cinematica 2
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31/03/2015
1
Movimiento Curvilíneo en el Plano
Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniera Civil
MSc.: Fredy Miguel Loayza Cordero
Estudiaremos a una partícula con movimiento curvilíneo en el plano, este análisislo realizaremos en el sistema de coordenadas Rectangulares, el Sistema Normal-Tangencial y el sistema de Coordenadas Polares.
Movimiento Curvilíneo en el Plano
y
x
𝒓 = 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋
𝑥
𝑦
𝒗 =𝒅 𝒓
𝒅𝒕=𝒅𝒙
𝒅𝒕 𝒊 +
𝒅𝒚
𝒅𝒙 𝒋 = 𝒓
𝒂 =𝒅 𝒗
𝒅𝒙=𝒅𝒗𝒙𝒅𝒕
𝒊 +𝒅𝒗𝒚
𝒅𝒙 𝒋 = 𝒓
La velocidad
La aceleración
Coordenadas Rectangulares XY.
El modulo de la velocidad será:
𝒗 = 𝒗. 𝒗 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝒂 = 𝒂. 𝒂 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
El modulo de la aceleración será:
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2
MOVIMIENTO PARABOLICO Es un movimiento compuesto los cuerpos que realizan este movimiento semueven uniformemente horizontalmente y uniformemente variadoverticalmente .
Movimiento vertical:
Movimiento horizontal: 𝐲 = 𝒚𝟎 + (𝒗𝟎)𝒚𝒕 −𝟏
𝟐𝒈𝒕𝟐
𝒗𝒚 = (𝒗𝟎)𝒚 −𝒈𝒕
𝒗𝒚𝟐 = (𝒗𝟎)𝒚
𝟐 − 𝟐𝒈(𝒚 − 𝒚𝟎)
𝒗𝒙 = (𝒗𝟎)𝒙
𝐱 = 𝒙𝟎 + (𝒗𝟎)𝒙𝒕
(𝒗𝟎)𝒙= 𝒗𝟎𝒄𝒐𝒔𝜽
(𝒗𝟎)𝒚= 𝒗𝟎𝒔𝒆𝒏𝜽
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Cuando se estudia el movimiento de proyectiles, dos características son deespecial interés.1. El alcance R, es la máxima distancia horizontal alcanzada por el proyectil
2. La altura máxima h alcanzada por el proyectil
𝑹 =𝒗𝟎
𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝒈
𝒉 =𝒗𝟎
𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽
𝟐𝒈
Describiremos el movimiento usando coordenadaslocales, las cuales son las componentes medidas alo largo de la tangente t y la normal n a latrayectoria y los vectores unitarios et y en .
Coordenadas normales y tangenciales
tvev ˆ
La velocidad v es un vector que siempre estangente a la trayectoria.
dt
dssv
L a velocidad
El modulo de la velocidad es
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4
Donde la derivada respecto de t de es et es diferente de cero
ttt vvvdt
d
ee)e(a
n
ttt eeee
kvds
dv
dt
ds
ds
d
dt
d
La aceleración
En el tiempo t se encuentra en P con unavelocidad V en dirección tangente y una
aceleración a dirigida hacia la concavidadde la curva. La aceleración puededescomponerse en una componente
tangencial at (aceleración tangencial)paralela a la tangente y otra paralela a la
normal an (aceleración normal)
La relación del la curvatura y es radio de curvatura es
1k
Finalmente podemos escribir la aceleración como
nt
v
dt
dveea ˆˆ
2
El radio de curvatura ρ, es la distancia perpendicular desde la curva hasta el
centro de curvatura en aquel punto.
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Casos particulares1. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta
ρ => an = v2/ρ = 0 => a = at = dv/dt2. La partícula se mueve en la curva a velocidad constante
at = dv/dt = 0 => a = an = v2/ρ3. Si la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria dada por y = f(x)
entonces el radio de curvatura se calcula mediante
nt aaa
dondenn
vea ˆ
2
tt
dt
dvea ˆ
Luego la aceleración podemos expresar como
Es la componente tangencial
representa la razón de cambio de
la magnitud de la velocidad.
Es la componente normal ocentrípeta representa la razón de
cambio de la dirección de la
velocidad.
y
y su modulo22
nt aaa
2/3
22
2
|/|
])/(1[
dxyd
dxdy