Tema 2 cinematica

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Dpt. Teora de la Seal, Telemtica y Comunicaciones

Tema 2CINEMTICA DE MANIPULADORES

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Secciones1. Introduccin. 2. Coordenadas y Transformaciones Homogneas. 3. Problema Cinemtico Directo. Mtodo de Denavit-Hartenberg. 4. Problema Cinemtico Inverso. Mtodo de la Transformada Inversa. 5. Posicionamiento Real. 6. Otras especificaciones de la localizacin del EF. 1. Representacin mediante ngulos de Euler. 2. Representacin RPY.Get real!

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1. Introduccin. Qu estudia la cinemtica?Estudio Analtico del movimiento del manipulador sin tener en cuenta fuerzas y pares que originan el movimiento. Bsqueda de las relaciones entre las variables de las articulaciones y la localizacin del EF.

Problemas Asociados:Localizacin de objetos: expresar, de una forma matemticamente tratable, la posicin y orientacin de un objeto.3

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1. Introduccin. Problema Cinemtico Directo: dado el conjunto de variables de las articulaciones q(t)=(q1(t),q2(t),,qN(t)) (donde qi=i o di) hallar la posicin y orientacin del EF. Problema Cinemtico Inverso: dadas la posicin y orientacin del EF, hallar el vector q(t) de variables de articulacin.

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1. Introduccin.

Variables de las articulaciones q1(t),qN(t)

PCDParmetros de los elementos

Posicin y Orientacin del EF

Variables de las articulaciones q1(t),qN(t)

PCI

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1. Introduccin. Ejemplo Robot RR: Robot con dos enlaces de longitud L1, L2 y dos articulaciones rotacionales 1, 2. x = L1cos 1 + L2cos (1 + 2) y = L1sin 1 + L2sin (1 + 2)2 x 2 + y 2 L1 L2 2 cos 2 = 2 L1 L2

(!)

y ( L1 + L2 cos 2 ) xL2 sin 2 tan 1 = x ( L1 + L2 cos 2 ) yL2 sin 2

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2. Coordenadas y Transformaciones Homogneas

Localizacin de Objetos: Sistemas de Referencia (SdR) tridimensionales.No mediante las coordenadas de un punto. A cada objetos se le asigna un SdR slido con l.

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2. Coordenadas y Transformaciones HomogneasZ

La localizacin de un objeto no es absoluta, sino relativa a otros objetos (SdRs). Localizacin relativa de un objeto respecto a otro: Mediante cambios de sistemas de referencia.Z

W V

O

Y

X

U

W V

Problema: En robtica nos interesa la orientacin (rotacin) y la posicin (translacin). Las matrices de 33 representan cambios de SdR sin translacin.X O

U O Y

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2. Coordenadas y Transformaciones HomogneasSolucin: Transformaciones Homogneas. Introduccin de una coordenada ms.

Fundamento:W Z w v z y O x X A xyz A Y p u U A uvw O V

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2. Coordenadas y Transformaciones HomogneasCoordenadas Homogneas: Incluyen una coordenada adicional.

Donde W es un factor de escala que consideraremos siempre W=1.

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2. Coordenadas y Transformaciones HomogneasEn forma matricial:

En forma compacta:

Vectores unitarios del SdR UVW. Coordenadas vistas desde XYZ.11

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2. Coordenadas y Transformaciones HomogneasTrasformacin Homognea (notacin NOA):

Transformaciones elementales. Transformacin inversa: Transponer matriz rotacin. Productor escalar entre noa y posicin con signo cambiado.

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2. Coordenadas y Transformaciones Homogneas Recapitulamos conceptos: Localizacin de objetos con posicin y orientacin. Empleamos SdR ligados al objeto. Las coordenadas de estos SdR se expresan de forma relativa (unos con respecto a otros) mediante Transformaciones Homogneas ATB. Una transformacin homognea nos informa de la posicin de un objeto con respecto a otro (vector p). Una transformacin homognea nos informa de la orientacin de un objeto con respecto a otro (vectores noa). y viceversa. Las transformaciones Homogneas se pueden invertir de forma directa. Mediante operaciones matriciales podemos componer matrices y obtener la localizacin de un objeto desde distintos SdRs.13

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3. Problema Cinemtico Directo: Mtodo de Denavit-Hartenberg. Objetivo:Posicionar el EF respecto a un SdR base CalcularBaseT EF.

o a n p Z0

Ecuaciones CinemticasX0

Y0

Cada elemento de esa matriz depender de las variables de articulacin.

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3. Problema Cinemtico Directo: Mtodo de Denavit-Hartenberg. Mtodo de Denavit-Hartenberg: las ecuaciones cinemticas se obtienen descomponiendo la transformacin total T en transformaciones ms simples. A cada articulacin (i) se le asigna un SdR (i-1).

Transformacin i-1Ai nos lleva desde la articulacin actual a la siguiente. Cambio SdR Ji a Jj: Transformacin total:15

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3. Problema Cinemtico Directo: Mtodo de Denavit-Hartenberg. Obtencin de las matrices elementalesk-1A k

Regla Mnemotcnica:

Rz(i) Tz(di) Tx(ai) Rx(i)

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3. Problema Cinemtico Directo: Mtodo de Denavit-Hartenberg. Obtencin de las matrices elementales k-1A : k 1. Girar respecto al eje Z un ngulo i para poner Xi-1 y Xi paralelos y con el mismo sentido. 2. Trasladar a lo largo del eje Z una distancia di para que Xi-1 y Xi queden en la misma lnea. 3. Trasladar a lo largo del X una distancia ai de forma que el eje X quede en su posicin final (los centros de los SdR coinciden). 4. Girar respecto al eje X un ngulo i de forma que el eje Z quede en su posicin final (Zi).

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3. Problema Cinemtico Directo: Mtodo de Denavit-Hartenberg. Matriz de Transformacin Elemental de Denavit-Hartenberg:

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3. Problema Cinemtico Directo: Mtodo de Denavit-Hartenberg. Reglas de aplicacin del mtodo: Establecer un SdR (fijo) absoluto o base X0Y0Z0 que coincidir con el SdR de la primera articulacin (J1). Establecer las variables de articulacin: i para las articulaciones de revolucin. di para las articulaciones lineales. El resto de parmetros invariantes (i, di, ai, i) constituirn los parmetros del enlace.

El eje Zi coincidir con el eje de la articulacin Ji+1. El eje Xi quedar limitado por la normal al plano Zi-1,Zi. Los giros dextrgiros (anticlockwise) se corresponden con ngulos positivos.19

3. Problema Cinemtico Directo: Mtodo de Denavit-Hartenberg.

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Ejemplos prcticos: Manipulador TRL.

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3. Problema Cinemtico Directo: Mtodo de Denavit-Hartenberg. Ejemplos prcticos: Robot Industrial PUMA 560. Manipulador de la Universidad de Stanford. Robot Didctico SCORBOT-ER.

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4. Problema Cinemtico Inverso. Necesidad de traducir posiciones cartesianas al dominio de variables de articulacin. Conocemos el SdR que localiza el objeto. Necesitamos los valores de las articulaciones. Solucin: resolver el conjunto de ecuaciones cinemticas a la inversa.

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4. Problema Cinemtico Inverso. Mltiples dificultades: Volumen de Trabajo (conjunto de puntos accesibles): En cualquier orientacin vs en ciertas orientaciones. Conjunto de localizaciones para los que existe solucin.

Soluciones mltiples. Aplicar criterios de seleccin: Solucin ms prxima. Movimiento preferente de la mueca.A B

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4. Problema Cinemtico Inverso. Estrategias para la bsqueda de solucin: Mtodos numricos: Construir ecuacin de aproximacin e iterar. Costosos en tiempo. No aptos para robtica.

Bsqueda de expresiones analticas: Complejo anlisis del manipulador. No se garantiza solucin:Condicin suficiente (robot 6 articulaciones): que posea tres articulaciones adyacentes cuyos ejes se intersecten en un punto.

Aproximaciones posibles: Mtodos algebricos (basado en Trans. Homogneas) Mtodos geomtricos (anlisis geomtrico del robot).

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4. Problema Cinemtico Inverso. Mtodo de la Transformada Inversa: Fundamento: extraccin de relaciones sobre un grafico de transformaciones. Obtener de forma sistemtica un buen nmero de relaciones. Buscar y resolver aquellas ms fciles.

Ejemplo con TRL:O

0

A1

1

A21

2

A3 EF

0

T3

T32

T3

Obtenemos 2 nuevos conjuntos adicionales de relaciones.25

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4. Problema Cinemtico Inverso.Intentamos despejar las variables de articulacin del conjunto de relaciones extradas del grfico de transformaciones.

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4. Problema Cinemtico Inverso.

Podemos extraer las siguientes relaciones:

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4. Problema Cinemtico Inverso. Algunas consideraciones: No es un mtodo en sentido sistemtico, sino heurstico. Pueden obtenerse distintas ecuaciones con diferentes parmetros para una misma articulacin. Las variables del robot anterior (TRL) pueden obtenerse indistintamente a partir de la posicin o de la orientacin.

Ciertos parmetros pueden no aparecer en ninguna ecuacin. Nos indican una limitacin del robot. P.E. En un robot RR las coordenadas Z.

Importante: No se debe resolver nunca un ngulo con slo su seno o coseno (solo ofrecen la mitad de la informacin).

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5. Posicionamiento Real. La matriz de transformacin 0TN que localiza al EF no es completamente realista: No es prctico colocar el SdR global en la base del robot (el EF no puede alcanzar el origen, varios robots?, etc.). El EF puede sostener una herramienta (o el propio EF puede sustituirse). Hay que considerar dos transformaciones adicionales: M: Localizacin del robot frente a SdR global. G: Localizacin de la herramienta respecto al EF.29

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5. Posicionamiento Real. Posicionamiento Real del RobotX3 d30

GZ3 Y3

Z0

TNJ3

J2 Y0 X0 2 J1

P Z

1

30

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6. Otras especificaciones de la Localizacin del EF Es eficiente como se codifica