Cinemtica

29

T(s)

V (m/s)

25

0 1 2 3 4

SEMANA 2

1. CONCEPTO: El mvil describe una trayectoria rectilnea, avanzando distancias iguales en

intervalos de tiempos iguales. El cuerpo se mueve con velocidad constante (mdulo y direccin).

El movimiento rectilneo uniforme, es el movimiento ms simple de la materia.

2. VELOCIDAD CONSTANTE

La partcula se mueve con velocidad constante en mdulo y direccin. Es decir la trayectoria es rectilnea siempre.

El mvil recorre 25 metros en cada segundo, equivalente a 90 km/h. El rea bajo la recta representa el cambio de posicin.

T T T T

d d d d

X

Y

0

Cinemtica

30

X (m)

Y (m)

X0

XF

t

0

V

d

3. CARACTERSTICAS DE LA VELOCIDAD EN EL M.R.U. La velocidad instantnea es constante. La velocidad media es constante. La velocidad instantnea es igual a la velocidad media. La velocidad es una cantidad fsica vectorial, es decir tiene mdulo y direccin. La rapidez es el mdulo de la velocidad.

Clculo de la rapidez:

dV =

t

Clculo de la distancia: d = V. t

Clculo del tiempo transcurrido: d

t =V

Unidades: d : metros ; t : segundos ; V : m/s

4. ECUACIN DEL MOVIMIENTO (M.R.U.)

La posicin final de la partcula es igual a la adicin de la posicin inicial ms el desplazamiento.

El signo positivo o negativo representa la direccin de la cantidad vectorial. De otro modo, se reemplaza en la ecuacin en signo de cada cantidad fsica vectorial.

fx : Posicin final

0x : Posicin inicial

V : Velocidad

t: tiempo transcurrido

d

V t

F 0x = x V.t

Cinemtica

31

5. EQUIVALENCIA Un kilmetro equivale a mil metros. Una hora equivale a 3 600 segundos. Una hora equivale a 60 minutos. Un minuto equivale a 60 segundos.

1. 9,5 km/h = 2,5 m/s

2. 18 km/h = 5 m/s

3. 36 km/h = 10 m/s

4. 54 km/h = 15 m/s

5. 72 km/h = 20 m/s

6. 90 km/h = 25 m/s

7. 108 km/h = 30 m/s

8. 144 km/h = 40 m/s

9. 1 hora = 3 600 s

10. 1 km = 1 000 m

6. TIEMPO DE ENCUENTRO

Dos cuerpo A y B se encuentra separados una distancia d, salen al encuentro simultneamente con rapidez constante en direcciones opuestas.

A B A Bd = d +d d = V .T+V .T

encuetroA B

dT =

V +V

EJEMPLO 01: Don mviles A y B se encuentran separados inicialmente 120 metros, salen simultneamente al encuentro con rapidez de 20 m/s y 10 m/s respectivamente. Cunto tiempo demoran encontrarse en un mismo punto?

Resolucin. Los mviles A y B van al encuentro sobre una misma trayectoria. La distancia de separacin inicial es 120 metros. Aplicamos la regla prctica.

encuentro e

A B

d 120T = T = = 4 s

V +V 20 + 10

Respuesta: Los mviles A y B se encuentran despus de 4 segundos.

dA dB

d

VA VB

A B

Cinemtica

32

7. TIEMPO DE ALCANCE

Dos cuerpo A y B se encuentra separados una distancia d, salen simultneamente en la misma direccin con rapidez constante.

B A A Bd d d d V .T V .T

alcance

A B

dT

V V

EJEMPLO 01: Dos mviles A y B se encuentran separados inicialmente 120 metros, salen simultneamente en la misma direccin con rapidez de 40 m/s y 10 m/s respectivamente. Cunto tiempo demora el ms veloz en alcanzar al ms lento?

Resolucin El mvil A con rapidez de 40 m/s es ms veloz que el mvil B. La distancia de separacin inicial es 120 metros. Aplicamos la regla prctica.

1204

40 10alcance a

A B

dT T s

V V

Respuesta: El mvil A alcanza al mvil B en 4 segundos. 8. TIEMPO DE CRUCE EN DIRECCIONES OPUESTAS

Dos cuerpos rgidos A y B de largo apreciable como ocurre con los trenes, camiones, puentes, tneles, automviles. Los cuerpos se mueven en direcciones opuestas.

A B

cruce

A B

d dT

V V

dA

dB

d

VA VB

A B

VA VB

dA dB

Cinemtica

33

EJEMPLO 01: Un camin de 40 m de largo, marcha a 72 km/h por una carretera paralela a la va del tren. Cunto tiempo invertir el camin cruzarse ntegramente con un tren de 260 metros de largo que marcha a 36 km/h en direccin opuesta?

Resolucin Transformando tenemos que el camin de 40 m tiene rapidez de 20 m/s y el tren de 260 m de largo con rapidez de 10 m/s. El tiempo que demora en cruzarse el camin con el tren es:

camion tren

camion tren

L LT

V V

Reemplazando tenemos: 40 m + 260 m 300 m

T = = =10 segundos20 m/s + 10 m/s 30 m/s

Respuesta: El tiempo que demora en cruzarse el camin con el tren es 10 segundos. 9. TIEMPO DE CRUCE EN DIRECCIONES IGUALES

Dos cuerpos rgidos A y B de largo apreciable como ocurre con los trenes, camiones, puentes, tneles, automviles. Los cuerpos se mueven en direcciones iguales.

A Bcruce

A B

d dT

V V

EJEMPLO 01: Un camin de 40 m de largo, marcha a 72 km/h por una carretera paralela a la va del tren. Cunto tiempo invertir el camin en pasar ntegramente a un tren de 260 metros de largo que marcha a 36 km/h en la misma direccin?

Resolucin Transformando tenemos que el camin de 40 m tiene rapidez de 20 m/s y el tren de 260 m de largo con rapidez de 10 m/s. El tiempo que demora en adelantar el camin al tren es:

camion tren

camion tren

L LT

V V

Reemplazando tenemos: 40 260 300

3020 / 10 / 10 /

m m mT segundos

m s m s m s

Respuesta: El tiempo que demora en adelantar el camin al tren es 30 segundos.

10. SONIDO Y ECO El eco es un fenmeno acstico. El sonido en una onda mecnica. El sonido necesita para propagarse un medio diferente al vaco. En el aire se propaga con una rapidez promedio de 340 m/s. El eco se produce cuando el observador percibe el mismo sonido por segunda vez debido al rebote de la onda sonora en algn obstculo (montaa, cerro, pared, muro, etc.).

VA VB

dA dB

Cinemtica

34

La rapidez del sonido en el aire seco a 0 C es de unos 330 m/s. La presencia de vapor de agua en el aire incrementa ligeramente dicha rapidez. Un aumento de la temperatura del aire tambin aumenta la rapidez del sonido. La rapidez del sonido en aire aumenta en 0,6 m/s por cada grado centgrado. La rapidez del sonido en un material dado no depende de la densidad material, sino de su elasticidad. El acero en un material elstico. Los tomos de un material elstico estn relativamente juntos. El sonido se propaga unas quince veces ms a prisa en el acero que en el aire, y unas cuatro veces ms a prisa en agua que en el aire. La ecuacin muestra la variacin de la rapidez del sonido en el aire debido al cambio de la temperatura en grados Celsius.

0330 0 6 0T

mV , .T T C

s

EJEMPLO 01: Un hombre que se encuentra frente a una montaa emite un grito. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, despus de qu intervalo de tiempo escuchar el eco?

850 m Resolucin Eco es aquel fenmeno en el cual el sonido percibe el hombre por segunda vez, esto ocurre cuando el sonido (onda sonora) se refleja debido a un obstculo (montaa). Clculo del tiempo que demora el sonido en llegar a la montaa:

850

2,5340 /SONIDO

d mt s

V m s

Entonces el sonido invierte 5,0 segundos en ir y regresar de la montaa. Respuesta: El eco se escucha luego de 5 segundos.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Se muestra un ciclista y un camin se mueven con velocidad constante. Si inicialmente estn juntos, determine la distancia de separacin (en m) despus de 20 segundos.

Resolucin En cada segundo el camin avanza 12 m y el ciclista 5 m, por consiguiente en cada segundo se separan en 12 5 = 7 m. La separacin luego de 20 segundos ser: 7 veces 20 = 140 m.

. (12 5).(20) 140relativad V t m En 20 segundos se separan en 140 metros.

Cinemtica

35

2. Un piloto de MIG-29 prepara su nave para cumplir una misin area, despus de 20 minutos

en el aire logra recorrer 24 km en 0,5 minuto. Determine el valor de la velocidad en este tramo (en m/s):

Resolucin

Despus de 20 minutos el avin alcanza un movimiento uniforme, recorriendo 24 000 metros en 30 segundos. La rapidez en este ltimo tramo es:

24 000800

30

d m mV

t s s

3. Un tren de 200 m de largo se mueve en lnea recta con rapidez constante. Si demora en

pasar frente al poste 8 segundos y en atravesar el tnel 24 segundos. Determine el largo del tnel.

tunel

Resolucin

La rapidez es constante: 1 2

TREN TREN TUNELL L LVT T

Reemplazando los datos: 200200

8 24

TUNELL Resolviendo tenemos: 400TUNELL m

Respuesta: el largo del tnel es 400 m.

4. Dos autos que parten simultneamente de una ciudad A en direccin a la ciudad B, con rapidez de 50 km/h y 60 km/h. Si llegan a la ciudad B con un intervalo de 20 minutos, cul es la distancia entre las ciudades A y B?

Resolucin La distancia que recorren ambos mviles son iguales, entonces la velocidad y el tiempo empleado son inversamente proporcionales.

1 2 1 1 2 2. .d d V T V T

Sabemos que 20 minutos es un tercio de hora.

Reemplazando tenemos que: 1

50.T 60.3

T

Resolviendo: T = 2 horas

La distancia entre A y B es: AB

kmd = 50 .2 hora = 100 km

hora

Respuesta: La distancia entre las ciudades A y B es 100 km.

Cinemtica

36

EJERCICIOS

1.- "En el movimiento ........... el desplazamiento y la velocidad son siempre .................".

A) rectilneo, perpendiculares B) rectilneo, colineales C) desacelerado, codirigidos D) curvilneo, iguales E) acelerado, opuestas

2.- Identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. Una partcula tiene velocidad constante cuando su rapidez es constante. II. Cuando una partcula se mueve con MRU la trayectoria y el desplazamiento son

iguales. III. La velocidad apunta en la direccin del desplazamiento. A) FFF B) VFF C) FVV D) VFV E) FVF

3.- Dadas las siguientes proposiciones:

( ) El desplazamiento es un vector. ( ) El cambio de posicin de un mvil viene dado por el desplazamiento. ( ) La longitud del vector desplazamiento nos indica la distancia existente entre el punto

de partida y el punto de llegada.

Seale verdadero (V) o falso (F) segn corresponda.

A) VFF B) VFV C) VVV D) FVV E) FFF

4.- Identifique la(s) proposicin(es) incorrecta (s)

I. La velocidad mide los cambios de posicin de un mvil a travs del tiempo. II. Un mvil en reposo puede presentar una velocidad no nula. III. En el M.R.U. la velocidad es variable.

A) I B) II C) III D) II y III E) I y III

5.- Una partcula realiza un M.R.U. con V = +5m/s. Si en to = 0, se tiene xo = 10 m, halle el

tiempo transcurrido cuando la distancia recorrida es 30 m. A) 5s B) 6 C) 4 D) 3 E) 2

Cinemtica

37

6.- Un cuerpo realiza un M.R.U. Si en los cuatro primeros segundos recorre 6 m ms que en

el tercer segundo. Determine la rapidez del auto. A) 1m/s B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

7.- Un ciclista que se desplaza en una pista rectilnea pasa frente a un poste con una rapidez constante de 6 m/s. Si luego de 10s pasa frente al poste un automvil con una rapidez constante de 20 m/s y en la misma direccin que el ciclista. Determine luego de cuanto tiempo el ciclista es alcanzado por el automvil.

A) 3,3 s B) 2,3 s C) 4,3 s D) 6,3 s E) 8,3 s

8.- A partir del instante que se muestra, determine el tiempo de encuentro de los autos "A" y "B", sabiendo que el auto "A" y el atleta se encuentran al transcurrir 2 s desde las posiciones que se muestran. Todos los mviles realizan M.R.U.

A) 3 s B) 2 C) 1 D) 5 E) 4

9.- Dos partculas se mueven con M.R.U., la partcula "A" tiene una rapidez de 20 m/s segn el eje "x" y pasa por el origen en t = 0 s, la partcula "B" tiene una rapidez de 30 m/s segn el eje "y" y se dirige al origen pasando por y = 30 m en t = 0 s. A qu distancia se encuentran entre s a los 0,5 s?

A) 5 13 m B) 2 13 C) 3 13 D) 5 5 E) 10 13

10.- Dos mviles "A" y "B" estn separados 20 m. El mvil "A" parte en t = 0 s, con una velocidad V = 4 m/s hacia el mvil "B". El segundo mvil parte en la misma direccin con una V = 2 m/s, en t = 2 s. Para qu instante el primero alcanza al segundo?

A) 8 s B) 1 C) 12 D) 6 E) 10

11.- Dos mviles se desplazan en la misma pista con una rapidez constante, luego de 10 s el mvil "A" cambia su direccin en 180 manteniendo constante su rapidez. Qu tiempo emplearon en encontrarse desde las posiciones indicadas?

A) 5 s B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

12.- Un helicptero y el auto experimentan un M. R. U. a partir del instante mostrado, determine la distancia que los separa transcurrido 1 segundo.

A) 30 m B) 40 C) 50 D) 60 E) 45

Cinemtica

38

13. Dos personas "A" y "B" estn separadas una distancia "x", en cierto instante "A" dispara

una bala con una velocidad de 170 m/s en direccin del blanco que se encuentra junto a "B". Si "B" escucha el disparo y 3 s despus percibe el impacto en el blanco, determine "x". Rapidez del sonido = 340 m/s. A) 1 020 m B) 340 C) 680 D) 850 E) 1200

14.- La figura muestra el instante t = 0 s, en que dos mviles se mueven a lo largo del eje "x"

con velocidades constantes, determine la posicin (en "m") del mvil "A" cuando ambos nuevamente se encuentran separados 100 m.

A) +70 m C) +140 E) +105 B) +210 D) +180 15.- Una motocicleta se mueve con una velocidad constante de 50 km/h hacia un automvil

que se encuentra en reposo pero cuando se encuentra a 600 m del automvil, este parte con una velocidad constante de 20 km/h. Halle a partir de ese momento el tiempo que tarda en alcanzar el automvil. A) 1,8 min B) 0,6 C) 1,2 D) 2 E) 2,4

16.- Dos mviles "A" y "B" se estn moviendo en sentidos opuestos con velocidades constantes VA y VB en t = 0 s se encuentran separados 120 m, si los mviles se cruzan despus de 10 s, calcule despus de que tiempo a partir del encuentro estarn separados 60 m. A) 5 s B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

17.- Dos mviles parten simultneamente desde un mismo punto siguiendo trayectorias rectilneas perpendiculares entre s, con rapidez de 6 m/s y 8 m/s respectivamente. Halle la distancia de cada mvil hacia el origen, en el instante que su separacin mutua es de 200 m.

A) 400 m; 300 m B) 120; 160 C) 140; 210 D) 60; 80 E) 150; 200

18.- Un bus de 10 m de longitud que realiza un M.R.U. con una rapidez de 20 m/s cruza un puente en "t" segundos, si duplicara su rapidez se demorara 2 s menos. Cul es la longitud del puente?

A) 100 m B) 80 C) 70 D) 60 E) 50

19.- Dos trenes corren en sentidos contrarios con velocidades V1 = 36 km/h y V2 = 54 km/h. Un pasajero del primer tren (el de V1) nota que el tren 2 demora en pasar por su costado 6 segundos. Cul es la longitud del segundo tren? (se supone que el pasajero esta inmvil en el primer tren mirando a travs de la ventana).

A) 100 m B) 150 C) 200 D) 250 E) 300

20.- Un avin se dirige de "B" hacia "C", el ruido del motor emitido en "B" alcanza al observador en "A" en el instante en que el avin llega a la posicin "C". Sabiendo que la velocidad del sonido es de 340 m/s, determine la velocidad constante del avin.

A) 238 m/s B) 119 C) 476 D) 272 E) 136

Cinemtica

39

M.R.U.V.

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 1. CONCEPTO:

Es aquel movimiento donde el mvil describe una lnea recta y adems en intervalos de tiempo iguales los cambios de velocidad son iguales y las distancias recorridas son diferentes. Tiene aceleracin constante.

Los cambios de velocidad son iguales en tiempos iguales. La trayectoria o camino de la partcula es una lnea recta. El mvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales.

2. ACELERACIN LINEAL O TANGENCIAL.

La aceleracin lineal mide la rapidez de cambio de la velocidad en mdulo. En el M.R.U.V. la aceleracin lineal es constante, es decir no cambia la direccin ni el mdulo de la aceleracin. Unidad de la aceleracin en el S.I.: m/s o m.s-2

Va

t . (1)

0FV Vat

. (2)

0 .FV V a t . (3)

3. VELOCIDAD MEDIA EN EL M.R.U.V. Dado que la velocidad vara linealmente, la velocidad media es igual a la semisuma de las velocidades inicial y final en cierto intervalo de tiempo. La velocidad media, es una velocidad constante en intervalo de tiempo t donde el mvil recorre una distancia d, cumplindose la siguiente ecuacin:

x

1 s

V=2m/s

1 s 1 s

1m/s 3m/s 5m/s 7m/s

V=2m/s V=2m/s

Cinemtica

40

.md V t . (4)

0( ) .2

FV Vd t . (5)

Reemplazando (3) en (5):

0 0 0( ) ( . ). .2 2

FV V V V a td t d t

Obtenemos: 21

0 2. .d V t a t (6)

De (2): 0 .FV V a t (7)

De (5): 02

F

dV V

t . (8)

Multiplicado miembro a miembro (7) y (8): 2 2

0 2FV V ad

Despejando tenemos que:

0

2 2 2FV V ad . (9)

De (3): 0 .FV V a t (10)

Reemplazando (10) en (5) 0( ) ( . )

. .2 2

F F FV V V a t V

d t d t

Obtenemos: 21

2. .Fd V t a t

V0

VF

VMEDIA

t 0

t (s)

V (m/s)

Cinemtica

41

PROBLEMA 01: Un mvil que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento, desde el reposo, tal que su rapidez aumenta a razn de 10 m/s cada 5 segundos. Qu distancia recorre en el primer minuto de su movimiento? Resolucin Nos dan como dato la variacin de la velocidad en cada intervalo de tiempo. Clculo del mdulo de la aceleracin:

210 / 2 /5

V m sa m s

t s

La velocidad inicial es nula. El intervalo de tiempo es 60 segundos. Aplicamos la frmula

para determinar la distancia.

210 2. .d V t a t

Reemplazando los datos tenemos que:

212

0 60 .2.(60) 3600d x m

Respuesta: en un minuto recorre 3,6 km.

PROBLEMA 02: Un automvil que tiene M.R.U.V. disminuye su rapidez a razn de 4 m/s cada 2 segundos. Cuntos metros recorri en el ltimo segundo de su movimiento? Resolucin Clculo del mdulo de la desaceleracin:

24 / 2 /2

V m sa m s

t s

En el ltimo segundo, la velocidad final es nula. Aplicamos la frmula en funcin de la velocidad final.

2 21 12 2

. . 0 1 .2.(1) 1Fd V t a t d x m

Respuesta: en el ltimo segundo recorre un metro.

Cuando aumenta la velocidad Cuando disminuye la velocidad

Acelera

1) 21

0 2. .d V t a t

0 .FV V a t

2 2

0 2 .FV V a d

0( )

.2

FV Vd t

Desacelera

1) 21

0 2. .d V t a t

0 .FV V a t

2 2

0 2 .FV V a d

0( )

.2

FV Vd t

Cinemtica

42

4. SIGNOS DE LA ACELERACIN Si la velocidad aumenta en mdulo decimos que el movimiento es acelerado, en cambio si la velocidad disminuye en mdulo decimos que el movimiento es desacelerado.

0 .FV V a t V0 : velocidad inicial VF : velocidad final (+) : Movimiento acelerado (-) : Movimiento desacelerado

En el movimiento acelerado la aceleracin y la velocidad tienen la misma direccin. En cambio si el movimiento es desacelerado la aceleracin tiene direccin opuesta (sentido opuesto) a la velocidad. EJEMPLO 01: Wall dispone de un minuto para pasearse en una moto recorriendo un tramo sobre el eje X, desde A hasta B y luego de regreso desde B hasta A. Qu distancia mxima podr alejarse con velocidad constante de 20 i m/s?, si debe regresar de B hacia A desde el reposo con aceleracin de 8 i m/s2. Resolucin El tramo AB (ida) recorre con MRU. En cambio el tramo BA (regreso) con MRUV, acelerado. Igualando las distancias, obtenemos la siguiente ecuacin.

AB BAd M.R.U. d M.R.U.V.

2

221 12 21 0 2 20 0 8 60V .t V .t .a.t .T . . T

2 220 4 60 5 60.T T .T T

Resolviendo la ecuacin: T = 45 segundos.

Clculo de la distancia: 20 45 900ABd . m

Respuesta: La distancia entre A y B es 900 metros.

V0 VF

a

t

X (m)

Y (m)

Cinemtica

43

5. NMEROS DE GALILEO GALILEI. Galileo Galilei naci el 15 de febrero de 1564 en Pisa, Italia. El inici el mtodo cientfico experimental. Isaac Newton utiliz una de las descripciones matemticas de Galileo, la ley de la Inercia, como fundacin para su primera ley del movimiento. Galileo falleci en 1642, el ao de nacimiento de Isaac Newton. Analicemos el movimiento rectilneo uniformemente acelerado, cuando tiene velocidad inicial diferente de cero.

210 2. .d V t a t

Para. t = n 21

1 0 2. .d V n a n

Para. t = n-1 21

2 0 2.( 1) .( 1)d V n a n

Restando: 1 2nd d d

Obtenemos que: 10 2 .(2 1)nd V a n

CASO PARTICULAR Si la partcula inicia su movimiento desde el reposo, con M.R.U.V., entonces el mvil recorre en cada segundo distancias directamente proporcionales a nmeros los impares.

Cuando 0 0V

12

.(2 1) .(2 1)n nd a n d K n

Donde el valor de K es la mitad del valor de la aceleracin. 2

aK

EJEMPLO 01: Un mvil que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento, desde el reposo, con aceleracin 5 i (m/s2). Determine la distancia que recorre en el quinto segundo de su movimiento. Resolucin La velocidad inicial es nula. Quinto segundo, entonces n = 5. Aplicamos la frmula prctica.

1 12 2

.(2 1) .5.(2 5 1) 22,5n nd a n d x m

Respuesta: El mvil recorre 22,5 metros en el quinto segundo.

3K 5K

a

K

V0 = 0

t = 0 t = 2 s t = 1 s t = 3 s

Cinemtica

44

6. DESPLAZAMIENTO EN EL ENSIMO SEGUNDO Analicemos el caso, cuando el cuerpo acelera. El ensimo segundo est comprendido entre los instantes t = n - 1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en el ensimo segundo se determina restando, las distancias que recorre el mvil en los primeros n segundos y en los (n - 1) segundos.

210 2. .d V t a t

Para. t = n: 21

1 0 2. .d V n a n

Para. t = n-1: 21

2 0 2.( 1) .( 1)d V n a n

Restando: 1 2nd d d

Obtenemos que: 1

0 2.(2 1)nd V a n

CASOS PARTICULARES

a) Cuando el cuerpo acelera desde el reposo 0 0V , se cumple que:

12

.(2 1)nd a n

b) Cuando el cuerpo desacelera: 1

0 2.(2 1)nd V a n

* Si dn es positivo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento. * Si dn es negativo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento en la direccin opuesta. * Si dn es cero el cuerpo regresa al punto inicial.

EJEMPLO 01: Un mvil que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento con velocidad 0V = 8 i

(m/s) y aceleracin 5 i (m/s2). Determine la distancia que recorre en el quinto segundo de su movimiento. Resolucin La rapidez inicial es 8 m/s. Quinto segundo, entonces n = 5. Es un MRUV acelerado. Aplicamos la frmula prctica.

1 10 2 2

.(2 1) 8 .5.(2 5 1) 30,5n nd V a n d x m

V0 t = 0 t = n t = n-1

d1

d2 dn

a

Cinemtica

45

Respuesta: El mvil recorre 30,5 metros en el quinto segundo.

7. POSICIN DE LA PARTCULA EN EL EJE X Analizamos el movimiento de la partcula con aceleracin constante, sobre el eje X, respecto de un sistema de referencia.

Cambio de posicin: 0Fd X X (1)

La posicin final: 0FX X d (2)

Para el MRUV: 21

0 2. .d V t a t (3)

Reemplazando (3) en (2) tenemos

: 21

0 0 2. .FX X V t a t

0 1 2

0 0. . .

0! 1! 2!F

X t V t a tX

EJEMPLO 01: Un cuerpo tiene la siguiente ley del movimiento: X (t)23 4.t t , donde t

se mide en segundos y X se mide en metros. Determine la distancia que recorre entre los instantes t = 2 s y t = 5 s. Resolucin Determinamos previamente la posicin en el instante t = 2 s

2 23 4 3 4 2 2 15X(t) .t t X(t) . m

Determinamos ahora la posicin en el instante t = 5 s

2 23 4 3 4 5 5 48X(t) .t t X(t) . m

La distancia que recorre el cuerpo se obtiene mediante la diferencia: d = 48 - 15 = 33m

X

X0 XF

d

Y

t = 0 t > 0

d

Cinemtica

46

Respuesta: El cuerpo recorre 33 metros en el intervalo 2s < t < 5s .

8. SONIDO Y ECO El eco es un fenmeno acstico. El sonido necesita para propagarse un medio diferente al vaco. En el aire desarrolla una rapidez promedio de 340 m/s. El eco se produce cuando el observador percibe el mismo sonido por segunda vez debido al rebote de la onda sonora en algn obstculo (montaa, cerro, pared, muro, etc.). ALBERT EINSTEIN KOCH, fsico de origen judo, recibi el premio nobel de Fsica en 1921 por su explicacin del Efecto Foto Elctrico. Se sabe que este genial cientfico tocaba el violn casi como un

profesional. A

EJEMPLO 01: Un automvil que parte del reposo se mueve con MRUV con aceleracin de mdulo constate de 1 m/s2, en direccin a una montaa. Al partir el chofer toca la bocina y cuando ha recorrido 32 metros escucha el eco. Determine la distancia de separacin inicial entre el auto y la montaa. Rapidez del sonido en el aire 340 m/s. Resolucin El intervalo de tiempo empleado por el auto en recorrer 32 m, es el mismo tiempo que emplea la onda sonora en ir desde el punto A hasta la montaa y regresar a la nueva posicin del auto en B.

Para el auto (MRUV):

2

0

..

2

a td V t

Reemplazando los datos:

22

0

1.32 0 . 64

2

tt t

Resolviendo: t = 8 segundos

Para el sonido (MRU): . 32 340.8SONIDO SONIDOe V T X X

Resolviendo: X = 1 376 m

S o n i d o

32 m (x - 32) m A

B

Montaa

C

Cinemtica

47

Respuesta: la distancia de separacin inicial entre el auto y la montaa es 1,376 km.

EJERCICIOS DE MRUV 1.- Para un mvil que desarrolla un M.R.U.V. indique verdadero (V) o falso (F).

I. Su aceleracin es constante. II. La direccin de la aceleracin siempre es igual a la velocidad. III. Su aceleracin es perpendicular a su desplazamiento.

A) VFF B) WF C) VFV D) FW E) FFF

2.- Marque verdadero (V) o falso (F).

I. En el M.R.U.V. la velocidad permanece constante y la aceleracin vara uniformemente.

II. En el M.R.U.V. la aceleracin es constante y la velocidad vara uniformemente. III. Si la velocidad de un cuerpo es cero, entonces su aceleracin tambin es cero.

A) VFF B) FW C) FVF D) FFF E) WF

3.- Marque verdadero (V) o falso (F).

( ) Si un cuerpo tiene una aceleracin constante entonces el mdulo de su velocidad va en aumento.

( ) En el M.R.U.V. la velocidad y aceleracin pueden ser perpendiculares. ( ) Si un cuerpo posee un movimiento rectilneo uniformemente retardado, entonces

cuando su velocidad llega a cero su aceleracin es nula.

A) VVF B) VFF C) FVF D) FFF E) FVV

4.- La velocidad al final de un mvil que recorre 100 m en lnea recta es 35 m/s. Si su

aceleracin es constante e igual a 3 m/s2, calcule la velocidad de partida en m/s.

A) 38 m/s B) 26 C) 25 D) 30 E) 27

5.- Un automvil tiene rapidez de 18 m/s, luego reduce su rapidez a razn constante de 3 m/s

cada 2 segundos. Si el automvil tiene M.R.U.V.; determine la distancia que recorre hasta que se detiene.

A) 27 m B) 155 C) 108 D) 105 E) 18

6.- Un mvil que realiza un M.R.U.V. triplica su rapidez luego de recorrer 8 metros en 2

segundos. Determine el valor de la aceleracin.

A) 1 m/s2 B) 0,5 C) 2 D) 1,5 E) 4

7.- Un auto se desplaza en una pista rectilnea observndose que su rapidez disminuye en 4

m/s cada 2 segundos. Determine su recorrido un segundo antes de detenerse, si su rapidez inicial es 10 m/s.

A) 1 m B) 2 C) 3 D) 5 E) 4

8.- Un mvil se desplaza con rapidez constante igual a 2 m/s, durante 10 s, luego acelera

uniformemente con a = 1 m/s2 durante 5 segundos y despus desacelera uniformemente

Cinemtica

48

con 2 m/s2. Determine el intervalo de tiempo en el cual la velocidad llega a cero y dar como respuesta la distancia recorrida.

A) 12,2 m B) 32,2 C) 48,2 D) 54,75 E) 25,2 9.- Un ciclista inicia su movimiento con una aceleracin constante de mdulo 4 m/s2,

determine:

I) Su rapidez luego de 4 s de iniciado su movimiento. II) Su recorrido en los 4 primeros segundos.

A) 16m/s, 28m C) 16 m/s, 32 m E) 12 m/s, 64 m B) 12m/s, 14m D) 16m/s, 18m 10.- Dos mviles "A" y "B" en cierto instante estn separados tal como indica la figura.

Determine cuanto tiempo transcurre hasta que se encuentran, si "A" experiment un MRU y "B" un MRUV con aceleracin de mdulo 2 m/s2. A) 1s C) 4 E) 3 B) 2 D) 2,5

11.- Un mvil parte del reposo con una aceleracin constante logrando recorrer 20 m en los

primeros 5 segundos. Calcule la velocidad del mvil a los 10 s de haber iniciado su movimiento. A) 4 m/s B) 8 C) 12 D) 16 E) 20

12.- Dos partculas "A" y "B" se encuentran separados 1 200 m. Si parten simultneamente

uno hacia el otro se encuentran luego de 10 s. Si "A" parte del reposo y acelera a razn de 4 m/s2 y "B" mantiene una velocidad constante VB. Determine "VB". A) 120 m/s B) 200 C) 150 D) 100 E) 80

13.- Un ciclista va con movimiento uniforme a una velocidad de 10 m/s. Al entrar a una

pendiente adquiere una aceleracin de 0,4 m/s2. Si la longitud de la pendiente es 1,0 km, el tiempo en segundos, en recorrer la longitud de la pendiente es: A) 50 B) 200 C) 100 D) 25 E) 150

14.- Un auto experimenta un M.R.U.V. al pasar por un punto "P" tiene una rapidez de 5 m/s. Si

25 m ms adelante su rapidez es de 20 m/s, qu distancia recorre luego de 4 s de pasar por "P"? A) 100 m B) 60 C) 40 D) 80 E) 20

15.- Dos autos inician sus movimientos simultneamente en direcciones contrarias con

aceleraciones constantes de mdulo 2 m/s2 y 4 m/s2 en pistas paralelas, Qu rapidez tienen en el instante que empiezan a cruzarse, si inicialmente estn separados una distancia paralela a la pista de 48 m?

A) 6m/s, 12m/s B) 8m/s, 16m/s C) 4m/s, 8m/s D) 8m/s, 18m/s E) 8m/s, 24m/s

Cinemtica

49

CADA LIBRE VERTICAL

1. CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento rectilneo uniformemente variado (M.R.U.V.) cuya trayectoria es una lnea recta vertical y que se debe a la presencia del campo de gravedad. La nica fuerza que acta sobre el cuerpo es su propio peso, ya que no considera la resistencia del aire. Este tipo de movimiento se obtiene, cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, hacia abajo, o simplemente es soltado. En las ecuaciones cinemticas no se considera la masa ni la fuerza resultante. La cinemtica en general estudia as propiedades geomtricas del movimiento.

GALILEO GALILEI (1564 - 1642) gran fsico y astrnomo italiano que

por primera vez empleo el mtodo experimental de investigacin en la ciencia. Galileo introdujo el concepto de inercia; estableci la relatividad del movimiento; estudio las leyes de cada de los cuerpos y del movimiento de estos por un plano inclinado; las leyes del movimiento, al lanzar uno objeto formando cierto ngulo con el horizonte; aplic el pndulo simple para la medida del tiempo.

2. CONSIDERACIONES DEL MOVIMIENTO DE CADA LIBRE

* No se considera la resistencia del aire. * La altura mxima alcanzada es suficientemente pequea como para despreciar la

variacin de la aceleracin de la gravedad. * La velocidad mxima alcanzada por el cuerpo es suficientemente pequea para

despreciar la resistencia del aire. * La altura alcanzada es suficientemente pequea para considerar un campo gravitatorio

homogneo y uniforme.

* El valor o mdulo de la aceleracin de la gravedad es:2

9,8 9,8m N

gs kg

3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CADA LIBRE VERTICAL

Analticamente el movimiento de cada libre es un caso es especial del MRUV, donde la distancia se reemplaza por la altura y la aceleracin lineal por la aceleracin de la gravedad.

Cuando SUBE

1) 21

0 2. .h V t g t

2) 21

2. .Fh V t g t

3) 0 .FV V g t

4) 2 2

0 2 .FV V g h

5) 0( )

.2

FV Vh t

6) 10 2 .(2 1)nh V g n

Cuando BAJA

1) 21

0 2. .h V t g t

2) 21

2. .Fh V t g t

3) 0 .FV V g t

4) 2 2

0 2 .FV V g h

5) 0( )

.2

FV Vh t

6) 10 2 .(2 1)nh V g n

6) 10 2 .(2 1)nh V g n

Cinemtica

50

4. TIEMPO DE VUELO

Consideremos un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba. Cuando el cuerpo alcanza la altura mxima su velocidad es nula. De la ecuacin:

0 .FV V g t

reemplazando los datos:

00 .V g T

Despejando:

0VTg

Tiempo de subida: 0

SUBIDA

Vt T

g

Tiempo de vuelo: 02. 2VUELO

Vt T

g

EJEMPLO 01: Desde el piso es lanzado verticalmente hacia arriba un cuerpo con una rapidez de 50 m/s. Determine el tiempo de vuelo. (g = 10 m/s2) Resolucin Aplicando la frmula prctica:

02. 2(50) 1010

VUELO VUELO

Vt T s

g

Respuesta: el tiempo que demora en regresar al punto de lanzamiento es 10 segundos. EJEMPLO 02: Desde el piso es lanzado verticalmente hacia arriba un cuerpo luego de 8 segundos regresa al punto de lanzamiento. Determine la rapidez de lanzamiento. (g = 10 m/s2) Resolucin

Aplicando la frmula prctica: 0 02. 2( )

810

VUELO

V Vt

g

Resolviendo: 0 40 /V m s

Respuesta: La rapidez de lanzamiento es 40 m/s.

VF = 0

T

V0

g

Cinemtica

51

5. EL INTERVALO DE TIEMPO DEPENDE DE LA ALTURA Todos los cuerpos que se dejan caer simultneamente con la misma velocidad inicial cero desde una altura, utilizan el mismo intervalo de tiempo para llegar al suelo.

21

0 2. . .h V t g t

Reemplazando los datos tenemos:

212

0 . .H g T

el intervalo de tiempo de cada es:

2.HT

g

EJEMPLO 01: Desde una altura de 80 metros se abandona (velocidad nula) una esfera de hierro. Determine el intervalo de tiempo que demora en llegar al piso. (g = 10 m/s2) Resolucin Aplicando la regla prctica:

2. 2.(80)16 4

10

HT T s

g

Respuesta: el tiempo transcurrido es 4 segundos. EJEMPLO 02: Desde una altura de 45 metros se deja caer (velocidad nula) una piedra. Determine el intervalo de tiempo que demora en llegar al piso. (g = 10 m/s2) Resolucin Aplicando la regla prctica:

2. 2.(45)9 3

10

HT T s

g

Respuesta: el tiempo transcurrido es 3 segundos.

V0 = 0

H

VF

g

T

Cinemtica

52

6. ALTURA MXIMA Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza su altura mxima cuando su velocidad final en el punto ms alto es igual a cero. Aplicando la ecuacin:

2 2

0 2 .FV V g h

Reemplazando los datos:

2

00 2 .V g H

2

0

2

VH

g

EJEMPLO 01: Desde el piso es lanzado verticalmente hacia arriba un cuerpo con una rapidez de 50 m/s. Determine la altura mxima que alcanza el cuerpo. (g = 10 m/s2) Resolucin Reemplazando en la frmula prctica:

2 2

0 (50) 1252 2.(10)

VH H m

g

Respuesta: La altura mxima es 125 metros.

EJEMPLO 02: En la tierra, un objeto lanzado verticalmente hacia arriba con cierta rapidez alcanza una altura mxima H, determine la altura mxima que alcanza en la Luna, si la aceleracin de la gravedad es la sexta parte de la terrestre y la rapidez de lanzamiento la misma. (g = 10 m/s2) Resolucin Reemplazando en la frmula prctica:

En la Tierra:

2

0VH = 2g

En la Luna: 2 2

0 01

V VH = = 6 = 6.H

g 2g2

6

Respuesta: La altura mxima que alcanza en la Luna es 6H.

VF = 0

H

V0

g

Cinemtica

53

7. CAMBIO DE LA ACELERACIN DE LA GRAVEDAD

La intensidad de la gravedad no es el mismo para todos los lugares de la Tierra, depende de la altura sobre el nivel del Mar y de la latitud. El movimiento de cada libre plantea la misma aceleracin para todos los cuerpos cualquiera que sea su masa, a esta aceleracin se le llama aceleracin de la gravedad normal, cuyo valor es 45 de latitud:

29,8 9,8

m Ng

s kg

* En los polos: g = 9,83 m/s (Mxima) * En el Ecuador: g = 9,78 m/s (Mnima)

8. CAMPO GRAVITACIONAL

No slo la Tierra atrae a los cuerpos, tambin el Sol, la Luna y todo astro. Se entiende por gravedad a la regin de espacio que rodea a un astro gracias al cual atrae a los cuerpos. Todos los planetas (Tierra) y satlites (Luna) generan a su alrededor un campo de gravedad.

TierraLuna

gg

6

9. INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO

La aceleracin de la gravedad g depende de la masa y el radio terrestre. Es decir la aceleracin de la gravedad depende de la forma que tiene el cuerpo creador del campo gravitatorio.

Donde: T

2T

Mg G

R

G : Constante de gravitacin universal. G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 MT = Masa de la tierra = 5,9.10

24 kg RT = Radio de la tierra = 6 400 km

Cinemtica

54

10. NMEROS DE GALILEO Si abandonamos un cuerpo de cierta altura, entonces la altura que recorre en cada segundo es directamente proporcional a los nmeros impares.

Primer segundo 1K = 5 m

Segundo segundo 3K = 15 m

Tercer segundo 5K = 25 m

Cuarto segundo 7K = 35 m

Quinto segundo 9K = 45 m

Sexto segundo 11K = 55 m

Stimo segundo 13K = 65 m

Octavo segundo 15K =75 m

21

0 2. .h V t g t

Para. t = n

211 0 2

. .h V n g n

Para. t = n - 1

212 0 2

.( 1) .( 1)h V n g n

Restando:

1 2nh h h

Obtenemos que: 1

0 2.(2 1)nh V g n

CASO PARTICULAR

Cuando 0 0V

12

.(2 1)nh g n

.(2 1)nh K n

Donde el valor de K es la mitad del valor de la aceleracin.

2

gK = 5

Considerando: g = 10 m/s2. En el primer segundo recorre 5 metros. En el segundo segundo recorre 15 metros. En el tercer segundo recorre 25 metros. En el cuarto segundo recorre 35 metros. En el quito segundo recorre 45 metros. En el ensimo segundo recorre 5(2n - 1) metros.

3K

5K

K

V0 = 0 t = 0 s

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

g

Cinemtica

55

11. CUANDO EL CUERPO ASCIENDE (DESACELERA) Analicemos el movimiento de subida respecto de un sistema de referencia. Ecuaciones:

1) 21

0 2. .h V t g t

2) 21

2. .Fh V t g t

3) 0 .FV V g t

4) 2 2

0 2 .FV V g h

5) 0( )

.2

FV Vh t

6) 10 2 .(2 1)nh V g n

EJEMPLO 01: Se muestra el lanzamiento vertical de una esfera en el punto A con rapidez V0 = 30 m/s. Determine la rapidez de la esfera cuando pasa por el punto B. (g = 10 m/s

2)

V0

40m

= 30m/s

A

B

Resolucin Aplicamos la siguiente ecuacin del movimiento:

2 2

0 2 .FV V g h

2 2(30) 2(10).(40)BV

2 100 10 /B BV V m s

Respuesta: La rapidez de la esfera en B es 10 m/s.

h g

V0

VF

X (m)

Y (m)

Cinemtica

56

12. CUANDO EL CUERPO DESCIENDE (ACELERA)

Analicemos el movimiento de bajada respecto de un sistema de referencia. Ecuaciones:

1)

210 2. .h V t g t

2) 21

2. .Fh V t g t

3) 0 .FV V g t

4) 2 2

0 2 .FV V g h

5) 0( )

.2

FV Vh t

6) 10 2 .(2 1)nh V g n

EJEMPLO 01: En cierto planeta una partcula en cada libre duplica su rapidez luego de recorrer 30 m en 2 segundos. Determine la aceleracin de la gravedad (en m/s2).

V

2V

30 m

Resolucin Clculo de la rapidez V:

0( ) ( 2 ). 30 .(2)2 2

FV V V Vh t

Resolviendo: V = 10 m/s Clculo del mdulo de la aceleracin de la gravedad:

220 10 5 /2

B AV Vg m st

Respuesta: el mdulo de la aceleracin de la gravedad en este planeta es 5 m/s2.

h (+) g

VF

V0

X (m)

Y (m)

Cinemtica

57

13. TIEMPO DE ALCANCE Cuando dos partculas son lanzadas simultneamente, en la misma direccin, de diferentes posiciones, en una misma lnea vertical; el tiempo de alcance es: Del grfico tenemos la siguiente ecuacin:

A BH H H

2 21 1

2 2( . ) ( . )A BV T gT V T gT H

simplificando tenemos:

. .A BV T V T H

despejando obtenemos:

encuentro

A B

HT

V V

EJEMPLO 01: Se muestra el lanzamiento vertical de dos esferas simultneamente con rapideces de VA = 80 m/s y VB = 30 m/s. Despus de cuntos segundos las esferas se encuentran a la misma altura? (g = 10 m/s2)

100 m

VB

VA

Resolucin Los mviles estn separados inicialmente 100 metros en la vertical. Aplicando la frmula prctica:

1002

80 30alcance alcance

A B

HT T s

V V

Respuesta: Las esferas estarn a la misma altura despus de 2 segundos.

VB

H

VA

HB HA

P

g

Cinemtica

58

14. TIEMPO DE ENCUENTRO

Cuando dos partculas son lanzadas, simultneamente, en direcciones opuestas, de diferentes posiciones en una misma lnea vertical; el tiempo de encuentro es:

Del grfico tenemos la siguiente ecuacin:

A BH H H

2 21 1

2 2( . ) ( . )A BV T gT V T gT H

simplificando tenemos:

. .A BV T V T H

despejando obtenemos:

encuentro

A B

HT

V V

EJEMPLO 01: Dos objetos que se encuentran en la misma vertical separados una distancia vertical de 200 m, si uno de ellos se suelta libremente mientras el otro es lanzado hacia arriba con una rapidez de 40 m/s. Determine el intervalo de tiempo que demoran en encontrarse. Resolucin Los mviles estn separados inicialmente 200 metros en la vertical. Aplicando la frmula prctica:

2005

0 40encuentro encuentro

A B

HT T s

V V

Respuesta: Las esferas estarn a la misma altura despus de 5 segundos.

EJEMPLO 02: Dos objetos que se encuentran en la misma vertical separados una distancia vertical de 160 m, si uno de ellos se lanza hacia abajo con rapidez de 5 m/s mientras que el otro es lanzado hacia arriba con una rapidez de 35 m/s. Determine el intervalo de tiempo que demoran en encontrarse.

Resolucin Los mviles estn separados inicialmente 160 metros en la vertical. Aplicando la frmula prctica:

1604

5 35encuentro encuentro

A B

HT T s

V V

Respuesta: Las esferas estarn a la misma altura despus de 5 segundos.

VA

H

VB

HA

HB

P

g

Cinemtica

59

15. LA ALTURA ES DESPLAZAMIENTO VERTICAL Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba respecto de un sistema de referencia. Ahora analizamos el movimiento de cuerpo en cada libre en forma vectorial, es decir considerando los signos. Entonces la altura tendr signos positivo o negativo: (1) Si la altura tiene signo positivo significa que el cuerpo se encuentra sobre el nivel de

referencia, subiendo o bajando. (2) Si la altura tiene signo negativo significa que el cuerpo se encuentra debajo de la

lnea de referencia descendiendo. (3) Si la altura es cero significa que el cuerpo ha regresado o est pasando en ese

instante por el nivel de referencia (N.R.).

h (+)

h (-)

h = 0

N.R.

Y (+)

Y (-)

X (+)

g

V1

V3

V4

V5

V2

Cinemtica

60

A

h

V

EJEMPLO 01: Se muestra el lanzamiento de una partcula, con rapidez V = 20 m/s desde una altura h = 300 m. Despus de cuntos segundos llegar a la superficie terrestre? (g = 10 m/s2) Resolucin

El desplazamiento de la piedra finalmente es 300 metros vertical hacia abajo (signo negativo). Aplicamos la ecuacin del movimiento que relaciona la posicin y el tiempo:

210 2. .h V t g t

Remplazando tenemos: 21

2300 20. (10).t t

Resolviendo la ecuacin: 260 4. 10t t t s

Respuesta: La partcula llegar al piso despus de 10 segundos. EJEMPLO 02: Desde un globo a 75 m sobre el suelo, que asciende verticalmente con rapidez de 10 m/s, se suelta un saco de lastre, determine el intervalo de tiempo que le toma llegar al suelo. (g = 10 m/s2) Resolucin La velocidad inicial del saco es 10 m/s hacia arriba (por inercia) respecto de nuestro observador ubicado en la Tierra. Aplicamos la ecuacin del movimiento que relaciona la posicin y el tiempo:

210 2. .h V t g t

Remplazando tenemos: 21

275 10. (10).t t

Resolviendo la ecuacin: 215 2. 5t t t s

Respuesta: La partcula llegar al piso despus de 5 segundos. EJEMPLO 03: Un globo se encuentra subiendo con velocidad de 5 j (m/s) y en el instante que se encuentra a 360 m del piso, desde el globo se deja caer una piedra. Qu tiempo tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre? (g = 10 m/s2) Resolucin La velocidad inicial de la piedra es 5 m/s hacia arriba (por inercia) respecto de nuestro observador ubicado en la Tierra. Aplicamos la ecuacin del movimiento que relaciona la posicin y el tiempo:

210 2. .h V t g t

Remplazando tenemos: 21

2360 5. (10).t t

Resolviendo la ecuacin: 272 9t t t s

Respuesta: La partcula llegar al piso despus de 9 segundos.

Cinemtica

61

16. DISTANCIA QUE RECORRE EN EL ENSIMO SEGUNDO Analicemos el caso, cuando el cuerpo es lanzado verticalmente hacia abajo. El ensimo segundo est comprendido entre los instantes t = n - 1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en el ensimo segundo se determina restando las distancias que recorre el mvil en los primeros n segundos y en los (n - 1) segundos.

210 2. .h V t g t

Para. t = n

211 0 2

. .h V n g n

Para. t = n-1

212 0 2

.( 1) .( 1)h V n g n

Restando:

1 2nh h h

Obtenemos que: 1

0 2.(2 1)nh V g n

CASOS PARTICULARES

a) Cuando el cuerpo es abandonado,

soltado o dejado caer 0 0V , se cumple

que: 12

.(2 1)nh g n

b) Cuando el cuerpo es lanzado verticalmente hacia ARRIBA, el cuerpo inicia su movimiento en contra del campo de gravedad, es decir desacelera.

1

0 2.(2 1)nh V g n

* Si hn es positivo el cuerpo se desplaza verticalmente hacia arriba. * Si hn es negativo el cuerpo se desplaza verticalmente hacia abajo. * Si hn es cero el cuerpo regresa al punto inicial. EJEMPLO 01: Un cuerpo se deja caer desde lo alto de una torre, qu distancia recorre en el tercer segundo de su movimiento? (g = 10 m/s2) Resolucin

El cuerpo sale del reposo ( 0 0V ). Aplicamos la regla prctica. En el tercer segundo,

entonces n = 3.

1 12 2

.(2 1) .10.(2 3 1) 25n nh g n h x m Respuesta: el cuerpo se desplaza 25 metros, vertical hacia abajo.

t = n

t = n-1

t = 0

h1

h2

hn

V0

g

Cinemtica

62

EJERCICIOS DE CADA LIBRE VERTICAL 1.- Seale verdadero (V) o falso (F) segn como corresponda:

( ) Todo cuerpo en cada libre tiene movimiento uniforme. ( ) Slo existe gravedad en la Tierra. ( ) La aceleracin de cada libre depende del tamao de los cuerpos.

A) VFV B) FFV C) FFF D) VVV E) VFF 2.- Con relacin a la aceleracin de cada libre de los cuerpos en la superficie de la Tierra, no

es cierto que: A. Depende del peso de los cuerpos. B. Es independiente de su volumen. C. Es la misma a toda altura. D. Es mayor en la Tierra que en la Luna. E. Se considera constante en la superficie de la Tierra.

A) E B) C C) D D) B E) A 3.- Si lanzamos una moneda al aire y verticalmente hacia arriba:

( ) El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada. ( ) En la parte ms alta de su trayectoria la velocidad es nula. ( ) La velocidad de retorno es igual a la velocidad de lanzamiento.

Indicar verdadero (V) o falso (F): A) FVV B) FFV C) VFF D) VVF E) VVV

4.- Un cuerpo que cae libremente, paso justo al punto "A" con rapidez "V". Con qu rapidez

pasar junto al punto "B", si este se ubica a una distancia "h" debajo de "A"?

A) 2v 2gh

B) 2v 2gh

C) 22v gh

D) 2v gh

E) 2v gh

5.- Desde un helicptero que est descendiendo a una velocidad uniforme de 3 m/s, se deja caer una pelota verticalmente. Calcule la velocidad de la pelota en m/s al final del primer segundo. No considere la resistencia del aire. (g = 9,8m/s2)

A) 3 m/s B) 6,8 C) 12,8 D) 16,6 E) 22,6 6.- Desde un edificio muy alto, un nio suelta un coco; 3 segundos despus suelta el

siguiente coco, cul ser la separacin entre los cocos, 3 s ms tarde?

A) 100 m B) 120 C) 130 D) 135 E) 140 7.- Se suelta un objeto desde una altura de 250 m. Determine a qu altura del piso se

encuentra luego de 6 s de ser soltada. (g = 10 m/s2)

A) 40 m B) 60 C) 70 D) 80 E) 90

8.- Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba. Determine la rapidez de disparo, si luego de ascender 25 m su velocidad es de 20 m/s. (g = 10 m/s2)

A) 10 m/s B) 20 C) 30 D) 35 E) 40

Cinemtica

63

9.- Desde qu altura se debe soltar una canica para que en el ltimo segundo de su cada

libre recorra 25 m? (g = 10 m/s2)

A) 45 m B) 25 C) 40 D) 20 E) 30 10.- Desde lo alto de un edificio se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una rapidez

de 40 m/s, qu tiempo permanece la piedra en el aire y con qu rapidez llega al piso?

A) 5s; 30 m/s B) 10s; 60 m/s C) 15s; 30 m/s D) 20s; 30 m/s E) 25s; 40 m/s

11.- Desde la azotea de un edificio se suelta una piedra. Si en los 60 ltimos metros de su

recorrido (justo antes de impactar con el piso) su rapidez se duplica, halle la altura del edificio. A) 40 m B) 60 C) 80 D) 120 E) 200

12.- En el diagrama mostrado, determine que tiempo demora el proyectil en ir de "A" hasta "B".

(g =10 m/s2)

A) 1 s B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

13.- Una pequea esfera es lanzada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio

para impactar en la base del mismo, luego de 10 s, con una rapidez de 70 m/s. Determine la altura del edificio. (g =10m/s2)

A) 100 m B) 200 C) 150 D) 145 E) 250

14.- Se deja caer un objeto desde la azotea de un edificio. Cuando pasa junto a una ventana de 2,2 m de altura, se observa que el objeto invierte 0,2 segundo en recorrer la altura de la ventana. Qu distancia existe entre la cima del edificio y la parte superior de la ventana?

A) 15 m B) 20 C) 25 D) 5 E) 10 15.- Un globo se eleva verticalmente desde la superficie terrestre a rapidez constante de 5 m/s.

Cuando se encuentra a una altura de 360 m se deja caer una piedra desde el globo. El tiempo en segundos que tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre es: (g =10 m/s2)

A) 6 s B) 9 C) 12 D) 15 E) 18

Cinemtica

64

x(m) (2)

0 4 2

2

4

t(s)

(1)

1. Un mvil con velocidad constante de 50 km/h recorre una distancia AB de 250 km. Pasando por B a las 9 am. A qu hora pas por A? A) 2 pm B) 8 am C) 4 am D) 12 pm E) 6 am

2. Un auto se encuentra en el kilmetro 10 de

una carretera viajando a una velocidad constante de 30 m/s. En qu kilmetro se encontrar al cabo de 15 minutos? A) 25 B) 27 C) 37 D) 45 E) 50

3. La velocidad de un automvil se

incrementa uniformemente de 6 m/s a 20 m/s al recorrer una distancia de 26 m. La aceleracin en m/s

2 es:

A) 14 B) 7 C) 6 D) 4 E) 5

4. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia

arriba con una velocidad de 60 m/s. Al cabo de qu tiempo, en segundos, su velocidad ser de 20 m/s dirigida hacia abajo? (g=10 m/s

2)

A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

5. Un globo se eleva desde la superficie

terrestre a una velocidad constante de 5 m/s. Cuando se encuentra a una altura de 360 m se deja caer una piedra. El tiempo en segundos, que tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre es: (g=10 m/s

2)

A) 9 B) 8 C) 7 D) 10 E) 12

6. Un tren subterrneo parte de una estacin

y acelera a 1,8 m/s2 en 10 s, luego viaja

con rapidez constante durante 20 s y despus frena a 3,6 m/s

2 hasta parar en la

siguiente estacin. Calcule la distancia total cubierta en metros. A) 360 B) 495 C) 200 D) 135 E) 90

7. La figura muestra la posicin x versus el

tiempo t correspondiente al movimiento

de dos partculas (1 y 2) con MRU. Halle la

distancia de separacin (en metros) de las

partculas en el instante t = 6 s.

A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

8. Un ascensor de 5 m de altura est

subiendo con una velocidad constante de 5

m/s. Calcule el tiempo, en segundos, que

demora en llegar al piso del ascensor un

perno que se desprende de su techo. (g=10

m/s2)

A) 0,5

B) 1

C) 1,5

D) 3

E) 2

9. Un ascensor sube acelerando con 2 m/s

2 y

de su techo se desprende un objeto que

golpea su piso al cabo de 1 s. Qu altura

tiene la cabina del ascensor (en metros)?

(g=10 m/s2)

A) 2,5

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

10. Un observador se encuentra a 30 cm de

una ventanilla de 20 cm de ancho, a nueve

metros de l y detrs de la ventanilla hay

una pista por la cual pasa un auto con una

velocidad constante de 9 m/s. Si el

observador vio el auto durante 1 segundo,

cul es la longitud, en metros, del

vehculo?

A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

GUA DE CLASE N 2