PERMETROS Y REAS POLIGONALES

TEMA N 1

Lectura motivadora

PITGORAS DE SAMOS

Originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la poca de este filsofo la isla era gobernada por el tirano Polcrates. Como el espritu libre de Pitgoras no poda avenirse a esta forma de gobierno, emigr hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una asociacin que no tena el carcter de una escuela filosfica sino el de una comunidad religiosa. Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemticas han nacido en el mundo griego de una corporacin de carcter religioso y moral. Ellos se reunan para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir en comunidad. En la Escuela Pitagrica poda ingresar cualquier persona, hasta mujeres!. En ese entonces, y durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en las escuelas. Se dice que Pitgoras se cas con una de las alumnas.El smbolo de la Escuela de Pitgoras y por medio del cual se reconocan entre s, era el pentgono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas).

Debido a la influencia poltica que tuvo la Escuela en esa poca, influencia que era contraria a las ideas democrticas existentes, se produjo, tal vez, despus del ao 500 una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitgoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Algunos piensan que un ao ms tarde muri asesinado en otra revuelta popular en Metaponto.Se debe a Pitgoras el carcter esencialmente deductivo de la Geometra y el encadenamiento lgico de sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros das.

SESIN 1

Matemtica aplicadaa la fsica

NOTITA IMPORTANTE

Duracin exacta de un ao

Un ao en realidad dura 365 das y un cuarto.La duracin exacta de unao, es decir, el tiempo que tarda la tierra en dar la vuelta alrededor del Sol, es de 365 das, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos, lo que se resume como 365 das y un cuarto (que en realidad serian 365 das y 6h). Por eso, cada cuatro aos tenemos un ao bisiesto, de 366 das.

Adems, para corregir la inexactitud de 365 das y un cuarto, ciertos aos que deberan ser bisiestos no lo son. La regla para saber si un ao es bisiesto o no es la siguiente:

Un ao es bisiesto si es divisible por 4, excepto aquellos divisibles por 100 pero no por 400.

As, 1900 no sera bisiesto pero s el 2000, en cambio, el 2100 tampoco lo sera.

FUNDAMENTACIN TERICARAZONES TRIGONOMTRICAS EN EL TRINGULO RECTNGULO

En este tema veremos las principales relaciones que existen entre los ngulos agudos y los lados de un tringulo rectngulo.

Las razones trigonomtricas son seis, nosotros en esta oportunidad veremos slo tres

De la figura:

Para el ngulo (:

Cateto adyacente:bCateto opuesto:aHipotenusa:hsen ( = a/hcos ( = b/h

tg ( = a/b

Para el ngulo :

Cateto adyacente:aCateto opuesto:bHipotenusa:hsen = b/hcos = a/h

tg = b/a

TRINGULOS NOATBLES

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS NOTABLES(sencos

0010

167/2524/257/24

301/2

373/54/53/4

45/2/21

534/53/54/3

60/21/2

7424/257/2524/7

9010

TEOREMA DE PITGORAS

EJERCICIOS DESARROLLADOS

01.De la figura. Hallar b.

Resolucin

Aplicando el teorema de Pitgoras.

b2 = 62 + 82

b2 = 36 + 64

b2 = 100 ( b =

b= 10

02.De la figura. Hallar sen(; cos( y tg(.

Resolucin

Aplicando el teorema de Pitgoras hallamos b.

b2 = 52 + 122

b2 = 25 + 144 ( b2 = 169

b = ( b = 13

03.De la figura. Hallar a y b.

Resolucin

De tringulos notables.

Comparando:

4k = 8 ( k = 2

(a = 3k

a = 3(2) ( a = 6

b = 5 k

b = 5(2) ( b = 10

04.De la figura mostrada. Hallar a + b

Resolucin

De tringulos notables.

Comparando

k = 8 ( k = 8

(b = k ( b = 8

a = 2k ( a = 2(8) ( a = 16

(a + b ( 8 + 16

a + b ( 24

05.Simplificar:

Resolucin

(

(

PRCTICA DE CLASE

01.De la figura. Hallar a

a) 25b) 31c) 17

d) 4e) 50

02.De la figura. Hallar b

a) 10b) 30c) 20

d) 25e) 5

03.De la figura. Hallar: a + b

a) 14b) 12c) 15

d) 20e) 25

04.De la figura. Hallar c.

a) 4b) 6c) 8

d) 10e) 1205.De la figura. Hallar: a . b

a) 180b) 120c) 60

d) 90e) 100

06.De la figura. Hallar: x . y

a) bb) 36c) 72

d) 18e) 1

07.Calcular:

a) 1b) 1/2c) 1/4

d) 4e) 2

08.Calcular:

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 1/2

09. Calcular:

a) 1b) 2c) 3

d) 1/2e) 1/410.Calcular:

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

11.Calcular de la figura: Tg( . Tg(

a) 1b) 2c) 3

d) 5/12e) 25/144

12.De la figura. Calcular: Tg( + Ctg(.

a) 7/25b) 14/25c) 1/25

d) 1e) 25/14

13.De la figura. Hallar (

a) 30b) 37c) 53

d) 45e) N.a.

14.Hallar: b

a) 24b) 36c) 48

d) 100e) 28

15.Calcular:

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) N.a.

TRANSFERENCIA

01.De la figura. Hallar x

a) 12b) 24c) 36

d) 6e) 14

02.De la figura. Hallar (

a) 37b) 30c) 45

d) 53e) 60

03.Calcular:

a) 1b) 2c) 3

d) 1/2e) 3/2

04.De la figura. Hallar (

a) 37b) 38c) 45

d) 53e) 60

05.Calcular:

a) 1/2b) 2/3c) 4/3

d) 3/4e) 3/2

EJERCICIOS PROPUESTOS N 0101.De la figura. Hallar b

a) 10b) 15c) 15

d) 10

e) 12

02.De la figura. Hallar c

a) 170b) 70c) 130

d) 65e) 150

03.De la figura. Hallar a . b

a) 1500b) 1200c) 2000

d) 800e) 2500

04.De la figura. Hallar a

a) 5b) 5

c) 10

d) 10

e) 15

05.De la figura. Hallar: b2 a2

a) 21b) 42c) 14

d) 15e) 24

06.De la figura. Hallar: x+y

a) 6b) 12

c) 12

d) 14e) 24

07.Calcular:

a) 1,5b) 2c) 2,5

d) 3,5e) 4

08.Calcular:

a) 1b) 1/2c) 2

d) 2/3e) 1/4

09.Calcular:

a) 1/2b) 1c) 3/2

d) 2e) 5/2

10.De la figura:

Hallar:

a) 20/7b) 31/12c) 12/31

d) 4/41e) 17/20

11.Calcular:

a) 1/2b) 1c) 3/2

d) 2/3e) 4/3

12.Hallar b

a) 10b) 10

c) 12

d) 10

e) 20

13.Hallar: (

a) 30b) 53c) 37

d) 60e) 45

14.Calcular:

a) 0,5b) 1c) 1,5

d) 2e) 2,5

15.De la figura. Hallar:

a) 39/64b) 64/39c) 15/40

d) 13/28e) 40/3

SESIN 3

TEMA N 2

ANALISIS DIMENSIONAL

Lectura motivadoraGALILEO GALILEIGalileo Galilei naci el 15 de febrero de 1564 en Pisa, Italia. Galileo inici el "mtodo cientfico experimental", y era el primero en utilizar un telescopio que refractaba para hacer descubrimientos astronmicos importantes.

En 1604 Galileo aprendi de la invencin del telescopio en Holanda. De la descripcin ms pelada l construy un modelo sumamente superior. Con l hizo una serie de descubrimientos profundos incluyendo las lunas del planeta Jpiter y las fases del planeta Venus (similar a los de la luna de la tierra).Como profesor de astronoma en la Universidad de Pisa, requirieron a Galileo ensear la teora aceptada de su tiempo que el sol y todos los planetas giran alrededor de la tierra. Ms adelante en la Universidad de Padua lo expusieron a una nueva teora, propuesta por Nicolaus Copernicus, de que la tierra y el resto de planetas giran alrededor del Sol. Las observaciones de Galileo con su telescopio nuevo lo convencieron de la verdad de la teora sol-centrada o heliocntrica de Copernicus.La ayuda de Galileo para la teora heliocntrica lo puso en apuro con la iglesia catlica. En 1633 la inquisicin le condenaba como hereje y fue forzado al "recant" (retrese pblico) su ayuda de Copernicus. Lo condenaron al encarcelamiento de por vida, pero debido a su edad avanzada le permiti que terminara su detencin en su chalet fuera de Florencia, Italia.

Galileo como cientfico pone la originalidad en su mtodo de investigacin. Primero l redujo problemas a un sistema simple de trminos en base de experiencia diaria y comn de lgica. Despus l los analizaba y resolvi segn descripciones matemticas simples. El xito con el cual l aplic esta tcnica al anlisis del movimiento abri la manera para la fsica matemtica y experimental moderna. Isaac Newton utiliz una de las descripciones matemticas de Galileo, "la ley de la inercia," como la fundacin para su "primera ley del movimiento." Galileo muri en 1642, el ao del nacimiento del neutonio.

SESIN2ANALISIS DIMENSIONALNOTITA IMPORTANTE

El agua caliente se congela antes que la agua fraEl agua caliente se congela antesque la fra.A veces, los resultados de los experimentos cientficos son totalmente desconcertantes y van en contra de nuestro sentido comn ms profundo. El caso descrito a continuacin es bastante sorprendente.El agua caliente se congela antes que la fra.

Esto es debido a diferentes causas:1)En el recipiente caliente el lquido circula mejor, con lo cual el agua caliente de la zona central se mueve con ms rapidez hacia las paredes del recipiente o hacia la superficie superior producindose su enfriamiento.2)En el agua caliente se libera una mayor cantidad de gas disuelto, facilitndose as un enfriamiento.3)El agua caliente al evaporarse pierde ms cantidad de masa (vapor de agua) y calor que el agua fra.

FUNDAMENTACIN TERICA

CANTIDAD FISICAEs todo aquello susceptible de medicin, por ejemplo la estatura de una persona, el volumen de una habitacin, la masa de un cuerpo, la duracin de un evento (tiempo), etc.

MEDICIONEs la comparacin de la cantidad que se desea medir con otra que se escoge previamente como referencia, a la cual denominaremos unidad de medida.

MEDIDAEs el resultado de la medicin, es un nmero real (N) acompaado del nombre de la unidad de medida que se utiliz.

Medida = NU

N:# real

U:Nombre de la unidad de la medida utilizada en la medicin.

Ejm: Son medidasi)a = 7mii)b = 8kg

m: metro

Kg: Kilogramoiii)C = 4hiv)d = 9m3

h: hora

UNIDADES DE MEDIDA PARA LA LONGITUD:

Aunque existe diversas unidades de medida para la longitud, la que actualmente se recomienda es el metro (m). En el museo de pesas y medidas de Pars existe una representacin del metro, es una barra de platino iridiado, la distancia que existe entre dos marcas de sta es lo que llamamos metro (m)

Otra forma de dar la idea del metro es la siguiente: Considerando la longitud de onda de la radiacin rojo anaranjada del Kriptn 86 ((), entonces:

1m = 1650763,73 longitudes de onda

UNIDAD DE MEDIDA PARA LA MASA

La unidad de medida de la masa es el kilogramo (Kg), el cual viene a ser la masa de un cilindro de platino iridiado que se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas de Sevres, Francia.

ACERCA DEL LITRO

El litro es una unidad que nos permite medir capacidades o volmenes. Se define como el volumen que ocupa un kilogramo de agua a la presin atmosfrica normal y a la temperatura de 4C (cuatro grados Cellsius), cuando se densidad es mxima.Es importante que se aclare que 1l es ligeramente mayor que un cubo de 1dm de arista es decir:1 es ligeramente mayor que 1 dm31 = 1,000028 dm3dm3: Decmetro cbicoCLASIFIICACION DE LAS CANTIDADES FSICASLas cantidades fsicas se clasifican desde dos puntos de vista:1)Por su origen o dimensiones:Se agrupan en:

i)Fundamentales

ii)Derivadas

2)Por su naturaleza:Pueden ser:

i)Escalares

ii)Vectores

CANTIDADES FSICAS FUNDAMENTALESEsta agrupacin es convencional.

El fsico italiano Amadeo Giorgi propuso como cantidades fundamentales, la masa y el tiempo, siendo sus unidades respectivamente, el metro, el kilogramo y el segundo; pero como esta clasificacin no solucion totalmente la problemtica existente al respecto, en 1960 en la XI Conferencia General de Pesas y medidas llegaron a un acuerdo internacional, adoptando como cantidades fundamentales a:MAGNITUD

Es todo aquello factible a ser medido, asignarle nmero y unidad.

MAGNITUDES FUNDAMENTALESSon aquellas tomadas convencionalmente y sirven de base para las dems magnitudes

Magnitudes Fundamentales de S.I.

MagnitudUnidadSimb.Dim.

LongitudmetromL

MasakilogramokgM

TiemposegundosT

MagnitudUnidadSimb.Dim.

Temperaturakelvink(

Intensidad de corriente elctricaampereAI

Intensidad LuminosacandelacdJ

Cantidad de SustanciamolmolN

MAGNITUDES DERIVADASSon todas aquellas que se pueden expresar en funcin de las fundamentales.

Ejemplo: rea, volumen, velocidad, etc.

ECUACIONES DIMENSIONALES [ ]

Son similares a las algebraicas: sus objetivos son:

1)Relacionar las magnitudes derivadas con las fundamentales

2)Comprobar la validez de una frmula

3)Determinar frmulas empricas

ECUACIONES DIMENSIONALES BASICAS1.[rea]= 2.[Volumen]= 3.[Velocidad]= 4.[Aceleracin]= 5.[Fuerza] = [Peso] = 6.[Presin]=7.[Trabajo] = [Energa]= 8.[Potencia]= 9.[Densidad]= 10.[Peso especfico]= 11.[Perodo]= T12.[Frecuencia]= 13.[Velocidad angular]= 14.[Aceleracin angular]= 15.[Caudal]= 16.[Calor]= 17.[Carga elctrica]= IT

NOTA: Las constantes matemticas (nmeros), tienen como ecuacin dimensionales a la unidad.

Ejemplo:

[cos (] = 1[Log N] = 1

[30] = 1[ N] = 1

PRINCIPIOS DE HOMOGENEIDAD

En una ecuacin homognea que conste de la suma algebraica de dos o ms trminos. Todos deben tener la misma dimensin.

Ejemplo:

A + B - C = D

[A] = [B] = [C] = [D]

EJERCICIOS DESARROLLADOS

01.Halle la dimensin de K en la siguiente frmula fsica:

Donde:m : masa

F : fuerza

v : velocidad

Resolucin Analizando cada elemento:[m] = M

[v] = LT-1

[F] = MLT-2

Luego tendremos:

02.Halle la dimensin de S en la siguiente frmula fsica:

Donde:F : fuerza

m : masa

d : distancia

v : velocidad

Resolucin

Analizando cada elemento:[F] = MLT-2[d] = L

[m] = M

[c] = LT-1 Luego tendremos:

03.Hallar la dimensin de ( y ( en la siguiente frmula:

V = ( . A + ( . D

Donde:V : volumen

A : rea

D : densidad

Resolucin Aplicando el principio de homogeneidad.

Determinando: [(]

[V] = [(][A]

L3 = [(] L2 (

Determinando: [(]

[V] = [(][D]L3 = [(] ML-3 (

04.Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homognea, determinar la ecuacin dimensional de x e y.

Siendo:A : fuerza

B : trabajo

C : densidad

Ax + By = C

Resolucin

Si la expresin es dimensionalmente homognea, entonces:-Ax + By = C

[A][x] = [B][y] = [C]

-[A] = MLT-2

[B] = ML2T-2

[C] = ML-3 Con lo cual se tiene:

[A][x] = [C]MLT-2[x] = ML-3

EMBED Equation.DSMT4 05.Si la siguiente expresin es dimensionalmente homognea:

Donde:P : presin

R : volumen

q : fuerza

s : longitud

Hallar: x 3y

Resolucin

[P] = ML-1T-2[R] = L3[q] = MLT-2[s] = L

[P] = [q]z [R]-y [s]x

M1 = Mz (

L-1 = Lz 3y + x (- 1 = z 3y + x

-1 = 1 3y + x

Nos piden: x 3y

PRCTICA DE CLASE01.Qu magnitud no es fundamental en el SI?

a) Longitudb) Masa

c) Temperaturad) Carga elctrica

e) Cantidad de sustancia

02.La unidad de la temperatura en el sistema internacional es:

a) Cb) Kc) F

d) Ce) K

03.Indique la relacin correcta en el SI

I. Altura .................... L

II.Calor .................... T

III.Peso ..................... M

a) Slo Ib) Slo IIc) Slo III

d) I y IIe) II y III

04.Cul es la frmula dimensional del permetro?

a) Lb) 4Lc) L2

d) 4L2e) 1

05.Encuentre [x] en la siguiente expresin:

A: AceleracinB: VelocidadC: Fuerza

a) LTb) LMc) LT - 1

d) M- 1LTe) M- 1LT- 106.El peso especfico (() es la relacin entre el peso de un cuerpo y el volumen que ste ocupa, halle su respectiva frmula dimensional.

a) LMT-2b) L-1MT-2c) LM-1T-2

d) L-2MT-2e) LMT-107.La siguiente frmula determina el calor (Q) que debe entregarse a una masa m para que su temperatura se incremente en (T, halle la frmula dimensional del calor especfico [Ce]

Q=mCe * (T

a) L2T-2(-1b) LT-2(

c) LT(-2

d) L2T-2(e) LT(-108.En la ecuacin homognea, qu magnitud podra ser P?

D:densidadF:fuerza

L:longitudm:masa

a) pesob) potenciac) presin

d) trabajoe) fuerza09.En la ecuacin dimensionalmente correcta determine la ecuacin dimensional de x.

M : masa

F : fuerza

C y D : magnitudes desconocidasM x = F + CD

a) LTb) L2Tc) LT-2

d) LT2e) LT-110.La energa potencial de una masa m suspendida hasta una altura h es:

E = magbcc

Hallar a + b + c si g es la aceleracin de la gravedad.

a) 0b) 2c) 3

d) 4e) 511.En la Ley de Hooke, se establece que la fuerza aplicada a un resorte elstico es directamente proporcional a su deformacin (x): F = K x

Halle [K].

a) MT-2 b) ML-1c) M2 T-1 L-1

d) M-1 L-2e) MLT-212.En la siguiente ecuacin halle [a] conocimiento que:

x = aceleracin

v = volumen

t = tiempo

a) L-2T-1b) LTc) L2T-2

d) L-3Te) LT-213.Qu magnitud representa y?

y =

P : presin

A : rea

m : masa

a) fuerzab) aceleracinc) trabajo

d) velocidade) caudal14.En la expresin homognea que magnitud podra ser P.P =

D : densidadF : fuerza

L : longitudm : masa

a) pesob) potenciac) presin

d) trabajoe) fuerza15.La energa cintica de un mvil de masa m y velocidad v es :

E =

Si K es adimensional. Halle a + b

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

TRANSFERENCIA01.En la ecuacin encontrar la frmula dimensional de x

v: velocidada: aceleracin

a) Lb) L-1c) T

d) T-1e) 1

02.Sabiendo que la siguiente ecuacin es dimensionalmente correcta. Hallar [y]

m: masaW: trabajo

t: tiempoa: aceleracin

W =

a) L-1 T-1b) LT-1c) LT-2

d) L2 T-1e) L T03.Indicar qu magnitud representa x

P: PresinV: Volumen

a) Aceleracinb) Trabajo

c) Longitudd) Fuerza

e) Potencia04.Indicar qu magnitud representa x

m: masav: velocidadr: radio

a) Aceleracinb) Fuerza

c) Trabajod) Potencia

e) Presin05.En la ecuacin homognea encuentre la frmula dimensional x

A: AreaB: Volumen

a) Lb) L-1c) L2

d) L-2e) 1

EJERCICIOS PROPUESTOS N 0201.Qu magnitud fsica no es fundamental en el SI?

a) Longitudb) Peso

c) Temperaturad) Tiempo

e) Intensidad luminosa

02.La unidad de la presin mecnica en el sistema internacional es:

a) Atmsfera

b) Milmetros de mercurio

c) Pascal

d) Tor

e) Baz

03.Indique la relacin correcta en el SI

I.Aceleracin angular .................... LT-2II.Frecuencia .................................. T-1III.Temperatura ............................... T

a) Slo Ib) Slo IIc) Slo III

d) I y IIe) I y III

04.Cul es la frmula dimensional de la aceleracin de la gravedad?

a) Lb) c)

d) e) 05.Qu magnitud representa s en la ecuacin homognea?

P : Presin hidrosttica

d : densidad

h : altura

a) Velocidadb) Aceleracinc) Fuerza

d) Volumene) Area

06.Cul es la frmula dimensional de x ?

H: AlturaV: VelocidadC: Volumen

a) LTb) LT-1c) L-1T

d) L-1T-1e) 107.Indique las unidades de s en el SI.

A: AceleracinV: Velocidad

a) Sb) S-1c) S2

d) S-2e) 1

08.En la ecuacin homognea, hallar la dimensin de P

m: masac: velocidadf: frecuencia

a) ML-2b) ML2T-3c) L2T-1

d) MT-2e) LT-309.En la siguiente ecuacin, halle [x] conociendo que:

a : aceleracinv : volumen

t : tiempo

a) LT-1 b) L-2 T-1c) L-1 T-1

d) L2 T2e) L-2 T-210.Sabiendo que la siguiente ecuacin es dimensionalmente correcta. Hallar [y]

m: masaW: trabajo

t: tiempoa: aceleracinW =

a) L-1 T-1b) LT-1c) LT-2

d) L2 T-1e) L T11.Segn la ley de la gravitacin universal, enunciada por Newton, la fuerza de atraccin entre dos partculas de masas m1 y m2 separadas por una distancia r es:

F = G .

Calcule [G].

a) L3 M-1 T-2b) L2 M T-1c) L2 M-2

d) L2 M2 T-2e) L3 M T-212.En la siguiente ecuacin. Qu magnitud puede representar Y?, se sabe que:

P: PresinA: ream: masa

Y = (

a) velocidad b) longitud

c) aceleracind) volumen

e) fuerza

13.En la siguiente frmula fsica PK = mgh.

P: potenciag: aceleracin

m: masah: altura

Qu magnitud representa k?

a) longitud b) masac) tiempo

d) reae) volumen

14.En la ecuacin homognea, hallar la frmula dimensional de z

C: Velocidad

a) LT-1b) L-1Tc) MLT-2

d) ML2T-2e) Falta conocer A

TEMA N 3ANLISIS VECTORIAL

Lectura motivadoraSIR ISAAC NEWTONDifcilmente podra decirse que el camino de Newton a la fama estaba predeterminado. Su nacimiento fue prematuro, y durante algn tiempo pareci que no sobrevivira debido a su debilidad fsica. Su padre muri tres meses antes de que naciera. Cuando Newton tena dos aos de edad, su madre volvi a casarse, y el nio se fue a vivir con su anciana abuela a una granja de Woolsthorpe. Fue probablemente aqu, en un distrito de Inglaterra, donde adquiri facultades de meditacin y concentracin que ms tarde le permitieron analizar y encontrar la solucin de problemas que desconcertaban a otros cientficos.Cuando Newton tena doce aos, ingres en la Escuela del Rey, donde vivi con un boticario llamado Clark, cuya esposa era amiga de la madre de Newton. Pas cuatro aos en ese hogar, en el que se diverta construyendo toda clase de molinos de viento, carros mecnicos, relojes de agua y cometas. Encontr un desvn lleno de libros cientficos que le encantaba leer, y toda suerte de sustancias qumicas.Cuando tena diecisis aos, muri su padrastro, y el muchacho volvi a casa a fin de ayudar a su madre en la administracin de su pequea propiedad, pero Newton no senta inclinacin a la vida del campo. Por fin, se decidi que continuar su carrera acadmica e ingres en el Colegio de la Trinidad, de Cambridge.Newton no se distingui en el primer ao de estudios en Cambridge. Pero por fortuna, tuvo la ayuda valiosa de Barrow, distinguido profesor de matemticas. Barrow qued impresionado con las aptitudes de Newton y en 1664, lo recomend para una beca de matemticas. Gracias a la instruccin de Barrow, tena un excelente fundamento en la geometra y la ptica. Se familiariz con la geometra algebraica de Descartes; conoca la ptica de Kepler, y estudi la refraccin de la luz, la construccin de los telescopios y el pulimento de las lentes.En 1664 se cerr provisionalmente la Universidad de Cambridge debido a la gran peste (bubnica), y Newton volvi a Woolsthorpe, donde paso un ao y medio, durante ese tiempo hizo tres de sus grandes descubrimientos cientficos. El primero fue el binomio de Newton y los elementos del clculo diferencial, que llamaba fluxiones. Poco despus dijo que "haba encontrado el mtodo inverso de las fluxiones", es decir, el clculo integral y e mtodo para calcular las superficies encerradas en curvas como la hiprbole, y los volmenes y de los slidos. Aos ms tarde, cuando se publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de si el matemtico alemn Leibnitz era considerado el creador del clculo diferencial. Al parecer ambos, independiente y casi simultneamente, hicieron este notable descubrimiento.Su segundo gran descubrimiento se relacion con la Teora de la Gravitacin.El tercer gran esfuerzo, correspondi a la esfera de la ptica y la refraccin de la luz.A la edad de treinta aos fue elegido miembro de la Sociedad Real de Londres, que era el ms alto honor para un cientfico. Para corresponder a este honor, obsequi a la Sociedad el primer telescopio reflector que manufactur.Newton decidi consagrarse a la ciencia y volvi a Cambridge en 1667 para aceptar una plaza pensionada que no tardara en convertirse en la de profesor de matemticas. Durante los siguientes veinte aos, Newton llev la vida de profesor en Cambridge.En 1664 Halley un joven astrnomo visit a Newton, el cual inst a Newton a publicar sus descubrimientos, esto hizo que Newton en los siguientes dos aos, escribiera lo que result ser "Principios matemticos de la filosofa natural", escritos en Latn, ricos en detalles, con pruebas basadas con exactitud en la geometra clsica, y sorprendentemente raros en sus conclusiones filosficas, matemticas y cientficas, los Principia contenan tres libros:El primero reuna las tres leyes del movimiento de Newton.El segundo trataba del movimiento de los cuerpos en medios resistentes, como los gases y los lquidos.El tercer libro se ocupaba de la fuerza de la gravitacin en la Naturaleza y el Universo.Poco despus de la publicacin de esta gran obra en 1689, Newton fue elegido miembro del parlamento por Cambridge. Cuando se le nombr director de la casa de moneda de Inglaterra en 1701, renunci a su ctedra en Cambridge. En 1703 fue nombrado presidente de la Sociedad Real de Londres, cargo que ocup durante el resto de su vida. En 1705 le concedi nobleza la Reina Ana, y fue el primer cientfico que recibi este honor por sus obras.El famoso poeta Alejandro Pope dijo refirindose a Newton:"La Naturaleza y las leyes naturales se ocultaban en la noche; Dios dijo "Que nazca Newton" y se hizo la luz".SESIN 3VECTORES IREPRESENTACIN ANALTICADE UN VECTOR

NOTITA IMPORTANTE

La velocidad de la luz

La luz viaja a 300.000Km/s.La velocidad exacta de la luz,en el vaco, es de 299.792.458 metros por segundo (m/s), aunque se suele redondear en 300.000 Km/s. A este valor se le denomina normalmente "c", del latin "celritas", que significa velocidad.

Esto es lo mismo que 1080000000 Km/h, algo abismal comparado con las velocidad que podemos alcanzar con los vehculos ms veloces que ha inventado el ser humano. A esta velocidad se podran dar 7 vueltas y media a la tierra, por el ecuador, en un segundo.

FUNDAMENTACIN TERICA

REPRESENTACIN ANALTICA DE UN VECTOR VECTORES UNITARIOSINTRODUCCIN

Las cantidades o magnitudes fsicas por su naturaleza o forma geomtrica pueden ser agrupadas como ESCALARES o VECTORIALES.1. MAGNITUDES ESCALARES

Las magnitudes escalares son aquellas que quedan bien establecidas conociendo solamente su valor y unidad.

Ejemplo:

- El tiempo- La temperatura

- La longitud- La carga elctrica

*Cuando decimos que un alambre mide cinco metros (5m)

entendemos que el valor de la longitud es 5 y que la unidad es el metro (m)2.MAGNITUDES VECTORIALES:

Las magnitudes vectoriales son aquellas que aparte de su valor y unidad requieren de cierta direccin (sentido) para quedar bien definida.

Ejemplos:

- Velocidad- Fuerza

- Induccin magntica

*Cuando decimos que el peso de una persona es de 700 N

entendemos que el valor del peso es de 700 y la unidad el Newton (N), pero sabemos tambin que el peso se dirige hacia ABAJO, siendo esta su DIRECCIN (sentido).

3.VECTORES

Los vectores son segmentos de recta orientados que se emplean para representar la direccin (sentido) de las magnitudes vectoriales, y usando una escala adecuada tambin pueden representar la medida de las magnitudes vectoriales.

Ejemplo:

Representacin de un vector en el plano.

:se lee vector Vx:eje de abscisasy:eje de ordenadaso:eje de coordenadasA:origen del vectorB:extremo del vector

Los elementos de un vector son:

El Mdulo o Magnitud (); es la longitud o medida AB del vector.

El punto de aplicacin; es el punto donde acta el vector.

La direccin; en el plano la direccin del vector se representa con el ngulo (() antihorario, medido desde el eje x positivo hasta la ubicacin del vector.

*Todo vector queda bien definido conociendo su mdulo, direccin y punto de aplicacin, siendo estos sus elementos.

VECTORES IGUALESCuando tienen el mismo mdulo y direccin (sentido) pero no necesariamente el mismo punto de aplicacin.

VECTORES OPUESTOSCuando los vectores tienen, igual mdulo, direccin (sentido) contrario pero no siempre el mismo punto de aplicacin.

VECTORES CONCURRENTESCuando sus lneas de accin concurren en el mismo punto (o).

4.REPRESENTACIN ANALTICA

En el plano cartesiano un vector queda bien definido conociendo su origen (A) y extremo (B)

El vector ser:

= extremo origen

= B A

A (Ax ; Ay) ; B (Bx ; By)

Reemplazando:

= (Bx ; By) (Ax ; Ay)

= (Bx - Ax ; By - Ay)

5.VECTOR UNITARIO

El vector unitario de un vector es otro vector en la misma direccin (sentido) cuyo mdulo es la unidad.

6.VECTORES UNITARIOS PRINCIPALES

Cualquier vector puede ser expresado en funcin de los vectores unitarios principales.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

Si:

01.Hallar el mdulo de:

Resolucin

02.Hallar:

Resolucin

03.Hallar el vector unitario de:

Resolucin

04.Qu vector se le debe sumar al vector para obtener .

Resolucin

05.Qu vector se le debe restar a para obtener .

Resolucin

PRCTICA DE CLASESi:

= (2; 4) = (1; 2) = (3; 6)

Hallar:

01.

+ (graficar)

a) (1; 3)b) (1; 6)c) (1; 5)

d) (2; 6)e) N.a.

02.

(graficar)

a) (1; 10)b) (1; 2)c) (1; 10)

d) (1; 4)e) N.a.

03.++(graficar)

a) (4; 9)b) (4; 2)c) (2; 2)

d) (4; 6)e) N.a.

04. + (graficar)

a) (1; 2)b) (1; 2)c) (1; 2)

d) (2; 4)e) N.a.

05.2+ (graficar)

a) (4; 3)b) (1; 6)c) (1; 6)

d) (1; 6)e) N.a.

Si:

= = = Hallar:

06. 2(graficar)

a) 5b) 5c) 5

d) 5j + 3ie) N.a.

07.++(graficar)

a) 2ib) 2jc) 3j

d) 3je) N.a.

08.+(graficar)

a) 2i + 5jb) 2i 5jc) i j

d) 2i je) N.a.

09.Hallar el vector unitario de:

+

= 2i + j

= i + 3j

a) b) c)

d) e) N.a.

10.Hallar: +

Si: = (3; 9)

= 2i + 4j

a) (5; 5)b) (5; 5)c) (1; 5)

d) (1;4)e) N.a.

TRANSFERENCIA

Si:

01.Hallar:

a)

b)

c)

d)

e)

02.Hallar el mdulo de:

a)

b)

c)

d)

e)

03.Hallar el vector unitario de:

a)

b)

c)

d)

e)

04.Si al vector se le suma resulta el vector . Hallar: .

a)

b)

c)

d)

e)

05.Qu vector se debe restar de para obtener

a) (3 ; 2)b) (3 ; -2)c) (2 ; -3)

d) (3 ; 1)e) (-1 ; 3)

EJERCICIOS PROPUESTOS N 0301.Si:

= (1; 2)

= (4; 14)

Hallar: +(graficar)

a) (5; 12)b) (3; 16)c) (5; 12)

d) (5; 12)e) N.a.

02.En el problema anterior

Hallar: |+|

a) 5b) 12c) 13

d) 1e) N.a.

03.Si:= 2i 3j

= 3i + 4j

Hallar (graficar)

a) 5i 7jb) 5i + 7jc) i + j

d) i + je) N.a.

04.Del problema anterior

Hallar +(graficar)

a) i jb) i + jc) 2i j

d) i 2je) N.a.

05.En el problema anterior

Hallar: |+/

a) 1b) 2c)

d) e) N.a.

De los siguientes vectores:

= 2i j

= 2i 2j

= 3 i - 5j

06.Hallar:

a) (4; 3) b) (4; 3)c) (2; 5)

d) (4; 3)e) N.a.

07.Hallar el mdulo de |+|

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) N.a.

08.Hallar: +

a) 5i 7 jb) 5i + 7jc) 5i 7j

d) 4i je) N..

09.Hallar el mdulo de +

a) 2b) c)

d) 1e) N.a.

10.Hallar ++

a) (7; -8)b) (7; 11)c) (7; 11)

d) (7; 11)e) N.a.

11.Hallar el mdulo de ++

a) b) c)

d) e) N.a.

12.Hallar +

a) (5;- 6)b) (5; 8)c) (5; 12)

d) (-5; 12)e) (5; 12)

13.Hallar |+|

a)

b) c) 5

d) 13e) N.a.

14.Hallar el vector unitario de +

a)

b)

c)

d)

e) (1; 1)

15.Hallar: 2+2

a) (3; 4)b) (6; 4)c) (4; -2)

d) (4; 6)e) (6; 4)

AUTOEVALUACIN N 01

01.Hallar a de la siguiente figura:

a) 5b) 13c) 18

d) 12e) 6

02.De la figura. Hallar el permetro del tringulo.

a) 120b) 240c) 480

d) 600e) 320

03.De la figura. Hallar la suma de los catetos

a) 140b) 70c) 100

d) 120e) 200

04.De la figura

Hallar el cateto mayor

a) 30b) 30

c) 20

d) 20e) 40

05.De la figura. Hallar el Sen A

a) 24/25b) 7/25c) 13/25

d) 12/25e) 6/13

06.De la figura. Hallar:

P = Sen A + Cos A + Cos C

a) 6/5b) 11/5c) 5/11

d) 5/6e) 12/5

07.Calcular:

a) 1b) 3/5c) 4/5

d) 2e) 1/2

08.Calcular:

a) 0,6b) 0,3c) 0,4

d) 0,5e) 1

09.Hallar la ecuacin dimensional de P.

, donde:

a:aceleracin

t:tiempo

F:Fuerza

a) MT-1b) M-1Tc) MT

d) Me) L

10.Hallar las dimensiones de A:

; donde:

E : energaP : potencia

L : longituda : aceleracin

a) Tb) T2c) T3

d) T-2e) T-311.Determine las dimensiones de A y B en la siguiente ecuacin homognea.

5VP = m A + a B

V : volumenP : peso

m : masaa : aceleracin

a) L3T ; LMb) L4T-2 ; L3M

c) L2T-2 ; LTd) L ; M

e) LT-2 ; L2M

12.De la ecuacin homognea B y C son magnitudes desconocidas, D es densidad, hallar [S]

A = B + CSDSen(

a) M-1L3b) ML-3c) ML-2

d) L2e) T-213.Hallar

a)

b)

c)

d)

e)

14.Hallar el mdulo de:

a)

b)

c) 5

d) 4e)

15.Hallar el mdulo de:

a)

b)

c)

d) 8e) 3

SOLUCIONARIO

01.Por teorema de Pitgoras:

a2 + 52 = 132

a2 = 169 25 ( a2 = 144 ( a = 12

02.Por teorema de Pitgoras

(4K)2 + (3K)2 = 2002

16K2 + 9K2 = 2002

25K2 = 2002 ( 5K = 200 ( K = 40

El permetro del tringulo es:

P = 3K + 4K + 200

P = 7K + 200

P = 7(40) + 200

P = 280 + 200

P = 480

03.Por tringulos notables

5K = 100 ( K = 20

Suma de los catetos

3K + 4K = 7K ( 7K = 7(20)

7K = 140

04.Por tringulo notables.

2K = 60 ( K = 30

Cateto mayor

(

05.Por Pitgoras:

b2 = 242 + 72

b2 = 576 + 49 ( b2 = 625

b = 25

Sen A = ( Sen A =

06.Por Pitgoras:

(4K)2+(3K)2=502 ( 16K2+9K2=502

25K2 = 502 ( 5K = 50 ( K = 10

P = Sen A + Cos A + Cos C

P =

P = ( P = 11/5

07.

P = 3/5

08.

(

(

09.

10.

11.[5VP] = [m A] = [a B]

*[5VP] = [m . A]

[5][V][P] = [m][A]

1 . L3 . MLT-2 = M[A] ( [A] = L4T-2

*[5VP] = [a . B]

[5][V][P] = [a][B]

1 . L3 . MLT-2 = LT-2[B]

[B] = L3M12.Como SD Sen( es un exponente, entonces es un nmero; por lo tanto:

[SDSen(] = 1

[S][D][Sen(] = 1

[S] . ML-3 . 1 = 1

[S] =

[S] = M-1L313.

14.

15.

SESIN 4VECTORES IIMTODO DEL TRINGULO Y EL POLGONO

NOTITA IMPORTANTE

Diferencia entre masa y pesoHay una gran diferencia entre masa y peso.La masa de un cuerpo es una propiedad caracterstica del mismo, que est relacionada con el nmero y clase de las partculas que lo forman. Se mide en kilogramos (kg) y tambin en gramos, toneladas, libras, onzas, ...El peso de un cuerpo es la fuerza con que lo atrae la Tierra y depende de la masa del mismo. Un cuerpo de masa el doble que otro, pesa tambin el doble. Se mide en Newtons (N) y tambin en kg-fuerza, dinas, libras-fuerza, onzas-fuerza, ...El kg es por tanto una unidad de masa, no de peso. Sin embargo, muchos aparatos utilizados para medir pesos (bsculas, por ejemplo), tienen sus escalas graduadas en kg en lugar de kg-fuerza. Esto no suele representar, normalmente, ningn problema ya que 1 kg-fuerza es el peso en la superficie de la Tierra de un objeto de 1 kg de masa. Por lo tanto, una persona de 60 kg de masa pesa en la superficie de la Tierra 60 kg-Fuerza. Sin embargo, la misma persona en la Luna pesara solo 10 kg-fuerza, aunque su masa seguira siendo de 60 kg. Entonces, la masa no es lo mismo que el peso, que mide la atraccin que ejerce la Tierra sobre una masa determinada.FUNDAMENTACIN TERICAMTODO DEL TRINGULO Y EL POLGONO

MTODO DEL TRINGULO

MTODO DEL POLGONO

Ordenamos los vectores , y uno a continuacin de otro uniendo extremos con orgenes.

El vector resultante se obtiene uniendo el primer origen con el ltimo extremo.

EJERCICIOS DESARROLADOS

01.Hallar el vector resultante

Resolucin

y se reemplazan por su equivalente.

Resultante: 2

02.Hallar el vector resultante.

Resolucin

Iniciamos el anlisis en el origen de , seguimos la secuencia y nos damos cuenta que se trata de un polgono cerrada; por lo tanto:

03.Hallar la resultante.

Resolucin

04.Hallar el mdulo de la resultante, si ABCD es un paralelogramo.

Resolucin

05.Hallar el mdulo de la resultante, si ABCD es un cuadrado de lado 4.

Resolucin

PRCTICA DE CLASE

01.Hallar la resultante:

a) 2

b) 3

c) 2

d) 2

e)

02.Determinar la resultante:

a) 2

b) 2

c) 3

d) 2

e) 3

03.Expresar en funcin de y

Rpta:

1.

2.

3.

4.

07.Determinar la resultante del siguiente conjunto de vectores:

a) 3b) c)

d) e) 08.Encontrar la resultante:

a)

b)

c)

d) 2

e) 2

09.Hallar :

a) b) c)

d) e) -10.Encontrar la resultante de:

a) 3

b) 2

c)

d)

e) 3

11.Siendo el tringulo equiltero de lado 8 cm. Calcular el mdulo de .

a) 12b) 14c) 16

d) 24e) 0

12.Dar el valor de la resultante:

a) 16b) 12c) 14

d) 10e) 813.Determinar la resultante:

a)

b)

c) 2

d)

e)

14.Calcular la resultante de:

a)

b)

c)

d)

e)

15.Calcular el mdulo de la resultante:

a) 14b) 2c) 10

d) 8e) 12

TRANSFERENCIA01.Hallar la resultante

a)

b)

c) 3

d) 2

e) 3

02.Hallar la resultante

a) 0b)

c)

d)

e)

03.Hallar la resultante

a)

b)

c)

d) 2

e) 2

04.Hallar el mdulo de la resultante, si ABCDEF es un hexgono regular de lado 2.

a) 2b) 4c) 6

d) 8e) 0

05.Hallar el mdulo de la resultante, si ABCD es un rectngulo.

a) 8b) 16c) 12

d) 24e) 0

EJERCICIOS PROPUESTOS N 0401.Expresar en funcin de , y

Rpta:

1.

2.

02.Expresar en funcin de , y

Rpta:

03.Expresar en funcin de , y

Rpta: - - + 04.Siendo el tringulo equiltero de lado 8 cm. Calcular el mdulo de .

a) 12b) 14c) 16

d) 24e) 005.Calcular la resultante de:

a)

b)

c)

d)

e)

06.Encontrar la resultante:

a)

b)

c)

d)

e)

07.Siendo MNPQ un rectngulo cuyos lados miden 5 cm y 8 cm. Calcular el mdulo de

a) 2 cm(b) 4 cmc) 6cm

d) 8 cme) 10 cm

08.Hallar el mdulo del vector resultante, sabiendo que R = 3( (R = Radio)

a) 2(b) 4(c) 6(

d) 8(e) 12(09.La figura es un exgono regular de lado m. Hallar el mdulo del vector resultante.

a) 2mb) 4mc) 6m

d) 8me) 12m10.En el rectngulo halle el vector resultante:

a)

b) 0c)

d)

e)

11.Encontrar el mdulo A:

a) 3b) 4c) 5

d) 6e) 7

12.Calcular el mdulo del vector resultante. Siendo BH=8cm. AB = BC.

a) 24 cmb) 14 cmc) 6cm

d) 8 cme) 10 cm

13.Si ABCD es un paralelogramo donde M y N son puntos medios de AB y BC respectivamente, hallar en trminos de y .

Rpta:

14.Si G es el baricentro del tringulo AOB y M punto medio. Escribir en funcin de los vectores y

Rpta: x =

SESIN 5VECTORES IIIMTODO DEL PARALELOGRAMO

APRENDIZAJES ESPERADOS

Halla resultantes de dos vectores mediante el mtodo del paralelogramo.

NOTITA IMPORTANTE

Formacin de un puente de agua

El agua puede formar puentes.Un grupo de investigadores ha conseguido crear puentes de agua, que pueden medir hasta 2,5 centmetros y resistir 45 minutos.

La investigacin, realizada en Austria, ha producido un fenmeno que nunca antes haba sido observado: el agua, contenida en dos cubetas de laboratorio separadas un milmetro la una de la otra y sometida a cargas elctricas positiva y negativa, se sali de dichas cubetas para unirse entre ellas formando un puente de hasta 2,5 centmetros de longitud durante 45 minutos.

Los cientficos creen que el campo elctrico es el que genera cargas electroestticas en la superficie del agua, provocando el efecto puente.

FUNDAMENTACIN TERICA

Se emplea para sumar o restar dos vectores coplanares concurrentes.*La suma o resta de dos vectores depende de sus mdulos y tambin del ngulo que estos forman.

A.SUMA DE DOS VECTORES

B.DIFERENCIA DE DOS VECTORES

EJERCICIOS DESARROLADOS

01.Hallar el mdulo de la resultante (Cos60=)

Resolucin

02.Hallar el mdulo de la resultante.

(Cos 90 = 0)

Resolucin

03.La mxima resultante de dos vectores es 21 y la mnima 3. Hallar el mdulo de la resultante cuando los vectores formen un ngulo de 90.

Resolucin

A = 12 ; B = 9

04.Hallar el mdulo de la resultante (cos53=)

Resolucin

05.Hallar el mdulo de la resultante

Resolucin

R = 25

PRCTICA DE CLASE

Calcular si son vectores concurrente y forman un ngulo (Para los siguientes casos:

01. a= 2( ; b = 3(;( = 6002. a = 4(;b = 2(;( = 12003. a = 3(;b = 4(;( = 9004. a = 5(;b = 2(;( = 5305. a = ;b = 1(;( = 3006. a = 8(;b = 5(;( = 007. a = 12(;b = 8(;( = 180

Determinar el mdulo de la resultante en cada caso:08.

a) 3b) 4c) 5

d) 6e) 709.

a) 16b) c) 8

d) e) 410.

a) 10b) 20c) 20

d) 15e) 11.

a) 3b) c) 6

d) 9e) 412.

a) 5b) c) 10

d) e) 13.El mdulo de la resultante mxima entre dos vectores es 8(; y la resultante mnima igual a 2(. Calcular la resultante cuando forman 53.

a) 5 b) c) 2

d) e) 14.Dos vectores iguales en mdulo, hacen una resultante de 3(. Calcular el mdulo de stos si forman un ngulo de 60 entre s.

a) ( b) c) 2

d) e) 15.El mdulo del vector resultante es . Calcular el ngulo que forman entre s, siendo los vectores de 2( y ( respectivamente.

a) 45b) 60c) 30

d) 53e) 74

TRANSFERENCIA01.Hallar el mdulo de la resultante. (cos60=).

a) 32b) 28c) 8

d) 40e) 18

02.Hallar el mdulo de la resultante.

a) 35b) 49c) 18

d) 16e) 7

03.La mxima resultante de dos vectores es 77 y la mnima 11. Hallar el mdulo de la resultante cuando los vectores formen un ngulo de 90.

a) 77b) 11c) 55

d) 48e) 0

04.Hallar el mdulo de la resultante. (Cos53=)

a)

b)

c)

d)

e)

05.Hallar el mdulo de la resultante.

a) 35b) 40c) 10

d) 14e) 10

EJERCICIOS PROPUESTOS N 05Mtodo del ParalelogramoDeterminar el mdulo de la resultante en cada caso:

01.

a) 12b) 13c) 14

d) 15e) 16

02.

a) 11b) 12c) 13

d) 17e) 20

03.

a) 15b) 12c) 10

d) 9e) 8

04.

a) 8b) c) 13

d) 9e) 10

05.

a) 9b) 8c) 7

d) 6e) 5

06.Se tienen dos vectores cuyos mdulos son 5 y 12, si el ngulo que forman entre si es de 90. Hallar el mdulo de la resultante

a) 10b) 6c) 8

d) 13e) 2

07.Se tienen dos vectores cuyos mdulos son 12u cada uno, si el ngulo que forman entre si es de 120. Hallar el mdulo de la resultante

a) 10b) 6c) 8

d) 13e) 1208.Se tiende dos vectores A = 8 y B = 11. Cul de los siguientes no puede ser una resultante de ellos?

a) 8b) 11c) 13

d) 2e) 509.La resultante mxima de dos vectores es 16 y la mnima es 4. Cul es el mdulo del menor de ellos?

a) 10b) 6c) 8

d) 5e) 310.Para sacar un clavo se le aplican dos fuerzas concurrentes de 8N y 7N. Si las fuerzas forman entre si un ngulo de 60. Cul es la fuerza resultante que acta sobre dicho clavo?

a) 13Nb) 15Nc) 18N

d) 20Ne) 10N11.Sean los vectores cuya resultante mide . Cul es el ngulo formado por ellos?

a) 130b) 37c) 45

d) 53e) 60

12.Se tiene dos vectores de mdulos 5 y 3. Hallar el ngulo entre los vectores si su resultante forma un ngulo de 37 con el vector de mayor mdulo.

a) 127b) 90c) 150

d) 60e) 16

13.Determinar el mdulo del vector resultante en.el sistema de vectores expuestos:

a) b) c)

d) e) 14.La resultante de 3 vectores respectivamente perpendiculares y 5N de cada uno, es:

a) b) c) 2

d) 3e) N.a.

15.Dos vectores codirigido tienen una resultante de mdulo igual a 14. Al girar 90 a uno de los vectores, su nueva resultante tiene un mdulo igual a 10. Cul es el mdulo del mayor de ellos?

a) 4b) 5c) 6

d) 7e) 8

SESIN 5

MTODO DE LA DESCOMPOSICION RECTANGULARVECTORES IV

Lectura motivadoraEl filsofo griego Scrates (470-399 a.C.), fue proclamado por el Orculo de Delfos (templo de Apolo) el ms sabio de todos los hombres. Para asegurarse, Scrates examin el saber de los dems y lleg a la conclusin de que la sabidura que le atribuy el orculo consista en saber que no saba nada. Es famosa su frase "slo s que no s nada". Se limit a vivir su filosofa y no a escribirla, por lo que no escribi nada, aunque existen numerosos escritos de otros autores (Platn, Jenofonte, Aristfanes, Aristteles, Aristoxeno...). Su mtodo denominado mayutica (arte de alumbrar los espritus) parte de la base de no saber y suponer que su interlocutor s, para que ste ltimo encontrara su verdad a base de hacerles preguntas. Fue posiblemente el primer mrtir del pensamiento, pues fue condenado por un tribunal, sin que l quisiera defenderse, a beber el veneno de la cicuta, por corromper a la juventud porque le enseaba a someter a crtica y revisin el saber tradicional.

NOTITA IMPORTANTE

Sin rozamiento

Imagnese que una persona se encuentra en una superficie horizontal perfectamente lisa. De qu manera podra desplazarse por ella?

Si no existiera rozamiento, sera imposible caminar; ste es uno de los inconvenientes de semejante situacin. No obstante, sera posible desplazarse por una superficie perfectamente lisa. Para ello habra que arrojar algn objeto en direccin opuesta a la que la persona quisiera seguir; entonces, conforme a la ley de reaccin, su cuerpo avanzara en la direccin elegida.

DESCOMPOSICIN RECTANGULAREs la representacin de un vector en funcin de otros vectores ubicados sobre dos direcciones mutuamente perpendiculares.

Vx = V cos ( = V sen (Vy = V sen ( = V cos (CLCULO DE LA RESULTANTE USANDO LA DESCOMPOSICIN RECTANGULAR

Ax = A cos ( ; Ay = A sen (Bx = B cos ( ; By = B sen (Rx = A cos ( - B sen (Ry = A sen ( - B cos (R =

Tg ( =

Recordemos algunos tringulos notables:

Adems en todo tringulo rectngulo se cumple:

a y b: Catetos

c: Hipotenusa

TEOREMA DE PITGORAS

Ejemplo: Hallar las componentes de sobre los ejes perpendiculares.

PRACTICA DE CLASE

01.Hallar las componentes del vector , sobre el eje x, cuyo mdulo es 100N.

a) 50N

b) 60

c) 70

d) 80

e) 90

02.Del ejercicio anterior hallar la componente sobre el eje vertical.

a) 50Nb) 60c) 70

d) 80e) 90

03.El mdulo del vector es 100N. Hallar el mdulo de su componente en el eje de las ordenadas.

a) 50N

b)

c) 60

d) 80

e) 90

04.Del problema anterior. Hallar el mdulo de la componente en el eje de las abscisas.

a) 50Nb) 60Nc)

d) 80e) 90

05.Hallar la magnitud de la resultante.

a) 40 cm

b) 50

c) 55

d) 60

e) 75

06.Halla el mdulo de la resultante de los vectores mostrados:

a)

b)

c)

d)

e) 50

07.Calcular la magnitud de la resultante.

a) 1

b) 2

c)

d)

e) 3

08.Hallar el mdulo de la resultante.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

09.Calcular el mdulo de la resultante.

a) 4 cm

b) 5

c)

d) 8

e)

10.Hallar el mdulo de la resultante:

a) 10 N

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

11.Hallar los componentes del vector sobre el eje de las abscisas.

a) 30N

b)

c)

d) 20

e)

12.Hallar la resultante:

a) 5b) 6 c) 7

d) 8e) 10

13.Calcular el mdulo del vector resultante de los siguientes de los siguientes sistemas de vectores:

Rpta : a. 3

14.Calcular el mdulo del vector resultante de los siguientes de los siguientes sistemas de vectores

Rpta : b. 2

15.Hallar el mdulo del vector resultante y su respectiva direccin.

a) y 135b) 8 y 45

c) y 60d) 6 y 135

e) N.A.

16.Hallar el mdulo de la resultante, sabiendo que el vertical.

a) 10 b) 15c) 20

d) 25e) 15

17.Hallar el mdulo de la resultante:

a) 3 (()b) 3 (() c) 3 (()

d) 3 (()e) 0

18.Hallar el mdulo de la resultante:

a) 5

b) 5c) 2

d) 1e) 15

19.Del ejercicio anterior hallar la componente del vector sobre las ordenadas.

a) 30Nb)

c)

d) 20e)

En los siguientes casos hallar el mdulo de la resultante.

20.

a) 7N

b) 24

c) 25

d) 16

e) 15

21.

a)

b) 1

c)

d) 2

e)

22.

a) 2 cm

b)

c)

d) 3

e) 4

23.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

24.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

25.

a) 20

b) 21

c) 22

d) 24

e) 25

26.

a) 20

b) 21

c) 22

d) 24

e) 25

27.

a) 13

b) 14

c) 15

d) 17

e) 19

28.

a) 1N

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

29.

a) 20N

b) 50

c) 30

d) 40

e) 10

AUTOEVALUACIN N 02

01.Si la siguiente ecuacin es homognea. Hallar [x]

a : aceleracin

v : volumen

t : tiempo

a) L2T-1b) L-2Tc) L-2T-1

d) L-1Te) L

02.Determine las dimensiones de x en:

V.x:a log 300

v:velocidad

a:aceleracin

a) Tb) LTc) T-2

d) T-1e) LT-103.Hallar el vector resultante de:

a)

b)

c)

d)

e)

04.Hallar el vector resultante.

a)

b)

c) 0

d) 2

e)

05.Hallar el mdulo de la resultante:

a) 2b) 4c) 6

d) 8e) 0

06.Hallar el vector

a)

b)

c)

d)

e)

07.Hallar el mdulo de la resultante. (Cos60 = )

a) 21b) 24c) 6

d) 12e) 11

08.Hallar el mdulo de la resultante. (Cos90 = 0)

a) 49b) 7c) 35

d) 14e) 70

09.Indicar V si es verdadero o F si es falso.

I)

II)

III)

a) VVFb) FVFc) FVV

d) FFFe) VVV

10.Seale V, si es verdadero o F si es falso.

I.El mdulo de cualquier vector unitario es 1.

II.Solamente hay vectores unitarios .

III.Todo vector puede expresarse en funcin de los vectores unitarios principales.

a) VFFb) VVFc) FFF

d) VFVe) VVV

11.Si la mxima resultante entre dos vectores es 49 y la mnima es 7. Hallar el mdulo de la resultante cuando los vectores formen 90.

a) 35b) 28c) 42

d) 17e) 21

12.Hallar el mdulo de la resultante.

a) 28b) 21c) 35

d) 12e) 18

13. Determinar el mdulo del vector resultante del sistema mostrado y la direccin de la misma.

a)

b)

c) 13

d) 26

e)

14. Hallar el mdulo del vector C. si la resultante de los vectores se encuentran sobre el eje y.

a) 20b) 10c) 15

d) 12e) 1615. Hallar el mdulo del vector A mostrado en la figura sabiendo que el vector resultante del conjunto de vectores mostrados forman 45 con el semieje positivo de X.

B= 4

C=

D=

a) 12b) 20 c) 35 d) 10e) 18

SOLUCIONARIO01.

02.[v][x] = [a][log 300]

LT-1 [x] = LT-2 . 1

[x] = T-1

Si:

03.

04.Como el polgono es cerrado

05.

06.Nos ubicamos en el origen de y aplicamos el criterio de polgono cerrado.

07.

R2 = A2 + B2 + 2AB Cos(

R2 = 92 + 152 + 2 x 9 x 15 x Cos60

R2 = 81 + 225 + 270 x

R2 = 441 ( R = 21

08.

R2 = A2 + B2 + 2AB Cos(

R2 = 282 + 212 + 2 x 28 x 21 x Cos90

R2 = 784 + 441

R2 = 1225

R = 35

09.I)

; no son iguales

II)

III)

10.I)Si

II)No, si trabajamos en tres dimensiones hay tambin

III)Si: (2;4) =

11.Sean los vectores y

Rmax = A + B

Rmin = A B

A = 28

A + B = 49

28 + B = 49

B = 21

R2 = 282 + 212 + 2 x 28 x 21 x Cos90

R2 = 784 + 441

R2 = 1225

R =

R = 35

12.

R2 = 202 + 122 + 2 x 20 x 12 x Cos60

R2 = 400 + 144 + 480 x

R2 = 544 + 240

R2 = 784

R = 28

13.

Luego reemplazamos:

14.

En primer lugar descomponemos los vectores por el mtodo de tringulos notables.

Por condicin del problema el vector resultante debe estar en el eje y. Eso significa que los vectores en el x se anulan, entonces: 4n=10+6

Pero nos piden el mdulo de C, entonces: C = 5n =5.(4) C=20.

15. En primer lugar descomponemos los vectores por el mtodo del tringulo:

Por condicin del problema, el vector resultante forma 45, por lo tanto sus componentes deben ser iguales. Es decir:

Pero nos piden A= 5n=5.2

Naci: 4 de Enero 1643 en Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra.

Falleci: 31 de Marzo 1727 en Londres, Inglaterra.

Astrnomo y Fsico

1564 -1642

3SFI91B

EMBED Equation.DSMT4

Naci: Alrededor del 580 AC en Samos, Ionia

Falleci: Alrededor del 500 AC en Metapontum, Lucania

EMBED Equation.DSMT4

37

53

5K

3K

4K

30

60

2K

K

EMBED Equation.3

45

K

45

K

EMBED Equation.3

16

74

25K

7K

24K

c2 = a2 + b2

a

b

c

A = 25

37

EMBED Equation.3

53

x

y

EMBED Equation.3

30

O

x

y

28 cm

80 cm

37

x

y

37

x

y

45

50 m

EMBED Equation.3

x

y

10

5

7

53

x

y

13

53

45

10

EMBED Equation.3

x

y

1 cm

7 cm

5 cm

3 cm

x

y

10N

37

6N

3N

y

x

A = 60N

30

x

y

12N

4N

3N

12N

x

y

10m

15m

53

45

EMBED Equation.3

x

y

5 cm

5 cm

53

45

EMBED Equation.3

53

10

13

45

x

y

EMBED Equation.3

x

y

45

53

10

10

EMBED Equation.3

x

y

53

37

25

40

20

x

y

16

50

24

7

x

y

16

12

25

2

x

y

4N

37

5N

x

y

40N

37

16

30N

37

EMBED Equation.3

45

EMBED Equation.3

10

10

EMBED Equation.3

4n

B=10

37

37

45

C

EMBED Equation.3

A=5n

EMBED Equation.3

45

37

2

3n

C=5n

10

10

3n

B

C

D

45

37

60

A

4n

8

6

37

37

45

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

45

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