Carlos Ivorra...

Carlos Ivorra Castillo

ANÁLISIS MATEMÁTICOAVANZADO

El análisis matemático es tan extenso como lapropia Naturaleza

Joseph Fourier

Índice General

Preámbulo vii

Capítulo I: Funciones analíticas 11.1 Convergencia casi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 El principio de prolongación analítica . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Capítulo II: Funciones harmónicas 272.1 Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Relación con las funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Convergencia casi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 Funciones subharmónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.6 La transformada de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.7 El teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Capítulo III: Harmónicos esféricos 673.1 Funciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2 Polinomios harmónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 El teorema de adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4 Bases de harmónicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5 Harmónicos zonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Capítulo IV: Series de Fourier 994.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2 Harmónicos circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3 Los polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4 Las funciones asociadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Capítulo V: Harmónicos esféricos bidimensionales 1355.1 Bases ortonormales de los espacios H2

n . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2 Aplicaciones a la gravitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.3 Aplicaciones al electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

v

vi ÍNDICE GENERAL

Capítulo VI: La ecuación de ondas 1596.1 La ecuación de ondas en fenómenos físicos . . . . . . . . . . . . . 1606.2 La ecuación de ondas tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.3 Soluciones de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 180

Apéndice A: Complementos sobre hidrodinámica 187

Bibliografía 195

Índice de Materias 196

Preámbulo

Este libro —de momento inacabado—contiene algunos resultados que origi-nalmente formaban parte de la primera versión de mi libro de Análisis matemá-tico y que no tuvieron cabida ni en la nueva versión ni en mi libro de Geometríadiferencial, junto con algunos resultados adicionales. Las referencias [Al], [G],[An], [GD] indican, respectivamente, mis libros de Álgebra, Geometría, Análisismatemático y Geometría diferencial, mientras que [VC] remite a mi libro deFunciones de variable compleja, del cual sólo será necesario el capítulo I, mien-tras que el capítulo I del presente libro es a su vez un requisito para el capítulo IIde [VC].

vii

Capítulo I

Funciones analíticas

Si Ω ⊂ Rn es un abierto, f : Ω −→ R es una función de clase Ck y a ∈ Ω,para cada natural m podemos definir el polinomio de Taylor de grado k de falrededor del punto a como

Pkf(x) =∑|α|≤k

Dαf(a)

α!(x− a)α,

donde estamos adoptando los convenios siguientes:

• α representa un multi-índice de dimensión n, que no es sino un elementode Nn, es decir, una n-tupla de números naturales α = (α1, . . . , αn).

• El orden de un multi-índice α es |α| = α1 + · · ·+ αn.

• El factorial de un multi-índice α se define como α! = α1! · · ·αn!.

• Si x ∈ Rn, convenimos en que xα = xα11 · · ·xαnn .

• Usamos los multi-índices para representar las derivadas parciales de f :

Dαf =∂|α|f

∂xα11 · · · ∂x

αnn.

Es fácil ver entonces que Pkf(x) es el único polinomio de grado ≤ k cuyasderivadas parciales en a hasta grado k coinciden con las de f . Esta definicióngeneraliza a la dada en [An 4.25] para funciones de una variable.

El teorema de Taylor [An 4.27] proporciona una expresión para la diferenciaentre una función y sus polinomios de Taylor. Es fácil generalizarlo a funcionesde varias variables (aunque aquí vamos a probar la generalización correspon-diente al resto integral considerado tras el teorema [An 8.59]):

1

2 Capítulo 1. Funciones analíticas

Teorema 1.1 (Teorema de Taylor) Sea Ω ⊂ Rn un abierto convexo, seaf : Ω −→ R una función de clase Ck+1+l y a ∈ Ω. Entonces, para cadax ∈ Ω se cumple que

f(x) = Pkf(x) +∑

|α|=k+1

Rα(x)(x− a)α,

donde

Rα(x) =|α|α!

∫ 1

0

(1− t)|α|−1Dαf(a+ t(x− a)) dt

es una función de clase Cl en Ω (entendiendo que la clase C0 es la clase de lasfunciones continuas).

Demostración: Fijado x ∈ Ω, consideramos la función dada por

g(t) = f(a+ t(x− a)),

que por la convexidad de Ω está definida en un intervalo abierto que contienea [0, 1] y es de clase Ck+1+l. Por el teorema de Taylor para funciones de unavariable tenemos que

g(t) =

k∑r=0

gr)(0)

r!tr +

tk+1

k!

∫ 1

0

(1− s)kgk+1)(st) ds.

La regla de la cadena nos da que

gr)(t) =∑|α|=r

(r

α1 · · ·αn

)Dαf(a+ t(x− a))(x− a)α.

Teniendo en cuenta que1

r!

(r

α1 · · ·αn

)=

1

α!,

para t = 1 queda que

g(x) = Pkf(a) +

∫ 1

0

(1− s)k∑

|α|=k+1

k + 1

α!Dαf(a+ s(x− a))(x− a)α ds

= Pkf(a) +∑

|α|=k+1

|α|α!

∫ 1

0

(1− s)kDαf(a+ s(x− a)) ds (x− a)α.

Las funciones Rα(x) son de clase Cl en virtud del teorema [An 8.57].

El teorema de Taylor permite probar que, bajo hipótesis adecuadas sobreacotación de las derivadas, los polinomios de Taylor proporcionan aproximacio-nes cada vez mejores que una función alrededor del punto en el que se realizael desarrollo. Esto es así, por ejemplo, en el caso de la función exponencial, o

1.1. Convergencia casi uniforme 3

de las funciones seno y coseno, que pueden expresarse como suma de la serie deTaylor determinada por la sucesión de sus polinomios de Taylor:

ex =

∞∑m=0

1

m!xm, senx =

∞∑m=0

(−1)m

(2m+ 1)!x2m+1, cosx =

∞∑m=0

(−1)m

(2m)!x2m.

Sin embargo, no todas las funciones de clase C∞ pueden expresarse como sumade sus series de Taylor.

Ejemplo La función

h(x) =

e−1/x si x > 0,0 si x ≤ 0,

es de clase C∞ en R y todas sus derivadas son nulas en 0 (véanse las construc-ciones previas a [GD 1.17]), luego su serie de Taylor en 0 converge a la funciónnula y no a h. Otro ejemplo menos trivial es la función g(x) = ex+h(x), que esde clase C∞ y sus derivadas en 0 son las de ex, luego su serie de Taylor convergeen todo R, pero no a g(x), sino a ex.

En este capítulo estudiaremos las llamadas funciones analíticas, que son lasfunciones de clase C∞ que se expresan (al menos localmente) como la suma desus series de Taylor alrededor de cada punto. En el ejemplo anterior hemos vistodos casos de funciones de clase C∞ que no son analíticas. Para ello tenemosque analizar previamente las series de potencias de varias variables y a su vez,para ello, conviene estudiar primero el concepto de convergencia casi uniforme.Dedicaremos las primeras secciones a estos preliminares.

1.1 Convergencia casi uniformeSea X un espacio topológico e Y un espacio métrico. Llamamos Y X al

conjunto de todas las aplicaciones de X en Y . En este espacio está definidala topología de la convergencia puntual, pero, tal y como explicamos en lasección 3.6 de [An], es demasiado débil, en el sentido de que, por ejemplo, elsubespacio C(X,Y ) de las funciones continuas de X en Y no es cerrado en Y X(un límite puntual de funciones continuas no es necesariamente continuo). En[An] resolvimos esto considerando la topología de la convergencia uniforme, peroésta resulta demasiado fuerte ya que, por ejemplo, las series de potencias noconvergen uniformemente. Ahora vamos a introducir una topología intermediaentre ambas:

Definición 1.2 Sea X un espacio topológico e Y un espacio métrico. Llamare-mos topología de la convergencia casi uniforme en Y X a la que tiene como basea los conjuntos

V (f0,K, ε) =f ∈ Y X

∣∣ supx∈K

d(f(x)− f0(x)) < ε,

donde f0 ∈ Y X , K ⊂ X es compacto y ε > 0.


Para comprobar que efectivamente estos conjuntos definen una topologíaobservamos que si f ∈ V (f0,K, ε) ∩ V (f1,K

′, ε′), podemos tomar un δ > 0 talque

supx∈K

d(f(x)− f0(x)) + δ < ε y supx∈K′

d(f(x)− f1(x)) + δ < ε′,

y entonces V (f,K ∪K ′, δ) ⊂ V (f0,K, ε) ∩ V (f1,K′, ε′).

De aquí se sigue además que los conjuntos V (f0,K, ε) para una f0 fija sonuna base de entornos de f0.

La convergencia respecto de esta topología se denomina, como cabía esperar,convergencia casi uniforme.

Es inmediato comprobar que una sucesión de funciones fn∞n=0 convergecasi uniformemente a una función f si y sólo si converge uniformemente en cadacompacto K ⊂ X.

En efecto, la convergencia casi uniforme equivale a que la sucesión esté fi-nalmente en cada entorno V (f,K, ε) de su límite, es decir, a que para todocompacto K ⊂ X y todo ε > 0 existe un índice n0 de modo que si n ≥ n0,entonces d(fn(x) − f(x)) < ε para todo x ∈ K. Esto significa que para todocompacto K ⊂ X, la sucesión fn|K∞n=0 converge uniformemente a f |K .

De aquí se desprende que la convergencia uniforme implica la convergenciacasi uniforme y que la convergencia casi uniforme implica la convergencia pun-tual (pues los puntos son compactos). Más tarde veremos ejemplos de que losrecíprocos son falsos en general.

De acuerdo con [An 4.30], la convergencia casi uniforme es precisamente laconvergencia que presentan las series de potencias de una variable, y veremosque lo mismo vale para funciones de varias variables.

Teorema 1.3 Si X es un espacio topológico localmente compacto con una basenumerable e Y es un espacio métrico (completo), entonces la topología de laconvergencia casi uniforme en Y X es (completamente) metrizable.

Demostración: Para cada punto de X seleccionamos un entorno abiertocon clausura compacta. Tales entornos cubren X y la base numerable nos da unsubcubrimiento numerable Un∞n=0 formado por abiertos de clausura compacta.Sustituyendo cada Un por su unión con sus precedentes podemos suponer que lasucesión es creciente, al igual que lo será la sucesión de sus clausuras compactasKn∞n=0. Se trata de una sucesión de compactos cuya unión es X y con lapropiedad de que todo compacto K ⊂ X está contenido en un Kn, pues K estácubierto por los Un, luego está contenido en uno de ellos.

Para cada par de funciones f, g ∈ Y X definimos

ρn(f, g) = supx∈Kn

d(f(x), g(x)) ∈ [0,+∞].


Se comprueba fácilmente que ρn(f, g) ≥ 0, ρn(f, g) = ρn(g, f), así como que

ρn(f, g) ≤ ρn(f, h) + ρn(h, g),

donde hay que entender que +∞+ r = r +∞ =∞+∞ = +∞.

Definimos dn(f, g) = mín1, ρn(f, g). Así dn tiene las mismas propiedadesque ρn, pero además 0 ≤ dn(f, g) ≤ 1. Las aplicaciones dn no son distanciasporque dn(f, g) = 0 sólo implica que f |Kn = g|Kn , pero no necesariamente quef = g. Ahora bien, si definimos

d(f, g) =

∞∑n=0

dn(f, g)

2n+1≤ 1,

es claro que d sí que es una distancia en Y X . Tenemos que probar que inducela topología de la convergencia casi uniforme.

SeaA ⊂ Y X abierto para la métrica y veamos que es abierto para la topologíade la convergencia casi uniforme. Para ello tomamos f0 ∈ A, con lo que existeun n tal que B(f0, 1/2

n) ⊂ A. Basta probar que

V (f0,Kn, 1/2n) ⊂ B(f0, 1/2

n) ⊂ A.

Si f ∈ V (f0,Kn, 1/2n), la definición de dm nos da que dm(f0, f) < 1/2n para

m = 0, . . . , n, luego

d(f0, f) =

n∑m=0

dm(f0, f)

2m+1+

∞∑m=n+1

dm(f0, f)

2m+1<

1

2n

∞∑m=0

1

2m+1+

∞∑m=n+1

1

2m+1=

1

2n.

Recíprocamente, si A es abierto para la topología de la convergencia casiuniforme y f0 ∈ A, existen K y ε > 0 tales que V (f0,K, ε) ⊂ A. Podemostomar n suficientemente grande como para que K ⊂ Kn y 1/n < ε, y bastaprobar que B(f0, 1/2

2n+1) ⊂ V (f0,Kn, 1/n) ⊂ V (f0,K, ε) ⊂ A.

Si d(f, f0) < 1/22n+1, tenemos que dn(f, f0)/2n+1 < 1/22n+1, luego tambiéndn(f, f0) < 1/2n < 1/n, luego f ∈ V (f0,Kn, 1/n).

Supongamos ahora que Y es un espacio métrico completo y sea fn∞n=0 unasucesión de Cauchy respecto de la distancia que hemos definido. Si K ⊂ Xes compacto, para todo n suficientemente grande se cumple que K ⊂ Kn y sip, q ≥ n, entonces dn(fp, fq) ≤ d(fp, fq), de donde se sigue que fn|K∞n=0 esuna sucesión de Cauchy para la convergencia uniforme en K. Por [An 3.54] te-nemos que Y K es un espacio métrico completo con la métrica de la convergenciauniforme, luego existe una función fK : K −→ Y tal que fn|K∞n=0 convergeuniformemente a fK . En particular, para todo x ∈ K, tenemos que fK(x) es ellímite de la sucesión fn(x)∞n=0, luego en realidad tenemos una única funciónf : X −→ Y tal que fK = f |K y el hecho de que fn|K∞n=0 converja unifor-memente a f |K para todo compacto K equivale a que fn∞n=0 converge casiuniformemente a f .


Teorema 1.4 En las condiciones del teorema anterior, el espacio C(X,Y ) delas funciones continuas de X en Y es cerrado en Y X respecto de la topologíade la convergencia casi uniforme, por lo que si Y es completamente metrizable,también lo es C(X,Y ).

Demostración: Sea fn∞n=0 una sucesión en C(X,Y ) que converja casiuniformemente a f ∈ Y X . Para cada x ∈ X, sea K un entorno compacto de xen X. Entonces fn|K∞n=0 converge uniformemente a f |K , luego por [An 3.53]tenemos que f |K es continua en K, luego f es continua en x. Esto prueba quef ∈ C(X,Y ), luego C(X,Y ) es cerrado en Y X .

Conviene observar que, en contra de lo que parece, la topología de la conver-gencia casi uniforme en C(X,Y ) no depende de la métrica de Y , sino únicamentede su topología:

Teorema 1.5 Si X es un espacio de Hausdorff e Y es un espacio métrico, latopología de la convergencia casi uniforme en C(X,Y ) tiene por subbase losconjuntos de la forma

V (K,U) = f ∈ C(X,Y ) | f [K] ⊂ U,

donde K ⊂ X es compacto y U ⊂ Y es abierto.

Demostración: Veamos que los conjuntos V (K,U) son abiertos para latopología de la convergencia casi uniforme. Para ello tomamos g ∈ V (K,U) yllamamos ε = d(g[K], Y \ U) > 0. Claramente,

g ∈ V (g,K, ε) ⊂ V (K,U),

pues si f ∈ V (g,K, ε) y x ∈ K, entonces d(g(x), f(x)) < ε = d(g[K], Y \ U),luego f(x) ∈ U , luego f [K] ⊂ U .

Recíprocamente, veamos que los conjuntos V (f0,K, ε) son abiertos para latopología definida por la subbase dada en el enunciado. Para ello tomamosg ∈ V (f0,K, ε), de modo que

δ0 = supx∈K

d(g(x), f0(x)) < ε.

Sea δ0 + δ1 < ε. Las bolas Bδ1/4(g(x)) con x ∈ K cubren g[K], luego porcompacidad podemos extraer un subcubrimiento finito

g[K] ⊂ Bδ1/4(g(x1)) ∪ · · · ∪Bδ1/4(g(xn)).

Sea Ki = K ∩ g−1[Bδ1/4(g(xi))], de modo que K = K1 ∪ · · · ∪Kn y

g[Ki] ⊂ Bδ1/4(g(xi)) ⊂ Bδ1/2(g(xi)) = Ui.

Basta ver que g ∈⋂i

V (Ki, Ui) ⊂ V (f0,K, ε).


En particular, también es continuo el producto por un escalar, con lo queC(X,K) es un espacio vectorial topológico y, más aún, lo que se denomina unálgebra topológica (un álgebra dotada de una topología con la que la suma y elproducto son funciones continuas), e incluso un álgebra de Fréchet (un álgebratopológica completamente metrizable).

El teorema siguiente muestra que el espacio C∞(R) formado por las funcio-nes f : R −→ R de clase C∞ (o incluso el subespacio de las funciones analíticas,que definiremos más adelante) no es cerrado en C(R) para la topología de la con-vergencia casi uniforme, y ni siquiera lo es para la topología de la convergenciauniforme.

Teorema 1.7 (Weierstrass) Sea 0 < a < 1 y b > 1 un entero impar de modoque ab > 1 + 3π/2. Entonces la función

W (x) =∞∑k=0

ak cos(bkπx)

es continua en R, pero no es derivable en ningún punto.

Demostración: Notemos que

|ak cos(bkπx)| ≤ ak,

y la serie geométrica∞∑k=0

ak es convergente, luego el criterio de mayoración de

Weierstrass implica que la serie converge uniformemente en R a una funcióncontinua.1

En la prueba usaremos algunos hechos elementales:

Si y < x, entonces

cosx− cos y = −∫ x

y

sen t dt ≤∫ x

y

dt = x− y,

cosx− cos y = −∫ x

y

sen t dt ≥ −∫ y

x

dt = −(x− y),

luego| cosx− cos y| ≤ |x− y|,

y esta última desigualdad se sigue cumpliendo si cambiamos x por y, luegoen realidad vale para todo x, y ∈ R. También es claro que si k es un entero,entonces

cos(kπ + x) = (−1)k cosx.

1Y sus sumas parciales son funciones de clase C∞ (e incluso analíticas), por lo que tenemosuna sucesión de funciones de clase C∞ (o analíticas) que converge respecto de la topología dela convergencia uniforme (luego también para la convergencia casi uniforme) a una funciónque no es derivable. Por lo tanto, los subespacios de funciones de clase C∞ (o analíticas) noson cerrados en C(R).


Fijemos x0 ∈ R y sea m un número natural. Sea rm el entero más próximoa bmx0, de modo que

bmx0 −1

2≤ rk ≤ bmx0 +

1

2.

Seaxm =

rm + 1

bm.

Así

x0 =bmx0

bm<bmx0 − 1

2 + 1

bm≤ xm,

xk ≤bkx0 + 1

2 + 1

bk= x0 +

3

2bk.

Por consiguiente:

x0 < xm < x0 +3

2bm,

de donde concluimos que límmxm = x0. Consideramos ahora

W (xm)−W (x0) =∞∑k=0

ak(cos(bkπxm)− cos(bkπx0)) = A+B,

donde

A =m−1∑k=0

ak(cos(bkπxm)− cos(bkπx0)),

B =∞∑k=m

ak(cos(bkπxm)− cos(bkπx0)).

Por una parte tenemos que

|A| ≤m−1∑k=0

ak| cos(bkπxm)− cos(bkπx0)| ≤m−1∑k=0

akbkπ(xm − x0)

≤ π(xm − x0)(ab)m − 1

ab− 1≤ π(ab)m

ab− 1(xm − x0).

Por otra parte

cos(bkπxm) = cos(bkπrm + 1

bm) = cos(bk−m(rm + 1)π).

Para k ≥ m tenemos que bk−m(rm + 1) es entero, luego, teniendo en cuentaque b es impar:

cos(bkπxm) = (−1)bk−m(rm+1) = −(−1)rm .

Además

cos(bkπx0) = cos(bkπrm + bmx0 − rm

bm) = cos(bk−mrmπ + bk−mzmπ),


donde zm = bmx0− rm. De nuevo, si k ≥ m tenemos que bk−mrm es un entero,luego

cos(bkπx0) = (−1)bk−mrm cos(bk−mzmπ) = (−1)rm cos(bk−mzmπ).

Esto nos da la expresión siguiente para B:

B =∞∑k=m

ak(−(−1)rm − (−1)rm cos(bk−mzmπ))

= −(−1)rm∞∑k=m

ak(1 + cos(bk−mzmπ))

Como todos los términos de la serie son no negativos, podemos concluir que

|B| ≥ am(1 + cos(zmπ)).

Más aún, tenemos que |zm| = |bmx0 − rm| ≤ 1/2, luego |zmπ| ≤ π/2, luego elcoseno de la última expresión es no negativo, luego |B| ≥ am.

Ahora usamos que xm − x0 ≤ 3/2bm, luego 2bm(xm − x0)/3 ≤ 1, con lo quepodemos concluir que

|B| ≥ 2ambm

3(xm − x0).

Combinando las desigualdades que hemos obtenido resulta que

|A+B| ≥ |B| − |A| ≥ 2ambm

3(xm − x0)− π(ab)m

ab− 1(xm − x0)

= (ab)m(

2

3− π

ab− 1

)(xm − x0).

Por consiguiente:∣∣∣∣W (xm)−W (x0)

xm − x0

∣∣∣∣ ≥ (ab)m(

2

3− π

ab− 1

).

La hipótesis del teorema garantiza que ab > 1 y que el segundo factor es positivo,luego

límm

∣∣∣∣W (xm)−W (x0)

xm − x0

∣∣∣∣ = +∞,

lo que implica que W no es derivable en x0.

Nota Observemos que si derivamos término a término la serie que define a Wobtenemos la serie

−π∞∑k=0

(ab)k sen(bkπx),


luego si ab < 1 podemos aplicar el teorema de mayoración de Weierstrass paraprobar que la serie converge uniformemente en R, y entonces el teorema [An4.32] implica que, de hecho existe

W ′(x) = −π∞∑k=0

(ab)k sen(bkπx).

Por lo tanto, para que la función de Weierstrass no sea derivable es necesarioque ab ≥ 1. Hardy demostró que esta condición es también suficiente.

La figura muestra la gráfica deW para a = 0.5 y b = 3 en el intervalo [−2, 2],así como una ampliación alrededor de 0:

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

-0.10 -0.05 0.05 0.10

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Por otra parte, también se debe a Weierstrass el teorema que muestra quelas funciones holomorfas sí que son cerradas para la convergencia casi uniforme.Recordemos de [VC 1.10] que si Ω ⊂ Cn es un abierto no vacío, H(Ω) ⊂ C(Ω)denota al espacio de las funciones holomorfas f : Ω −→ C.

Teorema 1.8 (Teorema de Weierstrass) Si Ω ⊂ Cn es un abierto no vacíoy fm∞m=0 es una sucesión en H(Ω) que converge casi uniformemente a unafunción f ∈ CΩ, entonces f ∈ H(Ω), y cada sucesión ∂fm/∂zj∞m=0 convergecasi uniformemente a ∂f/∂zj.

Demostración: Por el teorema 1.4 sabemos que f ∈ C(Ω,C), luego,por [VC 1.40], para probar que f es holomorfa en un punto ζ ∈ Ω basta verque la función f∗j (z) = f(ζ1, . . . , ζj−1, z, ζj+1, . . . , ζn) es holomorfa en un discoD(ζj , ε) ⊂ C. Ahora bien, es fácil ver que las funciones correspondientes (fm)∗jconvergen casi uniformemente a f∗j en dicho disco, luego no perdemos generali-dad si suponemos que n = 1.

Si T es un triángulo tal que T ∗ ⊂ D(ζ, ε), por el teorema de Cauchy [VC 1.34]sabemos que

∫Tfm(z) dz = 0, y la sucesión fm|T∗∞m=0 converge uniforme-

mente a f |T∗ , luego el teorema [VC 1.18] nos da que∫Tf(z) dz = 0, y el teorema

de Morera [VC 1.37] implica entonces que f es holomorfa en el disco D(ζ, ε).


Tomemos ahora a ∈ Ω y sea R > 0 tal que

D(a1, 2R)× · · · ×D(an, 2R) ⊂ Ω.

La fórmula de Cauchy [VC 1.29] nos da que

∂f

∂zj=

1

(2πi)n

∫|ζ1−a1|=2R,...,|ζn−an|=2R

f(ζ1, . . . , ζn)

(ζj − zj)2dζ1 · · · dζn,

∂fm∂zj

=1

(2πi)n

∫|ζ1−a1|=2R,...,|ζn−an|=2R

fm(ζ1, . . . , ζn)

(ζj − zj)2dζ1 · · · dζn.

La sucesión dada converge uniformemente en el compacto

K = ∂D(a1, 2R)× · · · × ∂D(an, 2R),

luego, dado ε > 0, existe un n0 tal que si n ≥ n0, entonces

|f(ζ)− fm(ζ)| < ε

2n+1Rn−2

para todos los puntos de K. Por otro lado, para todo punto ζ ∈ K y todoz ∈ D(a1, R)× · · · ×D(an, R), se cumple que |ζj − zj | ≥ R, luego∣∣∣∣∂fm∂zj − ∂f

∂zj

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ 1

(2πi)n

∫|ζ1−a1|=2R,...,|ζn−an|=2R

fm(ζ)− f(ζ)

(ζj − zj)2dζ1 · · · dζn

∣∣∣∣∣≤ 1

(2π)n(4πR)n

ε

2n+1Rn=ε

2< ε.

Esto prueba que ∂zjfm∞m=0 converge uniformemente a ∂zjf en el abiertoD(a1, R)×· · ·×D(an, R). Como todo compacto en Ω puede cubrirse por un nú-mero finito de estos abiertos, concluimos que la sucesión de derivadas convergecasi uniformemente en Ω.

1.2 Series de potencias

Estudiamos ahora las series de potencias de varias variables. Conviene pre-sentar los conceptos básicos en un contexto algebraico general, de manera quepodamos considerar a las series de potencias como objetos algebraicos en símismos, como generalización del concepto de polinomio.

Anillos de series formales de potencias Si A es un dominio íntegro, yA[X1, . . . , Xn] es el anillo de polinomios con n indeterminadas y coeficientes enA, para cada multi-índice α de longitud n representaremos

Xα = Xα11 · · ·Xαn

n ,

1.2. Series de potencias 13

que es un monomio puro (es decir, con coeficiente 1) de grado |α|. Claramente,se cumple que XαXβ = Xα+β , donde la suma de multi-índices se define com-ponente a componente.

Todo polinomio F ∈ A[X1, . . . , Xn] se expresa de forma única como

F =∑αaαX

α,

donde α recorre todos los multi-índices de longitud n y los coeficientes aα ∈ Ason todos nulos salvo a lo sumo una cantidad finita de ellos. Si

G =∑αbαX

α

es otro polinomio, la suma y el producto se expresan en la forma

F +G =∑α

(aα + bα)Xα, FG =∑γ

( ∑α+β=γ

aαbβ)Xγ .

Definición 1.9 Si A es un dominio íntegro, llamaremos anillo de las seriesformales de potencias con n indeterminadas X1, . . . , Xn sobre A al conjuntoA[[X1, . . . , Xn]] formado por todas las aplicaciones a : Nn −→ A. En la práctica,expresaremos a en la forma

∑αaαX

α o, más explícitamente,

∞∑α1,...,αn=1

aα1,...,αnXα1 · · ·Xαn ,

pero hay que entender que este sumatorio es meramente formal, es decir, que,en principio, no hay realmente ninguna suma infinita, sino que una serie formalde potencias no es más que una asignación de un elemento aα ∈ A a cadamulti-índice α.

Es fácil ver que A[[X1, . . . , Xn]] adquiere estructura de anillo conmutativo yunitario con las operaciones dadas por∑

αaαX

α +∑αbαX

α =∑α

(aα + bα)Xα,

(∑αaαX

α)(∑

β

bβXα)

=∑γ

( ∑α+β=γ

aαbβ)Xγ .

Además, si identificamos cada polinomio de F ∈ A[X1, . . . , Xn] con la serieformal determinada por los coeficientes de sus monomios, es inmediato queA[X1, . . . , Xn] es un subanillo de A[[X1, . . . , Xn]].

Una forma es, o bien el polinomio nulo, o bien un polinomio no nulo cuyosmonomios tienen todos grado m, y en tal caso se dice que es una forma degrado m.

Si F ∈ A[[X1, . . . , Xn]] y m ∈ N, definimos

Fm =∑|α|=m

aαXα ∈ A[X1, . . . , Xn],


de modo que Fm es una forma de grado m o la forma nula, y F está completa-mente determinado por las formas Fm. Recíprocamente, toda sucesión Fm∞m=0

donde Fm ∈ A[X1, . . . , Xn] es una forma de grado m o la forma nula determinauna única serie formal de potencias cuyas formas asociadas son las de la sucesión,y que podemos representar por

F =∑mFm,

donde, nuevamente, la suma es, en principio, una mera notación. Ahora, bien,con esta notación se cumple:

F +G =∑m

(Fm +Gm), FG =∑k

( ∑m1+m2=k

Fm1Gm2

),

donde ahora las operaciones entre formas son las del anillo A[X1, . . . , Xn].

En particular, si F y G son dos series formales de potencias no nulas, laforma no nula de menor grado de FG es el producto de las formas no nulas demenor grado de F y de G, lo que implica que A[[X1, . . . , Xn]] es un dominioíntegro.

Más aún, es claro que podemos identificar a A[[X1, . . . , Xn−1]] con un subani-llo de A[[X1, . . . , Xn]], y es fácil definir un isomorfismo natural

A[[X1, . . . , Xn]] ∼= A[[X1, . . . , Xn−1]][[Xn]].

Finalmente determinamos las unidades de los anillos de series formales depotencias:

Teorema 1.10 Una serie formal de potencias F ∈ A[[X1, . . . , Xn]] es una uni-dad si y sólo si su término independiente F0 es una unidad en A.

Demostración: Si F es una unidad existe una serie G tal que FG = 1.De aquí se sigue que F0G0 = 1, luego F0 es una unidad en A. Recíprocamente,si F0 es una unidad podemos definir recursivamente formas G0, G1, . . . de modoque

F0G0 = 1, F1G0 + F0G1 = 0, F2G0 + F1G1 + F0G2 = 0, . . .

Es claro que cada Gm es una forma de grado m o la forma nula y que laserie G determinada por estas formas cumple FG = 1.

Convergencia de series de potencias En lo sucesivo K representará in-distintamente al cuerpo R de los números reales o al cuerpo C de los númeroscomplejos.

Definición 1.11 Diremos que una serie formal de potencias

F =∑αaαX

α ∈ K[[X1, . . . , Xn]]

1.2. Series de potencias 15

converge absolutamente en un punto x ∈ Kn si la serie∑αaαx

α

es absolutamente convergente en el sentido definido tras [An 2.90], es decir, sies absolutamente convergente con cualquier enumeración de sus términos.

El dominio de convergencia de F es la unión Ω ⊂ Kn de todos los entornosabiertos de 0 donde la serie converge absolutamente. Entonces F define unafunción F : Ω −→ K dada por

F (x) =∑αaαx

α.

Notemos que esta serie siempre converge para x = 0, pero si sólo convergeen este caso, entonces, por definición, Ω = ∅, pues no hay ningún entorno de 0donde la serie converja.

En el caso de series de una variable, el teorema [An 4.30] muestra que sudominio de convergencia en el sentido que acabamos de introducir coincide consu disco de convergencia definido allí, que es una bola abierta de centro 0 obien todo K. La forma geométrica del dominio de convergencia de una serie depotencias de varias variables es en general más complicada.

Ejemplo El dominio de convergencia de la serie∞∑k=0

xk1xk2 es

Ω = (x, y) ∈ R2 | |xy| < 1.

En efecto, basta tener en cuenta que el dominio de convergencia de la serie

geométrica∞∑k=0

xk es ]−1, 1[.

Observemos que se trata de la región limitada por las cuatro ramas de lasdos hipérbolas xy = ±1, que es un subconjunto no acotado de R2, pero no estodo R2.

Para estudiar el dominio de convergencia de una serie de potencias convieneintroducir el concepto de polidisco:

Definición 1.12 Si x ∈ Kn y r es una n-tupla de números reales positivos,definimos el polidisco de centro x y polirradio r como

D(x, r) = D(x; r1, . . . , rn) = Br1(x1)× · · · ×Brn(xn).

Teorema 1.13 Sea F ∈ K[[X1, . . . , Xn]] una serie formal de potencias cuyodominio de convergencia Ω sea no vacío. Entonces:

1. Ω es conexo, y si a ∈ Ω, entonces existe un r ∈ Rn tal que a ∈ D(0, r) ⊂ Ω.

2. F converge casi uniformemente a una función f : Ω −→ K.


Demostración: Sea F =∑αaαX

α. Como Ω es abierto, si a ∈ Ω es claro

que existe un b ∈ Ω tal que |aj | < |bj | = rj para j = 1, . . . , n.

Por definición de dominio de convergencia, la serie∑α|aα||x1|α1 · · · |xn|αn

es convergente, para todo x en un entorno de b. Más aún, por el criterio demayoración de Weierstrass, la serie converge absoluta y uniformemente en elpolidisco D(0; |b1|, . . . , |bn|), luego éste está contenido en Ω.

Esto implica que Ω es conexo, pues puede expresarse como unión de polidis-cos de centro 0 (obviamente conexos), luego todos los puntos de Ω están en lacomponente conexa del 0.

Si K ⊂ Ω es compacto, podemos cubrirlo con un número finito de polidiscossobre los que F converge uniformemente, lo cual implica que también convergeuniformemente en K. Por consiguiente, F converge casi uniformemente en Ω.

Al combinar el teorema anterior para K = C con el teorema de Weier-strass obtenemos que las series de potencias con coeficientes complejos definenfunciones holomorfas y que pueden derivarse término a término, es decir, que

∂f

∂zj=∑α

αjaαzα11 · · · z

αj−1j · · · zαnn ,

donde hay que entender que la suma recorre sólo los multi-índices con αj 6= 0,pues los términos con αj = 0 tienen derivada nula. En particular, el teoremade Weierstrass asegura que esta serie converge en Ω. Repitiendo el argumentoobtenemos el resultado general siguiente sobre derivación de series de potencias:

Teorema 1.14 Si f(z) =∑αaαz

α es la función definida por una serie formal

de potencias de C[[Z1, . . . , Zn]] en su dominio de convergencia Ω, entonces f esholomorfa en Ω y, para todo z ∈ Ω, se cumple que

Dβf(z) =∑α≥β

α!

(α− β)!aαz

α−β ,

donde la suma recorre ahora los multi-índices α tales que αj ≥ βj para todoíndice j. Esto implica en particular la convergencia en Ω de la serie que definela derivada. Además, necesariamente

aα =Dαf(0)

α!.

(La última afirmación del teorema se sigue inmediatamente de evaluar enz = 0 la expresión para la derivada, lo que nos da que DβF (0) = β! aβ .)

Ahora observamos que toda serie formal F ∈ R[[X1, . . . , Xn]] puede con-siderarse también como serie formal en C[[X1, . . . , Xn]], y su dominio de con-vergencia como serie real está contenido en su dominio de convergencia como

1.3. Series de Taylor 17

serie compleja (pues si converge absolutamente en un entorno de un punto a,entonces converge absolutamente en un polidisco en Cn que contiene a a). Ade-más, las derivadas parciales de la suma f calculadas sobre puntos de Rn son—por definición— las mismas en el sentido real que en el sentido complejo, luegopodemos aplicar el teorema anterior para concluir:

Teorema 1.15 Si f(x) =∑αaαx

α es la función definida por una serie formal

de potencias de R[X1, . . . , Xn] en su dominio de convergencia Ω, entonces f esde clase C∞ en Ω y, para todo x ∈ Ω, se cumple que

Dβf(x) =∑α≥β

α!

(α− β)!aαx

α−β ,

donde la suma recorre ahora los multi-índices α tales que αj ≥ βj para todoíndice j. Esto implica en particular la convergencia en Ω de la serie que definela derivada. Además, necesariamente

aα =Dαf(0)

α!.

1.3 Series de TaylorPor comodidad, hasta aquí hemos considerado únicamente series de poten-

cias centradas en 0, pero si F =∑αaαZ

α ∈ K[[X1, . . . , Xn]] es una serie formal

convergente en un dominio Ω 6= ∅, donde define una función f , podemos con-siderar el abierto Ωa = x ∈ Kn | x − a ∈ Ω, y así F define la funciónfa : Ωa −→ K dada por fa(x) = f(x− a), que es también la suma de la serie

fa(x) =∑αaα(x− a)α,

donde la convergencia se entiende en el mismo sentido que cuando a = 0, esdecir, como la convergencia absoluta de la serie que resulta de fijar cualquierenumeración de los multi-índices. (Y es inmediato comprobar que la convergen-cia es casi-uniforme en Ωa.)

Definición 1.16 Si Ω ⊂ Kn es un abierto, f : Ω −→ K es una función declase C∞ (o bien holomorfa si K = C) y a ∈ Ω, definimos su serie de Tayloralrededor de a como la serie funcional∑

α

Dαf(a)

α!(x− a)α,

donde las derivadas hay que entenderlas en sentido real o complejo según si Kes R o C.

Los dos últimos teoremas de la sección precedente afirman que si

F =∑αaαX

α ∈ K[[X1, . . . , Xn]]


es una serie de potencias con dominio de convergencia no vacío Ω, la serie deTaylor en 0 de la función f : Ω −→ K dada por

f(x) =∑αaαx

α

es la propia serie que define a f . Más en general, para cualquier a ∈ Kn, la seriede Taylor de la función fa : Ωa −→ K dada por

fa(x) =∑αaα(x− a)α,

es la propia serie que la define, pues, por la regla de la cadena,

aα =Dαf(0)

α!=Dαfa(a)

α!.

Definición 1.17 Si Ω ⊂ Kn es un abierto, f : Ω −→ K es una función declase C∞ (o bien holomorfa si K = C), diremos que f es analítica en un puntoa ∈ Ω si su serie de Taylor alrededor de a converge a f en un entorno de a. Sedice que f es analítica en Ω si lo es en todos los puntos de Ω.

Ya hemos visto que existen funciones de clase C∞ que no son analíticas. Sinembargo, ahora vamos a probar que esto no sucede con las funciones holomorfas.Para ello conviene dar una definición adicional:

Un dominio de Reinhardt es un abierto conexo Ω ⊂ Cn tal que si z ∈ Ω yw ∈ Cn cumple que |wj | = |zj | para todo j, entonces w ∈ Ω. Se dice que Ω escompleto si además, para todo z ∈ Ω, se cumple que D(0; |z1|, . . . , |zn|) ⊂ Ω.

Claramente los polidiscos son dominios de Reinhardt completos. El teo-rema 1.13 prueba que los dominios de convergencia de las series de potenciasson dominios de Reinhardt completos.

Ejercicio: Probar que los dominios de Reinhardt en C son los discos D(0, r), losanillos A(0, r, R) = z ∈ C | r < |z| < R y el propio C, de los cuales son completoslos discos y C.

Teorema 1.18 Sea Ω ⊂ Cn un dominio de Reinhardt completo, sea a ∈ Cn ysea Ωa = z ∈ C | z − a ∈ Ω. Si f es una función holomorfa en Ωa, entonces,para todo z ∈ Ωa se cumple que

f(z) =∑α

Dαf(a)

α!(z − a)α,

y la serie converge casi uniformemente en Ωa.

Demostración: Llamamos g : Ω −→ C a la función holomorfa dada porg(z) = f(z + a). Claramente Dαg(0) = Dαf(a), y que f admita el desarrollodel enunciado equivale a que g admita el desarrollo

g(z) =∑α

Dαg(0)

α!zα.


Equivalentemente, no perdemos generalidad si suponemos que a = 0.

Dado z ∈ Ω, como es abierto, podemos tomar w ∈ Ω tal que |zj | < |wj |,para todo índice j y, tomando |zj | < rj < |wj |, tenemos que

z ∈ D(0, r) ⊂ D(0, r) ⊂ D(0; |w1|, . . . , |wn|) ⊂ Ω.

Basta probar que la serie de Taylor de f alrededor de 0 converge en elpolidisco D = D(0, r). Por la fórmula de Cauchy [VC 1.29] sabemos que, paratodo z ∈ D,

f(z) =1

(2πi)n

∫∂∗D

f(ζ)

(ζ1 − z1) · · · (ζn − zn)dζ1 · · · dζn.

Ahora usamos la convergencia (absoluta) de la serie geométrica:

1

ζj − zj=

∞∑αj=0

zαjj

ζαj+1j

,

para |zj | < |ζj | = rj . Por [An 2.92] tenemos que

1

(ζ1 − z1) · · · (ζn − zn)=∑α

zα

ζα1+11 · · · ζαn+1

n

,

para todo ζ ∈ ∂∗D y todo z ∈ D. Por lo tanto

f(z) =1

(2πi)n

∫∂∗D

∑α

f(ζ) zα

ζα1+11 · · · ζαn+1

n

dζ1 · · · dζn.

Ahora bien, si M es una cota de f en ∂∗D, tenemos que∣∣∣∣ f(ζ) zα

ζα1+11 · · · ζαn+1

n

∣∣∣∣ ≤ M |z|α

rα1+11 · · · rαn+1

n

y ∑α

M |z|α

rα1+11 · · · rαn+1

n

=M

(r1 − |z1|) · · · (rn − |zn|),

luego el teorema de mayoración de Weierstrass nos da que la serie∑α

f(ζ) zα

ζα1+11 · · · ζαn+1

n

converge uniformemente en ∂∗D. Por [VC 1.18] podemos intercambiar la sumacon la integral:∫

∂∗D

∑α

f(ζ) zα

ζα1+11 · · · ζαn+1

n

dζ1 · · · dζn =∑α

∫∂∗D

f(ζ) zα

ζα1+11 · · · ζαn+1

n

dζ1 · · · dζn.


En definitiva:

f(z) =1

(2πi)n

∑α

(∫∂∗D

f(ζ)

ζα1+11 · · · ζαn+1

n

dζ1 · · · dζn)zα.

Por las fórmulas de Cauchy esto es equivalente a la fórmula del enunciado.

El teorema 1.14 implica que el único desarrollo en serie que admite unafunción holomorfa es el que estamos considerando.

Como consecuencia:

Teorema 1.19 Si Ω ⊂ Cn es un abierto no vacío, las funciones analíticas en Ωcoinciden con las funciones holomorfas en Ω.

Demostración: Si f : Ω −→ C es holomorfa en Ω, para cada a ∈ Ωpodemos tomar un polidiscoD(a, r) ⊂ Ω, con lo que el teorema anterior aplicadoa D(0, r) (que es un dominio de Reinhardt completo) nos da que la serie deTaylor de f alrededor de a converge a f en D(a, r), luego f es analítica en a.

Recíprocamente, si f es analítica en Ω y a ∈ Ω, tenemos que f coincide consu serie de Taylor en un entorno de a, y ésta define una función holomorfa ensu dominio de convergencia, luego f es holomorfa en a.

Ahora probamos una relación fundamental entre las funciones analíticasreales y las complejas:

Teorema 1.20 Si Ω ⊂ Rn es abierto y f : Ω −→ R, entonces f es analítica ena ∈ Ω si y sólo si existe un abierto Ω∗ ⊂ Cn tal que a ∈ Ω0 = Ω∗ ∩ Rn ⊂ Ω yexiste una función holomorfa f∗ : Ω∗ −→ C tal que f∗|Ω0 = f |Ω0 . En tal casola serie de Taylor de f alrededor de a es la misma que la de f∗.

Demostración: Si f es analítica en a, su serie de Taylor alrededor de aconverge a f en un entorno de a. Pero podemos ver a dicha serie con coeficientesreales como una serie de potencias con coeficientes complejos, y su dominio deconvergencia como tal, digamos Ω1, contiene al dominio de convergencia real.Si Ω2 es un abierto en Cn tal que Ω2 ∩Rn = Ω, entonces Ω∗ = Ω1 ∩Ω2 cumpleque Ω0 = Ω∗ ∩ Rn ⊂ Ω y la serie de Taylor de f define una función holomorfaen Ω∗ que extiende a f .

Recíprocamente, si f∗ : Ω∗ −→ C es una función holomorfa que extiendea f , entonces sus derivadas parciales en a en sentido complejo coinciden con susderivadas parciales en a en sentido real (lo que en particular implica que existeny que f es de clase C∞ en a), por lo que la serie de Taylor de f∗ alrededor de aes también la serie de Taylor de f alrededor de a y en particular converge a fen Ω0, luego f es analítica en a.

Ejemplo Las funciones ak cos(bkπx) que aparecen en la función de Weierstrassconstruida en el teorema 1.7 son analíticas, pues se extienden a las funcionesak cos(bkπz), que son holomorfas en C.

El teorema anterior deducir muchas propiedades de las funciones analíticasreales a partir de las propiedades análogas de las funciones analíticas complejas.Por ejemplo:


Teorema 1.21 Sea F =∑αaαX

α ∈ K[[X1, . . . , Xn]] una serie formal de po-

tencias con dominio de convergencia Ω 6= ∅, sea a ∈ Kn, sea

Ωa = x ∈ Kn | x− a ∈ Ω

y sea fa : Ωa −→ K la función dada por

fa(x) =∑αaα(x− a)α.

Entonces fa es analítica en Ωa.

Demostración: En el caso complejo el teorema es trivial, pues las seriesde potencias definen funciones holomorfas, luego analíticas. Sin embargo, en elcaso real la definición de función analítica sólo nos garantiza que fa es analíticaen a, pero por el teorema anterior es de hecho analítica en todos los puntosde Ωa, ya que la serie de Taylor define una función holomorfa en un abierto Ω∗

que contiene a Ωa, la cual extiende trivialmente a fa.

Definición 1.22 Si Ω ⊂ Kn es un abierto no vacío, llamaremos A(Ω) al con-junto de las funciones analíticas en Ω. (De manera que si K = C entoncesA(Ω) = H(Ω)).

Teorema 1.23 Si Ω ⊂ Kn es un abierto no vacío, entonces A(Ω) es un álgebracon la suma y el producto definidos puntualmente. Además, si f ∈ A(Ω) no seanula en ningún punto, entonces 1/f ∈ A(Ω).

Demostración: En el caso K = C el teorema se sigue de las propiedadesholomorfas. En el caso real, si f, g ∈ A(Ω), para cada a ∈ Ω existen extensionesholomorfas f∗ y g∗ de f y g a un entorno de a, con lo que f∗ + g∗ y f∗g∗ sonextensiones holomorfas de f + g y fg a dicho entorno, luego f + g y fg sonanalíticas en a.

Si f no se anula en ningún punto de Ω, para cada a ∈ Ω tenemos que f∗no se anula en a, luego por continuidad tampoco en un entorno, luego 1/f∗ esholomorfa en un entorno de a y extiende a 1/f , luego 1/f es analítica en a.

Nota Es importante destacar una diferencia entre la convergencia de las seriesde Taylor de las funciones analíticas reales y complejas. En el caso complejo, elteorema 1.18 afirma que la serie de Taylor de una función analítica compleja al-rededor de un punto converge en la mayor región contenida en su dominio dondepuede converger (es decir, que sea un trasladado de un dominio de Reinhardtcompleto). Por ejemplo, en el caso de una variable afirma que la serie de Taylorde una función analítica en un abierto Ω ⊂ C alrededor de un punto a ∈ Ωconverge en la mayor bola abierta de centro a contenida en Ω (o en todo C sies que Ω = C).

Cabría pensar si lo mismo es cierto para funciones analíticas reales, es decir,si, por ejemplo, en el caso de funciones de una variable, la serie de Taylor


alrededor de a de una función analítica en un intervalo ]a− r, a+ r[ convergeen dicho intervalo. Sin embargo, la respuesta es negativa, como se sigue deconsiderar, por ejemplo, la función f : R −→ R dada por

f(x) =1

x2 + 1.

El teorema 1.20 implica que f es analítica en R, ya que se extiende a lafunción holomorfa definida por la misma fórmula. Si se cumpliera el análogoa 1.18, su serie de Taylor alrededor de 0 convergería en R, pero no es así. Lafórmula para la serie geométrica de razón ix nos da inmediatamente que eldesarrollo es

f(x) =∞∑m=0

(−1)mx2m,

pero sólo converge en el intervalo ]−1, 1[ (o en el disco D(0, 1) ⊂ C). La “expli-cación” estriba en que la extensión

1

z2 + 1=

1

(z − i)(z + i)

sólo es holomorfa en C \ ±i, por lo que el teorema 1.18 sólo garantiza laconvergencia en D(0, 1) y claramente es imposible que converja en un discoabierto mayor, luego la serie real no puede converger en un intervalo abiertomayor que ]−1, 1[.

Así pues, el dominio de convergencia de una función analítica real no estádeterminado por su dominio, sino por el dominio de sus posibles extensionesholomorfas.

Espacios de gérmenes Lo que vamos a probar en este apartado es, en esen-cia, que la aplicación que a cada serie formal de potencias convergente le asignala función analítica que define es un isomorfismo de álgebras, pero para formulareste resultado con precisión hay que tener en cuenta que series distintas pue-den tener dominios de convergencia distintos, lo que nos obliga a introducir losgérmenes de funciones analíticas:

Definición 1.24 Si a ∈ Kn, llamaremos Aa(Kn) al conjunto de todas las fun-ciones analíticas definidas en un entorno abierto de a. En este conjunto podemosestablecer la relación de equivalencia que relaciona dos funciones si coincidenen un entorno de a. Llamamos Ga(Kn) al conjunto cociente, cuyos elementosreciben el nombre de gérmenes de funciones analíticas alrededor de a. Es claroque Ga(Kn) tiene estructura de álgebra con las operaciones dadas por

[f ] + [g] = [f + g], [f ][g] = [fg].

Teorema 1.25 El conjunto KX1, . . . , Xn de las series formales de potenciasque convergen en un entorno de 0 es un subanillo de K[[X1, . . . , Xn]] y, paratodo a ∈ Kn, la aplicación

KX1, . . . , Xn −→ Ga(Kn)


que a cada serie formal F =∑αaαX

α le hace corresponder el germen de la

funciónFa(z) =

∑αaα(x− a)α

es un isomorfismo de álgebras. Las unidades de KX1, . . . , Xn son las seriesformales con término independiente no nulo.

Demostración: Si F ∈ KX1, . . . , Xn, tenemos que su dominio de con-vergencia Ω no es vacío, lo que equivale a que tampoco lo sea su dominio deconvergencia alrededor de a, es decir, Ωa = x ∈ Kn | x− a ∈ Ω. Por lo tantola función Fa define un germen de funciones analíticas. Además los coeficientesde F son los de la serie de Taylor de Fa alrededor de a, lo que prueba que laaplicación del enunciado es inyectiva (notemos que todas las funciones de unmismo germen tienen la misma serie de Taylor en a). El hecho de que todafunción analítica en un entorno de a admita un desarrollo en serie de Tayloralrededor de a implica que también es suprayectiva.

Sean ahora F,G ∈ KX1, . . . , Xn, digamos

F =∑αaαX

α, G =∑αbαX

α.

Entonces, para todo x ∈ ΩFa ∩ ΩGa , tenemos que

Fa(x) +Ga(x) =∑α

(aα + bα)(x− a)α,

lo cual significa que Fa +Ga = (F +G)a, luego [Fa] + [Ga] = [(F +G)a].

La comprobación para el producto es ligeramente más delicada, por la defi-nición que hemos dado de producto de series formales de potencias. Tenemosque

FG =∑γ

(∑

α+β=γ

aαbβ)Xγ ,

luego hay que probar que la serie∑γ

(∑

α+β=γ

aαbβ)(x− a)γ

converge (absolutamente) a Fa(x)Ga(x). Por [An 2.91] basta ver que la serie∑α,β

aαbβ(x− a)α+β

converge (absolutamente) a Fa(x)Ga(x). Ahora bien, si fijamos una enumera-ción de los multi-índices, las series

∞∑n=0

aαn(x− a)αn ,∞∑n=0

bαn(x− a)αn


convergen respectivamente a Fa(x) y Ga(x), luego por [An 8.89] tenemos que

∞∑n=0

n∑k=0

aαkbαn−k(x− a)αk+αn−k

converge absolutamente a Fa(x)Ga(x). Por otra parte, aplicando [An 8.89] alas series

∞∑n=0|aαn ||x− a|αn ,

∞∑n=0|bαn ||x− a|αn ,

tenemos la convergencia de

∞∑n=0

n∑k=0

|aαk ||bαn−k ||x− a|αk+αn−k ,

lo que nos permite aplicar [An 2.91] para concluir que∑α,β

aαbβ(x− a)α+β tam-bién converge a Fa(x)Ga(x).

Así pues, FaGa = (FG)a y [Fa][Ga] = [(FG)a].

Por último, las unidades de KX1, . . . , Xn se corresponden con las unidadesde Ga(Kn), que claramente son los gérmenes de las funciones que no se anulanen a, luego sus series de Taylor son las series con término independiente no nulo.

1.4 El principio de prolongación analítica

Veamos ahora una propiedad notable de las funciones analíticas:

Teorema 1.26 (Principio de prolongación analítica) Si Ω ⊂ Kn es unabierto conexo y f, g ∈ A(Ω), las afirmaciones siguientes son equivalentes:

1. f = g.

2. Existe un abierto no vacío U ⊂ Ω donde f |U = g|U .

3. Existe un punto a ∈ Ω en el que, para todo multi-índice α, se cumple queDαf(a) = Dαg(a).

Demostración: La única implicación que no es inmediata es 3)⇒ 1). Paraprobarla consideramos el conjunto

A =⋂αa ∈ Ω | Dαf(a) = Dαg(a),

que claramente es cerrado, por la continuidad de las derivadas. La hipótesis 3)afirma que no es vacío, luego si probamos que es abierto tendremos que A = Ω loque en particular (teniendo en cuenta que Dαf = f cuando α es el multi-índicenulo) implica que f = g.

1.4. El principio de prolongación analítica 25

Ahora bien, si a ∈ A, resulta que f y g tienen el mismo desarrollo en serie deTaylor alrededor de a, el cual converge a las funciones respectivas en entorno Ude a, luego f |U = g|U , de donde a ∈ U ⊂ A, luego A es abierto.

Así pues, basta con que dos funciones analíticas coincidan en un abierto, porpequeño que sea, para que deban coincidir en todo su dominio (si es conexo,o en las componentes conexas que corten al abierto, en caso contrario). Estapropiedad no se cumple en general para funciones de clase C∞, pues una funciónde clase C∞ puede anularse en un abierto sin ser idénticamente nula.

Observaciones Una consecuencia elemental es que si Ω ⊂ Kn es un abiertoconexo no vacío, entonces A(Ω) es un dominio íntegro. En efecto, si f, g ∈ A(Ω)son dos funciones no idénticamente nulas, el teorema anterior implica que losconjuntos donde se anulan son cerrados de interior vacío, luego los conjuntosdonde no se anulan son abiertos densos, luego tienen intersección no nula, luegoel producto fg no es idénticamente nulo.

Otra consecuencia es que si Ω ⊂ Kn es un abierto no vacío, podemos consi-derar que K[X1, . . . , Xn] ⊂ A(Ω), identificando cada polinomio con la funciónque define en Ω, pues si dos polinomios definen la misma función, entonces soniguales.

Para funciones de una variable el principio de prolongación analítica admiteuna versión más fina. Si pensamos en las funciones analíticas como “polinomiosde grado infinito”, en el caso de una variable tenemos que dos polinomios quecoincidan en infinitos puntos son iguales. Esto no es cierto para funciones ana-líticas, pues, por ejemplo, la función seno coincide en infinitos puntos con lafunción nula y no es nula. Sin embargo, lo que dice el teorema siguiente es queel conjunto de puntos donde coinciden dos funciones analíticas de una variable,aunque puede ser infinito, tiene que ser discreto, es decir, no puede tener puntosde acumulación:

Teorema 1.27 (Principio de prolongación analítica) Si Ω ⊂ K es abiertoconexo y f, g ∈ A(Ω), las afirmaciones siguientes son equivalentes:

1. f = g.

2. El conjunto x ∈ Ω | f(x) = g(x) tiene un punto de acumulación en Ω.

3. Existe un a ∈ Ω en el que, para todo n ≥ 0, se cumple que fn)(a) = gn)(a).

Demostración: 3)⇒ 1) es la versión precedente. Sólo hay que probar que2) ⇒ 3). Sea a ∈ Ω un punto de acumulación del conjunto indicado. Por lacontinuidad de f y g es claro que f(a) = g(a). Llamamos h = f − g ∈ A(Ω), demodo que h(a) = 0 y todo entorno de a contiene puntos distintos de a donde hse anula. Basta probar que todas las derivadas de h son nulas.

Sea U ⊂ Ω un entorno de a donde converja el desarrollo en serie de Taylor

h(x) =

∞∑n=0

hn)(a)

n!(x− a)n.


Si existe un n (necesariamente n > 0) tal que hn)(a) 6= 0, sea p el mínimoposible. Así

h(z) =∑n≥p

fn)(a)

n!(x− a)n = (x− a)p

∑n≥p

fn)(a)

n!(x− a)n−p.

La función

H(x) =∑n≥p

hn)(a)

n!(x− a)n−p

es analítica en U y cumple H(a) = hp)(a)/p! 6= 0. Como es continua, podemosconcluir que h no se anula en un entorno U de a. Como h(x) = (x− a)pH(x),resulta que H(x) 6= 0 en U \ a, lo cual contradice la elección de a.

Capítulo II

Funciones harmónicas

En el capítulo anterior hemos probado que las funciones analíticas complejascoinciden con las funciones holomorfas con imagen en C, y esto hace que pre-senten unas propiedades mucho más potentes sin equivalente en las funcionesanalíticas reales. Por ejemplo, en el caso complejo, el espacio A(Ω) es cerradoen C(Ω) para la topología de la convergencia uniforme, cosa que no es cierta enel caso real, ni siquiera con la convergencia uniforme. De hecho, la mayor partede las propiedades de las funciones analíticas reales son un reflejo —a menudodébil— de propiedades análogas de las funciones analíticas complejas, basadoen el hecho de que toda función analítica real se extiende localmente —a travésde su serie de Taylor— a una función analítica compleja.

En este capítulo vamos a estudiar una clase más restrictiva de funciones devariable real que resultan ser mucho más similares a las funciones holomorfas quelas funciones analíticas reales. Nos referimos a las funciones harmónicas, que yahemos considerado alguna vez en [An] y en [GD], y que tienen aplicaciones encampos muy diversos. Por ejemplo, [GD 6.9] muestra que el potencial gravita-torio en una zona del espacio sin masas es una función harmónica, al igual queel potencial eléctrico en una zona del espacio sin cargas bajo las hipótesis de laelectrostática. Más adelante veremos que también están estrechamente relacio-nadas con el análisis de Fourier y su generalización a dimensiones superiores.

Recordemos de [An 7.11] la definición de función harmónica:

Definición 2.1 Si Ω ⊂ Rn es un abierto no vacío, una función f : Ω −→ R esharmónica si es de clase C2 y cumple la ecuación de Laplace:

∆f =∂2f

∂x1+ · · ·+ ∂2f

∂xn= 0.

Llamaremos H(Ω) al conjunto de todas las funciones harmónicas en Ω.

Como el laplaciano ∆ es un operador lineal, es inmediato que H(Ω) es unespacio vectorial sobre R. Sin embargo, al contrario de lo que sucede con las fun-ciones holomorfas, no es un álgebra, pues el producto de funciones harmónicas

27

28 Capítulo 2. Funciones harmónicas

no es necesariamente harmónico. Basta pensar en f(x) = x1, que es harmónica,pero ∆f2 = 2, luego f2 no lo es.

En particular, al contrario de lo que sucede con las funciones holomorfas,no todos los polinomios definen funciones harmónicas. Por ejemplo, la funciónf(x, y) = x2 + y2 no es un polinomio harmónico, mientras que g(x, y) = x2− y2

sí que lo es.

Como primeros ejemplos no triviales de funciones harmónicas recordamos elteorema [An 7.12], que determina todas las funciones harmónicas con simetríaesférica:

Teorema 2.2 Las únicas funciones harmónicas en Rn \0 de la forma g(‖x‖)son las de la forma

f(x) =

A

‖x‖n−2+B si n > 2,

A log ‖x‖+B si n = 2.

Otra propiedad elemental de las funciones harmónicas es la siguiente:

Teorema 2.3 Si h : Rn −→ Rn es una semejanza y f : Ω −→ R es unafunción harmónica, donde Ω ⊂ Rn es abierto, entonces g = hf : h−1[Ω] −→ Res harmónica.

Demostración: De acuerdo con [G 7.18], toda semejanza es composiciónde una isometría y una homotecia, luego basta probar el teorema cuando h esde uno de estos dos tipos.

Si h es una isometría, entonces h(x) = a + xA, donde A es una matrizortogonal. Basta aplicar la regla de la cadena:

Dig(x) =n∑j=1

Djf(a+ xA)aij , Diig(x) =n∑

j,k=1

Djkf(a+ xA)aijaik,

luego

∆g(x) =n∑

j,k=1

Djkf(a+ xA)n∑i=1

aijaik,

pero, como AtA = I, el último sumatorio es δjk, luego

∆g(x) =n∑j=1

Djjf(a+ xA) = ∆f(h(x)).

Por lo tanto, si f es harmónica, también lo es g. Si h(x) = a+ r(x− a) es unahomotecia, entonces

Dig(x) = Dif(a+ r(x− a))r, Diig(x) = Diif(a+ r(x− a))r2,

luego ∆g(x) = ∆f(h(x))r2 y g es harmónica si f lo es.

2.1. Propiedades básicas 29

2.1 Propiedades básicasObservemos que una función de una variable f : ]u, v[ −→ R es harmónica si

y sólo si es de clase C2 y f ′′ = 0. Es inmediato que esto equivale a que existena, b ∈ R tales que f(x) = ax + b, para todo x ∈ ]u, v[. En otras palabras, lasfunciones harmónicas de una variable son las funciones afines, cuya gráfica es unarecta. En esta sección vamos a generalizar a funciones harmónicas arbitrariaslas siguientes propiedades elementales de las rectas:

1. Toda función harmónica f : ]u, v[ −→ R es de clase C∞.

2. Si f : ]u, v[ −→ R es harmónica y [a− r, a+ r] ⊂ ]u, v[, entonces

f(a) =f(a+ r) + f(a− r)

2.

3. Si f : ]u, v[ −→ R es harmónica no constante, entonces no tiene ni máximoni mínimo. Si f admite una extensión continua f : [u, v] −→ R, entoncessu máximo y su mínimo se alcanzan en los extremos del intervalo.

4. Existe una única función continua f : [u, v] −→ R, harmónica en ]u, v[ queen u y v tome dos valores prefijados cualesquiera.

5. Si f : R −→ R es harmónica y está acotada, entonces es constante.

La clave va a ser la generalización de la segunda propiedad que, según ve-remos, caracteriza a las funciones harmónicas entre las funciones continuas. Elteorema siguiente afirma que el valor que una función harmónica toma en unpunto es la media de los valores que toma en cualquier esfera centrada en él.1Está demostrado en [GD 6.10] a partir de la tercera fórmula de Green, pero aquívamos a dar una prueba un poco más directa (aunque en esencia es la misma).

Teorema 2.4 (Teorema del valor medio de Gauss) Si Ω ⊂ Rn es abierto,f ∈ H(Ω), x ∈ Ω y r > 0 cumple que Br(x) ⊂ Ω, entonces

f(x) =1

σ(∂Br(x))

∫∂Br(x)

f dσ,

donde σ representa la medida de Lebesgue en la esfera.

Demostración: En el caso n = 2 consideramos la función g : Ω\x −→ Rdada por g(y) = log ‖y − x‖, que claramente cumple

∇g(y) = − x− y‖x− y‖2

, ∆g(y) = 0.

En el caso n ≥ 3 definimos g(y) = ‖x− y‖2−n, y entonces cumple

∇g(y) = (n− 2)x− y‖x− y‖n

, ∆g(y) = 0.

1Esta propiedad podría justificar el nombre de “funciones harmónicas”, si bien histórica-mente no proviene de ella.


Consideremos el anillo

A(ε, r) = y ∈ Rn | ε < ‖y − x‖ < r,

cuya clausura está contenida en Ω. Dicha clausura es una variedad con frontera ala que podemos aplicar el teorema de la divergencia. Un simple cálculo muestraque

div(f∇g) = 〈∇f,∇g〉+ f∆g = 〈∇f,∇g〉 .

Por simetría concluimos que div(f∇g) = div(g∇f), y el teorema de la diver-gencia2 nos da que ∫

∂A

f 〈∇g,N〉 dσ =

∫∂A

g 〈∇f,N〉 dσ,

donde N es el vector normal unitario que apunta hacia el exterior de A. Sidefinimos

N(y) =y − x‖y − x‖

,

tenemos que usar N en el cálculo del flujo en la esfera de radio r y −N en laesfera de radio ε. Notemos además que

〈∇g,N〉 =κ

‖y − x‖n−1,

donde κ = 1 si n = 2 y κ = −(n− 2) si n ≥ 3. Por consiguiente:

κ

rn−1

∫‖y−x‖=r

f dσ − κ

εn−1

∫‖y−x‖=ε

f dσ =

∫‖y−x‖=r

g(y) 〈∇f,N〉 dσ −∫‖y−x‖=ε

g(y) 〈∇f,N〉 dσ.

Ahora observamos que g(y) es constante sobre la esfera de radio r, luegopodemos extraerlo de la integral y, aplicando de nuevo el teorema de la diver-gencia: ∫

‖y−x‖=r〈∇f,N〉 dσ =

∫‖y−x‖<r

∆f dm = 0.

Así llegamos a que

κ

εn−1

∫‖y−x‖=ε

f dσ −∫‖y−x‖=ε

g(y) 〈∇f,N〉 dσ =κ

rn−1

∫‖y−x‖=r

f dσ.

Como el miembro derecho no depende de ε, el izquierdo también se mantieneconstante cuando varía ε, luego coincide con su límite cuando ε tiende a 0. Como

2Como aún no hemos demostrado que las funciones harmónicas son de clase C∞, en prin-cipio sólo sabemos que las funciones f∇g y g∇f son de clase C1. Puesto que en [GD] hemosprobado el teorema de la divergencia para funciones de clase C∞, en la sección 2.7 probamosque también es válido para formas de clase C1.


‖ 〈∇f,N〉 ‖ ≤ ‖∇f‖ y f es de clase C2, tenemos que el integrando del segundosumando está acotado, luego∣∣∣∣∣

∫‖y−x‖=ε

g(y) 〈∇f,N〉 dσ

∣∣∣∣∣ ≤ Kσ(∂Bε(x)) = Kσ(∂B1(0))εn−1 → 0.

En cuanto al primer sumando:∣∣∣∣∣ κ

εn−1

∫‖y−x‖=ε

f dσ − κσ(∂B1(x))f(x)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ κ

εn−1

∫‖y−x‖=ε

(f(y)− f(x)) dσ(y)

∣∣∣∣∣≤ κ

εn−1

∫‖y−x‖=ε

|f(y)− f(x)| dσ

Dado η > 0, podemos tomar δ > 0 suficientemente pequeño como para que si‖x− y‖ < δ entonces

|f(y)− f(x)| < η

κσ(∂B1(x)),

luego para todo ε < δ la expresión precedente está acotada por

κ

εn−1

σ(∂Bε(x))η

κσ(∂B1(x))= η,

luego concluimos que el primer sumando tiende a κσ(∂B1(x))f(x). En defini-tiva:

κσ(∂B1(x))f(x) =κ

rn−1

∫‖y−x‖=r

f dσ,

de donde se sigue la igualdad del enunciado.

Nota En la prueba del teorema anterior hemos supuesto tácitamente que n ≥ 2.Como ya hemos señalado, el caso n = 1 es trivialmente válido si entendemos queel valor medio de f sobre la frontera de un intervalo viene dado por la mediade los valores que toma en sus extremos. En lo sucesivo siempre supondremostácitamente que n ≥ 2 en las demostraciones, pues el caso n = 1 será siempretrivial o una adaptación obvia del argumento general.

De aquí obtenemos la generalización de la tercera propiedad que hemos enun-ciado antes para el caso de una variable: una función harmónica no constante fno puede alcanzar un máximo local en ningún punto de su dominio (y aplicandoel teorema a −f , tampoco un mínimo):

Teorema 2.5 (Principio del máximo) Sea f una función harmónica noconstante en un abierto conexo Ω ⊂ Rn. Entonces

1. Para todo x0 ∈ Ω se cumple f(x0) < supx∈Ω

f(x).

2. Si Ω está acotado y f es continua en Ω, entonces para todo x0 ∈ Ω secumple

f(x0) < máxx∈∂Ω

f(x).


Demostración: Sea m = supx∈Ω

f(x) (quizá m = +∞). Descomponemos Ωcomo unión de los conjuntos

Ω1 = x ∈ Ω | f(x) = m, Ω2 = x ∈ Ω | f(x) < m.

La continuidad de f implica que Ω2 es abierto. Si probamos que Ω1 tambiénlo es, por conexión uno de los dos será vacío, pero como f no es constante tendráque serlo Ω1 y 1) quedará demostrado. Para probar que Ω1 es abierto podemossuponer que es no vacío, lo que implica que m es finito.

Tomemos x0 ∈ Ω1. Por el teorema anterior, para r suficientemente pequeñose cumple

0 =

∫‖x−x0‖=r

f(x) dσ − σ(∂Br(x0))f(x0) =

∫‖x−x0‖=r

(f(x)− f(x0)

)dσ.

Como f(x)−f(x0) = f(x)−m ≤ 0, la desigualdad anterior es una igualdad,y f(x) = m para todo x tal que ‖x − x0‖ = r, para todo r suficientementepequeño, es decir, hay un entorno de x0 contenido en Ω1. Esto prueba 1). Elapartado 2) es una consecuencia inmediata.

El problema de Dirichlet La generalización de la cuarta propiedad se co-noce como el problema de Dirichlet. Más precisamente, dado un abierto Ω ⊂ Rncon frontera no vacía y una función f continua en ∂Ω, el problema de Dirichletpara Ω y f consiste en encontrar una función continua u : Ω −→ R, harmónicaen Ω y tal que u|∂Ω = f .

En primer lugar observamos que, si un problema de Dirichlet tiene solución,ésta es única:

Teorema 2.6 Sea Ω un abierto en Rn distinto de ∅ y de Rn. Sea f : Ω −→ Runa función continua harmónica en Ω y tal que f = 0 en ∂Ω. Entonces f = 0en Ω.

Demostración: Podemos suponer que Ω es conexo y basta probar que fes constante en Ω, pero si no lo fuera, por el teorema anterior debería ser f < 0en Ω y f > 0 en Ω (porque −f también es harmónica).

Esto prueba, en efecto, la unicidad de la solución del problema de Dirichlet,pues si u1, u2 son funciones continuas en Ω y harmónicas en Ω que coinciden en∂Ω, entonces u1 − u2 está en las hipótesis del teorema anterior, y la conclusiónes que u1 = u2.

No todos los problemas de Dirichlet tienen solución, pero ahora vamos a pro-bar que sí que la tienen cuando Ω es una bola abierta. En principio consideramosuna bola Br(0) ⊂ Rn de centro 0 y una función continua f : ∂Br(0) −→ R. Va-mos a extenderla a una función continua que sea harmónica en Br(0).

Definición 2.7 El núcleo de Poisson para esferas es la función

P (x, y) =‖y‖2 − ‖x‖2

‖x− y‖n.


Una comprobación rutinaria muestra que, para cada y ∈ Rn fijo y todox 6= y se cumple ∆xP = 0, donde ∆xP representa el laplaciano de la funciónx 7→ P (x, y). Definimos

uf (x) =1

σ(∂Br(0))

∫‖y‖=r

P (x, y)f(y) dσ(y), para ‖x‖ < r.

Como podemos derivar bajo la integral [An 8.57], es claro que ∆uf es harmónicaen Br(0). Vamos a probar que si z ∈ ∂Br(0), entonces existe

límx→z

uf (x) = f(z).

Esto prueba que si extendemos uf a la frontera de la bola como uf (z) = f(z)obtenemos una extensión continua de f , que resuelve el problema de Dirichlet.Consideremos primero el caso en que f = 1. Entonces

u1(x) =1

σ(∂Br(0))

∫‖y‖=r

r2 − ‖x‖2

‖x− y‖ndσ(y).

Sea h el giro de centro 0 que cumple h(‖x‖e1) = x, donde e1 es el primervector de la base canónica. Aplicando el teorema de cambio de variable resultaque

u1(x) =1

σ(∂Br(0))

∫‖y‖=r

r2 − ‖h(‖x‖e1)‖2

‖h(‖x‖e1)− y‖ndσ(y) = u1(‖x‖e1),

luego si llamamos g(r) = u1(re1) hemos probado que u1(x) = g(‖x‖), luego u1

tiene la forma indicada en el teorema 2.2. Ahora bien, u1 está definida en 0,luego la única posibilidad es que u1 sea constante. Es fácil ver que u1(0) = 1,luego u1 = 1.

Volvamos ahora al caso general. Fijemos un punto tal que ‖z‖ = r. Como fes continua en z, dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que si ‖y − z‖ < δ entonces|f(y)− f(z)| < ε/2. Tomemos ‖x‖ < r tal que ‖x− z‖ ≤ δ/2. Entonces

uf (x)− f(z) = uf (x)− f(z)u1(x) =

1

σ(∂Br(0))

∫‖y‖=r

r2 − ‖x‖2

‖x− y‖n(f(y)− f(z)) dσ(y).

Descomponemos en dos partes la integral. La primera sobre el conjuntode los puntos que cumplen ‖y − z‖ ≥ δ y la segunda sobre los que cumplen‖y − z‖ < δ.

En el primer caso tenemos δ ≤ ‖y− z‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖x− z‖ ≤ ‖x− y‖+ δ/2,luego ‖x− y‖ ≥ δ/2. Así pues, si M es una cota de f ,

|uf (x)− f(z)| ≤ 2M

σ(∂Br(0))(r2 − ‖x‖2)

(2

δ

)n+

ε

2σ(∂Br(0))

∫‖y‖=r

r2 − ‖x‖2

‖x− y‖ndσ(y)

≤ 2M

σ(∂Br(0))(r2 − ‖x‖2)

(2

δ

)n+ε

2.


Si tomamos x suficientemente próximo a z podemos exigir que el primersumando sea menor que ε/2, con lo que obtenemos |uf (x)− f(z)| < ε.

Con esto hemos probado que el problema de Dirichlet siempre tiene soluciónpara una bola Br(0). Si partimos de una bola de centro arbitrario Br(x0) yde una función continua f : ∂Br(0) −→ R, el problema se reduce al caso yaconsiderado tomando la función f∗ : ∂Br(0) −→ R dada por f∗(x) = f(x+x0),que nos proporciona la función uf∗ : Br(0) −→ R a partir de la cual podemosdefinir uf : Br(0) −→ Rmediante uf (x) = uf∗(x−x0). Es inmediato comprobarque la traslación de una función harmónica sigue siendo harmónica, con lo queuf es una solución del problema de Dirichlet planteado por f en Br(x0). Ensuma, hemos probado el teorema siguiente:

Teorema 2.8 Sea f : ∂Br(x0) ⊂ Rn −→ R una función continua. Entoncesexiste una única función continua uf : Br(x0) −→ R que extiende a f y esharmónica en Br(x0). En los puntos interiores de la bola uf viene dada por

uf (x) =1

σ(∂Br(x0))

∫‖y−x0‖=r

P (x− x0, y) f(y) dσ(y).

De aquí se desprenden muchas consecuencias. La unicidad de la extensiónnos da inmediatamente la siguiente propiedad de las funciones harmónicas, quegeneraliza al teorema de Gauss:

Teorema 2.9 Sea Ω un abierto en Rn, sea f ∈ H(Ω), sea x0 ∈ Ω y r > 0 talque Br(x0) ⊂ Ω. Entonces si ‖x‖ < r se cumple

f(x) =1

σ(∂Br(x0))

∫‖y−x0‖=r

P (x− x0, y − x0) f(y) dσ(y).

La ventaja de esta expresión es que ahora x es un parámetro en la integral,lo que permite aplicar el teorema [An 8.57]:

Teorema 2.10 Toda función harmónica en un abierto de Rn es de clase C∞,y sus derivadas parciales son también funciones harmónicas.

Demostración: Basta tener en cuenta que, en las condiciones del teoremaanterior, el núcleo de Poisson

P (x− x0, y − y0) =r2 − ‖x− x0‖2

‖x− y‖n

tiene derivadas parciales de todos los órdenes respecto las variables xi y todasellas son continuas en Br(x0) × ∂Br(x0). Por lo tanto, el teorema [An 8.57]implica que f es de clase C∞ en Br(x0).

Además el teorema de Schwarz implica que el laplaciano de una derivadaparcial de una función de clase C3 es la derivada parcial del laplaciano, luegoes nulo si la función es harmónica, y concluimos que las derivadas parciales deuna función harmónica son harmónicas.


Ahora podemos probar que, tal y como habíamos indicado, la propiedaddel valor medio caracteriza a las funciones harmónicas, sin necesidad de ningúnrequisito de diferenciabilidad:

Teorema 2.11 Sea Ω ⊂ Rn un abierto no vacío y f : Ω −→ R una funcióncontinua tal que para cada x ∈ Ω existe una sucesión rjj convergente a 0 denúmeros reales positivos tales que

f(x) =1

σ(∂Brj (x))

∫∂Brj (x)

f dσ.

Entonces f es harmónica en Ω.

Demostración: Tomemos a ∈ Ω y fijemos un R > 0 tal que BR(a) ⊂ Ω.Sea g la única función continua en BR(a), harmónica en BR(a) que cumpleg|∂BR(a) = f |∂BR(a). Basta probar que f |BR(a) = g.

Supongamos que f y g difieren en algún punto de la bola. Intercambiandouna por otra si es preciso, podemos suponer, más concretamente, que g − f espositiva en algún punto de la bola. Sea M > 0 el valor máximo de g − f enBR(a) y sea E = f |−1

BR(a)(M). Como E es compacto, podemos tomar x ∈ E

donde ‖x − a‖ tome el valor máximo. Como E ∩ ∂BR(a) = ∅, tenemos quex ∈ BR(a), luego podemos tomar r > 0 tal que Br(x) ⊂ BR(a) y de modo que ftenga la propiedad del valor medio en Br(x). Como g también la tiene, resultaque

M = g(x)− f(x) =1

σ(∂Br(x))

∫∂Br(x)

(g − f) dσ < M,

donde la última desigualdad se debe a que g(y)− f(y) ≤M en todos los puntosde ∂Br(x) y, por la forma en que hemos elegido x, la desigualdad es estrictaen un abierto no vacío (al menos media esfera, luego de medida positiva). Asítenemos una contradicción.

Sólo nos falta generalizar la quinta propiedad que habíamos enunciado parafunciones de una variable. Para ello conviene probar antes lo siguiente:

Teorema 2.12 (Desigualdades de Cauchy) Para cada x0 ∈ Rn y todos losíndices j1 + · · · + jn = m, existe una constante Cj1,...,jn > 0 tal que si r > 0 yf : Br(x0) −→ R es una función harmónica acotada por M , entonces∣∣∣∣∣ ∂mf

∂xj11 · · · ∂xjnn

∣∣∣∣∣x0

∣∣∣∣∣ ≤ Cj1,...,jnM

rm.

Demostración: Definimos

Cj1,...,jn =

∫‖y‖=1

∣∣∣∣∣ ∂mP (0, y)

∂xj11 · · · ∂xjnn

∣∣∣∣∣x0

∣∣∣∣∣ dσ(y).

Sea 0 < r′ < r y, para cada función harmónica f : Br(x0) −→ R acotadaporM , consideremos la función g(x) = f(r′x+x0), que por 2.3 es harmónica en


Br/r′(0) y también está acotada por M . Para cada x ∈ Br′(x0), el teorema 2.9nos da que

f(x) = g((x− x0)/r′) =1

σ(∂B0(1))

∫‖y‖=1

P ((x− x0)/r′, y) g(y) dσ(y),

luego

∂mf

∂xj11 · · · ∂xjnn

=1

r′mσ(∂B0(1))

∫‖y‖=1

∂mP ((x− x0)/r′)

∂xj11 · · · ∂xjnn

g(y) dσ(y),

de donde, a su vez, ∣∣∣∣∣ ∂mf

∂xj11 · · · ∂xjnn

∣∣∣∣∣x0

∣∣∣∣∣ ≤ Cj1,...,jnM

r′m.

Como esto vale para todo 0 < r′ < r, es claro que también vale para r.

Como consecuencia:

Teorema 2.13 (Teorema de Liouville) Si f : Rn −→ R es una función har-mónica acotada, entonces es constante.

Demostración: El teorema anterior implica que las derivadas parcialesde f en cualquier punto son nulas (pues podemos tomar r arbitrariamentegrande), luego f es constante.

Con esto hemos probado ya todos los resultados que nos habíamos propuestodemostrar en esta sección, pero terminamos con una aplicación: las funcionesdel teorema 2.2 son ejemplos de funciones harmónicas en Rn\0 con una singu-laridad aislada en 0, es decir, que no pueden prolongarse a funciones harmónicasen un entorno de 0, porque tienden a infinito en 0. Ahora vamos a probar quesi una función f es harmónica en Br(x0) \ x0 y está acotada, entonces puedeextenderse a una función harmónica en x0. En realidad vamos a probar esteresultado con una hipótesis más débil que la acotación:

Teorema 2.14 Sea f : Ω −→ R una función harmónica en un abierto Ω ⊂ Rny sean x0 ∈ Rn y r > 0 tales que Br(x0) \ x0 ⊂ Ω. Sea

g(x) =

‖x− x0‖n−2 si n ≥ 3,log ‖x− x0‖ si n = 2,

y supongamos que existe límx→x0

f(x)g(x) = 0. Entonces f se extiende a una función

harmónica en Ω ∪ x0.

Demostración: Cambiando r por un radio menor podemos suponer que∂Br(x0) ⊂ Ω. Sea v : Br(x0) −→ R la solución del problema de Dirichletpara f . Basta probar que f |Br(x0)\x0 = v|Br(x0)\x0.

2.2. Relación con las funciones holomorfas 37

Equivalentemente, tenemos que probar que w = f −u : Br(x0) \ x0 −→ Res idénticamente nula. En principio sabemos que es continua, que se anula en∂Br(x0) y que es harmónica en Br(x0) \ x0. Además, si llamamos

r′ =

r2−n si n ≥ 3,log r si n = 2,

tenemos que

límx→x0

w(x)

r′ − g(x)= límx→x0

f(x)/g(x)− u(x)/g(x)

r′/g(x)− 1= 0,

pues u está acotada y g(x) tiende a infinito. Por consiguiente, para todo ε > 0existe un δ > 0 tal que si 0 < ‖x− x0‖ < δ entonces

|w(x)| ≤ ε(r′ − g(x)).

Equivalentemente, ±w(x)− ε(r′− g(x)) ≤ 0 en Bδ(x0). Se trata de una funciónharmónica en la corona x ∈ Rn | δ < ‖x−x0‖ < r y es ≤ 0 en la frontera (aquíusamos que w se anula en ∂Br(x0)). Por el principio del máximo concluimosque la desigualdad es válida en Bδ(x0)\0, y también lo es en la forma original|w(x)| ≤ ε(r′−g(x)). Como esto se cumple para todo ε > 0, tiene que ser w = 0.

2.2 Relación con las funciones holomorfasProbablemente el lector habrá notado cierta similitud entre las propiedades

de las funciones holomorfas y las de las funciones harmónicas. Algunas deestas similitudes no son casuales, sino que se explican por varios resultados queconectan ambos conceptos. El más simple es el siguiente:

Teorema 2.15 Si Ω ⊂ Cn es abierto y f : Ω −→ C es una función holomorfaen Ω, entonces Re f, Im f : Ω −→ R son funciones harmónicas.

Demostración: Lo probamos en primer lugar para n = 1. Dado z ∈ Ω,tomamos un disco D(z, r) ⊂ Ω, donde, en virtud del teorema [VC 1.33] tenemosque existe una función g holomorfa en el disco tal que f = g′. Las ecuacionesde Cauchy-Riemann nos dan que

Re f =∂ Re g

∂x=∂ Im g

∂y, Im f =

∂ Im g

∂x= −∂ Re g

∂y,

de donde

∆ Re g =∂2 Re g

∂x2+∂2 Re g

∂y2=∂ Re f

∂x− ∂ Im f

∂y= 0,

∆ Im g =∂2 Im g

∂x2+∂2 Im g

∂y2=∂ Im f

∂x+∂ Re f

∂y= 0,

luego Re g, Im g son funciones harmónicas (en D(z, r), luego en todo Ω) y porel teorema 2.10 también lo son Re f, Im f .


En el caso general, las funciones que resultan de fijar en f todas las variablesmenos una son holomorfas, luego harmónicas, luego

∂2 Re f

∂x2j

+∂2 Re f

∂y2j

= 0,∂2 Im f

∂x2j

+∂2 Im f

∂y2j

= 0,

luego sumando para todo j resulta que ∆ Re f = ∆ Im f = 0.

Por ejemplo, ahora es inmediato que la versión del teorema de Liouville parafunciones holomorfas se deduce de la versión para funciones harmónicas.

En general no es cierto que toda función harmónica sea la parte real o ima-ginaria de una función holomorfa. Esto es obviamente falso cuando el dominioes un abierto de Rn con n es impar, pero, como veremos enseguida, tampoco escierto para n par. A la hora de representar una función harmónica como partereal o imaginaria de una función holomorfa se combinan dificultades de distintaíndole. Para comprenderlas vamos a considerar primero el caso de funcionesdefinidas en abiertos de C.

Definición 2.16 Sea Ω ⊂ C un abierto no vacío y f ∈ H(Ω). Definimos laderivada holomorfa de f como la función f ′ ∈ H(Ω) dada por

f ′ =∂f

∂x− i∂f

∂y.

Es inmediato comprobar que f ′ cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann,por lo que es ciertamente una función holomorfa.

Si existe g ∈ H(Ω) tal que f = Re g, entonces tenemos que

g′ =∂ Re g

∂x− i∂ Re g

∂y= f ′,

de modo que f ′ es la derivada de cualquier función holomorfa cuya parte realsea f .

Por otra parte, dada f ∈ H(Ω), si f ′ tiene primitiva g ∈ H(Ω), tenemos que

∂ Re g

∂x− i∂ Re g

∂y= g′ = f ′ =

∂f

∂x− i∂f

∂y,

luego∂(Re g − f)

∂x=∂(Re g − f)

∂y= 0,

luego existe una constante c ∈ R tal que f = Re g+ c = Re(g+ c), luego f es laparte real de una función holomorfa.

El teorema [VC 1.35] hace ahora inmediato el teorema siguiente:3

3Véase también la nota al pie en el teorema [VC 3.13].


Teorema 2.17 Si Ω ⊂ C es un abierto no vacío que cumple H1(Ω) = 0 yf ∈ H(Ω), existe g ∈ H(Ω) tal que f + ig ∈ H(Ω), es decir, toda funciónharmónica en Ω es la parte real de una función holomorfa.

Como la parte imaginaria de if es la parte real de f , es claro que en elteorema anterior podemos cambiar “parte real” por “parte imaginaria”. Por otrolado, es fácil ver que la función que “completa” una función harmónica hastauna función holomorfa (en un dominio conexo) es única salvo suma de unaconstante. (Porque si g1, g2 son dos funciones holomorfas con la misma partereal, entonces (g1−g2)/i es una función holomorfa que sólo toma valores reales,y las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que es constante.)

Como la hipótesis H1(Ω) = 0 la cumplen los discos abiertos concluimos quetoda función harmónica en un abierto de C es localmente la parte real de unafunción holomorfa, pero no es necesariamente cierto que lo sea globalmente.

Ejemplo La función f : C \ 0 −→ R dada por f(z) = log |z| es harmónica,como puede comprobarse calculando su laplaciano o bien observando que en unentorno de cada punto es la parte real de una rama uniforme del logaritmo,pero globalmente no es la parte real de una función holomorfa g : C\0 −→ C.En efecto, la rama uniforme del logaritmo con argumentos en ]−π, π[ tendría lamisma parte real que g, luego sumando a g una constante podríamos exigir queg(z) = log z para todo z ∈ C no nulo con argumento distinto de π, pero estoimplicaría que Im g no sería continua en −1.

Este fenómeno se repite en dimensiones mayores pues, por ejemplo,

f(z1, z2) = log |z1|+ log |z2|

es una función harmónica en el abierto Ω = z ∈ C2 | z1 6= 0 6= z2 que eslocalmente la parte real de una función holomorfa, pero no globalmente. Sinembargo, la situación en abiertos de Cn con n > 1 es más complicada, puesya no es cierto que toda función harmónica sea localmente la parte real de unafunción holomorfa.

La razón por la que esto falla se vislumbra en la prueba del teorema 2.15:la parte real y la parte imaginaria de una función holomorfa de varias variablesno sólo tienen laplaciano nulo, sino que tienen nulo cada laplaciano parcialrespecto de cada par de variables xj , yj , que es una propiedad más fuerte queser harmónica.4

Teorema 2.18 Consideremos abiertos Ω1 ⊂ Cn, Ω2 ⊂ C, una función holo-morfa f : Ω1 −→ Ω2 y una función harmónica g : Ω2 −→ R. Entonces f g esharmónica en Ω1.

4Las funciones definidas en abiertos Ω ⊂ Cn que son localmente la parte real de una funciónholomorfa se llaman funciones pluriharmónicas, de modo que toda función pruriharmónica esharmónica, pero el recíproco no es cierto cuando n > 1. Aquí no entraremos en el estudiode estas funciones, por lo que, al relacionar las funciones harmónicas con las holomorfas,tendremos que restringirnos con frecuencia al caso de funciones definidas en abiertos de C.


Demostración: Dado z ∈ Ω1, sea r > 0 tal que D = D(f(z), r) ⊂ Ω2.Entonces existe h ∈ H(D) tal que g|D = Reh. Sea A = f−1[D], que es unentorno de z donde f |Ah es holomorfa, luego f |Ag = Re(f |Ah) es harmónicaen A, luego f g es harmónica en Ω1.

Nota En el caso particular en que n = 1, es claro que se cumple una regla dela cadena mixta:

(f g)′(z) = g′(f(z))f ′(z),

donde (f g)′ y g′ son las derivadas holomorfas de las funciones harmónicascorrespondientes, mientras que f ′ es la derivada usual en sentido complejo dela función holomorfa f . En efecto, con la notación de la prueba, tenemos que

(f g)′(z) = (f h)′(z) = h′(f(z))f ′(z) = g′(f(z))f ′(z),

donde hemos aplicado la regla de la cadena usual para funciones holomorfas.

Cabe plantearse si el principio del módulo máximo para funciones holomorfases un caso particular del principio del máximo para funciones harmónicas. Larespuesta es afirmativa, pero no de la forma obvia:

Ejemplo Si Ω ⊂ Cn es un abierto conexo y f ∈ H(Ω) no es constante, lasfunciones |f | y |f |2 no son funciones harmónicas.

En efecto, supongamos en primer lugar que n = 1 y sea

F (z) = |f(z)|2 =(Re f(z)

)2+(Im f(z)

)2.

Derivando obtenemos

∂2F

∂x2= 2

(∂ Re f

∂x

)2

+ 2 Re f∂2 Re f

∂x2+ 2

(∂ Im f

∂x

)2

+ 2 Im f∂2 Im f

∂x2,

∂2F

∂y2= 2

(∂ Re f

∂y

)2

+ 2 Re f∂2 Re f

∂y2+ 2

(∂ Im f

∂y

)2

+ 2 Im f∂2 Im f

∂y2.

Sumamos teniendo en cuenta las ecuaciones de Cauchy-Riemann, así comoque Re f , Im f son harmónicas y por lo tanto tienen laplaciano nulo:

∆F = 4

(∂ Re f

∂x

)2

+ 4

(∂ Im f

∂x

)2

= 4

∣∣∣∣∂ Re f

∂x+ i

∂ Im f

∂x

∣∣∣∣2 = 4|f ′|2.

Así pues, F no es harmónica salvo que f ′ = 0, es decir, salvo si f es constante.A su vez, si f no es constante existe un punto donde f no se anula, y podemostomar un disco donde ocurra lo mismo. Por la nota tras el teorema [VC 1.35]la función f tiene una raíz cuadrada holomorfa F =

√f en dicho disco, luego

|f | = |F |2 no es harmónica, por la parte ya probada.Si n > 1 y |f | o |f |2 fueran harmónicas, también lo serían los módulos de las

funciones que resultan de fijar todas las variables menos una, en contradiccióncon la parte ya probada.


No obstante, según indicábamos, el principio del módulo máximo para unafunción holomorfa f puede probarse aplicando el principio del máximo parafunciones harmónicas a la función log |f |, que por el teorema 2.18 es harmónicadonde f no se anula.

El teorema siguiente prueba que esencialmente log |z| es la única funciónharmónica en C \ 0 que no es la parte real de una función holomorfa. Loprobamos más en general para funciones sobre un anillo:

Teorema 2.19 Si f es una función harmónica en un anillo A(0, r, R), entonces

f(z) = c log |z|+ Re g(z),

donde c ∈ R y g es una función holomorfa en el anillo.

Demostración: Desarrollamos la derivada holomorfa de f en serie de Lau-rent:

f ′(z) =∑

n 6=−1

anzn +

a−1

z, para r < |z| < R.

La serie tiene integral nula sobre todo arco cerrado contenido en el anillo.En efecto, como converge uniformemente en los compactos, la integral se puedecalcular término a término, pero todos los sumandos tienen primitiva en C\0,luego por la regla de Barrow [VC 1.22] las integrales son nulas. El teorema deMorera [VC 1.37] implica que la serie tiene una primitiva g en el anillo. Asípues,

f ′(z) = (Re g(z))′ +a−1

z.

En el abierto A = A(0, r, R) \ [0,+∞[ la función 1/z tiene como primitivaa la función log z que a cada z le asigna su logaritmo con parte imaginaria en]0, 2π[. Luego en A se cumple

f ′(z) = (Re g(z))′ + (Re(a−1 log z))′.

Esto significa que las funciones f y Re g(z)+Re(a−1 log z) tienen las mismasderivadas parciales, luego existe una constante k ∈ R tal que

f(z) = Re g(z) + Re(a−1 log z) + k = Re g(z) + c log |z|+ d arg z + k,

donde arg z es el argumento de z en ]0, 2π[. La función d arg z + k tiene unaextensión continua a todo el anillo, concretamente f(z)−Re g(z)−c log |z|, peroclaramente esto sólo es posible si d = 0. Cambiando g por g + k tenemos laexpresión del enunciado (que por continuidad vale en todo el anillo).

Otra relación fundamental entre las funciones holomorfas y las funcionesharmónicas se sigue del hecho de que éstas también son funciones analíticas:

Teorema 2.20 Sea Ω ⊂ Rn un abierto no vacío, sea f ∈ H(Ω) una fun-ción harmónica y sea a ∈ Ω. Entonces, para todo x en un entorno de a, secumple que

f(x) =∑α

Dαf(a)

α!(x− a)α.


Demostración: Sólo hay que probar que f es la suma de una serie depotencias en un entorno de 0, pues por las observaciones previas en tal caso seránecesariamente la serie del enunciado, es decir, su serie de Taylor. Mediante unatraslación no perdemos generalidad si suponemos que a = 0. Para todo r > 0,la función fr(x) = f(rx) es también harmónica (por 2.3), y es claro que si fradmite un desarrollo en serie alrededor de 0, lo mismo es válido para f . Por lotanto no perdemos generalidad si suponemos que f está definida en una bolaabierta de radio mayor que 1.

Existe un δ > 0 tal que si z ∈ Bδ(0) ⊂ Cn, y ∈ ∂B1(0) ⊂ Rn, entonces∣∣∑j

(zi − yi)2 − 1∣∣ < 1.

En efecto, fijado y∗ ∈ ∂B1(0), por la continuidad de la función que hay dentrodel valor absoluto, existe un δy∗ > 0 tal que todo par (z, y) ∈ Bδy∗ (0)×Bδy∗ (y∗)cumple la desigualdad. Las bolas Bδy∗ (y0) cubren ∂B1(0), luego tomando unsubcubrimiento finito y haciendo δ igual al mínimo de los δy∗ correspondientesa las bolas del subcubrimiento, se cumple lo requerido.

Consideramos P : Bδ(0)× ∂B1(0) −→ C dada por

P (z, y) =1−∑jz2j(√∑

j(zj−yj)2

)n ,donde la raíz cuadrada es la rama uniforme definida en D(1, 1) ⊂ C que extiendea la raíz cuadrada real. Así P es continua y, para dada y ∈ ∂B1(0), la funciónz 7→ P (z, y) es holomorfa en Bδ(0). Por lo tanto, tenemos un desarrollo en serie

P (z, y) =∑αcα(y)zα,

y una ligera modificación de la prueba del teorema 1.18 muestra que la serieconverge absoluta y uniformemente en cada conjunto de la forma K × ∂B1(0),con K ⊂ Bδ(0) compacto. Además, las funciones cα(y) = DαP (0, y)/α! soncontinuas en ∂B1(0). En particular, todo esto vale si restringimos z a la bolaBδ(0) ⊂ Rn. Notemos que entonces las funciones cα(x) toman valores reales,pues se calculan a partir de las derivadas parciales (en sentido real) de

P (x, y) =1− ‖x‖2

(√‖x− y‖2)n

=1− ‖x‖2

‖x− y‖n.

Por lo tanto,

f(x) =1

σ(∂B1(0))

∫‖y‖=1

P (x, y) f(y) dσ(y) =

1

σ(∂B1(0))

∫‖y‖=1

∑α

cα(y)xα f(y) dσ(y) =

∑α

1

σ(∂B1(0))

∫‖y‖=1

cα(y) f(y) dσ(y)xα,

donde el intercambio del sumatorio y la integral se justifica por el teorema[VC 1.19], igual que en la prueba de 1.18.


Por consiguiente, toda función harmónica se extiende localmente a una fun-ción holomorfa en el sentido del teorema 1.20 y las funciones harmónicas cum-plen el principio de prolongación analítica.

El teorema anterior afirma únicamente que la serie de Taylor de una funciónharmónica f alrededor de un punto a converge a f en un entorno de a, pero noespecifica cómo de grande es ese entorno. No es inmediato, pero más adelanteprobaremos (teorema 3.36) que la serie converge en toda bola abierta de centroa contenida en el dominio de f .

Aparentemente nos encontramos con una asimetría al comparar los desarro-llos en serie de potencias de las funciones holomorfas con los correspondientesa funciones harmónicas, y es que las sumas parciales de una serie de potenciascompleja son polinomios, luego son funciones holomorfas, mientras que, en prin-cipio las sumas parciales del desarrollo en serie de una función harmónica sontambién polinomios, pero no necesariamente funciones harmónicas. Vamos aver que esto no es exactamente así.

Si f : Ω −→ R es una función harmónica en un abierto tal que 0 ∈ Ω ⊂ Rn,definimos

Pmf (x) =∑|α|=m

Dαf(0)

α!Xα ∈ R[X1, . . . , Xn].

La convergencia absoluta de la serie de Taylor de f alrededor de 0 implica quepodemos agrupar sus términos:

f(x) =∑α

Dαf(0)

α!xα =

∞∑m=0

Pmf (x),

de modo que la convergencia de la última serie es también absoluta y casi uni-forme. Vamos a probar que los polinomios Pmf (x) son harmónicos, pero antesconviene probar un resultado de unicidad.

Observemos que si F = F0 + · · ·Fm es la descomposición en formas de unpolinomio F , entonces

∆F = ∆F2 + · · ·∆Fm,

donde cada ∆Fk es una forma de grado k−2 (o la forma nula), luego ∆F = 0 siy sólo si ∆Fk = 0 para todo k. Equivalentemente, un polinomio es harmónico siy sólo si lo son las formas que lo componen. El teorema siguiente nos permitiráextender esta unicidad al caso se series infinitas:

Teorema 2.21 Sean Pm(X)∞m=0 y Qm(X)∞m=0 dos sucesiones de polino-mios en R[X1, . . . , Xn] tales que Pm y Qm sean formas de grado m (o la formanula) y de modo que las series

∑mPm(x) y

∑mQm(x) converjan en un entorno

de 0. Si existe un r > 0 tal que ambas series coinciden en Br(0), entoncesPm(X) = Qm(X) para todo m.


Demostración: si x ∈ ∂B1(0), entonces ambas series coinciden en tx, para|t| < r, luego ∑

mPm(x)tm =

∑mQm(x)tm.

Por la unicidad en los desarrollos en serie de Taylor de una variable, concluimosque Pm(x) = Qm(x) para todo x ∈ ∂B1(0), pero si x ∈ Rn \ 0, entonces

Pm(x) = Pm(‖x‖(x/‖x‖)) = ‖x‖mPm(x/‖x‖) = ‖x‖mQm(x/‖x‖) = Qm(x),

y trivialmente también vale para x = 0, luego Pm(X) = Qm(X).

Ahora ya podemos probar:

Teorema 2.22 Si Ω ⊂ Rn es un abierto no vacío, f ∈ H(Ω) y a ∈ Ω, enton-ces f se expresa en un entorno de a de forma única como suma

f(x) =∞∑m=0

Pmf,a(x− a),

donde cada Pmf,a(x) ∈ R[X1, . . . , Xn] es la forma nula o una forma harmónicade grado m.

Demostración: La función g(x) = f(x + a) es harmónica alrededor de 0,y sabemos que admite una expresión de la forma

g(x) =∞∑m=0

Pmf,a(x).

Como la serie converge casi uniformemente, podemos derivarla término atérmino, luego

0 = ∆g(x) =∞∑m=2

∆Pmf,a(x),

y cada ∆Pmf,a es una forma de grado m−2. Por el teorema anterior tiene que ser∆Pmf,a = 0 para m ≥ 2, y trivialmente para m = 0, 1. Por lo tanto, las formasPmf,a son harmónicas.

La unicidad de la serie es clara, pues Pmf,a(x− a) es necesariamente la sumade los monomios de grado m de la serie de Taylor de f alrededor de a.

2.3 Convergencia casi uniformeEl conjunto H(Ω) de las funciones harmónicas en Ω es un subespacio vec-

torial del espacio C(Ω) de las funciones f : Ω −→ R continuas. El teoremasiguiente afirma que, al igual que sucede con los espacios de funciones holo-morfas, es cerrado respecto de la topología de la convergencia casi uniforme, loque en particular implica que es completamente metrizable, y además que lasderivadas parciales son operadores continuos

∂xi : H(Ω) −→ H(Ω).


Teorema 2.23 Sea Ω ⊂ Rn un abierto no vacío y fm∞m=0 una sucesión defunciones harmónicas en Ω que converja uniformemente en cada subconjuntocompacto de Ω a una función f : Ω −→ R. Entonces f es harmónica en Ω y lasderivadas parciales ∂fm

∂xiconvergen a ∂f

∂xiuniformemente en cada subconjunto

compacto de Ω.

Demostración: Sea x0 ∈ Ω y fijemos un r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω. Elhecho de que fm converja uniformemente a f en la bola cerrada implica que f escontinua en Br(x0) (luego, de hecho, en todo Ω). Además, para todo x ∈ Br(x0),tenemos que

fm(x) =1

σ(∂Br(x0))

∫‖y−x0‖=r

P (x− x0, y − x0) fm(y) dσ(y).

Por lo tanto,∣∣∣∣∣fm(x)− 1

σ(∂Br(x0))

∫‖y−x0‖=r

P (x− x0, y − x0) f(y) dσ(y)

∣∣∣∣∣≤ 1

σ(∂Br(x0))

∫‖y−x0‖=r

P (x− x0, y − x0) |fm(y)− f(y)| dσ(y) ≤

máxy∈∂Br(x0)

|fm(y)− f(y)| 1

σ(∂Br(x0))

∫‖y−x0‖=r

P (x− x0, y − x0) dσ(y)

= máxy∈∂Br(x0)

|fm(y)− f(y)|,

donde la parte que hemos eliminado en el último paso es la expresión que ex-tiende la función constante 1 a una función harmónica en la bola abierta, luegoes constante igual a 1. Usando ahora que fm converge uniformemente a f en elcompacto ∂Br(x0), concluimos que

f(x) =1

σ(∂Br(x0))

∫‖y−x0‖=r

P (x− x0, y − x0) f(y) dσ(y),

y esto significa que f |Br(x) es la función harmónica que extiende a f |∂Br(x),luego f es harmónica.

Similarmente se cumple que

∂fm(x)

∂xi=

1

σ(∂Br(x0))

∫‖y−x0‖=r

∂P (x− x0, y − x0)

∂xifm(y) dσ(y),

∂f(x)

∂xi=

1

σ(∂Br(x0))

∫‖y−x0‖=r

∂P (x− x0, y − x0)

∂xif(y) dσ(y),

luego ∣∣∣∣∂fm(x)

∂xi− ∂f(x)

∂xi

∣∣∣∣ ≤1

σ(∂Br(x0))

∫‖y−x0‖=r

∣∣∣∣∂P (x− x0, y − x0)

∂xi

∣∣∣∣ |fm(y)− f(y)| dσ(y).


Si K ⊂ Br(x0) es compacto y M es una cota de ∂H/∂xi en K × ∂Br(x0),llegamos a que, para todo x ∈ K,∣∣∣∣∂fm∂xi − ∂f

∂xi

∣∣∣∣ ≤ K máxy∈∂Br(x0)

|fm(y)− f(y)|,

y la convergencia uniforme de fm en ∂Br(x0) nos da la convergencia uniforme delas derivadas en K. Falta probar que la convergencia es uniforme en cualquiersubconjunto compacto K ⊂ Ω, aunque no esté contenido en una bola como laque hemos considerado. Ahora bien, para cada x0 ∈ K podemos tomar bolasBr(x0) ⊂ Br(x0) ⊂ Br′(x0) ⊂ Br′(x0) ⊂ Ω, extraemos un subcubrimiento finitode las bolas Br(x0) y usamos que la convergencia es uniforme en cada compactoK ∩ Br(x0) ⊂ Br′(x0), lo que implica la convergencia uniforme en K.

Ahora probamos el análogo al teorema de Montel:

Teorema 2.24 Sea Ω ⊂ Rn un abierto no vacío. Un subconjunto A ⊂ H(Ω)es relativamente compacto (es decir, tiene clausura compacta) si y sólo si estáuniformemente acotado en todo subconjunto compacto de Ω.

Demostración: La acotación uniforme significa que para todo K ⊂ Ωcompacto existe un M > 0 tal que toda f ∈ A cumple que f |K está acotadapor M (es decir, que |f(x)| < M para todo x ∈ K).

Bajo esta hipótesis basta probar que toda sucesión fm∞m=0 en A tieneuna subsucesión convergente en H(Ω) . En tal caso, lo mismo vale para A,pues si gm∞m=0 es una sucesión en A, podemos tomar fm ∈ A de manera qued(fm, gm) < 1/(m+1). Entonces existe f = lím

mfm ∈ A, y es claro entonces que

también límmgm = f , luego A es compacto.

Para cada x ∈ Ω tomamos una bola K = Br(x) ⊂ Ω y vamos a probar quefm|K∞m=0 tiene una subsucesión uniformemente convergente. Por el teoremade Ascoli-Arzelà [An 3.57] basta probar que la sucesión es equicontinua.

Dados dos puntos u, v ∈ Br(x), aplicando el teorema del valor medio a lafunción fm((1− t)u+ tv) obtenemos un punto w ∈ Br(x) tal que

fm(v)− fm(u) = ∇fm(w) · (v − u),

luego, por las desigualdades de Cauchy 2.12,

|fm(v)− fm(u)| ≤ C‖v − u‖,

para cierta constante C que depende de r y de la cota uniforme de la sucesiónen K, pero no de m. Esto implica la equicontinuidad.

Si K ⊂ Ω es un subconjunto compacto arbitrario, podemos cubrirlo por unnúmero finito de bolas cerradas, B1, . . . , Bk ⊂ Ω, luego, tomando una subsu-cesión fm1

m1convergente en B1, y de ésta una subsucesión fm1

m1con-

vergente en B2, y así sucesivamente, llegamos a una subsucesión que convergeuniformemente en cada Bj luego en K.


Finalmente, consideramos la sucesión de compactos compactos

Km = z ∈ Ω | |z| ≤ m, d(z, ∂Ω) ≥ 1/m+ 1 ⊂ Ω,

que claramente es creciente y tiene la propiedad de que todo subconjunto com-pacto de Ω está contenido en uno de ellos. Sea fm1,k

∞k=0 una subsucesión dela sucesión dada que converja uniformemente en K1 a una función f1 ∈ C(K1),a su vez, sea fm2,k

∞k=0 una subsucesión de ésta que converja uniformementeen K2 a una función f2 ∈ C(K2), que necesariamente extiende a f1, y asísucesivamente. Entonces, la sucesión fmk,k es una subsucesión de todas lasanteriores, luego converge uniformemente en todo Km a fm, y, por consiguiente,converge casi uniformemente en Ω a una función f , que estará en H(Ω) por elteorema 2.23.

El recíproco es fácil de probar: si A es relativamente compacto y K ⊂ Ωes compacto, los abiertos básicos V (0,K,m)∞m=1 para la topología de la con-vergencia uniforme cubrenH(Ω), luego podemos tomar un subcubrimiento finitoque cubra a A. El máximo m que aparezca en el subcubrimiento es una cotauniforme de A en K.

En particular, los subconjuntos compactos de H(Ω) son los subconjuntoscerrados y uniformemente acotados en cada compacto de Ω. Veamos una con-secuencia que necesitaremos más adelante:

Teorema 2.25 (Teorema de Harnack) Sea Ω ⊂ Rn un abierto conexo novacío y sea fm∞m=0 una sucesión monótona creciente de funciones harmónicasen Ω. Entonces fm∞m=0 converge casi uniformemente en Ω a una funciónharmónica o bien a +∞.

Demostración: La convergencia casi uniforme a +∞ hay que entenderlacomo que, para todo compacto K ⊂ Ω y cada M > 0 existe un m0 tal que sim ≥ m0 se cumple |fm(x)| ≥M para todo x ∈ K.

Podemos suponer que f0 ≥ 0, o de lo contrario razonamos con la sucesiónfm − f0∞m=0. Sea f : Ω −→ [0,+∞] la función dada por f(x) = sup

mfm(x) y

consideremos los conjuntos

A = x ∈ Ω | f(x) = +∞, B = x ∈ Ω | f(x) < +∞.

Vamos a probar que ambos son abiertos, con lo que uno de ellos coincidirácon Ω. Sea a ∈ Ω y tomemos R > 0 tal que la bola cerrada BR(a) ⊂ Ω. Si‖x− a‖ = r < R, tenemos que

fm(x) =1

σ(∂BR(a))

∫‖y−a‖=R

R2 − r2

‖x− y‖nfm(y) dσ(y).

Claramente R− r ≤ ‖x− y‖ ≤ R+ r, luego

R− r(R+ r)n−1

=R2 − r2

(R+ r)n≤ R2 − r2

‖x− y‖n≤ R2 − r2

(R− r)n=

R+ r

(R− r)n−1.


Por lo tanto,

R− rσ(∂BR(a))(R+ r)n−1

∫‖y−a‖=R

fm(y) dσ(y) ≤ fm(x)

≤ R+ r

σ(∂BR(a))(R+ r)n−1

∫‖y−a‖=R

fm(y) dσ(y),

y por la propiedad del valor medio

R− r(R+ r)n−1

fm(a) ≤ fm(x) ≤ R+ r

(R− r)n−1fm(a).

Por consiguiente, si fm(a)∞m=0 tiende a +∞ o converge, lo mismo le sucedea fm(x)∞m=0, luego BR(a) ⊂ A o BR(a) ⊂ B según el caso.

Con esto hemos probado que Ω = A o bien Ω = B. Supongamos en primerlugar que Ω = A y, con la misma notación precedente tomemos 0 < r < r′ < R,de modo que

C =R− r′

(R+ r′)n−1≤ R− r

(R+ r)n−1

(porque la derivada de la función h(t) = R−t(R+t)n−1 es negativa en ]0, R[, por lo que

es decreciente), y así todo x ∈ Br′(a) cumple Cfm(a) ≤ fm(x), de donde se sigueque fm∞m=0 converge uniformemente a +∞ en Br′(a). Como cada compactoK ⊂ Ω puede cubrirse con un número finito de discos Br′(a), concluimos que lomismo vale para K, luego la sucesión converge casi uniformemente a +∞.

En el caso Ω = B consideramosR+ r

(R− r)n−1≤ R+ r′

(R− r′)n−1= C

y deducimos fm(x) ≤ Cfm(a), por lo que fm∞m=0 está acotada en Br′(a).Como todo compacto K ⊂ Ω puede cubrirse por un número finito de discos deeste tipo, resulta que la sucesión está uniformemente acotada en K, luego por elteorema anterior tiene una subsucesión que converge casi uniformemente a unafunción f ∈ H(Ω), pero la monotonía de fm∞m=0 implica que toda la sucesiónconverge.

2.4 Funciones subharmónicasUna función de una variable es convexa si en cualquier intervalo en el que

está definida es menor que la recta que coincide con ella en los extremos. Simi-larmente, una función es cóncava si en cualquier intervalo en el que está definidase mantiene por encima de la recta que coincide con ella en los extremos. Sigeneralizamos estos conceptos al caso de funciones de varias variables usandoigualmente el concepto de “recta”, obtenemos las definiciones usuales de con-cavidad y convexidad en varias variables, pero si sustituirmos las rectas porfunciones harmónicas obtenemos las funciones subharmónicas y superharmóni-cas que definimos a continuación:

2.4. Funciones subharmónicas 49

Definición 2.26 Sea Ω un abierto en Rn. Una función continua f : Ω −→ Res subharmónica (superharmónica) si para toda bola cerrada B ⊂ Ω se cumpleque f |B ≤ h (f |B ≥ h), donde h es la solución del problema de Dirichlet para Bque coincide con f en la frontera.

Es inmediato que una función es harmónica si y sólo si es subharmónica ysuperharmónica al mismo tiempo, así como que una función f es subharmónicasi y sólo si −f es superharmónica, y viceversa. Esto hace que todo teorema sobrefunciones subharmónicas se traduzca inmediatamente a otro análogo sobre fun-ciones superharmónicas. Por lo tanto en lo sucesivo consideraremos únicamentefunciones subharmónicas.

También es inmediato que una función de una variable es subharmónica(resp. superharmónica) si y sólo si es convexa (resp. cóncava).

No exigimos que las funciones subharmónicas y superharmónicas sean deri-vables, pero si son al menos de clase C2 pueden ser caracterizadas en términosde su laplaciano (al igual que las funciones convexas pueden caracterizarse entérminos de su segunda derivada):

Teorema 2.27 Sea f una función real de clase C2 en un abierto Ω ⊂ Rn.Entonces f es subharmónica si y sólo si ∆f ≥ 0.

Demostración: Supongamos que ∆f ≥ 0 y tomemos una bola cerrada Bde centro x0 contenida en Ω. Sea h la solución del problema de Dirichlet para Bque coincide con f en ∂B. Hemos de probar que f ≤ h, equivalentemente, quef |B − h ≤ 0. Por continuidad y compacidad f |B − h ha de tomar un valormáximo en la clausura de B. Si éste es positivo lo tomará en un punto x1 ∈ B(pues en la frontera f coincide con h). Tomando c > 0 suficientemente pequeño,la función

φ(x) = c‖x− x0‖2 + f(x)− h(x)

cumple φ(x1) > φ(x) para todo x ∈ ∂B. En efecto, si x ∈ ∂B se cumpleφ(x) = cr2, luego basta tomar c > 0 de modo que cr2 < f(x1)− h(x1).

De nuevo por continuidad y compacidad, φ tomará su valor máximo en unpunto de la clausura de B, pero según lo dicho ha de ser en realidad un puntointerior x2 ∈ B. La función que resulta de fijar todas las variables de φ menosla i-ésima tiene un máximo en (x2)i, luego5

∂2φ

∂x2i

(x2) ≤ 0.

Sumando las derivadas obtenemos que

0 ≥ ∆φ(x2) = 2nc+ ∆f(x2)−∆h(x2) = 2nc+ ∆f(x2),

luego ∆f(x2) ≤ −2nc < 0, en contra de lo supuesto. Por consiguiente el máximode fB − h es menor o igual que 0 y así f es subharmónica.

5Si una función real f de clase C2 tiene un máximo en un punto x, entonces f ′(x) = 0 yf ′′(x) ≤ 0, pues si f ′′(x) > 0 tendríamos que f ′ sería positiva a la derecha de x, con lo que fsería creciente a la derecha de x y f(x) no podría ser un máximo.


Recíprocamente, si f es subharmónica en Ω pero ∆f < 0 en algún punto,por continuidad existirá una bola abierta B en la cual ∆f < 0, luego por laparte ya probada −f será subharmónica en B, luego f será subharmónica ysuperharmónica en B, luego será harmónica y en realidad cumplirá ∆f = 0en B, con lo que tenemos una contradicción.

Por ejemplo, ahora es inmediato que f(x, y) = x2 + y2 es una función sub-harmónica en R2 (pero no harmónica).

La propiedad de ser subharmónica es local, es decir, una función es sub-harmónica si y sólo si lo es su restricción a un entorno de cada punto de sudominio. El teorema anterior lo prueba para funciones de clase C2, pero escierto en general, como se desprende del resultado siguiente:6

Teorema 2.28 Sea f : Ω −→ R subharmónica en un abierto Ω ⊂ Rn. Six0 ∈ Ω y Br(x0) ⊂ Ω, entonces

f(x0) ≤ 1

σ(∂Br(x0))

∫‖x−x0‖=r

f(x) dσ,

donde σn−1 es la medida de Lebesgue de la esfera unitaria de dimensión n− 1.Recíprocamente, si f es continua y cumple la desigualdad anterior en cada

punto x0 para una sucesión de radios rn > 0 convergente a 0, entonces f essubharmónica en Ω.

Demostración: Sea h la solución del problema de Dirichlet en Br(x0) quecoincide con f en la frontera. Entonces

f(x0) ≤ h(x0) =1

σ(∂Br(x0))

∫‖x−x0‖=r

f(x) dσ.

Veamos el recíproco. Sea x0 ∈ Ω y sea R > 0 tal que BR(x0) ⊂ Ω. Sea hla función continua en la bola y harmónica en su interior que coincide con f enla frontera. Hemos de probar que f ≤ h. Sea g = f − h y m su supremo en labola cerrada. Hemos de ver que es menor o igual que 0. Supongamos, por elcontrario, que m > 0.

Como g es nula en la frontera de la bola, el conjunto

E = x ∈ BR(x0) | g(x) = m

es un subconjunto compacto de BR(x0). Sea x1 ∈ E tal que ‖x1 − x0‖ seamáximo. De este modo, para todo r suficientemente pequeño, al menos mediaesfera de centro x1 y radio r está fuera de E. Tomando como r uno de los

6Como en el caso de las funciones harmónicas, si n = 1 hay que reinterpretar el valor mediocomo la media aritmética de los valores que toma f en los extremos del intervalo al que sereduce la esfera. En la práctica continuaremos con el hábito de suponer tácitamente que n ≥ 2en las demostraciones, pues es el único caso que nos va a interesar.


valores para los que se cumple la desigualdad del enunciado obtenemos:

m = g(x1) = f(x1)− h(x1) ≤ 1

σ(∂Br(x1))

∫‖x−x1‖=r

(f(x)− h(x)) dσ

<1

σ(∂Br(x1))

∫‖x−x1‖=r

mdσ = m,

lo que prueba que m = 0, o sea, f ≤ h en la bola. Así pues, f es subharmónica.

Ejemplo La función ‖x‖ es subharmónica en Rn.

En efecto, lo es en Rn \ 0 porque su laplaciano es (n − 1)/‖x‖ ≥ 0. Estoimplica que la función ‖x‖ cumple la caracterización del teorema anterior paratodo x0 ∈ Rn \ 0, pero también la cumple trivialmente en 0, pues se reducea que 0 ≤ r. Sin embargo, no es harmónica en 0, porque no es derivable, nitampoco en Rn \ 0 salvo si n = 1.

El teorema siguiente proporciona otra conexión relevante con las funcionesholomorfas:

Teorema 2.29 Si Ω ⊂ Cn es abierto y f : Ω −→ C es una función holomorfa,entonces |f | es una función subharmónica.

Demostración: Supongamos primero que n = 1. Tomamos un discoD(z0, r) ⊂ Ω y aplicamos la fórmula integral de Cauchy:

|f |(z0) =

∣∣∣∣∣ 1

2πi

∫|ζ−z0|=r

f(ζ)

ζ − z0dζ

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

2π

∫ 2π

0

f(z0 + reiθ) dθ

∣∣∣∣≤ 1

2π

∫ 2π

0

|f |(z0 + reiθ) dθ.

El teorema anterior garantiza que |f | es subharmónica. En el caso general,consideremos primero un punto z0 ∈ Ω donde f(z0) 6= 0. Así |f | es de clase C∞en z0 y podemos calcular su laplaciano. Ahora bien, como la función que resultade fijar todas las coordenadas de f menos la j-ésima es holomorfa, luego sumódulo es una función harmónica por la parte ya probada, tenemos que

∂2|f |∂x2

j

+∂2|f |∂y2

j

≥ 0,

y al sumar para todo j obtenemos que ∆|f | ≥ 0, luego |f | es subharmónicaen un entorno de z0. Por último, en los puntos donde f(z0) = 0 se cumpletrivialmente el teorema anterior, luego |f | es subharmónica en todo su dominio.

Así, el principio del módulo máximo para funciones holomorfas puede verseahora como un caso particular del teorema siguiente sobre funciones subharmó-nicas:


Teorema 2.30 (Principio del máximo) Sea f una función subharmónica noconstante en un abierto conexo Ω ⊂ Rn. Entonces

1. Para todo x0 ∈ Ω se cumple f(x0) < supx∈Ω

f(x).

2. Si Ω está acotado y f es continua en Ω, entonces para todo x0 ∈ Ω secumple

f(x0) < máxx∈∂Ω

f(x).

Demostración: Sea m = supx∈Ω

f(x) (quizá m = +∞). Descomponemos Ω

como unión de los conjuntos

Ω1 = x ∈ Ω | f(x) = m, Ω2 = x ∈ Ω | f(x) < m.

La continuidad de f implica que Ω2 es abierto. Si probamos que Ω1 tambiénlo es, por conexión uno de los dos será vacío, pero como f no es constante tendráque serlo Ω1 y 1) quedará demostrado. Para probar que Ω1 es abierto podemossuponer que es no vacío, lo que implica que m es finito.

Tomemos x0 ∈ Ω1. Al ser f subharmónica, para r suficientemente pequeñose cumple

0 ≤∫‖x−x0‖=r

f(x) dσ − σ(∂Br(x0))f(x0) =

∫‖x−x0‖=r

(f(x)− f(x0)

)dσ.

Como f(x) − f(x0) = f(x) −m ≤ 0, la desigualdad anterior es una igualdad,y f(x) = m para todo x tal que ‖x − x0‖ = r, para todo r suficientementepequeño, es decir, hay un entorno de x0 contenido en Ω1. Esto prueba 1). Elapartado 2) es una consecuencia inmediata.

Obviamente, las funciones superharmónicas cumplen un “principio del míni-mo” análogo.

Como primera aplicación generalizamos la propiedad que define a las fun-ciones subharmónicas:

Teorema 2.31 Sea Ω ⊂ Cn un abierto acotado y sean f, h : Ω −→ R funcionescontinuas tales que f es subharmónica en Ω, h es harmónica y f ≤ h en ∂Ω.Entonces f ≤ h en Ω.

Demostración: La función f − h es subharmónica en Ω, luego, para todox0 ∈ Ω, se cumple que

f(x0)− h(x0) ≤ máxx∈∂Ω

(f(x)− h(x)) ≤ 0,

luego f ≤ h en Ω.

Las funciones subharmónicas son necesariamente diferenciables ni cumplenun principio de prolongación analítica. Como contrapartida, esto las hace más“flexibles”, en el sentido de que hay más manipulaciones que conservan el caráctersubharmónico, como muestran los dos teoremas siguientes:


Teorema 2.32 Si Ω ⊂ Rn es un abierto no vacío, f1, f2 son funciones sub-harmónicas en Ω y α, β ≥ 0, entonces αf1 + βf2 y máxf1, f2 son tambiénsubharmónicas en Ω.

Demostración: Dado un punto x0 ∈ Ω y un r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω,sean h1, h2 las soluciones del problema de Dirichlet en B determinado por f1 yf2, respectivamente. Entonces αh1 +βh2 es la solución al problema de Dirichletdeterminado por αf1 + βf2. Como f1 y f2 son subharmónicas sabemos quef1 ≤ h1 f2 ≤ h2 en toda la bola, luego αf1 + βf2 ≤ αh1 + βh2, luego αf1 + βf2

es subharmónica.Similarmente, si h es la solución al problema de Dirichlet asociado a la

función continua máxf1, f2, tenemos que h − h1, h − h2 ≤ 0 en la frontera,luego, por el principio del máximo, las desigualdades se cumplen en toda la bola,es decir, que f1 ≤ h1 ≤ h, f2 ≤ h2 ≤ h, luego máxf1, f2 ≤ h, lo que pruebaque máxf1, f2 es subharmónica.

Teorema 2.33 Sea Ω un abierto en Rn y B una bola cerrada contenida en Ω.Sea f una función subharmónica en Ω y f∗ la función continua que coincidecon f en Ω\B y es harmónica en el interior de B. Entonces f∗ es subharmónicaen Ω.

Demostración: Aplicaremos el teorema 2.28. Basta considerar puntosx0 ∈ ∂B. Notemos que f ≤ f∗ en Ω. Entonces

f∗(x0) = f(x0) ≤ 1

σ(∂Br(x0))

∫‖x−x0‖=r

f(x) dσ ≤ 1

σ(∂Br(x0))

∫‖x−x0‖=r

f∗(x) dσ.

De aquí deducimos a su vez:

Teorema 2.34 Si f : Ω −→ R es una función subharmónica en un abierto deRn y BR(x0) ⊂ Ω, entonces la función valor medio

M(f, x0, r) =1

σ(∂Br(x0))

∫‖x−x0‖=r

f(x) dσ

es creciente en el intervalo ]0, R[.

Demostración: Tomemos 0 < r1 < r2 < R y sea f∗ la modificación de fdada por el teorema anterior aplicado a la bola B(x0, r1). Entonces

M(f, x0, r1) = f∗(x0) ≤M(f∗, x0, r2) = M(f, x0, r2).


Aproximación por funciones diferenciables Finalmente vamos a probarque toda función subharmónica se puede aproximar por una función subharmó-nica de clase C∞.

Partimos de una función subharmónica f : Ω −→ R en un abierto Ω ⊂ Rn.Si Ω 6= Rn, fijado ε > 0 llamamos Ωε = x ∈ Ω | d(x, ∂Ω) > ε, que es unsubconjunto abierto de Ω (pues la distancia a un conjunto es una aplicacióncontinua [An 2.59]), y es no vacío para todo ε suficientemente pequeño. SiΩ = Rn tomamos Ωε = Ω. En cualquier caso, si x ∈ Ωε, tenemos que Bε(x) ⊂ Ω.Además, si 0 < ε < ε′ se cumple que Ωε′ ⊂ Ωε y

Ω =⋃ε>0

Ωε.

En [GD 1.17] construimos una función ρ : Rn −→ R de clase C∞ estric-tamente positiva en B1(0) y nula fuera de la bola abierta, con la propiedadadicional de que ρ(x) = ρ(‖x‖). Multiplicándola por una constante podemosexigir que ∫

Rnρ(x) dx1 · · · dxn = 1.

Llamamos ρε(x) = ε−nρ(x/ε). Esta función es de clase C∞, es estrictamentepositiva en Bε(0), nula fuera de esta bola, también es radial (es decir, quecumple ρε(x) = ρε(‖x‖)) y sigue teniendo integral igual a 1 (como se compruebaaplicando el teorema de cambio de variable).

Definimos fε : Ωε −→ R mediante

fε(y) =

∫Ω

f(x)ρε(y − x) dx1 · · · dxn =

∫Bε(y)

f(x)ρε(y − x) dx1 · · · dxn.

La integral está bien definida, porque el integrando sólo es no nulo en Bε(y),y es continuo en la bola cerrada. El teorema [An 8.57] nos da que fε(y) es declase C∞ en Ωε.

Teorema 2.35 Sea f : Ω −→ R una función subharmónica en un abierto Ω ⊂Rn y, para cada ε > 0 tal que Ωε 6= ∅, sea fε : Ωε −→ R la función que acabamosde definir. Entonces:

1. fε es de clase C∞.

2. fε es subharmónica en Ωε.

3. Si 0 < ε < ε′, entonces f ≤ fε ≤ fε′ en Ωε′ .

4. Si K ⊂ Ω es compacto, para todo η > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < ε < δentonces K ⊂ Ωε y ‖fε|K − f |K‖K < η.

Demostración: Ya tenemos probado que fε es de clase C∞. Ahora obser-vamos que el cambio de variable x∗ = y − x nos da la expresión alternativa

fε(y) =

∫Bε(0)

f(y − x)ρε(x) dx1 · · · dxn.


Probamos que fε es subharmónica mediante el teorema 2.28. Para ello to-mamos x0 ∈ Ωε y r > 0 tal que 0 < r < d(x0, ∂Ω) − ε (o r > 0 arbitrario si∂Ω = 0). Así

1

σ(∂Br(x0))

∫‖y−x0‖=r

fε(y) dσ =

1

σ(∂Br(x0))

∫‖y−x0‖=r

∫Bε(0)

f(y − x)ρε(x)dx1 · · · dxn dσ =

1

σ(∂Br(x0))

∫Bε(0)

ρε(x)

∫‖y−x0‖=r

f(y − x) dσ dx1 · · · dxn =∫Bε(0)

ρε(x)1

σ(∂Br(x0 − x))

∫‖y−(x0−x)‖=r

f(y) dσ dx1 · · · dxn ≥∫Bε(0)

ρε(x)f(x0 − x) dx1 · · · dxn = fε(x0).

Para demostrar las propiedades siguientes usamos el cambio de variable des-crito antes de [GD 4.31], es decir, el cambio ]0,+∞[× Sn−1 −→ Rn \ 0 dadopor (r, x) 7→ rx. La relación entre los elementos de medida es dm = rn−1dr∧dσ,luego:

fε(y) =

∫Bε(0)

f(y − x)ρε(x) dx1 · · · dxn

=

∫ ε

0

∫‖z‖=1

rn−1f(y − rz)ρε(rz) dσ dr

=

∫ ε

0

rn−1ρε(r)

∫‖z‖=1

f(y − rz) dσ dr

=

∫ 1

0

rn−1εnρε(rε)

∫‖z‖=1

f(y − rεz) dσ dr

=

∫ 1

0

ρ(r)1

εn−1

∫‖z−y‖=rε

f(z) dσ dr

= σ(∂B1(0))

∫ 1

0

ρ(r)rn−1 1

σ(∂Brε(y))

∫‖z−y‖=rε

f(z) dσ dr

= σ(∂B1(0))

∫ 1

0

ρ(r)rn−1M(f, y, rε) dr.

El teorema 2.34 implica entonces que si ε < ε′ entonces fε ≤ fε′ . Además,como f es subharmónica, tenemos que

fε(y) ≥ σ(∂B1(0))

∫ 1

0

ρ(r)rn−1f(y) dr = f(y)

∫ 1

0

∫‖z‖=1

ρ(rz)rn−1 dσ dr

= f(y)

∫‖x‖≤1

ρ(x) dx1 · · · dxn = f(y).

Esto completa la prueba de la tercera propiedad.


Si K ⊂ Ω es compacto, dado η > 0 podemos tomar δ > 0 suficientementepequeño para que si 0 < ε < δ entonces K ⊂ Ωε y si y ∈ K y ‖z − y‖ ≤ εentonces |f(z)− f(y)| < η. Esto implica que

|M(f, y, rε)− f(y)| =

∣∣∣∣∣ 1

σ(∂Brε(y))

∫‖z−y‖=rε

(f(z)− f(y)) dσ

∣∣∣∣∣ ≤1

σ(∂Brε(y))

∫‖z−y‖=rε

|f(z)− f(y)| dσ ≤ η.

De aquí se sigue a su vez que

|fε(y)− f(y)| =∣∣∣∣σ(∂B1(0))

∫ 1

0

ρ(r)rn−1M(f, y, rε) dr − f(y)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣σ(∂B1(0))

∫ 1

0

ρ(r)rn−1M(f, y, rε) dr − σ(∂B1(0))

∫ 1

0

ρ(r)rn−1f(y) dr

∣∣∣∣≤ σ(∂B1(0))

∫ 1

0

ρ(r)rn−1|M(f, y, rε)− f(y)| dr ≤ η σ(∂B1(0))

∫ 1

0

ρ(r)rn−1 dr

= η

∫ 1

0

∫‖z‖=1

ρ(rz)rn−1 dσ dr = η

∫‖x‖≤1

ρ(x) dx1 · · · dxn = η.

Como aplicación generalizamos el teorema 2.18 (y también 2.29):

Teorema 2.36 Consideremos abiertos Ω1 ⊂ Cn, Ω2 ⊂ C, una función ho-lomorfa f : Ω1 −→ Ω2 y una función subharmónica (resp. superharmónica,harmónica) g : Ω2 −→ R. Entonces la composición f g es subharmónica (resp.superharmónica, harmónica) en Ω1.

Demostración: Basta probarlo para funciones subharmónicas, pues apli-cando el resultado a −f tenemos el correspondiente a funciones superharmóni-cas, y ambos implican el resultado para funciones harmónicas.

Si n = 1 y f es de clase C2, la conclusión se sigue de un cálculo rutinario,usando la regla de la cadena, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y el hecho deque Re f , Im f son harmónicas, que nos da la relación

∆(f g) = (f ∆g)|f ′|2.

Basta entonces aplicar el teorema 2.27. Si n > 1, el laplaciano de f g es lasuma de los laplacianos de las funciones que resultan de fijar todas las variablesmenos una en f g o, equivalentemente, en f . Como estos laplacianos parcialesson ≥ 0, el laplaciano total también lo es.

Pasamos ahora al caso general en el que g no es necesariamente de clase C2.Dado z ∈ Ω1, tomamos ε > 0 tal que f(z) ∈ Ω2ε y consideramos la función gε

2.5. El problema de Dirichlet 57

dada por el teorema anterior. Por la parte ya probada, f gε es subharmónicaen f−1[Ω2ε], luego, para r suficientemente pequeño,

g(f(z)) ≤ gε(f(z)) ≤ 1

σ(∂Br(z))

∫‖w−z‖=r

gε(f(w)) dσ.

Aplicando la última parte del teorema anterior a K = f [∂Br(z)] obtenemos queel miembro derecho converge a la expresión análoga con g en lugar de gε cuandoε tiende a 0, luego concluimos que

g(f(z)) ≤ gε(f(z)) ≤ 1

σ(∂Br(z))

∫‖w−z‖=r

g(f(w)) dσ,

y esto prueba que f g es subharmónica.

2.5 El problema de DirichletHemos probado que el problema de Dirichlet tiene a lo sumo una solución en

cada abierto con frontera no vacía, pero sólo hemos probado que tiene soluciónen el caso de las bolas abiertas. En esta sección demostraremos que existesolución para una familia muy amplia de abiertos.

Sea Ω ⊂ Rn un abierto acotado y sea f : ∂Ω −→ R una función continua.Llamaremos familia de Perron de f al conjunto P (f,Ω) de todas las funcionescontinuas u : Ω −→ R, subharmónicas en Ω y tales que u|∂Ω ≤ f . Si M esuna cota de f , el principio del máximo prueba que toda función u en estascondiciones cumple u ≤ M en Ω. Por consiguiente podemos definir la funciónde Perron de f como

Pf (x) = supu(x) | u ∈ P (f,Ω), para x ∈ Ω.

Ahora observamos que si el problema de Dirichlet tiene solución para f en Ω,entonces la solución ha de ser Pf . En efecto, la solución g está obviamente enP (f,Ω), luego g ≤ Pf . Por otra parte, si u ∈ P (f,Ω) la función u − g essubharmónica y en ∂Ω es ≤ 0, luego por el principio del máximo se cumpleu− g ≤ 0 en Ω, o sea, u ≤ g, luego Pf ≤ g.

Para probar que Pf es realmente solución del problema de Dirichlet hemosde ver dos cosas: que es harmónica y que tiende a f en ∂Ω. Lo primero podemosprobarlo ya:

Teorema 2.37 Sea Ω un abierto acotado en Rn y sea f : ∂Ω −→ R una funcióncontinua. Entonces Pf es harmónica en Ω.

Demostración: Tomemos x0 ∈ Ω y sea r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω. Cla-ramente, podemos tomar una sucesión de funciones uk ∈ P (f,Ω) tales quelímkuk(x0) = Pf (x0). Sustituyendo cada un por el máximo de todas las prece-

dentes podemos suponer que uk es creciente.


El teorema 2.33 nos da funciones vk ∈ P (f,Ω) que son harmónicas en Br(x0).La sucesión vk también es creciente y, como uk(x0) ≤ vk(x0) ≤ Pf (x0), lasucesión vk(x0) también converge a Pf (x0).

El teorema de Harnack 2.25 implica que vk|Br(x0) converge casi uniforme-mente a una función harmónica v. Sólo hay que probar que v = Pf |Br(x0), y asíPf será harmónica en un entorno de cada uno de los puntos de su dominio.

Fijemos x ∈ Br(x0) y tomemos una sucesión de funciones wk ∈ P (f,Ω)tales que lím

kwk(x) = Pf (x). Cambiando wk por el máximo de las precedentes

y de vk podemos suponer que las sucesión es creciente y que vk ≤ wk. Másaún, si cambiamos wk por la modificación que resulta de aplicar el teorema 2.33a la bola Br(x0) se conservan todas las propiedades indicadas y además cadawk es harmónica en la bola. Nuevamente, el teorema de Harnack nos da que lasucesión wk|Br(x0) converge a una función harmónica w.

Como vk(x0) ≤ wk(x0) ≤ Pf (x0), tenemos que w(x0) = v(x0) = Pf (x0),pero v ≤ w, luego v − w ≤ 0 es una función harmónica en Br(x0) que alcanzasu máximo en x0. Esto sólo es posible si es constante, es decir, si v = w, con loque v(x) = w(x) = Pf (x).

Ejemplo En general no es cierto que Pf coincida con f en ∂Ω. Por ejemplo,tomemos Ω = B1(0) \ (0, 0) ⊂ R2 y sea f la función que vale 0 en ∂B1(0) yf(0) = 1.

Dado u ∈ P (f,Ω), por el principio del máximo se cumple que ‖u‖ ≤ 1.Dado 0 < ε < 1, la función hε(x) = (log ‖x‖)/ log ε es harmónica en el anillocomprendido entre las circunferencias de centro 0 y radios ε y 1 (teorema 7.12).Además hε vale 0 sobre la circunferencia exterior y 1 sobre la interior. Enconsecuencia u ≤ hε en la frontera del anillo. Como u−hε es subharmónica, dehecho u ≤ hε en todo el anillo (por el principio del máximo), es decir,

u(x) ≤ log ‖x‖log ε

,

para 0 < ε ≤ ‖x‖ < 1. Si fijamos x y hacemos tender ε a 0 queda u(x) ≤ 0 paratodo x ∈ B1(0)\0 y toda u ∈ P (f,Ω). Por consiguiente Pf = 0 y no convergea f en 0. No existe ninguna función harmónica en Ω continua en B1(0) quetome el valor 0 para ‖x‖ = 1 y el valor 1 en x = 0.

Veamos una condición necesaria para que las funciones continuas en lafrontera de un abierto acotado Ω se extiendan a funciones harmónicas en Ω.Cuando Ω tiene esta propiedad se dice que es una región de Dirichlet. Dado unpunto a ∈ ∂Ω, podemos considerar la función

f(x) =‖x− a‖

1 + ‖x− a‖.

Claramente se trata de una función continua y acotada en Rn (toma valoresen [0, 1]) y que se anula únicamente en a. Si Ω es una región de Dirichlet existeuna función continua h : Ω −→ R harmónica en Ω y que coincide con f en ∂Ω.

2.5. El problema de Dirichlet 59

En particular h(a) = 0 y h(x) > 0 para todo x ∈ ∂Ω, x 6= a. Vamos a probarque una condición más débil que ésta es también suficiente para que Ω sea unaregión de Dirichlet.

Definición 2.38 Sea Ω un abierto en Rn distinto de ∅ y de Rn. Para cadaε > 0 y a ∈ ∂Ω sea Ωε(a) = Ω ∩Bε(a). Una barrera para Ω en a es una funcióncontinua u : Ωε(a) −→ R subharmónica en Ωε(a) tal que u(a) = 0 y u(x) < 0para todo x ∈ ∂Ωε(a), x 6= a.

Es claro que si Ω es una región de Dirichlet entonces tiene una barrera encada punto de su frontera (para cualquier ε > 0, restringimos a Ωε(a) la función−h que hemos construido en el párrafo anterior).

Las regiones de Dirichlet admiten la caracterización siguiente:

Teorema 2.39 Un abierto acotado Ω ⊂ Rn es una región de Dirichlet si y sólosi tiene una barrera en cada punto de su frontera.

Demostración: Ya hemos visto que la condición es necesaria. Veamos quetambién es suficiente. Para ello tomamos una función continua f : ∂Ω −→ R.Basta probar que Pf es continua en Ω y que coincide con f en ∂Ω.

Fijemos un punto a ∈ ∂Ω y sea v : Ωε(a) −→ R una barrera para Ω en a.Por el principio del máximo v < 0 en Ωε(a). Tomando 0 < r < ε tenemos quev < 0 en el compacto Ωε(a) \ Br(a), luego existe un η > 0 tal que v ≤ −η endicho compacto. Sea w : Ωε(a) −→ R el máximo entre −η y v. Entonces w estambién una barrera para Ω en a con la propiedad adicional de que vale −η fuerade Br(a), luego se puede extender de forma constante a w : Ω −→ R y siguecumpliendo las propiedades de una barrera (salvo que su dominio es mayor).

Concretamente, tenemos una función continua w : Ω −→ R, subharmónicaen Ω, tal que w(x) < 0 para todo x ∈ ∂Ω, x 6= a y w(a) = 0.

Como f es continua en a, dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que

f(a)− ε < f(x) < f(a) + ε

para todo x ∈ Bδ(a) ∩ ∂Ω. Como w tiene máximo M < 0 en ∂Ω \ Bδ(a),tomando K > 0 suficientemente grande para que

|f(x)− f(a)| < ε−KM

para todo x ∈ ∂Ω \Bδ(a), tenemos que

f(a)− ε+Kw(x) < f(x) < f(a) + ε−Kw(x)

para todo x ∈ ∂Ω. Vamos a probar que

f(a)− ε+Kw(x) ≤ Pf (x) ≤ f(a) + ε−Kw(x)

para todo x ∈ Ω.


La primera desigualdad se cumple porque f(a) − ε + Kw ∈ P (f,Ω). Paraprobar la segunda tomamos u ∈ P (f,Ω), con lo que u|∂Ω ≤ f , luego

u(x) +Kw(x) ≤ f(x) +Kw(x) < f(a) + ε

para todo x ∈ ∂Ω. Como u+Kw es subharmónica, tenemos

u(x) +Kw(x) ≤ f(a) + ε

para todo x ∈ Ω, luego u ≤ f(a) + ε−Kw y, como esto vale para toda funciónu ∈ P (f,Ω), vale también para Pf . Así pues:

|Pf (x)− f(a)| ≤ −Kw(x) + ε

para todo x ∈ Ω y, como vale para todo ε > 0, de hecho tenemos la desigualdad|Pf (x) − f(a)| ≤ −Kw(x). Por último, como w es continua y w(a) = 0, estoimplica que existe

límx→a

Pf (x) = f(a).

Observemos que la existencia de barreras es una condición que se cumpleen una gran clase de abiertos. Por ejemplo, si Ω \ a está contenido en unsemiespacio abierto determinado por un hiperplano H que pase por a, entoncesuna barrera en a es cualquier aplicación afín que se anule en el hiperplano y seanegativa en el semiespacio que contiene a Ω \ a. A partir de aquí se puedeprobar que todo abierto convexo y acotado es una región de Dirichlet.

Más en general, si existe una bola cerrada B de manera que B ∩ Ω = aentonces Ω tiene una barrera en a. Concretamente, si B = Br(x0), una barreraes

u(x) =

log r − log ‖x− x0‖ si n = 2,‖x− x0‖2−n − r2−n si n > 2.

2.6 La transformada de KelvinEl teorema 2.18 implica en particular que si f : Ω −→ R es una función

harmónica en un abierto Ω ⊂ C \ 0, entonces la función f(1/z) también lo es.Como la conjugación compleja es una isometría de R2, el teorema 2.3 nos daque g(z) = f(1/z) también es harmónica en su dominio. Ahora bien, la función

J(z) =1

z=

z

|z|2

tiene una interpretación geométrica precisa: es la inversión respecto de la cir-cunferencia unitaria en el sentido de [G A.5]. La inversión

J(x) =x

‖x‖2

está definida en cualquier espacio Rn, por lo que cabe preguntarse si f(J(x))es harmónica siempre que f lo es en un abierto de Rn \ 0. La respuesta esnegativa, pero se vuelve afirmativa con un ligero retoque:

2.6. La transformada de Kelvin 61

Definición 2.40 Si Ω ⊂ Rn \ 0, definimos la transformada de Kelvin comoel operador K : C(Ω) −→ C(J [Ω]) dado por

K[f ](x) = ‖x‖2−nf(x/‖x‖2).

Notemos que para n = 2 es simplemente K[f ](x) = f(x/‖x‖2) o, identifi-cando R2 = C, es K[f ](z) = f(1/z).

Es claro que K es un operador lineal, y que K K es la identidad (lo cualno significa exactamente que K = K−1, pues en realidad se trata de dos funcio-nes distintas con dominios distintos). También es fácil ver que K es continuorespecto de la topología de la convergencia casi uniforme.

Vamos a probar que la transformada de Kelvin de una función harmónica esharmónica. Para ello necesitamos algunos resultados previos. Los primeros soncomprobaciones rutinarias que dejamos a cargo del lector:

• Si u, v son funciones de clase C2 en un abierto de Rn, entonces

∆(uv) = u∆v + 2∇u∇v + v∆u.

• ∇‖x‖k = k‖x‖k−2x.

• ∆(‖x‖k) = k(k + n− 2)‖x‖k−2 (donde n es la dimensión del espacio).

• Si p ∈ R[X1, . . . , Xm] es una forma de grado m, entonces x · ∇p = mp.

En efecto, para todo λ ∈ R se cumple que p(λx) = λmp(x), y al derivarrespecto de λ queda ∇p(λx)x = mλm−1p(x). Basta hacer λ = 1.

• Si p ∈ R[X1, . . . , Xm] es una forma de grado m, entonces

∆(‖x‖kp) = ‖x‖k∆p+ k(2m+ k + n− 2)‖x‖k−2p.

(Se obtiene fácilmente aplicando los resultados precedentes.)


∆(‖x‖2−n−2mp) = ‖x‖2−n−2m∆p.


K[p](x) = ‖x‖2−n−2mp(x).

Con esto ya podemos calcular el laplaciano de la transformada de Kelvin:

Teorema 2.41 Si Ω ⊂ Rn\0 es un abierto no vacío y f : Ω −→ R, entonces fes harmónica en Ω si y sólo K[f ] lo es en J [Ω].


Demostración: Si p es una forma de grado m, entonces

∆K[p] = ∆(‖x‖2−n−2mp) = ‖x‖2−n−2m∆p = K[‖x‖4∆p].

En la última igualdad hemos usado la última propiedad precedente, teniendo encuenta que ‖x‖4∆p es una forma de grado m+ 2.

Como todo polinomio se descompone en suma finita de formas, la linealidadde ∆ y K implica que la igualdad precedente vale para polinomios cualesquiera.En particular, si p es un polinomio harmónico, K[p] es una función harmónica.

Ahora, si f es harmónica y a ∈ Ω, el teorema 2.22 nos da (en un entorno

de a) el desarrollo en serie de Taylor f(x) =∞∑m=0

Pmf,a(x − a), donde Pmf,a es

una forma harmónica de grado m (o la forma nula), luego Pmf,a(x − a) es unpolinomio harmónico.

Como la convergencia es casi uniforme, el teorema 2.23 nos da que f esharmónica en un entorno de a, luego lo es en su dominio Ω.

Recíprocamente, si K[f ] es harmónica, entonces f = K[K[f ]] también lo es,por la parte ya probada.

La transformada de Kelvin nos permite definir el concepto de función harmó-nica en ∞. Para ello consideramos a Rn como subespacio topológico de sucompactificación de Alexandroff Rn∞:

Definición 2.42 Sea Ω ⊂ Rn∞ un abierto tal que ∞ ∈ Ω y f : Ω −→ R.Diremos que f es harmónica en Ω si f |Ω\∞ es harmónica y K[f ] se extiendea una función harmónica en 0.

Así, si extendemos J : Rn∞ −→ Rn∞ mediante J(0) =∞, J(∞) = 0, tenemosdefinido K : H(Ω) −→ H(J [Ω]) para abiertos Ω ⊂ Rn∞. Si f es harmónica enun entorno de ∞ tenemos que existe

límx→0‖x‖2−nf(x/‖x‖2) = L.

Si n = 2 esto se reduce a que límx→∞

f(x) = L, mientras que si n > 2 tenemos quelímx→0 f(x/‖x‖) = 0 y por consiguiente lím

x→∞f(x) = 0. Vamos a probar que

estas condiciones necesarias son, de hecho, suficientes:

Teorema 2.43 Sea n ≥ 3, sea Ω ⊂ Rn∞ un abierto tal que ∞ ∈ Ω y seaf : Ω −→ R una función harmónica en Ω \ ∞. Entonces f es harmónicaen ∞ si y sólo si existe lím

x→∞f(x) = 0.

Demostración: Ya hemos probado una implicación. Si existe el límite,entonces lím

x→0f(x/‖x‖2) = 0 (porque J(∞) = 0 y es continua), luego

límx→0‖x‖n−2K[f ](x) = 0.

El teorema 2.14 nos da que K[f ] se extiende a una función harmónica en 0,luego f es harmónica en ∞.

El caso n = 2 tiene que ser tratado aparte:

2.6. La transformada de Kelvin 63

Teorema 2.44 Sea Ω ⊂ Rn∞ un abierto tal que ∞ ∈ Ω y sea f : Ω −→ Runa función harmónica en Ω \ ∞. Entonces las afirmaciones siguientes sonequivalentes:

1. f es harmónica en ∞.

2. Existe límx→∞

f(x) ∈ R.

3. límx→∞

f(x)

log ‖x‖= 0.

4. Existe R > 0 tal que f está acotada en x ∈ Rn | ‖x‖ ≥ r.

Demostración: Ya hemos visto que 1) ⇒ 2) y claramente 2) ⇒ 3). Si secumple 3), tenemos que

límx→0

K[f ](x)

log ‖x‖= límx→0

f(x/‖x‖2)

log ‖x‖= límx→∞

− f(x)

log ‖x‖= 0,

luego el teorema 2.14 implica que K[f ] se extiende a una función harmónicaen 0, luego se cumple 1). También es obvio que 2) ⇒ 4) ⇒ 3).

A su vez esto nos permite resolver el problema de Dirichlet para el comple-mentario de una bola. Por simplicidad nos restringimos a la bola unitaria, peroes fácil pasar de aquí al caso general:

Teorema 2.45 Sea B∗ = Rn∞ \ B1(0) y sea f : ∂B1(0) −→ R una funcióncontinua. Entonces existe una única función continua uf : B∗ −→ R, harmónicaen B∗ que extiende a f .

Demostración: Si v : B1(0) −→ R es la solución del problema de Dirichletasociado a f en la bola unitaria y u = K[v] : B∗ −→ R, es obvio queu es unasolución del problema de Dirichlet en B∗. Recíprocamente, si u∗ es otra solución,entonces K[u∗] resuelve el problema de Dirichlet de f en la bola unitaria, luegoK[u∗] = v, luego u∗ = K[v] = u.

Notemos que la unicidad del teorema anterior requiere que la función seaharmónica en ∞, pues si a una solución del problema de Dirichlet le sumamos‖x‖2−n (para n > 2) o bien log ‖x‖ (para n = 2) obtenemos otra solucióndistinta harmónica en B∗ \∞, pero no en ∞.

Podemos encontrar una expresión integral explícita para la solución del pro-blema de Dirichlet en el exterior de una bola. Nos apoyamos en la igualdad:∥∥∥∥ y

‖y‖− ‖y‖x

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥ x

‖x‖− ‖x‖y

∥∥∥∥ ,que se prueba sin más que elevar al cuadrado y desarrollar los productos esca-lares. En particular, si ‖y‖ = 1 se reduce a

‖x− y‖ =

∥∥∥∥ x

‖x‖− ‖x‖y

∥∥∥∥ .


Ahora, con la notación de la prueba del teorema anterior:

u = K[v] = ‖x‖2−n 1

σ(∂B1(0))

∫‖y‖=1

1− ‖x/‖x‖2‖2

‖x/‖x‖2 − y‖nf(y) dσ

= ‖x‖2−n 1

σ(∂B1(0))

∫‖y‖=1

1− 1/‖x‖2

‖x/‖x‖ − ‖x‖y ‖n/‖x‖nf(y) dσ

=1

σ(∂B1(0))

∫‖y‖=1

‖x‖2 − 1

‖x/‖x‖ − ‖x‖y ‖nf(y) dσ

=1

σ(∂B1(0))

∫‖y‖=1

‖x‖2 − 1

‖x− y‖nf(y) dσ

=1

σ(∂B1(0))

∫‖y‖=1

Pe(x, y)f(y) dσ,

donde el núcleo de Poisson para el exterior de una esfera es

Pe(x, y) =‖x‖2 − ‖y‖2

‖x− y‖n= −P (x, y).

2.7 El teorema de la divergencia

En la prueba del teorema del valor medio de Gauss hemos usado la versiónsiguiente del teorema de la divergencia:

Teorema de la divergencia Consideremos un abierto Ω ⊂ Rn y sea V unabierto acotado cuya clausura V ⊂ Ω admita estructura de variedad con frontera.Sea N : ∂V −→ Rn una determinación del vector normal unitario que induzcala orientación de ∂V (es decir, que apunte hacia afuera de V ). Si F : Ω −→ Rnes una función de clase C1, entonces∫

V

divF dm =

∫∂V

〈F,N〉 dσ,

donde dm y dσ son la medida de Lebesgue en V y ∂V , respectivamente.

El teorema de la divergencia es una consecuencia inmediata del teorema deStokes, y ya hemos señalado en la prueba del teorema [VC 1.26] que la pruebadada en [GD] vale sin cambio alguno para formas diferenciales de clase C1. Loúnico que falta por comprobar entonces es que la relación

d(〈F,N〉 dσ) = divF dm

es válida para funciones de clase C1. (Recordemos que en la sección 1.3 de [VC]explicamos cómo tratar con formas diferenciales de clase C1 y cómo podemosconsiderar definida sobre ellas la diferencial exterior). Esto no es inmediato a

2.7. El teorema de la divergencia 65

partir de la definición abstracta de divergencia dada en [GD]. Ahora bien, en laprueba del teorema del valor medio sólo hemos usado la relación

divF =

n∑i=1

∂F

∂xi,

que aquí podemos tomar como definición de divergencia.

Para probar la relación requerida observamos en primer lugar que si w ∈ Rn,la forma diferencial

ω =n∑i=1

(−1)i+1wi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn

cumple que ω(v1, . . . , vn−1) es el determinante de la matriz que tiene por filaslas coordenadas de w, v1, . . . , vn−1. En efecto,

(dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn)(v1, . . . , vn−1)

es el determinante de la matriz cuyas filas son las coordenadas de v1, . . . , vn−1

sin su columna i-ésima, luego ω(v1, . . . , vn−1) es el determinante de la matrizcuyas filas son las coordenadas de w, v1, . . . , vn−1.

Si aplicamos esto cuando w = N(p) y v1, . . . , vn−1 ∈ Tp(V ), dicho determi-nante es la medida de Lebesgue del paralelepípedo determinado por los vectoresN(p), v1, . . . , vn−1, y como N(p) es unitario y normal a los otros vectores, estambién la medida de Lebesgue del paralelepípedo formado por v1, . . . , vn−1, esdecir, dσ|p(v1, . . . , vn−1), con lo que obtenemos la expresión

dσ =n∑i=1

(−1)i+1Ni dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn.

Por otra parte, podemos descomponer F |∂V = 〈F,N〉N +T , donde T es uncampo de vectores tangentes a ∂V . Entonces

n∑i=1

(−1)i+1Ti dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn = 0

(como forma en Λn−11 (V )), pues al actuar sobre vectores v1, . . . , vn−1 ∈ Tp(V )

es el determinante de la matriz formada por las coordenadas de los vectoresT (p), v1, . . . , vn−1, que son linealmente dependientes. Por consiguiente,

〈F,N〉 dσ =n∑i=1

(−1)i+1 〈F,N〉Ni dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn

=n∑i=1

(−1)i+1Fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn.

Con esta expresión para el flujo ya es inmediato comprobar que su diferenciales divF dm.

Capítulo III

Harmónicos esféricos

En principio podríamos resumir el contenido de este capítulo sin faltar ala verdad diciendo que vamos a estudiar los polinomios harmónicos, pero enrealidad veremos que los resultados que vamos a obtener nos proporcionaráninformación sobre una clase muy amplia de funciones definidas sobre esferas,concretamente sobre el espacio L2(Sd), lo que en particular incluye a todas lasfunciones continuas en Sd.

Aunque en muchas aplicaciones las funciones involucradas tomarán valoresreales, desde un punto de vista teórico es útil trabajar con funciones con valorescomplejos. Como es habitual, usaremos la letra K para referirnos indistinta-mente a R o a C.

De acuerdo con [VC 1.16], si (X,µ) es un espacio medida y f : X −→ C esuna función arbitraria, podemos expresarla de forma única como f = f1 + if2.Diremos que f es medible (resp. integrable) si lo son f1 y f2, y definimos∫

X

f dµ =

∫X

f1 dµ+ i

∫X

f2 dµ.

A su vez, el espacio Lp(µ) se define como el espacio de las funciones mediblesf : X −→ K tales que

‖f‖p =

(∫X

|f |p dµ)1/p

<∞,

donde |f |p =(√

f21 + f2

2

)p es una función real.

Toda la teoría sobre los espacios Lp se puede desarrollar en este contextomás general o, alternativamente, podemos demostrar fácilmente los resultadospara funciones complejas a partir de los resultados correspondientes a funcionesreales. Por simplicidad consideraremos únicamente el caso p = 2, que es el quevamos a necesitar.

Observamos en primer lugar que, para una función compleja, el módulo|f |2 = |f1|2+|f2|2 es integrable si y sólo si lo son |f1|2 y |f2|2, es decir, f ∈ L2(µ)si y sólo si f1, f2 ∈ L2(µ). Además, ‖f‖2 =

√‖f1‖22 + ‖f2‖22.

67

68 Capítulo 3. Harmónicos esféricos

De aquí se sigue inmediatamente que ‖ ‖2 es “casi” una norma en el casocomplejo, y que induce una norma en el espacio vectorial cociente definido por elsubespacio de L2(µ) formado por las funciones de norma nula. A dicho cocientelo llamaremos también L2(µ). Es inmediato que el espacio complejo L2(µ)es el producto del espacio real correspondiente por sí mismo en el sentido delteorema [An 2.3]. Esto implica a su vez que se trata de un espacio de Banach.

Podemos dotar a L2(µ) de estructura de espacio de Hilbert con el productoescalar dado por

〈f, g〉 =

∫X

fg dµ =

∫X

f1g1 dµ+

∫X

f2g2 dµ+ i

(∫X

f2g1 dµ−∫X

f1g2 dµ

)= 〈f1, g1〉+ 〈f2, g2〉+ i(〈f2, g1〉 − 〈f1, g2〉), (3.1)

donde los últimos productos escalares son los correspondientes al espacio L2(µ)con funciones reales.

Como vamos a considerar únicamente la medida de Lebesgue sobre diferentesespacios, en lo sucesivo escribiremos L2(X) en lugar de L2(µ), destacando elconjunto en el que trabajamos en lugar de su medida.

Por último observamos que el teorema [An 9.24] para el caso real implicainmediatamente su análogo complejo. En particular, podemos considerar aC(Sd,K) como subespacio denso de L2(Sd). A partir de aquí omitiremos elsubíndice 2 en la norma de L2.

3.1 Funciones homogéneas

Introducimos aquí algunos preliminares que vamos a necesitar, relativos alconcepto siguiente:

Definición 3.1 Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto. Una función f : Ω −→ K eshomogénea de grado α ∈ R si para todo x ∈ Ω y todo λ > 0 tal que λx ∈ Ω secumple que f(λx) = λαf(x).

Observemos que cuando α = 0 esto equivale a que f(λx) = f(x).

Es claro que si f = f1 + if2 entonces f es homogénea de grado α si y sólo silo son f1 y f2. Esto permite reducir al caso real todos los hechos que vamos aseñalar a continuación, aunque a menudo las pruebas son directas, sin necesidadde tal reducción.

Un polinomio no nulo f(x) ∈ K[x1, . . . , xn] (visto como función Rn −→ K)es homogéneo de grado m ∈ N si y sólo si es suma de monomios de grado m (esdecir, lo que hemos llamado una forma de grado m).

En efecto, es claro que toda suma de monomios de grado m es homogénea degrado m, así como que f se descompone de forma única como f = f0 + · · ·+ fr,

3.1. Funciones homogéneas 69

donde cada fi es una suma de monomios de grado i. Entonces, si λ > 0, tenemosque

λmf(x) = f0(x) + λf1(x) + · · ·+ λrfr(x).

Así pues, para cada x ∈ Rn tenemos que los dos miembros son polinomios en λque toman los mismos valores para todo λ > 0. Esto sólo puede ocurrir si sonel mismo polinomio, es decir, si f(x) = fm(x) para todo x ∈ Rn.

Observemos que los polinomios homogéneos cumplen la definición de homo-geneidad para todo λ ∈ R, no necesariamente positivo. Si K es un cuerpo arbi-trario podemos definir los polinomios homogéneos de grado m en K[x1, . . . , xn]como las sumas de monomios de grado m, y la definición coincide con la prece-dente para el caso en que K = K.

También es inmediato que las derivadas parciales de una función homogéneade grado α son homogéneas de grado α−1. En efecto, sólo tenemos que derivaren la relación que define la homogeneidad para obtener que

∂f

∂xi(λx)λ = λα

∂f

∂x⇒ ∂f

∂xi(λx) = λα−1 ∂f

∂x.

Las funciones homogéneas de clase C1 admiten una caracterización en tér-minos de sus derivadas:

Teorema 3.2 (Euler) Si Ω ⊂ Rn es abierto, una función f : Ω −→ K de claseC1 es homogénea de grado α ∈ R si y sólo si, para todo x ∈ Ω, se cumple

x1∂f

∂x1+ · · ·+ xn

∂f

∂xn= αf.

Demostración: Consideramos la ecuación f(λx) = λαf(x) y derivamosambos miembros respecto de λ:

∂f

∂x1(λx)x1 + · · ·+ ∂f

∂xn(λx)xn = αλα−1f(x).

Tomando λ = 1 resulta la ecuación del enunciado. Para probar el recíproco noperdemos generalidad si suponemos que f : Ω −→ R, pues el caso real implicatrivialmente el caso complejo. Si f cumple la ecuación del enunciado, llamamosg(λ) = f(λx), de modo que

g′(λ) =∂f

∂x1(λx)x1 + · · ·+ ∂f

∂xn(λx)xn = αλα−1f(x) =

α

λg(λ).

Tenemos así una ecuación diferencial de variables separables:

g′(λ)

g(λ)=α

λ,

luego log g(λ) = α log(λ) + c, luego g(λ) = kλα con k = g(1) = f(x), luegof(λx) = λαf(x).


Observamos ahora que toda función F : Rd+1 \ 0 −→ K homogénea degrado m ∈ N está determinada por su restricción f = F |Sd , pues obviamenteF (x) = rmf(x/r), donde r = ‖x‖. Recíprocamente, si f : Sd −→ K, la relaciónF (x) = rmf(x/r) define una extensión de f a Rd+1\0 homogénea de gradom.

Más precisamente, observemos que si f ∈ Ck(Sd), es decir, si para cadap ∈ Sd existe una carta X : U −→ Sd que cubre p de modo que X f es declase Ck, entonces la extensión F es de clase Ck en Rd+1 \ 0. Basta teneren cuenta que la función f(x/r) es de clase Ck, porque en un entorno de cadapunto se descompone como

x ∈ Rd+1 \ 0 | x/r ∈ X[U ] x/r−→ X[U ]f−→ K,

donde las dos funciones son de clase Ck, y claramente x 7→ rm también es declase Ck en Rd+1 \ 0.

Definición 3.3 Definimos el operador de Laplace-Beltrami en Sd como la apli-cación ∆d : C2(Sd,K) −→ C2(Sd,K) definida por ∆df = ∆F |Sd , dondeF (x) = f(x/r) es la extensión de f a Rd+1 \ 0 homogénea de grado 0.

Teniendo en cuenta que si F = F1 + iF2, entonces ∆F = ∆F1 + i∆F2, esclaro que si f = f1 + if2, entonces ∆df = ∆df1 + i∆df2. Como en el caso de lahomogeneidad, Esta relación permite reducir al caso real todas las propiedadesque vamos a considerar.

Observemos que, para puntos de Rd+1 \ 0 que no estén necesariamenteen Sd se cumple que ∆F (x) = r−2∆df(x/r) pues, como F es homogénea degrado 0, su laplaciano es una función homogénea de grado −2, luego

∆F (x) = r−2∆F (x/r) = r−2∆df(x/r).

El teorema siguiente generaliza esta fórmula:

Teorema 3.4 Sea f ∈ C2(Sd,K) y F : Rd+1 \ 0 −→ K su extensión homo-génea de grado m. Entonces

∆F (x) = rm−2(m(d+m− 1)f(x/r) + ∆df(x/r)).

Demostración: Llamamos F0(x) = f(x/r), de modo que F (x) = rmF0(x).Entonces

∇F = F0∇rm + rm∇F0, ∆F = F0∆rm + rm∆F0 + 2∇rm∇F0.

Ahora bien, ∇rm = mrm−1∇r = mrm−2x, y por el teorema de Euler x∇F0 = 0,luego

∆F = ∆rm f(x/r) + rm−2∆f(x/r).

Sólo falta calcular

∆rm = m∇(rm−2x) = m(∇rm−2 · x+ rm−2∇x) =

m((m− 2)rm−3x

r· x+ (d+ 1)rm−2) = m((m− 2)rm−3r + (d+ 1)rm−2) =

rm−2m(d+m− 1).

3.2. Polinomios harmónicos 71

Necesitamos una última propiedad del operador de Laplace-Beltrami:

Teorema 3.5 Si f, g ∈ C2(Sd,K), entonces∫Sdf ∆dg dσ =

∫Sd

∆df g dσ.

Demostración: La la relación (3.1) permite reducir trivialmente el casocomplejo al caso real, así que no perdemos generalidad si suponemos que lasfunciones son reales.

Sean F,G : Rd+1\0 −→ R las extensiones de f y g homogéneas de grado 0.Entonces ∫

Sd(f∆dg − g∆df) dσ =

∫Sd

(F ∆G−G∆F ) dσ.

Como el integrando, visto como función en Rd+1 \ 0, no depende de r y∫ 1

0rd dr = 1, el cambio de variable descrito antes del teorema [GD 4.31] nos da

que ∫Sd

(f∆dg − g∆df) dσ =

∫ 1

0

rd∫Sd

(F ∆G−G∆F ) dσ dr =∫Bd+1

(F ∆G−G∆F ) dm =

∫Sd

(FdG

dn−G dF

dn) dσ = 0,

donde hemos aplicado la segunda fórmula de Green y el teorema de Euler, segúnel cual (teniendo en cuenta que el vector normal a Sd es simplemente n = x)

dF

dn= ∇F · x = 0.

Observemos que la igualdad del teorema anterior puede expresarse en tér-minos del producto escalar de L2(Sd), pues equivale a que 〈f,∆dg〉 = 〈∆df, g〉.

3.2 Polinomios harmónicosDefinición 3.6 Si Ω ⊂ Rd+1 es un abierto no vacío y F ∈ C2(Ω,K), di-remos que F es harmónica si lo son su parte real y su parte imaginaria o,equivalentemente, si ∆F = 0, donde el laplaciano vectorial es el dado por∆F = ∆ ReF + i∆ ImF .

En estos términos, el teorema 2.15 afirma que todas las funciones holomorfasen un abierto de Cn son harmónicas.1

El operador de Laplace-Beltrami caracteriza a las funciones de Sd que ad-miten una extensión harmónica homogénea:

1Pero aquí es importante tener presente que cuando consideramos a un polinomio deC[X0, . . . , Xd] como función en Rd+1, lo estamos considerando como una función de variablesreales, y así no tiene por qué ser harmónico. Por ejemplo, no es lo mismo la función ix2 en R2,que es un polinomio no harmónico, de laplaciano 2i, que la función iz2 en C, que es la función(x+ iy)2 = x2− y2 + 2xyi en R2, cuyo laplacianio es nulo, como era de esperar, ya que es unafunción holomorfa.


Teorema 3.7 Una función f ∈ C2(Sd,K) admite una extensión a Rd+1 \ 0harmónica y homogénea de grado m si y sólo si

−∆df = m(d+m− 1)f.

Demostración: Si F es la extensión homogénea de grado m de f , el teo-rema 3.4 nos da que, sobre los puntos de Ω,

∆F = m(d+m− 1)f + ∆df.

Entonces F es harmónica si y sólo si ∆F = 0, si y sólo si ∆F |Sd = 0 (porque ∆Fes homogénea de grado m− 2) si y sólo si se cumple la igualdad del enunciado.

A partir de aquí nos restringimos a polinomios. Tal y como ya habíamosobservado antes del teorema 2.21, un polinomio no nulo F ∈ K[X0, . . . , Xd] esharmónico si y sólo si lo son las formas que lo componen. (El argumento valeigualmente para polinomios sobre R o sobre C).

Definición 3.8 Diremos que un polinomio F es harmónico de grado n si y sólosi es harmónico y homogéneo de grado n. Llamaremos Pdn al espacio vectorialde los polinomios homogéneos de grado n en K[X0, . . . , Xd] (más el polinomionulo) y PHd

n al subespacio de los polinomios harmónicos de grado n.

Vamos a calcular las dimensiones de estos espacios vectoriales. Para elloprobamos lo siguiente:

Teorema 3.9 La aplicación Pdn −→ Pdn−2 dada por F 7→ ∆F es un epimor-fismo, (con el convenio de que Pd−1 = Pd−2 = 0).

Demostración: Es evidente que se trata de una aplicación lineal. Sólohemos de probar que es suprayectiva. Podemos suponer que n ≥ 2. Basta probarque todo monomio Xn0

0 · · ·Xndd con n0 + · · ·+ nd = n− 2 puede expresarse en

la forma ∆G para un cierto G ∈ Pdn. Lo probaremos por inducción descendentesobre n0, es decir, observamos que es evidentemente cierto cuando n0 = n− 2,suponemos que se cumple para monomios Xm0

0 · · ·Xmdd con n0 < m0 ≤ n− 2 y

lo demostramos para n0. Para ello observamos que

Xn00 · · ·X

ndd =

1

(n0 + 1)(n0 + 2)∆(Xn0+2

0 Xn11 · · ·X

ndd ) +R,

donde R es una forma de grado n − 2 en la que la indeterminada X0 tieneexponente n0 + 2. Por hipótesis de inducción R = ∆G, para cierto G ∈ Pdn, yla conclusión es inmediata.

Es fácil ver que dimPdn =(d+nn

), pues una base la forman los monomios2

Xn00 · · ·X

ndd que cumplen n0 + · · ·+ nd = n.

2Su número coincide con el de d + 1-tuplas (n0, . . . , nd) con 1 ≤ ni ≤ n + 1 que sumenn + d + 1. Pensemos en n + d + 1 puntos alineados, entre los que hay n + d separaciones, yhay que calcular todas las formas de situar d separadores en las n+d posiciones posibles parapartir los n+ d+ 1 puntos en d+ 1 partes.


Por consiguiente el teorema anterior nos da que

dimPHdn = dimPdn − dimPdn−2

=

(d+ n

n

)−(d+ n− 2

n− 2

)=

(2n+ d− 1)(n+ d− 2)!

(d− 1)!n!,

entendiendo que el segundo número combinatorio es nulo para n < 2. Además,esto no depende de si K es R o C, y tenemos que PHd

n(R) ⊂ PHdn(C), de

donde se sigue fácilmente que una R-base de PHdn(R) es también una C-base de

PHdn(C) (pues sigue siendo linealmente independiente sobre C).

Ejemplo Si d = 1 tenemos que dimPH1n = 2, independientemente de n ≥ 1.

Obviamente PH11 = 〈X,Y 〉. Para calcular una base de PH1

2 consideramos unpolinomio homogéneo arbitrario F (X,Y ) = aX2 + bXY + cY 2 y calculamos ellaplaciano ∆F = 2a+ 2c, con lo que los polinomios harmónicos de grado 2 sonlos de la forma aX2 + bXY − aY 2, luego PH2

1 =⟨X2 − Y 2, XY

⟩.

En el caso complejo podemos hallar una base para n arbitrario observandoque los polinomios conjugados

F (X,Y ) = (X ± iY )n

son harmónicos. Podemos calcular su laplaciano separando la parte real y laimaginaria o, alternativamente, usando que las derivadas parciales de la multi-plicación compleja (y, por consiguiente, de las potencias) cumplen la regla delproducto usual. Así

∆F = n(n− 1)(X ± iY )n − n(n− 1)(X ± iY )n = 0.

Además, como ambos polinomios son distintos y el coeficiente de Xn es 1 enambos casos, es claro que son linealmente independientes, luego

PH1n = 〈(X + iY )n, (X − iY )n〉 .

Por ejemplo, una base de PH13 la forman el polinomio

(X + iY )3 = X3 + 3X2Y i− 3XY 2 − Y 3i = X3 − 3XY 2 + (3X2Y − Y 3)i

y su conjugado. Si queremos una base formada por funciones reales basta tomarla parte real y la imaginaria:

PH13 =

⟨X3 − 3XY 2, 3X2Y − Y 3

⟩.

A su vez, esto implica que todo polinomio harmónico complejo es una sumafinita de la forma

a0 + a1(X + iY ) + b1(X − iY ) + a2(X + iY )2 + b2(X − iY )2 + · · ·

Puesto que un polinomio homogéneo está determinado por su restriccióna Sd, resulta natural la definición siguiente:


Definición 3.10 Llamaremos harmónicos esféricos de grado n a las restriccio-nes a Sd de los polinomios de PHd

n. Llamaremos Hdn ⊂ C(Sd,K) al espacio

vectorial formado por todos ellos.

En realidad podría considerarse “artificial” que nos limitemos a considerarrestricciones de polinomios harmónicos y no restricciones de polinomios en ge-neral. Sin embargo, pronto veremos que esta restricción es sólo aparente, puesla restricción a Sd de un polinomio arbitrario se expresa de forma única comosuma finita de harmónicos esféricos. El considerar polinomios harmónicos sirvepara garantizar la unicidad de la descomposición.

En primer lugar probamos que una misma función no nula en Sd no puedeser un harmónico esférico de dos grados distintos:

Teorema 3.11 Si f ∈ Hdm y g ∈ Hd

n y m 6= n, entonces f y g son ortogonalesen L2(Sd).

Demostración: Basta probarlo en el caso K = R, pues una base de Hdm(R)

sobre R es también base de Hdm(C) sobre C, luego todo elemento de Hd

m(C) escombinación lineal de elementos de Hd

m(R), y es claro entonces que si éstos sonortogonales a los elementos de Hd

n(R), entonces los elementos de Hdm(C) son

también ortogonales a los elementos de Hdn(C).

Sean F ∈ PHdm y G ∈ PHd

n polinomios homogéneos cuyas restricciones a Sdsean f y g respectivamente. Vamos a aplicarles la primera fórmula de Green,que afirma (para el caso de la bola unitaria Bd+1 ⊂ Rd+1) que∫

SdG(∇F · ~n) dσ =

∫Bd+1

G∆F dm+

∫Bd+1

∇G∇F dm,

donde dσ es el elemento de medida en Sd, dm es el elemento de medida en Bdy ~n es el vector unitario normal a Sd. Ahora bien, en el caso concreto de Sd,el vector normal unitario en un punto x es el propio x, luego, para una funciónhomogénea F de grado m se cumple que

∇F · ~n =

d∑j=0

xj∂F

∂xj= mF.

Como además ∆F = 0, la fórmula de Green se reduce a

m

∫SdGF dσ =

∫Bd+1

∇G∇F dm.

Intercambiando los papeles de F y G tenemos también que

n

∫SdGF dσ =

∫Bd+1

∇G∇F dm.

Por consiguiente:

(m− n)

∫Sdfg dσ = 0,

luego 〈f, g〉 = 0.


Esto implica que, como anunciábamos, un harmónico esférico no sólo deter-mina su grado, sino también el polinomio harmónico al cual se extiende:

Teorema 3.12 La restricción PHdn −→ Hd

n es un isomorfismo de espacios vec-toriales. Más aún, si F ∈ PHd

n y G ∈ PHdm tienen la misma restricción a Sd,

entonces F = G (y en particular n = m si F y G son no nulos).

Demostración: Por el teorema anterior tiene que ser m = n, y cadafunción en Sd admite una única extensión homogénea de grado m.

Como consecuencia:

dimHdn = dimPHd

n =

(d+ n

n

)−(d+ n− 2

n− 2

)=

(2n+ d− 1)(n+ d− 2)!

(d− 1)!n!

(siempre considerando nulo el segundo número combinatorio si n < 2).

Una consecuencia inmediata del teorema 3.11 es que el espacio generado porlos harmónicos esféricos se descompone en suma directa (suma ortogonal, dehecho) de los espacios homogéneos correspondientes:

Hd =∞⊕n=0

Hdn.

Ahora vamos a probar que Hd no es sino el espacio de todas las funcionespolinómicas en Sd. Nos basamos en el teorema siguiente:

Teorema 3.13 Cada polinomio homogéneo F de grado n se descompone deforma única como

F (x) = Pn(x) + ‖x‖2Pn−2(x) + ‖x‖4Pn−4(x) + · · ·

donde Pj ∈ PHdj , para j = n, n− 2, n− 4, . . .

Demostración: Sea F el subespacio vectorial de Pdn formado por los poli-nomios que se pueden expresar en la forma indicada. Observemos que si

Pn(x) + ‖x‖2Pn−2(x) + ‖x‖4Pn−4(x) + · · · = 0,

entonces, restringiendo a Sd, los correspondientes harmónicos esféricos cumpli-rán pn + pn−2 + pn−4 + · · · = 0 y, como los sumandos son ortogonales dos a dos,han de ser nulos. Esto nos da la unicidad de la descomposición, así como que

dimF = dimPHdn + dimPHd

n−2 + dimPHdn−4 + · · ·

luego dimF =(d+nn

)= dimPdn. Por consiguiente, F = Pdn, y esto nos da la

conclusión.

Puesto que todo polinomio es suma de polinomios homogéneos de grado igualo inferior, el teorema siguiente es ahora inmediato:


Teorema 3.14 Si G es un polinomio de grado n y g es su restricción a Sd,entonces existen unos únicos harmónicos esféricos hj ∈ Hd

j (para j = 0, . . . , n)tales que g = h0 + h1 + · · ·+ hn.

Así pues, si llamamos harmónicos esféricos de dimensión d a los elementos deHd, acabamos de probar que los harmónicos esféricos no son ni más ni menos quelas funciones polinómicas en Sd, es decir, que Hd = K[x0, . . . , xd], donde xi sonlas restricciones a Sd de las coordenadas cartesianas. Esto puede reformularsecomo sigue:

Teorema 3.15 Si f es un polinomio de grado n, entonces la solución del pro-blema de Dirichlet planteado por f |Sd en B1(0) es un polinomio harmónico degrado ≤ n.

Ya hemos señalado que C(Sd,K) es denso en L2(Sd), y a su vez, el teoremade Stone-Weierstrass [An 3.55] nos da que el álgebra Hd = K[x0, . . . , xd] esdensa en C(Sd,K) (luego también en L2(Sd)). Por consiguiente, es razonablebuscar una base de L2(Sd) formada por harmónicos esféricos (recordemos, aeste respecto, el concepto [An 3.48] de base ortogonal completa en un espaciode Hilbert). De hecho, hay muchas:

Definición 3.16 Llamaremos sucesión ortogonal canónica de harmónicos esfé-ricos a toda sucesión formada por una base ortogonal de Hd

0, seguida de unabase ortogonal de Hd

1, etc.

Teorema 3.17 Toda sucesión ortogonal canónica de harmónicos esféricos escompleta.

Demostración: Toda f ∈ L2(Sd) (en el caso K = R) puede aproximarsepor una función continua g ∈ C(Sd), la cual a su vez, por el teorema de Stone-Weierstrass puede aproximarse por un polinomio h, que según el teorema an-terior, es una suma de harmónicos esféricos (aquí usamos que la convergenciauniforme en C(Sd) implica la convergencia en L2(Sd), como es fácil comprobar).Hemos probado esto en el caso K = R, pero la conclusión es válida obviamentecuando K = C, ya que basta aproximar la parte real e imaginaria de f porrespectivas sumas h1 y h2 de harmónicos esféricos, y entonces h1 + ih2 es unaaproximación de f por una suma de harmónicos esféricos.

Una sucesión ortogonal canónica de harmónicos esféricos tiene la propiedadde que cualquier suma de harmónicos esféricos es combinación lineal de unnúmero finito de sus términos, luego hemos probado que todo f ∈ L2(Sd) sepuede aproximar por una combinación lineal finita de términos de la sucesiónortogonal dada. El teorema [An 3.50] nos da entonces la completitud.

En general no es fácil encontrar explícitamente bases ortogonales de los es-pacios Hd

n, pero para n = 1 tenemos el resultado siguiente:

Teorema 3.18 Una base ortogonal de Hd1 está formada por las funciones coor-

denadas x0, . . . , xd, cuya norma es ‖xj‖2 = σd/(d + 1), donde σd es la medidade Sd.


Demostración: Si i 6= j se cumple que∫Sdxixj dσ = 0

porque podemos partir

Sd = x ∈ Sd | xixj < 0 ∪ x ∈ Sd | xixj > 0 ∪ x ∈ Sd | xixj = 0,

el tercer conjunto es nulo y los otros dos se corresponden a través de la reflexiónxi 7→ −xi, por lo que la integral en uno de ellos es opuesta a la integral en elotro.

Por simetría, las normas ‖xi‖ han de ser todas iguales, luego

‖xi‖2 =1

d+ 1

d∑j=0

‖xj‖2 =1

d+ 1

∫Sd

d∑j=0

x2j dσ =

1

d+ 1

∫Sddσ =

σdd+ 1

.

Definición 3.19 Si hn∞n=0 es una sucesión ortogonal canónica de harmónicosesféricos en Sd, el teorema anterior implica que toda función f ∈ L2(Sd) puedeexpresarse de forma única como

f =∞∑n=0

cnhn,

para ciertos cn ∈ K, que concretamente vienen dados por3 cn = ‖hn‖−2 〈f, hn〉.

Esta serie recibe el nombre de serie de Laplace (o de Fourier-Laplace) de lafunción f respecto de la base ortogonal prefijada. Los coeficientes cn son loscoeficientes de Laplace de f .

A menudo se escribef ∼

∞∑n=0

cnhn

para indicar que la serie converge a f respecto de la norma de L2(Sd), lo cualno implica necesariamente que la convergencia sea puntual, es decir, que paratodo x ∈ Sd se cumpla

f(x) =∞∑n=0

cnhn(x).

La teoría general sobre bases ortonormales en espacios de Hilbert nos pro-porciona automáticamente algunos resultados de interés:

• La identidad de Parseval, en este contexto, se traduce en que∞∑n=0|cn|2‖hn‖2 = ‖f‖2.

3La definición [An 3.48] es aplicable a la base ortonormal ‖hn‖−1hn, con lo que tenemos

el desarrollo f =∞∑n=0

⟨f, ‖hn‖−1hn

⟩‖hn‖−1hn =

∞∑n=0‖hn‖−2 〈f, hn〉hn.


• Una sucesión cn∞n=0 es la sucesión de coeficientes de Laplace de unafunción f ∈ L2(Sd) si y sólo la serie de la igualdad anterior es convergente.

Esto es el teorema [An 3.51].

• En particular, límncn‖hn‖ = 0, es decir,

límn

1

‖hn‖

∫Sdf(x)hn(x) dσ = 0.

Sin embargo, la teoría general sobre espacios de Hilbert no aporta nada sobrelas condiciones necesarias para que una serie de Laplace converja puntualmentea la función que la define. Nos ocuparemos de ello en la sección siguiente, peroantes probamos un último resultado elemental sobre harmónicos esféricos quevamos a necesitar:

SeaO(d) el grupo ortogonal en Rd, es decir, el grupo formado por las matricesA ∈ Matd(R) que cumplen AAt = Id. Identificaremos cada matriz A ∈ O(d)con la isometría ρ : Rd −→ Rd dada por ρ(u) = uA. En particular, ρ se restringea una isometría ρ : Sd−1 −→ Sd−1. Si f : Rd −→ K (o bien f : Sd−1 −→ K),escribiremos ρf = ρ f .

Teorema 3.20 Cada ρ ∈ O(d + 1) induce una isometría L2(Sd) −→ L2(Sd)dada por f 7→ ρf , que se restringe a una isometría en Hd

n.

Demostración: Es claro que si una función f : Sd −→ K cumple que |f |2es integrable, también lo es |ρf |2 = ρ |f |2. Además si f y g coinciden casipor todas partes, lo mismo vale para ρf y ρg. Esto significa que ρ induce unaaplicación L2(Sd) −→ L2(Sd). Además,

〈ρf, ρg〉 =

∫Sd

(ρf)(ρg) dσ =

∫Sdρ(fg) dσ =

∫Sdfg dσ = 〈f, g〉 ,

porque, al reducir las integrales a Rd+1 a través de cartas, el teorema de cambiode variable permite eliminar ρ, ya que su determinante jacobiano es ±1. Asípues, ρ induce una isometría en L2(Sd).

Por otra parte, si h ∈ Hdn es la restricción de H ∈ PHd

n, entonces ρh es la res-tricción de ρH, y es claro que al componer un polinomio homogéneo harmónicocon una isometría de Rd+1, el resultado sigue siendo un polinomio homogéneoharmónico. Por lo tanto, ρh ∈ Hd

n.

3.3 El teorema de adición

La convergencia puntual de las series de harmónicos esféricos la obtendremoscomo aplicación del teorema siguiente:

3.3. El teorema de adición 79

Teorema 3.21 (Teorema de adición) Para cada d ≥ 1 y cada n ≥ 0 existeun único polinomio P dn(t) con la propiedad siguiente: Si h1, . . . , hN es una baseortonormal de Hd

n, entonces

N∑i=1

hi(u)hi(v) =N

σdP dn(u · v),

donde σd es la medida de Sd. Además, P dn(t) es un polinomio de grado n concoeficientes reales y, para cualquier v ∈ Sd fijo, la función P dn(u · v) es unelemento de Hd

n.

Demostración: Tomemos dos bases ortonormales h1, . . . , hN y h′1, . . . , h′Ny consideremos las funciones

F (u, v) =N∑i=1

hi(u)hi(v), F ′(u, v) =N∑i=1

h′i(u)h′i(v).

Vamos a probar que F = F ′. Para ello tomamos h ∈ Hdn y fijamos v ∈ Sd. Es

claro que las funciones F (u, v) y F ′(u, v) están en Hdn, pues son combinaciones

lineales de las bases dadas. Además:

〈h(u), F (u, v)− F ′(u, v)〉 =N∑i=1

〈h(u), hi(u)〉hi(v)−N∑i=1

〈h(u), h′i(u)〉h′i(v)

= h(v)− h(v) = 0.

Tomando concretamente h(u) = F (u, v)− F ′(u, v) concluimos que

‖F (u, v)− F ′(u, v)‖ = 0

y como F y F ′ son funciones continuas, ha de ser F = F ′.

Así pues, la función F puede ser calculada con cualquier base ortonormalde Hd

n. En particular, dada la base del enunciado y un ρ ∈ O(d+ 1), según 3.20podemos considerar la base ortonormal ρh1, . . . , ρhN , lo que nos da que F esinvariante por isometrías:

F (u, v) =N∑i=1

ρhi(u)ρhi(v) =N∑i=1

hi(ρ(u))hi(ρ(v)) = F (ρ(u), ρ(v)).

Ahora, dados dos puntos u, v ∈ Sd, podemos tomar una base ortonormalu0, . . . , ud de Rd+1 tal que u0 = u y de modo que v ∈ 〈u0, u1〉. Respecto a estabase, las coordenadas de u y v serán (1, 0, . . . , 0, ) y (uv,

√1− (uv)2, 0, . . . , 0).

La matriz de cambio de base (respecto a una base ortonormal arbitraria pre-fijada) determina una isometría ρ ∈ O(d + 1) tal que ρ(u) = (1, 0, . . . , 0) yρ(v) = (uv,

√1− (uv)2, 0, . . . , 0). Por consiguiente,

F (u, v) = F ((1, 0, . . . , 0, ), (uv,√

1− (uv)2, 0, . . . , 0)).


Si definimos

Q(t) = F ((1, 0, . . . , 0), (t,√

1− t2, 0, . . . , 0)),

entonces F (u, v) = Q(u · v), donde la función Q no es idénticamente nula, puespodemos tomar una base h1, . . . , hN formada por funciones con imagen en R y,como ha de haber un u ∈ Sd tal que h1(u) 6= 0, ha de ser Q(u · u) 6= 0 (pues esuna suma de cuadrados reales no todos nulos).

El teorema quedará probado si demostramos que existe un polinomio degrado n con coeficientes reales que coincide con Q(t) en el intervalo [−1, 1].

Vamos a tratar aparte el caso d = 1. Para n = 0 una base ortonormal deH1

0 es h1 = 1/√

2π, con lo que Q(t) = 1/2π y podemos tomar P 10 (t) = 1. Para

n ≥ 1, podemos tomar h1 = (1/√π) cosnα, h2 = (1/

√π) sennα, con lo que, si

u = (cosα, senα), v = (cosβ, senβ), u · v = cos(α− β)

h1(u)h1(v) + h2(u)h2(v) =1

π(cosnα cosnβ+ sennα sennβ) =

1

πcos(n(α− β)).

Llamando γ = α−β, la relación (cos γ+ i sen γ)n = cosnγ+ i sennγ implicaque

Q(u · v) = cosnγ = P (cos γ) = P (u · v),

donde P es un polinomio de grado n con coeficientes reales, y podemos tomarP 1n = P , de modo que

N

σ1P 1n(u · v) =

2

2πP (u · v) =

1

πP (cos(α− β)) =

1

πcos(n(α− β)),

de acuerdo con la igualdad del enunciado.

Supongamos ahora que d ≥ 2, fijemos e0 = (1, 0, . . . , 0) y consideremos elharmónico esférico h(u) = Q(u·e0). Observamos que es invariante por isometríasρ ∈ O(d+ 1) que cumplan ρe0 = e0, pues

ρh(u) = F (ρu, e0) = F (u, ρ−1e0) = F (u, e0) = h(u).

Sea H ∈ PHdn el polinomio cuya restricción a Sd es h. Como la base de

partida se puede tomar formada por harmónicos esféricos reales, el polinomioH puede tomarse con coeficientes reales. Podemos expresarlo en la forma

H =n∑j=0

xn−j0 Pj(x1, . . . , xd),

donde cada Pj es homogéneo de grado j. Puesto que ρH se restringe a ρh = h,el teorema 3.12 implica que H es invariante respecto a isometrías que fijen a e0.Fijado un punto u ∈ Rd+1, existe ρ ∈ O(d+1) que deja invariante a e0 y tal queρ(u) = (u0,

√u2

1 + · · ·+ u2d, 0, . . . , 0). Al aplicar la invarianza de H concluimos

que

Pj(x1, . . . , xd) = Pj((x21+· · ·+x2

d)1/2, 0, . . . , 0) = (x2

1+· · ·+x2d)j/2Pj(1, 0, . . . , 0).


Como Pj es un polinomio, para que cj = Pj(1, 0, . . . , 0) pueda ser no nulo esnecesario que j = 2k, con lo que

H(x) =[n/2]∑k=0

c2k xn−2k0 (x2

1 + · · ·+ x2d)k,

donde [n/2] representa al mayor entero que no supera a n/2. Así, si t ∈ [−1, 1],tenemos que

Q(t) = Q((t,√

1− t2, 0, . . . , 0) · e0) =[n/2]∑k=0

c2k tn−2k(1− t2)k,

luego Q coincide en [−1, 1] con el polinomio de la derecha, que tiene coeficientesreales. Sólo falta probar que tiene grado n. Notemos que todos los sumandostienen grado n, salvo que sean nulos. Hemos de probar que c0−c2 +c4−· · · 6= 0.Para ello probaremos que c2k y c2k+2 tienen signos opuestos, con lo que todoslos sumandos tienen el mismo signo y la única posibilidad para que la sumafuera nula sería que todo el polinomio fuera nulo, con lo que sería Q = 0 y yahemos probado que no es así.

Nos basaremos en que H es harmónico, luego cumple ∆H = 0. Un cálculorutinario muestra que

∆H =[n/2]∑k=0

c2k(n− 2k)(n− 2k − 1)xn−2k−20 (x2

1 + · · ·+ x2d)k

+[n/2]∑k=0

c2k2k(d+ 2k − 2)xn−2k0 (x2

1 + · · ·+ x2d)k−1

=[n/2]∑k=0

((n− 2k)(n− 2k− 1)c2k + 2(k+ 1)(d+ 2k)c2k+2)xn−2k−20 (x2

1 + · · ·+x2d)k.

Así pues, la condición ∆H = 0 equivale a la relación

c2k+2 = − (n− 2k)(n− 2k − 1)

2(k + 1)(d+ 2k)c2k,

luego los coeficientes tienen signos alternos, como teníamos que probar.

Definición 3.22 El polinomio P dn(t) dado por el teorema anterior se llamapolinomio de Legendre (generalizado) de grado n y dimensión d.

Los polinomios de Legendre clásicos son los correspondientes a d = 2. Volve-remos sobre ellos en 4.5. En la prueba del teorema de adición hemos visto queP 1n(cos γ) = cosnγ. Esta propiedad caracteriza a los llamados polinomios de

Chebyshev, que son, pues, los polinomios de Legendre de dimensión 1. Además,hemos visto que en este caso el teorema de adición se reduce a la relación

cosα cosβ + senα senβ = cos(α− β).


Obviamente, cualquier aplicación explícita del teorema de adición requiereuna descripción explícita de los polinomios de Legendre y para obtenerla nece-sitaremos algunos resultados previos. Empezamos con un resultado elementalsobre integración en esferas:

Teorema 3.23 Sea f : Sd −→ R una función integrable, con d > 1. Entonces∫Sdf dσ =

∫ 1

−1

(1− t2)(d−2)/2

∫Sd−1

f(t, u√

1− t2) dσ(u) dt.

Demostración: Consideramos el difeomorfismo f : ]−1, 1[ × Sd−1 −→ Sd

dado por f(t, u) = (t, u√

1− t2), cuya imagen es toda Sd menos dos puntos.Sea X : U −→ Sd−1 una carta arbitraria y tomamos la identidad I como cartadel intervalo abierto. Entonces I × X es una carta del producto cartesiano yY = (I×X)f es una carta de Sd. Explícitamente, Y (t, u) = (t,

√1− t2X(u)).

Calculamos la matriz jacobiana

JY =

1 − t√

1−t2X

0√

1− t2 JX

.

El elemento de medida de Sd respecto de la carta Y es

dσ =√

det((JY )(JY )t) dm,

donde dm es la medida de Lebesgue en ]0, 1[ × U . Teniendo en cuenta queX ·X = 1 y que X es ortogonal a todas las filas de JX, es claro que

(JY )(JY )t =

11−t2 0

0 (1− t2)(JX)(JX)t

,

luego el determinante es

(1− t2)d−2 det((JX)(JX)t)

y concluimos que dσd = (1− t2)(d−2)/2(dt∧ dσd−1), donde dσd−1 es el elementode medida de Sd−1 respecto de la carta X.

Por otra parte, el elemento de medida de ]−1, 1[ × Sd−1 es precisamentedt ∧ dσd−1, luego concluimos que

f#(dσd) = (1− t2)(d−2)/2dt ∧ dσd−1,

donde ahora consideramos ambos miembros como formas diferenciales en elproducto ]−1, 1[ × Sd−1 y la igualdad es entonces independiente de las cartasconsideradas. Esto implica la fórmula del enunciado.


Observemos que, para d = 1, un razonamiento mucho más elemental de-muestra que ∫

S1

f dσ =

∫ 1

−1

f(t,√

1− t2) + f(t,−√

1− t2)√1− t2

dt,

y está fórmula es un caso particular de la del teorema anterior si consideramosque S2 = ±1 y que ambos puntos tienen medida 1, de modo que∫

S0

f dσ = f(−1) + f(1).

Pasamos ya a estudiar los polinomios de Legendre. Conviene recordar que suconexión con los harmónicos esféricos tiene que ver únicamente con los valoresque toman en el intervalo [−1, 1].

Teorema 3.24 Si n ≥ 0, entonces P dn(1) = 1 y para todo t ∈ [−1, 1] se cumple|P dn(t)| ≤ 1.

Demostración: Fijemos una base ortonormal h1, . . . , hn de Hdn que pode-

mos suponer que está formada por funciones reales. Por el teorema de adición,si u ∈ Sd es un punto arbitrario,

N

σdP dn(1) =

N∑i=1

hi(u)2.

Integrando ambos miembros sobre Sd, y teniendo en cuenta que cada hitiene norma 1, obtenemos que NP dn(1) = N , luego P dn(1) = 1. Dado t ∈ [−1, 1],claramente existen u, v ∈ Sd tales que uv = t, con lo que

|P dn(t)|2 = |P dn(uv)|2 =σ2d

N2

(N∑i=1

hi(u)hi(v)

)2

≤ σdN

(N∑i=1

hi(u)2

)σdN

(N∑i=1

hi(u)2

)= P dn(1)2 = 1,

donde hemos usado la desigualdad de Cauchy-Schwarz en RN .

Los polinomios de Legendre verifican una condición de ortogonalidad enL2([−1, 1]), pero no con respecto al producto escalar usual, sino respecto alproducto ponderado dado por

[f, g] =

∫ 1

−1

f(t)g(t)(1− t2)ϑ dt,

donde ϑ = (d−2)/2. Es inmediato comprobar que L2([−1, 1]) con este productoes isométrico a L2([−1, 1]) con el producto usual. (La isometría natural esf(t) 7→ f(t)(1− t2)ϑ/2.)


Teorema 3.25 Se cumple que

[P dm, Pdn ] = δmn

σdσd−1N

,

donde N = dimHdn y σd es la medida de Sd. Además, si Q0, Q1, . . . es una

sucesión finita o infinita de polinomios tales que Qi tiene grado i y [Qm, Qn] = 0cuando m 6= n, entonces Qn(t) = ηdnP

dn(t), para un cierto ηdn ∈ R.

Demostración: Si m 6= n, entonces∫SdP dm(u · e0)P dn(u · e0) dσ = 0

porque los dos factores del integrando son harmónicos esféricos de distinto grado.Si m = n, usamos el teorema de adición:∫

SdP dn(u · e0)2 dσ =

σ2d

N2

∫Sd−1

(N∑i=1

hi(u)hi(e0)

)2

dσ

=σ2d

N2

(N∑i=1

hi(u)hi(e0) ·N∑i=1

hi(u)hi(e0)

)=

σ2d

N2

N∑i=1

hi(e0)2 =σdNP dn(1) =

σdN.

Así pues, ∫SdP dm(u0)P dn(u0) dσ = δmn

σdN.

Aplicando el teorema 3.23, la integral se convierte en∫ 1

−1

(1− t2)ϑP dm(t)P dn(t)

∫Sd−1

dσd−1 dt = σd−1[P dm, Pdn ].

Esto prueba la primera parte del teorema. Notemos que la conclusión esválida para d = 1 con el convenio de que σ0 = 2. Para la segunda parterazonamos por inducción sobre n que Qn es un múltiplo de P dn . Para n = 0 estrivial, pues ambos polinomios tienen grado 0. Supongamos que Qm = ηdmP

dm

para m < n. Como los polinomios P dm con m ≤ n forman una base del espaciode los polinomios de grado ≤ n, podemos expresar

Qn =n∑

m=0amP

dm,

pero, aplicando [−, Qm] = ηdm[−, P dm], concluimos que am = 0 para todo m < n,luego Qn = amP

dm y basta tomar ηdm = am.

Finalmente podemos obtener una expresión explícita para los polinomios deLegendre:

Teorema 3.26 (Fórmula de Olinde Rodrigues)

P dn(t) =(−1)n

2n(ϑ+ 1)(ϑ+ 2) · · · (ϑ+ n)(1− t2)−ϑ

dn

dtn(1− t2)ϑ+n,

donde ϑ = (d− 2)/2.


Demostración: Llamemos fn(t) al miembro derecho de la fórmula delenunciado. Vamos a calcular la derivada descomponiendo

(1− t2)ϑ+n = (1− t)ϑ+n(1 + t)ϑ+n

y aplicando la regla de Leibniz para las derivadas sucesivas de un producto:

dn

dtn(1− t2)ϑ+n =

n∑k=0

(n

k

)dk

dtk(1− t)n+ϑ d

n−k

dtn−k(1 + t)n+ϑ

=

n∑k=0

(n

k

)(−1)k(n+ϑ) · · · (n+ϑ−k+1)(1−t)n+ϑ−k(n+ϑ) · · · (k+ϑ−1)(1+t)k+θ

= (t2−1)ϑn∑k=0

(n

k

)(−1)k(n+ϑ) · · · (n+ϑ−k+1)(1−t)n−k(n+ϑ) · · · (k+ϑ−1)(1+t)k.

Como en fn(t) la derivada aparece multiplicada por (t2 − 1)−θ, vemos quefn(t) es un polinomio de grado n. Al evaluarlo en t = 1 desaparecen todos lossumandos de la derivada excepto el correspondiente a k = n, de donde se sigueinmediatamente que fn(1) = 1 = P dn(1). Por el teorema anterior, basta probarque [fm, fn] = 0 para m < n. Integrando por partes n veces obtenemos que

[fm, fn] = c1

∫ 1

−1

fm(t)dn

dtn(1− t2)ϑ+n dt = c2

∫ 1

−1

(1− t2)ϑ+n dn

dtnfm(t) dt = 0,

pues fm es un polinomio de grado m. En la integración por partes hemos usadoque las derivadas

dj

dtj(1− t2)ϑ+n

para j < n se anulan en ±1, lo cual se prueba calculando la derivada j-ésimaigual que hemos calculado antes la derivada n-sima.

Nos ocupamos finalmente al estudio de la convergencia de las series de La-place. Empezamos probando lo siguiente:

Teorema 3.27 Existe una constante Cd tal que si h1, . . . , hN es una base or-tonormal de Hd

n entonces, para todo u ∈ Sd, se cumple que

N∑i=1

|hi(u)|2 ≤ Cd nd−1.

Demostración: Podemos suponer n > 0, pues para n = 0 el miembroizquierdo vale 1, independientemente de d. Por el teorema de adición,

N∑i=1

|hi(u)|2 =N∑i=1

hi(u)hi(u) =N

σdP dn(1) =

N

σd.

Ahora observamos que

N

nd−1=

(2n+ d− 1)(n+ d− 2)!

(d− 1)!n!nd−1=

(2 +

d− 1

n

)(n+ d− 2)!

(d− 1)!n!nd−2


=1

(d− 1)!

(2 +

d− 1

n

)(1 +

d− 2

n

)(1 +

d− 3

n

)· · ·(

1 +1

n

)≤ Kd,

donde Kd es la constante que resulta de hacer n = 1 en la expresión precedente.Basta tomar Cd = Kd/σd.

Teorema 3.28 Sea k = 2E[1 + d/4], sea f ∈ Ck(Sd) y sea hn1 , . . . , hnN(d,n) unabase ortonormal de Hd

n. Entonces la serie de Laplace

∞∑n=0

N(d,n)∑j=1

cn,j hnj

converge absoluta y uniformemente a f en Sd.

Demostración: Llamamos λn = n(d+n− 1), de modo que, según 3.7, lasfunciones hnj cumplen que −∆dh

nj = λnh

nj . Tomemos p ∈ N y cualquier u ∈ Sd.

EntoncesN(d,n)∑j=1

|cn,j hnj (u)| ≤N(d,n)∑j=1

2|λpncn,j ||λ−pn hnj (u)|

≤N(d,n)∑j=1

|λpncn,j |2 +N(d,n)∑j=1

|λ−pn hnj (u)|2.

Por el teorema anterior, el segundo sumando puede acotarse así:

λ−2pn

N(d,n)∑j=1

|hnj (u)|2 ≤ Cd nd−1

(n(d+ n− 1))2p≤ Cdn4p+1−d .

Según [An 8.62], la serie definida por la última expresión es convergente sip > d/4. A partir de aquí fijamos el menor p que cumple esto, p = E[1 + d/4].

Por otra parte, consideramos la función g = (−∆d)p(f), donde el expo-

nente indica composición, es decir, se trata de la aplicación a f del operadorde Laplace-Beltrami p veces consecutivas. Notemos que la hipótesis del teo-rema garantiza que f es de clase C2p. Por lo tanto, g está bien definida yg ∈ C(Sd) ⊂ L2(Sd). Sean c∗n,j los coeficientes de Laplace de g. Por los teore-mas 3.5 y 3.7, tenemos que

c∗n,j =⟨(−∆d)

p(f), hnj⟩

=⟨f, (−∆d)

p(hnj )⟩

=⟨f, λpnh

nj

⟩= λpncn,j .

Así pues,N(d,n)∑j=1

|λpncn,j |2 =N(d,n)∑j=1

|c∗n,j |2,

y la serie definida por la última expresión es convergente (por la identidad deParseval para g). El teorema de mayoración de Weierstrass prueba entoncesque la serie de Laplace de f es absolutamente convergente en Sd. Su suma Fes una función continua, y la serie de Laplace converge también a F en L2(Sd).Esto significa que F = f como funciones de L2(Sd), pero al ser ambas funcionescontinuas esto implica que son la misma función.

3.4. Bases de harmónicos esféricos 87

3.4 Bases de harmónicos esféricos

Veamos ahora cómo construir explícitamente bases de los espacios PHdn

y Hdn. Para ello conviene introducir la notación siguiente:

Si p(X) =∑αcαX

α ∈ K[X0, . . . , Xd] y Ω ⊂ Rd+1, representaremos por

p(D) : C∞(Ω) −→ C∞(Ω) al operador diferencial

p(D) =∑αcαDα

dado porp(D)(f) =

∑α

cαDαf.

Teorema 3.29 Si d > 1 y p ∈ Pdm, entonces

K[p(D)(‖x‖1−d)] = cm(p− ‖x‖2q),

donde q ∈ Pdm−2 y

cm =m−1∏k=0

(1− d− 2k).

Demostración: Por linealidad, basta probarlo cuando p es un mono-mio Xα, con |α| = m. Si m = 0 tenemos que c0 = 1 y

K[‖x‖1−d] = 1 = c0(1− ‖x‖2 · 0).

Supongamos que la conclusión es cierta para m. Así, si α es un multi-índice con|α| = m, tenemos que

u = K[Dα‖x‖1−d] = cm(xα − ‖x‖2q) ∈ Pdm,

para cierto q ∈ Pdm−2. Aplicando K:

Dα‖x‖1−d = ‖x‖1−du(x/‖x‖2) = ‖x‖1−d−2mu(x).

Ahora derivamos respecto de xj :

DjDα‖x‖1−d = (1− d− 2m)‖x‖−1−d−2mxju+ ‖x‖1−d−2mDju

= ‖x‖1−d−2(m+1)((1− d− 2m)xju+ ‖x‖2Dju)

= ‖x‖1−d−2(m+1)((1− d− 2m)xjcm(xα − ‖x‖2q) + ‖x‖2Dju)

= ‖x‖1−d−2(m+1)(cm+1xj(xα − ‖x‖2q) + ‖x‖2Dju)

= ‖x‖1−d−2(m+1)cm+1(xjxα − ‖x‖2(xjq −

Dju

cm+1))

= ‖x‖1−d−2(m+1)cm+1(xjxα − ‖x‖2q∗),


donde q∗ ∈ Pdm−1. Notemos que la hipótesis d > 1 implica que cm+1 6= 0. Alaplicar de nuevo K queda

K[DjDα‖x‖1−d] = cm+1(xjxα − ‖x‖2q∗),

luego el resultado es válido para m+ 1.

Nota No lo vamos a necesitar, pero para d = 1 se cumple un resultado análogo:

K[p(D)(log ‖x‖)] = cm(p− ‖x‖2q), para m > 0, cm = 2m−1(m− 1)!.

Observemos ahora que las funciones K[p(D)(‖x‖1−d)] que aparecen en elteorema precedente son polinomios harmónicos, pues la función ‖x‖1−d es har-mónica, luego sus derivadas también, y las transformadas de Kelvin también.

El teorema 3.13 implica en particular que todo F ∈ Pdm se expresa en la formaF = p+ ‖x‖2q, donde p ∈ PHd

m y q ∈ Pdm−2 están unívocamente determinados.Esta unicidad implica (para d > 1) que p = K[p(D)(‖x‖1−d)]/cm. A su vez,esto implica que la proyección ortogonal de F |Sd en Hd

m es p|S .

Teorema 3.30 Si d > 1, una base de PHdm es

Bm = K[Dα‖x‖1−d] | |α| = m, α0 ≤ 1,

luegoDα‖x‖1−d | |α| = m, α0 ≤ 1

es una base de Hdm.

Demostración: Veamos en primer lugar que Bm genera PHdm. Por la ob-

servación precedente al teorema basta ver que K[Dα(‖x‖1−d)] está en el subes-pacio generado por Bm, para todo multi-índice α tal que |α| = m.

Razonamos por inducción sobre α0. Si α0 ≤ 1, entonces tenemos queK[Dα(‖x‖1−d)] ∈ Bm por definición. Supuesto cierto para multi-índices conprimera componente menor que α0, teniendo en cuenta que ∆‖x‖1−d = 0,

K[Dα‖x‖1−d] = K

[∂m−2

∂xα0−20 ∂xα1

1 · · · ∂xαdd

∂2‖x‖1−d

∂x20

]

= −K

∂m−2

∂xα0−20 ∂xα1

1 · · · ∂xαdd

d∑j=1

∂2‖x‖1−d

∂x2j

= −

d∑j=1

K

[∂m−2

∂xα0−20 ∂xα1

1 · · · ∂xαdd

∂2‖x‖1−d

∂x2j

].

Por hipótesis de inducción, todos los sumandos están en el subespacio generadopor Bm, luego lo mismo vale para K[Dα‖x‖1−d].

Ahora basta probar que el número de elementos de Bm es menor o igual quedimPHd

m. Ahora bien, Bm está formado por los elementosK[Dα‖x‖1−d], donde

3.5. Harmónicos zonales 89

|α| = m, pero α no es de la forma (β0 + 2, β1, . . . , βd), para un multi-índice βtal que |β| = m − 2. Por lo tanto, su cardinal es a lo sumo el cardinal de losmonomios de grado m menos el cardinal de los monomios de grado m − 2, esdecir:

|Bm| ≤(d+m

m

)−(d+m− 2

m− 2

)= dimPHd

m.

Es inmediato que la restricción a Sd de una base de PHdm nos da una base de

Hdm, pero al restringir podemos eliminar la transformada de Kelvin, pues una

función f y su transformada K[f ] coinciden en Sd.

El teorema precedente permite calcular explícitamente una base de cadaespacio Hd

m, para d > 1, pero para d = 1 ya sabemos que una base la formanlos polinomios (X ± iY )m.

Ejemplo La base de PH24 dada por el teorema anterior es

9x4 + 9y4 + 24z4 + 18x2y2 − 72x2z2 − 72y2z2

3x4 − 12y4 − 12z4 − 9x2y2 − 9x2z2 + 81y2z2

9x4 + 24y4 + 9z4 − 72x2y2 + 18x2z2 − 72y2z2

−45x2yz − 45y3z + 60yz3

−45x2yz + 60y3z − 45yz3

−45x3z − 45xy2z + 60xz3

−15x3y − 15xy3 + 90xyz2

−15x3z + 90xy2z − 15xz3

−45x3y + 60xy3 − 45xyz2

No es una base ortogonal, pero podemos obtener una base ortonormal medianteel proceso de Gram-Schmidt. En el el capítulo V calcularemos bases ortonor-males de los espacios H2

n.

3.5 Harmónicos zonalesTerminamos estudiando una familia particular de harmónicos esféricos:

Definición 3.31 Dado x ∈ Sd, consideramos la aplicación Λx : Hdn −→ K dada

por Λx(f) = f(x). Se trata de una aplicación lineal y, como Hdn es un espacio

de Hilbert de dimensión finita, es continua, luego por [A 3.42] existe una únicafunción Zdn(−, x) ∈ Hd

n tal que

f(x) =1

σ(Sd)

⟨f, Zdn(−, x)

⟩=

1

σ(Sd)

∫Sdf(y)Zdn(y, x) dσ.

El harmónico esférico Zdn(−, x) se llama harmónico zonal de grado n y polo x.

Notemos que dividir el producto escalar entre σ(Sd) es equivalente a conside-rar el producto escalar respecto a la medida de Lebesgue normalizada σ/σ(Sd)en Sd, respecto a la cual la esfera tiene medida 1.

De la definición se sigue inmediatamente que Zd0 (x, y) = 1.


Harmónicos zonales de dimensión 1 Sabemos que, para n ≥ 1, una baseortogonal de H1

n la forman las funciones e±nix (donde, por simplicidad, iden-tificamos las funciones en S1 con las funciones de periodo T = 2π). Fijado unpunto eiθ ∈ S1, existen α, β ∈ C tales que

Z1n(−, eiθ) = αenix + βe−nix.

Aplicando la propiedad que define a los harmónicos zonales, para todo γ, δ ∈ C,debe cumplirse que

γeniθ + δe−niθ =1

2π

⟨γenix + δe−nix, αenix + βe−nix

⟩= (γα+ δβ),

luego α = e−niθ, β = eniθ. Así pues,

Z1n(eix, eiθ) = eni(x−θ) + ein(θ−x) = 2cos(n(x− θ)).

Más adelante obtendremos una expresión para los harmónicos zonales decualquier dimensión, así como una interpretación geométrica.

Observemos ahora que los harmónicos zonales nos proporcionan las proyec-ciones de cualquier función en los espacios de harmónicos esféricos homogéneos:

Teorema 3.32 Si f ∈ L2(Sd) y definimos fn(x) = 1σ(Sd)

⟨f, Zdn(−, x)

⟩, enton-

ces se cumple que fn ∈ Hdn y

f ∼∞∑n=0

fn.

Demostración: El teorema 3.17 implica que f =∞∑n=0

gn, para ciertas

funciones gn ∈ Hdn. Entonces, teniendo en cuenta que los harmónicos esféricos

de grados distintos son ortogonales,

fn(x) =1

σ(Sd)

⟨f, Zdn(−, x)

⟩=

1

σ(Sd)

⟨ ∞∑k=0

gk, Zdn(−, x)

⟩=

1

σ(Sd)

⟨gn, Z

dn(−, x)

⟩= gn(x),

luego gn = fn.

Veamos ahora una serie de propiedades básicas de los harmónicos zonales:

Teorema 3.33 Para x, y ∈ Sd, se cumplen las propiedades siguientes:

1. Zdn(−, x) : Sd −→ R.

2. Zdn(y, x) = Zdn(x, y).

3. Si ρ ∈ O(d+ 1) es una isometría, Zdn(y, ρx) = Zdn(ρ−1y, x).


4. Zdn(x, x) = dimPHdn.

5. |Zdn(y, x)| ≤ dimPHdn.

Demostración: 1) Si f ∈ Hdn toma valores en R. Entonces

0 = Im f(x) =1

σ(Sd)Im

∫Sdf(y)Zm(y, x) dσ =

− 1

σ(Sd)

∫Sdf(y) ImZm(y, x) dσ.

En particular, si tomamos f(y) = ImZm(y, x), concluimos que∫Sd

Im2 Zm(y, x) dσ = 0,

luego ImZm(−, x) es idénticamente nula.

2) Sea e1, . . . , ehn una base ortonormal de Hdn, de modo que

hn = dimHdn = dimHPdn.

Entonces

Zdn(−, x) =hn∑j=1

⟨Zdn(−, x), ej

⟩ej = σ(Sd)

hn∑j=1

ej(x)ej ,

luego

Zdn(y, x) = σ(Sd)hn∑j=1

ej(y)ej(x).

Como Zdn toma valores reales, al conjugar esta igualdad obtenemos 2).

3) Para cada f ∈ Hdn, tenemos que ρ f ∈ Hd

n por 3.20, luego

f(ρ(x)) =1

σ(Sd)

∫Sdf(ρ(y))Zdn(y, x) dσ =

1

σ(Sd)

∫Sdf(y)Zdn(ρ−1(y), x) dσ,

donde hemos aplicado el teorema de cambio de variable, o equivalentemente,que la medida de Lebesgue de Sd es invariante por isometrías. Por la unicidadde los harmónicos zonales concluimos que

Zdn(ρ−1(−), x) = Zdn(−, ρ(x)).

4) Tomando y = ρx en 3) vemos que Zdn(ρx, ρx) = Zdn(x, x). Dados dospuntos en Sd, siempre hay una rotación que lleva uno al otro, luego la funciónZdn(x, x) es constante. Concretamente,

Zdn(x, x) =hn∑j=1

ej(x)ej(x) =hn∑j=1

|ej(x)|2.


Por lo tanto:

Zdn(x, x) =1

σ(Sd)

∫SdZdn(x, x) dσ =

hn∑j=1

∫Sd|ej(x)|2 dσ = hn.

5) Observamos que

‖Zdn(−, x)‖2 =⟨Zdn(−, x), Zdn(−, x)

⟩= σ(Sd)Zdn(x, x) = σ(Sd)hn,

luego, por la desigualdad de Schwarz,

|Zdn(y, x)| =1

σ(Sd)|⟨Zdn(−, x), Zdn(−, y)

⟩|

≤ 1

σ(Sd)‖Zdn(−, x)‖ ‖Zdn(−, y)‖ = hn.

En particular la propiedad 3) implica que si ρ es una isometría que fija a x,entonces Zdn(y, x) = Zdn(ρy, x), lo que significa que Zdn(−, x) es constante sobrela intersección de Sd con cada hiperplano perpendicular al polo x del harmónicozonal.

En el caso d = 2 esto significa que Zdn(y, x) depende sólo de la latitud quetiene y cuando consideramos a ±x como los polos de la esfera, y no de sulongitud. La palabra “zonal” pretende ser una generalización a dimensionesarbitrarias de lo que en dimensión 2 sería “latitudinal”.

Demostraremos que los únicos harmónicos esféricos que son “zonales” eneste sentido son los múltiplos por escalares de los que hemos definido comoharmónicos zonales (ésta es la caracterización geométrica de los harmónicoszonales que habíamos anunciado). Pero para ello necesitamos algunos resultadosadicionales de interés en sí mismos.

Vamos a representar igualmente por Zdn(−, x) al único polinomio harmónicoen PHd

n que extiende a Zdn(−, x) como elemento de Hdn. Así, si F ∈ PHd

n yx ∈ Rd+1 no es nulo, se cumple que

F (x) = ‖x‖mF (x/‖x‖) =‖x‖m

σ(Sd)

∫SdF (y)Zdn(y, x/‖x‖) dσ

=1

σ(Sd)

∫SdF (y)Zdn(y, x) dσ,

donde hemos usado que Zdn es, por definición, homogéneo de grado n en suprimera variable, luego también en la segunda, por el apartado 2) del teoremaanterior. Notemos que la igualdad vale trivialmente cuando x = 0.

Ahora podemos expresar la solución del problema de Dirichlet para un po-linomio en una bola en términos de los harmónicos esféricos zonales:

Teorema 3.34 Si F ∈ K[X0, . . . , Xd] es un polinomio de grado m, el polinomioharmónico que extiende a F |Sd es

u(x) =1

σ(Sd)

m∑n=0

∫SdF (y)Zdn(y, x) dσ.


Demostración: Por el teorema 3.15 sabemos que u es un polinomio harmó-nico de grado ≤ m, luego se descompone en suma de formas harmónicas:

u =m∑n=0

un.

Para cada x ∈ B1(0) y cada n, tenemos que

un(x) =1

σ(Sd)

∫Sdun(y)Zdn(y, x) dσ =

1

σ(Sd)

∫Sd

m∑j=0

uj(y)Zdn(y, x) dσ

=1

σ(Sd)

∫SdF (y)Zdn(y, x) dσ,

donde hemos usado que los harmónicos esféricos uj para j 6= n son ortogonalesa Zdn.

Ahora expresamos el núcleo de Poisson para las esferas en términos de losharmónicos zonales:

Teorema 3.35 Para todo n ≥ 2, el núcleo de Poisson

P (x, y) =‖y‖2 − ‖x‖2

‖x− y‖n

admite la expresión

P (x, y) =∞∑m=0

Zn−1m (x, y),

donde la serie converge absoluta y uniformemente en K×Sn−1, para todo com-pacto K ⊂ B1(0).

Demostración: Recordemos que

hm = dimPHn−1m =

(2m+ n− 2)(m+ n− 3)!

(n− 2)!m!,

por lo que

límm→∞

hmmn−2

=2

(n− 2)!.

Teniendo en cuenta el teorema 3.33 5), existe una constante C tal que, paratodo x ∈ Rn y todo y ∈ Sn−1,

|Zn−1m (x, y)| ≤ Cmn−2‖x‖m.

Así pues, si K ⊂ B1(0) es compacto, podemos tomar 0 < r < 1 tal queK ⊂ Br(0), y la serie del enunciado está mayorada por la serie geométrica∑mrm, y basta aplicar el criterio de mayoración de Weierstrass para probar que

converge en las condiciones indicadas.


Si F es un polinomio de gradom, la función harmónica que extiende a F |Sn−1

a la bola unidad es, según 2.8 y según 3.34:

1

σ(Sn−1)

∫Sn−1

P (x, y)F (y) dσ =1

σ(Sd)

m∑k=0

∫Sn−1

F (y)Zn−1k (y, x) dσ

=1

σ(Sd)

∫SdF (y)

∞∑k=0

Zn−1k (y, x) dσ,

donde hemos usado que, para k > m, cada Zn−1k (−, x) es ortogonal a F |Sn−1 .

Equivalentemente, ⟨P (x, y)−

∞∑k=0

Zn−1k (y, x), F (y)

⟩= 0.

Como esto vale para todo polinomio F , y los polinomios son densos en L2(Sn−1),concluimos que

P (x, y) =∞∑k=0

Zn−1k (y, x),

en principio como igualdad en L2(Sn−1), es decir, para casi todo y ∈ Sn−1,pero como ambos miembros son funciones continuas, la igualdad es cierta entodo Sn−1.

Ahora podemos refinar sustancialmente el teorema 2.20: La serie de Taylorde una función harmónica converge en toda bola abierta sobre la que la funciónesté definida.

Teorema 3.36 Sea a ∈ Rn y f ∈ H(Br(a)). Entonces, para todo x ∈ Br(a),se cumple que

f(x) =∑α

Dαf(a)

α!(x− a)α.

Demostración: Supongamos en primer lugar que f es harmónica en unentorno de B1(0). Entonces, para todo x ∈ B1(0), teniendo en cuenta el teoremaanterior,

f(x) =1

σ(Sn−1)

∫Sn−1

P (x, y)f(y) dσ(y)

=

∞∑k=0

1

σ(Sn−1)

∫Sn−1

Zn−1k (x, y)f(y) dσ(y),

donde hemos intercambiado el sumatorio y la integral en virtud de la conver-gencia uniforme. Llamamos

pm(x) =1

σ(Sn−1)

∫Sn−1

Zn−1k (x, y)f(y) dσ(y) =

1

σ(Sn−1)

⟨f, Zn−1

k (−, x)⟩.


Por 3.32 sabemos que la función definida en Sd como

fk(x) =1

σ(Sn−1)

⟨f, Zn−1

k (−, x)⟩

está en Hn−1k , y su extensión a HPn−1

k es la dada por la misma expresión,pero entendiendo que ahora Zn−1

k representa a la extensión correspondiente delharmónico zonal. En definitiva, tenemos que4

f(x) =∞∑k=0

fk(x),

donde cada fk es un polinomio homogéneo de grado k. Por la unicidad deldesarrollo de Taylor, se trata de la serie de Taylor de f .

Si f ∈ H(B1(0)), para cada 0 < r < 1, tenemos que la función g(x) = f(rx)es harmónica en B1/r(0), luego por la parte ya probada su desarrollo en seriede Taylor converge en B1(0), y esto implica que el desarrollo de f convergeen Br(0), y como esto vale para todo r, de hecho converge en B1(0).

El mismo argumento extiende ahora la conclusión para f ∈ H(Br(0)), yconsiderando traslaciones se extiende a su vez a funciones f ∈ H(Br(a)).

Finalmente estamos en condiciones de caracterizar geométricamente los har-mónicos zonales, pero previamente necesitamos un par de resultados técnicos.

Teorema 3.37 Si f : Rd+1 −→ K es analítica y radial (es decir, que f(x)depende únicamente de ‖x‖), en un entorno de 0 se cumple que

f(x) =∞∑k=0

ck‖x‖2k.

Demostración: Supongamos en primer lugar que f ∈ Pdm y no es idénti-camente nula. Entonces f toma un valor constante c 6= 0 sobre Sd, con loque f(x) = c‖x‖m, pero m tiene que ser par, o de lo contrario f no sería unpolinomio. Por lo tanto, f tiene la forma requerida.

En el caso general, sea f(x) =∞∑m=0

pm(x) su desarrollo en serie de Taylor en

un entorno de 0, donde pm ∈ Pdm es la agrupación de todos los monomios degrado m.

Si ρ ∈ O(d + 1) es una isometría de Rd+1, el hecho de que f sea radial setraduce en que f = ρ f , luego

∞∑m=0

pm(x) =∞∑m=0

(ρ pm)(x),

4Notemos que el teorema 3.32 nos da una expresión formalmente idéntica, pero la conver-gencia de la suma en dicho teorema es en Sn−1 y respecto de la norma de L2(Sn−1), mientrasque ahora tenemos la convergencia (necesariamente casi uniforme) de una serie de potenciasen B1(0).


y claramente ρ pm es también un polinomio homogéneo de grado m. Por launicidad de los desarrollos de Taylor, necesariamente pm = ρ pm, luego pm esradial, y por la parte ya probada m = 2k y pm(x) = ck‖x‖2k.

En el teorema siguiente identificaremos Rd+1 = R× Rd.

Teorema 3.38 Sea u : Rd+1 −→ K una función harmónica tal que, para todox0 ∈ R, la función u(x0,−) sea radial en Rd y u(x0, 0) = 0. Entonces u esidénticamente nula.

Demostración: El teorema 3.36 implica que la serie de Taylor de u alre-dedor de 0 converge en todo Rd+1. Agrupando términos, podemos expresarloen la forma

u(x0, x) =∞∑m=0

cm(x0)pm(x),

donde cm(x0) es una serie de potencias y pm(x) un polinomio homogéneo degrado m. Al fijar x0 obtenemos la serie de Taylor de la función u(x0,−), luegopor el teorema anterior el desarrollo de u es, más concretamente,

u(x0, x) =∞∑k=0

c2k(x0)‖x‖2k.

Ahora un cálculo rutinario muestra que

0 = ∆u =∞∑k=0

(c′′2k(x0) + c2(k+1)(x0)(2k + 2)(2k + d))‖x‖2k.

Como cada sumando es una forma de grado 2k, tiene que ser

c′′2k(x0) + c2(k+1)(x0)(2k + 2)(2k + d) = 0

para todo k y, teniendo en cuenta que por hipótesis c0 = 0, inductivamenteobtenemos que c2k = 0 para todo k, luego u = 0.

Teorema 3.39 Un harmónico esférico de grado n es constante en los hiperpla-nos perpendiculares a y ∈ Sd si y sólo si es un múltiplo escalar de Zdn(−, y).

Demostración: Ya sabemos que los harmónicos zonales tienen esta pro-piedad. Para probar el recíproco podemos suponer que n ≥ 1. Consideremosprimero el caso en que y = (1, 0, . . . , 0), de modo que partimos de un polinomioF ∈ PHd

m tal que F |Sd es constante en los hiperplanos x0 = cte. Esto implicaque la función F (x0,−) es radial en Rd. En efecto, para todo x ∈ Rd, tenemosque

F (x0, x) = ‖(x0, x)‖nF(

x0

‖(x0, x)‖,

x

‖(x0, x)‖

)= ‖(x0, x)‖nF

(x0

‖(x0, x)‖,‖x‖

‖(x0, x)‖, 0

)= F (x0, ‖x‖, 0).


En particular, esto se aplica a Zdn(−, y), es decir, Zdn((x0,−), y) es radial,como función en Rd. Sea c tal que F (y) = cZdn(y, y) y definimos

u(x) = F (x)− cZdn(x, y).

Así u es harmónica en Rd+1, las funciones u(x0,−) son radiales en Rd yu(x0, 0) = u(x0y) = xn0u(y) = 0. El teorema anterior nos da que u = 0, luegoF = cZdn(−, y).

Si y ∈ Sd es arbitrario, basta considerar una isometría de Rd+1 que cumplaρ(1, 0, . . . , 0) = y, con lo que ρF es un harmónico esférico en las condiciones delcaso ya considerado, luego ρF es un múltiplo de Zdn(−, ρ−1(y)) = ρZdn(−, y),luego F es un múltiplo de Zdn(−, y).

Terminamos encontrando una fórmula explícita para los harmónicos zonales:

Teorema 3.40 Si x ∈ Rd, y ∈ Sd, n ≥ 1, entonces Zdn(x, y) =

(d+ 2n− 1)

E[n/2]∑k=0

(−1)k(d+ 1)(d+ 3) · · · (d+ 2n− 2k − 3)

2kk!(n− 2k)!(xy)n−2k‖x‖2k.

Demostración: La función (1−z)−(d+1)/2 es holomorfa en el disco unitariodel plano complejo (donde la raíz cuadrada es la definida sobre D(1, 1) y quetoma valores positivos sobre el eje real). Por lo tanto, admite un desarrollo enserie de Taylor

(1− z)−(d+1)/2 =∞∑k=0

ckzk,

donde, como se comprueba fácilmente,

ck =d+1

2

(d+1

2 + 1)· · ·(d+1

2 + k − 1)

k!.

Si y ∈ Sd y la norma ‖x‖ es suficientemente pequeña,

P (x, y) =1− ‖x‖2

‖x− y‖d+1= (1− ‖x‖2)(1 + ‖x‖2 − 2x · y)−(d+1)/2

= (1− ‖x‖2)∞∑k=0

ck(2x · y − ‖x‖2)k

= (1− ‖x‖2)∞∑k=0

ckk∑j=0

(−1)j(kj

)2k−j(x · y)k−j‖x‖2j .

Por el teorema 3.35, sabemos que Zdn(x, y) es la suma de los términos degrado n en el desarrollo en serie de Taylor de P (−, y). Comparando con laexpresión anterior, vemos que

Zdn(x, y) = qn − ‖x‖2qn−2,


donde qn y qn−2 son los términos de orden n y n− 2 en la serie que multiplica a1−‖x‖2. Cada término de la serie es una forma de grado k+j, luego tenemos queagrupar todos los que cumplen k+ j = n. Fijado k, tiene que ser j = n−k ≤ k,luego n/2 ≤ k ≤ n. Así pues:

qn =∑

n/2≤k≤n

ck(−1)n−k(

k

n− k

)22k−n(x · y)2k−n‖x‖2n−2k.

cambiando k por n− k queda

qn =

E[n/2]∑k=0

cn−k(−1)k(n− kk

)2n−2k(x · y)n−2k‖x‖2k =

E[n/2]∑k=0

d+12

(d+1

2 + 1)· · ·(d+1

2 + n− k − 1)

(n− k)!(−1)k

(n− kk

)2n−2k(x · y)n−2k‖x‖2k

=

E[n/2]∑k=0

(−1)k(d+ 1)(d+ 3) · · · (d+ 2n− 2k − 1)

2kk!(n− 2k)!(x · y)n−2k‖x‖2k.

Por consiguiente:

qn−2 =

E[n/2−1]∑k=0

(−1)k(d+ 1)(d+ 3) · · · (d+ 2n− 2k − 5)

2kk!(n− 2(k + 1))!(x · y)n−2(k+1)‖x‖2k

=

E[n/2]∑k=1

(−1)k−1 (d+ 1)(d+ 3) · · · (d+ 2n− 2k − 3)

2k−1(k − 1)!(n− 2k)!(x · y)n−2k‖x‖2k−2

= −E[n/2]∑k=0

2k(−1)k(d+ 1)(d+ 3) · · · (d+ 2n− 2k − 3)

2kk!(n− 2k)!(x · y)n−2k‖x‖2k−2.

Notemos que si n = 1 se cumple por definición que qn−2 es la forma nula, y estaexpresión también es la forma nula. En definitiva,

Zdn(x, y) =

E[n/2]∑k=0

ak(−1)k(d+ 1)(d+ 3) · · · (d+ 2n− 2k − 3)

2kk!(n− 2k)!(x · y)n−2k‖x‖2k,

dondeak = d+ 2n− 2k − 1 + 2k = d+ 2n− 1.

Capítulo IV

Series de Fourier

La teoría sobre harmónicos esféricos que hemos expuesto en el capítulo an-terior es una generalización de la teoría de las series de Fourier que presentamosa continuación. Empezamos discutiendo un ejemplo del tipo de problemas quela motivaron:

4.1 Introducción

Una esfera de hierro de 1 cm de radio se calienta hasta una temperatura de100C y a continuación se sumerge en una cuba de agua a 30C. Determinar latemperatura en cada punto de la esfera a partir del momento de la inmersión.

Solución: Suponemos que la temperatura T de la esfera satisface la ecua-ción del calor [GD 5.23]:

∂T

∂t= α∆T,

donde la difusividad térmica del hierro es α = 2.3 · 10−5m2/s = 0.23 cm2/s.

Suponemos también que la cuba de agua es lo suficientemente grande comopara absorber todo el exceso de calor de la esfera sin alterar sensiblementesu temperatura, de modo que al cabo de un tiempo la esfera terminará a latemperatura ambiente. Más aún, vamos a suponer que el tiempo que tarda lasuperficie de la esfera en alcanzar la temperatura ambiente es despreciable o,dicho de otro modo, que la superficie pasa instantáneamente de la temperaturade 100C a la de 30C.

Un planteamiento más realista sería considerar la ley de enfriamiento deNewton, que postula que la variación de temperatura en la superficie de laesfera es proporcional a la diferencia de temperatura respecto de la temperaturaambiente T0:

∂T

∂t= −r(T − T0).

99

100 Capítulo 4. Series de Fourier

De este modo, el descenso de temperatura en la superficie es también gradual,pero el problema con la ley de Newton requiere técnicas que exceden el alcancede la teoría que vamos a desarrollar aquí.

Por comodidad vamos a usar una escala alternativa de temperatura en la que30C corresponda a T = 0 y 100C corresponda a T = 1. Al final expresaremoslos resultados de nuevo en grados centígrados. En lugar de suponer que latemperatura inicial de la esfera es constante, podemos trabajar en el contextomás general en el que la distribución de temperatura es radial, es decir, queT = T (r, t) depende únicamente de la distancia r al centro de la esfera y deltiempo. Por simetría, si esto es así en el instante inicial t = 0, seguirá siendoasí en todo momento. Teniendo en cuenta que r =

√x2 + y2 + z2, vemos que

∂T

∂x=∂T

∂r

x

r,

∂2T

∂x2=∂2T

∂r2

x2

r2+∂T

∂r

r − x2/r

r2,

y al derivar respecto de y, z obtenemos fórmulas análogas, con lo que

∆T =∂2T

∂r2+

2

r

∂T

∂r=

1

r

∂2(rT )

∂r2.

Resulta conveniente definir T (r, t) para valores negativos de r estableciendoque T (−r, t) = T (r, t), para −1 ≤ r ≤ 1. Esto significa que r recorre, nosólo un radio, sino un diámetro completo de la esfera. En estos términos, elplanteamiento completo del problema es:

1

r

∂2(rT )

∂r2=

1

α

∂T

∂t, T (±1, t) = 0, T (r, 0) = F (r), para − 1 < r < 1.

donde F : [−1, 1] −→ [0,+∞[ es, en principio, una función arbitraria (razo-nable) que cumpla F (−r) = F (r) (que en las condiciones del enunciado esconcretamente F (r) = 1). La segunda ecuación es lo que se llama la condiciónde frontera, y establece que la temperatura en la frontera de la esfera tiene queser 0 en todo momento, mientras que la tercera ecuación es la condición inicial,y prescribe la temperatura de la esfera en t = 0.

Notemos que sólo exigimos la condición inicial para |r| < 1 porque nuestraintención es particularizar al caso F (r) = 1, y suponer que la condición inicialse cumple para r = ±1 contradiría la condición de frontera, debido al supuestode “enfriamiento instantáneo” de la superficie que hemos discutido antes.

Conviene hacer el cambio de variable U(r, t) = rT (r, t). En términos de lafunción U el problema se convierte en

∂2U

∂r2=

1

α

∂U

∂t, U(±1, t) = 0, U(r, 0) = rF (r), para − 1 < r < 1.

Lo que se sabía antes del trabajo de Fourier es que, prescindiendo de lascondiciones iniciales y de frontera, es posible encontrar soluciones de la ecuacióndel calor de la forma U(r, t) = u(r)v(t), pues en este caso es posible separar las

4.1. Introducción 101

variables en la ecuación. En efecto, al sustituir esta expresión en la ecuacióndiferencial obtenemos u′′(r)v(t) = u(r)v′(t)/α, o también

u′′(r)

u(r)=

v′(t)

αv(t)= −λ2

No nos preocupamos mucho por si podemos estar dividiendo entre 0 porquenuestro propósito es acabar con una función que cumpla la ecuación y, si elresultado es correcto, el camino recorrido no importará para nada. La cuestiónes que el hecho de que una función que depende sólo de r sea igual a otra quedepende sólo de t implica que ambas tienen que ser constantes, y llamamos −λ2

a dicha constante. Con esta notación estamos anticipando el hecho de que, comoveremos, la constante tiene que ser negativa.

La ecuación para v(t) tiene una solución muy simple: Integrando ambosmiembros vemos que log v(t) = −αλ2t + k, de donde v(t) = c′e−αλ

2t, paracierta constante c′. La ecuación para u(r) es del tipo estudiado en el ejemplo 1de la sección [An 7.2], donde vimos que sus soluciones son v(r) = c′′ cos(λr+φ),para ciertas constantes c′′, φ ∈ R. Por lo tanto, una solución de la ecuación delcalor es de la forma

U(r, t) = c cos(λr + φ)e−αλ2t

(y podemos comprobar que esto es así independientemente del camino que hemosseguido para llegar hasta ella). Para que se cumpla U(0, 0) = 0 podemos tomarφ = π/2, lo cual equivale a que U(r, t) = c sen(λr)e−αλ

2t. Las condicionesU(±1, 0) = 0 equivalen a que λ = nπ, luego las funciones

Un(r, t) = cn sen(nπr)e−αn2π2t

cumplen todas las condiciones del problema salvo quizá la condición inicial. Apartir de aquí, Fourier se planteó considerar soluciones de la forma

U(r, t) =∞∑n=1

cn sen(nπr)e−αn2π2t.

Observemos que cualquier sucesión acotada cn∞n=1 define una función declase C∞ en ]−1, 1[ × ]0,+∞[ que cumple la ecuación del calor. En efecto, siconsideramos a U(r, t) como función de r para un t fijo, vemos que la serieconverge uniformemente por el teorema de mayoración de Weierstrass, ya que

|cn sen(nπr)e−αn2π2t| ≤ Ke−αn

2π2t,

y la serie de la exponencial converge por el criterio de D’Alembert. Más aún,la serie de las derivadas respecto de r también converge uniformemente, puesahora

|nπcn cos(nπr)e−αn2π2t| ≤ Kne−αn

2π2t,

y esta serie sigue siendo convergente. El teorema [An 4.32] implica que U esderivable respecto de r y que la derivada parcial es la suma de las series delas derivadas. El mismo razonamiento se aplica a las derivadas sucesivas, y así


tenemos que ∆U es la suma de los laplacianos de los sumandos. Por otra parte,si fijamos r, la serie también converge uniformemente en un entorno de cadat > 0, pues podemos fijar 0 < ε < t y acotar

|cn sen(nπr)e−αn2π2t| ≤ Ke−αn

2π2ε.

Igualmente se razona que la serie de las derivadas converge uniformemente, loque a su vez implica que U es derivable respecto de t y que su derivada es la sumade las derivadas de los sumandos de la serie. Esto nos basta para probar que Usatisface la ecuación del calor, aunque afinando el razonamiento concluimos queU es de clase C∞ en ]−1, 1[× ]0,+∞[.

También es inmediato que, como los sumandos cumplen la condición defrontera, lo mismo le sucede a la suma U . Por último, que U cumpla la condicióninicial equivale a que

∞∑n=1

cn sen(nπr) = rF (r), (4.1)

y éste es el punto donde interviene la teoría de Fourier. Fourier se planteósi toda función f : [a, b] −→ R (que cumpla condiciones “razonables”) puededesarrollarse en una serie trigonométrica de la forma

f(x) = a0 +∞∑n=1

(an cos 2nπT x+ bn sen 2nπ

T x), (4.2)

donde T = b − a. Veremos que la respuesta es afirmativa. Más aún, el hechode que en (4.1) no aparezcan cosenos será una consecuencia necesaria del hechode que la función f(r) = rF (r) es impar, es decir, que cumple f(−r) = −f(r).Así, si rF (r) admite lo que se llama un “desarrollo en serie de Fourier”, será dela forma requerida por (4.1) y los coeficientes cn definirán una solución U(r, t)del problema que tenemos planteado, concretamente, la dada por

T (r, t) =

∞∑n=1

cnsen(nπr)

re−αn

2π2t.

Veremos que la teoría de Fourier no sólo asegura (bajo condiciones “razonables”)la existencia de desarrollos en serie de Fourier, sino que indica cómo calcularexplícitamente los coeficientes para una función dada. Por ejemplo, en el casoen que F (r) = 1, veremos que el desarrollo en serie de Fourier de f(x) = x enel intervalo [−1, 1] es

x =

∞∑n=1

2(−1)n+1

nπsennπx, −1 < x < 1, (4.3)

lo que a su vez da lugar a la solución

T (r, t) =

∞∑n=1

(−1)n+12

nπ

sen(nπr)

re−αn

2π2t

4.1. Introducción 103

o, si volvemos a expresar la temperatura en grados:

T (r, t) = 30 + 140∞∑n=1

(−1)n+1

nπ

sen(nπr)

re−αn

2π2t.

He aquí las sumas parciales de la serie (4.3) con 10 y 100 sumandos, respec-tivamente:

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

La figura siguiente muestra la función T (calculada como la suma de los5 000 primeros términos de la serie que la define):

0

0.5

r10

0.5

11.5

2t

50

100T

Vemos que su comportamiento es el requerido: en t = 0 es constante iguala 100, y a partir de ahí la temperatura va descendiendo con el tiempo hastaalcanzar la temperatura ambiente de 30. Observamos también la discontinui-dad en (r, t) = (1, 0) provocada por la hipótesis de enfriamiento instantáneo dela superficie de la esfera.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

20

40

60

80

100La temperatura en el centro de la esfera(r = 0) viene dada por

T (0, t) = 30 + 140∞∑n=1

(−1)n+1 e−αn2π2t.

Vemos en la gráfica que al cabo de 3s el cen-tro y, por consiguiente, toda la esfera, haalcanzado ya prácticamente la temperaturaambiente. También es interesante observar que hay un breve lapso de unas


décimas de segundo en las que la temperatura del centro apenas varía. Teórica-mente, la ecuación del calor establece que las variaciones de calor se transmitende forma instantánea, en el sentido de que, por ejemplo, la temperatura delcentro empieza a variar (aunque sea poco) en el mismo instante en que la esferase sumerge en el agua, lo cual no es físicamente posible, pero en la práctica elmodelo es aceptable, pues predice que la variación inicial que se da en teoría esprácticamente inapreciable.

Tenemos, pues, que estudiar, bajo qué condiciones es posible desarrollar unafunción f en una serie de Fourier (4.2). Como todos los sumandos son periódicosde periodo T , es inmediato que si una serie de este tipo converge en un intervalo[a, b] de longitud T , de hecho converge en todo R a una función de periodo T .Esto puede verse en las gráficas que hemos mostrado de las sumas parciales dela serie de Fourier de la función f(x) = x en el intervalo [−1, 1], que convergen auna función periódica con discontinuidades en los números enteros (donde tomael valor 0).

Una parte esencial en la obtención de los desarrollos en serie de Fourierconsistirá en demostrar que las funciones cos 2nπ

T y sen 2nπT , para n = 0, 1, . . .

forman una base ortogonal del espacio de Hilbert L2([a, b]), donde b − a = T ,de modo que los coeficientes de la serie de Fourier de una función f podránobtenerse a partir de la teoría general sobre los espacios de Hilbert.

Ahora observamos que las funciones f : R −→ R periódicas de periodo Tpueden identificarse con las funciones f : S1 −→ R, definidas en la circunferenciaunitaria S1 = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1 a través de la biyección dada por

f(t) = f(cos2πt

T, sen

2πt

T).

Esto significa que “en realidad” la teoría de series de Fourier es una teoría sobrelas funciones definidas en la circunferencia S1, y aquí es donde la teoría entroncacon la de los harmónicos esféricos.

Para precisar esta relación, dado T > 0, definimos L2(T ) como el conjuntoformado por todas las funciones f : R −→ K de periodo T cuya restriccióna [0, T ] está en L2([0, T ]). Llamaremos igual al cociente de este espacio entreel subespacio formado por las funciones que restringidas a [0, T ] son nulas casipor todas partes (lo cual equivale a que sean nulas casi por todas partes, sinnecesidad de restringir).

La restricción determina un isomorfismo1 L2(T ) −→ L2([0, T ]), a través delcual el producto escalar de L2([0, T ]) se transporta a un producto escalar enL2(T ) que dota a este espacio de estructura de espacio de Hilbert (isométrico aL([0, T ]). Concretamente,

〈f, g〉 =

∫ T

0

f(x)g(x) dx.

1Dada f ∈ L2([0, T ]), podemos suponer que f(0) = f(T ), pues modificar el valor de f(T )no altera la clase de equivalencia de f , y entonces f se extiende a una función de L2(T ).

4.2. Harmónicos circulares 105

Pero, más aún, es fácil ver que, para todos los números a, t ∈ R, la periodicidadde las funciones implica que∫ T

0

f(x)g(x) dx =

∫ a+T

a

f(x+ t)g(x+ t) dx.

Esto se traduce en que L2(T ) es isométrico (a través de la restricción) a cualquierespacio L2([a, b]) con b − a = T , así como que las traslaciones definidas porf 7→ ft(x) = f(x+ t) definen isometrías en L2(T ).

Por otra parte, podemos definir una isometría L2(S1) −→ L2(T ) mediante

f 7→ f∗(x) =

√2π

Tf(cos

2πx

T, sen

2πx

T).

En efecto, es claro que f 7→ f∗ transforma funciones de cuadrado integrableen funciones de cuadrado integrable y, de hecho,∫

S1

|f |2 dσ =

∫ T

0

|f |2(cos2πx

T, sen

2πx

T)2π

Tdx =

∫ T

0

|f∗|2(x) dx.

Por lo tanto, ‖f‖ = ‖f∗‖. En particular f 7→ f∗ transforma funciones de normanula en funciones de norma nula, luego induce una aplicación entre los espacioscociente respectivos respecto de las funciones de norma nula, que claramente esun isomorfismo de espacios vectoriales.

Además es una isometría, porque

〈f, g〉 =

∫S1

fg dσ =

∫ T

0

(fg)(cos2πx

T, sen

2πx

T)2π

Tdx

=

∫ T

0

f∗(x)g∗(x) dx = 〈f∗, g∗〉 .

Si nuestro único propósito fuera describir las funciones de L2(S1), bastaríatomar T = 2π, de modo que la isometría adopta la forma más simple, perotambién conviene estar en condiciones de trasladar los resultados sobre L2(S1)a cualquier espacio L2([a, b]), y para ello necesitamos el contexto general quehemos descrito.

4.2 Harmónicos circularesEn el capítulo anterior hemos visto que una base de PH1

n está formada porlos polinomios

zn = (x+ iy)n y zn = (x− iy)n,

luego una base de H1n está formada por las restricciones de estas funciones a S1.

En términos de las parametrizaciones de S1, estas funciones se correspondencon

2π

T(cos

2πx

T+ i sen

2πx

T)n,

2π

T(cos

2πx

T− i sen

2πx

T)n,

o equivalentemente, con 2πT e

2nπix/T , con n ∈ Z. Podemos eliminar la constantey concluir que las funciones e±2nπix/T se corresponden con una base de H1

n.


De hecho son una base ortogonal, pues, para n > 0,

⟨e2nπix/T , e−2nπix/T

⟩=

∫ T

0

e4nπix/T dx =T

4nπi[e4nπix/T ]T0 = 0.

(Notemos que para n = 0 no hay nada que probar, pues la base consta de unaúnica función.) No es difícil probar directamente que las funciones e2nπix/T

y e2mπix/T , para m 6= n, son ortogonales, pero esto lo tenemos probado engeneral en 3.11. En cuanto a sus normas, vemos que

⟨e2nπix/T , e2nπix/T

⟩=

∫ T

0

dx = T,

luego todas las funciones tienen norma√T en L2(T ) (luego las funciones co-

rrespondientes en L2(S1) tienen norma T/√

2π). En definitiva:

Una base ortogonal de L2(T ) la forman las funciones e2nπi/T , conn ∈ Z, todas las cuales tienen norma

√T .

Podemos obtener una base formada por funciones reales tomando las partesreal e imaginaria de las funciones anteriores:

1, cos2nπix

T, sen

2nπix

T, n = 1, 2, 3, . . .

Para comprobar que es también una base ortogonal y calcular sus normas lomás simple es expresar

cos2nπix

T=e2nπix/T + e−2nπix/T

2, sen

2nπix

T=e2nπix/T − e−2nπix/T

2i

y aplicar la linealidad del producto escalar. Por ejemplo, el cálculo de la normapara n > 0 es⟨

e2nπix/T ± e−2nπix/T

2[i],e2nπix/T ± e−2nπix/T

2[i]

⟩=

1

4(T + T ) =

T

2,

Así pues:

Una base ortogonal de L2(T ) la forman las funciones 1, cos(2nπix/T ),sen(2nπix/T ), para n > 0, todas las cuales tienen norma

√T/2 ex-

cepto la primera, que tiene norma√T .

Hemos visto que estas bases se corresponden con sucesiones ortogonales com-pletas en L2(S1). Cuando T = 2π las normas en L2(S1) son las mismas. Engeneral, hay que multiplicarlas por

√T/2π.

Estos hechos nos llevan a la definición siguiente:


Definición 4.1 Sean a < b dos números reales y T = b − a. Si f ∈ L2([a, b]),su serie de Fourier es la serie funcional

f(x) ∼ a0

2+∞∑n=1

(an cos 2nπxT + bn sen 2nπx

T ),

donde

an =2

T

∫ b

a

f(x) cos2nπx

Tdx, bn =

2

T

∫ b

a

f(x) sen2nπx

Tdx.

Alternativamente, se llama también serie de Fourier de f a la serie

f(x) ∼∑n∈Z

f(n)e2nπxi/T , donde f(n) =1

T

∫ b

a

f(x)e−2nπxi/T dx.

A través de las isometrías con L2(S1), estas definiciones se correspondencon la definición general 3.19. Observemos que hemos dejado un 2 “fuera” dela definición de a0 para compensar el hecho de que la norma de la función 1 esdistinta de la de las demás funciones de la base, de manera que la definición dea0 sigue el mismo esquema que la de los otros an.

Conviene particularizar los resultados generales que conocemos para seriesde Fourier:

Identidad de Parseval Los coeficientes de Fourier de cualquier función fcumplen:

|a0|2

2+∞∑n=1

(|an|2 + |bn|2) =2

T‖f‖2

o, respecto de la base compleja:∑n∈Z|f(n)|2 =

1

T‖f‖2.

Teorema de Riesz-Fischer Todo par de sucesiones an∞n=0, bn∞n=1 paralos que converge la serie anterior constituyen la sucesión de coeficientesde Fourier de una única función f ∈ L2(T ).

Alternativamente, toda2 f ∈ `2(Z) es la sucesión de coeficientes de Fourierde una única función f ∈ L2(T ).

Lema de Riemann-Lebesgue Las sucesiones de coeficientes de Fourier tien-den a 0:

límn

∫ T

0

f(x) cos2nπx

Tdx = lím

n

∫ T

0

f(x) sen2nπx

Tdx = 0,

límn

∫ T

0

f(x)e±2nπxi/T = 0.

2El espacio `2(Z) se define igual que `2 = `2(N) pero considerando sucesiones en Z. Cual-quier biyección entre Z y N induce una isometría entre ambos.


El teorema 3.28 nos garantiza la convergencia absoluta y uniforme de lasseries de Fourier de funciones de clase C2 (puede probarse que C1 es suficiente).Veamos ahora que para que se dé la convergencia en un punto basta exigir laderivabilidad en dicho punto:

Teorema 4.2 Sea f ∈ L2(T ) y x0 ∈ R un punto en el que sea derivable.Entonces la serie de Fourier de f converge puntualmente a f(x0) en x0.

Demostración: No perdemos generalidad si trabajamos en el intervalo[−π, π] y suponemos que x0 = 0. Más aún, podemos suponer que f(0) = 0,pues la serie de Fourier de f∗ = f − f(0) es la misma que la de f , salvo quef∗(0) = f(0)− f(0). La derivabilidad equivale a que

límx→0

f(x)

x= f ′(0).

Consideramos la funcióng(x) =

f(x)

eix − 1,

que claramente cumple

límx→0

g(x) = −i límx→0

f(x)/x

(eix − 1)/ix= −if ′(0).

Esto implica que g y, por consiguiente, |g|2, esté acotada en un entorno de 0.Es fácil ver que g es medible, luego |g|2 es integrable en dicho entorno, y el enresto del intervalo [−π, π] también es integrable porque |f |2 lo es y la función|eix − 1|−2 está acotada fuera de cualquier entorno de 0. En suma, g ∈ L2(T ) y

f(x) = (eix − 1)g(x).

Esta relación implica inmediatamente que f(n) = g(n− 1)− g(n). Por lo tanto

l∑n=−k

f(n) = g(−k − 1)− g(l),

pues al expresar cada f(n) en términos de g todos los términos se cancelanexcepto los dos que aparecen en el miembro derecho. Ahora basta observar quesi evaluamos en x = 0 la serie de Fourier de f obtenemos∑

n∈Zf(n),

y las sumas parciales de esta serie convergen a 0 por el lema de Riemann-Lebesgue aplicado a g.

Así pues, si f : R −→ K es una función periódica derivable, entonces es lasuma (puntual) de su serie de Fourier.

Ejemplo Vamos a calcular la serie de Fourier de la función f(x) = x en elintervalo [−1, 1]. El hecho de que sea una función impar (es decir, que cumple


f(−x) = −f(x)), se traduce fácilmente en que an = 0 para todo n. Por otraparte,

bn =

∫ 1

−1

x sennπx dx =2

nπ(−1)n+1,

como se obtiene fácilmente integrando por partes. Por consiguiente,

x =∞∑n=1

2

nπ(−1)n+1 sennπx, −1 < x < 1,

tal y como hemos usado en el problema que hemos discutido al principio delcapítulo. En la página 103 están las gráficas de dos sumas parciales de la serie,en las que se aprecia claramente la convergencia.

Observación La serie del ejemplo anterior converge a 0 en ±1, y ello no escasual. En general, es fácil probar que si existen

f(x+0 ) = lím

x→x+0

f(x), f(x−0 ) = límx→x−0

f(x),

f ′+(x0) = límh→0+

f(x+ h)− f(x0)

h, f ′−(x0) = lím

h→0−

f(x+ h)− f(x0)

h,

entonces la serie de Fourier de f converge en x0 a (f(x+0 ) + f(x−0 ))/2.

En efecto, trasladando f y sumándole una constante podemos suponer sinpérdida de generalidad que x0 = 0 y que f(0+) = −f(0−). Entonces las sumasparciales en 0 de la serie de Fourier son

k∑n=−k

f(n) =

∫ π

−πf(x)Dk(x) dx,

donde

Dk(x) =1

2π

k∑n=−k

e−nxi.

Ahora bien, es inmediato que Dk(x) = Dk(−x), luego∫ π

−πf(x)Dk(x) dx =

∫ π

−πf(−x)Dk(x) dx =

∫ π

−π

f(x) + f(−x)

2Dk(x) dx.

Pero la función g(x) = (f(x) + f(−x))/2 (definida en 0 como g(0) = 0) esderivable en 0, luego el teorema anterior aplicado a esta función nos da que∑

n∈Zf(n) =

∑n∈Z

g(n) = 0.

Podemos decir más sobre las series de Fourier de las funciones derivables:


Teorema 4.3 Si f : R −→ R es una función derivable de periodo T > 0 y sudesarrollo en serie de Fourier es

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(an cos2nπx

T+ bn sen

2nπx

T),

entoncesf ′(x) ∼

∞∑n=1

(2nπbnT

cos2nπx

T− 2nπan

Tsen

2nπx

T),

que es la serie que resulta de derivar término a término la serie dada. Entérminos de las funciones exponenciales es f ′(n) = − 2nπi

T f(n).

Demostración: Por ejemplo, integrando por partes:

T

2an(f ′) =

∫ T

0

f ′(x) cos2nπx

Tdx

= −∫ T

0

f(x)2nπ

Tsen

2nπx

Tdx = −2nπ

T

T

2an(f),

luego an(f ′) = − 2nπT an(f), e igualmente se prueban las demás relaciones.

Nota En la prueba del teorema anterior es fundamental que f(0) = f(T ) paraque se anule el primer término que resulta de aplicar la fórmula de integraciónpor partes. Por ejemplo, si derivamos término a término la serie de Fourierde la función f(x) = x calculada en el ejemplo anterior no obtenemos la serie(trivial) de f ′(x) = 1. Por el contrario, obtenemos una serie divergente cuyoscoeficientes ni siquiera están en `2.

Al principio del capítulo hemos visto una aplicación de las series de Fouriera la resolución de la ecuación del calor. Sin embargo, la teoría de las series deFourier tiene aplicaciones diversas. Veamos un ejemplo muy distinto de cómoel análisis de Fourier puede intervenir en una demostración matemática.

La desigualdad isoperimétrica afirma que si anudamos una cuerda para for-mar una curva cerrada, la forma de abarcar la mayor área posible con ella esdisponerla en forma de circunferencia. Con más precisión:

Teorema 4.4 (Desigualdad isoperimétrica) Sea Ω un abierto acotado enR2 tal que Ω sea una variedad con frontera tal que ∂Ω homeomorfa a S1 y delongitud 2π. Entonces el área A de Ω cumple A ≤ π y se da la igualdad si ysólo si Ω es un círculo.

Demostración: Sea φ : S1 −→ ∂Ω un difeomorfismo (que suponemosal menos de clase C1). Componiendo con t 7→ (cos t, sen t) obtenemos unaaplicación γ : R −→ R2 de clase C1 y periódica de periodo 2π. Más aún,podemos suponer que γ está parametrizada por el arco, es decir, que si γ(t) =(x(t), y(t)), entonces x′2 +y′2 = 1. Aquí está implícito que ∂Ω tiene longitud 2π,pues esto equivale a que ∫ 2π

0

(x′2(t) + y′2(t)) dt = 2π.


Consideramos a x, y (y también a x′, y′) como elementos de L2([0, 2π]), yasí la igualdad anterior equivale a que ‖x′‖2 + ‖y′‖2 = 2π. Por la igualdadde Parseval, también ‖x′‖2 + ‖y′‖2 = 1, donde ahora la norma es en `2(Z).Explícitamente: ∑

n∈Z(|x′(n)|2 + |y′(n)|2) = 1.

Ahora usamos 4.3, que nos da x′(n) = −ni x(n), y′(n) = −ni y(n), con lo que∑n∈Z

n2(|x(n)|2 + |y(n)|2) = 1. (4.4)

Notemos por otra parte que

d(1

2(x dy − y dx)) =

1

2(dx ∧ dy − dy ∧ dx) = dx ∧ dy,

que es el elemento de área en R2.Así pues, el teorema de Stokes nos da que

A =1

2

∫∂Ω

(x dy − y dx) =1

2

∫ 1

0

(x(t)y′(t)− y(t)x′(t)) dt =1

2(x · y′ − y · x′).

Ahora usamos que x 7→√

2π x es una isometría, por lo que

A =1

2

∣∣∣∣ ∑n∈Z

(x(n)y′(n)− y(n)x′(n))

∣∣∣∣ = π

∣∣∣∣ ∑n∈Z

n(x(n)y(n)− y(n)x(n))

∣∣∣∣≤ π

∑n∈Z|n| 2|x(n)| |y(n)| ≤ π

∑n∈Z

n2(|x(n)|2 + |y(n)|2) = π. (4.5)

Para que se dé la igualdad, todas las desigualdades

|n| 2|x(n)| |y(n)| ≤ |n| (|x(n)|2 + |y(n)|2) ≤ n2(|x(n)|2 + |y(n)|2)

tienen que ser igualdades. La primera lo es si y sólo si n = 0 o |x(n)| = |y(n)|y la segunda requiere que |x(n)| = |y(n)| = 0 salvo si |n| ≤ 1. Por lo tanto, siA = π se cumple que

x(t) = x(−1)eit + x(0) + x(1)e−it, y(t) = y(−1)eit + y(0) + y(1)e−it.

Como x(t) e y(t) toman valores reales, tiene que ser x(−1) = x(1), y(−1) = y(1),y la ecuación (4.4) nos da que

2(|x(1)|2 + |y(1)|2) = 4|x(1)|2 = 4|y(1)|2 = 1,

luego |x(1)| = |y(1)| = 1/2. Pongamos que x(1) = 12eiα, y(1) = 1

2eiβ .

Ahora usamos que la primera desigualdad de (4.5) también tiene que ser unaigualdad, lo cual equivale a que

2|x(1)y(1)− x(1)y(1)| = 1.


Por lo tanto|ei(α−β) − e−i(α−β)| = 2,

luego | sen(α − β)| = 1, luego α − β = kπ/2, donde k es un entero impar.Concluimos que

x(t) = x(0) + x(1)e−it + x(1)e−it = x(0) + 2 Re(x(1)e−it)

= x(0) + cosα cos t+ senα sen t = x(0) + cos(α+ t),

e igualmente y(t) = y(0) + cos(β + t) = y(0) ± sen(α + t). Así pues, ∂D es lacircunferencia de centro (x(0), y(0)) y radio 1.

4.3 Los polinomios de Legendre

La teoría de las series de Fourier que acabamos de presentar se basa esen-cialmente en que las funciones cos(2πx/T ), sen(2πx/T ) constituyen una baseortogonal de L2([a, b]) (donde T = b−a), y resulta natural preguntarse si consi-derando otras bases ortogonales podremos extender la potencia de las técnicasque hemos mostrado.

Observemos que en cualquier espacio L2([a, b]) podemos considerar una baseortonormal formada por polinomios. En efecto, El espacio vectorial R[x] tienepor base a la sucesión 1, x, x2, . . . No es una base ortogonal en L2([a, b]), peropodemos aplicarle el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para obte-ner una base ortonormal Pn∞n=0 tal que cada Pn sea un polinomio de grado n.El teorema de Stone-Weierstrass [An 3.55] nos asegura que toda función con-tinua puede aproximarse uniformemente (luego también respecto de la normade L2([a, b]) por un polinomio, es decir, por una combinación lineal de los poli-nomios Pn, y el teorema [An 3.50] nos garantiza entonces que Pn∞n=0 formanuna base ortonormal de L2([a, b]).

Ahora bien, la sucesión de polinomios que obtenemos al aplicar el proceso deGram-Schmidt a la base 1, x, x2, . . . depende del intervalo [a, b] en el que calcu-lamos el producto escalar. Por ejemplo, los polinomios 1 y x son ortogonales en[−1, 1], pero no en [0, 2]. Los polinomios de Legendre son los que se obtienen alaplicar el proceso de Gram-Schmidt concretamente al intervalo [−1, 1], sin em-bargo, admiten muchas otras definiciones equivalentes. Aquí los introduciremosa partir de las consideraciones que llevaron a Legendre a iniciar su estudio:

Tomemos dos puntos ~r0 y ~r en R3 y vamos a encontrar una expresión parael inverso de la distancia

1

‖~r − ~r0‖.

En primer lugar, observamos que

‖~r − ~r0‖ =√

(~r − ~r0) · (~r − ~r0) =√r2 + r2

0 − 2rr0 cos θ,

4.3. Los polinomios de Legendre 113

donde θ es el ángulo que forman los vectores ~r0 y ~r. Si llamamos x = cos θ, demodo que −1 ≤ x ≤ 1, para r ≥ r0 tenemos que

1

‖~r − ~r0‖=

1

r

1√1 + s2 − 2sx

, (4.6)

donde s = r0/r ≤ 1. Para r ≤ r0 tenemos

1

‖~r − ~r0‖=

1

r0

1√1 + s2 − 2sx

, (4.7)

donde ahora s = r/r0 ≤ 1. Esto nos lleva a estudiar la expresión

F (x, s) =1√

1 + s2 − 2sx,

para 0 ≤ s ≤ 1 y −1 ≤ x ≤ 1.Visto como función de s, el radicando es un polinomio de grado 2 con raíces

x ± i√

1− x2, las dos de módulo 1, luego F (x, s) es, para cada x, una funciónholomorfa en el disco abierto unitario, luego según el teorema 1.18 admite undesarrollo en serie de Taylor

F (x, s) =∞∑n=0

Pn(x)sn.

convergente en dicho disco y, en particular, en el intervalo ]−1, 1[. Calculamos

∂F

∂s= −1

2(1 + s2 − 2sx)−3/2(2s− 2x) =

s− x1 + s2 − 2sx

F (x, s).

Equivalentemente,

(1 + s2 − 2sx)∂F

∂s= (x− s)F (x, s).

Por lo tanto,

∞∑n=1

nPn(x)sn−1 +∞∑n=1

nPn(x)sn+1 −∞∑n=1

2nxPn(x)sn

=∞∑n=0

xPn(x)sn −∞∑n=0

Pn(x)sn+1.

Reordenando las potencias:

∞∑n=0

(n+ 1)Pn+1(x)sn +∞∑n=1

(n− 1)Pn−1(x)sn −∞∑n=1

2nxPn(x)sn

=∞∑n=0

xPn(x)sn −∞∑n=1

Pn−1(x)sn.


Agrupamos:

P1(x)− xP0(x) +∞∑n=1

((n+ 1)Pn+1(x)− x(2n+ 1)Pn(x) + nPn−1(x))s2 = 0

y así llegamos a la relación de recurrencia:

(n+ 1)Pn+1(x)− x(2n+ 1)Pn(x) + nPn−1(x) = 0, P1(x) = xP0(x).

Como F (x, 0) = 1, ha de ser P0(x) = 1, luego la segunda relación nos da queP1(x) = x y la primera implica que Pn(x) es un polinomio de grado n.

Definición 4.5 Llamaremos polinomios de Legendre a los polinomios Pn(x) queaparecen en el desarrollo en serie de Taylor

1√1 + s2 − 2sx

=∞∑n=0

Pn(x)sn, −1 ≤ x ≤ 1, −1 < s < 1,

y que vienen determinados por la relación de recurrencia: P0(x) = 1, P1(x) = x,

(n+ 1)Pn+1(x)− x(2n+ 1)Pn(x) + nPn−1(x) = 0. (4.8)

Los primeros polinomios de Legendre son:

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =1

2(3x2 − 1), P3(x) =

1

2(5x3 − 3x),

P4(x) =1

8(35x4 − 30x2 + 3), P5(x) =

1

8(63x5 − 70x3 + 15x).

La figura siguiente muestra sus gráficas. Se reconoce cuál es cada uno por elnúmero de raíces. En efecto, demostraremos más adelante que Pn tiene n raícessimples en el intervalo ]−1, 1[. Algunas propiedades elementales (que podemosapreciar en la figura) son las siguientes:

-1 -0.5 0.5 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5• Pn(−x) = (−1)nPn(x).

Esto se demuestra inductivamente a par-tir de la relación (4.8).

• Pn(1) = 1,

porque F (1, s) = 11−s = 1 + s+ s2 + · · ·

• Pn(−1) = (−1)n,

porque

F (−1, s) =1

1 + s= 1− s+ s2 − · · ·

• Pn(0) =

(−1)n/2

2n

(nn/2

)si n es par,

0 si n es impar.


Porque (4.8) para x = 0 se reduce a (n+ 1)Pn+1(0) = −nPn−1(0), y es fácilver que la sucesión del enunciado cumple esta misma relación recurrente.

El teorema siguiente prueba en particular que los polinomios de Legendreque acabamos de introducir coinciden con los definidos en 3.22 para d = 2.Basta comparar con la expresión que proporciona el teorema 3.26, teniendo encuenta que si d = 2 entonces ϑ = 0:

Teorema 4.6 (Fórmula de Olinde Rodrigues)

Pn(x) =1

2nn!

dn(x2 − 1)n

dxn.

Demostración: Aplicamos la fórmula integral de Cauchy:

Pn(x) =1

n!

∂nF

∂sn

∣∣∣∣0

=1

2πi

∫C

1√1 + s2 − 2sx

1

sn+1ds,

donde C es una circunferencia de centro 0 y radio r < 1 recorrida en sentidopositivo.

Calcularemos la integral con el cambio de variable 1− us =√

1− 2xs+ s2.Notemos que la raíz cuadrada es una función holomorfa en el disco unitario cuyodesarrollo en serie de Taylor es de la forma√

1− 2xs+ s2 = 1− xs+ · · ·

lo que implica que la función

u =1

s(1−

√1− 2xs+ s2)

tiene una singularidad evitable en s = 0, donde tiene una extensión holomorfau(0) = x. Por consiguiente, u biyecta el disco unitario en un cierto abierto D,donde la función inversa viene dada por

s =2(u− x)

u2 − 1.

De aquí se sigue que√1− 2xs+ s2 = −u

2 − 2ux+ 1

u2 − 1, ds = −2(u2 − 2ux+ 1)

(u2 − 1)2du.

Si llamamos C ′ al arco imagen de C por la aplicación u,

Pn(x) =1

2n 2πi

∫C′

(u2 − 1)n

(u− x)n+1du.

Por el teorema [VC 1.26] aplicado a u[Br(0)] menos una bola de centro xy radio r′ suficientemente pequeño, podemos sustituir C ′ por la circunferencia


|u− x| = r′ en la integral anterior. Entonces basta aplicar de nuevo la fórmulaintegral de Cauchy:

Pn(x) =1

2n n!

dn(x2 − 1)n

dxn.

Se aquí se sigue la propiedad sobre las raíces de Pn(x) que habíamos antici-pado:

Teorema 4.7 El polinomio Pn(x) tiene n raíces simples en el intervalo ]−1, 1[.

Demostración: El polinomio (x2 − 1)n tiene exactamente dos raíces deorden n en los puntos ±1. Si m < n, la derivada m-sima tiene raíces de ordenn − m en ±1. Supongamos inductivamente que tiene m raíces simples en elintervalo ]−1, 1[. Entonces, la derivada m + 1-ésima, ha de tener dos raíces deorden n −m − 1 en ±1 y, por el teorema de Rolle, entre cada par de raíces dela derivada m-sima ha de haber una de la derivada m + 1-ésima, lo que da almenos m + 1 raíces en el intervalo ]−1, 1[. Como en total suman 2n −m − 1,que es el grado de la derivada, han de ser todas las raíces y han de ser simples.Por inducción concluimos que la derivada n-sima tiene n raíces simples.

Veamos otra consecuencia sencilla de la fórmula de Rodrigues:

Teorema 4.8 Se cumple P ′n+1(x) − P ′n−1(x) = (2n + 1)Pn(x). Equivalente-mente: ∫

Pn(x) dx =1

2n+ 1(Pn+1(x)− Pn−1(x)) + C.

Demostración: Por la fórmula de Rodrigues,

P ′n+1(x) =1

2n+1(n+ 1)!

dn+2

dxn+2((x2 − 1)n+1) =

1

2nn!

dn+1

dxn+1((x2 − 1)nx) =

1

2nn!

dn

dxn(2n(x2 − 1)n−1x2 + (x2 − 1)n) =

1

2nn!

dn

dxn(2n(x2 − 1)n−1(x2 − 1 + 1) + (x2 − 1)n) =

1

2nn!

dn

dxn(2n(x2 − 1)n + 2n(x2 + 1)n−1 + (x2 − 1)n) =

1

2nn!

dn

dxn((2n+ 1)(x2 − 1)n + 2n(x2 − 1)n−1) = (2n+ 1)Pn(x)− P ′n−1(x).

Ahora probamos que, tal y como anticipábamos, los polinomios de Legendreson ortogonales:

Teorema 4.9 (Relaciones de ortogonalidad)

∫ 1

−1

Pm(x)Pn(x) dx =

2

2n+ 1si m = n,

0 si m 6= n.


Demostración: Llamemos u(x) = (x2 − 1)n. Entonces, por la fórmula deRodrigues, para 0 ≤ m < n, se cumple que

2nn!

∫ 1

−1

xmPn(x) dx =

∫ 1

−1

xmun)(x) dx.

Integrando por partes queda

2nn!

∫ 1

−1

xmPn(x) dx =[xmun−1)(x)

]1−1−m

∫ 1

−1

xm−1un−1)(x) dx,

y el primer término es nulo porque u(x) tiene raíces de orden n en ±1, luegoum)(x) = 0 para m < n. Después de integrar por partes m veces llegamos a que

2nn!

∫ 1

−1

xmPn(x) dx = (−1)mm!

∫ 1

−1

un−m)(x) dx

= (−1)mm! [un−m−1)(x)]1−1 = 0.

Por linealidad, ∫ 1

−1

Q(x)Pn(x) dx = 0

para todo polinomio Q(x) de grado m < n, en particular para Q(x) = Pm(x).

Calculamos ahora

(2nn!)2

∫ 1

−1

P 2n(x) dx =

∫ 1

−1

un)(x)un)(x) dx.

Integrando por partes n veces queda

(2nn!)2

∫ 1

−1

P 2n(x) dx = (−1)n

∫ 1

−1

u2n)(x)u(x) dx =

(−1)n∫ 1

−1

d2n(t2 − 1)n

dx2nu(x) dx = (−1)n

∫ 1

−1

(2n)!u(x) dx

= (2n)!

∫ 1

−1

(1− x2)n dx = (2n)!

∫ 1

−1

(1− x)n(1 + x)n dx.

Integramos otra vez por partes:

(2nn!)2

∫ 1

−1

P 2n(x) dx

= (2n)!

([(1− x)n

(1 + x)n+1

n+ 1

]1

−1

+n

n+ 1

∫ 1

−1

(1− x)n−1(1 + x)n+1

)


y, nuevamente, el primer término es nulo. Tras haber integrado n veces llegamosa que

(2nn!)2

∫ 1

−1

P 2n(x) dx = (2n)!

n!n!

(2n)!

∫ 1

−1

(1 + x)2n dx

= (n!)2

[(1 + x)2n+1

2n+ 1

]1

−1

= (n!)2 22n+1

2n+ 1.

Por consiguiente: ∫ 1

−1

P 2n(x) dx =

2

2n+ 1.

El mero hecho de que Pn(x) tenga grado n implica que los polinomios deLegendre son una base del espacio vectorial R[x], luego el teorema de Stone-Weierstrass implica que toda función continua en [−1, 1] se puede aproximarpor una combinación lineal de polinomios de Legendre, luego el teorema 3.50implica que los polinomios de Legendre son una base ortogonal de L2([−1, 1]).Por lo tanto, los polinomios normalizados

P ∗n(x) =

√n+

1

2Pn(x)

forman una base ortonormal de L2([−1, 1]), y ahora es fácil ver que, tal y comohabíamos señalado, estos polinomios son los que se obtienen al aplicar el procesode ortonormalización de Gram-Schmidt a la base 1, x, x2, . . .

En particular tenemos que toda función f ∈ L2([−1, 1]) admite un desarrolloen serie de la forma

f ∼∞∑n=0

anPn(x),

donde3

an =

(n+

1

2

)∫ 1

−1

f(x)Pn(x) dx.

Estas series se llaman series de Fourier-Legendre, pues son el análogo a lasseries de Fourier respecto de la base ortonormal determinada por los polinomiosde Legendre.

Como en el caso de las series de Fourier, la serie de Fourier-Legendre deuna función f ∈ L2([−1, 1]) converge a f en L2([−1, 1]), lo cual no significa quetenga que converger puntualmente. La identidad de Parseval nos da que

∞∑n=0

(P ∗n · f)2 = ‖f‖2,

3Notemos que los coeficientes del desarrollo respecto de la base P ∗n(x) son

an‖Pn(x)‖ = 〈f, Pn/‖Pn‖〉 ,

luego an = ‖Pn‖−2 〈f, Pn〉.


luego el análogo al lema de Riemann-Lebesgue es que

límn〈P ∗n , f〉 = lím

n

√n+

1

2

∫ 1

−1

f(x)Pn(x) dx = 0, (4.9)

para toda función f ∈ L2([−1, 1]).

Para estudiar la convergencia puntual necesitamos algunos hechos previos.

Teorema 4.10 (Relación de Laplace) Si −1 < x < 1 se cumple que

Pn(x) =1

2π

∫ 2π

0

(x+ i√

1− x2 cosφ)n dφ.

Demostración: Por la fórmula integral de Cauchy a partir de la fórmulade Rodrigues tenemos que

Pn(x) =1

2n1

2πi

∫C

(u2 − 1)n

(u− x)n+1du,

donde C es la circunferencia u = x+ reiφ, φ ∈ [0, 2π]. Se cumple que

du = ireiφ dφ = i(u− x) dφ,

u2 − 1

u− x=x2 + r2e2iφ + 2xreiφ − 1

reiφ=

1

r((x2 − 1)e−iφ + r2eiφ + 2xr),

con lo que

Pn(x) =1

2n1

2π

1

rn

∫ 2π

0

((x2 − 1)e−iφ + r2eiφ + 2xr)n dφ.

Esto es válido para todo número complejo r 6= 0 (no necesariamente real).En particular podemos tomar r = i

√1− x2, con lo que

Pn(x) =1

2n1

2π

1

rn

∫ 2π

0

(r2(eiφ + e−iφ) + 2xr)n dφ

=1

2n1

2π

∫ 2π

0

(2i√

1− x2 cosφ+ 2x)n

dφ =

1

2π

∫ 2π

0

(x+ i

√1− x2 cosφ

)ndφ.

De aquí obtenemos fácilmente:

Teorema 4.11 Si −1 ≤ x ≤ 1, se cumple que |Pn(x)| ≤ 1.


Demostración: Podemos suponer que −1 < x < 1, pues ya hemos vistoque Pn(1) = 1 y Pn(−1) = (−1)n. Entonces

|x+ i√

1− x2 cosφ|2 = x2 + (1− x2) cos2 φ ≤ x2 + 1− x2 = 1,

luego

|Pn(x)| ≤ 1

2π

∫ 2π

0

|x+ i√

1− x2 cosφ|n dφ ≤ 1

2π

∫ 2π

0

dφ = 1.

No obstante, podemos obtener una acotación más fina:

Teorema 4.12 Si 0 < θ < π se cumple que

|Pn(cos θ)| ≤√π√

2n sen θ.

Demostración: Por la relación de Laplace:

Pn(cos θ) =1

π

∫ π

0

(cos θ + i sen θ cosφ)n dφ.

Calculamos el módulo del integrando multiplicando por su conjugado y to-mando la raíz cuadrada:

|Pn(cos θ)| ≤ 1

π

∫ π

0

(cos2 θ + sen2 θ cos2 φ)n/2 dφ

=2

π

∫ π/2

0

(cos2 θ + sen2 θ cos2 φ)n/2 dφ.

Ahora observamos que

cos2 θ + sen2 θ cos2 φ = 1− sen2 θ(1− cos2 φ) = 1− sen2 θ sen2 φ.

Ahora usamos4 que senφ ≥ 2φ/π y que 1− y ≤ e−y:

cos2 θ + sen2 θ cos2 φ ≤ 1− sen2 θ (2φ/π)2 ≤ e− sen2 θ (2φ/π)2 .

Por lo tanto:

|Pn(cos θ)| ≤ 2

π

∫ π/2

0

e−2n sen2 θ

π2 φ2

dφ.

Ahora hacemos el cambio de variable

t =√

2nφ

πsen θ.

4Esto se debe a que la función seno es cóncava en el intervalo [0, π/2]. Una prueba directaconsiste en considerar f(φ) = senφ − 2φ/π y observar que f(0) = f(π/2) = 0, así como quef ′′(φ) < 0, luego f ′(φ) es decreciente, luego sólo se anula una vez en el intervalo, luego f essiempre positiva en ]0, π/2[, porque empieza siendo creciente y, si se anulara en algún puntointermedio, f ′ tendría que anularse dos veces.


|Pn(cos θ)| ≤√

2√n sen θ

∫ √n/2 sen θ

0

e−t2

dt <

√2√

n sen θ

∫ +∞

0

e−t2

dt

=

√2√

n sen θ

√π

2=

√π√

2n sen θ.

El teorema siguiente se puede probar con hipótesis más débiles:

Teorema 4.13 Sea f : [−1, 1] −→ R una función acotada continua a trozos.Entonces, para todo x ∈ ]−1, 1[ donde f sea derivable, se cumple que

f(x) =

∞∑n=0

anPn(x),

con

an =

(n+

1

2

)∫ 1

−1

f(x)Pn(x) dx.

Demostración: Consideremos las sumas parciales:

Sm(x) =m∑n=0

anPn(x) =

m∑n=0

(n+

1

2

)Pn(x)

∫ 1

−1

f(y)Pn(y) dy

=

∫ 1

−1

f(y)Km(x, y) dy,

dondeKm(x, y) =

m∑n=0

(n+

1

2

)Pn(x)Pn(y).

Para calcular esta expresión multiplicamos (4.8) por Pn(y) y al resultado lerestamos la misma fórmula intercambiando x con y. El resultado es

(2n+ 1)(x− y)Pn(x)Pn(y) = (n+ 1)(Pn+1(x)Pn(y)− Pn(x)Pn+1(y))

− n (Pn(x)Pn−1(y)− Pn−1(x)Pn(y)).

Comprobamos que esta expresión es válida incluso para n = 0 aunque noesté definido P−1, que en la fórmula aparece multiplicado por 0.

Ahora observamos que al sumar sobre n, la primera parte de cada términode la derecha se cancela con la segunda parte del correspondiente al sumandosiguiente, con lo que

(x− y)m∑n=0

(2n+ 1)Pn(x)Pn(y) = (m+ 1)(Pm+1(x)Pm(y)− Pm(x)Pm+1(y)).

Por consiguiente,

Km(x, y) =m+ 1

2

Pm+1(x)Pm(y)− Pm(x)Pm+1(y)

x− y.


Notemos que esta expresión no está definida cuando x = y, pero la definiciónde Km muestra que ha de ser continuo en (x, y), luego las discontinuidades sonevitables.

De la propia definición de Km(x, y), junto con las relaciones de ortogonali-dad, se sigue que∫ 1

−1

Km(x, y) dy =

m∑n=0

(n+

1

2

)Pn(x)

∫ 1

−1

P0(x)Pn(y) dy = 1.

Ahora ya podemos comparar las sumas parciales con la función f :

Sm(x)− f(x) =

∫ 1

−1

f(y)Km(x, y) dy −∫ 1

−1

f(x)Km(x, y) dy

=

∫ 1

−1

Km(x, y)(f(y)− f(x)) dy

=m+ 1

2

∫ 1

−1

(Pm(x)Pm+1(y)− Pm+1(x)Pm(y))f(y)− f(x)

y − xdy

=m+ 1

2Pm(x)

∫ 1

−1

Pm+1(y)φ(x, y) dy − m+ 1

2Pm+1(x)

∫ 1

−1

Pm(y)φ(x, y) dy,

donde

φ(x, y) =f(y)− f(x)

y − x.

Notemos que φ(x, y), como función de y, tiene una discontinuidad evitableen y = x, donde tiende a f ′(x), luego es una función acotada y continua a trozos,en particular integrable. Por (4.9) tenemos que

límn

√n+

1

2

∫ 1

−1

Pn(x)φ(x, y) dy = 0,

y lo mismo vale si cambiamos la raíz por√n. Así, si llamamos

In =√n

∫ 1

−1

Pn(x)φ(x, y) dy,

tenemos que

Sm(x)− f(x) =m+ 1

2Pm(x)

Im+1√m+ 1

− m+ 1

2Pm+1(x)

Im√m

y basta probar que las cantidades

√m+ 1Pm(x), y

m+ 1√m

Pm+1(x)


permanecen acotadas cuando m→∞. Claramente, basta verlo para√nPn(x).

Para ello aplicamos el teorema 4.12, que nos da

|Pn(x)| ≤√π√

2n√

1− x2,

luego

|√nPn(x)| ≤

√π

2− 2x2

y el teorema queda demostrado.

Ejemplo Vamos a calcular la serie de Fourier-Legendre de la función

f(x) =

1 si 0 < x < 1,0 si x = 0,−1 si −1 < x < 0.

En realidad, el valor de f(0) es irrelevante. Tenemos que calcular

an =

(n+

1

2

)∫ 1

−1

f(x)Pn(x) dx.

Como Pn(−x) = (−1)nPn(x) y f(−x) = −f(x), es inmediato que a2k = 0 paratodo k. Por otra parte,

a2k+1 = 2

(2k +

3

2

)∫ 1

0

P2k+1(x) dx.

La integral la calculamos usando 4.8:∫ 1

0

P2k+1(x) dx =1

4k + 3[P2k+2(x)− P2k(x)]10 =

1

4k + 3(P2k(0)− P2k+2(0))

=1

4k + 3

((−1)k

22k

(2k

k

)− (−1)k+1

22k+2

(2k + 2

k + 1

))=

(−1)k

22k+1(k + 1)

(2k

k

).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2En definitiva, para −1 < x < 1 se cumple que

f(x) =

∞∑k=0

(−1)k(4k + 3)

22k+1(k + 1)

(2k

k

)P2k+1(x),

La figura muestra la suma de los 20 primerostérminos de la serie.

Veamos ahora que los polinomios de Legendreson soluciones de una ecuación diferencial, conocidaprecisamente como ecuación de Legendre:


Teorema 4.14 Los polinomios de Legendre satisfacen la ecuación diferencial

(1− x2)y′′ − 2xy′ + n(n+ 1)y = 0, (4.10)

o, equivalentemente,

d

dx((1− x2)

dy

dx) + n(n+ 1)y = 0.

Demostración: Consideremos la función u(x) = (x2 − 1)n. Tenemos que

u′(x) = 2n(x2 − 1)n−1x,

luego(x2 − 1)u′(x) = 2nxu(x),

luegodn+1

dxn+1((x2 − 1)u′(x)) =

dn+1

dxn+1(2nxu(x)).

Aplicando la fórmula del producto en ambos miembros obtenemos

(x2 − 1)un+2)(x) + (n+ 1)2xun+1)(x) + (n+ 1)nun)(x)

= 2nxun+1)(x) + 2n(n+ 1)un)(x).

Equivalentemente:

(x2 − 1)un+2)(x) + 2xun+1)(x)− n(n+ 1)un)(x) = 0.

La fórmula de Rodrigues nos da entonces que

(x2 − 1)P ′′n (x) + 2xP ′n(x)− n(n+ 1)Pn(x) = 0.

Los polinomios de Legendre no son las únicas soluciones de la ecuación de Le-gendre. No obstante, antes de encontrar otras conviene observar que, expresadaen la forma general considerada en el teorema [An 7.10], es

y′′ =2x

1− x2y′ − n(n+ 1)

1− x2y,

de modo que sus coeficientes no están definidos para x = ±1. Esto hace que enrealidad esta ecuación determina tres ecuaciones diferenciales en principio sinconexión entre sí: una para x < −1, otra para −1 < x < 1 y otra para x > 1.Aquí nos vamos a centrar en los valores de x en ]−1, 1[.

Notemos también la ecuación es lineal en (y, y′, y′′), lo cual implica que elconjunto V de soluciones es un subespacio vectorial del espacio de todas lasfunciones ]−1, 1[ −→ R. Más aún, la unicidad para unas condiciones inicialesdadas hace que la aplicación V −→ R2 dada por y 7→ (y(0), y′(0)) sea unisomorfismo de espacios vectoriales, por lo que la solución general es de la forma

c1Pn + c2Qn, c1, c2 ∈ R,


donde Pn y Qn son dos soluciones cualesquiera linealmente independientes. Po-demos tomar como Pn el polinomio de Legendre, y nos falta encontrar otrasolución5 particular Qn que sea linealmente independiente de Pn.

Vamos a buscarla de la forma Qn(x) = Pn(x)u(x), para cierta función u(x)no constante. Al sustituir en la ecuación queda

(1− x2)(P ′′n + 2P ′nu′ + u′′)− 2x(P ′nu+ Pnu

′) + n(n+ 1)y = 0,

o equivalentemente:

(1− x2)Pnu′′+ (2(1− x2)P ′n− 2xPn)u′+ ((1− x2)P ′′n − 2xP ′n + n(n+ 1))u = 0.

El último término se anula porque Pn cumple la ecuación de Legendre. Por lotanto obtenemos

u′′

u′= −2P ′n

Pn+

2x

1− x2.

Integrando ambos miembros llegamos a que

log |u′| = − logP 2n − log(1− x2) = − log((1− x2)P 2

n(x)).

No consideramos ninguna constante de integración porque sólo estamos intere-sados en encontrar una solución particular. Así llegamos a que

u′(x) =1

(1− x2)P 2n(x)

.

Al margen del proceso que hemos seguido para llegar hasta aquí, se compruebasin dificultad que si u cumple esta condición entonces Pnu cumple la ecuaciónde Legendre. De aquí llegamos a que

u(x) =

∫dx

(1− x2)P 2n(x)

.

De nuevo, no especificamos límites de integración porque nos basta encontraruna primitiva concreta.

Hemos visto que Pn(x) tiene n raíces simples en el intervalo ]−1, 1[, demodo que Pn(x) = x0(x− x1) · · · (x− xk). Consideramos la descomposición enfracciones simples del integrando (véase [A, 3.55]), que será de la forma

1

(1− x2)P 2n(x)

=A

x− 1+

B

x+ 1+

n∑k=1

(Dk

(x− xk)2+

Ekx− xk

), (4.11)

para ciertos coeficientes A,B,Dk, Ek ∈ R que tenemos que calcular.

Para calcular A multiplicamos ambos miembros por x− 1, con lo que obte-nemos que

−1

(x+ 1)P 2n(x)

= A+ · · · ,

5En realidad, necesitamos encontrar una soluciónQn definida sobre todo el intervalo ]−1, 1[,lo cual justificará que todas las soluciones están definidas en todo el intervalo.


donde los puntos suspensivos son términos que valen 0 en 1, luego evaluandoen 1 queda que A = −1/2P 2

n(1) = −1/2. Multiplicando ambos miembros porx+ 1 obtenemos igualmente que B = 1/2. Para calcular Dk observamos que

Dk = límx→xk

(x− xk)2u′(x).

En efecto, evaluando el límite en el miembro derecho de (4.11) vemos que almultiplicar por (x− xk)2 todos los sumandos tienden a 0 excepto el correspon-diente a Dk, que es Dk. Si hacemos el cálculo con el miembro izquierdo resultaque

Dk = límx→xk

(x− xk)2

(1− x2)P 2n(x)

= límx→xk

1

(1− x2)(Pn(x)−Pn(xk)

x−xk

)2 =1

(1− x2k)P ′2n (xk)

.

El cálculo de Ek es más delicado. Podemos obtenerlo como

Ek = límx→xk

d

dx((x− xk)2u′(x)).

En efecto, los sumandos del miembro izquierdo de (4.11) distintos de los doscorrespondientes al índice k son de la forma (x − xk)2T (x), donde T (x) estádefinido en xk. Al derivar queda 2(x−xk)T (x) + (x−xk)2T ′(x), que tiende a 0en xk.

El primer sumando correspondiente al índice k es Dk, que al derivar se anula,y el segundo es Ek(x− xk), que al derivar pasa a ser Ek. Lo calculamos con elmiembro izquierdo:

Ek = límx→xk

d

dx

(x− xk)2

(1− x2)P 2n(x)

=

límx→xk

2(x− xk)(1− x2)P 2n(x)− (x− xk)2(−2xP 2

n(x) + (1− x2)2Pn(x)P ′n(x))

(1− x2)2P 4n(x)

= límx→xk

2(x− xk)Pn(x)

(1− x2)P 2n(x)

(1− x2)Pn(x)− (x− xk)(−xPn(x) + (1− x2)P ′n(x))

P 2n(x)

.

En el primer factor se simplifica el x− xk (porque xk es raíz de Pn(x)) y elcociente tiende a un valor finito. Basta probar que el segundo factor tiende a 0,con lo que podremos concluir que Ek = 0. Aplicamos la regla de L’Hôpital:

−2xPn + (1− x2)P ′n − (−xPn + (1− x2)P ′n)− (x− xk)(−Pn − xP ′n − 2xP ′n + (1− x2)P ′′n )

2PnP ′n.

Usando que Pn cumple la ecuación de Legendre la expresión se simplifica a

límx→xk

−xPn(x)− (x− xk)(−Pn(x)− xP ′n(x)− n(n− 1)Pn(x))

2Pn(x)P ′n(x).

Volvemos a aplicar la regla de L’Hôpital:


−Pn − xP ′n − (−Pn − xP ′n − n(n− 1)Pn)− (x− xk)(−P ′n − P ′n − xP ′′n − n(n− 1)P ′n)

2P ′2n + 2PnP ′′n.

El límite cuando x→ xk es

−xkP ′n(xk)− (−xkP ′n(xk))

2P ′2n (xk)= 0.

En definitiva:

u(x) =

∫ (−1/2

x− 1+

1/2

x+ 1+

n∑k=1

Dk

(x− xk)2

)dx =

−1

2log(1− x) +

1

2log(1 + x)−

n∑k=1

Dk

x− xk

=1

2log

1 + x

1− x−

n∑k=1

1

(1− x2k)P ′2n (xk)

1

x− xk

Las funciones

Qn(x) = Pn(x)1

2log

1 + x

1− x−

n∑k=1

1

(1− x2k)P ′2n (xk)

Pn(x)

x− xk

se llaman funciones de Legendre de segunda clase (las de primera clase son lospolinomios de Legendre). Observemos que el sumatorio es un polinomio, porquex− xk divide a Pn(x).

Teniendo en cuenta la relación Pn(−x) = (−1)nPn(x), es inmediato queQn(−x) = (−1)n+1Qn(x). También se comprueba fácilmente que tienden a ∞en ±1.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Q0 Q1

Q2

Q3

Q4

La figura muestra las primeras funcionesde Legendre de segunda clase, que son lassiguientes:

Q0(x) =1

2log

1 + x

1− x

Q1(x) =1

2log

1 + x

1− x− 1

Q2(x) =3x2 − 1

2log

1 + x

1− x− 3x

2

Q3(x) =5x3 − 3x

2log

1 + x

1− x+

2

3− 5x2

2

Q4(x) =35x4 − 30x2 + 3

8log

1 + x

1− x+

55x

24− 25x3

8.

Veamos una aplicación:


Ejemplo La base de una bóveda semiesférica de 10m de radio se mantienecaldeada a una temperatura constante de 30C, mientras que su superficie seencuentra a la temperatura ambiente de 5C. Determinar la temperatura encada punto del interior de la bóveda.

Solución: Por simetría, la temperatura de cada punto tiene que ser unafunción T = T (r, z). Por simplicidad vamos a tomar los 10m de radio dela bóveda como unidad de longitud, de modo que el radio es ahora unitario.Similarmente, vamos a tomar los 30C de la base como origen de temperaturas,de modo que la base está a temperatura 0 (y la superficie de la bóveda a −25).

Buscamos una solución estacionaria a la ecuación del calor (es decir, contemperatura constante, lo cual no significa que no haya flujo de calor, puesciertamente el calor fluirá de la base a la superficie). La ecuación se reduceentonces a la de Laplace: ∆T = 0, es decir, buscamos una función harmónicaen el interior de la semiesfera que tienda a 0 en la base y a Tf = −25 en lasuperficie.

Necesitamos expresar el laplaciano en términos de las coordenadas r, z. Aun-que podríamos derivar directamente la expresión, por simplicidad partiremos dela expresión en coordenadas esféricas (véase la sección 6.6 de [GD]):

∆T =1

r2

∂

∂r

(r2 ∂T

∂r

)+

1

r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂T

∂θ

)+

1

r2 sen2 θ

∂2T

∂φ2.

Ahora usamos que T no depende de φ, por lo que el último término es nulo, yque z = cos θ, de modo que

∂

∂θ= − sen θ

∂

∂z.

Así pues,

∆T =1

r2

∂

∂r

(r2 ∂T

∂r

)− 1

r2

∂

∂z

(− sen2 θ

∂T

∂z

)=∂2T

∂r2+

2

r

∂T

∂r+

1

r2

∂

∂z

((1− z2)

∂T

∂z

).

En definitiva, tenemos que resolver la ecuación en derivadas parciales

∂2T

∂r2+

2

r

∂T

∂r+

1

r2

∂

∂z

((1− z2)

∂T

∂z

)= 0

en la semiesfera abierta, con las condiciones de frontera que establecen que latemperatura debe tender a 0 cuando z → 0 y a un valor T0 cuando r → 1.

En primer lugar buscamos soluciones de la forma T (r, z) = R(r)Z(z). Alsustituir en la ecuación y separar variables queda

r2

R(R′′ +

2

rR′) = −1

z

d

dz((1− z)2Z ′) = n(n+ 1).

Como cada miembro depende de una variable distinta, ambos tienen queser constantes, y vamos a considerar los casos en los que la constante es de la


forma n(n+ 1), donde n ∈ N. De este modo, la función Z satisface la ecuaciónde Legendre

d

dz((1− Z)2Z ′) + z n(n− 1) = 0,

cuyas soluciones son de la forma Z = C1Pn(z)+C2Qn(z), pero tomamos C2 = 0porque buscamos soluciones con límite finito cuando z → 1. Por otra parte, lacondición de frontera referente a la base de la semiesfera exige que C1Pn(0) = 0,lo cual se cumple si n es impar.

Por otra parte, la función R tiene que cumplir

r2R′′ + 2rR′ = n(n+ 1)R.

Se trata de una ecuación de Euler-Cauchy, precisamente la que hemos re-suelto al final de la sección 7.2 de [An]. Sus soluciones son de la forma

C3rn + C4r

−(n+1),

pero hacemos C4 = 0 porque no queremos soluciones que tiendan a ∞ en 0. Entotal, concluimos que las funciones de la forma

Tn(r, z) = cnrnPn(z),

con n impar, cumplen las condiciones del problema salvo la condición de fronteraque exige que la temperatura tienda a T0 cuando r → 1. Ahora pasamos aconsiderar soluciones de la forma

T (r, z) =∞∑n=0

c2n+1r2n+1P2n+1(z).

Si la sucesión de coeficientes c2n+1 determina una serie de Fourier-Legendreconvergente para cada 0 < z < 1, entonces el criterio de mayoración de Weiers-trass nos asegura que T (r, z), como función de r para un z fijo, es una serie depotencias de radio de convergencia ≥ 1, y por lo tanto las derivadas parciales su-cesivas de T respecto de r son las sumas de las correspondientes a los sumandos.Similarmente, si fijamos 0 < r < 1, la acotación |c2n+1r

2n+1P2n+1(z)| ≤ Kr2n+1

(dondeK es una cota para los coeficientes) nos da la convergencia uniforme en z,y podemos aplicar el teorema de Weierstrass 1.8 (ya que los polinomios son fun-ciones holomorfas) para concluir que T es derivable respecto de z y que susderivadas sucesivas son las sumas de las derivadas de los sumandos. De aquí sesigue que ∆T es la suma de los laplacianos de los sumandos, luego ∆T = 0 yclaramente cumple todos los requisitos del problema, salvo quizá la condiciónde frontera en la superficie. Concretamente:

T (1, z) =∞∑n=0

c2n+1P2n+1(z).

Sólo falta ajustar los coeficientes para que esta serie sume 1 si 0 < z ≤ 1. Comolos polinomios de Legendre impares cumplen P2n+1(−z) = −P2n+1(z), en el


intervalo [−1, 1] la serie tiene que converger (respecto a la norma de L2) a lafunción

f(z) =

1 si z ≥ 0,−1 si z < 0.

El teorema 4.13 prueba que la serie de Fourier-Legendre de esta función convergepuntualmente a 1 en 0 < z < 1 (porque f es derivable en estos puntos, luegonos proporciona la solución deseada de la ecuación diferencial. Para volver a lasunidades iniciales sólo hay que transformarla en 30− 25T (r/10, z/10).

x10

50

−5−1030T

2010

500

5

z 10

La figura muestra la solución calculada con 500 sumandos de la serie. Vemoscómo, en efecto, la temperatura en la base de la semiesfera es de 30C, mientrasque en su superficie es de 5C.

4.4 Las funciones asociadas de LegendreA partir de las soluciones de la ecuación de Legendre es posible obtener las

de otra ecuación diferencial conocida como ecuación asociada de Legendre:

Teorema 4.15 Si una función y(x) satisface la ecuación diferencial de Legen-dre (4.10), entonces, para cada número natural m,

u(x) = (1− x2)m/2dmy

dxm

satisface la ecuación asociada de Legendre:

(1− x2)u′′ − 2xu′ +

(n(n+ 1)− m2

1− x2

)u = 0. (4.12)

Demostración: Al derivar m veces (4.10) obtenemos

(1− x2)v′′ − 2(m+ 1)xv′ + (n−m)(n+m+ 1)v = 0,

donde v = ym) = (1− x2)−m/2 u. Entonces

v′ = (1− x2)−m/2(u′ +

mx

1− x2u

),

4.4. Las funciones asociadas de Legendre 131

v′′ = (1− x2)−m/2(u′′ +

2mx

1− x2u′ +

m

1− x2u+

m(m+ 2)x2

(1− x2)2u

).

Sustituyendo en la última ecuación diferencial y simplificando se llega a queu cumple la ecuación del enunciado.

Definición 4.16 Para cada par de números naturales 0 ≤ m ≤ n definimos lasfunciones asociadas de Legendre como

Pmn (x) = (1− x2)m/2dmPndxm

.

Similarmente, las funciones asociadas de Legendre de segunda clase son las dadaspor

Qmn (x) = (1− x2)m/2dmQndxm

,

donde Qn son las funciones de Legendre de segunda clase. Claramente lasfunciones de Legendre son el caso particular P 0

n = Pn y Q0n = Qn.

Es fácil concluir que la solución general de la ecuación asociada de Legendreen ]−1, 1[ es APmn +BQmn , donde A y B son constantes de integración arbitrarias.

La fórmula de Rodrigues nos da una expresión alternativa para las funcionesde Legendre de primera clase:

Pmn (x) =1

2nn!(1− x2)m/2

dn+m(x2 − 1)n

dxn+m. (4.13)

A veces a estas funciones se las llama polinomios asociados de Legendre, apesar de que sólo son polinomios se m es par. La razón es que, en cualquiercaso, Pmn (cos θ) es un polinomio de grado n en cos θ y sen θ.

Observemos que la expresión precedente tiene sentido cuando −n ≤ m ≤ n,por lo que podemos tomarla como definición cuando −n ≤ m < 0, si bien lasnuevas funciones que obtenemos no son esencialmente nuevas:

Teorema 4.17 Si −n ≤ m ≤ n, se cumple la relación

P−mn (x) = (−1)m(n−m)!

(n+m)!Pmn (x).

Demostración: Es claro que esta fórmula se cumple para un m si y sólosi se cumple para −m, por lo que basta probarla para 0 ≤ m ≤ n. Para elloaplicamos la fórmula de Leibniz para las derivadas sucesivas de un producto ala función (x2 − 1)n = (x+ 1)n(x− 1)n:

dn+m(x2 − 1)n

dxn+m=

n+m∑i=0

(n+m

i

)di(x+ 1)n

dxidn+m−i(x− 1)n)

dxn+m−i .


Notemos que los sumandos son nulos salvo si m ≤ i ≤ n, por lo que

dn+m(x2 − 1)n

dxn+m=

n∑i=m

(n+m)!

i!(n+m− i)!n!2

(n− i)!(i−m)!(x+ 1)n−i(x− 1)i−m

=

n−m∑i=0

(n+m)!

(m+ i)!(n− i)!n!2

(n−m− i)!i!(x+ 1)n−m−i(x− 1)i.

Similarmente:

dn−m(x2 − 1)n

dxn−m=

n−m∑i=0

(n−mi

)di(x+ 1)n

dxidn−m−i(x− 1)n

dxn−m−i

=

n−m∑i=0

(n−m)!

i!(n−m− i)!n!2

(n− i)!(m− i)!(x+ 1)n−i(x− 1)m+i

=(n−m)!

(n+m)!(x+ 1)m(x− 1)m

dn+m(x2 − 1)n

dxn+m

= (−1)m(n−m)!

(n+m)!(1− x2)m

dn+m(x2 − 1)n

dxn+m,

de donde se sigue inmediatamente la relación del enunciado.

Las funciones asociadas se calculan más fácilmente mediante esta relaciónrecurrente (válida para m ≥ 0):

(n−m+ 1)Pmn+1(x)− (2n+ 1)xPmn (x) + (n+m)Pmn−1(x) = 0. (4.14)

Para demostrarla partimos de la relación recurrente de los polinomios deLegendre:

(2n+ 1)xPn(x) = (n+ 1)Pn+1(x) + nPn−1(x).

Al derivarla m veces (usando la regla de Leibniz) obtenemos

(2n+ 1)xdm

dxmPn(x) +m(2n+ 1)

dm−1

dxm−1Pn(x) =

(n+ 1)dm

dxmPn+1(x) + n

dm

dxmPn−1(x).

Multiplicamos por (1− x2)m/2:

(2n+ 1)xPmn (x) +m(2n+ 1)(1− x2)Pm−1n (x) = (n+ 1)Pmn+1(x) + nPmn−1(x).

Ahora derivamos m veces la relación dada por el teorema 4.8:

(2n+ 1)dm

dxmPn(x) =

dm+1

dxm+1Pn+1(x)− dm+1

dxm+1Pn−1(x)

4.4. Las funciones asociadas de Legendre 133

y multiplicamos por (1− x2)(m+1)/2:

(2n+ 1)(1− x2)Pmn (x) = Pm+1n+1 (x)− Pm+1

n−1 (x).

Al sustituir esta ecuación en la que habíamos obtenido resulta (4.14).

He aquí algunos polinomios asociados de Legendre:

P 00 (x) = 1,

P−11 (x) =

1

2

√1− x2, P 0

1 (x) = x, P 11 (x) = −

√1− x2,

P−22 (x) =

3

24(1− x2), P−1

2 (x) =1

2x√

1− x2,

P 02 (x) =

1

2(3x2 − 1),

P 12 (x) = −3x

√1− x2, P 2

2 (x) = 3(1− x2).

Veamos ahora que las funciones asociadas de Legendre para un m fijo sonortogonales dos a dos en L2(]0, 1[). Concretamente:

Teorema 4.18 Si 0 ≤ m ≤ n y 0 ≤ m ≤ n′, entonces∫ 1

−1

Pmn (x)Pmn′ (x) dx =

2(n+m)!

(2n+ 1) (n−m)!si n = n′,

0 si n 6= n′.

Demostración: Llamemos X = x2−1. Si n 6= n′ no perdemos generalidadsi suponemos n < n′. Usando (4.13):∫ 1

−1

Pmn (x)Pmn′ (x) dx =(−1)m

2n+n′n!n′!

∫ 1

−1

Xm dn+m

dxn+mXn dn

′+m

dxn′+mXn′ dx.

Si integramos n′ +m veces por partes obtenemos∫ 1

−1

Pmn (x)Pmn′ (x) dx =(−1)m(−1)n

′+m

2n+n′n!n′!

∫ 1

−1

Xn′ dn′+m

dxn′+m

(Xm dn+m

dxn+mXn

)dx.

Observemos que lo que queda fuera de la integral al integrar por partes es

dn′+m−i

dxn′+m−iXn′ d

i−1

dxi−1

(Xm dn+m

dxn+mXn

)y cuando i ≤ m el segundo factor se anula6 en ±1, mientras que si i > m lo haceel primero. Ahora desarrollamos el integrando mediante la regla de Leibniz:

Xn′ dn′+m

dxn′+m

(Xm dn+m

dxn+mXn

)=

Xn′n′+m∑i=0

(n′ +m)!

i!(n′ +m− i)!dn′+m−i

dxn′+m−iXm dn+m+i

dxn+m+iXn.

6Por ejemplo, ±1 son raíces del polinomio Xn′ de multiplicidad n′, luego todas sus deri-vadas hasta orden n′ − 1 son nulas.


La primera derivada se anula si i < n′ −m y la segunda si i > n−m, luegosi n < n′ todos los términos se anulan y la integral vale 0. Si n = n′ el únicotérmino no nulo es el correspondiente a i = n−m, y entonces∫ 1

−1

Pmn (x)2 dx =(−1)n(n+m)!

22n n!n!(n−m)!(2m)!

∫ 1

−1

Xn d2m

dx2mXm d2n

dx2nXn dx

=(−1)n(n+m)!(2n)!

22n n!n! (n−m)!

∫ 1

−1

Xn dx =(n+m)!(2n)!

22n n!n! (n−m)!

∫ 1

−1

(1 + x)n(1− x)n dx.

Integrando por partes n veces queda∫ 1

−1

Pmn (x)2 dx =(n+m)!(2n)!

22n n!n! (n−m)!

∫ 1

−1

(1 + x)2n

(2n)!/n!n! dx =

(n+m)!

22n (n−m)!

∫ 1

−1

(1 + x)2n dx =2(n+m)!

(2n+ 1) (n−m)!.

Podríamos estudiar las series asociadas de Fourier-Legendre, análogas a lasseries de Fourier-Legendre, pero no vamos a entrar en ello. Los resultados quehemos presentado aquí son los que vamos a necesitar en el capítulo siguiente.

Capítulo V

Harmónicos esféricosbidimensionales

Los harmónicos esféricos bidimensionales son, junto a los unidimensionales,los que más aplicaciones tienen, dado que permiten estudiar las funciones de-finidas sobre S2, es decir, las esferas usuales en el espacio tridimensional. Enla primera sección obtendremos expresiones explícitas para bases ortonormalesde los espacios H2

n y en las siguientes veremos algunas aplicaciones a la física.Recordemos que dimH2

n = 2n+ 1.Del mismo modo que en el caso unidimensional ha sido conveniente parame-

trizar la circunferencia unidad como (cos(2πx/T ), sen(2πx/T )), ahora convieneparametrizar S2 con las coordenadas esféricas:

(x, y, z) = (sen θ cosφ, sen θ senφ, cos θ),

que nos expresarñan los harmónicos esféricos como polinomios trigonométricos.

5.1 Bases ortonormales de los espacios H2n

Para cada natural n ≥ 0 y cada entero m = −n, . . . , n, llamamos Y mn a lafunción sobre S2 que en coordenadas esféricas viene dada por

Y mn (θ, φ) = Pmn (cos θ)eimφ,

donde Pmn es la función asociada de Legendre definida en 4.16.

Observamos que las funciones Y mn (θ, φ) están bien definidas, en el sentidode que Y mn (θ, φ) depende sólo del resto de φ módulo 2π y que cuando θ = 0 oθ = π no depende de φ, pues si m 6= 0 se cumple que Pmn (±1) = 0.

De acuerdo con el teorema 4.17, se cumple que

Y −mn (θ, φ) = (−1)m(n−m)!

(n+m)!Y mn ,

donde la barra indica la conjugación compleja.

135

136 Capítulo 5. Harmónicos esféricos bidimensionales

Teorema 5.1 Las funciones Y mn , para m = −n, . . . , n forman una base orto-gonal de H2

n.

Demostración: Pasando las coordenadas esféricas a cartesianas, tenemosque

Y mn (θ, φ) = cdn+m(z2 − 1)n

dzn+msenm θ(cosφ+ i senφ)m

= cdn+m(z2 − 1)n

dzn+m(x+ iy)m.

Por otra parte, una simple inducción demuestra que la derivada k-ésima delpolinomio (z2 − 1)n es una combinación lineal de polinomios de la forma

(z2 − 1)rz2n−k−2r.

(Basta derivar esta expresión y comprobar que la derivada es suma de dostérminos de esta forma con k + 1 en lugar de k.) Por consiguiente, la derivadaque aparece en la expresión de Y mn (θ, φ) es una combinación lineal de polinomiosde la forma

(z2 − 1)rzn−m−2r = (−x2 − y2)rzn−m−2r.

Así pues, dicha derivada es la restricción a S2 de un polinomio homogéneo degrado n−m y concluimos que Y mn (θ, φ) es la restricción a S2 de un polinomiohomogéneo F de grado n. Vamos a probar que es harmónico.

La expresión de F en coordenadas esféricas es

F (r, θ, φ) = F (r sen θ cosφ, r sen θ senφ, r cos θ)

= rnF (sen θ cosφ, sen θ senφ, cos θ) = rnPmn (cos θ)eimφ.

Ahora calculamos su laplaciano con la fórmula para coordenadas esféricas:

∆F =1

r2

∂

∂r

(r2 ∂F

∂r

)+

1

r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂F

∂θ

)+

1

r2 sen2 θ

∂2F

∂φ2.

El primer sumando es:

1

r2

∂

∂r

(r2 ∂F

∂r

)=

1

r2(n+ 1)nF, (5.1)

el segundo:

rn−2e±imφ(d2Pmndx

(cos θ) sen2 θ − 2dPmndx

(cos θ) cos θ

).

y el tercero:

−rn−2eimφ

sen2 θm2Pmn (cos θ).

5.1. Bases ortonormales de los espacios H2n 137

Ahora sumamos los dos últimos sumandos sustituyendo z = cos θ y llamandou(z) = Pmn (z):

rn−2eimφ(

(1− z2)u′′ − 2zu′ − m2

1− z2u

). (5.2)

Como u satisface la ecuación diferencial (4.12), el término entre paréntesises −n(n+ 1)u, luego (5.2) es igual a

−(n+ 1)nrn−2Pmn (cos θ)eimφ = − 1

r2(n+ 1)nF.

Como faltaba sumar (5.1), concluimos que ∆F = 0. Esto prueba que lasfunciones Y mn son harmónicos esféricos.

Sabemos que dimH2n = 2n − 1, por lo que para demostrar que las funcio-

nes Y mn son una base ortogonal de este espacio basta ver que son ortogonales (yaque entonces serán linealmente independientes, luego serán una base). Ahorabien, esto es inmediato:1

Y mn · Y m′

n =

∫ 2π

0

∫ π

0

Y mn (φ, θ)Y m′n (φ, θ) sen θ dθdφ

=

∫ π

0

Pmn (cos θ)Pm′

n (cos θ) sen θ dθ

∫ 2π

0

ei(m−m′)φdφ

=

∫ 1

−1

Pmn (x)Pm′

n (x) dx

∫ 2π

0

ei(m−m′)φdφ

=

(∫ 1

−1

Pmn (x)Pm′

n (x) dx

)1

i(m−m′)

[ei(m−m

′)φ]2π

0= 0,

suponiendo m 6= m′. Esto termina la prueba.

Observemos que los cálculos de la demostración anterior nos dan también lanorma de los harmónicos que hemos construido:

Y mn · Y mn = 2π

∫ 1

−1

(Pmn (x))2 dx =4π

2n+ 1

(n+m)!

(n−m)!,

por el teorema 4.18 si m ≥ 0, y de aquí se sigue fácilmente que también secumple cuando m < 0. Esto nos lleva a modificar la definición de Y mn :

Definición 5.2 Para cada natural n y cada entero −n ≤ m ≤ n, definimos Y mncomo la función sobre S2 que en coordenadas esféricas viene dada por

Y mn (θ, φ) = (−1)m

√2n+ 1

4π

(n−m)!

(n+m)!Pmn (cos θ)eimφ. (5.3)

1Recordemos que el elemento de superficie de S1 en coordenadas esféricas viene dado pordσ = sen θ dθ dφ.


Hemos probado que las funciones Y mn para m = −n, . . . , n forman una baseortonormal de H2

n. Además, se comprueba inmediatamente que

Y −mn (θ, φ) = (−1)mY mn (θ, φ),

donde la barra indica la conjugación compleja.

Notemos que el factor (−1)m era innecesario para la normalización, pero esun convenio habitual en física, conocido como fase de Condon-Shortley.

Podemos obtener una base ortonormal formada por funciones reales defi-niendo

Ynm =

i√2(Y mn − (−1)mY −mn ) si m < 0,

Y 0n si m = 0,1√2(Y −mn + (−1)mY mn ) si m > 0,

=

√

2(−1)m ImY|m|n si m < 0,

Y 0n si m = 0,√2(−1)m ReY mn si m > 0.

Explícitamente:

Ynm =

√

2√

2n+14π

(n−|m|)!(n+|m|)!P

|m|n (cos θ) sen(|m|φ) si m < 0,√

2n+14π P 0

n(cos θ) si m = 0,√

2√

2n+14π

(n−m)!(n+m)!P

mn (cos θ) cos(mφ) si m > 0.

Ahora es fácil calcular los harmónicos esféricos básicos reales. Los primerosson:

Y0,0 =1

2√π.

Y1,−1 = −√

3

4πy, Y1,0 =

√3

4πz, Y1,1 = −

√3

4πx,

Y2,−2 =1

2

√15

πxy, Y2,−1 = −1

2

√15

πyz, Y2,0 =

1

4

√5

π(−x2 − y2 + 2z2),

Y2,1 = −1

2

√15

πxz, Y2,2 =

1

4

√15

π(x2 − y2).

Los harmónicos esféricos básicos (reales o complejos) con m = 0 son losque no dependen de θ, y por ello se suelen llamar harmónicos esféricos básicoszonales, si bien son, más concretamente, harmónicos esféricos zonales con polo(0, 0, 1). Por ejemplo, según el teorema 3.39, vemos que Y1,−1 es también unharmónico esférico zonal, pero con polo (0, 1, 0).

Más precisamente, es inmediato que Y mn o Ynm se anulan en |m| paralelosφ =cte y, teniendo en cuenta el teorema 4.7 y la definición de las funciones Pmn ,también en n − |m| pares de meridianos complementarios (círculos máximos)θ =cte. Además Ynm toma signos alternos a cada lado de cada uno de estosmeridianos y paralelos.

5.2. Aplicaciones a la gravitación 139

Por ejemplo, se cumple que

Y4,2 =3

8

√5

π(x2 − y2)(7z2 − 3).

La figura muestra la representación de la fun-ción

(1 + Y4,2(x, y, z))(x, y, z),

para todo (x, y, z) ∈ S2. Así, el valor de Y4,2

se visualiza como la altura de la gráfica medidaradialmente a partir de (x, y, z).

En particular, los puntos donde la gráficacorta a la esfera S2 son los puntos donde se anula Y4,2. Vemos que, según lasobservaciones precedentes, Y4,2 se anula en m = 2 paralelos y en n − m = 2pares de meridianos, lo que da lugar a una división de la esfera en 12 regionesen las que el harmónico esférico toma signos alternados.

5.2 Aplicaciones a la gravitaciónEsta sección está dividida en dos subsecciones: en la primera analizaremos la

dependencia de la gravedad terrestre de la latitud y su relación con la forma de laTierra, mientras que en la segunda estudiaremos el modo en que la órbita de unplaneta del sistema solar se ve afectado por la presencia de los demás planetas.Añadimos una tercera subsección con la prueba de un resultado técnico sobreseries que vamos a necesitar.

5.2.1 El campo gravitatorio de un esferoideRecordemos (véase la sección 6.2 de [GD]) que el campo gravitatorio creado

por una distribución de masa con función de densidad ρ contenida en una regiónacotada Ω ⊂ R3 viene dado por

~E(~r) = −G∫

Ω

ρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖3(~r − ~r ′) dv′,

donde dv′ representa el elemento de volumen de R3 (es decir, la medida deLebesgue) y el apóstrofo indica que la integral es sobre ~r ′, mientras que ~r es unparámetro. El teorema [GD 6.9] nos da que E = −∇V , donde

V (~r) = −∫

Ω

Gρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖dv′. (5.4)

Vamos a obtener expresiones más operativas para el potencial gravitatoriogenerado por una distribución continua de masa con simetría axial. Para ellofijamos un radio R > 0 y consideraremos la bola cerrada BR de centro ~0 yradio R, así como su complementario CR = R3 \BR. Entonces:

V (~r ) = −G∫BR

ρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖dv′ −G

∫CR

ρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖dv′.


Para calcular estas integrales calcularemos previamente las funciones de po-tencial

V1(~r ) = −G∫BR

ρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖dv′

para puntos ~r cuyo módulo sea r > R y

V2(~r ) = −G∫CR

ρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖dv′

para puntos ~r cuyo módulo sea r < R. Luego comprobaremos que las expresio-nes que obtendremos serán válidas también para puntos ~r con módulo r = R.La clave de las expresiones que vamos a obtener es la definición 4.5 de los poli-nomios de Legendre junto con las fórmulas (4.6) y (4.7), según las cuales, en elintegrando de V1 podemos desarrollar

‖~r − ~r ′‖−1 =1

r

∞∑n=0

Pn(cosα)(r′/r)n, (5.5)

donde α es el ángulo que forman los vectores ~r y ~r ′, y en el integrando de V2

‖~r − ~r ′‖−1 =1

r′

∞∑n=0

Pn(cosα)(r/r′)n.

Como |Pn(cosα)| ≤ 1, suponiendo además que la densidad está acotada poruna constante C, tenemos que, para V1,

|ρ(~r ′)Pn(cosα)(r′/r)n| ≤ C(R/r)n con R/r < 1,

y para V2

|ρ(~r ′)Pn(cosα)(r/r′)n| ≤ C(r/R)n con r/R < 1.

En ambos casos, el criterio de mayoración de Weierstrass nos asegura que lasseries respectivas convergen uniformemente en ~r ′, por lo que podemos intercam-biarlas con las integrales:

V1(~r) = −Gr

∞∑n=0

∫BR

ρ(~r ′)Pn(cosα)(r′/r)n dv′, (5.6)

V2(~r) = −G∞∑n=0

∫CR

1

r′ρ(~r ′)Pn(cosα)(r/r′)n dv′.

Ahora consideramos coordenadas esféricas:

~r = (r sen θ cosφ, r sen θ senφ, r cos θ)

y tomamos el sistema de referencia de modo que el eje Z sea el eje de simetríade la distribución de masas, de modo que la densidad ρ(r′, θ′) no depende delángulo φ′. Notemos que el elemento de volumen es

dv′ = r′2 sen θ′ dφ′dθ′dr′.


Así

V1(r, θ) = −Gr

∞∑n=0

∫ R

0

∫ π

0

∫ 2π

0

ρ(r′, θ′)Pn(cosα)(r′/r)n r′2 sen θ′ dφ′dθ′dr′

= −∞∑n=0

G

rn+1

∫ R

0

r′ n+2

∫ π

0

ρ(r′, θ′) sen θ′∫ 2π

0

Pn(cosα) dφ′dθ′dr′,

V2(r, θ) = −∞∑n=0

Grn∫ +∞

R

r′ 1−n∫ π

0

ρ(r′, θ′) sen θ′∫ 2π

0

Pn(cosα) dφ′dθ′dr′.

Ahora observamos que cosα = (~r/r) · (~r ′/r′), por lo que podemos aplicarel teorema de adición 3.21, juntamente con la expresión explícita (5.3) para losharmónicos esféricos de dimensión 2:

Pn(cosα) =4π

2n+ 1

n∑m=−n

Y mn (θ, φ)Y mn (θ′, φ′).

Teniendo en cuenta que∫ 2π

0eimφ

′dφ′ = 0 salvo si m = 0, vemos que∫ 2π

0

Pn(cosα) dφ′ = 2πPn(cos θ)Pn(cos θ′).

Así pues:

V1(r, θ) = −∞∑n=0

2πG

rn+1

∫ R

0

r′n+2

∫ π

0

ρ(r′, θ′) senβ′Pn(cos θ)Pn(cos θ′) dθ′dr′,

V2(r, θ) = −∞∑n=0

2πGrn∫ +∞

R

r′1−n∫ π

0

ρ(r′, θ′) senβ′Pn(cos θ)Pn(cos θ′) dβ′dr′.

Equivalentemente:

V1(r, θ) =

∞∑n=0

V−n−1Pn(cos θ)

rn+1, V2(r, θ) =

∞∑n=0

Vn rnPn(cos θ), (5.7)

donde

V−n−1 = −2πG

∫ R

0

r′n+2

∫ π

0

ρ(r′, θ′) sen θ′Pn(cos θ′) dθ′dr′

= −2πG

∫ R

0

r′n+2

∫ 1

−1

ρ(r′, x)Pn(x) dxdr′ = − 4πG

2n+ 1

∫ R

0

ρn(r′)r′n+2dr′,

Vn = −2πG

∫ +∞

R

r′1−n∫ π

0

ρ(r′, θ′) sen θ′Pn(cos θ′) dθ′dr′

= −2πG

∫ +∞

R

r′1−n∫ 1

−1

ρ(r′, x)Pn(x) dxdr′ = − 4πG

2n+ 1

∫ +∞

R

ρn(r′)r′1−ndr′,


donde a su vez, según el teorema 4.13, los coeficientes

ρn(r′) =

(n+

1

2

)∫ 1

−1

ρ(r′, x)Pn(x) dx

son los que aparecen en el desarrollo en serie de Fourier-Legendre

ρ(r′, θ′) =∞∑n=0

ρn(r′)Pn(cos θ′).

En principio tenemos que las series (5.7) convergen respectivamente para r > Ry r < R. Ahora vamos a ver que también lo hacen para r = R, y que la suma es,respectivamente, V1(r, θ) y V2(r, θ). Para ello hacemos los cambios de variablerespectivos 1/r = t/R y r = Rt, con lo que obtenemos las series de potencias

∞∑n=0

V−n−1Pn(cos θ)

Rn+1tn+1,

∞∑n=0

VnRnPn(cos θ)tn (5.8)

que convergen para t < 1 y hemos de probar que también lo hacen para t = 1.Para ello observamos que, por (4.9), existe una constante K tal que

|ρn(r′)| ≤ K√n,

luego

|V−n−1| ≤K ′√n

∫ R

0

r′n+2dr′ =K ′Rn+3

√n(n+ 3)

,

|Vn| ≤K ′√n

∫ +∞

R

r′1−n dr′ =K ′√

n(n− 2)Rn−2,

luego los coeficientes an de las series (5.8) están acotados en módulo por

K ′′R2

n√n,

luego ambas series cumplen que

límnnan = 0.

Ahora usamos un teorema sobre series de potencias debido a Tauber queenunciamos y demostramos al final de esta sección (teorema 5.3). Éste implicaque ambas series convergen para t = 1 y la suma es V1(r, θ) y V2(r, θ) respecti-vamente. De aquí podemos concluir que

V (r, θ) =

∞∑n=0

Vn(r)Pn(cos θ), (5.9)

donde

Vn(r) = − 4πG

2n+ 1

(1

rn+1

∫ r

0

ρn(r′)r′n+2dr′ + rn∫ +∞

r

ρn(r′)r′1−ndr′),

(5.10)con

ρn(r′) =

(n+

1

2

)∫ 1

−1

ρ(r′, x)Pn(x) dx. (5.11)


El caso más simple al que podemos aplicar estas fórmulas es el de una esferade radio R cuya densidad es radial, es decir, tal que ρ(r, θ) no depende de θ.En tal caso la ortogonalidad de los polinomios de Legendre implica que ρn = 0para n > 1, mientras que ρ0 = ρ. Así, para puntos situados fuera de la esfera,el potencial es

V (r) = V0(r) = −4πG

r

∫ R

0

ρ(r′)r′2 dr′ = −Gr

∫BR(0)

ρ(~r ′) d~r ′ = −GMr,

donde M es la masa total de la esfera.

Vamos a aplicar estas fórmulas para estudiar el campo gravitatorio generadopor un esferoide, es decir, una distribución de masa que contenga una esfera decentro ~0 y radio Rmin y que esté contenida en una esfera de centro ~0 y radioRmax, de modo que el achatamiento

ε =Rmax −Rmin

Rmax

sea pequeño. Esto será aplicable al caso de la Tierra, cuyo achatamiento esε = 0.0033528.

Rmax

Rmin

Para puntos con r ≥ Rmax la expresión de Vn(r) se simplifica hasta

Vn(r) = − 4πG

2n+ 1

1

rn+1

∫ Rmax

0

ρn(r′)r′n+2dr′. (5.12)

En particular,

V0(r) = −Gr

∫ Rmax

0

∫ π

0

∫ 2π

0

ρ(r′, cos θ′)r′2 sen θ′ dφ′dθ′dr′

= −Gr

∫r≤Rmax

ρ(~r ′) d~r ′ = −GMr, (5.13)

donde M es la masa total del esferoide. En principio, hemos obtenido estaexpresión para puntos con r ≥ Rmax, pero vamos a ver que para puntos quecumplan Rmin ≤ r ≤ Rmax se cumple que (5.13) es una aproximación razonablede V0(r). En efecto, el mismo cálculo sin más que cambiar Rmax por r nos


da que el primer sumando de (5.10) es igual a −GMr/r, donde Mr es la masacontenida en la esfera de radio r. Un cálculo análogo nos da que el segundotérmino es

−G∫Er

1

r′dm ≈ −G

r

∫Er

dm = −Gmr

r

donde Er es el exterior de la esfera de radio r y mr es la masa contenida en Er.Por consiguiente,

V0(r) ≈ −GMr,

donde M es la masa total del esferoide. Más concretamente,∣∣∣∣V0(r)−(−GM

r

)∣∣∣∣ = G

∫Er

(1

r− 1

r′

)dm =

G

r

∫Er

r′ − rr′

dm

≤ GM0

r

Rmax −Rmin

Rmin,

donde M0 es la masa comprendida entre las esferas de radios Rmin y Rmax.Así pues, el error relativo de la aproximación, con respecto al valor aproxi-

mado −GM/r, cumple

e ≤ M0

M

Rmax −Rmin

Rmin=M0

M

ε

1− ε,

que para el caso de la Tierra2 es del orden de 6 · 10−6.

Así pues, podemos considerar a (5.13) como una buena aproximación deV0(r) para todos los puntos exteriores al elipsoide.

Ahora conviene observar que si nuestro esferoide es simplemente una esferade radio R con densidad radial (es decir, de modo que ρ(r, θ) no depende de θ),entonces la ortogonalidad de los polinomios de Legendre implica que ρn(r′) = 0para n > 0, por lo que V (r, θ) = V0(r) = −GM/r, para todo r ≥ R.

Puesto que la Tierra es casi indistinguible de una esfera (y la simplificaciónde considerar su densidad radial es razonable) cabe esperar que los términosposteriores de (5.9) sean correcciones mínimas de V0 casi inapreciables. Porello es conveniente expresarlos todos en términos de V0. Considerando de nuevopuntos con r ≥ Rmax, a partir de (5.12) obtenemos que

Vn(r) = −GMr

4π

(2n+ 1)M

1

rn

∫ Rmax

0

ρn(r′)r′n+2dr′,

2Usamos los datos Rmax = 6 378 100m, Rmin = 6 356 800m, M = 5.97219 · 1024 kg. Ladensidad media de la Tierra es de 5 514 kg/m3, pero la densidad media de la litosfera esd = 3 000 kg/m3 y, aproximando la forma de la Tierra por un elipsoide de revolución, podemoscalcular M0 = 3

4πR2

min(Rmax − Rmin)d, con lo que tenemos una cifra por exceso, ya que notenemos en cuenta que buena parte del volumen considerado está ocupado por agua, cuyadensidad es menor.


luego

V (r, θ) = −GMr

(1−

∞∑n=1

Jn

(Rmax

r

)nPn(cos θ)

), (5.14)

donde las constantes

Jn =−4π

MRnmax(2n+ 1)

∫ Rmax

0

ρn(r′)r′n+2dr′ = − 1

MRnmax

∫R3

r′nPn(cos θ′)dm

se llaman momentos de orden n de la distribución de masas dada. Notemos queno tienen unidades. Además, puesto que la serie (5.14) ha de converger parar = Rmax y θ = 0, la sucesión de los momentos de orden n determina una serieconvergente y, en particular, tiende a 0.

Observemos que

J1 = − 1

MRmax

∫R3

r′ cos θ′ dm = − 1

MRmax

∫R3

z dm = 0

si tomamos el sistema de referencia con origen en el centro de masas del esferoide.

Así pues, la corrección de mayor orden del potencial gravitatorio de un es-feroide respecto del correspondiente a una esfera viene determinada por el mo-mento J2, el cual admite una expresión sencilla:

J2 = − 1

MR2max

∫R3

r′2P2(cos θ′)dm = − 1

2MR2max

∫R3

r′2(3 cos2 θ′ − 1)dm

= − 1

2MR2max

∫R3

(3z2 − x2 − y2 − z2)dm =

− 1

2MR2max

∫R3

((z2 + x2) + (z2 + y2)− 2(x2 + y2))dm

= − 1

2MR2max

(I22 + I11 − 2I33),

donde I11, I22, I33 son las componentes diagonales del tensor de inercia de ladistribución de masas (véase el final de la sección 9.6 de [An] ). La simetríaaxial respecto al eje Z que estamos suponiendo implica que los dos primeros soniguales, luego, llamándolos I1 e I3, concluimos que

J2 =I3 − I1MR2

max

.

Ésta es la llamada fórmula de MacCullagh.

Usando las estimaciones de las componentes del tensor de inercia de la Tierraobtenidas al final de la sección 9.6 de [An], la fórmula anterior proporciona elvalor J2 = 1120.8084 · 10−6. El valor actualmente aceptado es

J2 = 1082.635 · 10−6,

con lo que el error que hemos cometido no llega al 3.6%.


Así pues, una aproximación al potencial de un esferoide para puntos conr ≥ Rmax viene dada por

V ≈ −GMr

(1− J2

2

(Rmax

r

)2

(3 cos2 θ − 1)

)(5.15)

o, usando la fórmula de MacCullagh,

V ≈ −GMr

+G(I3 − I1)

2r3(3 cos2 θ − 1). (5.16)

Veamos de nuevo que esta aproximación sigue siendo razonable para puntoscon Rmin ≤ r ≤ Rmax, y en particular sobre la superficie del esferoide. Paraello observamos que, por el mismo cálculo que nos ha llevado a la fórmula deMacCullagh, el primer término de (5.10) para n = 2 es

G(Ir3 − Ir1 )

r3,

donde Ir3 e Ir1 son los momentos de inercia de la masa situada en el interior de laesfera de radio r. Vamos a probar que el segundo término es aproximadamenteigual a esta misma expresión, pero con los momentos de inercia de la masasituada en el exterior de la esfera. Como los momentos de inercia son aditivos,el valor total de V2(r) será (aproximadamente) el que aparece en (5.16). Enefecto, el segundo término es

−Gr2

∫Er

P2(cos θ)

r′3dm = −G

r3

∫Er

( rr′

)5 3z′2 − r′2

2dm

≈ −Gr3

∫Er

2z′2 − x′2 − y′2

2dm =

G(I03 − I0

1 )

r3,

como queríamos probar. El error de la aproximación es∣∣∣∣V1(r)− G(I3 − I1)

r3

∣∣∣∣ ≤ Gr2

∫Er

|P2(cos θ)|(

1

r3− 1

r′3

)dm

≤ Gr2M0

(1

R3min

− 1

R3max

),

luego el error relativo es

e ≤ M0R5max

I3 − I1

(1

R3min

− 1

R3max

)=M0R

3max

MJ2

(1

R3min

− 1

R3max

),

que para el caso de la Tierra es inferior al 1.7%.

De este modo, la fórmula (5.15) nos da un modelo teórico para la variacióndel campo gravitatorio sobre la superficie terrestre en función de la latitud.En realidad dicha fórmula no es aceptable porque, puestos a tener en cuenta lasvariaciones mínimas debidas a la latitud, hay otro efecto de magnitud similar queno podemos despreciar, y es la fuerza centrífuga debida a la rotación terrestre,que también depende de la latitud y debilita el efecto de la gravedad.


Concretamente, la fuerza centrífuga que actúa sobre una partícula de masaunitaria que se mueva con la Tierra viene dada por

~E = ω2(x, y, 0),

donde ω es la velocidad angular de la Tierra, y esta expresión corresponde a uncampo de fuerzas conservativo, pues deriva del potencial

Vc = −1

2ω2(x2 + y2) = −1

2ω2r2 sen θ,

Añadiendo este potencial al dado por (5.15) obtenemos la expresión

V (r, θ) ≈ −1

2ω2r2 sen θ − GM

r+GMJ2R

2max

2r3(3 cos2 θ − 1). (5.17)

Ahora sí que tenemos un modelo teórico razonable de la dependencia dela gravedad terrestre respecto de la latitud. Observemos que hemos llegado aesta expresión partiendo de la hipótesis de que la Tierra tiene forma aproxima-damente esférica, pero no exactamente esférica, y sin suponer ninguna formageométrica concreta. Recíprocamente, a partir de aproximaciones de este tipopara el potencial gravitatorio (con la corrección centrífuga) nos permiten extraerconclusiones sobre la forma de la Tierra.

En efecto, es fácil probar que en un planeta fluido en equilibrio todos lospuntos de su superficie tienen el mismo potencial gravitatorio (corregido con lafuerza centrífuga si el fluido está en rotación). Incorporando el potencial de lafuerza centrífuga al del campo gravitatorio podemos considerar un sistema dereferencia que gire con el fluido, de modo que éste esté en reposo, y entonceses aplicable la ecuación fundamental de la hidrostática (A.2), que en este casoadopta la forma

∇p = −ρ∇V.Si la densidad ρ es constante, esto implica que p = −ρV + p0, para cierta

constante p0. Así pues, la presión es la misma en dos puntos si y sólo si tienenel mismo potencial. Como la presión en la superficie tiene que ser 0, resulta quetodos los puntos de la superficie tienen el mismo potencial.

En realidad podemos llegar a la misma conclusión sin suponer que la densi-dad del planeta es constante. Para ello, dados dos puntos ~r0 y ~r1 de su superficie,consideramos un arco (derivable) φ : [0, 1] −→ R3 contenido en dicha superficiey tal que φ(0) = ~r0, φ(1) = ~r1. Tenemos entonces que p(φ(t)) = 0, luego,derivando:

∇p(φ(t)) · dφdt

= 0,

pero entonces, por la ecuación fundamental, también

∇V (φ(t)) · dφdt

= 0,

lo que equivale a que la derivada de V (φ(t)) sea idénticamente nula, luegoV (~r0) = V (~r1).


La Tierra no es fluida, pero lo cierto es que su forma se corresponde con granfidelidad a la forma de una superficie equipotencial respecto de (5.17), lo cualindica que en su día fue líquida. Más aún, la aproximación mejora si añadimosa (5.17) el término correspondiente al sumando siguiente de (5.14). La figurasiguiente ilustra el efecto de considerar dicho término adicional:

L0

@@ L2

L3

La curva L0 es una circunferencia, que podemos considerar que representala sección de la Tierra si ésta fuera esférica de radio igual al radio ecuatorialque realmente tiene el planeta. La curva L2 representa los puntos en los que(5.17) toma el valor V (Rmax, π/2), es decir, los puntos en los que el potenciales el mismo que en el ecuador, salvo por el hecho de que el valor real de J2 seha multiplicado por 50 para que el achatamiento resulte apreciable. Vemos quecorresponde a una silueta ovalada, aunque técnicamente no es una elipse. Lacurva L3 es la que resulta de incorporar a (5.17) el término de orden 3 presenteen (5.14), aunque en la figura el valor real de J3 ha sido multiplicado por 20 000para que su efecto resulte apreciable. El valor real, deducido de medidas precisasde la “silueta terrestre” realizadas mediante satélites artificiales, es

J3 = −2.531 · 10−6.

Vemos que al exagerar el valor de J3 obtenemos una figura en forma de pera,aunque en realidad el efecto de J3 es prácticamente despreciable. Para hacernosuna idea de su relevancia real podemos considerar las gráficas siguientes:

Π

4

Π

2

3 Π

4

Π

6360

6365

6370

6375

Π

4

Π

2

3 Π

4

Π

-15

-10

-5

5

10

15


La de la izquierda muestra el radio en km en función del ángulo θ. La rectasuperior es el radio constante correspondiente al modelo esférico con el radioecuatorial de la Tierra. La otra curva corresponde tanto al modelo que resultade incorporar sólo J2 como el que resulta de incorporar J3, pues la diferenciaentre ambos no es apreciable a esa escala. En la gráfica de la derecha vemosla diferencia en metros entre ambos modelos. Vemos que la “forma de pera” setraduce en que el radio en el polo Norte tendría que ser apenas 16.3m mayorque el que prevé el modelo de orden 2, mientras que en el polo Sur es unos16.3m menor. En realidad, el mayor hundimiento de “la pera” en el hemisferioNorte (y el mayor abultamiento en el hemisferio Sur) es del orden de 7.25m.

5.2.2 Precesión de los perihelios

En la subsección 7.3.2 de [An] estudiamos el movimiento de un planeta bajola gravedad del Sol, sin tener en cuenta el efecto de la atracción gravitatoriadebida a la presencia de los planetas restantes del sistema solar. Determinarlas trayectorias de tres cuerpos sometidos a la atracción gravitatoria mutuaes el llamado problema de los tres cuerpos, y no admite una solución cerradamediante fórmulas explícitas que no involucren series de potencias. Aquí vamosa mostrar un análisis aproximado del efecto que tienen los demás planetas sobrela trayectoria de uno de ellos. La idea es no tener en cuenta la fuerza quecada planeta ejerce sobre uno dado en cada instante en concreto (que sería unafunción muy complicada, ya que los planetas se acercan y se alejan unos de otrosde una forma muy compleja, dado que orbitan a velocidades distintas), sino queestudiaremos cómo afecta a un planeta la fuerza media que los demás ejercensobre él, y dicha fuerza media la calcularemos distribuyendo uniformemente lamasa de cada planeta a lo largo de su órbita, es decir, sustituyendo cada planetapor un anillo de su misma masa, que supondremos circular de radio igual al radiomedio de la órbita real del planeta.

Para ello necesitamos calcular el potencial que genera un anillo. No podemosdeducirlo directamente a partir de los cálculos de la subsección anterior porqueallí considerábamos distribuciones tridimensionales de materia, mientras queaquí partimos de una distribución unidimensional. (En la práctica, esto simpli-fica considerablemente el razonamiento.) Concretamente, tenemos un anillo deradio R, centrado en el origen de coordenadas, que podemos parametrizar en laforma

~r ′(φ′) = (R cosφ′, R senφ′, 0),

de modo que su elemento de longitud es dl = Rdφ′ y su elemento de masa esdm = RDdφ′, donde D es su densidad. La masa del anillo es M = 2πRD.Equivalentemente:

dm =M

2πdφ′.

El potencial que genera el anillo viene dado por

V (~r) = −G∫ 2π

0

dm

‖~r − ~r ′‖= −GM

2π

∫ 2π

0

dφ′

‖~r − ~r ′‖.


Para puntos ~r con r > R o r < R, podemos desarrollar, respectivamente:

‖~r − ~r ′‖−1 = 1r

∞∑n=0

Pn(cosα)(R/r)n, ‖~r − ~r ′‖−1 =1

R

∞∑n=0

Pn(cosα)(r/R)n,

donde α es el ángulo que forman ~r y ~r ′. Los mismos razonamientos empleados enla sección anterior prueban que podemos intercambiar el sumatorio y la integral,así como que∫ 2π

0

Pn(cosα) dφ′ = 2πPn(cos θ)Pn(cos θ′) = 2πPn(0)Pn(cos θ),

luego

V (~r) = −GM2πr

∞∑n=0

(R/r)n∫ 2π

0

Pn(cosα) dφ′ = −GMr

∞∑n=0

Pn(0)Pn(cos θ)(R/r)n

para r > R y

V (~r) = −GMR

∞∑n=0

Pn(0)Pn(cos θ)(r/R)n

para r < R. Como sólo nos va a interesar el potencial en puntos situados en elmismo plano del anillo (es decir, puntos con θ = π/2), las fórmulas se simplificana

V (r) =

−GM

R

∞∑n=0

Pn(0)2(R/r)n+1 si r > R,

−GMR

∞∑n=0

Pn(0)2(r/R)n si R < r.

Numeremos ahora los planetas del sistema solar, de forma que Mercurio esel planeta 1 y Neptuno es el planeta 8. Sea Mi la masa del planeta i y sea Riel radio de su órbita, que supondremos circular. Sea además M0 la masa delSol. Entonces, el potencial que generan el Sol y todos los planetas distintos dei-ésimo es

Vi(r) = −GM0

r−G

∑j<i

Mj

Rj

∞∑n=0

Pn(0)2

(Rjr

)n+1

−G∑j>i

Mj

Rj

∞∑n=0

Pn(0)2

(r

Rj

)n.

El campo gravitatorio (fuerza por unidad de masa) al que está sometido eli-ésimo planeta es, pues,

~Ei(r) = −∇Vi = −dVidr

1

r~r,

donde

Ei(r) = −dVidr

= −GM0

r2− G

r2

∑j<i

Mj

∞∑n=0

(n+ 1)Pn(0)2

(Rjr

)n

+G

r2

∑j>i

Mjr

Rj

∞∑n=1

nPn(0)2

(r

Rj

)n. (5.18)


Vemos así que el planeta i-ésimo está sometido a una fuerza central dirigidahacia el Sol que no es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia,sino bastante más sofisticada. A partir de aquí vamos a hacer algunas conside-raciones generales sobre fuerzas centrales. El mismo razonamiento empleado enla subsección 7.5.2 de [An] para llegar a las ecuaciones (7.5) nos da en generalque

r′′ − rω2 = E(r).

Pero, como la fuerza es central, al igual que en dicha subsección se concluyeque la cantidad de movimiento angular L = mr2ω tiene que ser constante, y lomismo vale para h = r2ω. Por lo tanto, la ecuación anterior equivale a

r′′ − h2

r3= E(r).

Supongamos que un planeta que sigue una órbita aproximadamente elípticacon pequeña excentricidad, con lo que también es aproximadamente circular, yconsideremos un instante de tiempo en el que r′′ = 0. (Ha de existir o, de lo con-trario, la distancia del planeta al Sol aumentaría o disminuiría constantementey la órbita no podría ser cerrada.) Si llamamos r0 al radio correspondiente adicho instante, tenemos que

−h2

r30

= E(r0). (5.19)

Llamemos δ = r − r0. Por hipótesis, δ toma en todo momento valorescercanos a 0. La ecuación del movimiento puede expresarse en la forma

δ′′ − h2

(r0 + δ)3= E(r0 + δ).

Aproximamos ambos miembros por los respectivos polinomios de Taylor degrado 1 alrededor de δ = 0:

δ′′ − h2

r30

(1− 3

δ

r0

)= E(r0) + E′(r0)δ.

Usando (5.19):

δ′′ =

(3E(r0)

r0+ E′(r0)

)δ = 0.

Si la constante

K =3E(r0)

r0+ E′(r0)

es negativa, entonces las soluciones de la ecuación diferencial precedente son dela forma

δ = ε sen(√−Kt+ t0)

y permanecen acotadas. Por el contrario, siK > 0, las soluciones son de la formaAe√Kt+Be−

√Kt y tienden a infinito. Así pues, para que la fuerza central dada


dé lugar a una órbita aproximadamente circular de radio r0 es necesario quecumpla la condición

E′(r0) < −3E(r0)

r0.

Si esto sucede, la distancia al Sol (aproximadamente) oscila periódicamentecon periodo

T =2π√−K

=2π√

−3E(r0)/r0 − E′(r0).

Para oscilaciones pequeñas de r, las variaciones de ω = θ′ serán tambiénpequeñas (porque h ha de ser constante), luego

θ′ ≈ h

r20

=

√−E(r0)

r0,

donde hemos usado nuevamente (5.19).Concluimos que el ángulo que recorre el planeta desde un perihelio hasta

otro perihelio es aproximadamente

∆θ = Tθ′ = 2π

(3 +

E′(r0)

E(r0)r0

)−1/2

. (5.20)

Si la órbita fuera exactamente elíptica, este incremento debería ser ∆θ = 2π,pero no tiene por qué ser así. Para una órbita aproximadamente elíptica ladiferencia ∆θ − 2π será pequeña y representa una precesión del perihelio decada planeta, de modo que cada nuevo perihelio se alcanza un poco después deque el planeta haya dado una vuelta completa alrededor del Sol (después y noantes porque, como veremos, el resultado es positivo). Vamos a estimar esteángulo de precesión. Para ello sólo necesitamos añadir un cálculo más a los queya habíamos realizado, a saber:

rE′i(r) =2GM0

r2+G

r2

∑j<i

Mj

∞∑n=0

(n+ 1)(n+ 2)Pn(0)2

(Rjr

)n

+G

r2

∑j>i

Mjr

Rj

∞∑n=2

n(n− 1)Pn(0)2

(r

Rj

)n.

Con esta fórmula y (5.18) ya podemos calcular (5.20) (para r0 = Ri) y final-mente el ángulo de precesión αi = ∆θi − 2π (truncando las series de potenciasen un cierto n). A efectos de cálculo, observemos que la expresión (5.20) no sealtera si expresamos todas las masas en relación a la masa del Sol (M0 = 1)y todos los radios en unidades astronómicas (R3 = 1). El resultado estará enradianes. Conviene pasarlo a segundos de arco y, para comparar el resultado decada planeta, conviene dividirlo entre la duración de su año respectivo en añosterrestres. Así tenemos la precesión del perihelio por año.

La tabla siguiente (en la fila marcada como P14) contiene la precesión delperihelio en segundos de arco/año calculada truncando las series en n = 14 (loque supone sumar siete términos, pues Pn(0) = 0 cuando n es impar). La últimafila contiene la precesión observada.


Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Nepturoe 0.206 0.007 0.017 0.093 0.048 0.0541 0.047 0.009R 0.387 0.723 1 1.523 5.203 9.537 19.191 30.07T 0.241 0.615 1 1.881 11.859 29.457 84.323 164.79

P14 5.53 11.72 12.55 17.71 7.53 18.61 2.73 0.66Pobs 5.75 2.04 11.45 16.28 6.55 19.5 3.34 0.36

La gráfica siguiente compara los resultados calculados con los observados.Vemos que es bastante aproximada salvo en el caso de Venus, para el que ladiscrepancia es enorme. Las discrepancias entre los resultados teóricos y losobservados se deben principalmente a las numerosas aproximaciones que hemoshecho (la sustitución de los planetas por anillos —que además hemos consideradocirculares y no elípticos— y la aproximación de primer orden de la variación δdel radio medio r0). La discrepancia en el caso de Venus se atribuye a la mínimaexcentricidad de su órbita, que la vuelve muy sensible a las perturbaciones.

2 4 6 8

5

10

15

El astrónomo francés Urban Leverrier realizó cálculos más precisos y en1859 anunció que con ellos podía dar cuenta de los valores observados para laprecesión del perihelio de todos los planetas del sistema solar excepto Mercurio,para el que el valor observado excedía en 43′′/año del valor teórico esperado. Laúnica explicación que pudo proponer fue la existencia de un planeta desconocidoentre Mercurio y el Sol, planeta cuya existencia terminó siendo descartada.La explicación última de esa discrepancia hay que buscarla en la teoría de larelatividad, que introduce una corrección a la teoría newtoniana que resulta serdespreciable para todos los planetas del sistema solar excepto para Mercurio.

5.2.3 El teorema de TauberTerminamos la sección con el enunciado y la demostración del teorema sobre

convergencia de series de potencias que hemos usado en la deducción de lafórmula (5.9):

Teorema 5.3 Sea f(z) =∞∑n=0

anzn una función definida por una serie de po-

tencias con radio de convergencia 1 y supongamos que existe límx→1

f(x) = a, (aquí

hay que entender que 0 < x < 1) así como que límnnan = 0. Entonces la serie

converge en z = 1 y la suma es a.


Demostración: Veamos en primer lugar que

límm

m∑n=1

n|an|

m= 0.

Dado ε > 0, sea N > 0 tal que n|an| < ε/2 para todo n > N . Fijemosn0 > N . Entonces, para m > n0,m∑n=1

n|an|

m=

n0∑n=1

n|an|

m+

m∑n=n0+1

n|an|

m<

n0∑n=1

n|an|

m+

(m− n0)ε

2m<

n0∑n=1

n|an|

m+ε

2.

Ahora bien, tomando m suficientemente grande podemos exigir que el pri-mer sumando sea también menor que ε/2, luego, en definitiva, para todo msuficientemente grande,

m∑n=1

n|an|

m< ε.

Tomemos ahora un número real 0 < x < 1 y calculemos∣∣∣∣ n∑k=0

ak − f(x)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ n∑k=0

ak(1− xk)−∞∑

k=n+1

akxk

∣∣∣∣∣≤ (1− x)

n∑k=0

|ak|(1 + x+ · · ·+ xk−1) +

∞∑k=n+1

|ak|xk

< n(1− x)

n∑k=0

k|ak|

n+

∞∑k=n+1

k|ak|xk

k.

Para todo n suficientemente grande se cumple que∣∣∣∣ n∑k=0

ak − f(x)

∣∣∣∣ < n(1− x)ε

2+

ε

2n

∞∑k=n+1

xk

=ε

2

(n(1− x) +

1

n

xn+1

1− x

)<ε

2

(n(1− x) +

1

n(1− x)

).

Notemos que la elección de n es independiente de la de x, luego podemostomar x = 1− 1/n, y así, para todo n suficientemente grande,∣∣∣∣∣

n∑k=0

ak − f(

1− 1

n

)∣∣∣∣∣ < ε.

De aquí se sigue fácilmente que la serie∞∑k=0

ak es de Cauchy, luego converge, y

∞∑k=0

ak = límnf

(1− 1

n

)= a.

5.3. Aplicaciones al electromagnetismo 155

5.3 Aplicaciones al electromagnetismo

Electrostática En la sección B.1 de [GD] afirmamos sin prueba que el campoeléctrico generado por una distribución de cargas, en puntos alejados de éstas,se asemeja al campo creado por una única carga puntual igual a la carga netatotal. Ahora estamos en condiciones de probarlo.

Consideremos una distribución continua arbitraria de carga eléctrica conte-nida en una región acotada del espacio Ω. El potencial que genera viene dadopor la expresión

V (~r ) =1

4πε0

∫Ω

ρ(~r ′)

‖~r − ~r ′‖dv′,

que es análoga a la fórmula (5.4) que determina el potencial gravitatorio gene-rado por una distribución de masa. La única diferencia es que la densidad demasa no puede tomar valores negativos, mientras que la densidad de carga sí,pero esto no afecta en nada a los razonamientos que hemos aplicado a (5.4) enla sección anterior (por ejemplo, porque en la fórmula del potencial eléctricopodemos sustituir ρ = ρ+ − ρ−, con dos funciones ρ+ y ρ− no negativas, yaplicar todo el razonamiento a las dos funciones por separado).

En particular, restringiéndonos a puntos ~r exteriores a una esfera que con-tenga completamente a la distribución de carga (que suponemos acotada), cam-biando la constante gravitatoria por la permitividad y corrigiendo el signo, ob-tenemos el análogo a la fórmula (5.6), que es:

V (~r ) =1

4πε0

∞∑n=0

1

rn+1

∫Ω

ρ(~r ′)r′nPn(cosα) dv′, (5.21)

donde α es el ángulo entre ~r y ~r ′. Cada término de la serie decae más rápi-damente que los anteriores,3 luego, para puntos alejados de la distribución decarga, el campo puede aproximarse por el primero de ellos que sea no nulo.

El término correspondiente a n = 0 nos da la aproximación

V (~r ) ≈ q

4πε0r,

donde q es la carga neta de la distribución. Esto es precisamente lo que preten-díamos demostrar, pero la fórmula precedente nos permite sacar más conclusio-nes. Si la carga neta es nula, consideramos el término correspondiente a n = 1,que es

1

4πε0r3

∫Ω

ρ rr′ cosαdv′ =1

4πε0r3

∫Ω

ρ~r · ~r ′ dv′ =1

4πε0r3~r ·∫

Ω

ρ~r ′ dv′,

3Imaginemos que tomamos una unidad de longitud tal que toda la distribución de carga estécontenida en la esfera de radio 1. Entonces r′ < 1 y r > 1, y es evidente que, al aumentar n,cada término de la serie es menor que el anterior, y la disminución es más drástica cuantomayor es r.


con lo que obtenemos la aproximación

V (~r) ≈ 1

4πε0

~p · ~rr3

,

donde~p =

∫Ω

ρ(~r )~r dv

es el momento dipolar de la distribución de cargas. Notemos que esta fórmulaes idéntica a la fórmula (B.14) de [GD].

Así pues, si una distribución de cargas globalmente nula tiene momentodipolar no nulo, en puntos alejados el campo eléctrico generado se asemeja aldeterminado por un dipolo con el mismo momento dipolar. También afirmamosesto sin demostración en [GD].

No vamos a analizar el término de (5.21) correspondiente a n = 2, perodiremos que corresponde a un cuadripolo, es decir, a un campo con un puntoen el que pueden distinguirse cuatro polos, dos positivos y dos negativos. Ladistribución de cargas más simple que vista a lo lejos genera un cuadripolo esla formada por cuatro cargas puntuales situadas en los vértices de un cuadrado,con la misma intensidad pero signos alternos. Puede verse como dos dipoloscon momentos opuestos, por lo que su momento dipolar es nulo. Desde lejos,la distribución se ve como un punto del que salen líneas de fuerza por dosdirecciones diametralmente opuestas (los dos polos positivos) y llegan líneas defuerza por otras dos direcciones diametralmente opuestas y perpendiculares alas anteriores (los dos polos negativos).

Magnetostática Podemos hacer un análisis similar en el caso de la magne-tostática, es decir, en el caso de una distribución de cargas eléctricas que semueven de forma que el campo ~ = ρ~v de la corriente eléctrica sea estacionario.En tal caso sabemos que el campo magnético viene dado por la expresión

~B = rot ~A,

donde, según la ecuación (B.17) de [GD], el potencial vectorial magnético vienedado por

~A(~r) =µ0

4π

∫Ω

~(~x)

‖~r − ~x‖dv. (5.22)

El mismo razonamiento que nos da el desarrollo (5.21) del potencial eléctrico(o gravitatorio) se aplica a cada coordenada de (5.22) para concluir que, si unadistribución de corrientes está contenida en la esfera Ω de centro el origen decoordenadas y radio R, entonces para r > R el potencial magnético viene dadopor

~A(~r ) =µ0

4π

∞∑n=1

1

rn+1

∫Ω

~ (~r ′)Pn(cosα)r′n dv′, (5.23)

donde α es el ángulo entre ~r y ~r′. Hemos suprimido el término correspondientea n = 0 porque en ese caso la integral es nula, según la ecuación (B.22) de [GD].

5.3. Aplicaciones al electromagnetismo 157

Si aproximamos el potencial vectorial magnético por el primer término de laserie, obtenemos

~A(~r ) ≈ µ0

4πr2

∫Ω

~ (~r ′)r′ cosαdv =µ0

4πr3

∫Ω

~ (~r ′)(~r · ~r ′) dv. (5.24)

Veamos que ~r puede ser extraído de la integral. Para ello la fórmula deLagrange [Ge 5.14] nos da que:∫

Ω

~r × (~r ′ × ~ ) dv =

∫Ω

(~r · ~ )~r ′ dv −∫

Ω

(~r · ~r ′)~ dv, (5.25)

y vamos a probar que las dos integrales del segundo miembro tienen son igualessalvo el signo. Esto se debe a que

div(r′ir′k~ ) = r′kji + r′ijk + r′ir

′k div~ = r′kji + r′ijk

y, como ~ es nulo en ∂V , el teorema de la divergencia nos da que∫V

r′kji dv = −∫V

r′ijk dv.

Por lo tanto ∫Ω

∑k

rkr′kji dv = −

∫Ω

∑k

rkr′ijk dv

o, lo que es lo mismo, ∫Ω

(~r · ~r ′)ji dv = −∫

Ω

(~r · ~ )r′i dv.

Vectorialmente: ∫Ω

(~r · ~r ′)~ dv = −∫

Ω

(~r · ~ )~r ′ dv,

luego (5.25) se convierte en∫Ω

~r × (~r ′ × ~ ) dv = −2

∫Ω

(~r · ~r ′)~ dv, (5.26)

y a su vez (5.24) toma la forma

~A(~r ) ≈ µ0

4πr3

(∫Ω

1

2(~r ′ × ~ ) dv

)× ~r =

µ0

4π

1

r3~m× ~r,

donde, según la fórmula (B.24) de [GD],

~m =1

2

∫Ω

~r × ~ dv

es el momento dipolar magnético de la distribución de corrientes. Con estohemos demostrado que, tal y como afirmábamos en [GD], el potencial vecto-rial magnético de una distribución de corrientes acotada con momento dipolarmagnético no nulo admite esta aproximación.

Capítulo VI

La ecuación de ondas

Dedicamos este capítulo a estudiar la ecuación de ondas, que ya introdujimosal final del apéndice B de [GD]. Recordemos que el operador d’alembertiano (n-dimensional) se define como

2vu =∂2u

∂t2− v2∆u =

∂2u

∂t2− v2

(∂2u

∂x21

+ · · ·+ ∂2u

∂x2n

),

donde u es una función de n + 1 variables con valores reales. Para funcionesvectoriales 2vu se define componente a componente. La ecuación de ondas oecuación de D’Alembert es la ecuación

2vu = w,

para cualquier función w(x1, . . . , xn, t). En [GD] vimos que los potenciales y loscampos eléctricos y magnéticos cumplen las ecuaciones de ondas siguientes:

2cV =c2ρ

ε, (6.1)

2c ~A = c2µ~, (6.2)

2c ~E = −c2

ε∇ρ− c2µ∂~

∂t, (6.3)

2c ~H = c2 rot~, (6.4)

donde c = 1/√εµ ≈ 300 000 km/s.

Como ya indicamos allí, en las regiones donde no hay cargas ni corrienteseléctricas los miembros derechos de las ecuaciones anteriores son nulos.

Cuando Maxwell llegó a las ecuaciones de ondas precedentes este tipo deecuación era ya muy conocido entre los físicos, así que antes de continuar esteanálisis estudiaremos otros contextos más elementales en los que aparecen ecua-ciones de ondas.

159

160 Capítulo 6. La ecuación de ondas

6.1 La ecuación de ondas en fenómenos físicos

6.1.1 Cuerdas vibrantesSi apartamos una cuerda de una guitarra de su posición de equilibrio y

la soltamos, la cuerda inicia un movimiento vibratorio. Vamos a estudiar lasmatemáticas subyacentes a dicho movimiento. Para ello tomamos un sistemade referencia respecto del cual la cuerda en equilibrio se extienda sobre el eje x,digamos desde x = 0 hasta x = l. En principio, la posición de la cuerda en uninstante t vendrá descrita por una curva (x(s, t), y(s, t)), pero vamos a considerarúnicamente pequeños desplazamientos respecto de la posición de equilibrio, porlo que podemos suponer que cada punto se mueve únicamente en vertical, yasí podemos tomar como parámetro s la coordenada x y describir la cuerdamediante una única función y(x, t).

Suponemos también que la cuerda tiene densidad lineal constante ρ, de modoque la masa de un fragmento de cuerda de longitud ∆x es ρ∆x. En principio,si estiramos ligeramente la cuerda, su longitud aumenta ligeramente, por lo quela densidad disminuye ligeramente, pero podemos despreciar dicha variación dedensidad y suponer que ρ es constante en el tiempo.

Vamos a aplicar la segunda ley de Newton a un fragmento arbitrario decuerda, el comprendido entre x0 y x1. Por una parte, su cantidad de movimientoes

L =

∫ x1

x0

v dm =

∫ x1

x0

ρ∂y

∂tdx.

Por otra parte, sobre cada fragmento de cuerda actúan dos clases de fuerzas(de las que sólo nos interesa su componente vertical, pues al suponer que cadapartícula de cuerda se mueve en vertical estamos suponiendo que la componentehorizontal de la fuerza total que actúa sobre la cuerda es nula en cada punto):las fuerzas de largo alcance (gravedad, rozamiento, etc.) que pueden describirsea través de una función f de densidad de fuerza, que puede depender de laposición (x, y) y también de la velocidad ∂y/∂t, de modo que la (componentevertical de la) fuerza total de largo alcance que actúa sobre el fragmento decuerda es ∫ x1

x0

ρf dx,

y las fuerzas de corto alcance, que son lo que se conoce como tensión de lacuerda, y es la fuerza que el resto de la cuerda ejerce sobre los extremos decualquier fragmento considerado. El hecho de que la cuerda sea flexible (poroposición a lo que le sucedería a una barra rígida) equivale a que la tensión seejerce en la dirección tangente a la cuerda. Esto hace que la tensión en cadapunto venga determinada por una función escalar T (x, t), de modo que la fuerzaque se ejerce en cada extremo del segmento es1

−T (x0, t)~τ(x0, t), T (x1, t)~τ(x1, t),

1La tensión es, en este contexto unidimensional, el equivalente a la presión en la mecánicade fluidos, y el hecho de que la cuerda sea flexible (y, por consiguiente, la tensión sea unafuerza tangencial) es el equivalente a considerar un fluido ideal, sin viscosidad.

6.1. La ecuación de ondas en fenómenos físicos 161

respectivamente, donde

0 x0 x1 l

f

−T~τ T~τ~τ(x, t) =

1√1 + (∂y/∂x)2

(1,∂y

∂x

)es el vector tangente a la cuerda en x.

En definitiva, la (componente vertical de la) fuerza total que actúa sobre unfragmento de cuerda es

F = −T (x0, t)1√

1 + (∂y/∂x|x0)2

∂y

∂x

∣∣∣∣x0

+T (x1, t)1√

1 + (∂y/∂x|x1)2

∂y

∂x

∣∣∣∣x1

+

∫ x1

x0

ρf dx.

La segunda ley de Newton afirma que esta fuerza debe ser igual a la derivadade la cantidad de movimiento:

∂L

∂t=

∫ x1

x0

ρ∂2y

∂t2dx.

A partir de aquí consideramos a x0 como un punto fijo y a x1 = x como unpunto variable. En la igualdad F = ∂L/∂t derivamos respecto de x y obtenemos

∂

∂x

(T√

1 + (∂y/∂x)2

∂y

∂x

)+ ρf = ρ

∂2y

∂t2.

Ahora vamos a hacer dos simplificaciones adicionales: la primera es con-siderar que T es constante (es decir, que no depende ni de la posición de lacuerda ni del tiempo). Esto sería falso, por ejemplo, si la cuerda está en po-sición vertical y tenemos en cuenta su peso. Entonces la tensión sería mayoren los puntos más altos de la cuerda. Ahora bien, si ponemos una guitarra envertical, la fuerza que tensa una de sus cuerdas es mucho mayor que el pesode un fragmento cualquiera de la cuerda, por lo que la variación de la tensióndebida al peso es insignificante. Al desplazar la cuerda respecto de su posiciónde equilibrio (por ejemplo con un dedo) también se producen variaciones localesde la tensión, pero si la cuerda está muy tensa, todas ellas son despreciables.En segundo lugar supondremos que la cuerda en movimiento no dejará de es-tar “casi en posición horizontal”, de modo que no le surgirán grandes picos ograndes depresiones. Equivalentemente, la pendiente de la curva y(x) (es decir,su derivada) va a ser siempre próxima a 0, luego su cuadrado será todavía máspróximo a cero, lo que nos permite reducir la ecuación anterior a

T∂2y

∂x2+ ρf = ρ

∂2y

∂t2

o, equivalentemente, a∂2y

∂t2− T

ρ

∂2y

∂x2= f,


o también 2vy = f , donde v =√T/ρ, con lo que hemos llegado a una ecua-

ción de ondas unidimensional, al menos si f depende únicamente de x (no seríarazonable considerar que depende de t). Si queremos tener en cuenta el roza-miento de la cuerda con el aire, ésta es proporcional a la velocidad, por lo quela ecuación sería de la forma

2vy = f − k∂y∂t,

donde ahora f representa a la densidad de fuerza de largo alcance no asociada alrozamiento, y la ecuación es lo que se conoce como ecuación de ondas atenuada.Aquí vamos a despreciar tanto el rozamiento como el efecto de la gravedad sobrela cuerda, lo que nos lleva al caso siguiente:

Ecuación homogénea unidimensional Vamos a resolver la ecuación

∂2u

∂t2− v2 ∂

2u

∂x2= 0. (6.5)

Para ello hacemos el cambio ξ = x + vt, η = x − vt y llamamos u(ξ, η) a lacomposición de u(x, t) con el cambio inverso. Aplicando la regla de la cadenatenemos

∂u

∂t= v

∂u

∂ξ− v ∂u

∂η,

∂u

∂x=

∂u

∂ξ+

∂u

∂η,

∂2u

∂t2= v2 ∂

2u

∂ξ2− 2v2 ∂

2u

∂ξ∂η+ v2 ∂

2u

∂η2,

∂2u

∂x2=

∂2u

∂ξ2+ 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2.

Al sustituir estas derivadas en la ecuación de ondas ésta se reduce a

∂2u

∂ξ∂η= 0. (6.6)

Esto significa que la derivada de u respecto de η ha de ser una función f(ξ)que no dependa de η. Por consiguiente

u =

∫ η

η0

f(s) ds+ f1(ξ) = f1(ξ) + f2(η).

Recíprocamente, cualquier función de la forma u(ξ, η) = f1(ξ) + f2(η), paraciertas funciones f1 y f2 de clase C2, es solución de (6.6). Deshaciendo el cambiode variable, concluimos que las soluciones de la ecuación de ondas son todas lasfunciones de la forma

u(x, y) = f1(x+ vt) + f2(x− vt). (6.7)


Ahora veamos que la ecuación tiene solución única si especificamos arbitra-riamente los valores de u y de su derivada respecto a t en un instante dado, esdecir, vamos a probar que el problema siguiente tiene solución única u(x, t):

∂2u

∂t2= v2 ∂2u

∂x2

u(x, 0) = φ(x)∂u

∂t(x, 0) = ψ(x)

(6.8)

Para que una solución u dada por (6.7) satisfaga las condiciones iniciales hade cumplir

f1(x) + f2(x) = φ(x)

vf ′1(x)− vf ′2(x) = ψ(x)

De la segunda ecuación deducimos

f1(x)− f2(x) =1

v

∫ x

x0

ψ(s) ds+ C,

y ahora resolviendo el sistema lineal de incógnitas f1(x) y f2(x) obtenemos

f1(x) =1

2φ(x) +

1

2v

∫ x

x0

ψ(s) ds+C

2

f2(x) =1

2φ(x)− 1

2v

∫ x

x0

ψ(s) ds− C

2

Entonces (6.7) se convierte en

u(x, t) =φ(x+ vt) + φ(x− vt)

2+

1

2v

∫ x+vt

x−vtψ(s) ds. (6.9)

Esta fórmula indica que el valor u(x, t) es el promedio de los valores quetomaba u para t = 0 en los puntos x±vt más el promedio de la velocidad inicialen el intervalo [x− vt, x+ vt] multiplicado por t. Recíprocamente, la situacióninicial en un punto x0 afecta en cada instante t a los puntos que distan de x0

un máximo de vt. Así pues, la constante v es la velocidad con que se expandeel radio de influencia del estado inicial de cada punto sobre el estado de u.

La figura muestra los valores de u paratiempos distintos a partir del estado inicialdeterminado por una función φ en forma decresta (la gráfica más alta) y velocidades nu-las (ψ = 0). Vemos cómo la cresta se vaachatando por el centro hasta dividirse endos crestas menores, una que se mueve haciala izquierda y otra hacia la derecha, ambas


con velocidad v. Desde el punto de vista de una posición fija alejada de la per-turbación inicial, la función u comienza siendo nula, en un momento dado (trasel tiempo necesario para que el frente de onda llegue al punto) u comienza acrecer hasta llegar a un valor máximo y luego vuelve a decrecer hasta hacersenula de nuevo. De existir una velocidad inicial ψ, digamos de soporte compactoy con integral no nula, su efecto sobre los puntos alejados es permanente, en elsentido de que para tiempos t suficientemente grandes u terminará tomando elvalor de dicha integral.

Vibración de una cuerda Es evidente que si ponemos dos dedos sobre unacuerda tensa delimitando en ella un segmento, estiramos del punto medio paraque adquiera una forma similar a la cresta más alta de la figura anterior y luegoretiramos los dedos, el comportamiento de la cuerda no va a ser transformaresa cresta en dos crestas que se alejen a velocidad v. Ello se debe a que estasolución de la ecuación de ondas no cumple la condición de que los extremos dela cuerda tienen que permanecer fijos. Para obtener una solución que describarazonablemente el movimiento de una cuerda vibrante tenemos que resolver elproblema

∂2y

∂t2= v2 ∂2y

∂x2

y(x, 0) = y0(x)∂y

∂t(x, 0) = y′0(x)

y(0, t) = 0y(l, t) = 0

(6.10)

donde l es la longitud de la cuerda y, en las condiciones iniciales, x varía en elintervalo [0, l].

Empezamos buscando soluciones con las variables separadas, es decir, de laforma y(x, t) = φ(x)ψ(t) (de modo que φ(0) = φ(l) = 0). Al sustituir en laecuación obtenemos

φ(x)ψ′′(t) = v2φ′′(x)ψ(t),

luego1

v2

ψ′′(t)

ψ(t)=φ′′(x)

φ(x).

Como cada miembro depende de una variable distinta, ambos tienen que tomarun valor fijo −λ (que enseguida veremos que es negativo). Por lo tanto,

φ′′(x) = −λφ(x), ψ′′(t) = −λv2ψ(t).

Si fuera λ < 0, la solución de la primera ecuación diferencial sería de laforma2

φ(x) =φ′(0)√−λ

senh(√−λx),

donde hemos usado que φ(0) = 0, pero esta función no puede cumplir φ(l) = 0.2Véase el ejemplo 3 de la sección 7.2 de [An]. La solución tiene que ser de la forma (7.1)

con a = 0.


Así pues, tiene que ser λ > 0, y entonces la solución es3

φ(x) = K sen(√λx)

La condición φ(l) = 0 obliga a que√λ = nπ/l, donde no perdemos generalidad

si suponemos n > 0. Para ψ no tenemos condiciones de frontera (pero ahora yasabemos que λ > 0, luego tiene que ser

ψ(t) = A cosnπvt

l+B sen

nπvt

l.

En total concluimos que las soluciones con variables separadas son de la forma

yn(x, t) = An sennπx

lcos

nπvt

l+Bn sen

nπx

lsen

nπvt

l.

A su vez, esto nos lleva a considerar soluciones generales de la forma

y(x, t) =

∞∑n=1

(An sen

nπx

lcos

nπvt

l+Bn sen

nπx

lsen

nπvt

l

). (6.11)

Así, haciendo t = 0 queda

y0(x) =

∞∑n=1

An sennπx

l,

luego los coeficientes An son necesariamente los coeficientes de Fourier bn de lafunción y0 extendida al intervalo [−l, l] mediante y0(−x) = −y0(x), es decir,

An =2

l

∫ l

0

y0(x) sennπx

ldx.

Observemos que si y0 ≥ 0, es decir, si el desplazamiento inicial se hace haciaun mismo lado, entonces A1 6= 0. Por otra parte, para cada x fijo tenemos unaserie de Fourier en t, y al derivarla queda

y′0(x) =

∞∑n=1

nBnπvt

lsen

nπx

l,

lo que determina a su vez los coeficientes Bn a partir de los coeficientes deFourier de la función y′0. En particular, si la cuerda parte del reposo los Bn sontodos nulos. Puede probarse que (6.11) con los coeficientes así determinados esla única solución de (6.10), aunque no vamos a demostrarlo aquí.

Vemos que cada punto de la cuerda oscila periódicamente con una amplitudvariable, pero con periodo 2l/v o, equivalentemente, con frecuencia

ν =v

2l=

1

2l

√T

ρ.

3Véase la ecuación (7.2) de la sección 7.2 de [An].


Observemos que esta frecuencia de vibración es independiente de la deformacióninicial que sufra la cuerda. El aire transmite fielmente las vibraciones y, si lafrecuencia se encuentra en el rango de entre 20 y 20 000Hz, el oído humano laspercibe como sonidos. Cuando las vibraciones son periódicas, como en este caso,la frecuencia es captada como el tono del sonido (otras vibraciones irregularesse perciben como ruido, sin un tono definido). Cuanto mayor es la frecuenciamás agudo se percibe el sonido, de modo que, según la fórmula precedente,éste es más agudo cuanto más corta es la cuerda o más tensa está. El tonocorrespondiente a 240Hz se toma como referencia en la afinación musical parala nota “la central” (el “la” más próximo al centro del teclado de un piano).Así pues, el tono de un sonido depende únicamente del primer término de laserie (6.11), pero el oído humano también es sensible a los términos siguientes(que corresponden a vibraciones cuya frecuencia es múltiplo de la frecuenciafundamental que define el tono), pues son los que determinan el timbre delsonido.

Ejemplo Consideremos una cuerda de longitud l y supongamos que la des-plazamos una distancia h (pequeña) por su punto medio, de modo que toma laforma dada por la función

y0(x) =

2hl x si 0 ≤ x ≤ l/2,

2hl (l − x) si l/2 ≤ x ≤ l.

Entonces

An =2

l

(∫ l/2

0

2h

lx sen

nπx

ldx+

∫ l/2

0

2h

l(l − x) sen

nπx

ldx

),

y un cálculo rutinario muestra que

An =

8h

n2π2sen

nπ

2si n es impar,

0 si n es par.

Por consiguiente, la vibración de la cuerda viene descrita por la función

y(x, t) =8h

π2

∞∑n=0

1

(2n+ 1)2sen

(2n+ 1)π

2sen

(2n+ 1)πx

lcos

(2n+ 1)πvt

l.

La forma de la cuerda en cada instante t tiene forma trapezoidal. La figurasiguiente muestra tres posiciones correspondientes a una vibración de 240Hz,correspondientes a los instantes t = 0, t = 0.0005 y t = 0.0015.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.1

0.1


Las gráficas siguientes muestran la posición en función del tiempo del puntocentral de la cuerda (x = 0.5) y la del punto x = 0.1 durante las cinco primerascentésimas de segundo:

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-0.10

-0.05

0.05

0.10

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-0.10

-0.05

0.05

0.10

Es fácil ver que esta solución es de la forma (6.7) con ψ = 0 y tomando como φla extensión de y0 que es impar en [−l, l] y periódica de periodo 2l. De hecho,es fácil probar que (6.10) tiene siempre solución probando que la solución delproblema (6.8) que resulta de extender de este modo las condiciones inicialesde (6.10) es siempre una solución de (6.10). La prueba de la unicidad es másdelicada.

6.1.2 Membranas vibrantesEl equivalente bidimensional de la cuerda de una guitarra es la membrana

de un tambor. Vamos a probar que su movimiento (con algunas simplificacio-nes razonables) viene descrito por una ecuación de ondas bidimensional. Lasituación es análoga a la de la cuerda: ahora suponemos que la membrana enequilibrio está sobre el plano z = 0 y vamos a suponer que, en su movimiento,cada punto oscila verticalmente, de modo que la membrana en un instante t estádeterminada por la función z(x, y, t) que determina la altura del punto que enreposo tenía coordenadas (x, y, z) = (x, y, 0). Ahora consideramos una densidadsuperficial ρ que tomamos constante, de modo que la masa de un fragmento demembrana de área A es ρA, y así la cantidad de movimiento de un fragmentoS de membrana en un instante dado es

L =

∫S

v dm =

∫S

ρ∂z

∂tdσ.

Igualmente consideramos fuerzas de largo alcance determinadas por una fun-ción de densidad f , de modo que la (componente vertical de la) fuerza de largoalcance que actúa sobre un fragmento S de membrana es

F =

∫S

ρf dσ

T ~τ × ~n

S~n~τ

y el punto más delicado es que ahora la tensión se ejercetangencialmente a la superficie y normalmente a ∂S. Másconcretamente, la tensión en un punto de ∂S es

T ~τ × ~n,


donde ~τ es el vector tangente unitario a ∂S en el punto considerado y ~n es el vec-tor normal a la superficie (x, y, z(x, y, t)), donde las orientaciones se tienen queescoger de modo que el producto vectorial apunte hacia fuera del fragmento S.Como en el caso de la cuerda, supondremos que T es constante. Si llamamos~k = (0, 0, 1), la componente vertical de la tensión es

T (~τ × ~n) · ~k = T (~n× ~k) · ~τ .

Así la fuerza total que actúa (verticalmente) sobre un fragmento de membranaS es

F =

∫∂S

T (~n× ~k) · ~τ ds+

∫S

fρ dσ.

La segunda ley de Newton afirma que∫∂S

T (~n× ~k) · ~τ ds+

∫S

fρ dσ =

∫S

ρ∂2z

∂t2dσ.

Recordemos que, en general, ~F · ~τ ds = ~F d~r, por lo que podemos aplicar elteorema de Stokes a la primera integral, y así obtenemos que∫

S

T rot(~n× ~k) · ~n dσ +

∫S

fρ dσ =

∫S

ρ∂2z

∂t2dσ.

Como esto tiene que valer para todo fragmento de membrana S, podemosconcluir que

T rot(~n× ~k) · ~n+ fρ = ρ∂2z

∂t2.

Ahora bien: un vector normal a la superficie (x, y, z(x, y)) es

(1, 0,∂z

∂x)× (1, 0,

∂z

∂y) = (−∂z

∂x,−∂z

∂y, 1),

luego

~n =1√

(∂z/∂x)2 + (∂z/∂y)2 + 1(−∂z∂x,−∂z

∂y, 1).

En este punto usamos que, al igual que sucedía en el caso de la cuerda, lasvibraciones de la membrana no van a provocar grandes picos o depresiones,por lo que las derivadas de z van a estar siempre próximas a 0, y en estascircunstancias podemos aproximar

~n ≈ (−∂z∂x,−∂z

∂y, 1).

Así

~n× ~k ≈ (−∂z∂y,∂z

∂x, 0), rot(~n× ~k) ≈ (0, 0,

∂2z

∂2x+∂2z

∂2y),

rot(~n× ~k) · ~n =∂2z

∂2x+∂2z

∂2y,


y en definitiva, la ecuación que determina el movimiento de la membrana es

T (∂2z

∂2x+∂2z

∂2y) + fρ = ρ

∂2z

∂t2


2vz =∂2z

∂t2− T

ρ(∂2z

∂2x+∂2z

∂2y) = f,

donde v =√T/ρ. Llegamos, pues, a una ecuación de ondas bidimensional

análoga a la que hemos obtenido para la cuerda vibrante.

No vamos a analizar en general la existencia y unicidad para la ecuación bi-dimensional porque podremos deducirlas de los resultados análogos que veremosdespués para la ecuación tridimensional. Nos limitaremos a estudiar la vibra-ción de una membrana rectangular. Como en el caso de la cuerda, despreciamosla gravedad (y el rozamiento), con lo que la ecuación se reduce a 2vz = 0. Másprecisamente, si consideramos un rectángulo [0, a]× [0, b], el problema es:

∂2z

∂t2= v2

(∂2z

∂x2+∂2z

∂y2

)z(x, y, 0) = z0(x, y)

∂z

∂t(x, y, 0) = z′0(x, y)

z(0, y, t) = 0z(a, y, t) = 0z(x, 0, t) = 0z(x, b, t) = 0

En primer lugar buscamos soluciones con variables separadas, es decir, de la

forma z(x, y, t) = f(x)g(y)h(t). Al sustituir en la ecuación de ondas obtenemos

f(x)g(y)h′′(t) = v2(f ′′(x)g(y)h(t) + f(x)g′′(y)h(t)),

luego1

v2

h′′

h=f ′′

f+g′′

g= −λ,

donde λ es necesariamente constante, y así

f ′′

f= −λ− g′′

g= −µ,

donde µ también tiene que ser constante, lo que a su vez implica que

f ′′ = −µf, g′′ = −(λ− µ)g, h′′ = −λv2h.

Además tenemos las condiciones f(0) = f(a) = 0, g(0) = g(b) = 0. Como en elcaso de la cuerda vibrante, estas condiciones obligan a que µ > 0 y λ − µ > 0,luego también λ > 0. A su vez, de aquí se deduce que

f(x) = K sen(nπx

a), con µn = (nπ/a)2.


Por consiguiente,

g(y) = L sen(mπy

b

), con λnm − µn = (mπ/b)2.

Finalmente,h(t) = A cos(v

√λnm t) +B sen(v

√λnm t).

En definitiva, hemos encontrado las soluciones de la forma:

znm(x, y, t) = Anm sen(nπx

a) sen(

mπy

b) cos(v

√λnm t) +

Bnm sen(nπx

a) sen(

mπy

b) sen(v

√λnm t),

dondeλnm =

(nπa

)2

+(mπb

)2

.

Las condiciones iniciales pueden satisfacerse considerando soluciones de la forma

z(x, y, t) =

∞∑m,n=1

(Anm sen(

nπx

a) sen(

mπy

b) cos(v

√λnm t)

+ Bnm sen(nπx

a) sen(

mπy

b) sen(v

√λnm t)

).

En efecto, tenemos que

z0(x, y) =

∞∑m,n=1

Anm sen(nπx

a) sen(

mπy

b).

Esto implica que, para cada 0 ≤ x ≤ a y cada m ≥ 1

∞∑n=1

Anm sennπx

a=

2

b

∫ b

0

z0(x, y) senmπy

bdy

es el coeficiente de Fourier m-simo de la función z0(x,−) extendida al intervalo[−b, b] mediante z0(x,−y) = −z0(x, y). A su vez,

Anm =2

a

∫ a

0

(2

b

∫ b

0

z0(x, y) senmπy

bdy

)sen

nπx

adx


Anm =4

ab

∫[0,a]×[0,b]

z0(x, y) sennπx

asen

mπy

bdx dy.

Similarmente se puede justificar que

z′0(x, y) =

∞∑m,n=1

v√λnmBnm sen

nπx

asen

mπy

b,


de donde

v√λnmBnm =

4

ab

∫[0,a]×[0,b]

z′0(x, y) sennπx

asen

mπy

bdx dy.

Como en el caso de la cuerda vibrante, puede probarse que estos coeficientesdeterminan la única solución posible del problema, pero no vamos a entraren ello. La figura siguiente muestra la función z1,1(x, y, 0) para el cuadradounitario:

6.1.3 Ondas en fluidos

Consideremos un fluido ideal globalmente en reposo, es decir, tal que enél no se manifieste ningún flujo macroscópico. Esto no supone necesariamenteque se encuentre completamente en reposo sino que, por el contrario, vamos asuponer que sus partículas describen pequeñas oscilaciones cuya contribución almovimiento global del fluido es prácticamente nula. En particular, suponemosque tanto las coordenadas del campo de velocidades ~v como las de la matriz ∇~vtoman valores pequeños.

Supondremos también que la presión y la densidad del fluido son aproxima-damente constantes en todos los puntos del fluido. Lo primero supone despreciarla acción de cualquier fuerza externa (pues una fuerza externa no despreciableproduciría diferencias significativas de presión en los distintos puntos del fluido),y así la ecuación de Euler (A.1) se reduce a

∂~v

∂t+ ~v · ∇~v = −∇p

ρ.

De aquí se sigue que no podemos suponer literalmente que la presión sea cons-tante, ya que entonces la derivada total de la velocidad sería nula, lo cual sig-nifica que cada partícula de fluido mantendría constante su velocidad, y nosencontraríamos ante un movimiento de flujo macroscópico, en lugar de ante unmovimiento vibratorio microscópico.

Así pues, las pequeñas fluctuaciones locales de la velocidad de un fluidoestán asociadas necesariamente a pequeñas fluctuaciones de la presión y, segúnexplicaremos enseguida, también a pequeñas fluctuaciones de la densidad. Porello representaremos la presión y la densidad del fluido como p = p0 + p′ y


ρ = ρ0 + ρ′, donde p0 y ρ0 son constantes (los valores medios de la presión y ladensidad, respectivamente), y p′, ρ′ son funciones de la posición y del tiempoque toman valores muy pequeños en comparación con p0 y ρ0.

El modelo termodinámico más simple que relaciona la presión, la densidady la temperatura de un fluido es el correspondiente a un gas ideal, para el quese cumple que p = kρT , donde k es una constante que depende de la naturalezaquímica del gas. En particular, si suponemos la temperatura constante, lasvariaciones de presión están asociadas a variaciones de densidad.

Más en general, si consideramos un fluido arbitrario para el que la presióny la densidad fluctúan alrededor de unos valores medios p0 y ρ0, a la hora deanalizar estas fluctuaciones es razonable suponer la relación lineal derivada dela aproximación de primer orden:

dp =∂p

∂ρdρ,

donde la derivada parcial puede suponerse constante (igual a su valor para ladensidad media ρ0). Así, un fluido incompresible no es sino un fluido para elque esta derivada es muy grande, de modo que cualquier variación razonable dela presión da lugar a una variación inapreciable de la densidad. Con la notaciónque hemos introducido anteriormente, tenemos que

p′ =∂p

∂ρρ′, (6.12)

y suponemos que la derivada es constante.

Bajo estas condiciones es razonable simplificar las ecuaciones que determinanel movimiento del fluido eliminando los términos de segundo orden, es decir, lostérminos en los que se multiplican dos de las cantidades que estamos suponiendopequeñas. Así, la ecuación de continuidad

∂ρ′

∂t+ ~v · ∇ρ′ + ρ0div~v + ρ′div~v = 0.

se reduce a∂ρ′

∂t+ ρ0 div~v = 0,

y la relación entre p′ y ρ′ la reduce a su vez a

∂p′

∂t+ ρ0

∂p

∂ρdiv~v = 0. (6.13)

Similarmente, la ecuación de Euler es

∂~v

∂t+ ~v · ∇~v = − 1

ρ0 + ρ′∇p′.

Expandiendo

1

ρ0 + ρ′=

1

ρ0

1

1 + ρ′/ρ0=

1

ρ0

(1− ρ′

ρ0+

(ρ′

ρ0

)2

+ · · ·

).

6.2. La ecuación de ondas tridimensional 173

y aplicando el mismo criterio de aproximación, la ecuación se reduce a

∂~v

∂t= − 1

ρ0∇p′. (6.14)

Derivamos (6.13) respecto de t y calculamos la divergencia de (6.14):

∂2p′

∂t2+ ρ0

∂p

∂ρdiv

∂

∂t~v = 0, div

∂~v

∂t= − 1

ρ0∆p′.

Al unir ambas ecuaciones obtenemos

2cp′ =

∂2p′

∂t2− ∂p

∂ρ∆p′ = 0,

donde c =√∂p/∂ρ. Equivalentemente, podemos obtener una ecuación de ondas

análoga para la densidad en lugar de la presión.

Estas pequeñas variaciones de presión (o de densidad) en un fluido son loque —dentro de ciertos umbrales— el oído humano percibe como sonidos. Ob-viamente, no es necesario que un fluido esté en reposo para que a través de élse propague el sonido, y además el sonido puede propagarse también a travésde sólidos. Aquí nos hemos limitado a probar que en un fluido en reposo lapropagación del sonido satisface aproximadamente la ecuación de ondas (tridi-mensional). Así pues, conocemos ya dos fenómenos físicos distintos que puedendescribirse mediante la ecuación de ondas tridimensional: las variaciones de loscampos eléctrico y magnético en el espacio y las pequeñas variaciones de presióny densidad en un fluido. Cabe destacar que en el caso de los campos eléctrico ymagnético la ecuación de ondas es exacta, es decir, hemos llegado a ella a partirde las ecuaciones de Maxwell sin que medie ninguna aproximación en la deduc-ción. Como hemos adelantado, determinadas soluciones de la ecuación de ondaspara los campos eléctrico y magnético describen describen las llamadas ondaselectromagnéticas, que —dentro de ciertos umbrales— son lo que el ojo humanopercibe como luz. Pasamos, pues, a estudiar las soluciones de la ecuación deondas tridimensional.

6.2 La ecuación de ondas tridimensionalA continuación nos ocupamos del problema

∂2u

∂t2= v2∆u

u(x, 0) = φ(x)∂u

∂t(x, 0) = ψ(x)

donde ahora x ∈ R3. Es natural conjeturar que una solución de esta ecuaciónvendrá dada por una fórmula que generalice de algún modo a (6.9). El primer


término de (6.9) es la media de los valores iniciales de u en los puntos x±vt, porlo que es razonable conjeturar que en el caso tridimensional aparecerá la mediadel estado inicial de u sobre la esfera de centro x y radio vt. Por ello convieneintroducir la media esférica de una función u : R3 −→ R como la función

M(u)(x, r) =1

4πr2

∫‖y−x‖=r

u(y) dσ(y) =1

4π

∫‖ξ‖=1

u(x+ rξ) dσ(ξ),

donde σ representa la medida de Lebesgue en la esfera de radio r en la primeraintegral y en la esfera de radio 1 en la segunda.

Para justificar el cambio de variable consideramos la aplicación f(ξ) = x+rξy observamos que el plano tangente a la esfera de centro x y radio r en un puntox+rξ coincide con el plano tangente a la esfera de centro 0 y radio 1 en el puntoξ, y para todo par de vectores u, v en dicho plano.

f ](dσr)(ξ)(u, v) = dσr(x+ rξ)(ru, rv) = r2dσr(x+ rξ)(u, v) = r2dσ1(ξ)(u, v),

pues dσr(x + rξ)(u, v) y dσ1(ξ)(u, v) son ambos el área del paralelogramo delados u y v. Por consiguiente f ](dσr) = r2dσ1 y basta aplicar el teorema decambio de variable.

Observemos que la segunda integral en la definición de M(u) está definidapara todo valor de r, no necesariamente positivo. De hecho es fácil ver queM(u)(x, r) = M(u)(x,−r). Además M(u)(x, 0) = f(x).

La primera integral conecta directamente con el problema que estamos es-tudiando, pero la segunda es más fácil de manejar. Por ejemplo, nos permitecalcular la derivada

∂

∂rM(u)(x, r) =

1

4π

∫‖ξ‖=1

∇u(x+ rξ)ξ dσ(ξ).

Notemos que ξ coincide con el vector normal unitario a la esfera en el puntoξ, luego la última integral es el flujo del campo ∇u(x+ rξ). Podemos aplicar elteorema de la divergencia y resulta:

∂

∂rM(u)(x, r) =

r

4π

∫‖ξ‖<1

∆u(x+ rξ) dm(ξ) (6.15)

=1

4πr2

∫‖y−x‖<r

∆u(y) dm(y).

Supongamos ahora que u(x, t) es una solución de la ecuación de ondas. En-tonces las medias M(u)(x, r, t) tienen a t como parámetro. Sustituyendo ∆upor el valor que da la ecuación de ondas podemos continuar el cálculo anterior(para r > 0):

∂

∂rM(u)(x, r, t) =

1

4πr2

∫‖y−x‖<r

1

v2

∂2u

∂t2(y, t) dm(y)

=1

4πr2v2

∫ r

0

∂2

∂t2

∫‖y−x‖=ρ

u(y, t) dσ(y)dρ =1

r2v2

∫ r

0

ρ2 ∂2M(u)

∂t2(x, ρ, t) dρ.


Ahora multiplicamos por r2 y derivamos respecto a r:

∂

∂r

(r2 ∂M(u)

∂r

)=r2

v2

∂2M(u)

∂t2.

Claramente entonces

1

r

∂2rM(u)

∂r2=

1

r2

∂

∂r

(r2 ∂M(u)

∂r

)=

1

v2

∂2M(u)

∂t2.

Si llamamos M(u) = rM(u) tenemos

∂2M(u)

∂r2=

1

v2

∂2M(u)

∂t2,

es decir, la función M(u)(x, r, t), para un x fijo, cumple la ecuación de ondasunidimensional. Vamos a considerar a t como variable espacial (la que en (6.5)era x) y a r como variable temporal (la que en (6.5) era t). Entonces la constantede la ecuación de ondas es 1/v y sabemos que

M(u)(x, r, t) = f1(x, t+ r/v) + f2(x, t− r/v),

pero tenemosM(u)(x, 0, t) = 0, luego f1(x, t)+f2(x, t) = 0. Así pues, la solucióndepende de una única función f(x, t) = f1(x, t) = −f2(x, t) y se cumple

M(u)(x, r, t) = f(x, t+ r/v)− f(x, t− r/v),

luego

M(u)(x, r, t) =1

r

(f(t+ r/v)− f(t+ r/v)

).

Ahora trataremos de recuperar u(x, t) a partir de las medias M(u)(x, r, t).Para ello notamos que u(x, t) = M(u)(x, 0, t) = (2/v)f ′(x, t). Por otra parte

∂rM(u)

∂r+

1

v

∂rM(u)

∂t=

2

vf ′(x, t+ r/v),

con lo que

u(x, t) =2

vf ′(x, t) =

∂rM(u)

∂r(x, vt, 0) +

1

v

∂rM(u)

∂t(x, vt, 0).

Para derivar respecto de r podemos hacer primero t = 0, y así

∂rM(u)

∂r(x, vt, 0) =

∂

∂r

(1

4πr

∫‖y−x‖=r

u(y, 0) dσ(y)

)∣∣∣∣∣(x,vt)

=∂rM(φ)

∂r(x, vt) =

∂

∂t

(tM(φ)(x, vt)

).


Por otra parte,

∂rM(u)

∂t(x, vt, 0) =

(1

4πr

∫‖y−x‖=r

∂u

∂t(y, t) dσ(y)

)∣∣∣∣∣(x,vt,0)

=

(1

4πr

∫‖y−x‖=r

ψ(y) dσ(y)

)∣∣∣∣∣(x,vt)

=(rM(ψ)

)(x, vt) = vtM(ψ)(x, vt).

En totalu(x, t) =

∂

∂t

(tM(φ)(x, vt)

)+ tM(ψ)(x, vt). (6.16)

Explícitamente:

u(x, t) =∂

∂t

(1

4πv2t

∫‖y−x‖=vt

φ(y) dσ(y)

)+

1

4πv2t

∫‖y−x‖=vt

ψ(y) dσ(y).

Esto justifica la unicidad de la solución. Para probar la existencia hemosde ver que, para cualquier par de funciones φ de clase C3 y ψ de clase C2,la función dada por (6.16) satisface la ecuación de ondas con las condicionesiniciales φ y ψ. Comencemos por éstas:

u(x, 0) = M(φ)(x, 0) +

(t∂

∂tM(φ)(x, vt)

)∣∣∣∣t=0

+ 0 = φ(x).

∂u

∂t(x, 0) =

(2∂

∂tM(φ)(x, vt) + t

∂2

∂t2M(φ)(x, vt)

)∣∣∣∣(x,0)

+

(M(ψ)(x, vt) + t

∂

∂tM(ψ)(x, vt)

)∣∣∣∣(x,0)

= ψ(x).

Hemos usado (6.15) para probar que

∂

∂tM(φ)(x, vt)

∣∣∣∣(x,0)

= v∂M(φ)

∂r(x, 0) = 0.

La suma de dos soluciones de la ecuación de ondas es también una solución,luego basta probar que los dos términos de (6.16) satisfacen la ecuación deondas. Más aún, la derivada respecto de t de una solución es también solución,luego basta ver que tM(ψ)(x, vt) satisface la ecuación de ondas. Según (6.15)tenemos

∂M(ψ)(x, vt)

∂t= v

∂M(ψ)

∂r(x, vt) =

1

4πvt2

∫‖y−x‖<vt

∆ψ(y) dm(y)

=1

4πvt2∆

∫ vt

0

∫‖y−x‖=τ

ψ(y) dσ(y)dτ

=1

4πt2∆

∫ t

0

∫‖y−x‖=vτ

ψ(y) dσ(y)dτ =v2

t2∆

∫ t

0

τ2M(ψ)(x, vτ) dτ.


Multiplicamos por t2 y derivamos respecto de t:

∂

∂t

(t2∂M(ψ)(x, vt)

∂t

)= v2∆

(t2M(ψ)(x, vt)

)Entonces

1

t

∂2

∂t2(tM(ψ)(x, vt)) =

1

t2∂

∂t

(t2∂M(ψ)(x, vt)

∂t

)= v2∆M(ψ)(x, vt),

es decir,∂2

∂t2(tM(ψ)(x, vt)) = v2∆

(tM(ψ)(x, vt)

),

como queríamos probar.

La fórmula (6.16) muestra que la constante v admite la misma interpretaciónque en el caso unidimensional, es decir, se trata de la velocidad de la onda, ola velocidad a la que se desplazan las perturbaciones iniciales. Una diferenciaimportante es que en la solución tridimensional sólo aparecen integrales sobre lospuntos a una distancia vt del punto x, y no sobre los puntos a distancia menor oigual que vt. Esto implica que las condiciones iniciales no pueden causar efectospermanentes. Si suponemos que tienen soporte compacto, para todo punto xexiste un instante t a partir del cual u(x, t) se anula.

Vamos a calcular la derivada que aparece en (6.16). Se trata de

∂

∂t

t

4π

∫‖ξ‖=1

φ(x+ vtξ) dσ(ξ) =1

4π

∫‖ξ‖=1

φ(x+ vtξ) dσ(ξ)

+vt

4π

∫‖ξ‖=1

∇φ(x+ vtξ)ξ dσ(ξ)

=1

4πv2t2

∫‖y−x‖=vt

φ(y) dσ(y) +1

4πv2t

∫‖y−x‖=vt

∇φ(y)y − xt

dσ(y).

Por consiguiente, (6.16) equivale a

u(x, t) =1

4πv2t2

∫‖y−x‖=vt

(φ(y) +∇φ(y)(y − x) + tψ(y)

)dσ(y).

El caso bidimensional Tal y como habíamos adelantado, el análisis prece-dente de la ecuación de ondas tridimensional permite resolver rápidamente laecuación bidimensional. Para resolver el problema

∂2u

∂t2= v2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)u(x, y, 0) = φ(x, y)

∂u

∂t(x, y, 0) = ψ(x, y)


basta notar que si u es una solución entonces la función u(x, y, z, t) = u(x, y, t) essolución del problema tridimensional determinado por las condiciones inicialesφ(x, y, z) = φ(x, y), ψ(x, y, z) = ψ(x, y) —lo que prueba la unicidad— así comoque una solución cualquiera u del problema tridimensional (con las condicionesiniciales φ y ψ) no depende de la variable z (pues la función , u(x, y, z + k, t)es solución del mismo problema), luego determina una solución u(x, y, t) =u(x, y, 0, t) del problema bidimensional.

Para trabajar con la fórmula (6.16) conviene cambiar la notación a x =(x1, x2, x3) identificando los puntos de R2 con los de la forma (x1, x2, 0). En-tonces

u(x1, x2, t) =∂

∂t

(1

4πv2t

∫‖y−x‖=vt

φ(y) dσ(y)

)+

1

4πv2t

∫‖y−x‖=vt

ψ(y) dσ(y)

Puesto que φ(y1, y2, y3) = φ(y1, y2,−y3), la primera integral es el doble dela integral restringida a la semiesfera y3 > 0. Lo mismo se aplica a la segundaintegral. Una carta de dicha semiesfera es

X(y1, y2) =√v2t2 − (y1 − x1)2 − (y2 − x2)2 =

√v2t2 − ‖x− y‖2,

donde en la última expresión consideramos x, y ∈ R2. Para esta carta

dσ =vt√

v2t2 − ‖x− y‖2dy1dy2,

luego

u(x, t) =∂

∂t

1

2πv

∫‖y−x‖<vt

φ(y)√v2t2 − ‖x− y‖2

dm(y)

+1

2πv

∫‖y−x‖<vt

ψ(y)√v2t2 − ‖x− y‖2

dm(y).

Esta expresión muestra un comportamiento que difiere tanto del caso unidi-mensional como del tridimensional. Suponiendo condiciones iniciales con so-porte compacto, en el caso tridimensional la función u se anula pasado untiempo, en el caso bidimensional se va atenuando pero nunca llega a anularse,mientras que en el caso unidimensional la situación depende de las condicionesiniciales.

La ecuación de ondas no homogénea Los resultados anteriores permitenestudiar el comportamiento del campo electromagnético en el vacío (en ausenciade cargas), pues en tal caso las ecuaciones de ondas que hemos obtenido paraE, H y sus potenciales son homogéneas. Nos ocupamos ahora del caso general,es decir, del problema tridimensional

2u(x, t) = w(x, t)

u(x, 0) = φ(x)∂u

∂t(x, 0) = ψ(x)


Ante todo observamos que si existe solución es única, ya que si u1 y u2 sonsoluciones del problema entonces u1 − u2 es solución del problema homogéneocon condiciones iniciales nulas, luego u1 − u2 = 0. Para probar la existencia desolución podemos suponer φ = ψ = 0, ya que una solución con otras condicio-nes iniciales se obtiene añadiendo a la de este caso una solución del problemahomogéneo correspondiente.

Para cada s > 0 consideremos el problema auxiliar

2us(x, t) = 0

us(x, 0) = 0∂us∂t

(x, 0) = w(x, s)

que nos da la onda que aparecería si a partir de una situación de reposo φ = 0perturbáramos el medio con unas velocidades dadas por w(x, s). Su solución es

us(x, t) =1

4πv2t

∫‖y−x‖=vt

w(y, s) dσ(y).

Para t > s definimos u(x, t, s) = us(x, t− s), que tiene la misma interpreta-ción salvo que la perturbación aparece en el instante t = s en lugar de en t = 0.Entonces

∂2u

∂t2=

∂2us∂t2

= v2∆us(x, t− s) = v2∆u(x, t, s)

u(x, s, s) = us(x, 0) = 0

∂u

∂t(x, s, s) =

∂us∂t

(x, 0) = w(x, s)

Finalmente definimos

u(x, t) =

∫ t

0

u(x, t, s) ds =1

4πv2

∫ t

0

(1

t− s

∫‖y−x‖=v(t−s)

w(y, s) dσ(y)

)ds,

que representa la acumulación de los efectos de todas las perturbaciones que hanaparecido hasta el instante t. Vamos a probar que u es la solución del problemano homogéneo. Para derivar u respecto de t definimos

u(x, t1, t2) =

∫ t1

0

u(x, t2, s) ds

y aplicamos la regla de la cadena. El resultado es

∂u

∂t= u(x, t, t) +

∫ t

0

∂u

∂t(x, t, s) ds =

∫ t

0

∂u

∂t(x, t, s) ds,

∂2u

∂t2=

∂u

∂t(x, t, t) +

∫ t

0

∂2u

∂t2(x, t, s) ds

= w(x, t) +

∫ t

0

v2∆u(x, t, s) ds = w(x, t) + v2∆u(x, t).


Evidentemente u cumple las condiciones iniciales. Podemos expresar la so-lución de forma más simple. Mediante el cambio de variable s′ = v(t− s) queda

u(x, t) =1

4πv2

∫ vt

0

∫‖y−x‖=s

w(y, t− s/v)

sdσ(y)ds

=1

4πv2

∫‖y−x‖<vt

w(y, t− ‖y − x‖/v)

‖y − x‖dm(y).

No olvidemos que a esta función hay que sumarle la de una ecuación homo-génea en caso de que las condiciones iniciales no sean nulas.

6.3 Soluciones de las ecuaciones de MaxwellCon los resultados de la sección anterior podemos resolver las ecuaciones

(6.1), (6.2), (6.3) y (6.4). Por ejemplo, la primera nos permite expresar elpotencial eléctrico V en términos de la densidad de carga ρ. Se cumple

V (x, t) =1

4πε

∫‖y−x‖<ct

ρ(y, t− ‖y − x‖/c)‖y − x‖

dm(y). (6.17)

En principio falta sumar una solución de la ecuación de ondas homogéneacorrespondiente a las condiciones iniciales de V , pero admitiendo que ρ tienesoporte compacto sabemos que dicha solución forma un frente de onda que sealeja a la velocidad de la luz y tras su paso no deja efecto alguno. En losproblemas concernientes a regiones del espacio pequeñas en comparación con lavelocidad de la luz podemos prescindir de esta parte.

La fórmula anterior es similar a la del potencial electrostático (potencialnewtoniano) salvo por el hecho de que para calcular la influencia en un puntox de la carga situada en un punto y no se tiene en cuenta la carga actual, sinola que había en un instante anterior, el correspondiente al tiempo que tardala luz en ir de y a x. Por ello las funciones de este tipo se llaman potencialesretardados. Vemos, pues, que los efectos en el potencial de una variación dela distribución de las cargas en una región no se hacen notar instantáneamenteen todo punto, sino que se transmiten al espacio circundante a la velocidadde la luz. Si las distancias a considerar son pequeñas en comparación con lavelocidad de la luz, podemos suponer que la integral se calcula sobre todo R3

(o sobre todo el soporte de ρ) e incluso prescindir del término ‖y − x‖/c, conlo que obtenemos exactamente el potencial electrostático. Por consiguiente, elpotencial eléctrico puede suponerse newtoniano en todos los problemas que noinvolucran distancias astronómicas (lo que supone considerar que las variacionesde la distribución de las cargas alteran instantáneamente el potencial).

Las mismas consideraciones valen para el potencial magnético, que según laecuación (6.2) viene dado por

A(x, t) =µ

4π

∫‖y−x‖<ct

~ı(y, t− ‖y − x‖/c)‖y − x‖

dm(y). (6.18)

6.3. Soluciones de las ecuaciones de Maxwell 181

Así mismo, las ecuaciones (6.3) y (6.4) proporcionan expresiones similarespara E y H.

Ejemplo Vamos a calcular el campo electromagnético creado por una co-rriente alterna. Primero veremos algunas generalidades sobre este tipo de co-rriente. En principio una corriente alterna es una corriente que cambia desentido periódicamente, de modo que pasa de un valor máximo I0 a un valormínimo −I0 en un tiempo T/2, de modo que al cabo de un tiempo T tomael mismo valor I0. El caso más simple consiste en suponer que la variación essinusoidal, es decir, que la intensidad en un tiempo t viene dada por

I(t) = I0 cos(ωt+ φ0), (6.19)

donde ω = 2π/T . El tiempo T se llama período de oscilación y es el tiempoque I tarda en volver al mismo estado. El inverso 1/T se llama frecuencia de laoscilación y es el número de oscilaciones que se producen por unidad de tiempo.Su unidad (1/segundo) se llama hercio. La constante φ0 recibe el nombre deángulo de fase. Eligiendo el origen de tiempos podemos suponer φ0 = 0. Todosestos conceptos se aplican a cualquier magnitud que varíe sinusoidalmente enel tiempo. En general, si A cos(ωt + φ0) y B cos(ωt + φ1) son dos magnitudessinusoidales con el mismo período, se dice que presentan un desfase de φ1 − φ0

radianes. Cuando el desfase es nulo se dice que ambas están en fase. Cuandodigamos que dos magnitudes sinusoidales están desfasadas, sin indicar el desfase,se entenderá que éste es de π/2 radianes. Dos magnitudes con este desfasepueden representarse por A cos(ωt+ φ0) y B sen(ωt+ φ0).

Volviendo a la intensidad (6.19), en principio se trata de la intensidad en unpunto dado del cable eléctrico. Ésta no tiene por qué ser la misma en todos lospuntos al mismo tiempo, pero ahora no vamos a entrar en ello. Concentrémonosen buscar la mejor forma de tratar con magnitudes sinusoidales.

Resulta que lo más adecuado es sustituir los cosenos por exponenciales com-plejas. En efecto, la fórmula anterior (con φ0 = 0) puede escribirse como

I(t) = Re(I0eiωt).

En lo sucesivo escribiremos simplemente I(t) = I0eiωt, es decir, a partir de

ahora I(t) no será la intensidad, sino la función compleja cuya parte real esla intensidad y cuya parte imaginaria es la intensidad desfasada (en −π/2 ra-dianes). Lo mismo valdrá para todas las magnitudes sinusoidales con las quetrabajemos.

Vamos a estudiar el modelo más simple de corriente alterna. Supongamosque el conductor es un segmento muy pequeño de longitud h cuyo centro estáen el origen de coordenadas y se extiende en la dirección del eje z. En tal casopodemos suponer que la intensidad es la misma en cada instante a lo largo detodo el circuito y viene dada por I = I0e

iωt. La fórmula (6.18) muestra queel potencial magnético en cada punto tiene la dirección del eje z. Además si elconductor tiene sección k podemos hacer dm = k ds, donde ds es el elemento


de longitud del mismo y así

Az =µ

4π

∫Ω

~ı(y, t− ‖y − x‖/c)‖y − x‖

dm(y) =µ

4π

∫γ

I(y, t− ‖y − x‖/c)‖y − x‖

ds(y),

donde γ(s) = (0, 0, s), para s ∈ [−h/2, h/2]. Si nos centramos en puntos alejadosdel conductor, la distancia ‖y−x‖ es equiparable a ‖x‖, con lo que el integrandose vuelve constante y resulta

Az ≈µh

4π

I(t− ‖x‖/c)‖x‖

=µhI0

4π‖x‖eiωte−iκ‖x‖,

donde κ = ω/c.Es importante observar que al sustituir I por su valor estamos suponiendo

que el circuito ya oscilaba en el instante t − ‖x‖/c, o lo que es lo mismo, queun rayo de luz ha tenido tiempo de llegar desde el origen hasta el punto x enel tiempo que dura la oscilación. Si, por ejemplo, suponemos que la fórmulaI = I0e

iωt es válida para t > 0 y que antes no había corriente, entonces lafórmula anterior vale para t > ‖x‖/c y antes el potencial es nulo.

Observamos que A oscila con periodo T , al igual que la corriente, sólo queentre puntos distintos existe un desfase determinado por el factor e−iκ‖x‖. Nopodemos calcular el potencial eléctrico V a partir de la fórmula (6.17), puesello nos obligaría a estudiar las variaciones locales de la densidad de carga. Ensu lugar razonamos como sigue: el potencial eléctrico debe oscilar también conperiodo T , es decir, ha de ser de la forma V = f(x)ei(ωt+φ0(x)), luego

∂V

∂t= iωf(x)ei(ωt+φ0(x)) = iωV.

Por el mismo razonamiento

∂A

∂t= iωA. (6.20)

Por la condición de Lorentz (ecuación (B.41) de [GD]) tenemos que

V =i

ωµεdivA =

ic2

ωdivA =

iω

κ2divA. (6.21)

A partir de aquí los cálculos se simplifican mucho si pasamos a coordenadasesféricas. Notemos que el tercer vector de la base canónica es

∇z = ∇(r cos θ) = cos θ vr − sen θ vθ.

Por consiguiente

Ar = Az cos θ =µhI04πr

eiωte−iκr cos θ,

Aθ = −Az sen θ =µhI04πr

eiωte−iκr sen θ,

Aφ = 0.


Ahora es fácil calcular

H =1

µrotA =

1

µr2 sen θ

∣∣∣∣∣∣∣vr rvθ r sen θ vφ∂∂r

∂∂θ 0

Ar rAθ 0

∣∣∣∣∣∣∣ ,lo que nos lleva a Hr = Hθ = 0 y

Hφ =I0h

4πeiωte−iκr

(iκ

r+

1

r2

)sen θ.

Por otra parte, (6.21) nos lleva a

V =µI0h

4πeiωte−iκr

(ω

κr− iω

κ2r2

)cos θ.

Esto juntamente con (6.20) nos permite calcular

E = −∇V − ∂A

∂t= −∇V − iωA.

Tras un cálculo rutinario obtenemos

Er =I0h

4πeiωte−iκr

(2η

r2+

2

iωεr3

)cos θ,

Eθ =I0h

4πeiωte−iκr

(iωµ

r+

η

r2+

1

iωεr3

)sen θ,

Eφ = 0,

donde η =√µ/ε es una constante cuyas dimensiones son las de una resistencia

y en el vacío vale η0 ≈ 120π ohmios.Para puntos alejados del circuito emisor los términos en 1/r2 y 1/r3 son

despreciables frente a los términos en 1/r, con lo cual una buena aproximaciónal campo electromagnético creado por el mismo es

Hφ ≈ iκI0h

4πreiωte−iκr sen θ, (6.22)

Eθ ≈ iωµI0h

4πreiωte−iκr sen θ, (6.23)

con las componentes restantes nulas o muy pequeñas. Geométricamente, estosignifica que los campos E y H son perpendiculares entre sí y perpendicularesal radio que los une con el circuito emisor. Notemos además que Eθ = ηHφ,luego los campos están en fase.

En resumen, el circuito está rodeado de un campo electromagnético queocupa un volumen esférico cuyo radio se extiende a la velocidad de la luz. Encada punto de este volumen el campo oscila con período T , la intensidad máximade los campos varía entre 0 en el eje Z y un valor máximo en el planoXY . Fijadauna recta que pase por el origen, la intensidad máxima de los campos disminuye


en proporción inversa a la distancia. Además la oscilación está desfasada en κrradianes, de modo que los campos en dos puntos de la recta están en fase siy sólo si su distancia es un múltiplo de λ = 2π/κ = cT metros. Este valor sellama longitud de onda.

Observemos que (con las aproximaciones que hemos hecho) el vector dePoynting es siempre perpendicular a las esferas de centro en el origen y apuntasiempre hacia fuera de las mismas. Por lo tanto, aunque es oscilante, su oscila-ción no es sinusoidal, sino que depende de un seno al cuadrado. La intensidad(el módulo) del vector de Poynting en un punto y en un instante dado es

P = ‖E‖ ‖H‖ =κ2I2

0h2

16π2r2η sen2 θ sen2(ωt− κr) =

I20h

2η

4λ2r2sen2 θ sen2(ωt− κr),

de modo que P oscila entre 0 y un valor máximo con período T/2. Para unamagnitud que oscila de este modo tiene sentido calcular su valor medio, definidocomo

Pm(r, θ) =2

T

∫ T/2

0

P (r, θ, t) dt.

Concretamente

Pm(r, θ) =I20h

2η

4λ2r2sen2 θ

1

π

∫ π−κr

−κrsen2 x dx =

I20h

2η

8λ2r2sen2 θ vatios/metro2

.

La potencia irradiada, o cantidad de energía electromagnética que atraviesapor segundo una esfera de centro en el conductor es el flujo del vector de Poyntinga través de la esfera, es decir,

W (r, t) =

∫Sr

P dσ =

∫Sr

P (r, θ, t) r2 sen θ dθ ∧ dφ

=I20h

2η

4λ2sen2(ωt− κr)

∫ 2π

0

∫ π

0

sen3 θ dθdφ

=2πI2

0h2η

3λ2sen2(ωt− κr) vatios.

La potencia W depende de r únicamente en el desfase entre puntos situadosa distancias distintas del circuito. Sin embargo la potencia media no dependede r, pues se comprueba fácilmente que vale

Wm =πI2

0h2η

3λ2≈ 40π2I2

0

h2

λ2vatios.

Ésta es la energía que irradia por segundo el circuito. (En un tiempo nT ,con n natural, la energía irradiada será nWm. Si n no es natural el valor nWm

es aproximado.)

Hemos visto que el campo determinado por el vector de Poynting es radial,pero en regiones alejadas de la fuente de radiación podemos considerarlo para-lelo. Escogiendo adecuadamente el sistema de referencia podemos suponer que


tiene la dirección del eje X, así como que los campos H y E tienen, respectiva-mente, la dirección de los ejes Y y Z. Entonces las ecuaciones (6.22) y (6.23)son aproximadamente

H =I0h sen θ

2λxsen(ωt− κx)e2, E = η

I0h sen θ

2λxsen(ωt− κx)e3, (6.24)

donde ahora θ es constante. Si la longitud de onda λ es pequeña, una variaciónmoderada de x altera en muy poco el factor 2λx, con lo que la intensidad de laonda se puede considerar constante y queda

H = A sen(ωt− κx)e2, E = ηA sen(ωt− κx)e3,

para una cierta constante A. Ésta es la forma más simple que puede adoptar elcampo electromagnético en el vacío. Es lo que se llama una onda plana (porqueel frente de ondas es plano), transversal (porque los campos varían perpendicu-larmente a la dirección de avance), monocromática (porque la variación en cadapunto es sinusoidal) y polarizada (porque E y H varían siempre en la mismadirección).

Las ondas electromagnéticas monocromáticas se clasifican por su longitudde onda:

Ondas de radio 30 Km > λ > 400 µmRayos infrarrojos 400 µm > λ > 0.8 µmLuz (visible) 0.8 µm > λ > 0.4 µmRayos ultravioletas 0.4 µm > λ > 120 ÅRayos X 120 Å > λ > 0.05 ÅRayos γ 0.05 Å > λ

Hemos usado el micrómetro o micra, abreviado µm, igual a una milésimade milímetro, y el ångstrom, abreviado Å, igual a 10−10m. Las ondas mono-cromáticas de longitud entre 0.8 y 0.4 micras son casos particulares de lo quecomúnmente llamamos “luz”. El ojo humano percibe la longitud de onda enforma de color. Las longitudes cercanas a 0.8 micras corresponden a la luz roja,mientras que las cercanas a 0.4 micras corresponden a la luz violeta, pasandopor toda la gama del arco iris. Los colores que no aparecen en el arco iris,como el marrón, corresponden a superposiciones de luz de distintas longitudesde onda.

Apéndice A

Complementos sobrehidrodinámica

Introducimos aquí algunos hechos básicos sobre mecánica de fluidos que he-mos necesitado en algunas de las aplicaciones a la física junto con algunas con-secuencias de interés en sí mismas.

La ecuación de Euler Veamos la versión hidrodinámica de la segunda leyde Newton. Recordemos que ésta afirma que ~F = m~a, donde ~F es la fuerzatotal que actúa sobre un cuerpo de masa m y a es la aceleración del mismo.

Consideremos ahora un fluido determinado por un campo de velocidades~v(t, ~r) que determina la velocidad del fluido en el instante t y en el punto ~r(suponemos que ~v es una función de clase C∞ en un abierto de la forma I ×U ,donde I es un intervalo en R y U un abierto en R3). La aceleración del fluidoen cada instante y en cada punto viene dada por la derivada total

~a =D~v

Dt=∂~v

∂t+ (∇~v)~v.

Aquí hay que entender que la derivada total de una función vectorial es el vectorde las derivadas totales de sus componentes, y entonces la segunda igualdad seobtiene de la fórmula (3.7) al final de la sección 3.3 de [GD], donde hemossustituido

(~v(v1), ~v(v2), ~v(v3)) = (∇~v1 · ~v,∇~v2 · ~v,∇~v3 · ~v) = (∇~v)~v.

Notemos que en ~v(vi) consideramos a ~v como vector abstracto, en el sentido dela geometría diferencial (tal y como se considera en la fórmula (3.7)), pero alconsiderar a ~v como vector en R3 la expresión se corresponde con la derivada devi en la dirección de ~v, es decir, con ∇~vi ·~v. Finalmente, la matriz ∇~v representala matriz jacobiana de ~v (respecto a las coordenadas espaciales).

La segunda ley de Newton para un elemento infinitesimal de fluido se expresaen la forma d~F = ρ~a dm, donde dm es el elemento de volumen y ρ la densidad,

187

188 Apéndice A. Complementos sobre hidrodinámica

de modo que ρ dm es el elemento de masa. En un volumen de fluido V se ha decumplir

~F =

∫V

ρ

(∂~v

∂t+ (∇~v)~v

)dm,

donde F es la fuerza total que actúa sobre V . Podemos descomponer estafuerza en dos partes. Por un lado tenemos las fuerzas de largo alcance, como lagravedad, que actúan sobre todos los puntos del fluido, y cuya intensidad porunidad de masa representaremos por ~f , de modo que la fuerza de largo alcanceque actúa sobre V es

∫Vρ~f dm.

Por otra parte, sobre V pueden actuar fuerzas de corto alcance que sóloafectan a las partículas de fluido situadas en ∂V . Vamos a suponer1 que estasfuerzas actúan perpendicularmente a ∂V y hacia dentro de V . Las fuerzas decorto alcance normales reciben el nombre de presión, y su expresión es de laforma −

∫∂V

p~n dσ, donde ~n es el vector normal a ∂V que apunta hacia fuerade V y p(t, ~v) es una función escalar que representa la intensidad de la presiónpor unidad de superficie.2 La componente i-ésima de esta integral es el flujo delcampo pei. Por el teorema de la divergencia equivale a la integral en V de laderivada de p respecto a xi, y al reunir las tres igualdades queda

−∫∂V

pn dσ = −∫V

∇p dm.

Tenemos, pues∫V

ρ

(∂~v

∂t+ (∇~v)~v

)dm =

∫V

ρ~f dm−∫V

∇p dm.

Como esta igualdad ha de darse para todo volumen V , necesariamente losintegrandos han de ser iguales, es decir,

∂~v

∂t+ (∇~v)~v = ~f − 1

ρ∇p. (A.1)

Ésta es la ecuación de Euler, que expresa la conservación de la cantidad demovimiento de un fluido ideal.

Hidrostática Cuando el campo de velocidades es nulo, la ecuación de Eulerse reduce a

∇p = ρ ~f. (A.2)

1Esto se expresa diciendo que consideramos un fluido ideal, en el que las fuerzas de cortoalcance son únicamente normales, y no tienen componente tangencial. La existencia de fuerzastangenciales de corto alcance se traduce en el grado de viscosidad de un fluido. Si ponemos unfluido ideal en un tubo vertical y abrimos la parte inferior del tubo, el fluido cae exactamenteigual que si no estuviera el tubo, pero si el fluido es viscoso, entonces la velocidad de caídaserá más lenta para las partículas más cercanas a la superficie vertical del tubo, a causa delas fuerzas tangenciales, que se debilitan a medida que nos alejamos de las paredes.

2La unidad de medida de presión es el pascal (Pa), que es la presión que ejerce una fuerzade 1N sobre 1m2.

189

Ésta es la ecuación fundamental de la hidrostática. Si el fluido está en reposo,su densidad es constante y está sometido a un campo gravitatorio dirigido haciaabajo y de intensidad constante g, entonces obtenemos

∇p = −ρge3,

lo cual implica a su vez la conclusión siguiente:

La presión en un fluido homogéneo en reposo depende únicamentede la altura z en la forma

p = −ρgz + p0, (A.3)

donde p0 es la presión en los puntos de altura z = 0.

Veamos algunas consecuencias de estos hechos:

El principio de Arquímedes Es una propiedad bien conocida que determinala “pérdida de peso” que experimenta un objeto al estar sumergido en un fluido:

Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje haciaarriba de intensidad igual al peso del fluido que desplaza.

Aquí hay que entender que el fluido es homogéneo y que está en reposo. Laprueba es trivial: la fuerza superficial que experimenta el elemento de volumenV ocupado por el cuerpo se obtiene integrando −p~n sobre ∂V , pero ya hemosvisto que dicha integral coincide con la integral de −∇p = (0, 0, ρg) sobre V . Elresultado es una fuerza dirigida hacia arriba cuya intensidad es la integral de latercera componente de −∇p (pues las otras dos son nulas), a saber:

F =

∫V

ρg dv = Mg,

donde M es la masa de fluido que cabría en V , luego F es el peso del fluido quecabría en V , es decir, el fluido desplazado por el cuerpo.

El principio de Pascal El principio de Pascal suele enunciarse diciendo queun fluido incompresible transmite la presión en todas direcciones por igual. Másprecisamente:

Si ejercemos una presión adicional ∆p en un punto de un fluido in-compresible, entonces su presión aumenta en ∆p en todos los puntosdel fluido.

La razón es que, si la densidad ha de permanecer constante, para que laecuación (A.3) proporcione el nuevo valor de la presión en el punto donde hemosaplicado la presión adicional, sólo puede verse modificada en la forma

p = −ρgz + p0 + ∆p,

lo que significa que la presión aumenta en ∆p en todos los puntos del fluido.


El principio de Pascal es el fundamento de la prensa hidráulica. Esta con-siste en un recipiente de paredes resistentes y lleno con un líquido incompresi-ble. Su forma es irrelevante, pero de él salen dos tubos cuyas secciones tienenáreas desiguales A1 y A2 y que están cerrados con émbolos que pueden desli-zarse sin dejar salir el líquido. Si aplicamos una fuerza F1 al émbolo de sec-ción A1, esto aumenta uniformemente la presión del líquido sobre su superficie

en F1/A1. Por el principio de Pascal, toda la su-perficie del recipiente ve incrementada su presiónen esta cantidad, en particular el segundo émbolo,con lo cual la fuerza que el fluido ejerce sobre élaumenta en F2 = (A2/A1)F1. De este modo, si laproporción A2/A1 es grande, una prensa hidráu-lica permite transformar una fuerza pequeña enotra mucho mayor.

F1

A1 A2

F2

El experimento de Torricelli Es famoso el experimento de Torricelli quepermite medir la presión atmosférica. Consiste en llenar de mercurio un tubocerrado por un extremo, bloquear momentáneamente el otro extremo para su-mergirlo en una cuba de mercurio y finalmente, con el tubo en vertical, destaparsu embocadura como indica la figura.3 Entonces parte del mercurio del tubopasa a la cuba, pero otra parte forma una columna que se mantiene por encimadel nivel de la cuba.

76 cm

Ello se debe a que la presión en lo alto de la columnade mercurio es nula (depreciando la que pueda ejercerel vapor de mercurio que necesariamente contendrá),mientras que la presión en la superficie de la cuba esla presión atmosférica. Por lo tanto, si tomamos lasuperficie de la cuba como altura cero y p0 es la presiónatmosférica (que podemos suponer independiente de la

altura, pues decrece muy lentamente con ésta), la presión a una altura arbitrariavendrá dada por p = −ρgz+ p0, donde ρ es la densidad del mercurio. La alturah de la columna de mercurio cumplirá, pues, que h = p0/ρg o, recíprocamente,midiendo h podemos calcular la presión atmosférica como p0 = ρgh.

La altura de la columna de mercurio a nivel del mar es de unos 76 cm.Teniendo en cuenta que la densidad del mercurio es ρ = 13 600 kg/m3 y g =9.8N/m, esto nos da un valor de p0 = 101 292.8Pa. Una medición más precisaarroja un valor de 101 325Pa, y a este valor se le denomina atmósfera (atm), yes más habitual que el pascal como unidad de presión.

La razón por la que Torricelli usó mercurio y no agua (por ejemplo) es queel mercurio es 13.6 veces más denso. Para compensar la presión atmosférica,una columna de agua ha de elevarse más de 10m. Si se usa un tubo más cortoéste queda lleno y no hay medición posible.

3En realidad la superficie del mercurio dentro del tubo no será plana, como indica la figura,sino que formará una superficie convexa debido a la llamada tensión superficial, pero no vamosa entrar en este fenómeno.

191

Notemos que el nivel del mercurio es distinto dentro y fuera del tubo porquedentro no actúa la presión atmosférica. Es evidente que si tenemos un líquidocontenido en un recipiente, todos los puntos del líquido que estén en contactocon la atmósfera formarán una superficie donde la presión será la atmosférica,luego todos tienen que estar a la misma altura, cualquiera que sea la forma delrecipiente. Éste es el llamado principio de los vasos comunicantes, pues un casoparticular es que si tenemos dos o más recipientes llenos de líquido y conectadospor tuberías, a todos los efectos son un único recipiente, por lo que el líquidofluirá como sea necesario por las tuberías para que, al quedar en reposo, todaslas superficies del líquido en contacto con la atmósfera estén a la misma altura.

La presión atmosférica La fórmula (A.3) es válida bajo el supuesto de quela densidad del fluido es constante. Esta hipótesis es razonable para muchoslíquidos, pero no para gases, pues la densidad de un gas depende, entre otrosfactores, de la presión. Concretamente, para un gas ideal (suponiendo la tem-peratura constante), la densidad es directamente proporcional a la presión. Porconsiguiente, si conocemos la densidad de un gas ρ0 para una presión dada p0, sudensidad para cualquier otro valor de p será ρ = ρ0p/p0, y así (A.2) se convierteen la ecuación diferencial

dp

dz= −ρ0g

p0p,

cuya solución esp = p0e

−z/α, donde α = p0/ρ0g

y la altura z se mide desde el punto en el que la densidad y la presión son ρ0 yp0 respectivamente.

La densidad del aire a nivel del mar se estima en ρ0 = 1.23 kg/m3, lo cual,junto con el valor p0 = 101 325Pa para la presión atmosférica a nivel del mar,nos da una constante α ≈ 8 400m. Si usamos la atmósfera como unidad depresión, la fórmula que hemos obtenido para la presión atmosférica se reduce a

p = e−h/8 400,

donde h es la altura sobre el nivel del mar.

10 20 30 40 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1


La gráfica anterior muestra la función p(h) hasta una altura de 50 km (ellímite superior de la estratosfera). Los puntos son promedios calculados por laNASA a partir de datos empíricos correspondientes a un intervalo de un año enlugares repartidos por toda la superficie del planeta a las alturas correspondien-tes.

La ecuación de Bernoulli Consideremos un fluido ideal homogéneo en flujoestacionario (es decir, tal que la presión y la velocidad son constantes en cadapunto) sometido a una fuerza (de volumen) conservativa (y también indepen-diente del tiempo) ~f = −∇V . La ecuación de Euler (A.1) se convierte en

ρ~v · ∇~v = −ρ∇V −∇p.

Ahora aplicamos la siguiente fórmula general, que se comprueba sin dificultad:

~v · ∇~v =1

2∇(~v · ~v)− ~v × rot~v.

Llamando v = ‖~v‖ obtenemos

∇(v2/2)− ~v × rot~v = −∇V − ∇pρ,

o también:

∇(v2

2+ V +

p

ρ

)= ~v × rot~v.

Multiplicando la ecuación por ~v obtenemos que

~v · ∇(v2

2+ V +

p

ρ

)= 0,

lo cual, teniendo en cuenta que la expresión entre paréntesis no depende de t,en términos de la derivada total equivale a que

D

Dt

(v2

2+ V +

p

ρ

)= 0.

Esto significa que, sobre cada trayectoria del flujo, se cumple la ecuación

v2

2+ V +

p

ρ= cte.

Ésta es la ecuación de Bernoulli. Cuando la fuerza de volumen es la gravedad,V = gz, la ecuación equivale a

1

2ρv2 + ρgz + p = cte.

193

Ejemplo Consideremos de nuevo el ejemplo de un fluido homogéneo e incom-presible que fluye por un tubo que se ensancha o se estrecha. En la subsec-ción 5.4.1 de [GD] vimos que la relación entre las velocidades de entrada ysalida es v1 = (A0/A1)v0, donde A0 y A1 son las áreas de las secciones corres-pondientes. Ahora vamos a calcular la relación entre las presiones de entrada yde salida p0 y p1 (que podemos suponer constantes en cada sección del tubo).

Para ello aplicamos la ecuación de Bernoulli a una trayectoria cualquiera,considerando que la variación de la altura z es despreciable. Así obtenemos que

1

2ρv2

0 + p0 =1

2ρv2

1 + p1,

luego

p1 = p0 +1

2ρ(v2

0 − v21) = p0 +

1

2ρ(1− (A0/A1)2)v2

0 .

En particular, cuando el tubo se estrecha la velocidad aumenta y la presióndisminuye.

La ley de Torricelli La ley de Torricelli afirma que

Si un fluido contenido en un depósito abierto escapa por un orificiosituado a una distancia h de la superficie, la velocidad de salida esla misma que adquiriría un objeto cualquiera que recorriera dichadistancia h en caída libre.

En efecto: consideremos un punto P situado en el orificio y prolonguemos sutrayectoria hacia atrás en el tiempo. Claramente, ésta llegará hasta un punto Qde la superficie del fluido,4 y podemos, por tanto, aplicar la ecuación de Bernoullia los puntos P yQ. Si tomamos un sistema de referencia con origen en el agujero,en el punto P la presión p0 es la atmosférica, la altura es z = h y podemossuponer que la velocidad es nula, pues se trata de la velocidad de descenso delnivel del fluido, que (si el recipiente tiene una sección mucho mayor que la delagujero) será insignificante frente a la velocidad v del fluido en el punto Q. Porotra parte, la presión en Q será también la atmosférica (que podemos suponerconstante) y así, la ecuación de Bernoulli nos da que

ρgh+ p0 =1

2ρv2 + p0,

luego v =√

2gh. Es inmediato comprobar que ésta es también la velocidad decaída libre. En la práctica la velocidad del líquido es algo menos debido a laviscosidad que aquí estamos despreciando.

4Con esto no estamos afirmando que toda partícula que sale en un momento dado por elagujero ha estado necesariamente en la superficie un tiempo atrás.

Bibliografía

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[13] Rudin, W. Análisis real y complejo. Mc. Graw Hill, Madrid, 1988.

195

Índice de Materias

analítica (función), 18

barrera, 59Bernoulli (ecuación de), 192

canónica (sucesión), 76Cauchy (desigualdades de), 35convergencia casi uniforme, 3

d’alembertiano, 159derivada holomorfa, 38Dirichlet

problema de, 32región de, 58

dominiode convergencia, 15de Reinhardt, 18

completo, 18

ecuaciónde Euler, 188de ondas, 159

forma, 13Fourier (serie de), 107

germen, 22

harmónica (función), 27, 71harmónico esférico, 74

zonal, 89homogénea (función), 68

Kelvin (transformada de), 61

Laplace (serie de), 77Laplace-Beltrami (operador de), 70Legendre

ecuación de, 123funciones asociadas de, 131funciones de, 127polinomio de, 81

MacCullagh (fórmula de), 145momentos de una distribución de masas,

145multi-índice, 1

Pascal (principio de), 189Perron (familia de), 57Poisson (núcleo de), 32polidisco, 15Principio

de prolongación analítica, 24,25

del máximo, 31, 52

Rodrigues (fórmula de), 115generalizada, 84

seriede Fourier, 107de potencias, 13de Taylor, 17

subharmónica (función), 49superharmónica (función), 49

Taylor (serie de), 17Teorema

de adición de harmónicos esféri-cos, 79

de Harnack, 47de Liouville, 36de Taylor, 1de Weierstrass, 11

Torricelli (ley de), 193

196

Carlos Ivorra...

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