Círculos y Circunferencias Áreas y perímetros (2)

8/13/2019 Crculos y Circunferencias reas y permetros (2)

1/65

Prof. Guillermo Corbacho [email protected]

Crculos y Circunferencias

reas y permetros

Agosto 2012.

Presentacin:El clculo de reas y permetros de figuras es siempre atractivo. Y sin lugar a dudas quesiento una alegra cuando de circunferencias se trata. Ya sea porque me rememora laantigua creencia, aunque equivocada, de que las trayectorias de los planetas eran circulares,dado que la circunfencia era considerada siglos atrs como la figura plana por excelenciadentro del plan de Dios en la creacin del Universo conocido -o mal conocido.Por otra parte, la definicin de circunferencia como el lugar geomtrico de aquellos puntosque equidistan de un punto fijo dado me parece, en el lenguaje o en su expresin, unadefinicin o idea exquisita sin saber porqu.reas y permetros intrincados con otras figuras dan su forma a este aficionado trabajo,que, sin combinarse con polgonos estara incompleto. Bueno, se deja entrever la pretensinde que es ms o menos completo, je. Es una soada presuncin, pues, tras editarlofinalmente, la alegra del trabajo me durar un tiempito y ojal pueda tener el tiempo parapensar en otro tema. Igual es cuestin de aos, je. Bsicamente por el tiempo de descanso,

ese tiempo libre para dedicar manos a la obra (je, y un sniff tambin).Hasta la prxima si Dios y mis opciones de usar "ese tiempo libre"!lo permiten, (je).

Guillermo Corbacho Castro.Profesor de Matemticas y Fsica.Licenciado en Educacin.Titulado y graduado en abril de 2003, de la Pontificia Universidad Catlica de Chile.

Quilicura. Pobl Parinacota, 2010 a 2012. 1


2/65


ndice1. Definiciones de Circunferencia y Crculo...3

1.1.Ejemplos de Clculo de permetros y reas.3-41.2.Algo podremos concluir..5-6

2. Corona Circular...73. Trapecio circular..84. Sector circular .95. Segmento circular...12

5.1.Tablas de reas de tringulos que forman segmentos circulares...........145.2.reas de tringulos con ngulos del centro suplementarios 155.3.Permetros de la base de tringulos que forman segmentos circulares...165.4.Tablas de permetros de bases vs. segmentos circulares 165.5.Ejercicios resueltos.............................................................17-19

6. Flor de ejercicios.20-217. Circunferencias y crculos en un cuadriltero como fondo.22

7.1. Listado de ejercicios Resueltos. 22-257.2. Ejercicios con alternativas.26-29

8. ngulos en la Circunferencia y ejemplos de ejercicios combinados de reas ypermetros con ngulos en la circunferencia...30-31

9. Guas de ejercicios variados.9.1.Ejercicios resueltos..32-419.2.Ejercicios propuestos...42-44

10.Introduccin a ejercicios combinados con tringulos.4510.1.teorema particular de Pitgoras4510.2.nmeros pitagricos..4510.3.rea de todo tringulo rectngulo.4610.4.rea de un tringulo cualquiera.....4610.5.puntos notables en el tringulo.4610.6.la lnula4810.7.la cuadratura.........4910.8.listado de ejercicios resueltos...51-5510.9.listado de ejercicios propuestos....56-57

11.Gua de autoaprendizaje nivel bsico.11.1.Ejercicios resueltos y propuestos..58-6411.2.Ejercicios propuestos65



3/65


Definiciones:1. PERMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA Y AREA DEL CRCULO

El Permetro de la circunferencia, designada comnmente con la letra P, es lalongitud de la lnea fronteriza que encierra un crculo.El nmero Pi, designado con la letra griega y cuyo valor es 3,14 surge delcuociente entre el permetroPde una y su dimetro d= 2R R radio de la .

O bien,

P

d= 2

2

PP r

r= =P = d

La ltima expresin es la ms usada en la literatura matemtica para calcular elpermetroPde una .

En cambio, un crculoes una regin que tiene a una circunferencia como frontera. Esuna superficie interior a la circunferencia y podemos calcular en el rea del crculo.

Aqu estamos ilustrando elcrculo, al interior de lacircunferencia, con la reginsombreada.

El rea A del crculo viene dado por: 2r=AAhora no corresponde hablar de permetro del crculo. Pues, como ya se indic, elpermetro no mide superficies, sino longitudes, dimensiones lineales.

1.1.Ejemplos de clculos de reas y Permetros des1. Halle el rea y permetro

de la de radio 5 cm.

Solucin:Reemplazando el valor de:r= 5 cm.en las frmulas del rea yPermetro, tendremos:

( )

2r

2

2

A =

= 5 cm

= 25 cm

2P r

= = 2 5 cm=10 cm

2. Halle el rea y permetrode la de dimetro 14cm.

Solucin:d =14 cm R = 7cm Reemplazando el valorR= 7cm.en las frmulas del reay Permetro:

( )2r

2

2

A = = 7 cm

= 49 cm

2P r = = 2 7 c

=14 cmm

Tambin podemos usar::P d = =14 cm

3. Halle el rea y permetro dela regin sombreada.o es centro de la mayor.

Solucin:La regin achurada tiene porrea la diferencia de reas dedos s:

( )( )

2 2 2 2R r R r

2

2

A = =

= 36 9 cm

= 27 cm

Y su permetro por la suma:

( )

( )

2 2

P R r

R r

+

+

=

= 2

= 2 6+3 cm

= 2 9 cm

=18 cm



4/65


4. Halle el rea y permetrode la regin sombreada.En la figura, =AB 12 cm ,

donde AB es dimetro de

la

ms grande.

Solucin:Al igual que en el ejemploanterior, debemos restarreas de s. Pero en estecaso, debemos restar 2 reasdea la mayor.Pues bien:

r

AB =12 cm R = 6 cm;

= 3 cm.

Entonces:

( )

( )

2 2 2

2

R r r

2 2 2

2

A =

= 8 3 3 cm

= 64 9 9 cm

= 46 cm

2

r

El permetro de la figuraachurada est limitado portres circunferencias. Yviene dada por la suma detodos los permetros:

( )

( )

2 2 2

P R rR r r

+ ++ +

== 2

= 2 6+ 3+3 cm

= 2 12 cm

= 24 cm

5. Halle el rea y permetrode la regin sombreada. Oes centro de la mayor yel radio de la menor mide4 cm.

Solucin:Aqu nuevamente tenemosdos circunferencias, de lascules debemos restar susrespectivas reas paraobtener la superficie de laregin achurada.La circunferencia mspequea tiene radio r = 4cm.Mientras que para obtenerel radio de la mayor,debemos notar que lamedida de13 cm sobrepasa

a la medida de su radioprecisamente en la medidadel radio de la mspequea. Quiero decir que,segn la figura, el radioRdelams grande es:

( ) R = 13 4 cm R = 9 cm

Ya con los radios de ambass, procedemos a restar susreas para obtener as, la dela figura sombreada:

( )

( )( )

2 2

2 2

R r

2

2

2

A =

= 9 4 cm

= 81 16 cm

= 65 cm

El permetro de la figura

est nuevamente delimitadopor el de ambass. En estecaso, se suma sus permetrosindividuales:

( )

( )

P

+ = 2 9 2 4 cm

= 18+8 cm

= 26 cm

6. Halle el rea y permetrode la regin sombreada. Oes centro y AB esdimetro.

Solucin:Si trasladamos elsemicrculo de la izquierdaa la derecha, tendramos la

siguiente figura:

Que es a su vez el rea deun semicrculo de radio:r= 8cm.

2 2

2 2

32

r

2

2 2

8A = = cm

64 = cm = cm

2

En cambio, el permetrode la figura originalachurada, est limitadopor tressemicircunferencias:La mayor de las s, deradio R = 8 cm y las dossemis menores, deradio r = 4 cm.

P 2= R2 + 22 r2

( )

2

( 2 )

( )

R r

R r

cm

cm

cm

+

+

=

=

= 8+2 4

= 8+8

=16



5/65


1.2.En relacin al permetro del ltimo ejercicio algo podremos inducirNotemos que en el ejercicio 2r=R. (*)En este caso: 2 4 = 8Antes de reemplazar los valoresR = 8 cm y r= 4 cm. La expresin del permetro es:

P ( 2 )R r +=

El que se puede reescribir usando (*) como: P= (R+R) = 2REs decir, la figura sombreada siempre tendra un permetro igual a lamayor.

Ahora viene lo interesante. El permetro de todas las siguientes figuras sombreadas,tambin son iguales a 2R! Lo interesante es ver el patrn regular en las formas de estas yconcluir posteriormente.En cada una de las siguientes figuras, AB es dimetro y o es centro de la circunferencia.1. 2. 3.

Podemos imaginar una circunferencia con n semicircunferencias congruentes y tangentesentre s a lo largo del dimetro de la circunferencia completa. De esta manera y por lo quese desprende de la figura, podemos inducir una relacin entre el radio R de lacircunferencia y el radio r de cada una de las semicircunferencias que se distribuyen entorno al dimetro.

NmeroNdesemicircunferencias

Relacin entre AO =R= OB y r

Permetro de la figura sombreada

N = 2 (pg.anterior) 2

2

R OB r

Rr

= =

=

R 2 ( 2 ) 2

2

r R r R r

R R

R

+ +

+

P = = y como =

= ( )

=N = 3 (recuadro 1) 3

3

R OB r

Rr

= =

=

3 ( 2 )

3

2

R r R r

R R R

R

+ +

+

P = =

= ( ) pues =

=

r

N = 4 (recuadro 2) 4

4

R OB r

Rr

= =

=

( )

2

R r R r

R R RR

+ +

+

P = 4 = 4

= ( ) pues = 4 =

r

N = 5 (recuadro 3) 5

5

R OB r

Rr

= =

=

( )R r R r

R R R

R

+ +

+

P = 5 = 5

= ( ) pues = 5

= 2

r

N = n (recuadro 3) R OB nr

Rr

n

= =

=

( )

2

R n r R nr

R R R

R

+ +

+

P = =

= ( ) pues =

=

nr

Se puede notar adems que, cuando el nmero n de semicircunferencias es par, lassuperficies sombreadas se pueden redistribuir para cubrir con exactitud medio crculo. Con

lo que el rea, en tales casos es:2

A2

R=

Y si nes impar, el rea tendr una de las formas:



6/65


22 2 22

21

A 12 2 2 2

R r R RR

n n

= = =

Siendo el ltimo trmino + si sobresale ms all del medio crculo la redistribucin de lasregiones sombreadas y en caso que la redistribucin de las zonas sombreadas no

alcance a cubrir medio crculo.

Ejemplos:Halle el permetro y reas de las siguientes regiones sombreadas:En cada una de las siguientes figuras,R= 60 cm. AB es dimetro y o es centro de lacircunferencia.1.

Solucin:El permetro, conforme a latabla anterior es:P= 2R = 120cm.

La regin sombreada noalcanza a cubrir medio

crculo, por lo que su rea es,con r= 60 cm/3 = 20 cm.

2 2R r

2

2

2

A =2 2

3600 400= cm

2 2

3200= cm

2

=1600 cm

2.

Solucin:El permetro, conformea la tabla anterior es:P= 2R = 120cm.

El nmero desemicircunferencias es

par, as que el rea de laregin sombreada formaexactamente mediocrculo:

2R

2

2

A =23600

= cm2

=1800 cm

3.

Solucin:El permetro, conforme ala tabla anterior es:P= 2R = 120cm.

La regin sombreadacubre ms de medio

crculo. Su rea es, conr= 60 cm/5 = 12 cm.

( )

2 2R r

2

2

2

A = +2 2

3600 144= + c

2 2

= 1800 + 72 cm

=1872 cm

m

Interesante es notar que la relacin del permetro P = 2R se mantiene en regionessombreadas de la forma:1. 2. 3.

Donde en todos los casos, AB es dimetro de la circunferencia mayor. Y podemos inducirque es vlida para ncircunferencias interiores con radios a lo largo del dimetro.



7/65


2. CORONA CIRCULAREs la superficie comprendida entre dos circunferencias concntricas, esto es, quecomparten el mismo centro.Presentamos a continuacin, en la fig. de la izquierda, la forma de toda corona o anillo

circular.

Y cuya rea se obtiene como ladiferencia o resta de las reasde los dos crculos que locomponen, ilustrado a laderecha.

Esto es: A

En cunto al permetro de todo anillo circular, debemos considerar la suma depermetros de las dos circunferencias que lo definen, de radios R y r. Esto es:P ( )2 2 2R r R = + = +

( )2 2 2 2R r R r = =

r

Ejemplos: Halle en cada una de las siguientes coronas o anillos circulares, el rea ypermetro en cm.

1.

Solucin:Reemplazando R = 9 y r = 5cm. respectivamente en lasfrmulas del rea y Permetro,tendremos:

A ( )2 2R r=

( )( )

2

2

2 2

2

= 9 5 cm

= 91 25 cm

= 66 cm

P = + ( )2 R r

= 2

( )

= 2 9+ 5 cm

14 cm

= 28 cm

2.


A ( )2 2R r=

= 2

( )( )

2

2

2 2

2

= 5 3 cm

5 9 cm

=16 cm

P ( )2 R r= +

( )

= 2 5+ 3 cm

= 2 8 cm

=16 cm

3.


A ( )2 2R r=

( )( )

2

2

=

=

=

2 2

2

8 3 cm

64 9 cm

55 cm

P ( )2 R r= +

= 2

( )

= 2 8+ 3 cm

11 cm

= 22 cm



8/65


3. TRAPECIO CIRCULARUn trapecio circular es una regin de un anillo o corona circular, limitado por los ladosque determina un ngulo del centro al interior de un crculo.El permetrode un trapecio circular -figura de la derecha, viene dado por:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2( )

permetro de AC BD AB CD

2 2 2 /factorizamos

360 360 360

2 2 y simplificando por 2 la fraccin

360

2180

R r

P

R rR r R r

R r R r

R r R r

= + + +

= + + +

= + +

= + +

Donde el permetro de cada arco es proporcional a la medida del ngulo respecto alos 360 que componen los permetro 2R y 2r de cada una de las circunferencias

concntricas -con un mismo centro O.

El readel trapecio circular viene dado por la diferencia de los sectores circulares quedeterminan los lados que definen el ngulo del centro sobre el crculo.

( )2 2

2 2

360 360 360

R rR r

= = A

Nota aparte (pero no despreciable): Si las bases superior e inferior- del trapeciocircular se pusiesen rectilneas, conservando las medidas de sus distancias entrelos extremos y sin variar tampoco su altura R r entre ellas, la expresin del

rea del nuevo trapecio rectilneo, sera la misma respecto al del trapeciocircular.

Ejercicios Resueltos: Halle el permetro y rea en y respectivamente, de:cm 2cm1. R= 7 cm y r= 2 cm.

Solucin:El permetro del trapeciocircular, en cm es:

( ) ( )4 0

P = 2 7 2 + 7+2

18 0

36=10 + cm =10 +2 cm

18

El rea es:

( )

2 2 40 2A = 7 2 cm360

40 = 45

360 9

2

2 2

cm

45 = cm = 5 cm

9

2. R= 10 cm y r= 4 cm.


( ) ( )

60P = 10 + 4 +2 10 4

180

14 = +12 cm

3

El rea es:

( )2 2 60A = 10 4 360 6

2

2

2

cm

= 84 cm6

=14 cm

3. R= 8 cm y r= 5 cm.


( )15 0

P = 8+ 5

18 0 ( )

+2 8 5

5 = 13 + 6 cm

6

65 = +6 cm6

El rea es:

( )5

2 215

A = 8 50

12

36 0

2

2 2

cm

5 195 = 39 cm = cm

12 12



9/65


22 rx r x

= =360

360

22

r rx r x

= = =360

360 180

4. SECTOR CIRCULARLa superficie comprendida entre dos radios y el arco quesubtienden entre s, se denomina sector circular. En la figura, es laregin achurada

El rea de un sector circular cuyo ngulo del centro -o arco-mide , se determina mediante proporcionalidad directa.Clasificando ngulos de la completa con y sus respectivasreas, como sigue: Efectuando el producto cruzado y despejandox:

Donde2

360

rx

= es la medida del rea de un sector circular cuyo ngulo del centro

y arco que subtiende miden .

En tanto, el permetro de un sector circular puede obtenerse usando tambin unaproporcin, pero lgicamente no con el rea, sino con el permetro de unacircunferencia.

Ejemplo: la medida lineal del arco BA x= es:

Y el permetro final del sector circular de radio res:

2

rP OA OB BA r r

rr

= + + = + +

= +

2

360

2

360

O bien, si se prefiere, simplificando la fraccin por dos:

2180

rP r

= +

RESUMIENDO:El rea de un sector circular de radio r,que subtiende un arco o ngulo del centro

viene dado por:2

360

r =A

Y el permetro del mismo es:2

2360

rP r

= + 2

180

rr

= +

Grados reas360 2r

Grados Permetro360 2 r

x



10/65


Ejemplos: Halle en cada una de los siguientes sectores circulares, el rea y permetro.1.

Solucin:Reemplazando en lasexpresiones del rea ypermetro r= 9 cm tendremos:

A2 1

r = =

120

360

29

360 3

O bien, notando: que 120 esla 3era.parte de una .

r

2 229A = = = 27 cm

3 3

1 12=29+

0 2 93

31 36 0

Despus de mltiplessimplificaciones:

( ) ( )cm = 18+6 = 6 3+

O bien:como el arco de 120es la 3era parte de la :

( )

( )

rr

2 2P = 2 + = 29+

3 3

= 18 +6 cm

= 6 3+ cm

9

2.

Solucin:Reemplazando en lasexpresiones del rea ypermetro r = 3 cmtendremos:

2 1

r 45A = =

360

23

360 89

=8

O bien, notando: que 45es la 8va.parte de una :

r 2 2 2 3 9A = = = c8 8 8

m

Y el permetro resulta ser:

2P = 6 +

3

8

4

3= 6 + cm

4

3. El ABC esequiltero.R, S y T son puntosmedios de sus lados.

Solucin:Los tringulos equilterostienen sus tres lados

iguales y adems repartenen sus vrtices los 180tambin en tres partesiguales. Por lo que cadasector circular tiene unngulo del centro en elvrtice del igual a 60con un radio de 4 cm.As que los tres sectorescirculares son congruentesentre s.

Basta entonces hallar elermetro de uno de

y a cada resultado,amplificarlo por tres.

rea y pellos

2

r 1

60A = =

360

2

6

4

360

2

2

cm

cm

16 =

68

=

3Por lo tanto:

2A = 8 cm Es el rea pedida.

Y el permetro de un solosector circular es:

1 2r

P r +

+

2

=360

60

= 2 4

2 42

6360 3

4 = 8+ cm

3

Entonces, el permetrofinal es:

( )P = 24 + 4 cm

a rr

2P = 2 +

360

rr

2 2 32 + = 23+

8 8P =



11/65


12/65


5. SEGMENTO CIRCULAREs la regin del crculo comprendida entre una cuerda y uno de los arcos que subtiende.

El cul, observemos, resulta de la diferencia entre las siguientes reas:

Es decir:

2

rea segmento circular = rea del sector circular rea del

= rea del360

r

OAB

OAB

Para conocer el rea del OAB procedemos a bajar la altura desde el vrtice O hasta labase b=AB .

Y el rea viene dado porhbase

A =2 2

h=

baseA =

2

hb

Y por Pitgoras, en el OBD:2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 4

2 4 4 4

b b b r b

r h h h r

= + = + = = (*)

Podemos considerar los siguientes casos para reas de s OAB:i) El OAB es equiltero, o bien: = 60. En tal caso se tiene que la medida de todos

sus lados son iguales, la base es igual al radio r, esto es: b r= Y al reemplazar b , la medida de la altura hindicado en (*) se transforma en:r=

2 2 22 24 3

4 4

r r r r h h h

= = =

3

2

on lo que el rea del OAB nos queda:C

23

base 322 4

rr

h r

= = =A 2

2 2 1

el rea segmento circular rea del sector circular rea del

3 60

360 4

r r

=

= =

OAB

Y

2

6360

r 2 2 23 3

4 6 4

ste caso, podemos expresar el rea del sector segmento circular en funcin de .

r r r

r

=

En e



13/65


ii) = 90. Lail. Pues el rea de todo tringulo

ectngulo puede hallarse mediante el semiproducto de sus dosatetos. En este caso, de sus radios.

Cuando el OAB sea rectngulo en O, o bien:expresin del rea es muy fcrc

22

r =OAB OA OBA = 2

iii)En el caso de que el OAB sea issceles con = 30, tendrem, al lado opuesto.

mide

As,

os que recordar que: Bajar la altura desde uno de los vrtices que estn en la

Se forma as un OAD rectngulo en D.Vase figura de la derecha.Donde la base b r= .

Adems, en TODO rectngulo, el lado opuesto al de 30SIEMPRE la mitad que la hipotenusa, en este caso, que el radio (sufundamento se halla en la funcin seno, de trigonometra).

2

rh= .

En definitiva, lo que se debe de recordar es2

rh= , ms el rea de todo

tringulo:Obteniendo el rea del OAD.

As, el rea de todo el segmento circular que subtiende un ngulo del centralde 30 vendr dado por:

2 2 1

rea segmento circular rea del sector circular rea del

30

360 4= =

r r

=

OAB

2r

12360

2 2 2

, sino ms bien reco a.

r r r

iv)En el caso de que el OAB sea issceles con = 45. Fig. de la derecha: OAD rectngulo

4 12 4 =

Y podemos expresar el rea del segmento circular en funcin de .

No es necesario memorizarla rdar lo necesario para deducirl

r

En el

2 245

2 2

h rsen h

r= = =

el rea de OAB es 22

r 22r

hb rA = = =

2 2 4

2 2 1

Y el rea segmento circular rea del sector circular rea del

90

360 2

r r

=

= =

OAB

2

360

r

4

2 2 2

2 4 2

todo

r r r =


No es necesario memorizarla, sino ms bien saber deducirla del rea de

rectngulo.

r

22

2 2 4

rrhb r

= = =A



14/65


2 2 1

Y el rea segmento circular rea del sector circular rea del= OAB

2 45

360 4

r r = =

2

9360

r 2 2 22 2

4 9 4


r r r

r

=

v) Si el OAB es issceles con = 120, tendremos que:

Trazar la bisectriz de = 120, la cual coincide con la mediatriz delsegmento AB y contiene la altura bajada delrtice O.

gruentes OAD y OBD, condel centro de 60 cada uno, as como uno recto en

D y el ngulo agudo restante, en los s congruentesOAD y OBD miden necesariamente 30. Pues,

recordemos que en todo rectngulo, los s ntarios suman 90.

Vase la figura de la derecha.Recordemos que en TODO rectngulo, el lado que se opone al ngulo de30 mide SIEMPRE la mitad que la hipotenusa, en este caso, que el radio. Esdecir, la altura hmide r /2.

Podemos usar como rea de cada uno de los s congruentes OAD y OBD yedida,

v

Se forman as los s cons

agudoshan de ser compleme

rectngulos en D, el semiproducto de los catetos. Pero nos falta la mpor ejemplo, en el OBD, del cateto BD . Para ello usamos en el Pitgoras.

2 2 2

2

r OD DB= +

2 2 22 2 2 3 3

2

r r r r r DB DB r DB

= + = = = 2 4 4

Luego, el rea del OBD es:

23

32 22 2 8

r rOD DB r

A

= = =

2 23 3rea rea rea 2

8 4

r r = + = =Y como D OAD OAB OB

Tenemos que:rea segm circular = rea del sector circular rea del OAB

2 2 1r =

23 120

360 8

r =

3360

r 2 2 23 3

8 3 4

r r r =

5.1. Tngulos Frmula del OAB

abla de reas de s OAB que forman segmentos circulares

30 2 2

14 4

r r=

45 2 2 22

4 4

r r=

60 2 2 33

4 4

r r=

90 2 2 44

4 4

r r= =

2

2r



15/65


Ntese la regularidad del factor constante2

4

r y de las races: 1, 2, 3, 4 qu

hay de 30 90 en las expresiones de las reas para cada OAB.Recordarlo puede facilitar todo el clculo de lo que debemos restar al sector circular, al

iones de reas en s O entro suplementariosAde habamos hallado que la reas de s AOB de 60 y 120 tienen la mismafrmula o expresin para el rea en funcin solo del radio, no ya de . Es decir, susreas tienen igual medida ya sea si = 60 = 120. La siguiente figura lo confirma:

e

a

momento de obtener el rea de un segmento circular.

5.2. lacRems,

AB de ngulos del c

Tambin ocurre una igualdad de reas de tringulos en otras parejas de ngulos:

El punto para recordar es notar y recordar, que: las parejas de ngulos sonsuplementariosy que ellos define reas de s OAB iguales entre s.

As por ejemplo, si al hallar el rea de un segmento circular nos hallamos con quedebemos restar de un segmento circular, un rea de OAB cuyo ngulo del centro mide50, bastar entonces recordar el rea para el ngulo del centro de 30, ya que 150

ntar:

Tabla de reas de s OAB en segmentos circulares

1+ 30= 180, con la tabla de reas que nuevamente me tomo la confianza de prese

ngulos Frmula de reas de s OAB30 2 21

4 4

r r=

45 2 2

4

r

60 2 34

r

90 2 24 24

r r =

2 4

2

2

r=

Inspirada en una regla nemotcnica de la trigonometra.



16/65


5.3l

.Permetros de las bases AB de tringulos que forman segmentos circularesPara obtener el permetro de cada segmento circular, debemos hallar o conocer e

permetro de la base AB del tringulo AOB

trica seno n metros.

La funcin seno de define como el cociente del lado opuesto aun ngulo y la hipotenusa del tringulo rectngulo al cualpertenecen.Por esto, trazamos la altu de O hasta la base

La funcin trigonom os da las respuestas para tales per

ra des AB ,formndose dos s congruentes. La altura h bajada desde elvrtice del centro, coincide con la bisectriz y la me stoquiere decir, que:

diatriz. EAB BD= y cada uno de los dos s

congruentes tiene un ngulo del centro igual a

En el ODB:

( )/ 2 .

( )

( )

( )( )

lado opuesto al / 2 DB

sen / 2 DB sen / 2AB 2 sen / 2

rr

= =

=

=

El permetro del segmento circular viene dado por la suma de los permetros de la base

rectilnea

hipotenusa r

y curvilnea del arco ABAB .Es decir, la expresin del permetro del segmento circular, cuyo ngulo central es tiene por expresin:

( )2

2 / 2360

rP r sen

= +

La que nos muestra que debemos tener presente SIEMPRE al momento de obtener elpermetro de segmentos circulares: que si el sector circular o AOB tienen un ngulocentral , el permetro de la parte rectilnea es con sen .

Es bueno tener presente el cuadro que facilita la obtencin de algunos valores de lafuncin seno. Razn o cociente entre el lado opuesto a un ngulo y su hipotenusa alinterior de un tringulo rectngulo.

ngulos seno

( )/ 2

30

1 1

2 2=

45 2

2

60 32

5.4. Tabla de permetros de bases AB de s OAB y de segmentos circularesngulos Frmula del OAB Permetro segmento circular

2r sen r = AB 15 0,5230con calculadora cientfica.

30 22 15 0,52

360 6

r rr sen r

+ +

45 2 22, 5r sen r = AB 0,77Usando calculadora cientfica para

obtener seno de 22,5.

45 22 22,5 0,77

360 4

r rr sen r

+ +

602 30 2r sen= =AB

1

2r r=

60 22 30

360 3

r rr sen r

+ = +

90 22 45 2 2

2r sen r r = = =AB

90 22 45 2

360 2

r rr sen r

+ = +

120 32 60 2 3

2r sen r r = = =AB

120 2 22 60 3

360 3

r rr sen r

+ = +



17/65


5.5. Ejercicios Resueltos:Halle el rea y permetro de cado uno de los siguientes segmentos circularessombreados.1. o centro de la

circunferencia.

Solucin

:El rea del sector circular:

60 grados es la sexta partedel crculo, as que, en cm2:

Ar 2 32 64

= =6

6

32=

AB: 60ocupa la tercera posicinde la tabla, esto es, le

3 3

=10,6

rea del O

acompaa una 3 al

factor constante2

4

r. Es

decir, el rea en cm2 es:

r

2 2

OAB3 8 3

A = =4 4

64 =

4

Y el rea del segmentocircular es la diferenciaentre las reas indicadas.

3=16 3

( ) 2 = 10,6 16 3 cm

232A = 16 3 cm3

rmetro, en cm, vienedado po

El pe

r:

rP r

2 60= 2 sen 30+

1

6 360

= 21

82

2+

8

6

3

88+ cm

3

2. o centro de lacircunferencia.

=

Solucin:El rea del sector circular:90 grados es la cuartaparte de 360, as que, encm

2es:

A = = = 22,754 4

r 2 91

90 ocupa la cuartaposicin en la tablaanterior, asi que acompaa

rea del OAB:

una 4 al factor2

4r .

2Es decir, en cm :

r r

2 2

OAB4 2

A = =4 2 4

r 81=

2 2

2

= = 40,5

Y el rea del segmento

circular es l diferenciaentre las reas indicadas.a

( ) 2A = 22,75 40,5 cm

El permetro, en cm, vienedado por:

r 90rP = 2

2sen45+

360

2=2

9

2

2+

9901

4 2 360

9 = 9 2 + cm

2

3. o centro de lacircunferencia.

Solucin:El rea del sector circular:

45 grados es la octava parteel crculo, as que su rea es,2:

d

en cm

Ar 2 36 9

= = = = 4,5

rea del OAB:45 ocupa la 2da posicin de

paa

8 8 2

la tabla, esto es, le acom

una 2 al factor constante2

4Es decir:

r.

r

2 2

OAB2 6 3

A = =4 4

= 9 3

2

en cm .

Y el rea del segmentocirculares la diferencia entrelas reas indicadas.

( ) = 4,5 9 3 c

2

2

9A = 9 3 cm

2

m


( )2 r

r

+

P = 2 sen /2 360

2 = 26 sen 22,5+

63

482

3 = 12 sen 22,5+ cm

2



18/65


4. El ABC es equiltero. ABLa unidad de medida esten m.

Solucin:El tringulo equilterodefine tres tringulos con

s del centro de 120.

120 equivale a la terceraparte del crculo, por lotanto::

2

2

r

2

100 m

m

sectA = =

= 33,

Y 120 y 60 sonsuplementarios. Sus

AOB tienen factor

3 3

3

3 .2

2

2

m

m

Area OAB =

4100 3

=4

2

r

m

3

= 25 3

Finalmente, el rea de lana sombreada es:zo

( ) 2mA = 33,3 25 3

El permetro, en m, vienedado por:

( )2 r

r

+

P = 2 sen /2360

= 23

102

2 10+

3

20 = 10 3 + cm

3

5. dimetro de lacircunferencia de centro o.

Solucin:Tenemos dos sectores

nidos formancirculares umedia circunferencia:

2r 2semi

16

2A = = cm2 2

= 8 cmY las reas de los AOCBOC son iguales, pues

on s

le acompaa un

y

60 y 120 s suplementarios.60 ocupa la 3era posicinde la tabla, esto implica que

3 al2/4.factor constante r

Es decir, (en cm2):

r

2 2

AOC

2

3 4 3A = =

4 4

= 4 3 cLa suma de reas de ambostringulos es el doble:

m

sA = 8 3 cm

El rea de los d

2

ossegmentos circulares es ladiferencia entre las reas de

s sectores y los tringulos:lo

( )

( ) 2 2A = 8 8 3 cm

= 8 3 cm

El permetro, en cm, delos dos segmento es:

( )

P = 24 sen(60 /2)

+ 24 sen(120 /2)

2 4 2 4 + +

6 3

1 3 4 8 = 8 +8 + +

2 2 3 3

= 4 + 4 3 + 4 cm

6. La circunferencia de centrodoce

arcos de igual medida.o ha sido dividida en

Solucin:El rea del sector circularoAB:

n

= = = 30

12

Con n =

360 360

12 arcos en que sevidi la . Esto nos indica

que un sector circular es ladoce ave partedel crculo.

rea de tal

di

Por lo tanto, elsector circulares entonces:

Ar 2 2 8

= =

12

8

12

2

3

cm

2cm

216

= = 5,3 cm3

rea del OAB: = 30

r

2

OAB

2

A = 14

8

8

4 =

2cm =16

Y el rea del

cm2

segmentocirculares la diferencia entrelas reas indicadas.

( ) 2cmA = 5,3 16


( )r

P r

2

= 2 sen /2 + 360

2 8 = 28 sen 15+

2

3 12

cm

4 = 16 sen 15+

3



19/65


7.a

circunferencia de centroo. R=OA =OB =3 cm.

ABCDEF polgonoregular inscrito en l

ucinSol :

El rea del sector circular

oAB:

n

360 360= = = 6

60

Donde n es la cantidad delados del polgono regularinscrito. En nuestro caso,n= 6. Esto nos indica que

Por lo tanto, el rea de tal

sector circular -formadopor el polgono regular es,entonces:

el sector circulares la sextaparte de los 360 delcrculo.

Ar 2 1 3

= =6

3

62

2

2cm3

=2

cm

rea del OAB: = 60

r cm2 2

OAB 9 3A = 3 =4 4

Y el rea del segmento

rcular es la diferenciacientre las reas indicadas.

2cm 3 9 3

A =

2 4

l permetro, en cm, vieneEdado por:

( )r

P r=2 sen

2

/2 +360

2 = 23 sen 30+

3

6

= 21

32

( )

cm

cm

+

= 3+

de lado 3 cm.8. El fondo es un cuadrado 9. El fondo es un cuadrado

de lado 3 cm.

Solucin:La zona sombreada son dossegmentos circulares.Unidos en el eje de

Solucin:El rea de un cuadrado de

lado aes 2a=A

simetra del cual es parteuna diagonal delcuadrado.

allemos primero laHmedida de un segmento

El rea del sector circularde la figura de arriba es:

Ar

cm 2 29= =

4 4

El rea del (rect) queebemos restar tiene el

ctor

d

fa 4 = 2 al factor r2

/4.

Ar

2= 2

42cm

9=

2La diferencia de tales reases:

[(9/4) (9/2)] cm

el rea pedida, dos

El permetro son doscuartos (invertidos) de igual a media .

2

Ysegmentos, es el doble:

A= [(9/2) 9]

2

cm

P = 22 r

4r c = = 3

.

En nuestro caso, a = 3 cm.

As:cm cm2 2= 3 = 9

La diferencia es positiva,emoslo al reemplazar

Es claro que para resolverste ejercicio, era necesario

El permetro de la reginsombreada tiene contiene

medida de la arte

nterior (media

circunferencia) ms la parterectilnea (los 4 lados delcuadrado).

( )A

Al cual debemos restar elrea obtenido precisamenteen el ejercicio anterior.

El rea final es:

( )2

A

cm

cm

2= 9 (4, 5 9)

= 18 4,5

vpor 3,14.

( )

( )

2

cm

cm

cm

2

2

18 4, 5 3,14

= 18 14,13

= 3,87

eplantearse y resolver elanterior.

la pcurvilnea del resultado alejercicio a

m

( )a r cm P = 4 + = 12+ 3



20/65


6. lor de Ejercicios!y permetro de flores de n ptalos.

2. Flor de dos ptalos.El fondo son dos cuadrantes de radio r.

FEl penltimo ejercicio de la pgi aejercicios, como los siguientes.

Hallar el rea

na nterior es la base de un tema literalmente florido de

Solucin:Claramente, sorea y permet

tenemos dos cuun valor cualqu

lo se tra plta de du icar elr

ntes de radio r, que esiera.

o de la figura anterior. Pues

adra

( )r

2

2

= 2

on 4 cuartos (invertidos)

r

2

segm s = 2 1

O bien :

El permetro s de, lo que forman 2 s, o bien,1. El doble de medida que el ejercicio

anterior. 2

2 ptalos 4A = A

medias

r2 ptalosP =

1. Un ptalo de flor.

Solucin:onsiderar el eje de

c

os primero la medidsegmento circular, notan o quees ver el cuarto de un crculo.

Debemos c simetra deluadrado.

a de unlo esencial

cual es parte una diagonal del

Hallam d

3. Flor de tres ptalos.Los tres cuadrantes son congruentes.

Solucin:rea: Claramel rea y pe

ente, solo se trata de triplicarrme o del ejercicio 1.tr

r

2segm s = 3 12

on 6 cuartos (invertidos) dean 3 med

3 ptalos 6A = A

El permetro srm ias s.P =

, lo que forptalos 3 3

El rea del sector circular es:

1Ar 2

=sect 4

Y el rea del (rect) que debemos restar,con 90 en un vrtice, tiene el factor

acompaando al factor r 2/4.

Ar

2= 2

4

r2=

2

4 = 2

La diferencia de tales reas es:

A r2 r

r

21 segm 1 sect

2

A = A =4 2

2

Y el rea pedida es el dobhallada:

12

=

le del rea 4. F dlor e cuatr

son congruenteo ptalos. Los cuadrantess.

r

12

2

El permetro son 2 cuartos decircunferencia (invertidos entrdistribuidos convenientemente

mitad.

1 ptalo 2 segm sA = A =

e s), queforman 1 Solucin:

Amplificamos r 4 los resultados delejerc.1. Y hasta aqu nicamente se puedenamplificar. Ms de 4 ptalos cuyos vrticesocupen todo un cuadrante se superpondranentre s, no seran posibles.

po

1 ptaloP = 22 r

4r=



21/65


5. Flor de tres ptalos congruentes. 6. Flor de seis ptalos congruentes.

SolucinSolucin:Considerando la simetra central,hallaremos primero el rea de un ptalo.Para esto, debemos primero considerar uno

entos circulares de los dos que

:Aqu solo debemos considerar la simetracentral respecto al ejercicio anterior y si,

odemos duplicar los resultados delejercicio anterior.P1

tPorque con 6 ptalos si?La respuesta se debe a que 6 60 = 3606 es el nmero de rotaciones que cubre unptalo formado con 60 en una crculo, sinsuperponer ptalos. Es tambin el nmeromcto anterior, sin superposicin de ellos.

P

p

ero ojo, no se puede considerar 9, 12,5, ptalos con objeto de amplificar en

ales casos los resultados del ejercicio 5.

ximo de ptalos que se puede formaron la simetra central de los 3 ptalosmados todos a la vez, del ejercicio

or lo tanto, si:

( )

de los segmlo componen y luego duplicar su medida.Remitindonos al cuadrante de la figura.

/

2r

A

r r

601 segm 1 sect2 2

r r

r r

2 2 2

1pt

/3 2 2

3pt

A = A

3 =

6 4

3A = 2

6 4

3A = 6

6 4

2

El permetro est compuesto por la parte

formada con un ngulo del centro de 60.As que:

3 3O bien : =

curvilnea de seis sextas partes de s.Sextas partes porque cada una est

P = 6r2

6r= 2

( )2 2r

A

r r

r r

601pet sect

2 2

2 2

6pet

A = 2 A

3 = 2

6 4

3A =12

6 4

Y el permetro es:

= 3 3

r r P = 2 2 = 4



22/65


7. CIRCUNFERENCIAS Y CRCULOS EN UN CUADRILTERO COMOFONDO

Una superficie puede estar compuesta por distintas figuras geomtricas. Comenzaremos

con un cuadrado como fondo, que es un tema de presentacin muy usual en la literaturamatemtica.

7.1. Listado de Ejercicios Resueltos:Halle el rea y permetro de cada una de las siguientes figuras sombreadas. Suponga launi1.dad de medida en cm.La circunferencia est

inscrita en el cuadrado.

Solucin:rea de la regin sombreada:La medida de cada lado delcuadrado coincide con eldimetro de la y esta a suvez equivale el doble que elradio.En nuestro caso, si a es lame

=Laresrad del cuadrado delado a.Esto es:

2

(Tras factorizar por 25 laexpresin anterior).

Permetro de la reginsombreada:

El permetro de la figuraachurada es la suma de lospermetros del cuadrado y dela circunferencia que lodelimitan.

ferenc2.La circun ia est inscrita en el cuadrado.

Solucin:rea de la regiEl rea de la figura achurada se puede resolver vindolo ointerpretndola

1ero

n sombreada:

de dos maneras distintas.

: Como la c ljercicio anterio

uarta parte de la diferencia entre las reas der:e

Es decir, se puede derivar su resultado del ejercicio previo.dida de cada lado:

2r= 10 cmfigura sombreada resulta detar el rea del crculo de

( )( )

2 2A

a r=

4

a

2 2

100 25 25= cm = 4 cm

4 4

2doio r, al

: Tambin se puede hallar el rea

uadrado de

lado a= 5 cmy la cuarta parte de una circunferencia de radio r= 5 cm.

interpretando la figura achurada como ladiferencia entre las reas de un c

( )( )

( )

a r

2 2

2 2

2

2

A =

= 10 5 cm

= 100 25 cm

= 25 4 cm

( )

( )

5

a r

P = 4 +2

= 4 10 +2 cm

= 40 +10 cm

22 ra

25

= = =

2 2A 25 cm 2 1 cm4 4 4

No es la mi a expresin del rea, hallada en la primerainterpretacin de la figura achurada, pero si ambasexpresiones son equivalentes entre s.

Permetro de la regin sombreada:El permetro que limita la regin achurada viene dado por la

suma de permetros del cuadrado de lado a = 5 cm y delarco de del primer cuadrante:

5

sm

( )

ra

2P = 4 +

4

2 5 = 4 5+ cm

4

= 20+2,5 cm



23/65


3.La semi circunferencia tiene radio r= 5 cm.

Solucin:rea de la regin sombreada:

re unAqu tenemos la diferencia de reas entrectngulo de lados:a= 5 cm, b= 10 cm y un semicrculo deradio r= 5 cm.

2

2 2

2

rab

2

25

A = = 5 10 cm2

25 = 50 cm = 25 2

2 2

Donde hemos factorizado poltima expresin.

Pero tambin se puede in pos el ejercicio anteri

re un cuadradode

cm

r 25 en la

ter retar, sior, como larecordam

semidiferencia de reas entde lado a= el doble del radio

= 2r = 10 cmy la de radio r= 5 cm.

a r 2 2 2

100 5A =

2

2 2100 25

= cm

2 = cm

25= 50

2

oios, las variaciones que ser de otros efectuados prev

As como las formas en

expresarse un resultado debidde la factorizacinPermetro de la regin sombreada:El permetro de la figura ac

ds

2 = 25 2 cm2

Es interesante que el alumnejerci

2 cm 2

note en losdesprenden

iamente.que puede

o por medio

ca parti

.

hurada estel rectnguloin considerar

definido por tres de los ladosy por la media circunferencia su dimetro.

a b a+ +2

P = +r

2 (= 5+10+5 )

( )

cm

cm

+ 5

= 20 + 5

4.La circunferencia est inscrita en elcuadrado.

Solucin:

Se desprende de la figura anterior, que solose ha rotado el sector derecho de la reginachurada, sin sufrir variacin alguna en eltamao de la superficie afectada. Esto dado

ferencia es tangente en el

ual al caso anterior.

rea de la regin sombreada:

que la circunpunto medio de cada lado del cuadrado. Loque define simetras en las medidas de lasesquinas.Por lo tanto, el rea de la figura resultante esig

2

2

rab

2 25A = = 50

2 2

= 25 2 cm

2

cm

Permetro de la regin sombreada:

s2 cuartos del permetro de unacircunferencia de radio r= 5 cm.

El permetro est formado por cuatrosegmentos rectilneos de 5 cmcada uno m

Esto es:1

+2

P=45r

4

( = 2 )2 2

cm

cm

0 +

0 +2,5

5= 2



24/65


5. ABCD es un cuadrado delado a= 10 cm. E, F, G yH son puntos medios decada lado del cuadrado.

Solucin:rea de la reginsombreada:Los puntos medios nos

de unuadrante de s de radios

re

diferencia entre uncuadrado de lado a = 10cm. y unasemicircunferencia de radior= 5 cm.

indican que los vrtices A yC son centrocr = 5 cm. Los que enconjunto forman unasemicircunferencia con elradio indicado.As el rea de la ginachurada es nuevamente la

22

2

2

2

= 5 4 cm2

ra

25A = = 100

iene dado por la

ez se suman aos cuartos de

circunferencia que forman

entre s mediacircunferencia. Esto es:

Permetro de la reginsombreada:Vdiferencia entre elcuadrado de lado a = 10cm y cuatro medios ladosque equivalen a 2 lados,los que a su vd

( )2P a a r

a

+

= 4

= 2 5

= 20 5 cm

6.

Solucin:rea de lsombreada:E, F, , H sonmedios de cad

cuadrado. Y ccu,

unidos, formanm

cm

Permetro de la reginsombreada:El permetro espor el cuadrada = 10 cmcuartos des quna de radio

)

5 cm

0 cm

a regin

G puntos dea lado del

ada sectoradrante delos cualesun circulo.

circular es uncircunferencia

de radio r= 5 cEsto es:

r 2A = = 25 2

t formadoo de ladoy cuatroue formanr= 5 cm.

(

(

a r

P = 4 +2

= 4 10 +2

= 40+1 )

7.

Solucin:rea de la regin sombreada:Del ejercicio anterior sedesprende que el reaachurada resulta de la

diferencia de reas entre uncuadrado de lado a= 10 cmy un crculo de radio r=5 cm.

( ) 2 = 100 25 cm

( )

a r

2 2

2

A =

= 25 4 cm

Permetro de la reginsombreada:

El permetro est formado

=10.

por cuatro cuartos de s quea su vez, forman una completa de radior= 5cm.

r cmP = 2

cm



25/65


8. ABCD cuadrado de ladoa= 10 cm.E punto medio del lado

BC.

F y G son puntos mediosde yBF FCrespectivamente.Halle el rea y permetrode la regin sombreada.

Solucin:rea de la reginsombreada:El rea viene formada porla diferencia de reas entreel cuadrado y los tressemicrculos. El mayor de

radio r = 5 cm y los doscrculos menores, de radio

2,5 cm =5

cm. cada uno.2

22 Ra

+A = 2

2

2r

2

( )

+

2

=100 12,5 6,25

=100 18,75 cmPermetro de la reginsombreada:Formado por dos lados delcuadrado, una

semicircunferencia de radioR= 5 cm y dos de ra

225 5

2 2

+

=100

4

dior= 2,5 cm.

+

25 = 100 12,5

P a +2

= 2R

2 + 2

r2

2

( )

a R r

+ +

+ +

+

= 2 2

= 20 5 2 2,5

= 20 10 cm

9. ABCD es cuadrado delado a= 10 cm y O escentro de lasemicircunferencia de

dimetro AB .

Solucin

:rea de la reginsombreada:El cuadrado nos indica quetenemos el cuadrante de un

10.E, F, G, H puntos medios delos lados de 10 cm delcuadrado ABCD.Halle el rea y permetro de

la regin sombreada.

Solucin:rea de la regin

crculo de radio R = 10 cm,al cual debemos restar la

de unsuperficiesemicrculo de radio r = 5cm.

2 22

R r

2

A =4

100 25 = cm

4 2

sombreada:La figura ilustra 4 trapecioscirculares que si unimosconvenientemente, formanun anillo circular que sulta

e dos concntricas de

5 cm y la

srculos que ambas forman:

Permetro de la reginsombreada:Viene dado por el anillocircular que se forma, ms 4segmentos rectilneos, cadauno congruente al segmentoIM = AM AI = (73) cm

= 4 cm.

redigual centro. La mayor, deradio r =

circunferencia menor, deradior= 3 cm.El rea viene dada por ladiferencia de reas entre loc

2

2

25= 25 cm

2

25 = cm

2

Permetro de la reginsombreada:Viene dado por un lado de

= 10 cm., ms un cuartoo de una de

radio 10 cm y unsemipermetro de radio r=5 cm. Esto es:

ade permetr

2a +P =

R

4 2

2+

r

2 10

=10+5

2

( )

5

+

= 10 +5 + 5

= 10 +10 cm

=10 1+ cm

( )

( )

2 2

2 2

23

R r

R r

2 2

2

A =

=

= 5 cm

=16 cm

( )

( ) ( )

( )

( )

3

1

r

+ +

+ +

+

+

P = 2 R 4 IM

= 2 5 4 7 3 cm

= 2 8 16 cm

= 16 +16 cm

= 16( ) cm



26/65


7.2. EJERCICIOS DIVERSOS CON ALTERNATIVAS

lo. ABsemi

1)ABCD es rectngu = 24 cm. Entonces, la suma de las reas de los tres

crculos es:

26 cm B) 12 cA) m D) E)

Solucin

2 C) 218 cm 224 cm 236 cm

:Las tres circunferencias de la figura son congruentes. Y el dimetro de cada una de ellas es

cm24= 6 cm

4. As que sus radios, por definicin, igual a la mitad del dimetro,

resulta ser:R= 3 cm.

Pues bien, para obtener el a de luna de las s y amplificar dich pcuatPue

2

Y al n ne

A =

2)Res ul es el permetro que encierra l da?A) D)

Solucin

re a regin sombreada, basta calcular el rea de tan soloa rea por la cantidad de s

mero de s presentes, obte

resentes, esto es, por

mos:

Alternativa E).

a regin sombrea

ro.s bien. El rea de una de ellas es:

2 2 R = 3 cm = 9 cm

amplificar este resultado por el

2 249 cm = 36 cm .

pecto al enunciado anterior, C

6 cm B) 12 cm

2A =

C) 18 cm 24 cm E) 36 cm

:El permetro de una de la s es:Y al amplificar este resultado por el nmero des presentes, obtenemos:

. Alternativa B).

3)Si cada cuadradito representa 1 breada mide:

A)

B)

C) 1

D

ESolu

P = 2 R = 2 3 cm = 6 cm

P = 46 cm = 24 cm

2

m entonces el rea de la superficie som 7,14 m2

8 m2

0,28 m2

) 11,14 m2

) 12,28 m2

cin:. O

avillosos o es solo que se ha ree

El rea no est expresada en trminos de la figura es cuadrable, lo

mar mplazado el valor de por 3,14 . Veamos:Claramente se observa un cuadrado central de 4 cuadritos de 1 c/u, los que suman

un rea de 4 . Y 4 semis que forman entre s solo 2 s de radio 1 c/u.

El rea que suman ambas s es de 2 .

Luego, el rea total es:

m2 Alternativa C).

que siempre es

2m2m 2m

( )R 2 22 = 2 1 =

( ) ( ) ( )m m m 2 2 24 +2 = 4 +2 3,14 = 4 +6,28 = 10,28



27/65


4)11Si cada cuadradito representa 1 2m , entonces el rea sombreada mide:

C)D)

E)

Solucin

A) ( )8 m 23

B) ( ) m11 3 2

( )12 m2

3( ) m 220 3

( ) m 224 3

:nos y las regiones sombreadas se pueden distribuir de distintas maneras para

Un cuadrado de lado y un crculo de radio 1 mEs decir:

La suma de las reas que nos arroja la regin sombreada es:

3 Alternativa D).

5) n la figura, las cuatro circunferencias interiores son congruentes. El permetro que

C)

Los contorfacilitar el clculo del rea. Una de ellas es:

Esta distribucin nos muestra 8 cuadritos de 1 = 8 Y 3 veces la diferenciaentre:

2m 2m

2a m= .

( ) ( ) ( )21a 2 2 23 R = 3 2 = 3 4 =12 3 .

(20 ) m 2

Eencierra la regin sombreada es, expresada en trminos deRigual a:

R

2 D)

RA) R2 B) R 4

E) N.A

Solucin:

R

Cada interior tiene un radio de medida4

. Luego, el permetro de una de ellas es:

4

RP

= 2 y el permetro de las cuatro es: 4P = 4

R2

4R

= 2

Quien lo dira. Igual al permetro de la ms grande. Alternativa A).

6) El rea de la regin sombreada en la figura anterior es, expresada en trminos de R:2 B) 2 R 2 C) R 2 R 2

D)R 2A) 4 R

E)42

Solucin:

El rea de una de ellas es:R R

A

2 2= = y la suma de las reas de s cuat

4 16la ro s

resulta ser entonces: 4A = 4R

2

16 4

R 2=

4. Alternativa E).



28/65


7) El dimetro AB de la ha sido dividido en seis partes iguales. Cada parte es a su vezd i. Halle una expresin para el rea de la regin sombreada.imetro de una sem

B)C)

26 R 23 R 2R

2 D)

2R

3 E)

2R

6

A)

Solucin:

Las semi interiores son congruentes entre s y cerradas por el dimetro AB , las easrque de estas son iguale uirlas reas a la siguiente

forma: Lo que en definitiva, se puede obtener el rea de una semi-.

s entre s. Por lo que podemos redistrib

A = Alternativa C).

8) El permetroexpresada en trm R:

A) B)D)

2R

2

que encierra la regin sombreada en la figura del enunciado anterior

inos de

R 2 R C) 3 R 7 R

2

E)

Solucin

4 R

:R. El permetro de ella essemi ) de radioSe tiene una semicircunferencia (

2

2P =

R

2R= .

s r el radio de cada interior y comparamos los radios R y r delsemiSi llamamocentro de la al punto A ( B) obtenemos la relacin:

R = 6 radios de semi s interiores

.R

r =

r R = 6

O bien, despejand

6

r Ro en funcin de :

Y el permetro de las seis semi s interiores es:

6P

2

2= 6

r

2

R

6= 6 R

El permetro total de la figura sombreada es:

=

P R 62 2= P + P = + = 2R R

El de la circunferencia completa!, (como en los ejercicios previos del permetro para este

Alternativa B).tipo de ejercicios, pgs. 5-6!



29/65


9) La razn entre las reas de la regin A de centro en O y color gris- respecto alcrculo B -de dimetro OT y color azul- es, con T punto de tangencia entre loscircunferencias, igual a:

A)8

1 B)

4

1 C)

3

1 D)

2

1 E) N.A

Solucin:

Sea R radio de la A (mayor), entonces

2

R es la medida del radio de la B

(menor).As, la razn entre sus reas es:

2 22 2 R2 2

22 22

2

:

RR R

R RR

RR

rea A 44= = = =rea B 4

4

1

21R

4=

1

Alternativa B).



30/65


8. COMBINACIN DE EJERCICIOS DE REAS Y PERMETROS CONPROPIEDADES DE NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Con la combinacin de propiedades de ngulos en la circunferencia surgen ejerciciosque difcilmente nos pueden dejar indiferentes. Recordemos algunas de estas

propiedades: 2. El ngulo del centro subtiende un arcode circunferencia de igual medida queel.

1. El ngulo del centro mide el dobleque el ngulo inscrito.

gulo del centro.

AB AOB= =

O bien; el ngulo i nscri to mide la mitadque el n

4.

todo cuadriltero inscrito a una

circunferencia.En la figura:

ngulos opuestos suman 180 en

180+ = 180 + =

3. Los ngulos inscritos que subtienden elmismo ngulo del centro -o arco decircunferencia, son iguales entre s ymiden la mitad que el ngulo delcentroa

s como del arco que subtiende.

O bien, el ngulo del centro mide eldoble que todos los ngulos inscritosque subtienden el mismo arco que el.

5.es aquel ngulo form

ngulo interior a una circunferencia.Un ngulo interior a una circunferencia

ado por dos cuerdasque se cortan, como se muestra en lafigura.Y su medida se obtiene mediante lafrmula:

AB

x=O bien,

CD

2

+

2x

+=

6. ngulo exterior a una circunferenciaformado por dos secantes.La medida de un ngulo exterior x,formado por dos secantesPA y PD , seobtiene mediante la frmula:

AB CD

2x

= O bien:

2x

=



31/65


Veamos sus aplicaciones a ejercicios de reas y permetros en sectores circulares:

Ha

Queda claro que la aplicacin de estas propiedades puede combinarse igualmente demanera anloga, mutatis mutandis (cambiando lo que hay que cambiar) en la combinacinde clculo de reas y permetros de segmentos circulares.

1.lle el rea y permetro de los sectores circulares sombreados:

El ngulo xes interior a la

c

2. El ngulo x es exterior a lacir unferencia de centro o.

? = = = =AD y BC 120y el dimetro CD mide8 cm.

ucinSol :La figura nos muestra que xes adyacente suplementario al

recto (90).Entonces:90 + x= 180x= 90

Y por ser x interior,tenemos entonces:

x +

= 2Reemplazandox= 90:

+12090= /2 / 120

2180 120=

60=

La regin sombreadasubtiende un arco de 60. Yla superficie es la sexta partedel crculo, de radio:

r= (8 cm)/2 = 4 cm.

2r

2

224

A = = cm6 6

8 = cm

3

Elde

permetro de la sexta partela :

2P = r6 3

3

4 4= cm = c3

m

circunferencia de centro o. ?= =CD ; ?= =AB ;

=AEB 15 ; x=30;r = 6 cm.

Solucin: = 2

Pues uque todo inscrito con elcual subtienda el mismo arco.

r definicin de nguloa circunferencia:

AEB = 215= 30

n arco mide el doble

Poexterior a un

x =

2 do x y , igualesReemplazana 30, obtenemos:

3030=

260+30=

90=Esto nos dice que la regin esla cuarta parte del crculo.

As que:

/2 / + 30

2r

2

2

4

2m

6A = =

4

c

tr de la cuartaparte de la circunferencia es:

4

36 =

= 9

cm

Y el perme o

rP

2 2 6= = cm4 4

12 = cm

4 = 3 cm

D est

latro o.

3. El cuadriltero ABCinscrito encircunferencia de cenEl radio r= 18 cm.

Solucin:Recordemos quecuadriltero inscrito a ulos ngulos opuestossuplementarios suma

unna ,

sonn 180.

As, en la figura del recuadro:

Y recordando que el delcentro , mide el doble que el

l cual

o

180x x+2 = x

x

3 = 180 / : 3

= 60

ngulo inscrito con e

subtiende el mismo arc BD . = 120.

Luego, la regin achurada esla tercera parte del crculo.Entonces:

= 2 DAB = 260

2r 1818A = =

3

6

3

2

2

cm

=108 cm

r2 2 18P = =

3

6

3

cm

2=1 cm



32/65


9. uas de Ejercicios Variados

1.

GCrculos y Circunferencias

reas y Permetros9.1. Ejercicios Resueltos.Hallar el rea y permetro de las siguientes figuras sombreadas:

Solucin:

El permetro es:2 6 cm

El2 2

2

P = 2 R =

=12 cm

rea es:

R 2

A = = 6 cm

= 36 cm

2. .

Solucin:

Aprovechando los resultados

a circunferencia.del ejercicio anterior. Para lamitad de l

P=6 cm

2A =18 cm

3.

Solucin:Tenemos la cuarta parte deun crculo.

, las frmulas dely del rea estarn

Pues bienpermetrodivididas por 4.El permetro de la figura encm es:

2P =

R

4

6

2=

3

2 = 3 cm

rea es, en cm2:Y el

R A = = = 9 m4 4

2 226

c

4.rencias concntricas en O deradios 12 m y 6 m.

Se tiene dos semicircunfe-

Solucin:El permetro resulta ser:

P2

= ( )

2

R r + ( )m

m

12+6=

2

= 9

El rea de los dossemicrculos es:

( )( )

2 2

2

2 2

R r

m

m m = = 902

+

2 2

A =2

12 +6 =

2180

5. de lascircunferencias mayor ymenor son 9 cm y 3 cm.respectivamente.

Los radios

Solucin:La regin est limitada porlos permetros de ambascircunferencias.

e

sombreada resulta de ladiferencia de reas entre losdos crculos.

6.ent

Las circunferencias interiorestienen radio ry son tang es

acon l de al lado. El valordel radio R de la figura son12 cm.

Solucin:El permetro de s tangentese interiores a la mayor,cubriendo todo el dimetro( )R r

+P = 2 ( ) = 2 9+ 3 cm

= 24 cm AB

El rea de la superfici

( )( )9

R r

2 2

2 2

A =

= 81 cm = 72 cm

es siempre igual a 2R.En este caso, siR= 12 cm

P = 24 cm.

Cada interior tiene unradio r=R/4 = 3 cm.

El rea de una de ellas es:2

2 2A = 3 cm = 9 cm

Y el de las cuatro es entonces:

4 2A = 36 cm



33/65


7. O, P y Q son centros de 8. ABCD es rectngulo. Lacircunferencias. R es puntode tangencia de todas ellas.

.

AB mide 16 cm.base

La unidad de medida son cm

Solucin:La regin est limitada porlos permetros de l tres

lta de la diferenciaas s

mayores y luego agregar elrea de la menor.

2

ascircunferencias, de radios 3, 6y 9 cm.

( )P

= 2 3+6 + 9 cm

= 36 cm

El rea resuentre las superficies de l

( )

2 2 2

2

A = 9 6 + 3 cm

= 54 cm

Solucin:Las cuatro circunferencias dela figura son congruentes y eldimetro de cada una de ellases d= 16 cm/4 = 4 cm.

sus radios midenR= 2 cm.El rea de una de ellas es:

2 21A = R = 4 cm

Y al amplificar este resultadopor el nmero de spresentes obtenemos:

A = 44 cm =16 cm .

El permetro es 2R= 4cm.El de las 4s es 16cm.

9. ABCD cuadrado y O escentro de la circunferencia deradio r= 3 cm.

2 2

Solucin:El permetro queda definidopor el cuadrado cuyo lado

mide el doble que el radio ry la . Esto es,a rP = 4 +2

( ) = 4

( )

6 + 2 3 cm

= 24 + 6 cm

El rea de la

rea del cuadra , la del

reginsombreada resulta de restar al docrculo:

( )

2

a R

2

2A = = 36 9 cm

10.Las semis son tangentes enel centro del cuadradoABCD.

11.ABCD es un rectngulo y Oes centro de lasemicircunferencia.

Solucin:El permetro de la figura esun cuadrado de lado a= 6 cm

dos semicircunferencias que

ro es as, elmismo que en el ejercicio

anterior:Al unir las dos semisdebemos restar a la superficieobtenemos un crculo.

El rea es, encm2.

yforman entre s una de r= 3cm. El permet

( )P = 24 +6 cm

2a R 2A = = 36 9

Solucin:Tenemos media de R= 3

2 lados e los

La superficie sombreada es ladiferencia entre la mitad de

de lado a= 6 cm

cm. Y los dcostados suman 6 cm y conel de la base superior 12 cm.

( )3P = +12 cm

un cuadradoy un semicrculo de R = 3 cm.

2 2

2

aA =

R

2

22

2

= 3 cm2

= (18 3 ) cm

6

12.OA = 4 m y OB = 12 m.

Solucin:

El permetro que encierra laregin sombreada estdefinido por dos semi de

4 m y R = 12 m.

radios r=Por lo tanto:

P2

= ( )R r +

2 ( )

= 12 + 4 m

16 m =El rea resulta de la resta

ntre as reas de ellas dos:e l( )2 2R r 128

2

2

A = = m2 2

= 64 m



34/65


13.AB y AC radios en uncuadrante de circunferencia.

Solucin:El permetro es la suma de uncuarto de deR= 16, las tressemis de r= 4 y AD = 8.

P2

=R

4 2

2+ 3

r

2

( ) = 20 + 8 cm

El rea resulta de la resta:

+ 8 cm

R r 2 2

2

A = 34 2

= 40 cm

14.AB dimetro decircunferencia de centro or= 4 cm.

la.

Solucin:La figura nos muestra que:

en

la presentacin de este tipode ejercicios:

, ellas

R =OB= 2r= 24cm= 8cm.Y por lo que hemos visto

P =2 R =16 cm

Y para n par de semis a lolargo del dimetrocompletan medio crculo.

2 22

2

R 8A = = cm

2 2

= 32 cm

15.C y D dividen el dimetroAB de la circunferencia decentro o en 4 partes iguales.

Solucin:tro est formado

10cm.; 2 semicircunferencias queentre s forman una c mpleta

de radio r= AC/2 = OC/2 =

s, en cm :

A= [(R r 2 )/2]+ r2=175

El permepor: 1 semicircunferencia deradio R = OA = OB = 20cm.; 1 semicircunferencia deradio r= OA = OB =

o

(10/2) cm. = 5 cm;Es decir, el permetro es:

P = (R + r+ 2r) = 40 cm.El rea e

2

2

16.AB dimetro de lacircunferencia de centro o.r= 2 cm.

Solucin:La figura nos muestra que:

r=72cm= 14cm.R =OB=7Y por lo que hemos visto:

R P = 2 = 2 14 = 28 cm

Una redistribucin de lassuperficies sombreadassobrepasara el medio crculo:

( ) 2 2 2A = +

2 2

= 14 +2 cm

R r 2

2

2

=2

2

1 2

2

00 cm

=100 cm

17.

AB dimetro de la 18. ABCD es un cuadrado des

on semicircunferencias.lado a = 12 cm. Los arcos

circunferencia de centro o.r= 1 cm.

Solucin:Una redistribucin de lossemicrculos sombreados

Solucin:La figura nos muestra que:R =OB=9r=91cm= 9cm.

el cuadradoABCD ni ms ni menos.

El rea es:El permetro de la figura es:

lograr cubrirY por lo que hemos visto del

semicrculos grises no se

sobrepasa la superficie delmedio crculo mayor. As que

permetro de estas formas:R P = 2 = 2 9 =18 cm

Con la redistribucin de los

2a 2A = =144 cm

( )

R r

2 2

2 2 2

2

A =2 2

= 9 1 cm2

= 40 cm

P = [2 (2r) + 2R] cm=[2 (23)+ 26] cm= 24 cm



35/65


19.ocentro de la circunferencia

Solucin:Tenemos un sector circular

n un ngulo del centroco= 50.

El permetro resulta ser:r 2

r

+

+

P = 2 180

50 2 7 = 2 7 cm

180

+5 0

= 142

9 18

1

7

0

+

35 = 14 c

9

El rea del sector circular es:

cm

m

2r 5 0A = =

360

27

36 02cm

2245= cm36

20.El ABC es equiltero. D, Ey F puntos medios de suslados.

Solucin:Los s equilteros distribuyen

s 180 interiores en tres

8 cm.Basta entonces hallar el

ermetro y rea de un solo

.As, el permetro de un solosector circular es:

sungulos del vrtice () de 60.

Y cada sector circular tieneun radio rde

psector circular y amplificardespus cada resultado portres para obtener lo pedido

1 2r

P r +

+6

2

=

3600

=28 2 8

4

6360 3

8 =16 + cm

3Entonces, el permetro finales tres veces este valor.

de un solo sec r

( )P = 48+ 8 cm

Y el rea tocircular es:

2r 60A = =

1 360

28

6360

264 = cm

2

632

= cm

3Y tras amplificar por tres,

obtenemos el rea pedida: 2A = 32 cm

21.El ABC es equiltero. D, Ey F puntos medios de suslados.

Solucin:Para este ejercicio sern muytiles los resultados del

ejercicio anterior.El permetro est formadopor:6 radios (6r); y la diferencia entre 3 siguales ( r r 32 = 6 ) y lostres sectores circuhallados en el ejercicio

lares

me ro de

6 8 cm

El rea est determinada porla diferencia de reas entre 3crculos y los 3 sectorescirculares hallados en elejercicio anterior.

2 232 cm

anterior.Por lo tanto, el per tla figura es:

( )rP = 6 +

[ ]

( )

= 48+ 48 8 cm

= 48 + 40 cm

r

)( rA = 3

( )

2

2

= 3 64 32 cm

=160 cm



36/65


lados.

22.El ABC es equiltero. D, Ey F puntos medios de sus

Solucin:Aqu nuevamente

provechamos los resultadoss.

El permetro viene dado por

jercicio anterior.P = 40 cm.Y el rea viene dada por lasuma obtenida en el ejercicioanterior y el de un AOB

e 60 y r= 8 cm

ade los ejercicios anteriore

la parte curvilnea dele

d

r

2

223A =160 + cm

2

= (160 + 32 3) cm

23.E, F, G y H puntos mediosde los lados del cuadradoABCD de lado a= 6 cm.

Solucin:

El permetro est formadopor los cuatros sectores

.

la reginsombreada resulta de restar al

rea del cuadrado, la delcrculo: A = a2R2

= (36 9) cm2

curvilneos que unidosconvenientemente, formanuna de radio R = 3 cm.ms los 4 lados del cuadrado.P = 2R + 4 a= (6+ 24) cmEl rea de

24.R= 6 m y r= 4 m.

Solucin:El permetro es:

( ) ( )P R r R r

+

= +2

6

10 = + 4 m

12

+

5 = 4 m

12

El rea es:

( )2R

2

A =12

(36 =

r

216) m

m3

2

125

=

25.R = 10 cm y r= 4 cm. 26.R= 6 cm y r= 3 cm.

Solucin:El permetro es:

( ) ( )

( ) ( )

P R r R r

+

+

= +26

= 10 + 4 + 2 10 4 cm6

7 = 12 cm

3

El rea es:

( )2R r

2

2

2

A =6

(100 16) = cm

6

=14 cm

Solucin:El permetro tiene una partecurvilnea y otra rectilnea.

( ) ( )

( ) ( )

P R r R r

+

+

= 6 cm

2

= +22

= 6 + 3 +2 6 3 cm2

9

El rea es:

( )2R r

2

2 2

A =4

36 9 27 = cm = cm

4 4

27.E, F, G, H puntos medios delos lados de 18 cm deluadrado ABCD.c

Solucin:Al redistribuir los cuatroscuadrantes tenemos dos sconcntricas de radioR=9 cmy r = 6 cm. y 4 segmentosrectilneos congruentes eiguales a IM = AM AI =

(12 6) cm = 6 cm.Permetro de la reginsombreada:

Tenemos diferencia de reas:

( )

( )

+P = 2 9+6 4 IM

= 30 +24 cm

2 2R r 2A = = 45 cm



37/65


28 o. 29.ocentro de la circunferencia.

centro de la circunferencia.

Solucin:rea del sector circular:9

de

0 grados es la cuarta parte

e 360, as que, su rea en m2

s:

A r m 2 225= =4 4

m 2

9en la tabla pertinente, asi que

acompaa

=6,25

rea del OAB:0 ocupa la cuarta posicin

4 al factor2r

4.

Es decir:r r

2 2

OAB4 2

A = =4 2 4

2

2

m

r

m

m

2

=225

=2

=12,5

Y el rea del segmentocircular a diferenc entrel

2

es las reas ind

iaicadas.

( ) 2A = 6,25 12,5 cm


( )r

r

2 90

P = 2 sen /2 +4 360

r 2 = 2 sen 45+ r4 2

= 22

52

5+ cm

2

5 = 5 2 + cm

2

Solucin:rea del sector circular:30 grados es la doce ava parte

de 360, as que, su rea en m2es:

A =12

r 2 27 81=

12 4m

m

2

2274

3e

a

=

rea del OAB:0 ocupa la primera posicinn la tabla pertinente, asi que

compaa 1 =1 al factor2r

.4

Es decir: 2r

m2 81

A = =4 4

el rea del segmY entocircular es la diferencia entrelas reas halladas.

227 81A = cm4 4


( )r

2P =2 sen /2 +

r

12 6r

r

= 2 sen 15+6

9 = 29 sen 15+

2

3

6

cm

3 = 18 sen 15+ cm

2

Nota: No hay expresinracional para sen 15.Slo para 0, 30, 45, 60 y90. Para todos estos valoresde ngulos con un perodomltiplo de 90 y 180.

egularrencia

de centro o y radior= 7 cm.

30.ABCDEF polgono rinscrito en la circunfe

Solucin:Un polgono regular esfigura que tiene todos suslados de igual medida y tienela gracia de dividir una

n arcoscongruentes. Dnde n es lacantidad de lados que tiene elpolgono.En nuestro caso, n = 6. Y elngulo del centro mide:= 360/n = 360/6 = 60.

El sector circular mide:

una

circunferencia en

r 2 2sect

49A = = cm

el producto de los factores quecomponen la expresin:

360 6El rea del AoC quedebemos restar viene dado por

2r

2 23 49 3A = cm = cm4 4

Y el rea del segmentocircular es la diferencia de

reas:

sect

2

A = A A

49 49 3 = cm

6 4

l permetro viene dado por:E

rr 2P = 2 sen 30+6

= 2 1

72

7+ cm

3

7 = 7+ cm

3



38/65


31.ocentro de la circunferencia. 32.El ABC es equilterocentro de la circunferencia.

. o 33.AB dimetro de la semicircunferencia de centro o.

os ngulos del centro de lafigura son 30 y 150.L

Solucin:El ngulo del centro es:= 120.

El permetro viene dado por:

Solucin

rP r

2 120= 2 sen +2

1

3 360

10 = 20

2 10 = 210 sen 60+

3

3

2

0

= 10 3 + cm

lsector circular:120 grados es la tercera partedel crculo, as que:

cm3

20

3

2+

El rea de

120Ar 2 2100= = cm3 3

rea del OAB:120 es suplementario con60, que ocupa la tercera

osicin de la tabla respectiva,p

esto es, le acompaa un 3 al

factor constante2r

4.

Es decir, el rea en cm2:

r

2OAB

3 10 32 2

2

2

A = = cm4 4

100 3 = cm

4

= 25 3 cmY el rea del segmentocircular es la diferencia entrelas reas halladas:

2100A = 25 3 cm3

Solucin:Los puntos A, B y C dividenla en ngulos del centro de360/3 = 120.

Luego, la expresin del

:enemos dos sect res

unidos que unidosT ocircularesforman media circunferencia:

2

r

2

2

36A = = m2 2

=18 m

Y las reas de los

AOC yBOC son

permetro y rea son anlogasal del ejercicio anterior, solovara el radio. En lugar der= 10 cm, tenemos r= 9 cm.

rP r

2 120= 2 sen +

2

1iguales,pues 30 y

n dee

sAOC, esto implica que le

150 son s suplementarios.30 ocupa la 1era posicila tabla referida a reas dacompaa un

3 360

( )

rr

2

2 = 3 + (ejerc previo)

3

= 9 3 +6 cm

AOB delejercicio anterior dado quetenemos el mismo ngulo

= 120 del centro

n del rea delsegmento circulares:

1 =1 al factorconstante r 2/4.Es decir, (en cm

2):Usando las expresiones del

sector y tringulo

obtenemos inmediatamentela expresi

rAOC

2

2 226 1A = = m

4 4

= 9 m

La suma de reas de ambossectores es entonces:

2

sA =18 m 2

A r r

2

2

3=3 4

81 3 = 27 cm

4

l rea de los dos segmentos

ingulos:

Ecirculares es la diferencia dereas de los sectores circularesy los tr

( )

( )

2

2

A = 18 18 m

=18 1 m

El permetro de los dossegmentos es, en m:

P = 26 sen(30 /2)

+ 26 sen(150 /2)

2 6 +

6

2 6+

2

3

=12 (sen15+ sen75) + 6



39/65


a= 6 m.34.ABCD cuadrado de lado 35.ABCD cuadrado de lado

a= 6 m.36.Flor de dos ptalos

congruentes. El fondo sondos cuadrantes de radio r= 8cm.

Solucin:La zona sombreada son dossegmentos circulares unidosen el eje de simetra AC delcuadrado ABCD.Hallemos primero la medidade un segmento circular.

El rea del sector circular dela figura de arriba es:

2Ar

m m

2

236= = = 94 4

El rea del (rect) quedebemos restar, tiene el factor

4 = 2 junto al factor r

2

/4.2

2

Ar

m

m =18

2= 2 = 2

4 4

36

La diferencia de tales reas es:

(9 18 )Y el rea pedida de los dossegmentoses el doble:

A = ( 18 36 )

= 18 (2)

formanuna media circunferencia.

2m

2m 2

m

El permetro son dos cuartosde circunferencia que unidosconvenientemente,

P = 22 r

4r c = = 6 m

Solucin:El rea de un cuadrado de

lEA

Al cual debemos restar el reaobtenido precisamente en elejercicio anterior.

El rea final es:

m 2= 36 (18 36)

Ecepa

El permetro de la reginsombreada son los dos cuartos(invertidos) de que formanentre s media ms los 4lados del cuadrado.

ado aes2

a=A .n nuestro caso, a = 6 m.s:

( )2 2A m m= 6 = 36

( ) 2 m = 72 18

star de ms decir, pero eslaro que para resolver estejercicio, es necesariolantearse y resolver elnterior.

Solucin:Cada cuadrante tiene 2segmentos circulares conngulos del centro = 90.Y la figura sombreada tiene entotal 4 segmentos circulares.

allemos el rea d uno deH eellos primero:

( )

2

r r

2 22

22

4 = cm

4 4

= cm4

2

2

2

8 8

= 16 32 cm

=16( 2) cm

1 segm 1 sect 90A = A A

24 segmA = 64( 2) cm

A

a2

P = 4 +r

2

( ) m= 24 +6

El permetro son cuatrouartos de circunferencias quec

unidos convenientemente,forman una circunferencia.

P = 4r2

4

r

cm

= 2

=16



40/65


37.

e tres ptacongruentes.r= 10 cm.

Flor d los

Solucin:rea:

Cada ptalo contiene dossegmentos circulares.El rea de un segmento es:

2 2r r

1 segm 1 sect

90

2

2

A = A A

=4 2

= (25 50) cm

= 25( 2) cm

Y como un ptalo tiene dos

segmentos circulares,tenemos:

23 ptalos

21 ptalo

A = 50( 2) cm

A =150( 2) cm

forma

El permetro:La figura tiene 6 cuartos(invertidos) de s, lo que

n 3 medias s.

3 ptalos2

P = 6r

4r

2= 3

= 30 m

cuatro ptacongruentes.r= 3 cm.

38.Flor de los

c

Solucin:rea:La figu ntra co iene 8segmentos circulares.

a de un segmento es:El re2 2r r

21 = 9 cm4 2

1 segm

21 pt

2

4 pt

A =4 2

1A =18 cm

4 2

A =18 ( 2) cm

El permetro:figura tiene 8 cuartos

0 cm.

La(invertidos) de s, lo queforman 2 s.

r r

4 ptalosP = 22 = 4 cm

=12 cm

39.Flor de tres ptaloscongruentes.r= 1

Solucin:rea:

Remitindonos al cuadrantede la figura.

/

2

A 601 segm 1 sectA = A

r r 2 2 3 =

6 4

r r

r r

r

2 2 2

1pt

/3 2 2

3pt

2

3A = 2

6 4

3

A = 6 6 4

3 3 =

2

3 3=100 cm

2

loel centro = 60. Juntos

forman una 1 circunferencia.As que:

El permetro est compuestopor la parte curvilnea de seis

sextas partes de s. Sextaspartes porque cada segmentosest formado con un ngud

P = 6r2

6

r

= 2

= 20 cm



41/65


0.Flor de seis ptalos4congruentes.r= 7 cm.

Solucin:

el ejercicio anterior:D2r

3 ptalos

3 3A =

2

Entonces, para 6 ptalos:

2r

2

6 ptalos

2

3 3A = 2

2

3 3 = 98 cm

Tenemos 12 sextas partes des. Pues cada arco mide= 60 = (1/6) de 360.As, el permetro es:

P 2= 12r2

6

r r

= 4 ; = 7 cm

= 28 cm

Nota: Debido al ejercicioanterior, se poda inducirdirectamente la expresinP = 4r para el permetro dela flor con 6 ptaloscongruentes.El resultado hallado loconfirma.

41.El ngulo de 45 es interiora la circunferencia decentro o.

=AB = ?; = =CD 60

y r=9 cm.

Solucin:45 es interior a una ,tenemos entonces que:

+45=

2

Reemplazando = 60:

+6045= /2 / 60

290 60 =

30=

La regin sombreadarco de 30. Losubtiende un a

que es la doceava parte delcrculo, de radio: r= 9 cm.

2r

99A = =

12

3

4 12

2

2

cm

27= cm

4El permetro de la doceavaparte de la es:

2P =

r

12

6

9=

3

2 6

cm

3 = cm

2

42.El ngulo de 60 es opuestoircunferencia

on

por el vrtice al nguloexterior a la cde centro o.

C =DA 165 ; ?x= =BC

y r= 8 cm.

Solucin:60 es ngulo opuesto por elvrtice al ngulo exterior a lacircunferencia. Por lo tanto,tienen igual medida.Y por definicin de nguloexterior a una circunferencia:

x16560=

2

Despejando, parax= 45.El ngulo del centro xsubtiende 45. Por lo tanto, elrea de la regin sombreadaes:

2x r

2 2

2

8A = = c

360 8

= 8 cm

m

Y el permetro de la octava

parte de la circunferencia es:r

P 2 2 8

= =8 8

cm

= 2 cm



42/65


Crculos y Circunferencias:reas y Permetros

s Propuestos9 o de Ejercicio

Nombre:___________________________________ Curso: ______ Puntaje: ____

Halle el rea y permetro de las siguientes figuras sombreadas:

1.

.2.Listad

2. o centro de la circunferenciade radioR =10 cm.

3.

4. AB dimetro de lacircunferencia de centro o.R = 10 cm. r= ?

5. 6.AB dimetro de la semi?mayor. R=10 cm. r=

AB dimetro de la semide radio 10 cm. C y D

puntos medios de AO y

OB respectivamente. r= ?

7. Las circunferencias interiorestienen radio ry son tangentescon la de al lado. La medidadel radioRes 6 cm.

8. Las circunferencias interiorestienen radio ry son tangentescon la de al lado. La medidadel radioRes 6 cm.

9. Los radios de lasayor y

menor son 6 m y 4 m.respectivamente.

circunferencias m

10.AB dimetro de la semimayor de centro o.OC= 6 m y OD = 4 m.

.AB11 dimetro de lacircunferencia de centro o.

cm.

12.ABr= 3

dimetro de lacircunferencia de centro o.r= 2 cm.



43/65

Prof.

Círculos y Circunferencias Áreas y perímetros (2)

Documents

Transcript of Círculos y Circunferencias Áreas y perímetros (2)