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COSTOS CONJUNTOS

1. PRODUCTOS CONJUNTOS

DEFINICION

Los productos conjuntos son productos individuales, cada uno con

valores de venta signifcativos, que se generan de manera simultnea

a partir de la misma materia prima y/o proceso de manuactura.

Ejemplos

- El aceite y la carne de soya: resultan del procesamiento de la

soya.- El petrleo crudo !ateria prima", a trav#s de un proceso de

refnacin llevado a ca$o por las industrias petroleras se

convierte en gasolina, com$usti$le para caleaccin y

queroseno.

CARACTERISTICAS DE LOS PRODUCTOS CONJUNTOS Los productos conjuntos tienen una relacin %sica que

requiere un procesamiento com&n simultneo. El proceso de

uno de los productos conjuntos resulta en el procesamiento

de todos los otros productos conjuntos al mismo tiempo.

'uando se producen cantidades adicionales de un producto

conjunto, las entidades de los otros productos conjuntos se

incrementaran proporcionalmente.

La manuactura de productos conjuntos siempre tiene un

punto de separaciones el cual surgen productos separados,

que se vendern como tales o se sometern a proceso

adicional. los costos incurridos despu#s del punto de

separacin, por lo general no causan pro$lemas de

asignacin porque pueden identifcarse con los productos

espec%fcos.

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(inguno de los productos conjuntos es signifcativamente

mayor en el valor de los dems productos conjuntos. Esta es

la caracter%stica que dierencia a los productos conjuntos de

los su$productos.2. COSTOS CONJUNTOS Y PUNTO DE SEPARACION

Los costos conjuntos poseen los siguientes elementos:

MATERIALES DIRECTOS

Es la que se identifca plenamente en la ela$oracin de un art%culo y

representa el costo principal de materiales en a$ricacin del

producto como por ejemplo el repuesto para a$ricar una pluma, la

uva para producir vino, el cacao para producir c)ocolate.

MANO DE OBRA DIRECTA

*on los pagos que se )acen a las personas que estn relacionadas

directamente con la a$ricacin del producto como pueden ser el

sueldo de quienes pegan las suelas a los +apatos, quienes cortan los

moldes para preparar pantalones, quienes ensam$lan los

automviles.

GASTOS INDIRECTOS DE FABRICACION

*on los gastos que intervienen en la ela$oracin del producto pero

que no se identifcan directamente con la a$ricacin de este, entre

los ms comunes tenemos:

epreciacin de la maquinaria utili+ada en la $rica. Energ%a el#ctrica utili+ada. *ueldo de supervisor tros materiales indirectos.

PUNTO DE SEPARACION

Costos antes del !nto de sea"a#$%n

Los costos conjuntos tiene una difcultad importante e in)erente a los

costos conjuntos, es que son indivisi$les es decir los costos conjuntos

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no son espec%fcamente identifca$les con alguno de los productos

que se est produciendo en orma simultnea, es por ello que el costo

se le asigna despu#s de fnali+ada la produccin de cada uno de los

productos generados de la misma materia prima.

Costos des!&s del !nto de sea"a#$%n

Los costos de procesamiento adicional son aquellos en los que se

incurre para producir productos individuales despu#s de )a$er

surgido el llamado punto de separacin de materias primas comunes

y/o procesos de manuactura com&n. Los costos de procesamientoadicional se componen simplemente de materiales directos, mano de

o$ra directa e indirecta de a$ricacin adicional incurridos para los

productos identifca$les despu#s del punto de separacin en

contraste con los costos conjuntos, los cuales se incurren para el

$enefcio de rodos los productos antes del punto de separacin.

DIFERENCIA ENTRE COSTOS CONJUNTOS Y COSTOS COMUNES

Los costos comunes son aquellos en que se incurre para ela$orar

productos de modo simultneo, pero cada uno de los productos

podr%a producirse por separado. or tanto, los costos comunes son

divisi$les y pueden asociarse espec%fcamente con cada uno de los

productos ela$orados, mientras que los costos conjuntos no.

E'e(lo)

El costo de la madera aserrada para un a$ricante de mue$les

constituye un costo com&n que puede asociarse en orma directa con

los diversos productos ela$orados. Es in)erente o$servar que el costo

de los r$oles para un aserradero es un costo conjunto porque no

pueden variarse los dierentes tipos de productos que resultan de los

ar$oles

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CONTABILI*ACION DE LOS PRODUCTOS CONJUNTOS

Los costos de los productos conjuntos de$en asignarse a los

productos individuales con el fn de determinar el inventario fnal del

tra$ajo en proceso y el inventario de art%culos terminados, el costo de

los art%culos manuacturados y vendidos, y la utilidad $ruta. 'omo se

anali+ anteriormente, no es posi$le la identifcacin espec%fca... por

tanto, de$e emplearse un m#todo apropiado para asignar una porcin

de los costos conjuntos a los productos conjuntos individuales. or lo

regular se utili+an tres m#todos para asignar a los costos conjuntos. El

m#todo de las unidades producidas se )ace con $ase en el volumen

los otros dos en el valor de mercado: el m#todo del valor de mercado

en el punto de separacin y el m#todo del valor neto reali+a$le.

En el siguiente ejemplo se presenta el costo de productos conjuntos.L0 1E23(E140 53-53 produce gasolina, petrleo para caleaccin y

com$usti$le para aviones a partir de la refnacin de petrleo crudo.

La refnacin inicial de 678,888 galones se empe+ en el

departamento 9. En #ste (; E *E010'3

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'0LE20''3

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Las siguientes estad%sticas adicionales se relacionan con L01E23(E140 53-53

DEPARTAMENTO

COSTOS DEPRODUCCI-N

COSTOSTOTALES DE TA

ALORDEMERCADO EN ELPTO DESEPARACI-N

ALOR FINALDE MCDODESPU/SDELPROCESAMIENTOADICIONAL

1 */.9A?,888.88 - -

2 */.B8,888.88

*/.?,888.88 */. 8.68 */. 9.9B

+ */.>8,888.88

*/.9,888.88 */. 8.C8 */. 9.88

, */.>B,888.88

*/.B,888.88 */. 8.DB */. 9.?8

TOTAL */.7CD,888.88

*/.98,888.88

Los costos de */. 9A?,888.88 del departamento 9 corresponden al

costo conjunto porque ocurren antes del punto de separacin y, por

tanto, se relacionan con los tres productos. Los costos de produccin

del departamento 7 */. B8,888.88", departamento > */. >8,888.88" y

departamento ? */. >B,888.88" se consideran costos de

procesamiento adicional porque ocurren despu#s del punto de

separacin.

M/TODO DE LAS UNIDADES PRODUCIDAS

5ajo este m#todo, la cantidad de produccin es la $ase para asignarlos costos conjuntos. La cantidad de produccin se epresa en

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unidades, que pueden ser toneladas, galones o cualquier otra unidad

de medida apropiada. El volumen de produccin para todos los

productos conjuntos de$e esta$lecerse en la misma escala. En caso

de que la $ase de medicin var%e de producto a producto, de$e

encontrase un denominador com&n.

El costo conjunto se asigna a cada producto en una proporcin de

produccin por producto so$re la produccin total del producto

conjunto multiplicado por un costo total conjunto.

La rmula es la siguiente:

ASIGNACI-N DEL COSTO CONJUNTO A

CADA PRODUCTO0

PRODUCCI-N

PRODUCTO

COSTO

CONJUNTOTOTAL

PRODUCTOS CONJ

e acuerdo con la inormacin de L0 1E23(E140 53-53, se reali+a lasiguiente asignacin de costos conjuntos

GASOLINA) 768,888/678,888 */. 9A?,888.88 F */. BA,888

PETR-LEO PARA CALEFACCI-N) >?8,888/678,888 */. 9A?,888.88

F */. A6,888

COMBUSTIBLE PARA AIONES) 788,888/678,888 */. 9A?,888.88

F */. ?8,888

COSTO CONJUNTO TOTALF */. BA,888 G */. A6,888 G */. ?8,888 F

*/. 9A?.888

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Los costos totales de ela$oracin de un producto se calculan comosigue:

PRODUCTOCOSTO CONJASIGNADO3DEP 14SOLES

5

COSTOPROCESAMIENTOADICIONAL 3DEP 26 + Y,4 SOLES

0

COSTO TOTDEPRODUCCI-N SOLES

=0*L3(0 BA888.88 B8888.88 98A888.88

E;1B888.88 CB888.88

TOTAL 9A?888.88 99B888.88 7CD888.88

El supuesto $sico de este m#todo es que todos los productos

generados a trav#s de un proceso com&n de$en cargrseles a una

parte proporcional del costo conjunto total con $ase en la cantidad de

unidades producidas. *e supone que los productos son )omog#neos y

que en un producto no requiere mayor o menor esuer+o costo" que

cualquier otro producto en el grupo. La caracter%stica ms interesante

de este m#todo es su simplicidad, no su eactitud.

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La principal desventaja de asignar los costos conjuntos con $ase en la

cantidad producida es que no se considera la capacidad del producto

para generar ingresos. or ejemplo, si a las partes de una res se les

asignara el costo conjunto slo con $ase al peso, las partes que se

venden como $istec tendr%an el mismo costo unitario de aquellas que

se venden como carne molida.

!#todo del valor de venta o mercado H !etodo de punto deseparacion.

5ajo este m#todo los costos conjuntos se asignan de acuerdo con losvalores de venta de los productos individuales.

*us deensores argumentan que eiste una relacin directa entre elcosto y el precio de venta. 0rgumentan que los precios de venta de

los productos se determinan principalmente por los costoscomprendidos en la produccin de esos productos.

Los costos de los productos conjuntos de$en ser asignados so$re la$ase del valor de venta de mercado de productos individuales.

La asignacin de los costos conjuntos so$re la $ase del valor de ventao de mercado es el m#todo de asignacin ms com&n.

Los procedimientos que se usan en este m#todo dependern de:

El valor de mercado en el punto de separacin es conocido.El costo conjunto total se asigna entre los productos conjuntosmediante la divisin del valor total de mercado de cadaproducto producido entre el valor total de mercado de todos losproductos producidos con el fn de o$tener una proporcin delos valores de mercado individuales con los valores totales demercado. Luego se multiplica esta proporcin por el total decostos conjuntos.

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'ostos conjuntosI 9>7888

roducto nidades >8888

@alor unitario de mercado I>.88

roducto ynidades >7888

@alor unitario de mercado I7.B8

roducto +nidades 78888

@alor unitario de mercado I>.B8

unto de separacin

2ormula:

@alor total de mercado

0signacin de costos conjuntos de cada productoJ

de cada producto 'ostos conjuntos

@alor total de mercadode todos los productosJJ

J @alor total de mercado de cada producto es igual a las unidadesproducidas de cada producto por el valor unitario de mercado de cadaproducto.

JJ @alor total de mercado de todos los productos es igual a la sumade los valores totales.

roducto K

I D,888.88 9" / I 7?8,888.88 ?" I 9>7,888.88 F I ?D,B88.88

roducto

I 6,888.88 7" / I 7?,888.88 ?" K I 9>7,888.88 F ??,888.88

roducto M

I C,888.88 7" / I 7?,888.88 ?" K I 9>7,888.88 F >6,B88.88

;;0L I9>7,888.88

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P"od!#tos Con'!ntos Y *

(&mero de unidades producidas >8,888 >7,888 78,888

@alor de mercado en el punto deseparacin

nitario I>.88 I7.B8 I >.B8

;otal ID8.888.88 I 68,888,88 I C8,888.88

;otal de costos conjuntos I 9>7, 888.88

@alor total de mercado de todos los productos

roducto K I D8,888.88

roducto 68,888.88

roducto M C8,888.88

I 7?8,888.88

*eg&n el m#todo del valor de mercado todos los productos sonigualmente renta$les, de$ido a los porcentajes iguales de utilidad$ruta. n deecto de esta conclusin es que este m#todo considerasolo el volumen producido de cada producto y no el volumen vendidode cada uno.

El valor de mercado en el punto de asignacin no es conocido.

Es posi$le que el valor de mercado de un producto conjunto no sepueda determinar cilmente en el punto de separacin.

or lo tanto, de$e )acerse una pequeNa modifcacin a la ormulapresentada anteriormente, es decir, de$e calcularse un valor)ipot#tico de mercado en el punto de separacin.

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'ostos conjuntos

I 9>7888

roducto nidades >8888

@alor de marcado unitarioI?.B8'ostos del procesamiento adicional IB888

roducto ynidades >7888

@alor de mercado unitario I?.88'ostos del procesamiento adicional I98888

roducto +nidades 78888

@alor de mercado unitario I?.88'ostos del procesamiento adicional I7B88

unto de separacin

El valor )ipot#tico de mercado se calcula su$strayendo del valor demercado del producto terminado el costo del procesamiento adicional.

El costo total de cada producto asignacin de costos conjuntos Gcostos de procesamiento despu#s del punto de separacin" secomputa de la siguiente manera:

El valor total )ipot#tico de mercado de cada producto se divide por elvalor total )ipot#tico de mercado de todos los productos con el fn dedeterminar la ra+n del valor individual de mercado con el valor totaldel mercado.

Esta ra+n se multiplica por el total de costos conjuntos y el resultadose aNade a los costos de procesamiento de cada producto Odespu#sde la separacinP

*upngase que se aNade la siguiente inormacin. Los productosconjuntos K, , M, no tienen un valor de mercado en el punto deseparacin. espu#s de procesamientos adicionales los valores demercado son los siguientes:

roducto K I ?.B8"

roducto I ?.88"

roducto M I ?.88"

Los costos adicionales de procesamiento despu#s de la separacinson los siguientes:

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producto K IB888.88", I98,888.88", M I7,B88.88"

2ormula

0l valor total )ipot#tico de

0signacin de costos !ercado de cada productoJ

conjuntos de cada producto F'tosconj. 5 'tos de procesamiento

@alor total )ipot#tico de mercado decada producto

e todos los productosJJdespu#s de la separacin

Jvalor total )ipot#tico de mercado de cada producto F unidadesproducidas de cada producto valor )ipot#tico de mercado de cadaproducto" H costos de procesamiento de cada producto despu#s de laseparacin.

JJvalor total )ipot#tico de mercado de todos los productos F suma detodos los valores totales )ipot#ticos de mercado de cada producto

roducto K I9>88889"/I>7BB88?" I9>7888" G IB888 F I

BC,C9D.88

roducto I9968887"/I>7BB88?" I9>7888" G I98888 F

BC,6B>.88

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roducto M ICCB88 >"/I>7BB88?" I9>7888" G I7 B88 F

>>,D76.88

;otal F I

9?D,B88.88

@alor total )ipot#tico de mercado de cada producto

PRODUCTO

UNIDADESPRODUCIDAS

ALOR DEPRODUCTODE CADAMERCADO

7

COSTOS DEPROCESAMIENTODESPU/SDELPUNTO DESEPARACION

0

ALORTOTAL8IPOTETICODELMERCADODECADA PROD.

K >8,888 I ?.B8 - I B,888.88 F I 9>8,888.88

>7,888 ? - 98,888.88 F 996,888.88

M 78,888 ? - 7,B88.88 F CC,B88.88

@alor total )ipot#tico de mercado de todos los productos

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I9>8,888.88 G I996,888.88 G ICC,B88.88 F I>7B,B88.88

*eg&n el m#todo del valor de venta o de mercado, un cam$io en elvalor de mercado de algunos de los productos originar un cam$io enlos costos asignados a esos productos aunque no )aya ocurridocam$io alguno en la produccin.

SUBPRODUCTOS

Los su$productos son aquellos productos de valor de venta limitado,

ela$orados de manera simultnea con productos de valor de venta

mayor, conocidos como productos principales o productos conjuntos.or lo general los productos principales a$rican en mayor cantidad

que los su$productos.los su$productos pueden resultar de la limpie+a

de productos principales o de la preparacin de materias primas

antes de su utili+acin en la manuactura de los productos principales,

o pueden ser desec)os que quedan despu#s del procesamiento de

los productos principales.

espu#s de )a$er surgido junto con los productos conjuntos en elpunto de separacin, los su$productos pueden venderse en el mismo

estado en que se produjeron inicialmente o someterse inicialmente a

procesamiento adicional antes de venderlos.

En ocasiones se presenta el pro$lema de clasifcar un producto como

su$producto o como desec)o.la dierencia $sica entre los dos radica

en que los su$productos tienen mayor valor de venta que los

desec)os. 0dems, por lo general los desec)os se venden

inmediatamente, mientras que los su$productos de$en pasar con

recuencia por un proceso adicional despu#s del punto de separacin

con el o$jeto de poder venderlos.

CONTABILI*ACION DE LOS SUBPRODUCTOS

Los su$productos al igual que los productos conjuntos, se generan a

partir de una materia prima com&n y/o de un proceso de manuactura

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com&n.los costos conjuntos no son directamente asocia$les a los

productos principales o a los su$productos. uesto que los

su$productos por lo general son de importancia secundaria en la

produccin, los m#todos de asignacin de costos diferen de aquellos

empleados para los productos conjuntos.los m#todos de costeo de

su$productos se clasifcan en dos categor%as: categor%a 9, en la cual

los su$productos se reconocen cuando se venden y categor%a 7, en la

cual los su$productos se reconocen cuando se producen.

CATEGORIA 1

Los su$productos se consideran de menor importancia y por tanto,

no se les registra en el ingreso )asta que se venden. El ingreso neto

de los su$productos es igual al ingreso de las ventas reales menos

cualquier costo real de procesamiento adicional y gastos

administrativos y de mercadeo .el ingreso neto de los su$productos

puede presentarse en el estado de ingreso como:

9. una adicin al ingreso, $ien sea en la parte de Ootras ventasP o en

Ootros ingresosP.

7. una deduccin del costo de los art%culos vendidos del producto

principal.

EQE!L:

El producto principal de la empresa plus son listones de madera, que

se cortan en el departamento 9 y que no requieren de procesamiento

adicional. El aserr%n acumulado del proceso de corte en el

departamento 9 se transfere al departamento 7, donde se empaca

para venderlo como un su$producto. 0 continuacin se presentan los

datos de costos y de ingresos.

'ostos totales de produccin:

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epartamento 9 >9,B88

epartamento 7 s/A8 de materiales directos s/>8 de mano

de o$ra directa

y 98 de costos indirectos de a$ricacin" 988

nidades del producto principal:

roducidas 96,888

@endidas 9B,888

3nventario 2inal >,888

nidades del su$producto:

roducidas 7,688

@endidas 7,B88

3nventario 2inal >88

=astos administrativos y de mercadeo estimados:

roducto principal >,7B8

*u$producto B88

3ngreso por ventas reales:

roductos principales 9B888 unidades a s/7.B8 por unidad" >C,B88

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*u$producto 7B88 unidades a s/8.D8 por unidad" 7,7B8

tilidad $ruta esperada en los su$productos ?8R

1.INGRESO NETO DE SUBPRODUCTOS TRATADO

COMO OTRO INGRESO)

@entas producto principal"

>C,B

88

'ostos de venta del producto principal:

'ostos totales de produccin

>9,B8

8

!enos: 3nventario fnal >888J9.CB"B,7B8

'osto total de venta del producto principal

7A,7

B8

tilidad $ruta

99,7

B8

=astos de mercadeo y administrativos del producto principal

>,7B

8

tilidad operacional

6,88

8

tras

utilidades:

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tilidad neta de los su$productos 77B8-988GB88""

9,AB

8

tilidad neta96:;9B88/96888F9.CB

2. INGRESO NETO DE SUBPRODUCTOS TRATADO COMO UNA

DEDUCCION DEL COSTO DE LOS ARTICULOS ENDIDOS DEL

PRODUCTO PRINCIPAL)

@entas producto

principal" >C,B88

'ostos de venta del producto

principal:

'ostos totales de

produccin >9,B88

!enos: 3nventario fnal

>888J9.CB" B,7B8

'osto total de venta del producto

principal 7A,7B8

!enos: 3ngreso neto por

su$producto 9,AB8

7?,A8

8

tilidad

$ruta 97,D88

=astos de mercadeo y administrativos del producto

principal >,7B8

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tilidad

neta 96:;a?le)

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2.7 METODO DE COSTO DE REERSION) El valor esperado del

su$producto producido se reduce por los costos esperados de

procesamiento adicional y la utilidad $ruta normal del su$producto o

por los gastos de mercado y administrativos y la utilidad neta". Este

se denomina m#todo del costo de reversin por que de$e tra$ajarse

)acia atrs a partir de la utilidad $ruta para o$tener el costo conjunto

estimado del su$producto en el punto de separacin. 'uando se

deducen de la utilidad $ruta los costos de procesamiento adicional y

la utilidad $ruta normal del su$producto, la parte restante constituye

el costo estimado de producir el su$producto )asta el punto de

separacin.

El costo conjunto asignado a la produccin del su$producto se deduce

del costo total de produccin del producto principal y se cargan a una

cuenta de inventario de su$productos. Las utilidades de la venta del

su$producto se tratan de igual manera que las ventas de producto

principal.

0quellas compaN%as que respaldan el m#todo del costo de reversin

consideran que de$e darse un reconocimiento por separado al

su$producto en el estado de ingresos en un ru$ro de l%nea, si su valor

es signifcativo. El m#todo del costo de reversin adems le da al

su$producto una parte asignada del costo conjunto.

El siguiente ejemplo so$re el m#todo del costo de reversin se $asa

en la inormacin precedente de splinter saSmill company:

M&todo del #osto de "e=e"s$%n )

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ASIENTOS EN EL LIBRO DIARIO PARA SUBPRODUCTOS

Loa asientos en el diario para conta$ili+ar los su$productos

dependern de si los costos de produccin se asignan o no al

su$producto.

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CATEGORIA 1)Los su$productos se reconocen cuando se venden.

'uando una compaN%a sigue los m#todos de la categor%a, no se

esta$lece una cuenta de inventario de su$productos. Los costos de

procesamiento adicional se causan cuando se incurren, y los costos

de ventas se causan en el momento de la venta. or ejemplo los

asientos en el diario correspondiente a la categor%a 9 serian:

La conta$ili+acin de los su$productos de acuerdo con los m#todos

epuestos en la categor%a 9 solo es apropiada cuando la gerencia

considere que el ingreso neto del su$producto no es signifcativo y

que los costos adicionales involucrados en los esta$lecimientos de uninventario de su$productos no se justifcan.

Cate@o"a 2: Los su$productos se reconocen cuando se producen.

Los asientos en el li$ro diario $ajo esta categor%a dependern de si se

utili+a el m#todo del valor neto reali+a$le o en el costo de reversin

para valorar los su$productos. Los asientos en el li$ro diario

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relacionados con la conta$ili+acin de los productos $ajo el m#todo

del valor neto reali+a$le, con $ase en el ejemplo anterior serian:

Los asientos en el li$ro diario relacionados con la conta$ili+acin de

su$productos $ajo el m#todo del costo de reversin, con $ase al

ejemplo anterior seria:

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ara registrar el costo de los su$productos vendidos, calculado como

sigue:

'ostos totales de produccinTTTTTTTTTTTI 9,B97

!enos: 3nventario fnalTTTTTTTTTTTTTT..T.9A7

;otalTTTTTTT..TTTTTTTTTTTTTTTTTT..9,>B8

$s#rvese que el inventario fnal de su$productos de I 9A7 >88

unidades ? 8.B?" de$e aparecer en el $alance general.

I 9,B97 / 7,688 unidades F I 8.B? por unidad

5ajo el m#todo del costo de reversin de valori+acin de

su$productos , los asientos en el li$ro diario siguen el mismo ormato

utili+ado para conta$ili+ar el producto principal puesto que a los

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su$productos se les da un estado compara$le al de un producto

principal .

UNIDADES DAADAS6 UNIDADES DEFECTUOSAS6 MATERIALES

DE DESEC8O Y MATERIALES DE DESPERDICIO

El costeo de productos conjuntos y su$productos no constituye un

nuevo sistema de acumulacin de costos, por el contrario, es una

modifcacin de un sistema de acumulacin de costos por procesos.

or consiguiente, cuando se presentan unidades daNadas, unidades

deectuosas, material de desec)o, o material de desperdicio de la

produccin de productos conjuntos y su$productos, el tratamiento de

estas partidas depender del sistema empleado.

EFECTOS DE LA ASIGANCION DE COSTOS CONJUNTOS SOBRE

LA TOMA DE DECISIONES.

La t#cnicas de asignacin anali+adas en este capitulo no de$en

utili+arse por parte de la gerencia para propsitos de toma de

decisiones. La toma de decisiones, por lo general involucra decisiones

de produccin, de procesamiento adicional y de fjacin de precios. En

cada una de estas decisiones, la asignacin del costo conjunto no

constituye inormacin relevante y puede ser contraproducente. La

asignacin de los costos conjuntos se )ace solo para propsitos de

costeo de productos y no de$e inUuir en la planeacin y el control de

los costos conjuntos de la gerencia.

La naturale+a misma de los productos conjuntos y su$productos limita

la Uei$ilidad de las decisiones. Las caracter%sticas %sicas de los

productos principales requieren que se a$riquen todos los productos

en el grupo. 'uando los productos manuacturados son

proporcionalmente fjos en cantidades con relacin a cada uno, la

decisin de producir mayor o menor cantidad de un producto

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BIBLIOGRAFIAS

Ma. Ma@dalena A""edondo Gon>le>. Ca"les T. 8o"n@"en S"$nt M. Data" Geo"@e Foste"