Certamen 1 - Mat024

8/18/2019 Certamen 1 - Mat024

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Universidad Técnica Federico Santa Marı́a

Departamento de Matemática

Certamen 1 Mate 4 - Pauta

1. En la esfera unitaria considerar la curva ζ : φ = θ . Calcular la curvatura en el punto

− 1

2 , 1

2 , √ 2

2

solución:

Parametrización de la curva ζ :

r(t) =(cos(θ) sen(θ) , sen(θ) sen(θ) , cos(θ))

=

12 sen(2θ) , 12 (1 − cos(2θ)) , cos(θ)

Derivando

r (t) =(cos(2θ) , sen(2θ) , − sen(θ))

r (t) = (−2 sen(2θ) , 2 cos(2θ) , − cos(θ))

Evaluando en θ = − π4

r −π

4

=

0 , −1 ,

√ 2

2

r −π

4

=

2 , 0 , −

√ 2

2

Luego la curvatura en el punto

− 1

2 ,

1

2 ,

√ 2

2

queda

k−π

4

=

r −π4 × r −π4 r −π4 3

=12 (

√ 2 , 2

√ 2 , 4)

12(0 , −2 ,√

2)3 = 2

3

13

3

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2. Considere la curva Γ parametrizada por:

r(t) = t

0

e−u cos(u2)du , t

0

e−u sin(u2)du , 1−

e−t ; t ∈ [0, ∞]Determine T ; N y B .

solución:

Derivando:

r (t) =(e−t cos(t2) , e−t sen(t2) , e−t)

r (t) = e−t√

2

Luego:

T (t) = 1√

2(cos(t2) , sen(t2) , 1)

Por otra parte

T (t) = 1√

2(−2t sen(t2) , 2t cos(t2) , 0)

T (t) = 2t√ 2

=√

2 t

Luego:

N (t) = (− sen(t2) , cos(t2) , 0)

Y

B(t) = 1

√ 2(

−cos(t2) ,

−sen(t2) , 1)

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3. Considerar la regíon

B = {(x, y , z , w) ∈ R4 / 2x2 + y2 + 3z2 + 4w2 ≤ 4}

Calcular :

B

|z| dxdy dz dw

solución:

Observar que se puede trabajar solo con z ≥ 0 y multiplicar la integral por 2. Ası́ la integral queda

B

|z| dxdy dz dw = 2

B

z dx dy dz dw

= 2

x ; y ; w

√ [4−(2x2+y2+3z2)]/3

0

z dz

dxdydw

=

2x2+y2+4w2≤4

1

3 (4 − 2x2 − y2 − 4w2) dxdydw

Hacer el cambio:

x = 1√

2ρ cos(θ) sen(φ)

y = ρ sen(θ) sen(φ)

w = 1

2 ρ cos(φ)

⇐ |Jϕ(ρ , θ , φ)| = 12√

2ρ2 sen(φ)

Y la integral queda:

= 8

3

π/2 0

π/2 0

2 0

(4 − ρ2) 12√

2ρ2 sen(φ) dρdφdθ

= 8

3 · 1

2√

2

π/2 0

dθ

π/2 0

sen(φ) dφ

2

0

4ρ2 − ρ4 dρ

= 64π

√ 2

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Se pueden hacer otros cálculos y otros cambios. Por ejemplo directamente en la integral hacer el cambio:

x = u√

2y = y

z = v√

3

w = t

2

⇒ Jϕ(u,y,v,t) = 12√

6

Aśı la integral queda

B

|z| dxdy dz dw = 12√

6

u2+y2+v2+t2≤4

v√ 3

dtdudydv

= 1

2√

6

u2+y2+v2+t2≤4

|v| dtdudydv

= 2

6√

2

u2+y2+v2≤4

|v|

4 − (u2 + y2 + v2) dudydv

En Coordenadas Esfericas queda

= 166√

2

π/2 0

π/2 0

2 0

ρ cos(φ)

4 − ρ2 ρ2 sen(φ) dρdφdθ

= 8

3√

2

π2

π/2 0

sen(φ) cos(φ) dφ

2

0

ρ3

4 − ρ2 dρ

= 64π

√ 2

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4. Calcular

R

xyz

x4 − y4 dV .

Donde R es la región determinada por las inecuaciones 1 ≤ x2 − y2 ≤ 4 ; 1 ≤ xy ≤ 3 y x2 + y2 ≤ z ≤2(x2 + y2) .

solución:

Usar el cambio de variable

ϕ−1 :u = x2 − y2v = xyz = z

⇐ Jϕ−1(x,y,z) =

2x −2y 0y x 00 0 1

= 2(x2 + y2)

Con este cambio

u2 = (x2−y2)2 = x4−2x2y2+y4 / + 4x2y2 ⇒ u2+4v2 = x4+2x2y2+y4 = (x2+y2)2 ⇒ x2+y2 =

u2 +

Y la integral queda

R

xyz

x4 − y4 dV =4

1

3 1

2√ u2+4v2

√ u2+4v2

vz

u√

u2 + 4v2 · 1

2√

u2 + 4v2 dz dv du

=

4 1

3 1

v

2u(u2 + 4v2) · 1

2

4(u2 + 4v2) − (u2 + 4v2) dvdu

= 3

4

4 1

3 1

v

u dvdu

= 3

4

4

1

du

u

3

1

v dv

= 3 ln(4)

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Se puede hacer lo mismo, calculando la integral respecto de z y luego haciendo el cambio de variable.

R

xyzx4 − y4 dV =

x , y

xyx4 − y4

2(x2+y2) x2+y2

dz dxdy

= 3

2

x , y

xy

x4 − y4 (x2 + y2)2 dxdy

= 3

2

x , y

xy

x2 − y2 (x2 + y2)dxdy

Haciendo el mismo cambio anterior queda

= 3

4

4 1

3 1

v

u dudv

= 3

4

4

1

du

u

3

1

v dv

= 3 ln(4)

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