Compendio Diseño de Estructuras de Acero / Universidad...

UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

COMPENDIO:

“ DISENO DE ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO

I, CODIGO ACI 318-11 ”

PREPARADO POR:

Ing. Jimmy Vanegas S.

Enero de 2014

Diseño de Elementos de Concreto Reforzado I - Ing. Jimmy Vanegas Salmerón - UCA Página 2

CAPITULO 3

Diseño de Elementos de Concreto sometidos a Flexion

3.1 Introduccion.

Las secciones de concreto requerirán de acero de refuerzo en la cara de tensión, en dependencia de la cantidad de momento o resistencia a vencer. La mayoría de las secciones utilizadas en edificaciones y en cualquier otro tipo de estructura, requerirán de acero en la cara de tensión y en la cara de compresión producidas por el momento flexionante actuante. Estas secciones reciben el nombre según sus requerimientos de acero de refuerzo. Tal es el caso de las secciones que requieren de acero de refuerzo en la cara de tensión, estas se denominan secciones simplemente reforzadas. Las otras secciones que requieren de acero de refuerzo en ambas caras, se denominan secciones doblemente reforzadas. Estas secciones se diseñaran tomando en cuenta los requerimientos de resistencia para cada caso en específico. El criterio principal será que la resistencia nominal sea mayor en un 5% que la resistencia demandada por las cargas actuantes.

3.2 Seccion con Simple Refuerzo (Suposiciones de Diseño)

El diseño por resistencia de elementos sometidos a flexión y cargas axiales debe de basarse en las hipótesis dadas en la sección 10.2.2 a 10.2.7 del ACI 318-11, y deben de satisfacer las condiciones de equilibrio y de compatibilidad de deformaciones.

1. La sección 10.2.2, establece que las deformaciones unitarias en el refuerzo y en el concreto, deben suponerse directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro, excepto para las vigas de gran altura, donde debe de emplearse una distribución no lineal de las deformaciones unitarias.

2. La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión del concreto se supone igual a 0.003.


Figura No.8 Deformacion en el concreto y en el acero de refuerzo

3. El esfuerzo en el refuerzo cuando sea menor que fy debe tomarse como Es veces la deformación unitaria del acero. Para deformaciones unitarias mayores que las correspondientes a fy, el esfuerzo se considera independiente de la deformación unitaria e igual a fy.

4. La relación entre la distribución de los esfuerzos de compresión en el concreto y la deformación unitaria en el concreto se debe suponer rectangular, trapezoidal, parabólica o de cualquier otra forma que de origen en una predicción de la resistencia que coincida con los ensayos representativos.

5. La hipótesis 4, se satisface con una distribución rectangular equivalente de esfuerzos en el concreto si:

- El esfuerzo en el concreto es de 0.85fć, uniformemente distribuido en la zona de compresión equivalente limitada por los bordes de la sección y por una línea recta paralela al eje neutro a una distancia a=β1c de la fibra de deformación unitaria máxima en compresión.

- Para valores de fć entre 17 y 28 Mpa el factor β1 se debe de tomar como 0.85. para fć superior a 28 Mpa, β1 se debe disminuir en forma lineal a razón de 0.05 por cada 7 Mpa de aumento sobre 28 Mpa, sin embargo, β1 no debe ser menor de 0.65.


Figura No.9 Distribucion del esfuerzo en la cara de compresion de la seccion transversal.

3.2.1 Requisitos de refuerzo.

El área de acero de refuerzo mínimo, para estas secciones sometidas a flexión, estará regida por la ecuación 10-3 del ACI 318-11, cuando estas secciones requieran de acero por tracción, donde As proporcionado no debe ser menor a:

Los demás requisitos de acero mínimo para los distintos elementos, están descritos en la sección 10.5 del ACI 318-11. Las secciones de concreto reforzado deben tener una cantidad de acero necesaria para que haya un balance entre la fuerza de compresión generada en la acara de compresión de la sección y la fuerza de tensión generada en la cara de tensión de la sección. Esta cantidad de acero o cuantilla de acero en este estado se denomina cuantilla balanceada, ρb La cuantilla de acero balanceada se calculara:

𝜌𝑏 = 0.85𝛽1

𝑓𝑐´

𝑓𝑦

6000

6000 + 𝑓𝑦

El porcentaje de acero a colocar dentro de la sección de concreto, no deberá de ser superior a:

𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝜌𝑏 El acero real a colocar en la sección de concreto deberá de ser mayor que el acero mínimo y menor que el acero máximo. Por lo que el acero real será:

𝜌𝑟𝑒𝑎𝑙 =𝐴𝑠

𝑏 ∗ 𝑑 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴𝑠 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜


3.2.2 Procedimiento de Diseño.

Los procedimientos de diseño de este y de todo el tipo de secciones de concreto que se verán en este documento, están basadas en el método de tanteos. El método de tanteo, según el criterio del diseñador, cumplirá con los criterios constructivos, de dimensionamiento real, de resistencia y el ultimo pero no el menos importante, el valor económico de nuestro diseño. Para comenzar a dimensionar una sección se tiene que conocer sus propiedades. Estas son:

Figura No.10 Esquema de dimensionamiento de una viga.

(a) vista longitudinal. (b) secion transversal. dónde: As: Área de acero de refuerzo en la cara de tensión. d: peralte efectivo de la sección. h: peralte de la sección de concreto. b: base de la sección de concreto. dc: recubrimiento de concreto de la sección.

ln: longitud libre entre soportes o apoyos de la viga.

Para realizar el procedimiento de diseño, se tendrá que tener en cuenta el siguiente procedimiento:

1. Primeramente se determinara el momento externo último que proporcionan las cargas externas factoradas (vivas y muertas).

2. Con los datos de alturas mínimas de las secciones para control de las deflexiones que aparecen en la tabla 9.5(a) del ACI 318-11, se obtendrá el peralte efectivo de la sección, d, y el valor aproximado de b (b = 0.5*d).

3. Con los datos del acero mínimo descritos en la sección 3.2 de este documento, se obtiene el valor del acero de refuerzo en la cara de tensión requerido y transformado a acero real posteriormente (Numero de varillas y diámetros seleccionados).

4. Se verifica que el acero seleccionado sea mayor que el mínimo requerido.


5. Con los datos anteriores se verificara que el peralte seleccionado sea el adecuado. Esto se hará por un procedimiento por tanteo hasta llegar a una tolerancia de menos de 10mm o su equivalencia en pulgadas (sistema SI).

6. Luego de verificar el tamaño de la sección, se verificara que el acero seleccionado cumpla con todos los requisitos mínimos de separación y armado dentro de la sección.

7. Posteriormente a tener el tamaño de la sección y la cantidad de acero se procederá a revisar su resistencia nominal y compararla con la resistencia máxima factorada obtenida en el procedimiento 1 (uno).

A continuación se muestra un ejemplo del procedimiento descrito con anterioridad. Ejemplo #1 Dimensionar la sección de concreto reforzado, para la viga mostrada que mejor se ajuste a los criterios de diseño anteriormente descritos. La viga soportara una carga muerta y viva uniformemente distribuida de 1,350.0 Kg/m y 1,500 Kg/m respectivamente. La sección tiene un claro libre entre apoyos de 4.75 m. Usar un concreto cuya resistencia a la compresión sea de 3,000 Psi (210 Kg/cm2 o 21 Mpa), con un acero de límite a la fluencia de 60,000 Psi (4,200 Kg/cm2 o 420 Mpa).

Figura No.11 Esquema de viga cargada uniformemente para Ejemplo 1

Solución: Para dimensionar esta sección se tiene que obtener el valor del momento máximo actuante sobre la sección producto de las cargas vivas y muertas y según las combinaciones descritas en la sección 2.5 de este documento. Luego se seguirá el procedimiento de diseño por tanteos descrito en la sección 3.3.

- Calculo de momento ultimo factorado. Cu= 1.2CM + 1.6CV = (1.2*1350)+(1.6*1500) = 4,020.0 Kg/m

𝑀𝑢 =𝐶𝑢∗𝑙𝑛

2

8= (4,020*4.752)/8 = 1.134e6 Kg-cm

- Seccion de concreto reforzado.

Altura minima para control de deflexion, Tabla 9.5(a):

CM, CV

4.75 m

CV


Para la condicion de viga con dos extremos continuos y la opcion de vigas, se tiene:

h = (ln /21) = (475cm/21) = 22.619 cm

Por lo que la altura minima a considerar sera de 25.0 cm El valor de la base de concreto, según el paso 2 del procedimiento de diseño por tanteo es: b=0.5d, pero el peralte efectivo se calculará como: d = h-dc = 25cm- 3cm = 22 cm (el menor valor de dc a considerar en este

caso es 20mm o 2cm, según la seccion 1.8.4 de este documento)

b = 0.5*22 = 11cm Obtenida la seccion de concreto de (11cm x 25cm) se procedera a calcular su peso propio para corregir el valor del momento ultimo factorado (resistencia de diseño a vencer). Pp = 2400 Kg/m3 * 0.11m * 0.25m = 66 Kg/m Cu = 1.2*Pp = 1.2*66 = 79.20 Kg/m


2

8= (79.20*4.752)/8 = 22,336.9 Kg-cm

Para un Momento Ultimo Total de:

𝑀𝑢 = 1,134,000 + 22,336.9 = 1,156,336.9 Kg-cm

Calculo del area de acero:

- Según la seccion 3.1, en el item 5. Se establece que el valor de β1 para este caso es de β1= 0.85

- Dterminacion de la cuantilla balamceada:

𝜌𝑏 = 0.85𝛽1𝑓𝑐

´

𝑓𝑦

6000

6000+𝑓𝑦= ((0.85*0.85*210)/4200)*(6000/(6000+4200))

= 0.0213 - Tomando como parametro la cuantilla maxima de acero para este tipo de

secciones, se asumira un valor inferior a este como primer dato para verificar el tamaño de la seccion.

𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝜌𝑏= 0.75*0.0213 = 0.0160

𝜌𝑟𝑒𝑎𝑙 = 0.5𝜌𝑚𝑎𝑥= 0.50*0.0157 = 0.008

Chequeo de peralte efectivo:


El chequeo del peralre efectivo se hace cuando la tolerancia se menor a 1cm de diferencia entre el valor propuesto y el valor calculado, aceptando el valor propuesto (dcal≈dprop).

𝑤 = 𝜌𝑓𝑦

𝑓𝑐´ = 0.008*(4200/210) = 0.160

𝑅 = 𝜌𝑓𝑦(1 − 0.59𝑤)= 0.008*4200*(1-(0.59*0.160) = 30.428

𝑑𝑐𝑎𝑙 = √𝑀𝑢

∅𝑟𝑅

3

= √1,156,336.9

0.9 ∗ 0.5 ∗ 30.428

3

= 𝟒𝟑. 𝟖𝟕𝟑 𝒄𝒎

43.873cm ≠ 22 cm

Como los dos valores no se parecen y la diferencia es mucho mas de 1cm, se tendra que realizar una segunda iteracion para corregir el valor, hsta obtener la tolerancia aceptable. Segunda Iteracion: dprop= 44.5cm h = 44.5+3cm = 47.5 cm b= 0.5*44.5 = 22.25cm Recalculando el peso propio Pp=2400*0.475*0.2225 = 253.65 Kg/m Recalculando el Momento Ultimo: Cu = 1.2*Pp = 1.2*253.65 = 304.38 Kg/m


2

8= (304.38*4.752)/8 = 85,844.7 Kg-cm

𝑀𝑢 = 1,134,000 + 85,844.7 = 1,219,840 Kg-cm


∅𝑟𝑅

3

= √1,219,840

0.9 ∗ 0.5 ∗ 30.428

3

= 𝟒𝟒. 𝟔𝟔𝟐 𝒄𝒎

44.50cm ≈ 44.662 cm

La diferencia entre los dos valores es menor a la tolerancia estimada, por lo que se acepta el valor del dprop.

- Calculo y chequeo de arera y cuantilla de acero.

Area de acero requerida: As = ρ*b*d = 0.008*22.25*44.5 = 7.921 cm2


Luego de determinar el area de acero requerida, se convierte a Cuantas varillas y de que diamtro se usara como refuerzo de la seccion de concreto.

No. Dia. Area Cant. Redon. Area

4 1.270 1.2668 6.097 7 8.867

5 1.588 1.9793 3.902 4 7.917

6 1.905 2.8502 2.710 3 8.551

7 2.223 3.8795 1.991 2 7.759

8 2.540 5.0671 1.524 2 10.134

*la selección dependera del area de concreto disponible en la secion de concreto calculada, de la cantidad de varillas a acomodar y del valor comercial de la misma.

Figura No.12 Cuadro de areas de acero requerido

para Ejemplo 1 De las varillas propuestas se selecciono la varilla #6 la que tiene un area de As= 8.551 cm2 para un total de 3 barras dentro de la seccion de concreto. Chequeo de la cuantilla de refuerzo:

- Acero minimo (seccion 3.2 y ecuacion 10-3 del ACI 318-11):

𝜌𝑚𝑖𝑛 =0.25√𝑓𝑐

´

𝑓𝑦=

0.25√21

420= 0.003 ; pero no menor a

1.4

𝑓𝑦=

1.4

420= 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟑

- Cuantilla de acero real:


𝑏 ∗ 𝑑=

8.551

22.25 ∗ 44.5= 𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟔

- Cuantilla de acero maxima:

𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝜌𝑏= 0.75*0.0209 = 0.0157

𝜌𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜌𝑟𝑒𝑎𝑙 ≤ 𝜌𝑚𝑎𝑥 0.0033 < 0.0086 < 0.0157

El area de acero seleccionada cumple con los requisitos de cuantillas de acero de refuerzo.

- Chequeo de Resistencia. El chequeo de la resistencia de la seccion de concreto reforzado se realiza de la comparacion de la resistencia nominal de la seccion de concreto y el acero


seleccionado versus la resistencia ultima de la seccion (Mn ≥ Mu). En otras palabras la resistencia Nominal debera de ser mayor en un 5% que la resistencia ultima. El momento nominal de la seccion de concreto reforzado se calculara con la ecuacion:

𝑀𝑛 = 𝐴𝑠𝑓𝑦 (𝑑 −𝑎

2); donde la profundidad del bloque rectangular del esfuerzo a

compresion de la seccion sera, 𝑎 =𝐴𝑠𝑓𝑦

0.85𝑓𝑐´𝑏

Profundidad del bloque,

𝑎 =𝐴𝑠𝑓𝑦

0.85𝑓𝑐´𝑏

= 8.551 ∗ 4200

0.85 ∗ 210 ∗ 22.25= 𝟖. 𝟗𝟒𝟐 𝒄𝒎

Momento nominal,


2) = 8.551 ∗ 4200 ∗ (44.5 −

8.942

2) =1,437,610.00 Kg-cm

∅𝑀𝑛 = 0.9 ∗ 1,437,610 = 1,293,850.0 Kg-cm

Mn ≥ Mu 1,293,850.0 > 1,219,840 Kg-cm

Verificar el porcentaje de sobrediseño que no se pase del 5%

∅𝑀𝑛 − 𝑀𝑢

∅𝑀𝑛𝑥100 =

1,293,850 − 1,219,840

1,293,850𝑥100 = 𝟓. 𝟕𝟐%

Comentario Final: En una buena mayoria de los procedimientos de diseño de secciones de este tipo el porcentaje de diseño puede dejarse menor de un 10%, pero siempre es recomendable no excederce del porcentaje recomendado, ya que se excederia en los costos de construccion y la estructura no seria viable economicamente.


Figura No.13 Seccion de Concreto Reforzado Resultante para Ejemplo 1

Ejemplo #2 Diseñar la viga simplemente apoyada mostrada que soportara una carga muerta y viva uniformemente distribuida de 950 Kg/m y 1,350 Kg/m, más una carga viva puntual de 2000 Kg en el centro del claro. La sección tiene un claro libre entre apoyos de 5.50 m. Usar un concreto cuya resistencia a la compresión sea de 3,000 Psi (210 Kg/cm2 o 21 Mpa), con un acero de límite a la fluencia de 60,000 Psi (4,200 Kg/cm2 o 420 Mpa).

Figura No.14 Esquema de viga con carga uniformemente distribuida y Una carga puntual al centro del claro

para Ejemplo 2 Solución: Para dimensionar esta sección se tiene que obtener el valor del momento máximo actuante sobre la sección producto de las cargas vivas y muertas y según las combinaciones descritas en la sección 2.5 de este documento. Luego se seguirá el procedimiento de diseño por tanteos descrito en la sección 3.3.

- Calculo de momento ultimo factorado. Cu= 1.2CM + 1.6CV = (1.2*950)+(1.6*1,350) = 3,300.0 Kg/m Pu= 1.6CV = 1.6*2,000 = 3,200.00 Kg


2

8= (3,300.0*5.502)/8 = 1.134e6 Kg-cm

𝑃𝑢 =𝑃𝑢∗𝑙𝑛

4= (3,200*5.5)/4 = 0.44e6 Kg-cm

Mu= 1.134e6 + 0.44e6 = 1.574e6 Kg-cm

- Seccion de concreto reforzado. Altura minima para control de deflexion, Tabla 9.5(a): Para la condicion de viga con dos extremos continuos y la opcion de vigas, se tiene:

CM, CV

5.50 m

CV

CV


h = (ln /16) = (550cm/16) = 34.375 cm

Por lo que la altura minima a considerar sera de 35.0 cm El valor de la base de concreto, según el paso 2 del procedimiento de diseño por tanteo es: b=0.5d, pero el peralte efectivo se calculará como: d = h-dc = 35cm- 3cm = 32 cm (el menor valor de dc a considerar en este

caso es 20mm o 2cm, según la seccion 1.8.4 de este documento)

b = 0.5*32 = 16cm Obtenida la seccion de concreto de (16cm x 32cm) se procedera a calcular su peso propio para corregir el valor del momento ultimo factorado (resistencia de diseño a vencer). Pp = 2400 Kg/m3 * 0.16m * 0.35m = 134.4 Kg/m Cu = 1.2*Pp = 1.2*134.4 = 161.28 Kg/m


2

8= (161.28*5.502)/8 = 60,984 Kg-cm


𝑀𝑢 = 1.574e6 + 0.061e6 = 1,634,980 Kg-cm


- Según la seccion 3.1, en el item 5. Se establece que el valor de β1 para este caso es de β1= 0.836

- Dterminacion de la cuantilla balamceada:

𝜌𝑏 = 0.85𝛽1𝑓𝑐

´

𝑓𝑦

6000

6000+𝑓𝑦= ((0.85*0.836*210)/4200)*(6000/(6000+4200))

= 0.0209 - Tomando como parametro la cuantilla maxima de acero para este tipo de


𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝜌𝑏= 0.75*0.0209 = 0.0157

𝜌𝑟𝑒𝑎𝑙 = 0.5𝜌𝑚𝑎𝑥= 0.50*0.0157 = 0.0078

Chequeo de peralte efectivo: El chequeo del peralre efectivo se hace cuando la tolerancia se menor a 1cm de diferencia entre el valor propuesto y el valor calculado, aceptando el valor propuesto (dcal≈dprop).


𝑤 = 𝜌𝑓𝑦

𝑓𝑐´ = 0.0078*(4200/210) = 0.156

𝑅 = 𝜌𝑓𝑦(1 − 0.59𝑤)= 0.0078*4200*(1-(0.59*0.156) = 29.745


∅𝑟𝑅

3

= √1,634,980

0.9 ∗ 0.5 ∗ 29.745

3

= 𝟒𝟗. 𝟔𝟏𝟕 𝒄𝒎

49.617cm ≠ 32 cm

Como los dos valores no se parecen y la diferencia es mucho mas de 1cm, se tendra que realizar una segunda iteracion para corregir el valor, hsta obtener la tolerancia aceptable. Segunda Iteracion: dprop = 50.0 cm h = 50.0+3cm = 53.0 cm b= 0.5*50.0 = 25.0 cm Recalculando el peso propio Pp=2400*0.53*0.25 = 318 Kg/m Recalculando el Momento Ultimo: Cu = 1.2*Pp = 1.2*318 = 381.60 Kg/m


2

8= (381.6*5.502)/8 = 144,293 Kg-cm

𝑀𝑢 = 1,634,980 + 144,293 = 1,779,270 Kg-cm


∅𝑟𝑅

3

= √1,779,270

0.9 ∗ 0.5 ∗ 29.745

3

= 𝟓𝟏. 𝟎𝟑𝟔 𝒄𝒎

51.036cm ≈ 50.0 cm

La diferencia entre los dos valores es aproximadamente igual a la tolerancia permitida, por lo que se acepta el valor del dprop.


Area de acero requerida: As = ρ*b*d = 0.078*25*50 = 9.75 cm2 Luego de determinar el area de acero requerida, se convierte a Cuantas varillas y de que diamtro se usara como refuerzo de la seccion de concreto.



4 1.270 1.2668 7.697 8 10.134

5 1.588 1.9793 4.926 5 9.897

6 1.905 2.8502 3.421 4 11.401

7 2.223 3.8795 2.513 3 11.638

8 2.540 5.0671 1.924 2 10.134 *la selección dependera del area de concreto disponible en la secion de concreto calculada,

de la cantidad de varillas a acomodar y del valor comercial de la misma.





´

𝑓𝑦=

0.25√21


1.4

𝑓𝑦=

1.4

420= 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟑



𝑏 ∗ 𝑑=

11.401

25 ∗ 50= 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟏


𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝜌𝑏= 0.75*0.0209 = 0.0157

𝜌𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜌𝑟𝑒𝑎𝑙 ≤ 𝜌𝑚𝑎𝑥 0.0033 < 0.0091 < 0.0157

El area de acero seleccionada cumple con los requisitos de cuantillas de acero de refuerzo.

- Chequeo de Resistencia. El chequeo de la resistencia de la seccion de concreto reforzado se realiza de la comparacion de la resistencia nominal de la seccion de concreto y el acero

seleccionado versus la resistencia ultima de la seccion (Mn ≥ Mu). En otras


palabras la resistencia Nominal debera de ser mayor en un 5% que la resistencia ultima. El momento nominal de la seccion de concreto reforzado se calculara con la ecuacion:




0.85𝑓𝑐´𝑏



0.85𝑓𝑐´𝑏

= 11.401 ∗ 4200

0.85 ∗ 210 ∗ 25= 𝟏𝟎. 𝟕𝟑𝟎 𝒄𝒎

Momento nominal,


2) = 11.401 ∗ 4200 ∗ (50 −

10.730

2) =2,137,310.00 Kg-cm

∅𝑀𝑛 = 0.9 ∗ 2,137,310 = 1,923,580.0 Kg-cm

Mn ≥ Mu 1,923,580.0 > 1,779,270 Kg-cm

Verificar el porcentaje de sobrediseño que no se pase del 5%

∅𝑀𝑛 − 𝑀𝑢

∅𝑀𝑛𝑥100 =

1,923,580 − 1,779,270

1,923,580𝑥100 = 𝟕. 𝟓𝟎𝟐%

En una buena mayoria de los procedimientos de diseño de secciones de este tipo el porcentaje de diseño puede dejarse menor de un 10%, pero siempre es recomendable no excederce del porcentaje recomendado, ya que se excederia en los costos de construccion y la estructura no seria viable economicamente.

Figura No.16 Seccion de Concreto Reforzado Resultante

para Ejemplo 2


3.3 Seccion con Doble Refuerzo (Suposiciones de Diseño)

El diseño por resistencia de elementos sometidos a flexión y cargas axiales debe de basarse en las hipótesis dadas en la sección 10.2.2 a 10.2.7 del ACI 318-11, anteriormente descritas en la sección 3.2 de este documento. Cuando las vigas requieran de acero de refuerzo en la cara de compresión, se le exige altos niveles de ductilidad, de modo que la equivalencia de acero de refuerzo será de un 33% más que la condición de simple refuerzo. Tal condición se ve reflejada en la gráfica de la Figura No.17.

Figura No.17 Diagrama de momento flector normalizado (curvatura)

Si el acero de refuerzo en la cara de compresión se encuentra en fluencia, el nivel de ductilidad será igual al que se alcanza si la viga es simplemente reforzada. Sin embargo, si el acero de refuerzo de compresión no alcanza la fluencia antes que el hormigón llegue a su máxima deformación (esto ocurre particularmente en vigas de peralte limitado, en edificaciones pequeñas), los niveles de ductilidad pueden reducirse en alguna magnitud con relación a las vigas simplemente reforzadas, ya que el eje neutro de la sección estará por debajo del centroide para compensar la fuerza horizontal de compresión que no resiste dicho acero de refuerzo.

Figura No.18 Aceros en cara de Tension y Compresion.


El comportamiento dúctil es la habilidad de soportar grandes deformaciones inelásticas mientras la resistencia se mantiene esencialmente constante. Se tiene que realizar un análisis previo de la viga para determinar los tipos de falla teniendo en cuenta las siguientes consideraciones:

Si el contenido de acero de tensión es pequeño y el acero de compresión es alto, el acero de tensión alcanza la resistencia de fluencia, pudiendo ocurrir entonces un gran incremento en la curvatura mientras que el momento flexionante se mantiene esencialmente constante. Este tipo de falla se conoce como “falla de tensión”, aun cuando ocurra finalmente aplastamiento del concreto.

Por otra parte, si el contenido de acero de tensión es alto y el de compresión es bajo, el acero de tensión no alcanza a fluir y la falla será frágil si el concreto no se encuentra confinado. Lo anterior se conoce como “falla por compresión”.

Al diseñar, las vigas siempre se proporcionan de manera que puedan exhibir las características dúctiles de una falla de tensión. Para ello se requiere como premisa que el acero de compresión esté por debajo del esfuerzo de fluencia.

Figura No.19 Diagrama de deformacion y fuerzas actuantes.

Para deformaciones unitarias mayores que las correspondientes a fy, el esfuerzo se considera independiente de la deformación unitaria e igual a fy.

3.3.1 Requisitos de refuerzo.

Es necesario tener en cuenta que el acero de compresión no fluya cuando la viga doblemente reforzada falle a flexión, por lo que es necesario averiguar si el acero de compresión fluye o no en la falla. Esto se hace con la verificación de la compatibilidad de las deformaciones, además de calcular el valor del esfuerzo desarrollado en el acero de refuerzo en la cara de compresión. El chequeo de la compatibilidad de las deformaciones se hace cumpliendo los criterios de la siguiente igualdad:


𝜌 − 𝜌´ ≤ 0.85𝛽1

𝑓𝑐´𝑑´

𝑓𝑦𝑑

6000

6000 − 𝑓𝑦

Si la igualdad se cumple, el acero de compresión entra en fluencia, por lo que el valor del esfuerzo de este acero será:

𝑓𝑠´ = 𝑓𝑦

Si esta relación no se cumple, el valor del esfuerzo del acero de refuerzo en la cara de compresión será:

𝑓𝑠´ = 𝜖𝑢𝐸𝑠

𝑐 − 𝑑´

𝑐

dónde:

u = Deformación máxima del concreto, 0.003 Es= Modulo de elasticidad del Acero, 29, 000,000.00 Psi. c = Profundidad del eje neutro, c=a/β1. d´ = Recubrimiento de concreto para el acero de refuerzo. a = profundidad del bloque rectangular de esfuerzo. La profundidad del bloque rectangular de esfuerzo se calculara como:

𝑎 =(𝐴𝑠−𝐴𝑠

´ )𝑓𝑦

0.85𝑓𝑐´𝑏

El valor de A´s es el valor del área de acero de refuerzo necesario en la cara de compresión de la sección de concreto. El valor de esta área se calculara a partir de la ecuación de cálculo de la cuantilla de acero de refuerzo especificada en la sección 3.2.1 de este documento, la cual es la siguiente:


𝑏∗𝑑 ; 𝜌´ =

𝐴𝑠´

𝑏∗𝑑

Al igual que las secciones simplemente reforzadas, estas secciones deberán de cumplir con los mismos requisitos de acero de refuerzo mínimos y máximos, que se establecen en la sección 10.3 de ACI 318-11. Estas secciones de concreto con doble refuerzo deben tener una cantidad de acero necesaria para que haya un balance entre la fuerza de compresión generada en la acara de compresión de la sección y la fuerza de tensión generada en la cara de tensión de la sección. Esta cantidad de acero o cuantilla de acero en este estado se denomina cuantilla balanceada, ρb La cuantilla de acero balanceada en la sección con doble refuerzo se calculara:


𝜌𝑏 = 0.85𝛽1𝑓𝑐

´

𝑓𝑦

6000

6000+𝑓𝑦 +𝜌´

El porcentaje de acero a colocar dentro de la sección de concreto, no deberá de ser superior a:

𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝜌𝑏 + 𝜌´𝑓𝑠

´

𝑓𝑦

3.3.2 Requisitos de Resistencia.

El requisito de resistencia a tomar en cuenta, será el mismo que para la sección simplemente reforzada, donde la resistencia nominal de la sección sea un 5%

mayor que la resistencia demandada por las solicitaciones de cargas (Mn ≥ Mu). La resistencia nominal de las secciones provienen del equilibrio de las fuerzas actuantes en la sección de concreto al resistir los momentos flexionantes, tal a como se muestra en la Figura No.20.

Figura No.20 Diagrama de deformacion y fuerzas actuantes en la seccion doblemente

reforzada. La resistencia nominal o momento resistente se calculara de la siguiente forma:

𝑀𝑛 = 𝑀𝑛1 + 𝑀𝑛2

𝑀𝑛 = (𝐴𝑠 − 𝐴𝑠´ )𝑓𝑦 (𝑑 −

𝑎

2) + 𝐴𝑠

´ 𝑓𝑠´(𝑑 − 𝑑´)

Donde el valor de Mn1 es la resistencia nominal de la sección en la condición de simple refuerzo y el valor de Mn2 es la resistencia adicional del acero de refuerzo en la cara a compresión de la sección doblemente reforzada. La profundidad del bloque rectangular de esfuerzos, a, se modificara por la influencia del acero de refuerzo en la cara de compresión, por lo que este valor se calculara con la siguiente ecuación:


𝑎 =(𝐴𝑠−𝐴𝑠

´ )𝑓𝑦

0.85𝑓𝑐´𝑏

Para realizar el procedimiento de diseño, se tendrá que tener en cuenta el siguiente procedimiento:

1. Los aceros de refuerzo en la cara de tensión y en la cara de compresión se proponen según consideraciones previas.

2. Se tendrá que verificar la compatibilidad de las deformaciones para poder determinar el valor del esfuerzo del acero de refuerzo en la cara de compresión.

3. Las cuantillas de acero propuestas se verificara que estén dentro de los valores mínimos y máximos recomendados, luego de haberlos convertido a cantidad de varillas y haber determinado el diámetro a utilizar.

4. Calcular el valor de la resistencia nominal de la sección y verificar si cumple con el parámetro de resistencia (5% mayor que la resistencia solicitada).

5. Luego se procederá a dibujar la sección de acero con las dimensiones y espaciamientos diseñados.

A continuación se muestra una serie de ejemplos que describirán los diversos procedimientos que pueden tomarse para calcular la resistencia nominal de las secciones de concreto doblemente reforzadas. El ejemplo #3 se abordara el diseño de esta viga con el procedimiento por tanteos, en el cual se seguirá el procedimiento anteriormente descrito. Ejemplo #3 Diseñar la viga como doblemente reforzada con las cargas mostradas (Carga Muerta de 1856 Kg/m y una Carga Viva uniforme de 2,350 Kg/m). La sección tiene un claro libre entre apoyos de 5.00 m. Usar un concreto cuya resistencia a la compresión sea de 4,000 Psi (280 Kg/cm2 o 28 Mpa), con un acero de límite a la fluencia de 60,000 Psi (4,200 Kg/cm2 o 420 Mpa).

Figura No.21 Esquema de viga con carga uniformemente distribuida

para Ejemplo 3

CM, CV

5.00 m

CV


Solución: La solución de este elemento se hará siguiendo el procedimiento de diseño por tanteo descrito en los ejemplos anteriores y cumpliendo los requisitos de resistencia y economía.

- Calculo de momento ultimo factorado.

Cu= 1.2CM + 1.6CV = (1.2*1856)+(1.6*2350) = 5,987.20 Kg/m


2

8= (5,987.20*5.02)/8 = 1.871e6 Kg-cm

- Seccion de concreto reforzado.

Altura minima para control de deflexion, Tabla 9.5(a): Para la condicion de viga con ambos extremos continuos y la opcion de vigas, se tiene:

h = (ln /21) = (500cm/21) = 23.810 cm

Por lo que la altura minima a considerar sera de 25.0 cm El valor de la base de concreto sera de: b=0.6d, pero el peralte efectivo se calculará como: d = h-dc = 25cm- 3cm = 22 cm b = 0.6*22 = 13.20 cm Obtenida la seccion de concreto de (11cm x 25cm) se procedera a calcular su peso propio para corregir el valor del momento ultimo factorado (resistencia de diseño a vencer). Pp = 2400 Kg/m3 * 0.132m * 0.25m = 79.20 Kg/m Cu = 1.2*Pp = 1.2*79.20 = 95.04 Kg/m


2

8= (95.04*5.002)/8 = 2.97e4 Kg-cm


𝑀𝑢 = 1.871e6 + 2.97e4 = 1,900,700.0 Kg-cm


- El valor de β1 es de β1= 0.85

- Cuantilla balanceada:

𝜌𝑏 = 0.85𝛽1𝑓𝑐

´

𝑓𝑦

6000

6000+𝑓𝑦= ((0.85*0.85*280)/4200)*(6000/(6000+4200))

= 0.0283


- Tomando como parametro la cuantilla maxima de acero para este tipo de


𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝜌𝑏= 0.75*0.0283 = 0.0213

𝜌𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑟𝜌𝑚𝑎𝑥= 0.60*0.0213 = 0.01275

Chequeo de peralte efectivo: El chequeo del peralre efectivo se hace cuando la tolerancia se menor a 1cm de diferencia entre el valor propuesto y el valor calculado, aceptando el valor propuesto (dcal≈dprop).

𝑤 = 𝜌𝑓𝑦

𝑓𝑐´ = 0.01275*(4200/280) = 0.191

𝑅 = 𝜌𝑓𝑦(1 − 0.59𝑤)= 0.01275*4200*(1-(0.59*0.192) = 47.508


∅𝑟𝑅

3

= √1,900,700.0

0.9 ∗ 0.6 ∗ 47.508

3

= 𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎

42.000 cm ≠ 22 cm

Como los dos valores no se parecen y la diferencia es mucho mas de 1cm, se tendra que realizar una segunda iteracion para corregir el valor, hsta obtener la tolerancia aceptable. Segunda Iteracion: dprop = 42.0 cm h = 42.0+3cm = 45.0 cm b= 0.6*42.0 = 25.20 cm Recalculando el peso propio Pp=2400*0.45*0.252 = 272.16 Kg/m Recalculando el Momento Ultimo: Cu = 1.2*Pp = 1.2*272.16 = 326.592 Kg/m


2

8= (326.592*5.002)/8 = 102,060 Kg-cm

𝑀𝑢 = 1,871,000 + 102,060 = 1,973,060 Kg-cm


∅𝑟𝑅

3

= √1,973,060

0.9 ∗ 0.6 ∗ 47.67

3

= 𝟒𝟐. 𝟓𝟐𝟕 𝒄𝒎


42.527cm ≈ 42.00 cm La diferencia entre los dos valores es aproximadamente igual a la tolerancia permitida, por lo que se acepta el valor del dprop.


Area de acero requerida: As = ρ*b*d = 0.01275*25.2*42 = 13.4946 cm2 Luego de determinar el area de acero requerida, se convierte a Cuantas varillas y de que diamtro se usara como refuerzo de la seccion de concreto.


3 0.953 0.7126 18.938 19 13.539

4 1.270 1.2668 10.653 11 13.934

5 1.588 1.9793 6.818 7 13.855

6 1.905 2.8502 4.735 5 14.251

7 2.223 3.8795 3.478 4 15.518

*la selección dependera del area de concreto disponible en la secion de concreto calculada, de la cantidad de varillas a acomodar y del valor comercial de la misma.





´

𝑓𝑦=

0.25√21


1.4

𝑓𝑦=

1.4

420= 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟑



𝑏 ∗ 𝑑=

13.855

25.2 ∗ 42= 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟎𝟗


𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝜌𝑏= 0.75*0.0283 = 0.0212


𝜌𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜌𝑟𝑒𝑎𝑙 ≤ 𝜌𝑚𝑎𝑥 0.0033 < 0.0131 < 0.0212

- Chequeo de Resistencia.

La resistencia nominal de la seccion versus la resistencia ultima tiene que cumplir

la condicionMn ≥ Mu. El momento nominal de la seccion de concreto reforzado se calculara con la ecuacion:




0.85𝑓𝑐´𝑏



0.85𝑓𝑐´𝑏

= 13.855 ∗ 4200

0.85 ∗ 280 ∗ 25.2= 𝟗. 𝟕𝟎𝟑 𝒄𝒎

Momento nominal,


2) = 13.855 ∗ 4200 ∗ (42 −

9.703

2) =2,161,769.11 Kg-cm

∅𝑀𝑛 = 0.9 ∗ 2,802,010.0 = 1,945,592.20 Kg-cm

Mn ≥ Mu 1,945,592.20 > 1,973,060 Kg-cm

A como puede verse, la seccion diseñada, no cumple con el criterio de resistencia, por lo que antes de pasar a la condicion de doble refuerzo tienen que valorarse (criterio Propio) las estimaciones que se hicieron del valor de r, y del porcentaje de acero de refuerzo, ρ, o sea, la cuantilla. Este valor de r=0.6, puede llevar a tener vigas de gran peralte, y a tener demasiado acero en la cara de tension de la seccion, por lo que se recomienda diseñarla como seccion doblemente reforzada. Revision como sección Doblemente Reforzada Para Revisar esta seccion como doblemente reforzada, se partira del criterio de chequeo de la resistencia a flexion de la misma, donde la resistencia nominal tendra que ser mayor que la resistencia Ultima, tal a como se muestra a continuacion:

Mn ≥ Mu

( Mn1 + Mn2) ≥ Mu

Mn2 =(Mu/)-Mn1 =


de esta ecuacion se obtiene que el valor del momento nominal Mn2 es de: Mn2 = 246,696.69 Kg-cm Para obtener la cantidad de acero que se requiere en la cara de compresion, se tiene que verificar si el mismo esta fluyendo o no. Esto se hara con el chequeo de la compatibilidad de las deformaciones entre ambos aceros.

0.01309 < 0.1147

por lo que el acero FLUYE Usar f´s = fy con el valor de f´s se procedera a despejar de la ecuacion del MN2, el valor del area A´s necesaria en la cara a compresion, por lo que este valor sera:

𝑀𝑛2 = 𝐴𝑠´ 𝑓𝑠

´(𝑑 − 𝑑´) 𝐴𝑠´ =

𝑀𝑛2

𝑓𝑠´(𝑑−𝑑´)

; A´s = 1.506 cm2


3 0.953 0.7126 2.114 3 2.138

4 1.270 1.2668 1.189 2 2.534

5 1.588 1.9793 0.761 1 1.979

6 1.905 2.8502 0.528 1 2.850

7 2.223 3.8795 0.388 1 3.879 Figura No.23 Cuaro de areas de acero paraacero en compresion del Ejemplo #3

De la tabla anterior se seleccionan 3 varillas #3, las cuales hacen una area de 2.138 cm2. Como ya se tienen las areas de acero corregidas, se tendra que verificar si el acero en compresion sigue fluyendo o no. Esto se hace corrigiendo el parametro izquierdo de la expresion de compatibilidad de deformaciones.


𝑏∗𝑑 ; 𝜌´ =

𝐴𝑠´

𝑏∗𝑑 , donde As sera la suma de ambas areas de acero, la de

la condicion de simple refuerzo mas el acero en la cara de compresion de la seccion.

𝜌 − 𝜌´ = 0.01107 < 0.1147; este valor se mantiene por lo que el acero de

compresion sigue fluyendo. Antes de calcular la resistencia nominal de la seccion hay que verificar si las areas de acero utilizadas, cumplen con las cuantillas de refuerzos minimos y maximos.


Los valores de areas de acero utilizados cumplen, ya que es mayor que el porcentaje minimo y menor que el porcentaje o cuantilla maxima para una seccion de concreto doblemente reforzada. Cumpliendo los requisitos establecidos por la normativa ACI 318-11, se procede a calcular la resistencia nominal de la seccion, y a verificar el porcentaje de rediseño, o sea, el valor de resistencia extra que tiene la seccion respecto a la resistencia demandada.

La seccion cumple con la resistencia demandada por las cargas externas, pero su porcentaje es mayor que el recomendado. Para bajar este valor sera necesario bajar las areas de acero y verificar su resistencia.

Figura No.24 Seccion de Concreto Reforzado Resultante para Ejemplo 3

A continuacion se propone otra metodologia de analisis para este tipo de secciones, igualmente cumpliendo con los criterios de resistencia establecidos por el ACI 318-11.

Cuantilla Minima: Cuantilla Real: Cuantilla Maxima:

0.00315 0.01511 0.02492

Cumple con Acero Minimo Cumple con Acero Maximo

Calculo de Resistencia Nominal:

2511,920.63 Kg-cm

Mn ≥ Mu

2260,728.57 > 1973,060.00

% R 12.72%


Esta metodologia se aprecia en la hoja de Excel que se preparo para realizar los calculos necesarios y diseñar esta seccion de concreto. Ejemplo #4 Calcular la resistencia de la sección de concreto que tiene una dimensión de 14inx27in con un recubrimiento del acero de compresión de 2.5in y de 3.0in para el acero de tensión. Usar un concreto cuya resistencia a la compresión sea de 4,000 Psi (280 Kg/cm2 o 28 Mpa), con un acero de límite a la fluencia de 60,000 Psi (4,200 Kg/cm2 o 420 Mpa).

Los datos mostrados anteriormente son los datos que se requieren para realizar este tipo de analisis, al igual que se proponen las areas de acero con que se reforzara dicga seccion de concreto. Este diseño parte de la suposicion de que el acero que se coloque en la cara de compresion de la seccion de concreto FLUYA, o sea que el f´s sera igual a la resistencia a fluencia del acero, fy. para esto se determinaran los valores de la profundidad del eje neutro, c, y de la profundidad del bloque rectangular de esfuerzos, a.

Co estos datos, se verificara lo asumido, o sea se verificara la compatibiliodad de las deformaciones de ambos aceros, y se vera si en verdad estara fluyendo o no.

Datos de Entrada:

b = 14.00 in d = 24.00 in

h = 27.00 in = 0.9

f´c = 4,000.00 Psi c = 0.003 in/in

Fy 60,000.00 Psi s = 0.005 in/in

d´superior = 2.50 in Es = 29000,000 Psi

d´ inferior = 3.00 in β1 = 0.85

A´s = 2 varillas # 7

A´s = 1.203 in2

As = 4 varillas # 10

As = 4.909 in2

Ecuacion de equilibrio de fuerzas, f´s = fy:

c = 5.496 in

a = 4.672 in


Los valores calculados de las deformaciones, claramente verifican que el acero en compresion no esta fluyendo, por lo que se asumio anteriormente no es cierto, por tanto se debera de recalcular los valores de c y a. estos valores se recalcularan de la misma expresion de equilibrio de fuerzas expresadas anteriormente, de lo que resultara una ecuacion cuadratica.

Luego de resolver la ecuacion cuadratica se procede a calcular el valor del esfuerso f´s, y se corrige el area de acero A´s y se recalcula el valor del As1 para poder calcular la resistencia nominal de la seccion. A continuación se muestra el siguiente ejemplo tomando en cuenta los criterios de diseño o tablas de calculo de valores de porcentajes máximos de refuerzo según el grado del acero utilizado y resistencia a compresión de concreto. Estos datos estan en las tablas A.7 y A.13 del McCormac. Ejemplo #5 Diseñar el acero de refuerzo y la resistencia nominal de la sección rectangular de concreto de 15x31in con recubrimientos de 3in. Esta sección soportara una carga muerta de 11.556 k/ft y una carga viva de 14.222 k/ft en un claro de 15ft. La resistencia a compresión del concreto es de 4,000 Psi (4Ksi) y la resistencia a fluencia del acero de refuerzo es de 60,000 Psi (60Ksi).

Calculo de esfuerzo del acero en compresion, en relacion a la Fluencia Asumida:

0.00164 0.00207

f´s ≠ fyAcero NO FLUYE, Calcular f´s

c = 5.807 in

a = 6.831 in

Calculando el valor de f´s para el valor de c donde la seccion no fluye:

0.00171 49,543.60 Psi

0.993 in2 3.916 in2

0.00940 > 0.005

Calculo del Momento resistente Nominal de la seccion doblemente reforzada:

5,304.49 K-in

442.04 K-ft

Mantener el valor de 0=0.9

; de lo que rsulta que:


La solucion de este ejercicio se basa en la suposicion inicial que el acero en compresion fluye, por lo que sera necesario la comprobacion de este estado. Luego de la comprobacion de la fluencia de este estado, se procedera a obtener los aceros necearios en las caras de compresion, verificando la suposicion inicial con estas nuevas areas de acero, para posteriormente calcular la resistencia nominal.

De la resistencia demandada de las cargas externas y de la condicion de chequeo de resistencia, se obtiene dicha resistencia nominal, ta a como se muestra a continuacion:

Luego de la obtencion de la resistencia nominal requerida para esta seccion, se procedera a estimar los valores de areas de acero necesarias para vencer dicha resistencia, por lo que primeramente se supondra la cuantilla de acero maxima, obtenida de la siguiente tabla, al igual que el valor de la resistencia de la condicion de simple refuerzo.

Datos de Entrada:

CM = 11.556 K/ft c = 0.003 in/in

CV = 14.222 K/ft s = 0.005 in/in

f´c = 4,000.00 Psi Es = 29,000.00 Ksi

Fy 60,000.00 Psi b = 15.00 in

ln = 15.00 ft h = 31.00 in

gc = 150.00 Lb/ft3 d´superior = 3.00 in

β1 = 0.85 d´ inferior = 3.00 in

= 0.9 d = 28.00 in

Calculo de Resistencia Nominal:

Cu = 1.2CM + 1.6CV = 36.62 K/ft

1,030.00 K-ft Mn = Mu/ 1,144.45 K-ft

Calculo de la resistencia Nominal del acero en la cara de compresion

Asumiendo la cuantilla de acero maxima, ρmax de = 0.0181 As1= ρbd 7.602 in2

calculando el parametro MU/bd2 = 912.00 Psi

por lo que MU1 = 9652,608.0 Lb-in

804.384 K-ft

Mn1 = Mu1/ = 893.76 K-ft

Mn2 = Mn-Mn1 = 250.69 K-ft


Figura No.25 Tabla A.7 del McCormac. Calculo de cuantilla maxima de refuerzo para

secciones rectangulares.


Figura No.26 Tabla A.13 del McCormac. Calculo de Resistencia nominal de seccion

con simple refuerzo para secciones rectangulares.


Con estos valores de areas definidos, se procedera a revisar la fluencia del acero en compresion, para ver si la supocision inial era correcta o no, lo que nos permitira obtener la cantidad de acero en la cara a compresion de la seccion.

Obtenida el area de acero en compresion y verificado que este acero si fluye, se procedera a convertir estas areas a cantidad de varillas de acero.

Chequeando si el acero de compresion Fluye:

8.944 in C=a/β1 10.522 in

0.00214 > 0.00207

f´ s = 60,000.00 Psi

Calculo del area de acero en Compresion, A´s:

2.005 in2

correccion del area de acero en compresion: A s2 = 2.005

Area de acero Total, As = 9.607 in 2

Acero FLUYE f´s=fy

Acero en Compresion:


8 1.000 0.7854 2.553 3 2.356

9 1.125 0.9940 2.018 3 2.982

10 1.250 1.2272 1.634 2 2.454

A´s = 2.454 in2 con 2 Varillas # 10

Acero en Tension:


8 1.000 0.7854 12.233 13 10.210

9 1.125 0.9940 9.665 10 9.940

10 1.250 1.2272 7.829 8 9.818

As = 9.818 in2 con 8 Varillas # 10

Chequeo del estado del esfuerzo del acero en compresion:

hay que resolver la ecuacion cuadratica que se forma

por lo que el valor de c sera:

Ac2 + Bc -D A = 43350 1.41E+11 c1 = 10.122 in

B = -375519.375 -1.11E+11 c2 = -1.460 in

D = -640591.875 8.67E+04

c = 10.122 in

a = 11.909 in


Con el calculo de las areas de acero necesarias a partir de las requeridas, se procede a verificar el estado de fluencia del acero en compresion, pór lo que sera necesario calcular nuevamente los valores de c, profundidad del eje neutro, y de a, profundidad del bloque rectangular de esfuerzos, a partir de la ecuacion de equilibrio de fuerzas de la seccion. De la solucion de esta ecuacion, se obtendra una ecuacion cuadratica, ala que se tendra que dar solucion utilizando la raiz positiva generada. Obtenido este parametro, se procedera a verificar su estado de fluencia nuevamente. Y su resistencia nominal en condicion de doble refuerzo.

Esta seccion, con este procedimiento, esta sobrediseñada en un 17.6%, por lo que este valor tendra que reducirse reduciendo las areas de acero en compresion y tension.

Calculo de esfuerzo del acero en compresion, en relacion a la Fluencia Asumida:

0.00211 0.00207

f´s = 60,000.00 Psi

verificar si se reduce el valor de

0.00530 > 0.005

Calculo del Momento resistente Nominal de la seccion doblemente reforzada:

15,000.81 K-in

1,250.07 K-ft

Mn ≥ Mu

1,250.07 > 1,030.00

% R 17.60%

Acero FLUYE f´s=fy

Mantener el valor de 0=0.9

Compendio Diseño de Estructuras de Acero / Universidad...

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