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1 ALGEBRA – 3 AÑO 3 ÁLGEBRA Profesor: Robert André Vega Catón I BIMESTRE
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ALGEBRA–3AÑO
3 ÁLGEBRA
Profesor: Robert André Vega Catón
I BIMESTRE
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ALGEBRA–3AÑO
Tabla de contenido SESIÒN 01: .................................................................................................................................................................... 3
SITUACION 01: EL PLANO DE MI CASA .................................................................................................................... 3 PRODUCTOS NOTABLES I ...................................................................................................................................... 3 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................. 4
SESIÒN 02: .................................................................................................................................................................... 4 PRODUCTOS NOTABLES II ..................................................................................................................................... 4 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................. 5 tarea domiciliaria ................................................................................................................................................ 6
SESIÒN 03: .................................................................................................................................................................... 6 SITUACION 02 ............................................................................................................................................................ 6
COCIENTES NOTABLES .......................................................................................................................................... 6 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................. 7 tarea domiciliaria ................................................................................................................................................ 8
SESIÒN 04: .................................................................................................................................................................... 9 SITUACION 03: MISIL A2 ............................................................................................................................................ 9
FACTORIZACION I ................................................................................................................................................ 9 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ........................................................................................................................... 11 tarea domiciliaria .............................................................................................................................................. 12
SESIÒN 05: .................................................................................................................................................................. 12 FACTORIZACION II ............................................................................................................................................. 12 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ........................................................................................................................... 14 tarea domiciliaria .............................................................................................................................................. 15
SESIÒN 06: .................................................................................................................................................................. 16 MCM Y MCD DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS ............................................................................................... 16 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ........................................................................................................................... 16 tarea domiciliaria .............................................................................................................................................. 17
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ALGEBRA–3AÑOSituación 1
El plano de mi casa Observa y analiza el siguiente plano de una casa, la cual se proyecta sobre un terreno rectangular.
Determina las expresiones algebraicas que representan:
• el largo • el ancho • la superficie
Que abarca la construcción, exceptuando el corredor. SESIÓN 01: PPRODUCTOS NOTABLES I
Son los resultados de multiplicar dos o más polinomios, en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva.
A. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
(a + b)2 º a2 + 2ab + b2
(a - b)2 º a2 - 2ab + b2
COROLARIO: B. IDENTIDADES DE LEGENDRE
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b2) – (a - b)2 = 4ab
Ejm.:
§ (x + 3)2 + (x - 3)2 =
§ (x + 2)2 – (x - 2)2 =
§ (2x + y)2 + (2x - y)2 =
Importante:
(x - y)2 º (y - x)2
Desarrollando:
x2 – 2xy + y2 º y2 – 2yx + x2
C. DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a + b) (a - b) = a2 – b2 D. PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS
CON TÉRMINO COMÚN (x + a)(x + b) º x2 + (a + b)x + ab E. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL
CUADRADO (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
REDUCIR:
1. (x - 6) (x + 3) + 3x + 18 a) 1 b) 3x c) x2 d) 18 e) 3x + 18
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2. (x - 3) (x + 4) – x2 – x + 10 a) 2 b) x2 c) –2 d) x e) 0
3.
a) 1 b) 5 c) y d) 1/5 e) y
4. (3 + x) (3 - y) – (3x – 3y - xy) a) 0 b) 3 c) 9 d) 1 e) 0
5. Efectuar: E = (x + 2y)2 – (x – 2y)2 – 4xy
a) xy b) 3xy c) 4xy d) 6xy e) 9xy
6. Reducir: R = (a + b)2 – (b - a)2 + (a – 2b)2 – a2 – 4b2 a) 0 b) a c) b d) 2ab e) ab
7. Hallar el valor numérico de:
Para: x = 2 000 a) 2001 b) 2002 c) 2003 d) 2004 e) 2005
8. Luego de efectuar: A = (x2 + x + 4)(x2 + x + 5) – (x2 + x + 3)(x2 + x + 6)
Indicar lo correcto: a) d) A2 + 1 = 5 b) e) A es impar
c)
9. Si: (x - 2)3 º mx3 + nx2 + px + q Hallar:
a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 e) 0
10. Si: (x + 2) (x2 – 2x + 4) º ax3 + b Calcular: a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5 SESIÓN 02: PRODUCTOS NOTABLES II CUBO DE UN BINOMIO ! (a + b)3 º a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
! (a + b)3 º a3 + b2b + 3ab2 + b3
! (a - b)3 º a3 - 3a2b + 3ab2 + b3
! (a - b)3 º a3 – b3 – 3ab(a – b)
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3 IDENTIDAD DE ARGAND
(x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) º x4 + x2y2 + y4
CUBO DE UN TRINOMIO
• (a + b + c)3 º a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (a + c)(b + c)
• (a + b + c)3 º a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ac) – 3abc IGUALDADES CONDICIONALES
Si: a + b + c = 0
( )( ))12y3(5
1y31y3
-
+-
3
1)2x)(4x(E +++=
31A =+
1A0 <<
37A3=+
nmqpm
+++
ba +
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Se cumple: a2 + b2 + c2 º -2(ab + ac + bc) a3 + b3 + c3 º 3abc
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Si: a + b = 4 ab = 5 Calcular: a3 + b3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. Si:
Calcular:
a) 10 b) 20 c) 18 d) 12 e) 11 3. Si: a – b = 2 y ab = 1 Hallar: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Si: a2 + b2 = 6; ab = 1. (a > b) Calcular: N = a3 – b3 a) 7 b) 12 c) 13 d) 8 e) 14 5. Multiplicar:
a) x3 b) x4 c) x6 d) x9 e) x10
6. Efectuar:
a) 1 b) 10 c) 2 d) 8 e) 1
7. Si: ab = 3; a3 + b3 = 28 Hallar: a + b a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Reducir la expresión K si:
K = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – (x - 3)(x2 + 6x + 9) a) 37 b) 36 c) 38 d) 35 e) 39 9. Si: a + b + c = 0 Reducir:
a) 1 b) 3 c) -3 d) -1 e) 4 10. Si: a + b = 5 ab = 6 Hallar: a3 + b3 a) 35 b) 30 c) 45 d) 50 e) 100 11. Reducir:
a) 1 b) x + y c) x6 – y6 d) -1 e) 3
12. Si se cumple que: (3n - 1) (9n + 3n + 1) = 728
Indicar el valor de: n a) 5 b) 2 c) 3 d) 6 e) 1
TAREA DOMICILIARIA
1. Si: (x + 2)3 º ax3 + bx2 + cx + d
Hallar: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) -2
2. Si: (x - 3)3 º mx3 + nx2 + px + q Hallar: (m + n)(p + q) a) 1 b) 0 c) -27 d) 9 e) -9
1. Simplificar:
3x1x =+
33
x1x +
2ba 33 +-
1)1xx)(1x)(1xx)(1x(M 22 ++--+++=
)420100()210(L 33333 ++-=
)cb)(ca)(ba(cbaM333
+++++
=
)yxyx)(yxyx)(yx( 222222 +-++-
3 dcba +++
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M = (a + b)3 – b3 – 3ab(a + b) a) 0 b) b3 c) a3 + b3 d) ab e) a3
2. Reducir:
a) 0 b) 1 c) 3 d) -1 e) 9
Situación 2
SESIÓN 03: COCIENTES NOTABLES
Son aquellos cocientes exactos que se pueden obtener sin efectuar la división
Forma general :
Casos de cocientes notables
Forma Cociente Notable
Siempre es C.N
Si “n” es impar
Si “n” es par
Nunca es C.N
Características de un Cociente Notable:
1) El número de términos que tiene el desarrollo se obtienen dividiendo los exponentes de una misma variable; se representa por “n”.
2) Si el denominador es de la forma “x-a” los signos de los términos en el desarrollo serán positivos.
3) Si el denominador es de la forma “x+a” los signos de los términos en el desarrollo serán alternados positivos y negativos.
4) La condición para que una fracción de la forma
sea un C.N es
Donde “n”; número de términos TÉRMINO GENERAL
Si es un C.N y Tk es el término
que ocupa el lugar “K” en su desarrollo, entonces
El signo se coloca según el caso al que corresponda.
9)ba(9)ba(ab3baN 3
33
+-
+---=
axax nn
±±
+ÎZn
axax nn
--
axax nn
++
axax nn
+-
axax nn
-+
sr
qp
axax
±±
nsq
rp
==
axax nn
±±
( ) 1. --= kknk axsignot
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ALGEBRA–3AÑOEJERCICIOS DE APLICACIÓN
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TAREA DOMICILIARIA
01. Hallar el número de términos de la
siguiente división notable
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 8 02. Simplificar
A) x40 +1 B) x40 – 1 C) x20 + 1 D) x20 E) x40
03. Indicar el cuarto término del C.N
A) –x5y3 B) x3y4 C) x7 y D) x5y3 E) x2y4
04. Indicar el 5to término del C.N
A)-x9y8 B) x8y9 C)x9y8 D) x6 y14 E) –x6y14
UNIDAD II Situación 3: misil A2
El peruano Pedro Paulet ha sido reconocido por la BBC en español como pionero de la era espacial, debido a que sus ideas sirvieron de base para propulsar al hombre a la Luna y realizó conceptos y diseños de naves aeroespaciales
Paulet ocupó cargos diplomáticos en Europa y América Latina, generando polémicas con científicos de la época. Incluso, ante el auge nazi, científicos alemanes quisieron usar sus ideas del motor cohete para misiles de guerra. Paulet nunca les entregó la fórmula, pero con los años, los nazis lograron su objetivo: en 1944, las ciudades de Amberes y Londres fueron bombardeadas por las tropas de Hitler con misiles A2 de combustible líquido. Este combustible líquido de los nazis estaba representado por el polinomio
(𝑥) = 𝑎𝑥4 + (𝑎 2 − 1)𝑥 3 − 𝑎𝑥 2 + (𝑎 2 + 1)𝑥 − 𝑎
Siendo un polinomio factorizable. ¿Cómo? Wernher von Braun, un científico afiliado a la SS de Hitler, logró
6
150
yxyx
n
n
++
11
2343638
2747678
++++++++++
=xxxxxxxxE
!
!
yxyx
-- 99
23
1624
yxyx
--
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imitar el diseño de Paulet. A pesar de no coincidir con las ideas nazis, fue obligado a trabajar para ellos, pero siempre consideró a Paulet como el pionero de la propulsión con combustible líquido que usan los cohetes espaciales.
¿Cómo Wernher Von Braun pudo calcular la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos en la elaboración de los misiles A2?
SESIÓN 04: FACTORIZACIÓN I
Es el proceso que consiste en transportar un polinomio racional entero en una multiplicación de dos o mas polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamado factores:
(x + 1) (x + 3) = x2 + 4x + 3
Y si estos factores no se pueden descomponer en más factores se les denomina factores primos. Ejemplo 1
P(x) = x2 – 5x – 14 P(x) = (x - 7) (x + 2)
Tiene 2 factores primos son: x – 7; x + 2 COMPLETA EL CUADRO
POLINOMIO FACTORIZADO
# DE FACTORES
PRIMOS P(x, y, z) = (x + y)(x -
y)z2x3
P(x, y, z) = x2y3w5
P(x, y) = (x + y)(x2 – xy + y2)x4
P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 4)x
P(x, y) = x3y4(x - 2)(x - y)
P(x, y, z) = (xyz)2
P(x) = x3(x4 + 1)
P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz
P(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a)
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN A. FACTOR COMÚN MONOMIO
Factor común monomio es el monomio cuyo coeficiente es el máximo común divisor de los coeficientes del polinomio dado y cuya parte variable esta formada por las variables comunes con su menor exponente. Ejemplo
§ Factorizar: 25x4 – 30x3 + 5x2= 5x2(5x2 – 6x + 1) COMPLETA EL CUADRO
POLINOMIO FACTORIZACIÓN
MONOMIO COMÚN
P(x, y) = 15x + 25y
P(x) = abx2 – acx
Multiplicación
Factorización
Factorizando
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P(x) = 2x2 – 4x + 6x3
P(x, y) = x2y3 – x4y + x3y3
P(x, y) = 5x3y4 – 15x4y5 + 2ax5y5
P(x) = abx2 – ax3 + bx
P(x, y) = x4 – x3 + x
P(x) = 2xn + xn+1 + xn+2
P(x) = 3xn + 6xn-2 – 12xn-1
P(x, y) = 12nxayb + 4nxa-1yb-2 – 8nxa+1yb+2
B. FACTOR COMÚN POLINOMIO Factor común polinomio es un polinomio que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio. Ejemplo 1
§ P(x) = 2x2y(m + n) – 3z4(m + n) + 5(m + n)
Observa que un polinomio (m + n) se repite en todos los términos. El cual lo extraemos y queda:
(m + n) (2x2y – 3z4 + 5)
COMPLETA EL CUADRO
POLINOMIO FACTORIZACIÓN
POLINOMIO COMÚN
(a - 2)x2 – (a – 2)
y2(x + y - z) + m2(x + y - z)
x4(2ª – 5b) + x(2a – 5b) – 5(2a - 5b)
a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)
a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c)
C. ACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Cuando TODOS los términos de un polinomio no tienen la misma parte variable, se agrupa los términos que si lo tienen y se hallan los respectivos factores comunes. Ejemplo 1
§ a2x + 5m2x – a2y2 – 5m2 – y2 ___________________ (a2 + 5m2) (x – y2) COMPLETA EL CUADRO
POLINOMIO FACTORIZACIÓN
POR AGRUPACIÓN
m2y2 – 7xy2 + m2z2 – 7xz2
5a – 3b – 3bc5 + 5ac5
6x3 – 1 – x2 + 6x
7mnx2 – 5y2 – 5x2 + 7mny2
d2m – 13c2n2 – d2n2 + 13c2m
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D. IDENTIDADES
Aquí utilizamos dos diferentes productos notables ya estudiados.
EJEMPLO Factorizar:
a) 4x2 – 9 (parece diferencia de cuadrados)
Le damos forma: 4x2 – 9 = (2x)2 – 32 = (2x + 3)(2x - 3) 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x - 3) (Por diferencia de cuadrados) COMPLETA EL CUADRO
POLINOMIO FACTORIZACIÓN IDENTIDADES
c2 – b2
x2 + 10x + 25
64 – x3
64x2 – 25
49x2 – 14x + 1
25m2 – 36n2
36n2 + 48xy + 16y2
36x2 + 84xy + 49y2
E. ASPA SIMPLE
Es un método que permite factorizar trinomios de la forma:
ax2 + bxy + cy2 Su método es:
ax2 + bxy + cy2 EJEMPLO
§ x2 + 5x + 6 x +3 x +2 Observa que los factores son (x + 3)(x+2)
Þ x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) COMPLETA EL CUADRO
TRINOMIO FACTORIZACIÓN ASPA SIMPLE
x2 + 7x + 12
x2 – 2x - 15
X2 + 8xy + 7y2
x2 + 2xy – 35y2
4x2 – 12xy + 5y2
12x2 - 8xy – 15y2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Indique el número de factores primos: F(a, b) = 5a9b3 + 15a6b7
a) 3 b) 9 c) 10
a2 – b2 = (a + b)(a - b) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a - b)2
Recuerda
Los factores se escriben en
forma horizontal
Se descomponen en los factores
extremos
Se realiza un producto en aspa y los resultados se
adicionan, dicho resultado debe ser idéntico al término central del
trinomio dado.
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d) 1 e) 18 2. Factorizar:
T(a, b) = a3 + a2b + ab2 + b3 a) (ab + 1) (a + 1) (b + 1) d) (a + b)2 (a2 + b) b) (a2 + 1) (b2 + 1) e) (a2 + b) (a + b2) c) (a2 + b2) (a + b) 3. Factorizar:
P(x) = x5 + x2 – x - 1 a) (x - 1)(x + 3)2 d) (x - 1)2 (x + 1) b) (x + 1)2 (x - 1) e) x(x + 1)2 c) (x + 1) (x - 1) 4. Señale un factor primo de segundo
grado: G(a, b) = a(1 – b2) + b(1 – a2)
a) 1 + a2 b) 1 + ab c) ab - 1 d) a2 + b2 e) 1 - ab 5. Indique el factor primo que más se repite
en: E(x) = (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x + 2)(x - 1) + 1 -
x a) x – 3 b) x – 2 c) x - 1 d) x + 2 e) x + 4 6. Factorizar:
P(a, b, c) = a(b2 + c2) + b(c2 + a2) Dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. ¿Cuántos factores primos presenta la
siguiente expresión? P(x, y, z, w) = wy + wz – wyz – xy – xz +
xyz a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Luego de factorizar:
F(a) = a2 + 2a + ab + b + 1;
Indique el término independiente de un factor primo. a) b + 1 b) a + 1 c) a + b d) a + b + 1 e) a – b + 1 9. Un factor de:
a2x2 – 8acx + 16c2 – 25b2 es: a) ax + 4c + 5b d) x + ac b) ax – 4c + 5b e) ax – c - 4b c) ax – c + 4b 10. Factorizar:
P(x, y) = (x + 1)2 – (y - 2)2 Hallar un factor primo: a) x + y – 1 b) x – y – 2 c) x – y - 3 d) x – y – 4 e) x – y - 7
TAREA DOMICILIARIA I
1. Factorizar: P(a) = a3 + 2a2 – a – 2;
e indicar el factor primo con mayor término independiente. a) a + 1 b) 3a + 1 c) a + 2 d) a – 1 e) 2a + 5
2. Factorizar: P(x) = x7 + c3x4 – c4x3 – c7;
Indicar cuántos factores primos se obtienen: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
3. Indicar un factor de: P(x, y) = a2 – b2 + x2 – y2 + 2(ax - by)
a) a + b + x – y d) a – b – x + y b) a + b – x – y e) a – b – x - y c) a – b + x - y
4. Factorizar: H(x, y) = 4x4 + 81y4
a) 2x2 – 6xy + 9y2 d) 9x2 + 6xy + 2y2 b) 9x2 – 6xy + 2y2 e) N.A. c) 2x2 – 6xy – 9y2 SESIÓN 05: FACTORIZACIÓN II
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Veremos los siguientes casos:
F. ASPA DOBLE
Es un método que sirve para factorizar polinomios de la forma:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dy + Ex + F Se sigue el siguiente procedimiento:
1. Se descompone los términos (Ax2) y (Cy2)
De tal manera que cumpla aspa simple con Bxy.
Ax2 + Bxy + Cy2
2. Se descompone (F), con la descomposición de Cy2 se verifique aspa simple con Dy.
Cy2 + Dy + F
3. Se comprueba la siguiente aspa: Ax2 + Ex + F
Ejemplo:
§ Factorizar: 3x2 – 5xy – 2y2 – 8y + 11x + 10 3x +y 5 x -2y 2
(3x + y + 5) (x – 2y + 2)
G. MÉTODO DEL ASPA DOBLE
ESPECIAL
Este método se emplea para factorizar polinomios de cuarto grado de la forma:
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E Para factorizar se procede:
1. Se adecua al polinomio a la forma general, si faltase uno de los términos se completa con ceros.
2. Se descompone conveniente el último (E) y el primer (Ax4) término, luego se efectúa el producto en aspa y se calcula la suma de dichos productos en aspa.
3. El resultado anterior se compara
con el término central (Cx2) y la expresión que sobre o falta se descompondrá debajo del término central.
4. Luego la expresión descompuesta
realizará un aspa simple hacia el lado izquierdo con (Ax4) y hacia el lado derecho con (C) verificando (Bx3 y Dx) concluyendo que los factores serán las sumas horizontales de los términos resultantes de las descomposiciones.
Ejemplo:
§ P(x) = x4 – 4x3 + 10x2 – 11x + 10 x2 -3x 5 ® 5x2 x2 -x 2 ® 2x2
7x2 +3x2 P = (x2 – 3x + 5) (x2 – x + 2)
H. MÉTODO DE LOS DIVISORES
BINÓMICOS
Se emplea para factorizar polinomios de cualquier grado que admitan por lo menos un factor binómico de la forma (ax + b) o transformable a ella. Cero de un polinomio es el valor o valores que anulan a un polinomio. Para factorizar indicaremos lo siguiente:
1. Determinaremos los posibles ceros de un polinomio dividiendo los divisores del termino independiente entre los divisores
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del coeficiente principal (incluir los negativos).
2. Se evalúa con el posible cero utilizando la regla de división por Ruffini, si dicha división resulta exacta entonces hemos hallado un factor del polinomio y el cociente será el otro factor.
Ejemplo:
§ P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 i) x = ±1; ±2 (posibles ceros). ii)
iii) (x - 1) es factor
(x2 – 2x + 2) es el otro factor
P(x) = (x - 1)(x2 – 2x + 2)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Indicar un factor de: 6x2 – 13xy + 2y2 + 5y – 8x + 2
a) x – 2y – 1 d) x + 2y - 1 b) 6x + y + 2 e) N.A. c) 6x + y - 2 2. Factorizar:
2x2 + 3y2 + 7xy – y + 3x - 2 a) (x – 3y + 2) (x + y - 1) b) (x + 3y + 2) (2x + y - 1) c) (x – 2y + 3) (3x – y - 1) d) (x + 3y - 2) (2x – y + 1) e) N.A. 3. Factorizar:
x2 – y2 + 10y - 25
a) (x – y + 5) (x + y - 5) b) (x + y - 5) (x + y - 5) c) (x – 2y - 5) (x – y - 5) d) (x + y + 5) (x + y + 5) e) N.A. 4. Factorizar:
x2 + 6y2 – 5xy – x - 6 a) (x + 2y - 3) (x – 3y - 3) b) (x + 3y + 3) (x –y - 9) c) (x – 2y + 2) (x – 3y - 3) d) Faltan datos e) Todas 5. Factorizar:
2x2 – 24y2 + 2xy – 2x + 34y - 12 a) (x + 4y - 3) (2x – 6y + 4) b) (x – 4y + 3) (3x + 6y + 9) c) (7x – 2y + 3) (3x – 6y + 4) d) (4x – 2y + 3) (x – y - 1) e) N.A. 6. Factorizar:
x3 + 5x2 – 18x + 8 a) (x - 2) (x2 + 7x - 4) b) (x + 2) (x2 + 7x - 4) c) (x - 2) (x2 – 7x + 4) d) N.A. e) Todas las Anteriores 7. Indicar un factor de:
x3 + 6x2 + 14x + 15 a) (x - 3) b) (-x + 3) c) (x + 3) d) x – 21 e) x + 2 8. Indicar un factor:
x3 – 4x2 – 13x - 8 a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3 d) x + 4 e) x + 5 9. Indicar un factor de:
x3 – 14x2 + 47x + 8 a) x + 8 b) x + 9 c) x - 8 d) x – 10 e) x + 12 10. Indicar un factor:
x4 – x3 – x2 – 5x + 6
1 -3 4 -2 1 -2
1 -2 2
x = 1 0
x2 x T.I.
IBIMESTRE
16
a) x2 – 3x + 2 b) x2 + 3x + 2 c) x2 – 3x – 2 d) 2x2 – 3x – 2 e) N.A. 11. Indicar un factor:
x4 + 8x3 – x2 – 62x + 36 a) x2 + 2x – 9 d) x2 – x - 4 b) x2 – 9x – 3 e) N.A. c) 3x2 – 10 – 2x 12. Factorizar e indicar un factor:
2x4 – 3x3 + 16x2 – 8x + 7 a) x2 – x + 7 b) 2x2 + x – 1 c) x2 – 3x – 7 d) 2x2 – 2x – 9 e) 3x2 – x - 2
TAREA DOMICILIARIA
1. Factorizar: x2 – 5xy – 14y2 – 41y + 2x – 15;
indicar un factor: a) x + 7y + 3 d) x – 7y + 3 b) x – 7y – 3 e) N.A. c) x + 7y - 3
2. Indicar un factor de: x2 – 4xy + 3y2 – 8y + 4x + 4
a) x + 3y + 2 d) x – 3y + 2 b) x – 3y – 2 e) N.A. c) x + 3y - 2
3. Indicar un factor de: 2x2 – 5xy + 2y2 – 8y + x - 10
a) x + 2y + 2 d) x – 2y + 2 b) x – 2y – 2 e) N.A. c) x + 2y - 2
4. Indicar un factor de: 3x2 + 8xy + 5y2 + 7y + 5x + 2
a) 3x – 5y + 2 d) 3x + 5y + 2 b) 3x + 5y – 2 e) N.A. c) 3x – 5y - 2
SESIÓN 06 : MCD Y MCM DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
A. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
El Máximo Común Divisor de dos o más expresiones algebraicas es otra expresión algebraica conformada por los factores primos comunes elevadas a los menores exponentes. Ejemplo
A = (x + 3)3 (x - 2)2 (x + 4)5
B = (x - 5)2 (x + 3)2 (x + 4)6
MCD(A, B) = (x + 3)2 (x + 4)5
B. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
El Mínimo Común Múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es otra expresión algebraica conformada por todos los factores primos y los comunes se toman los mayores exponentes. Ejemplo
A = (x + 3)2 (x - 2)5 (x + 1)2
B = (x + 3)3 (x + 4)2 (x - 2)2
MCM(A, B) = (x + 3)3(x - 2)5(x + 4)2(x + 1)2
PROPIEDADES
1. Dada dos expresiones algebraicas A y B el producto de su MCD por su MCM es igual al producto de A x B.
MCD x MCM = A x B
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Hallar el MCM en:
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A = x2 – y2 B = x2 – 2xy + y2 a) x – y b) x + y c) (x - y)2 d) (x - y)2(x + y) e) N.A.
2. Siendo: A = x2 + 3x – 10 B = x2 – 25 C = x2 – 10x + 25 Calcular: MCD a) x + 5 b) x – 5 c) (x - 5)2 d) x + 2 e) N.A.
3. El MCD de: A = x2 – y2 B = x3 + y3 C = x2 + 2xy + y2 a) x – y b) (x – y)2 c) x - y d) x – 2 e) N.A.
4. Siendo el MCM de: A = 16xn+3ym+2 B = 8xn+2ym+4 Igual a: ax5y5 Calcular: “a . n . m” a) 2 b) 24 c) 23 d) 25 e) N.A.
5. El producto del MCM por el MCD de dos polinomios es x4 + 7x3 + 12x2 si uno de los polinomios es x3 + 3x2 entonces el otro será:
a) x + 2 b) x + 4 c) x2 + 4x d) x2 + 3x e) N.A.
6. El producto del MCM y el MCD de dos polinomios es:
x3 – 6x2 + 4x – 6 y si uno de ellos es x – 1. Calcular el término independiente de el otro polinomio. a) 1 b) 2 c) -6 d) 6 e) N.A.
7. El cociente de dos polinomios es 2x y el resto es cero. Además el producto del MCM con su MCD de dichos polinomios es 2x3(x - y)2 entonces uno de dichos polinomios es:
a) x2 + xy b) x2 – xy c) 2x(x + y) d) x + y e) N.A.
8. Encuentra el MCD de los polinomios: A = x3 – 7x2 + 14x – 8 B = x3 – 10x2 + 29x – 20 C = x4 – 3x3 – x + 3 a) x2 + x + 1 b) x – 1 c) x + 2 d) x – 2 e) N.A.
9. El MCD de dos polinomios es x2 + 3x + 2 y el MCM de los mismos es x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 4 si uno es x3 + 5x2 + 8x + 4.
a) x3 – 4x2 – 5x + 2 d) x4 + 4x2 + 5x - 2 b) x3 + 4x2 – 5x + 2 e) N.A. c) x4 + 4x2 + 5x + 2
10. El producto del MCM y el MCD de dos polinomios es:
x5 + 3x4 + 2x3 si uno de los polinomios es x3 + 2x2 entonces el otro será: a) x + 1 b) x2 + x c) x2 - x d) x – 1 e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA
1. El producto del MCM y el MCD de dos polinomios es: x3 + x2 – 5x – 6. Si uno de ellos es x – 2. Indicar el
IBIMESTRE
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término independiente del otro polinomio.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.
2. El cociente de dos polinomios es 5x2
y el resto nulo. Además el producto de su MCM y MCD es 20x4(x - y)2. Entonces uno de dichos polinomios es:
a) 2x(x + y) b) x(x – y) c) 2(x – y) d) 2x(x - y) e) N.A.
3. Encontrar el MCD de los polinomios:
A = x3 + x2 – 5x – 2 B = x3 – x2 – x – 2 C = x2 + 5x - 14 a) x + 2 b) x – 2 c) x + 7 d) x – 5 e) N.A.
4. El MCD de:
A = x2 – 4 B = x3 + 8 C = x2 + 4x + 4
a) x + 2 b) x + 3 c) x - 3 d) x – 2 e) N.A.
5. Siendo el MCM de:
A = 2xb+2yc-1 B = 4xb+6yc-2 Igual a: ax7y2 Calcular: “a . b . c”
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) N.A.
6. Si: A = 2x3 – 3x2 - x + 2 B = 2x3 + x2 - 4x + 1
Hallar el MCD a) x – 2 b) x – 1 c) x2 + x + 1 d) x2 – 3x + 1 e) N.A.
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