Clases de Estadistica

CLASE 1REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS

Experimento: Un proceso mediante el cual se obtiene un resultado.

Aleatorio: no puede predecirse cual será su resultadoExperimento

Deterministico: puede predecirse cual será su resultado

Ejemplos de experimentos:1. Lanzar una moneda y observar que cae….…..……………..……….….Exp. ____________2. Extraer una canica de color blanco de una urna donde solo hay canicas blancas…….…..

………………………..……………………………….Exp. ____________3. Lanzar un dado y observar que cae .……………………………………Exp. ____________4. Realizar una votación para saber quien va a ganar……………………..Exp. ____________

La estadística solo se ocupa de los Experimentos Aleatorios.

Diagrama de árbol. Representación esquemática de los resultados posibles de un experimento.ejemploEspacio muestral (): Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.Evento. Subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo: Del experimento: Lanzar un dado de 5 caras y una moneda obtener el espacio muestral (Ω) apoyándose en un diagrama de árbol

Solución: dado moneda espacio muestral (Ω)

Ω = eventos

1

Función: para comprender el concepto de función veamos el siguiente ejemplo

Existen muchas situaciones en la práctica en las que se establece la relación entre los elementos de dos conjuntos, por ejemplo:Se les pidió a 10 alumnos de 5º semestre que escribieran su nombre y su calificación del curso de estadística I:

Conjunto 1 Conjunto 2

CeciliaMiguelJoelFranciscoVerónica Regla de Cecilia correspondenciaNorma Juan FabiolaLuís

Dominio Rango

Regla de correspondencia: una situación real o un modelo matemático que asocia los elementos de los dos conjuntos.En este caso la regla de correspondencia es: _________________________________________

Otro ejemplo: los siguientes conjuntos están relacionados por la regla de correspondencia Conjunto x Conjunto y

01234 Regla de5 correspondencia

Dominio Rango

En este caso la regla de correspondencia es un modelo matemático.A la regla de correspondencia también se le llama función.

Con los ejemplos anteriores ya podemos comprender el concepto de función.

Función: Es una regla de correspondencia en el cual todo elemento de un conjunto llamado Dominio (D) está asociado con uno y solo un elemento de otro conjunto llamado Rango (R).

2

Ejercicios:1. Determina que tipo de experimentos son los siguientes:

a) Si dejo caer un objeto que dirección toma……………________________________b) Si Juana se le declara a Pancho, que contesta Pancho..________________________c) Lanzar dos dados y observar que números caen……...________________________

2. Del experimento: Lanzar dos dados de 5 caras obtener el espacio muestral apoyándose en un diagrama de árbol

3

3. Del experimento: De una urna con tres pelotas (verde, blanca y roja) Extraigo una pelota anoto su color, la hecho a la urna y saco otra pelota, obtener el espacio muestral apoyándose en un diagrama de árbol.

4. Da un ejemplo de función indicando Dominio, Rango y regla de correspondencia.

5. Indicar si la siguiente relación de dos conjuntos es una función y porque.

Almigas Novios

Cecilia JuanVerónica PedroNorma Lorenzo

Roberto Dominio Rango

Tarea: realiza un experimento y obtén Ω por medio de un diagrama de árbol.

4

V

B R

CLASE 2VARIABLE ALEATORIA

Vimos en la clase anterior que una regla de correspondencia que asocia dos conjuntos con ciertas características también se le llama función, y ahora también la nombraremos como variable aleatoria.

Es decir los términos regla de correspondencia, función y variable aleatoria son sinónimos, de aquí en adelante utilizaremos el termino variable aleatoria que es utilizado en estadística.

Variable aleatoria (v.a.): Es una regla de correspondencia (función) en el cual todo elemento de un conjunto llamado Dominio (D) está asociado con uno y solo un elemento de otro conjunto llamado Rango (R).

Una de las características de la variable aleatoria es que el dominio esta dado por el espacio muestral () Espacio muestral Conjunto de la v.a.

Ω X

valores de x

variable aleatoria

Dominio Rango

Ejemplo: Del experimento: observar el sexo de tres hijos de una pareja cuya variable aleatoria es el número de hijos varones. Encontrar: a) Dominio b) Rango c) la formula de la v.a.Solución: Primero se encuentra el dominio, el dominio es el espacio muestral (), en este caso nos apoyamos de un diagrama de árbol. 1er hijo 2do hijo 3er hijo X

H ______ (H, H, H) 3H

M ______ (H, H, M) 2H

H ______ (H, M, H) 2M

M ______ (H, M, M) 1

H ______ (M, H, H) v.a. 2H numero de hijos

M ______ (M, H, M) varones 1M

H ______ (M, M, H) 1M

M ______ (M, M, M) 0

5

a) D = (H, H, H), (H, H, M), (H, M, H), (H, M, M), (M, H, H), (M, H, M), (M, M, H), (M, M, M)

b) R = 0, 1, 2, 3

c)

Ejercicio 1.Del experimento: lanzar tres monedas al aire cuya variable aleatoria indica el número de águilas. Encontrar: a) Dominio b) Rango c) la formula de la v.a.Solución: X

A ______ (A, A, A) 3A

S ______ (A, A, S) 2A

A ______ (A, S, A) 2S

S ______ (A, S, S) 1A ______ (S, A, A) 2

AS ______ (S, A, S) 1

SA ______ (S, S, A) 1

S S ______ (S, S, S) 0

a) D = (A, A, A), (A, A, S), (A, S, A), (A, S, S), (S, A, A), (S, A, S), (S, S, S), (S, S, A)

b) R = 0, 1, 2, 3

c)

Ejercicio 2.Del experimento: De una urna con tres pelotas (verde, blanca y roja), extraigo una pelota anoto su color, ya no la devuelvo y saco otra pelota, la v.a. es el numero de pelotas verdes.Encontrar a) Dominio b) Rango c) la formula de la v.a.

6

primera segunda Ω X extracción extracción

blanca (V, B) 1 verde roja (V, R) 1

verde (B, V) v.a. 1

blanca roja (B, R) numero de pelotas 0

verdesverde (R, V) 1

rojablanca (R, B) 0

a) D = (V, B), (V, R), (B, V), (R, B), (R, V), (B, R)

b) R = 0, 1

c)

Ejercicio 3:Del experimento: seleccionar un número, entre los dígitos del 1 al 9. y la variable aleatoria es el numero de divisores que tiene el digito seleccionado. Encontrar a) Dominio b) Rango c) la formula de la v.a.

7

V

B R

Solución: en este caso no es necesario el diagrama de árbol para obtener

X

1 1 2 2 3 2 4 3 5 v.a. 2 6 números de divisores 4 7 2 8 4 9 3

Dominio Rango

a) D = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

b) R = 1, 2, 3, 4

c)

Tarea: realiza un experimento y obtén: a) Dominio b) Rango c) la formula de la v.a.

CLASE 3FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD (F.D.P.) DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Una Función de densidad de probabilidad (f.d.p.) es simplemente una tabla de valores de las probabilidades de la variable aleatoria.

8

Calculo de la probabilidad.

ejemplo de probabilidadLa probabilidad para un evento la representamos como P (A)

La probabilidad para una variable aleatoria la representamos como P [X=x]

Ejemplo:Del experimento: De una urna con tres dulces (menta, fresa, cereza), extraigo un dulce anoto su sabor, lo devuelvo y saco otro sabor, la v.a. es el numero de sabor menta.Obtener: a) D b) R c) formula de la v.a. d) f.d.p. e) grafica

Solución: primera extracción segunda extracción Ω X

m (m, m) 2

m f (m, f) 1 c (m, c) 1

m (f, m) 1

f f (f, f) 0 c (f, c) v.a. 0

m (c, m) 1c f (c, f) 0

c (c, c) 0

a) D = (m, m), (m, f), (m, c), (f, m), (f, f), (f, c), (c, m), (c, f), (c, c)

b) R = 0, 1, 2)

c) d) Ω = 9 e) grafica

X Probabilidad de sacar dulce sabor menta P [X=x]0

La Probabilidad de sacar cero dulces de menta es:

9

m

f c

1La Probabilidad de sacar un dulce de menta es:

2La Probabilidad de sacar dos dulces de menta es

=

Ejercicio 1:Del experimento: Lanzar una moneda al aire en donde la v.a. es número de águilasObtener: a) D b) R c) formula de la v.a. d) f.d.p.

Solución: X

águila 1

sol 0

a) D = águila, sol

b) R = 0, 1)

c)

d) = 2 e) grafica X Probabilidad de caer numero de águilas P[X =x]0

La Probabilidad de caer cero águilas es:

1La Probabilidad de caer un águila es:

= 1 Ejercicio 2.Del experimento: Lanzar dos monedas al aire y la v.a. es el número de solesObtener: a) D b) R c) formula de la v.a. d) f.d.p.

Solución: primera moneda segunda moneda (Ω) X

sol (sol, sol) 2 sol águila (sol, águila) 1

sol (águila, sol) 1

10

águila águila (águila, águila) 0

a) D = (sol, sol), (sol, águila), (águila, sol), (águila, águila)

b) R = 0, 1, 2)

c)

d) = 4 e) grafica

Ejercicio 3.Del experimento: Un vendedor de autos visita tres clientes al día y les puede vender o no vender a cada uno de ellos, si la v.a. es autos vendidos:Obtener: a) D b) R c) formula de la v.a. d) f.d.p.

Solución: 1er cliente 2º cliente 3er cliente Ω X

VVV 3VVN 2VNV 2VNN 1

X Probabilidad de caer numero de soles P[X =x]0

La Probabilidad de caer cero soles es:

1La Probabilidad de caer un sol es:

2La Probabilidad de caer dos soles es:

= 1

11

NVV 2NVN 1NNV 1NNN 0

a) D = (VVV), (VVN), (VNV), (VNN), (NVV), (NVN), (NNV), (NNN)

b) R = 0, 1, 2, 3)

c)

d) Ω = 8 e) grafica

X Probabilidad de ventas de Autos P[X =x]0

La probabilidad de vender cero autos es:

1La probabilidad de vender un auto es:

2La probabilidad de vender dos autos es:

3La probabilidad de vender tres autos es:

= 1

CLASE 4ESPERANZA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Recordaras del curso de estadística I, que la media ( ) es el promedio aritmético de una serie de valores y el valor de la varianza nos sirve para obtener la desviación estándar.

Vamos a recordar estos conceptos con un ejemplo:

A 5 personas se les tomo el tiempo de atención (en minutos) en una ventanilla de un banco, los resultados fueron:8 7.5 6 9 7

Calculemos el tiempo promedio de atención:

12

El cálculo de la varianza lo obtenemos con la siguiente formula:

Finalmen

te la desviación estándar se calcula:

Todo lo anterior me indica que el tiempo promedio de atención es

7.5 + 1.118 = 8.618 min 7.5 ± 1.118 min.

7.5 – 1.118 = 6.382 min

Cuando se calcula el valor promedio de una variable aleatoria se le llama Esperanza matemática, valor esperado o simplemente Esperanza [E]

Las formulas para obtener [E], S2 y S de una f.d.p. son las siguientes:

Ejemplo:

Del experimento: Número de ventas de autos si el vendedor atiende a tres personas al día cuya v.a. es autos vendidos. Obtener: a) b) s2 c) s

Solución: Para este caso ya se obtuvo la f.d.p. (clase 3)

X P[X =x]

0 0(0.125) = 0 (0-1.5)2(0.125) = 0.281

1 1(0.375) = 0.375 (1-1.5)2(0.375) = 0.093

2 2(0.375) = 0.75 (2-1.5)2(0.375) = 0.093

13

3 3(0.125) = 0.375 (3-1.5)2(0.125) = 0.281

= 1 E [X] = =1.5 =0.748

a) E[X] = 1.5

b) s2 = 0.748

c)

La esperanza del conjunto X de la v.a. es 1.5 ± 0.86

Ejercicio 1. De la siguiente f.d.p. obtener: a) [E] b) s2 c) s

X P[X =x]

00(0.444) = 0 (0-0.666)2(0.444) = 0.196

11(0.444) = 0.444 (1-0.666)2(0.444) = 0.049

22(0.111) = 0.222 (2-0.666)2(0.111) = 0. 197

= 1 E [X] = =0.666 =0.442

a) E[X] = 0.666

b) s2 = 0. 442

14

c)


Ejercicio 2. De la siguiente f.d.p. obtener: a) [E] b) s2 c) s

X P[X =x]

0 0.5 0(0. 5) = 0 (0-0.5)2(0. 5) = 0.1251 0.5 1(0. 5) = 0. 5 (1-0.5)2(0. 5) = 0.125

E [X] = =0.5 =0.25

a) E[X] = 0.5

b) s2 = 0.25

c)


Ejercicio 3: El inspector de control de calidad obtuvo los siguientes datos al observar la fabricación de llantas.

La probabilidad de que tenga cero defectos es 0.6La probabilidad de que tenga un defecto es 0.22La probabilidad de que tenga dos defectos es 0.08La probabilidad de que tenga tres defectos es 0.05La probabilidad de que tenga cuatro defectos es 0.03La probabilidad de que tenga cinco defectos es 0.02La probabilidad de que tenga seis defectos o más es 0

Obtener: a) El valor esperado de defectos b) s2 c) s

Defectos X

P[X =x]

0 0.6 0(0. 6) = 0 (0-0.75)2(0. 6) = 0.3371 0.22 1(0. 22) = 0.22 (1-0.75)2(0. 22) = 0.0132 0.08 2(0. 08) = 0.16 (2-0.75)2(0. 08) = 0.125

X 0 1P[X =x]

0.5 0.5

15

3 0.05 3(0. 05) = 0.15 (3-0.75)2(0. 05) = 0.2534 0.03 4(0. 03) = 0.12 (4-0.75)2(0. 03) = 0.3165 0.02 5(0. 02) = 0.1 (5-0.75)2(0. 02) = 0.3616 0 6(0) = 0 (6-0.75)2(0) = 0

E [X] = =0.75 =1.405

a) E[X] = 0.75b) s2 = 1.405c)La esperanza del conjunto X de la v.a. es 0.75 ± 1.185

Tarea: De la siguiente f.d.p. obtener: a) [E] b) s2 c) s

X P[X =x]

0 P = 0.25 0(0.0.25) = 0 (0-1.4)2(0.25) = 0.491 P = 0.25 1(0.25) = 0.25 (1-1.4)2(0.25) = 0.042 P = 0.35 2(0.35) = 0.7 (2-1.4)2(0.35) = 0.1263 P = 0.15 3(0.15) = 0.45 (3-1.4)2(0.15) = 0.384

= 1 E [X] = =1.4 = 1.04

d) E[X] = 1.4

e) s2 = 1.04

f) La esperanza del conjunto X de la v.a. es 0.666 ± 0.664

CLASE 5EJERCICIOS

Ahora vamos a realizar unos ejercicios que involucre todos los conceptos que hemos visto hasta este momento.

Ejercicio 1:Del experimento: Un doctor analiza 3 personas para observar si están infectadas por un virus, estas personas pueden estar sanas (no se les da medicamento), enfermas (se les da medicamento) o en duda (se le manda a hacer unos análisis), la v.a. es el numero de personas sanas.Obtener a) dominio, b) rango, c) la formula de la v.a., d) la f.d.p., e) la grafica de la f.d.p, f) E[X], s2 y s.

Solución:

1er 2º 3er X

S (SSS) 3S E (SSE) 2

16

D (SSD) 2S (SES) 2

S E E (SEE) 1D (SED) 1S (SDS) 2

D E (SDE) 1D (SDD) 1

S (ESS) 2S E (ESE) 1

D (ESD) 1S (EES) 1

E E E (EEE) 0D (EED) 0S (EDS) 1

D E (EDE) 0D (EDD) 0

S (DSS) 2S E (DSE) 1

D (DSD) 1S (DES) 1

D E E (DEE) 0D (DED) 0S (DDS) 1

D E (DDE) 0D (DDD) 0

a) D = (SSS), (SSE), (SSD), (SES), (SEE), (SED), (SDS), (SDE), (SDD), (ESS), (ESE), (ESD), (EES), (EEE), (EED), (EDS), (EDE), (EDD), (DSS), (DSE), (DSD), (DES), (DEE), (DED), (DDS), (DDE), (DDD)b) R = 0, 1, 2,3c)

d) Ω = 27X Probabilidad de personas sanas P[X =x]0

La Probabilidad de cero personas sanas es:

1La Probabilidad de una personas sana es:

2La Probabilidad de dos personas sanas es:

17

3La Probabilidad de tres personas sanas es:

=

e) P [X=x]

x0 1 2 3

f)

X P[X =x]

0 0(0.29) = 0 (0-0.999)2(0.296) = 0.295

1 1(0.444) = 0.44 (1-0.999)2(0.444) 0.000

2 2(0.22) = 0.22 (2-0.999)2(0.222) = 0.222

3 3(0.03) = 0..09 (3-0.75)2(0.037) = 0.148

E [X] = =0.999 =0.665

d) E[X] = 0.999 s2 = 0.665 La esperanza de que haya personas sanas es 0.999 ± 0.815

Ejercicio 2. Los resultados posibles de un juego son perder o ganar. Si se practican 4 juegos y la v.a es el número de juegos ganados.Obtener a) dominio, b) rango, c) la formula de la v.a., d) la f.d.p., e) la grafica de la f.d.p, f) E[X], s2 y s.

Solución:

1er J 2º J 3er J 4º J X

P _____ (PPPP) 0

P G _____ (PPPG) 1

P P _____ (PPGP) 1

GP G _____ (PPGG) 2

P _____ (PGPP) 1

18

P G _____ (PGPG) 2

G P _____ (PGGP) 2

G

G _____ (PGGG) 3

P _____ (GPPP) 1

P G _____ (GPPG) 2

P P _____ (GPGP) 2

GG G _____ (GPGG) 3

P _____ (GGPP) 2

P G _____ (GGPG) 3

G P _____ (GGGP) 3

G

G _____ (GGGG) 4

a) D = (PPPP), (PPPG), (PPGP), (PPGG), (PGPP), (PGPG), (PGGP), (PGGG), (GPPP), (GPPG), (GPGP), (GPGG), (GGPP), (GGPG), (GGGP), (GGGG)

b) R = 0, 1, 2, 3, 4

c)

d) Ω = 16 e) grafica

19

f)

X P[X =x]

0 0(0.062) = 0 (0-1.998)2(0.062) = 0.247

1 1(0.25) = 0.25 (1-1.998)2(0.25) = 0.249

2 2(0.375) = 0.75 (2-1.998)2(0.375) = 0

3 3(0.25) = 0.75 (3-1.998)2(0.25) = 0.251

4 4(0.062) = 0.248 (4-1.998)2(0.062) = 0.248

E [X] = = 1.998 = 0.995

e) E[X] = 1.998 s2 = 0.995

La esperanza de que haya personas sanas es 1.998 0.997

CLASE 6DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Ejemplo 1. En 3 lanzamientos de una moneda, ¿cuál es la probabilidad de sacar 2 soles?Solución: como hemos venido trabajando nos apoyaremos de un diagrama de árbol.

1er L 2do L 3er L

S ______ (S, S, S) S

A ______ (S, S, A) S

S ______ (S, A, S) A

X P[X =x] Juegos ganados

0

1

2

3

4

=

20

A ______ (S, A, A)

S ______ (A, S, S)

SA ______ (A, S, A)

AS ______ (A A, S)

AA ______ (A, A, A)

Ejemplo 2. En 12 lanzamientos de una moneda, ¿cuál es la probabilidad de sacar 5 soles?Solución: ya no es muy práctico utilizar un diagrama de árbol pues nos quedaría muy extenso. En este caso utilizamos la formula de la distribución binomial:

Una distribución binomial debe satisfacer los supuestos siguientes:

1. existen n ensayos 2. cada ensayo tiene 2 posibilidades de ocurrencia, uno denominado “éxito” y otro denominado

“fracaso”3. Las posibilidades de éxito y fracaso se mantienen constantes para todos los ensayos 4. P(éxito) + P(fracaso) = 1 → P(fracaso) = 1- P(éxito) 5. Los resultados de los ensayos son independientes entre si.

Veamos si nuestro ejemplo 2 cumple los supuestos de la distribución binomial

ensayo 1 ensayo 2 ensayo3 ... ensayo 12

Lanz. 1 Lanz. 2 Lanz. 3 … Lanz. 12

P(ex) = 0.5 S eventos S

A P(éxito) = 0.5 S

S P(f) = 0.5 A

A

S

21

SA

P(fracaso) = 0.5 AS

A A

Nuestro Ejemplo 2 si cumple con los supuestos, Ahora ya lo podemos solucionar por medio de la distribución binomial

Ejemplo 2. En 12 lanzamientos de una moneda, ¿cuál es la probabilidad de sacar 5 soles?

Datos: n = 12 Podemos tomar como éxito que caigan soles o que caigan águilas, no importa cual tomemos el resultado va a ser el mismo.

Es recomendable ver la pregunta y de ahí tomar el éxito, en este caso nos piden la probabilidad de que caigan 5 soles.

éxito: numero de soles (x = 5)

P (éxito) = 0.5 P (fracaso) = 0.5

1.0 → la suma debe ser 1

Sustituyendo valores en la formula

Ejercicio 1: El ejemplo 1 lo resolvimos utilizando variable aleatoria, ahora resuélvelo utilizando distribución binomial y compara los resultados.

En 3 lanzamientos de una moneda, ¿cuál es la probabilidad de sacar 2 soles?

Datos: n = 3

éxito: numero de soles (x = 2)



22

Ejercicio 2: La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es 0.2, ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 2 carburadores defectuosos en un lote de 12?

Datos: n = 12

éxito: carburadores defectuosos (x = 2)


1.0


Ejercicio 3: Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que la probabilidad de obtener una pieza defectuosa es 0.07, hallar la probabilidad de que al examinar 11 piezas sólo haya una defectuosa.

Datos: n = 11

éxito: piezas defectuosas (x = 1)



23

Ejercicio 4: en una fabrica de juguetes el 18 % sale defectuosos, si se extrae una muestra n = 5 juguetes, cual es la probabilidad de que 3 salgan defectuosos.

Datos: n = 5

éxito: juguetes defectuosos (x = 3)

P (éxito) =

P (fracaso) = 0.82


Ejercicio 5. En una imprenta 2 de cada 100 libros salen defectuosos, si tomamos 7 libros, obtener la probabilidad de que los 3 salgan defectuosos.

a) toma como éxito: libros defectuosos b) toma como éxito: libros no defectuosos, compara los resultados.

Solución:

Datos: n = 7

a) éxito: libros defectuosos (x = 3)

P (éxito) =

P (fracaso) = 0.98


24

b) éxito: libros no defectuosos, en esta caso (x = 4) porque de los 7 libros 4 salen no defectuosos.

P (éxito) =

P (fracaso) = 0.02


Observamos que en los dos incisos el resultado es el mismo, como se esperaba

Tarea: En cierta ciudad la probabilidad de que se recupere un auto es el 70%, ¿Cuál es la probabilidad que de 10 autos notificados como robados se recuperen 3?

Datos: n = 10

éxito: juguetes defectuosos (x = 3)

P (éxito) =

P (fracaso) = 0.3


25

CLASE 7EJERCICIOS SOBRE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Ejercicio 1. Se seleccionan 5 estudiantes al azar de un grupo donde el 80 % son mujeres, calcular las siguientes probabilidades:

a) Que las cinco personas seleccionadas sean mujeresb) Que una de ellas sea mujerc) Que 2 estudiantes sean hombres = 3 mujeres

Solución:

a) n = 5 éxito: mujeres (x = 5)

P (éxito) =

P (fracaso) = 0.2


26

b) n = 5 éxito: mujeres (x = 1)

P (éxito) =

P (fracaso) = 0.2


c) n = 5 éxito: mujeres (x = 3)

P (éxito) =

P (fracaso) = 0.2


Ejercicio 2. En una familia con 4 hijos se quiere calcular las siguientes probabilidades:

a) De que tres de los hijos sean mujeresb) De que el numero de hombres sea igual al de mujeres = 2 hombres y 2 mujeresc) De que haya 3 hombres = 1 mujer

Solución:

a) n = 4 éxito: mujeres (x = 3)

Cuando no me dan probabilidad de éxito o fracaso se toma P (éxito) = 0.5 y P (fracaso) = 0.5

P (éxito) = 0.5P (fracaso) = 0.5


27

b) n = 4 éxito: mujeres (x = 2)



c) n = 4 éxito: mujeres (x = 1)



Ejercicio 3. Una empresa fabrica mesas de billar, 10 de cada 50 mesas salen defectuosas, encuentre la probabilidad de que en una muestra de 9 mesas:

a) Haya una mesa defectuosab) 3 mesas sean defectuosas c) 5 salgan no defectuosas = 4 defectuosas

Solución:

a) n = 9 éxito: mesas defectuosas (x = 1)

P (éxito) =

P (fracaso) = 0.8


28

b) n = 9 éxito: mesas defectuosas (x = 3)

P (éxito) =

P (fracaso) = 0.8


c) n = 9 éxito: mesas defectuosas (x = 4)

P (éxito) =

P (fracaso) = 0.8


Ejercicio 4. El 12 % de los que hacen reservaciones para un vuelo en avioneta no llegan a tiempo para abordarla. Dicha avioneta tiene capacidad para 8 personas.

a) Obtener la probabilidad de que las 8 personas que hicieron reservaciones aborden la avioneta.

b) Si en un vuelo solamente hacen reservaciones 7 personas, ¿Cuál es la probabilidad de que esas 7 personas aborden el avión?

Solución:

a) n = 8 éxito: personas que no aborden la avioneta (x = 0)

P (éxito) =

P (fracaso) = 0.88


b) n = 7 éxito: personas que no aborden la avioneta (x = 0)

29

P (éxito) =

P (fracaso) = 0.88


Tarea: Si un vendedor atiende a tres clientes al día, obtener la probabilidad:a) De que no venda ningún autob) De que venda un auto.c) De que venda 2 autos.d) De que venda 3 autos. y comparar los resultados con el ejercicio 3 de la Clase 4(Anotar el procedimiento, no solo el resultado)X

(AutosVendidos)

P[X =x](resultado

obtenido por v.a.)

P(X)(resultado obtenido por distribución binomial)

0

1 Llenar tabla

2

3

CLASE 8FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDADES (F.D.P.), GRAFICA, MEDIA Y

DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S) DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Ejemplo: En cierta colonia 3 de cada 10 personas tiene estudios superiores a preparatoria. Si se toma una muestra aleatoria de 9 personas, obtener:

a) Función de densidad de probabilidades (f.d.p.) de personas con estudios superiores a preparatoria

b) Grafica.c) Mediad) Desviación estándar (s)

Solución:a) n = 9, Éxito: personas con estudios superiores a preparatoria (x = )

P(éxito) = P(fracaso) = 0.7

(f.d.p.) personas con estudios superiores a preparatoriaX P(X)

0

1 0.155

30

20.266

30.266

40.171

50.073

60.021

70.003

80.0004

90.0004

b)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c) = n* P(éxito) = 9 * 0.3 = 2.7

d) Promedio de encontrar personas con estudios superiores es 2.7 1.37 personas

31

El siguiente ejercicio y la tarea se empezaron a ver en la clase 7, donde ya se obtuvieron unos resultados.

Ejercicio 1: Una empresa fabrica mesas de billar, 10 de cada 50 mesas salen defectuosas, encuentre la probabilidad de que en una muestra de 9 mesas:

a) Función de densidad de probabilidades (f.d.p.) de mesas defectuosasb) Grafica.c) Media d) Desviación estándar (s)

Solución:a) n = 9, Éxito: mesas defectuosas (x = )P(éxito) = 0.2 P(fracaso) = 0.8

(f.d.p.) mesas defectuosasX P(X)

0

10.301

20.301

32

30.176

40.066

50.0165

60.002

70.00029

80.000018

90.0000005

b)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

c) = n* P(éxito) = 9 * 0.2 = 1.8

d)

Promedio de encontrar mesas defectuosas es 1.8 1.2 mesas.

33

ejercicio 2

Tarea: Se seleccionan 5 estudiantes al azar de un grupo donde el 80 % son mujeres, obtener:a) Función de densidad de probabilidades (f.d.p.) de mujeresb) Grafica. c) Media d) Desviación estándar (s)

Solución:a) n = 5, Éxito: mujeres (x = ) P(éxito) = 0.8 P(fracaso) = 0.2

b)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0 1 2 3 4 5

c) = n* P(éxito) = 5 * 0.8 = 4 d)

CLASE 9DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Cuando el numero de ensayos (n) es mayor a 25 se utiliza se utiliza la distribución de Poisson

Ejemplo 1: Una escuela tiene 2000 estudiantes. Se sabe que cada 3 de 1000 alumnos tienen gusto por las matemáticas. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar en esa escuela 4 estudiantes que tengan gusto por las matemáticas?

Solución: n = 2000 Éxito: alumnos que tienen gusto por las matemáticas (x = 4),

P (éxito) = = 2000*0.003 = 6

Ejercicio 1: Supóngase que 1 niño de cada 1000 que vive en cierta colonia, al crecer se vuelve delincuente. Si hay 4000 niños en esa colonia.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de ellos se vuelvan delincuentes?

(f.d.p.) que sean mujeres X P(X)0 0.000321 0.00642 0.05123 0.2044 0.40965 0.327desarrollar

34

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 de ellos se vuelvan delincuentes?

Solución:a) n = 4000 Éxito: niños que se vuelven delincuentes (x = 5),

P (éxito) = = 4000*0.001 = 4

b) n = 4000 Éxito: niños que se vuelven delincuentes (x = 10),

P (éxito) = = 4000*0.001 = 4

Ejercicio 2: El 2 % de las llantas producidas por una fabrica son defectuosas, ¿Cuál es la probabilidad de que en 200 llantasa) 7 se encuentren con defecto?b) 10 se encuentren con defecto?

Solución:a) n = 200 Éxito: llantas defectuosas (x = 7),

P (éxito) = = 200*0.02 = 4

b) n = 200 Éxito: llantas defectuosas (x = 10),

P (éxito) = = 200*0.02 = 4

Ejercicio 3: En una fábrica de tornillos la probabilidad de encontrar tornillos defectuosos es de 0.005, si se toma una muestra de 300 tornillosa) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 5 tornillos defectuosos?b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 10 tornillos defectuosos?

35

Solución:a) n = 300 Éxito: tornillos defectuosos (x = 5),

P (éxito) = 0.005 = 300*0.005 = 1.5

b) n = 300 Éxito: tornillos defectuosos (x = 10),

P (éxito) = 0.005 = 300*0.005 = 1.5

Ejercicio 4: En una imprenta 3 de cada 1000 libros salen con algún defecto, si se toma una muestra de 150 libros:

a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 1 libros defectuosos?b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 5 libros defectuosos?

Solución:

a) n = 150 Éxito: libros defectuosos (x = 1),

P (éxito) = = 150*0.003 = 0.45

b) n = 150 Éxito: libros defectuosos (x = 5),

P (éxito) = = 150*0.003 = 0.45

36

Tarea: Una fabrica produce alfileres con 2.5 % de defectuosos. Si se toma una muestra de 200 alfileres ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 4 defectuosos?

Solución:

a) n = 200 Éxito: libros defectuosos (x = 4),

P (éxito) = = 200*0.025 = 5

CLASE 10DISTRIBUCIÓN NORMAL

Vamos a recordar del curso de estadística I la definición de variable (no confundir con lo que vimos en este curso de variable aleatoria.)

variable: la característica que nos interesa de cada elemento de la población.

Por ejemplo si tenemos la población estudiantes del CCH ¿Qué características nos pueden interesar? - La edad, el peso, materias aprobadas, materias reprobadas, la estatura, semestres cursados,

numero de extraordinarios, etc. a todas estas características también se les llama variables.

discretas: aquellas que toman valores enteros, pueden contarse. variables ejemplo:

continuas: aquellas que toman un valor en cierto intervalo, pueden medirse.ejemplo:

intervaloHasta ahora hemos calculado probabilidades para variables discretas, por ejemplo:

- probabilidad de sacar 3 pelotas verdes - probabilidad de vender 2 autos - probabilidad de que caiga 2 soles, etc. y para ello hemos utilizado: variable aleatoria, distribución binomial y distribución de Poisson.

Ahora para el cálculo de probabilidades de variables continuas utilizaremos la distribución normal.

37

Fue el matemático alemán Kart Gauss (1777-1855) quien presento las leyes fundamentales de la distribución normal de probabilidad también conocida como distribución gausiana y su curva como campana normal, campana de Gauss o curva normal.

Características de la campana de Gauss- Es simétrica en forma de campana.- La media la mediana y la moda tienen el mismo valor, ubicado en el centro de la figura.- Teóricamente, la curva se extiende hasta el infinito en ambas direcciones, sin tocar nunca el eje

horizontal. - El área bajo la curva es 1

- La funcion esta dada por: donde: (mu) es la media, (sigma) es la desviación estándar, 2 es la varianza.

en la campana de Gauss = 0 y = 1

Área total = 1

Área = 0.5 Área = 0.5

z

LA PROBABILIDAD DE QUE UNA VARIABLE TENGA UN VALOR ENTRE DOS PUNTOS CUALESQUIERA ES IGUAL AL AREA BAJO LA CURVA NORMAL ENTRE ESOS DOS PUNTOS.DICHO DE OTRA MANERA LA PROBABILIDAD ES EL AREA BAJO LA CURVA

Ejemplo: P(-2.3 a 3.1) = Area bajo la curva de (-2.3 a 3.1)

-2.3 3.1 z

Para obtener las áreas nos apoyaremos de la tabla del Área bajo la curva de la distribución normal estandarizada. (Tabla en Pág. 42)

Las áreas obtenidas en las tablas son del origen al valor z, por ejemplo si quiero obtener un valor en la tabla el área es la parte sombreada de la curva.

38

El área siempre es positiva.

0 z

Ejemplo: Determinar el área bajo la curva normala) de z = 0.47b) a la derecha de z = 0.47c) a la derecha de z = -1.13d) entre z = 0.54 y z = 1.91

Solución:a) buscamos en las filas y encontramos el 0.4 después nos vamos a las columnas y encontramos 0.07 porque 0.4 + 0.07 = 0.47 que es el numero buscado, en la intersección de la fila y la columna esta el valor de 0.1808.para z = 0.47 → A = 0.1808

b) como ya tenemos el valor para z = 0.47 → A = 0.1808el área de la derecha es 0.5-0.1808 = 0.3192

c)

39

d)

Ejercicios: Determinar el área bajo la curva normala) de z = 2.56

A = 0.4947

b) a la izquierda de z = 0.37

A = 0.5 + 0.1443 = 0.6443

c) a la derecha de z = -2

A = 0.5 + 0.4772 = 0.9772

d) entre z = -3 y z = 1

A = 0.4986 + 0.3413 = 0.8399

e) entre z = -2.45 y z = 2.45

A = 0.4928 +0.4928 = 0.9856

f) a la derecha de 4

A = 0.5 – 0.4999 = 0.0001

g) entre z = -2.51y z = -1.75

40

A = 0.4939 – 0.4599 = 0.034

h) a la derecha de 0

A = 0.5

i) de z = -4 a z = 4 Tarea: Determinar el área bajo la curva normala) de z = 3.6

A = 0.4999 + 0.4999 = 0.9998 b) a la izquierda de z = 0.5c) a la derecha de z = 3.6d) entre z = -0.5 y z = -1

j) de z = 1.53 a z = 2.53

A = 0.4943 – 0.4369 = 0.0574Área bajo la curva de la distribución normal estandarizada

z

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 0.0000 0.0039 0.0079 0.0119 0.0159 0.0199 0.0239 0.0279 0.0318 0.0358

0.1 0.0398 0.0438 0.0477 0.0517 0.0556 0.0596 0.0635 0.0674 0.0714 0.0753

0.2 0.0792 0.0831 0.0870 0.0909 0.0948 0.0987 0.1025 0.1064 0.1102 0.1140

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1330 0.1368 0.1405 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1627 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1843 0.1879

0.5 0.1914 0.1949 0.1984 0.2019 0.2054 0.2088 0.2122 0.2156 0.2190 0.2224

0.6 0.2257 0.2290 0.2323 0.2356 0.2389 0.2421 0.2453 0.2485 0.2517 0.2549

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2703 0.2733 0.2763 0.2793 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2938 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3105 0.3132

0.9 0.3159 0.3185 0.3212 0.3238 0.3263 0.3289 0.3314 0.3339 0.3364 0.3389

1.0 0.3413 0.3437 0.3461 0.3484 0.3508 0.3531 0.3554 0.3576 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3707 0.3728 0.3749 0.3769 0.3790 0.3810 0.3829

1.2 0.3849 0.3868 0.3887 0.3906 0.3925 0.3943 0.3961 0.3979 0.3997 0.4014

1.3 0.4032 0.4049 0.4065 0.4082 0.4098 0.4114 0.4130 0.4146 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4250 0.4264 0.4278 0.4292 0.4305 0.4318

1.5 0.4331 0.4344 0.4357 0.4369 0.4382 0.4394 0.4406 0.4417 0.4429 0.4440

1.6 0.4452 0.4463 0.4473 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4544

1.7 0.4554 0.4563 0.4572 0.4581 0.4590 0.4599 0.4608 0.4616 0.4624 0.4632

1.8 0.4640 0.4648 0.4656 0.4663 0.4671 0.4678 0.4685 0.4692 0.4699 0.4706

1.9 0.4712 0.4719 0.4725 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4755 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4777 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4807 0.4812 0.4816

2.1 0.4821 0.4825 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4853 0.4857

2.2 0.4861 0.4864 0.4867 0.4871 0.4874 0.4877 0.4880 0.4884 0.4887 0.4889

2.3 0.4892 0.4895 0.4898 0.4901 0.4903 0.4906 0.4908 0.4911 0.4913 0.4915

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4924 0.4926 0.4928 0.4930 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4937 0.4939 0.4941 0.4943 0.4944 0.4946 0.4947 0.4949 0.4950 0.4952

2.6 0.4953 0.4954 0.4956 0.4957 0.4958 0.4959 0.4960 0.4962 0.4963 0.4964

41

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.49690.4970

0.4971 0.4972 0.4972 0.4973

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4976 0.4977 0.4978 0.4978 0.4979 0.4980 0.4980

2.9 0.4981 0.4981 0.4982 0.4983 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986

3.0 0.4986 0.4986 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4990

3.1 0.4990 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992

3.2 0.4993 0.4993 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995

3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996

3.4 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997

3.5 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

3.6 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

3.7 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3.8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3.9 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

4.0 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

CLASE 11DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA

Vimos en la clase anterior que la distribución normal se utiliza cuando = 0 (media) y = 1(desviación estándar) checar

Cuando y son diferentes a esos valores la distribución normal se estandariza a los nuevos valores.

Para estandarizar la variable se utiliza la siguiente formula:

donde X es el valor a estandarizar

Ejemplo: En la compañía VW se encuentran laborando un total de 700 obreros calificados, por lo que el dueño de dicha compañía, mando a hacer un estudio estadístico para ajuste de salarios. Del estudio se obtuvieron los siguientes datos: el ingreso mensual promedio (la media) de los 700 obreros es de $2500 y la desviación estándar es de $100, la población de obreros se distribuye normalmente.Si se selecciona un obrero al azar ¿Cuál es la probabilidad de que gane:a) $2600 o más.b) menos de $2300c) entre $2400 y $2700.

Solución: = 2500 y = 100

a) Para X = 2600 →

para z = 1 → A= 0.34130 $2600

A total = 0.5- 0.3413 = 0.1587

P($2600 o mas) = 0.1587 z

42

0 1 z

b) Para X = 2300 →

z = -2 → A= 0.4772 0 $2300A total = 0.5 - 0.4772 = 0.0228

P(menos de $2300) = 0.0228

-2 0 z

c) para X = 2400 → , para X = 2700 →

para z = -1 → A= 0.3413

para z = 2 → A= 0.4772

A total = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185 $2400 $2700

P(entre $2400 y $2700) = 0.8185

-1 2

Ejercicio: Con 800 estudiantes se hizo un estudio de “el tiempo que tardan los estudiantes en ir de su casa a la escuela”, se observo que el comportamiento es el de una distribución normal, de los datos se obtuvo el tiempo promedio de 25.21 minutos con una desviación estándar de 9.25 minutos. Si se selecciona un estudiante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que tarde:a) menos de 12.5 min.b) entre 12.5 y 35 min.c) menos de 22.1 min.d) mas de 40 min.e) menos de 40 min.f) entre 25.21 y 35 min

Solución:

a) Para X = 12.5 →

z = 1.37 → A= 0.4146

A total = 0.5 - 0.4146 = 0.0854

43

P(menos de 12.5 min) = 0.0854

b) para X = 12.5 → , para X = 35 →

para z = -1.37 → A= 0.4146

para z = 1.05 → A= 0.3531

A total = 0..4146 + 0.3531 = 0.7677

P(entre 12.5 y 35 min) = 0.7677

c) Para X = 22.1 →

z = 0.33 → A= 0.1293

A total = 0.5 - 0.1293 = 0.3707

P(menos de 22.1 min) = 0.3707

d) Para X = 40 →

z = 1.59 → A= 0.444

A total = 0.5 - 444 = 0.056

P(mas de 40 min) = 0.056

e) Para X = 40 → 1.59

z = 1.59 → A= 0.444

A total = 0.5 + 444 = 0.944

P(menos de 40 min) = 0.944

44

f) para X = 25.21 → para X = 35 → Z = 1.05

para z = 1.05 → A= 0.3531

A total = 0.3531

P(entre 25.21 y 35 min) = 0.3531

CLASE 12ESTADÍSTICA INFERENCIAL

El proceso estadístico

Recolección de datos Representación de datos

Tablas Graficas

E.D. E..I.

Estadística descriptiva: incluye la recolección y representación de datos muéstrales. Estadística

Estadística inferencial: interpretación de los valores resultantes y determinar que se va a hacer al respecto.

- media- Medidas de tendencia central - mediana

Medidas descriptivas (me dan información sobre los valores medios) - moda

- Medidas de dispersión - rango(me dan information de como se distribuye - varianza el resto de los valores) - desviación

estándar

A B- -- -

45

Las medidas mas usuales son la media y la desviación estándar

media ± desviación estándar

± (Población) ± s (Muestra)

Recolección de Datos

Población Variable Dato

edad 15 añosestatura 1.65 mmat. reprob. 3carrera matemático

Muestra sexo F

Población: Una población es un conjunto de elementos (personas, objetos, animales, etc.) sometidos a un estudio estadístico.

nota: no confundir población con un pueblo o una ciudad.

Ejemplo: - El total de viviendas en el D.F.- Todos los alumnos del turno vespertino del CCH vallejo- Los árboles del bosque de Chapultepec.

Muestra: Es una parte de la población.

Hay ocasiones en que se estudia solo una muestra de la población porque cuesta menos y lleva menos tiempo.Por ejemplo: para obtener la estatura promedio de los chinos se toma una muestra de toda la población (1, 330, 044, 604 habitantes)

Hay ocasiones en que no se puede tomar una muestra por que en el estudio estadístico son necesarios todos los datos de la población.Por ejemplo: se requiere conocer el nombre, la edad y el sexo de todos los habitantes del D.F., en este caso se tomara toda la Población, no existe la muestra.

Variable: Las características que nos interesan de cada elemento.

46

Ejemplo: ¿Qué característica nos puede interesar de la población: Todos los habitantes de la colonia “Los Ángeles”?

Dato: Valor de la variable (numero, palabra o símbolo)

Representación de datos

En el curso de Estadística 1 se han representado los datos en tablas y graficas, en parte de este curso se han presentado los datos en f,d,p. y sus gráficos

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Distribución uniforme Distribuciones normal Distribución sesgada.

(f.d.p.) personas con estudios superiores a preparatoria

X P(X)

0

1 0.1552 0.2663 0.2664 0.1715 0.0736 0.0217 0.0038 0.00049 0.0004

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Interpretación de los valores y tomas de desiciones (Estadística inferencial)

En esta última parte del curso estudiaremos lo que es la estadística inferencial cuyos temas son los siguientes: Teorema del límite central, estimación y prueba de hipótesis.

Ejercicio 1: Vamos a realizar un proceso estadístico en el salón de clases. Tipo de música que le gusta a los alumnos del grupo ET 06

a) RECOLECCIÓN DE DATOS, vas a preguntarle a 15 alumnos su nombre y que tipo de música les gusta.

b) REPRESENTACIÓN DE DATOS (grafica de barras)

Cantidad de alumnos

Tipo de música

48

c) INTERPRETACIÓN DE LOS VALORES Y TOMA DE DESICIONES.si fueras gerente de una tienda de música para que te servirían esos datos y que desiciones tomarías.

Ejercicio 2: La siguiente tabla se obtuvo de datos de la ONU

Continente AmericanoPaís Numero de habitantes

México 109,955,400Canadá 33,212,696

Estados Unidos 303,824,646Encontrar:

a) La población _____________________________________________________

b) La muestra _______________________________________________________

c) La variable _______________________________________________________

d) Datos____________________________________________________________

e) La media ___148997580.7___________________________________________

f) La desviación estándar (solo sustituir los valores en la formula)______________

poner

g) Una grafica de barras (país contra población)

49

Tarea: Ejemplo: Del grupo 312 de la secundaria “137”, se tomaron 5 estudiantes para un estudio estadístico, los resultados fueron los siguientes:

Nombre sexo Asignaturas aprobadas

Asignaturas reprobadas

Calificación final

Juan M 15 5 8Pedro M 20 0 9Ana F 18 2 7.5

Pablo M 20 0 8.5Lorena F 19 1 6.5

Encontrar:a) La población _____________________________________________________

b) La muestra _______________________________________________________

c) Menciona dos variable ______________________________________________

d) encierra en un circulo los datos________________________________________

e) La media (promedio) de las calificaciones finales__________________________

f) La desviación estándar de las calificaciones finales_________________________

poner

g) Una grafica de barras de alumnos y las calificaciones finales.

50

CLASE 13TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Hemos visto que la distribución normal es de gran utilidad para el cálculo de probabilidades.

En esta clase vamos a demostrar El teorema del límite central que nos dice:A medida que aumenta el tamaño de la muestra (n), la distribución de muestreo de las medias de las muestras se acerca a una distribución normal.

Para comenzar esta demostración selecciona 4 números del 0 al 9 y colócalos en la siguiente tabla:

Alumno números (media) Alumno números (media)1 262 273 284 295 306 317 328 339 3410 3511 3612 3713 3814 3915 4016 4117 4218 4319 4420 4521 4622 4723 4824 4925 50

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Grafica Grafica

¿Qué tipo de distribución tiene la grafica de los números?__________________________________

¿Qué tipo de distribución tiene la grafica de las medias?____________________________________

¿Qué puedes concluir?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

50 mediasnumero frecuencia

0123456789

200 númerosnumero frecuencia

0123456789

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Se trata de un fenómeno en verdad fascinante y sugerente de la estadística, que al tomar muestras de cualquier distribución podemos crear una distribución que sea normal o aproximadamente a la normal.

Esto lo haremos para cuando n ≥ 30, con la siguiente formula para obtener z

pregunta enunciado

En la clase 11 ya se trabajo con la distribución normal, en los enunciados de los problemas se nos decía que la población se distribuía normalmente, en el siguiente ejemplo no nos mencionan como se distribuye la población, pero como n ≥ 30 utilizaremos la formula anterior y así poder utilizar la distribución normal.

Ejemplo: Al llenar de aire las llantas de un vehiculo usualmente se da una presión de 28 libras en promedio, con una desviación estándar de 1.5 libras. Si se llenan las llantas de 8 vehículos (32 llantas) ¿Qué probabilidad hay de que se observe una presión promedio de mas de 28.5 libras?

Solución: Datos: n = 32, = 28, = 1.5, =28.5

1.88 zpara z = 1.88 → A = 0.4699

A total = 0.5 – 0.4699 = 0.0301

P(mas de 28.5 libras) = 0.0301

Ejercicio 1: El tiempo promedio que hay que esperar en una cafetería para recibir la orden es de 12 minutos, con una desviación estándar de 3 minutos. Si en un día llegan a la cafetería 150 clientes, ¿qué probabilidad hay de que en ese día el promedio de espera sea más de 11.3 minutos?

Solución: Datos: n = 150, = 12, = 3, = 11.3

53

para z = 2.85 → A = 0.4978

A total = 0.5 + 0.4978 = 0.9978 -2.85 0 z

P(mas de 11.3 minutos) = 0.9978

Ejercicio 2: La calificación promedio de los alumnos en estadística II es de 7 con una desviación estándar de 2, si en un curso se inscriben 47 alumnos ¿Qué probabilidad hay que logren una calificación promedio entre 6 y 8?

Solución: Datos: n = 47, = 7, = 2, = 8 y = 9

Para x = 6

Para x = 8

para z = 3.43 → A = 0.4997

A total = 0.4997 + 0.4997 = 0.9994 P(logren entre 6 y 8) = 0.9994 -3.43 0 3.43 z

Tarea: Un jugador de base-ball le dará la máxima distancia a un batazo si logra conectar la bola a un ángulo de 45°. De las videocintas de sus prácticas de bateo ha podido calcular los distintos ángulos de sus batazos, siendo en promedio de 42.5° con una desviación estándar de 6°. ¿Qué probabilidad hay de que en los Siguientes 50 batazos su ángulo promedio de bateo sea deentre 43° y 44°?

Solución: Datos: n = 50, = 42.5, = 6

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para x = 43 →

para x = 44 →

0 0.58 1.76 zpara z = 1.76 → A = 0.4608

A total = 0.4608 – 0.2190 = 0.2418 P(entre 43° y 44°) = 0.2418

CLASE 14ESTIMACION (I)

Hemos visto que el tercer paso de un estudio estadístico es la interpretación de los valores y toma de desiciones o también conocido como estadística inferencial.

puntual Estimación

La estadística inferencial por intervalos Prueba de hipótesis.

Una estimación puede considerarse como una suposición, es decir en base a una muestra puedo estimar o suponer los resultados, así funciona la estadística inferencial.

Por ejemplo:

a) Cuando nos ofrecen un pedazo de pastel para saber si ésta sabroso o desagradable.

b) Seleccionar una estación de radio durante unos cuantos segundos para determinar si vale la pena seguir escuchándola.

c) Estar observando la televisión por algunos momentos para estimar si me gusta el programa.

d) Platicar un tiempo con una persona para ver si su plática es agradable.

e) En una fabrica de tela inspeccionar algunos rollos, para ver si están buenos o tienen alguna falla y a partir de está muestra determinar que la producción de ese día esta en buenas condiciones o habrá que revisar la maquinaría o al personal que la produjo.

Estimación puntual y por intervalos

55

Para una mejor comprensión, analicemos un ejemplo práctico de la vida cotidiana:A un joven se le pregunta a que hora ve o hace cita con su pareja, para estar juntos como novios, el joven nos puede indicar que a las 6:00 p.m. (puede ser cualquier hora).Para este caso estimamos o suponemos que ambos van a llegar a su cita a las 6:00 p.m., esto quiere decir que sería un "estimador puntual" ya que los dos jóvenes se verían a esa hora.

= 6 p.m.Pero sin embargo en la práctica, sería conveniente preguntarle cuanto tiempo estarían en el lugar de su cita antes de retirarse, normalmente pueden indicar 15 minutos (otros pueden indicar 20, 30 minutos y otros muy cariñosos pueden indicar que hasta un intervalo de tiempo de 1 hora ó mas); es decir que el tiempo de espera para ver a su novia será entre las 5:45 p.m. y las 6:15 p.m. A esta predicción de espera se le llama "estimador por intervalo" o “intervalo de confianza”

limite inferior 5:45 = 6 p.m. 6:15 limite superior

Intervalo de confianza

Calculo de intervalos de confianza limites =

Ejemplo: En un estudio realizado a 81 personas en un centro comercial, las familias que acuden a surtir su despensa en períodos de quincena gastan en promedio $1,400.00 con una desviación estándar de $600.00. El gerente de esa tienda desea estimar los intervalos de confianza del 99% para cuando acuden a ese centro comercial los clientes.

Solución:n = 81 = 1 ,400 = 600

Confianza del estudio = 99 % = 99/100 = 0.99 → es el área bajo la curva para calcular los limites del área de cada lado de la curva 0.99 / 2 = 0.495

56

de tablas para A = 0.495 → z = 2.58

-2.58 2.58 z

1228.01 1400 1571.99 PesosEjercicio 1. La media de tiempo de espera en un banco en períodos de quincena es de 12 minutos con una desviación estándar de 3 minutos para un estudio de una muestra de 36 personas. Obtenga los intervalos de confianza para el 95% para cuando una persona acude a dicho banco en periodos de quincena.

Solución:n = 36 = 12 = 3 Confianza del estudio = 95 % = 95/100 = 0.95 → es el área bajo la curva para calcular los limites del área de cada lado de la curva 0.95 / 2 = 0.475 de tablas para A = 0.475 → z = 1.96

11.02 12 12.98 minutosEjercicio 2: Un investigador sociológico en abril de 2003 realizo un estudio sobre una muestra de 60 jóvenes respecto a lo que gastan cuando van al cine y encontró que hay un promedio de $162.50 pesos y una desviación estándar de $7.5, Se desea calcular un intervalo de confianza del 99% con objeto de evaluar la fluctuación de lo que gastan los jóvenes en la actualidad en acudir a un cine.

Solución:n = 60 = 162.5 = 7.5Confianza del estudio = 99 % = 99/100 = 0.99 → es el área bajo la curva para calcular los limites del área de cada lado de la curva 0.99/ 2 = 0.495 de tablas para A = 0.495 → z = 2.58

57

160 162.5 165 pesos

Tarea: A un estudiante de Bachillerato se le dejo que resolviera un problema respecto a intervalos de confianza, por lo que acudió a la tienda que esta cerca de su casa y registro de 120 personas que compraron refrescos de 2 lts. en esa tienda. Con esos datos realizo los cálculos estadísticos, encontrando que el promedio fue de 6.3 refresco de dos litros (sin importar el sabor del mismo), con una desviación estándar de 1.45 refrescos. Por lo cual se desea estimar el intervalo de confianza del 95% para el promedio de refrescos de dos litros que venden en esa tienda.

Solución:n = 120 = 6.3 = 1.45

Confianza del estudio = 95 % = 95/100 = 0.95 → es el área bajo la curva para calcular los limites del área de cada lado de la curva 0.95/ 2 = 0.475

de tablas para A = 0.475 → z = 1.96

6.04 6.3 6.55 refrescos

58

CLASE 15ESTIMACION (II)

En esta clase vamos a seguir calculando intervalos de confianza.

Hay problemas en donde no se da la y , se nos da un porcentaje, para estas ocasiones los limites los vamos a calcular con la siguiente formula:

limites =

Ejemplo : En un estudio realizado en cierto colegio una empresa tabacalera realizo una encuesta a 400 estudiantes sobre el hábito de fumar y encontró que el 80% de los jóvenes fuman sin importar la marca. Ahora la compañía quiere conocer la estimación puntual y los limites del intervalo de confianza, la confianza del estudio es del 90%. Solución:

n = 400Éxito: jóvenes fumadores → P (éxito) = 80/100 = 0.8Fracaso: jóvenes no fumadores → P (fracaso) = 0.2

Confianza del estudio = 90 % = 90/100 = 0.9 → es el área bajo la curva para calcular los limites del área de cada lado de la curva 0.9 / 2 = 0.45 de tablas para A = 0.45 → z = 1.65

limites =

Como los datos de jóvenes fumadores están dados en porcentajes para obtener los limites reales se multiplican los porcentajes por n

59

jóvenes fumadores0.767(400)=306.8 0.8(400)=320 0.833(400)=333.2

Ejercicio 1. Una cadena de televisión en su noticiero de la noche realizó una pregunta sobre si "usted se siente seguro cuando sale a la calle" y al final del noticiero se encontró que habían llamado 4325 personas e indicaron que el 85% opinaba que "no" y el 15% que "si". Por lo cual ahora se solicita al estudiante que calcule la estimación puntual y los limites del intervalo de confianza para cuando uno sale a la calle y no se siente seguro, la confianza del estudio es del 95%.

Solución:

n = 4325Éxito: gente que no se siente segura → P (éxito) = 85/100 = 0.85Fracaso: gente que se siente segura → P (fracaso) = 0.15



personas que no se sienten seguras 0.8394(4325)=3630.4 0.85(4325)=3676 0.8606(4325)=3722

60

Ejercicio 2. El encargado de ventas de automóviles de una empresa , realizo una investigación a 80 personas que atendió durante un mes, encontrando que 30 de ellos si habían comprado autos nuevos. Encuentre la estimación puntual y los limites del intervalo de confianza de las personas que si compraran automóviles de agencia si la confianza del estudio es del 90%.Solución:

n = 80Éxito: personas que si compran autos nuevos → P (éxito) = 30/80 = 0.375Fracaso: personas que no compran autos nuevos → P (fracaso) = 70/80 = 0.625



personas que si compran autos 0.286(80)=22.88 0.375(80)=30 0.464(80)=37.12

61

Ejercicio 3. Se realizo un estudio sobre la deserción escolar de las mujeres respecto al embarazo y se encontró que de 100 mujeres, 8 de ellas abandonaron sus estudios por ser madres solteras. Calcular la estimación puntual y los limites del intervalo de confianza de mujeres que han dejado sus estudios por haberse embarazado, la confianza del estudio es del 94%.

Solución:

n = 100Éxito: mujeres embarazadas → P (éxito) = 8/100 = 0.08Fracaso: mujeres no embarazadas → P (fracaso) = 92/100 = 0.92



mujeres embarazadas 0.029(100)=2.9 0.08(100)=8 0.131(100)=13.1

62

Tarea: Para el ejercicio 3 calcule cuando la confianza del estudio es del 99% y compare los resultados, ¿Qué concluye?

Solución:

n = 100Éxito: mujeres embarazadas → P (éxito) = 8/100 = 0.08Fracaso: mujeres no embarazadas → P (fracaso) = 92/100 = 0.92

Confianza del estudio = 99 % = 99/100 = 0.99 → es el área bajo la curva para calcular los limites del área de cada lado de la curva 0.99 / 2 = 0.495 de tablas para A = 0.495→ z = 2.58


mujeres embarazadas 0.011(100)=1.1 0.08(100)=8 0.149(100)=14.9

63

CLASE 16PRUEBA DE HIPÓTESIS

Comencemos recordando la división de la estadística inferencial: puntual

Estimación La estadística inferencial por intervalos

Prueba de hipótesis.

en las dos clases anteriores vimos el tema de estimación, en esta clase empezaremos a ver lo que es la Prueba de hipótesis.

Una hipótesis es una suposición.

La prueba de hipótesis consiste en probar que tan cierta o falsa es una suposición, por ejemplo:

a) Me han recomendado un profesor de estadística, tengo la hipótesis o suposición que con el voy a aprobar el curso.¿Cómo voy a probar esta hipótesis?_____________________________________________________

b) Unos amigos me han dicho de un trabajo de medio tiempo que es agradable y pagan bien.¿Cómo voy a probar esta hipótesis?_____________________________________________________

c) A mi me agrada la historia y me gustaría estudiar esa carrera.¿Cómo voy a probar esta hipótesis?_____________________________________________________

Existen dos tipos de hipótesis: hipótesis nula (Ho) → suposición inicial (nula no significa que valga cero, solo es su nombre) hipótesis alternativa (Ha)→ suposición opuesta a la suposición inicial

Procedimiento para identificar el tipo de hipótesis a plantear en la solución de problemas.

Palabra clave en el enunciado hipótesis Intervalo de desición

64

-Mayor que (superior a) >

-menor que(inferior a) <

-Mayor o igual a (al menos)

-menor o igual a (a lo mas)

Ho: = Ha: >

Ho: = Ha: <

Ho: ≥ Ha: <

Ho: Ha: >

Región de aceptación Región de rechazo

z

z

z

z

Ejemplo: De las siguientes hipótesis encontrar la palabra clave y su intervalo de decisión.

a) la edad promedio de los estudiantes inscritos a nivel bachillerato es superior a 16 años.palabra clave: es superior a

zb) La temperatura promedio en cualquier día soleado en Acapulco es al menos de 23°palabra clave: al menos

zc) La distancia media entre un hogar en la colonia Guadalupe Tepeyac y la estación de bomberos es menor de 6.5 Km.palabra clave: es menor que

z

d) El nivel medio de monóxido de carbono de contaminación ambiental en la Cd de México es a lo mas 4.9 puntos.palabra clave: a lo mas

z

Ejemplo: Una compañía constructora hizo un pedido de varillas, según las normas de construcción las varillas debe ser mayor o igual a 3 cm. de diámetro. El encargado de la obra toma 50 varillas y encuentra un diámetro promedio de 2.98 cm. con una desviación estándar de 0.15 cm. Si se utiliza un nivel de confianza del 98%. ¿El encargado debe aceptar o rechazar dicho pedido?

Solución:

Paso1. Plantear la hipótesis hipótesis: las varillas debe ser mayor o igual a 3 cm. de diámetro. palabra clave: mayor o igual a

65

zPaso 2. Calculo del valor estadístico de prueba (z) esta valor se obtiene de la hipotesis

2 (Clase 14: teorema del límite central)

I I I0 0.942 2.33

Paso 3. Confianza del estudio = 98 % = 98/100 = 0.98 De tablas para A = 0.49 → z = 2.33 El pedido se acepta

Ejercicio 1. Una empresa supone que la edad de sus empleados tiene un promediomayor a los 59 años, así que realizó un estudio sobre la edad de sustrabajadores a partir de una muestra de 60 de ellos, encontrando una edadpromedio de 58 años con una desviación estándar de 7. ¿Es válida la suposición si la confianza del estudio es del 96%?

Solución:

Paso1. Plantear la hipótesis hipótesis: la edad de sus empleados tiene un promedio mayor a los 59 años palabra clave: mayor a

z

Paso 2. Calculo del valor estadístico de prueba (z)

I I I0 1.10 2.06

Paso 3. Confianza del estudio = 96 % = 96/100 = 0.96 De tablas para A = 0.48 → z = 2.06

66

no es valida la suposición

Ejercicio 2. Protección y Vialidad supone que el promedio de vehículos que salen de laciudad a principios de un periodo vacacional es superior a los 83 vehículos porminuto. Una muestra tomada de 500 vehículos por una cadenaradiofónica arrojó un promedio de salida de 80 vehículos por minuto con unadesviación estándar de 4. ¿Es válida la suposición si la confianza del estudio es del 95%?

Solución:

Paso1. Plantear la hipótesis hipótesis: el promedio de vehículos que salen de la ciudad a principios de un periodo vacacional es superior a los 83 vehículos. palabra clave: superior a

z


I I0 1.96 16.77

Paso 3. Confianza del estudio = 95 % = 95/100 = 0.95

67

De tablas para A = 0.475 → z = 1.96

es valida la suposición

Ejercicio 3. Se realizó un estudio psicológico para medir los tiempos de reacción con respecto a cierto estímulo. Se utilizó en el experimento una muestra aleatoria de 50 personas. Los resultados se muestran en la tabla. ¿Presentan los datos suficiente evidencia para sugerir que el promedio verdadero del tiempo de reacción es mayor a 3.6 segundos? Utilice una confianza de estudio del 95%.

n = 50

= 0.424

Solución:

Paso1. Plantear la hipótesis hipótesis: el promedio verdadero del tiempo de reacción es mayor a 3.6 seg. palabra clave: mayor a

z


I I I-1.667 0 1.96

68


no es valida la suposición

Tarea: Un banco supone que sus clientes gastan de sus tarjetas de crédito a lo más $5000 al mes Para probar esto realizo una encuesta entre algunos de sus clientes y obtuvo los siguientes datos:

n = 100

= 950 Confianza del estudio = 95%

Solución:

Paso1. Plantear la hipótesis hipótesis: los clientes gastan a lo mas $5000 palabra clave: a lo más

z


I I I 0 1.96 3.15


69

se acepta la suposición

CLASE 17EJERCICIOS

Ejercicio 1. El pago por consumo de luz en cierta población del área de Naucalpan de Juárez, Estado de México, es en promedio de $270.65 (durante Febrero-marzo del 2003), con una desviación estándar de $138.00. La compañía de Luz y Fuerza del Centro desea realizar un estudio de una muestra de 100 casas en esa área geográfica. Calcular la probabilidad del consumo entre $230 y $300.

70

Ejercicio 2. Un investigador sociológico en abril de 2003 realizo un estudio sobre una muestra de 60 jóvenes respecto a lo que gastan cuando van al cine y encontró que hay un promedio de $162.50 pesos y una varianza de $5625. Se desea calcular un intervalo de confianza del 99% con objeto de evaluar la fluctuación de lo que gastan los jóvenes en la actualidad en acudir a un cine.

71

Ejercicio 3. En una encuesta realizada en un centro comercial 20 de cada 200 personas compran zapatos. Se desea conocer los intervalos si la confianza del estudio es del 92% para cuando las personas compran zapatos.

72

Ejercicio 4. El profesor de estadística cree que sus alumnos actuales tienen un promedio mayor o igual a 7.5. Para probar esto realizo un examen a 44 alumnos y obtuvo los datos siguientes: Promedio = 7.52, desviación estándar = 1.4, ¿Si el nivel de confianza es del 97 %, el profesor acepta o rechaza su hipótesis?

73

Clases de Estadistica

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