Cttrig 5s Ivp

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” TRIGONOMETRÍA

5º SECUNDARIA – IV PERIODO – 2008

XI. ECUACIONESTRIGONOMÉTRICAS

Son igualdades que contienen funciones de ángulos desconocidos que solamente se verifican para ciertos valores de esos ángulos que se llaman soluciones de la ecuación:

SOLUCIÓN BÁSICA (S.B)Son aquellas que están comprendidas en [O; T], donde “T” es el período de la función.

OBSERVACIÓN

ANG. REDUCIDO

ANG. REDUCIDO

IIC = 180° - = 180° - IIIC = - 180° = 180° + IVC = 360° - = 180° -

Donde : ángulo de referencia.

EXPRESIÓN GENERAL DE TODOS LOS ÁNGULOS O ARCOS QUE TIENEN UNA MISMA FUNCIÓN

TRIGONOMÉTRICA

Valor Principal (Vp):

1) E.G. PARA EL SENO Y COSECANTE

XG = k + (-1)KVp = 180°k + (-1)KVp

Donde : k: entero

2) E.G PARA EL COSENO Y SECANTE

XG = 2k Vp = 360°K Vp

3) E.G PARA LA TANGENTE Y COTANGENTE

XG = K + Vp = 180° + Vp

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Resuelve : Sen x= para x [0; 2]

Solución : En la C.T.

Del gráfico las soluciones son :

2) Resuelve : Tg2x = 1 para x [0; 2]

Solución :

Luego :

2x =

x =

Tomando los valores que se encuentran en {0; 2]

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 11

1).- Resuelve y dar una solución de:

Tgx + Tg2x + Tg4x = Tgx Tg2x Tg4x

a) /4 b) /6 c) /5d) /7 e) N.A

2).- Resuelve: 2Senx Cosx – 2Cos2x+1 = 0

a) b)

c) d) e) k

3).- Resuelve :

Cosx Cosy = 3/4Senx Seny = ¼

a) 60°; 0° b) 45°; 15° c) 30°; 60°d) 30°; 30° e) 37°; 23°

4).- Resuelve : 2Cos2x – Sen3x = 2

a) k b) k + c) k -

d) k + e) k -

5).- Resuelve: Sen2x Sen6x = Sen3x Sen5x.Indicar un conjunto solución.

a) k b) 2k c) k/5

d) k/7 e) k/8

6).- Resuelve: x + y =

Tgx + Tgy = 1

E indica los ángulos positivos del primer cuadrante.

a) x = y = b) x = y =

c) x = 0; y = d) x = y =

e) x=

7).- Resuelve: Tgx + Ctgx = -4

a) 105° b) 110° c) 120°d) 130° e) 140°

8).- Resuelve:

(1+Tgx) (1+Tgy) = 2 x + y = 15°

a) x=15° b) x=30° c) x=30° y=30° y=10° y=15°

d) x=y e) x=2y

9).- Resuelve: Senx + Cosx = 1Indica la tercera solución positiva.

a) 0 b) /2 c) d) 3/2 e) 2

10).- Resuelve la ecuación:

178

y

x

½ ½ /65/6

C.T.

/4

5/4

0

1



Sen6x+Cos6x=0,25

Para: 90° < x < 180°

a) 115° b) 130° c) 145°d) 135° e) 150°

11).- Resuelve e indica un valor de “x” en: Tg2x = 2Tgx

a) /4 b) /3 c) /2d) /6 e)

12).- Si: Sen2x=Cosx. Halla la diferencia entre los primeros ángulos que satisfacen la ecuación.

a) /3 b) 2/3 c) /6d) /5 e) N.A

13).- Resuelve : Sen2x = Senxpara valores de x menores que 360°.

a) 0°, 45°, 90°, 180° b) 45°, 60°, 120°, 240°c) 30°, 60°, 120°, 240° d) 45°, 135°, 225°, 315e) 0°, 60°, 180°, 300°

14).- Resuelve:Sen2xCosx + Cos2xSenx = 1

a) b)

c) d)

e)

15).- Resuelve: Tg3x = Tg 5x

a) k b) k/2 c) k/3 d) 2k e) k/4

16).- Resuelve:

Sen5x Cosx-Cos5x Senx =1/8

a) x =

b) x =

b) x =

d) x =

e) N.A.

17).- Resuelve:

Cos2x = Cosx + 1

a) Arc Cos

b) Arc Cos

c) Arc Cos

d) Arc Cos

e) N.A.

18).- Halla el arco positivo “x” más pequeño de modo que se cumpla:

3Tg2x = 2Cos2x

a) 30° b) 45° c) 60°d) 75° e) 15°

19).- Resuelve e indicar una soluciónTgx + Tg2x + Tg2xTgx =

a) /9 b) /3 c) /5d) /4 e)

20).- Resuelve:aTgx = bTg3x

a)

b)

c)

d)

e)

21).- Resuelve e indica la menor solución positiva en : 2Cos2x + 4Sen2x = 3

a) 0° b) 30° c) 45° d) 60° e) 53°

22).- Indica la menor solución positiva : 1 + Sen2x = 7Cos2x

a) 30° b) 45° c) 60°d) 53° e) 37°

23).- Resuelve : Cosx – 1 = Cos2x

a) 45° b) 60° c) 90° d) 80° e) 120°

24).- Resuelve e indica las soluciones positivas menores de 360° para Tg2x + Secx = 1

a) 0°, 120°, 240° b) 80°, 120°c) 0°, 60°, 120° d) 90°, 270°e) 30°, 60°, 90°

25).- Resuelve e indica la menor solución positiva : Ctg2x + Ctgx = 0

a) 30° b) 45° c) 60°d) 75° e) 12°

26).- Resuelve e indica la peor solución positiva en : Secx(1+ Cos2x) = 1

a) 30° b) 45° c) 60°

d) 75° e) 90°

27).- Resuelve : Sen5x + Senx = Sen3x e indica como respuesta la suma de todas las soluciones positivas menores de 180°.

a) 40° b) 180° c) 240° d) 300° e) 360°

28).- Resuelve : Cos3x- 2Cos2x + Cosx = 0 e indica la solución /2

x

a) 5/6 b) 2/3 c) 3/4d) 7/12 e) N.A

29).- Resuelve : 3Tg2x + 5 = 7Secx, siendo k entero.

a) 2k /3 b) k /3

c) k/2 /3 d) 2k /6

e) 2k /4

30).- Resuelve : Sen5x – Sen3x + Senx = 0 e indica una solución general para x

0 siendo k entero.

a) k + /6 b) k /6

c) k /3 d) k (-1)k/6

e) 2k /6

CLAVES DE RESPUESTAS1) d 2) a 3) d 4) a

5) a 6) c 7) a 8) a

9) c 10) d 11) e 12) a

13) e 14) d 15) b 16) e

179



17) d 18) c 19) a 20) d

21) c 22) c 23) b 24) a

25) c 26) c 27) e 28) c

29) a 30) e

XII. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

1. LEY DE SENOS

R : Circunradio

2. LEY DE COSENOS

a2 = b2 +c2 – 2bcCosAb2 = a2 + c2 – 2acCosbc2 = a2 + b2 – 2abCosC

3. LEY DE PROYECCIONES

a = bCosC + cCosBb = aCosC + cCosAc = aCosB + bCosA

ÁREA DE UN TRIÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

S = abSenC

S = acSenB

S = bcSenA

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 12

1).- En un triángulo ABC reduce :

(R : circunradio)

a) a b) b c) cd) 2a e) 2b

2).- En un triángulo ABC se cumple :a2 = b2 + c2 – (2/3)bc. Calcula TgA

a) 1/3 b) 3 c) 2

d) /4 e) 3/2

3).- Si el perímetro del triángulo ABC es 24 y el circunradio mide 5. Halla : SenA + SenB + SenC

a) 1,2 b) 2,4 c) 2,8d) 2,6 e) 1,8

4).- En un triángulo ABC se cumple : a2 = b2 + c2 + bc b2 = a2 + c2 - ac. Halla la medida del ángulo C

a) 15° b) 45° c) 75°d) 60° e) 30°

5).- En un triángulo reduce : K = abc SenA(CtgB +CtgC)

a) a3 b) b3 c) c3

d) abc e) 3abc

6).- En que triángulo se cumple :

a) Isósceles b) Rectángulo c) Obtusángulo d) Escalenoe) Equilátero

7).- Reduce en triángulo ABC :

(R : circunradio)

a) 2R b) 4R c) 6Rd) R e) 3R

8).- Dado un triángulo ABC tal que:

Obtener el valor de “SecA”

a) 1 b) -1 c) 2 d) e) -2

9).- Dado un triángulo ABC, a que es igual: (p=semiperímetro)E=(b+c) CosA+(a+c) CosB+(a+b)

CosC

a) p b) 2p c) 2 d) e) -2

10).- Dado un triángulo ABC reduce la expresión:

a) TgA b) CtgA c) TgBd) CtgB e) a/b

11).- En un triángulo ABC, se tiene que:

a2-b2-c2=2/3 bcDetermina el valor de: Tg(A/2)

a) 1 b) c)

d) 2 e)

12).- Se tiene un triángulo ABC para el cual:

Obten el valor del ángulo A

a) 15° b) 45° c) 75°d) 135° e) 165°

13).- Se tiene un triángulo ABC en el que la suma de los cuadrados de los lados es el triple del cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Se pide calcular:

E=Cos2A+Cos2B+Cos2C

180

A

BC

R

b

a

c

A

BC

S

b

a

c

bCosC cCosB

A

BC



a) 1/2 b) 1 c) 2/3 d) 3/2 e) 2

14).- Las medidas de los lados de un triángulo están expresados por tres números consecutivos. Si el valor de la tangente de la mitad del menor ángulo es 1/2. Determinar el valor del Coseno del mayor ángulo.

a) 3/5 b) 4/5 c) 5/13d) 12/13 e) 13/14

15).- Dado un triángulo ABC. Simplificar:

a) a b) 2a c) 4ªd) abc e) 2abc

16).- Si en un triángulo se cumple que:

(R: Circunradio). Halla el valor de:E=TgA TgB TgC

a) 1 b) 0 c) 1/2d) 2 e) 3

17).- En un triángulo ABC se cumple que:3(a+c) (a-c)=b(2c+3b)

Calcular el valor de CosA

a) 1 b) -1/3 c) 1/3d) 1/2 e) -1/2

18).- En un triángulo ABC, se cumple que AB=3 mA=45° y mB=105°. Calcula BC.

a) b)

c)

d) e)

19).- En un triángulo ABC, se cumple:a-b=2 y C=5. Calcula:

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3

20).- Si el Coseno del mayor ángulo agudo de un triángulo de lados enteros consecutivos es 1/5. Hallar el perímetro de dicho triángulo.

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

21).- Resuelve el triángulo ABC, si a = , b2 + c2 = 5 y A = 60.

a) 45°,65°,1 y 2b) 30°,90°,1 y 2c) 15°,105°,2 y 3 d) 45°,75°,2 y

e) 30°,90°, y 2

22).- Determina el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son proporcionales a los números 7, 8 y 13.

a) 30° b) 60° c) 90°d) 120° e) 150°

23).- Los catetos de un triángulo ABC miden AB = 3 Y BC = . Si giramos un triángulo de 60° alrededor de BC, halla el coseno del ángulo que se forma la primera y la nueva posición de la hipotenusa AC.

a) 21/25 b) 23/32 c) 25/32d) 27/32 e) 18/25

24).- En un triángulo ABC, reduce:

K = bcCos2(A/2)+acCos2(B/2)+abCos2(C/2)

a) p b) 2p c) 2p2

d) p2 e) p2/2

25).- En un triángulo ABC, se tiene que la medida del ángulo A es igual a 2 veces la medida del ángulo B, halla el valor de :

M =

a) 0 b) 1 c) 2d) 1/2 e) 1/4

26).- En un triángulo ABC a que es igual :

E =

( R : circunradio; r: inradio)

a) Rr b) 2Rr c) Rr/2d) 4Rr e) R+r

27).- En un triángulo ABC, se cumple : b = 3 + , c = 3 - y el ángulo A = 60°.

Halla el lado a.

a) 3 b) 2 c) 6

d) 4 e) 2

28).- Si en un triángulo ABC :

¿Qué relación cumplen los lados?

a) Progresión aritméticab) Progresión geométrica

c) Progresión armónicad) No existe triángulo para esa condición

e) Los lados son iguales

29).- Si un triángulo ABC ; bc = 8S CosA. Halla A. Donde S : área de dicho triángulo ABC.

a) /3 b) /6 c) /4d) /8 e) /12

30).- En un triángulo ABC, se cumple que :

calcula el valor de la expresión :

a) b) /2 c)

2d) 1 e) 2

181



CLAVES DE RESPUESTAS

1) d 2) c 3) b 4) a

5) a 6) e 7) e 8) c

9) b 10) d 11) b 12) e

13) d 14) c 15) b 16) c

17) b 18) b 19) d 20)d

21) b 22) d 23) b 24) d

25) b 26) b 27) e 28) b

29) e 30) c

182

Cttrig 5s Ivp

Documents

Transcript of Cttrig 5s Ivp