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SEP SEPT DGI” CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACION Y DESARROLLO TECNOLOGICO cenidet “ANALISIS TERMICO PARA LA PERFORACION DE POZOS GEOTERMICOS UTILIZANDO AIRE Y AGUA COMO FLUIDO DE PERFORACION”. E I QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EM CIENCIAS EN INGENIERIA MECANICA (OPCION TER MIC A) P R E S E N T A : ING. dUAN FRANCISCO GARCIA NUFEZ ACFSORES OR ALFONSO GARCIA GUTIERREZ (¡I€-CENIDET) OR GILBERT0 ESPINOSA PAREDES IUTM-IZTAP I : .-!-:;:DsT 1 CUEWAVACA, MORELOS. AGOS.TO DE 1998. 9
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SEP SEPT DGI”
CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACION Y DESARROLLO TECNOLOGICO
cenidet “ANALISIS TERMICO PARA LA PERFORACION DE POZOS GEOTERMICOS UTILIZANDO AIRE Y AGUA
COMO FLUIDO DE PERFORACION”.
E I QUE PARA OBTENER EL GRADO DE M A E S T R O E M C I E N C I A S E N I N G E N I E R I A M E C A N I C A ( O P C I O N T E R M I C A ) P R E S E N T A : ING. dUAN FRANCISCO GARCIA NUFEZ
ACFSORES OR ALFONSO GARCIA GUTIERREZ (¡I€-CENIDET)
OR GILBERT0 ESPINOSA PAREDES IUTM-IZTAP I
: .-!-:;:DsT 1 CUEWAVACA, MORELOS. AGOS.TO DE 1998. 9
CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N Y DESARROLLO TECNOL~GICO
C E N I D E T
“ANÁLISIS TÉRMICO PARA LA PERFORACIÓN DE POZOS GEOTÉRMICOS UTILIZANDO AIRE Y AGUA COMO FLUIDO DE PERFORACIÓN”
T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA ( O P C I ~ N T I I R M I C A )
P R E S E N T A ING. JUAN FRPINCISCO GARCiA NÚÑEZ
A S E S O R E S : Dr. Alfonso Garcia Gutiérrez (IIE-CENIDET) Dr. Gilbert0 Espinosa Paredes (UTM-Iztap.)
Cuernavaca, Morelos Agosto de 1998
SISTEMA NACIONAL DE INSTITUTOS TECNOLÓGICOS
Centro Nacional.de Investigación y Desarrollo Tecnológico
ACADÉMIA DE LA MAESTIÚA EN CIENCIAS EN INCENIERiA MECÁNICA
Cuernavaca, Mor., a 27 de julio de 1998.
Dr. Juan Manuel Ricafío Castillo Director P r e s e n t e .
At'n.: Dra. Gabriela Aivarez Garcia Jefe del Depto. De Ing. Mecánica
Sección Térmica
Por este conducto, hacemos de su conocimiento que, despues de haber sometido a revision el trabajo de tesis titulado:
"Análisis Térmico de la Perforación de Pozos Geotérmicos Utilizando Aire y Agua como Fluidos de Perforación"
Desarrollado por el Ing. Juan Francisco Garcia Nutier y habiendo cumplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorización de impresión de la tesis y la fecha de examen de grado.
Sin otro particular, quedamos de usted.
A t e n t a m e n t e
Dr. Mario Ramírez de Santiago
institutos Tecnológicos -v años de educación superior tecnológica en Mér co
- APARTADO POSTAL 5.164. CP 62051. CUERNAVACA MOR. MEXICO. TELS. (75)12 2314. 127613. FAX (73) 12 2434. EMAIL: cenideilQinlorel nel.mx
I
SISTEMA NACIONAL DE INSTITUTOS TECNOL~GICOS ’ SQP ’ Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Cuemavaca, Mor., a 29 de Julio de 1998.
Ing. Juan Francisco Garcia Núñez Candidato al Grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecánica P R E S E N T E
Después de haber sometido a revisión su trabajo de tesis titulada:
“ANALISIS TÉRMICO DE LA PERFORACION DE POZOS GEOTÉRMICOS UTILIZANDO AIRE Y AGUA COMO FLUIDO DE PERFORACI~N”
Y habiendo cumplido con todas las indicaciones que el jurado revisor de tesis hizo, se le comunica que se le concede la autorización para que se proceda a la impresión de la misma como requisito para la obtención del grado.
Sin otro particular, quedo de usted.
Jefe del Depto. de Ing. Mecánica Sección Térmica
C.C.P. Servicios Escolares Expediente
.
Institutos Tecnológicos i 50 años de educación superior tecnológica en Mexico
APARTADO POSTAL 5-164. CP 62051. CUERNAVACA. MOR. MEXICO. TELS. (73112 2314. 127613, FAX (73) 12 2434. EMAIL mniaell@inforel netmi
AGRADECIMIENTOS:
Quiero agradecer:
A Dios por ayudarme en la elaboración de este trabajo.
De manera muy especial a mis asesores: Dr.Alfonso García Gutiérrez y Gilbert0 Espinosa
Paredes, por su valiosa ayuda e incondicional apoyo.
AI Jurado revisor de este estudio por sus comentarios y sugerencias.
A mis profesores por las enseñanzas que me brindaron.
A mis familiares y amigos por su cariño y confianza.
A Yesenia, por su gran amor y paciencia aún en los momentos más difíciles.
Al cenidet, por brindarme la oportunidad de lograr una meta más en mi vida profesional.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo financiero,
gracias al cual se hace posible la superación académica en el nivel de excelencia en
M$xIco.
GRACIAS
ÍNDICE
PBgina
LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABLAS
GLOSARIO DE SfMBOLOS
RECUMEN
CAPiTtJLO 1 INTRODUCCIÓN
1.1 GENERALIDADES
1.2. OBJETIVO DE LA PRESENTE INVECTIGACIÓN
1.3. ESTADO DEL ARTE
1.4. METODoLCGfA
1.5. ESTRUCXURA DEL TRABAJO DE TESIS
1.6. ALCANCE DEL PRESENTE TRABAJO
CAPITULO 2 DESCRIPCIÓN DEL MODELO &IC0
2.1. INTRODUCCIÓN
2.2. MECÁNICA ESTRUCTURAL DEL MODELO
2.3. DECCRIPCI6N DEL FEN~MENO DE PERFORACIÓN
2.4. CARACTERfSTICAS FfSICAS IMPLEMENTADAS EN GEOMIST
2.5. FRONTERAS DEL DOMINIO FÍSICO DE ESTUDIO
2.6. REGIONFS EN QUE SE DIVIDE EL MODELO FfSICO PARA SU ESTUDIO
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CAPITULO 3 FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO
3.1. INTRODUCCI6N 17
3.2. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE LA TUBERfA DE PERFORACIÓN 19
20 3.2.1. HIPÓTECIS EMPLEADAS EN EL DESARROLLO DE LAS ECUACIONEC
3.2.2. SELECCIÓN DEL VOLUMEN DE CONTROL PARA LA TUBERfA
DE PERFORAU6N 21
3.2.3. PLANTEAMIENTO DE LAS ECUAUONES GOBERNANTES EN LA TUBERfA DE PERFORACI6N 22
3.2.4. CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA 25
3.3. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE LA TUBERfA DE RETORNO 26
3.3.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE FLUJO MULTIFÁSICO 27
3.3.2. VOLUMEN DE CONTROL PARA LA TUBEdA DE RETORNO 29
3.3.3. DESARROLLO DE LAS ECUACIONES GOBERNANTIS PARA EL ÁNIJLO 29 3.4. EFECTO DE LAS GOTAS DE AGUA EN EL MODELO DE FLUJO COMPRESIBLE
3.5. FORMLJLACIÓN MATEMÁTICA PARA LA FORMACI6N
3.4.1. VOLUMEN DE CONTROL EN LA ROCA
3.4.2. PLANTEAMiENTO DE LA ECUACIÓN DE DIFUSiÓN PARA LA FORMACIÓN
3.4.3. CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA PARA
LA FORMAU6N
3.6. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES CONVECTNOS DE
TRANSFERENCIA DE CALOR
CAPITULO 4 PLANTEAMIENTO NUMÉRICO DE LA SOLUCIÓN
4.1. INTRODUCCI~N
4.2. PROCESO DE DISCRETIZACI6N
4.2.1. DISCRETLZACI6N ESPACIAL
4.2.2. DISCRETIZACI6N NUMÉRICA
4.3. MÉTODO DE VOLUMEN DE CONTROL
4.4. DISCRETIZACI6N GENERAL DE LA ECUACIÓN DE ENERGfA PARA EL
FLUIDOGEOTÉRMICO 4.5. ESQUEMA DE SOLUCIÓN PARA EL POZO
4.6. DISCRETIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA LA TUBERfA DE PERFORACIÓN
4.7. DIscnsnzACIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE MASA Y
CANTiDAD DE MOVIMIENTO PARA EL h U L 0
4.8. DICCRETIZACI6N DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN PARA LA FORMACIÓN 4.9. EQüEMA DE SOLUCIÓN PARA LA FORMACIÓN
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1NDlCE
CAPITULO 5 PROCEDIMIENTO DE SOLUCI6N
5.1. INTRODUCCI6N
5.2. PROCEDIMIENTO DE SOLUCI6N
5.3. MODULACI6N DEL C ~ D I G O 5.3.1. SUBRUTINAS
5.3.2. FUNCIONES
5.4. INTERACCI6N DE VARIABLES ENTRE M6DULOS
5.5. SECUENCIA DE EJECUCIÓN DE LOS M6DULOS
5.6. FORMA DE EMPLEO DEL SIMULADOR
5.6.1. DATOS DE ENTRADA REQUERIWC POR GEOMICT
CAPITULO 6 ANALISIS DE N?SULTADOS
6.1. INTRODUCCI6N
6.2. VALIDACI6N DEL C6DIGO
6.3. APLICACIÓN DEL C6DIGO ESTUDIO DEL POZO LV-4
CAPITULO 7 CONCLUSIONES
7.1. GEOMIST
7.2. TRABAJOS PLTTuROc 7.3. COMENTARIOS FINALES Y RECOMENDACIONES
BIBLIoGRAFfA GENERAL
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APÉh'DICE A -PROPIEDADES DEL AIRE UTILIZADAS EN EL DESARROLLO DEL MODELO
APÉNDICE B -FACTOR DE FRICCI6N Y COEFICIENTE DE ARRASTRE
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APÉNDICE c -EFECTO DE LOS CAMBIOS DE AREA SOBRE LAS ECUACIONES
101 DE CONSERVACI6N
iii
. . , . , . . . I .
LISTA DE FIGURAS
Figura Página
2.1. Representación esquemática del modelo fisico utilizado en del desarrollo del simulador GEOMIST
2.2. Representación gráfica del tren de ensamble para perforación
2.3. Fronteras que contempla el dominio físico del modelo para su estudio
2.4. Representación esquemática de las regiones en que se divide el modelo fisico para su estudio
3.1. Representación fisica del volumen de control para la tubería de perforación
3.2..RepresentaciÓn matemática de los nodos en la tubería de perforación
3.3. Ilustración de la condiciones inicial para todo el pozo durante el proceso de perforación
3.4. Representación fisica del volumen de control en el anulo
3.5. Representación matemática de los nodos en la tubería de retorno
3.6. Representación fisica del volumen de control para la formación
3.7. Representación matemática de las celdas de la formación acoplada al pozo
4.1. Representación de las celdas en las que se encuentra dividido el dominio fisico de estudio al aplicar una malla tipo MAC
4.2. Representación de la Celda Central y ubicación del volumen de control
4.3. Representación de la Celda U y ubicación del volumen de control
4.4. Ubicación de los nodos que representa el intercambio de energía del fluido en el modelo fisico
5.1. Diagrama de interacción entre módulos del código GEOMIST
5.2. Diagrama de la arquitectura del código GEOMIST
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6.1. Comparación de los perfiles de temperatura reportados en la literatura contra los obtenidos con GEOMIST ( TP = Tubería de perforación )
6.2. Comparación de las caídas de presión reportadas en la literatura contra
78
los obtenidos con GEOMIST ( TP = Tubería de perforación ) 78
6.3. Estado mecánico final del pozo LV-4 del campo geotérmico Las Tres Vírgenes 79
6.4. Registros de temperaturas obtenidas durante el proceso de perforación del pozo LV-4 80
6.5. Registros de temperaturas del pozo geotérmico LV-4, obtenidos al ejecutar GEOMIST 82
6.6. Comparación de los datos reportados en el campo ( registro T9 ) contra los obtenidos con GEOMIST 83
6.7. Comparación de los datos reportados en el campo ( registro TI0 ) contra los obtenidos con GEOMIST 83
6.8. Comparación de los datos reportados en el campo ( registro T9 ) contra los obtenidos con GEOMIST 84
6.9. Comparación de los datos reportados en el campo ( registro TI0 ) contra los obtenidos con GEOMJST 84
101 C1. Sección de tubería que ilustra esquemáticamente un cambio de área axial
LISTA DE TABLAS
Tabla
6.1. Descripción de las dimensiones fisicas del pozo
6.2. Archivo de datos de entrada del código GEOMIST utilizado en la etapa de validación del código
6.3. Archivo de datos de entrada del código GEOMIST correspondiente al pozo LV-4 del campo geotémico Las Tres Vírgenes
B1. Valores de la rugosidad absoluta utilizados en GEOMIST
B2. Valores de las constantes utilizadas en la determinación del coeficiente de arrastre
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GLOSARIO DE SÍMBOLOS
LETRAS LATINAS
A =Área [m2].
Aa, A,, A> =Coeficientes de correlaciones, Ec. ( A -1 ).
C= Capacidad térmica específica [Jkg K].
Co= Coeficiente de arrastre.
D = Diámetro del tubo, diámetro hidráulico [m].
F = Caída de presión por fricción [ N/m2].
j’ = Coeficiente de friccih.
h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor [W/m2 K].
g = Aceleración de la gravedad [ d s ’ ] .
G =Densidad de flujo niásico por unidad de área [kg /m2s]
K = Conductividad térmica [W/m K]
L = Longitud [m].
L, = Longitud característica [m].
m = Gradiente geoténnico
P = Presión [ ~ / m ’ ]
Q = Flujo de calor por unidad de área [W/m2].
Q = Flujo de calor generado por unidad de volumen [W/m’].
R = Constante universal del gas.
r = Dirección radial, radio [m].
T = Temperatura [K].
T,, Temperatura de la superficie [K].
T, = Temperatura de la pared en el instante de tiempo t [K].
T, = Temperatura imperturbable de la formación PI. -
i= Tiempo [SI.
U = Coeficiente global de transferencia de calor [W/m2 K].
v = Velocidad [ d s ] .
v =Volumen [m’].
W= Caída de presión por efecto de la gravedad [Níin’].
z = Profundidad [m].
LETRAS GRIEGAS
a = Difusividad térmica [m2/s].
p = Coeficiente de dilatación voluniétrica = [ l k ] .
h = Fracción de vacíos.
A = Incremento.
E =Rugosidad absoluta [m].
0 = Fracción volumétrica de los recortes.
p =Densidad [kglm’].
<p= Energía cinética [Hkg].
6 = Energía potencial [kJkg].
0 = Ángulo respecto n la vertical [ grados 1.
,u = Viscosidad dinámica [N drn’].
- p = Densidad de me.zcla bifácica [kg/m’]
viii
PARÁMETROS ADIMENSIONALES
Gr =Número de Grashof .
Nu =Número de Nusselt.
Pr = Número de Prandtl .
Re = Número de Reynolds
SUPERÍNDICES
z = Dirección axial.
r = Dirección radial
’ = Variable discretizada.
SUBÍNDICES
a = Correspondiente al aire.
acu = Acumulación.
bh = Fondo del pozo.
eff = Corresponde a propiedades efectivas.
i = Dirección radial de los nodos.
k = Dirección axial de los nodos.
p = Presión constante.
s = Correspondiente a la fase sólida ( recortes ).
T = Total.
1 = Corresponde a la tubería de perforación.
2 = Corresponde a la tubería de retorno o ánulo.
3 = Corresponde a la formación.
RESUMEN
Durante la perforación de pozos geotérmicos, la obtención de los perfiles de temperatura,
así como su correcta interpretación, juega un papel muy importante en el proceso de construcción,
ya que a partir de éstos, se establece el diseño de fluidos de perforación y lechadas cementantes,
se previenen posibles choques térmicos y se lleva a cabo la instalación de tuberías con un
mínimo de holguras y esfuerzos de origen térmico.
La determinación de estos perfiles siempre ha representado un problema, siendo una
altemativa para su solución, el diseño de simuladores numéricos capaces de predecir el
comportamiento térmico que se observa en un pozo geotérmico al momento de su construcción;
sin embargo, los simuladores con los que se cuenta actualmente, están limitados a casos en los
que se utilizan fluidos incompresibles, tales como Iodos base agua o aceites base agua, como
fluido de perforación.
Por otro lado, estudios recientes han demostrado que las mezclas de aire y agua como
fluido de perforación permiten mayores velocidades de penetración y eliminan el problema de las
pérdidas de circulación.
I La determinación del gasto volumétrico en esta clase de procesos representa una
problemática, ya que el flujo inyectado a través de la tubería de perforación debe ser suficiente
para arrastrar consigo los recortes de perforación, sin llegar a alcanzar condiciones críticas de
flujo.
La presente investigación está enfocada a la implantación de un código numérico, capaz
de simular los comportamientos térmicos y de flujo de fluidos, que se presentan en pozos
geotérmicos durante su etapa de perforación, al utilizar aire y agua como fluido de perforación.
Para lograr ésto, se desarrolló un modelo matemático que considera la naturaleza
compresible del flujo y el código numérico respectivo (denominado GEOMIST), esto con el fin
de determinar los perfiles de velocidad, presión y temperatura durante el proceso de perforación
de pozos.
RESUMEN
El modelo matemático y computacional se dividió para su estudio en tres partes: tubería
de perforación, tubería de retorno (ánulo) y formación rocosa.
La primera parte contempla la solución simultánea de las ecuaciones de conservación de
masa, cantidad de movimiento, energía y la ecuación de estado para gases ideales, siguiendo el
modelo de flujo homogéneo. Este sistema de ecuaciones son llevadas a su forma discreta con base
en el método de volumen de control, aplicando el método de residuos pesados y el método
iterativo Gauss-Seidel para lo obtención de la solución.
En la región anular, se aplica
Wallis. El procedimiento de solución
análisis de flujo multifásico basado en el modelo de
esta región contempla, además del método de residuos
pesados y el método de Gauss-Seidel, el d o de una correlación capaz de predecir la velocidad de
deslizamiento que guardan el fluido de perforación y los recortes de perforación a la entrada de
cada volumen de control.
La formación rocosa se analiza bidimensionalmente como un medio isotrópico
semiinfinito, planteando para su estudio la ecuación de difusión de calor en coordenadas
cilíndricas. Su discretización comprende la aplicación de la técnica de diferencias finitas en forma
implícita y su solución se obtiene a partir del método de Gauss-Seidel.
Para el desarrollo del código numérico, se utilizó el lenguaje Fortran 77. A partir de ésto,
se obtuvo un simulador numérico capaz de predecir las tendencias que producen los fenómenos
de transferencia de calor y de flujo de fluidos que intervienen en un pozo durante su construcción.
La funcionalidad del modelo se determinó al comparar los datos obtenidos mediante la
ejecución del mismo, contra datos reportados en la literatura y datos de campo de un pozo geotémico nacional, encontrandose una comparación satisfactoria entre éstos y los perifiles
simulados.
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CAPITULO 1
INTRODUCCI~N
1.1 GENERALIDADES
Actualmente, la energía geotérmica se ha convertido en un factor muy importante para la
supervivencia del hombre de la era industrial, ya que dos de las fuentes de energía más
promisorias a largo plazo, de importancia aún mayor que los combustibles fósiles y la fisión
nuclear, son la fusión termonuclear controlada (que hasta ahora nos ha aludido) y la energía
geotérmica que ha progresado rápidamente y para la cual puede verse ahora la promesa de
nuevos e impresionantes avances.
Hay por supuesto otros recursos disponibles, de los cuales la energía hidroeléctrica es tal
vez la más importante. En la actualidad, se usan sólo alrededor de la sexta parte de los recursos
mundiales totales estimados de energía derivada del agua que son técnicamente utilizables y,
en 1990, alrededor del 28% de las necesidades mundiales de electricidad se obtenían de esa
fuente. Por consiguiente, podría pensarse a primera vista que debería haber suficiente energía
hidroeléctrica para satisfacer todas o la mayor parte de nuestras necesidades de energía durante
un tiempo razonable, aún tomando en cuenta el crecimiento; pero las restricciones de la
economía, la ubicación relativa del mercado y el recurso, y su disponibilidad variable según las
estaciones del año, le impondrán casi seguramente al desarrollo hidroeléctrico un límite muy por
debajo de lo que es técnicamente utilizable.
Luego está la energía solar, inagotable y abundante pero su condición difusa aún la hace
dificil de controlar a la escala requerida, aunque a pequeña escala puede ser de considerable
importancia local. La energía de las mareas, la del viento y la de las olas son recursos renovables
cuya utilización debe impulsarse al mayor grado posible; pero estas formas sólo pueden influir
modestamente en las necesidades energéticas del mundo.
Por lo tanto, el calor terrestre parecería en el presente, ser capaz de aportar una solución
más viable e inmediata que cualquiera de los demás recursos disponibles, a las presiones que
actúan sobre los menguantes suministros de combustibles a nivel mundial. Por ello, la
explotación de yacimientos geotérmicos en los últimos años ha tenido un auge sin precedentes,
tanto en México como en el resto del mundo.
En México, actualmente se explotan un buen número de campos geotérmicos, siendo
algunos de gran importancia: Los Azufres en Michoacán, Cerro Prieto en Baja California Norte y
los Humeros en Puebla. Una parte importante en el desarrollo de estos campos es la perforación y terminación de pozos geotérmicos, ya que éstos constituyen la conexión entre el yacimiento
geotérmico, y la superficie del mismo, y es el conducto de los fluidos geotérmicos hacia el equipo
donde se genera la energía eléctrica.
2
WTROOUCCi6N CAPITLlLO 1
1.2 OBJETIVO DE LA PRESENTE INVESTIGACI~N
La perforación de pozos geotérmicos es costosa y presenta una problemática muy especial
en cuanto al entendimiento de diversos procesos de flujo de fluidos y transferencia de calor que
ocurren en ella. Dentro de las dificultades que más comúnmente se presentan en la construcción
de estos pozos se encuentran: la estimación de temperaturas de fluidos de perforación, el
fenómeno de pérdidas de circulación y la interpretación correcta de los perfiles de temperatura .
El fluido de perforación constituye un papel muy importante en el proceso de perforación
debido a las múltiples funciones que debe realizar durante su trayecto en el pozo, entre las cuales
se encuentran: acarreo y suspención de recortes de perforación, enfriamiento y lubricación de la
barrena, protección contra la corrosión de la tubería de perforación, enfriamiento parcial de la
formación para la cementación, etc. Ésto tiene una influencia significativa ep el éxito de la
operación, proporcionando una construcción más segura del pozo ya que ésta tiene un efecto
directo sobre su vida útil, y por ende, sobre la explotación económica de este recurso.
Dentro de lo que es la construcción del pozo, una de las disciplinas que se consideran al
perforarlo es la estimación de los perfiles de temperatura, siendo una alternativa para la
evaluación de dichos perfiles, cálculos computacionales basados en los principios de
conservación de masa, momento y energía, auxiliándose de una serie de argumentos teóricos
fundamentados en los principios de transferencia de calor y dinámica de fluidos.
Los estudios llevados a cabo en la construcción de pozos, cuando utilizan aire como
fluido de perforación, han demostrado que éstos, permiten mayores velocidades de penetración y
elimina el problema de las pérdidas de circulación, en comparación con Iodos usados para el
mismo fin. Por lo tanto, el presente estudio tiene como finalidad desarrollar un simulador
numérico que sea capaz de llevar a cabo en forma precisa, el análisis térmico de un pozo geotérmico, el cual emplea aire y agua como fluido de perforación, con el propósito de aplicarlo a
pozos geotérmicos nacionales.
3
-
INTRODlJCCi6N CAPITLRL) 1
1.3 ESTADO DEL ARTE
Actualmente los principales fluidos de perforación que se utilizan para la excavación de
pozos geotérmicos, son fluidos incompresible, sin embargo en los Últimos años, se ha descubierto
que las nieblas1 de aire y agua tienen varias ventajas sobre los fluidos de perforación
convencionales, tales como: mayores velocidades de penetración, mayor vida de las barrenas y
ausencia de pérdidas de circulación.
’ Para lograr estas ventajas, es importante mantener una circulación (flujo de fluido)
adecuada para el enfriamiento de la barrena y el acarreo de recortes. La determinación del flujo
volmétrico requerido para mantener esta circulación “adecuada” siempre ha sido una dificultad.
La mejor técnica disponible son los diagramas desarrollados por Angel (1957), sin embargo,
estos diagramas están limitados a unos cuantos casos y de acuerdo a Angel, una segunda
dificultad es que los recortes de perforación se supone que viajan a la misma velocidad que el
aire, y los flujos se subestiman en un 20-30 %.
Por otro lado, en la actualidad se cuenta con simuladores numéricos que se aplican durante
la perforación de pozos geotérmicos, sin embargo, el desempeño de éstos es relativamente bajo y
su aplicación está limitada a unos cuantos casos.
Uno de los primeros trabajos realizados, fue el desarrollado por Raymond (1969), el cual
desarrolló un método de predicción para la distribución de temperaturas en un pozo geotérmico,
suponiendo que la transferencia de calor en el pozo se llevaba a cabo en régimen permanente,
mientras que la formación se analizaba bajo régimen transitorio. Además, la temperatura de la
superficie y el gradiente geotérmico se mantienen constantes.
I. El termino nlebia deriva del ingles ‘mist.. con lo cual se define a1 fluido de perforacibs constituido a base de aire al cual se le amade una cantidad deteninada de agua en estado liquido.
4
INTRODUCCI~N CAPITULO 1
Posteriormente, Keller et. al. (1973) llevó a cabo la implantación de un código
computacional, utilizando lodo como fluido de perforación. El análisis consistió básicamente en
discretizar las ecuacioiies de cantidad de movimiento y energía utilizando el algoritmo de Tomas
para resolver la matriz tridiagonal resultante; el modelo considera la transferencia de calor sólo en
la dirección radial y axial, por lo que es un modelo bidimensional.
Su discretización considera una técnica de diferencias finitas en forma explícita. Para el
calculo de los coeficientes convectivos usaron las correlaciones empíricas de Seider-Tate. Una de
las contribuciones más valiosas de este estudio, fue el determinar que los términos de generación
de energía térmica por efecto de la fricción de la barrena y esfuerzos viscosos en las tuberías,
juegan un papel importante en esta clase de estudios.
Posteriormente, Marshall y Bentsen ( 1982 ) desarrollaron un modelo computacional, el
cual considera que el fluido de perforación se inyecta en la tubería de perforación a una
temperatura conocida y su variación depende de la convección llevada a cabo en la dirección
del flujo y de la transferencia de calor por conducción en la dirección radial, llevada a cabo entre
el fluido de perforación y la pared de la tubería, acoplando la transferencia de energía con la
zona anular.
E! análisis se llevó a cabo en régimen transitorio, por lo que se determinó que el tiempo de
circulación del fluido, tiene una importante influencia sobre los perfiles de temperaturas.
Además, consideraron la generación de calor producida por los efectos de disipación viscosa
(fricción) y trabajo de la barrena, concluyendo que ésta, tiene un efecto significativo sólo a profundidades mayores de 2500 m.
La implantación de este modelo considera: flujo totalmente desarrollado, turbulento en la
tubería de perforación y laminar en la zona anular; transferencia de calor por convección en el
fluido de perforación en la dirección axial, encontrando que los gradientes de temperatura radial
en el fluido de perforación y la disipación de calor por efectos viscosos son despreciables,
5
INTRODUCCI~N CAPlTLnO 1
considerándose para tal efecto, que las propiedades termofisicas del fluido de perforación, tales
como: densidad, conductividad térmica y capacidad térmica, son independientes de la
temperatura.
Arnold (1990), llevó a cabo un análisis analítico sobre la transferencia de calor en pozos
geotérmicos, suponiendo régimen permanente en el fluido de perforación (lodo), y estado
transitorio en la formación. Entre los puntos más relevantes obtenidos con su análisis se encuentra
que la temperatura en el fondo del pozo y en la superficie anular, cambia rápidamente durante las
primeras horas de circulación, decreciendo este cambio en las horas posteriores.
Por otro lado, logró establecer que durante la circulación, la temperatura máxima del
fluido ocurre en la zona anular en un punto ubicado ligeramente arriba del fondo del pozo y
que la presencia de depósitos y bolas de lodo en la formación, no tienen un efecto significativo en
la temperatura durante la circulación; además, pudo comprobar que la temperatura máxima del
fluido en la zona anular es función de: el gasto másico, el tiempo de circulación y las propiedades
termofisicas del fluido, tal y como era de esperarse.
Seguido a este estudio, un año mas tarde, Beirute (1991) desarrolló un modelo
computacional el cual simula los perfiles de temperatura durante la circulación de lodo o durante
la cementación de pozos, al igual que simula la circulación del fluido de perforación.
El modelo es totalmente transitorio en el pozo y la formación, donde se supone
conducción puramente en la dirección axial y radial. El simulador maneja como fluidos de
perforación únicamente fluidos incompresibles. Este simulador calcula además propiedades
termofisicas de los fluidos de perforación y suelo basándose en correlaciones empíricas.
El sistema de ecuaciones en el que se basa el código, es un sistema de ecuaciones
diferenciales parciales, producto de una serie de balances de los principios de conservación, que
se resuelven utilizando un método numérico de diferencias fmitas implicito.
6
iNTRODUCCi6N CAPITULO 1
Recientemente, Hernández et. al. ( 1997 ) determinaron el comportamiento térmico del
fluido de perforación (lodo) y la roca circundante durante la perforación y terminación de pozos
geotérmicos. El estudio está basado en un modelo matemático que considera los mecanismos de
transferencia de calor entre el fluido de perforación y la roca circundante durante periodos de
circulación y periodos de paro. En esta investigación, se determinaron y se compararon los
perfiles de temperatura en el pozo y roca circundante contra datos de campo, observándose una
discrepancia de aproximadamente 15 "C entre los datos medidos y los calculados en zonas de baja
profundidad ( hasta 300 m ), sin embargo a profundidades mayores de 1500 m, la diferencia entre
los datos medidos y los calculados, fue inferior a 5 "C.
Garcia et. al. (1998), desarrollaron un código computacional capaz de predecir las
temperaturas en el pozo ( incluyendo cementaciones ) y en la formación circundante, además de
determinar las velocidades del fluido de perforación en las direcciones axial y radial,
contemplando con esto, la posible existencia de pérdidas de circulación; obteniéndose las
propiedades efectivas del fluido-roca debido a este fenómeno.
El análisis llevado a cabo para el desarrollo de este modelo bidimensional, es totalmente
transitorio en todas las regiones del pozo ( tubos, espacios anulares, cementación y formación ).
El código permite resolver el problema inverso al fenómeno de pérdidas de circulación, en una
forma no muy sofisticada, ya que considera la distribución de porosidad en la roca.
Como podemos darnos cuenta, en la actualidad existen modelos y simuladores con los
cuales podemos obtener perfiles de temperaturas en pozos geotérmicos. Sin embargo son
inexactos y en general utilizan lodo como fluido de perforación, lo cual implica el problema de
pérdidas de circulación, siendo la alternativa más viable para la solución de éste, la utilización de
aire o niebla durante estos periodos.
INTRODUCCIÓN cAPm0 1
La simulación numérica, para la obtención de perfiles de temperatura en esta clase de
procesos, puede llevarse a cabo proponiendo un modelo capaz de resolver las ecuaciones de flujo
compresible de gases e incorporando las modificaciones necesarias para considerar el efecto de
los recortes de perforación, con base en los principios de flujo multifásico.
El desarrollo de GEOMIST, un código numérico que reúne estas características, así como
su implantación en PC, es la meta del presente estudio.
1.4. METODOLOGfA
El punto de partida de la metodología aplicada, dio inicio con la revisión bibliográfica
(mostrada en la sección previa) con el fin de conocer cual ha sido el alcance de las
investigaciones que sobre este tema se han realizado hasta la fecha. Posteriormente se formula el
planteamiento físico del problema con el objeto de establecer un modelo el cual plasme en forma
general la estructura física del pozo en cuestión, considerando desde un punto de vista práctico,
que éste cumpla las características generales de pozos geotérmicos que actualmente se encuentran
en proceso de perforación.
Una vez completada esta etapa, se presenta un planteamiento matemático aplicando los principios de conservación de masa, energía y cantidad de movimiento, así como también se
establece el uso de algunas correlaciones o relaciones de cerradura para obtener un conjunto
completo de ecuaciones. Además, se determinan condiciones de iniciales y de frontera para los
distintos casos de aplicación del modelo.
El planteamiento numérico comprende el uso del método de volumen de control para la
discretización de las ecuaciones diferenciales parciales planteadas en el desarrollo matemático del
modelo aplicando técnicas de diferencias finitas implícitas para la solución de las mismas
seleccionándose este esquema con base en que el esquema de solución explícito tiene el
8
INTRODUCCI~N CAPITULO 1
inconveniente del tiempo de ejecución, el cual es inadecuado en aplicaciones donde se requiere
de rapidez en la toma de decisiones durante la construcción de pozos.
Posteriormente se diseña un algoritmo de solución de dichas ecuaciones en forma discreta
para poder implementarlas en un código computacional y llevar a cabo la ejecución del código en
cuestión, en computadoras personales. Una vez obtenido el código numérico se ejecutan
simulaciones de casos conocidos, comparándose los resultados obtenidos contra datos de campo
para su validación, haciéndose un balance comparativo de dichos resultados y los datos con que
previamente se han venido llevando a cabo los procesos de perforación de pozos geotérmicos
nacionales con el tin de mejorar su construcción.
1.5. ESTRUCTURA DEL TRABAJO DE TESIS
El presente trabajo está dividido en siete capítulos. El primero de ellos, llamado
“introducción”, da a conocer la motivación e importancia que tiene la presente investigación y
una breve descripción de los modelos matemáticos desarrollados hasta la fecha, así como también
el objetivo planteado de la investigación.
En el capítulo dos, se describe el modelo fisico seleccionado para el estudio de los
fenómenos transporte. El capítulo tres trata el planteamiento matemático del modelo, basado en
los principios de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía, así como también en
algunos conceptos de flujo multifásico.
El procedimiento numérico para dar solución al sistema de ecuaciones, se describe en el
capítulo cuatro. Aquí se explica el proceso de discretización, aplicando el método de volumen de
control. También se exponen las ecuaciones generales de transporte necesarias para la
implantación en PC. El capítulo posterior, describe el algoritmo de solución y la arquitectura
modular del programa computacional del código GEOMIST.
9
CAPlTLlLO 1 INTRODUCClbN
El capítulo seis comprende la validación y aplicación de código numérico. La primera de estas etapas se basa en la comparación de datos obtenidos mediante la ejecución del código contra
datos reportados en la literatura; la segunda de éstas, comprende la simulación del proceso de
perforación y la comparación de resultados obtenidos en un pozo geotérmico nacional.
El capítulo siete presenta las conclusiones del presente trabajo, así como la apertura a
trabajos futuros de esta investigación. Finalmente, se incluye la bibliografia general utilizada para
la realización de este estudio.
1.6. ALCANCE DEL PRESENTE TRABAJO
El alcance de esta investigación incluye: formulación matemática, solución numérica,
implantación en PC, validación y aplicación en el análisis de pozos geotérmicos nacionales.
El desarrollo matemático del código, se basa en un análisis de flujo compresible,
estableciéndose el uso de algunas correlaciones o relaciones de cerradura para obtener un
conjunto completo de ecuaciones. Además, se establecen las condiciones inicial y de frontera para
los distintos casos de estudio. Este análisis está formulado en base a hipótesis con el fin de
simplificar el proceso de obtención de la solución.
A partir de ésto, en los procesos de perforación de pozos en los cuales se haga USO de
distintos fluidos, solamente se podrán hacer simulaciones de las etapas en las que se utilizan aire
o niebla, por lo que en los casos restantes, será necesario hacer uso de un simulador auxiliar,
capaz de simular las etapas que utilicen otro fluido de perforación como puede ser lodo o aceite. Simuladores de este tipo fueron los desarrollados Beirute (1991), Hernandez et. al (1997) y
García et. al. ( 1998 ).
10
CAPITULO 2
DESCRIPCIÓN DEL MODELO FISICO
2.1. INTRODUCCI~N
El desarrollo de un modelo computacional como el que demanda GEOMIST, requiere la
selección de un modelo Gsico aplicable a la mayoría de los pozos geotérmicos que actualmente se
encuentran en proceso de perforación en nuestro país. Dicho modelo considera las pactes
generales de un pozo geotérmico, que son: tubería de perforación, tubería de revestimiento,
espacios anulares, cementación, formación y la circulación del fluido en el interior del mismo.
El modelo seleccionado permite la simulación de los fenómenos de transporte en
dirección axial a la tubería de perforación y la simulación de fenómenos de transferencia de calor
en periodos de paro ( shut-in ).
DECCRIPCI6N DEL MODELO FíSlCO CAPITULO 2
2.2. MECANICA ESTRUCTURAL DEL MODELO
El modelo físico seleccionado para el desarrollo de GEOMIST, se ilustra
esquemáticamente en la Figura 2.1. y esta constituido básicamente por las siguientes partes:
tubería de perforación, tubería de retorno o- ánulo, tuberías de revestimiento y fluido de
perforación.
La tubería de perforación, es la encargada de conducir el fluido de perforación hasta el
fondo del pozo, y su longitud se extiende a partir de la superficie hasta la barrena en el fondo del
pozo. La tubería retorno, como su nombre lo indica, es el medio a través del cual el fluido de
perforación retorna a la superficie, arrastrando con él, el sustrato producto del proceso de
perforación; mientras que las tuberías de revestimiento, son las encargadas de contener las
lechadas cementantes, las cuales su vez, previenen el desmoronamiento de la formación rocosa
hacia el interior del pozo.
El fluido de perforación, es inyectado a la tubería de perforación y tiene como fin: enfriar
y lubricar la barrena y acarrear los recortes de la roca fragmentada, desde el fondo del agujero
hasta la superficie.
2.3. DESCRIPCI~N DEL FENOMENO DE PERFORACI~N
Tomando como referencia la Figura 2.1., el proceso de perforación se inicia en el
momento de inyectar fluido dentro de la tubería de perforación, llevándose a cabo una serie de
fenómenos de transporte de energía, masa y cantidad de movimiento.
Dicho proceso, en forma general, puede dividirse en tres etapas principales:
1. El fluido entra a la tubería de perforación en la superficie y desciende a través de esta
tubería hasta la barrena en el fondo del pozo. A lo largo de su trayecto, el fluido intercambia calor
con la tubería que lo contiene, la cual es afectada por la convección que el mismo fluido propicia
al retomar por el ánulo
12
DBW-RIPCI~N DEL MODELO ~Mco CAPITULO 2
Fluido de Perforación I Superficie
Figura 2.1. Representación esquemhtica del modelo fisico en del desarrollo del simulador GEOMIST.
13
cAPm0 2 DKSCIUFU6N DEL MODELO FfsrCO
2. El fluido sale de la tubería de perforación a través de la barrena y entra al espacio anular
formado por la tubería de perforación y la cara del agujero. Esta fase se lleva a cabo en el fondo
del pozo y es donde se presenta el fenómeno de generación de energía térmica por efecto del
trabajo de la barrena.
3. El fluido asciende a través del espacio anular, arrastrando consigo los recortes de
perforación hasta salir a la superficie. En esta etapa, el fluido intercambia calor por convección
con la tubería de perforación, la cual a su vez, lo hace con el fluido que desciende a lo largo de
ella y calor por conducción con las tuberías de revestimiento o con las columnas de cementación
en caso de existir.
Estas fases son la más generales para la circulación del fluido de perforación en pozos
geotérmicos, siendo la física del comportamiento del fluido, muy similar a la que se presenta en
un intercambiador de calor de flujos cruzados (Kern, 1995).
2.4.CARACTERÍSTICAS FÍSICAS IMPLEMENTADAS EN GEOMIST
GEOMIST es un simulador térmico diseñado para la solución de problemas de ingeniería
en procesos de perforación con aire o niebla, por tal motivo se hizo necesario implementar una
sene de características, para la solución de problemas comunes en la construcción de pozos
geotérmicos. Dichas características se enlistan a continuación:
1. Opciones de selección de flujo. El modelo permite seleccionar entre aire o niebla para
los procesos de perforación, además de simular flujos sin perforación, es decir periodos de lavado de pozo y periodos de paro.
2. Variación en la complexión del pozo. Se pueden variar los tamaños de las tuberías, revestimiento y profundidades del pozo así como también las longitudes de las columnas de
cementación.
3. Se permiten cambios de área en las tuberías y la existencia de fluido estancado en los
revestimientos del pozo, presentándose en éstos, mecanismos de convección natural.
13
CAPrnJLO 2 DESCNPCI~N DEL MODELO FkICO
4. El modelo contempla la posible existencia de un tren de ensamble (bottom hole
assembly) en los procesos de perforación, pudiéndose especificar las medidas de cada una de sus
partes. Dicho tren se ilustra en la Figura 2.2.
Figura 2.2. Representación gráfica del tren de ensamble para perforación
5 . El modelo no contempla la existencia de un contrapozo, necesario en los procesos de
perforación, sin embargo se permite la presencia de tuberías de revestimiento con columnas de
cementación, las cuales se extienden hasta la superficie o incluso el modelo, contempla la
implantación parcial de dichas columnas hasta determinada profundidad, permitiendo con ésto, la
existencia de fluido estancado en las secciones no cementadas. El fluido contenido en estas
tuberías puede ser agua o lodo durante cualquier proceso de simulación (perforación, paro o
lavado de pozo).
14
cAPm0 2 DEXNPCI~N DEL MODELO F ~ I C O
2.5. FRONTERAS DEL DOMINIO FÍSICO DE ESTUDIO
En los procesos de perforación se toma el fondo del pozo ( z,, ) como el último punto
donde se determinan las variables de salida en la tubería de perforación, sin embargo este punto
no es el Último que comprenderá el dominio fisico de estudio, sino que éste se extiende hasta
parte de la formación; ésto con la intención de que al incluir los efectos de la transferencia de
calor entre la roca y el fluido de perforación llevados a cabo en el fondo del pozo, se tenga una
aproximación más cercana de las características del flujo en dicho punto. Por lo tanto, la
profundidad máxima del dominio físico estará dada por zmar + L , donde L representa el espesor
de la formación considerado para el análisis.
La representación de e'sto se ilustra en la Figura 2.3. mientras que una explicación más
detallada al respecto se obtendrá a partir de los Capítulos 3 y 4 del presente estudio.
Revestimiento - I
Formación
(e Superficie
z
t Frontera del dominio firico
Figura 2.3. Fronteras que contempla el dominio fisico del modelo para su estudio
15 j
c A P m 0 2 D!SCRIPCI6N DEL MODELO FkiCO
2.6. REGIONES EN QUE SE DIVLDE EL MODELO FÍSICO PARA SU ESTUDIO
El modelo fisico se divide para su estudio en tres partes que son: tubería de perforación,
ánulos y formación rocosa. Cada una de estas partes se representa en la Figura 2.4.
correspondiendo los números 1, 2 y 3 a la tubería de perforación, tubería de retorno y formación
rocosa respectivamente; la figura también ilustra la región interfacial formada por el último
revestimiento y la formación rocosa, dicha región aparecerá como nodo de análisis al momento de
discretizar el presente modelo físico y su importancia se detallará en los Capítulos 3 y 4. La
distancia de la línea de centro a las tuberías existentes se expresa por medio de las variables r i , r2,
r,, r4 ... rn dependiendo del número de tuberías de revestimiento que contenga el pozo que se desea
analizar.
Linea de centro de la I tuberla de perioracibn I I I
I I I I I I I I 1 .
I luberiade I perforacidr I I I I I I
I I I
‘ 1
Tuberia de revestimiento
I
Figura 2.4. Representación esquemática de las regiones en que se divide el modelo fisico para su estudio.
16
CAPITULO 3
FORMULACI~N MATEMÁTICA DEL MODELO
3.1. INTRODUCCI~N
En esta sección se presenta la formulación matemática del simulador térmico GEOMST,
aplicable a pozos geotérmkos que utilizan aire o una mezcla aire-agua como fluido de
perforación.
El presente análisis describe un método para el cálculo de presión, temperatura, densidad
y velocidad del fluido durante periodos de perforación o periodos de paro dentro de un pozo
geotérmico. La implantación de este código comprende una serie de características que hacen de GEOMIST un simulador Óptimo para el análisis térmico en la perforación de pozos, entre las
cuales podemos mencionar las siguientes: I
cAPm0 3 FORMLILACIÓN MATEMARCA DEL MODELO
1. Los balances de energía son en régimen transitorio en el pozo y en la formación para la
obtención de los perfiles de temperatura.
2. El cálculo de las temperaturas en el pozo y en la formación se lleva a cabo en forma
acoplada.
3. Las propiedades térmicas de los materiales del pozo, incluyendo acero, cemento y
fluidos de perforación , son descritas en forma general a partir de los valores promedio reportados
en la literatura, de tal manera que puedan aplicarse a la mayoría de los pozo geotérmicos.
4. La diferencia de velocidades entre el gas y los recortes de perforación, se determina a
partir de la ecuación de cantidad de movimiento, al aplicarse en forma separada sobre la fase
sólida.
5. Se previene la posibilidad de flujo crítico en el pozo, llevándose autoniáticamente a
cabo los cambios necesarios en el gasto volumétrico y presión dentro de la tubería (Sec. 4.6.).
6 . Se predicen las caídas de presión a lo largo de toda la tubería de perforación y ánulo. 7. El efecto de los recortes de perforación en el flujo, tenderá a predecir el gasto
volumétrico requerido para mantener una circulación adecuada, tomando como parámetro, la
velocidad necesaria del aire para arrastrar los recortes hasta la superficie, lo cual se refleja en una
mayor velocidad de penetración durante los procesos de perforación.
Por otra parte, el modelo considera flujo compresible debido a que las variaciones en la
densidad son significativas, con lo que al considerar este efecto, se hace necesario incorporar una
ecuación de estado. Las variaciones en la temperatura, implicarán que la ecuación de energía
deba resolverse en forma simultánea con las ecuaciones de conservación de masa y cantidad de
movimiento, por lo que el planteamiento matemático del modelo estará constituido por el
siguiente conjunto de ecuaciones acopladas:
1. Ecuación de energía.
2. Ecuación de cantidad de movimiento.
3 . Ecuación de continuidad. 4. Ecuación de estado.
18
cAPm0 3 FORMLILAC16N MATEMÁTICA DEL MODELO
A partir de ésto, se obtiene un sistema de cuatro ecuaciones que ai ser resueltas en forma
simultánea determinarán las cuatro variables, que a la postre, nos caracterizan el flujo: presión
( p ), densidad ( p ), temperatura ( T ) y velocidad ( v ).
El análisis se divide en tres partes, cada una de las cuales caracteriza el pozo geotérmico,
éstas son: tubería de perforación, espacios anulares y formación rocosa. Estas secciones se
indican con los subíndices 1, 2 y 3 respectivamente dentro de las ecuaciones y su desarrollo se
describe a continuación.
3.2. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE LA TUBERÍA DE PERFORACIÓN
Este análisis implica el desarrollo de las ecuaciones antes mencionadas, para io cual se
hace un par de planteamientos para cada sección. Un planteamiento dinámico que 'nos
proporcione las variables desconocidas para cada nodo en condiciones de flujo a través de las
tuberías de perforación y ánulo, lo cual implicará mecanismos de transferencia de calor por
conducción, convección fonada y convección natural. Por otro lado, el estudio comprenderá
también un planteamiento estático, necesario para simular situaciones de paro durante los
procesos de perforación y lavado de pozo, implicando mecanismos de convección natural y
conducción de calor.
La implantación de las ecuaciones en cada región, llevará a la formulación de una serie de
hipótesis necesarias para la obtención de los resultados en forma simplificada. La descripción de
cada una de éstas, se muestra en la Sección 3.2.1. y su aplicación para cada parte del pozo, se
indicará al momento de llevar a cabo la simplificación de las ecuaciones de conservación sobre la
región correspondiente al estudio en cuestión.
19
C A P I N L O 3 FORMLILACIÓN MAmMÁTICA DEL MODELO
3.2.1. HIP~TESIS EMPLEADAS EN EL DESARROLLO DE LAS ECUACIONES
El desarrollo de las ecuaciones de los fenómenos de transporte, contempla una serie de
suposiciones e hipótesis. Dichas consideraciones son las siguientes:
H1. La transferencia de energía en la dirección radial se lleva a cabo mediante el
mecanismo de conducción de calor y los efectos convectivos en las tuberías y ánulos. Este
fenómeno es gobernado por la Ley de Fourier (método de conductancias).
H2. Los efectos radiativos de transferencia de calor se suponen despreciables.
H3. Se desprecian los efectos de generación de calor a causa de la fricción del fluido y
trabajo de la barrena ( Keller, H.H. et. ai., 1973 ).
H4. El mecanismos de convección natural que se presenta en los espacios anulares y
tubería de perforación en periodos de paro, se reduce a un problema de conducción,
empleando el concepto de conductividad efectiva.
H5. La velocidad y densidad se consideran constantes para un tiempo t = to e igual a su
promedio en el intervalo de análisis A z (propiedades puntuales) T =f(z , t ) .
H6. La entalpía es sólo función de T y p .
H7. Se consideran dos gradientes geotérmicos para establecer la condición inicial de la
transferencia de calor; uno a paitir de la superficie hasta un profundidad determinada y
otro, de dicha profundidad hasta el fondo del pozo.
H8. La velocidad del fluido varía únicamente en la dirección z (vr = O) -análisis unidireccional-.
CAPITULO 3 FORMLlLACIbN MATEMÁTICA DEL MODELO
H9. Los balances de masa y cantidad de movimiento se llevan a cabo en estado
permanente.
H10. Las Únicas fuerzas que se consideran relevantes al aplicar el principio de cantidad de
movimiento son la presión del fluido y la fuerza de gravedad.
H11. El aire se analiza como uq gas ideal (esto permite que el modelo sea aplicable con
otros gases siempre y cuando estos gases sean ideales, variando Únicamente las
propiedades termofisicas). De acuerdo con ésto, el código desarrollado incorpora la
posibilidad de utilizar nitrógeno como fluido de perforación.
3.2.2. SELECCIÓN DEL VOLUMEN DE CONTROL PARA LA TUBEFÚA DE
PERFORACI~N
Para llevar a cabo el análisis, se iniciará seleccionando un volumen de control (White,
1979) sobre el cual se aplicarán los principios de conservación. Éste se muestra en forma fisica y
matemática a través de las Figuras 3.1 y 3.2. respectivamente.
: Linea de centro Entrada de energia en la dirección del flujo Tuberia de perforación
Conducción - decaior
Salida de energia en el volumen de control
Figura 3.1. Representación fisica del volumen de control.
U
Figura 3.2. Representación matemática de los nodos en la tubería de perforaci6n (donde: o = E = CM. Tub. de perf. = 1, ánulo = 2. )
21
CAPITULO 3 FORMULACI6N MATEMÁTICA DEL MODELO
Cada uno de estos esquemas, representa un ekmento diferencial sobre el cual se llevarán a
cabo los balances de masa, cantidad de movimiento ( CM) y energía ( E ) , necesarios para el
desarrollo del modelo que caracterice las propiedades del flujo en la tubería de perforación.
3.2.3. PLANTEAMLENTO DE LAS ECUACIONES GOBERNANTES EN LA
TUBE& DE PEFWORACI~N
Aplicando la primera ley de la termodinámica sobre el volumen de control seleccionado,
podemos decir que:
E e r - E : + E , ' - E : + Q = E , . . . , . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . (3 .1)
donde E representa la energía que cruza las fronteras del volumen de control y Q la generación
de la misma dentro del volumen de control, mientras que los subíndices e y s indican entradas y
salidas en el volumen de control, por último los superíndices r y z corresponden respectivamente
a las direcciones radial y axial en la que la energía es transferida.
Los términos que intervienen en la Ecuación ( 3.1 .) pueden expresarse de la siguiente
manera, de acuerdo a H3, el término de generación desaparece (g = O); el intercambio de
energía en la dirección radial está dado por el intercambio de calor entre el nodo 1 y el nodo 2 de
la Figura 3.2. ( con o = E ) , mientras que el intercambio de energía en la dirección axial se debe a
las variaciones de entalpía, energía cinética y energía potencial. Con base en esto, la Ecuación
( 3.1 )toma la forma:
22
. .
FORMULACIÓN MATEMAnCA DEL MODELO CAPITLILO 3
c p = v 2 / 2 1 . 5 = pgcos0Az P
Y Y = - donde:
De acuerdo con H11, el segundo miembro del primer término del lado izquierdo, puede
considerarse despreciable (Wark, 1991). El término T' indica que esta temperatura debe ser
expresada en unidades absolutas mientras que los subíndices 1, a y ac indican la región correspondiente a la tubería de perforación y propiedades del aire y acero respectivamente; la
variable ,b corresponde al coeficiente de expansión volumétrica. Por otro lado, el término U,,
representa coeficiente global de transferencia de calor entre & y T,, o en otras palabras, la
facilidad con que se intercambia energía entre la tubería de perforación y tubería de retorno. Este
término se evalua de acuerdo a la siguiente ecuación:
En esta ecuación, los subíndices de las variables corresponden a las regiones y los radios =O , representados en la Figura 2.3. del modelo físico. Para condiciones de paro, tendremos que
por lo que la ecuación diferencial parcial ( 3.2 ) se reduce a la forma:
. . . . . ( 3 . 4
En este caso UI2 puede expresarse como:
( 3.5 1 . . . . . . . . . . . . . . .
donde el subíndice eff indica que se trata de una conductividad térmica efectiva (se aplica H4,
Sec. 3.2.1.) lo cual reduce el fenómeno de convección natural a un problema de conducción en el
23
FORMuLAU6N MATEMÁTICA DEL MODELO CAPITULO 3
ánulo; correspondiendo h, al coeficiente conyectivo de transferencia de calor para convección
natural, en la tubería de perforación. Dicho coeficiente se obtiene a partir de una serie de
correlaciones detalladas en la Sección 3.6.
Por otro lado, aplicando el principio de cantidad de movimiento en el volumen de control
( Figura 3.2. con w = CM ), podemos decir que:
Esta ecuación expresa que el término de acumulación de la cantidad de movimiento es
igual a las entradas menos las salidas de dicho fenómeno sobre el volumen de control, añadiendo
el efecto de las fuerzas que actúan sobre el sistema. AI sustituir los términos que intervienen y
aplicando el concepto de derivada, conforme a H9 y H10, la ecuación de conservación de la
cantidad de movimiento puede expresarse de la siguiente manera:
a ap - ( p v v )a + - + F + w . o . . . . . . . . . . . . . a Z a z
donde P y F representan el efecto de las fueizas superficiales normales y viscosas ( fricción )
respectivamente, mientras que W indica las pérdidas debido a la acción de la gravedad.
Por último, de acuerdo a HS y H9 la ecuación de conservación de masa se expresaría
como:
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - ( p v ) , , = O ( 3 . 8 ) a2
Mientras que al aplicar H11, la ecuación de estado para el aire se expresa de acuerdo a la
ecuación del gas ideal.
P = p R T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 3.9 )
24
CAPITULO 3 FORMULACl6N MATEMÁTICA DEL MODELO
Con ésto, el planteamiento matemhtito .forma un sistema cerrado constituido por las
Ecuaciones: (3.21, (3 .7) , (3 .8) y (3.9), donde la presión (P), densidad ( p ) ,
temperatura ( T ) y velocidad ( v ) representan las variables dependientes del sistema.
3.2.4. CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA
La solución de las ecuaciones desarrolladas en el planteamiento matemático, implican
determinar cuatro variables entre derivadas espaciales de primer orden, incluyendo un término
transitorio, lo que hace necesario establecer cuatro condiciones de frontera y una condición
inicial.
A partir de ésto, se aplica H7 (Sección 3.2.1.) , con lo que la condición inicial se establece
de acuerdo al gradiente geotérmico, pudiendo ser d0s.y no sólo uno, los gradientes que se
consideren, ésto con el fin de tener una mejor aproximación al variarlos en forma lineal tal y
como se expresa en la Figura 3.3. Dicha condicibn quedaría expresada de la siguiente forma:
T (r,z,t) = f (r4 paratodar y Zen t = O (3.10)
donde: f (r?z) = T, f mz T, = Temperatura de la superficie.
m = gradiente geotérmico.
Nivel del suelo
Temperatura de la superficie
+TemperaNra a una profundidad dada
Temperatura en el -> fondo del pow
Figura 3.3. Ilustración de la condición inicial para iodo el pozo durante el proceso de perforación
25
CAPlTLnO 3 FORMLlL.ACl6N MATEMÁTICA DEL MODELO
Por otra parte, las condiciones de frontera estarán dadas de acuerdo a las variables de
entrada, las cuales dependen de las condiciones-en que es inyectado el fluido de perforación, éstas
son independientes del tiempo y pueden ser expresas como se indica a continuación.
C.F.l. P = P i e n ' z = O paratodo I (3.11 )
C.F.2. v = v , en z = O paratodo I (3 .12)
C.F.3. T = T en z=O paratodo I (3.13 )
C.F:4. P = 4 en z = D paratodo I (3 .14)
En estas condiciones de frontera, el subíndice 1 corresponde a la entrada del volumen de
control y como señalaremos más adelante, el subíndice 2 corresponderá a las variables de salida
en dicho volumen.
3.3. FORMULACI~N MATEMÁTICA EN LA TUBERÍA DE RETORNO
La formulación del flujo compresible planteada para el modelado del flujo de la tubería de
perforación en la sección previa, es sólo una parte del análisis necesario para llevar a cabo la
simulación de un proceso de perforación con aire o niebla, ya que el aire al momento de llegar al
fondo del pozo, recoge los recortes producto del proceso de perforación, arrastrándolos a la
superficie. Por lo tanto, al analizar el retorno del flujo por el espacio anular, el problema a
plantear implica un análisis de flujo multifásico, en donde los recortes de perforación representan
una fase, el aire representa una segunda fase y la posible existencia de gotas de agua (niebla)
representaría una tercer fase.
Para considerar el efecto de los recortes de perforación y las gotas de agua a las
ecuaciones ya desarrolladas, es necesario llevar a cabo una serie de modificaciones apoyándose
en principios teóricos de flujo multifásico, para lo cual, será necesario definir algunos conceptos
necesarios para la obtención de la solución en dicho análisis.
FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO CAPITZILO 3
El análisis de flujo multifásico está basado en I las leyes básicas de la mecánica de los
fluidos, sin embargo las ecuaciones son más complicadas que aquellas que se obtienen en análisis
de una sola fase. Las técnicas a utilizar para llevar a cabo dichos análisis pueden ser muy
sofisticadas dependiendo de la cantidad de información necesaria para describir el flujo.
En la literatura se encuentran desarrollados algunos modelos aplicables a esta clase de
estudios, siendo los más comunes: el modelo de flujo homogéneo y el modelo de flujos separados
(Wallis G.B.,1969). El modelo de flujo homogéneo consiste básicamente en aplicar los
principios de conservación a un flujo unidireccional, el cual se considera como una mezcla
homogénea de propiedades efectivas; mientras que el modelo de flujos separados, consiste en
aplicar los principios de conservación a cada una de las fases que intervienen en el proceso y cuya
característica, es la presencia de los mecanismos de fenómenos de transporte interfacial.
Partiendo del modelo de flujos separados se llega al modelo de flujo homogéneo, pero
pueden existir otras combinaciones, como es el caso del análisis de cantidad de movimiento de
mezcla homogénea con las ecuaciones de conservación de masa y energía separadas (Espinosa y
Máximo, 1992). Una división adicional, que considera perfiles de velocidades en el análisis de
flujo multifásico es la siguiente (Bergles et. al., 1981):
a) Modelo de Bankoff (una velocidad, dos perfiles).
b) Modelo de Wallis (dos velocidades, un perfil ).
c) Modelo de Zuber y Findlay (dos dimensiones, dos perfiles)
El modelo empleado en el desarrollo del simulador GEOMIST se basa en el modelo de
Wallis (1969) y fue desarrollado principalmente para aplicaciones en pozos geotérmicos
siguiendo el concepto de un modelo homogéneo extendido (Chadha, 1993). Este modelo se
caracteriza por describir el flujo de acuerdo a propiedades de mezcla o efectivas, permitiendo que
21
- - -.
CAPITULO 3 FORMULACI6N MATEMÁTICA DEL MODELO
exista velocidad relativa entre fases. Para llevar a cabo este análisis es necesario definir a
continuación una serie de conceptos.
1. Fracción volumétrica de los recortes ( 4 ). 'Relación entre la densidad de los recortes en
una mezcla aire-roca y la densidad de la roca. Se expresa mediante la ecuación:
. . . . . . . (3 .15)
2. Fracción de vacíos (A). Fracción volumétrica ocupada por la fase gaseosa dentro de una
mezcla. En el caso de una mezcla aire-roca y de acuerdo a la ecuación ( 3.15 ) la fracción de
vacíos se expresa de la siguiente forma:
. . . . . . . . . . . . . . . . . (3 .16)
3. Densidad de los recortes en la mezcla (6,) . Masa total de los recortes dentro de un
volumen de control.
4. Densidad del aire en la mezcla (p.). Masa total de aire dentro de un volumen de
control.
5. Densidad de mezcla ( p m). Densidad ponderada sobre los volúmenes de las fases en
equilibrio para todos los tiempos, puede expresarse de la siguiente forma:
_ - p,= p a + p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3 .17 )
5. Velocidad de deslizamiento ( vsL) . Velocidad relativa entre los recortes de perforación
y el aire.
6. Velocidad de mezcla ( VM). Velocidad promedio de una mezcla multifásica.
28
FORMULACIÓN M A T E d T K A DEL MODELO CAPITULO 3
~
0 - o : I
3.3.2. VOLUMEN DE CONTROL PARA LA TUBERÍA DE RETORNO
to . . . . . . . . ,
-2. 1 % Az : + , 2 : 3
Para poder llevar a cabo el análisis y determinar las variable que caractericen el flujo que
circula por el espacio anular del pozo, es necesario seleccionar un volumen de control, tal y como
se hizo en Sección 3.2.2. El volumen de control seleccionado para la tubería de retorno se
muestra en su forma física y matemática en las Figuras 3.4 y 3.5 respectivamente.
. . . . . . . .
Tiiberia de perforación : Linea de centro
. Conducción de calor t
Salida de eneigia en el volunien de conirol
en la dirección del Sujo
Conducción de calor
n
Figura 3.4. Representación tísica del volumen Figura 3.5. Representación matemática de los de control en el ánulo nodos en la tubería de retomo.( donde:
w=CM=E. Tub. de Perf.=l, ánulo=2 e in terfa~3 )
Como se puede ver en la Figura 3.5 el volumen de control intercambia energía con la
tubería de perforación y las tuberías de revestimiento, ya que como se mencionó anteriormente, el
nodo 3 se localiza en la interfaz que forman el pozo y la formación rocosa.
3.3.3. DESARROLLO DE LAS ECUACIONES GOBERNANTES PARA EL ÁNULO
Antes de iniciar el desarrollo de las ecuaciones para el espacio anular, es conveniente recordar que se respetan las hipótesis planteadas en la Sección 3.2.1. para el desarrollo de este
análisis.
29
I .
cAPm0 3 FORMULACIÓN MATEMAnCA DEL MODELO
Haciendo un balance similar al llevada a cabo en la tubería de perforación, la ecuación de
energía ( 3.2 ), se ve modificada al incluir en ella la conductancia y gradiente térmico del nodo 2
al nodo 3. ya que el espacio anular adem s de intercambiar calor con la tuberia de perforacion
también lo hace con la formación, por lo cual para la tubería de retorno, la ecuación de energía
puede expresarse como:
1
Es conveniente hacer un par de aclaraciones respecto a esta ecuación, 1 ): el perfil de
velocidades para este caso es en sentido inverso al aplicable en la Ecuación ( 3.2 ) para la tubería
de perforación y 2 ): U 23 representa la conductancia entre el nodos 2 y 3, ya que entre éstos
pueden existir tuberías de revestimiento y columnas de cementación. Entonces para considerar lo
anterior, U 23 está dada por:
donde n es el número de revestimientos.
Para situaciones de paro durante los procesos de simulación, la ecuación ( 3.18 ) sufre la
misma modificación empleada para la obtención de la ecuación ( 3.3 ), es decir hacemos C; = O a
partir de la ecuación resultante del análisis dinámico para cada caso, con io que se obtiene la
ecuación diferencial parcial necesaria para modelar esta clase de fenómenos. Dicha ecuación se
muestra a continuación.
2 n U 2 , ( r , - T , ) - 2 ~ U , 1 ( G - ~ ) = [ ( p A C p ) 2 + ( p A C ) 1- aT . . . I . . . (3 .20) at
30
CAPITULO 3 FORMULAClbN MAl'EtdTICA DEL MODELO
Siguiendo con el análisis, el balance de castidad de movimiento se ve afectado por el transporte de los recortes y las gotas de agua dentro del flujo de aire. Para aplicar ésto en las
ecuaciones ya desarrolladas, es necesario considerar los siguientes aspectos:
1. El efecto de los recortes y niebia sobre la ecuación de cantidad de movimiento,
Ecuación ( 3.6 ).
2. El efecto de la fuerza de arrastre ejercida sobre los recortes y las gotas de agua.
En consideración al punto 1, la ecuación de cantidad de movimiento para el ánulo
quedaría expresada de la siguiente manera:
a - a - ap - ( p , V , v , ) + -(psvsvs)+ -+Feo+ W e f = o . . a Z a z a z
(3.21 )
donde Fef representan el efecto de las pérdidas por fricción y Weo la pérdida de presión por efecto
de la gravedad; el subíndice e# indica que estos efectos se evalúan utilizando las propiedades
efectivas de la mezcla que forman los recortes y el fluido de perforación.
Esta ecuación, a diferencia de la ecuación de cantidad de movimiento aplicada a la tubería
de perforación (Ecuación 3.7), incluye un término más que es a ( p s v S v , ) i a z , este término
aporta una nueva variable independiente al sistema que es la velocidad de los recortes ( vs ), sin
embargo, en este caso la velocidad de los recortes a la entrada del volumen de control no se
conoce como en el caso de la tubería de perforación, donde la velocidad del gas está dada por las
condiciones de frontera.
Para resolver este problema es necesario establecer una relación independiente más, que
sea capaz de proporcionar la velocidad de los recortes a la entrada del volumen de control o de
establecer la velocidad relativa ( también llamada velocidad de deslizamiento entre fases ) entre los recortes de perforación y el aire, para que a partir de ésto, se obtenga un conjunto cerrado de
31
CAPlIULO 3 , . FORMLTLACl6N MATEMÁnCA DEL MODELO
. . . . . . .
ecuaciones aplicables a la tubería de retomo.:'Por'lo tanto, se hace uso de una expresión
desarrollada por Gray (1957) con objeto de determinar la velocidad de deslizamiento entre fases,
dicha expresión se muestra a continuación:
. . . . . . . . 1 (P, -P) P
. . . . . . . . . . (3 .22)
donde Co representa el coeficiente de arrastre de los recortes y d el diámetro de las partículas,
(ver Sec. 4.7.)
La velocidad de los recortes a la salida del volumen de control, se determina a partir de la
aplicación del principio de cantidad de movimiento sobre la fase sólida, extendiendo el modelo
de flujo homogéneo que se ha venido manejando, a un modelo simplificado de flujos separados.
Este balance se muestra a continuación:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~. (3.23)
donde el término W, representa la fuerza de flotación de los recortes en el fluido y y la fuerza
aerodinámica ejercida por el aire sobre los recortes. La diferencia que guardan
representa la velocidad relativa de los recortes al momento de caer
movimiento (Bird et. al., 1992).
Ws y
sobre un fluido en
Por último, la relación de flujo másico de los recortes ( indispensable para la solución de
la Ecuación 3.23 ), que representa el producto entre la velocidad de penetración, el área
transversal del pozo y la densidad de la roca, se expresa de acuerdo al principio de conservación
de masa, en estado estable para la fase sólida:
a - a z - ( p s v S ) = O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3.24)
32
CAPlTULO 3 FORMULACIÓN MA'EMÁTICA DEL MODELO
El sistema se complementa con la ecuación de estado ( Ecuación 3.7) tomando la
condición inicial de la Figura 3.3. y como condicioiies de frontera, las propiedades de salida del
último volumen de control en la tubería de perforación, es decir:
C.I. T (r.z,t) = f(r,z) para toda r y z en t = O ( 3.25 ) C.F.1. P = P2 en z=z,, paratodo t (3 .26)
C.F.2. v = V I en z=z,, paratodo t ( 3.27 )
C.F.3. T = r , en z=z,, paratodo t ( 3.28 )
C.F.4. P = P2 en z=z,,,, paratodo t ( 3.29 )
Resolviendo la ecuación ( 3.23 ) se determina v, , eliminando esta variable del sistema,
dando como resultado un conjunto de ecuaciones similar al planteado para la tubería de
perforación, sobre el cual, se aplican las condiciones de iniciales y de frontera. A partir de ésto, se
determinan los valores de v , p , P y T a lo largo de la tubería de retorno ( ver Cap. 4, Sec. 4.7. ).
3.4. EFECTO DE LAS GOTAS DE AGUA EN EL MODELO DE FLUJO
COMPRESIBLE
La adición de niebla en el modelo de flujo compresible, es mucho más simple que la
adición de recortes de perforación, lo cual fue desarrollado previamente. Las gotas de agua al ser
inyectadas en la tubería de perforación, son dispersas en forma de sprays, por lo que la velocidad
relativa que se guardan entre el aire y éstas, puede considerarse despreciable, siendo ésta una
suposición adecuada para el análisis de flujo en dos fases en estas condiciones. Como resultado
de ésto, las ecuaciones ( 3.18 ) y ( 3.21 ), acopladas al análisis de flujo compresible desarrollado
para la tubería de perforación, son apropiadas para llevar a cabo el modelado del flujo con niebla,
siempre y cuando se lleven a cabo las siguientes consideraciones:
1. El gasto másico y la densidad de los recortes de perforación son reemplazados por la
densidad y gasto másico de las gotas de agua.
2. La velocidad de las gotas de agua se supone igual a la velocidad del aire.
33
.
FORMLiLACl6N MATEMATICA DEL MODELO CAPITULO 3
3.5. FORMULACI~N MATEMÁTICA PARA LA FORMACI~N
El análisis de la formación se hace con base en los principios de conducción de calor en
estado transitorio al aplicar la ecuación de difusibn en coordenadas cilíndricas considerando el
medio como un cuerpo semiinfinito. Para lo que el problema en este caso se limita Únicamente a
resolver la ecuación de energía ya que no existe flujo a través de la roca.
3.5.1 VOLUMEN DE CONTROL EN LA ROCA
En forma análoga a como se hizo en los puntos 3.2.2. y 3.3.2., la formación tendrá como
elemento característico para su análisis, los volúmenes de control mostrados en las Figuras 3.6 y
3.7 en su forma física y matemática tal y como se han venido dando.
Tuberia de perforación
1 . I Formación
: Linea de centro
Az Conducción . . . . . . .
0 : z
Espacio anular I
Figura 3.6. Representación fisica del volumen de control para la formación.
Figura 3.7. Representación matemática de las celda de formación acoplada al pozo (donde:: Tub. de perf.=l, ánul0=2 e interfaz =3 ).
Como se puede observar, el balance para la interfaz que se expresa en la Figura 3.7,
mantiene acoplado el intercambio de energía entre el pozo y el primer volumen de control en la
formación (este representaría el nodo 4 al extender la Fig. 3.7.).
34
cAPm0 3 FORMlJLACIÓN MATEMATICA DEL MODELO
3.5.2. PLANTEAMIENTO DE LA ECUACI~N DE D I F U S I ~ N PARA LA
FORMACI~N.
Como se mencionó previamente, la ecuación a resolver para el cálculo de las
temperaturas en la formación rocosa es la ecuación de difusión en coordenadas cilíndricas
considerando a la formación como isotrópica y radiálmente simétrica desde la línea de centro de
la tubería de perforación (ver Fig. 2.3.). Esta ecuación se expresa a continuación.
1 a i a r a2r lar r ar r ar a 2 a at
. . . . . . . . . . . (3 .30)
En esta ecuación, a representa la difusividad térmica de la formación definida por:
(3 .31) K PC
a=- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Siendo K la conductividad térmica, p la densidad y C la capacidad térmica específica de
la roca.
Respecto a las condiciones iniciales y de frontera, la ecuación diferencial parcial que se
expresa en la ecuación ( 3.30 ), implica una derivada espacial de segundo orden en la dirección z,
lo cual hace necesario definir dos condiciones de frontera en la dirección axial, mientras que las
derivadas de T con respecto a la coordenada radial hacen necesarias otras dos condiciones de
frontera sobre dicha dirección, por otro lado, la varible temporal hace necesario establecer una
condición inicial.
La descripción matemática de estas condiciones se muestra a continuación.
35
CAPITULO 3 FORMLILACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO
3.5.3. CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA PARA LA FORMACIÓN
Las condiciones iniciales y de frontera para la formación rocosa se establecen de la
siguiente forma:
C.I. T (r,z#r) = f(r.2) donde: f (r#z) = T, + mi para toda r y z en /=O ( 3.32 )
C.F.1. T(r , z , t ) = en z = O paratodo r y f ( 3.33 )
C.F.2. T(r , z , t ) = Th en z = ( z m , + 2 f u ) paratodor y I ( 3.34 )
C.F.3. T ( r , z , t ) = f ( r , z ) en r=cu paratoda z y I ( 3.35 )
C.F.4. Or en r=r3 Un(? -7J =-K- a para toda z y I ( 3 . 3 6 )
La condición inicial está dada a partir del gradiente geotérmico, tal y como se expresó
anteriormente en la Figura 3.3.
La primera condición de frontera se estableció de acuerdo a la temperatura de la superficie
( T, ) la cual se considera imperturbable durante todo el proceso de perforación, mientras que la
segunda condición, está dada por la temperatura en el fondo del dominio fisico ( Tbh ), la cual fue
necesaria para determinar el gradiente geotérmico en la condición inicial de todas las secciones
previas.
Para el caso de las condiciones de frontera en la dirección radial, la primera de éstas (Ecuación 3.35 ) , se establece con base en que al tratarse la roca como un sólido semiinfinito,
existe una temperatura lo suficientemente lejos del pozo la cual no se vea afectada por los
fenómenos de transporte que intervienen en éste, mientras que la última de estas condiciones,
estará dada por el intercambio de energía que se lleva a cabo en la interfaz pozo-formación
( r = r3).
36
CAPITLRO 3 FORMLILACI6N MATEMÁnCA DEL MODELO
3.6. CALCULO DE LOS COEFICIENTES CONVECTIVOS DE
TRANSFEWNCIA DE CALOR
La obtención del coeficiente convectivo de transferencia de calor ( h ) depende del tipo de
proceso que se esté simulando, pudiéndose presentar: condiciones de flujo a través de las tuberías
de perforación y retomo o periodo de paro, implicando cada uno de ellos fenómenos de
convección forzada (laminar yío turbulenta) y convección natural, respectivamente. '
Para el caso de convección forzada en tubos, el número de Nusselt ( Nu ) relaciona el
coeficiente convectivo de transferencia de calor h por medio de la ecuación (Holdman J.P., 1986):
hD K
NU=- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 3 . 3 7 )
donde D e s el diámetro hidráulico de la tubería y Kla conductividad térmica del fluido en
cuestión.
Ahora, de acuerdo a resultados experimentales el número de Nusselt, en régimen
turbulento, se puede expresar en función del número de Reynolds y el número de Prandtl tal como
lo indica la ecuación (Holdman J.P., 1986):
Nu = 0.023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 3 . 3 8 )
donde:
Re=- P V D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 3 . 3 9 ) P
. . (3 .40 )
37
CAPITmO 3 FORMULACION MATEMATICA DEL MODELO
A partir de estas correlaciones se establecen los valores de h para convección forzada en el
pozo.
Para el caso de convección natural en el ánulo, el problema se simplifica aplicando una
correlación que nos lleve a la obtención de una conductividad térmica efectiva que reduce el
problema de convección natural a un problema de conducción de calor, dicha correlación se
muestra a continuación (Holdman J.P., 1986):
K, = O.O49K(Gr Pr)o.333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3 .41)
donde Gr representa el número de Grashoff el cual se obtiene a partir de la ecuación:
Gr = (rat -r.i)3P213gAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P2
. . (3.42)
Estas dos Últimas correlaciones se aplican también para el cálculo de la transferencia de
calor en el fluido que se encuentra estando en las tuberías de revestimiento.
En el caso de la tubería de perforación, se hace el cálculo del coeficiente convectivo de
transferencia de calor para convección natural a partir de la correlación empírica (Bird
et. ul., 1992) :
0.59 K (Gr Pr )O”’
D h, = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 3.43 )
Las Ecuaciones ( 3.41 ), ( 3.42) y ( 3.43 ) son fundamentales para la obtención de
resultados durante procesos de paro.
Las propiedades termodinámicas utilizadas para la aplicación de todas estas correlaciones
se definen en el apéndice A.
38
CAPITULO 4
PLANTEAMIENTO NUMÉRICO DE LA SOLUCI~N
4.1. INTRODUCCI~N
La obtención de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, las cuales
describen el comportamiento de un fenómeno físico, hace necesaria la aplicación de un método
numérico, mediante el cual sea posible calcular los valores desconocidos de una variable
dependiente en el dominio de cálculo discretizado.
El modelo matemático que presenta el problema físico tratado en el presente estudio, requiere de un método numérico que cumpla con dos aspectos indispensables para su aplicación.
El primero de ellos es que el método sea capaz de involucrar las ecuaciones que describen el
fenómeno de estudio y el segundo es el contar con un algoritmo que solucione el sistema de
ecuaciones. En otras palabras, el método numérico deberá ayudar a obtener tanto la solución de la
discretización espacial, así como la solución de la discretización matemática de las ecuaciones.
c u m 4 PLANTEAMIENTO NUMÉNCO DE LA SOLUCIÓN
Para efectos de esta investigación, la discretización espacial del modelo fisico hizo USO del
método de volumen de control, seleccionándose para ello una malla tipo MAC (Marker and
Cell ) además de aplicarse el método de residuos pesados para la discretización de la ecuaciones
diferenciales parciales planteadas en el Capítulo 3.
4.2. PROCESO DE DISCRETIZACIbN
El proceso de discretización consiste en reemplazar la información continua que
proporciona la solución exacta de una ecuación diferencial, por medio de valores discretos de las
variables en puntos del dominio de cálculo, para representar la distribución de las variables
resueltas.
4.2.1. DISCRETIZACI~N ESPACIAL
La discretización espacial consiste en dividir el dominio fisico en un número finito de
puntos (formación de mallas), en donde el tamaño de la malla juega un papel importante en la
exactitud de la aproximación numérica, esto se debe principalmente a que el error de la
simulación numérica tiende a disminuir cuando el tamaño de la malla se disminuye, sin embargo
el tiempo de cálculo aumenta en relación al orden de la discretización numérica de las ecuaciones,
por lo cual el tipo y forma de la malla influyen en los resultados obtenidos del fenómeno fisico.
Los nodos se forman a partir de la intersecciones de las líneas que generan la malla y por
lo general, la geometría de la malla dependerá de cada caso de estudio en particular. En el presente estudio, se aplica una malla tipo MAC ya que ésta permite una distribución espacial más densa en las zonas donde los gradientes de las variables que intervienen son mayores (pozo, bulo
e interíaz) aumentándose gradualmente la distancia entre nodos conforme dicho gradiente va
disminuyendo (Hof i an ef. al., 1995) tal y como sucede en formación. En GEOMIST, esta
distancia radial se hace variar de acuerdo a la relación:
Ar ( I ) = ( I - 3 + 0.1 ) Ar ( I - 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . ( 4.1 )
40
CAPlTLnO 4 PLANTEMENTO NLIMÉNCO DE LA COLUCIÓN
para 3 < I < NR1 que es donde inicia la colocación'de nodos en la formación, siendo NR1 el
número máximo de nodos en la dirección radial.
La Figura 4.1. esquematiza una malla tipo MAC aplicable al estudio desarrollado, el cual
contiene un dominio bidimensional axisimétrico. En dicho esquema se puede observar el
diferente espaciamiento que existe entre nodo y nodo.
Figura 4.1. Representación de las celdas en las que se encuentra dividido el dominio fisico de esiudio ai aplicar una malla tipo MAC
El esquema de volumen de control tiene la característica de evaluar las variables escalates,
en nuestro caso particular la temperatura en los nodos de la malla, por lo que éstos estarán
ubicados en el centro de cada volumen de control, con lo que se forma la denominada celda
41
cAPm0 4 PLANTEAMIENTO NLh&RICO DE LA COLUCIÓN
central (celda C). Una celda de este tipo se ilustra en la Figura 4.2. así como también los
intercambios de energía a los que ésta se encuentra expuesta con los nodos adyacentes. El
subíndice i indica la posición radial de los nodos mientras que la posición vertical se ve
representada por el subíndice k.
Para el caso de las variables vectoriales como la velocidad y los flujos de calor, sus
valores se deberán evaluar en las caras de la celda central, de tal manera que el vector en cuestión
quede en el centro de dicha celda, formándose la denominada celda U. En este caso, el volumen
de control se desplaza en dirección contraria a la dirección del flujo sobre el plano r-z tal como se
ilustra en la Figura 4.3.
Las celdas C y U (Figuras 4.2. y 4.3. ) representan el intercambio de energía en la
formación y el fluido geotérmico, respectivamente.
4.2.2 DISCRETIZACI~N &RICA
La discretización de las ecuaciones se basa principalmente en sustituir una función
continua por una función discreta en intervalos finitos de tiempo y espacio, logrando con ésto la
transformación de las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas que involucren los
valores de las variables en los nodos de la malla.
Actualmente los métodos más empleados para la discretización de ecuaciones
diferenciales parciales, caen en uno de los siguientes casos (Nakamura, 1992):
Desarrollo de Serie Taylor.
0 Método de Residuos Pesados.
Formulación Variacional.
0 Volumen de Control.
42
CAPITLnO 4 PLANTEAMIENTO NW&NCO DE LA SOLUCi6N
7 ri , Fronteras de la celda
4
k
Figura 4.2. Reprecentación de la Celda Central y ubicación del volumen de control (cuadro gis) sobre la malla
(E=energia, T= Temperama)
I I
Figura 4.3. Reprecentación de la Celda U y ubicación del volumen de control (cuadro gris) sobre la malla (E-nergía,
CM= cantidad demo
43
c m m o 4 I - : PLANTEAMIENTO NLMÉRICO DE LA SOLUCIÓN
La realización del presente estudio contempla la aplicación del método de Volumen de
Control auxiliándose con el método de Residuos Pesados para la obtención de los perfiles de
velocidades.
4.3. MÉTODO DE VOLUMEN DE CONTROL
Como se ha visto brevemente, este método hace la consideración de discretizar el dominio
de cálculo fisico en un número finito de volúmenes de control a los cuales se les llaman celdas.
Estos volúmenes de control tienen la característica de presentar todos la misma configuración
geométrica pero con diferente dimensionamiento. En el caso de las celdas centrales, los nodos de
la malla son el centro de cada volumen de control.
La obtención de la discretización de las ecuaciones diferenciales parciales desarrolladas en
el Capitulo 3 implica la integración de cada una de ellas sobre un volumen de control, con lo que
se obtienen de esta manera las expresiones algebraicas que posteriormente son codificadas para
su cálculo. En este conjunto de ecuaciones algebraicas se calculan los valores de la variable
dependiente para cada nodo de la malla numérica, además en él se expresa el principio de
conservación para la variable dependiente en el volumen de control finito, tal como la ecuación
diferencial lo expresa para un volumen de control infmitesimal (Patankar, 1980).
4.4. DISCRETIZACIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE ENERGíA PARA EL
FLUIDO GEOTÉRMICO
La discretización de las ecuaciones se realizará tomando como base el modelo fisico
mostrado en la Figura 2.3. para io cual, colocando un nodo en cada región característica del pozo,
podemos analizar en forma acoplada el intercambio del fluido con todas las regiones, a partir de la línea central de la tubería de perforación, hasta la interfaz que forma el pozo con la
formación.
44
PLANTEAMIENTO NUMÉNCO DE LA COLUCI6N CAPINLO 4
Ésto último se ilustra en la Figura 4.4. donde el subíndice k indica la posición vertical en
cada intervalo de z y las líneas punteada las fronteras de cada región.
Linea de centro de la tuberia de períoraci6n
Figura 4.4. Ubicación de los nodos que representa el intercambio de energia del fluido en el modelo físico
A partir de ésto la ecuación de energía, planteada en el Capítulo 3 (Ecuación 3.1 S.), puede
expresarse en forma general de la siguiente manera:
donde los subíndice f y ac se refieren a las propiedades del fluido y del acero respectivamente,
mientras que U23=0 para el caso de la tubería de perforación.
4s
cAPm0 4 PLAhTEAMENTO &RICO DE LA COLUCIÓN
La ecuación de energía es aproximada por una diferencia atrasada en el volumen de
control con el fin de expresar las incógnitas en función de las condiciones de entrada del fluido de
perforación, por lo tanto:
donde las variables en el punto k-in expresan el promedio de las variables en los puntos k y k-1,
definido por:
Expandiendo todos sus términos, la ecuación 4.3. adquiere su forma implícita para T ; , ; ~
quedando de la siguiente manera:
. . ( 4.4 )
46
CAPlTULO 4 PLANTEAMIENTO NUI&RICO DE LA COLUC16N
Reagrupando términos, la ecuación 4.4 toma la forma:
L J
vp(.; )+ vpgcose(zk - z k - I ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 .5
Por último, si agrupamos las variables del calculo en n + l , se llega a la siguiente expresión
algebraica:
donde los coeficientes de las temperaturas quedarían definidos como se muestra a continuación:
47
CAPITULO4 PLANTBAMIENTU NUh&lUCO DE LA COLUC16N
B,.r=U,~i- i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 4 . 9 )
ck,,=u,,i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ( 4 . 1 0 )
. . . . . . . (4.11)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 .12) ' k , i = uk- l , ¡ - i
F,,¡ = U,-,, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4.13 )
G,, = Vp( v,' - )+ Vpgcose( zk - z ~ - ~ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 4.14 )
4.5. ESQUEMA DE S O L U C I ~ N PARA EL POZO
La obtención de la solución, se lleva a cabo aplicando el método iterativo de Gauss-Seidel
(Burden et. al., 1985) sobre la ecuación ( 4.6 ), la cual puede ser escrita para todas las posiciones
k , i dentro del pozo, produciendo un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden resolverse en
forma simultánea acopladas con las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento
y la de estado. Las incógnitas son las temperaturas en cada nodo en el tiempo n + l y hay una
ecuación independiente en cada nodo, para un total de Nzx 3 ecuaciones e incógnitas, donde N, es
el número de nodos en la dirección axial. Ahora, como ésta es una ecuación generalizada para
todo el pozo, algunos coeficientes valdrán cero dependiendo de la región que se quiera simular.
Los posibles casos se muestran a continuación.
48
PLANTEAMIENTO hWM3?NCO DE LA SOLUCi6N CAPITULO 4
En i = 1 para toda k, flujo a través de la tubería de perforación:
B k , i = E , , ¡ '= o
Y para toda i , k en condiciones de paro:
A k , i = E k . i = k . i = J , , ¡ = O
Como se puede ver, la magnitud de los coeficientes determina la importancia de las
temperaturas vecinas para el nodo en cuestión, siendo éstos función de la geometría del pozo y de
las propiedades del material establecidas en la ecuación 4.3.
4.6. DISCRETIZACIÓN DE LAS ECUACIÓNES DE CONSERVACIÓN DE
MASA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA LA TUBE& DE PERFORACIÓN
Este análisis está basado en los principios de conservación mencionados previamente y su
desarrollo considera los balances de masa y cantidad de movimiento, similar al análisis
desarrollado por Angel (1957) para flujo estable.
De acuerdo con la Figura 4.3., el volumen de control tiene una sección transversal
constante, a través del cual fluye un fluido compresible que recorre una longitud A z . Las
propiedades del flujo a la entrada se indican con el subindice k-1 mientras que las propiedades de
salida son señaladas por el subíndice k.
De acuerdo a ésto, el principio de conservación de masa para estado estable se expresaría
de la siguiente forma.
pk., vk.,Ak-, = pk v, A, =constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 4.1 5 )
49
I PLANTEAMIENTO &RICO DE LA COLUCIÓN C A P n V w 4
introduciendo el símbolo G para denotar la densidad del flujo de masa, en un ducto de
área constante tendríamos:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4.16) G = p K ' K
La discretización de la ecuación de cantidad de movimiento, al introducir la
ecuación ( 4.16 ), se puede expresar de la siguiente forma:
(P >t- P k - , ) + G (vi -vk-,) + F' + W'= O . . . . . (4 .17)
donde F y W representan las caídas de presión por efecto de la fricción y la fuerza de gravedad,
las cuales son evaluadas de acuerdo con:
F ' = - - I G v d z 1 f ( 4 .18 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 D z
1,
W'= I p g c o s e dz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 .19) I,
donde D representa el diámetro hidráulico, el cual es igual al diámetro interior de la tubería en el
caso de la tubería de perforación e igual a la diferencia de diámetros exterior e interior en la zona
anular. El términof es el factor de fricción de Darcy, el cual puede ser evaluado a partir del
diagrama de Moody o por el uso de expresiones analíticas. Para la obtención de este valor,
GEOMIST hace uso de la expresión desarrollada por Wood (Govier e t al., 1960), la cual se
muestra en el apéndice B.
Para la evaluación de las ecuaciones ( 4.1 8 ) y ( 4.19 ), se aplica el método de Residuos
Pesados (Patankar, 1980) para la obtención de la velocidad de salida. La función de peso a
utilizar se selecciona igual a la unidad y se supone que la velocidad varía en proporción lineal de
50
CAPITULO 4 PLAN?FAMIENx> NLltdNCO DE LA SOLUCIÓN
la entrada a la salida del volumen de control, por lo que se propone el perfil de velocidades
siguiente:
. . . . . . . ( 4 . 2 0 )
Sustituyendo el perfil de velocidades de la ecuación ('4.20 ) en la ecuación ( 4.18 ) se
puede integrar la caída de presión por efecto de la fricción a lo largo del intervalo A z, con lo
que se obtiene: I
. . . (4.21 )
Posteriormente, a partir de la ecuación ( 4.16 ) eliminamos la densidad de la ecuación
( 4.19 ) en la cual p es función de z , con lo que la caída de presión debido a la acción de la
gravedad, se expresa de la siguiente forma:
d z '= p k-1 'I-) gCose 1-
íi (4 . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . , ( 4 . 2 2 )
Si se sustituye el perfil de velocidades (Ec. 4.20) en la ecuación (4.22) y se integra, se
obtiene que:
. . . (4.23 )
SI
cAPm0 4 PLANTEAMIENTO NUMÉRICO DE LA WLUCION
En seguida, se toma la idea de que v, / v , - ~ es equivalente a 1 + Av / vk-l . Usando esta
segunda forma y expandiendo logarítmicamente se encuentra que:
Despreciando los términos de orden 3 y sustituyendo en la ecuación (4.23 ) ésta se
simplifica tomando la siguiente forma:
W ' = p , - , g A Z [3 vk)cos€l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 .25) 2 2 V1-l
La ecuación ( 4.23 ) representa la caída de presión por efecto de la gravedad con un error
del orden de ( A v / v ~ _ , ) ~ , lo cual es una buena aproximación.
Sustituyendo las ecuaciones (4.21 ) y (4 .25) en la ecuación (4 .17) se obtiene la
siguiente forma para la ecuación de cantidad de movimiento:
La expresión ( 4.26 ) representa la ecuación resultante para vk la cual algebraicamente
puede ser llevada a la siguiente ecuación de coeficientes:
U V , 2 +bv,+c=O (4 .27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
PLANTEAMIENTO NUM6:NCO DE LA COLUC16N CAPIlUl.0 4
donde:
b = -Pk-, - Gvk_ , 2 0
c = G R T , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La solución de la ecuación (4.27) para vk , se obtiene a partir de:
-b I dm 2 a
V k = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( 4.28 )
( 4.29 )
( 4.30 )
(4.31 )
Como se puede observar, de esta última ecuación se obtienen dos raíces: una positiva y
una negativa. La raíz negativa no arroja un resultado realista para la velocidad de salida ya que
ésta produce un resuldado demasiado grande, y por lo tanto no es tomada en cuenta; mientras que
la raíz positiva, produce un valor acorde a los parámetros fisicos establecidos para la circulación
del flujo, siendo ésta, el resultado esperado.
Por otro lado, es importante mencionar que el significado fisicode b2-4ac < O en la ecuación ( 4.31 ) es que el flujo se encuentra esruncado, esto es, que no existe la presión
suficiente para mantener el flujo másico existente, por lo cual, al llegar a este punto la presión de
entrada debe incrementarse o en su defecto, el flujo másico supuesto que se encuentra en
circulación debe disminuirse hasta alcanzar un valor positivo para este término.
\
53
CAPINLO 4 PLANTEAMIENTO NUhlÉNCO DE LA COLUC16N
4.7. DISCRETIZACI~N DE LAS ECUACI~N DE CONSERVACI~N DE MASA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA EL ÁNULO
El sistema desarrollado para el modelado del flujo en la tubería de retorno consiste en la
aplicación del modelo de flujo compresible desarrollado para la tubería de perforación,
incluyendo el efecto de los recortes producto del proceso de perforación, efecto que es
considerado en las ecuaciones ( 3.21 ), ( 3.23 ) y ( 3.24 ). La discretización de estas ecuaciones es
el objetivo de la presente sección.
Siguiendo la misma metodología con base en la celda U ilustrada por la Figura 4.3, el
principio de conservación de masa para los recortes en la tubería de retorno se expresaría como:
- - ps k ~ s k A k = ps k - i ~ s k - i A k - , =constante . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 4 . 3 2 )
donde la relación de flujo másico de los recortes ( G, ) se determina fácilmente a través del
producto de la velocidad de penetración, el área del pozo y la densidad de la roca, mientras que de
acuerdo con Ec. ( 4.32 ) para una área de sección transversal constante, esta relación quedaria
expresada como:
- G, = ps k ~ s k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 4.33 )
- donde p,
evaluada una vez que se conoce la velocidad de los recortes.
representa la masa total de los recortes en un volumen de control y puede ser
Por otra parte, la ecuación de cantidad de movimiento ( 3.21 ) se puede escribir como:
donde, de manera análoga a las ecuaciones ( 4.18 ) y ( 4.19 ) y haciendo uso de los principios de
flujo multifásico:
54
PLANTEAMIENTO NUM6NCO DE LA CoLUCi6N CAPn.uI.0 4
& =-- !(Go v,+G, v s ) & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4.35) I i f " 2 D I ,
*¶ - - q; = I( +,, , )gcose dz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 .36
2,
AI sistema se añade la ecuación de cantidad de movimiento de la fase sólida, la cual puede
escribirse en forma discreta como:
G, ( v , ~ - , - v , ~ ) + W ~ - Y ' = O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4.37)
donde:
. . . . . . . . . (4 .38)
Y = c D - - j p ~ ( v o - v s ) 1 ' I 2 dz (4.39) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ,
El término CD representa el coeficiente de arrastre de los recortes y 6 la relación entre el
volumen promedio de las partículas y el area de su sección transversal. La función empleada por
GEOMIST para el cálculo de CD se muestra en el apéndice B y es valida para números de
Reynolds característicos en flujo a bajas velocidades hasta flujo completamente turbulento
( 2 < Re <: 3000 ). El término 6 se evalúa a partir de un diametro promedio de las partículas, el
cual en la perforación con barrena es típicamente de 9.5 mm aproximadamente (3/8 plg) . Además, como es lógico pensar, estos recortes, conforme ascienden por la tubería anular se
quiebran formando fragmentos mas pequeños, sin embargo, como no hay manera de predecir los
cambios de tamaño en la roca a lo largo de la tubería, este diámetro se considera constante, siendo
ésto, una suposición conservativa; ya que el modelo planteado provoca que la velocidad del aire
esté sobre el valor mínimo necesario para transportar los recortes de perforación durante
prácticamente todo el trayecto.
55
c..vmo 4 - PLANTEAMIENTU NU?&NCO DE LA COLUC16N
La técnica usada para la solución de las ecuaciones ( 4.34 ) a la ecuación ( 4.39 ) es similar
a la planteada en la Sec. 4.6 cuando una ecuación similar a la ecuación ( 4.20 ) es definida para la
fase sólido, anteponiendo un signo (-) que indique la dirección contraria del flujo respecto al que
circula por la tubería de perforación. Esta ecuación se muestra a continuación:
Con esto, se integran las ecuaciones ( 4.38 ) y ( 4.39 ) dando como resultado:
. . . . . . . . . . . . . . . . (4.41 )
Y'= P , + ~ ( A v , - A v ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 .42)
donde:
w,=(ps, - p i ) $ g c o s e ~ z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 .43)
Po =' C, GG, ('S, -vk)2Az . . . . . . . 26 'S, ' k
. . . . . . . . . . . . ( 4 . 4 4 )
( v i , -v:)Az P; = C,GG, (4 .45) 26 vi, v: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
c A P m 4 PLANTEAMIENTO NUt&RICO DE LA COLUCIÓN
Al sustituir las ecuaciones ( 4.41 ) - (4.45 ) en la ecuación (4.37 ), y haciendo uso de
ecuación ( 3.22 ), se establecen los valores de v, a la entrada y salida del volumen de control, con lo que esta variable puede ser eliminada de la ecuación ( 4.34 ) , resolviéndose esta ecuación
únicamente en términos de v. La ecuación resultante de estas sustituciones, es llevada a una
ecuación similar a la ecuación ( 4.27 ), con lo que al aplicar la metodología empleada en la
sección 4.6. se llega a la obtención de la solución.
4.8. DISCRETIZACI~N DE LA ECUACI~N DE D I F U S I ~ N EN LA FORMACI~N
Una celda representativa de esta región es la ilustrada en la Figura 4.2 denominada como
celda central para un volumen de control. El intercambio de energía en este volumen de control
estará gobernado por la ecuación ( 3.29 ) cuyas condiciones inicial y de frontera están dadas por
las ecuaciones ( 3.31) - ( 3.35 ). Por lo tanto a partir del análisis de volumen de control que se ha
venido realizando, esta ecuación puede expresarse de la forma:
donde:
2xKk r. í'n I
<-I
U,,( = - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
CAPITULO 4 PLANTEAMIENTO NUMÉRICO DE LA SOLUCIÓN
donde:
(Kk-,+Kk) (4.50) A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A k , i = 4 H A Z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4.51)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4.52)
p c A . . . . . . . . . D =-- H A t k .i . . . . . . . . . (4.53)
4.9. ESQUEMA DE SOLUCIÓN PARA LA FORMACIÓN
La ecuación ( 4.49 ) se aplica a todos los nodos radiales ( N, ) y axiales ( N, ) dentro de la
formaci6n, es decir a partir de N, 3, para producir un sistema de N, x ( N, - 3 ), ecuaciones
algebraicas con igual número de incógnitas que son resueltas simultáneamente a partir del método
de Gauss-Seidel.
58
CAPITULO 5
PROCEDIMIENTO DE SOLUCI~N
5.1. INTRODUCCI~N
Para la obtención de resultados a partir de las ecuaciones planteadas en el capítulo 4, se
desarrolló un código numérico el cual resuelve en forma simultánea las ecuaciones que simulan
los procesos de flujo de fluidos al hacer circular aire o niebla en un pozo geotérmico,
considerando los recortes como una fase sólida independiente.
El presente capítulo tiene por objeto, mostrar el desarrollo modular en el que se basa
GEOMIST para la obtención de los perfiles de velocidades y temperaturas, así como también,
para la determinación de los cambios en la densidad del fluido dentro del pozo y las caídas de
presión a lo largo del mismo.
PROCEDIMIENTO DE coLucl6N C A P l I V . 0 5
5.2. PROCEDIMIENTO DE SOLUCI~N
El procedimiento de solución que sigue GEOMIST para la obtención de resultados se
resume en los siguientes puntos:
I . Se establecen los parámetros físicos del pozo que se desea analizar: profundidades,
diámetros y propiedades de los fluidos que intervienen.
2. Se genera la distribución radial de nodos a partir de la Ec. (4.1).
3. Se establece la condición inicial de temperaturas a partir del gradiente geotérmico:
T(r,z,t) =f(r.z).
4. Se determina la presión a la salida del volumen de control (Pk) a partir de la condición
inicial. 5. De acuerdo a esta misma condición, se resuelve la ecuación de cantidad de n~ovimiento
para vk, en la tubería de perforación ( Ec. 4.3 1 ).
6. Se obtiene la densidad del gas a la salida del volumen de control ( pk ) , a partir de la
Ec. (4.16).
7. Se repiten los pasos 4, 5 y 6 para todos los volúmenes de control en la tubería de
perforación obteniéndose las variaciones de velocidad, presión y densidad en toda esta
región.
8. Pasando al análisis del h u b - s e resuelve la Ec. (3.22) con lo que se determina la
velocidad de deslizamiento (vslip) entre los recortes de perforación y el aire, al iniciar el
ascenso por la tubería de retorno.
9. A partir del principio de conservación de masa ( Ec. 4.32 ) se obtiene p, , con lo que se
aplica la Ec. (3.15) y se determina 4. 10. Se resuelve la Ec. (4.37) con lo que se obtiene vs, a la salida del volumen de control.
1 I . Una vez determinada vsk , la ecuación de cantidad de movimiento (Ec. 4.34) es
resuelta en términos de vk .
60
PROCEDIMIENTO DE COLUCIÓN CAPITULO5
12. Se determina de densidad del gas a la salida del volumen de control de acuerdo al
principio de conservación de masa.
13. Se repiten los pasos 8, 9, 10, 11 y 12 para todos los volúmenes de control en el ánulo
obteniéndose los perfiles de velocidad del aire y los recortes a lo largo de toda la tubería
de retorno, además de las variaciones en la presión a lo largo de la tubería y densidad de
cada una de las fases. 14. Se realiza el cálculo de los coeficientes globales de transferencia de calor U,,k.
15. Se calculan los coeficientes de las ecuaciones de la Ecs. 4.6. y 4.48.
16. Se resuelve la ecuación de energía para todo el pozo ( Ecs. 4.6. y 4.48 ), obteniéndose
los perfiles de temperatura (Tk , ) para el pozo y la formación.
17. Se comparan los resultados obtenidos en punto 16, contra los establecidos en el
punto 3. Si f(r,z) - Tk, < 0.1 se imprimen los resultados, en caso contrario se repite el proceso a partir del paso 4, haciendo f(r,z) = T,, .
5.3. MODULARIZACI~N DEL CÓDIGO
Con el fin de reducir la complejidad intrínseca del código, GEOMIST fue estructurado en
módulos, a los cuales se les asignó una función específica de acuerdo a los puntos tratados en la
Sección 5.2. Por lo tanto, la presente sección tiene como fin, definir lo módulos que conforman
GEOMIST y describir las funciones que desarrollan cada uno de ellos, para posteriormente,
mostrar la estructura jerárquica adoptada para la ejecución de los mismos.
Es conveniente mencionar, que en esta sección, el orden en que son definidas las
subrutinas y funciones, es independiente del orden de ejecución del programa.
5.3.1. SUBRUTINAS
ACHNG
Esta subrutina calcula los cambios en las propiedades del flujo tales como: presión, temperatura y velocidad debido a los cambios en el área de la tubería de perforación o ánulo.
61
CAPITULO 5 PRCCEDIMIEW DE SOLUCibN
COEF Esta subrutina calcula los coeficientes de la ecuación de energía. Los coeficientes para
condiciones de flujo y periodos de paro son calculados separadamente para los primeros tres
nodos radiales en el pozo. I
CONAN Esta subrutina calcula la conductividad térmica efectiva de cada una de las regiones
anulares donde existe fluido estancado.
COND Esta subrutina calcula las conductancias térmicas en la dirección radial entre nodos
adyacentes. Primero se calcula la resistencia térmica usando las propiedades del material y
geometría del pozo. Dentro del pozo se añade la resistencia térmica debida a la convección del
fluido para obtener la resistencia térmica total entre nodos.
DVSAT
Esta subrutina, además de interactuar con PSAT, calcula la densidad del vapor saturado
para un flujo bifasico a una temperatura específica, en procesos de perforación con niebla.
FLOW
Las propiedades del fluido de perforación (presión, densidad y velocidad) en condiciones
estáticas y dinámicas dentro del pozo se determinan en esta subrutina. Además, se establece si el
flujo de gas se ha estancado, debido a una presión insuficiente para soportar el flujo másico
supuesto. El código incrementa la presión en la tubería hasta que se satisface la condición de
estabilidad (b2-4ac < O, ver Sec.4.6.). Finalmente, en los casos de perforación, el gasto es
incrementado si la capacidad necesaria para arrastrar los recortes de perforación es insuficiente.
62
GPROP Esta subrutina calcula las propiedades medias del gas que fluye a una profundidad y
temperatura especificada en el pozo, tales como: densidad, capacidad térmica, conductividad
térmica, viscosidad y velocidad.
GRID La subrutina GRID genera la localización de los nodos y celdas matemáticas usados para
establecer el balance de energía. Se calculan diez posiciones radiales, usando un radio máximo
de 15 metros. Las áreas de la sección transversal de cada celda radial son determinadas para ser
usadas en el cálculo de la conducción de calor axial. Finalmente, la distribución vertical de los
nodos es definida con un incremento constante de 60 metros.
NOZL Esta subrutina es llamada por FLOW y verifica si existe estancamiento de flujo en los
inyectores.
PROP
Defme las propiedades térmicas de los materiales usados en GEOMIST, tales como:
densidad, capacidad térmica específica y conductividad térmica del acero, cemento, formación y
fluidos. Todas estas propiedades excepto las de los fluidos, se consideran constantes.
PSAT
Esta subrutina, llamada por DVSAT, calcula la presión de vapor saturado para un flujo
niebla en condiciones de saturación a una temperatura especificada.
I
READ Tiene por objeto, leer los datos de entrada del problema, tales como: títulos, diámetros y
longitudes de tuberías, propiedades y condiciones de inicio de los fluidos que intervienen,
temperaturas, longitudes del pozo y revestimientos, medidas de los intervalos de cementación y
tiempo del periodo de simulación.
63
PROCEDIMIENTO DE COLUCI6N CAPííLTLO 5
VEXIT Calcula la velocidad de salida del volumen de control, en la tubería de perforación.
VMIXT Calcula las velocidades de salida en el volumen de control del ánulo, para cada una de las
fases.
VSLIP Esta subrutina calcula la velocidad de deslizamiento inicial de los recortes con respecto al
flujo de gas.
WELL Este módulo tiene como finalidad el cálculo de los perfiles de temperatura dentro y fuera
del pozo. Las temperaturas del pozo son obtenidas en la dirección del flujo para posteriormente,
calcular las temperaturas en formación. El margen de error en los que convergen los nuevos
valores de las temperaturas, es de O. 1.
5.3.2.FUNCIONES
CA
Calcula las propiedades promedio necesarias para determinar la conductancia para una
interfaz de cemento y fluido estancado dentro de las tuberías de revestimiento.
CD
Esta función calcula los coeficientes de arrastre aerodinámicos de los recortes
CONV Calcula el coeficiente de transferencia de calor para convección forzada en el ánulo.
64
PROCEDIMIENTO DE COLUC16N CAPITLnO 5
CONVN Esta función calcula la conductividad térmica efectiva en la tubería de retorno, necesaria
para la simulación de periodos de paro
FRIC Esta función calcula el factor de fricción de Darcy para el gas.
GVISC Aquí se calcula la viscosidad del fluido de perforación a una temperatura dada.
HTUBE
Esta función calcula el coeficiente de transferencia de calor para convección natural en la
tubería de perforación, necesario para el análisis en periodos de paro.
KTUBE
Esta función, verifica cambios en el tamaño de la tubería conforme se avanza en el proceso de perforación que se está simulando.
VISC
Calcula la viscosidad del fluido estancado en los espacios anulares a partir de la condición
inicial.
5.4. INTERACCI~N DE VARIABLES ENTRE MÓDULOS
En la sección anterior, se hace referencia a una serie de variables las cuales fueron
definidas a lo largo del Cap.4; estas variables interaccionan entre las distintas subrutinas y
funciones que conforman GEOMIST, la manera en que esta interacción se lleva a cabo, se
presenta en la Figura 5.1.
En esta figura se puede observar la complejidad del código y los requerimientos que
implican cada variable independiente para su determinación.
65
PROCEDIMIENTO DE COLUCIÓN CAPITLnO 5
t
Figura 5.1. Diagrama de interacción entre mbdulos del código GEOMIST
66
CAPITULO 5 PROCEDIMIENTO DE WLUCIÓN
5.5. SECUENCIA DE EJECUCI~N DE LOS MÓDULOS
Con el objeto de describir la secuencia que sigue GEOMIST durante su ejecución, se
muestra la Figura 5.2., en la cual se observa la estructura jerárquica por llamadas de los módulos
que conforman el código desarrollado.
El procedimiento que sigue el código para la ejecución de estos módulos, se puede
describir en una serie de pasos los cuales se enlistan a continuación:
Primero. Se realiza la lectura de datos que caracterizan el pozo que se desea simular a
través de la subrutina READ, en ella se especifican diámetros de tuberías y
revestimientos, profundidades, tiempo del periodo de simulación, temperaturas y
propiedades iniciales del fluido de perforación. Las propiedades del cemento, fluidos y
formación son definidos en la subrutina PROP.
Segundo. Se genera a través de la subrutina GRID, la localización de los nodos y celdas
usados para establecer en forma numérica, los principios de conservación.
Tercero. Se calcula la velocidad del gas en la tubería de perforación y ánulo a partir del
gradiente geotérmico establecido como condición inicial, se obtiene a su vez la caída de
presión y la velocidad de los recortes producto del proceso de perforación. Esta etapa se
realiza en la subrutina FLOW apoyándose en DVSAT y PSAT durante los procesos de
perforación con niebla, al presentarse condiciones de saturación para el agua. La
variación de estas propiedades debido a los cambios de área en las tuberias se analiza en la
subrutina ACHNG.
Cuarto. A través de la subrutina COND se lleva a cabo el cálculo de las conductancias,
necesarias para el análisis de transferencia de calor. La conductividad térmica efectiva, en
los análisis de convección natural, es obtenida en la subrutina CONAN, mientras que los
coeficientes convectivos de transferencia de calor para convección forzada se calculan
67
CAPlTULO 5 PROCEDIMIENTO DE SOLUCI6N
1 S . R E A D I
S . G R I P
S . C O N D
F.KTUBE -
S . C O N A N -
F . V I S C
S . C O N V N
f . C A
S . G P R O P
f . G V I S C
f . C O N V -
F . H T U B E -
F . C O N V N ~
J
S . P R O P
I S . V M I X T
f . F R I C I
I S . V S L I P
f . C D
S . G P R O P
f . G V I S C
R E S U L T A D O S u Figura 5.2. Diagrama de la arquitectura
del código GEOMST
68
PROCEDIMIENTO DE SOLUCIóN CAPmo 5
mediante la función C O W . Para cálculo de los coeficientes de película en convección
natural, se llama a las funciones C O W y HTLJESE aplicables al ánulo y tubería de
perforación respectivamente.
Quinto. Se resuelve la ecuación de energía, para ello previamente se calculan los
coeficientes de dicha ecuación dentro de la subrutina COEF, así como también se hace
necesario determinar las propiedades promedio del flujo ( Sección 3.2.1., H5 ) a través de
la subrutina GPROP. Con ésto, la ecuación de energía se resuelve dentro de la subrutina
WELL, la cual a su vez realiza una prueba de convergencia comparando las temperaturas
obtenidas recientemente, con las temperaturas empleadas por FLOW para el cálculo de las
densidades y velocidades. En caso de que estas temperaturas no converjan se procede de
nuevo al cálculo de las velocidades, densidades y caída de presión a partir de los nuevos
valores con lo que se vuelven a obtener nuevas temperaturas y se lleva a cabo una nueva
prueba de convergencia.
Sexto. Criterio de paro. Si convergen las temperaturas se imprimen los resultados en un
archivo de texto cuyo nombre es especificado por el usuario, obteniéndose para el caso de
las tuberías de perforación y retorno: la presión, temperatura, densidad y velocidad de
cada una de las fases que intervienen en función de la profundidad del pozo y el tiempo de
simulación, mientras que para el caso de la formación, los perfiles de temperatura son
desplegados en función de las posiciones axial y radial para todo el tiempo de simulación.
5.6. FORMA DE EMPLEO DEL SIMULADOR
El empleo del simulador, una vez que se ha ejecutado el programa geomistfor, consiste básicamente en la especificación de tres parámetros que son : 1 )sistema de unidades
( Internacional o Inglés ), 2 ) nombre del archivo de datos de entrada y 3 ) nombre del archivo de resultados. Los nombres de los archivos de entrada de datos e impresión de resultados son
archivos de texto, cuyos nombres se establecen en forma arbitraria por el usuario.
69
CAPITULO 5 PROCEDMENTO DE SOLUCIÓN
5.6.1 DATOS DE ENTRADA REQUERiDOS POR GEOMIST
En los datos de entrada necesarios para la ejecución de GEOMIST se establecen a partir
de las características fisicas del pozo y del proceso, tales como: diámetros, profundidades,
temperaturas, gastos, etc.; cada uno de estos registros se describe a continuación:
1. REGISTROS DE TUBERÍAS.
Registro 1 : ‘Tuberías’, NTS
Registro 2: NT, DI, DO, ZC, DZ
donde: NTS = Número de intervalos de las tuberías
NT = Datos del intervalo n.
DI = Diámetro interior del tubo, ( cm )
DO = Diámetro exterior del tubo. ( cm )
ZC = Fin del intervalo especificado ( m ). El inicio del intervalo definido se
establece con el fin del intervalo previo. El inicio del primer intervalo
es la superficie.
DZ = Longitud de la columna de cementación adyacente a la tubería
especificada ( m ). Dicha columna termina junto con el intervalo
especificado por ZC.
El registro 2 debe repetirse para cada intervalo de tubería, siendo el número total de estos
registros igual a NTS. Se pueden especificar hasta 10 intervalos de tuberías.
2. REGISTROS DE LOS REVESTIMIENTOS
Registro 1 : ‘Revestimientos’, NCS
Registro 2: ‘NC, DI, DO, ZC, DZ
donde: NCS = Número total de tubería de revestimiento NC = Datos del revestimiento n.
’ 70
I
CAPiTiJLO 5 PROCEDIMIENTO DE COLUCIÓN
DI = Diámetro interior del revestimiento, ( cm )
DO = Diámetro exterior del revestimiento. ( cm )
ZC = Profundidad a la que se extiende el revestimiento ( m ).
DZ = Longitud de la columna de cementación adyacente al revestimiento
( m). La columna de cementación inicia en el fondo del
revestimiento especificado en la profundidad ZC.
El registro 2 debe repetirse para cada revestimiento, siendo el número total de estos
registros igual a NCS, agrupándose los datos del diámetro menor al diámetro mayor,
permitiéndose como mínimo un revestimiento y como máximo de cuatro.
3. G E O M E ~ DEL POZO
Registro: 'GEOMETRÍA DEL POZO', DEPTH, TD, TVD, DDVN, DIA
donde: DEPTH = Profundidad donde inicia el proceso de perforación ( m ).
TD = Longitud total a lo largo del eje central del pozo ( m ).
TVD = Longitud vertical desde la superficie hasta el fondo del
pozo ( m ). En pozos verticales TD = TVD.
DDVN = Profundidad a la cual el pozo es desviado ( m ).
DL4 = Diámetro máximo del pozo en la superficie ( cm ).
4. REGISTROS DE TEMPERATURAS.
Registro: 'Temperaturas' TSUR, BHT, TDEPTH, DEPTHT.
donde: TSUR = Temperatura invariable de la superficie ( "C ).
BHT = Temperatura en el fondo del pozo ( "C ).
TDEPTH = Temperatura a una profundidad dada del pozo ( "C ).
DEPTHT = Profundidad a la que se especificó TDEPTH ( m ).
71
PROCEDIMIENTO DE COLUCION CAPIWLC 5
5. REGISTROS DE FLUIDOS EN EL POZO APARTE DE AIRE ( agua y Iodos a base
de agua ).
Registro 1 : 'Fluidos', NPFS
Registro 2: NPF, DENFP, PVFP, YPFP
donde: NPFS =Número de fluidos a ser especificados.
NPF =Número de identificación del fluido.
DENFP = Densidad del fluido ( kg/m3 )
PVFP = Viscosidad dinámica ( cps ).
YF'FP = Punto de cedencia ( N/ m2 ).
El registro 2 debe repetirse para cada fluido que interviene, siendo el número total de estos
registros igual a NPFS. NPF debe ser numerado consecutivamente iniciando con 1.
6 . REGISTRO DE LOS FLUIDOS INICIALES EN EL POZO
Registro: 'F INICIALES', IPF, IAF
donde: IPF = Número del fluido en el pozo
IAF =Número del fluido estancado en las tubería de revestimiento.
Estos registros definen el fluido que se encuentra en el pozo y los espacios anulares que
forman las tubería de revestimiento. iPF designa el tipo de fluido que está en el pozo, mientras
que iAF indica el tipo de fluido estancado en las tuberías de revestimiento. Si todos los ánulos
que forman los revestimientos se encuentran cementados hasta la superficie, L4F será ignorado;
sin embargo, siempre se debe especificar un valor para esta variable.
72
cAPm0 5 PRCCEDIMTENTO DE COLUC16N 1
7. CONTROL PRINCIPAL DEL PROCESO
I I
Registro: ‘P CONTROL’, IFLOW, P F , TiN1, VFRP, DAYCH
donde: IFLOW = 1 para lavado de pozo.
= 2
= 3 para perforación con aire o nitrógeno
para perforación con niebla.
P F = 1 para el aire.
= 2 para el nitrógeno.
= Temperatura a la que se inyecta el fluido al pozo ( “C ).
= Gasto volumétrico del fluido ( m3/min ).
TIN1
VFRF’
DAYCH = Fin del periodo de circulación en días.
Este registro se repite para cada etapa de simulación, ya establece el inicio y fin del
proceso que se está modelando: circulación, perforación o paro.
8. PRESIÓN DE GAS
Registro: ‘P GAS’, PSTAND
donde: PSTAND =Presión absoluta a la que se inyecta el fluido en el pozo ( bar - psi ).
Si esta presión no es consistente con la temperatura y el gasto volumétrico a la entrada, el
programa automáticamente incrementará dicha presión hasta un valor adecuado.
9. CANTIDAD DE AGUA AÑADIDA AL AIRE ( NIEBLA )
Registro opcional, sólo para IFLOW=3; su formato es el siguiente:
Registro: ‘Niebla’ VFRM
donde: VFRM = cantidad de agua añadida al aire ( 1 /min )
73 I
PROCEDIMIENTO DE SOLUCldN CAPlTLlLO 5 I
3 .
10. ESPECIFICACIONES PARA PERFORACIÓN
Este registro es opcional (sólo para IFLOW = 2 e IFLOW = 3) ya que se aplica únicamente en procesos de perforación. Sus registros en el archivo de datos de entrada, tiene el
siguiente formato:
Registro 1 : ‘Perforación’, IBH, HRC, DDCHG
Registro 2: ‘TEP’, DCLRL, DCROM, DCRIM, BITRM, BITNI,
BITN2, BITN3
donde: IBH=O cuando no existe un tren de ensamble para perforación.
JBH= 1 cuando existe un tren de ensamble para perforación.
HRC = Horas de circulación diarias ( horas de paro = 24 - HRC ).
DDCHG = Profundidad alcanzada en el tiempo establecido por DAYCH ( ni ).
Para el caso en que IBH=O, el registro 2 se omite; en caso contrario (IBH=l) se establece
el registro 2 de acuerdo al formato pianteado previamente, donde:
DCLRL = Longitud de los collarines de perforación ( m ).
DCROM = Diámetro exterior de los collarines ( cm ).
DCRIM = Diámetro interior de los collarines ( cm ).
BITRM = Diámetro de la barrena ( cm ).
BITN = Diámetro de los inyectores ( cm ).
Para la especificación de estos datos se recomienda tener presente la Figura 2.2. Por otro
lado, en el Capítulo 6 se muestra un ‘ejemplo en los que todos estos datos se incorporan al
programa, tomando los datos a partir de un pozo geotérmico real, el cual servirá de base para la
validación del código.
1
CAPITULO 6
ANÁLISIS DE RESULTADOS
6.1. INTRODUCCI~N
En este capítulo se presenta la validación y aplicación del código desarrollado, así como
también la descripción de los casos tratados. A partir de ésto, el capitdo se divide en dos partes
que son: el aspecto de la validación, basado en la comparación de datos obtenidos por la
aplicación del código, contra los publicados en la literatura, y el aspecto de aplicación, el cual se
enfoca a la simulación de un proceso de perforación llevado a cabo en un pozo geotérmico
nacional, comparando los datos del campo, contra los obtenidos al ejecutar GEOMIST.
I
I
En cada uno de los casos se presentan las características físicas y sus correspondientes
condiciones iniciales de operación. Posteriormente, se muestran y se analizan las distribuciones obtenidas por las variables calculadas tales como presión y temperatura.
ANÁLISIS DE RESULTADOS CAPITULO 6
- Dimensiones del pozo
Tubería de perforación: 5"
Diámetro del pozo: . 20" Tubería de revestimiento: 5-5/8"
Diámetro de la barrena: 8.75" Coiiarines: Long. 600' Diam. 6"
6.2. VALIDACI~N DEL CÓDIGO
Debido a que el código desarrollado implica fenómenos de flujo compresible, la literatura
existente respecto a modelos computacionales de este tipo es escasa. Sin embargo, se encontraron
datos validados de un pozo perforado con aire publicados por Mitchell ( 1981 ). Este autor realizó
simulaciones de pozos geotérmicos con el fin de determinar los esfuerzos térmicos en las
columnas de cementación colocadas durante los procesos de perforación en pozos. Estas
simulaciones fueron llevadas a cabo utilizando un simulador térmico desarrollado por los
laboratorios SANDiA (1980).
Para el caso en particular que nos interesa, que es el de un pozo geotérmico perforado por
aire o niebla, se reporta el siguiente caso: un pozo vertical es perforado hasta una profundidad de
9000 ft utilizando aire como fluido de perforación, las características geométricas del pozo se
resumen en la Tabla 6.1
Tabla 6.1. Descripción de las dimensiones fisicas del pozo geoténnico
La relación de gasto volumétrico reportada es de 1835 gaymin, inyectados a una presión
de 110 psi durante un periodo de 10 días, a una velocidad de penetración de 90 füh.
A partir de ésto, recordando que los datos requeridos por GEOMIST deben estar dados en
el sistema internacional de unidades, se construye el archivo de datos de entrada necesario para la ejecución del código, quedando conformado como se presenta en la Tabla 6.2. ( ver Sec. 5.4.1 .).
76
ANALISIS DE RESULTADOS CAPITULO 6
Tabla 6.2. Archivo de datos de entrada del simulador GEOMiST utilizado paia la etapa de validación del código -
CORRIDA No.1: PERFORACIÓN CON AIRE TUBER~AS'J 1,11.1963,12.7,2743.2,0. 'REVECTIMIENTOS.1 1,22.65934,24.~75,30.48,30.48 'P020',0.,2743.2,2743.2,0.,50.8 '~MpERATURAC',26.67,76.67,40.5,752, 'FLUIDOC',l 1,998.3,1.,0. 'INICIAL',1,1 'R PRINCIPAL',2,1,26.67,29.11,2. 'P GAS',2.75 'PERFORACI6N,I,10.,548.~ 'T-E-P',182.88,15.24,6.35,22.225,1.905,1.905,1.905 'R PRlNCIFAL',~,1,26.67,51.96,10. 'P GAS',7.58 'PERFORACI6N',O,lO.,2743.2
La Fig. 6.1. muestra las predicciones de los perfiles de temperatura del código GEOMTST,
a lo largo de las tuberías de perforación y retorno, comparados con los datos reportados por
Mitchell ( 1981 ). Como se puede observar, los datos obtenidos por medio de la ejecución del
código, coinciden con un desviación máxima de 1 OC con los datos reportados en la literatura, lo
cual es un buena aproximación.
Un hecho notable en estos resultados, es la obtención de la temperatura máxima la cual se
localiza en el fondo del pozo ( 2743 m ) a un valor de 76 "C. Además, se observa que la variación
de dicha variable, respecto a la profundidad en el tiempo establecido, es prácticamente lineal a lo
largo de todo el trayecto de circulación del fluido. Este comportamiento el cual difiere de los
perfiles presentados para los casos de perforación con fluido incompresible (Arnold, 1990) en los
cuales, existe un ligero declinamiento de la temperatura en el fondo del pozo debido
principalmente a las pérdidas de circulación que se presentan generalmente en esta región (M.A.Goodman, 1981).
De igual forma, la Figura 6.2. muestra los datos correspondientes a las variaciones de
presión que sufre el fluido de perforación, reportadas por Mitchell (1981), respecto a los datos obtenidos al ejecutar el código; la aproximación de estos resultados es aceptable, con lo que se concluye que el código implementado funciona adecuadamente.
CAPITLTLO 6 ANÁLISJS DE RESULTADOS
I ...
t O ! I x O OD W u7 ? r m W P o
P b
n F : fn (0 N r " : N P N N
D o PRONNDlüAD ( m )
Reportes para el ánub - Resultados para !a Tp
. . . . . . . Resunados para el ánub
Figura 6.1. Comparación de los perfiles de temperatura reportados en la literatura (Mitchell, 1981) contra los obtenidos al ejecutar GEOMiST ( TP = Tubena de perforación ).
Reportes para el ánulo Resunados para la TP
. . . . . . . Resultados para el ánub
x ;c
P 1 . T o
O
r N P N N
PROWNUDAD ( m )
Figura 6.2. Comparación de las caídas de presión reportadas en la literatura (IvWchell, 1981) contra los obtenidos al ejecutar GEOMiST ( TP = Tubería de perforación ).
78
ANALISIS DE RESULTADOS CAPITULO 6
6.3. APLICACI~N DEL CÓDIGO: ESTUDIO DEL POZO LV-4
El pozo LV-4 ubicado en el campo geotérmico Las Tres Vírgenes, inició su proceso de
perforación el 15 de enero de 1995 y terminó dicha etapa, el 13 de junio de 1996. El pozo se
construyó en cuatro etapas, con agujeros de 26”, 17-1/2”, 12-114’’ y 8-1/2”. Las tuberías de
revestimiento se instalaron de 20”, 13-3/8” y 9-5/8” de diámetro con intervalos totales de
cementación y la profundidad total del pozo es de 8 200 fi ( 2500 m ). La Fig. 6.3. expresa
fisicamente el estado del pozo al final de su construcción.
Perforación a 26” 0 50.0 MBNT R.B. a4840MBNT R.B. a4840 MBNT
Peíoración a 17 it? 0 400.0 MBNT R.B. a4840 MBNT
T.R. 26’0.K-55, 94 Ib/A
T.R. 13 3/8” 0,K-55.94 Ib/tl R.B. a 399.74 MBNT
T.R. 13 3/8” 0,K-55,94 Ib/fl R.B. a 399.74 MBNT
Perforación a 12 1/4” 0 1500.0 MBNT R.B. a 4840 MBNT
Colgador 7 x 9 518” 0. De 1336.55 a 1339.5 MBNT
Peforación a 8 I W 0 2500.0 MBNT R.B. a 4840 MBNT Liner ranurado de 7” 0, L80,
94 Ib/A RH 521 combinada con Rñ a2492.18 MBNT NOTAS:
Prohuididad de la desviación: 900 MBNT. Desplazamiento hofirontal total: 948.85 m. Rumbo de la inclinación: S 56’ W Inclinación: 18.16 Las medidas wrrespondm al eje central del porn.
Figura 6.3. Estado mecánico h a 1 del pozo LV-4 del campo geotédco Las Tres Vírgenes ( MBNT =Metros basados a nivel de terreno, 0 = Diámetro, K
y L = Patrones de tolerancia, HR = Rosca Hydnll, RB = Rosca Buttress ).
79
ANÁLLSE DE RESULTADOS CAPITLnO 6
El pozo se perforó en tres etapas, las dos primeras utilizando iodo como fluido de
perforación hasta alcanzar una profundidad de 1600 m, profundidad a la cual se presentó el
problema de pérdidas de circulación motivo por el cual se pasó a utilizar flujo aireado para
concluir el proceso de perforación. La perforación en esta etapa se llevó a cabo inyectando aire a
una relación de flujo volumétrico de 28.3 m3/min más 30 l/h de agua.
Con base en lo antes mencionado, se seleccionó la etapa de 1600 m a 2500 m para SU
simulación, tomándose para ello, los registros de temperaturas T9 a T12 del proceso real de
perforación, los cuales se obtuvieron a partir de 6 y hasta 24 horas de reposo. Esta serie de
registros se presenta en la Fig. 6.4.
Como se puede observar, los perfiles de temperaturas presentan una tendencia lineal
reportándose los valores máximos de los registros en el fondo del pozo, lo que exenta de posibles
pérdidas de circulación esta etapa del proceso. Por otro lado, es conveniente mencionar que estas
temperaturas corresponden a la linea central de la tubería de perforación.
250
200
Y - 8 150 3
5 g 100 I L
50
O O 0 0 0
O 0 O
I o . ? . ? . ? N P R O M D A D ( m )
SERIE DE REGISTROS
-T9. A6HRSDEREPOSO -m-T10. A 12 HRS DE fU3OS(
Tll,A18WISDEfU3OS( --A- - T U . A 24 HRS C€R€FüS(
Figura 6.4. Registros de temperaturas obtenidas durante el proceso de perforación del pozo LV-4 del campo geoténnico Las Tres Vírgenes
80
ANÁLL5J.S DE RESULTADOS CAPITULO 6
Para poder simular estos registros'con el código numérico, se construyó el archivo de
datos de entrada de acuerdo a las caractensticas fisicas del pozo (ver Figura6.3.) y las
condiciones de flujo antes mencionadas, considerando además que el pozo inicialmente está lleno
de agua y utiliza un tren de ensamble para perforación de 182.88 m de longitud y diámetro
exterior e interior de 15.24 cm y 6.35 cm respectivamente en los collarines (ver Figura 2.2.). El
diámetro de la barrena es de 3 1.1 1 cm y el correspondiente a los inyectores es de 1.905 cm cada
uno. Dicho archivo de datos se muestra en la Tabla 6.3.
TabIa 6.3. Archivo de datos de entrada del simulador GEOMIST correspondientes ai pozo LV-4 del campo geotérmico Las Tres Vigenes
CORRIDA No2 :PERFORACIÓN DEL POZO LV-4 jIMULACIÓN N0.2 PERFORACIÓN CON NIEBLA TiJBERIA',l 1,10.05,11.43,25M).,O. REVESTiMiENTOS',3 1,2204,24.44,1500.,1500. 2,31.36,33.97,400.,400. 3,48.57,50.8,50.,50. POZ0,1600.0,2500.0,2450.0,900.0,60.0 TEMPERATURAS,30.,2.,175.,2OM). 'FLUIDOS',l 1,998.3,1.,0. iNiUAL',1,1 P CONTROL',8,1,30.,28.3,16.67 P GAS',28.39 'NIEBLA',0.5 PE~ORAU6N',l,S.,2500.0 'T-EP',182.88,15.24,6.35,31.115,1.905,1.905,1.~5 'P CONTROL',7,1,30.,0.0,16.92 'P GAS*,1.02
'P CONTKOL',7,1,30.,0.0,17.17 'P GAS.l.02 ~PERFORAClÓN',O,6.O,ZO 'P PRiNCJPAL',7,1,30.,0.0,17.42 'P GAS',1.02 ~PERFORAU6N',O,6.O,wOO. 'P PRINCIPAL',7,1,30.,0.0,17.67 'P GAS'J.02 'PERFORACIÓN',0,6.0,2500.
~PERFORA~~N',O,~.O,WX).
Los resultados arrojados por GEOMIST, para 6,12, 18 y 24 hrs. de reposo, se muestran en la Fig. 6.5.
81
ANAUSIC DE RffiIJLTADaS CAPlTLTLo6
I 1 w P B I-
. . 250
200
150
DATOS SiMüLADOS
AGHRSDEW.
A18HRSDERB) +A 24 HRS Em.
1585 1706.9 1889.8 2072.6 2250 2377.4
PRO"DIüAD( m )
Figura 6.5. Registros de temperaturas del porn geotérmico LV-4, obtenidos ai ejecutar GEOMiST
Como se puede ver, la tendencia en estos resultados es similar a los datos reportados, los
cuales fueron mostrados previamente en la Figura 6.4. Además, en la Figura 6.5. se puede
observar que el rango más amplio de valores de temperatura se presenta en los últimos datos, ésto
es aproximadamente a partir de 2250 m de profundidad hasta el fondo del pozo, mientras que en
los primeros metros de esta etapa de perforación, que van de 1600 m a 1800 m, el incremento en
la temperatura es sólo de 20 "C aproximadamente, io cual es acorde a los registros reportados.
Posteriormente, en las Figuras 6.6. y 6.7., los registros T9 (para 6 hrs. de reposo) y T10
( para 12 hrs. de reposo ) se expresan comparativamente contra los obtenidos por medio de la
ejecución del código, para los mismos tiempos de circulación y reposo. Como se puede ver, la
aproximación que existe entre los registros leídos y los resultados obtenidos es razonable, ya que
éstos, presentan una desviación máxima entre datos de 8 "C en el fondo del pozo a 6 y 12 hrs. de
reposo. Por último, en las Figuras 6.8 y 6.9 se expresan estos mismos valores para 18 y 24 hrs. de
reposo; la diferencia máxima entre los datos medidos y los datos simulados fue de 10 "C y se
presentó a 2050 m de profundidad; sin embargo, esta diferencia se redujo paulatinamente hasta
5 "C en el fondo del pozo (Figura 6.9).
82
ANÁLLSJS DE RESULTADOS CAPITLnO 6
250
200
9 - 150
3 z g 100 w +
50
O 1600 1700 1850 1950 2050 2150 2250 2350 2450
PRO”MDAD( m )
DATOS A 6 ERS. DE REPOSO
A m B m T 9
Fig. 6.6. Comparación de los datos reportados en el campo ( registro T9 ) contra los obtenidos con GEOMiST
200
Y
2 s 2 150
100
50
O 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500
P R O M D A D ( m )
DATOS A 12 HRS. DE REPOSO
t PBJLTADOS r--- A mi?.TRo TI0
Fig. 6.7. Comparación de los datos reportados en el campo ( registro T10 ) contra los obtenidos con GEOMiST
83
.
CAPi"UL0 6 ANÁWIS DE REXILTADOC
loo I 50 f O 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500
PRONNDlDAD ( rn )
DATOS A 16 HRS. DE REWSO
A - 6 m T 1 1
Fig. 6.8. Comparación de los datos reportados en el campo ( registro T11 ) contra los obtenidos con GEOMiST
1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500
I PRO"DIDAD( m )
DATOS A 24 HRS. DE REPOSO
A REGETROT12
Fig. 6.9. Comparación de los datos reportados en el campo (regislro T12) contra los obtenidos con GEOMiST
84
CAPITULO 7
CONCLUSIONES
7.1. GEOMIST
El tema de tesis “Análisis Térmico de la Perforación de Pozos Geotérmicos que Utilizan
Aire y Agua como Fluido de Perforación”, comprendió la aplicación de materias tales como:
Transferencia de Calor, Mecánica de Fluidos, Matemáticas Avanzadas, Métodos Numéricos,
Programación en Lenguaje Fortran y la comprensión de algunos principios físicos sobre procesos
de perforación de pozos.
El código numérico implementado, denominado GEOMIST, resuelve las ecuaciones de
conservación de masa, cantidad de movimiento, energía y principio de estado por medio del método de residuos pesados y el método iterativo Gauss-Seidel. La . codificación computacional
del modelo matemático está hecha en lenguaje Fortran 77, debido a que este lenguaje de programación está disefíado básicamente para la solución de problemas en ingeniería.
CAPlTLlLO 7 CONCLUSIONES
La validación del código se enfocó a la simulación de un proceso de perforación reponado
en la literatura (htitchell, 1981), mientras que la aplicación comprendió el estudio térmico del
proceso de perforación llevado a cabo en el pozo LV-4, ubicado en el campo geotérmico Las Tres
Vírgenes, a partir del cual se obtuvieron y compararon los perfiles de temperatura obtenidos en 6 ,
12, 18 y 24 hrs. de reposo.
La congruencia del comportamiento cuantitativo de los datos obtenidos a partir de la
ejecución de GEOMIST con los datos registrados en el pozo, permite asegurar la confiabilidad
del código, además de un proceso de cálculo eficiente y numéricamente estable para la solución
de problemas reales relacionados con los procesos de perforación, llevados a cabo al utilizar aire
o niebla como fluido de perforación.
El programa está escrito en forma modular (Fig. 5.1.), lo cual permite modificar e
implementar otro tipo de modelos matemáticos al código (modelos de flujo no Newlonianos,
modelos de turbulencia complejos, modelos de condiciones en la frontera no lineales, etc.),
permitiendo de esta forma la apertura de trabajos futuros.
7.2. TRABAJOS FUTUROS
Los procesos de flujo de fluidos llevados a cabo en el desarrollo de GEOMIST, abren una
gran gama de alternativas hacia trabajos posteriores, entre los cuales podemos mencionar los
siguientes:
1. incluir el efecto de pérdidas de circulación, lo cual es una problemática actual y
constante en todos los procesos de perforación (García e?. ai., 1998).
2. Evaluar la variación de las propiedades termofisicas y de transporte en los cementos y
tuberías en función de la temperatura y si se desea, contemplar las posibles fuentes de energía
tales como trabajo de la barrena y disipación viscosa, ésto con la finalidad de eficientar los
resultados obtenidos.
CAPITLlLO 7 CONCLUSIONES
3. Incluir la determinación de patrones de flujo tales como: flujo burbuja (bubble), flujo
bala (slug), flujo en transición (frothy) y niebla anular (mist); ésto con el fin de determinar las
caídas de presión mediante la aplicación de un modelo mecanístico (Ansari et. al., 1990) para
posteriormente simular la distribución de temperaturas en pozos durante procesos de producción
e inyección.
4. Incluir modelos para la simulación de procesos de perforación llevados a cabo a partir
de fluidos no Newtonianos, tales como Iodos y aceites base agua, ésto con el fin de simular todas
la etapas de perforación de un pozo y no sólo aquellas en las que se utilizan aire y agua como
fluido de perforación.
5. Por Último, un requerimiento inmediato para la aplicación del código numérico a gran
escala, es el desarrollo de un medio ambiente de simulación, ya que el avance actual de los
sistemas computacionales requeridos por un gran número de usuarios así lo demanda.
7.3. COMENTARIOS FINALES Y RECOMENDACIONES
Las pruebas realizadas mediante la ejecución de GEOMIST arrojaron resultados
satisfactorios, sin embargo se debe observar que ninguna de éstas se realizó para profundidades
mayores de 3000 m, y de acuerdo a las recomendaciones dadas por Marshall y Bentsen (1982),
los efectos de generación de energía térmica pueden tener un efecto considerable en estos casos.
Por lo tanto, para esta clase de aplicaciones es recomendable incluir el término de generación Q
de la Ecuación 3.1 ( Sección 3.2.3.) e implementarlo en el modelo desarrollado, antes de llevar a cabo la aplicación del mismo en una situación de este tipo.
Por otro parte, se recomienda evaluar con detalle la calidad másica del aire en procesos de
simulación con niebla, ya que de acuerdo al concepto de flujo homogéneo (Wallis G. B., 1969)
ésta puede alcanzar valores hasta del 80% y cumplirse sin problema alguno dicho concepto; sin
a i
CONCLUSIONES CAPITLlLO 7
embargo, el análisis llevado a cabo en el pozo LV-4, del campo geotérmico Las Tres Vírgenes.
contempló una calidad másica para el aire del 98 % por lo que no se pudo asegurar la
confiabilidad del modelo para calidades inferiores.
Respecto a este Último punto, se llevaron a cabo simulaciones hipotéticas para casos en
los que la calidad másica del aire tenía un valor del 85%. Se observaron a partir de ésto, algunos
problemas de convergencia; los cuales, disminuían conforme dicho valor aumentaba hasta arriba
del 90 %.
Ésto, posiblemente se pueda acreditar a algún problema de inestabilidad numérica o a que
los parámetros supuestos en dicha simulación, están fuera de la concepción fisica real, requerida
por la Ecuación (4.31) descrita en la Sección 4.6 del presente estudio.
88
BIIBLIOGRAFIA GENERAL
Anderson Dale A., Tannehill John C. and Pletcher Richard H. Computational Fluid
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92
APÉNDICE A
PROPIEDADES TERMODINÁMICAS UTILIZADAS EN EL
Aire
Nitrógeno
DESARROLLO DEL MODELO
PROPIEDADES DEL AIRE
Los valores de R y C, del aire empleados en el desarrollo del m
A0 A , * A,' io4 A , * 10" A,* 10'
0.552795 2.810892 - 13.508340 39.353086 -41.419387
0.579561 2.847486 -13.232490 37.1061 07 -37.549675
lelo fueron coni erados constantes y con base en la bibliografía se adoptaron de la siguiente forma:
R = 287.06 J / kg K
C, = 1004.0 J / kg K
Los valores de la viscosidad dinámica usados en GEOMIST son función de la temperatura
de acuerdo a la correlación:
T 0.5
('4-1 1 . . . . . . . . . . . ' = A, + ( A , / T ) + ( A , / T ) + ( A 3/ T ' )+( A , IT ' )
donde:
APÉNDICE A PROPIEDADES TBRMODNÁMICAC DEL MODELO
Para el análisis de convección natural, la conductividad térmica se defme a través de la
relación:
K=- CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Aa) Pr
donde el número de Prandtl se define por la ecuación de Eucken (Holdman J. P, 1986):
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( A-3 1 4tl (9v-5)
Pr =
El término q en la ecuación ( A-3 ) es la relación de calores específicos del gas que para
el caso del aire es igual a 1.40 .
PROPIEDADES DEL AGUA
Siempre que se maneja agua a temperaturas mayores a 100 "C, la determinación de
propiedades de saturación es indispensable al momento de simular procesos de perforación, por
lo que GEOMIST hace uso de una serie de correlaciones empíricas basadas en la regla del
equilibrio de Gibbs. De esta manera, la presión de saturación se obtiene a partir de la ecuación
( A - 4 ) .
r I 1 ~ * l O ~ ~ ( r , - t )~Xi(0 .65-0 .01r) ' - ' . . . . . . . . . . . . . . ( A . 4 )
is1
donde P, y t representan la presión ( bars ) y temperatura de saturación ( "C ), P, es la presión
critica (220.88 bars), t, la temperatura critica (374.136 "C), r= 1000 / T y X, toma los siguientes
valores:
94
APÉNDJCE A PROPIEDADES TERMODINhMlCAC DEL MODELO
XI = -74 1.9242
X,=-11.55286 Xq= -0.8685635
Xz= -29.72100
0.1094098 X,= 0.439993
X,= 0.2520658 X,= 0.05218684
Para el caso inverso, en el que es necesario determinar la temperatura de saturacion en
función de la presión de saturación, ésta es aproximada por la relación (Keenan, J. H. y Keyes F.
G., 1969):
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( '4-5 1 T, - [1.73010-f,(P)]
T -
donde:
. . . . ( A - 6 ) i
siendo los coeficientes Y, definidos de la siguiente forma:
Y, = - 0.45800227 Y,= 1.01586580
Y, = 0.535426260 Y,= 0.07074624
Y,=- 0.26191199 Y, = 0.10003160
Para la obtención de las densidades del vapor y líquido saturado, se aplican las
y ( A-1 1 ) respectivamente, combinadas con ( A-4 ) y ( A-5 ). Estas correlaciones ( A-7 ) correlaciones se muestran a continuación.
95 . . . . . . , i. .,:~ ! , , ~ ' . . ' ; , ..
APÉNDICE A PROPIEDADE TERMODINhlICAC DEL MODELO
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( A-7 ) - 4 P,,,” - -
TR,,,
donde:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( A-8 1 R,, = 107.779+352.SS1(1- y)”
. . . . . . . . . . . . . . . . .
xz2.6-0.6T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (A-10)
Y para el caso del líquido:
P , , , = P , + ( P ~ - P , ) ~ ( T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (A-11)
donde:
y 0.5 . u ( T ) = ( l - T , ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (A-12)
y=1.6160exp(0.40873~’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (A-13)
Las unidades que expresan la densidad en cada fase son kg/m3 estando la temperatura en
unidades absolutas (K).
Por otro lado, para el caso del agua que se encuentra estancada en las tuberías de
revestimiento, se calcula una viscosidad efectiva necesaria para los análisis de convección
natural. Dicha viscosidad estará dada de acuerdo a un modelo de ley potencias conforiiie a la
forma ( A-14 ).
96
i
PROPIEDADES TERMODINÁMICAC DEL MODELO APÉNDKE A
0 m-'
m Pefl = M- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-14)
donde para el caso del agua (ver Sec. 2.3.) m=l, entonces:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-15) 5.1 09( YP + P V )
510.9 ppB = M =
Siendo YP y PV representan el punto de cedencia y la viscosidad dinámica del agua
respectivamente.
PROPIEDADES DEL LODO
Todos iodos existentes para procesos de simulación ai utilizar GEOMIST se definen como
Iodos a base de agua. Estos Iodos pueden estar como fluido estancado dentro de las tuberías de
revestimiento; sus propiedades tales como: densidad, viscosidad y punto de cedencia son
especificados por el usuario, mientras que la capacidad térmica especifica ( C, ) de un iodo en
particular se determina a partir de la fracción de sólidos en el fluido. La fracción de sólidos (FS)
se determina a partir de las siguientes correlaciones dadas en el sistema ingles -p en Ibígal-
(Govier y Azziz , 1977):
FS = 0.0798 ( p - 8.33) para 8.33 < p < 10.3 . . . . . ( A - 1 6 )
FS = 0.0318 (p - 10.33) + 0.162 para p > 10.3 . . . . . . . . . . (A-17)
La capacidad térmica especifica ( .en BTU/ h°F ) y conductividad térmica K ( en
BTU / h ft "F ) se establecen de acuerdo con las ecuaciones:
C, = 1.0 - ( 0.77 FS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( A-18 )
K= 0.399 + ( 9.6 FS ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( A-19 )
91
APÉNDICE B
FACTOR DE FRICCI~N Y COEFICIENTE DE ARRASTRE
FACTOR DE FRICCI~N
La ecuación empleada en el desarrollo de cartas para la obtención del factor de fricción
fue desarrollada por Colebrook ( la representación gráfica de esta ecuación es expresada mediante
el conocido diagrama de Moody). Esta ecuación es función de los diferentes acabados
superficiales de las tuberías a través de un factor denominado rugosidad relativa.
Desafortunadamente la ecuación de Colebrook deber ser resuelta numéricamente para la
obtención de este factor.
Con el fin de obtener de una forma simplificada este valor durante los procesos simulados
a través del modelo GEOMM, se hace uso de una expresión analítica desarrollada por Wood
(Govier,G. W. y Azziz, 1960) la cual es prácticamente equivalente a la ecuación de Colebrook, ya
que ¡os resultados obtenidos con ésta presentan desviaciones máximas del 4 % respecto a los
obtenidos numéricamente por medio del modelo de Colebrook. Dicha expresión analítica se
muestra a continuación.
f = 4 ( a + b R e " ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( B - 1 )
donde:
a = 0.026 ~""' + 0.133 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( B-2 )
b = 22.0 5"" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (B-3) .
c = 1.62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( B-4 1
APÉNDICE B FACTOR DE FRICCldN Y COEFICIENTE DE ARRASTRE
r & (metros) Material
0.00305 En pozo abierto
0.000152 Fierro gaivanizado
0.0000457 Tubería de acero
Y
E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( B-5 1 e = - . D
En este caso, E representa la rugosidad absoluta. Los valores correspondientes a E
utilizados en GEOMM se consideran constantes y son mostrados a continuación.
Tnbln B1. Valores de la rugosidad absoluta utilizados en GEOMiST
COEFICIENTE DE ARRASTRE
El coeficiente de arrastre empleado para la determinación del transporte de los recortes de
perforación en la simulación del flujo multifásico se determinó a partir de una correlación
desarrollada por Swason (Govier y Azziz , 1977 ), la cual se muestra en la ecuación B-6.
donde:
. . . . . . . . . . . . . . ( B-6)
% ,=[+ (P* pp - p t ) 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( B-7 )
99
APÉNDICE B FACTOR DE FRICCIbN Y COEFiCIENTE DE ARRACTRE
a
1.277
1 .O82
0.942
1.870
1 .O72
Swandon determinó los siguientes valores para a y b:
b Material
2.80 Cuarzo irregular
3.1 1 Galena cúbica
3.27 Cristal esferoidal
2.56 KC1 irregular
2.18 Esfalerita irregular
Tabla B2. Valores de las constantes utilizadas en la determinación del coeficiente de arrastre
El valor de d en las ecuaciones ( B-6 ) y ( B-7 ) representa el diámetro de la partícula, el
cual para el desarrollo del modelo se estableció de 9.5 milímetros.
1 O0
APÉNDICE c
EFECTO DE LOS CAMBIOS DE AREA SOBRE LAS
ECUACIONES DE CONSERVACIÓN
Ya que GEOMIST permite cambios de área a lo largo de la tubería de perforación, es
necesario incluir el efecto que esto produce, en condiciones de flujo, sobre las variables que se
ven afectadas, es decir: presión ( P ), densidad ( p ) velocidad ( v ) y temperatura ( T ).
La Figura C1 muestra el problema a resolver: un gas entra en el extremo de un volumen
de control de sección transversal Al a presión &.I, densidad Pk.1, velocidad Vk.1 y temperatura
Tk.1 ; el area transversal cambia abruptamente ( A2 ) produciendo que las variables antes
mencionadas, salgan del volumen de control a una presión Pk , densidad px velocidad vI y
temperatura r k .
Figura C1. Sección de tubería que ilustra esquemáticamente un cambio de área axial.
Para resolver &o, es necesario incluir las modificaciones necesarias en las ecuaciones de
conservación de masa ( Ec. 4.16 ), cantidad de movimiento ( Ec. 4.17 ) y energía ( Ec. 4.3 ).
AP~NDICE c EFECTO DE LOC CAMBIOS DE ÁREA
El principio de conservación de masa, al involucrar cambios de área, se expresa como:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pk-[ v , -~A,_ , = p k vkA, =G,Ak ( D - 1 )
Mientras que el principio de cantidad de movimiento quedaría: '-
Las variaciones en la energía, considerando estado estable y despreciable la variación de
energía potencial, estarán dadas por:
2 h k + ~ , - 2 h k _ , - ~ , _ , = 0 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( D- 3 )
El término 4 , en la Ec. ( D-2 ) se denomina presión base y es igual a Pi para flujo
. . subsónico, por lo que la esta ecuación se reduce a la forma:
P k - P , ~ l + G k ( ~ k - ~ , - , ) = O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( D-4 1
Para cerrar el sistema se incluye la ecuación del gas ideal y se expresa la entalpía en
función de la temperatura, tal y como se muestra a continuación:
P = p R T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( D-5 )
A h = C , A T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( D-6 1
donde R y C, son constantes.
1 o2
. -
APWDICE c EFECTO DE LOS CAMBLOS DE ÁREA
La temperatura de salida ( T k ) puede ser evaluada al aplicar las ecuaciones ( D-3 ) y
( D-6 ) de la forma en que se ilustra a continuación:
2 2
q = 2q_, i- vk-l - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( D- 7 ) CP
Para la velocidad de salida, la ecuación ( D-4 ) es llevada a la forma:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P,+G, (v : -v :_ , )=O ( D-8 1 -_ G k R q
La cual, al igual que la Ec. ( 4.26 ), resulta en una ecuación de coeficientes ( ver Sec. 4.6 )
similar a la Ec. ( 4.27 ); las dos raíces de esta ecuación representan la solución del flujo subsónico
y supersónico, siendo esta última despreciada por ser un valor demasiado grande para los
parámetros físicos que establece el problema. Las raíces imaginarias representan flujo estancado a
través del cambio de área por lo que se debe incrementar la presión de entrada ( &.I) o en su
defecto, disminuir la densidad del flujo masico ( GI ) para la obtención de una solución real.
103
