M

4444 34444 21K

MMM

K

43421

M

=

⇒

=

⋅

=

(30)

4 Si las columnas de ( )tχ son vectores linealmente independientes, entonces ( )tχ recibe el nombre de

matriz fundamental. Además, si ( )tχ es una matriz fundamental, entonces ( ) .0W ≠χ


341

Por otro lado, para sistemas lineales no homogéneos tales como (28), el equilibrio

puede encontrarse a partir de:

( )( )

( )

( )

0bXA

0

0

0

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

tx

tx

tx

*

0b

n

2

1

X

*n

*2

*1

A

nn2n1n

n22221

n11211

tX

'n

'2

'1

*'

vvv

MM

321

M

4444 34444 21K

MMM

K

43421

M

vvvv

=+⋅⇒

=

+

⋅

=

(31)

0AA

badjAbAXbXA 1** ≠⇔

⋅=⋅=⇒−=⋅ −

vvvvv

(32)

Cuando consideremos el tema de estabilidad/inestabilidad será útil recordar que los

sistemas lineales no homogéneos tales como (28) podrán siempre reducirse a sistemas

lineales homogéneos en términos de las desviaciones respecto al equilibrio si éste existe.

Restando (31) a (28) se tiene que:

( ) ( )[ ]( )

( )tDAXtXAtX

tD

*'v48476 vvv

v

⋅=−⋅= (33)

Donde:

( ) ( ) *XtXtDvvv

−= (34)


( ) ( )tXtD''

vv= (35)


( ) ( )tDAtD'

vv⋅= (36)

El sistema (36) es homogéneo en términos de las desviaciones del punto de equilibrio

.X*

v Por tanto, para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con

coeficientes constantes, no habrá pérdida de generalidad si nos concentramos en

sistemas homogéneos lineales.

Solución de sistemas homogéneos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes:

Para el problema de los valores iniciales:

( ) ( )

( )

=

⋅=

0

'

X0X

tXAtXvv

vv

(37)

Donde

( )( )

( )

.

0x

0x

0x

X

n

2

1

0

=M

v


342

Decimos que un vector ( )tXv

es solución de (37), si ( )tXv

es derivable, satisface el

sistema de ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales.

La solución de (37) dependerá de los autovalores “ iλ ” de la matriz “A” ya que para

resolver (37) se necesitará resolver el siguiente polinomio característico:

( ) 0IAp =λ−=λ (38)

En la resolución de (38) pueden surgir tres casos:

Caso 1: Todos los autovalores son reales y distintos;

Caso 2: Algún autovalor iλ tiene multiplicidad algebraica .m i Es decir, algún

autovalor iλ se repite im veces.

Caso 3: Algunos autovalores son complejos.

Caso 1: Autovalores reales y distintos

La solución de (37), siendo “A” una matriz diagonalizable con coeficientes

constantes, es:

( ) ∑=

λ−Ψ ===n

1i

it

i01t

0At

vecXPPeXetX ivvvv

(39)

Donde:

( )ℜ∈=+++++= ∑∞

=

tA!k

tA

!n

tA

!2

ttAIe

1k

kk

nn

22

At KK (40)

La matriz “P” es la matriz modal cuyas columnas son los autovectores

( )n,2,1ivi Kv

= de “A”, esto es:

[ ]( )nnn21 vvvP ×=v

Kvv

(41)

La matriz “ ψ ” es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son

los autovalores ( )n,2,1ii K=λ de “A”, esto es:

λ

λ

λ

=ψ⇒

λ

λ

λ

=ψ

kn

k2

k1

k

n

2

1

00

0

00

00

0

00

K

KOKK

KK

K

K

KOKK

KK

K

(42)

Teniendo en cuenta (40) y (42) se obtiene:


343

=

λ

λ

λ

=ψ

=

λ

λ

λ

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

ψ

∑

∑

∑

∑t

t

t

1k

kk1

1k

kk2

1k

kk1

1k

kkt

n

2

1

e00

e0

00e

!k

t00

!k

t0

00!k

t

!k

te

K

KOKK

KK

K

K

KOKK

KK

K

(43)

Finalmente, tenemos que ( )n,,2,1ic i K= son constantes arbitrarias que se obtienen

con las condiciones iniciales.

Ahora vamos a verificar que la primera expresión a la derecha del signo de igualdad

de (39) es solución de (37). Para ello vamos a derivar (40) respecto a “t”:

( )( )

+++++=+

−+++=

−

KKKK nn

22

n1n

2At

A!n

tA

!2

ttAIAA

!1n

ttAA

dt

ed

( )At

At

Aedt

ed= (44)

Derivando (39) respecto al tiempo, se tiene que:

( )( ) ( )

0

At0

At' X

dt

ed

dt

XedtX

vv

v== (45)


( ) 0At' XAetX

vv= (46)

Reemplazando (39) en (46) se tiene que ( ) ( ),tXAtX'

vv⋅= que no es otra cosa que el

sistema (37). Lo cual corrobora que la primera expresión a la derecha del signo de

igualdad de (39) es solución de (37).

Ahora vamos a demostrar que la segunda expresión a la derecha del signo de igualdad

de (39) es solución de (37).

Distintos autovalores reales aseguran la independencia lineal de los autovectores y en

consecuencia la no singularidad de “P”, ,0P ≠ y que “A” sea diagonalizable. De la

definición de autovalores tenemos que:

( )n,,2,1ivvA iii Kvv

=λ= (47)

De (47) tenemos que:

( ) ( )nn2211n21 v,,v,vv,,v,vAv

Kvvv

Kvv

λλλ= (48)


344

Teniendo en cuenta (41) y (42), la igualdad dada por (48) se puede expresar de forma

equivalente en forma matricial de la siguiente forma:

[ ] [ ]

λ

λ

λ

⋅=⋅

n

2

1

n21n21

00

0

00

vvvvvvA

K

KOKK

KK

K

vK

vvvK

vv

Es decir:

11 PPAoAPPPAP −− ψ==ψ⇒ψ= (49)

Por otro lado, se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )M

1312112112323

121111122

PPPPPPPPPPPPAAAA

PPPPPPPPPPPPAAAA

−−−−−−

−−−−−−

ψ=ψψ=ψψ=ψ⋅ψ=⇒⋅=

ψ=ψψ=ψψ=ψ⋅ψ=⇒⋅=

1kkPPA

−ψ= (50)

Reemplazando (50) en (40) se tiene que:

1t1

1k

kk

1k

1kk

1k

kk

AtPPeP

!k

tPPP

!k

tA

!k

te

−ψ−∞

=

∞

=

−∞

=

=

ψ=ψ== ∑∑∑ (51)

Reemplazando (52) en la primera expresión a la derecha del signo de igualdad de (39)

tenemos que ( ) .XPPetX 01tvv

−Ψ= Lo cual corrobora que la segunda expresión a la

derecha del signo de igualdad de (39) es solución de (37).

Por último vamos a verificar que la tercera expresión a la derecha del signo de

igualdad de (39) es solución de (37). Para ello, con el propósito de desacoplar el

sistema (37) realizaremos el siguiente cambio de variables:

( ) ( )tYPtXvv

= (52)

Derivando (52) respecto de “t” tenemos:

( ) ( )tYPtX''

vv= (53)

Reemplazando ((52) y (53) en (37) obtenemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tYAPPtYtYAPtYPtXAtX1'''

vvvvvv−=⇒=⇒= (54)

Reemplazando (49) en (54) obtenemos:


345

( ) ( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

λ

λ

λ

=

⇒

⋅

λ

λ

λ

=

⇒ψ=

ty

ty

ty

ty

ty

ty

ty

ty

ty

00

0

00

ty

ty

ty

tYtY

nn

22

11

'1

'2

'1

n

2

1

42de

n

2

1

'1

'2

'1

'

MMM

444 8444 76

K

KOKK

KK

K

M

vv (55)

Resolviendo (55) obtenemos que:

( )

( )( )

( )

=

=

λ

λ

λ

tn

t2

t1

n

2

1

n

2

1

ec

ec

ec

ty

ty

ty

tYMM

v (56)


( ) [ ]( )

∑=

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=

⋅=

⋅=n

1i

it

i

tn

t2

t141de

n21

tn

t2

t1

vec

ec

ec

ec

vvv

ec

ec

ec

PtX i

n

2

1

n

2

1

v

M

444 8444 76 vK

vv

M

v

Donde:

( ) 0

n

1i

ii Xvc0Xvvv

== ∑=

(57)

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema:

( ) ( )( )

=

=

⋅

−=

2

1

0y

0x0X

y

x

42

11

y

x'

'

v

(58)

Primero vamos a calcular los autovalores y los autovectores de “A”:

( )

=λ

=λ⇒=+λ−λ=

λ−−

λ−=λ−=λ

2

3065

42

11IAp

2

12 (59)

Para :31 =λ

[ ] a2b0ba20

0

b

a

12

120vIA 11 =⇒=+−⇒

=

⋅

−

−⇒=λ−

vv (60)


346

Si hacemos ,k2bka =⇒= entonces:

=⇒=⇒

=

=

2

1v1ksi

2

1k

k2

kv 11

vv (61)

Para :22 =λ

[ ] dc0dc0

0

d

c

22

110vIA 22 =⇒=+−⇒

=

⋅

−

−⇒=λ−

vv (62)

Si hacemos ,kdc == entonces:

=⇒=⇒

=

=

1

1v1ksi

1

1k

k

kv 22

vv (63)

Por tanto, por (37) la solución general será:

( )

⋅

−⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

−

2

1

11

21

e0

0e

12

11

2

1

12

11

e0

0e

12

11tX

t2

t31

t2

t3v

( )

−

=

−

−=

1

1e

2

1e3

ee6

ee3tX t2t3

t2t3

t2t3v (64)

Caso 2: Autovalores reales repetidos

Consideremos el caso en el que el sistema (37) posee una matriz “A” que tiene

autovalores repetidos, digamos algún “ λ=λ i ” repetido “m” veces. En caso “m”

coincida con el número “ε” de autovectores linealmente independientes asociados a

“ λ=λ i ”, entonces la solución de (37) se hallará con (39). En caso “m” sea mayor a

“ε”, la solución de (37) se hallará con:

*Si :2m =

( ) ( )21t

21t

1 vvtecvectXvvvv

++= λλ (65)

*Si :3m =

( ) ( )

+++++= λλλ

3212t

321t

21t

1 v3vt2vtecvvtecvectXvvvvvvv

(66)

Donde:

( ) ( )m,,2,1ivvIA 1ii Kvv

==λ− − (67)


347

Ejemplo:


( ) ( )( )

=

=

⋅

−=

3

2

0y

0x0X

y

x

31

11

y

x'

'

v

(68)

Primero vamos a calcular los autovalores y los autovectores de “A”:

( ) ( ) 2024431

11IAp 21

22 =λ=λ=λ⇒=−λ=+λ−λ=λ−−

λ−=λ−=λ (69)

Se observa que la multiplicidad algebraica es 2, es decir .2m =

Para :2=λ

[ ] ab0ba0

0

b

a

11

110vIA 1 =⇒=+−⇒

=

⋅

−

−⇒=λ−

vv (70)

Si hacemos ,kba == entonces:

=⇒=⇒

=

=

1

1v1ksi

1

1k

k

kv 11

vv (71)

Como apreciamos sólo existe un autovector asociado a .2=λ Para encontrar un

segundo autovector que sea linealmente independiente de 1vv

vamos a utilizar la

expresión (67):

[ ] 1dc1

1

d

c

11

11vvIA 12 =+−⇒

=

⋅

−

−⇒=λ−

vv (72)

Si hacemos .1d0c =⇒= Por tanto:

=

1

0v 2

v (73)

En consecuencia, de (65) tenemos:

( )( )

+

+

=

1

0

1

1tec

1

1ec

ty

tx t22

t21 (74)


348

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales obtenemos:

( )( )

=

=⇒

+

=

=

1c

2c

1

0c

1

1c

3

2

0y

0x

2

121 (75)


( )( )

( )

( )

+=

+=⇒

+

+

=

t2t2

t2t2t2t2

tee3ty

tee2tx

1

0

1

1te

1

1e2

ty

tx (76)

Caso 3: Raíces complejo conjugadas

Si (37) tiene autovalores complejos β±α=λ ij para algún “j”, éstos siempre vienen

en pares. Tomando el caso bidimensional para evitar los subíndices, los autovalores

son ( )β−α=λ=λβ+α=λβ±α=λ iyii 121j con autovalores asociados

,vvyv 121

vvv= donde 2trA=α y ( ) .2trAA4

2−=β En este caso la solución es:

( ) ( ) ( )

β+β= α tsenhtcoshetX 21

tvvv

(77)

Donde ( )2211222111 vcvcihyvcvchvvvvvv

−=+= son vectores de componentes reales.

Ejemplos:


( )( )( )

=

=

⋅

−

−=

4

1

0y

0x0X

y

x

12

43

y

x'

'

v

(78)

Este sistema tiene:

05212

43IA;583A;

12

43A 2 =+λ+λ=

λ−−

λ−−=λ−=+−=

−

−=

Donde los autovalores asociados son:

=β

−=α⇒−−=λ+−=λ

2

1i21yi21 21 (79)

Los autovalores asociados a cada autovalor son:


349

Para :i211 +−=λ

[ ] ( )i1ba0

0

b

a

i222

4i22vIA 11 −=⇒

=

⋅

−−

−−=λ−

v

Si hacemos ,i1b2a +=⇒= entonces:

+=

i1

2v1

v

Para :i212 −−=λ

[ ] ( )i1dc0

0

d

c

i222

4i22vIA 22 +=⇒

=

⋅

+−

+−=λ−

v

Si hacemos ,i1d2c −=⇒= entonces:

−=

i1

2v 2

v

De (77) y (79) se tiene que la solución será:

( ) ( ) ( )

+= −

t2senht2coshetX 21t

vvv (80)

Con:

( ) ( )

−++

+=

−+

+=+=

21

212122111

ci1ci1

c2c2

i1

2c

i1

2cvcvch

vvv (81)

( )( )

( ) ( )[ ]

−−+

−=

−−

+=−=

i1ci1ci

cci2

i1

2ic

i1

2icvcvcih

21

212122112

vvv (82)

Reemplazando las condiciones iniciales en (80) y teniendo en cuenta (81) tenemos

que:

( )( ) ( )

+=

−=

⇒

−++

+==

=

4

i71c

4

i71c

ci1ci1

c2c2h

4

10X

2

1

21

211

vv (83)

Reemplazando (83) en (81) y (82) tenemos:

=

=

3

7hy

2

1h 21

vv (84)


350


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

+=

+=⇒

+

=

−

−−

t2sen3t2cos2ety

t2sen7t2cosetxt2sen

3

7t2cos

2

1etX

t

tt

v (85)

Una aplicación económica:

Modelo Keynesiano simplificado (Tu, 1994). En este modelo la renta “Y” responde al

exceso de la cantidad demandada (esto es al exceso de la inversión “I” respecto al

ahorro “S”), y la tasa de interés “r” responde al exceso de la demanda de dinero

(preferencia de liquidez) “ ( )i,YL ” respecto a la oferta de dinero “ M ” determinada

exógenamente. El modelo matemáticamente se puede expresar de la siguiente forma:

( )

( )[ ]( )( )

=

−=

−=

8,0

2

0r

0Y;

Mr,YLcr

SIcY

2'

1'

(86)

Donde:

* La función de inversión: .0;rII 0 >µµ−=

* La función de ahorro: ( ) ( ).GTTYsS −+−=

* El ahorro privado: ( ) .2s0;TYsSp <<−= Proporcional al ingreso

disponible.

* El ahorro gubernamental: :GT − Impuestos menos gastos (exógenamente dados).

* Velocidades de ajuste: ( ).2,1k0c k => Por sencillez se ha asumido .1cc 21 ==

* Función de liquidez: ( ) .0y0;rYr,YL >γ>θγ−θ= Demanda de

transacciones menos demanda especulativa.

* Oferta de dinero: .M Determinada exógenamente.

Reemplazando la información anterior en (86) se tiene:

( ) ( )

−γ−θ=

−−−−µ−=

MrYr

GTTYsrIY

'

0'

(87)

El sistema (87) se puede expresar matricialmente de la siguiente forma:

( )

444 3444 2143421321 vvvb

0

XAX

'

'

M

GT1sI

r

Ys

r

Y

'

−

+−++

⋅

γ−θ

µ−−=

(88)

Para transformar el sistema (88) en uno homogéneo vamos a determinar el punto de equilibrio *

Xv

del sistema (88):

( )

=

−

+−++

⋅

γ−θ

µ−−=

0

0

M

GT1sI

r

Ys

r

Y

b

0

X

*

*

AX

'

'

*'

444 3444 2132143421321 vvv


351

( )( )

γ−θ

µ−−

−

+−+⋅

−µ

θ−γ−

=

−

+−+⋅

γ−θ

µ−−=

−

−

s

M

GT1sI

s

M

GT1sIs

r

Y

0

b

0

A

1

X

*

*

1*

444 3444 2144 344 21321 vv

( )( )[ ]

( )[ ]

+−+µ+

+−+γ−θ

µθ+γ=

γ−θ

µ−−

−

+−+⋅

−µ

θ−γ−

=

=

GT1sIMs

GT1sIM

s

1

s

M

GT1sI

s

r

YX

0

0

0

*

**

v

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

µθ+γ

+−+µ+

=

µθ+γ

+−+γ−θ=

⇒

µθ+γ

+−+µ+

µθ+γ

+−+γ−θ

=

=

s

GT1sIMs

r

s

GT1sIMY

s

GT1sIMs

s

GT1sIM

r

YX

0

*

0*

0

0

*

**

v (89)

Por (34) tenemos que:

( ) ( ) ( )

( )( )[ ]

( )( )[ ]

µθ+γ

+−+µ+

−

µθ+γ

+−+γ−θ−

=

=−=

s

GT1sIMs

tr

s

GT1sIMtY

d

dtXtXtD

0

0

2

1*vvv

(90)

Teniendo en cuenta (90) y (36) tenemos que:

( ) ( )

⋅

γ−θ

µ−−=

⇒=

2

1

'2

'1'

d

ds

d

dtDAtD

vv (91)

Ahora podemos resolver el sistema homogéneo dado por (91). Para ello vamos a

calcular el polinomio característico:

( ) ( ) ( ) ( ) 0AtrAsss

p 22 =+λ−λ=µθ+γ+λγ++λ=λ−γ−θ

µ−λ−−=λ (92)

( )

2

trA

2

A4trAtrA2

∆±=

−±=λ (93)


352

Donde:

0sA >µθ+γ=

( ) 0strA <γ+−=

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) A4trAs4ss4s222 −=µθ+γ−γ+=µθ+γ−γ+−=∆

Ahora vamos a asignar valores a los parámetros del problema de manera que podamos

encontrar soluciones explícitas para los tres casos analizados en la sección anterior.

Caso 1: ( ) ( )

λ≠λ

ℜ∈λ

ℜ∈λ

⇒>⇒>−=∆

21

2

122

A4trA0A4trA

Valores de los parámetros:

=θ

=µ

=

=γ

5,0

25,0

5,1s

5,0

De los parámetros podemos calcular:

=∆

=

−=

21

875,0A

2trA

(94)

Reemplazando los parámetros en (91) tenemos:

( ) ( )

⋅

−

−−=

⇒=

2

1

'2

'1'

d

d

5,05,0

25,05,1

d

dtDAtD

vv (95)


−−=λ

+−=λ

22

122

22

122

2

1

Para :1λ

[ ] a122b0

0

b

a

22

125,0

25,0

22

21

vIA 11

+−=⇒

=

⋅

−

−

+−

=λ−v


353

Si hacemos ,12b21a +=⇒−= entonces:

+

−=

12

2

1

v1

v

Para :2λ

[ ] c122d0

0

d

c

22

125,0

25,022

21

vIA 22

−−=⇒

=

⋅

+

−−

=λ−v

Si hacemos ,12b21c −=⇒−= entonces:

−

−=

12

2

1

v 2

v

Por tanto:

−

−+

+

−=

−−

+−

12

2

1

ec

12

2

1

ecd

dt

22

122

2

t22

122

12

1

−+

+

−−=

−−

+−

−−

+−

t22

122

2

t22

122

1

t22

122

2

t22

122

1

2

1

ec12ec12

2

ece

2

c

d

d (96)


( )( )[ ]

( )( )[ ]

−+

+

−−=

µθ+γ

+−+µ+

−

µθ+γ

+−+γ−θ−

−−

+−

−−

+−

t22

122

2

t22

122

1

t22

122

2

t22

122

1

0

0

ec12ec12

2

ece

2

c

s

GT1sIMs

tr

s

GT1sIMtY


354

( )( )

( )[ ]

( )[ ]

−+

++

µθ+γ

+−+µ+

−−µθ+γ

+−+γ−θ

=

−−

+−

−−

+−

t22

122

2

t22

122

1

0

t22

122

2

t22

122

10

ec12ec12s

GT1sIMs

2

ece

2

c

s

GT1sIM

tr

tY

( )( )[ ]

( )( )[ ] t

22

122

2

t22

122

1

0

t22

122

2

t22

122

10

ec12ec12s

GT1sIMs

tr

2

ece

2

c

s

GT1sIMtY

−−

+−

−−

+−

−+

++

µθ+γ

+−+µ+

=

−−µθ+γ

+−+γ−θ=

(97)

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales y (89) tenemos que:

2

228,4Y22rc

2

228,4Y22r22Y2c

**

2

***

1

−−+=

−−+−−=

(98)

Caso II: ( ) ( ) ℜ∈λ=λ=λ⇒=⇒=−=∆ 2122

A4trA0A4trA


=θ

=µ

=

=γ

8,0

8,0

8,1s

2,0


=∆

=

−=

0

1A

2trA

(99)


( ) ( )

⋅

−

−−=

⇒=

2

1

'2

'1'

d

d

2,08,0

8,08,1

d

dtDAtD

vv (100)


355


121 −=λ=λ=λ

Para :21 λ=λ=λ

[ ] ab0

0

b

a

8,08,0

8,08,0vIA 1 −=⇒

=

⋅

−−=λ−

v

Si hacemos ,1b1a =⇒−= entonces:

−=

1

1v1

v

Como apreciamos sólo existe un autovector asociado a .1−=λ Para encontrar un

segundo autovector que sea linealmente independiente de 1vv

vamos a utilizar la

expresión (67):

[ ] 1dc1

1

d

c

8,08,0

8,08,0vvIA 12 =+⇒

−=

⋅

−−⇒=λ−

vv (101)

Si hacemos .1d0c =⇒= Por tanto:

=

1

0v 2

v (102)

En consecuencia, de (65) tenemos:

+

−+

−=

−−

1

0

1

1tec

1

1ec

d

d t2

t1

2

1 (103)

++

−−=

−−−

−−

t2

t2

t1

t2

t1

2

1

ecetcec

etcec

d

d (104)


( )( )[ ]

( )( )[ ]

++

−−=

µθ+γ

+−+µ+

−

µθ+γ

+−+γ−θ−

−−−

−−

t2

t2

t1

t2

t1

0

0

ecetcec

etcec

s

GT1sIMs

tr

s

GT1sIMtY


356

( )( )

( )[ ]

( )[ ]

+++µθ+γ

+−+µ+

−−µθ+γ

+−+γ−θ

=

−−−

−−

t2

t2

t1

0

t2

t1

0

ecetcecs

GT1sIMs

etcecs

GT1sIM

tr

tY

( )( )[ ]

( )( )[ ]

t2

t2

t1

0

t2

t1

0

ecetcecs

GT1sIMs

tr

etcecs

GT1sIMtY

−−−

−−

+++µθ+γ

+−+µ+

=

−−µθ+γ

+−+γ−θ=

(105)

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales y (89) tenemos que:

**2

*1

Yr10c

2Yc

−−=

−=

(106)

Caso II1: ( ) ( )

β−α=λ=λ

β+α=λ⇒<⇒<−=∆

i

iA4trA0A4trA

12

122


=θ

=µ

=

=γ

1

75,0

5,1s

5,0


=∆

=

−=

i2

5,1A

2trA

(107)


( ) ( )

⋅

−

−−=

⇒=

2

1

'2

'1'

d

d

5,01

75,05,1

d

dtDAtD

vv (108)


=β

−=α⇒−−=λ+−=λ

22

1i

2

21yi

2

21 21 (109)


357

Los autovalores asociados a cada autovalor son:

Para :i2

211 +−=λ

[ ]2

i21b

a0

0

b

a

i225,01

75,0i225,0

vIA 11

−

−=⇒

=

⋅

−

−

−−

=λ−v

Si hacemos ,23ai21b =⇒+= entonces:

+=

i21

23v1

v

Para :i2

212 −−=λ

[ ]2

i21d

c0

0

d

c

i225,01

75,0i225,0

vIA 22

+

−=⇒

=

⋅

+

−

+−

=λ−v

Si hacemos ,2

3ci21d =⇒−= entonces:

−=

i21

23v 2

v

De (77) y (109) se tiene que la solución será:

+

=

− t2

2senht

2

2coshe

d

d21

t

2

1vv

(110)

Con:

( ) ( )

−+

+

+=+=

21

21

22111 ci21ci21

c23c23

vcvchvvv

(111)

( )( ) ( )

−−

+

−

=−=i21ci21ci

cci23

vcvcih21

21

22112

vvv (112)


358


( ) ( )

−−

++

+

−+

+=

−+

+=

−

−

t2

2seni21ci21ci

t2

2cosci21ci21ed

t2

2senccit

2

2coscce

2

3d

21

21t

2

2121t

1

(113)

Igualando (90) con (113) tenemos:

( ) ( ) ( )

( )

−−

++

+

−+

++=

−+

++=

−

−

t2

2seni21ci21ci

t2

2cosci21ci21ertr

t2

2senccit

2

2coscce

2

3YtY

21

21t*

2121t*

(114)

Reemplazando las condiciones iniciales en (114) tenemos que:

( )( )

( )

−+

++

++=

=

21*

21*

ci21ci21r

cc2

3Y

8,0

2

0r

0Y

( ) ( )

( ) ( )

+−−−=

+−+−=

26

iY2r36,1Y222c

26

iY2r36,1Y222c

***

2

***

1

(115)


( ) ( ) ( )

( )

( )

−−−

−

+−+−

+=

+−−

−+=

−

−

t2

2senY2r36,9

t2

2cos

23

Y122r36,124

ertr

t2

2senY2r36,1t

2

2cosY22e

2

3YtY

**

**

t*

***t*

(116)


359

Diagramas de fase y soluciones cualitativas

Aunque muchas ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) no lineales de primer

orden, que suelen aparecer con relativa frecuencia en modelos económicos, no pueden

resolverse analíticamente, las propiedades cualitativas de sus soluciones pueden

algunas veces ser descritas gráficamente a través de los denominados diagramas de fase. Supongamos que tenemos la forma general de una ecuación diferencial

autónoma5 de primer orden (lineal o no lineal respecto a “y”):

( )yfdt

dy= (116)

Donde ( ),ty la trayectoria temporal de “y”, es una variable que es una función

continua del tiempo. Siempre que dtdy dependa únicamente de “y”, podremos

graficar la relación entre dtdy e “y”, que recibe el nombre de diagrama de fase. A la

gráfica que representa la función “f” se le denomina curva de fase.

Tipos de diagramas de fase de una única variable y de trayectorias temporales

En esta sección estudiaremos algunos de los posibles diagramas de fase de una única variable que pueden surgir en el análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales

autónomas de primer orden, aquellas que satisfacen la ecuación (116). Asociados a las

curvas de fase representadas en las figuras IV, V,…,VIII, y IX tenemos sus respectivas

trayectorias, sendas u órbitas temporales (figuras X, XI,…, XIV, y XV).

Ey

dtdy

y A0

y

B0

y

( )yf

Figura IV

5 Una ecuación diferencial ordinaria (EDO), tal como la ecuación (116), en la que el tiempo “t” no aparece

explícitamente como argumento de “f”, se denomina autónoma.


360

A0y

y Ey

dtdy

B0y

( )yf

Figura V

−

y y

E D

G

C

H A

2y 1y 0y

B F

f(y)

dtdy

y

Figura VI

A0y

y Ey

dtdy

B0y

( )yf

Figura VII


361

y Ey

dtdy

A0y B

0y

( )yf

Figura VIII

Figura IX

Ahora veremos cómo, una vez conocida la curva de fase correspondiente a la ecuación

diferencial (116), obtener información cualitativa importante de la trayectoria temporal ( ).ty


362

En las figuras IV, V, VI, VII, VIII y IX se puede observar que encima del eje horizontal el

signo de dtdy es positivo, esto es ,0dtdy > por lo que la variable “y” aumentará con el

transcurso del tiempo. Es por esta razón que los puntos que se encuentran encima del eje “y”

en las curvas de fase de las figuras IV, V, VI, VII, VIII y IX se desplazan de izquierda a

derecha, tal como muestran las flechas dibujadas sobre dichas curvas. De manera análoga,

podemos observar que los puntos que se encuentran debajo del eje “y” en las curvas de fase

se desplazarán de derecha a izquierda, ya que en esta dirección la ,0dtdy < por lo que “y”

disminuirá con el paso del tiempo. Asimismo, es importante resaltar que los resultados antes

vistos son independientes del signo de la variable “y”. Es decir, aún cuando los diagramas de

fase de las figuras IV, V, VI, VII, VIII y IX se encontrasen a la izquierda del eje vertical

( ),0y < el sentido de las flechas en dichas curvas de fase no se vería afectado.

La estabilidad dinámica del equilibrio: la convergencia de la trayectoria temporal

Si ( ) ( ) ( ) .cteyty0yfdtydy E*

EE ==⇒== Entonces el sistema está en reposo. El

punto Ey recibe el nombre de punto de reposo, punto fijo, punto crítico, punto de

equilibrio, punto estacionario o solución de estado estable. Por otro lado, de existir un

punto de equilibrio de la variable “y”, éste se encontrará donde la curva de fase

intercepta (o es tangente al) eje “y”, donde ( ) ( ) .0yfdtydy EE ==

Un tema de suma importancia es saber si un sistema dinámico se está acercando o se

está alejando de un punto de equilibrio. Una trayectoria se dice que se aproxima a un

punto fijo si ( ) Eyty → según ,t ∞→ en este caso el punto de equilibrio Ey se dice

que es un atractor (las flechas del diagrama de fase confluyen hacia Ey ). Tal es el

caso de Ey en la figura V. Por otra parte, si ( )ty se aleja de Ey según se incrementa

“t”, entonces Ey se dice que es un repulsor (las flechas del diagrama de fase se alejan

de Ey ). Tal es el caso de Ey en la figura IV.

Un punto de equilibrio Ey es estable si dado algún punto de partida ( ) 0y0y = “cercano a”

,yE esto es, dentro de alguna distancia “δ”, la trayectoria permanece cerca de ,yE dentro de

alguna distancia .δ>ε Formalmente, un punto de equilibrio Ey es estable si para cada

0>ε hay un “δ” tal que cada trayectoria ( )ty con ( ) δ<− Ey0y satisface

( ) .0tyty E ≥∀ε<− En otras palabras, si una trayectoria que empieza “cerca a” un

punto de equilibrio permanece cerca a este punto durante todo el tiempo futuro, entonces el

punto de equilibrio se dice que es estable. Un punto de equilibrio es asintóticamente estable

si es estable justo como lo hemos definido, y también si cualquier trayectoria que empieza

cerca al punto de equilibrio se aproxima al punto de equilibrio según .t ∞→ Formalmente,

un punto de equilibrio se dice que es asintóticamente estable si este es estable y hay un

0>δ tal que para cada trayectoria ( )ty con ( ) δ<− Ey0y converge a Ey según

.t ∞→ En la figura XI tenemos el caso de un punto de equilibrio asintóticamente estable.

En esta figura se observa que las posibles trayectorias correspondientes al diagrama de fase

de la figura V convergen en el largo plazo hacia el valor Ey . En la figura X tenemos el caso

de un punto de equilibrio inestable. En esta figura se observa que las posibles trayectorias

correspondientes al diagrama de fase de la figura IV divergen en el largo plazo de .y E


363

t

( )ty

Ey

A0

y

B0

y

Figura X

t

( )ty

Ey

A0

y

B0

y

Figura XI

En la figura VI podemos apreciar una curva de fase que forma un “lazo cerrado”. Esto

se debe a que ( )yf es una relación. Cuando el diagrama de fase es un lazo cerrado, un

movimiento oscilatorio de amplitud constante ocurrirá siempre que se verifiquen dos

condiciones: i) una parte de la curva de fase debe permanecer encima y otra parte

debajo del eje “y”, de modo que haya una etapa en la que “y” crece y otra etapa en la

que “y” decrece, ii) la curva de fase debe presentar pendiente infinita en los puntos de

intersección con el eje “y”. En la figura VI se puede apreciar que en los puntos “B” y

“F” de la curva de fase se cumple que la ,0dtdy = y sin embargo estos puntos no

representan puntos de equilibrio. Más bien, son extremos (mínimos y máximos)

relativos de la trayectoria temporal correspondiente a esta curva de fase, tal como se

aprecia en la figura XII. En esta figura, se aprecia que la trayectoria temporal de “y”

oscila periódicamente entre el valor correspondiente al punto B (mínimo relativo) y el

valor correspondiente al punto F (máximo relativo).

De los casos antes vistos podemos concluir que una condición necesaria, pero no

suficiente, que debe satisfacer todo punto de equilibrio Ey es que la ( ) .0dtydy E =


364

Figura XII

En la tabla I se muestra el signo/valor de la tasa de cambio de “y” respecto al tiempo

y de la tasa de cambio de “f” con respecto a “y” para cada uno de los puntos de las

figuras XII y VI respectivamente.

Punto dtdy ( )[ ] ( ) dydtdyddyyfd =

A (-) (-)

B 0 ∞ C (+) (+)

D (+) 0

E (+) (-)

F 0 ∞

G (-) (+)

H (-) 0

Tabla I

Del análisis realizado en esta sección podemos observar que la estabilidad dinámica

del equilibrio, o equivalentemente la convergencia de la trayectoria temporal ( ),ty

dependerá del signo que tenga la pendiente de la curva de fase en la vecindad al punto

de intersección de dicha curva con el eje “y”. Por ejemplo, en la figura IV se aprecia

que en la vecindad al punto Ey la curva de fase presenta una ( )[ ] ,0dyyfd > lo cual

da lugar a la inestabilidad dinámica. Mientras que en la figura V se aprecia que en la

vecindad al punto Ey la curva de fase presenta una ( )[ ] ,0dyyfd < lo cual da lugar a

la estabilidad dinámica de la variable “y”. Sin embargo, en la figura VI se aprecia que

en las vecindades de los puntos “B” y “F”, que como ya hemos dicho no son puntos

de equilibrio (son sólo las cotas de una trayectoria temporal fluctuante), la curva de

fase presenta una ( )[ ] .dyyfd ∞→


365

Asimismo, si la curva de fase es tangencial al eje horizontal, permaneciendo siempre

a un lado de este (es decir, si el punto de tangencia es un máximo o un mínimo de la

curva de fase), el punto de equilibrio es estable por uno de sus lados e inestable por el

otro6. Este es el caso del punto Ey de la figura VII, estable por izquierda (para

valores menores a Ey ) e inestable por derecha (para valores mayores a Ey ). En la

figura XIII observamos las posibles trayectorias temporales correspondientes a la

curva de fase de la figura VII. Se observa que si ( ) E0 yy0y <= entonces la trayectoria

temporal de “y” converge en el largo plazo hacia el valor .y E Sin embargo, si

( ) E0 yy0y >= entonces la trayectoria temporal de “y” diverge del valor Ey (rama de

la trayectoria temporal que se encuentra a la izquierda de la asíntota vertical y encima

del valor Ey ). Además, si el punto de tangencia corresponde a un punto de inflexión

horizontal de la curva de fase (figura VIII), entonces el punto de equilibrio es estable

(inestable) si la curva de fase permanece encima (debajo) del eje “y” a la izquierda

(derecha) del punto de inflexión. En la figura XIV podemos ver la trayectoria temporal

correspondiente al diagrama de fase de la figura VIII.

Por otro lado, es importante resaltar que pueden existir movimientos oscilatorios

(convergentes o divergentes) de amplitud no constante cuando ( )yf es una relación. En

este caso la curva de fase no será un lazo cerrado como la figura VI (aunque seguirá

satisfaciendo las condiciones i) y ii) de ocurrencia de un ciclo de la página 343) sino

una espiral (divergente) como muestra la figura IX. La posible trayectoria temporal

correspondiente a este diagrama de fase aparece en la figura XV.

En el caso que existan puntos de equilibrio múltiples, las afirmaciones acerca de la

estabilidad o inestabilidad deberán realizarse en relación a un particular punto de

equilibrio. Por tanto, con sistemas que contienen múltiples equilibrios nos referimos a

estabilidad local o a inestabilidad local, es decir, hacemos referencia únicamente a

características del sistema en la vecindad de un punto de equilibrio. En la figura XVI

se observan dos puntos de equilibrio: 0k*1 = es un repulsor localmente inestable (la

pendiente de de la ecuación diferencial en la vecindad del origen es positiva) y

ak*2 = es un atractor localmente estable (la pendiente de de la ecuación diferencial en

la vecindad de “a” es negativa).

Si sólo existe un punto de equilibrio en un sistema dinámico, entonces tal punto de

equilibrio o es globalmente estable o globalmente inestable. En el caso de un sistema

globalmente estable, para cualquier ( ) ,y0y E≠ entonces el sistema convergerá al

punto de equilibrio. Para un sistema globalmente inestable, para cualquier ( ) ,y0y E≠

entonces el sistema divergirá del punto de equilibrio. De forma general podemos decir

que si una curva de fase tiene sólo un punto de equilibrio y permanece completamente

encima del eje “y” a la izquierda del punto de equilibrio, y permanece completamente

debajo del eje “y” a la derecha del punto de equilibrio, entonces el punto de equilibrio

será globalmente estable. Tal es el caso del punto de equilibrio Ey en la figura V.

6 A a este tipo de punto se le denomina shunt. Un shunt es un punto de equilibrio alrededor del cual el

sistema evoluciona sin invertir su sentido (las flechas del eje “y” apuntan en un mismo sentido).


366

t

( )ty

Ey

A0y

B0y

Figura XIII

t

( )ty

Ey

A0y

B0y

Figura XIV

Figura XV


367

t

( ) dttdk

0k*1 = ak*

2 =

Figura XVI

Ejemplos:

Realice un análisis cuantitativo y/o cualitativo de las siguientes ecuaciones

diferenciales:

1.- Mecanismo de ajuste de precio (Tâtonnemet Walrasiano): León Walras visualiza

el equilibrio de mercado como resultado de un proceso de tanteo (Tâtonnemet en

francés): Un “referee” o “licitador” anuncia el precio “P” de determinado bien, y

entonces los compradores y vendedores hacen su puja. Si esta puja resulta en un

exceso de demanda ( ) 0pE ≥ el precio se incrementará hasta el equilibrio, en el

que la oferta iguala a la demanda y se vacía el mercado ( )[ ],0pE = y viceversa

para un exceso de oferta, es decir dtdP es proporcional al exceso de demanda:

( ).PkEdtdP = Donde 0k > es la velocidad de ajuste. Si la demanda es

( ) bPaPD += y la oferta es ( ) ,PPS β+α= siendo ,0a >α> entonces el exceso

de demanda será: ( ) ( ) ( ).PSPDPE −= Por tanto, ( ) ( )[ ].PSPDkdtdP −=

Reemplazando las expresiones de la oferta y la demanda en dtdP tenemos:

[ ] ( ) ( )PbkakPbPakdtdPP ' β−+α−=β−α−+== (117)

( ) ( )α−=β−− akPbkP' (118)


368

Para realizar el análisis cualitativo de la ecuación diferencial necesitamos construir

el diagrama de fase. Dado que la ecuación (117) representa una recta en el plano

( ),P,P' necesitaremos dos puntos para poder construir dicha recta. Para ello,

primero determinaremos el punto de equilibrio, intersección con el eje “P”,

igualando la ecuación (117) a cero:

( ) ( )β−

−α=⇒=β−+α−=

b

aP0PbkakP EE

'

Como sabemos que no tiene sentido económico un precio de equilibrio negativo.

Por tanto, para que 0b0PE <β−⇒> ya que por el enunciado del problema

.0a <−α La condición 0b <β− siempre se cumplirá si la oferta tiene pendiente

positiva ( )0>β y si la demanda tiene pendiente negativa ( ).0b < En segundo

lugar, determinaremos el otro punto de la recta (intersección con el eje “ 'P ”)

reemplazando 0P = en la ecuación (117):

( ) 0akP' >α−=

En consecuencia, el diagrama de fase será:

EP P

dtdP

( )α−ak

B0P

A0P

Figura XVII

Se puede apreciar que el punto de equilibrio EP es un atractor y dado que la

pendiente de la ecuación diferencial en la vecindad de EP es negativa, entonces

EP será estable. Además, como el diagrama de fase sólo tiene un único punto de

equilibrio, entonces EP será globalmente estable. Asimismo, Si el sistema

empezase en el punto ,PP EB0 < las líneas de fuerza (flechas) harían que en el

largo plazo se alcanzara el punto EP . En consecuencia, el punto EP es también un

punto de equilibrio asintóticamente estable. De manera análoga, si el sistema

empezase en ,PP EA0 < se acercaría al punto EP en el largo plazo de manera

asintótica.


369

Para realizar el análisis cuantitativo necesitamos resolver la ecuación diferencial

(117). Para ello, primero calcularemos la solución complementaria. El polinomio

característico de la solución complementaria es:

( ) ( )β−=⇒=β−− bkr0bkr

En consecuencia, la solución complementaria será:

( )tbk

C AeP β−=

Para encontrar la solución particular probamos con ,0PBP 'PP =⇒= por lo que

reemplazando 'PP PyP en la ecuación (118) tenemos:

( ) ( )β−

−α=⇒α−=β−−

b

aPakPbk PP (119)

Por tanto, la solución general (trayectoria temporal) del precio será:

( ) ( )

β−

−α+= β−

b

aAetP

tbk (120)

Si para el instante inicial 0t = tenemos que ( ) ,P0P 0= entonces:

β−

−α−=⇒

β−

−α+=

b

aPA

b

aAP 00

Reemplazando “A” en (120) tenemos:

( ) ( )

β−

−α+

β−

−α−= β−

b

ae

b

aPtP

tbk0 (121)

La ecuación (121) será asintóticamente estable si ,0b <β− ya que en dicho caso la

función exponencial que aparece en el primer sumando de la derecha irá

disminuyendo con el tiempo y cuando ( ).0et

tbk →⇒∞→ β− Por tanto:

( ) .0Pb

atPlím E

t>=

β−

−α=

∞→

Si ,0b <β− el mercado es estable, es decir, el exceso de demanda se reduce y

eventualmente desaparece al incrementar los precios. En caso ,0b >β− digamos

porque ,0y0b >β> entonces para que el precio de equilibrio siga siendo positivo

deberá verificarse que .0a0a >>α⇒>−α En este caso, el mercado es

inestable: continua e indefinidamente la inflación tendrá lugar. Al ser ,0b >β− el

término exponencial tenderá a infinito cuando el tiempo tienda a infinito y por

tanto, el precio en el largo plazo se incrementará indefinidamente alejándose del

punto de equilibrio.


370

En la figura XVIII se aprecian las posibles trayectorias temporales de la ecuación

(121) considerando que :0b <β−

t

( )tP

EP

A0

P

B0

P

Figura XVIII

2.- Modelo Keynesiano: Consideremos un modelo macroeconómico en el que la renta

“Y” se incrementa en respuesta al exceso de demanda agregada “ YD − ”. Para

una simple economía cerrada, con inversión “ 0I ” y gasto gubernamental “ 0G ”

exógenamente dados, la demanda agregada es la suma del consumo “C” la

inversión “ 0I ” y el gasto “ 0G ”. El consumo es una función continua no lineal

estrictamente creciente respecto a la renta, esto es, ( )YCC = con ( ) .0dYYdC >

Por tanto, el modelo dinámico es, para una constante “k” positiva:

( )YDkdt

dY−= (122)

Del enunciado del problema tenemos que:

00 GICD ++=

Reemplazando el consumo en la expresión anterior tenemos:

( ) 00 GIYCD ++=

Reemplazando la última expresión en (122) tenemos:

( )[ ] ( )YkfYGIYCkdt

dYY 00

' ≡−++== (123)

Donde ( ) ( ) .YGIYCYf 00 −++=

Dado que no conocemos a l función ( )Yf explícitamente, sólo podremos realizar

un análisis cualitativo de (123).


371

Para obtener el diagrama de fase de la ecuación (123), primeramente vamos a

calcular la pendiente de la curva de fase en el plano ( )Y,Y' 7

:

( )[ ]( )

dY

Ydfk1dYYdCk

dY

dY'

⋅≡−= (124)

Donde ( ) ( )

.1dY

YdC

dY

Ydf−=

En segundo lugar, vamos a calcular la curvatura de la curva de fase en el plano

( )Y,Y' :

( ) ( )2

2

2

2

2

'2

dY

Yfdk

dY

YCdk

dY

Yd⋅≡⋅= (125)

Donde ( ) ( )

2

2

2

2

dY

YCd

dY

Yfd= .

De la expresión anterior podemos ver que si la función de consumo es

estrictamente convexa respecto a la renta, ( ) ,0dYYCd 22 > entonces la curva de

fase también será estrictamente convexa respecto a la renta, ( ) .0dYYfd 22 > Por

otro lado, si ( )Yf es estrictamente creciente con la renta, entonces

( ) ( ) .01dYYdCdYYdf >−= Esto significaría que la propensión marginal al

consumo ( ) .1dYYdC > Además, como para una renta nula ( )0Y = resulta que el

intercepto de la curva de fase con el eje “ 'Y ” es ( ) ( )[ ] ,0GI0Ck0fk 00 >++⋅=⋅

y al ser 0k > resulta que ( ) ( ) .0GI0C0f 00 >++= Entonces, para valores de

“Y” estrictamente positivos ( ),0y > siendo ( ) 0dYYdf > y ( ) ,0dYYfd 22 >

resultaría que ( ) ( ) .0YGIYCYf 00 >−++= Por tanto, la curva de fase no

interceptaría al eje “Y”, es decir, no habría ningún punto de equilibrio ya que para

ello tendría que verificarse que ( ) .0YkfY' == Pero como ,0k > entonces ( )Yf

tendría que ser igual a cero. Pero esto último es imposible ya que ( ) ( ).0Y0Yf ≥∀>

En consecuencia, si ( ) 1dYYdC > y ( ) ,0dYYCd 22 > el modelo será inestable.

En la figura XIX se aprecia que la curva de fase para este caso es aquella que no

intercepta al eje horizontal, intercepta al eje vertical en el punto

( ) ( )[ ] ,0GI0Ck0fk 00 >++⋅=⋅ es estrictamente convexa y es estrictamente

creciente respecto a “Y”.

7 No tiene sentido trabajar con valores negativos de “Y” ya que la renta es una variable económica. Por

tanto, estaremos interesados en averiguar el signo de la pendiente de la curva de fase únicamente en el

primer y cuarto cuadrantes.


372

Por otro lado, si la función de consumo es estrictamente cóncava respecto a la

renta, ( ) ,0dYYCd 22 < por (125) la curva de fase también será estrictamente

cóncava respecto a la renta, ( ) .0dYYfd 22 < Además, si ( )Yf es estrictamente

decreciente con la renta, entonces ( ) ( ) .01dYYdCdYYdf <−= Esto significaría

que la propensión marginal al consumo ( ) .1dYYdC0 << Asimismo, al ser el

intercepto de la curva de fase con el eje “ 'Y ” ( ) ( )[ ] ,0GI0Ck0fk 00 >++⋅=⋅ y

al ser ( ) 0dYYdf < y ( ) ,0dYYfd 22 < habrá algún valor de “Y” perteneciente al

intervalo [ )∞,0 en el que ( ) ,0Yf = con lo cual se garantizará que .0Y' =

Para encontrar el punto de equilibrio, intersección con el eje “Y”, igualamos a

cero la ecuación (123), obteniendo que:

( ) ( )[ ] ( ) ⇒=≡−++= 0YkfYGIYCktY EE00E'

( ) ( ) 0YGIYCYf E00EE =−++=

( )0fY 1E

−=

En consecuencia, si ( ) 1dYYdC0 << y ( ) ,0dYYCd 22 < el modelo será estable.

En la figura XIX se aprecia que la curva de fase para este caso es aquella que

intercepta al eje horizontal en ( )0fY 1E

−= , intercepta al eje vertical en el punto

( ) ( )[ ] ,0GI0Ck0fk 00 >++⋅=⋅ es estrictamente cóncava y es estrictamente

decreciente respecto a “Y”.

Y ( )0fY 1

E−=

dtdY ( ) ( ) 0Yf:Ykf ' >

( )0kf

( ) ( ) 0Yf:Ykf ' <

Figura XIX


373

Plano de fase y retratos de fase

En esta sección vamos a realizar el análisis cualitativo de sistemas autónomos8 de dos

ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden cuya forma general es la

siguiente:

( )

( )

==

==

y,xgydt

dy

y,xfxdt

dx

'

'

(126)

El sistema (126) puede expresarse equivalentemente en forma vectorial de la siguiente

manera:

( )( )

( )( ) ( )XFXg

Xf

y,xg

y,xf

y

x

dtdy

dtdx

dt

XdX

'

''

vvv

vvv

=

=

=

=

== (127)

Donde ( )( )( )

=

==

ty

tx

y

xtXX

vv es una solución del sistema (127)

9. Las componentes

de ( )tXv

pueden entenderse como un par de ecuaciones paramétricas de forma que

para cada instante “t” se tiene un punto ( ) .tXX2ℜ∈=

vv Las ecuaciones paramétricas

( ) ( )tyytx son funciones diferenciables respecto a “t” que satisfacen el sistema (127)

sobre algún intervalo abierto “I”. Una solución ( )tXv

describe una curva o senda

(curva o senda de fase) en el plano xy (plano de fase) que consta de todos los puntos

( ) ( )( ) .Itty,tx ∈ Al conjunto de todas las posibles sendas de fase10

se le denomina

retrato de fase.

Si ( ) ( )( )ty,tx es una solución de (127), entonces también lo es ( ) ( )( ),cty,ctx −− para

cualquier constante “c”. Por tanto, ( ) ( )( )ty,tx y ( ) ( )( )cty,ctx ++ tienen la misma

senda (esto únicamente se verifica para sistemas autónomos). Para el sistema

autónomo (127), ( ) ( )( )ty,tx'' es únicamente determinado en el punto ( ) ( )( ),ty,tx y

dos sendas ( )21 XyXvv

en el plano xy no pueden interceptarse.

El sistema (127) puede interpretase como un campo vectorial en .2ℜ Donde el

campo vectorial para el sistema (127) es una función vectorial:

( )

=→

ℜ→ℜ

'

'

22

y

xXFX

:F

vvv

v

. (128)

8 Un sistema de ecuaciones diferenciales se denomina autónomo cuando la variable “t” no aparece

explícitamente en el sistema de ecuaciones; en caso contrario se dice que el sistema es no autónomo. 9 Téngase en cuenta que si ( )tX

v es solución de (126), al ser (126) y (127) sistemas equivalentes, también

será solución de (127). Por esta razón, sólo haremos referencia a uno de los dos sistemas, el sistema (127), en el resto de esta sección. 10

Es importante resaltar que la senda de fase no debe ser confundida con el diagrama de fase analizado en

la sección precedente. El análogo a la senda de fase para una única ecuación diferencial sería el eje “y”.


374

Es decir, el campo vectorial de (127) es un conjunto de vectores en el plano xy, tal

que la pendiente del vector ( )y,xFv

en el punto ( )y,x coincide con la pendiente de la

tangente a la senda de fase que pasa por el punto ( ).y,x

La pendiente del vector ( )y,xFv

en el punto ( )y,x viene dada por:

'

'

x

y

dtdx

dtdy

dx

dy== (129)

Es importante resaltar que la ecuación (129) únicamente dependerá de “x” y “y”. Al

dividir las razones de cambio de “y” y de “x” se ha “eliminado” la variable “t”.

En la figura XX se aprecia una senda de fase que es una solución particular del

sistema (127), tal que en el instante inicial 0t = debe satisfacer la condición inicial

( ) ( )( ) ( ).y,x0y,0xX 000 ==v

En esta figura podemos apreciar que en el punto inicial

0Xv

los signos de las razones de cambio de “x” y “y” son

( ) ( ) ( ) ( ) ,00yXgy00xXf '0

'0 >=>=

vv entonces según se incremente el tiempo, el

sistema se moverá desde el punto 0Xv

hacia la derecha y hacia arriba. Asimismo, se

aprecia que en un punto genérico en el instante “t” tal como ( ) ( )( )ty,txX =v

los signos

de las razones de cambio de “x” y “y” son ( ) ( ) ( ) ( ) ,0tyy,xgy0txy,xf '' <=>=

entonces según transcurra el tiempo, el sistema se moverá desde el punto Xv

hacia la

derecha y hacia abajo. En el punto Pv

se aprecia que la velocidad de movimiento

(razón o tasa de cambio respecto al tiempo) está dada por la longitud del vector ( ).XFvv

x

y

( ) ( )( )0y,0xX 0 =v

( ) ( )( )ty,txX =

v

( ) ( ) ( )( )ty,txy,xF ''=v

( )tx '

( )ty '

Figura XX


375

Para ilustrar la dinámica del sistema (127), en principio, podemos dibujar tales

vectores en cada punto del plano xy. Tal familia de vectores es llamada campo vectorial11

. En la práctica podemos dibujar sólo una pequeña muestra representativa

de estos vectores. Sobre la base del campo vectorial, teniendo en cuenta que los

vectores del campo vectorial son tangentes a las sendas de fase, podemos dibujar las

sendas de fase para el sistema y por tanto exhibir el retrato de fase del sistema.

Por ejemplo, dado el siguiente sistema:

( )

( ) XA

'

''

'

'

y

x

23

21

y

xX

y,xgy2x3y

y,xfy2xx

v321

v

⋅

=

=⇒

=+=

=+= (130)

Para obtener algunos vectores del campo vectorial de este sistema podemos escoger

arbitrariamente algunos puntos del plano xy para luego reemplazarlos en el vector Xv

que aparece en la ecuación (130).

−

−=

−⋅

=

=⇒

−=

=

−

−=

−⋅

=

=⇒

−=

=

−

−=

−

−⋅

=

=⇒

−

−=

=

−

−=

−⋅

=

=⇒

−=

=

=

−⋅

=

=⇒

−=

=

=

⋅

=

=⇒

=

=

=

⋅

=

=⇒

=

=

=

⋅

=

=⇒

=

=

4

8

5

2

23

21

y

xX

5

2

y

xX

10

10

5

0

23

21

y

xX

5

0

y

xX

7

5

2

1

23

21

y

xX

2

1

y

xX

9

3

0

3

23

21

y

xX

0

3

y

xX

1

3

2

1

23

21

y

xX

2

1

y

xX

4

4

2

0

23

21

y

xX

2

0

y

xX

16

8

2

4

23

21

y

xX

2

4

y

xX

9

3

0

3

23

21

y

xX

0

3

y

xX

'

''

'

''

'

''

'

''

'

''

'

''

'

''

'

''

vv

vv

vv

vv

vv

vv

vv

vv

Podemos observar que, por ejemplo, en el punto ( )0,3 del plano xy tendremos un

vector que apunta en la dirección ( ).9,3 En el punto ( )5,2 − tendremos un vector que

apunta en la dirección ( ).4,8 −− Repitiendo el proceso anterior para un gran número de

puntos del plano xy se obtendrá el campo vectorial de la figura XXI12

.

11

Para obtener el campo vectorial de sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos podemos utilizar

algunos programas matemáticos como el Maple, el Matlab y el Mathematica. 12

Es importante resaltar que la longitud de los vectores en la figura XXI ha sido proporcionalmente

reducida de manera que los vectores no interfieran el uno con el otro. Pero la longitud de cada vector aún

sugiere la velocidad de movimiento.


376

Figura XXI

Una vez que se ha obtenido el campo vectorial, podemos bosquejar algunas sendas de

fase teniendo en cuenta que los vectores de la figura XXI son tangentes a las sendas

de fase y que la dirección de los vectores nos da la dirección de la senda según se

incrementa el tiempo. Con el propósito de mostrar la dependencia temporal de la

solución, se han colocado flechas sobre las sendas de fase. En la figura XXII se

muestra el retrato de fase correspondiente al campo vectorial de la figura XXI.

Usualmente los retratos de fase sólo incluyen algunas de las sendas de fase y no la

totalidad de ellas. Asimismo, frecuentemente el retrato de fase no va acompañado del

campo vectorial, aunque algunas veces por cuestiones didácticas se presentarán

ambos bosquejados en el plano xy.

Figura XXII


377

Puntos fijos y estabilidad

Si ( )**y,x es un punto en el plano para el cual simultáneamente ( ) 0y,xf = y

( ) 0y,xg = , entonces resulta que 0x' = y .0y

' = Esto significa que ni “x” ni “y”

cambian con el tiempo: el sistema tiene un punto fijo, o tiene un punto de equilibrio.

Una vez que hemos encontrado un punto de equilibrio, lo que nos interesa es saber si

este punto es estable o inestable.

Un punto fijo que satisface la condición ( ) 0y,xf = y ( ) 0y,xg = es estable o atractor

si, dado algún valor inicial ( )00 y,x “cerca de” ( ),y,x** esto es, dentro de alguna

distancia “δ”, la senda permanece cerca al punto fijo, esto es, dentro de alguna

distancia .δ>ε

Haciendo uso de la medida de distancia propuesta por Liapunov, las figuras XXIII y

XXIV muestran dos bolas cerradas con centro en ( ),y,x** ( )** y,xBε y ( ),y,xB **

δ y

con radios “ε” y “δ” respectivamente. Asimismo, cada figura muestra una senda de

fase que empieza en el punto ( ).y,x 00 En el caso de la figura XXIII, la senda de fase

llega al punto de equilibrio ( ),y,x** mientras que en la figura XXIV la senda de fase

circunda al punto de equilibrio ( ).y,x**

En las figuras XXIII y XXIV tenemos un punto de partida ( )00 y,x “cercano a”

( ),y,x** en el sentido que ( )00 y,x permanece dentro de la bola ( ).y,xB **

δ la senda

de fase parte del punto ( )00 y,x permaneciendo “cerca del” punto de equilibrio, en el

sentido que ésta permanece dentro de la bola ( ).y,xB **ε Por tanto, el punto de

equilibrio ( )**y,x de ambas figuras es estable.

x

y

( )** y,xBε

( )** y,xBδ

( )** y,x ( )00 y,x

δ

ε

Figura XXIII


378

No obstante, es importante resaltar que en la definición de estabilidad no hay nada

que indique que la senda de fase tenga que aproximarse al punto de equilibrio. Todo

lo que se requiere es que la senda de fase permanezca dentro de la bola ( ).y,xB **ε Al

mirar la figura XXIV podemos notar que la senda de fase es periódica, empieza cerca

del punto de equilibrio (esto es, el punto de partida permanece dentro de la bola

( )** y,xBδ ) pero circunda cíclicamente el punto de equilibrio ( )**y,x mientras

permanece “cerca de” dicho punto (esto es, permanece dentro de la bola

( )** y,xBε ). Tal ciclo límite es estable pero no es asintóticamente estable.

Todo punto de equilibrio que no es estable se dice que es inestable o repulsor. Un

punto de equilibrio es asintóticamente estable si es estable en el sentido justamente

discutido, pero eventualmente se aproxima al punto de equilibrio según .t ∞→ En

consecuencia, para ser asintóticamente estable, la senda de fase debe empezar cerca

de ( )**y,x (es decir, dentro de la bola de radio “δ”), debe permanecer cerca al punto

de equilibrio (es decir, dentro de de la bola de radio “ε”), y eventualmente debe

aproximarse a ( )**y,x según .t ∞→ Por tanto, la senda de fase de la figura XXIII es

asintóticamente estable.

x

y

( )** y,xBε

( )** y,xBδ

( )** y,x

( )00 y,x

δ

ε

Figura XXIV

Note que la senda de fase puede alejarse del punto ( )**y,x mientras permanece

dentro de la bola ( )** y,xBε y aproximarse al punto de equilibrio en el límite. Un

punto que es estable pero que no es asintóticamente estable suele denominársele como

neutralmente estable. La figura XXIV muestra un punto de equilibrio neutralmente

estable.


379

La estabilidad asintótica es más fuerte que la estabilidad. Esto es claro ya que si un

punto de equilibrio es asintóticamente estable, entonces debe ser estable. La condición

límite por sí sola no es suficiente ya que un sistema puede empezar “cerca de”

( )**y,x (es decir, dentro de la bola de radio “δ”) y aproximarse al punto de equilibrio

en el límite, pero divergir considerablemente (ir más allá) de bola de radio “ε” en

determinado periodo.

Si un sistema tiene un punto de equilibrio ( )**y,x que es asintóticamente estable, y si

cada senda de fase se aproxima al punto de equilibrio (es decir, tanto para puntos

cercanos al punto de equilibrio como para puntos lejanos de éste), entonces el punto

de equilibrio se dice que es globalmente estable. Otra forma de considerar esto es

establecer el conjunto inicial de condiciones para las cuales el punto de equilibrio

dado sea asintóticamente estable, esto es, la bola más grande a partir de la cual

cualquier trayectoria entrante converja asintóticamente al punto de equilibrio. Este

conjunto de condiciones iniciales es llamado fuente de atracción. Un punto de

equilibrio es localmente asintóticamente estable si existe una fuente de atracción,

( ),y,xB **ε dentro de la cual todas las sendas de fase entrantes a esta bola

eventualmente se aproximan al punto ( ).y,x** Si la fuente de atracción es todo el

plano xy, entonces el sistema es globalmente asintóticamente estable sobre el punto

de equilibrio ( ).y,x**

Algunas propiedades de las sendas de fase de sistemas autónomos son las siguientes:

1.- No más de una senda de fase pasa por un punto del plano xy;

2.- Una senda de fase que empieza en un punto que no es un punto de equilibrio

únicamente alcanzará un punto de equilibrio en un periodo infinito;

3.- Ninguna senda de fase puede atravesarse así misma a menos que sea una curva

cerrada. Si la senda de fase es una curva cerrada entonces la solución es periódica.

Isoclinas y líneas de fuerza en el plano de fase:

Sea ( )( )

.y

x

ty

txX

=

=

v Dado el sistema

( )( )

( ),XFy,xg

y,xf

y

xX

'

''

vvv=

=

= donde ( )XF

vv

puede ser lineal o no lineal, los lugares geométricos de 2ℜ tales que

( )( )

,b

a

y,xg

y,xf

y

xX

'

''

=

=

=

v donde “a” y “b” son constantes, se denominan isoclinas.

Las isoclinas son de gran utilidad ya que nos permiten obtener la dirección de los

vectores del campo vectorial del sistema, lo que a su vez nos sirve para bosquejar las

sendas de fase.

En particular, las isoclinas en las que “a” y “b” son nulas (ceroclinas),

( )( )

,0

0

y,xg

y,xf

y

xX

'

''

=

=

=

v nos dan los puntos para los que ya no hay ajuste

dinámico para “x” y para “y”. Es decir, en las intersecciones de las ceroclinas

encontraremos los puntos de equilibrio del sistema.


380

La ceroclina ( ) 0y,xfx' == divide el plano xy en dos regiones, una en la que

( ) 0y,xfx' >= (donde “x” crece conforme transcurre el tiempo: en esta región se

dibujarán líneas de fuerza (flechas direccionales) que apuntarán hacia la derecha

indicando el crecimiento de “x” conforme aumenta el tiempo) y la otra en la que

( ) 0y,xfx' <= (donde “x” decrece conforme transcurre el tiempo: en esta región se

dibujarán líneas de fuerza que apuntarán hacia la izquierda indicando el

decrecimiento de “x” conforme aumenta el tiempo). En la figura XXV se aprecia la

dinámica descrita líneas arriba. En esta figura puede notarse que en las dos regiones

en que la ceroclina ( ) 0y,xfx' == divide al plano xy las líneas de fuerza son

opuestas (aquellas flechas que tienen el mismo color).

x

0x ' = 0x ' >

y

0x ' <

0x ' >

0x ' <

Figura XXV

La ceroclina ( ) 0y,xgy' == también divide el plano xy en dos regiones, una en la

que ( ) 0y,xgy' >= (donde “y” crece conforme transcurre el tiempo: en esta región

se dibujarán líneas de fuerza que apuntarán hacia arriba indicando el crecimiento de

“y” conforme se incrementa el tiempo) y la otra en la que ( ) 0y,xgy' <= (donde “y”

decrece conforme transcurre el tiempo: hacia abajo indicando el decrecimiento de “y”

conforme se incrementa el tiempo). En la figura XXVI se aprecia el movimiento en el

plano xy descrito líneas arriba. En esta figura también puede notarse que en las dos

regiones en que la ceroclina ( ) 0y,xgy' == divide al plano xy las líneas de fuerza

son opuestas (aquellas flechas que tienen el mismo color).

Es importante resaltar que las sendas de fase del sistema que se tracen en el plano xy

cortarán verticalmente a la ceroclina ( ) 0y,xfx' == y horizontalmente a la ceroclina

( ) .0y,xgy' ==


381

0y ' <

0y ' >

x

( ) 0y,xgy ' ==

0y ' >

0y ' <

y

Figura XXVI

Los puntos de equilibrio del sistema se encontrarán en las intersecciones de las

ceroclinas. Al superponer las ceroclinas de las figuras XXV y XXVI en un mismo

gráfico (ver figura XXVII), el plano xy quedará dividido en cuatro regiones en las que

será posible conocer la evolución temporal de “x” y de “y” a través de las líneas de

fuerza13

. En la figura XXVII, sobre la ceroclina ( ) 0y,xfx' == se ha trazado

arbitrariamente el gradiente de ( )y,xf en dirección noroeste (de color azul). Dado que

la dirección del ( )y,xf∇ apunta hacia la dirección donde ,0x' > en consecuencia, las

líneas de fuerza que se encuentran arriba de la ceroclina ( ) 0y,xfx' == apuntarán

hacia la derecha (este) ya que en esa región, al ser ,0x' > “x” aumentará conforme

transcurra el tiempo. En la región que se encuentra debajo de la ceroclina

( ) ,0y,xfx' == al ser ,0x

' < las líneas de fuerza apuntarán hacia la izquierda

(oeste) indicando el decrecimiento de “x” conforme aumenta el tiempo.

x

0x ' = 0y ' =

y

( )y,xf∇

( )y,xg∇ E

Figura XXVII 13

Es importante resaltar que las ceroclinas 0x ' = y 0y ' = se pueden intersectar en más de un punto de

equilibrio y, por tanto, dividir el plano xy en más de cuatro regiones.


382

En la figura XXVII, sobre la ceroclina ( ) 0y,xgy' == se ha trazado arbitrariamente

el gradiente de ( )y,xg en dirección noreste (de color rojo). Dado que la dirección del

( )y,xg∇ apunta hacia la dirección donde ,0y' > en consecuencia, las líneas de

fuerza que se encuentran arriba de la ceroclina ( ) 0y,xgy' == apuntarán hacia arriba

(norte) ya que en esa región, al ser ,0y' > “y” aumentará conforme transcurra el

tiempo. En la región que se encuentra debajo de la ceroclina ( ) ,0y,xgy' == al ser

,0y' < las líneas de fuerza apuntarán hacia abajo (sur) indicando el decrecimiento de

“y” conforme aumenta el tiempo.

x

0x ' = 0y ' =

y

E

Figura XXVIII

En la figura XXVIII se han agregado algunas sendas de fase a la figura XXVII en

función de las direcciones de las líneas de fuerza, las cuales sirven para prever el

movimiento dinámico del sistema a partir de cualquier punto inicial del plano xy.

Note que las sendas de fase que cortan la ceroclina ( ) 0y,xgy' == tienen una

pendiente nula en el punto de corte (líneas punteadas que cortan a la ceroclina

( ) 0y,xgy' == horizontalmente), mientras que las sendas de fase que cortan la

ceroclina ( ) 0y,xfx' == tienen una pendiente infinita en el punto de corte (líneas

punteadas que cortan a la ceroclina ( ) 0y,xfx' == verticalmente).


383

Clasificación de los puntos de equilibrio:

Dependiendo de las sendas de fase que circundan a un punto de equilibrio, éste puede

clasificarse como: nodo, punto de silla, foco o espiral, y vórtice o centro.

Un nodo es un punto de equilibrio tal que todas las sendas de fase asociadas a él o se

acercan no cíclicamente hacia él (atractor) o se alejan no cíclicamente de él

(repulsor). En la figura XXIX se muestra un nodo repulsor. En la figura XXX se

presenta un nodo impropio que recibe el nombre de estrella. En esta figura se muestra

el caso de una estrella repulsora.

Un punto de silla es un punto de equilibrio que se caracteriza por ser estable en

algunas direcciones e inestable en otras. Específicamente, un punto de silla tiene un

par de ramas estables en las que las sendas de fase convergen hacia el punto de

equilibrio, y un par de ramas inestables en el que las sendas de fase se alejan del

punto de equilibrio. El resto de sendas de fase se mueven hacia el punto de silla

inicialmente pero luego se alejan de él. Debido a que la estabilidad sólo se observa en

el par de ramas estables, y ésta no se obtiene con frecuencia, al punto de silla se le

clasifica como un punto de equilibrio inestable. En la figura XXXI se aprecia un

punto de silla, donde se observa que el par de ramas estables se encuentran sobre la

línea de acción del autovector ,v2

v y el par de ramas inestables se encuentran sobre la

línea de acción del autovector .v1

v

Los focos son puntos de equilibrio caracterizados por sendas de fase en forma de espiral o que se aproximan cíclicamente a él (foco estable) o que se alejan cíclicamente de éste

(foco inestable). En la figura XXXII se muestra un foco inestable.

Un vórtice o centro es un punto de equilibrio caracterizado por una familia de sendas

de fase en forma de bucles (círculos o elipses concéntricos) que orbitan alrededor de

él en forma perpetua. Un vórtice se clasifica como inestable ya que dicho punto es

inaccesible desde cualquier otro punto que no sea el mismo vórtice. En la figura

XXXIII se aprecia un vórtice.


384

x

y

E

2vv

1vv

( )y,xf∇

0x ' =

( ) 0y,xf =

0y ' =

( )y,xg∇

( ) 0y,xg =

Figura XXIX

y

x

E 1vv

2vv

( )y,xf∇

( )y,xg∇

0y ' =

0x ' =

Figura XXX


385

x

y

E

1vv

2vv

( )y,xg∇

( )y,xf∇

) 0y,x =

0x ' =

0y ' =

( ) 0y,xg =

Figura XXXI

y

x E

( )y,xf∇

( )y,xg∇

0y ' =

0x ' =

Figura XXXII


386

E

x

y

0x' =

0y ' =

( )y,xf∇

( )y,xg∇

Figura XXXIII


387

x

y

E

1vv

2vv

( )y,xg∇

( )y,xf∇

( ) 0y,xf =

0x ' =

0y ' =

( ) 0y,xg =


388

Conjuntos acotados y no acotados en ℜℜℜℜ

Cota Superior (inferior) de X: Dado ℜ⊂X , Ø,X ≠ se dice que “b” es una cota superior de X si .Xxxb ∈∀≥ De manera análoga se puede definir una cota inferior.

Si X posee una cota superior (inferior) se dice que X está acotado superiormente

(inferiormente) o acotado por arriba (por abajo). Un conjunto que no esté acotado

superiormente (inferiormente) se llama conjunto no acotado superiormente (inferiormente). Un conjunto acotado superior e inferiormente se llama simplemente

conjunto acotado. Un conjunto que no está acotado se llama no acotado.

Entre todos los números que acotan superiormente (inferiormente) a ℜ⊂X , el menor

(mayor) de ellos, recibe un nombre especial: Supremo (ínfimo).

Supremo (ínfimo) de X: Dado ℜ⊂X , se define el supremo de X y se denota por

XSUP , como la mínima cota superior del conjunto, es decir, ,XxxXSUP ∈∀≥ y si

.bXSUPXx,xb ≤⇒∈∀≥∃ De manera análoga se define el ínfimo de X, que se

denota por .XINF

Axioma del Supremo: Todo conjunto de números reales que está acotado por arriba

posee un supremo. De manera análoga, si el conjunto de números reales está acotado

inferiormente, entonces posee un ínfimo.

Principio de Arquímedes: El conjunto de números naturales, N, no está acotado

superiormente, de modo que .anNn,a >∈∃ℜ∈∀

Elemento máximo (mínimo) de X: Sea ℜ⊂X . El elemento máximo de X o mayor de X, denotado por ,Xmáx es un elemento “b” de X tal que .XxXmáxbx ∈∀=≤

De manera análoga se define el elemento mínimo de X o menor de X, que se denota

por .Xmín

En general, si existe ( ),XmínXmáx éste coincide con ( )XINFXSUP . Por ejemplo,

para ,10,9,8,7,6,5X = se tiene que ,10XSUPXmáx == .5XINFXmín == Sin

embargo, el conjunto X puede tener un supremo (ínfimo) y no poseer un elemento

máximo (mínimo). Por ejemplo, para ( ),3,23x2xX =<<ℜ∈= se tiene que

,3XSUP = ,2XINF = pero ni ,Xmáx ni Xmín existen.

Acotación de funciones

Función acotada superiormente

Sea ( ) .XfYX:f n ℜ⊂=→ℜ⊆ Se dice que “f” está acotada superiormente en su

dominio”X”, si el conjunto de sus valores (su rango “Y”) está acotado superiormente

en .ℜ Dicho de otro modo, la función “f” está acotada superiormente si

( ) XxMxfM ∈∀≤ℜ∈∃vv

. A “M” y a todos los números mayores que este se le

denominan cotas superiores.


389

Función acotada inferiormente

Sea ( ) .XfYX:f n ℜ⊂=→ℜ⊂ Se dice que “f” está acotada inferiormente en su

dominio “X”, si el conjunto de sus valores (su rango “Y”) está acotado inferiormente

en .ℜ Dicho de otro modo, la función “f” está acotada inferiormente si

( ) Xxmxfm ∈∀≥ℜ∈∃vv

. A “m” y a todos los números menores que este se le

denominan cotas inferiores.

Función acotada

Sea ( ) .XfYX:f n ℜ⊂=→ℜ⊂ Se dice que “f” está acotada en su dominio “X”, si

su imagen “Y” es un conjunto acotado en .ℜ Es decir, si existen “M” y “m”

pertenecientes a ℜ tales que ( ) .XxMxfm ∈∀≤≤vv

Función acotada en valor absoluto

Se dice que “f” está acotada en valor absoluto en “X” si existe un “K” perteneciente a

ℜ tal que ( ) .XxKxf ∈∀<vv

Si “f” está acotada en “X”, entonces “f” estará acotada en valor absoluto en “X”.

Supremo de una función

Si “f” está acotada superiormente en “X”, llamamos supremo a la menor de las cotas

superiores. El supremo de “f” se llama supremo de la función “f” en X, y se denota

por: ( ) ( ) .XxxfsupxfsupMXx

∈==∈

vvvv

Ínfimo de una función

Si “f” está acotada inferiormente en “X”, llamamos ínfimo a la mayor de las cotas

inferiores. El ínfimo de “f” se llama ínfimo de la función “f” en X, y se denota por:

( ) ( ) .XxxfinfxfinfmXx

∈==∈

vvv

Máximo de una función

Si el supremo de “f” pertenece a dicha función se denomina máximo (absoluto o

global) de la función. Se dice que “f” alcanza un máximo absoluto en un punto 0xv

de

X si ( ) ( )xfsupxfXx

0

vvv∈

= en X. Es decir, si verifica que: ( ) ( ) .Xxxfxf 0 ∈∀≤vvv

Se denota por: ( ) ( ) .XxxfmáxxfmáxMXx

∈==∈

vvvv

Se dice que 0xv

es un punto máximo absoluto de “f” en “X” y el valor de dicho

máximo es ( )0xfv

. El máximo absoluto es estricto si se cumple que

( ) ( ) .Xxxfxf 0 ∈∀<vvv

Si una función tiene máximo absoluto, ésta lo puede alcanzar

en varios puntos de su dominio.


390

Mínimo de una función

Si el ínfimo de “f” pertenece a dicha función, entonces se llama mínimo (absoluto o

global) de la función. Se dice que “f” alcanza un mínimo absoluto en un punto 1xv

de

X si ( ) ( )xfinfxfXx

1

vvv∈

= en X. Es decir, si se verifica: ( ) ( ) .Xxxfxf 1 ∈∀≤vvv

Se denota: ( ) ( ) .XxxfmínxfmínmXx

∈==∈

vvvv

Se dice que 1xv

es un punto mínimo absoluto de “f” en “X” y el valor de dicho

mínimo es ( ).xf 1

v El mínimo absoluto es estricto si ( ) ( ) .Xxxfxf 1 ∈∀<

vvv Si una

función tiene mínimo absoluto, ésta lo puede alcanzar en varios puntos de su dominio.

Propiedades del supremo/ínfimo de una función

( )( ) ( )xfinfxfsupXxXx

vvvv ∈∈

−=− ( )( ) ( )xfsupxfinfXxXx

vvvv∈∈

−=−

( ) ( )( ) ( ) ( )xgsupxfsupxgxfsupXxXxXx

vvvvvvv∈∈∈

+≤+ ( ) ( )( ) ( ) ( )xginfxfinfxgxfinfXxXxXx

vvvvvvv∈∈∈

+≥+

( )( ) ( ) +

∈∈

ℜ∈λ⇔λ=λ xfsupxfsupXxXx

vvvv

( )( ) ( ) +

∈∈ℜ∈λ⇔λ=λ xfinfxfinf

XxXx

vvvv

( )( ) ( )

=

∈∈×∈

y,xfsupsupy,xfsupYyXxYXy,x

vvvvvvvv

( )

( ) ( )

=

∈∈×∈y,xfinfinfy,xfinf

YyXxYXy,x

vvvvvvvv

Propiedades de las funciones acotadas

1. La suma de dos funciones acotadas es otra función acotada.

2. El producto de dos funciones acotadas es otra función acotada.

3. Si una función “f” está acotada, su opuesta “-f” también lo estará.

Reglas de Leibniz

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( )

( )

dtxtx,fxhxhx,fxgxgx,fdxxdφdttx,fxφ4)

xhxhfxgxgfdxxdφdttfxφ3)

xgxgfdxxdφdttfxφ2)

xfdxxdφdttfxφ1)

xg

xh

''

xg

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