Tema 3: Ecuaciones de Maxwell en el Vacío

Dr. José Manuel Aller Castro

Universidad Politécnica Salesiana

Cuenca, Abril 2015

Introducción I

La teoría del campo electromagnético es una disciplina quecontempla el estudio de las cargas (en reposo y enmovimiento), las cuales producen corrientes y camposeléctricos y magnéticos.

El modelo matemático que define todos estos campos es elsistema de ecuaciones de Maxwell.

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatroecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen porcompleto los fenómenos electromagnéticos.

La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir enestas ecuaciones largos años de resultados experimentales,debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros,introduciendo los conceptos de campo y corriente dedesplazamiento, y unificando los campos eléctricos ymagnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.

Introducción II

Las ecuaciones de Maxwell son fundamentalmente ecuacionesde onda y por este motivo comenzaremos recordando algunosconceptos relacionados con estas ecuaciones

Introducción al modelo distribuido de propagación de onda I

La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial enderivadas parciales lineal de segundo orden que describe lapropagación de una variedad de ondas, como las ondassonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua.

Es importante en varios campos como la acústica, elelectromagnetismo y la dinámica de fluidos.

Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como lasque están en los instrumentos musicales fue estudiado porJean le Rond d’Alembert (1746) por primera vez, LeonhardEuler (1748), Daniel Bernoulli (1753) y Joseph-LouisLagrange(1759).

Introducción al modelo distribuido de propagación de onda II

La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuacióndiferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, laecuación de onda hace referencia a una función u(x,t) quesatisface:

∂2u

∂t2= c2∇2u

donde c es una constante equivalente a la velocidad de lapropagación de la onda.

La solución general de la ecuación de onda escalarunidimensional

ρ∂2u

∂t2− K

∂2u

∂x2= 0, x ∈ R, t > 0, (1)

u (x , 0) = u0(x), x ∈ R

Introducción al modelo distribuido de propagación de onda

III

∂u

∂t(x , 0) = u1(x), x ∈ R

Modelo de la cuerda vibrante, donde ρ = ρl ((kg/m)) es ladensidad lineal de la cuerda y K = T (N) es la tensión de estacuerda.

La velocidad de propagación de esta onda es:

c =

√K

ρ= velocidad del sonido

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2

Solución de la ecuación de onda I

La solución general de la ecuación de onda escalarunidimensional fue obtenida por d’Alembert y puede ser escritade una forma factorizada:

[∂

∂t− c

∂

∂x

] [∂

∂t+ c

∂

∂x

]u = 0 (2)

Por consiguiente, si F y G son funciones arbitrarias, cualquiersuma de la forma

ξ = x − ct ; η = x + ct

∂u

∂ξ= −

1

2c

[∂

∂t− c

∂

∂x

];∂u

∂η=

1

2c

[∂

∂t+ c

∂

∂x

]

Solución de la ecuación de onda II

Entonces la ecuación (2) queda expresada en el nuevo sistemacomo:[∂

∂t− c

∂

∂x

] [∂

∂t+ c

∂

∂x

]u = −4c2

∂u

∂ξ

∂u

∂η=

∂2u

∂ξ∂η= 0

u (ξ, η) = F (ξ) + G (η)

u(x , t) = F (x − ct) + G (x + ct)

Imponiendo las condiciones iniciales se obtiene:

F (x) =1

2

u0 (x)−

1

c

ˆ x

o

u1 (s) ds

+

A

2

G (x) =1

2

u0 (x) +

1

c

ˆ x

o

u1 (s) ds

−

A

2

Solución de la ecuación de onda III

De las expresiones anteriores se obtiene la famosa ecuación ded’Alembert:

u (x , t) = F (x − ct) + G (x + ct) =

=1

2

u0 (x + ct) + u0 (x − ct) +

1

2c

ˆ x+ct

x−ct

u1 (s) ds

Animación de la Ecuación de onda

Figura: Un pulso que viaja a través de una cuerda con sus extremos fijos

es modelado por la ecuación de onda ∂2u

∂t2= c2∇2u

Conservación de la energía I

De la solución d’Alambert después de un trabajo sistemáticose puede obtener la siguiente igualdad:

1

2

ˆ

R

ρ |u (x , t)|2 dx +1

2

ˆ

R

K

∣∣∣∣∂u

∂x(x , t)

∣∣∣∣2

dx =

1

2

ˆ

R

ρ |u0 (x)|2 dx +

1

2

ˆ

R

K

∣∣∣∣∂u1

∂x(x)

∣∣∣∣2

dx (3)

Los primeros términos de la sumatoria representa la energíacinética en el instante t y cero respectivamente, mientras quelos segundos términos representan la energía potencial en losmismos tiempos.

Esta igualdad indica que la energía mecánica total se debeconservar a lo largo del tiempo.

Conservación de la energía I

En un caso más general, se puede multiplicar la ecuación deonda (1) por ∂u

∂te integrar en R:

ˆ

R

ρ∂2u

∂t2(x , t)

∂u

∂t(x , t) dx −

ˆ

R

K∂2u

∂x2(x , t)

∂u

∂t(x , t) dx = 0

Integrando por partes:

1

2

ˆ

R

ρ∂

∂t

∣∣∣∣∂u

∂t(x , t)

∣∣∣∣2

dx +1

2

ˆ

R

K∂

∂t

∣∣∣∣∂u

∂x(x , t)

∣∣∣∣2

dx = 0 ⇒

d

dt

ˆ

R

1

2ρ

∣∣∣∣∂u

∂t(x , t)

∣∣∣∣2

dx +d

dt

ˆ

R

1

2K

∣∣∣∣∂u

∂x(x , t)

∣∣∣∣2

dx = 0

Integrando esta última expresión entre 0 y t se obtiene laidentidad (3)

Solución armónica I

Solución armónica

u (x , t) = Re

(U (x) e jωt

)

donde ω es la frecuencia angular y U es una función de valorcomplejo.

−ω2U (x) e jωt − c2

d2U (x)

dxe jωt = 0

Se obtiene la ecuación de Helmholtz

ω2U (x) + c2

d2U (x)

dx= 0

U (x) = Be jω

cx + Ce−j ω

cx = Be jϕe j

ω

cx + Ce jψe j

ω

cx

u (x , t) = B cos(ωt +

ω

cx + ϕ

)+ C cos

(ωt −

ω

cx + ψ

)

Cargas y corrientes I

La carga eléctrica es una propiedad física intrínseca de algunaspartículas subatómicas que se manifiesta mediante fuerzas deatracción y repulsión entre ellas por la mediación de camposelectromagnéticos.

La materia cargada eléctricamente es influida por los camposelectromagnéticos, siendo a su vez, generadora de ellos.

La denominada interacción electromagnética entre carga ycampo eléctrico es una de las cuatro interaccionesfundamentales de la física

Desde el punto de vista del modelo estándar la carga eléctricaes una medida de la capacidad que posee una partícula paraintercambiar fotones.

Una de las principales características de la carga eléctrica esque, en cualquier proceso físico, la carga total de un sistemaaislado siempre se conserva.

Cargas y corrientes II

Las cargas se representan mediante campos escalares dedensidad. Estas densidades pueden ser volumétricas,superficiales o lineales.

También puede considerarse cargas puntuales representadasmediante deltas de Dirac.

Supongamos la existencia de una densidad de cargavolumétrica ρV (x , t) en una región del espacio afín E y queesta carga en un punto x se mueve a la velocidad v (x , t) en elinstante t.

Cargas y corrientes III

La densidad de corriente eléctrica se define como unamagnitud vectorial que tiene unidades de corriente eléctrica porunidad de superficie, es decir, intensidad por unidad de área.

La densidad de corriente J se define como:

J (x , t) = ρV (x , t) v (x , t)

Figura: Intensidad de Corriente Eléctrica

Cargas y corrientes IV Intensidad de corriente:

JS =

ˆ

S

J · dS

Figura: Intensidad de Corriente Eléctrica

Conservación de la carga1:

−∂

∂t

ˆ

V

ρ dV =

ˆ

S

J · dS =

ˆ

V

∇ · JdV = JS = −∂Q

∂t

∂ρ

∂t+∇ · J = 0

1Recordando que´

∂Rv·ndA =

´

R∇ · vdV

Campos eléctricos y magnéticos I

Los campos eléctricos y magnéticos son campos de fuerza quese originan debido a las cargas eléctricas

Figura: Carga Eléctrica

Campos eléctricos y magnéticos II

Las cargas eléctricas en reposo relativas al observador originancampos eléctricos E. (Fuerza por unidad de carga)

(NC

)

Figura: Lineas Equipotenciales del Campo Eléctrico

Campos eléctricos y magnéticos III

El movimiento relativo de las cargas añade una fuerza adicionaldenominada fuerza magnética representada por el campo B.(Wbm2 = T

)denominado densidad de campo magnético.

Figura: Campo Magnético

Campos eléctricos y magnéticos IV Ley de Lorentz de la fuerza eléctrica (Definición de E y B en

términos empíricos):

F = q (E + v × B)

f = ρV (E+ v × B) = ρVE+ J ×B

Figura: Ley de Lorenz

Fuerza conservativa I

En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajototal realizado por el campo sobre una partícula que realiza undesplazamiento en una trayectoria cerrada (como la órbita deun planeta) es nulo.

El nombre conservativo se debe a que para una fuerza de esetipo existe una forma especialmente simple (en términos deenergía potencial) de la ley de conservación de la energía.

Las fuerzas que dependen sólo de la posición son típicamenteconservativas.

Un ejemplo de fuerza conservativa es la fuerza gravitatoria dela mecánica newtoniana.

Las fuerzas dependientes del tiempo o de la velocidad (porejemplo, la fricción o rozamiento) son típicamente noconservativas.

Fuerza conservativa II

La mayoría de sistemas físicos fuera del equilibriotermodinámico son no-conservativos; en ellos la energía sedisipa por procesos análogos al rozamiento.

Puede demostrarse que un campo es conservativo si presentaalguna de las propiedades siguientes:

1. Existe un campo escalar V (r) con:

F(r) = −∇V (r)

2. El trabajo

W =

ˆ

S

F(r)dr

a lo largo de un camino cualquiera S del campo de fuerza

depende solo de los puntos inicial y final y no de la trayectoria.

En particular, el trabajo por una curva cerrada C es cero:

˛

C

F(r)dr = 0

Fuerza conservativa III

3. El campo es simplemente continuo y cumple la condición de

integrabilidad∂Fk

∂xi=∂Fi

∂xk

Esto significa que,

∇× F(r) = 0

El campo electrostático, el campo gravitatorio en mecánicaclásica o las fuerzas intermoleculares en un sólido parapequeños valores de vibración son todos ellos casos de fuerzasconservativas.

El campo magnético es un ejemplo de campo no conservativoque no puede ser derivado de un potencial escalar. Esto serefleja por ejemplo que las líneas del campo magnético soncerradas.

Animación carga eléctrica en movimiento

Figura: Carga eléctrica en movimiento

Ley de Faraday I

La ley de inducción electromagnética de Faraday (osimplemente ley de Faraday) establece que el voltaje inducidoen un circuito cerrado es directamente proporcional a larapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético queatraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde

Ley de Faraday II

Figura: Experimento de Faraday - Inducción Electromagnética

Ley de Faraday III

˛

C

E · d l = −d

dt

ˆ

S

B · dA

Donde E es el campo eléctrico, d l es el elemento infinitesimaldel contorno C , B es la densidad de campo magnético y S esuna superficie arbitraria, cuyo borde es C .

Las direcciones del contorno C y de dA están dadas por laregla de la mano derecha.

Ley de Faraday IV

Formulaciones alternativas:

∇× E = −∂B

∂t

Ve = −NdΦ

dt= −

dλ

dt

donde Ve es el voltaje inducido y dΦ/dt es la tasa de variacióntemporal del flujo magnético Φ. El sentido del voltaje inducido(el signo negativo en la fórmula) se debe a la ley de Lenz2

Inducción electromagnética de Faraday

https://www.youtube.com/watch?v=ZyG7q3SaDD0

Explicacion Ley de Faraday

https://www.youtube.com/watch?v=Dipsdb2l9Sc

2La ley de Lenz plantea que las tensiones inducidas serán de un sentido tal

que se opongan a la variación del flujo magnético que las produjo. Esta ley es

una consecuencia del principio de conservación de la energía.

Ley de Ampère I

La ley de Ampère, modelada por André-Marie Ampère en1831,relaciona un campo magnético estático con la causa quela produce, es decir, una corriente eléctrica estacionaria.

James Clerk Maxwell la corrigió posteriormente y ahora es unade las ecuaciones de Maxwell, formando parte delelectromagnetismo de la física clásica.

La ley de Ampère explica, que la circulación de la intensidaddel campo magnético en un contorno cerrado es igual a lacorriente que recorre en ese contorno.

Ley de Ampère II

Figura: Ley de Ampère

Ley de Ampère III El campo magnético es un campo angular con forma circular,

cuyas líneas encierran la corriente. La dirección del campo enun punto es tangencial al círculo que encierra la corriente.

El campo magnético disminuye inversamente con la distanciaal conductor.

La ley en su forma integral se ùede expresar como:

˛

C

H · d l =

¨

S

J · dS +d

dt

¨

S

D · dS

Su forma diferencial es:

∇×B = µ0J + µ0ǫ0∂E

∂t

Ley de Ampère 1

https://www.youtube.com/watch?v=A5LhKP-EnJ4

Ley de Ampère 2

Ley de Ampère IV

https://www.youtube.com/watch?v=A5LhKP-EnJ4

Ley de Ampeère 3

https://www.youtube.com/watch?v=fiHy8FrLIHw

Ley de Gauss para el Campo Eléctrico I

La ley de Gauss, o teorema de Gauss, establece que el flujo deciertos campos a través de una superficie cerrada esproporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo quehay en el interior de dicha superficie.

Dichos campos son aquellos cuya intensidad decrece como ladistancia a la fuente al cuadrado.

La constante de proporcionalidad depende del sistema deunidades empleado.

Se aplica al campo electrostático y al gravitatorio.

Sus fuentes son la carga eléctrica y la masa, respectivamente.

También puede aplicarse al campo magnetostático.

El flujo Φ es una propiedad de cualquier campo vectorialreferida a una superficie hipotética que puede ser cerrada oabierta.

Ley de Gauss para el Campo Eléctrico II

Para un campo eléctrico, el flujo ΦE se mide por el número delíneas de fuerza que atraviesan la superficie.

Figura: Flujo del campo eléctrico en un elipsoide

Ley de Gauss para el Campo Eléctrico III

Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese lafigura, que muestra una superficie cerrada arbitraria ubicadadentro de un campo eléctrico.

La superficie se encuentra dividida en cuadradoselementales∆S , cada uno de los cuales es lo suficientementepequeño como para que pueda ser considerado como un plano.

Estos elementos de área pueden ser representados comovectores ∆S , cuya magnitud es la propia área, la dirección esperpendicular a la superficie y hacia afuera.

En cada cuadrado elemental también es posible trazar unvector de campo eléctrico E .

Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, E

puede considerarse constante en todos los puntos de uncuadrado dado.

Ley de Gauss para el Campo Eléctrico IV

E y ∆S caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo θentre sí y la figura muestra una vista amplificada de doscuadrados.

El flujo, entonces, se define como sigue:

ΦE =∑

E ·∆S

ΦE =

˛

S

E · dS

Si calculamos el flujo en una esfera debido a una carga en suinterior

Ley de Gauss para el Campo Eléctrico V

Figura: Flujo a través de una esfera producido por una carga en su

interior

Ley de Gauss para el Campo Eléctrico VI

El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie dS , y elcampo es constante en todos los puntos de la superficieesférica, en consecuencia

ΦE =

ˆ

S

E · dS =

ˆ

S

E cos θdS = E

ˆ

S

dS = E4πr2 =q

ǫ0

Forma diferencial de la ley de Gauss

˛

∂V

E · dA =1

ǫo

ˆ

V

ρ dV

Aplicando el teorema de Gauss de la divergencia

ˆ

V

(∇ · E)dV =1

ǫo

ˆ

V

ρ dV

Ley de Gauss para el Campo Eléctrico VII

En su forma diferencial resulta

∇ · E =ρ

ǫo⇒ ∇·D = ρ

Ley de Gauss para campos eléctricos

https://www.youtube.com/watch?v=tZaEeB45ftM

Ley de Gauss para el caso magnético I

Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gausspara el magnetismo, que se expresa en sus formas integral ydiferencial como

Ley de Gauss para el caso magnético II

Figura: Flujo a través de una esfera producido por una carga en su

interior

˛

B(r) · dS = 0

∇ · B = 0

Ley de Gauss para el caso magnético III

Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, comose conocen habitualmente, monopolos magnéticos.

Las distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutrasen el sentido de que posee un polo norte y un polo sur, por loque su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo.

Ley de Gauss para el campo magnético

https://www.youtube.com/watch?v=chZyWdgYLgI

Ecuaciones Integrales de Maxwell en el Vacío I

Γ = ∂Ω

ˆ

Γ

ε0E · ndA = QΩ (C )

Γ = ∂Ω

ˆ

Γ

B · ndA = 0 (Wb)

ˆ

l

E·d l = −d

dt

ˆ

S

B · ndA (V )

ˆ

l

1

µ0

B·d l = Js +d

dt

ˆ

S

ε0E · ndA (A)

ε0 → permitividad eléctrica en el vacío≃ 10−9

36π= 8, 726646 × 10−11 (F/m)

µ0 → permeabilidad magnética en el vacío = 4π × 10−7 (H/m)

Ecuaciones de Maxwell en el Vacío en su forma diferencial I

Carga y Corriente

QΩ =

ˆ

Ω

ρV dV ; JS =

ˆ

S

J · ndA

Utilizando el teorema de Gauss:ˆ

Ω

(ε0∇ · E − ρV ) dV = 0 ⇒ ε0∇ · E = ρV

ˆ

Ω

∇ · BdV = 0 ⇒ ∇ · B = 0

Ecuaciones de Maxwell en el Vacío en su forma diferencial II

Utilizando el teorema de Stokes:

ˆ

S

[∇× E · n +

∂B

∂t· n

]dA = 0 ⇒

∂B

∂t+∇× E = 0

ˆ

S

[1

µ0

∇×B · n− J · n−ε0∂E

∂t· n

]dA = 0 ⇒

⇒ ε0∂E

∂t−

1

µ0

∇× B = −J

Ecuaciones de Maxwell en el Vacío en su forma diferencial III

Conservación de la carga a partir de las ecuaciones de Maxwell

∇ · D = ρ ⇒∂

∂t(∇ · D) = ∇ ·

∂D

∂t=∂ρ

∂t

Como ∇× H = J + ∂D∂t

:

∂D

∂t= ∇× H − J

y aplicando la divergencia a la expresión anterior:

∇ ·

(∂D

∂t

)= ∇ · (∇× H − J) = ∇ · ∇ × H −∇ · J = ρ

como ∇ · ∇ ×H = 0:

∇ · J + ρ = 0

Ecuaciones de onda para los campos eléctricos y magnéticos

I

Eliminemos el campo B calculando el ∇× a ambos miembrosde la ecuación de Faraday:

∇×∇× E = −∂

∂t(∇× B)

Reemplazando el ∇× B obtenido en la ecuación de Ampèreen la expresión anterior:

∇×∇× E + µ0ε0∂2E

∂t2= −µ0

∂J

∂t

esta es una ecuación de onda no homogénea.

Ecuaciones de onda para los campos eléctricos y magnéticos

II

Para eliminar E aplicamos el ∇× a la ley de Ampère:

ε0∂

∂t(∇× E)−

1

µ0

∇×∇× B = −∇× J

reemplazando el ∇× E de la ecuación de Faraday por −∂B∂t

, seobtiene:

−ε0∂2B

∂t2−

1

µ0

∇×∇× B = −∇× J

∇×∇×B + µ0ε0∂2B

∂t2= µ0∇× J

µ0ε0∂2E

∂t2−∇2E = µ0

∂J

∂t−

1

ε0∇ρV

Ecuaciones de onda para los campos eléctricos y magnéticos

III

Recordando que: ∇2u = ∇ (∇ · u)−∇×∇× u y que∇ · B = 0

∇×∇× B = −∇2B

∇×∇× E = −∇2E +∇

(ρVε0

)

Entonces, las ecuaciones de onda son:

µ0ε0∂2B

∂t2−∇2B = µ0∇× J

µ0ε0∂2E

∂t2−∇2E = µ0

∂J

∂t−

1

ε0∇ρV

Ecuaciones de onda del campo magnético y eléctricorespectivamente.

Ecuaciones de onda para los campos eléctricos y magnéticos

IV

Figura: Ondas Electromagnéticas

Régimen Armónico I

Los campos armónicos E y B pueden ser generados por susfuentes (cargas eléctricas y corrientes) cuando estas varíansinusoidalmente en el tiempo:

ρV (x , t) = Re(ρV (x) e jωt

)

J (x , t) = Re

(J (x) e jωt

)

La solución de las Ecuaciones de Maxwell también tendrá estaforma:

E (x , t) = Re

(E (x) e jωt

)

B (x , t) = Re

(B (x) e jωt

)

Régimen Armónico II

Reemplazando las expresiones anteriores en las ecuaciones deMaxwell, se obtiene:

∇ ·(ε0E)= ρV ; ∇ · B = 0

∇× E = −jωB ; ∇×

(B

µ0

)= J + jωε0E

Que conducen a:

−µ0ε0ω2B −∇2B = µ0∇× J

−µ0ε0ω2E −∇2E = µ0jωJ −

1

ε0∇ρV

Tarea 3

1. Demuestre matemáticamente que el campo electrostático esconservativo y explique esta situación con un ejemplo simple.

2. Demuestre matemáticamente que el campo magnético no esconservativo y muestre este echo mediante un ejemplo sencillo.

3. El campo eléctrico está dado porE (r) = E0 cos (z/z0) exp (−r/r0) r, donde z0 y r0 sonconstantes. Determine:

3.1 La densidad de carga.

3.2 Si el campo es conservativo

3.3 Si el campo resulta conservativo determine el potencial

4. Obtenga la expresión del campo magnético a lo largo de unhilo infinitamente largo de corriente