Competencia específica aDesarrollar.

Comprender el concepto de función real y tipos de funciones, así como estudiar sus propiedades y operaciones.

Unidad 2.F u n c i o n e s

Unidad 2.F u n c i o n e s

Actividades de Aprendizaje

• Identificar, cuándo una relación es una función entre dos conjuntos.• Identificar el dominio, el codominio (rango, contradominio o ámbito) y el recorrido de una función.• Reconocer cuándo una función es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.• Representar una función real de variable real en el plano cartesiano. (gráfica de una función).

Unidad 2.F u n c i o n e s

• Construir funciones algebraicas de cada uno de sus tipos.• Construir funciones trascendentes, trigonométricas circulares y funciones exponenciales haciendo énfasis en las de base e.• Reconocer las gráficas de las funciones trigonométricas circulares y gráficas de funciones exponenciales de base e.• Graficar funciones con más de una regla de correspondencia.• Graficar funciones que involucren valoresabsolutos.

Unidad 2.F u n c i o n e s

• Realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones.• Reconocer el cambio gráfico de una función cuando ésta se suma con una constante.• Mediante un ejercicio utilizar el concepto de función biyectiva para determinar si una función tiene inversa, obtenerla, y comprobar a través de la composición que la función obtenida es la inversa.• Identificar la relación entre la gráfica de una función y la gráfica de su inversa.

Unidad 2.F u n c i o n e s

• Proponer funciones con dominio en losnúmeros naturales y recorrido en los números reales.• Plantear diversos arreglos ordenados denúmeros reales y reconocer cuáles de elloscorresponden a una sucesión.

A partir de ecuaciones reconocer funcionesque implícitamente estén contenidas en ellas.

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓNDEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN

UNA FUNCIÓN: una función puede UNA FUNCIÓN: una función puede considerarse como una considerarse como una correspondencia entre un conjunto correspondencia entre un conjunto (X) de números reales (x) a un (X) de números reales (x) a un conjunto (Y) de números reales (y), conjunto (Y) de números reales (y), donde donde cada valor de (y) corresponde cada valor de (y) corresponde a un sólo valor de (x).a un sólo valor de (x).

X

Y = f(X)

f

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN

Dominio

Codominio,(ContradominioRango, ámbito)

Variable independiente

Variable dependiente

Ejemplo

-5.00000 25.00000 -4.00000 16.00000 -3.00000 9.00000 -2.00000 4.00000 -1.00000 1.00000 0.00000 0.00000 1.00000 1.00000 2.00000 4.00000 3.00000 9.00000 4.00000 16.00000 5.00000 25.00000

x

y

f(x)=y=x^2 Dominio

Codominio(contradominio o rango o ámbito)

PRIMER NÚMERO

SEGUNDO NÚMERO

Pares ordenados de números (x , y)Pares ordenados de números (x , y)

-5

0

-1-2

-3-4

34

512

25

1

4

169

0

0.00000 undefined 0.20000 undefined 0.40000 undefined 0.60000 undefined 0.80000 undefined 1.00000 0.00000 1.20000 0.44721 1.40000 0.63246 1.60000 0.77460 1.80000 0.89443 2.00000 1.00000 2.20000 1.09545 2.40000 1.18322 2.60000 1.26491 2.80000 1.34164 3.00000 1.41421 3.20000 1.48324 3.40000 1.54919 3.60000 1.61245 3.80000 1.67332 4.00000 1.73205 4.20000 1.78885 4.40000 1.84391 4.60000 1.89737 4.80000 1.94936 5.00000 2.00000

X f(x)

X

Y

f(x) = y = x-1

DOMINIO CONTRADOMINIODOMINIO

Sea el conjunto A ={1, 2, 3}Le aplicamos la función: f(x) = x + 1Se obtienen los primeros tres elementos del conjunto B = {2, 3, 4, 5}Es decir:

Al conjunto A se llama dominio de la función.Al conjunto B se llama codominio de la función.A los elementos de B obtenidos a partir de f(x) se les llama imageno rango (en este ejemplo el codomino y la imagen NO tienen los mismos elementos).y = f (x): variable dependiente.x: variable independiente.

Inyectiva. Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.

Ejemplo 1: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: AB: f={(1,2), (2,1), (3,3)}Es decir, gráficamente queda:

Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente una línea.

ENTONCES ES INYECTIVA.

Ejemplo 2. Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: AB: f={(1,2), (2,1), (3,2)}(solo se cambio el número indicado en rojo) Gráficamente queda:

Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto

NO ES INYECTIVA.

Funciones suprayectivas. Cuando el rango y el codomino son iguales la función es suprayectiva.

Ejemplo 5: Sean los conjuntos:A = {1,2,3} y B = {2,4} y la función f = {(1,2), (2,2), (3,4)}

Gráficamente queda: Al conjunto B = {2,4} se le llama codominio.

El rango de la función también es I = {2,4} Como el codominio y el rango son iguales la función es

SUPRAYECTIVA

Sean los mismos conjuntos anteriores PERO con la función:f = {(1,2), (2,2), (3,2)} gráficamente queda de la siguiente forma:

El codomino B = {2, 4}. El rango o imagen es: I = {2} Como el codominio y el rango NO son iguales la función es NO ES SUPRAYECTIVA

En términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, laimagen deben ser todos los reales.

Funciones Biyectivas.

Para que una función sea biyectiva se requiereque sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva.

Ejemplo. La función f(x)=y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es biyectiva.

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Las funciones pueden clasificarse como inyectivas, suprayectivas y biyectivas; para entenderlo debemos recordar las definiciones de domino, imagen, codomino, variable dependiente y variable independiente

CLASIFICACIÓN DE LAS CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES POR SU FUNCIONES POR SU

NATURALEZANATURALEZA

Funciones algebraicasFunciones algebraicas: es aquella : es aquella que esta formada por un número que esta formada por un número finito de operaciones algebraicas finito de operaciones algebraicas

(suma, resta, multiplicación, (suma, resta, multiplicación, división, elevación de potencias y la división, elevación de potencias y la

extracción de raíces)extracción de raíces)

Función TrascendentesFunción Trascendentes: es aquella : es aquella que no cumple con las condiciones que no cumple con las condiciones

de una función algebraica de una función algebraica (trigonométricas, las exponenciales (trigonométricas, las exponenciales

y las logarítmicas) y las logarítmicas)

LAS FUNCIONES ELEMENTALES SE LAS FUNCIONES ELEMENTALES SE DISTRIBUYEN EN TRES CATEGORÍASDISTRIBUYEN EN TRES CATEGORÍAS

1. FUNCIONES ALGEBRAICAS 1. FUNCIONES ALGEBRAICAS (POLINÓMICAS, RADICALES, (POLINÓMICAS, RADICALES, RACIONALES)RACIONALES)

2.FUNCIONES TRIGONOMETRÍCAS 2.FUNCIONES TRIGONOMETRÍCAS (SENO, COSENO, TANGENTE, ETC)(SENO, COSENO, TANGENTE, ETC)

3. FUNCIONES EXPONENCIALES Y 3. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICASLOGARÍTMICAS

FUNCIONES POLINÓMICAS

y = 3

FUNCIÓN CONSTANTE f(X) = a (grado cero)

y = 2x + 1

FUNCIÓN LINEAL f(X) = ax + b (grado uno)

y = x2

FUNCIÓN CUADRÁTICA f(X) = ax2 + bx + c (grado dos)

y = x3 + 4x

FUNCIÓN CÚBICA f(X) = ax3 + bx2 + cx + d (grado tres)

y = x4 + 4x2+2

f(X) = ax4+ bx3 + cx2 + dx + e (grado cuarto)

y = x5 - 5x3 + 4

f(x) = ax5+ bx4+ cx3 + dx2 + ex + f (grado quinto)

FUNCIONES RACIONALES

Función racionalFunción racional

Una función racional puede Una función racional puede expresarse como el cociente de dos expresarse como el cociente de dos polinomiospolinomios

y = 2 x

y = 2 x

y = 2 x

y = 3 x – 5 x - 2

y = 1 + 3x - 2

y = x2 + 1 x

y = x2 - 1 x

y = 5 x 2 - 1

FUNCIONES IRRACIONALES

y = x

y = x + 3

y = x2 + 4

y = x2 - 4

FUNCIONES EXPONENCIALES

y = 2x

y = (1/2)x y = 2-x

y = ex

y = 10x

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

y = log2x

y = log1/2x

y = -log2x

y = Ln x

y = log x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

y = sen x

y = cos x

y = Tg x

y = cotg x

y = sec x

y = cosec x

Función definida parte por parte

Función definida parte por parte

Función inversa

f(x) = x − 5 2 f−1(x) = 2x + 10

Función inversa

Función implícita

x3 + xy − y3 = 0

Función implícita

Clasificación de las funciones Clasificación de las funciones por sus propiedadespor sus propiedades

Clasificación de funciones por sus Clasificación de funciones por sus propiedadespropiedades

Función creciente y decreciente.Función creciente y decreciente. Función par o impar.Función par o impar. Función simétrica.Función simétrica. Función periódicaFunción periódica

Función creciente y decreciente.Función creciente y decreciente.

Función CrecienteFunción Creciente

Función creciente y decreciente.Función creciente y decreciente.

Función decrecienteFunción decreciente

Función par o imparFunción par o impar

La función y = f(x) es par si f(-x) = f(x)

Función par o imparFunción par o impar

La función y = f(x) es impar si f(-x) = - f(x)

Función simétricaFunción simétrica

Funciones PeriódicasFunciones Periódicas

Sen (x) periódo:2 Cos (x) periódo:2 Tg (x) periódo:

CoTg (x) periódo: Sec (x) periódo: 2 Cosec (x) periódo:2