Clase 10 Estimación de Parametros

8/10/2019 Clase 10 Estimacin de Parametros

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UNMSM FISI EAPIO CURSO: ESTADSTICA II SEM. 2014-2

PROFESORA: LIC. JUSTA CARIDAD HUAROTO SUMARI Pgina

UNIDAD 4: ESTIMACIN DE PARAMETROS

La esti macin estadstica es un procedimiento mediante el cual se llega a obtener yanalizar estimadores de parmetros poblacionales desconocidos.Un estimador es una regla o mtodo para estimar un parmetro poblacional. Por ejemplo,

se dice que la media muestral X es un estimador de la media poblacional porque lamedia muestral proporciona un mtodo para estimar la media de la poblacin.Un estimador proporciona alguna informacin respecto al parmetro.Una estimacin es un valor particular del estimador obtenido de observaciones de lamuestra.

Para una poblacin de mediciones de X, muchas veces es necesarioestimar el parmetro ; es decir, mediante una muestra aleatoria X1, X2, ..., Xn debemosaproximarnos al verdadero valor de .

La estimacin puede hacerse mediante un nico valor (estimacin puntual) omediante un conjunto de valores (estimacin por intervalo).

Por ejemplo, supongamos que los puntajes de ingreso de este ao a la Escuela deIng. de Sistemas siguen una distribucin normal con media desconocida y con varianza

2 conocida. Deseamos estimar la media . Para ello, utilizamos como estimador lamedia muestral. Si elegimos una muestra aleatoria de 30 ingresantes y observamos sus puntajes, el valor observado de la media muestral ser unaestimacin puntual de . Sise prefiere acompaar la estimacin puntual con alguna medida de la dispersin de lamisma, se estar haciendo unaes timacin por intervalo . En este ejemplo, un intervalode confianza para se consigue sumando y restando al estimador puntual X el

producto del error de la media por un cierto factor,que en muchos casos es 1.96.Los mejores estimadores puntuales para la media poblacional, la varianza poblacional y la proporcin poblacional son, respectivamente, la media muestral, lavarianza muestral y la proporcin muestral, porque gozan de ciertas propiedades.

PROPIEDADES DE UN BUEN ESTIMADOR PUNTUALUn buen estimador puntual , de un parmetro , debe ser: insesgado, consistente,

eficiente.

ESTIMADOR INSESGADO

Se dice que

es un estimador insesgado del parmetro si E(

) = Significado :

Si calculamos el valor de

para cada muestra y repetimos el experimento un grannmero de veces, el promedio de todas estas estimaciones ser igual a. Por tanto, losestimadores insesgados proporcionan resultados perfectos en promedio.


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Si E (

) , entonces el estimador ser sesgado.El sesgo se mide por :

Sesgo (

) = E (

) -

EJEMPLO: Las estadsticas pS X y2 , son estimadores insesgados de los

correspondientes parmetros y2 , .

ESTIMADOR CONSISTENTE Se dice que es un estimador consistente del parmetro si

i)n

)

(E lim

ii)n

Var 0 )

( lim

Significado :

Si al incrementar el tamao de la muestra se produce a la vez un menor sesgo y la varianzatiende a cero, entonces se tendr un estimador consistente.

EJEMPLO: Las estadsticas pS X y,2

son estimadores consistentes de los respectivos parmetros y, 2 .

ESTIMADOR EFICIENTE Sean 1

y 2

dos estimadores insesgados del mismo parmetro . Se dice que el estimador

1

es ms eficiente que 2

si y solo si

Var ( 1

) < Var ( 2

)

ERROR ESTANDAR DE UN ESTIMADOR

Se llama error estndar del estimador a la desviacin estndar del estimador. Unamanera de medir la precisin de un estimador es utilizando su error estndar. El errorestndar es inversamente proporcional a la precisin del estimador; a menor error estndar,mayor ser la precisin del estimador.


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A continuacin, se muestra un procedimiento para construir intervalos de confianza paraalgunos parmetros de inters.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA ESTIMAR LA MEDIA DE UNAPOBLACIN NORMAL

CASO 1: La varianza poblacional 2 es conocida.

Siguiendo el procedimiento sealado anteriormente, obtendremos un intervalo de confianza para la media si tomamos como funcin pivote a la variable aleatoria

x

n

la cual tiene distribucin normal estndar.Usando la distribucin normal hacemos el enunciado probabilstico

P( -z < x

n

< z ) = 1 .

y despejando se obtiene el siguiente intervalo de confianza

[ X z n

X z n

- , ]

el cual cubre a con una confianza de (1 )100%.

CASO 2: La varianza poblacional 2 es desconocida.

En este caso, la funcin pivote es x

s n

la cual tiene distribucin t con n-1 grados de libertad.Usando esta distribucin, procedemos como en el caso anterior, planteando una proposicin probabilstica y despejando .Luego, el intervalo para estimar a un nivel de confianza de1 es

[ X sn

X t s

n - t , ]

Ejemplo 1:Una mquina de empaquetar bolsas de caf est regulada para embalar bolsas cuyos pesosse distribuyen normalmente con media 500 gr. y desviacin estndar 10 gr. Supongamosque la mquina est desregulada y deseamos conocer el nuevo promedio . Una muestraaleatoria de 25 bolsas arroja una media igual a 485 gr. Hallar un intervalo de confianza de95% para .Solucin:


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Datos: n = 25, X = 485, = 10, 1 = 0.95, z / 2 = 1.96. Como se conoce la varianza poblacional, se usar el intervalo del caso 1. Reemplazando los datos se obtiene elsiguiente I.C. para con un nivel de confianza de 95%:

[481.08 , 488.92]

Ejemplo 2:Una mquina produce varillas de metal utilizadas en el sistema de suspensin de unautomvil. Se toma una muestra aleatoria de 15 varillas y se mide su dimetro. Los datosobtenidos son: 8.24 8.21 8.23 8.25 8.26 8.23 8.20 8.26 8.19 8.238.20 8. 28 8.25 8.24 8.24Suponiendo que los dimetros de las varillas siguen una ley normal, construir un intervalode confianza del 95% para el dimetro promedio por varilla. Solucin:Con los datos se obtiene: n=15, X = 8.234 y S 2 = (0.0244)2. Siendo la varianza poblacional desconocida, usaremos la distribucin t para construir el I.C. Para1 = 0.95

y por la simetra de la distribucint, el cuantil que deja a su izquierda un rea igual a 0.975es t / 2 = 2.145. Reemplazando los datos en el ltimo intervalo se obtiene el siguienteintervalo que cubre a con una confianza igual a 95%: [8.22 , 8.247].

Ejemplo 3:Se desea conocer la permanencia media de pacientes en cierto hospital, con el fin de poneren prctica un proyecto de ampliacin del local. Con datos referentes a das de permanencia, de una muestra de 600 pacientes se obtuvieron los siguientes resultados: X =12.3 das y S = 8 das.Hallar un intervalo de confianza del 95% para la permanencia media.Solucin:Como no se conoce la varianza poblacional, deberamos usar la distribucin t para obtenerel I.C. Pero, siendo la muestra n=600 grande, por el TCL se sabe que X tiene distribucinnormal con media y varianza desconocidas. La varianza se estima con la varianza muestral.Luego, usaremos el intervalo del caso 1. Por la simetra de la curva normal, para1 =0.95 se tiene z / 2 =1.96Reemplazando datos se obtiene que, el tiempo promedio de permanencia de los pacientesen el hospital vara en el intervalo (11.66, 12.94), expresado en das, con una seguridad de95%.

Observaciones:

1. La longitud del intervalo de confianza para es L = 2 2 z n / .Como el tamao de la muestra aparece en el denominador, entonces, muestras grandesdarn intervalos de confianza de longitud ms cortos, por lo tanto ms precisos. Si seconociera la longitud del intervalo, entonces el tamao de la muestra ser igual a

n z

L

2 22

/


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Por ejemplo,suponga que el nmero de onzas de cerveza que una mquina vierte en una botella es una variable aleatoria distribuida normalmente con media desconocida ydesviacin estndar conocida igual a 0.5 onzas. De qu tamao debe ser n para que lalongitud del intervalo de 90% de confianza sea de media onza?Reemplazando los datos en la relacin anterior se tiene:

n x x

2 1645 05

05

2. ..

= 11

Si la longitud del intervalo fuese un cuarto de onza, entonces sera n = 44

2. El error de estimacin E = X es menor que z n

/2 . En otros trminos, z

n

/2

es el lmite para el error de estimacin (es el mximo error permitido) al estimar . De

modo que, si E z n

/2 entoncesn debe ser tal que

n z

E

/22

As por ejemplo, si en el problema 1 el mximo error permitido se reduce a la mitad, culser el tamao de muestra requerido?

Siendo z n

/2 = (1.96 x 10)/5 = 3.92, la mitad del error es 1.96. Reemplazando este valor

en la frmula de n se obtiene n100.

3. Cuando la poblacin es finita de tamao N y el tamao de la muestra supera el 5% de la poblacin, entonces el intervalo de confianza para estimar la media de una distribucinnormalcon varianza conocida,al nivel 1 , est dado por:

X z n

N n N n

N n N

/2 1 1

, X - z /2

Si la varianza es desconocida y la muestra es pequea, el intervalo es:

X t s

n

N n N

s

n

N n N

/2 1 1

, X - t /2

y para muestras grandes es:

X z s

n

N n N

s

n

N n N

/2 1 1

, X - z /2

Ejercicio 1: Un fabricante de fibras sintticas desea estimar la tensin de ruptura media de una fibra.Disea un experimento en el que se observan las tensiones de ruptura, en libras, de 16 hilos


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del proceso seleccionados aleatoriamente. Las tensiones son: 20.8 20.6 21.0 20.9 19.920.2 19.8 19.6 20.9 21.1 20.4 20.6 19.7 19.6 20.3 20.7. Supngase que la tensin deruptura de una fibra se encuentra modelada por una distribucin normal, con =0.45 libras

Construir un intervalo de confianza estimado del 98% para el valor real de la tensin de

ruptura promedio de la fibra.Construir otro intervalo de confianza suponiendo que no se conoce . Compare los dosintervalos.

Ejercicio 2:Tres estudiantes desean construir intervalos de confianza para la media de una poblacinnormal con varianza conocida igual a 9 y con coeficiente de confianza de 90%. Cada unode ellos dispone de la informacin siguiente:

ESTUDIANTE TAMAO DE MUESTRA VALOR OBSERVADOa 1 8 b 3 6 5 4

c 6 10 0 4 2 9 5a) Qu intervalo construira cada estudiante?. Compare la precisin de los intervalos yhaga algn comentario. b) Qu tamao de muestra se necesitara si deseamos un intervalo de 90% de confianza yuna precisin de 0.4?

INTERVALO DE CONFIANZA PARA ESTIMAR LA VARIANZA 2 DE UNAPOBLACIN NORMAL

Siguiendo el mtodo anterior, despus de obtener una muestra aleatoria de tamao n de la poblacin normal con varianza desconocida, se usa como funcin pivote la variablealeatoria

(n-1) S 2 / 2

la cual tiene distribucin chi cuadrado con n-1 grados de libertad.Tomando en cuenta tal distribucin se hace el siguiente enunciado probabilstico

1))1(

( 2 2/122

22/

S n P

y despejando 2 dentro del parntesis se obtiene el siguiente intervalo estimador que cubre

a 2

, con un nivel de confianza igual a (1 )100%:

( )

/

n S

1 2

1 22

,(n-1)S 2

/22

Ejemplo:Se realizaron 15 mediciones del largo de una barra. Los resultados fueron: 42.7, 43.48,43.63, 42.78, 43.18, 42.756, 42.76, 42.87, 42.95, 43.39, 43.01, 43.06, 41.60, 43.20, 43.10.


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Suponiendo que la variable aleatoria X que representa a las mediciones es normal, hallar elintervalo de estimacin para las varianzas de las medidas, al nivel de confianza del 95%.Solucin:El tamao de la muestra es 15. Los valores de la media y varianza muestrales son,respectivamente, X = 42.95 y S 2 = 0.2284. Para el nivel1 = 0.95, los cuantiles

correspondientes de la distribucin chi cuadrado con 14 grados de libertad son 0 0 252. =5.63y 0 975

2. = 26.1

Reemplazando todos estos valores en el intervalo para la varianza se tiene que:[0.1224 , 0.5679] cubren a 2 con una confianza de 95%.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA ESTIMAR LA PROPORCINPOBLACIONAL DE UNA POBLACIN DE BERNOULLI

Se sabe que, cuando se extrae una muestra grande de una poblacin de Bernoulli con parmetro , la proporcin muestral, que tiene las mismas caractersticas de la mediamuestral, tiene una distribucin muestral que se comporta como una distribucin normal.Utilizando este modelo se construye el intervalo de confianza para siguiendo el mtodoantes descrito.

En este caso, la funcin pivote que se usa es la variable aleatoria Z =

n

p)1(

la cual tiene distribucin normal estndar .El valor de que aparece en el error estndar se estima con la proporcin muestral.Luego, el intervalo que cubre a con una confianza de1 es

[n

p p

n

p p z p

)1(z p ,

)1(//22/ ]

Ejemplo:Con motivo de las elecciones presidenciales, en una encuesta de opinin pblica, de untotal de 400 persona entrevistadas, 320 mostraron su preferencia por determinadocandidato.a) Construir un intervalo de confianza del 95% para estimar la proporcin del total de personas que estn a favor de dicho candidato.

b) Con un nivel de confianza de 99%, cambia el error de estimacin de a)?Solucin: a) La proporcin muestral es igual a p = 320/400 = 0.80. Para1 = 0.95 el valor de z / 2 es 1.96.Luego, reemplazando estos valores en el intervalo antes formulado se obtiene el siguienteintervalo que cubre a con una confianza de 95%:

0.8 0.0392


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Ntese que el valor 0.0392 es el mximo error de estimacin. Entonces decimos que, el80% del electorado estar a favor del candidato, con un error de estimacin de 3.92% ycon una confianza de 95%. b) Si fuese1 = 0.99, entonces el mximo error permitido sera z

p /2 = 2.58 x 0.02 = 0.0516. Vemos que el error de estimacin se vuelve ms grande y

por tanto el intervalo es menos preciso.

Del mismo modo, siguiendo el mtodo antes descrito, se puede construir intervalos deconfianza para los parmetros que son combinaciones de los parmetros ya vistos, comoson la diferencia de medias y la razn de varianzas en poblaciones normales y la diferenciade proporciones en poblaciones de Bernoulli. En todos estos casos se deber tomar encuenta la distribucin muestral del estimador correspondiente al parmetro en cuestin. Elintervalo que se obtenga en cada caso ser el resultado de seguir el mtodo de la cantidad pivotal, con un nivel de confianza de (1 )100% .

INTERVALO DE CONFIANZA PARA ESTIMAR LA DIFERENCIA DEPROPORCIONES 1- 2 DE DOS POBLACIONES DE BERNOULLIINDEPENDIENTES

Analizando los signos de los lmites de este intervalo podemos concluir que:

Si el intervalo es (- , +), entonces1 = 2. Si el intervalo es (- , -), entonces1 < 2. Si el intervalo es (+, +), entonces1 > 2.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA ESTIMAR LA RAZN DE VARIANZASDE DOS POBLACIONES NORMALES INDEPENDIENTES

Se quiere estimar el cociente de varianzas de dos poblaciones Normales.

Un intervalo de confianza para al (1-)100% est dado por:

Interpretacin: Si el intervalo anterior contiene al uno, entonces se puede considerar que lasvarianzas son iguales, con el nivel de confianza dado.

2

22

1

11/2121 n

p1 pn

p1 pZ p p

22

21

22

21

/21;1n1,n22

21

/21;n1,n SS

F;SS

F1212

22

21


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En cambio, si el intervalo no contiene al uno, se puede considerar que las varianzasson diferentes.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA ESTIMAR LA DIFERENCIA DE MEDIAS1 - 2 DE DOS POBLACIONES NORMALES INDEPENDIENTES

Se quiere estimar la diferencia de medias de dos poblaciones Normales independientes.

Caso I: Varianzas poblacionales conocidasUn intervalo de confianza para 1 - 2 al (1-)100% est dado por:

Caso II: Varianzas poblacionales descocidas pero iguales:Un intervalo de confianza para 1 - 2 al (1-)100% est dado por:

Caso III: Varianzas poblacionales desconocidas pero diferentes:Un intervalo de confianza para 1 - 2 al (1-)100% est dado por:

Interpretacin:Para los tres casos de estimacin de la diferencia de medias, la interpretacin sehace a partir de los signos de los lmites del intervalo:Si el intervalo es (- , -), entonces 1< 2.Si el intervalo es (- , +), entonces 1= 2.Si el intervalo es (+ , +), entonces 1> 2.

2

2

2

1

2

1/2121

n

n

XX z

21

2 p/22;1nn21 n

1n1

StXX21

2

22

1

21

/2V;121 nS

nS

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